Übungen zur Physik I WS 2010/11

Übungen zur Physik I
WS 2010/11
Blatt 11
Ausgabetermin: Di, 18.01.2011 Abgabetermin: Di, 25.01.2011
Aufgabe 11.1
Die Viskosität einer Flüssigkeit (Dichte Fl) kann man bestimmen, indem man die Sinkgeschwindigkeit
(v) kleiner Kugeln (Radius r, Dichte K) in der Flüssigkeit misst.
a)
Auf die sinkende Kugel wirken drei Kräfte ein. Welche Kräfte sind das? Wie groß ist jede dieser
Kräfte?
b)
Welche Bedingung muss erfüllt sein, wenn die Sinkgeschwindigkeit konstant ist?
c)
Welche Beziehung besteht also zwischen Viskosität und Sinkgeschwindigkeit? Außer der Erdbeschleunigung g sollen nur die oben genannten Parameter in Ihrer Formel vorkommen.
d)
Welche Sinkgeschwindigkeiten erwarten Sie für eine Stahlkugel ( = 7,8·10³ kg/m³) mit Radius 1 mm
in Glycerin ( = 1,47 Pa·s, = 1,26·10³ kg/m³) bzw. Wasser ( = 1 mPa·s, = 1,00·10³ kg/m³)?
[Anmerkung: Die angegebenen Werte beziehen sich jeweils auf Normaldruck und Raumtemperatur.]
e)
Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die im viskosen Medium sinkende Kugel auf und zeigen Sie,
dass diese [mit der Anfangsbedingung v(t=0) = 0] auf das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
v(t) = g (1 - Fl/ K)[1 - exp( – t/ )] führt. Wie hängt die „Zeitkonstante“ von den oben gegebenen Parametern ab? Welcher Zahlwert von ergibt sich für die in d) betrachtete Stahlkugel in Glycerin? Wie
lautet das zugehörige Weg-Zeit-Gesetz?
(7 Punkte)
Aufgabe 11.2
Ein Ingenieur entwirft den Prototyp eines neuen Motors. Das Motoröl ( = 0,2 Pa s) soll über ein 5,5 cm
langes Röhrchen mit einem Innendurchmesser von 1,8 mm zugeführt werden. Dabei soll eine Durchflussrate von mindestens 5,6 ml / min erzielt werden. Welchen Nenndruck muss die Ölpumpe dazu mindestens haben? Wie würde sich dieser Wert ändern, wenn man ein Röhrchen mit 2,0 mm Innendurchmesser einsetzen könnte?
(3 Punkte)
Aufgabe 11.3
Eine Aluminiumkugel (Dichte von Aluminium: = 2,70 g/cm3) hat einen Durchmesser von d = 4 cm und
hängt an einer Feder mit einer Federkonstanten von D = 20 N/m. Die Kugel wird um x 0 = 3 cm aus ihrer
Gleichgewichtslage ausgelenkt und dann zum Zeitpunkt t0 = 0 aus der Ruhe losgelassen. Reibungseffekte können zunächst vernachlässigt werden.
a) Geben Sie die Differentialgleichung für die Bewegung der Kugel an und finden Sie die den Anfangsbedingungen entsprechende Lösung.
b) Die Kugel wird nun in ein Gefäß mit Glyzerin (Viskosität = 1,47 Ns/m2) gebracht, sodass sich ihre
Bewegung ganz innerhalb dieses Mediums abspielt. Wie sieht jetzt die Bewegungsgleichung aus,
wenn die Reibungskraft durch das Gesetz von Stokes beschrieben werden kann? Geben Sie
wiederum die den Anfangsbedingungen entsprechende Lösung an. Wie groß ist die relative Frequenzänderung im Vergleich zu a)? Nach welcher Zeit ist die Amplitude der Schwingung auf 1% des Ausgangswertes gesunken? Welche Rolle spielt der Auftrieb bei diesen Überlegungen (Dichte von
Glyzerin: 1,26 g/cm³)?
c) Welchen Wert für D muss man wählen, um – bei sonst gleichen Bedingungen – den aperiodischen
Grenzfall zu realisieren?
(6 Punkte)
Aufgabe 11.4
Wir betrachten erneut das in Aufgabe 11.3b) näher beschriebene, in Glycerin eingetauchte Federpendel,
das wir diesmal – bei sonst gleichen Bedingungen – über einen Motor mit Exzenter zur Schwingung
anregen. Die dadurch auf die schwingende Masse ausgeübte Kraft habe die Amplitude F0 = 0,2 N und
variiere mit einer Frequenz f, die langsam von 0 bis 5 Hz erhöht wird. A sei die Amplitude der durch diese
Anregung erzwungenen Schwingung, die Phasenverschiebung zwischen der Auslenkung des Pendels
und der anregenden Kraft.
a) Wie hängen A und
von f ab? (Jeweils Formel und Diagramm!)
b) Skizzieren Sie, wie sich die ‚Resonanzkurve‘ [also die Funktion A(f)] ändert, wenn das Glycerin durch
eine Flüssigkeit mit kleinerer bzw. größerer Viskosität ersetzt wird.
(4 Punkte)
– Bitte wenden! –
Aufgabe 11.5
Wir betrachten erneut die erzwungene Schwingung aus Aufgabe 11.4 und schließen noch einige ergänzende Überlegungen an.
a) Die schwingende Masse bewegt sich mit der Geschwindigkeit v(t). Beschreiben Sie auch v durch eine
komplexe Größe und geben Sie deren Phasenverschiebung gegenüber der anregenden Kraft an.
b) Bei der erzwungenen Schwingung nimmt der schwingende Körper Leistung vom Erreger auf. Geben
Sie die Leistungsaufnahme P(t) als Funktion der Zeit an. [Anleitung: Machen Sie Gebrauch von der
Formel P = F v; Führen Sie die Rechnung zunächst mit den reellen Funktionen F(t) und v(t) durch;
überlegen Sie sich dann, wie die Rechnung mit den entsprechenden komplexen Größen durchgeführt
werden kann. Beachten Sie dabei, dass das Produkt der Realteile zweier komplexer Größen nicht
gleich dem Realteil des Produktes ist!]
c) P(t) kann auch negative Werte annehmen. Wie sind die zu interpretieren? Zeigen Sie: Für = / 2 ist
P(t) zu jedem Zeitpunkt positiv. Wie können Sie dieses Resultat physikalisch interpretieren?
_
d) Berechnen Sie die über eine Schwingungsperiode gemittelte Leistung P. [Hinweis: Beachten Sie, dass
der Mittelwert der cos- bzw. sin-Funktion über eine volle Periode stets Null ist.]; wann erreicht diese
mittlere Leistung ihr Maximum?
(5 Punkte)
– Bitte wenden! –