¨Ubungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 9

Übungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 9
(Dated: 5. Mai 2010)
I.
SCHWINGKREIS
1. Die Summe der Spannungen, die über den drei Elementen des Schaltkreises abfallen, muss Null sein. Wir gehen
also einmal durch den Schaltkreis in der Skizze und starten beim Punkt B des Schalters. Wir definieren die
Ladung am Kondensator wie in der Skizze. Mit der Definition, dass der Strom im Uhrzeigersinn fliesst gilt dann
I = −Q̇, da ein positiver Strom fliesst wenn die Ladung abnimmt. Am Widerstand fällt eine Spannung UR = RI
ab. Da wir im Uhrzeigersinn, dem Strom folgend, durch den Schaltkreis gehen, gehen wir von höherem Potential
zu niedrigerem Potential (angedeutet durch die Plus- und Minuszeichen am Widerstand), müssen also RI mit
negativem Vorzeichen einbeziehen. Zwischen den Kondensatorplatten liegt die Spannung Q/C an. Diesmal
gehen wir im Potential hoch, berücksichtigen diesen Beitrag also mit positivem Vorzeichen. Um die Spannung
zwischen den Endpunkten A und B der Spule zu bestimmen, erinnern wir uns zuerst, dass die Spannung stets
so ist, dass sie Änderungen des Stroms durch die Spule entgegenwirken wird. Die Spannung an der Spule ist
˙ Wenn nun der Strom durch die Spule zunimmt, also I˙ > 0, dann liegt A auf höheren
proportional zu LI.
Potential als B, da dies einen Strom im Gegenuhrzeigersinn treiben würde. Dann gehen wir von höherem zu
niedrigerem Potential und müssen LI˙ mit negativem Vorzeichen berücksichtigen. Dasselbe Ergebnis erhält man,
wenn man annimmt, dass I˙ < 0.
Somit ergibt sich
0=
1
˙
Q − RI − LI.
C
(1)
Da I = −Q̇ haben wir schlussendlich
0=
1
Q + RQ̇ + LQ̈.
C
(2)
2. Dies ist die Differentialgleichung für eine harmonische, gedämpfte Schwingung, siehe Tipler Kapitel 14.4. Verglichen mit dem mechanischen Oszillator können wir folgende Zuordnung machen:
Auslenkung x
Masse m
Daempfung b
Federkonstante k
↔
↔
↔
↔
Q
L
R
1/C.
(3)
(4)
(5)
(6)
Die Analogie geht noch weiter. Die potentielle Energie im mechanischen Fall entspricht der Energie die im
elektrischen Feld des Kondensators gespeichert ist. Die kinetische Energie der bewegten Masse entspricht der
magnetischen Energie im Feld der Spule. Mit der Identifikation von Federkonstante und inverser Kapazität,
sieht man auch, dass die Spannung im elektrischen Fall der Kraft im mechanischen Fall entspricht.
2
1.0
0.5
Out[111]=
0.5
1.0
1.5
2.0
-0.5
-1.0
FIG. 1: durchgehend: Spannung, gestrichelt: Strom
3. Der Fall R = 0 entspricht dem harmonischen Oszillator ohne Dämpfung.
q
p
1
(a) Die Frequenz der Oszillation ist dann ω = k/m = LC
und die allgemeine Lösung der Differentialgleichung besitzt die Form
Q(t) = Q0 cos(ωt + φ),
(7)
wobei der Phasenwinkel φ und die Ladung Q0 aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden müssen. Es
gilt Q(t = 0) = Q0 cos φ = CU und Q̇(t = 0) = −ω sin φ = 0. Letzteres gilt, da bei t = 0 kein Strom fliesst.
Folglich ist φ = 0.
(b) Die Ladung (Auslenkung) auf dem Kondensator entspricht, wie wir oben gesehen haben, einer Kraft, die
bestrebt ist, die Ladung abzubauen. Dadurch fliesst ein Strom. Die Spule versucht stets aufgrund ihrer
Induktivität einer Änderung des Stroms entgegenzuwirken (Sie reagiert träge). Wenn die Ladung des
Kondensators abgebaut ist, fliesst immer noch ein Strom, der durch die Spule aufrecht erhalten wird und
somit zu einem erneuten Aufbau einer Ladung, diesmal mit umgekehrtem Vorzeichen, auf dem Kondensator
führt. Dies führt zu einer Oszillation.
(c) Der Strom durch die Spule beträgt
I(t) = −
dQ(t)
= Q0 ω sin(ωt).
dt
(8)
Die Energie im Schwingkreis setzt sich zusammen aus den Energien, die im elektrischen Feld des Kondensators und im magnetischen Feld der Spule gespeichert sind. Damit erhalten wir
µ
¶
¢ 1 Q20
1
1 2
1 Q20
1 Q20 ¡ 2
2
2
2
2
E = CU + LI =
cos (ωt) + L(Q0 ω) sin (ωt) =
cos (ωt) + sin2 (ωt) =
, (9)
2
2
2 C
2 C
2 C
wobei wir ω 2 =
1
LC
verwendet haben. Die Gesamtenergie ist also zeitlich konstant.
4. Der Fall R > 0 entspricht dem harmonischen Oszillator mit Dämpfung. Je nach Grösse des Widerstandes
werden 3 Fälle unterschieden, wie in Tipler Kapitel 14.4 näher erklärt. Allen drei Fällen ist gemeinsam, dass
die Amplitude von Spannung und Strom mit der Zeit abnimmt. Im Widerstand wird elektrische Energie in
Wärmeenergie umgewandelt und zwar die Leistung P = U · I = I 2 · R. Dadurch sinkt im Schwingkreis
die elektrische Energie ab, was man an der Abnahme der Amplitude von Strom und Spannung sieht. Die
elektromagnetische Energie nimmt also ab und wird nach und nach in Wäremenergie umgewandelt.
II.
MESSUNG VON SUSZEPTIBILITÄTEN NACH DER FARADAY-METHODE
1. Das Magnetfeld des geraden, stromdurchflossenen Leiters beträgt
 
µ0 I −y 
x .
B(x, y, z) =
2πr2
0
(10)
3
Die potentielle Energie der Probe im Magnetfeld beträgt Epot = − 12
die Magnetisierung ist. Damit ist die potentielle Energie dann
Epot = −
R
M · BdV = − 12 MV B, wobei M =
V χm
V µ0 χm I 2 2
|B|2 = −
(x + y 2 ).
2µ0
8π 2 r4
χm
µ0 B
(11)
2. In der Ruheposition der Probe gleichen sich Gravitationskraft und Federkraft genau aus. Beim Anschalten des
Stroms kommt somit nur noch die Magnetkraft hinzu. In y−Richtung beträgt die Magnetkraft Die Kraft auf
die Probe in y-Richtung beträgt
Fy = −
dEpot
χm V dB 2
µ0 I 2 V χm
=
=−
.
dy
2µ0 dy
4π 2 y 3
(12)
Diese Kraft führt zu einer Auslenkung ∆y = F/k der Feder (k = 10−5 N/m). Für Titan (Auslenkung −35.6 µm)
ergibt sich die Kraft F = −3.56 × 10−10 N somit die Suszeptibilität χm = 7 × 10−5 . Für Diamant (Auslenkung
11.2 µm) ergibt sich die Kraft F = 1.12 × 10−10 N somit die Suszeptibilität χm = −2.2 × 10−5 . Titan ist also
paramagnetisch und wird in den stärkeren Teil des Feldes hineingezogen, während der diamagnetische Diamant
herausgedrückt wird.
III.
RC-SCHALTUNG
1. Es gibt prinzipiell zwei Möglichkeiten, wie der Widerstand und der Kondensator mit den beiden Anschlüsse des
Gehäuses verbunden sein können: parallel oder in Reihe. Wären sie in Reihe geschaltet, so könnte bei Anliegen
einer Gleichspannung jedoch kein Strom fließen, da der Kondensator für Gleichstrom einen unendlich hohen
Widerstand besitzt. Somit muss es sich um eine Parallelschaltung handeln.
2. Nach der Knotenregel ist der Gesamtstrom die Summe des Strom durch den Widerstand und des Stroms der
zur Auf- und Entladung des Kondensators benötigt wird. Zu jeder Zeit ist die Spannung am Kondensator und
am Widerstand gleich und gegeben durch U (t). Es gilt also
I(t) = IR (t) + IC (t) =
U (t)
1
+ C U̇ (t) = Umax ( cos ωt − ωC sin ωt).
R
R
(13)
3. Um auf die gewünschte Form zu kommen schreiben wir
Imax cos(ωt + φ) = Imax cos ωt cos φ − Imax sin ωt sin φ
(14)
Der Vergleich mit dem vorherigen Ergebnis zeigt, dass gilt
Umax
= Imax cos φ
R
Umax ωC = Imax sin φ.
Eine geometrische Überlegung (Skizze) führt darauf, dass dann gilt:
r
1
Imax = Umax
+ (ωC)2
R2
φ = arctan(ωRC).
(15)
(16)
(17)
(18)
4
4. Wir haben nach Definition der Impedanz
Z=
Umax
R
=p
.
Imax
1 + (ωRC)2
(19)
Für ω = 0 erhalten wir Zω=0 = R, also gilt R = 100Ω. Nun ist R bekannt und wir stellen die Gleichung nach
C um.
r
R2 − Z 2
C=
(20)
Z 2 ω 2 R2
Für ω = 2π50 Hz erhalten wir dann C = 156 µF.