Antoniou-Spulenersatzschaltung

Analogelektronik
7.3
Die Antoniou-InduktivitätsErsatzschaltung:
Im Zuge der Halbleiterentwicklung und der
Verfügbarkeit von Operationsverstärkern gab
es in der Vergangenheit zahlreiche Versuche,
Induktivitäten durch Kondensatoren und aktive
Schaltelemente (d.h. Halbleiterschaltungen)
zu ersetzen. Eine dieser Schaltungen ist in Bild
(7-140) angegeben. (Sie wurde von Antoniou
1969 erstmals vorgestellt) . Sie hat sich im
Laufe der Zeit als die „beste“ Schaltung für
diese Anwendungen herausgestellt ; die
„beste“ insofern, als sie gegenüber anderen
Schaltungsvorschlägen recht unempfindlich
auf die nichtidealen Eigenschaften des OP’s
reagiert, insbesondere die nicht unbegrenzte
Verstärkung und die begrenzte Bandbreite.
wird also in ihre „duale“ Impedanz
umgewandelt; Gleichung (7.140) ist somit die
Definitionsgleichung der Impedanz einer
Induktivität mit dem Wert
LA B  C4  R1  R3  R5 / R2
Herleitung der Gleichung (7.140):
Nimmt man die OP als „ideal“ an (d.h.
Verstärkung unendlich), dann müssen die
Eingangsspannungen zwischen den beiden
Eingangsklemmen der OP’s null sein. Folglich
müssen die Potentiale an den drei Knoten A, D
und F identisch sein !!!). D.h.:
V A,0  V D,0  V F ,0
(7.145)
Daraus läßt sich ableiten:
V R1  V R 2
A
IA
R1
(7.146)
(7.147)
(7.148)
V R3  V C 4
VR1
(7.142)
V R5  V A,B
C
R2
Da in die OP-Eingänge kein Strom fließt, ist
der Strom durch R2 und R3 identisch:
VR2
D
R3
I R 2  I R3
VR3
ebenso der Strom durch C4 und R5:
E
VC4
I C 4  I R5
C4
F
R5
IB
(7.149)
(7.150)
Die Impedanz am Eingang ist durch:
VR5
B
ZA 
V AB
IA
(7.151)
(7-140) Antoniou-Induktivitäts-Ersatzschaltung
Die Impedanz, die man an der Klemme A
messen kann ist
V
Z A  AB  s C4  R1  R3  R5 / R2
IA
(7.140)
Wobei mit s der Laplace-Operator bezeichnet
wird ( s=j). Die Impedanz der Kapazität
ZC 4 
1
s C4
definiert. Daher bestimmen wir den Strom IA
und formen ihn mit (7.146) um:
I A  I R1 
V R1
R1

V R2
R1
R
  2  I R2
R1
(7.152)
Mit (7.149) kann man umformen:
R
R
R V
I A   2  I R2   2  I R3   2  R3
R1
R1
R1 R3
(7.153)
(7.141)
Mit Gleichung (7.147) erhält man:
17.06.2017 Prof. Dr. Koblitz, FH Karlsruhe FB FT, Analogelektronik, Moltkestr. 30, 76133 Karlsruhe; Tel.: 0721-925-1748 841165458
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Analogelektronik
I
R V
R V
R2
I A   2  R3  2  C 4 
 C4
R1 R3
R1
R3
R1  R3 jC
(7.154)
Der Strom durch die Kapazität ist identisch
mit dem Strom durch R5 [siehe (7.150)]:
IA 
I
V
R2
R2
 C4 
 R5
R1  R3 jC R1 R3  jC R5
(7.154)
Da nach (7.148) die Spannung über R5
identisch mit VA,B ist, erhalten wir für die
Impedanz nach (7.151):
ZA 
VAB R1  R3  jC R5

IA
R2
(7.151)
q.e.d. .Der Knoten B wird üblicherweise an
Masse gelegt. Man beachte, daß für den
Knoten B Gleichung (6.140) nicht gilt: dort ist
der Strom IA einfach -VAB/R5.
Das Induktivitätsverhalten erhält man also nur
an Punkt A. Insofern läßt sich nicht bei beliebi
gen Schaltungen mit Induktivitäten diese
einfach durch die Schaltung nach Bild (7-140)
ersetzen. Eine an Masse geschaltete
Induktivität erhält man jedenfalls , indem man
Punkt B nach Masse schaltet; Punkt A verhält
sich dann wie eine Induktivität.
17.06.2017 Prof. Dr. Koblitz, FH Karlsruhe FB FT, Analogelektronik, Moltkestr. 30, 76133 Karlsruhe; Tel.: 0721-925-1748 841165458
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