ω Ω - WWW-Docs for TU
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Technische Mechanik & Fahrzeugdynamik Prof. Dr.-Ing. habil. D. Bestle TM II 28. September 2012 Prüfungsklausur Technische Mechanik II Familienname, Vorname Matrikel-Nummer Aufgabe 1 (14 Punkte) Eine Walze (Radius R ) wird rollend auf einem Wagen mit zwei gleich großen Rädern (Radius r ) transportiert. Die Geschwindigkeit des Wagens ist mit v gegeben. a) Zeichnen Sie die Momentanpole P1 und P2 der beiden Räder ein. Fachrichtung 1. Die Prüfung umfasst 6 Aufgaben auf 6 Blättern. 2. Nur vorgelegte Fragen beantworten, keine Zwischenrechnungen eintragen. b) Konstruieren Sie den Momentanpol P3 der Walze. Ω 3 R ω r 1 S 2 v 3. Alle Ergebnisse sind in den gegebenen Größen auszudrücken. 4. Die Blätter der Prüfung dürfen nicht getrennt werden. 5. Zugelassene Hilfsmittel: Fachliteratur, eigene Aufzeichnungen, Taschenrechner; Mobiltelefone bitte ausschalten. c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω des Rades 1 und der Geschwindigkeit v des Wagens? v 6. Die Bearbeitungszeit beträgt 90min. ω 7. Unterschreiben Sie die Prüfung bitte erst beim Eintragen Ihres Namens in die Sitzliste. = −−−−− d) Konstruieren Sie die Geschwindigkeit vS im Kontaktpunkt S . e) Welche Geschwindigkeit v3 hat der Mittelpunkt der Walze? Zeichnen Sie v3 in die obige Grafik. v3 = v −−−−− ................................................................... (Unterschrift) f) Punkte Gesamtpunktzahl: zum Bestehen erforderlich: 72 36 Note Welches Verhältnis zwischen ω und Ω lässt sich aus der Konstruktion ablesen? Ω ω = −−−−− Aufgabe 2 (7 Punkte) g) Im Folgenden soll die Walze auf zwei Achsen mit kleinerem Durchmesser als die Räder abrollen. Konstruieren Sie wiederum den Momentanpol P3 . Ωɶ Ein Projektil wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 zur Zeit t0 = 0 senkrecht nach unten in eine Flüssigkeit geschossen. Darin wird es mit der Verzögerung a (v ) = cv 3 mit einer Konstanten c < 0 abgebremst. Es sollen Geschwindigkeit des Projektils zur Zeit t und Lage bestimmt werden. 0 s a) Berechnen Sie zunächst folgendes Integral. v v t (v ) = dv h) Welche Beziehung besteht nun zwischen Mittelpunktsgeschwindigkeit der Walze vɶ3 und der Geschwindigkeit des Wagens v ? □ i) vɶ3 < v □ vɶ3 = v □ vɶ3 > v Wie verändert sich die Winkelgeschwindigkeit der großen Walze Ωɶ im Vergleich zu Ω aus Aufgabenteil a-f bei gleicher Wagengeschwindigkeit v? □ Ωɶ < Ω □ Ωɶ = Ω □ Ωɶ > Ω dv ∫ a (v ) = ∫ v0 v v v0 −−−− = = −−−−−−−− −−−−−−−−−−−− v0 b) Wie groß ist die Geschwindigkeit v des Projektils zur Zeit t ? □ v= □ v= v0 1 + 2cv02t v02 1 + 2cv02t □ v= □ v= v0 1 − 2cv02t v02 1 − 2cv02t c) Um die Lage des Projektils bei gegebener Geschwindigkeit v zu bestimmen, ist folgendes Integral aufzustellen und zu lösen. v v s (v ) = ∫ v0 v v dv = a (v ) v∫ 0 dv −−−− = = −−−−−−−− v0 −−−−−−−−−−−− Aufgabe 3 (19 Punkte) b) Formulieren Sie den Impulssatz für den Fahrkorb. ω Eine Aufzugsanlage besteht aus einer im Schwerpunkt C gelagerten Seiltrommel (Massenträgheitsmoment I C ), dem Fahrkorb (Masse 2m ) und einem Gegengewicht (Masse m ). Die Seiltrommel wird mit einem Moment M A angetrieben. Die Trägheiten der Umlenkrolle am Fahrkorb und des Seils werden vernachlässigt. MA 2r r −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− C IC c) Wie lautet der Impulssatz für das Gegengewicht? −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− d) Formulieren Sie den Drallsatz für die Seiltrommel bezüglich ihres Schwerpunkts C . xɺ 2m m −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− yɺ e) Zeichnen Sie die Geschwindigkeiten v1 bis v6 in den Punkten P1 bis P6 ein und geben Sie deren Betrag in Abhängigkeit von den Geschwindigkeiten xɺ , yɺ und ω an. Hinweis: auch Nullen und Einsen sind einzutragen. v1 = a) Tragen Sie in die Zeichnung der freigeschnittenen Teilkörper alle relevanten Kräfte und Momente ein und benennen Sie diese. −−− v3 = v4 = v6 = f) −−− −−− −−− xɺ , v2 = −−− xɺ P1 xɺ , ω , v5 = −−− −−− ω yɺ ω P5 P2 P3 P6 Welche kinematischen Bindungen ergeben sich aus den Seilen? xɺ = P4 yɺ = −−− ω g) Wie lautet die Bewegungsgleichung des Systems? □ □ □ □ (mr + IC ) ωɺ = M A − mgr 2 (mr + IC ) ωɺ = M A + mgr 2 (3mr 2 + I C ) ωɺ = M A − mgr (3mr 2 + I C ) ωɺ = M A + mgr Aufgabe 4 (7 Punkte) Eine Masse m ist an einem masselosen Rad (Radius r ) befestigt, welches sich frei um die Achse O drehen kann. Auf drei Viertel des Umfangs ist ein Seil geschlungen, an dem mit konstanter Kraft F gezogen wird, um das Rad aus der Ruhe auf die Winkelgeschwindigkeit ω zu beschleunigen. a) Wie groß ist das Trägheitsmoment I O der Masse m bezüglich der Drehachse O ? IO = 2r O 3π 2 m F s −−−−− b) Wie groß ist die kinetische Energie zu Beginn (Zustand 1) und am Ende der Bewegung (Zustand 2)? T1 = , −−−−−− T2 = −−−−−− c) Wie weit wird das Seil gezogen, um es vollständig abzuwickeln, und welche Arbeit leistet dabei die Kraft F ? s= −−−−−− , W12 = −−−−−− d) Formulieren Sie die Energiebilanz des Systems. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− e) Berechnen Sie die benötigte Kraft F , um eine gegebene Winkelgeschwindigkeit ω zu erreichen. F= −−−−−−−−−−− Aufgabe 5 (12 Punkte) f) Eine ruhende, homogene Billardkugel (Masse m , Radius r ) wird in der Höhe h mit dem horizontalen Kraftstoß ∆ p angestoßen. m, r ∆p ω v , −−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−− g) In welcher Höhe h muss der Stab die Kugel treffen, damit diese Gleichungen für beliebiges ∆ p erfüllt sind? h a) Klassifizieren Sie den Stoß. □ □ zentrischer Stoß □ exzentrischer Stoß b) Wie ist der Geschwindigkeitszustand der Kugel kurz vor dem Stoß? ω− = −−− , v− = −−− c) Es wird angenommen, dass die Kugel nach dem Stoß rollt. Welcher kinematische Zusammenhang ergibt sich daraus nach dem Stoß? v+ ω+ = −−− d) Zeichnen Sie am freigeschnittenen Körper die weiteren möglichen Kraftstöße ein und benennen Sie diese. e) Formulieren Sie die Impuls- und Drallbilanz für die Kugel. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Welche nichttrivialen Gleichungen ergeben sich daraus für den Fall, dass zwischen Kugel und Unterlage kein Stoß auftritt? ∆p 3 h= r 5 □ h= 4 r 5 □ h=r □ h= 6 r 5 □ h= 7 r 5 Aufgabe 6 (13 Punkte) Im Folgenden seien Die kleinen Auslenkungen ϕ eines horizontalen Körperpendels werden durch folgende Bewegungsgleichung beschrieben: O ϕ 4ml 2 25 ϕɺɺ + dl 2ϕɺ + cl 2ϕ = 0, c, d > 0 . 3 12 f) c a) Formulieren Sie die Schwingungsdifferentialgleichung in Standardform. Begründen Sie Ihre Antwort! −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− h) Wie groß ist die Kreisfrequenz des gedämpften Systems? ω= ω0 = −−−−−−−−−− d) Welche Beziehung gilt für die Kreisfrequenz des gedämpften Systems? ω < ω0 □ ω = ω0 □ ω > ω0 e) Bestimmen Sie das Lehr’sche Dämpfungsmaß D der Schwingung. D= −−−−−−−−−− −−−− □ harmonische Schwingung □ abklingende Schwingung □ aperiodisches Abklingen □ nichtlineare Schwingung □ erzwungene Schwingung □ gedämpfte Schwingung c) Wie groß ist die Kreisfrequenz des ungedämpften Systems? □ ω0 = g) Welcher Schwingungstyp stellt sich bei dem gegebenen Parameterverhältnis ein? b) Charakterisieren Sie die Schwingung. □ lineare Schwingung □ freie Schwingung □ ungedämpfte Schwingung , −−−− m,2l −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Welche Parameter ergeben sich dann für die Schwingungsgleichung? δ= d d c = 2, = 1. m m i) −−−−−− Geben Sie die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung an. ϕ (t ) = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
