Crashkurs - Merkur Verlag

Gleichungen (Crashkurs)
Crashkurs
Vorbemerkung:
Bis zur Prüfung 2007 mussten im Wahlbereich, meist in einem b-Teil, Bruchgleichungen gelöst
werden. Diese wurden ab 2008 durch Aufgaben aus dem Bereich Statistik und Wahrscheinlichkeit ersetzt. Da aber nicht auszuschließen ist, dass sie im Pflichtbereich in vereinfachter Form
wieder auftauchen, werden diese Bruchgleichungen hier im Crashkurs noch einmal vorgestellt.
Neben den Bruchgleichungen werden auch häufig Aufgaben mit sogenannten linearen
Gleichungssystemen gestellt. Diesen Gleichungstyp nehmen wir uns zuerst vor:
1.
Lineare Gleichungssysteme:
Dies ist ein Spezialfall der linearen Gleichungen: Man hat nicht nur eine, sondern mehrere (meist
zwei) Variable! Dabei gilt folgende Regel: Man braucht genau so viele von einander
unabhängige Gleichungen wie Variable!
Für ein Gleichungssystem mit zwei Variablen braucht man also zwei Gleichungen. Zur
Berechnung dieser Variablen muss man aus den beiden Gleichungen eine machen, die nur noch
eine Variable enthält. Dazu gibt es folgende Verfahren:
Einsetzungsverfahren
Gleichsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Empfehlenswert, wenn eine
der Gleichungen bereits
nach einer Variablen
aufgelöst ist, oder dieser
Zustand leicht erreicht
werden kann.
Empfehlenswert, wenn
beide Gleichungen bereits
nach derselben Variablen
aufgelöst sind oder dieser
Zustand leicht erreicht
werden kann.
Empfehlenswert, wenn die
beiden anderen Verfahren
nur unter erschwerten
Bedingungen (z.B. Brüche)
zum Ziel führen.
Beispiel:
Beispiel:
Beispiel :
3x – y = 13
x – 2y = 11
2x – y = 12
4x + y = 20
3x + 4y = 17,5 |· 4
4x – 6y = 12 |· (–3)
3x – y = 13
(1)
x = 11 + 2y (2)
2x – 12 = y
y = 20 – 4x
(2) in (1) :
(1) = (2) :
3(11 + 2y) – y = 13
33 + 6y – y = 13
5y = –20
y = –4
2x – 12 = 20 – 4x
16
32
6x = 32 x =
=
3
6
16 60 64
(2) y = 20 – 4 ⋅ = −
3 3 3
4
y= −
3
(2)
x = 11 + 2(–4)
x=3
(1)
(2)
12x + 16y = 70 (1)
–12x +18y = –36 (2)
(1)+(2) :
0 + 34y = 34
y=1
(2) 4x – 6 ⋅1 = 12
4x = 18
x = 4,5
7
Körperberechnung (PÀichtaufgaben)
PK 2012/2:
γ
Eine massive quadratische Pyramide wird
durch einen Diagonalschnitt halbiert.
Es gilt:
a = 8,6 cm
γ = 40,8°
Berechnen Sie die Oberfläche einer der beiden
Pyramidenhälften.
a
Lösung:
S
Diagonale: d = a 2 = 8,6 2 = 12,2 cm
γ
hs halbiert den Winkel γ und die Grundseite a:
a
γ
tan = 2 h s =
2 hs
a
2
tan
s
γ
2
=
4,3
= 11,6 cm
tan 20,4°
h
s
hs
2
§a·
s 2 = ¨ ¸ + h s 2 s = 4,3² + 11,6² = 12,4 cm
©2¹
.
d
a
h halbiert ebenfalls seine Grundseite d:
2
§d·
s² = h ² + ¨ ¸ h = 12,4² − 6,1² = 10,8 cm
©2¹
Die gesuchte Oberfläche setzt sich zusammen aus der Grundfläche (= halbes Quadrat), der
Schnittfläche und zwei Seitenflächen:
O=
a² d ⋅ h
a ⋅ hs 1
+
+ 2⋅
= (8,6² +12,2 ⋅ 10,8 + 2 ⋅ 8,6 ⋅ 11,6 ) = 202,6 cm²
2
2
2
2
43
Trigonometrie (Wahlaufgaben)
WT 2008/1.a:
Gegeben ist das Trapez ABCD. Es gilt:
D
C
AB = 8,0 cm
BC = 4,2 cm
ß = 41,0°
AD = CD
α
Berechnen Sie den Winkel α.
ß
A
B
Lösung:
D
In Trapezen ist es immer empfehlenswert durch
Einzeichnen der Höhen für rechtwinklige Dreiecke
zu sorgen. Dies reicht bei dieser Aufgabe aber nicht
aus, da wir so nur ein Bestimmungsstück des
Dreiecks AED bekommen, in dem wir dann den
Winkel α berechnen können. Der zusätzliche Weg
führt über das (laut Aufgabe) gleichschenklige
C
γ2
.
G
α
A
ß
E
Dreieck ACD und dessen Höhe DG .
Δ BFC:
sin ß =
FC
FC = BC ⋅ sin ß = 4,2 ⋅ sin 41° = 2,8 cm
BC
cos ß =
BF
BC
BF = BC ⋅ cos ß = 4,2 ⋅ cos 41° = 3,2 cm
Δ AFC:
AF = AB − BF = 8 , 0 − 3, 2 = 4 ,8 cm
tan γ 1 =
2
AF
FC
=
4,8
γ 1 = 59,7° γ 2 = 90° − γ 1 = 90° − 59,7° = 30,3°
2,8
2
2
2
AC = AF + CF AC = AF 2 + CF = 4,82 + 2,82 = 5,6 cm
Δ CGD:
AC 5,6
CG =
=
= 2,8 cm
2
2
CG
CG
2,8
CD =
=
= 3,2 cm = AD (laut Aufgabe!)
cos γ 2 =
cos
γ
cos
30,3°
CD
2
Δ AED: sin α =
154
ED
AD
=
FC
AD
=
2,8
3,2
α = 61°
γ1
F
B
Statistik und Wahrscheinlichkeit (PÀichtaufgaben)
PSW 2013/7:
In einer Schale liegen gleich aussehende Schokowürfel.
Sechs Schokowürfel sind mit Marzipan, vier mit Nougat und zwei mit Karamell gefüllt.
Anastasia zieht gleichzeitig zwei Schokowürfel.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht sie zwei Schokowürfel mit unterschiedlichen
Füllungen?
In einer anderen Schale liegen von jeder Sorte halb so viele Schokowürfel (dreimal
Marzipan, zweimal Nougat, einmal Karamell).
Leon zieht ebenfalls zwei Schokowürfel mit einem Griff.
Er behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit, zwei Schokowürfel mit unterschiedlichen
Füllungen zu ziehen, bleibt gleich.“
Hat Leon Recht? Begründen Sie durch Rechnung.
Lösung:
Wir wählen hier die Tabellendarstellung, da beide Fälle gleichzeitig bearbeitet werden können
(Baumdiagramme wären natürlich auch möglich):
Erster Würfel
(von12)
6
Marzipan:
12
Nougat:
Karamell;
Summe
4
12
2
12
Zweiter Würfel
(von 11)
Nougat:
Karamell:
Marzipan:
Karamell:
Marzipan:
Nougat:
4
11
2
11
6
11
2
11
6
11
4
11
Produkt
24
132
12
132
24
132
8
132
12
132
8
132
88 2
=
132 3
Erster Würfel Zweiter Würfel
(von 5)
(von 6)
3
Marzipan:
6
Nougat:
Karamell:
2
6
1
6
Nougat:
Karamell:
Marzipan:
Karamell:
Marzipan:
Nougat:
2
5
1
5
3
5
1
5
3
5
2
5
Produkt
6
30
3
30
6
30
2
30
3
30
2
30
22 11
=
30 15
Die Wahrscheinlichkeit aus zwölf Würfeln zwei mit unterschiedlicher Füllung zu ziehen,
2
= 0,667 = 66,7%. Die Wahrscheinlichkeit aus sechs Würfeln zwei mit
beträgt
3
11
unterschiedlicher Füllung zu ziehen, beträgt
= 0,733 = 73,3%. Leon hat also nicht Recht!
15
209