1. Rechnen mit Vektoren

1. Rechnen mit Vektoren
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Skalarprodukt
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------a1 b1
   
a  b   a  b  cos  a2  b2  a1b1  a2b2  a2b2
a  b 
 3  3
1. Betrag   Länge  eines Vektors:  a  


a  a 
a  b
2. Winkel zwischen 2 Vektoren: cos 
 a  b 
b
a
a12  a22  a32
a1b1  a2b2  a3b3

a12  a22  a32 
b1 2  b 2 2  b 3 2
Sonderfall: Ist a  b  0  a  b
___________________________________________________________________________
Vektorprodukt
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------a1 b1 a2b3  a3b2
   
a  b  a2  b2  a3b1  a1b3
a  b  a b  a b 
 3  3  1 2 2 1
a  b  a , a  b  b
ab
b
a
1.Fächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms: AP   a  b 
2. Fächeninhalt des von a und b aufgespannten Dreiecks: AD 
1
 a  b 
2
3. Normalenvektor einer Ebene
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Spatprodukt
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------(a  b) c
1. Volumen des Spats: VS  ( a  b )  c 
c
b
a
2. Rauminhalt des Tetraeders: VT 
1
( a  b )  c 
6
c
b
a
3. ( a  b )  c  0  a , b und c sind voneinander linear abhängig
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2. Vektoren und Punkte
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Ortsvektor
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------a1
 
Punkt: Aa1  a2  a3
Ortsvektor: A  OA  a2


a 
A
 3
___________________________________________________________________________
Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b1  a1
AB  B  A
Verbindungsvektor zweier Punkte: AB  B  A  b2  a2
A


b3  a3


B
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Länge einer Strecke oder Abstand zweier Punkte
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b1  a1


AB  AB   B  A   b2  a2  (b1  a1)2  (b2  a2)2  (b3  a3)2
b  a 
 3 3


___________________________________________________________________________
Winkel im Dreieck
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------cos 
AB  AC
AB AC
cos 
BA  BC
cos 
BA BC
CA  CB
A
C
CA CB
B
___________________________________________________________________________
Mittelpunkt einer Strecke
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
M 

1 
 A  B 
2 

A
M
B
___________________________________________________________________________
3. Geraden
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Parametergleichung einer Geraden
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------a1
v1
v
 
 
g : X  A   v  a2  v2
X
a 
v 
A
 3
 3
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Zeichnerische Darstellung - Spurpunkte
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ein Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene heißt Spurpunkt in dieser Ebene.
Spurpunkt in der
x1x2-Koordinatenebene
Bedingung
x3  0
x1x3-Koordinatenebene
x2  0
x2x3-Koordinatenebene
x1  0
Existiert kein Spurpunkt in einer Korordinatenebene, dann ist die Gerade zu dieser Koordinatenebene parallel.
x3
x2
x1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Zweipunkteform
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------AB : X  A  ( B  A )
v  AB  B  A
B
A
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Parallele, sich schneidende und windschiefe Geraden
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------g : X  A   v
v  k u

h : g : X  B   u
ghh
Ist zusätzlich A  h, dann sind g und h identisch.
Ansonsten gilt die Schnittpunktsbedingung A   v  B   u .
Ist das sich ergebende Gleichungssystem nicht lösbar, dann sind g und h windschief.
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4. Ebenen
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Parametergleichung einer Ebene
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------a1
u1
v1
v
 
 
 
a
u
v
E : X  A   u   v   2   2   2
u
a 
u 
v 
 3
 3
 3
A
X
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Normalenform einer Ebenengleichung
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------n
X  A
n
X
A


Normalenform: n   X  A   0



n1x1  n2x2  n3x3  ( n1a1  n2a2  n3a3)  0
n4
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Zeichnerische Darstellung - Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen - Spurgeraden
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Schnittpunkt mit der
x1-Achse
Bedingung
x 2  x3  0
x2-Achse
x 2  x3  0
x3-Achse
x 2  x3  0
Existiert kein Schnittpunkt mit einer Koordinatenachse, dann ist die Ebene zu dieser Koordinatenachse parallel. Hat die Ebene mit einer Koordinatenachse mehr als einen Punkt gemeinsam, dann verläuft sie durch diese Achse.
Die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen heißen Spurgeraden.
Spurgerade in der
x1x2-Koordinatenebene
Bedingung
x3  0
x1x3-Koordinatenebene
x2  0
x2x3-Koordinatenebene
x1  0
x3
x2
x1
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Lagebeziehung zwischen Ebenen und Geraden
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

g : X  A   v und E : n   X  A   0


ghE

v  n  0
Die Gerade g liegt in der Ebene, wenn zusätzlich ihr Aufpunkt A in E liegt.
Ansonsten erhält man den zum Schnittpunkt gehörenden Parmeter durch Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts in eine Normalenform von E.
Sonderfall:
v
gE

v  k n
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Lagebeziehung zwischen Ebenen
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Zwei Ebenen E und F mit den Normalenformen
E : n1x1  n2x2  n3x3  n4  0 und F : m1x1  m2x2  m3x3  m4  0
n1
m1
 
 
sind parallel, wenn die Normalenvektoren n  n2 und m  m2 linear abhängig sind.
n 
m 
 3
 3
n1
m1
 
 
Das heißt, es gibt ein k  R, so dass n2  km2 ist.
n 
m 
 3
 3
Gilt zusätzlich n4  km4, dann sind die Ebenen identisch.
Ansonsten schneiden sich die beiden Ebenen in einer Geraden. Die parametrisierte Lösung
des Gleichungssystems
n x n x n x n
 0
(1)
 1 1 2 2 3 3 4
ist der allgemeine Geradenpunkt der Schnittgeraden s.


(2) m1x1  m2x2  m3x3  m4  0

___________________________________________________________________________
Hessesche Normalenform
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------n 1 x 1  n 2 x 2  n3 x 3  n4
 0
 n1 2  n2 2  n 3 2
Setzt man die Koordinaten eines Punktes P in die HNF einer Ebene ein, dann erhält man
eine Zahl, deren Betrag gleich dem Abstand des Punktes von der Ebene ist.
Diese Zahl ist positiv, wenn der Punkt auf der dem Ursprung abgewandten Seite von E ist.
Ist sie negativ, dann liegt P auf der Ursprungsseite.
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5. Kugel
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X  M
M
X

2
2
2
 X  M   r  (x1  m1)2  (x2  m2)2  (x3  m3)2  r


___________________________________________________________________________
MX  r

6. Abstände
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Abstand eines Punktes von einer Geraden
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d(P; g)  PF
v  n
___________________________________________________________________________
Abstand eines Punktes von einer Ebene
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------d(P; E)  PF
v  n
___________________________________________________________________________
Abstand paralleler Geraden
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------d(g; h)  d(A; h) mit A  g
___________________________________________________________________________
Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------d(g;E)  d(A; E) mit A  g
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7. Winkel
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Schnittwinkel sich schneidender bzw. Kreuzungswinkel windschiefer Geraden
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

v  u 
cos  
  v  u  


v
u
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Neigungswinkel bzw. Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------  90°   mit
v




n  v 
n  v 
cos  
oder sin  
  n  v  
  n  v  




n
___________________________________________________________________________
Schnittwinkel zweier Ebenen
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


nE  n F 
cos  

  nE  nF  


nE
nF
Sonderfall: Zueinander senkrechte Ebenen   90°
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