Übungen zur Analysis

Fakultät für Geoinformationswesen
Prof. Dr. Klaus Dürrschnabel
Übungen zur Analysis
Aufgabe 59. Im nebenstehenden Schaubild
sind die Graphen von 4 Funktionen abgebildet.
y
a) Beschreiben Sie, in welchen Bereichen die
Funktionen monoton wachsend bzw. monoton fallend sind.
b) Bei den 4 Funktionen handelt es sich um eine Funktion f und deren ersten drei Ableitungen. Identifizieren Sie diese Funktionen
im Schaubild.
c) Verifizieren Sie den in der Vorlesung zitierten Satz über die strenge Monotonie bei
entsprechendem Vorzeichen der Ableitung
jeweils anhand der Funktionenpaare (f, f ′ ),
(f ′ , f ′′ ) und (f ′′ , f ′′′ ).
x
Aufgabe 60. Berechnen Sie alle lokalen Extrema der folgenden Funktionen. Sind
diese Extrema absolut? Überprüfen Sie die Plausibilität Ihrer Ergebnisse, indem Sie
sich die Graphen von Maple zeichnen lassen.
a) y = x3 + 3x2 + 1
b) y = x2 − 3 ex
c) y = ln x − (ln x)2
√
√
x2 + 4x − 21
−x
e)
y
=
e
(cos
x
+
sin
x)
f)
y
=
x
+
2
4−x
d) y =
x2 − 4
Aufgabe 61
a) Bestimmen Sie unter allen Rechtecken mit dem gegebenen Umfang U dasjenige
mit dem maximalen Flächeninhalt.
b) Bestimmen Sie unter allen Rechtecken mit dem gegebenen Flächeninhalt A dasjenige mit dem minimalen Umfang.
Aufgabe 62. Aus drei Brettern der Breite b wird nach der
nebenstehenden Skizze eine Rinne gebaut. Wie ist der Öffnungswinkel ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π2 ) zu wählen, damit das Fassungsvermögen der Rinne maximal wird?
b ϕ
ϕb
b
Aufgabe 63. Die quaderförmige Kartonverpackung von Frischmilch hat einen quadratischen Grundriss und fasst exakt einen Liter, hat also das Volumen von 1 dm3 .
Aufgrund der Faltungstechnik benötigt man für die obere Bedeckung sowie den Boden jeweils die doppelte Kartonfläche des Grundrisses. Berechnen Sie die optimale
Breite und Höhe des Milchkartons, sodass möglichst wenig Material benötigt wird.
Aufgabe 64. Der oberen Hälfte des Einheitskreises wird in der skizzierten Weise
eine zur y-Achse symmetrische Figur einbeschrieben, welche aus einem Rechteck und
einem gleichschenkligen Dreieck zusammengesetzt ist.
y
Für welchen Winkel α (0 < α < π2 ) nimmt der Flächeninhalt A der Figur ein lokales Extremum an? Um
welche Art eines Extremums handelt es sich? Welcher
Teil der Halbkreisfläche wird ausgefüllt? Ist das gex
α
fundene lokale Extremum ein absolutes Extremum?
Aufgabe 65. Ein Geländewagen möchte möglichst schnell vom Punkt A zum Punkt
B gelangen. Der Startpunkt A liegt auf einer geradlinig verlaufenden Straße, der
Zielpunkt B nach 40 km rechtwinklig um 10 km links der Straße. Der Geländewagen
kann auf der Straße 80 km
und im Gelände 40 km
zurücklegen.
h
h
a) Fertigen Sie eine Skizze an und legen Sie ein geeignetes Koordinatensystem fest.
b) An welcher Stelle muss der Geländewagen abbiegen? In welchem Winkel zur
Straße muss er weiterfahren?
Aufgabe 66. Bei der n-maligen Messung ein und derselben Größe ergeben sich die
Messwerte x1 , x2 , ..., xn . Die Fehlertheorie lehrt, dass die Stelle x̄, an der die Funktion
n
X
f (x) =
(x − xk )2
k=1
das Minimum annimmt, eine günstige Näherung für den exakten Wert der gemessenen Größe ist („Methode der kleinsten Quadrate“). Wie groß ist dieser Wert x̄?
Aufgabe 67. Diskutieren Sie folgende Funktionen nach dem vorgestellten Schema.
Setzen Sie für die umfangreichen Rechnungen sinnvoll Maple ein.
6x − 9
a) f (x) = x3 − 12x
b) f (x) =
c) f (x) = 2 sin x + sin 2x
(x − 3)2
Aufgabe 68. Berechnen Sie die nachfolgenden Grenzwerte mit und ohne Verwendung der Regel von Bernoulli-de l’Hospital.
√
√
1+2x − 1−2x
tan 2x + x3
cos x
√
√
√
a) lim
c) limπ
b)
lim
3
x→0
x→0
x→ 2 x −
x + sin x
1+x − 1−x
x2 −cos x
Aufgabe 69. Einem Kreissektor mit dem Radius 1 und dem
Öffnungswinkel ϕ wird in der skizzierten Weise ein Dreieck
1
einbeschrieben. Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks AD
sowie des dadurch bestimmten Kreisabschnitts AS abhängig
ϕ
von ϕ. Wogegen strebt das Verhältnis AD : AS für ϕ → 0?
√
Aufgabe 70. Die Zahl a (a > 0) ist Lösung der Gleichung x2 − a = 0.
AS
AD
a) Bereits seit der Antike
ist das Heron-Verfahren
1
a
xn+1 =
xn +
,
x0 = 1
2
xn
√
zur näherungsweisen Bestimmung von a bekannt. Zeigen Sie, dass sich hinter
diesem Iterationsverfahren das Newton-Verfahren verbirgt.
√
b) Bestimmen Sie mit diesem Verfahren 8 auf neun Nachkommastellen genau.