Seminar Logik, Komplexität, Spiele - RWTH

Seminar Logik, Komplexität, Spiele:
Strukturkomplexität von Graphen und
Graph Searching Games
SS 2010
Roman Rabinovich
Mathematische Grundlagen der Informatik
Prof. Dr. Erich Grädel
RWTH Aachen
16.04.2010
–
1 / 14
Problemstellung
I
schwere Probleme auf Graphen: praktisch oft schnell lösbar
I
–
3-Färbbarkeit, Hamiltonkreis, Paritätsspiele
I
Grund: Nur einfache Instanzen werden eingegeben.
I
Ziel: Klassifizierung der Graphen in einfache und komplexe
2 / 14
Ungerichtete Graphen
I
I
Bäume sind einfach, Gitter sind komplex.
Einfach:
I
I
I
Komplex:
I
I
–
ähnlich einem Baum
wenige, einfach verschachtelte Kreise
ähnlich einem Gitter
viele, kompliziert verschachtelte Kreise
3 / 14
Baumzerlegung
1
2
3
4
5
7
9
6
8
10
12
14
11
15
16
13
17
18
19
20
–
21
4 / 14
Baumzerlegung
1
5
7
9
3
- sind baumartig verbunden
4
- enthalten jeden Knoten
12
- enthalten jede Kante
6
8
10
Bags:
2
14
11
15
16
13
17
18
19
20
–
21
4 / 14
Baumzerlegung
1
5
7
9
3
- sind baumartig verbunden
4
- enthalten jeden Knoten
- enthalten jede Kante
6
8
10
Bags:
2
14
11
15
16
13
17
18
- v ∈ Bag1 und v ∈ Bag2
⇒ v in allen Bags dazwischen
14
12
19
15
16
15
16
18
20
21
15
18
17
–
4 / 14
Baumzerlegung
1
5
7
9
10
Bags:
2
3
- sind baumartig verbunden
4
- enthalten jeden Knoten
- enthalten jede Kante
6
8
14
11
15
16
- v ∈ Bag1 und v ∈ Bag2
⇒ v in allen Bags dazwischen
14
12
13
17
18
Baumweite:
minimale
Größe des größten
Bags
15
16 − 1
19
15
16
18
20
21
15
18
17
–
4 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
15
16
13
17
18
19
20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
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16
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20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
15
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20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
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20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
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Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
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11
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20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
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2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
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Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
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20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
15
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20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
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20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
15
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13
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20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
15
16
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20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
15
16
13
17
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20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
15
16
13
17
18
19
20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
15
16
13
17
18
19
20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
15
16
13
17
18
19
20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
15
16
13
17
18
19
20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
15
16
13
17
18
19
20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
2
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
12
- Cops fliegen
6
8
10
Spielregeln:
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
15
16
13
17
18
19
20
–
21
5 / 14
Spieltheoretische Charakterisierung
1
5
7
9
10
2
Spielregeln:
3
- k Cops, ein Räuber
4
- Räuber läuft entlang copfreien Pfaden
- Cops fliegen
6
8
- Cops wollen Räuber fangen
14
11
15
16
13
17
18
Baumweite12= minimale
Anzahl
von Cops, die den Räuber fangen − 1
19
20
–
21
5 / 14
Monotonie
Gewinnstrategie für Cops heißt monoton, wenn sie garantiert, dass:
jeder für Räuber unerreichbare Knoten
bleibt immer unerreichbar.
Theorem
Um monoton zu gewinnen, braucht man keine zusätzlichen Cops.
–
I
monotone Strategie für k Cops ⇒ Baumzerlegung mit |Bags| ≤ k
I
Baumzerlegung mit |Bags| ≤ k ⇒ monotone Strategie für k Cops
6 / 14
Induktiver Aufbau des Graphen
Jeden Graphen mit Baumweite k kann man so konstruieren:
1. k-Baum
1.1 k-Clique ist ein k-Baum
1.2 H ist k-Baum ⇒ H + v ist k-Baum
2. Teilgraphen bilden
–
7 / 14
Induktiver Aufbau des Graphen
Jeden Graphen mit Baumweite k kann man so konstruieren:
1. k-Baum
1.1 k-Clique ist ein k-Baum
1.2 H ist k-Baum ⇒ H + v ist k-Baum
2. Teilgraphen bilden
v
–
7 / 14
Induktiver Aufbau des Graphen
Jeden Graphen mit Baumweite k kann man so konstruieren:
1. k-Baum
1.1 k-Clique ist ein k-Baum
1.2 H ist k-Baum ⇒ H + v ist k-Baum
2. Teilgraphen bilden
v
–
7 / 14
Induktiver Aufbau des Graphen
Jeden Graphen mit Baumweite k kann man so konstruieren:
1. k-Baum
1.1 k-Clique ist ein k-Baum
1.2 H ist k-Baum ⇒ H + v ist k-Baum
2. Teilgraphen bilden
v
–
w
7 / 14
Induktiver Aufbau des Graphen
Jeden Graphen mit Baumweite k kann man so konstruieren:
1. k-Baum
1.1 k-Clique ist ein k-Baum
1.2 H ist k-Baum ⇒ H + v ist k-Baum
2. Teilgraphen bilden
v
–
w
7 / 14
Induktiver Aufbau des Graphen
Jeden Graphen mit Baumweite k kann man so konstruieren:
1. k-Baum
1.1 k-Clique ist ein k-Baum
1.2 H ist k-Baum ⇒ H + v ist k-Baum
2. Teilgraphen bilden
v
–
w
7 / 14
Induktiver Aufbau des Graphen
Jeden Graphen mit Baumweite k kann man so konstruieren:
1. k-Baum
1.1 k-Clique ist ein k-Baum
1.2 H ist k-Baum ⇒ H + v ist k-Baum
2. Teilgraphen bilden
v
–
w
7 / 14
Separatoren
I
I
I
G = (V , E ) zusammenhängeder Graph
Ein Separator: Menge S ⊆ V , so dass G − S mehr als eine
Zusammenhanhgskomponete hat.
Kleine Baumweite ⇒ Bags sind kleine Separatoren.
1
2
3
4
5
7
9
6
8
10
12
14
11
15
16
13
17
18
19
20
–
21
8 / 14
Dynamische Programmierung auf der Baumzerlegung
I
I
Bags klein ⇒ beliebige Berechnungen auf Blätter-Bags
Nutze: Verbindungen zwischen Bags einfach: baumartig!
1
2
3
4
5
7
9
6
8
10
12
14
11
15
16
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17
18
19
20
–
21
9 / 14
Dynamische Programmierung auf der Baumzerlegung
I
I
Bags klein ⇒ beliebige Berechnungen auf Blätter-Bags
Nutze: Verbindungen zwischen Bags einfach: baumartig!
1
2
3
4
5
7
9
6
8
10
12
14
11
15
16
13
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18
19
20
–
21
9 / 14
MSO auf Graphen mit beschränkter Baumweite
Monadic Second Order logic =
FO:
∃x, ∀x, x + 3 · y = 5, ∧, ∨, ¬
+
∃X , ∀X , Xy
I
ausdrückbar z.B. “gegebener Graph ist 3-färbbar” (NP-vollständig!)
Theorem
Problem über Graphen
mit beschränkter Baumweite
in MSO ausdrückbar
⇒ Problem in P lösbar.
–
10 / 14
DAG-Weite
Spieltheoretische Beschreibung:
wie Cops und Räuber, aber Räuber läuft
entlang gerichteten Pfaden.
Es geht um:
–
I
Äquivalenz: Zerlegungen ∼ Spiel
I
Einfache Eigenschaften
I
Schöne Zerlegungnen
I
Berechnung einer Zerlegung
I
Paritätsspiele auf Graphen mit beschränkter DAG-Weite
I
Verhältnis zu anderen Komplexitätsmaßen
I
Monotonie
11 / 14
Kelly-Weite
Spieltheoretische Beschreibung:
wie bei DAG-Weite, aber Räuber ist träge:
läuft nur, wenn von einem Cop vertrieben,
Räuber ist unsichtbar.
Es geht um:
–
I
Äquivalenz: Zerlegungen ∼ Spiel
I
Andere Charakterisierungen
I
Schöne Zerlegungnen
I
Berechnung einer Zerlegung
I
Schwere Probleme auf Graphen mit beschränkter Kelly-Weite
I
Verhältnis zu anderen Komplexitätsmaßen
I
Monotonie
12 / 14
Entanglement
Spieltheoretische Beschreibung:
Räuber ist langsam,
Räuber darf nicht stehen bleiben,
Cops dürfen sich nicht gleichzeitig bewegen,
Cop darf nur auf den Knoten des Räubers springen.
Es geht um:
–
I
Einfache Eingenschaften,
I
Andere Charakterisierung,
I
Verhältnis zu µ-Kalkül
I
Berechnung von Entanglement
I
Paritätsspiele auf Graphen mit beschränktem Entanglement
I
Verhältnis zu anderen Komplexitätsmaßen
13 / 14
Themenliste
1. DAG-Weite
2. Kelly-Weite (Thema vergeben)
3. Entanglement
–
14 / 14