Skriptteil S.5-8

Formelsammlung zur Mathematik I für die Beruflichen
Fachrichtungen EL und LG
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x Wohlordnungsprinzip in N : In jeder nicht leeren Teilmenge A Ž N gibt es ein eindeutig
bestimmtes kleinstes Element, das sogenannte Minimum.
x Vorgänger- und Nachfolgerbeziehung in Z : Jede ganze Zahl mZ besitzt zwei eindeutige „Nachbarn“, nämlich m 1 und m 1 .
x Abzählbarkeit von Q : Die rationalen Zahlen xQ lassen sich eineindeutig den natürlichen Zahlen zuordnen oder anders ausgedrückt: Alle xQ können so in einer Kette hintereinander aufgereiht werden (z.B. nach dem Cantorschen Schema), dass jede Zahl in
dieser Kette ihren eindeutigen Platz findet.
x Vollständigkeit von R : Jedem Punkt auf der (kontinuierlichen) Zahlengeraden entspricht
eineindeutig eine reelle Zahl xR, charakterisiert durch eine endliche oder unendliche
b1
b2
b3
x c,b1 b 2 b 3 c 2 3 mit
Dezimalbruchentwicklung der Form
10 10
10
cZ und bi ^0,},9` .
p
Q und der Form ihrer b-adischen Darstellung
x Zwischen den rationalen Zahlen x
q
besteht ein enger Zusammenhang, welcher die Unterteilung des Zahlbereichs R der reellen Zahlen in die rationalen und die irrationalen Zahlen anhand ihrer b-adischen Entwicklungen offensichtlich macht. Demnach gilt für eine beliebige reelle Zahl xR :
x
p
Q (d.h. x ist rationale Zahl) œ
q
x R \ Q (d.h. x ist irrationale Zahl) œ
Die b-adische Darstellung von x ist bezüglich jeder beliebigen Basis bN , b t 2
endlich oder unendlich periodisch.
Die b-adische Darstellung von x ist bezüglich jeder beliebigen Basis bN , b t 2
unendlich nicht-periodisch.
Man beachte dabei, dass die Menge sämtlicher endlicher und unendlicher Dezimalbrüche
überabzählbar ist (Beweis mit dem Cantorschen Diagonalverfahren).
x Möglichkeit der Anordnung in R : Je zwei reelle Zahlen x,yR lassen sich hinsichtlich
ihrer Größe vergleichen. Speziell gilt für alle Zahlen xR , x z 0 : x 2 ! 0 .
Rechengesetze (Körperaxiome) der reellen Zahlen
Gesetze der Addition
Assoziativgesetz:
Kommutativgesetz:
Existenz eines neutralen
Elements:
Existenz von inversen
Elementen:
x + (y + z)
x+y
(x + y) + z
Gesetze der Multiplikation
x˜(y˜z)
y+x
x˜y
x+0=x
x + (x)
(x˜y)˜z
y˜x
x˜1 = x
0
x˜x
1
1 für x z 0
mit x
1
1/x
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Distributivgesetz:
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x˜(y + z)
x˜y + x˜z
Satz:
Aus den Rechengesetzen folgt u.a. für beliebige reelle Zahlen x,y,z  R :
(i)
x ˜0
0
sowie (ii)
x ˜ (y)
(x) ˜ y
(iii) (x z 0) š (y z 0) Ÿ x ˜ y z 0 bzw. x ˜ y
xy , (x) ˜ (y)
xy
(Vorzeichenregeln) und
0 Ÿ (x 0) › (y 0) (Nullteilerfreiheit in R ).
Bemerkungen:
x Jeder Zahlenbereich, der die angegebenen Rechengesetze erfüllt, heißt ein Körper: Insbesondere sind also die Zahlbereiche R und Q Körper, N und Z hingegen nicht.
x Ein wichtiger Spezialfall für die Klammerrechnung als Anwendung des Distributivgesetzes
sind die Binomischen Formeln:
1. Binom:
2. Binom:
3. Binom:
a b 2
a 2 2˜ab b 2
a b 2 a 2 2˜ab b 2
a b ˜ a b a 2 b 2
für a,bR beliebig,
für a,bR beliebig,
für a,bR beliebig.
Rechengesetze für Brüche
Für beliebige (reelle) Zahlen a,b,c,dR bzw. Terme mit b z 0 , d z 0 gilt:
Bruchoperation:
Gleichheit von Brüchen
Ergebnis:
a
b
c
d
œ
a ˜c
b ˜c
Erweitern / Kürzen
a
b
Addition / Subtraktion
a c
r
b d
Multiplikation
Division
a ˜d
(c z 0)
a ˜d r b ˜c
b ˜d
a c
˜
b d
a c
:
b d
b ˜c
a ˜d
b ˜c
a ˜c
b ˜d
(c z 0)
Bemerkung:
Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen ist die Suche nach dem Hauptnenner enorm
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wichtig. Dieser ist i.a. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aus den Nennern der einzelnen beteiligten Brüche und kann nach folgender Methode ermittelt werden kann:
x Zerlege zunächst jeden Nenner in seine Bestandteile (Faktorisierung).
x Bilde dann das „Minimal“-Produkt - also das kgV - aus den Einzelbestandteilen der verschiedenen Nenner der beteiligten Brüche, so dass jeder von ihnen in diesem Produkt
enthalten ist. Das ist der Hauptnenner.
x Ermittle dann aus dem Hauptnenner für jeden Bruch den Erweiterungsterm, mit dem dieser auf den Hauptnenner gebracht werden muss.
Polynomdivision
Im Zusammenhang mit der Vereinfachung (Kürzen) von rationalen – d.h. in Form von Quotienten dargestellten – (algebraischen) Termen spielt die sogenannte Polynomdivision
polynomialer Terme als Verallgemeinerung der Division mit Rest in Z eine besondere Rolle.
Dieses schriftliche Verfahren soll im Folgenden speziell für den Fall eines Quotienten mit
einem Zähler- und einem Nennerpolynom – rationale Funktion genannt – vorgestellt werden.
Die Polynomdivision
Gegeben:
Die gebrochen rationale Funktion f ( x )
p( x )
mit den beiq( x )
den Polynomen
p( x )
am ˜ x m am1 ˜ x m1 a1 ˜ x a0 , am z 0
q( x )
b n ˜ x n b n 1 ˜ x n 1 b1 ˜ x b 0 , bn z 0 .
Dabei gelte für grad p
Ziel:
n : mtn .
Suche für f(x) eine Darstellung der Form:
r (x)
p( x )
mit s( x ) c s ˜ x s c1 ˜ x c0
s( x ) f (x)
q( x )
q( x )
und r ( x )
s
Algorithmus zur Berechnung
von s(x) und r(x) :
m und grad q
und
d r ˜ x r d1 ˜ x d0 , wobei gilt:
m n , r < n . Es folgt dann: p( x )
s( x ) ˜ q ( x ) r ( x ) .
1. Teile die höchsten Terme von p(x) und q(x) durcheinander. Dann erhält man:
am ˜ x m
bn ˜ x n
c s ˜ x m n
cs ˜ x s
2. Bilde das Differenzpolynom
p1 ( x ) p( x ) c s ˜ x m n ˜ q( x )
mit
cs
am
.
bn
a~t ˜ x t a~0 .
3. Ist jetzt t t n , dann verfahre weiter mit den Schritten (1)
a~t ˜ x t
und (2): Bilde also
c s O ˜ x t n sowie weiter
bn ˜ x n
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aˆ P ˜ x P aˆ 0 .
p1 ( x ) c s O ˜ x t n ˜ q ( x )
p2 ( x )
4. Am Ende erhält man das gesuchte Polynom s(x) in der
Form s( x ) cs ˜ x m,n c s O ˜ x t n und r (x ) als das
erste Differenzpolynom r ( x )
pk ( x )
mit P
grad r < n .
Bemerkung:
Häufig findet die Polynomdivision eines Polynoms p(x) durch einen linearen Term der Form
q(x) x x0 mit x0 R besondere Anwendung. In diesem Spezialfall ist wieder einmal das
Hornerschema extrem hilfreich, denn sein Algorithmus zur Berechnung des Funktionswertes
p(x 0) eines Polynoms an der vorgegebenen Stelle x0 R liefert die Polynomdivision durch
den Term q(x) x x0 gleich automatisch mit:
Betrachtet man die Zahlen c m bis c 0 in der letzten Zeile im Hornerschema (s. S.4) mit
dem Wert x0 , so stellen sie gerade die Koeffizienten der Polynome q(x) und r(x) in der
Polynomdivision mit Rest von p(x) : (x x0 ) dar. Genauer gilt:
p( x ) ( x x 0 ) ˜ q ( x ) r ( x ) mit q( x ) c m ˜ x m 1 c m 1 ˜ x m 2 c 2 ˜ x c1 sowie
r ( x ) { c 0 . Ist speziell x0 eine Nullstelle von p(x) , so erhält man: r ( x ) { 0 .
Die Potenzgesetze
Wir behandeln in Erinnerung an die Schulmathematik im Folgenden die Potenzrechnung,
und zwar zunächst für reelle Basen aR , a z 0 mit natürlichem (bzw. ganzzahligem) Exponenten nN (bzw. nZ) :
Für aR und nN ist die Potenz a
a n : a ˜ a ˜˜ a
Definition der Potenz als
Produkt:
n
definiert durch:
a0 : 1
mit
.
n mal
1
.
an
n
Damit ist a nun auch für beliebige ganzzahlige Exponenten
nZ definiert
Für a z 0 und nN definiert man zusätzlich:
a 0 : 1 , a n 1 : a ˜ a n
rekursive Definition der Potenz:
Rechenregeln der Potenz
(Potenzgesetze):
(1)
a n˜ a m
a n m ,
(2)
a n˜ b n
( a ˜b ) n ,
(3)
(a n )m
(a m )n
an
am
an
bn
a n :
(aR , nN)
a n˜ a m
§ a·
¨ ¸
© b¹
a n m
,
n
für b z 0
,
a n ˜m .
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