Anwendungen aus der Kombinatorik – Ziehen mit Zurücklegen

Stochastik
GF MA
A7
Anwendungen aus der Kombinatorik – Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel 1:
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Sechser in 7 Würfen? Und für genau
4 Sechser?
Lösung:
⎛ 7 ⎞ ⎛ 1⎞2 ⎛ 5⎞5
p1 = ⎜
⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ≈ 0.234
⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
⎛ 7 ⎞ ⎛ 1⎞ 4 ⎛ 5⎞ 3
p2 = ⎜
⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ≈ 0.016
⎝ 4 ⎟⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
Beispiel 2:
Ein Glücksrad zeigt „1“ mit Wahrscheinlichkeit 30%. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit
für mindestens 5 Einsen in 7 Drehungen?
Lösung:
23.10.16 11:12
7 ⎛
⎞
⎛ 7 ⎞
p = ∑⎜ ⎜
⋅ 0.3t ⋅ 0.7 7−t ⎟ ≈ 0.029
⎟
⎠
t=5 ⎝ ⎝ t ⎠
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Stochastik
GF MA
Beispiel 3:
A7
Eine Münze wird 20-mal geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für genau
13 „Kopf“?
Und wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 13 „Kopf“-Würfe?
Lösung:
⎛ 20 ⎞
p1 = ⎜
⋅ 0.513 ⋅ 0.5 7 ≈ 0.074
⎝ 13 ⎟⎠
20 ⎛
⎞
⎛ 20 ⎞
p2 = ∑ ⎜ ⎜
⋅ 0.5 t ⋅ 0.5 20−t ⎟ ≈ 0.132
⎟
t ⎠
⎠
t=13 ⎝ ⎝
Beispiel 4:
Man wirft 20 Münzen mit einem Wurf. Wie gross ist jetzt die Wahrscheinlichkeit für genau
13 „Kopf“?
Und die Wahrscheinlichkeit für mindestens 13 „Kopf“-Würfe?
Lösung:
Die Resultate sind dieselben wie in Beispiel 3, weil es nicht auf die präzise Ziehung
ankommt.
Verallgemeinerung:
Ein Glücksrad zeigt „1“ mit der Wahrscheinlichkeit p . Man dreht n Mal. Wie gross sind die
Wahrscheinlichkeiten für genau k Einsen, mindestens k Einsen und höchstens k Einsen?
Lösung:
genau:
⎛ n ⎞ k
n−k
⎜⎝ k ⎟⎠ ⋅ p ⋅ (1− p )
mindestens:
∑ ⎜⎝
höchstens:
∑ ⎜⎝
⎛ n ⎞ i
n−i
⋅ p ⋅ (1− p )
⎟
i ⎠
i=k
n
⎛ n ⎞ i
n−i
⎟⎠ ⋅ p ⋅ (1− p )
i
i=0
k
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Stochastik
GF MA
A7
Übungen
1.
Kugeln ziehen
In einem Behälter hat man 13 rote und 7 blaue Kugeln. Man zieht 10 Kugeln mit Zurücklegen. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit erwischt man mehr als 3 blaue Kugeln?
2.
Glücksrad
Ein Glücksrad zeigt die Zahlen 0, 1, 2 und 3 mit den Wahrscheinlichkeiten p ( 0 ) = 0.4 , p (1) = 0.3 ,
p ( 2 ) = 0.2 und p ( 3) = 0.1 . Das Rad wird 8-mal gedreht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man
zwei Nullen und je drei Einsen respektive Zweier?
3.
Wörter
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein 6-buchstabiges Wort genau zwei Vokale enthält?
(Das Alphabet hat 26 Buchstaben, davon sind 6 Vokale.)
4.
Bogenschütze
Ein Bogenschütze verfehlt das Ziel einer Übungsscheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von 20%.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er bei 20 Schüssen genau viermal nicht trifft?
b) Wie oft muss er mindestens schiessen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99.9%
wenigstens einmal zu treffen?
5.
Fliessen
In einer Lieferung von Fliessen befinden sich 10% Ausschuss-Stücke. Es werden 50 Fliessen
überprüft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man
a) genau fünf,
b) mindestens ein Ausschuss-Stück?
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