Mathematik-Wettbewerb Känguru 2012
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Hochschule Bremen Fachbereich E-Technik & Informatik Mathematikwettbewerb Känguru e.V. XX. Mathematik-Wettstreit 2012 für Schüler und Studenten Prof. Dr. Th. Risse Sinn & Zweck: In Rahmen unserer Bemühungen um die Mathematik-Ausbildung sind Schüler und Studierende (nicht nur) an der Hochschule Bremen aufgefordert, sich am Mathematik-Wettbewerb Känguru des Känguru Vereins e.V. zu beteiligen. Dieses Dokument soll – wie andere in www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs – Spaß machen und so der Vorbereitung und dem Training dienen. c 2012 Letzte Änderung: 6. Mai 2012 [email protected] Version 0.1 2 1. Einführung Bei Kangourou 2012 handelt es sich um einen jährlichen MathematikWettbewerb des Känguru Vereins e.V., Berlin, den es für unterschiedliche Altergruppen gibt. Die vorliegenden Aufgaben sind für Schüler der 11.–13. Klassen und für Studierende gedacht. Dieses Dokument mit meinen Lösungen (ohne Gewähr ) ist Bestandteil meiner Bemühungen, Studierende (in spe) für Mathematik zu begeistern. Wenn Ihnen dieses Dokument Spaß gemacht hat, probieren Sie doch mal die Dokumente zum Vorkurs, zur Numerik, Zahlentheorie, Kryptographie, Codierung und Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. aus, alle unter http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs. Viel Erfolg! 3 2. Aufgaben mit Lösungen Der Quiz besteht aus 10 leichteren, 10 mittelleichten/mittelschweren und 10 schwereren Aufgaben. Beim Wettbewerb wird selbstverständlich nicht erwartet, daß Sie alle 30 gestellten Probleme in anderthalb Stunden lösen. Alle Aufgaben sind ohne weitere Hilfsmittel zu bearbeiten. Selbstverständlich sind alle Lösungsstrategien erlaubt: Natürlich dürfen Sie Fragestellungen in einem multiple choice test durch Ausschluß beantworten. Im ersten Test einfach auf die richtige Antwort clicken! Aufgabe 1. Mathematik ist (a) fun (b) cool (c) out (d) in Auf die Plätze – fertig – los! (e) voll krass Donnerstag, 15. März 2012 Arbeitszeit: 75 Minuten 1. Von den jeweils 5 Antworten ist genau eine richtig. Abschnitt 2: Aufgaben mitTeilnehmer Lösungen 2. Jeder bekommt zu Beginn 30 Punkte. Bei einer richtigen Antwort werden die Aufgabe 4 dafür vorgesehenen 3, 4 oder 5 Punkte hinzuaddiert. Wird keine Antwort gegeben, gibt es 0 Punkte. Ist die Antwort falsch, werden 3/4, 4/4 oder 5/4 Punkte abgezogen. Die höchste zu erreichende Punktzahl ist 150, die niedrigste 0. 3. Taschenrechner sind nicht zugelassen. 1. Auf Grund starker Regenfälle ist Höhe des Wasserstandes 3-Punkte-Aufgaben 2,50 m im DorfA1 Auf derGrundWasserstand starker Regenfälle ist im des Dorf der 2,40 m Mühlbachs stark gestiegen. 2,30 m MühlbachsWasserstand stark desgestiegen. Das Das Diagramm zeigt den Verlauf in den letzten 2,20 m 15 Tagen. An wie vielen Tagen stand das Wasser 2,10 m Diagrammhöher zeigt den Verlauf in 2,00 m als der kritische Wasserstand von 2,10 m? 1,90 m den letzten (A) 154 Tagen. (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E ) 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tag Die Summe der Ziffern einer 7-stelligen Zahl ist 6. Was ist dashöher Produkt derals Ziffernder dieser Zahl? An wie A2vielen Tagen stand das Wasser kritische 1·2·3·4·5·6·7 (B) 1·2·3·4·5·6 (C) 6 (D) 1 (E ) 0 Wasserstand(A)von 2,10m? Alfredo hat für seine neue Show 42 Flöhe dressiert. Auf ein Signal ordnen sich alle zu lauter (a) 4 A3 Clown 8 Zahlen kann(d) 12 sein? gleich(b) großen6Gruppen. Welche(c) der folgenden sicher10 nicht die Anzahl (e) der Gruppen 2 (B) 6 (C) 7 (D) 12 ) 14 2. Die Summe(A)der Ziffern einer 7-stelligen Zahl ist 6. (EWas ist das 11 12 1 10 2 Beim Ziffern Reparieren einer alten Uhr Zahl? ist der Uhrmacherlehrling nicht sicher, ob er alles ProduktA4der dieser richtig gemacht hat. Das Uhrwerk ist in Ordnung, aber er könnte die drei Zeiger für 9 3 Stunden, Minuten und Sekunden vertauscht haben. Das Bild rechts zeigt die Uhr (a) 2·3·4·5·6·7 (b) 2·3·4·5·6 (c) 6 (d) 1 (e)8 07 5 4 um 12:55:30 Uhr. Wie sieht diese Uhr um 8:10:00 Uhr aus? 6 12 1 11 12 1 11 12 1 11 12 1 11 12 1 3. Clown Alfredo10 11hat für seine neue Show 422 Flöhe dressiert. Auf2 ein 2 10 2 10 10 2 10 3 9 3 9 3 9 3 9 3 Signal ordnen9 sich alle zu lauter gleich großen Gruppen. Welche 8 4 8 4 8 4 8 4 8 4 der folgenden kann der 7 6 5 7 6 sicher 5 7 6 5 die 7 6 5 7 6 5 (A) Zahlen (B) (C) nicht (D)Anzahl (E ) Gruppen sein? A5 Till und Jan bekommen 5 Pakete geliefert, die 1 kg, 4 kg, 7 kg, 8 kg und 12 kg wiegen. Sie helfen dem Paketzusteller beim Hochtragen. Ein Paket trägt der Paketzusteller, und Till und Jan tragen den Rest, und zwar Welches trägt? (a) 2 (b)beide6 dasselbe Gewicht. (c) 7 Gewicht hat das (d)Paket, 12das der Paketzusteller (e) 14 (A) 1 kg (B) 4 kg (C) 7 kg (D) 8 kg (E ) 12 kg Zahlenhöher kann sicher nicht die Anzahl der Gruppen sein? höher als der kritische Wasserstand von 2,10 m? höher als der kritische Wasserstand von 2,10 m? höher höher als als der der kritische kritische Wasserstand Wasserstand von von 2,10 2,10 m? m? als der kritische Wasserstand von 2,10 m? 1,90 mm 1,90 1,90 1,90 1,90 mmm )7 (A) (B) (C) (D) 10 (E )12 12 (A) 444 Aufgaben (B) (C) (D) 10 (E (A) (A) (B) (B) (C) (C) (D) (D) 10 10(E (E ))12 )12 12 (A) 442: (B) 66666 (C) 88888 (D) 10 )(E Abschnitt mit Lösungen (D) 12 910 10 11 12 13 14 15 Tag 11 12 13 14 15 Tag 910 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 Tag Tag5 111121222323334344454555656667677787888 989910 11 12 13 14 15 Tag (E ) 14 Die Summe der Ziffern einer 7-stelligen Zahl ist 6. Was ist das Produkt der Ziffern dieser Zahl? A2 Summe der Ziffern einer 7-stelligen Zahl ist 6. Was ist das Produkt der Ziffern dieser Zahl? Die Die Summe Summe der der Ziffern Ziffern einer einer 7-stelligen 7-stelligen Zahl Zahl ist ist 6. Was Was ist ist das das Produkt Produkt der der Ziffern Ziffern dieser dieser Zahl? Zahl? A2 A2Die Summe der Ziffern einer 7-stelligen Zahl ist 6.6. Was ist das Produkt der Ziffern dieser Zahl? A2 4. Beim Reparieren einer alten Uhr ist der (A) 1·2·3·4·5·6·7 (B) 1·2·3·4·5·6 (C) (D) (E (A) 1·2·3·4·5·6·7 (B) 1·2·3·4·5·6 (C) (D) (E (A) (A) 1·2·3·4·5·6·7 1·2·3·4·5·6·7 (B) (B) 1·2·3·4·5·6 1·2·3·4·5·6 (C) (C) (C) (D) (D) 1111 )0))0)000 (A) 1·2·3·4·5·6·7 (B) 1·2·3·4·5·6 66666 )(E 11 (E(E12 1 Uhrmacherlehrling nicht sicher, ob er(D) al-1 A3 Clown Alfredo hat für seine neue Show 42 Flöhe dressiert. Auf ein Signal ordnen sich alle zu lauter Clown Alfredo hat für seine neue Show 4242 Flöhe dressiert. Auf ein Signal ordnen sich alle zu lauter A3A3Clown Clown Clown Alfredo Alfredo hat hat für für seine seine neue neue Show Show 42 Flöhe Flöhe dressiert. dressiert. Auf Auf ein ein Signal Signal ordnen ordnen sich sich alle alle zu lauter A3 Alfredo hat für seine neue Show 42 Flöhe dressiert. Auf ein Signal ordnen sich alle zuzu lauter les richtig gemacht hat. Das Uhrwerk ist 10 2lauter acherlehrling nicht sicher, ob er alles gleich großen Gruppen. Welche der folgenden Zahlen kann sicher nicht die Anzahl der Gruppen sein? gleich großen Gruppen. Welche der folgenden Zahlen kann sicher nicht die Anzahl der Gruppen sein? gleich gleich großen großen Gruppen. Gruppen. Welche Welche der der folgenden folgenden Zahlen Zahlen kann kann sicher sicher nicht nicht die die Anzahl Anzahl der der Gruppen Gruppen sein? sein? gleich großen Gruppen. Welche der folgenden Zahlen kann sicher nicht die Anzahl der Gruppen sein? in Ordnung, aber er könnte die drei Zeiung, aber(A) er könnte die drei Zeiger für (A) 2 (B) 6 (C) 7 (D) 12 (E ) 14 (A) (B) (C) (D) 12129 (E ) 14 (A) (A) (B) (B) (C) (C) (D) (D) 12 (E )14 )1414 222 2 (B) 666 6 (C) 777 7 (D) 12 (E )(E 3 ger für Stunden, Minuten und Sekunden 12 12 12 1212 11 11 11 1111 1 1111 haben. Das Bild rechts zeigt die Uhr 10 A4 Beim Reparieren einer alten Uhr ist der Uhrmacherlehrling nicht sicher, ob er alles 1010 Beim Reparieren einer alten Uhr istist der Uhrmacherlehrling nicht sicher, ober eralles alles A4A4Beim Beim Beim Reparieren Reparieren einer einer alten alten Uhr Uhr ist der der Uhrmacherlehrling Uhrmacherlehrling nicht nicht sicher, sicher, ob ob er er alles alles 1010 A4 Reparieren einer alten Uhr ist der Uhrmacherlehrling nicht sicher, ob vertauscht haben. Das Bild rechts zeigt die 8 42322332233 richtig gemacht hat. Das Uhrwerk ist in Ordnung, aber er könnte die drei Zeiger für richtig gemacht hat. Das Uhrwerk ist Ordnung, aber er könnte die drei Zeiger für richtig richtig gemacht gemacht hat. hat. Das Das Uhrwerk Uhrwerk ist ist inin in Ordnung, Ordnung, aber aber er könnte könnte die die drei drei Zeiger Zeiger für für 9 9999 richtig gemacht hat. Das Uhrwerk ist in Ordnung, aber erer könnte die drei Zeiger für Uhr um 12:55:30 Uhr.vertauscht Wie sieht diese Uhr 0:00 Uhr aus? Stunden, Minuten und Sekunden vertauscht haben. Das Bild rechts zeigt die Uhr Stunden, Minuten und Sekunden vertauscht haben. Das Bild rechts zeigt die Uhr Stunden, Stunden, Minuten Minuten und und Sekunden Sekunden vertauscht vertauscht haben. haben. Das Das Bild Bild rechts rechts zeigt zeigt die die Uhr 8 8888 5 Stunden, Minuten und Sekunden haben. Das Bild rechts zeigt die Uhr 7Uhr 6 7 77767 66656 554554444 12:55:30 Uhr. Wie sieht diese Uhr um 8:10:00 Uhr aus? um 12:55:30 Uhr. Wie sieht diese Uhr um 8:10:00 Uhr aus? um um 12:55:30 12:55:30 Uhr. Uhr. Wie Wie sieht sieht diese diese Uhr Uhr um um 8:10:00 8:10:00 Uhr Uhr aus? aus? um 12:55:30 Uhr. Wie sieht diese Uhr um 8:10:00 Uhr aus? um 8:10:00 Uhr aus? 12 1212 12 12 11 1111 11 1111 1 11 12 1010101011101 2222 2 9999 9 10 2 33333 8888 8 4444 4 12 12 12 12 12 11 12101010101110111111111 1111212222 9999910 33333 99999 2 33333 12 12 12 12 12 11 11 11 11 11 11111 10 10 10 22222 10 10 88888 44444 88888 44444 12 12 1212 12 11 11 1111 11 1 1111 11 12 10 10 1010 2 2222 10 1 9 9999 10 3 3333 9 9999 23 3333 12 12 1212 12 11 11 1111 11 1 1111 10 10 1010 2 2222 10 8 8888 4 4444 8 8888 4 4444 (A) (B) (C) (D) (E (A) (C) )(E (A) (B) (C) (D) (E (A) (A) 7777 76666 65555 5 (b) (B) (B) 777776666655555 (c) (C) (C) 777776666655555 (D) (D) (D) 7 77776 66665 5555 (E (E )))) 7 77767 66656 5555 (a) (e) 3 (B) 9 3 (d) 9 3 A5 Till und Jan bekommen 5 Pakete geliefert, die 1 kg, 4 kg, 7 kg, 8 kg und 12 kg wiegen. Sie helfen dem A5 Till und Jan bekommen 5 Pakete geliefert, die 1 kg, 4 kg, 7 kg, 8 kg und 12 kg wiegen. Sie helfen dem A5 TillTill und und Jan Jan bekommen bekommen 55Pakete 5Pakete Pakete geliefert, geliefert, die die 11kg, 1kg, kg, 4geliefert, 4kg, kg, 77kg, 7kg, kg, 88kg 8kg kg und und 12 kg wiegen. wiegen. Sie Sie helfen dem dem und Jan bekommen geliefert, die 4kg, und kg wiegen. Sie helfen 5.A5Till und Jan bekommen 5 Pakete die 11212kg kg, 4 kg, 7helfen kg, 8dem kg Paketzusteller beim Hochtragen. Paket trägt der Paketzusteller, und Till und Jan tragen den Rest, Paketzusteller beim Hochtragen. Ein Paket trägt der Paketzusteller, und Till und Jan tragen den Rest, Paketzusteller Paketzusteller beim Hochtragen. Hochtragen. Ein Ein Paket Paket trägt trägt der der Paketzusteller, Paketzusteller, und und Till Till und und Jan Jan tragen tragen den den Rest, Paketzusteller beim Hochtragen. Ein Paket trägt der Paketzusteller, und und Jan tragen den Rest, 8 4beim 8Ein 4 8Till 4Rest, und 12 kg wiegen. Sie helfen dem Paketzusteller beim Hochtragen. und zwar beide dasselbe Gewicht. Welches Gewicht hat das Paket, das der Paketzusteller trägt? und zwar beide dasselbe Gewicht. Welches Gewicht hat das Paket, das der Paketzusteller trägt? und und zwar zwar beide beide dasselbe dasselbe Gewicht. Gewicht. Welches Welches Gewicht Gewicht hat hat das das Paket, Paket, das das der der Paketzusteller Paketzusteller trägt? trägt? zwar beide dasselbe Gewicht. Welches Gewicht hat das Paket, das der Paketzusteller trägt? 7 Ein 51kg 7 (C) 5kg und(D) 5kg den ) (D) (E trägt der Till und 7Jan (A) 1Paket kg (B) 444kg 777 kg 88kg (E )(E kg 6(A) 6(C) 6)12 (A) (B) (C) (D) 88) (E )tragen kg (A) 111 kg (B) (B) 4kg kgPaketzusteller, (C) (C) 7kg (D) (D) kg 8kg kg (E )12 12 kg (A) kgkg (B) 4kg kg 7kg kg (D) kg (E )12 12 kg Rest, und zwar beide dasselbe Gewicht. Welches Gewicht das 10 ?????hat1010 10 10 A6 schreibt 5555Zahlen ininin Reihe, als erste eine 222und als letzte eine 10: A6 Karen schreibt eine Reihe, als erste eine als letzte eine 10: A6 A6Karen Karen Karen schreibt schreibt Zahlen 5Zahlen Zahlen in eine eine Reihe, Reihe, als als erste erste eine eine 2und und als als letzte letzte eine eine 10: 10:22222 Karen schreibt Zahlen ineine eine Reihe, als erste eine 2und und als letzte eine 10: Paket, das der Paketzusteller trägt? Das Produkt der ersten drei Zahlen soll 20 sein, das Produkt der mittleren drei Zahlen 60 und das Das Produkt der ersten drei Zahlen soll 20 sein, das Produkt der mittleren drei Zahlen 60 und das Das Das Produkt Produkt der der ersten ersten drei drei Zahlen Zahlen soll soll 20 20 sein, sein, das das Produkt Produkt der der mittleren mittleren drei drei Zahlen Zahlen 60 60 und und das das Produkt der ersten drei Zahlen soll 20 sein, das Produkt der mittleren drei Zahlen 60 und das e 1 kg, 4Produkt kg, 7 kg, 8 kg und 12 kg wiegen. Sie helfen dem der letzten drei Zahlen 300. Welche Zahl steht inininin der Mitte? Produkt der letzten drei Zahlen 300. Welche Zahl steht der Mitte? Produkt Produkt der der letzten letzten drei drei Zahlen Zahlen 300. 300. Welche Welche Zahl Zahl steht steht in der der Mitte? Mitte? Produkt der letzten drei Zahlen 300. Welche Zahl steht der Mitte? (a) 1 (b) 4 (c) 7 (d) 8 (e) 12 9 (A) 55555 (B) 11111 und Till (C) 222und (D) 10 (E )(E (A) (B) (C) (D) 10 (E (A) (A) (B) (B) (C) (C) (D) (D) 10 10 (E )4))4)4Rest, (A) (B) (C) 22 (D) 10 (E 44 ägt der Paketzusteller, Jan tragen den ewicht hat das Paket, das der Paketzusteller trägt? Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 6 6. Karen schreibt 5 Zahlen in eine Reihe, als erste eine 2 und als letz? 10 Das Produkt der ersten drei Zahlen soll te eine 10: 2 20 sein, das Produkt der mittleren drei Zahlen 60 und das Produkt der letzten drei Zahlen 300. Welche Zahl steht in der Mitte? (a) 5 (b) 1 (c) 2 (d) 10 (e) 4 7. Aus den Ziffern 0, 1, 2, 3 werden zwei Zahlen gebildet, wobei jede Ziffer genau einmal verwendet wird. Dann werden diese Zahlen miteinander multipliziert. Wie groß kann das Produkt höchstens sein? (a) 600 (b) 620 (c) 630 (d) 640 (e) 650 8. Das rechts gezeichnete Dreieck ist gleichschenklig, die Punkte M und N sind die Mittelpunkte der Schenkel. Von drei Teilflächen ist der Flächeninhalt bekannt. Welchen Flächeninhalt hat die vierte, weiße Teilfläche? (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 M N 3 3 6 (e) 7 √ Abschnitt 2:√ Aufgaben mit Lösungen √ 6 3 7 (C) (D) 4 (E ) 2 p √ 4 3 9. 2 2 =? √ √ √ x 3 < 64 (a) < x 21. Welche (b) Aussage dann6 4auf x zu? 2 trifft(c) (d) 3 4 (e) 2 3 2 reelle x gilt(D) x −4 < 64 Aussage trifft ) −810. < x Für < 4 eine(C) x > Zahl 8 < x<<x8 . Welche (E ) x < −8 dann auf x zu? (a) 0 < x < 64 (b) −8 < x < 4(c) x > 8 (d) −4 < x < 8(e) x < −8 n 11. Ein Würfel wird über seine Kanten von A A ne Kantenauf aufden denabgebildeten abgebildeten Feldern Feldern von nach G kommt gerollt.der AufWürfel genau dabei zwei Felau zwei Feldern mit B A dern kommt der Würfel dabei mit C liegen. Das sind die Felder D derselben Seitenfläche zu liegen. Das E F G nd F (C)sind A und (D) B und F (E ) B und G dieEFelder (a) Aistund (b) A und Fdie(c) A und E (d) BPunktzahl und F (e)war B und n Inas Klasse gutGausgefallen, durchschnittliche 20. G 2 12. Die letzte in InasDann Klasse gut Klasse ausgefallen, die die Jungen 21 und dieMathe-Arbeit Mädchen 18 Punkte. sind ist in Inas durchschnittliche Punktzahl war 20. Im Durchschnitt hatten die ungen wie Mädchen. (B) doppelt so viele Mädchen wie Jungen. Jungen 21 und die Mädchen 18 Punkte. Dann sind in Inas Klasse ngen wie Mädchen. (D) viermal so viele Mädchen wie Jungen. gen wie Mädchen. nem Namen Ehre machend – ein Beet in der abgebildeten Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 8 (a) doppelt so viele Jungen wie Mädchen (b) doppelt so viele Mädchen wie Jungen (c) viermal so viele Jungen wie Mädchen (d) viermal so viele Mädchen wie Jungen (e) genauso viele Jungen wie Mädchen. 13. Herr Pythagoras hat – seinem Namen Ehre machend – ein Beet in der abgebildeten Form angelegt. In das rechtwinklige Dreieck in der Mitte pflanzt er rote Rosen, in das große Quadrat weiße Rosen und in die zwei identischen kleineren Quadrate gelbe Rosen. Insgesamt ist das Beet 16m 16m breit. Welche Fläche hat es? (a) 114m2 (b) 130m2 (c) 144m2 (d) 160m2 (e) 186m2 14. In unserer Schülerzeitung ist diesmal ein Bericht über die sportbegeisterte Klasse 5a. Darin steht, dass an jeder der vier angebotenen Sport-AGs 80% der Kinder teilnehmen, einige sogar an Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 9 mehreren. Nun stellt sich die Frage: Wie viele Kinder sind es mindestens, die an allen vier AGs teilnehmen? (a) 80% (b) 60% (c) 40% (d) 20% (e) 16% 15. Einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seitenlängen 8, 15 und 17 ist ein Halbkreis einbeschrieben (Abb. nicht maßstabsgerecht). Wie groß ist sein Radius? 8 17 15 24/5 (b) 17/3 (c) 21/4 (d) 20/3 (e) 5 tufen 11 (a) bis 13 3 16. Rechts sind die Ansichten eivon vorn von oben nes Körpers von oben und eines Körpers von oben und von vorn von vorn zu sehen, wobei unre Kanten gestrichelt gezeichnet sind. sichtbare Kanten gestrichelt hnungen stellt die Ansicht von links dar? gezeichnet sind. Welche der folgenden Zeichnungen stellt die Ansicht von links dar? (C) (D) (E ) 1 resehen, Kanten gestrichelt gezeichnet sind. wobei unsichtbare Kanten gestrichelt gezeichnet sind. unsichtbare Kanten gestrichelt gezeichnet sind. zu sehen, wobei unsichtbare Kanten gestrichelt gezeichnet u wobei unsichtbare Kanten gestrichelt gezeichnet sind. sind. Abschnitt 2:der Aufgaben mit Lösungen 10 hnungen stellt die Ansicht von links dar? r folgenden Zeichnungen stellt die Ansicht von links dar? Welche folgenden Zeichnungen stellt die Ansicht von links dar? den Zeichnungen stellt die Ansicht von links dar? Welche der folgenden Zeichnungen stellt die Ansicht von links dar? (A) (B)(A) ) ( (E(D) ) (a) (B) (C) (B) (b) (C)(B) (C) (c) (D)(C) (D) (d)(C) (D) (E (e)(D) 1 17. Für eine der folgenden Funktionen gilt: 1 x anstelle von x in 1 Wird 1 1 1 1 B7 Für eine dergilt: folgenden Funktionen gilt: Wird ür eine der folgenden Wird anstelle von infvon die die Funktion fFunktionen (x)gilt: eingesetzt, man . Dann ist f(x (x) =in?f die nktionen gilt: Wird anstelle vongilt: x erhält in die fanstelle (xdie ) xeingesetzt, dann nden Funktionen Wird anstelle von xFunktion in die )xFunktion eingeset er folgenden Funktionen Wird anstelle von in Funktion (x )F f (x)xFunktion x x x x x 1 2 11 + 1 1 (b) 1 1 (a) (c) (d) (e) x + x1 x x . Für welche? x+1 erhält man . xFür welche? hält Für man welche? he? . Für welche? (x )einem Quiz mitgemacht, bei dem für die erste Frage f (x ) hatf bei f (x18. ) Georg 11 1 zweite12 2Punkte, 1 dritte 1 1 2für die 2 1 f (x(A) 1= 1(C) ein zu1(B) erreichen war, 1 f1(xfür 1 Punkt 2 (D) )(C) + (B) )(D) =die (C) (x=) (E = f ()( 1f) (x + f(C) (x )f= f)(D) (x ) f=(xf (D) (D) f (E (x )) = (x = (x ) = ) f (x (x 1 )(B) = f (x ) = f (x = ) f (x ) = x + )f(A) = + 3)f = (B) f (x ) = (C) f (x ) = f (x ) = x x x + 1 x + 1 ihm x +xQuiz 1 xwurde x1 x + 1x dass erx alle x x Punktexxusw. Nach x dem x + mitgeteilt, Fragen richtig beantwortet hat und dafür insgesamt 149 Punkte B8 Georg hat bei einem Quiz mitgemacht, bei für die erste Frage ein eorg hat beiQuiz einem Quiz bei dem fürdem die erste Frage ein Punkt m Quiz mitgemacht, bei dem für die erste Frage ein Punkt zu erreichen wa mitgemacht, beiGeorg dem fürmitgemacht, die erste Frage ein Punkt zu erreichen war, diz bei einem mitgemacht, bei dem fürdass die erste Frage ein Punkt zufür erre erhält. hat sofort bemerkt, diese Punktzahl nicht stimzweite Punkte, fürdem die dritte 3 eine Punkte usw. Nach dem Quiz wurde weite Punkte, für die dritte 3 Quiz Punkte usw. Nach dem Quiz wurde ihm mitget men Tatsächlich wurde der Aufgaben doppelt gezählt. ür dritte Punkte usw. Nach dem Quiz wurde ihm mitgeteilt, dass er ihm all ttedie 3 2Punkte usw. Nach wurde ihm mitgeteilt, dass er alle Fragen unkte, für die32kann. dritte 3 Punkte usw. Nach dem Quiz wurde ihm mitgeteilt, d richtig beantwortet hat und dafür insgesamt 149 Punkte erhält. Georg chtig beantwortet hat und dafür insgesamt 149 Punkte erhält. Georg hat sof Welche? t dafür hat und dafür 149 erhält. Punkte erhält.hat Georg hat sofort d dntwortet insgesamt 149 Punkte sofort bemerkt, dass diese hat undinsgesamt dafür insgesamt 149Georg Punkte erhält. Georg hatbemerkt, sofort bem Punktzahl nicht(b) stimmen kann. Tatsächlich wurde eine der Aufgaben unktzahl nicht stimmen kann. Tatsächlich wurde eine der Aufgaben doppelt (a) 2 7 (c) 10 (d) 13 (e) 17 immen kann. Tatsächlich wurde eine der Aufgaben doppelt gezählt. Welch kann. wurde eine der Aufgaben gezählt.doppelt Welche?gezäh nicht Tatsächlich stimmen kann. Tatsächlich wurde einedoppelt der Aufgaben 2 (B) 7 (C) 10 (A) (B) 2 (A) (B) 7 (C) 10 (D) 13 (D) 13 7 (B) (C) 7 7 10 (C) 10 (C) (D) 10 13 (D) 13 (D) (E 13) 17 (E ) 17 ( B9 einem Quadrat der Seitenlänge 2Mittelpunkt ist E Mittelpunkt SC D derAB einemInQuadrat ABCD ABCD der Seitenlänge 2 ist E D der Seite ABCD der Seitenlänge 2 ist E 2Mittelpunkt SeitederAB der Seitenlänge 2 istSeitenlänge E Mittelpunkt SeitederAB Quadrat ABCD der ist der E Mittelpunkt Seite AB Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 19. In einem Quadrat ABCD der Seitenlänge 2 ist E Mittelpunkt der Seite AB und F Mittelpunkt der Seite AD. Der Punkt G liegt so auf der Strecke CF , dass 3CG = 2GF gilt. Wie groß ist der Flächeninhalt des geschummerten Dreiecks ∆(EBG) ? (a) 7/10 (b) 4/5 (c) 8/5 11 D C G F A (d) 3/5 E B (e) 6/5 20. Welches ist die größte natürliche Zahl n, für die n20 < 530 gilt? (a) 5 (b) 6 (c) 8 (d) 11 (e) 12 21. In der Zahlenfolge 1, 1, 0, 1,-1,. . . sind die ersten beiden Glieder a1 und a2 gleich 1. Das dritte Glied ist die Differenz der beiden vorhergehenden Glieder: a3 = a1 − a2 . Das vierte Glied ist die Summe der beiden vorhergehenden Glieder: a4 = a2 + a3 . Weiter ist a5 = a3 − a4 , a6 = a4 + a5 , a7 = a5 − a6 usw. Wie groß ist die Summe der ersten 25 Glieder dieser Zahlenfolge? (a) 0 (b) 1 (c) -12 (d) 25 (e) -2 Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 12 22. Die vier Buchstaben A, B, C, D sollen so durch die vier Zahlen 1, 2, 3, 4 ersetzt werden, dass S = A·B + B·C + C·D + D·A durch 3 teilbar ist. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? (a) 8 (b) 12 (c) 14 (d) 16 (e) 24 23. In einem regelmäßigen Achteck ABCDEF GH wird von den Eckpunkten C, D, E, F, G, H einer zufällig ausgewählt und mit A verbunden. Dann wird noch einmal unter denselben 6 Eckpunkten einer zufällig ausgewählt und mit B verbunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Achteck durch die beiden Strecken in genau 3 Teile geteilt wird? (a) 5/18 (b) 2/5 (c) 4/9 (d) 7/15 (e) 1/3 24. Wie groß ist der kleinstmögliche Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck ∆(ABC), in dem es eine Seitenhalbierende gibt, die das Dreieck ∆(ABC) in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegt? (a) 15o (b) 22,5o (c) 30o (d) 36o (e) 45o 25. Beginnend mit dem Bruch 78 führt Yildiz nacheinander, ohne die entstehenden Brüche zu kürzen, eine von zwei möglichen Opera- 7 führt Yildiz nacheinander, ohne die entstehenden Brüche zu kürzen, 8 Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 13 perationen aus: Entweder addiert sie 8 zum Zähler, oder sie addiert 7 zum tionen aus: Entweder addiert sie 8 zum Zähler, oder 7 sie addiert Operationen erhält Yildiz wieder einen Bruch mit dem Wert . Wie wieder viele 7 zum Nenner. Nach mehreren Operationen erhält8Yildiz 7 einen Bruch mit dem Wert 8 . Wie viele Operationen hat Yildiz ndestens ausgeführt? mindestens ausgeführt? 81 (C) 109 (D) 113 (E ) 128 (a) 56 (b) 81 (c) 109 (d) 113 (e) 128 12 cm 26. Zacharias Zeiger hat eine modische, rechteckige Uhr gebaut. Die modische, Zeiger 11 12 1 10 2 rechteckige Uhr gebaut. Die Zeiger dree bei jeder anderen Uhr. Der Abstand zwischen ? gleichmäßig jeder ancm. Wie hen groß sich ist der Abstand (inwie cm)bei zwischen 3 deren Uhr. Der Abstand zwischen der 8 9 ht maßstabsgerecht) und √ der 10 beträgt √12 cm. Wie groß √ ist 8 4 7 6 5 der Abstand (in cm) zwischen der 1 (C) 4 3 (D) 2+ 3 (E ) 12−3 und 3 der 2? (Abb. nicht maßstabsgerecht) √ √ √ Hilfe dieser 3√Gewichtsstücke√ gt einen Satz an.4Mit (a) 3aus3 3 Gewichtsstücken (b) 2 3 (c) 3 (d) 2 + 3 (e) 12 − 3 3 nwaage die ganzzahligen Gewichte 1 g, 2 g, 3 g, . . . , N g abwiegen können, 27. Feinmechaniker Friebe fertigt einen Satz aus 3 Gewichtsstücken ch sein soll. Jedes Gewichtsstück kann auf jeder der beiden Waagschalen an. Mit Hilfe dieser 3 Gewichtsstücke möchte er mit einer Balte gestellt werden. Wie groß ist N ? kenwaage die ganzzahligen Gewichte 1 g, 2 g, 3 g,. . . ,N g abwiegen können, groß13 wie möglich sein 8 (C) 9 wobei N so (D) (E ) soll. 16 Jedes Gewichtsstück kann auf jeder der beiden Waagschalen verwendet er Seitenlänge 1 rollt, ohne zu chaniker Friebe fertigt einen Satz aus 3 Gewichtsstücken an. Mit Hilfe dieser 3 Gewichtsstücke er mit einer Balkenwaage diemit ganzzahligen Abschnitt 2: Aufgaben Lösungen Gewichte 1 g, 2 g, 3 g, . . . , N g abwiegen können, 14 N so groß wie möglich sein soll. Jedes Gewichtsstück kann auf jeder der beiden Waagschalen oder auchgestellt beiseite gestellt groß ist N ? et oder auch beiseite werden. Wie werden. groß ist NWie ? 6 (a) (B) 6 8 (b) 8 (C) 9 (c) 9 28. Ein gleichseitiges Dreieck der chseitiges Dreieck der Seitenlänge Seitenlänge 1 rollt,1 rollt, ohneohne zuzu n, um ein Quadrat der Seitenlänge 1 (siehe Bild). rutschen, um ein Quadrat der g ist der Weg, den der markierte Punkt zurückSeitenlänge Bild). hat, wenn das Dreieck und 1der(siehe Punkt ihre StartWie lang ist der Weg, den zum ersten Mal wieder erreicht haben? der (D)(d) 13 13 (e) (E )1616 ... Start 28 Punkt zurückgelegt 14 21 markierte hat, (D) wenn (B) π (C) π 8π das Dreieck (E ) undπ der 3 3 2 Punkt ihre Startposition zum ersten Mal wieder erreicht haben? 28 14 21 2 4π (b) wir (c) 3 wie π der Graph (d) 8πder Funktion (e) g(x in unserer(a) Mathe-AG sollten uns vorstellen, 3 π 2 π) = x von eraden in jeweils 2 Punkten geschnitten wird. Dabei ist jede dieser 2012 Geraden parallel zur 29. Gestern in unserer Mathe-AG sollten wir uns vorstellen, wie der n y = x . Wie groß ist dann die Summe der x -Koordinaten aller Schnittpunkte? Graph der Funktion g(x) = x2 von 2012 Geraden in jeweils Es hängt2 von 0 (B) 1006 2012 Dabei ist(D) 4024dieser 2012 (E )Geraden der Lage der Punkten geschnitten(C) wird. jede Geraden ab. parallel zur Geraden y = x. Wie groß ist dann die Summe der nkes magische Kröten sind äußerlich alle gleich, doch es gibt gute und böse. Ist eine gute x-Koordinaten aller Schnittpunkte? mit 3 bösen(a) in einem Raum, auch sie(c) böse. Ist eine(d) böse4024 Kröte mit 3 guten in einem 0 (b)wird 1006 2012 wird sie rot und schämt sich. Zu Testzwecken setzt Frau Unke 3 Kröten in einen leeren Raum. (e) Es hängt von der Lage der Geraden ab. etzt sie die 4. Kröte dazu und nimmt kurz danach die 1. wieder heraus. Dann setzt sie die 5. 4π d nimmt kurz danach die 2. wieder heraus usw. Als sie die 2012. Kröte in den Raum setzt, Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 15 30. Frau Unkes magische Kröten sind äußerlich alle gleich, doch es gibt gute und böse. Ist eine gute Kröte mit 3 bösen in einem Raum, wird auch sie böse. Ist eine böse Kröte mit 3 guten in einem Raum, wird sie rot und schämt sich. Zu Testzwecken setzt Frau Unke 3 Kröten in einen leeren Raum. Dann setzt sie die 4. Kröte dazu und nimmt kurz danach die 1. wieder heraus. Dann setzt sie die 5. dazu und nimmt kurz danach die 2. wieder heraus usw. Als sie die 2012. Kröte in den Raum setzt, läuft zum ersten Mal eine Kröte rot an. Welche der folgenden Kröten könnten beide von Beginn an böse gewesen sein? (a) 1. und (b) 2. und (c) 3. und (d) 4. und (e) 2. und 2011. 2010. 2009. 2012. 2011. 16 Lösungen der Aufgaben Lösung zu Aufgabe: Wegen eigener Befangenheit hier nur ein paar Hinweise auf Literatur, die die Bibliothek und/oder ich gern auch leihweise zur Verfügung stellen: • Albrecht Beutelspacher: Mathematik für die Westentasche; Piper Verlag 2001 120 S. 9.90 e und viele weitere Titel • P.J. Davis, Reuben Hersh: Erfahrung Mathematik; Birkhäuser 1985 ISBN 3-7643-1359-5 • Udo Hebisch: Bücher über Mathematik – umfangreiche (link) list; www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/cafebuecher.html • John A. Paulos: Innumeracy – Mathematical Illiteracy and its Consequences; Penguin 1988 ISBN 0-14-012255-9 • Wilhelm Sternemann: Neue Fraktale aus platonischen Körpern; Spektrum der Wissenschaft 11/2000, www.wissenschaft-online.de/abo/spektrum/archi Weitere Literatur-Hinweise finden sich in den oben genannten Dokumenten, s.a. www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs. Test beenden Lösungen der Aufgaben 17 Lösung zu Aufgabe: An 7 Tagen lag der Wasserstand unter 2,10m, also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 18 Lösung zu Aufgabe: Mindestens eine der sieben Ziffern ist 0, da sonst die Summe nicht kleiner als 7 sein kann, also Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 19 Lösung zu Aufgabe: Wegen 42 = 2 · 3 · 7, gibt es entweder 2, 3, 6, 7, 14 oder 21 gleichgroße Gruppen, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 20 Lösung zu Aufgabe: Aus der Zeigerstellung für 12:55:30 Uhr ergibt sich folgende Bedeutung des kurzen, mittleren und des langen Zeigers: Bedeutung Symbol mittel“ (Minutenzeiger) Stunde ” Minute lang“ (Sekundenzeiger) ” Sekunde kurz“ (Stundenzeiger) ” Um 8:10:00 Uhr muß also kurz“ auf 12, lang“ auf 2 und mittel“ ” ” ” auf 8 stehen, also Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 21 Lösung zu Aufgabe: Das Gesamtgewicht ist 1+4+7+8+12=32 kg; Der Postzusteller trägt weder das 1 kg noch das 7 kg Paket, weil der Rest ungerade und damit nicht ganzzahlig durch zwei teilbar ist. Falls der Postzusteller das 4 kg Paket trägt, müßten Till und Jan jeder 14 kg tragen, die sich aber nicht aus den übrigen Paketen zusammenstellen lassen. Falls der Posatzusteller das 8 kg Paket trägt, trägt etwa Till das 12 kg und Jan das 1 kg, das 4 kg und das 7 kg Paket, also Antwort (d). Falls der Postzusteller das 12 kg Paket trägt, müßten Till und Jan jeweils 10 kg tragen, so daß niemand das 12 kg Paket transportieren könnte. Test beenden Lösungen der Aufgaben 22 Lösung zu Aufgabe: 2 x y z 10 Laut Vorgabe gilt 2xy = 20 oder xy = 10, xyz = 60 und 10yz = 300, also yz = 30. Damit gilt 10z = 60 oder z = 6 und y = 5, also Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 23 Lösung zu Aufgabe: 30 · 21 = 630 ≥ 630 = 3 · 210 während 31 · 20 = 620 = 310 · 2, also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 24 Lösung zu Aufgabe: Das Dreieck ist gleichschenklig. Die Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt. Also liegt links und rechts der beiden Seitenhalbierenden dieselbe Masse, so daß der weiße Drachen den Flächeninhalt 6 LE2 haben muß, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben Lösung zu Aufgabe: p p p√ √ √ √ 3 3 3 2 2= 8= 8 = 2, also Antwort (b). 25 Test beenden Lösungen der Aufgaben 26 Lösung zu Aufgabe: Die erste Ungleichung liefert x < 4, da x reell. Die zweite Ungleichung liefert 8 < |x|. Beide Ungleichungen zusammen implizieren x < −8, also Antwort (e). Test beenden (C) x > 8 (D) −4 < x < 8 (E ) x < −8 Lösungen der Aufgaben 27 Lösung zu Aufgabe: n abgebildeten Feldern von A kommt der Würfel dabei mit die Felder E (D) B und F (E ) B und G B A C G D E F gut ausgefallen, die durchschnittliche Punktzahl war 20. 1. A unten die Mädchen 18 Punkte. Dann sind in Inas Klasse en. n. 2. B unten, A rechts (B) doppelt so viele Mädchen wie Jungen. 3.(D) C viermal unten, so B viele hinten, A rechts Mädchen wie Jungen. 4. D unten, C rechts, B hinten, A oben 5. E unten, D hinten, C rechts, B oben, A vorn machend – ein Beet in der abgebildeten ck in der6.Mitte pflanzt Eerrechts, rote Rosen, F unten, D hinten, C oben, B links, A vorn die zwei identischen kleineren Quadrate 7. B fällt auf G breit. Welche Fläche hat es? Antwort 4 m2 also(D) 160 m2 (e).(E ) 186 m2 16 m Bericht über die sportbegeisterte Klasse 5a. Darin steht, Test beenden Lösungen der Aufgaben 28 Lösung zu Aufgabe: a) b) c) d) e) 2 1 3 21 + 3 18 = 14 + 6 = 20 2 1 3 21 + 3 18 = 7 + 12 = 19 6= 20 4 1 84+18 = 102 5 21 + 5 18 = 5 5 > 20 4 21+72 93 1 21 + 18 = = 5 5 5 5 < 20 21+18 39 = < 20 2 2 also Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 29 Lösung zu Aufgabe: Das rechtwinklige Dreieck ist zudem gleichschenklig, weil laut Vorgabe die beiden kleinen Quadrate kongruent sind. Die Diagonale im kleinen √ Quadrat ist 8 LE lang. Jedes kleine Quadrat hat die Seitenlänge 4 2 und daher den Flächeninhalt 2·16 = 32 LE2 . Sei |∆| der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks. Dann gilt |∆| = 16 LE2 . Das gesamte Beet hat daher den Flächeninhalt |Beet| = (2 + 1 + 2 + 4)|∆| = 9|∆| = 9 · 16 = 144 LE2 , also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 30 Lösung zu Aufgabe: Sei K die Menge aller T Kinder und Ki die Menge der Kinder in der i-ten AG. Sei KI = i∈I Ki für jede Teilmenge I ⊂ {1, 2, 3, 4} und X = K{1,2,3,4} . Laut Inklusions-Exklusionsprinzip X X X |K| = |Ki | + |KI | − |KI | − |X|. i |I|=3 |I|=2 Sei nun K = {1, 2, 3, 4, 5} und K1 = {1, 2, 3, 4}, K2 = {1, 2, 3, 5}, K3 = {1, 2, 4, 5}, K4 = {1, 3, 4, 5}. Dann gilt |Ki | = 54 |K| und |X| = |{1}| = 1 = 51 |K|, also mindestens 20%. vermutlich, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 31 Lösung zu Aufgabe: Der Radius r des Inkreises1 ist r = des Dreieckes bezeichne. 2A a+b+c , wobei A den Flächeninhalt Spiegeln des Dreiecks an der Seite der Länge 15 liefert das Dreieck mit vollständigem Inkreis. Dieses gleichschenklige Dreieck hat die Grundseite der Länge 2 · 8 = 16 und zwei Seiten der Länge 17. Dann gilt für den Flächeninhalt A = 8 · 15 und für den Inkreis-Radius 8·3·5 2·8·15 = 8+17 = 24 Test beenden r = 16+17+17 5 , also Antwort (a). 1 http://de.wikipedia.org/wiki/Inkreis Lösungen der Aufgaben 32 Lösung zu Aufgabe: Es handelt sich um einen verallgemeinerten Hohlzylinder (aus einem Zylinder mit elliptischer Grundfläche wird ein ebensolcher mit identischem Mittelpunkt und kollinearen Halbachsen 11 bis 13 3 —enstufen Klassenstufen 11mit bis 13flachem Boden, dessen Oberkante Dach-förmig 3 (First entfernt) von vorn und kurze Ellipsen-Halbachsen sind von kollinear) oben von vorn ist. von oben abgeschnitten en eines Körpers von oben von vorn Ansichten eines Körpers vonund oben und von vorn Offensichtlich sind zunächst b) und d) auszuschließen. Weiter scheidet tbare KantenKanten gestrichelt gezeichnet sind. sind. unsichtbare gestrichelt gezeichnet a) aus, weil es ganz oben keine sichtbare horizontale Kante gibt. eichnungen stellt die Ansicht von links dar? nden Zeichnungen stellt die Ansicht von links dar? B) (B) (C) (C) c) (D) (D) (E e)) (E ) 1 (unsichtbare) Die gestrichelte Kante entsteht einerseits aus der Ober1 Funktionen gilt: Wird anstelleanstelle von x in diex Funktion f (x ) eingesetzt, dann dann enden Funktionen gilt: Wird von in die Funktion f (x ) eingesetzt, x x fläche des Bodens (horizontal) und andererseits aus der Projektion der welche? . Für welche? Nahtstellen {(0, ±b, z) : z ∈ [h, H]} der kleinen Ellipse, wenn man den Hohlzylinder stellt und wenn1 h die 1 1auf die 2 1 geraden 1 1 x-y-Ebene 2 1 Stärke B) f (x(B) ) =f (x ) = (C) f (x(C) ) =f (x ) = (D) f (x(D) ) =f (x ) = (E ) f (x(E) )=f x(x+) = x + + Hohlzylinders bex + 1Höhe x x x des Bodens x und H xdie x + 1 des abgeschnittenen x x zeichnet,beialso Antwort (e). iz mitgemacht, dembei fürdem die für erste Punkt erreichen war, fürwar, die für die em Quiz mitgemacht, dieFrage erste ein Frage ein zu Punkt zu erreichen dritte Punkte usw. Nach Quiz mitgeteilt, dass erdass alle Fragen für die3dritte 3 Punkte usw.dem Nach demwurde Quiz ihm wurde ihm mitgeteilt, er alle Test Fragenbeenden und dafür 149 Punkte erhält. erhält. Georg hat sofort dass diese et hat undinsgesamt dafür insgesamt 149 Punkte Georg hat bemerkt, sofort bemerkt, dass diese ntimmen kann. Tatsächlich wurde wurde eine dereine Aufgaben doppeltdoppelt gezählt.gezählt. Welche? kann. Tatsächlich der Aufgaben Welche? Lösungen der Aufgaben 33 Lösung zu Aufgabe: b) es gilt f ( x1 ) = 1 1/x =x= 1 1/x = 1 f (x) , also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 34 Lösung zu Aufgabe: Sei n die Anzahl der Quiz-Aufgaben. Pn Dann ist die Punkte-Summe i=1 i = n(n+1) = n+1 2 2 . n n+1 2 15 120 16 17 136 153 so daß n = 16 folgt: die 13 wurde doppelt gezählt, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 35 Lösung zu Aufgabe: D C G F A E B Angenommen der Ursprung liege in A. Dann hat die Gerade g durch F und C die Geraden-Gleichung y = 21 x + 1. Der Punkt G = (xg , yg ) q √ √ auf g mit Abstand 35 5 von F erfüllt 53 5 = x2g + ( 12 xg + 1 − 1)2 , also xg = 65 und somit yg = 58 , so daß |∆(EBG)| = 12 1 · 85 = 45 folgt, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben Lösung zu Aufgabe: 36 √ n20 < 530 ⇐⇒ n2 < 53 = 125, weil sowohl 10 x als auch x10 monoton wachsend sind. 112 = 121 < 125 < 144 = 122 , also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 37 Lösung zu Aufgabe: Ist die Folge (ai ) periodisch? a1 = 1 a2 = 1 a3 = a1 − a2 = 1 − 1 = 0 a4 = a2 + a3 = a2 + a1 − a2 = a1 = 1 a5 = a3 − a4 = a1 − a2 − a1 = −a2 = −1 a6 = a4 + a5 = a1 − a2 = 0 a7 = a5 − a6 = −a2 − a1 + a2 = −a1 = −1 a8 = a6 + a7 = a1 − a2 − a1 = −a2 = −1 a9 = a7 − a8 = −a1 + a2 = 0 a10 = a8 + a9 = −a2 − a1 + a2 = −a1 = −1 a11 = a9 − a10 = −a1 + a2 + a1 = a2 = 1 a12 = a10 + a11 = −a1 + a2 = 0 a13 = a11 − a12 = a2 + a1 − a2 = a1 = 1 a14 = a12 + a13 = −a1 + a2 + a1 = a2 = 1 Also gilt a = 0, a = (−1)bi/2c , a = = = = = = = = = = = = = = 1 1 0 1 −1 0 −1 −1 0 −1 1 0 1 1 = (−1)b(i+1)/2c und damit 3i 3i+1 P25 P P7 P83i+2 bi/2c P7 8 + i=0 (−1)b(i+1)/2c = j=1 aj = i=0 a3i+1 + i=0 a3i+2 = i=0 (−1) P12 P24 j=1 aj + j=13 aj + a25 = 0 + 0 + a3·8+1 = 1, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 38 Lösung zu Aufgabe: Wenn man etwa A = 1 festhält, gibt es 3! = 6 Möglichkeiten für die restlichen drei Zuordnungen, von denen vier die Anforderung erfüllen: ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD = 1234 ⇒ S = 1243 ⇒ S = 1324 ⇒ S = 1342 ⇒ S = 1423 ⇒ S = 1432 ⇒ S = 24 = 8 · 3 = 25 6∈ 3N = 21 = 7 · 3 = 25 6∈ 3N = 21 = 7 · 3 = 24 = 8 · 3 Insgesamt gibt es also 4·4 Möglichkeiten, die Anforderung zu erfüllen, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 39 Lösung zu Aufgabe: Das Achteck wird genau dann in genau drei Teile geteilt, wenn sich die Strecken AV1 mit V1 ∈ {C, D, E, F, G, H} und BV2 mit V2 ∈ {C, D, E, F, G, H} nicht schneiden und V2 6= C! Falls Falls Falls Falls Falls Falls V1 V1 V1 V1 V1 V1 = C existiert kein geeignetes V2 ; = D bleibt V2 ∈ {D}; = E bleibt V2 ∈ {D, E}; = F bleibt V2 ∈ {D, E, F }; = G bleibt V2 ∈ {D, E, F, G}; = H existiert kein geeignetes V2 ; Somit ist P = 61 0 + 61 + 26 + 63 + 46 + 0 = also Antwort (a). 1 36 P4 i=1 1 4·5 5 i = 36 2 = 18 , Test beenden Lösungen der Aufgaben 40 2 Lösung zu Aufgabe: Die ist sa = p pLänge der Seitenhalbierenden p 1 1 2 2 2 2 2 ) − b2 , s = 1 2 + b2 ) − c2 . 2(b + c ) − a , s = 2(c + a 2(a b c 2 2 2 Sei a = b. Dann können sa und genauso sb das Dreieck nicht in zwei gleichschenklige Dreiecke teilen, weil dazu etwa sa = 21 a gelten müßte (die Dreiecke ∆(A, Sa , C) p und ∆(A, B, Sa ) sind√gleichschenklig). Dann würde wegen sa = 21 2(b2 + c2 ) − a2 = 12 a2 + 2c2 = 21 a ⇐⇒ a2 + 2c2 = a2 ⇐⇒ c = 0 das Dreieck aber entarten. p Bleibt der Fall sc = 12 2(a2 + b2 ) − c2 = 12 c ⇐⇒ 4a2 − c2 = c2 ⇐⇒ √ √ γ 2 π = c = 2a, so daß für γ = ∠(ACB) mit sin γ2 = c/2 a 2 eben 2 = 4 π und so γ = 2 folgt. Damit ist der kleinste Winkel in ∆(ABC) gerade 45o , also Antwort (e). Test beenden 2 http://de.wikipedia.org/wiki/Seitenhalbierende Lösungen der Aufgaben 41 Lösung zu Aufgabe: Die möglichen enstehenden Brüche kann man wie folgt angeordnen, indem man jeweils nach links den Zähler um 8, nach rechts der Nenner um 7 inkrementiert. 39 8 31 8 23 8 31 15 15 8 23 15 7 8 15 15 23 22 7 15 15 22 7 22 15 29 7 29 7 36 Wenn man n mal im Zähler 8 addiert (nach links) und m mal im 7+8n 7+8n Nenner 7 addiert (nach rechts), erhält man 8+7m und 8+7m = 78 ⇐⇒ 56 + 64n = 56 + 49m ⇐⇒ 64n = 49m ⇐⇒ m = 64, n = 49, was n + m = 113 impliziert, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben Lösung zu Aufgabe: 42 o 360 12 = 30o und tan 30o = o sin 30 cos 30o = √1 . 3 Sei M der Zeiger-Drehachsen-Mittelpunkt. Sei M n die Länge der Strecke von M zur 9 (n), od die Länge der Strecke von der 11 (o) zur 12 (d) und ez die Länge der Strecke von der 1 (e) zur 2 (z). Es gilt ez = M n − od. √ Weiterhin ist tan 30o = M6n und tan 30o = ez 6 , was M n = 6√ 3 und √ ez = √63 = 2 3 impliziert. Daher gilt ez = M n − od = 4 3, also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 43 Lösung zu Aufgabe: Offensichtlich sind die abzuwiegenden Gewichte jeweils als c1 g1 +c2 g2 +c3 g3 mit ci ∈ {−1, 0, 1} und Gewichtsstücken g1 , g2 und g3 darstellbar. Im besten Fall lassen sich mit den drei Gewichtsstücken also 33 = 27 unterschiedliche Gewichte darstellen. Wegen der Symmetrie zerfallen diese bestenfalls in 13 negative, das Gewicht 0 g und 13 positive Gewichte. Nur die positiven Gewichte interessieren. Also gilt N ≤ 13. Mit den Gewichtsstücken 1, 3, 9 kann man die 13 Gewichte 1, 2=3-1, 3, 4=3+1, 5=9-3-1, 6=9-3, 7=9-3+1, 8=9-1, 9, 10=9+1, 11=9+3-1, 12=9+3 und 13=9+3+1 abwiegen. Zusammen ergibt sich also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 44 Lösung zu Aufgabe: Wege sind stets Abschnitte des Einheitskreises. Das Quadrat hat die Ecken NW,SW,SO, NO. Die folgende Liste enthält jeweils die End-Zustände nach dem n-ten Abrollvorgang. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Dreieck oberhalb, Punkt im NW des Quadrates, Weg 76 π Dreick links, Punkt im NW des Quadrates, Weg 0 Dreieck unterhalb, Punkt im S des Quadrates, Weg 67 π Dreieck rechts, Punkt im NO des Quadrates, Weg 67 π Dreieck oberhalb, Punkt im NO des Quadrates, Weg 0 Dreieck links, Punkt im O des Quadrates, Weg 76 π Dreieck unterhalb, Punkt im SO des Quadrates, Weg 76 π Dreieck rechts, Punkt im SO des Quadrates, Weg 0 Dreieck oberhalb, Punkt im N des Quadrates, Weg 67 π Dreieck links, Punkt im SW des Quadrates, Weg 76 π Dreieck unterhalb, Punkt im SW des Quadrates, Weg 0 Dreieck rechts, Punkt im O des Quadrates, Weg 76 π Der gesamte zurückgelegte Weg ist also 8 67 π = 28 3 π, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 45 Lösung zu Aufgabe: Schnittpunktsabszissen von y = x +q c mit der Parabel g sind Lösungen von x2 − x − c = 0, d.h. x1,2 = 12 ± 14 + c = √ 1 1 2 ± 2 1 + 4c. Damit die beiden (!) Schnittpunkte reell sind, muß c > − 14 gelten. Jede Gerade trägt zur Abszissen-Summe gerade x1 + x2 = 2 21 = 1 bei. 2012 Geraden tragen also insgesaamt 2012 bei, also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 46 Lösung zu Aufgabe: Es stehe + für gut und - für böse. Angenommen für i = 0, 1, . . . , 502 gilt 4i + 1. - und 4i + 2. + und 4i + 3. + und 4i + 4. Dann sind unter vier Kröten immer zwei gute und zwei böse und keine errötet. Wenn nun die 4 · 502 + 4 = 2012. Kröte abweichend gut ist, so errötet die 2009. Kröte. Ebenso funktioniert 4i + 1. + und 4i + 2. - und 4i + 3. - und 4i + 4. + wenn die 4 · 502 + 3 = 2011. Kröte abweichend gut ist, so errötet die 2010. Kröte, also Antwort (b). Test beenden
