Wahrscheinlichkeitsrechnung

Abiturvorbereitung
Wahrscheinlichkeitsrechnung
S. 1 von 9
Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Kombinatorik
Formeln für Wahrscheinlichkeiten
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Zusammenfassung wichtiger Begriffe
Übungsaufgaben
Kombinatorik
Modell: In einem Gefäß befinden sich n Kugeln, die sich durch ein Merkmal (z.B. Nummer oder Farbe)
unterscheiden lassen; es werden k Kugeln gezogen. Dann ergeben sich folgende 4 Fälle:
(1) Geordnet mit Zurücklegen
Beispiele:
• Anzahl Kombinationen Zahlenschloss
• Wiederholtes Würfeln, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt
• Toto
Anzahl = n⋅n ⋅n … ⋅n = n
k
(2) Geordnet ohne Zurücklegen
Beispiel: Ziehung 1. Preis, dann 2. Preis ...
Anzahl = n⋅(n−1)⋅(n−2) … ⋅(n−k+1) =
n!
= n ⋅ k!
(n−k)!
k
()
Sonderfall k = n:
Beispiel: Anordnung von n unterschiedlichen Gegenständen in einer Reihe
Anzahl = n! = 1⋅2⋅3 … ⋅n
(3)
Ungeordnet mit Zurücklegen
Beispiele:
• Wiederholtes Würfeln, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt
• Man hat je 5 €-Münzen aus Deutschland,Frankreich, und Italien. Wie viele Möglichkeiten gibt es
einen 5-€-Betrag zu bezahlen?
(
)
(n+k−1)!
Anzahl = n+k−1 =
k!⋅(n−1)!
k
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(4) Ungeordnet ohne Zurücklegen
Stichwort: Ziehung mit einem Griff
Beispiel: Ziehung der Lottozahlen
Anzahl =
n⋅(n−1)⋅(n−2) … ⋅(n−k+1)
n!⋅(n−k)!
=
= n
k!
k!
k
()
Formeln für Wahrscheinlichkeiten
Sei Ω die Menge aller Ereignisse (z.B. Ω = { 1,2,3,4,5,6 } beim Würfeln); A, B seien Teilmengen von Ω (z.B.
A = { 1,3,5 } die Menge "ungerade Augenzahl").
Die Wahrscheinlichkeit einer Ereignis-Menge M sie mit P(M) bezeichnet. Dann gilt:
P( Ω) = 1
P(A) ≤ 1
P(A) = 1 - P(A)
wobei A das "komplementäre" Ereignis zu A bezeichnet,
also A = Ω) \ A
P (A∪B)=P(A)+P (B)−P(A∩B)
Sonderfall wenn A und B disjunkt sind (= Schnittmenge ist leer):
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P (A∪B)=P(A)+P (B)
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Bei der Durchführung eines Zufallsexperiments können (gleichzeitig) mehrere Ereignisse eintreten, wie
folgende Beispiele zeigen:
Beispiel 1: Einmal mit einem normalen Würfel einmal Würfeln
Dann ist Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Sei A das Ereignis "Gewürfelte Zahl grösser oder gleich 4", d.h. A = { 4, 5, 6 }
Sei B das Ereignis "Gewürfelte Zahl ist ungerade", d.h. B = { 1, 3, 5 }
Wenn eine "5" gewürfelt wurde, sind beide Ereignisse eingetreten.
Beispiel 2: Auswahl einer Person aus einer Menge von Menschen
Sei Ω die betrachtete Menge von Menschen.
A das Ereignis "Person ist männlich".
B das Ereignis "Person ist farbenblind"
Wird eine männliche farbenblinde Person ausgewählt, dann sind beide Ereigniss eingetreten.
Beispiel 3: Auswahl eines Produkts zur Qualitätskontrolle
Bei der Herstellung eines Geräts treten folgende Fehler auf:
A: Farbfehler im Schnitt bei 3% der Geräte.
B: Abmessungen nicht eingehalten im Schnitt bei 4% der Geräte.
Wenn ein Gerät beide Fehler aufweist, dann sind beide Ereignisse eingetreten.
Definition
P A (B) =
P A (B)
P(A∩B)
P(A)
heißt die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter A.
repräsentiert die relative Häufigkeit von B unter den Fällen, in denen A eingetreten ist.
Im o.g. Beispiel 1 gilt:
P A (B)=
1
3
(die anderen Beispiele werden noch betrachtet)
Definition
B heißt unabhängig von A, wenn gilt:
P A (B) = P (B) .
Satz
Wenn B von A unabhängig ist, dann ist auch A unabhängig von B (und umgekehrt).
Man sagt dann: "A und B sind voneinander unabhängig" bzw. "
"A und B sind unabhängige Ereignisse".
Satz
A und B sind genau dann unabhängig, wenn gilt
P (A∩B) = P(A) ⋅ P(B) .
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Zusammenfassung wichtiger Begriffe
Laplace-Experiment
Alle Einzel-Ereignisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.
z.B. bei gleichmäßigem Würfel
Bernoulli-Experiment
n-fache unabhängige Wiederholung eines Experiment,
bei dem 2 komplementäre Ergebnisse möglich sind.
z.B. mehrfaches Werfen einer Münze
Binomial-Koeffizient
()
n
k
Ω
Menge aller Ereignisse
z.B. { 1,2,3,4,5,6 } beim Würfeln
A, B
Teilmenge von Ereignissen
z.B. { 2,4,6 } beim Würfeln
P(A)
Wahrscheinlichkei von A
PB(A)
Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B
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Übungsaufgaben
(1)
Ein Kartenspiel enthalte 32 Karten:
Die Karten 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, As jeweils in den 4 sog. Farben Kreuz, Pik, Herz, Karo.
Es werden 4 Karten gezogen. A sei das Ereignis "lauter Könige". Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit
von A?
Lösung:
Es handelt sich um eine ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen mit n = 32 und k = 4.
Die Anzahl der Möglichkeiten beträgt daher
n!
32!
32⋅31⋅30⋅29
32 =
=
=
= 35960 ,
(n−k)!⋅k!
28!⋅
4!
4⋅3⋅2⋅1
4
( )
P (A) =
1
≈ 0,000028
35960
.
(2) Wie viele Möglichkeiten gibt es 12 unterschiedliche Kugeln auf 3 Fächer zu verteilen?
Lösung:
Mögliches Vorgehen: Pro Kugel zieht man ein Los mit den Nummern 1, 2 oder 3; die Nummer auf
dem Los
entscheidet in welches Fach die betreffende Kugel kommt. Diesen Vorgang wiederholt man 12 mal.
Dies entspricht einem Ziehen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge (denn es ist
ja egal, in welcher Reihenfolge die Kugeln in einem Fach landen).
Die Anzahl der Möglichkeiten beträgt daher
(
12+3−1 = 14! = 14⋅13 = 91
12!⋅2
2
12
)
(3) In einer Bevölkerung haben 15% eine Lactose-Allergie. Wieviele Personen (n) muss man mindestens
befragen, um mit mindestens 90% eine Person mit der Allergie zu finden?
Lösung:
Es liegt die n-fache Wiederholung eines Zufallsexperimentes vor, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit im
Einzelfall 0,15 beträgt.
Das Ereignis A sei so definiert:
A: Mindestens eine Person von n befragten Personen hat die Allergie.
Wir betrachten das komplementäre Ereignis A: Keine der n befragten Personen hat die Allergie, weil
sich die Wahrscheinlichkeit von A einfach berechnen läßt.
Es gilt
n
̄ ) = 1 − (0,85)
P(A) = 1 − P( A
P(A) ≥ 0,9
↔
n
1 − (0,85) ≥ 0,9
.
↔
n ⋅ ln(0,85) ≤ ln(0,1)
Weil ln(0,85) < 0 ist,
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n
(0,85) ≤ 0,1
↔
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dreht sich bei Division durch ln(0,85) das Vorzeichen um, und man erhält:
n ≥
ln(0,1)
= 14,17
ln(0,85)
Es müssen daher mindestens 15 Personen befragt werden.
(4)
Ein Glücksrad hat 10 gleich große Sektoren mit den Ziffern 0 - 9. Das Glücksrad wird fünfmal gedreht.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man genau drei gleiche Ziffern?
Lösung:
Die Aufgabe ist gleichwertig damit, fünf Felder mit jeweils mit einer der Ziffern 0 - 9 zu belegen.
Die Gesamtzahl der möglichen Belegungenaller Felder ist 105 .
3
Für die Auswahl von 3 Feldern aus 5 Feldern gibt es
Möglichkeiten.
5
Wenn man davon ausgeht, dass in den o.g. 3 Feldern jeweils die gleiche Ziffer steht, und in den beiden
verbleibenden Feldern jedoch andere Ziffern stehen sollen, dann gibt es für die Besetzung dieser
verbleibenden Felder noch 9 ⋅9 Möglichkeiten.
()
Für das Ereignis A = "genau 3 gleiche Ziffern" gilt somit:
P(A) =
(5)
Anzahl der günstigen Ereignisse
Anzahl der möglichnen Ereignisse
=
()
5 ⋅10⋅1⋅1⋅9⋅9
3
10 5
= 0,081
In einer Menge von Menschen seien die RaucherInnen wie folgt verteilt:
Männl. (M)
Weibl. (W)
Summe
Raucher (R)
100
150
250
Nichtraucher (N)
300
450
750
Summe
400
600
1000
Sind die Ereignisse R und M unabhängig?
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Lösung:
P(R ∩M)=0,1
→
P(R )=0,25
P(M)=0,4
→
P(R ∩ M) = P(R)⋅P(M)
R und M unabhängig
oder
P M (R) =
100
1
=
400
4
P(R ) =
250
1
=
1000
4
→ R und M unabhängig.
(6) Ein Tennismatch besteht aus maximal drei Sätzen. Das Match gewinnt der Spieler, der zuerst
zwei Sätze für sich entscheidet. Erfahrungsgemäß gewinnt Hans gegen Klaus zwei von drei Sätzen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit dauert das Match nur zwei Sätze?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann Klaus das Match für sich entscheiden?
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei Hans einen einzelnen Satz gewinnt, beträgt
2
3
, bei Klaus beträgt sie
a)
P( nur 2 Sätze) =
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2 2
1 1
5
⋅ + ⋅ =
3 3
3 3
9
1
3
.
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b)
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Das Ereignis A: "Klaus entscheidet das Match für sich" tritt ein, wenn
- Klaus die beiden ersten Sätze gewinnt,
oder
- Hans und Klaus gewinnen je einen der beiden ersten Sätze und Klaus den dritten.
P(A) =
(7)
2 1 1
1 2 1
1 1
7
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =
3 3 3
3 3 3
3 3
27
In einer Klinik soll die Wirksamkeit eines neuen Medikaments getestet werden. Das Medikament
wird in Packungen zu je 10 Tabletten abgegeben, wobei je eine Tablette nur ein Placebo ist.
a) Ein Patient entnimmt einer Packung nacheinander zwei Tabletten. Berechne die Wahrscheinkeiten folgender Ereignise:
A: "Nur die erste Tablette enthält das Medikament",
B: "Beide Tabletten enthalten das Medikament",
C: "Eine der beiden Tabletten ist das Placebo".
b) Eine weitere Packung ist äußerlich identisch mit der anderen, enthält jedoch zwei Placebos.
Ein Patient bekommt beide Packungen; er wählt eine davon aus und entnimmt ihr eine Tablette.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält diese Tablette das Medikament?
Lösung:
a) A
P(A) =
9 1
1
⋅ =
10 9
10
a) B
P(B) =
9 8
8
4
⋅ =
=
10 9
10
5
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
a) C
P(C) =
9 1
1
2
1
⋅ +
=
=
10 9
10
10
5
b)
D sei das Ereignis "Tablette enthält das Medikament".
P1 = "Patient wählt Packung 1".
P2 = "Patient wählt Packung 2".
P(D) =
1 9
1 8
17
⋅
+ ⋅
=
2 10
2 10
20
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