Übungs-Blatt 4 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übungs-Blatt 4
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master E Höhere Mathematik I I (Teil Statistik)
Prof. Dr. B. Grabowski
(Grundlegende Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit,
Klassische Wahrscheinlichkeit, Bedingte Wahrscheinlichkeit, Stochastische Unabhängigkeit,
Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes)
Aufgabe 1)
Berechnen Sie die gesuchten Wahrscheinlichkeiten aus den gegebenen!
a) Gegeben: P(A»B) = 0,9, P( B ) = 0,4
Gesucht: P(A)
b) P(A…B) = 0,3, P(C)=0,7, P((A»C)…(B»C))=0,8 Gesucht: P(A…B…C)
Aufgabe 2) Ein Spam-Filter unterscheidet 3 verschiedene spamverdächtige Worte: F1
=„Viagra“ , F2=“Rolex“, F3=“crown“. Diese Worte treten mit folgenden
Wahrscheinlichkeiten beim
e-mail-Verkehr auf:
P(F1)
P(F2)
P(F3)
P(F1…F2)
P(F1…F3)
P(F2…F3)
P(F1…F2…F3)
0,05
0,05
0,07
0,01
0,02
0,03
0,005
Der Spam-Filter lässt eine e-mail nur dann durch, wenn sie keines der 3 Worte enthält!
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Filter die e-mail durchlässt?
(D.h., wieviel % aller e-mails werden als O.K. eingestuft?)
Aufgabe 3) (Kniffel, (Klassische Wkt))
Sei V der zufällige Versuch „Würfeln mit 5 gleichmäßigen Würfeln (Kniffel)“.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) Alle 5 Augenzahlen sind verschieden voneinander!
b) Pasch, d.h. 5 gleiche Zahlen, sind gewürfelt worden!
c) 2 Dreien und 3 Vieren werden gewürfelt!
d) 2 gleiche Augenzahlen I œ{1,2,3,4,5,6} und 3 gleiche Augenzahlen Jœ{1,2,3,4,5,6}
mit I∫J sind gewürfelt worden.
e) Lange Straße, d.h. die Augenzahlen 2,3,4,5,6 sind gewürfelt worden!
Aufgabe 4) (Code knacken, (Klassische Wkt) )
Ein 5 – stelliger Zahlencode besteht aus den Ziffern 0,1,...,9. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit dafür, den Code auf Anhieb zu erraten, wenn Sie folgende
Zusatzinformationen besitzen:
a) keine weiteren Zusatzinfos
b) Alle Ziffern des Codes unterscheiden sich voneinander!
c) Der Code besteht nur aus den Ziffern 1 und 9 und alle beiden Ziffern kommen vor!
Aufgabe 5)
Sei G ein Übertragungssystem, welches aus 2 hintereinandergeschalteten
Übertragungseinheiten E1 und E2 besteht. Ein Signal wird nur dann fehlerfrei übertragen,
wenn beide Systeme fehlerfrei übertragen.
Berechnen Sie für die Szenarien a) und b) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Nachricht
fehlerfrei übertragen wird!
a) Die Fehlerrate von E2 wird durch die von E1 beeinflusst. Die Wahrscheinlichkeit, dass
E2 eine Nachricht fehlerfrei überträgt unter der Vorrausetzung, dass diese Nachricht
durch E1 fehlerfrei übertragen wurde ist 0,90. Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 eine
Nachricht fehlerfrei überträgt sei 0,85.
b) Die Fehlerrate von E2 wird nicht durch die von E1 beeinflusst, d.h., E1 und E2 verhalten
sich stochastisch unabhängig!. Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 eine Nachricht fehlerfrei
überträgt sei 0,80 und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass E2 eine Nachricht fehlerfrei
überträgt sei 0,90.
Aufgabe 6)
G sei ein Gerät mit n parallelen Reihen, die jeweils 2 Bauelemente in Reihe geschaltet
enthalten.
Das Gerät fällt aus, falls alle Reihen ausfallen.
Eine Reihe fällt aus, falls eines der beiden Bauelemente der Reihe ausfällt.
Die Bauelemente Ei j fallen stochastisch unabhängig voneinander mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
P(Ei j = not OK) = 0,1 für alle i = 1,...,n; j = 1, 2, aus.
Wieviele Reihen muß das Gerät haben, damit die Ausfallwahrscheinlichkeit p des Gerätes 0,1 % nicht
überschreitet, d.h. damit gilt
p = P(G = not OK) ≤ 0,001 ?
Aufgabe 7)
In einer Empfängerstation gehen Nachrichten von 3 verschiedenen Sendern ein. Der
Empfänger empfängt dabei 30 % aller Nachrichten von Sender 1, 20% bzw. 50% von Sender
2 und 3. Über die Fehlerrate (Anteil der fehlerhaft empfangenen Nachrichten unter den
gesendeten) sei bekannt, dass sie bei Sender 1 1%, bei Sender2 und Sender3 2% bzw. 0,5 %
beträgt.
a)
Wie viel % fehlerhafte Nachrichten empfängt der Empfänger insgesamt?
b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt eine empfangene fehlerhafte Nachricht von
Sender 1?
c) Sind die beiden Ereignisse: ‚Die Nachricht ist wird empfangen’ und ‚Nachricht stammt
von Sender 1’ stochastisch unabhängig voneinander ? (Begründung!)