Blatt 14

Universität Stuttgart
Institut für Angewandte Analysis
und Numerische Simulation
Prof. Dr. H. Harbrecht
Höhere Mathematik III
WS 09/10
Gruppenübung 14
Aufgabe 67 (Erwartungswert und Varianz)
Sei X eine diskrete Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
c(x + 1), x = 0, 1, 2,
p(X = x) =
0,
sonst.
Typ: Präsenz
a) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten c.
b) Geben Sie die zugehörige Verteilungsfunktion FX an. Bestimmen Sie den kleinsten
Wert von x, für den p(X ≤ x) > 0.5 gilt.
c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
Aufgabe 68 (Exponential– und Poisson–Verteilung)
Typ: Präsenz
Die Poisson–verteilte Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der innerhalb einer Stunde
montierten Schaltelemente. Es ist bekannt, dass im Mittel 5 Schaltelemente je Stunde
montiert werden.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass innerhalb einer Stunde
(i)
höchstens 3 Schaltelemente,
(ii)
5 oder 6 Schaltelemente
montiert werden können.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Montagezeit für das erste Schaltelement einen Wert von 12 Minuten nicht übersteigt.
Hinweis: Der Zeitraum vor dem Eintreffen eines Poisson–verteilten Ereignisses ist
exponentialverteilt.
Aufgabe 69 (Glücksrad)
Typ: Präsenz
Ein Glücksrad mit Radius 1 wird zweimal gedreht. Ω ist die Menge der Paare der Ergebnisse, also Zahlenpaare aus [0, 2π)2, X ist die Summe der Ergebnisse. Bestimmen Sie die
Verteilungsfunktion FX von X sowie die zugehörige Dichte fX .
Aufgabe 70 (Glücksspiel)
Typ: Präsenz
In einer Urne liegen 4 schwarze und 3 weiße Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Der Spieler bekommt für jede gezogene schwarze Kugel 1 Euro und muss
für jede gezogene weiße Kugel 2 Euro bezahlen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Erwartungswert des Gewinns.
Geben Sie die zugehörige Verteilungsfunktion an.
b) Wie muss man den vom Spieler für eine weiße Kugel zu zahlenden Betrag anpassen,
damit der Erwartungswert des Gewinns gleich 0 ist?
Aufgabe 71 (Poisson-Verteilung)
Typ: Präsenz
X und Y seien stochastisch unabhängige und mit Parametern λ bzw. µ Poisson-verteilte
Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω. Die Zufallsvariable Z sei durch
Z(ω) = X(ω) + Y (ω) definiert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
{Z = n}, n = 0, 1, 2, . . ..
1
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Wohlmuth-WS0910
11.02.2010
Aufgabe 72 (Dichtefunktion)
Typ: Hausübung (2 Punkte)
Ein System funktoniere für eine zufällige Zeitdauer X (in Monaten gemessen). Als Dichtefunktion von X soll folgende Funktion dienen:
x
Cxe− 2 , x > 0,
f (x) =
0, x ≤ 0.
a) Für welches C ist obige Funktion eine Dichtefunktion?
b) Geben Sie für dieses C die zugehörige Verteilungsfunktion an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das System mindestens 5 Monate lang funktioniert?
c) Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von X.
2
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Wohlmuth-WS0910
11.02.2010