hyperbolische Geometrie - ETH E

Darstellende
hyperbolische Geometrie
—•——•—
Von der
Eidgenössischen
Technischen Hochschule in Zürich
zur
Erlangung
der
Würde eines Doktors der Mathematik
genehmigte
Promotionsarbeit
vorgelegt
von
Karl Dändliker,
aus
Hombrechtikon
(Zürich)
Referent: Herr Prof. Dr. M. QROSSMANN.
Korreferent:
Herr Prof. Dr. L. KOLLROS.
214
OERLIKON
Buchdruckerei H. Kraut
1919
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MEINEN LIEBEN ELTERN
AUS DANKBARKEIT GEWIDMET
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Inhaltsverzeichnis.
Einleitung.
„
.
,
I. Kapitel.
.
r
Kreisgeometrie.
§
§
§
1.
Die drei verschiedenen Kreisarten
2.
Kreistangenten
3. Kreise und Kreisbüschel in der Poincaré'schen Veranschaulich¬
ung der
§
§
§
hyperbolischen
Ebene
§
11
4. Kreise durch drei Punkte
5.
6.
16
Potenzgerade und Potenzpol
Potenzpunkt und Potenzaxe
19
22
'
Der Grenzkreis.
§
§
§
§
9
10
1. Schnitt einer Geraden mit einem Grenzkreise
2.
Tangenten
von
einem Punkte
an
einen Grenzkreis
26
....
3. Schnitt zweier Grenzkreise
4.
Schnittpunkte
von
27
28
Grenzkreisen
mit
eigentlichen
und Ueber-
kreisen
29
5. Nullkreise
30
III.
Kapitel.
Die fundamentalen Konstruktionen des hyperbolischen
Raumes.
§
§
1. Punkt und Gerade
2. Die
der
§
§
§
§
§
§
3. Die
Normalprojektion
32
in der Poincaré'schen
Veranschaulichung
hyperbolischen Geometrie
Hauptebene eines Punktes
4. Gerade und Ebene
5.
6.
7.
8.
33
35
36
Schnittprobleme
Normalenprobleme
Halbierung von Strecken
Parallelenprobleme
38
39
und Winkeln
IV.
43
47
Kapitel.
Drehung, Schiebung und Schraubung.
§
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
Drehung
Schiebung
Schraubung
Umklappung
5. Dreikant und Dreieck
50
54
57
58
59
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Einleitung.
Der Zweck der
vorliegenden
Arbeit
ist, die fundamen¬
talen Konstruktionen der darstellenden Geometrie im
hyper¬
Zusammenhang mit
der hyperbolischen Kreisgeometrie zu zeigen.
Bekanntlich liegen die unendlich fernen Punkte des hy¬
perbolischen Raumes auf einer Fläche zweiten Grades, der
sog. Fundamentalkugel. Alle Punkte, die innerhalb dieser
Kugel liegen, sind die sog. eigentlichen Punkte. Diese stehen
einem hyperbolischen Wesen, als das sich der Konstrukteur
Eine eigentliche
zu denken hat,
zur direkten Verfügung.
Gerade, d. h. eine solche, die eigentliche Punkte besitzt, trifft
die Fundamentalkugel in zwei Punkten, den sog. Enden1)
der Geraden. Eine eigentliche Ebene wird von der Fun¬
damentalkugel in einem Kreise, dem sog. Fundamentalkreise
der Ebene geschnitten. Die unendlich fernen Punkte erhält man
bolischen Räume auszuführen und ihren
vermittelst der bekannten Parallelenkonstruktion mit dem drei¬
rechtwinkligen Viereck2). Die Punkte die außerhalb der Fun¬
damentalkugel liegen, die sogenannten uneigentlichen Punkte,
sind von einem hyperbolischen Wesen nicht erreichbar. Hat
Punkte
man zwei Gerade, die sich in einem uneigentlichen
eine
existiert
beiden
die
auf
so
treffen,
eigentliche Gerade,
Geraden zugleich normal steht. Die Konstruktion einer solchen
Geraden, die man Polare des uneigentlichen Schnittpunktes
der beiden Geraden nennen möge, ist von Hubert1) gegeben
worden. Es hat auch jeder eigentliche Punkt eine Polare,
die
uneigentlich
ist.
Alle
Geraden
eines Büschels stehen
auf der Polaren des Scheitels normal.
')
D. Hubert:
Geometrie.
2)
von
F.
Neue
Begründung
der
Eigentliche,
unend-
Bolyai-Lobatschefskij'schen
Math. Annalen Bd. 57 S. 137—150.
N. I. Lobatschefskij
Engel. S. 256.
:
Zwei
geometrische Abhandlungen, deutsch
8
—
—
uneigentliche Punkte werden schlechthin als
Die Aufgabe, irgend zwei Punkte mit¬
einander zu verbinden, zerfällt vom Standpunkte des hyper¬
bolischen Wesens aus betrachtet in einige vollständig ver¬
schiedene Konstruktionen, die in einer Arbeit von Liebmann3)
zusammengestellt wurden und deren Kenntnis in der vor¬
liegenden Arbeit vorausgesetzt wird. Vom Standpunkte der
projektiven Geometrie aus erscheint die Aufgabe als eine
einzige.
lieh ferne und
Punkte bezeichnet.
Die Konstruktionen
ebene und
zwar
ausgeführt in einer Bild¬
Lineal, Zirkel und Abstand¬
werden
mit Hilfe
von
zirkel, d. h. einem Instrument, welches gestattet Ueberkreise
zeichnen,
zu
wo
unter einem Ueberkreise den geome¬
man
trischen Ort aller Punkte
versteht, die von einer gegebenen
Ueberkreises, vorgeschriebenen kon¬
stanten Abstand haben. Dieses Instrument besteht im Prinzipe
aus einem Winkel, dessen einer Schenkel längs der Axe gleitet,
Geraden, der
Axe des
während auf dem andern in einem
Scheitel
der Zeichenstift
des Winkels ist
es
dann
befestigt
möglich
benen Abständen Ueberkreise
Konstruktion
von
zu
gewissen
ist.
mit
Abstand
vom
Durch
Veränderung
beliebig vorgeschrie¬
konstruieren.
Grenzkreisen kein Instrument
Da für die
gegeben
sein
soll, dieselben also in den Konstruktionen nicht als konti¬
Kurven
nuierliche
IL
Kapitel
Fälle
betrachtet werden
können,
so
sind
im
die für die Konstruktionen des III.
von
Schnitt- und
Kapitels wichtigen
Tangentenproblemen behandelt.
Erklärung der Konstruktionen zu erleichtern,
Bezeichnung so gewählt, dass für Projektionen von
Punkten etc. die lateinischen Buchstaben verwendet werden,
während die Originalpunkte im Raum mit denselben Buch¬
Um
die
ist die
staben bezeichnet
o
werden, die aber rechts
versehen
die
werden, so
Projektion P hat.
daß
z.
unten mit einem
B. der Punkt P0 des Raumes
3) Die elementaren Konstruktionen der nichteuklidischen Geome¬
trie.
Jahresberichte
S. 56—69.
der
deutschen
Mathematikervereinigung.
Bd. 20,
I.
Kapitel.
Kreisgeometrie.
1. Die drei verschiedenen Kreisarten.
§
Wie
Punkte
man eigentliche, uneigentliche und unendlich ferne
unterscheidet, so hat man auch drei verschiedene
Kreisarten,
den
eigentlichen Kreis,
den Ueberkreis oder die
Abstandslinie und den Qrenzkreis. Der
Mittelpunkt
des
er-
uneigentlich und der
des letztern unendlich fern. Der Mittelpunkt des Ueberkreises
hat eine eigentliche Polare, die Axe des Ueberkreises, und
zwar hat diese, wie schon
bemerkt, die Eigenschaft, daß
alle Punkte des Ueberkreises von derselben gleichen Abstand
haben. Während der eigentliche Kreis und der Grenzkreis
einem Stück bestehen, setzt sich der Ueberkreis aus
aus
steren ist
Stücken,
zwei
der des zweiten
eigentlich,
den beiden sog.
Aesten,
zusammen.
Aufgabe 1 : Man zeichne einen Kreis, der durch einen
gegebenen Punkt geht und dessen Mittelpunkt der Schnitt¬
punkt zweier Geraden ist.
Diese Aufgabe zerfällt in drei von einander ganz ver¬
schiedene Probleme, je nachdem der Schnittpunkt der Ge¬
raden, die mit a und b bezeichnet werden mögen, eigent¬
lich, uneigentlich oder unendlich fern ist. Schneiden sich
ist also der Schnittpunkt M eigentlich, so erhält
a und b,
den
man
der
verlangten
euklidischen
und
b
von
M
Stellt
Kreis durch den Punkt P genau wie in
eigentlich
man
und schneidet sowohl
dann die
Entfernung
den Abstandszirkel ein und
gleiten,
wo
a
sich die Geraden
Schneiden
Ebene.
nicht, ist also M uneigentlich,
so
erhält
und b
man
den
parallel sind,
so
a
ist die Polare
als auch b normal.
des Punktes P
läßt diesen
verlangten
a
m
m
in
beidseitig längs
m
von
Kreis. Im dritten
kann man, wie in der
Fall,
Einleitung
—
10
-
schon bemerkt wurde, den Grenzkreis
Wie das
geschehen
zu
Mittelpunkt
hat
punktweise zeichnen.
zeigt Aufgabe 8 Seite 26. Der
nur
M des Grenzkreises fällt mit dem
Ende der Geraden
denselben, da
a
und b
auch
er
zusammen
auf dem
und
gemeinsamen
man
Grenzkreis
bezeichnet
liegt,
als den
unendlich fernen Punkt des Grenzkreises. Alle Geraden der
Ebene
von
welchen ein Ende in den unendlich fernen Punkt
des Grenzkreises
fällt,
§
nennt
2.
man
Axen des Grenzkreises.
Kreistangenten.
Aufgabe 2: Man zeichne von einem Punkte
genten an einen eigentlichen Kreis.
die Tan¬
In
Fig. 1 sei k der Kreis, an den vom Punkte P die
Tangenten zu legen sind. Man zieht durch P irgend zwei
Gerade a und b, welche k in den Punkten A1 und A2 resp.
Bj
und
B2
schneiden. Die
punkte C und D
A2B3
schneidet
aus
k die
den Punkte sind die
P
an
PTj
Berührungspunkte der Tangenten von
Tangenten selbst sind die Geraden
Ist
der
Punkt
P uneigentlich, so stehen be¬
PT2.
die Geraden AjA2, BXB2 und die Tangenten nor¬
den
und
kanntlich
Verbindungsgeraden der Schnitt¬
AjB2 und A2Bj resp. AjBj und
Punkte T1 und T2 aus. Diese bei¬
der Geraden
Kreis.
Die
mal auf seiner Polaren p.
Il
—
Aufgabe
an
3
Man ziehe
:
von
—
einem Punkte die
Tangenten
einen Ueberkreis.
Diese
Aufgabe kann genau wie die vorige gelöst wer¬
möglichst wenig mit uneigentlichen Punkten
zu operieren, sei folgende Konstruktion
vorgeschlagen. In
Fig. 2 sei k der Ueberkreis und die Gerade a seine Axe.
Der Punkt P, von dem aus die Tangenten an k
gezogen
werden sollen, sei uneigentlich, seine Polare sei
p. Irgend
eine Gerade f, die durch den Punkt P geht, d. h. auf
p nor¬
mal steht, schneidet aus k die beiden Punkte
und
A1
A2 aus.
Man legt nun einen eigentlichen Hilfskreis h durch
Ax und
A2, der von einer Normalen auf p in Bj und B2 so geschnitten
wird, daß sowohl der Schnittpunkt C von AjBt und A2B2
als auch der Schnittpunkt D von AXB2 und A2Bj eigentlich
Die Gerade, die den Schnittpunkt P' von CD mit f
sind.
mit dem Schnittpunkt A von p und a verbindet, schneidet
aus k die Berührungspunkte T1 und T2 der gesuchten Tan¬
genten aus. Die Tangenten tx und t2 selbst sind die Normalen
den. Um aber
von
T2
auf p.
Tj
resp.
§
3. Kreise und Kreisbüschel in der Poincaré'schen
Veranschaulichung
Bekanntlich
dadurch
Raum
hat
der
Poincaré4)
veranschaulicht, daß
abbildete
bolische
Raum
hyperbolischen Ebene.
und
er
den
hyperbolischen Raum
denselben auf den euklidischen
folgendermassen.
repräsentiert durch einen
zwar
wird
Der
hyper¬
der beiden
in die der euklidische Raum durch eine beliebige
geteilt wird. Die Ebene ü, die man Fundamen¬
talebene nennt, entspricht dann der Fundamentalkugel. Den
Halbraum, der das Bild des hyperbolischen Raumes sein
soll, bezeichnet man mit R. Das Bild einer Ebene ist eine
Halbkugel des Halbraumes R, die Q normal schneidet oder
Halbräume,
Ebene Q
eine Ebene die auf Q normal steht. Halbkreise die ü
mal
treffen und
4)
in
J. H. Poincaré
L. Lindemann.
:
R
liegen, repräsentieren Gerade.
Wissenschaft und
S. 42—44.
Hypothese,
deutsch
von
nor¬
Die
F. und
—
Winkel werden
der
12
—
im
gewöhnlichen Sinne gemessen wie in
Geometrie, während der Abstand zweier
euklidischen
Punkte
gegeben wird durch den Logarithmus des Doppel¬
verhältnisses, welches die beiden Punkte mit den zwei
Schnittpunkten bilden, in welchen die Ebene Si von dem¬
jenigen Halbkreise getroffen wird, der durch diese beiden
Punkte hindurchgeht und Si normal schneidet.
In diesem Kapitel werden nur Betrachtungen an ebenen
Figuren ausgeführt. Die hyperbolische Ebene möge reprä¬
sentiert werden durch h,
h'
ist,
in
wo
h eine der Halbebenen h und
die eine euklidische Ebene durch die Fundamen¬
geteilt wird, w entspricht dem Fundamental¬
hyperbolischen Ebene, d. h. dem Kreise, in welchem
die Fundamentalkugel die Ebene schneidet. Alle Halbkreise,
die normal auf cu stehen, veranschaulichen die Geraden der
hyperbolischen Ebene, wobei Gerade, die normal auferstehen,
talgerade
ai
kreis'der
ebenfalls als Halbkreise
aufgefaßt werden.
Man betrachtet nun (Fig. 3) ein Büschel
von
Halb¬
sich in einem Punkte P schneiden.
kreisen
a
P
Grundpunkt dieses Kreisbüschels, während
Grundpunkt das Spiegelbild von P bezüglich
ist
andere
b
c
.
.
.,
die
ein
Geraden
w
der
der
ist. Dieses Kreisbüschel veranschaulicht ein Ge¬
radenbüschel mit einem
eigentlichen Scheitel. Da ein eigent¬
diejenige Kurve ist, welche die Geraden eines
Büschels mit eigentlichem Scheitel normal schneidet, so
wird, in der vorliegenden Veranschaulichung der hyperbo¬
lischen Geometrie der Kreis mit dem Mittelpunkte P eben¬
falls durch einen Kreis repräsentiert. Dieser gehört demjenigen
Kreisbüschel an, das dem Büschel abc..., konjugiert ist.
Ist der Scheitel P des Geradenbüschels, das durch die
Halbkreise abc... dargestellt wird, uneigentlich (Fig. 4),
d. h. sind die Grundpunkte des Kreisbüschels imaginär, dann
gibt es einen Halbkreis n, der alle Kreise abc... nor¬
mal schneidet und dessen Mittelpunkt auf a> liegt, der also
licher Kreis
die Polare des Scheitels des Geradenbüschels repräsentiert.
Die Punkte
Nx
und
N2,
in welchen
n
w
schneidet, sind die
13
—
—
Nullkreise des Büschels abc...
das
in
liche
N2.
und
Nj
Büschels,
schneiden
sich
ist,
konjugiert
Da der Ueberkreis eine Kurve ist, die sämt¬
Geraden
normal
Alle Kreise des
Büschel abc...
zum
eines Büschels
schneidet,
so
mit
uneigentlichem Scheitel
wird dieser veranschaulicht durch einen
Kreis, der durch die beiden Punkte Nx und N2 geht. Die
Punkte Nj und N2 schneiden aus dem Kreise die zwei Bogen
Nx A'N2
und
ebene h
fällt,
Nt BN2
aus,
dann
geht
um w
in die Halbebene h
Bogen Nj A'N2
der
die Kreise abc...
man, daß
Nx AN2
in die Halb¬
in
N1 AN2
nun
hineingeklappt,
Nx AN2
Da
über.
Fig. 4.
Fig. 3.
kreises
Nx BN2
Ebene veranschaulichen
in die Halbebene h' fällt. Wird
soll, während Nt A'N2
die Halbebene h'
welchen
von
hyperbolische
die die
ebenfalls normal schneidet,
Nx BN2
und
repräsentieren,
so
sieht
die beiden Aeste eines Ueber-
dessen Axe
durch den Halbkreis
n
veranschaulicht wird. Durch diese Umklappung fallen immer
je ein Punkt
sammen.
A
von
h und
ein Punkt A'
von
h' in A
Um diese beiden Punkte auseinander
zu
zu¬
halten,
So
mögen alle
Punkte die in h liegen mit positivem (Gegenuhrzeigersinn)
und alle Punkte die in h' liegen und durch Umklappung in
gibt
man
ihnen verschiedene Umlaufsinne.
gebracht werden, mit negativem Umlaufsinn versehen sein.
Als Schnittpunkte Sa und S2 (Fig. 4) von zwei Ueberkreisen
h
14
—
—
Figur vor der Um¬
diejenigen Punkte zu
hervorgeht,
klappung
auf
die
zwei
betrachten,
gleichzeitig
Kreisbogen liegen,
deren Punkte gleichen Umlaufsinn haben oder kurz gesagt,
deren Aeste gleichen Umlaufsinn besitzen. Betrachtet man
die Figur nachdem h' in h hineingeklappt ist, so gibt es
scheinbar vier Schnittpunkte Sa S2 01 02, von welchen aber
Oj und 02 Punkte sind, in welchen sich Kreisbogen mit un¬
gleichem Umlaufsinn kreuzen. Durch die Einführung des
Nj AN2
Lx Ox L2 02 sind,
B und
Umlaufsinnes kann
werden
gezeigt
laufsinn)
wird,
nun
Schnittpunkt
Alle Kreise dieses
parallel
aus
der
nur
man
einziger
ein
Es bleibt
same
wie
h' in h
von
es
auch
erreichen, daß, wie später
(versehen
mit Um¬
in welchem der
gemein¬
w liegt.
durch drei Punkte
Kreis bestimmt ist.
noch der
N der
Fall,
Kreise abc...
auf
Büschels stellen dann Gerade vor,
sind und deren
die
gemeinsames Ende durch N veran¬
ist, die die Ge¬
schaulicht wird. Da der Grenzkreis eine Kurve
raden eines Parallelenbüschels unter rechtem Winkel
schneidet,
vorliegenden Veranschaulichung
der hyperbolischen Geometrie durch einen Kreis dargestellt,
der to in N berührt. Dieser Kreis gehört dem Kreisbüschel
an, das zum Kreisbüschel abc... konjugiert ist.
Die bisherigen Betrachtungen dieses Paragraphen lassen
sich in folgenden beiden Sätzen kurz zusammenfassen:
Satz 1:
Die Punkte von eigentlichen Kreisen und.
so
wird ein solcher in der
Qrenzkreisen haben denselben Umlaufsinn, während die
Punkte, die auf verschiedenen Aesten desselben Ueberkreises
liegen, entgegengesetzten Umlaufsinn
Satz 2
:
haben.
Zwei Kreise schneiden sich in höchstens zwei
Punkten.
Dadurch, daß
man
Lehrsätze über Kreisbüschel in der
euklidischen Geometrie auf die vorliegende Veranschau¬
lichung der hyperbolischen Geometrie anwendet, kann man
Eigenschaften der hyperbolischen Kreisbüschel herleiten.
Es seien in Fig. 5 \ und k2 zwei Kreise, die sich in
den Punkten Sx und S2 schneiden mögen. Durch diese bei-
15
—
den
ein
Kreise
Büschel definiert.
ein
ist
—
konjugiertes Büschel lx 12
Kreise des Büschels
kj k2
.
Kreise dieses
.
.
.
.
Bekanntlich
.,
.
normal
.
gibt
Kreise
dessen
schneiden.
es
alle
Die
Büschels schneiden einander im
konjugierten
vorliegenden Falle nicht, d. h. die beiden Grundpunkte des
Büschels la la
sind imaginär. Die beiden Nullkreise
des Büschels \t 12
d. h. diejenigen Kreise, die sich auf
.
.
.
.
.
.
.,
einen Punkt reduzieren, fallen
Sind
umgekehrt
schneiden
lj J2
.
.
.,
und
dann
sind
S2
gehen
durch die Punkte
zusammen
\x 12.
S2 die
die Kreise
Sj
und
.
.
gegeben,
und
S2.
die sich nicht
Nullkreise des Büschels
alle Kreise des
und
S!
mit
konjugierten Büschels
S2.
Liegt nun w so, daß Sx und S2 auf derselben Seite von
liegen, (Fig. 5) d. h. beide Punkte denselben Umlaufsinn
aus eigent¬
haben, so besteht das Kreisbüschel kx k2
Die
lichen Kreisen, zwei Grenzkreisen und Ueberkreisen.
eu
.
Punkte der
eigentlichen
Sx
und
S2. Eigentliche
negativem
konjugierte Kreisbüschel lj 12...
eigentlichen Kreisen und Grenzkreisen mit nur
Büschel keine vorhanden. Das
positivem
Kreise
Umlaufsinn sind in diesem
und Grenzkreise mit
aus
.
Kreise und der Grenzkreise haben
alle denselben Umlaufsinn, wie
besteht
.
Umlaufsinn und
aus
Ueberkreisen.
16
—
—
gewählt, daß Sj in die Halbebene h
und [S2] in die Halbebene h' fällt, d. h. Sj positiven und S2
negativen Umlaufsinn hat, dann besteht das Kreisbüschel,
Fig.
Ist in
das
durch
6
w
so
Kreise
die
kj
und
wird,
definiert
k2
Büschel
aus
lauter
konjugierte
eigentlichen Kreisen
und Grenzkreisen, die sowohl positiven als auch negativen
Umlaufsinn haben. Diese Betrachtungen lassen sich in den
folgenden vier Sätzen kurz zusammenfassen.
Das
Ueberkreisen.
Büschel
lj 12
Satz 3:
.
.
.
zum
dagegen
besteht
Ein Kreisbäschel,
sind und denselben
k, k2
.
.
.
aus
dessen
Qrundpunkte reell
aus eigent¬
Umlaufsinn haben, besteht
lichen Kreisen und zwei Grenzkreisen, deren Punkte den¬
selben
Umlaufsinn
haben wie die
Qrundpunkte
und
aus
Ueberkreisen.
Ein Kreisbäschel, dessen Qrundpunkte ent¬
Satz 4:
gegengesetzten Umlaufsinn haben, besteht nur aus Ueber¬
kreisen und zwar liegt auf jedem Ast eines solchen ein
Orundpunkt.
Satz 5: Ein, Kreisbüschel, dessen Nullkreise reell sind
und
gleichen Umlaufsinn haben,
besteht
aus
eigentlichen
Kreisen und zwei Qrenzkreisen, deren Punkte denselben
Umlaufsinn haben, wie die Nullkreise, und
aus
Ueber¬
kreisen.
Satz 6: Ein Kreisbüschel, dessen Nullkreise reell sind
und verschiedenen
Umlaufsinn haben, besteht aus eigent¬
Kreisen, die sowohl negativen als auch positiven
Umlaufsinn haben, aus zwei Qrenzkreisen, von welchen
lichen
der eine
positiven und der andere negativen Umlaufsinn
hat und
aus
Ueberkreisen.
§
In der
4. Kreise durch drei Punkte.
hyperbolischen Ebene seien zwei Punkte A und B
gegeben (Fig. 7). Die Mittelpunkte der Kreise durch A und B
liegen auf der Mittelnormalen m von AB. Eine beliebige Ge¬
rade durch A möge m in einem eigentlichen Punkte M schnei-
17
—
den.
dem
Der
Kreis
Radius
MA
Grundpunkte A
der Winkel
mehr
—
k, beschrieben
um
M als
und B sind. Wird nun MA
BAM
Mittelpunkt mit
Büschels, dessen
ein Kreis des
ist dann
zunimmt,
um
A
gedreht,
so
daß
entfernt sich M mehr und
so
der Geraden AB. Wird die Gerade
parallel
so
geht
der Kreis k über in einen Grenzkreis des Büschels. Dreht
man
von
die Gerade noch mehr,
so
wird der
uneigentlich. Der Kreis k
Axe a diejenige Gerade ist,
m
geht
derselben mit
Schnittpunkt
Ueberkreis,
wird dann ein
normal schneidet. Betrachtet
so
m,
die
m
man
durch diesen sowohl ein
dessen
und die Gerade durch A
einen Punkt P der Ebene,
eigentlicher Kreis
ein Ueberkreis des Büschels durch A und B.
Es
als auch
ist
nun
zweckmäßig den Umlaufsinn, der im vorigen Paragraphen
eingeführt wurde, auch in der hyperbolischen Ebene ein¬
zuführen. Am besten stellt man sich die hyperbolische Ebene
alsDoppelschicht vor, wo alle Punkte derselben Schicht gleichen
und Punkte, die in verschiedenen Schichten liegen, ent¬
In Fig. 7 hat P den¬
gegengesetzten Umlaufsinn haben.
selben Umlaufsinn wie die Punkte A und B, wenn er dem
eigentlichen Kreise k angehört und entgegengesetzten Um¬
laufsinn, wenn er dem Ueberkreise mit der Axe a angehört.
A und B liegen dann auf einem Aste des Ueberkreises,
während P auf dem andern liegt.
18
—
In
—
8 seien die Punkte A und B
Fig.
gegeben,
die ent¬
Umlaufsinn haben. Nach Satz 4 besteht ein
gegengesetzten
Kreisbüschel dessen
Grundpunkte
die
gegebenen Punkte
A
Zieht man durch den
und B sind, nur aus Ueberkreisen.
Mittelpunkt M der Strecke AB irgend eine Gerade a, so ist
diese die Axe eines Ueberkreises dieses Büschels. Fällt
dann
da
<
von
AM
A resp. B die Lote AA' resp. BB' auf a,
BM,
=
BB'M
<
1R
=
ist,
d. h.
kongruent,
es
AMA'
=
die beiden
ist AA'
=
<
BMB' und
Dreiecke
Versteht
Mittelpunkte
man
in diesem
M
Grundpunkten A
AB schneiden.
von
von nun an
unter einem
gilt
fol¬
einziger Kreis
be¬
Punkte einen mit Umlaufsinn versehenen
gender
=-
Man sieht also hier¬
BB'.
Kapitel
sind,
AA'M
<
MAA' und MBB'
aus, daß alle Axen des Büschels mit den
und B sich im
so
man
Punkt,
so
Satz.
Satz 7
:
Durch drei Punkte ist ein
stimmt.
Man zeichne einen Kreis, der durch drei
Aufgabe 4 :
Punkte geht.
Haben
der
Mittelpunkt
Mittelnormalen
gleichen Umlaufsinn, dann ist
gesuchten Kreises der Schnittpunkt der
drei Punkte
die
des
je
zweier der drei Punkte.
gefunden wird, zeigt
Kreis ein Ueberkreis
die
ist,
so
Aufgabe
liegen die
1.
drei
Wie der Kreis
Falls
gesuchte
gegebenen Punkte
der
immer auf demselben Aste.
Haben zwei Punkte denselben und der dritte
entgegen¬
gesetzten Umlaufsinn, dann ist es, wie aus Satz 4 hervor¬
geht, nur möglich, durch diese drei Punkte einen Ueber¬
kreis zu legen.
Sollen z. B. in Fig. 8 A und C denselben
entgegengesetzten Umlaufsinn haben, dann ist die
gesuchten Ueberkreises die Verbindungslinie der
beiden Punkte M und M', wo M und M' die Mittelpunkte
der Strecken AB resp. AC sind. A und C liegen auf dem
und
B
Axe des
einen und B auf dem andern Aste des Ueberkreises durch
die drei Punkte.
19
—
§
Wird in
rückt
in
ein
die
die
und
sie auf AB normal
Axe
Gerade
Kreis
Potenzgerade
des
Potenzpol.
7 die Gerade MA um den Punkt A so weit
Fig.
daß
gedreht,
5.
—
a
mit
zu
stehen
kommt, dann
den beiden Aesten des Ueberkreises
AB hinein.
Büschels
Die Gerade AB
mit
ist
also auch
Grundpunkten
konjugierten Büschels,
den
A und B.
Sie schneidet daher alle Kreise des
dessen Existenz vermittelst der Poincaré'schen Veranschau¬
hyperbolischen Geometrie in § 3 nachgewiesen
Da jede Gerade, die einen Kreis normal
wurde,
ein
Durchmesser
desselben ist, so liegen die
schneidet,
Mittelpunkte der Kreise des konjugierten Büschels auf der
Geraden AB, welche man die Potenzgerade des Büschels
mit den Grundpunkten A B nennt. Analog ist m die Potenz¬
gerade des konjugierten Büschels, dessen Nullkreise mit A
lichung
der
normal.
und B zusammenfallen.
Haben
Umlaufsinn,
die
Grundpunkte
in
Fig. 8,
Strecke AB.
Dieser
wie
des
Büschels
sind
verschiedenen
die
Mittelpunkte der
Kreise des Büschels, d. h. die Potenzgerade des konjugierten
Büschels, dessen Nullkreise A und B sind, uneigentlich. Die
Axen aller Ueberkreise des Büschels schneiden sich, wie
im vorigen Paragraphen bewiesen wurde, im Mittelpunkte
M der
eigentlichen Potenzgeraden,
büschels, dessen Nullkreise
so
Punkt
M ist der Pol der
der sog.
Potenzpol
A und B sind.
un¬
des Kreis¬
Die
Potenzge¬
Grundpunkte
sind, ist die Gerade AB. Aus diesen Betrachtungen lassen
sich folgende Sätze ableiten, die für die weitere Entwicklung
der Konstruktionen wichtig sind.
rade des
Kreisbüschels,
von
welchem A und B
Satz 8: Jeder Punkt der Potenzlinie eines Kreisbüschels
hat die
Eigenschaft, daß die von ihm an alle Kreise des
Tangenten gleiche Länge haben.
Büschels gezogenen
Jede
auj die Potenzlinie eines
Kreisbüschels hat die Eigenschaft, daß auf allen Tan¬
genten an Kreise des Büschels, die auf ihr normal stehen.
Satz
9:
Normale
20
—
von
ihr und dem
—
Berührungspunkte Strecken abgeschnitten
werden, die einander gleich sind.
Berührungspunkte aller zur Potenzlinie
Kreisbüschels parallelen Tangenten an die Kreise
desselben liegen auf zwei Grenzkreisen.
Aufgabe 5: Man bestimme die Potenzgerade resp.
Satz 10: Die
eines
Potenzpol
zweier Kreise.
Schneiden
sich
den
dungslinie
die
beiden
der
Kreise,
beiden
Schnittpunkte
so
die
ist die Verbin¬
Potenz¬
gesuchte
linie.
Anders verhält
es
sich,
wenn
die beiden Kreise
sich
Dispo¬
gibt
sitionsmöglichkeiten und zwar können die zwei Kreise ge¬
geben sein:
1. durch zwei eigentliche Kreise, deren Punkte densel¬
nicht
Es
schneiden.
dann
vier
verschiedene
ben Umlaufsinn haben und die sich nicht
2. durch einen
eigentlichen
Kreis und einen
schneiden,
Ueberkreis,
schneiden,
Ueberkreise, die sich nicht schneiden und
die einander nicht
3. durch zwei
endlich
4.
durch
und
einen
einem
eigentlichen
eigentlichen
mit
Kreis
Kreis
mit
nur
nur
positiven
negativen
Punkten.
In
Fig.
9 seien
kj
und
die beiden Kreise und
k2
Ihre
zwar
Punkte
eigentlichen Mittelpunkt.
gleichen Umlauisinn. Ist die Disposition der Kreise
k1 und k2 anders getroffen, so bleibt die Konstruktion im
Prinzipe dieselbe. Um einen Punkt der Potenzlinie zu er¬
haben
beide
einen
haben
halten schneidet
man
die beiden Kreise
Hilfskreise h in den Punkten
Schnittpunkt S
von
AjBj
\
und
k2
AjBx resp. A2B2
A2B2 eigentlich
und
mit einem
so, dass der
ist.
daß
Dieser
Eigenschaft,
genten von ihm an kx, h und k2 gleiche Länge haben. Die
gesuchte Potenzlinie ist die Normale p von S auf die Ver¬
bindungslinie MjM2 der Mittelpunkte Mx und M2 der Kreise
Punkt S
kj
resp.
hat nach
k2.
Satz
8
die
die Tan¬
21
—
—
Vollständig verschieden von der vorigen Lösung ist
Standpunkte eines hyperbolischen Wesens aus die
Konstruktion der Potenzlinie (Potenzpol) für die Disposition 4.
Es sei also in Fig. 10 kx ein eigentlicher Kreis, dessen
Punkte nur positiven und k2 ein eigentlicher Kreis, dessen
Punkte nur negativen Umlaufsinn haben.
Man legt nun
den Hilfskreis h, der ein Ueberkreis ist so, daß der positive
vom
Ast
kj
und der
Punkten
Aj
Bj
A2B2
auf
AjBj
der
Mittelpunkte
tenzpol
negative
und
und
resp.
6:
A2
normal
kx
schneidet und
k2
und
B2. Da,
k2
und
wo
die
zwar
in den
Gerade,
die
die
steht,
der Kreise
P der Kreise
Aufgabe
Ast
und
Verbindungslinie MjM2
k2 schneidet, ist der Po¬
k2.
Gegeben sei ein Büschel durch
zwei Kreise,
die sich nicht schneiden. Man bestimme die beiden Null¬
kreise des Büschels.
In
Fig
9 seien
kt
mit
wird, schneidet
man
p,
und
Hilfe
die
tenzlinie
T des Kreises
schneidet dann
aus
Nj
N2
und
gleich
Die Po¬
vorigen Aufgabe gefunden
Tangente in einem be¬
kx
und beschreibt
dem Radius MT einen Kreis.
MtM2
aus, deren
ist.
Kreise.
in M mit der
liebigen Punkte
Mittelpunkt mit
T
die beiden
k2
der
die
beiden
um
M ,als
Dieser Kreis
gesuchten Nullkreise
Umlaufsinn demjenigen des Punktes
—
22
—
Die Konstruktion
gestaltet sich im Falle 4 folgenderirgend einem Punkte T von kj (Fig. 10) wird
die Tangente t gezogen und darauf durch Punkt P die
massen:
Normale
In
a
die t im
gefällt,
raden
a
kreis
gezeichnet,
Punkte F
trifft.
Mit der Ge¬
als Axe und dem Abstand TF wird dann der Ueber-
schneidet und
demselben
der
Aste
MjM2
hat
zwar
6.
derjenige
Punkt
N1?
Nj
und
N2
der mit T auf
liegt, positiven Umlauf¬
ist.
negativ
N2
Ueberkreises
des
sinn, während derjenige
§
in den Nullkreisen
von
und Potenzaxe.
Potenzpunkt
Die drei Potenzlinien dreier Kreise schneiden sich, wie
den Sätzen 8 und 9
hervorgeht in einem Punkte, dem
sog. Potenzpunkte. Ist dieser Potenzpunkt uneigentlich, so
stehen die drei Potenzlinien auf seiner Polaren, der sog.
Potenzaxe, normal.
Vom Standpunkte eines hyperbolischen Wesens aus,
gibt es für drei Kreise sechs wesentlich verschiedene Dis¬
positionsmöglichkeiten und zwar können die drei Kreise
gegeben sein:
1.- durch drei eigentliche Kreise, deren Punkte gleichen
aus
Umlaufsinn haben,
2.
durch drei
eigentliche Kreise,
welchen zwei
nur
Punkte mit demselben Umlaufsinn und der dritte
nur
Punkte mit
3.
durch zwei
entgegengesetztem Umlaufsinn haben,
eigentliche Kreise,
Umlaufsinn haben und einen
4.
deren Punkte
gleichen
Ueberkreis,
durch zwei
eigentliche Kreise, von welchen der eine
positivem und der andere Punkte mit
nur negativem Umlaufsinn hat und einen Ueberkreis,
durch einen eigentlichen Kreis und zwei Ueberkreise
Punkte mit
5.
von
nur
und endlich
6. durch drei Ueberkreise.
Bemerkenswert sind ferner zwei Fälle
die sich hinsichtlich der
der drei Kreise
von
Lage
des
Dispositionen,
Potenzpunktes bezüglich
von
einander unterscheiden.
Fällt nämlich
—
der
Potenzpunkt
er
zwar
versteht
Punkte,
von
in
Innere
das
eines
der drei
Kreise,
so
ins Innere der beiden andern Kreise und
zugleich
fällt
23
man
unter dem Innern eines
welchen
aus
keine reellen
Kreises, diejenigen
Tangenten an den
Kreis gezogen werden können. Solche Punkte nennt man
Aeußere Punkte oder
mit negativer Potenz.
auch Punkte
positiver Potenz sind diejenigen, von welchen
aus zwei reelle Tangenten an den Kreis möglich sind. Punkte
auf der Peripherie des Kreises haben die Potenz Null. All¬
gemein gilt der folgende Satz.
Satz 11 : Hat der Potenzpunkt dreier Kreise bezüg¬
lich eines der drei Kreise positive oder negative Potenz
oder die Potenz null, so gilt dasselbe bezüglich aller drei
Punkte
mit
Kreise.
Aufgabe
7
:
Potenzpunkt resp. die
denjenigen Kreis, der die drei
Man bestimme den
Potenzaxe dreier Kreise und
Kreise normal schneidet.
Wie leicht
Normalkreis,
verständlich, gibt
wenn
die
Potenz
es nur
des
dann einen solchen
Potenzpunktes positiv
Potenzpunktes negativ, so ist der
verlangte Normalkreis imaginär. An seiner Stelle soll dann
der Kreis gezeichnet werden, aus welchem die drei Kreise
Punkte ausschneiden, die je auf einem Durchmesser liegen.
Die Lösung der Aufgabe 7, die für alle sechs Fälle
im Prinzip dieselbe ist, möge in Fig. 11 an der Disposition
4 ausgeführt werden.
kx sei ein Kreis, dessen Punkte nur
und k2 ein Kreis, dessen Punkte
haben
Umlaufsinn
positiven
ist.
Ist
die Potenz
des
negativen Umlaufsinn haben. k3 sei ein Ueberkreis. Wie
der zweiten Disposition der Aufgabe 5 (Fig. 10) er¬
aus
sichtlich ist, ist die Potenzlinie der Kreise ka und k2 un¬
eigentlich. Der Potenzpunkt der drei Kreise ist deshalb
Die Normale n vom Potenzpol P12 der
auch uneigentlich.
nur
k2 auf die Potenzgerade p23 der Kreise k2
Um den Kreis zu fin¬
und k3 ist die gesuchte Potenzaxe.
sucht man mit
normal
die
drei
der
schneidet,
gegebenen
den,
einer
T
2
den
Hilfe der Aufgabe
Tangente
Berührungspunkt
Kreise
kt
und
—
vom
24
uneigentlichen Potenzpunkt
--
aus an
durch T den Ueberkreis n, dessen Axe
den Kreis
iz
kt
und
legt
ist. Die Punkte des
auf dem T liegt, haben, wie die Punkte des Krei¬
kj, positiven Umlaufsinn, während der Umlaufsinn der
Punkte des andern Astes negativ ist.
Um die Aufgabe für den Fall durchzukonstruieren, bei
Astes
ses
welchem
Fig.
12
der
kj, k2
Potenzpunkt negative
und
tiven Umlaufsinn
Potenz
hat, seien
k3 eigentliche Kreise,
deren Punkte
haben
eigentliche
(Fall 1).
Der
in
posi¬
Schnitt-
—
25
—
punkt der drei Potenzlinien p12 p2s und psl ist der gesuchte
Potenzpunkt U. Den Kreis, der von kj k2 und ks in Punkten
geschnitten wird, die paarweise auf einem Durchmesser
Man errichtet in 77
liegen, findet man folgendermassen.
auf die Gerade Mx/7, wo Mj der Mittelpunkt des Kreises
k2 ist, die Normale,
Der Kreis Cs
suchte Kreis.
über
kx in den Punkten A1
AjA2 als Durchmesser
die
und
A2
schneidet.
ist dann der ge¬
IL
Kapitel.
Der Grenzkreis.
§
1. Schnitt einer Geraden mit einem Grenzkreise.
Wie in der
strument
zur
Einleitung gesagt wurde, hat man kein In¬
Verfügung, welches gestattet Grenzkreise als
kontinuierliche Kurven
wöhnlich dadurch
die
durch
einen
zu
zeichnen. Ein Grenzkreis ist ge¬
festgelegt, daß man eine Halbgerade gibt,
Grenzkreispunkt begrenzt ist und deren
Ende der unendlich ferne Punkt des Grenzkreises ist.
Aufgabe 8: Manschneide einen Qrenzkreis mit einer Axe.
Fig. 13 gegeben durch die Halb¬
die
durch
den
gerade g,
Grenzkreispunkt G begrenzt ist.
Der Grenzkreis sei in
Das Ende U
den
Axe
kreises.
c
von g, das zugleich Ende der zu schneiden¬
ist, ist der unendlich ferne Punkt des Grenz¬
Auf
Grund
der
Tatsache,
daß
in einem Dreieck
27
—
—
je dreien sich in einem Punkte
den Schnittpunkt C der Axe c
schneiden,
mit dem Grenzkreis folgendermaßen. Man verbindet einen
die Winkelhalbierenden
konstruiert
Punkt F
a
von c
zu
man
mit einem Punkt D
kleiner als ein rechter ist.
g so, daß der Winkel
von
Nun zieht
man
durch F eine
Gerade, die g in E schneidet so, daß der Winkel DFE gleich
dem Winkel
a
ist.
Den
den des Winkels FED mit FD verbindet
punkt Mj
und UEF.
mit
c
der Winkelhalbierenden
Der
der Winkelhalbieren¬
Schnittpunkt M2
man
mit dem Schnitt¬
der beiden Winkel UFE
Schnittpunkt C des Lotes von G
gesuchte Grenzkreispunkt der
auf
ist dann der
M,M2
Axe
c.
Aufgabe 9: Man schneide einen Qrenzkreis mit einer
beliebigen Geraden.
gegeben durch den Grenz¬
auf der Halbgeraden g liegt, s sei die
zu schneidende Gerade. Vermittelst der Involution, die durch
den Grenzkreis auf s erzeugt wird, erhält man die beiden
Schnittpunkte Sa und S2. Die Tangente in G an den Grenz¬
kreis, d. h. die Normale in G auf g, schneidet s im Punkte A.
Die Normale von G auf a
Durch A legt man die Axe a.
schneidet aus s den Punkt A' aus. Der Fußpunkt der Axe
c, die.auf s normal steht und mit Hilfe einer von Bolyai5)
gegebenen Konstruktion gefunden wird, ist M und der Pol
MM'AA' ist dann
von c ist der uneigentliche Punkt M'.
die erwähnte Involution, aus der vermittelst eines Hilfs¬
kreises h die beiden Doppelpunkte Sx und S2 konstruiert
werden und zwar sind Sj und S2 reell oder imaginär, d. h.
s schneidet den Grenzkreis oder nicht, je nachdem die In¬
volution MM'AA' hyperbolisch oder elliptisch ist.
Fig. 13 ist
kreispunkt G, der
In
§
2.
Tangenten
der Grenzkreis
von
einem Punkte
Aufgabe 10: Man ziehe von
Tangenten an einen Qrenzkreis.
Der Grenzkreis sei in
Fig.
an
einen Grenzkreis.
einem Punkte
aus
die
14 wieder durch den Punkt
°) Joh. Bolyai : Appendix § 35, deutsch herausgegeben
v.
P. StäckeJ.
28
—
—
gegeben, der auf der Halbgeraden g liegt, deren
Ende der unendlich ferne Punkt des Grenzkreises ist. T ist
Q desselben
der
Punkt,
von
welchem
kreis
gezogen werden
man
mit
a
Tangente
und
an
zieht
aus
zu
an
normale
a
Axe, die
aus
der
den Grenzkreis in G den Punkt P ausschnei¬
det.
Die Gerade PT bezeichnet
man
zwei
entsprechende Strahlen
Involution, die
kreis im Punkte T
Involution
den Grenz¬
Die Gerade GT bezeichnet
sollen.
die
Tangenten
die
sind
der
erzeugt wird.
die Axe
m
mit a',
a
und a' sind
vom
Grenz¬
Ein anderes Paar dieser
durch T und ihre Normale m'.
Die
Doppelelemente der Involution mm'aa' sind dann die
gesuchten Tangenten tt und t2, die in gewohnter Weise mit
einem Hilfskreis h gefunden werden. Die Berührungspunkte
Tj und T2, der beiden Tangenten, sind die Fußpunkte der
Axen, die normal auf tj resp. t2 stehen.
§
Aufgabe
3. Schnitt zweier Grenzkreise.
11: Man bestimme die
Schnittpunkte
zweier
Qrenzkreise.
Sind in
geben durch
Halbgeraden
Fig.
die
13
die beiden Grenzkreise k und k' ge¬
Grenzkreispunkte G und G', die auf den
g' liegen, so sucht man diejenige Ge-
g resp.
29
—
—
rade c, die zu g und g' parallel ist, was keine besonderen
Mit Hilfe der Aufgabe 8 erhält
Schwierigkeiten bietet3).
die
man
mit
s
Schnittpunkte C und C der Qrenzkreise
Die Punkte
c.
der Strecke CC
Sj
und
S2,
k resp. k'
in welchen die Mittelnormale
den Grenzkreis k schneidet und die mit
Hilfe der Aufgabe 9 gefunden werden, sind die gesuchten
Schnittpunkte der beiden gegebenen Grenzkreise.
§
4.
Schnittpunkte
von
eigentlichen
Grenzkreisen mit
und Ueberkreisen.
Aufgabe 12: Man bestimme die Potenzlinie resp. den
Potenzpol zweier Kreise, von welchen der eine ein Orenzkreis ist.
Der Grenzkreis
einen Punkt G
k:
sei in
desselben,
Fig.
gegeben durch
Halbgeraden g liegt,
15 wieder
der auf der
deren Ende der unendlich ferne Punkt des
Der
Kreis
dessen
k2 möge
Mittelpunkt
als
eigentlicher
Grçnzkreises
Kreis
gegeben sein,
M ist und dessen Punkte denselben Um¬
laufsinn haben, wie die Punkte des Grenzkreises. Wäre
ein Ueberkreis
ist.
oder
ein
eigentlicher Kreis,
k2
dessen Punkte
30
—
—
entgegengesetzten Umlaufsinn haben, wie die Punkte des
Grenzkreises, so wäre die Konstruktionsweise im Prinzipe
dieselbe.
Q
Durch
punkt B legt
irgend
und
einen andern Grenzkreis¬
h, der k2 in H, und H2
Gerade, die durch den Schnittpunkt D
von CB und H^ geht und normal auf der Axe m durch
M steht, ist die gesuchte Potenzgerade p der beiden Kreise.
man
einen Hilfskreis
schneiden soll. Die
Die Gerade p schneidet
wie
k2 in denselben Punkten Sj und S2
kr Schneidet p k2 nicht, so haben die
k: und k2 keinen Schnittpunkt gemein.
der Grenzkreis
beiden Kreise
§
Aufgabe
5. Nullkreise.
13: Man suche die Nullkreise eines Büschels,
das durch zwei Kreise
gegeben ist,
von
welchen der eine
oder beide Grenzkreise sind.
Fig. 16 sei der Grenzkreis k} wieder gegeben durch
Grenzkreispunkt G, der auf der Halbgeraden g liegt,
In
den
deren Ende der unendlich ferne Punkt des Grenzkreises ist.
Der
Kreis
k2 kann,
ohne daß
struktion darunter leidet, als
dessen Punkte
Punkte
von
Die
Allgemeinheit
der Kon¬
eigentlicher Kreis angenommen
gleichen Umlaufsinn haben, wie die
Potenzgerade p konstruiert man mit
werden,
kr
die
—
Hilfe
31
—
Aufgabe 12. Zieht man in irgend einem Punkt
k2 die Tangente, die p im M' schneidet und be¬
schreibt, gemäß Aufgabe 1, um diesen Schnittpunkt M' als
Mittelpunkt den Kreis, der durch T geht, so schneidet dieser
aus der Axe m, die durch den Mittelpunkt M des Kreises
k2 geht, die gesuchten Nullkreise Nt und N2 aus. Die Be¬
stimmung der Umlaufsinne dieser beiden Punkte bietet keine
besonderen Schwierigkeiten mehr. In Fig. 16 speziell haben
Nj und N2 denselben Umlaufsinn, wie der Punkt T.
T
von
von
III.
Kapitel.
Die fundamentalen Konstruktionen des
hyperbolischen
§
Um
Raumes.
1. Punkt und Gerade.
im
Konstruktionen
hyperbolischen
Punkte des
Raumes
Räume
auszu¬
führen, legt
Bezug auf
eine Projektions- oder Bildebene fest vermittelst der zyklographischen Projektion. Diese besteht darin, daß man je¬
dem Punkte P0 des Raumes jenen Kreis Kp der Bildebene
zuordnet, der um den Fußpunkt P, des von P0 auf die Bild¬
ebene gefällten Lotes, als Mittelpunkt mit der Länge des
Lotes P0P als Radius, beschrieben wird. Da aber zu jedem
solchen Kreis, solange sein Radius nicht Null ist, zwei
Punkte gehören, die in Bezug auf die Bildebene symetrisch
liegen, so muß- man zur eindeutigen Festlegung der Punkte
die
man
Umlaufsinne einführen.
Der Punkt P wird
in
durch den¬
nun
jenigen Umlaufsinn des Kreises Kp festgelegt, der von P
aus gesehen dem Uhrzeiger entgegengesetzt erscheint, der
also positiv ist.
Bewegt
von
sich
der Bildebene weg,
Kreises immer
dann
so
Punkt
ein
größer.
der Punkt
so
auf P0P
wird der Radius des
ebene
zugehörigen
in das Ende U0 der Geraden
zusammen.
von
aus
Der Umlaufsinn bleibt derselbe. Rückt
PP0 hinein,
fällt sein Kreis Ku dem mit Fundamentalkreis
wie der
Der Umlaufsinn
von
Kp. Bewegt sich ein Punkt
Richtung gegen
des zugehörigen Kreises
die Bildebene
immer
hin,
w
der Bild¬
Ku ist derselbe,
von
P0
aus
in der
dann wird der Radius
kleiner, während der Um¬
ist, wie beim Kreise Kp, bis zum Moment,
der Punkt mit P zusammenfällt. Die Kreise, die zu den
laufsinn derselbe
wo
Punkte P0
vom
—
33
—
Punkten der Bildebene gehören, haben den Radius null. Be¬
wegt sich der Punkt in gleicher Richtung weiter, so wächst
der Kreis wieder, aber sein Umlaufsinn hat sich umgekehrt
und ist
demjenigen
von
KP entgegengesetzt.
Fällt endlich
der Punkt in das zweite Ende U'0 der Geraden
fällt der
talkreis
zugehörige
P0P,
dann
wieder mit dem Fundamen¬
Bildebene zusammen, aber der Umlaufsinn
der
w
Kreis Ku'
Ku- ist
entgegengesetzt demjenigen von Ku. Da für
hyperbolisches Wesen die unendlich fernen Punkte, und
damit tu nicht erreichbar sind, so soll ein unendlich ferner
von
ein
Punkt Uo durch seine
Projektion U festgelegt werden, die
ist, der denselben Umlaufsinn
markiert, welchen eigentlich der zu U0 gehörige Funda¬
mit
Pfeil
einem
mentalkreis
Kennt
w
versehen
haben sollte.
man
einer
von
Geraden
ihre beiden unendlich fernen
Punkte,
zwei
so
Punkte, speziell
ist sie dadurch be¬
stimmt. Es
möge also eine Gerade g0 gegeben sein durch
Projektionen U und U' ihrer Enden. Die eigentlichen
Punkte von g0 projizieren sich auf die Strecke UU', wäh¬
rend die uneigentlichen Punkte sich auf die Punkte außer¬
die
halb der Strecke UU' abbilden.
U und U'
der
entgegengesetzt,
Geraden g0 und
Strecke
UU',
folgt. Sind dagegen
so
zwar
so
Sind die Umlaufsinne
existiert der
liegt
von
Durchstoßpunkt
derselbe in der Mitte der
einer einfachen
was aus
Kongruenzbetrachtung
von U und U' gleich,
Bildebene nicht eigentlich.
die Umlaufsinne
schneidet die Gerade g0
die
Fällt einer der beiden Punkte auf den Fundamentalkreis w,
so
ist die Gerade
zur
beide Punkte auf w,
§
2.
Die
Bildebene
so
liegt
g0
Normalprojektion
Veranschaulichung
der
parallel
und fallen endlich
ganz in ihr.
in der Poincaré'schen
hyperbolischen Geometrie.
einige fundamentale Sätze abzuleiten, bedient man
Paragraphen der Poincaré'schen Veranschau¬
des
hyperbolischen Raumes6). Man nehme in derlichung
Um
sich in diesem
6) Vergl. Kap. I §
3.
34
—
—
selben eine Ebene an, die auf der Fundamentalebene ii normal
steht und diese in der Geraden
w
schneidet. Die eine Halb¬
ebene B dieser Ebene veranschaulicht die Bildebene.
Die
geteilt
Projektions¬
strahlen werden repräsentiert durch Halbkreise, die auf B
und ä normal stehen, deren Mittelpunkte also in uj liegen.
Hat man also irgend einen Punkt von iJ auf die Ebene B
zu projizieren, so hat man einfach die den Punkt enthaltende
Halbebenen,
beiden
wird, mögen
die
in
mit h und h'
Halbebene h oder h'
um
ü
durch die Gerade
w
bezeichnet werden.
einen rechten Winkel in die Halb¬
hineinzuklappen. Der Umlaufsinn, der hier analog
vorigen Paragraphen eingeführt wird, ist dann so
zu
wählen, daß er vom Originalpunkte in ii aus gesehen,
positiv erscheint. Durch die Projektion werden die Punkte
ebene B
wie
im
der
Halbebene
wie
h'
die
um
cu
Punkte
entgegengesetzten Sinne
im
der
um¬
und die Pro¬
Halbebene h
geklappt,
jektionen der letzteren haben entgegengesetzten Umlaufsinn
wie die Projektionen der ersteren. Eine Halbkugel, die eine
Ebene repräsentiert, schneidet Ü in einem Kreise k0. Dieser
erscheint, nachdem die Halbebenen h und h' in B hinein¬
geklappt sind, wieder als Kreis oder als zwei Kreisbogen,
die sich auf w schneiden und deren Punkte entgegenge¬
setzten Umlaufsinn haben, je nachdem k0 die Gerade cu nicht
schneidet oder sie in zwei Punkten trifft. Daraus folgt ohne
weiteres der folgende Fundamentalsatz.
1. Fundamentalsatz: Die Bildpunkte des Fundamental¬
kreises einer Ebene liegen auf einem Kreise, der ein Ueberkreis, Grenzkreis oder ein eigentlicher Kreis ist, je nach¬
dem
die Ebene die Bildebene schneidet,
zu
ihr
parallel
ist oder sie nicht schneidet.
Wie leicht
der das Bild
man
ersichtlich, haben alle Punkte eines Kreises,
des Fundamentalkreises einer Ebene
ist,
den
kurz mit Bildkreis der Ebene
laufsinn,
kreis
Aeste
ist.
wenn
Beim
der Kreis ein
Ueberkreis
entgegengesetzten
bezeichnet, gleichen Um¬
eigentlicher oder ein Grenz¬
haben
die Punkte der beiden
Umlaufsinn.
Die
Axe desselben
35
ist
die
—
der Bildebene mit
Schnittgerade
derjenigen Ebene,
deren Bildkreis der Ueberkreis ist.
Betrachtet
in der Poincaré'schen
Veranschauliehung
sollen,
repräsentieren
Halbkugeln,
die sich unter dem Winkel y schneiden, so schneiden sich
die Kreise, welche die beiden Halbkugeln mit ß bestimmen,
man
zwei
die
zwei
Ebenen
ebenfalls unter dem Winkel cp.
und h' in B
Kreise
hineingeklappt
wieder
unter
Nachdem die Halbebenen h
worden
sind, schneiden sich diese
Winkel (p.
dem
Es
gilt
also
folgen¬
der fundamentaler Satz.
2.
Fundamentalsatz:
Die Bildkreise
zweier
Ebenen
schneiden sich unter demselben Winkel wie die Ebenen.
§
Stelle
An
3. Die
des
Hauptebene eines
im
ersten
einem
Punktes.
Paragraphen
Umlaufsinn
eingeführten,
kann
Festlegung eines Punktes PQ
man zur
Mittels bedienen.
Man
gibt
die
dieses
versehenen
mit
Kapitels
Kreises,
sich eines andern
Projektion
P und den Bild¬
derjenigen Ebene, die den Punkt P0 enthält und zum
Projektionsstrahl P0P normal steht und die man Hauptebene
des Punktes P nennt. Der Mittelpunkt des Kreises CP fällt
kreis Cp
mit
P
zusammen,
denn die Bildkreise aller
projizierenden
36
—
Ebenen durch
—
P0P, die degenerierte Ueberkreise sind, bilden
ein Geradenbüschel mit dem Scheitel P und haben Cp normal
zu
schneiden. Ist in
Fig.
Kp der mit einem Umlaufsinn
17
versehene
Kreis, der den Punkt P0 im Raum vermittelst der
zyklographischen Abbildung bestimmt, dann wird der Bild¬
kreis Cp der Hauptebene folgendermaßen gefunden.
Legt
man durch PB, wo B ein Punkt von Kp ist, die Normal¬
ebene
zur
Bildebene
und
dieselbe in die Bildebene
klappt
kommt der Punkt P0 in den
Schnittpunkt A von KP
liegen. Wird nun in A
auf PA die Normale errichtet und zu derselben parallel und
zu PB normal die Gerade gezogen, die PB in C schneidet,
so ist der Kreis Cp, der um P als Mittelpunkt mit dem Radius
PC beschrieben ist, der Bildkreis der Hauptebene des Punktes
so
um,
mit der Normalen in P auf PB
P0.
Die
zu
Punkte des Kreises CP haben denselben Umlauf¬
sinn wie der Kreis KP. Bezeichnet
r
und PC mit c,
die
man
die Strecke PA mit
so
besteht zwischen den beiden Strecken
n
(c) +
Beziehung
Unter II
(c)
versteht
winkel der Strecke
n
(r)
man
und
=
x
k.
bekanntlich7)
den Parallel¬
ist ein willkürlicher
Faktor, der
Winkelmessung auftritt und dadurch bestimmt ist,
einer ganzen Umdrehung eines Winkels das Maß 4 * it
bei
c
x
der
daß
zukommt.
Von den beiden
jetzt
Ein
zur
Abbildungsmethoden
Verfügung stehen,
Punkt P0 wird
also
benutzt
von
man am
nun
an
von
Punkten die
besten die letztere.
gegeben sein durch
den Bildkreis CP seiner
ist
als
Hauptebene und ein gesuchter Punkt
betrachten, wenn der Bildkreis seiner
gefunden
Hauptebene ermittelt ist.
zu
§
Aufgabe
4. Gerade und Ebene.
14: Man
lege
durch zwei Punkte eine Gerade.
Die Punkte A0 und B0 seien
J. Lobatschefskij
Engel, S. 174.
7) N.
von
F.
:
Zwei
gegeben (Fig. 18.)
durch
geometrische Abhandlungen,
deutsch
—
37
—
die
Bildkreise CA und Cb ihrer Hauptebene, deren Mittel¬
punkte A resp. B sind. In A resp. B errichtet man auf AB
die Normalen, die die Kreise CA resp. Cb in den Punkten
Ax
IT,
und
A2
resp.
in welchen
Hilfe
B1
und
B2
der Kreis h
schneiden.
durch
Die Punkte U und
Ax A2
und
Bv
der mit
Aufgabe 4 gefunden wird und der auch durch den
Punkt B2 geht, die Gerade AB schneidet, sind die Projek¬
tionen der Enden der gesuchten Geraden. In Fig. 18, wo
speziell die Punkte von Ca positiven und die Punkte von
von
CB negativen Umlaufsinn haben, hat der Punkt U, der auf
demselben Aste des Ueberkreises h liegt wie die Punkte Ax
und A2, positiven Umlaufsinn, während derselbe von U'
negativ ist. Der Schnittpunkt S der Axe a des Ueberkreises
h mit AB ist der Durchstoßpunkt der Geraden A0B0 mit der
Bildebene.
Aufgabe 15: Man lege eine Ebene durch drei unend¬
lich ferne Punkte.
Die drei unendlich
fernen Punkte A0 B0 und C0 seien
Projektionen A B und C. Diese Aufgabe
gegeben
ist völlig identisch mit der Aufgabe 4, denn der Bildkreis
der gesuchten Ebene geht durch die Punkte A B und C.
Um zu entscheiden ob zwei Geraden, die durch die
Projektionen U und U' resp. V und V ihrer Enden gegeben
durch ihre
38
—
—
sind, sich schneiden oder nicht, hat
es
eine
Legt
Ebene
man
gibt
oder
nicht,
durch U U' und V den
man zu
untersuchen ob
die beide Gerade enthält.
Kreis,
so
muß
also,
wenn
die beiden Geraden sich schneiden auch V auf diesem Kreise
liegen.
Satz 12: Zwei Gerade schneiden sich dann,
Projektionen
Aufgabe
ihrer Enden
16: Man
auf
lege
einem Kreise
die
wenn
liegen.
eine Ebene durch drei
beliebige
Punkte.
Sind die drei Punkte A0 B0 und C0
gegeben durch
Bildkreise Ca Cb und Cc ihrer Hauptebenen,
am
und
besten mit Hilfe der
V V
der
Enden
Aufgabe
14 die
der Geraden
so
der
gesuchten
die
man
Projektionen U U'
A0B0 resp. B0C°.
Kreis der durch die vier Punkte UU'V und V
der Bildkreis der
sucht
geht
Der
ist dann
Ebene.
Liegen die Punkte A0 B0 und C„ auf verschiedenen Seiten
Bildebene, dann ist der Bildkreis der gesuchten Ebene
immer
ein
Ueberkreis,
dessen
Axe die
Schnittlinie dieser
Ebene mit der Bildebene ist.
Aufgabe
17:
Man
lege
durch einen Punkt und eine
Gerade eine Ebene.
Aufgabe ist ein spezieller Fall der vorigen. Sind
Projektionen der Enden der gegebenen Geraden U und
U', während der Punkt durch den Bildkreis Cp seiner Haupt¬
ebene gegeben ist, so hat man nur noch das zweite Ende
U" der Geraden U0P0 mit Hilfe der Aufgabe 14 zu suchen
und durch U U' und U" den Kreis zu legen. Dieser Kreis
ist dann der Bildkreis der gesuchten Ebene.
Diese
die
§ 5. Schnittprobleme.
Aufgabe
18: Man bestimme die
Schnittgerade
zweier
Ebenen.
Sind die beiden Ebenen
gegeben durch ihre Bildkreise
und schneiden sich die beiden Kreise, so sind die beiden
Schnittpunkte die Projektionen der Enden der Schnittgeraden.
-
39
—
Sctîneiden sich die beiden Bildkreise nicht,
Schnittgerade
tion derselben ist die
Aufgabe
dann
ist die
Die
Projek¬
uneigentlich.
Potenzgerade beider Kreise.
der beiden Ebenen
Man
19:
bestimme den
Schnittpunkt einer
Geraden mit einer Ebene.
In
Fig.
12
sei
die Gerade
tionen U und U'
ihrer
Bildkreis
legt
der
kj
kr
Man
gegeben
durch die
Projek¬
Enden und die Ebene durch ihren
irgend einen Kreis k2j
Liegt dann der
zwischen U und U', so ist
durch U und U'
in den Punkten S und S' schneidet.
Schnittpunkt U von SS' und UU'
der Schnittpunkt der Geraden und
liegt er außerhalb der Strecke UU',
der Ebene
so
eigentlich
und
ist der gesuchte Schnitt¬
Legt man über der Strecke AjA2 als
Durchmesser den Kreis Cs, so ist Cs der Bildkreis der Haupt¬
ebene des gesuchten Schnittpunktes.
Ax und A2 sind die
Schnittpunkte der Normalen in 77 auf die Gerade, die den
punkt uneigentlich.
Mittelpunkt M3
Aufgabe
des Kreises
20:
\
mit U verbindet.
Man bestimme den
Schnittpunkt
dreier
Ebenen.
Aufgabe ist identisch mit der Aufgabe 7 und
demjenigen Falle, bei welchem der Potenzpunkt
bezüglich der Bildkreise kj k2 und k3 (Fig. 12) der drei
gegebenen Ebenen, negativ ist. Der Kreis Cs, der von drei
Kreisen in Punkten geschnitten wird, die zu je zweien auf
Durchmessern liegen, ist der Bildkreis der Hauptebene des
Schnittpunktes der drei gegebenen Ebenen.
Diese
mit
zwar
§
Aufgabe
21
:
6.
Normalenprobleme.
Man bestimme
diejenige Gerade,
die
auf
zwei sich nicht schneidenden Ebenen, normal steht.
Aufgabe ist im Grunde genommen dieselbe wie
Aufgabe 6, denn alle Ebenen, die durch die gesuchte
Gerade gehen, schneiden die beiden Ebenen rechtwinklig.
Sind in Fig. 9 kj und k2 die Bildkreise der beiden sich nicht
schneidenden Ebenen, so sind Nt und N2 die Projektionen
der Enden der gesuchten Geraden.
Diese
die
40
-
Schneiden
sich
gesuchte Normale
—
die Bildkreise
der
beiden
und
kj
k2,
dann ist die
Ebenen
uneigentlich. Ihre
beiden Ebenen, d. h.
Polare ist dann die
Schnittgerade der
Büschels, welches die eine der
Geraden zum Scheitel hat, liegen auf der andern Geraden.
Faßt man von den gegebenen Ebenen eine oder beide als
Polarebenen von uneigentlichen Punkten auf, so löst Auf¬
gabe 21 auch die Aufgaben, durch einen uneigentlichen Punkt
die Pole der Ebenen eines
auf
eine
Ebene
die Normale
zu
ziehen
resp. durch zwei
uneigentliche Punkte eine Gerade zu legen.
Aufgabe 22: Man bestimme diejenige Ebene, die auf
drei Ebenen, die sich in einem uneigentlichen Punkte schnei¬
den, normal steht.
Die drei Ebenen seien in
Bildkreise
kj ka
Kreise normal
konstruiert
malebene.
und
Fig.
Derjenige
k3.
schneidet,
11
gegeben
Kreis n,
durch ihre
der
die
drei
Aufgabe 7
wird, ist dann der Bildkreis der gesuchten Nor¬
Ihr Pol, der uneigentlich ist, ist der Schnittpunkt
und der mit Hilfe
von
der drei Ebenen.
Faßt
man
eine oder alle drei Ebenen als Polarebenen
uneigentlichen Punkten auf, so löst die Aufgabe 22 die
Aufgaben, durch einen uneigentlichen Punkt auf eine eigent¬
von
liche oder
uneigentliche Gerade die Normalebene zu fällen
uneigentliche Punkte eine Ebene zu legen.
Man bestimme diejenige Ebene, die durch
23:
Aufgabe
eine Gerade geht und auf einer Ebene normal steht.
resp. durch drei
Ist die Gerade
gegeben
durch die
Projektionen U und
k, so
U' ihrer Enden und die Ebene durch ihren Bildkreis
kann
man
U und U' als Nullkreise auffassen. Man hat dann
einen Kreis
zu
suchen,
der k und die Nullkreise U und U'
normal schneidet. Dieser Kreis der mit Hilfe
Aufgabe 7
gesuchten Ebene.
24
sind
: Gegeben
eine Gerade und eine Ebene,
Aufgabe
sich nicht schneiden. Man bestimme diejenige Ebene,
sowohl auf der Geraden als auch auf der Ebene
gefunden wird, ist dann der Bildkreis
die
die
normal steht.
der
von
—
41
—
Fig. 11 seien U und U' die Projektionen der Enden
gegebenen Geraden, während die Ebene durch den Bild¬
kreis kj gegeben ist.
Legt man durch U und U' irgend
In
der
zwei Kreise
k2
und
k3,
so
ist der Kreis n, der
normal schneidet und der mit Hilfe
von
Aufgabe
kj k2
7
und
ks
gefunden
wird, der Bildkreis der gesuchten Ebene.
Aufgabe 25: Zu zwei Geraden, die in einer Ebene
liegen und die sich nicht schneiden, soll diejenige Ebene
gelegt werden, die auf den beiden Geraden normal steht.
Die beiden Geraden seien gegeben durch die Bilder U
und U', V und V ihrer Enden. Der Kreis k auf dem U U'
V und V liegen, ist der Bildkreis der Ebene, die durch
die beiden Geraden geht. Verbindet man den Schnittpunkt
Tj der Tangenten in U und U' an k mit dem Schnittpunkt
T2 der Tangenten in V und V, so schneidet diese Gerade
k in den Punkten W und W\ Der Kreis, der durch W und
W geht und auf k normal steht, ist der Bildkreis der ge¬
suchten Ebene.
Aufgabe 26 : Man lege durch einen Punkt die Gerade,
die auf einer Ebene normal steht.
k sei der Bildkreis der gegebenen Ebene und Cp
der Bildkreis der Hauptebene des Punktes P0. In Fig. 19
ist
die
getroffen, daß
Bildebene liegt, auf der
Disposition
einer Seite der
so
die Ebene ganz auf
auch der
gegebene
42
—
Punkt Po sich befinden soll.
getroffen,
so
—
Wäre die
Disposition
Prinzip
MP, welche die Mittelpunkte
Cp verbindet, errichtet man in P
bliebe
Auf die Gerade
Kreise k und
die Cp in den Punkten
Punkt B
einen
Hilfskreis
der k noch
gelegt,
gente
MP im
Aj
an
die
Normale,
A2
schneidet. Durch
A1
Schnittpunkt S
N des Kreises
und MP in
irgend
wird ein
in einem zweiten Punkte C
von
BC mit der Tan¬
den Hilfskreis fällt man die Normale auf
Mittelpunkte
A2 geht
und
M und P der
des Kreises k und den Punkt
schneidet. Durch den
in
At
anders
die Konstruktion dieselbe.
im
n
schneidet,
den Punkten U und U'
MAX, die
der durch A, und
trifft, welche
die
Projektionen der Enden der gesuchten Geraden sind. Die
Bestimmung der Umlaufsinne von U und U' bietet keine
Schwierigkeiten mehr. In Fig. 19, wo der Punkt N eigent¬
lich ist haben U und U' gleichen Umlaufsinn wie die Punkte
Aj
und
A2.
Aufgabe
ebene
zu
Man
*
27
:
Man
lege durch
einen Punkt die Normal¬
einer Geraden.
legt
zuerst eine Ebene durch den
gegebenen
Punkt
Po und die Gerade g0 und fällt vom Punkte P0 die Normale
auf g0. Die Ebene, die durch diese Normale geht und die
Ebene durch P0 und g0 rechtwinklig schneidet, ist die ge¬
suchte Ebene. In Fig. 20 sei die Gerade g0 gegeben durch
43
—
die
Projektion U
den Bildkreis
und U' ihrer Enden und der Punkt
Cp seiner Hauptebene.
der Bildkreis der Ebene
mit
Hilfe
von
Schnittpunkt
—
P0 durch
Der Kreis k, welcher
ist, die durch g0
und
P0 geht, wird
Aufgabe 17 gefunden. Die Gerade, die
Tangenten in U und U' an k mit P
S der
bindet, schneidet
Schnittpunkt N,
k in W und W.
der
Der Kreis n, der
in W und W
um
den
ver¬
den
Tangenten
k,
punkt, mit dem Radius NW beschrieben wird, ist der Bild¬
kreis der gesuchten Ebene.
§
7.
Aufgabe
Halbierung
28:
von
an
als Mittel¬
Strecken und Winkeln.
Gegeben sind zwei Ebenen.
Man bestimme
ihre Winkelhalbierenden Ebenen.
Schneiden sich die beiden Ebenen in einer
Geraden,
dann
gibt
es
eigentlichen
zwei Winkelhalbierende Ebenen und
schneiden sie sich in einer
stiert
uneigentlichen Geraden, so exi¬
eigentliche Winkelhalbierende, während die
uneigentlich ist. Unter einer Winkelhalbierenden
nur
andere
eine
zweier Ebenen ist
dabei
eine
solche
gespiegelt
die eine in die andere Ebene
seien
beiden
die
Ebenen
gegeben
verstanden, an der
übergeht. In Fig. 21
durch
ihre
Bildkreise
44
—
kj
und
die sich
k2,
Sx
in
—
und
Hilfskreis h, der normal auf
kj
S2
und
mögen. Ein
schneidet
aus
steht,
k2
schneiden
Bx resp. A2undB2 aus.
Schnittpunkte Wj und W2 von AXA2 und B2B2 resp. AjB2
A2Bj, die auf der Verbindungsgeraden MjM2 der Mittel¬
diesen beiden Kreisen die Punkte At und
Die
und
punkte
S,
von
und
kj
k2 liegen,
S2 gehenden
und
sind die
Bildkreise wx
Mittelpunkte
und
der durch
gesuchten
w2 der
Winkelhalbierenden Ebenen.
Schneiden
sich
ist
die
beiden
eine
gegebenen Ebenen nicht
Winkelhalbierende Ebene
un¬
eigentlich,
dessen
Projektion
eigentlich. Ihr Pol ist derjenige Punkt,
in den Schnittpunkt von MjM2 mit der Potenzlinie von kx
und k2 fällt und dessen Hauptebene einen Bildkreis hat,
so
der
kj
k2
und
Aufgabe
also
normal schneidet.
29: Man konstruiere die mittelnormale Ebene
einer Strecke.
Die
Endpunkte A0
und
errichtet in den
22 gegeben
Hauptebenen. Man
B0 seien in Fig.
durch die Bildkreise Ca und Cb
Mittelpunkten
ihrer
A und B der Kreise
CA und
Cb auf AB die Normalen, die CA und Cb in den Punkten
Aj
und
Punkte
A2
Aj
resp.
und
Bj
Bj
und
B2 schneiden,
auf derselben Seite
und
von
zwar
AB
sollen die
liegen.
Der
45
-
—
Schnittpunkt H von AjB2 und A^, der auf AB liegt, ist
die Projektion des Mittelpunktes der Strecke A0 B0, während
der Schnittpunkt M von AjB: und AaBa, der ebenfalls auf
AB liegt, der Mittelpunkt des Kreises n ist, welcher der Bild¬
gesuchten mittelnormalen Ebene ist. Dieser Kreis
n geht durch die Schnittpunkte Sj und S2 der Normalen in
H auf AB mit dem Kreise, der durch die Punkte AjAgBj
und B2 geht.
Aufgabe 30: Gegeben ist eine Strecke A0B0 auf einer
Geraden g0 und eine weitere Gerade f0. Man trage die
Strecke A0B0 von einem Punkte auf f0 aus auf dieser Ge¬
kreis der
raden ab.
seien g0 und f0 durch die Projektionen U
und U' resp. V und V .ihrer Enden gegeben. AB sei die
In
Fig.
23
der Strecke A0B0.
Projektion
des Punktes
C auf VV sei die
der auf der Geraden f0
C0,
liegt
Projektion
und
von
dem
aus auf f0 gegen das Ende V0 hin die Strecke A0B0 abge¬
tragen werden soll. Man legt zuerst durch A0 und C0 eine
Zu diesem
Gerade.
Zwecke konstruiert
Cc des Punktes C0, indem
man
den Bildkreis
man
über W als Durchmesser
den Kreis zeichnet und diesen mit der Normalen in C auf
VV in den Punkten
Kreis über
Dj
und
D2
zum
Schnitt
DjD2
als Durchmesser ist dann der
bringt.
gesuchte
Der
Kreis
legt man durch die Gerade g0 und den Punkt C0
die Ebene, deren Bildkreis kx ist, vermittelst der Aufgabe 17.
Die Punkte W und W, in welchen ki von AC geschnitten
Cc-
Nun
wird, sind die Projektionen
Der
Bildkreis
k2,
A0C0.
A0C0 und
der Enden der Geraden
der Ebene durch die Geraden
f0, geht durch die Punkte VV'W
den Schnittpunkt L, d. h. normal
und W.
Zieht
man
durch
Lot 1,
gemeinsamen
B, so schnei¬
zum
der Geraden WU und W'U' die Gerade durch
det diese
Kreise
und
k2 irgend
B,
A und B
eine
WW
aus
durch
Gerade
schneiden.
Gerade,
den Punkt
ein
die
k2
Punkt
Bl
aus.
Nun wird auf dem
gewählt und
verbunden, die k2 in
N
Verbindet
in O
trifft,
man
dieser mit A
den
Punkten
dann B mit C
durch
dann schneidet OA die Ge-
46
—
normal
Gerade durch
A2,
so
Lote
r,
Schnittpunkt R,
von
d. h.
VW und W'V die
schneidet diese VV im Punkte D. CD
Projektion
der
übertragenen Strecke C0D0, die
hat wie die Strecke A0B0.
gleiche Länge
In dieser
durch den
man
gemeinsamen
zum
ist dann die
Zieht
A2.
rade WW in
-
Aufgabe
kommt zweimal die
Aufgabe
vor, eine
die durch einen End¬
Strecke auf einer Geraden
abzutragen,
geht, und die Aufgabe, eine Strecke auf
einer Geraden längs derselben zu verschieben. Diese beiden
Aufgaben sind die Aufgaben 1 und 6 der als Beilage zum
punkt
der Strecke
thurgauischen
Programm
der
Schrift
von
M. Grossmann:
tionen
der nichteuklidischen
sind alle
handelt,
der
Kantonsschule erschienenen
„Die fundamentalen Konstruk¬
Geometrie."
In
dieser Arbeit
hauptsächlichen Konstruktionen der Ebene so
Ebenen, die nicht
daß sie für Konstruktionen in
Bildebene
zusammenfallen,
direkt
verwendet
be¬
mit
werden
können.
Die
Aufgabe, eine Strecke zu vervielfältigen,
vorige zurückführen.
einfach auf die
läßt sich
47
—
8.
§
Von
vielen
den
hyperbolischen
—
Parallelenprobleme.
Parallelenproblemen,
Geometrie
in
der
aufstellen lassen, seien hier
nur
die
sich
zwei behandelt.
Aufgabe
gegebene
zu
31:
lege
Man
durch
eine Gerade,
die eine
Ebene nicht schneidet, die beiden Parallelebenen
dieser Ebene.
In
Fig.
24 seien U und U' die
Projektionen
der Enden der
Geraden und k sei der Bildkreis der gegebenen Ebene. Wie
Symetriegründen
sofort
fernen Punkte T0 und
beiden unendlich
der
zwei gesuchten
Ebene, die auf der
folgt, liegen
T'0, in welchen die
Parallelebenen die Ebene k0
gegebenen Geraden
aus
die
und der
treffen, in
gegebenen Ebene
normal steht.
n dieser Normalebene, der mit Hilfe der Aufgabe
gefunden wird, schneidet k in den Punkten T und T,
welches die Projektionen der Punkte T0 und T'0 sind. Die
Mittelpunkte P und P' der Kreise n und n\ die durch die
PunkteT resp.T' gehen und die die Bildkreise der zwei gesuchten
Parallelebenen sind, erhält man, indem man die Verbindungs¬
Der Bildkreis
24
linien
des
Mittelpunktes M des Kreises
T resp. T mit der Mittelnormalen
von
k mit den Punkten
ULF schneidet.
—
zu
48
—
Aufgabe 32: Man konstruiere diejenigen Ebenen, die
gegebenen Ebenen parallel sind.
drei
Die
Ebenen
die sich
drei
Ebenen
(die
je
aber nicht
zu
bestimmen
alle
sechs Winkelhalbierende
eigentlich
zu
sein
brauchen),
dreien in vier Geraden schneiden. Die
Ebenen,
gegebenen parallel sind, stehen zu je zweien
normal auf einer solchen Geraden. Es gibt also eine gerade
Anzahl Lösungen der Aufgabe und zwar höchstens deren acht.
In Fig. 25 seien kxk2 und k3 die Bildkreise der drei ge¬
Mit Hilfe von Aufgabe 28 erhält man
gebenen Ebenen.
die
zu
den drei
die Bildkreise
Ebenen der
wa
w'x
und w2
Kreispaare k2 ks
w'2
resp.
der Winkelhalbierenden
k3 kr
w1 schneidet
nun
die Kreise w2 und w'2 in den Punkten Wj undW\ resp. in
W2 und W'2 und w\ trifft w2 und w'2 in den PunktenW3 u. W8
—
49
—
resp. in
und
W4 und W'4. Die vier Punktepaare VJtWvW2W2, W3W'3
W4W4 sind die Projektionen der Enden der vier Ge¬
raden, in welchen sich die Winkelhalbierenden Ebenen schnei¬
den.
Es kann
der
vorkommen, das hängt
Figur
paare imaginär sind.
von
der
Disposition
ab, daß eines oder mehrere dieser vier Punkte¬
Bemerkt man,
daß die
Normalebene
einer Geraden
Wl0
bezüglich
Fundamentalkugel geht, so sieht man mit
vorigen Aufgabe gemachten Ueberlegungen,
der
Hilfe der in der
daß die beiden
welchen
die
und
W'l0
unendlich
durch ihre
konjugierte Gerade
fernen Punkte
gesuchte Normalebene eine
Tl0
und
der
T'l0,
in
gegebenen
Ebenen, z. B. die Ebene kl0, deren Bildkreis k2 ist, trifft in
liegen, die durch die Gerade Wl0W'l0 geht und
Ebene
der
auf
der Ebene
kl0 normal steht. Man hat also in Fig. 25 durch
Wj und W'j den Kreis nx zu legen, der den Kreis kj in den
Punkten Tj und T\ normal schneidet. Verbindet man den Mittel¬
punkt Mj des Kreises kx mit Tj und Tv so schneiden diese
Geraden WjW'j in den Punkten Pj resp. P'r Die Kreise
jTj und tc\ beschrieben um Pj und P'j als Mittelpunkte und
PjTj resp. P'jT'j als Radien und die auch die Kreise k2
und k3 berühren, sind die Bildkreise zweier der gesuchten
Ebenen. Führt
paare
man
W2W2, W3W3
die Konstruktion auch für die Punkte¬
und
W4W4 durch,
so
erhält
sämt¬
man
liche
Lösungen der Aufgabe 32.
Die Aufgabe verlangt eigentlich nichts anderes als die
Lösung des in der euklidischen Geometrie bekannten Problems
von Apollonius, alle Kreise zu zeichnen, die drei gegebene
Kreise berühren. Durch die eben beschriebene Konstruktion
wird
nun
gelöst.
dieses Problem auch in der
hyperbolischen
Ebene
IV.
Kapitel.
Drehung, Schiebung und Schraubung.
§ 1. Drehung.
Drehung bleiben alle Punkte einer Geraden,
der Drehaxe fest. Die Ebenen, welche durch die Axe ge¬
hen, werden um einen vorgeschriebenen Drehwinkel gedreht.
Die Normalebenen der Axe werden durch die Drehung nicht
verschoben. In der Projektion drückt sich eine Drehung da¬
durch aus, daß die Kreise des Büschels, dessen Grundpunkte
die Projektionen der Enden der Drehaxe sind, in andere
Kreise des Büschels übergehen, die die entsprechenden ur¬
sprünglichen Kreise unter Winkeln schneiden, die gleich
dem vorgeschriebenen Drehwinkel sind. Die Kreise des Bü¬
schels, deren Nullkreise die Projektionen der beiden Enden
der Drehaxe sind, werden durch die Drehung nicht geändert.
Bei einer
Aufgabe 33 : Man drehe einen Punkt um eine Axe um
vorgeschriebenen Winkel w.
In Fig. 26 sei die Drehaxe g0 durch die Projektionen
U und U' ihrer Enden gegeben, während man vom gegebenen
Punkt P0 den Bildkreis Cp seiner Hauptebene kennt. Man
legt zuerst durch g0 und P0 eine Ebene k0 und fällt in der¬
einen
selben
von
P0 die Normale
Punkte D0 schneidet.
Normale n*0 durch
den
auf die Axe g0, die g0 im
Drehung geht
gedrehten Punkt P*0
wieder im Punkte D0 und
auf diese
n0
Nach der
es
ist P0D0
=
die
gedrehte
und trifft g0
P*0D0.
Gestützt
Betrachtungen gestaltet
gendermaßen. Um den Bildkreis k
go
zu
als in
sich die Konstruktion fol¬
der Ebene durch P0 und
konstruieren, wird hier eine andere Methode gegeben
Aufgabe
17. Man schneidet einen
der durch U und U'
geht
beliebigen
Kreis
mit CP in den Punkten A und A'.
h,
Legt
51
—
man
durch
P
Gerade,
eine
—
die UU' in demselben Punkte
B schneidet wie die Gerade
AA', so geht der Kreis k außer
durch U und U' durch die Schnittpunkte C und C der Geraden
BP mit dem Kreise Cp. Der Kreis k*, der k unter dem Winkel a>
schneidet, ist der Bildkreis der Ebene k*0 die durch Drehung um
Durch den Schnittpunkt Pk der beiden
eu aus k0 hervorgeht.
U
U' an k und den Punkt P zieht man
in
und
Tangenten
die Gerade n, die das Bild der Normalen n0
vom
Punkte P0 auf
go ist und die UU' im Punkte D und den Kreis k in N und
N' schneidet.
der
Dann zieht
Tangenten
n*, die
Gerade
in
U
man
und U'
durch den
an
Schnittpunkt P*k
k* und den Punkt D die
das Bild der Normalen n*0
von
P*0 auf die
n* schneidet k* in den Punkten N* und N'*, wo
Bezeichnung so angeordnet ist, daß N* das Bild des¬
jenigen Punktes ist, der durch die Drehung aus dem Punkte
N0 hervorgeht. Zieht man durch den Schnittpunkt L von
NN* und N'N'* und den Punkt P die Gerade, so schneidet
diese aus n* den Punkt P* aus, der die Projektion des ge¬
Axe ist.
die
drehten Punktes ist.
52
—
—
Aufgabe 34: Man drehe eine Gerade
vorgeschriebenen Winkel w.
um
eine Axe
um
einen
Die Drehaxe sei
U und
Die
V
U'
Kreise
gehen
die leicht
die
und
kj
und
k2
durch die
Fig
27
wiederum
man
U, U' und
durch
Drehung
und N' erhielt.
V resp.
über in die Kreise
der letzten
Hier
Aufgabe
U, U'
k*x
und
und
k*2
Projektionen
gleiche Weise fin¬
nun
gedrehten Geraden auf
in
gegeben durch
drehende Gerade durch V und V.
finden sind. Man könnte
zu
V* und V* der
den, wie
in
zu
N*
die
und
N'*
aus
N
mögen die beiden Punkte auf andere
Weise konstruiert werden.
Die Punkte V und V
bewegen
Mittelpunkte
M und M' dieser Kreise n und n' sind die Schnittpunkte der
Tangenten in V an kt resp. V an k2 mit der Geraden UU',
während die Radien die Länge MV resp M'V haben. Da
sich
wo
die
während
k*j
den
der
Kreis
Drehung
n
und
auf Kreisen.
k*2
den
Die
Kreis n' schneidet, sind
Punkte V* resp. V'*, die die Projektionen der unend¬
lich fernen Punkte der gedrehten Geraden sind.
—
53
—
Aufgabe 35 : Man drehe eine Ebene um eine Axe
einen vorgeschriebenen Winkel w.
In Fig. 28 sei die Drehaxe durch U und U' und
um
die
Ebene durch ihren Bildkreis k mit dem
geben.
Mittelpunkte M, ge¬
Der Kreis n, der normal auf k steht und die Punkte
U und U' enthält, geht durch die Drehung über in den Kreis
n*, der den Kreis n unter dem Drehwinkel w schneidet. Die
Schnittpunkte
des Kreises
Die Kreise Pj und p2, die
MTj
P1T1
um
mit dem Kreise k seien
die
Tt und T2.
Schnittpunkte Px und P2 von
MT2 mit UU' als Mittelpunkte und den
resp. P2T2 als Radien beschrieben sind,
resp.
Bildkreise
zur zu
Strecken
sind
die
Ebenen, die normal zur Drehaxe stehen und
drehenden Ebene parallel sind. Da die gedrehte Ebene
zu
diesen
so
muß
Die
n
von
beiden Normalebenen wieder
ihr Bildkreis
k*
Berührungspunkte T*x
die
und
Kreise
T*2
parallel
sein
muß,
pr und p2 berühren.
sind
die
Schnittpunkte
der Kreise px resp. p2 mit dem Kreise n*, der durch die
Drehung aus dem Kreise n hervorgeht. Der Mittelpunkt M*
von
k* ist dann der
und
P2T*2.
Schnittpunkt
der beiden Geraden
PjT^
54
—
Ist
—
§ 2. Schiebung.
uneigentlich, so
die Drehaxe
Polare
ist ihre
eine
längs dieser Geraden
Enden
dieser
Die
beiden
sog. Schiebungsgeraden
geschoben.
bleiben fest, während ihre eigentlichen Punkte um eine und
dieselbe Strecke, der Schiebungsstrecke, verschoben werden.
Alle Ebenen, die durch die Schiebungsaxe gehen, sind der
Schiebung gegenüber invariant, d. h. die Lage aller Kreise
des Büschels, dessen Grundpunkte die Projektionen der Enden
der Schiebungsaxe sind, wird durch die Schiebung nicht ver¬
ändert, während die Kreise des konjugierten Büschels in
andere Kreise desselben übergehen.
eigentliche Gerade.
um
und
der
Der Raum wird
Aufgabe 36: Man schiebe einen Punkt längs einer Axe
gegebene Schiebungsstrecke.
In Fig. 29 ist die Schiebungsaxe g0 gegeben durch U
U'. Die Punkte A und B auf UU' sind die Projektionen
Endpunkte A0 und B0 der Schiebungsstrecke. Der zu
eine
schiebende Punkt P0 sei wieder durch den Bildkreis Cp seiner
Hauptebene gegeben.
Man
legt
zuerst durch die
Schiebungs¬
go und den Punkt P0 eine Ebene mit Hilfe von Auf¬
gabe 17. k sei ihr Bildkreis. Durch den Schnittpunkt Pk der
axe
Tangenten
in
U und
U'
an
k,
und durch P
legt
man
die
55
—
—
Gerade n, die k in den Punkten N und N' trifft. Nun schneidet
N'A
man
V mit k
in
zieht
und
Kreis k noch in R schneidet.
die
Schnittpunkt
Geraden NR und UU' und durch Pk zieht
n*, die
Seite
man
S der
die Gerade
N* auf derselben
wo
liegt wie N. Der Schnittpunkt
derjenigen Geraden, die durch P und
der Geraden
der beiden Geraden NN* und N'N'*
geht ist
geschobenen Punktes P*0
der
Punkt
zu
punkt
T
Punkt
P*,
Hat
schieben,
der die
man
Projektion
speziell
B. N'0
des
einen
unendlich
(Fig. 29),
einfacher, indem nämlich
z.
so
fernen
gestaltet
ist.
sich die Konstruk¬
Gerade
die
den Schnitt¬
n*, die
aus
n
Schiebung hervorgeht, aus k die Projektion N'*
geschobenen unendlich fernen Punktes ausschneidet.
durch
des
schneidet,
UU'
von
n* mit
tion
und N'*
k in N*
VB, die den
Gerade
Durch den
die
Aufgabe 37: Man schiebe eine Gerade längs einer Axe
vorgeschriebene Schiebungsstrecke.
Die Schiebungsaxe sei in Fig. 30 wieder gegeben durch
die Projektionen U und U' ihrer Enden und die Schiebungs¬
strecke möge wieder durch ihre Projektion AB gegeben sein.
um
eine
V und V seien die
Geraden.
die
Kreise
punkte
der
Man
Projektionen der Enden der zu schiebenden
legt nun durch UU' und V resp. UU' V
\ resp. k2. Mit 1\
Tangenten in U und
und
U'
an
T2
kt
seien die Schnitt¬
resp.
k2
bezeichnet.
56
—
von
in
VT1
Geraden
Die
und
—
die die
VT2,
Bilder der Normalen
Vo resp. V'0 auf die Schiebungsaxe sind, schneiden UU'
Schiebung gehen Ax und A2 in
B2 über, die auf folgende Weise ermittelt
Bx
Wählt man irgend einen Punkt C auf k2, so schneiden
Ajresp. A2.
die Punkte
werden.
Durch die
und
CA und CB den Kreis in den Punkten A resp. B.
schneiden
k2
die Geraden
Bj
BCX
und
BC2
Cj
resp.
UU' in den
Punkte V* und
B2. Die
BxTx und B2T2
resp.
raden
die auf
die
in den Punkten
gleicher
Projektionen
Seite
die Kreise
von
V'*,
kx
C2.
AAxundAA2
Endlich treffen
gesuchten
Punkten
in welchen die Ge¬
resp.
k2
schneiden und
liegen wie V resp. V, sind
der geschobenen Geraden.
UU'
der Enden
Aufgabe 38 : Man schiebe eine Ebene längs einer Axe
vorgeschriebene Strecke.
In Fig. 31 sei die Axe wieder durch U und U' gegeben und
die Schiebungsstrecke durch die Projektionen A und B ihrer
Endpunkte, k sei der Bildkreis der zu schiebenden Ebene.
Der Kreis n, der durch U und U' geht und k in den Punkten
um
T\
eine
und
Ta
normal schneidet und der mit Hilfe der
verändert sich
Aufgabe
infolge der Schiebung nicht
Die Punkte T*x und T*2, die durch die Schiebung aus Tt und T3
23
gefunden wird,
57
—
hervorgehen, findet man vermittelst der für den speziellen Fall
der Aufgabe 36 gegebenen Konstruktion. Die Tangenten in T*j
und T*2 schneiden sich im Mittelpunkte M* des Kreises k*,
welcher durch die Punkte T*j und T*2 geht und der Bildkreis
der geschobenen Ebene ist.
Hat
Ebenen,
§
Fig.
in
man
findet
3.
Schraubung.
die
28
Bildkreise k und
k*
zweier
Projektionen U und U' der Enden
irgend einer der unendlich vielen Drehaxen, um die gedreht
die eine in die andere Ebene übergeht, indem man irgend
zwei Kreise
p1 und p2 zeichnet, die k in den Punkten Tt
so
Ta
resp.
man
die
und k* in den Punkten
T\
Punkte U und U' sind dann die
n*,
der in den Punkten
k*
steht, mit dem Kreise
Der Winkel
den, ist
Sind
der
in
T\
Drehwinkel,
den
T*2
Tx
n, der in
der
T*2
berühren. Die
zur
des Kreises
normal auf dem Kreise
und
sich die Kreise
unter dem
w,
und
resp.
Schnittpunkte
T2
k normal trifft.
n
und n* schnei¬
gefundenen
Axe
gehört.
Ebenen k0 und k*0 zwei Axenkreuze ge¬
geben, deren Schenkel normal aufeinander stehen
und die
vorgeschriebener Weise miteinander zur Deckung gebracht
sollen, so hat man mit dem Raum eine Schraubung
auszuführen. Eine Methode, die Schraubungsaxe zu konstru¬
ieren, ist von Mettler gegeben worden8). Man hat dabei eine
der Ebenen mit der andern Ebene durch Drehung um eine
erste Axe, die mit Hilfe der am Anfang dieses Paragraphen
gegebenen Konstruktion gefunden wird, zur Deckung zu
bringen und nachher die einederzusammengeklappten Ebenen
eine zu dieser normalen zweiten Drehaxe (die auch
um
uneigentlich sein kann) zu drehen. Diese letztere Drehaxe
wird mit Hilfe der Aufgabe 26 und der Aufgabe 5 der be¬
reits erwähnten Großmann'schen Arbeit9) gefunden. Hat man
drei Paare solcher Drehaxen, so ist die Konstruktion der
in
werden
Schraubungsaxe möglich8).
8)
E. Mettler
:
Anwendung
der
stereographischen Projektion
struktionen im nichteuklidischen Räume.
9) vergl. Kap.
III
§
7.
Diss. Zürich
1916.
auf Kon¬
—
—
§ 4. Umklappung.
man
beliebige Ebene, so ist es möglich diese
eine Drehung resp. Schiebung in die Bildebene zu
eine
Hat
durch
58
klappen. Ist ihr Bildkreis ein Ueberkreis mit der Schnittlinie
als Axe, so ist die Umklappung eine Drehung um die Axe
a
umgeklappten Geraden schnei¬
den sich in Punkten auf der Axe a. Ferner liegt die Pro¬
jektion eines Punktes mit dem umgeklappten Punkte auf
einer Normalen zu a.# Hat man also die Umklappung eines
Punktes einer Ebene, so kann man durch Ziehen von Geraden
a.
Die
die
Originalgeraden
und die
Umklappung weiterer Punkte derselben konstruieren.
umzuklappende Ebene die Bildebene nicht, dann
die Umklappung eine Schiebung längs derjenigen Geraden,
Schneidet die
ist
die auf der Ebene und der Bildebene normal steht.
Aufgabe 39 : Man klappe eine Ebene und einen in ihr
liegenden Punkt in die Bildebene um.
Ist in Fig. 32 k der Bildkreis der umzuklappenden Ebene,
so ist ihr Mittelpunkt M die Projektion der Schiebungsaxe,
die eine
projizierende Gerade ist. P sei die Projektion des
liegenden Punktes. Da die Umklappung einer
in der Ebene
59
—
—
Ebene in eine zweite nichts anderes ist, als eine Spiegelung
einer der beiden Winkelhalbierenden Ebenen, so hat man,
an
nachdem eine solche Ebene
der
umzuklappen ist,
bierende Ebene
Ebene
zu
In
nur
gefunden ist,
durch den
Punkt,
die Normale auf diese Winkelhal¬
fällen und diese Norrriale mit der zweiten
zu
schneiden.
Fig.
32 ist diese Winkelhalbierende Ebene die mittel¬
normale Ebene m0 der
Strecke,
die auf der
gegebenen Ebene
und der Bildebene normal steht. Diese Ebene resp. ihr Bild¬
kreis m wird folgendermaßen gefunden. Der Punkt U auf
Peripherie von k ist die Projektion eines Punktes, der
Umklappung in den unendlich fernen Punkt U*
der Halbgeraden MU übergeht. Der Grenzkreis g, auf welchem
der Punkt U liegt und dessen unendlich ferner Punkt U*
der
durch die
ist, hat den Kreis
m
normal
Berührungspunkten T1
und
zu
T2
schneiden und
der
Tangenten
zwar
von
M
in den
an
den
Grenzkreis g, die mit Hilfe von Aufgabe 10 gefunden werden.
Den umgeklappten Punkt P* findet man dadurch, daß man
durch die
Schnittpunkte Ax und A2 der Normalen in P auf
zeichnet, der m normal schneidet.
eigentlicher Kreis, Grenzkreis oder
Ueberkreis, je nachdem P außerhalb, auf der Peripherie
oder innerhalb des Kreises k liegt. Der Schnittpunkt der
MP mit k, den Kreis p
Dieser Kreis p ist ein
Axe
des
a
Ueberkreises p
mit MP ist dann der
gesuchte
Punkt P*.
Soll
nun
ein weiterer Punkt
umgeklappt werden,
von
so
Geraden erreichen.
karin
man
1,
mit k
in
wo
V und
V
der
gegebenen Ebene
das durch bloßes Ziehen
Man verbindet M mit dem Schnitt¬
punkt Pk der Tangenten in V
rade
Q0
die
und V
Schnittpunkte
sind und fällt durch P* auf 1
k durch die Ge¬
an
die
der Geraden
PQ
Normale, die MQ
Q* schneidet.
§
Gibt
5. Dreikant und Dreieck.
man
Winkel, die zusammen höchstens drei
gestreckte Winkel ausmachen, so ist es leicht ein Dreikant
drei
60
—
—
gleich den gegebenen
eigentliche, unendlich ferne oder
uneigentliche Spitze, je nachdem die Winkelsumme größer,
gleich oder kleiner als ein gestreckter Winkel ist. Ist die
Spitze des Dreikants uneigentlich, so existiert eine Ebene
zu
dessen drei Winkel
konstruieren,
sind.
Dieses Dreikant hat
Dreikants normal stehen und
auf der die Ebenen des
der sie ein Dreieck mit den
schneiden.
Klappt
man
vorgeschriebenen
Winkeln
aus
aus¬
diese Normalebene in die Bildebene
so erhält man das Dreieck, dessen Winkel die gegebenen
sind, in wahrer Größe.
um,
Aufgabe
40
:
Man konstruiere ein Dreieck
aus
drei ge¬
Winkeln.
gebenen
In Fig.
33 seien die Winkel
gegeben, die
sind.
Man
r
nun
von
AEB, ß
=
CED
gestreckter Winkel
man
irgend
auf der
E bis A' dieselbe Strecke
r
ab.
der Ueberkreise durch A' und
D',
von
Schnittpunkt M,
r
BEC und j-
Ebenso trägt
deren Axen die Geraden EB resp. EC
und der Strecke
=
auf der Normalen in E auf ED
E bis D' ab.
Normalen in E auf EA
Um den
=
kleiner als ein
zusammen
trägt
eine Strecke
a
sind,
als Radius beschreibt
als
man
Mittelpunkt
den Kreis k.
—
61
—
k, EB und EC sind die Bildkreise der Ebenen, die ein Drei¬
vorgeschriebenen Winkeln a ß und y bilden.
Die beiden letzteren sind projizierende Ebenen. Der Kreis
n, dessen Mittelpunkt E ist und der k normal schneidet, ist
kant mit den
der Bildkreis der
Ebene, die die drei Ebenen des Dreikants
normal schneidet und die
von
denselben also in einem Drei¬
geschnitten wird, dessen Winkel aß und
Verbindungslinie der Schnittpunkte V und V der
ecke E0G0H0
Die
k
und
n
schneidet
dann
aus
EB und
EC
y sind.
Kreise
die Punkte G
Dreiecks ist
E,
resp. H aus. Eine Ecke des umgeklappten
während die andern beiden in den Schnittpunkten G* und
H* der Parallelen
resp. EH
liegen.
zu
den
Halbgeraden EV
und
EV, mit EG
Lebenslauf.
Ich, Karl
Dändliker
28. Juli 1894 in Baar
Hombrechtikon, wurde
von
geboren.
In
Aadorf,
Oerlikon besuchte ich die Primarschule.
trat
ich in
ging
1909
das
in
Gymnasium
kantonale
Sommer 1913 die
Maturitätsprüfung
1913 bis 1918 studierte ich
für Mathematik und
Physik
Hochschule in Zürich.
der
an
der
Zürich
in
über,
bestand.
Diplomprüfungen.
ich
Herrn Prof. Dr. Großmann
Im März
in
ich im
Technischen
1914/15
war
ich
1918 bestand ich
Wintersemester
die
ein und
wo
Vom Herbst
Eidgenössischen
wegen Grenzdienstes beurlaubt.
1907
Abteilung für Fachlehrer
Im Wintersemester
Im
Frühjahr
Im
die Industrieschule Zürich
am
Winterthur und
1918/19 durfte
darstellender Geometrie
assistieren.
Es
ist mir eine
angenehme Pflicht,
Lehrer Herrn Professor Dr. M.
Dank
auszusprechen
Abfassung
Großmann, meinen herzlichen
für seine
der Arbeit sehr
zu
meinem verehrten
Ratschläge,
die mir bei der
statten kamen.