Anleitung Medizinerpraktikum

Versuchsbeschreibungen
zu den Veranstaltungen
Praktische Übungen in Physik
”
für Mediziner, Zahnmediziner und
Biologen“
Physikalische Übungen
”
für Pharmazeuten“
Praktikumsdokumentation
angefertigt für das
Helmholtz-Institut für Strahlen- und Kernphysik
der
Rheinischen Friedrich-Wilhelms–Universität
Bonn
im April 2017
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1
0 Einführungsversuch
0.1 Bestimmung der Reaktionszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
1 Masse- und Dichtebestimmung
1.1 Massenbestimmung mit einer Balkenwaage . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Dichtebestimmung mit einer Dichtewaage nach Kern . . . . . . . . .
1.3 Dichtebestimmung mit einem Aräometer . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
15
16
2 Messung der Zähigkeit von Flüssigkeiten
2.1 Viskositätsbestimmung durch Messung der Stromstärke . . . . . . . .
2.2 Elastomerpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Bestimmung der Viskosität mittels eines Kugelfallviskosimeters . . .
19
19
21
24
3 Gasgesetze / spezifische Wärmekapazität
3.1 Bestimmung der allgemeinen Gaskonstante . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität von Wasser . . . . . .
27
28
30
4 Linsen / Mikroskop
4.1 Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
36
5 Ohmsche Widerstände
5.1 Bestimmung eines Ohmschen Widerstandes . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Ermittlung der Temperaturabhängigkeit eines NTC-Widerstandes . .
41
41
43
6 Beugung am Gitter / Prismenspektroskop
6.1 Beugung am Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Prismenspektroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
50
7 Wechselstromwiderstände und Schwingkreis
7.1 Wechselstromwiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Versuchsanleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
53
59
8 Röntgenstrahlen
8.1 Grundlagen bildgebender Verfahren mit Röntgenstrahlung
8.2 Projektion auf einen Leuchtschirm . . . . . . . . . . . . .
8.3 Spektrum einer Molybdän-Röntgenröhre . . . . . . . . . .
8.4 Halbwertsdicke von Aluminium . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Absorption in Abhängigkeit von der Ordnungszahl . . . .
63
64
66
67
71
72
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I
Inhaltsverzeichnis
9 Radioaktivität
9.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Bestimmung eines unbekannten Isotopes durch sein γ-Spektrums
9.3 Statistische Schwankungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Messung von Halbwertszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
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73
74
75
78
79
10 Ultraschall
10.1 Bestimmung der Wellenlänge und der Phasengeschwindigkeit . . . .
10.2 Bestimmung der Gruppengeschwindigkeit per Echolot-Verfahren . .
10.3 Bestimmung der Schallwellenlänge durch Interferometrie . . . . . . .
83
83
86
88
11 Polarisation des Lichts
11.1 Rotationsdispersion von Quarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Saccharimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
91
95
A Größen, Dimensionen und Einheiten in der Physik
A.1 SI-Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Umrechnungstabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
98
100
B Messunsicherheiten und Fehlerrechnung
B.1 Messunsicherheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Signifikante Stellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Herkunft der Messunsicherheiten . . . . . . . . . . . .
B.4 Bestimmung der Messunsicherheit eines Messergebnis
B.5 Lineare Regression ( Ausgleichsgerade“) . . . . . . . .
”
101
101
102
103
105
109
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C Lösung der Differentialgleichung y 0 = c · y (zu Versuch 8 und 9)
113
C.1 Graphische Darstellung der Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
C.2 Bestimmung der Halbwertsgröße x = xH . . . . . . . . . . . . . . . . 115
C.3 Graphische Bestimmung der Halbwertsgröße x = xH . . . . . . . . . 115
D Umgang mit dem Oszilloskop
116
D.1 Inbetriebnahme des Oszilloskops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
D.2 Optimale Anzeige der Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
D.3 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
E Überblick der Grundgrößen und Einheiten der Dosimetrie
125
F Griechisches Alphabet
126
II
Einleitung
Hinweise zur Organisation
Die praktischen Übungen finden im Allgemeinen Verfügungszentrum I (AVZ) der Universität Bonn, Bonn, Endenicher Allee 11–13, Erdgeschoss - rechter Flügel - statt. Je
10 Praktikanten gehören zu einer Gruppe. Für jede Gruppe ist der betreffende Versuch 5 mal aufgebaut, so dass jeweils zwei Praktikanten den Versuch gemeinsam
durchführen. Jeder Praktikant protokolliert seine Messergebnisse und Auswertungen
jedoch in ein eigenes Protokoll. Die Zuordnung Gruppe – Versuch – Tag ergibt sich
aus der beigefügten Versuchsmatrix. In den oberen Zeilen sind die Gruppenbuchstaben, in den Spalten darunter die Nummern der Versuche angegeben, die an den jeweils
links stehenden Tagen durchgeführt werden.
Weitere Informationen sowie wichtige Ankündigungen erfahren Sie während des Semesters auf der Internetseite des Praktikums unter:
http://www.mpraktikum.hiskp.uni-bonn.de
Voraussetzungen und Vorbereitung
Unabdingbare Voraussetzung für eine erfolgreiche Vorbereitung und Durchführung
der Versuche ist, dass der Praktikant über physikalische Grundkenntnisse in dem Umfange, wie sie in der Vorlesung Physik für Mediziner, Pharmazeuten und Biologen“
”
im 1. Fach-Semester angeboten werden, verfügt. Dazu gehören notwendigerweise mathematische Kenntnisse zur Handhabung, Interpretation und Auswertung physikalischer Sachverhalte und Messergebnisse. Damit verbunden müssen Kenntnisse über
die in der Physik gebräuchlichen Einheiten sein, insbesondere über die internationalen SI-Einheiten“, die zum größten Teil seit 1.1.1978 gesetzlich vorgeschrieben sind.
”
Vor Beginn des Praktikums sollten Sie daher die Anhänge A und B studiert haben.
Unabhängig von diesen allgemeinen Voraussetzungen muss jeder Versuch einzeln vorbereitet werden. Die in diesem Heft befindlichen Kurzbeschreibungen der Versuche
geben Ihnen einen Anhaltspunkt für die Themenauswahl zur Vorbereitung. Selbstverständlich müssen alle physikalischen Begriffe, auf die man bei der Vorbereitung
stößt, verstanden sein (z.B. der Begriff Drehmoment“ bei der Vorbereitung auf das
”
Thema Waage“ (Versuch 1)) und erklärt werden können.
”
1
Einleitung
Zur Vorbereitung eignen sich die meisten Oberstufenbücher des Schulfaches Physik.
Die verfügbaren Lehrbücher, die sich explizit an Nebenfächler richten (auch dann
wenn der eigene Studiengang nicht explizit im Titel aufgeführt ist), unterscheiden
sich zum Teil deutlich im Umfang, Tiefgang, Anschaulichkeit und Anspruch. Das beste Lehrbuch ist meist jenes, mit welchem Sie am besten arbeiten können. Wir empfehlen ihnen daher, z.B. in der Universitätsbibliothek und anhand eines ausgewählten
Themas, einen vergleichenden Blick in mehrere Bücher zu werfen.
Aus der großen Fülle der in den letzten Jahren erschienenen Physikbücher für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten usw. finden wir insbesondere folgende empfehlenswert (nicht-wertende Sortierung nach Nachnamen des Autors, ohne Anspruch auf
Vollständigkeit):
• Harms:
Physik: ein kurz gefasstes Lehrbuch für Mediziner und Pharmazeuten
HARMS Verlag, 18. Auflage 2010
• Harms:
Übungsbuch Physik: für Mediziner und Pharmazeuten
HARMS Verlag, 9. Auflage 2010 (Aufgabensammlung)
• Harten:
Physik für Mediziner
Springer-Verlag, 14. Auflage, Oktober 2014
• Kamke, Walcher:
Physik für Mediziner
B.G. Teubner Stuttgart
• Seibt:
Physik für Mediziner
Thieme, 6. Auflage 2009
• Trautwein, Kreibig, Hüttermann:
Physik für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten
de Gruyter, 8. Auflage 2014
Auch sehr gut geeignet, wenn auch nicht explizit an Nebenfächler gerichtet, sind u.a.:
• Meschede (Hrsg.)
Gerthsen Physik
Springer-Verlag, 24. Auflage 2010
• Tipler, Mosca:
Physik: für Wissenschaftler und Ingenieure
Springer / Spektrum Akademischer Verlag, 6. Auflage 2009
2
Einleitung
Hinweise zur Versuchsdurchführung
Zu jedem Praktikumstag mitzubringen ist:
• Testatbogen
• Kurzanleitung
• Ein DIN A4 Blatt mit vorbereiteten Notizen (benötigte Formeln, Fehlerrechnung,
Tabellenstruktur, . . . (wird mit abgegeben)) Dieser Zettel dient Ihnen zur Vorbereitung auf den Versuch, insbesondere Durchführung und anschließende Protokollierung. Er soll nicht für die Abfrage angefertigt werden. Hier darf alles
außer (alten) Messwerten, Messunsicherheiten, Beobachtungen sowie Diskussionen notiert werden.
• zwei leere Klausurbögen DIN A4 (kariert, ohne Rand) für die Protokollierung
• Bleistift, Kugelschreiber/Füller, durchsichtiges Lineal von 30 cm Länge, Taschenrechner, Millimeterpapier.
Nicht mitzubringen ist:
• Langfassung der Anleitung, Bücher
• Alte Protokolle
Zu Beginn eines jeden Versuchstags überzeugt sich der Assistent, dass Sie sich ausreichend auf den Versuch und dessen physikalische Grundlagen vorbereitet haben.
Bei den meisten Versuchsbeschreibungen gibt es Voraufgaben (mit Großbuchstaben
gekennzeichnet), die bei der Vorbereitung hilfreich sind.
Nach dem Antestat können Sie sich mit der Apparatur vertraut machen und mit der
Bearbeitung der Versuchsaufgaben beginnen. Die Aufgaben mit kleinen Buchstaben
sind dabei am Versuchstag zu bearbeiten und zu protokollieren.
Am Ende des Versuchstags sind Protokoll und das Notizblatt dem Tutor abzugeben.
Eine ausführliche schriftliche Darstellung theoretischer Grundlagen ist in einem Laborbuch nicht notwendig und daher auch hier nicht angezeigt. Insbesondere ein einfaches Reproduzieren der Versuchsanleitung ist nicht notwendig.
Unabhängig von der genauen Ausführung des Protokolls müssen die allgemeinen
Prinzipien guter wissenschaftlicher Praxis eingehalten werden. Es ist darauf zu achten, dass das Protokoll wahrheitsgemäß, vollständig, unverändert und nachvollziehbar
Ihre eigenen Messungen und Auswertungen wiedergibt.
3
Einleitung
Protokollführung
Das während des Versuchstages anzufertigende Protokoll soll folgende Angaben enthalten:
1. Überschrift mit Datum, Versuchsnummer, Versuchsname und Ihrem Namen
Für jeden Versuchsteil:
2. Titel der Messung
3. Prinzip der Messung in ein bis zwei Sätzen
4. Angabe der Messbeziehung(en)
5. Angabe aller Messgrößen und vorgegebenen Größen, inc. der jeweiligen Genauigkeit.
6. Tabellen mit den von Ihnen aufgenommenen Messdaten:
Achten Sie hier auf Übersichtlichkeit. Es ist manchmal besser, zunächst eine
einfache Tabelle für die Messdaten zu füllen und für die Auswertung eine neue
Tabelle zu erzeugen. Die Angaben zur Messgenauigkeit sind entweder Teil der
Tabelle oder stehen in unmittelbarer Nähe.
7. Auswertung / Graphische Darstellung:
Ermittelung der gesuchten Größe, je nach Versuch rechnerisch oder graphisch.
Eine vollständige Auswertung enthält eine Bewertung des Ergebnisses und gegebenenfalls eine Fehlerrechnung.
4
Einleitung
Lageplan der Versuche im AVZ I
Nußallee
3/9
4/6
8
2 / 11
Endenicher Allee
5 / 10
1/7
Treppenhaus
Halle
Eingang
Die Versuche
Die Versuche gliedern sich in zwei Gruppen, die nacheinander im Semester durchgeführt werden.
Eine besondere Rolle nehmen dabei die Versuche 10 und 11 ein; Versuch 11 (Polarisation) wird lediglich von den Pharmazeuten durchgeführt, der Versuch 10 (Ultraschall)
von den übrigen Studenten.
Versuch 0 findet immer in dem Raum statt, in dem der erste reguläre Versuch durchgeführt wird.
5
0 Einführungsversuch
Versuchsziele
Grundkenntnisse
Physikalische Größen und Einheiten, Messfehler und Fehlerrechnung; Masse (schwere Masse, träge Masse); Geschwindigkeit, Beschleunigung, Weg-Zeit-Diagramme,
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme, Beschleunigungs-Zeit-Diagramme; Newtonsche
Axiome; Gewichtskraft, Erdbeschleunigung; gleichmäßig beschleunigte Bewegungen,
freier Fall
0.1 Bestimmung der Reaktionszeit
Dieser Versuch soll Sie zur Einführung in das physikalische Praktikum mit der Dokumentation und Auswertung Ihrer Messergebnisse, dem Aufbau eines Protokolls und
der Anwendung der Fehlerabschätzung und Fehlerfortpflanzung bekannt machen. Ihr
Versuchsassistent wird Sie dabei schrittweise durch den Versuch und die Anfertigung
des Protokolls führen.
Alle diese Erkenntnisse werden in den übrigen Versuchen vorausgesetzt und nicht
mehr getrennt angesprochen.
Voraufgabe 0.A:
Welche Abhängigkeit ergibt sich für die Wegstrecke s in Abhängigkeit von der Zeit t
für eine konstante Beschleunigung a? Wie bestimmt man bei Kenntnis der Beschleunigung a und Strecke s die Zeit t, die vergangen ist?
Voraufgabe 0.B:
Ein Auto beschleunigt (~a ist konstant) von 0 km/h auf 50 km/h innerhalb von 5 Sekunden. Nach ca. 280 m Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit muss der Fahrer an
einer Ampel anhalten. Dazu wird mit einer Bremsbeschleunigung von - 4,5 m/s2 abgebremst.
Wie verändern sich die Größen Beschleunigung, Geschwindigkeit und die
zurückgelegte Wegstrecke vom Anfahren des Autos bis zum vollständigen Stillstand? Tragen Sie dazu jeweils in ein eigenes Diagramm auf:
1. die Beschleunigung a des Autos gegen die Zeit t
2. die Geschwindigkeit v des Autos gegen die Zeit t
7
0 Einführungsversuch
3. die zurückgelegte Wegstrecke s des Autos gegen die Zeit t
Aufgabe 0.a:
Dieses Experiment führen Sie gemeinsam mit Ihrem Praktikumspartner durch. Einer
von Ihnen (der Einfachheit halber Person A genannt) hält ein 30 cm langes Lineal an
der 30 cm Markierung zwischen Daumen und Zeigefinger fest. Der andere (Person B
genannt) hält seinen Daumen und Zeigefinger auf der Höhe der 0-cm-Markierung in
geringer Entfernung von Lineal.
Zu einem unbestimmten Zeitpunkt lässt Person A das Lineal los und Person B versucht
es durch Zusammenführen von Daumen und Zeigefinger zu fangen. Dieser Vorgang
sollte möglichst ohne Vorwarnung“ ablaufen.
”
Am Lineal kann nun die Fallstrecke s und daraus die Reaktionszeit bestimmt werden.
Dieser Versuch wird zunächst fünfmal durchgeführt. Danach werden fünf weitere Messungen mit vertauschten Rollen durchgeführt. Aus den Messungen wird
dann die Reaktionszeit von Person A und Person B bestimmt.
Für die Auswertung müssen Sie zunächst die einzelnen Reaktionszeiten berechnen, bevor Sie einen Mittelwert für Ihre Reaktionszeit angeben können (warum
können Sie nicht einfach die Fallstrecken mitteln?). Anschließend werden alle
einzelnen Reaktionszeiten der Praktikanten in ein Histogramm eingetragen und für
jeden Praktikanten eine statistische Auswertung nach Anhang B 4.4 durchgeführt.
8
1 Masse- und Dichtebestimmung
Versuchsziele
- Voraufgaben 1.A - 1.E
- Bestimmung des Gewichts der unbekannten Masse m1 (1.a)
- Bestimmung der Dichte von drei verschiedenen Flüssigkeiten (1.b)
- Bestimmung der Temperaturabhängigkeit der Dichte am Beispiel Wasser (1.c)
Verbindung zu Medizin, Biologie und Pharmazie
Drehmoment: Werkzeuge (z.B. Zange), Gelenke (Kiefer, Kniegelenk), Gehörknöchelchen; Auftrieb: Lebewesen im Meer, Unterwassergymnastik; thermische Ausdehnung von Flüssigkeiten: Flüssigkeitsthermometer; Anomalie des Wassers: Temperaturverteilung im Wasser von Seen
Grundkenntnisse
Vektorbegriff, Vektoraddition und -produkt; Kraft, Drehmoment, Hebelgesetz, Balkenwaage; Schwerpunkt, träge Masse ↔ schwere Masse, Gewichtskraft; Auftriebskraft, Archimedisches Prinzip, Dichte von Flüssigkeiten und Gasen, Temperaturabhängigkeit der Dichte, Aräometer (Senkspindel); Anomalie des Wassers
Physikalische Größen und Einheiten, Messfehler und Fehlerrechnung; Graphische Darstellung von
Messungen und deren Auswertung mit Hilfe von Ausgleichskurven, lineare Regression
1.1 Massenbestimmung mit einer Balkenwaage
Ziel dieses Versuchsteils ist die Bestimmung einer unbekannten Masse m1 durch Vergleich mit einer geeichten und bekannten Masse m2 mit Hilfe einer Analysenwaage
(Balkenwaage, (siehe Abb. 1.2)).
Die bekannte Masse m2 wird dabei solange variiert, bis eine bestmögliche Gleichheit
der beiden Massen m1 und m2 erreicht wird. Eine danach noch vorhandene Massendifferenz ∆m = m1 − m2 lässt sich aus dem Ausschlag des Waagebalkens, d.h. dem
Winkel α, direkt bestimmen:
α
∆m = .
(1.1)
Hierbei ist die Empfindlichkeit der Waage, die bei jeder genauen Wägung bestimmt
werden muss. Die unbekannte Masse m1 ergibt sich damit aus der bekannten Masse
m2 und der Messgröße ∆m:
m1 = m2 + ∆m .
(1.2)
9
1 Masse- und Dichtebestimmung
Das Drehmoment
Für das Verständnis der Balkenwaage ist der Begriff Drehmoment von entscheidender
Bedeutung. Das Drehmoment T~ ist ein Vektor, der sich aus dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der Vektoren ~r und F~ ergibt (siehe Abb. 1.1) und spielt für Drehbewegungen
dabei die gleiche Rolle wie die Kraft F~ für geradlinige Bewegungen.
T~ = ~r × F~ .
(1.3)
F~ ist der Kraftvektor, der im Abstand ~r an der Drehachse angreift. Der Drehmomentvektor T~ steht senkrecht auf der von ~r und F~ aufgespannten Ebene. Das kann man
sich mit der 2. Rechte-Hand-Regel“ verdeutlichen: Daumen (~r) und Zeigefinger (F~ )
”
spannen die Ebene auf, der Mittelfinger zeigt dann in Richtung des Drehmoments
(T~ ). Der Vektor T~ liegt parallel zur Drehachse. Den Drehsinn bestimmt man mit Hilfe
der 1. Rechte-Hand-Regel“: Wenn der Daumen in Richtung des Drehmomentvektors
”
zeigt, dann geben die gekrümmten Finger den Drehsinn an. Der Betrag des Drehmoments T ist ein Maß für die Stärke des Drehmomentvektors:
T = |T~ | = |~r| |F~ | sin α .
(1.4)
Dabei ist α der von ~r und F~ eingeschlossene Winkel. Steht F~ senkrecht zu ~r wird die
Stärke des Drehmoments maximal.
Die Balkenwaage
Die Abbildung 1.2 zeigt das Funktionsprinzip einer Balkenwaage. Bei dieser sind
insgesamt drei Drehmomente wirksam. T~1 und T~2 werden durch die Schwerkräfte
F~1 = m1~g und F~2 = m2~g hervorgerufen. Die Gewichtskraft F~W = mW~g der
Wägevorrichtung mW bewirkt ein drittes Rückstelldrehmoment T~W . Der Vektor ~g bezeichnet die Erdbeschleunigung.
Im Gleichgewicht1 ist die Summe aller auf den Balken angreifenden Drehmomente
Null (Hebelgesetz):
T~2 + T~W + T~1 = 0 .
(1.5)
Wohlgemerkt: Das bedeutet nicht, dass sich auf beiden Waagschalen das gleiche Gewicht befindet,
sondern dass die Lage der Waage stabil und unverändert bleibt.
F~
1
~
T
~r
α
Abbildung 1.1: (L) Definition des Drehmoments T~ = ~r × F~ . Der Drehmomentvektor T~ steht senkrecht
auf der Ebene, die von den Vektoren ~r und F~ aufgespannt wird (also aus dem Blatt heraus).
Die hierdurch hervorgerufene Drehung erfolgt gegen den Uhrzeigersinn um die durch den
Drehpunkt D führenden Drehachse.
10
1.1 Massenbestimmung mit einer Balkenwaage
Für die Beträge gilt dann (|~g | = g, |~l| = l, |~s| = s):
− m2 gl sin(90◦ − α) +mW gs sin α + m1 gl sin(90◦ + α) = 0 .
|
{z
}
{z
}
|
= cos α
= cos α
(m1 − m2 ) gl cos α = −mW gs sin α .
| {z }
= ∆m
− ∆m =
mW s sin α
mW s
=
tan α.
l cos α
l
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Für kleine Winkel α lässt sich vereinfachend annehmen: tan α ≈ α.
Die Differenz ∆m zwischen der unbekannten Masse m1 und der bekannten Masse m2
ist proportional zum resultierenden Zeigerausschlag α. Der Vergleich von Gleichung
(1.1) mit Gleichung (1.8) zeigt, dass für die Empfindlichkeit der Waage
=
l
.
mW s
(1.9)
gilt.
◦
90
+
−~l
α
D
m1~g
~l
~s
α
S
◦
90
−
α
mW ~g
Zeiger
m2~g
Abbildung 1.2: Funktionsprinzip einer Balkenwaage, an der drei Drehmomente angreifen. Auf
der linken Seite befindet sich das Wägegut unbekannter Masse m1 und auf der rechten Seite
die geeichten Gewichtsstücke mit der bekannten Gesamtmasse m2 . Da ∆m nach Gleichung
(1.2) als m1 −m2 definiert ist, wird ein Zeigerausschlag zur Seite auf der sich m1 befindet (hier
links) negativ und zur Seite auf der sich m2 befindet (hier rechts) positiv gewertet. ∆m ist in
dieser Abbildung negativ, da die bekannte Masse m2 größer als die unbekannte m1 ist. Der
Schwerpunkt S der Wägevorrichtung wird um den Drehpunkt D um den Winkel α ausgelenkt
und bewirkt ein Rückstelldrehmoment ~s × F~W . Die Masse der Wägevorrichtung wird hier mit
mW bezeichnet.
11
1 Masse- und Dichtebestimmung
Voraufgabe 1.A:
Welche Drehmomente greifen an den Waagebalken an? Was gilt für ihre Summe?
Voraufgabe 1.B:
Was gilt für eine Balkenwaage, wenn sie eine Empfindlichkeit von = 3 Skt/mg hat?
Benutzung der Waage
Bei der Versuchsdurchführung ist ein genaues und sorgfältiges Arbeiten sehr wichtig,
da die Balkenwaage ein sehr empfindliches Präzisionsmessgerät ist. Zunächst wird das
Gehäuse der Waage mittels dreier Stellschrauben horizontal ausgerichtet. Sowohl der
Waagebalken als auch die Waagschalen müssen in den Stützschneiden richtig gelagert
sein. Nur so kann eine Messung durchgeführt werden. Die Gewichtsstücke werden
mit einer Pinzette durch die seitlichen Türen auf die Waagschalen gelegt, die vordere
Glasscheibe bleibt dabei geschlossen. Beim Auflegen und Wegnehmen von Gewichten
muss die Waage mit einem Drehrad, das sich an der unteren Vorderseite des Gehäuses
befindet, arretiert werden. Die Arretiervorrichtung muss vorsichtig gehoben und gesenkt werden. Falls durch Stöße oder grobem Umgang mit der Arretiervorrichtung
Teile der Waage aus ihren Lagerpositionen gerissen werden, muss die Waage neu eingehängt werden und der gesamte Messvorgang wiederholt werden. Bitte achten Sie
besonders auf den Reiter, es ist aufwändig neue Reiter anzufertigen.
Der Wägevorgang
Schon durch geringste Störungen, und das kann schon ein Staubkorn auf der Auflage
des Waagebalkens sein, stimmt der Ruhepunkt αu der noch völlig unbelasteten Waage
nicht mit dem Nullpunkt der Skala überein. αu muss daher nach Justierung der Waage
und noch vor dem Beginn der Wägung bestimmt werden.
Bei möglichst genauem, aber nicht exaktem, Austarieren, stimmt der Ruhepunkt αb
der belasteten Waage auch nicht mit dem Ruhepunkt αu der unbelasteten Waage
überein. Dieser Differenz α = αb − αu in Skalenteilen entspricht eine Massendifferenz ∆m, die je nach Richtung der Ruhepunktverschiebung entweder zu den Massen
der Wägestücke addiert oder von ihnen subtrahiert werden muss, welche berechnet
werden kann, wenn die Empfindlichkeit der Waage bekannt ist.
αu und αb und damit α sind in der Regel so gering, dass ein Ablesen mit bloßem Auge“
”
keine genauen Ergebnisse liefern würde. Die Bestimmung der Ruhepunkte αu und αb
der unbelasteten bzw. belasteten Waage geschehen daher bei schwingender Waage
aus den Mittelwerten einer ungeraden Anzahl von leicht ablesbaren Zeigerumkehrpunkten αn (n = 1,2, . . .).
Zunächst werden die Mittelwerte der Ausschläge links und rechts errechnet(siehe
12
1.1 Massenbestimmung mit einer Balkenwaage
rechts
10
a2
ar
a4
a6
5
a8
a 10
a 12
a RP
0
a7
a5
-5
a 11
a9
a3
al
a1
- 10
links
0
5
10
15
20
Zeit in willkürlichen Einheiten
Abbildung 1.3: (L) Ruhepunktbestimmung der gedämpften Schwingung des Waagebalkens. Der Ruhepunkt liegt bei αRP und nicht in der Mitte bei 0 Skt. Werden zum Beispiel zur Berechnung
von αr die Umkehrpunkte α2 und α4 und zur Berechnung von αl die Umkehrpunkte α1 ,α3
und α5 verwendet (also n = 2), so beschreibt dann der links- und rechsseitige Mittelwert die
Schwingung der Waage zu gleichen Zeiten und αr und αl liegen damit völlig symmetrisch zu
αRP , so dass Gl. 1.11 anwendbar ist.
Abb.: 1.3):
αl =
α1 + α3 + · · · + α2n+1
n+1
und αr =
α2 + α4 + . . . α2n
n
Achtung: Die Anzahl der Umkehrpunkte ist 2n + 1.
(n = 2,3, . . . ) .
(1.10)
Auf der linken Seite wird eine ungerade Anzahl von Umkehrpunkten und rechts eine
gerade Anzahl gemessen. Damit wird gewährleistet, dass die Mittelwerte αl und αr
zum gleichen Zeitpunkt bestimmt werden(siehe Abb. 1.3).
Aus beiden ergibt sich der Ruhepunkt:
αRP =
αl + αr
2
(vgl. Abb. 1.3) .
(1.11)
Bestimmung der Empfindlichkeit der Analysenwaage
Da die Empfindlichkeit der Waage (geringfügig) von ihrer Belastung abhängt, bestimmt man sie bei belasteter Waage durch Auflage einer bekannten zusätzlichen Masse δm. was man durch Verschieben eines 10 mg schweren Reiters auf dem Waagebalken erreichen kann.
Wie man sich leicht aus Abb.1.2 und Gln.1.7-1.8 klar machen kann, wirken bei verschiedenen Reiterpositionen verschieden große Drehmomente auf die Waage. Durch
eine Änderungen der Reiterposition lässt sich also δm ohne zusätzliche Massen auf
13
1 Masse- und Dichtebestimmung
a)
b)
m1
500
200 100 50
20
10
Abbildung 1.4: Gewichte: a) unbekannte Masse m1 ; b) Form und Gewicht (in Milligramm) der kleinen
Masseplättchen
den Waagschalen leicht variieren und die Empfindlichkeit aus den resultierenden Zeigerausschlägen bestimmen.
Die Empfindlichkeit ergibt sich aus der resultierenden Winkeländerung δα pro
zusätzlich aufgelegter Masse δm:
δα
.
(1.12)
δm
Diese Bestimmungsgleichung entspricht der Definition der Empfindlichkeit einer
Analysenwaage (vgl. mit 1.1) (die Verwendung des Symbols δ statt ∆ bedeutet, dass
die dazugehörige Größe (hier m) kontinuierlich variiert wird und keine feste Differenz
beschreibt).
=
Aufgabe 1.a:
Versuchsdurchführung
Im einzelnen verfährt man bei der Wägung also folgendermaßen:
1. Ausrichten der Waage mit Hilfe der angebrachten Wasserwaagen
2. Ruhepunktbestimmung der unbelasteten Waage (inkl. Fehlerrechnung): αu
3. Austarieren des zu wiegenden Gegenstandes durch Auflegen von Massestücken
der Gesamtmasse m2 und Bestimmung von αb (inkl. Fehlerrechnung). Protokollieren Sie dabei jeden Schritt (Tabelle).
Die kleinen Masseplättchen sind an ihrer Form (siehe Abb. 1.4) oder dem eingestanzten Wert zu erkennen.
4. Bestimmung der Empfindlichkeit der belasteten Waage durch Verschieben des
10 mg schweren Reiters auf den Waagebalken. Für etwa sechs verschiedene
Reiterpositionen wird der Zeigerausschlag gegen den Bruchteil δm der Reitermasse bestimmt und anschließend auf Millimeterpapier aufgetragen (mit Fehlerbalken!). Aus der Steigung der Ausgleichsgeraden durch wird die Empfindlichkeit bestimmt (ohne Fehlerrechnung).
5. Die Differenz α = αb − αu bilden (Einheit: Skalenteile). Man beachte die
Vorzeichenkonvention nach Abbildung 1.2. Mit Hilfe von Gleichung (1.1) wird
∆m bestimmt (inkl. Gauß’scher Fehlerfortpflanzung). Achten Sie auf das Vorzeichen von α.
14
1.2 Dichtebestimmung mit einer Dichtewaage nach Kern
6. Bestimmung der unbekannten Masse m1 gemäß Gleichung (1.2). Hier ist auf das
Vorzeichen der Korrekturmasse ∆m zu achten. Im Protokoll ist das Vorzeichen
von ∆m ausführlich zu begründen.
1.2 Dichtebestimmung mit einer Dichtewaage nach Kern
Die Dichtewaage nach Kern ist ähnlich wie die eben verwendete Balkenwaage ein
zweiarmiger Hebel und nutzt den Vergleich der Drehmomente auf beiden Hebelarmen.
In Flüssigkeiten wirkt durch die Auftriebskraft ein zusätzliches Drehmoment entgegen
der Erdanziehung, welches mit Schiebegewichten kompensiert werden kann. Wegen
der geschickt gewählten Skala kann dann die Dichte der Flüssigkeit direkt abgelesen
werden.
Hier wird eine Schiebegewichtswaage nach Kern benutzt (siehe Abb. 1.5a). Das Funktionsprinzip ist ähnlich der Mohr2 -Westphal-Waage, nur dass diese einen einarmigen
Hebel darstellt. Der Waagebalken ist über die ganze Länge in zwei verschiedene Skalen mit je einem Reiter geteilt. An der unteren Skala befinden sich Kerben, die die
1. und 2. Dezimalstelle der Dichte angeben, an der oberen geben die Kerben die 3.
und 4. Dezimalstelle an. Ein eingehängtes Zusatzgewicht wird bei Messwerten über
1,0000 g/cm3 vom Waagebalken abgehängt.
Bei der Justierung der Waage ist darauf zu achten, dass das obere und untere Schiebegewicht in die Nullposition gebracht werden, und das Zusatzgewicht eingehängt ist.
Die Stellschrauben am Fuß der Waage und am linken Ende des Waagebalkens sind
2
Carl Friedrich Mohr (1806-1879) war von 1867 bis 1879 Extraordinarius für Pharmazie und Leiter des Pharmazeutischen Apparats“ innerhalb des inzwischen bestehenden Chemischen Instituts
”
der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn. Seine große wissenschaftliche Leistung bestand in der Entwicklung der Maßanalyse als Bestandteil der analytischen Chemie (Bestimmung
von Chlorid nach Mohr, Mohrsche Waage, Mohrsches Salz u. a.).
Reiterbahn
D
Senkkörper
Grobjustierung
ausgeglichen
Zusatzgewicht
Feinjustierung
Abbildung 1.5: Dichtewaage nach Kern
15
1 Masse- und Dichtebestimmung
so einzustellen, dass der Waagebalken und das Gehäuse an der rechten Seite eine Linie bilden. Beim Wägevorgang darf aufgrund von Unebenheiten auf dem Tisch die
Position der Waage nicht mehr geändert werden.
Zu Beginn der Messung wird durch Aushängen des Zusatzgewichts geprüft, ob die
Dichte über 1,0000 g/cm3 liegt. Anschließend wird das untere Schiebegewicht so weit
verschoben bis die Waage ausschlägt“. Dann führt man das Gewicht um eine Position
”
zurück und gleicht den restlichen Auftrieb mit dem oberen Schiebegewicht aus. Man
liest die ersten beiden Dezimalstellen am unteren Waagebalken und die dritte und
vierte Dezimalstelle am oberen Balken ab und erhält so die absolute Dichte.
Voraufgabe 1.C:
Skizzieren Sie die auf den in der Flüssigkeit ruhenden Senkkörper wirkenden Kräfte.
Aufgabe 1.b:
Versuchsdurchführung
Bei diesem Versuch soll die Dichte dreier Alkohole bestimmt werden. Da diese gesundsheitsschädlich sein können, stehen im Versuchsraum Schutzbrillen und Schutzhandschuhe zur Verfügung. Mit angehängtem Senkkörper wird zunächst eine Nullpunkteinstellung der Waage durchgeführt (ohne Flüssigkeit). Dann wird die Dichte durch vollständiges Eintauchen des Senkkörpers in die Flüssigkeit bestimmt.
Überlegen Sie sich, wie Sie den Fehler der Messung geeignet abschätzen können.
1.3 Dichtebestimmung mit einem Aräometer
Die Dichte von Flüssigkeiten kann auch mit einem Aräometer (Senkspindel) gemessen
werden. Abb. 1.6 zeigt ein solches Aräometer, das in einer Flüssigkeit schwimmt.
S
S
Abbildung 1.6: Aräometer (Schema). Die Eintauchtiefe des Aräometers hängt
von der Dichte der Flüssigkeit ab. Der Wasserstand an der Skala markiert dann die Dichte der Flüssigkeit.
Voraufgabe 1.D:
Ändert sich der Auftrieb auf das Aräometer, wenn es in Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte schwimmt? Wie ändert sich die Eintauchtiefe des Aräometers mit der
16
1.3 Dichtebestimmung mit einem Aräometer
Dichte?
Voraufgabe 1.E:
Warum ist die Dichteanomalie von Wasser in der Natur bedeutsam?
Aufgabe 1.c:
Versuchsdurchführung
Die Dichte von Wasser wird mit einem Aräometer in Abhängigkeit von der Temperatur gemessen. Die gemessenen Dichten werden in einem Diagramm gegen die Temperatur aufgetragen. Versuchen Sie in einem Bereich von 0 ◦ C bis 10 ◦ C möglichst
genau zu messen. Fehlerrechnung nicht erforderlich.
17
2 Messung der Zähigkeit von Flüssigkeiten
Versuchsziele
- Voraufgaben 2.A - 2.F
- Bestimmung der Viskosität von Flüssigkeiten (2.a und 2.b)
Verbindung zu Medizin, Biologie und Pharmazie
Kapillarsystem in biologischen Organismen, laminare Strömungen im Blutkreislauf und im Atmungssystem1 , Einfluss der Viskosität des Blutes auf den Flüssigkeitstransport2 , Zusammenhang zwischen Gefäßverengung, Blutdurchfluss und Blutdruck, Einsatz gefäßverengender bzw. -erweiternder Pharmazeutika, Einsatz blutverdünnender Pharmazeutika.
Grundkenntnisse
Viskosität, Temperaturabhängigkeit der Viskosität, laminare und turbulente Strömung; Volumenstromstärke, Hagen-Poiseuillesches Gesetz; Kontinuitätsgleichung, Bernoulli-Gesetz, hydrostatischer Druck.
Auftrieb und Archimedisches Prinzip, Gewichtskraft, Reibungskraft nach dem Stokesschen Gesetz.
Definition und Einheit von Spannung (Zug und Druck), Elastizitätsmodul, Hookesches
Gesetz, Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Druck in elastisch gedehnten Gefäßen; reversible und irreversible Prozesse; 2. Hauptsatz der Thermodynamik
Physikalische Größen und Einheiten, Messfehler und Fehlerrechnung; Graphische Darstellung von
Messungen
2.1 Viskositätsbestimmung durch Messung der Stromstärke in
einer Kapillaren
Die Viskosität einer Flüssigkeit, hier Wasser, wird durch Messung der Volumenstromstärke in einer Kapillaren bestimmt.
Nach Hagen und Poiseuille gilt bei laminarer Strömung durch ein Rohr:
I=
1
2
∆V
π r4 1
= ·
· · ∆p .
∆t
8 l η
(2.1)
siehe Diskussion in Harten – Physik für Mediziner
siehe Diskussion in Kamke, Walcher – Physik für Mediziner
19
2 Messung der Zähigkeit von Flüssigkeiten
offenes Rohr
Ventil
Thermometer
Unterdruck
h3
Äußerer Luftdruck
h2
h
h1
l
Mariottesche Flasche
mit Wasser
Messzylinder
Kapillare (Innendurchmesser d=2r )
Abbildung 2.1: Kapillarviskosimeter: schematischer Aufbau
Hier bedeuten:
I = ∆V
∆t
r
l
η
∆p = p1 − p2
=
=
=
=
=
3
Volumenstromstärke, Einheit: ms
Innenradius des Rohres, Einheit: m
Länge des Rohres, Einheit: m
Viskosität der Flüssigkeit, Einheit: Pa · s, veraltete Einheit
Poise P (1 P = 0,1 Pa · s)
Druckdifferenz zwischen Anfang und Ende des Rohres, Einheit:
Pa
Als Wasserreservoir wird dazu eine Mariottesche Flasche verwendet (Abb. 2.1). Mit
deren Hilfe wird bei geöffnetem Ventil ein konstanter Überdruck ∆p = %g∆h (mit der
Flüssigkeitsdichte % und der Erdbeschleunigung g) an der Eintrittsöffnung der Kapillaren erzielt. Die Höhe ∆h hängt von der Eintauchtiefe des nach außen offenen Rohres
ab.
Voraufgabe 2.A:
Wie hängt der hydrostatische Druck von der Gefäßform ab?
Der Schweredruck %g(h3 − h2 ) der Flüssigkeit oberhalb von h2 wird durch einen
entsprechenden Unterdruck der eingeschlossenen Luft kompensiert. Solange der
Füllstand also größer als h2 ist, hängt der Druck an der Kapillaren nicht vom Füllstand
ab.
Dieser Unterdruck wird beim Öffnen des Absperrventils durch das Absenken des
Flüssigkeitsspiegels hervorgerufen. Da das Wasser kontinuierlich ausströmt, nimmt
die Höhe h3 und der Unterdruck der eingeschlossenen Luft ab. Der Druckausgleich,
d.h. die Einstellung des Unterdrucks, geschieht automatisch durch Luftbläschen, die
von außen über das oben offene Rohr angesaugt werden, so dass stets der Unterdruck
20
2.2 Elastomerpumpe
den Schweredruck %g(h3 − h2 ) kompensiert.
Voraufgabe 2.B:
Weshalb wird in diesem Versuch eine Mariottesche Flasche benutzt und nicht ein
nach oben offenes Vorratsgefäß?
Aufgabe 2.C:
Stellen Sie die Formel des Hagen-Poiseuilleschen Gesetzes nach η um und fassen Sie
die konstanten Größen und die Messgrößen in separate Terme zusammen.
Aufgabe 2.a:
Versuchsdurchführung
Messen Sie den Volumenstrom durch eine Kapillare für 2 verschiedene Druckunterschiede (d.h. Eintauchtiefen des Rohres in der Mariottschen Flasche) und bestimmen
Sie beide Male die Viskosität von Wasser.
Dabei soll die Zeit ∆t für den Durchfluss von ∆V ≈ 100 ml gemessen werden. Bei
jeder Messung muss ∆p bestimmt und die Wassertemperatur T abgelesen werden. r
und l sind an der jeweiligen Apparatur angegeben.
Benutzen Sie zur Fehlerrechnung die vereinfachte Formel nach B.4.3 für alle
Größen. Schätzen Sie dann ab, welche Fehler von Bedeutung sind und kürzen Sie die
Formel entsprechend.
Die Druckdifferenz ∆p wird gemäß der Gleichung ∆p = % · g · ∆h durch Messung der
Höhe des Wasserspiegels in den Steigrohren bestimmt. Hierbei kann für die Dichte %
von Wasser der Wert 1 g/cm3 verwandt werden.
Während der Versuchsdurchführung sorgen die in der Mariotteschen Flasche aufsteigenden Luftblasen für andauernde kleine Druckschwankungen, die man an den
Steigrohren beobachten kann. Diese Druckschwankungen sind durch geeignete Einstellung des Hahns während der Messung möglichst klein zu halten. Außerdem ist zu
beachten, dass der Messvorgang erst dann begonnen wird, wenn nach dem Öffnen
des Hahns der Einschwingvorgang mit seinen stärkeren Druckschwankungen nach
einigen Sekunden abgeklungen ist.
2.2 Bestimmung der zeitabhängigen Durchflussrate einer
Elastomerpumpe
Eine Elastomerpumpe ist in der Anwendung eine Infusionspumpe, deren Vorratsgefäß
aus einem elastischen Ballon besteht. Ist der Ballon gefüllt und damit ausgedehnt,
bringt er durch sein Bestreben, wieder in den nicht-gedehnten Ausgangszustand zu
gelangen, die zur Infusion benötigte Pumpleistung auf.
21
2 Messung der Zähigkeit von Flüssigkeiten
Durchflussbegrenzer
Einfüllstutzen
mit
Rückschlagventil
Ballon im leeren
Zustand
Ballon mit
Flüssigkeit
~
FZug ges
~
FZug 1
~
FZug 2
~
FFl
Abbildung 2.2: Elastomerpumpe: Schematischer und sehr vereinfachter Aufbau.
Funktionsweise
Als Elastomere werden Kunststoffe bezeichnet die zwar formfest sind, sich unter Zugund Druckspannungen aber elastisch verformen lassen und nach dem Wirken dieser
Spannungen wieder in ihre Ausgangslage zurückkehren. Z.B. gehört Gummi zu den
Elastomeren.
Elastomere liegen als lange Polymerketten vor. Die einzelnen Elemente entlang der
Polymerkette sind gegeneinander verdrehbar und bilden im unverformten Zustand
Knäuel welche auch miteinander verflochten sind. Diese Struktur ist dabei rein
zufällig, da die Kettenglieder in völlig zufällige Richtungen liegen können. Unter Zugbelastung werden diese Ketten gestreckt und auch wenn möglich entflechtet und damit
in eine Ordnung entlang der Zugrichtung gezwungen. Da die wirkende Kraft F~ mit
3kB T ~
~
R = D(T )R
F~ = −
N l2
(2.2)
~ der einzelnen Kette entgegengerichtet proportional ist,
der Auslenkung / Expansion R
kann jede einzelne der Polymerketten einer mechanischen Feder vergleichbar angesehen werden. T bezeichnet die Temperatur, kB die Boltzmann-Konstante, N die Anzahl
der Polym-Segmente und l die effektive Länge dieser. Diese kann als Feder mit einer
temperaturabhängigen Federkonstante D(T ) angesehen werden.
Wirkt keine Zugspannung mehr, setzt die Drehbewegung der Kettenelemente wieder
ein und die Ketten ziehen sich wieder zu Knäueln zusammen. Diese Knäuel sind dann
aber wiederum rein zufällige Anordnungen und entsprechen daher nicht der Struktur
vor dem Anlegen der Zugspannung.
Die Drehbewegung und damit die Knäuelbildung setzt genauso direkt und im Ergebnis
zufällig ein, wie Gas, was beim Dekomprimieren das dazugewonnene Volumen ausnutzt. Bei der Elastizität dieser Materialien handelt es sich maßgeblich also um einen
22
2.2 Elastomerpumpe
entropischen Effekt (Entropie- oder Gummielastizität), beruht also auf der Abnahme
der Entropie unter Zugspannungen und einer Zunahme der Entropie bei Entspannung. Als solcher ist die Drehbewegung der Kettenglieder und damit die Elastizität
stark temperaturabhängig, was bereits in Gl. 2.2 auftaucht. Das bei Expansion und
Kontraktion stattfindende irreversible Umstrukturieren führt letztendlich dazu, dass
die Elastizität des Materials von dessen Vorgeschichte abhängt.
Aufbau und Versuchsbeschreibung
Die Elastomerpumpe besteht im wesentlichen aus einem Ballon aus einem Elastomer,
der am Schlauchende eine kleine Ausgangsöffnung hat (meist eine Kapillare). Füllt
man diesen Ballon mit einer Flüssigkeit, so wirkt an der Außenhaut des Ballons dem
Druck (Kraft pro Fläche) der Flüssigkeit ein Druck durch die Kontraktion des Ballons
entgegen. Da diese Gegenkraft an der Öffnung des Ballons fehlt, strebt die Flüssigkeit
an dieser Stelle nach außen und zwar mit einer Kraft die vom Füllstand des Ballons
und der Ausdehnung des Elastomers abhängt.
Dies lässt sich messen, indem das abgeflossene Flüssigkeitsvolumen mit der Zeit gemessen wird. Aus der Änderung dessen von einem zum nächsten Messpunkt lässt sich
bestimmen, wie sich die Volumenstromstärke I = ∆V /∆t über die gesamte Abgabezeit ändert. Da eine Messung des geflossenen Volumens hier zu ungenau wäre, wird
dieses indirekt aus dem Gewichtsverlust der Elastomerpumpe bestimmt.
Voraufgabe 2.D:
Warum und wie ändert sich die Flussrate der verwendeten Elastomerpumpen bei Wiederbefüllung?
Voraufgabe 2.E:
Warum kann man mit einer Waage die Flussrate bestimmen?
Aufgabe 2.b:
Bestimmen Sie die Dichte der verwendeten Flüssigkeit (inkl. Gauß’sche Fehlerrechnung).
Aufgabe 2.c:
Fertigen Sie ein Diagram der Flussrate der Elastomerpumpe über die gesamte Abgabezeit an (ohne Fehlerrechnung). (Füllung 60–100 ml; Zeitauflösung 1 Minute; Digitalwaage). Keine Fehlerbetrachtung. Markieren Sie anschließend die Benutzung der
Pumpe durch einen Strich auf der Pumpe.
23
2 Messung der Zähigkeit von Flüssigkeiten
Aufgabe 2.d:
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem der anderen Gruppen und den im Versuchsraum
aushängenden Diagrammen. Versuchen Sie dabei herauszufinden, inwiefern sich aus
dem unterschiedlichen Verhalten der Pumpen ableiten lässt, wie lange diese schon in
Gebrauch sind (Ohne Fehlerrechnung).
2.3 Bestimmung der Viskosität mittels eines
Kugelfallviskosimeters
Fallrohr
Start
FA
Kugel
FR
FG
s
Stop
Klebeband
a)
b)(L)
Abbildung 2.3: Kugelfallviskosimeter: a) schematischer Aufbau; b) Foto mit vergrößerter Kugel
Die Viskosität einer Flüssigkeit soll aus der Sinkgeschwindigkeit einer Kugel in einem
Fallrohr bestimmt werden.
Für die Reibungskraft FR einer Kugel mit Radius r, welche sich mit der Geschwindigkeit v in einer laminaren Strömung der Viskosität η bewegt, gilt das Stokessche
Gesetz:
FR = 6π rηvβ .
(2.3)
β ist dabei ein Korrekturfaktor, der bei einem engen Fallrohr mit Radius R den Ein”
24
2.3 Bestimmung der Viskosität mittels eines Kugelfallviskosimeters
fluss der Wand des Gefäßes berücksichtigt:
β = 1 + 2,1 ·
r
R
(2.4)
Zu Beginn des Sinkvorgangs der Kugel, bei verschwindender oder verschwindend geringer Geschwindigkeit, wirkt die um die Auftriebskraft FA = %V · g verminderte
Gewichtskraft FG stärker als die bremsende Reibungskraft FR ; infolgedessen wird die
Kugel beschleunigt. Weil die Geschwindigkeit zunimmt, wird FR aber größer; die Kugel wird also gegen die beschleunigende effektive Gewichtskraft FG − FA abgebremst.
Nach kurzer Fallstrecke bildet sich ein Gleichgewichtszustand zwischen beschleunigender und abbremsender Kraft aus (vgl. Abb. 2.3):
FG − FA − FR = 0
(2.5)
Nach dem ersten Newtonschen Axiom bewegt sich die Kugel dann mit konstanter
Fallgeschwindigkeit weiter.
Damit lautet die Bestimmungsgleichung für η
η=
(m − %V )g
.
6πrvβ
(2.6)
Voraufgabe 2.F:
Leiten Sie mit Hilfe der Gl. 2.3 und 2.5 die Abhängigkeit der Sinkgeschwindigkeit vom
Kugelradius her.
Hinweis: Machen Sie sich klar, welche Größen in Gl. 2.3 und 2.5 vom Kugelradius
abhängen. Nehmen Sie β = 1 an (großes Becken).
Versuchsaufbau
Am Boden des mit Rizinusöl gefüllten Fallrohrs (s. Abb. 2.3) befindet sich eine kleine
Eisenkugel, die mit Hilfe eines Magneten an das obere Ende des Fallrohrs gezogen
werden kann.
Aufgabe 2.e:
Versuchsdurchführung
Beim Versuch wird die Zeit gemessen, die die Eisenkugel zum Durchfallen der vorgegebenen Strecke s im Fallrohr benötigt. Hierbei ist besonders darauf zu achten, dass
die Kugel in der Mitte des Fallrohres fällt, damit die Voraussetzungen für die Gültigkeit
von Formel 2.4 erfüllt sind. Ebenfalls ist darauf zu achten, dass sich keine Luftblasen
im Fallrohr befinden.
Die Viskositätsbestimmung aus der Geschwindigkeitsmessung soll in einer Messreihe
von drei Durchgängen erfolgen.
25
2 Messung der Zähigkeit von Flüssigkeiten
Die vorgegebene Größen sind hierbei:
m =
3,985 mg
r =
0,5 mm
4
3
π
r
g
=
9,81 m s−2
V =
3
R =
1,4 cm
% =
0,96 g cm−3 .
In diesem Versuchsteil müssen Sie keine Fehlerrechnung machen.
26
3 Gasgesetze / spezifische Wärmekapazität
Versuchsziele
- Voraufgaben 3.A - 3.D
- Bestimmung der allgemeinen Gaskonstanten (3.a)
- Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität von Wasser (3.b)
Verbindung zu Medizin, Biologie und Pharmazie
Die Gasgesetze sind für das Verständnis von analytischen Messmethoden in Physiologie und Pharmazie wichtig und sind Grundvoraussetzungen für das Verständnis vieler
physikalisch-chemischer Prozesse in Physiologie und Technik.
Druckkammer (z.B. Behandlung von Taucherkrankheit), Druckgasgefäße in der
medizinischen Therapie, Umrechnung gemessener Atemvolumina auf Normalbedingungen, Ionentransport in Materie (z.B. Botenstoffe im Gehirn, Ionophorese), Wärmehaushalt von Kalt- und Warmblütern (z.B. Unterkühlung, Überhitzung,
Wärmeerzeugung durch Stoffwechselprozesse, Nahrungsaufnahme, Wärmetransport,
Isolierkleidung).
Grundkenntnisse
Gasgesetze :
Ideales Gas, Thermische Zustandsgrößen (Druck, Volumen und Temperatur), Allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase, p-V-Diagramm, Unterschiede zwischen realen
und idealen Gasen; Avogadrosche Zahl, Begriff Stoffmenge (Einheit: mol); Temperatur (Celsius- und Kelvinskala);
Elektrolyse, Faraday-Gesetz und Faraday-Konstante (Zusammenhang zur Elementarladung und Avogadro-Zahl);
Hydrostatischer Druck, Prinzip kommunizierender Röhren, Barometer.
Spezifische Wärmekapazität :
Wärmekapazität und spezifische Wärmekapazität, Wärmeenergie und elektrische Energie, elektrische Leistung, Joulesche Wärme; Temperatur, Kalorimeter,
Wärmetransportmechanismen; elektrischer Strom, Stromstärke und Spannung; Amperemeter, Voltmeter.
Physikalische Größen und Einheiten, Messfehler und Fehlerrechnung; Graphische Darstellung von
Messungen und deren Auswertung mit Hilfe von Ausgleichskurven, lineare Regression
27
3 Gasgesetze / spezifische Wärmekapazität
3.1 Bestimmung der allgemeinen Gaskonstante
Die allgemeine Gaskonstante R soll unter Verwendung eines realen Gases, das einem
idealen Gas möglichst nahe kommt, bestimmt werden. Eine einfache Methode, ein
solches Gas zu erzeugen, ist Gewinnung von Wasserstoff (H2 ) durch Elektrolyse von
verdünnter Schwefelsäure. Die Stoffmenge des gebildeten Gases kann dabei nicht direkt gemessen werden, sondern wird indirekt aus der bei der Elektrolyse geflossenen
Ladungsmenge nach dem Faradayschen Gesetz bestimmt.
Nach der Zustandsgleichung für ideale Gase
p·V =n·R·T
(3.1)
sind die drei Zustandsgrößen Druck p, Volumen V , Temperatur T und die Stoffmenge
n (in mol) des Gases zu bestimmen. Die Stoffmenge n des gebildeten Wasserstoffes
lässt sich nach den Faradayschen Gesetzen
I ·t=w·n·z·F .
(3.2)
durch die Messung der transportierten Ladungsmenge bei der Elektrolyse bestimmen.
Dabei ist zu beachten, dass sich nach der Elektrolyse je zwei Wasserstoffatome zu
einem H2 -Molekül vereinigen.
In der Formel 3.2 bedeuten:
I
t
w
n
z
F
=
=
=
=
=
=
Stromstärke, Einheit: A
Zeit
Anzahl der Atome pro Gasmolekül
Stoffmenge, Einheit: mol
Wertigkeit der Ionen (Zahl der Ladungen pro Ion)
Faraday-Konstante (F = 9,6484 · 104 As/mol) .
H1
H2
H2 O + H2 SO4
Vorratsgefäß
Ionenleitung
S
A
RV
U0
28
Abbildung 3.1: Skizze des Versuchsaufbaus zur Bestimmung
der allgemeinen Gaskonstante: Zur Elektrolyse der
verdünnten Schwefelsäure sind im U-Rohr zwei Elektroden angebracht, die über eine Spannungsquelle,
einen regelbaren Widerstand RV und einen Schalter
S verbunden sind.
3.1 Bestimmung der allgemeinen Gaskonstante
3.1.1 Versuchsaufbau und -durchführung
Im Versuch wird eine bestimmte Gasmenge V von H2 durch Elektrolyse verdünnter
Schwefelsäure im rechten Teil des U-Rohres bei geschlossenem Hahn H(2) und
geöffnetem Hahn H(1) erzeugt (s. Abb. 3.1). Zur Bestimmung der Stromstärke ist noch
ein Amperemeter seriell in dem Stromkreislauf integriert.
Die Temperatur wird mit Hilfe eines Thermometers an der Wand bestimmt.
Zunächst wird bei geöffnetem Hahn H(2) durch Regelung des Widerstandes RV eine
Stromstärke I von etwa I = 300 mA eingestellt. Der Schalter S wird dann geöffnet
und H(2) geschlossen; H(1) bleibt geöffnet.
Das Volumen V im U-Rohr setzt sich aus dem Anfangsvolumen V0 und dem bei Stromfluss erzeugten Volumen Ṽ zusammen.
Nach jeder Stromflussperiode wird durch Absenken des Vorratsbehälters ein Druckausgleich hergestellt. Damit ist der Druck p im rechten Rohr gleich dem äußeren Luftdruck, der an einem Barometer abgelesen wird.
Erst nach dem Druckausgleich wird das bis dahin erzeugte gesamte Gasvolumen abgelesen. Das gebildete H2 wird akkumuliert, also nicht nach jeder Stromflussperiode
abgelassen.
Voraufgabe 3.A:
Wenn die Pole der Spannungsquelle nicht beschriftet sind, kann man die Elektrolyse
zunächst mit geschlossenen Hähnen H(1) und H(2) beginnen. Man sieht dann, dass
sich in den beiden Steigrohren unterschiedlich viel Gas bildet. Um welches Gas handelt
es sich dabei jeweils, und welcher Hahn muss folglich geöffnet werden?
Voraufgabe 3.B:
Wieso wird der Druckausgleich durchgeführt und wie erkennt man wann dieser erreicht ist?
Aufgabe 3.a:
Versuchsdurchführung
Messen Sie das bei der Elektrolyse gebildete Gasvolumen für sechs jeweils zweiminütige Stromflussperioden.
Die gemessenen Volumina werden in einem Diagramm gegen die Zeit t (Dauer des
Stromflusses) aufgetragen. Es ergibt sich eine Gerade, deren Steigung s = δV /δt
graphisch zu ermitteln ist. Mit der Zustandsgleichung idealer Gase und dem Faradayschen Gesetz kann damit nun die allgemeine Gaskonstante R berechnet werden.
Zur Auswertung der Geradensteigung soll eine graphische Fehlerrechnung erfolgen. Benutzen Sie zur Fehlerrechnung für R die vereinfachte Formel nach B.4.3 für
alle Größen. Schätzen Sie dann ab, welche Fehler von Bedeutung sind und kürzen Sie
29
3 Gasgesetze / spezifische Wärmekapazität
die Formel entsprechend.
3.2 Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität von Wasser
Die spezifische Wärmekapazität c von Wasser soll hier direkt gemessen werden. Dazu
wird eine bestimmte Menge Wasser der Masse m in einem wärmeisolierten Gefäß (Kalorimeter, siehe Abb. 3.2) erwärmt. Die aufzubringende Wärme (=Bewegungsenergie
der Wassermoleküle) wird als Joulesche Wärme Q in einer elektrischen Heizvorrichtung erzeugt:
Q=P ·t=U ·I ·t.
(3.3)
Q = c · m · ∆T + W · ∆T .
(3.4)
P ist die elektrische Leistung, U die Spannung, I die Stromstärke und t die Zeit. Dabei
ist darauf zu achten, dass durch die zugeführte Wärmemenge Q nicht nur das Wasser,
sondern auch das Kalorimeter erwärmt wird:
W ist die Wärmekapazität des Kalorimeters, auch Wasserwert“ genannt. Er beträgt
”
für die vorliegenden Kalorimeter W = 148 ± 12 J/K.
Voraufgabe 3.C:
Wie isoliert das Kalorimeter die Wärme im Inneren gegen die Umgebung?
Voraufgabe 3.D:
Wieso sollten während des Experimentes das Wasser sorgfältig durchmischt werden?
Wieso müssen Strom und Spannung während der Messung konstant bleiben?
Aufgabe 3.b:
Versuchsdurchführung
Bauen Sie zunächst die Schaltung nach Abb. 3.2 auf und füllen Sie 200 ml Wasser
(Messzylinder!) in das Kalorimeter. Schalten Sie die Spannungsquelle ein und messen
Sie die Spannung und Stromstärke.
Während der Messung muss das Wasser ständig gut durchmischt werden. Etwa zehn
Minuten lang wird in Abständen von 30 Sekunden die Temperatur bei eingeschalteter
Spannungsquelle gemessen und in ein Diagramm gegen die verstrichene Zeit t aufgetragen. Aus der Steigung der sich ergebenden Geraden liest man das Verhältnis ∆T /t
ab. Daraus errechnet man die spezifische Wärmekapazität.
Für diesen Versuchsteil muss keine Fehlerrechnung angefertigt werden.
30
3.2 Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität von Wasser
U0
Netzteil
A
V
Thermometer
Rührvorrichtung
Kalorimeter
(Dewar)
Heizdraht
Abbildung 3.2: Skizze des Versuchsaufbaus zur Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität von
Wasser. Zur Erwärmung des Wassers im Kalorimeter ist in diesem ein Heizdraht montiert. Zur
Bestimmung der abgegebenen Wärmemenge
wird mit einem Voltmeter die Spannung parallel,
die Stromstärke mit einem Amperemeter seriell
zu dem Heizdraht gemessen. Die beiden Messinstrumente befinden sich im Gehäuse des Netzteils und können nicht vom Stromkreis getrennt
werden. Die verstrichenen Zeit wird mit einer
Stoppuhr ermittelt. Die entsprechende Temperaturerhöhung des Wassers kann an dem Thermometer abgelesen werden. Damit das Wasser
möglichst gleichmäßig erwärmt werden kann,
ist in dem Kalorimeter eine Vorrichtung zum
Durchmischen des Wassers integriert.
31
4 Linsen / Mikroskop
Versuchsziele
- Voraufgaben 4.A - 4.E
- Bestimmung der Brennweite einer Sammel- und einer Zerstreuungslinse (4.a
und 4.b)
- Bestimmung der Größe eines Objektes mit Hilfe eines Mikroskops (4.d)
- Bestimmung des Auflösungsvermögens des verwendeten Mikroskops (4.e)
Verbindung zu Medizin, Biologie und Pharmazie
Funktion des Auges, Behebung von Sehfehlern, optische Geräte zur Diagnose und im
Labor (z.B. Mikroskop).
Grundkenntnisse
Stoffabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit, Brechungsindex und Snelliussches
Brechungsgesetz; Brennweiten und Brechkräfte von Linsen; Umkehrbarkeit des
Lichtweges, Bildkonstruktion, Abbildung durch Sammel- und Zerstreuungslinsen,
Abbildungsgesetz für Linsen, Linsenkombination; Linsen- und Abbildungsfehler;
Hauptebenen von Linsen, Besselverfahren; Lupe, Mikroskop; Auflösungsvermögen
(Definition und Bestimmung).
Physikalische Größen und Einheiten, Messfehler und Fehlerrechnung
4.1 Linsen
Mit Linsen lassen sich selbstleuchtende oder beleuchtete Objekte abbilden. Will man
bei einem vorgegebenen Standort des abzubildenden Gegenstandes G und einer Linse
mit der Brennweite f wissen, an welchem Ort das Bild B entsteht, so kann man eine
Bildkonstruktion durchführen, für die man den Verlauf von mindestens zwei Strahlen,
die von einem Objektpunkt kommen, kennen muss. Für die Bildkonstruktion geeignet
sind der Parallelstrahl, der vor der Linse parallel zur optischen Achse verläuft und
hinter der Linse durch den Brennpunkt geht, der Mittelpunktstrahl, der ungebrochen
durch den Mittelpunkt der Linse verläuft und der Brennpunktstrahl, der durch den
gegenstandseitigen Brennpunkt geht und hinter der Linse parallel zur optischen Achse
verläuft.
Eine wichtige Größe bei einer Abbildung ist die Vergrößerung V , die definiert ist durch
33
4 Linsen / Mikroskop
das Verhältnis von Bildgröße B zur Gegenstandsgröße G. Die Vergrößerung V lässt
sich aus dem Verhältnis von Bildweite b zur Gegenstandsweite g berechnen:
B b V = = .
G
g
(4.1)
Aus Abbildung 4.1 lässt sich auch die folgende Beziehung ableiten (Strahlensatz):
b−f
B
=
,
G
f
(4.2)
wobei f die Brennweite der Linse ist. Aus Gleichung (4.1) und (4.2) ergibt sich die
Abbildungsgleichung:
1 1
1
= + .
(4.3)
f
g b
Voraufgabe 4.A:
Ein Gegenstand wird in verschiedenen Abständen g zu einer Sammellinse aufgestellt.
Was lässt sich über das jeweils entstehende Bild sagen? Die Tabelle 4.1 ist auszufüllen
und soll erklärt werden können.
Die Brennweite einer Sammellinse bestimmt man am einfachsten aus Gegenstandsund Bildweite, indem man das Bild eines leuchtenden Gegenstandes auf einem Schirm
auffängt und die entsprechenden Abstände zur Hauptebene der Linse misst.
Das Verfahren hat experimentell den Nachteil, dass dazu die Lage der Hauptebene
exakt bekannt sein muss. Zur Vermeidung dieser Schwierigkeit benutzt man das Besselverfahren.
Gegenstand
Lage
Lage
Größe
Bild
virtuell/reell?
g > 2f
f < b < 2f
B<G
reell
g = 2f
f < g < 2f
g=f
g<f
Tabelle 4.1: Tabelle zu Voraufgabe 4.A
34
Stellung
umgekehrt,
seitenvertauscht
4.1 Linsen
Bei fest vorgegebenem Abstand a = b + g (mit a > 4 · f ) von Gegenstand G und
Bildschirm B existieren zwei Positionen der Linse (siehe Abb. 4.1), in denen der Gegenstand vergrößert bzw. verkleinert scharf auf dem Bildschirm abgebildet wird. Der
Abstand dieser beiden Linsenstellungen ist dann e = g − b. Durch Substitution von g
und b in der Linsengleichung wie in Voraufgabe 4.B erhält man:
f=
a2 − e 2
.
4a
(4.4)
Voraufgabe 4.B:
Leiten Sie Gleichung (4.4) her!
Hinweis: Substituieren Sie b und g in der Gleichung (4.3) mit Hilfe der Gleichungen
b + g = a und g − b = e.
Der Abstand a muss etwas größer als 4f sein, d.h. a > 4f , um das Besselverfahren
anwenden zu können. Warum gilt diese Bedingung?
G
f
f
g1
b1
B
G
f
f
g2
b2
B
e
a
Abbildung 4.1: Prinzip des Besselverfahrens. Bei festem a befinden sich die Positionen der Linse
aufgrund der Symmetrie gerade so, dass g1 = b2 und b1 = g2 gilt.
35
4 Linsen / Mikroskop
Aufgabe 4.a:
Sammellinse
Die Brennweite fs einer Sammellinse soll für zwei verschiedene Abstände a mit Hilfe
des Besselverfahrens bestimmt werden.
Achten Sie vor der Durchführung darauf, dass nur die Sammellinse montiert ist! Bestimmen Sie die Ungenauigkeit mittels Gauß’scher Fehlerfortpflanzung!
Aufgabe 4.b:
Zerstreuungslinse
Die Brennweite fz einer Zerstreuungslinse wird mit Hilfe des Besselverfahrens aus
der Brennweite fk einer Linsenkombination bestimmt.
1
1
d
1
1
1
= + −
' + .
fk
fs fz fs · fz
fs fz
(4.5)
Die Linsenkombination besteht aus der Sammellinse, deren Brennweite fs im ersten
Versuchsteil bestimmt wurde, und der Zerstreuungslinse, deren Brennweite gemessen werden soll; dabei muss die Brennweite der Linsenkombination fk > 0 sein. Der
Mischterm aus beiden Brennweiten kann bei der Berechnung vernachlässigt werden.
Bestimmen Sie die Ungenauigkeit mittels Gauß’scher Fehlerfortpflanzung!
Voraufgabe 4.C:
Warum kann bei dieser Messung die Zerstreuungslinse nicht alleine, sondern nur in
Kombination mit der Sammellinse benutzt werden? Was bedeutet das Vorzeichen der
Brennweite?
4.2 Mikroskop
Ein Mikroskop dient zur Vergrößerung kleiner Objekte, indem es den Sehwinkel weitet, unter dem ein betrachteter Gegenstand erscheint. Es besteht aus mindestens zwei
Sammellinsen: dem Objektiv, dem Okular und gegebenenfalls einer Feldlinse, welche
der Gesichtsfeldvergrößerung dient.
Zunächst wird mit der gegenstandseitigen Linse, dem Objektiv, ein vergrößertes, reelles und umgekehrtes Zwischenbild erzeugt, wobei die Gegenstandsweite g etwas
größer als die Brennweite fObj des Objektivs ist, d.h. der Gegenstand liegt geringfügig
außerhalb der Brennweite des Objektivs. Die zweite Linse, das Okular, ist so angeordnet, dass das Zwischenbild in der Brennebene des Okulars liegt. Das Okular wirkt so
als Lupe, d.h. es entsteht ein virtuelles, vergrößertes Bild des Zwischenbildes, das mit
dem auf Unendlich eingestellten entspannten Auge betrachtet wird.
Von einem ausgeleuchteten Objekt ist im allgemeinen nur ein Ausschnitt, das sogenannte Gesichtsfeld, im Mikroskop sichtbar. Um das nutzbare Gesichtsfeld zu vergrößern, kann man eine zusätzliche Sammellinse, die Feldlinse, in die Ebene des
36
4.2 Mikroskop
Zwischenbildes einsetzen und ihre Brennweite so wählen, dass auch die schräg verlaufenden Lichtbündel, die ohne Feldlinse nicht in die Okularlinse gelangen würden,
in diese hineingelenkt werden. Eine derartige Feldlinse ändert die Lage des virtuellen
Bildes und die Gesamtvergrößerung nicht.
Gesamtvergrößerung
Die Vergrößerung eines optischen Instruments ist anhand der Sehwinkelvergrößerung
definiert:
Sehwinkel mit Instrument
V =
.
(4.6)
Sehwinkel ohne Instrument bei s0
Die Gesamtvergrößerung eines Mikroskops VMi ist das Produkt aus den Einzelvergrößerungen der beiden Linsen, d.h. der Vergrößerung VObj des Objektivs und der
Vergrößerung VOk des Okulars:
VMi = VObj · VOk .
(4.7)
Die Vergrößerung des Objektivs berechnet sich aus:
VObj =
t
fObj
,
(4.8)
wobei t die Tubuslänge des Mikroskops und fObj die Brennweite des Objektivs bezeichnen. Die Tubuslänge t ist die Größe b − f in Gleichung (4.2), wobei b die Bildweite,
d.h. die Lage des Zwischenbildes, angibt und f = fObj ist. Anders formuliert, die Tubuslänge gibt den Abstand zwischen dem bildseitigen Brennpunkt der Objektivlinse
und der Zwischenbildebene an.
Für die Vergrößerung des Okulars (Lupe) gilt:
VOk =
s0
.
fOk
(4.9)
Dabei sind s0 = 25 cm die deutliche Sehweite und fOk die Brennweite des Okulars.
Damit ergibt sich die Gesamtvergrößerung des Mikroskops zu:
VMi =
s0
.
fObj fOk
t
(4.10)
Soll eine hohe Gesamtvergrößerung erzielt werden, so müssen also Objektiv und Okular sehr kleine Brennweiten aufweisen.
Auflösungsvermögen
Bei jeder Lichtbündelbegrenzung tritt Beugung auf, die von der Größe der begrenzenden Öffnung abhängig ist. Beim Mikroskop wird durch Beugungseffekte der Öffnung
der Objektivlinse das Auflösungsvermögen begrenzt.
37
4 Linsen / Mikroskop
Das Auflösungsvermögen A kennzeichnet den kleinsten Abstand d zweier Punkte,
der bei Betrachtung durch das Mikroskop noch als getrennt wahrgenommen wird. Es
errechnet sich nach
1
n sin α
NA
A= =
=
,
(4.11)
d
λ
λ
wobei α der halbe Öffnungswinkel des Objektivs ist. Mit n wird die Brechzahl des
Mediums zwischen Objekt und Objektiv bezeichnet (für Luft: n = 1). Die Numerische
Apertur N A = n · sin α ist ein Maß für die Auflösung des verwendeten Mikroskops
und wird meist zu diesem angegeben. Sie kann nicht wesentlich über den Wert 1 hinausgehen, so dass die kleinstmöglichen, von einem Mikroskop auflösbaren Distanzen
in der Größenordnung der verwendeten Wellenlänge liegt.
Hohes Auflösungsvermögen erfordert also die Verwendung kurzer Wellenlängen. Mit
violettem Licht einer Wellenlänge von ca. 400 nm lassen sich z.B. Abstände bis zu
200 nm auflösen. Wesentlich besseres Auflösungsvermögen haben Elektronenmikroskope, da Elektronen je nach ihrer Geschwindigkeit Wellenlängen von 0,1 nm und
weniger besitzen.
Voraufgabe 4.D:
Skizzieren Sie den Strahlengang und die Bildentstehung in einem Mikroskop ohne
Feldlinse (orientieren sie sich dabei an der Bildkonstruktion aus 4.1).
Voraufgabe 4.E:
Berechnen Sie das Auflösungsvermögen des benutzten Mikroskops für die Wellenlängen λ = 400 nm, 600 nm und 800 nm. Verwenden Sie als Größe der numerischen
Apertur NA = 0,13.
Aufgabe 4.c:
Strahlengang
Mit Hilfe einer Mattscheibe soll der Strahlengang im Mikroskop untersucht werden.
Um den Strahlengang besser zu verstehen, wird das Mikroskop ohne Okular verwendet (Die Mattscheibe ist am Ende eines Kupferrohres angebracht). Um paralleles
Licht zur Beleuchtung des Objektes zu erhalten, ist eine relativ weit entfernte Lichtquelle (Leuchtstoffröhre) mit Hilfe des ebenen Spiegels (nicht des Hohlspiegels) zur
Beleuchtung zu verwenden; das Bild der Lichtquelle ist mit Hilfe der beiliegenden
Mattscheibe etwa in der Brennebene des Okulars als Abbildung eines auf die Leuchtstoffröhre geklebten Objektes zu finden. Durch Entfernen der Feldlinse ist deren Wirkung (Gesichtsfeldvergrößerung) zu untersuchen. Für die folgenden Versuchsteile soll
der Hohlspiegel anstatt des Planspiegels zur Beleuchtung verwendet werden.
38
4.2 Mikroskop
(a) Objektmikrometer
(b) Strichgitter
Abbildung 4.2: Hilfsmittel zu den Versuchsteilen 4.d und 4.e
Aufgabe 4.F:
Objektgröße
Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Objektgröße für Aufgabe 4.d her (resultierende Objektgröße abhängig von der Größe im Messokular).
Aufgabe 4.d:
Objektgröße
Die Größe eines Objektes ist mit Hilfe eines Messokulars und eines Objektmikrometers (siehe Abb. 4.2a) zu bestimmen. Das Objektmikrometer mit bekannten Ausmaßen
dient zur Kalibrierung des Messokulars mit unbekannter Skalierung. Die Größe des
Objekts wird dann mit dem Messokular bestimmt und mithilfe der Kalibrierung berechnet. Schätzen Sie die Ungenauigkeit mittels Maximalwertabschätzung ab!
Aufgabe 4.e:
Auflösungsvermögen
Das Auflösungsvermögen des Mikroskops soll durch Vermessung mehrerer Strichgitter (siehe Abb. 4.2b) mit verschiedenen Gitterabständen untersucht und mit den aus
Gleichung (4.11) berechneten Werte (Voraufgabe 4.E) verglichen werden. Bestimmen
Sie die mögliche Ober- und Untergrenze des Auflösungsvermögens anhand der gerade noch erkennbaren oder gerade nicht mehr erkennbaren Strichmuster. Schätzen Sie
sinnvoll die Messungenauigkeit ab!
39
5 Ohmsche Widerstände
Versuchsziele
- Voraufgaben 5.A - 5.D
- Bestimmung des Wertes eines Ohmschen Widerstandes (5.a und 5.b)
- Ermittlung der Temperaturabhängigkeit eines NTC-Widerstandes
(5.c und 5.d)
Verbindung zu Medizin, Biologie und Pharmazie
Die Grundbegriffe der Elektrizitätslehre dienen dem Verständnis elektrophysiologischer Vorgänge (z.B. Erregungsleitung) und physikalisch-chemischer Untersuchungen
im Labor (z.B. Berechnung der Reaktionsenthalpie bei geänderter Temperatur) sowie
der Wirkungsweise elektrischer Geräte für Diagnose und Therapie (z.B. Elektrokardiographie).
Grundkenntnisse
Elektrische Ladung, Ladungsträger, Elementarladung; Strom als bewegte Ladung,
Stromstärke; Spannung als Potentialdifferenz; Amperemeter, Voltmeter, Gleichstromspannungsquellen; Leistung und Energie; Leiter, elektrischer Widerstand, Leitwert,
Resistivität; Ohmsches Gesetz; Kirchhoffsche Gesetze (Maschenregel, Knotenregel),
Spannungsteilung, Messung von Widerständen, Innenwiderstände von Ampere- und
Voltmeter. Wheatstonesche Brückenschaltung und deren Bezug zu den Kirchhoffschen Gesetzen, Temperatur (Celsius- und Kelvinskala); Leiter, Halbleiter und Isolator;
Heiß-, Kaltleiter (Temperaturabhängigkeit).
Physikalische Größen und Einheiten, Messfehler und Fehlerrechnung; Exponentialfunktion und deren
physikalische Aussage, natürlicher bzw. dekadischer Logarithmus und Überführung der Exponentialfunktion in eine lineare Funktion durch Logarithmieren; Graphische Darstellung von Messungen in
Koordinatensystemen mit linear und logarithmisch geteilten Achsen und deren Auswertung mit Hilfe
von Ausgleichskurven; lineare Regression;
5.1 Bestimmung eines Ohmschen Widerstandes
Innenwiderstand des Voltmeters
Bei der in Abbildung 5.1 skizzierten Schaltung macht man einen systematischen Fehler. Das Ampèremeter misst nicht nur den Strom Ix der durch Rx fließt, sondern auch
den durch das Voltmeter fließenden Strom IV , d.h. I = Ix + IV . Dieser Fehler ist umso
kleiner, je größer der Innenwiderstand RV des Voltmeters ist. Man kann diesen Fehler
allerdings korrigieren, wenn man mit Hilfe des Innenwiderstandes RV des Voltmeters
41
5 Ohmsche Widerstände
Abbildung 5.1: Schaltung zur Bestimmung eines unbekannten Widerstandes Rx unter
der Berücksichtigug des Innenwiderstandes RV des verwendeten Voltmeters.
(abzulesen am Voltmeter) den Strom IV = U/RV berechnet und von I abzieht, d.h.
Ix = I − IV .
Voraufgabe 5.A:
Erläutern Sie die Kirchhoffschen Regeln anhand der Schaltung in Abb.5.1.
Voraufgabe 5.B:
Leiten Sie die Formel zur Bestimmung von Rx in Abhängigkeit von I, U , und RV her
unter Berücksichtigung, dass I = Ix + IV .
Aufgabe 5.a:
Versuchsdurchführung
Stecken Sie die in Abb. 5.1 gezeigte Schaltung zusammen. Als Voltmeter nutzen Sie
das Zeigerinstrument, als Ampèremeter das Digitalmultimeter. Die Spannungen sind
am Voltmeter abzulesen (nicht(!) am Netzteil).
1. Messen sie I für 5 verschiedene Spannungen zwischen 0,5 V und 10 V.
Stellen Sie dafür den Messbereich des Voltmeters auf 12 V (nicht ändern!)
2. Messen Sie für 10 V den Strom I, wobei Sie drei unterschiedliche Messbereiche
des Voltmeters nutzen (12 V, 30 V und 120 V).
3. Messen Sie Rx direkt mit dem Digitalmultimeter.
Aufgabe 5.b:
Auswertung
1. Tragen Sie die Messwerte inclusive Fehlerbalken in ein Strom-Spannungs Diagramm ein (I als Funktion von U ). Ermitteln Sie Rx aus der Steigung der Ausgleichsgraden ohne Fehlerbetrachtung.
2. Tragen Sie die Messwerte, die Sie für I bei 10 V in unterschiedlichen Messbereichen erhalten haben, in dasselbe Diagramm ein.
3. Berechnen Sie für diese drei Messwerte Rx unter Berücksichtigung des Innenwiderstandes.
42
5.2 Ermittlung der Temperaturabhängigkeit eines NTC-Widerstandes
4. Berechnen Sie für den Wert des mittleren Messbereichs den Fehler:
v
2
u
u
2
2
∆I + ∆U
RV
∆U
∆Rx u
=u
+ 2
t
Rx
U
I − RUV
Diese Formel ist das Ergebnis aus
der Gauß’schen Fehlerfortpflanzung. RV wird als exakt angenommen.
5. Diskutieren Sie die erhaltenen Werte von Rx .
5.2 Ermittlung der Temperaturabhängigkeit eines
NTC-Widerstandes
Temperaturabhängigkeit von Widerständen
Die Leitfähigkeit eines Stoffes hängt von der Verfügbarkeit und der Beweglichkeit
elektrischer Ladungsträger (typisch Elektronen oder Ionen) ab. Beide Eigenschaften sind nicht nur materialspezifisch sondern auch temperaturabhängig. Umgekehrt
hängt somit der Widerstand eines Materials von der Temperatur ab, wovon man bei
diversen Bauteilen (Themperaturmessung, Überstromschutz, selbstregelndes Heizelement) Gebrauch macht. Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur größer oder kleiner wird, unterscheidet man zwischen Kaltleitern (PTC-) oder
Heißleitern (NTC-Widerstand).
• Kaltleiter oder PTC-Widerstand (positive temperature coefficient)
Widerstandswert wird bei steigender Temperatur größer
→ die Leitfähigkeit sinkt.
Beispiele: Metalle, polykristalline Keramiken
• Heißleiter oder NTC-Widerstand (negative temperature coefficient)
Widerstandswert wird bei steigender Temperatur kleiner
→ die Leitfähigkeit steigt.
Beispiele: Kohlenstoff, Halbleiter, diverse Metalloxide
Die Abhängigkeit von der Temperatur T (in Kelvin!) wird beim hier verwendeten
NTC-Widerstandstyp näherungsweise durch folgende Gleichung bestimmt:
b
RNTC (T ) = R0 · e T .
(5.1)
Hierbei sind R0 und b für den gewählten Widerstand charakteristische Konstanten.
Der Temperaturverlauf eines NTC-Widerstandes ist demnach exponentiell abfallend.
Gleichungen des Typs von Gl. 5.1 werden Arrhenius-Gleichungen genannt. Bei un”
endlich hohen“ Temperaturen nähert sich RNTC dem Widerstandwert R0 an. Die andere Konstante, b = Ea /kB beinhaltet die Anregungsenergie Ea des verwendeten
Materials, im Falle eines Halbleiters entspricht diese der Bandlücke, wobei kB für die
Boltzmann-Konstante steht. Typische Werte für b liegen beim NTC-Widerstand zwischen 2000 K und 5000 K.
43
5 Ohmsche Widerstände
Gleichung (5.1) läßt sich durch Logarithmieren in
RNTC (T )
R0
b
ln
= ln
+ .
1Ω
1Ω
T
(5.2)
1
überführen. Dir Normierung mit dem Faktor 1Ω
ist erforderlich, da der Logarithmus
nur von dimensionslosen Größen gebildet werden kann.
Die Temperaturabhängigkeit eines NTC-Widerstandes soll mit Hilfe einer Wheatstoneschen Brückenschaltung mittels Nullabgleich vermessen werden.
Wheatstonesche Brückenschaltung
Der Schaltplan einer Wheatstoneschen Brücke ist in Abb. 5.2 gezeigt wobei RNTC der
unbekannte Widerstand ist (in unserem Fall der NTC-Widerstand), RV ein bekannter
Vergleichswiderstand, G ein empfindliches Mikroampèremeter (Galvanometer), und
R1 und R2 die Teilwiderstände eines Potentiometers. Durch Verschieben des Mittelabgriffs vom Potentiometer lässt sich das Verhältniss von R1 zu R2 so einstellen, dass
kein Strom durch das Galvanometer fliesst, die Brücke also abgeglichen“ ist. In diesem
”
Fall gilt für die vier beteiligten Widerstände:
R1
RNTC
=
.
RV
R2
(5.3)
Abbildung 5.2: Wheatstonesche Brücke zur Vermessung eines NTC-Widerstandes.
RNTC = RV ·
l1
l2
Das Potentiometer hat bereits eine Skala,
auf der das Verhältnis l1 /l2 direkt abgelesen
werden kann.
Herleitung von Gleichung 5.3:
Betrachten Sie Abb. 5.2. Für den Fall der abgeglichenen Brücke, bei der kein Strom
durch das Galvanometer fliesst, gilt (Kirchhoffschen Knotenregel):
INTC = IV
und I1 = I2 .
(5.4)
In eben diesem Fall gilt aufgrund der Kirchhoffschen Maschenregel ferner:
UNTC = U1
44
und UV = U2
(5.5)
5.2 Ermittlung der Temperaturabhängigkeit eines NTC-Widerstandes
und also (U = R I):
RNTC INTC = R1 I1
und RV IV = R2 I2 .
(5.6)
Dividiert man obige Gleichungen (5.6) durcheinander, so erhält man
RNTC INTC
R1 I1
=
RV IV
R2 I2
(5.7)
Die Ströme kürzen sich heraus (Gl. 5.4), es bleibt die zu zeigende Beziehung 5.3.
Potentiometer im Messaufbau:
Das verwendete Potentiometer besteht aus einem 1 m langen Widerstandsdraht. Der
Widerstand eines Drahtes RDraht ist proportional zu seiner Länge l und umgekehrt
proportional zu seiner Querschnittsfläche A:
RDraht = %
l
A
(5.8)
Der Proportionalitätsfaktor % wird als Resistivität bezeichnet. Der Widerstand R ist
also direkt proportional zur Länge l und also ist R1 /R2 = l1 /l2 . Damit ergibt sich aus
Gl. 5.3 die Messbeziehung:
l1
(5.9)
RNTC = RV · .
l2
Das Potentiometer hat bereits eine Skala, auf der das Verhältnis l1 /l2 direkt abgelesen
werden kann.
Voraufgabe 5.C:
Was ist der Vorteil einer Nullabgleichsmessung?
Voraufgabe 5.D:
Welchen Einfluß hat die angelegte Spannung auf die Messung von RNTC ?
Aufgabe 5.c:
Versuchsdurchführung
Messen Sie zunächst den Wert von RV mit dem Digitalmultimeter.
Messen Sie RNTC für 15–20 unterschiedliche Temperaturen zwischen −10◦ C und
80◦ C durch Abgleichen der Wheatstoneschen Brücke Legen Sie dazu ca. 5 V an die
Brückenschaltung an. Überlegen Sie sich vor(!) Beginn der Messung, in welchem Temperaturbereich Sie wieviele Messpunkte benötigen (Siehe Gl. 5.1).
Messen Sie die Temperatur mit dem Digitalmultimeter.
Erstellen Sie eine Tabelle in die Sie folgende Werte eintragen:
45
5 Ohmsche Widerstände
T [◦ C]
l1 /l2
T [K]
RNTC [kΩ]
ln RNTC /Ω
1/T [10−3 K−1 ]
T [◦ C] und l1 /l2 sind Messwerte, die anderen Werte werden aus diesen berechnet. Für
ln RNTC /Ω und 1/T [10−3 K−1 ] nur vier Werte berechnen (siehe Abb. 5.3).
Aufgabe 5.d:
Auswertung
1. Tragen Sie die gemessenen Widerstandswerte als Funktion der Temperatur
in einem Diagramm auf mm-Papier auf und diskutieren Sie die Temperaturabhängigkeit. Keine Fehler einzeichnen.
2. Berechnen Sie für vier Messwerte die Größe ln (RNTC /1Ω) und tragen Sie diese
gegen 1/T auf mm-Papier auf. Die zu bestimmende Größe b ist die Steigung der
resultierenden Geraden. Auf eine Fehlerrechnung kann hier verzichtet werden.
Abbildung 5.3: Diagramm zur Bestimmung der Größe b eines NTC-Widerstandes.
46
6 Beugung am Gitter / Prismenspektroskop
Versuchsziele
- Voraufgaben 6.A-6.C
- Bestimmung der Wellenlänge der Spektrallinien von Quecksilber (6.a)
- Bestimmung der Wellenlänge der beiden blauen Linien im Caesiumspektrum
(6.b)
Verbindung zu Medizin, Biologie und Pharmazie
Strukturbestimmung von Proteinen (Infrarot-Differenzspektroskopie), Untersuchung
von Gewebe durch Einstrahlung von Licht und Analyse des von ihm reemittierten
Spektrums (Gewebespektrophotometrie), qualitative und quantitative Ermittlung
gasförmiger, flüssiger und fester Stoffe anhand ihrer Spektrallinien (Emissionsspektren).
Grundkenntnisse
Entstehung und Ausbreitung von Schwingungen (transversal, longitudinal); elektromagnetische Wellen; Energie und Intensität einer e.-m. Welle; mathematische Beschreibung von Wellen; Frequenz, Kreisfrequenz, Wellenlänge, Ausbreitungsgeschwindigkeit (Vakuum, Medium), Zusammenhänge dazwischen; Huygensches Prinzip, Überlagerung von Wellen, Phase, Interferenz und Interferenzkriterien; Huygenssches Prinzip, Beugung am Doppelspalt und am Gitter, Wellenlängenabhängigkeit des Beugungswinkels; Stoffabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit, Brechungsindex und Snelliussches Brechungsgesetz, Prisma (minimaler Ablenkungswinkel, Dispersion).
Physikalische Größen und Einheiten, Messfehler und Fehlerrechnung; Graphische Darstellung von
Messungen und deren Auswertung mit Hilfe von Ausgleichskurven.
6.1 Beugung am Gitter
6.1.1 Einführung
Ein paralleler Lichtstrahl wird beim Durchgang durch ein Gitter, d.h. eine regelmäßige
Anordnung von engen Spalten, zum Teil aus seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt. Das Phänomen nennt man Beugung. Bei Beugungserscheinungen kann sich die
Welle im geometrischen Schattenraum des Hindernisses (hier: den Spalten des Gitters)
ausbreiten.
47
6 Beugung am Gitter / Prismenspektroskop
d
α
s
·
α
Abbildung 6.1: Beugung am Gitter: Die Geometrie ergibt s/d = sin α.
Bei der Beugung am Gitter beobachtet man bei bestimmten Winkeln α ausgeprägte Intensitätsmaxima. Die Winkel α, unter denen diese Hauptmaxima beobachtet werden,
lassen sich aus geometrischen Bedingungen ableiten.
Nach dem Huygensschen Prinzip ist jeder Punkt im Raum Ausgangspunkt einer elementaren Kugelwelle, insbesondere jeder Punkt innerhalb eines Spaltes. Die Beugungsfigur ergibt sich durch die Interferenz dieser elementaren Kugelwellen.
Wenn der Gangunterschied s zwischen den elementaren Kugelwellen benachbarter
Spalte ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ ist, beobachtet man ein Hauptmaximum, d.h. konstruktive Interferenz. Die geometrische Bedingung hierfür kann
man aus Abbildung 6.1 ablesen:
s = d · sin α = m · λ mit m ganzzahlig.
(6.1)
Daraus folgt:
m·λ
(6.2)
d
Hierbei ist s der Gangunterschied, d die Gitterkonstante, d.h. der Abstand zwischen
benachbarten Spalten, α der Beugungswinkel, m die Ordnungszahl des Beugungsmaximums und λ die Wellenlänge des Lichtes.
sin α =
Die Beugung am Gitter wird zur Messung von Lichtwellenlängen λ verwendet. Das
Gitter in einem Gitterspektrographen besteht meist aus einer ebenen Glasplatte, in die
mit einem Diamanten gerade Streifen (einige 100 pro mm) in gleichen Abständen eingeritzt sind. Diese matten Streifen absorbieren das Licht, die unbearbeiteten Streifen
wirken als lichtdurchlässige Spalte.
Zwischen den Hauptmaxima, deren Lage nach Gleichung (6.1) berechnet werden
kann, gibt es noch sogenannte Nebenmaxima mit sehr geringer Intensität.
Mit Hilfe der Beugung am Gitter kann man das Spektrum von Licht mit hoher
Auflösung untersuchen. Unter dem Begriff Spektrum versteht man ein Diagramm,
in dem die Intensität als Funktion der Wellenlänge dargestellt ist.
48
6.2 Prismenspektroskop
violett blau
(Doppellinie)
türkis
grün gelb
(Doppellinie)
Abbildung 6.2: Beispiel für das Spektrum einer Quecksilberlampe.
Für eine Spektraluntersuchung von Licht ist das Auflösungsvermögen eines Beugungsgitters wichtig. Zwei Spektrallinien lassen sich mit Hilfe eines Gitters trennen, wenn
sich ihre Hauptmaxima nicht überlappen. Das Auflösungsvermögen eines Beugungsgitters ist definiert mit
λ
= mN .
(6.3)
A :=
|∆λ|
Dabei ist |∆λ| die kleinste noch trennbare Wellenlängendifferenz zweier Linien, die
beide nahe bei der Wellenlänge λ liegen. Das Auflösungsvermögen ist proportional
zur Anzahl der beleuchteten Spalte N (die Schärfe der Interferenzmaxima nimmt mit
ihr zu) und proportional zur Ordnung m.
Voraufgabe 6.A:
Es sollen die beiden gelben Linien (589,00 nm und 589,59 nm) einer Natriumdampflampe getrennt werden. Wie viele Spalte müssen mindestens beleuchtet werden, damit
die Linien im Beugungsmaximum erster Ordnung aufgelöst werden können?
Aufgabe 6.a:
Messung
1. Das Beugungsspektrum erster und zweiter Ordnung von Hg-Licht ist an einem
Strichgitter mit der Gitterkonstanten d = 10 µm aufzunehmen, indem der Beugungswinkel für die verschiedenen Spektralfarben des Hg-Lichts ausgemessen
wird (Abb. 6.2). Beachten Sie, dass sich die Spektren benachbarter Ordnungen
überschneiden können.
Wieviele Ordnungen lassen sich insgesamt beobachten?
2. Aus den gemessenen Werten der Beugungswinkel α sind die Wellenlängen der
Spektrallinien von Hg zu bestimmen.
3. Bestimmen Sie die Unsicherheit mittels Gauß’scher Fehlerfortpflanzung.
49
6 Beugung am Gitter / Prismenspektroskop
6.2 Prismenspektroskop
6.2.1 Einführung
Während der Gitterspektrograph eine räumliche Trennung von Strahlen mit unterschiedlichen Wellenlängen über die wellenlängenabhängige Beugung und Interferenz
an einem Gitter erreicht, nützt der Prismenspektrograph die Dispersion dn/dλ des
Brechungsindex n(λ) aus.
Unter Dispersion versteht man im Allgemeinen die Abhängigkeit einer Größe von der
Wellenlänge. In der Optik ist hierunter speziell die Abhängigkeit der Lichtbrechung
von der Wellenlänge zu verstehen. Wie stark sich die Brechungsindizes für verschiedene Wellenlängen unterscheiden, hängt vom verwendeten Material ab. Abbildung 6.3
zeigt beispielhaft die Dispersionskurve für Siliciumdioxid (Quarzglas). Fällt der Brechungsindex mit zunehmender Wellenlänge, so spricht man von normaler Dispersion,
nimmt er zu, wird dies als anomale Dispersion bezeichnet. Der Brechungsindex ist definiert als das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c und der im Medium
cm :
c
.
(6.4)
n :=
cm
Weißes Licht lässt sich mit Hilfe eines optisch dichten Mediums (z.B. eines Glasprismas) in seine Farbkomponenten zerlegen. Der langwellige (rote) Anteil wird dabei
weniger stark gebrochen als der kurzwellige (blaue) Anteil (siehe Abbildung 6.4).
Energie [eV]
3,0
2,5
2,0
1,75
1,480
Brechungsindex n
1,475
1,470
1,465
1,460
1,455
1,450
400
450
500
550
600
650
700
750
Wellenlänge [nm]
Abbildung 6.3: (L) Dispersionskurve für Siliciumdioxid. Es ist deutlich ein nicht-linearer Verlauf zu
erkennen.
50
6.2 Prismenspektroskop
Prisma
Linse2
Linse1
Spalt
Schirm
rot
blau
Abbildung 6.4: Strahlengang im Prismenspektroskop (ohne Okular). Das Prisma ist so justiert, dass für
die gelbe Hg-Linie die Ablenkung minimal ist. Damit der Effekt in dieser Abbildung gut sichtbar wird, wurden die tatsächlichen Brechungsindexunterschiede um einen Faktor 10 verstärkt.
Beim Prismenspektrograph wird ein Spalt mit der zu untersuchenden Strahlungsquelle beleuchtet und in der Brennebene einer Sammellinse positioniert (Abbildung 6.4).
Das dadurch erzeugte parallele Licht fällt auf das Prisma und wird von diesem in seine spektralen Anteile zerlegt. Die parallelen Strahlen verschiedener Frequenz werden durch eine weitere Sammellinse wieder gebündelt und in dessen Brennebene auf
einen Schirm projiziert, so dass verschiedenfarbige Abbilder des Spaltes zu sehen sind.
Üblicherweise wird statt des Schirms jedoch ein Okular gesetzt. Zusammen mit der
Sammellinse bildet es ein Fernrohr.
Auch für den Prismenspektrographen lässt sich das Auflösungsvermögen bestimmen.
Bei maximaler Ausleuchtung des Prismas gilt:
A :=
dn
λ
≈b·
,
|∆λ|
dλ
(6.5)
d.h. das Auflösungsvermögen des Prismas ist näherungsweise das Produkt aus seiner
Basisbreite b und seiner Dispersion dn/dλ. Die Höhe des Prismas spielt dabei keine
Rolle.
Voraufgabe 6.B:
Versuchen Sie, den Strahlengang im Prismenspektroskop (Abb. 6.4) nachzuvollziehen!
Warum ist die Winkelablenkung des blauen Lichtes größer als die des roten Lichtes?
Aufgabe 6.b:
Messung
Mit dem Prismenspektroskop sollen zwei Wellenlängen des Cäsiumspektrums ausgemessen werden.
51
6 Beugung am Gitter / Prismenspektroskop
1. Der Spektralapparat ist mittels der gelben Hg-Linie optisch günstig zu justieren.
Dazu wird darauf geachtet, dass beim Drehen des Prismas um seine Längsachse
(senkrecht zur Zeichenebene in Abb. 6.4) bei einer bestimmten Orientierung die
Ablenkung ein Minimum hat. Dann ist der Verlauf des gelben Hg-Lichtes symmetrisch zum Prisma (der Strahlengang ist umkehrbar).
Hinweis: Bei Drehung des Prismas findet man das Minimum der Ablenkung dadurch, dass die Ablenkung immer weiter abnimmt und beim Weiterdrehen über
den Punkt der minimalen Ablenkung hinaus zunächst nur schwach anwächst.
2. Das Spektrometer ist mit den Linien des Hg-Spektrums zu kalibrieren. Dazu
werden die nun bekannten Wellenlängen der Hg-Linien (6.a) gegen den Ablenkwinkel im Spektrometer aufgetragen.
(Die genauen Wellenlängen der Hg-Linien werden vom Assistenten bekannt gegeben.)
3. Die Wellenlängen der beiden blauen Cs-Linien werden aus der Eichkurve ermittelt. Schätzen Sie die Unsicherheit sinnvoll ab.
Voraufgabe 6.C:
Welche Auswirkung hat die Stellung des Prismas im Minimum der Ablenkung auf das
Experiment und wieso wird diese mit der gelben Spektrallinie eingestellt? Wie müsste
man bei einer genaueren Messung vorgehen?
52
7 Wechselstromwiderstände und Schwingkreis
Versuchsziele
- Voraufgaben 7.A - 7.D
- Bestimmung der Kapazität eines Kondensators (7.a)
- Bestimmung der Selbstinduktion einer Spule (7.b)
- Bestimmung der Resonanzfrequenz einer Parallelschaltung aus Kondensator
und Spule (7.c)
- Bestimmung des Gesamtwiderstandes einer Serienschaltung aus Kondensator,
Spule und Ohmschen Widerstand (7.d)
Verbindung zur Medizin, Biologie und Pharmazie
Allgemeine Verwendung von Wechselströmen, Aufbau elektronischer Bauteile, elektrische Reizung von Nerven bzw. Muskeln, Verstärker (z.B. für Aufnahme von Herzund Hirntätigkeit)
Grundkenntnisse
mathematische Beschreibung von Wellen; Frequenz, Kreisfrequenz, Wellenlänge, Amplitude, Phase; Elektrische Ladung, Ladungsträger, Elementarladung; Strom als bewegte Ladung, Stromstärke; Spannung als Potentialdifferenz; Amperemeter, Voltmeter, Gleichstromspannungsquellen; Leistung und Energie; Leiter, elektrischer Widerstand, Leitwert, Resistivität; Effektiv-, Momentan- und Mittelwerte von Wechselstrom
und Wechselspannung; Kondensator (Kapazität), Spule (Koeffizient der Selbstinduktion, alt: Induktivität); Impedanzen, Phasenverschiebung zwischen Spannung- und
Stromstärke, Abhängigkeit der Impedanzen von der Frequenz der Wechselspannung,
Parallel- und Serienschaltung von Impedanzen, Schwingkreise, Resonanzfrequenz)
Physikalische Größen und Einheiten, Messfehler und Fehlerrechnung; Graphische Darstellung von
Messungen und deren Auswertung mit Hilfe von Ausgleichskurven, lineare Regression; Funktionsweise
und Umgang mit dem Oszilloskop; Bestimmung von Periodendauern und Amplituden von Schwingungen mit dem Oszilloskop.
7.1 Wechselstromwiderstände
Inhalt von Versuch 5 Ohmsche Widerstände“ waren Stromkreise mit zeitlich konstan”
ter Spannungsquelle und konstantem Strom. In Versuch 7 werden Wechselstromkreise
und Wechselstromwiderstände untersucht.
53
7 Wechselstromwiderstände und Schwingkreis
I0sin(ωt)
U0sin(ωt)
U∼
RΩ
Abbildung 7.1: (L) Links: Schaltung mit Wechselstromwiderstand Z = RΩ . Rechts: Phasenverschiebung bei Z = RΩ .
Spulen, Kondensatoren und Ohmsche Widerstände sind die elementaren Wechselstromwiderstände. Die Serien- und Parallelschaltung dieser Widerstände nennt man
ebenfalls Wechselstromwiderstände. Das allgemeine Symbol für einen Wechselstromwiderstand (auch Impedanz genannt) ist Z.
Wenn ein sinusförmiger Wechselstrom I = I0 · sin(ωt) durch einen Wechselstromwiderstand Z fließt, beobachtet man in der Regel eine Phasenverschiebung ϕ zwischen
der Wechselspannung U (t) und dem Wechselstrom I(t):
I(t) = I0 · sin(ωt) ,
U (t) = U0 · sin(ωt + ϕ) .
(7.1)
(7.2)
Hierbei ist U0 die Spannungsamplitude, ω die Kreisfrequenz (Einheit: rad · s−1 ), die
mit der Frequenz ν und der Schwingungsdauer (Periode) T verknüpft ist:
2π
.
(7.3)
T
Der Wechselstromwiderstand Z (Impedanz) ist definiert als das Verhältnis der Spannungsamplitude U0 zur Stromamplitude I0 (vgl. Abb. 7.1):
ω = 2πν =
Z=
U0
.
I0
(7.4)
7.1.1 Ohmscher Widerstand
Für den Ohmschen Widerstand ist der Wechselstromwiderstand gleich dem Gleichstromwiderstand:
RΩ = R
ϕ = 0 (=
ˆ 0◦ ) .
(7.5)
(7.6)
Für den Ohmschen Widerstand tritt keine Phasenverschiebung auf (Abb.7.1).
54
7.1 Wechselstromwiderstände
7.1.2 Kapazitiver Widerstand
Für einen Kondensator mit der Kapazität C (Einheit 1 F = 1 C/V, F = Farad) ist:
1
,
ωC
π
ˆ − 90◦ ) .
ϕ = − (=
2
RC =
(7.7)
(7.8)
Die Spannung folgt dem Strom um π/2 hinterher (Abb. 7.2).
Zur mathematischen Ableitung des kapazitiven Widerstandes betrachtet man die zeitliche Änderung der Ladung Q auf den Kondensatorplatten:
Q(t) = CU (t)
dU
dQ
= C
.
I(t) =
dt
dt
(7.9)
(7.10)
Mit dem Ansatz U (t) = U0 sin(ωt) ergibt sich:
I(t) =
ωCU0 · cos(ωt)
= ωCU0 · sin(ωt + π2 ) .
| {z }
(7.11)
I0
Wenn man die Phasenverschiebung bei der Spannung berücksichtigt, ergibt sich mit
dem Ansatz I(t) = I0 · sin(ωt):
U (t) =
π
I0
· sin(ωt − ) .
ωC
2
(7.12)
Voraufgabe 7.A:
Begründen sie physikalisch anschaulich und kurz(!), warum die Spannung am Plattenkondensator dem Strom folgt.
Wie verhält sich der Kondensator, wenn statt Wechselstrom ein Gleichstrom anliegt?
7.1.3 Induktiver Widerstand
Eine Spule ist durch den Koeffizienten der Selbstinduktion L gekennzeichnet. Diese
Größe wird auch Induktivität genannt.
Für eine Spule mit der Induktivität L (Einheit 1 H = 1 Vs/A, H = Henry) erhält man:
RL = ωL ,
π
ϕ = + (=
ˆ + 90◦ ) .
2
(7.13)
(7.14)
Die Spannung eilt dem Strom um π/2 voraus.
55
7 Wechselstromwiderstände und Schwingkreis
I0sin(ωt)
U0sin(ωt-π/2)
U∼
Rc
(a) RC
(b) ϕ
Abbildung 7.2: (L) Links: Schaltung mit Wechselstromwiderstand Z = RC . Rechts: Phasenverschiebung bei Z = RC .
I0sin(ωt)
U0sin(ωt+π/2)
U∼
RL
(a) RL
(b) ϕ
Abbildung 7.3: (L) Links: Schaltung mit Wechselstromwiderstand Z = RL . Rechts: Phasenverschiebung bei Z = RL .
U0sin(ωt)
I0sin(ωt-π/2)
I0sin(ωt+π/2)
Überlagerung der I(t)
U∼
RC
RL
(a) Parallelschwingkreis aus RL und RC
(b) ϕ
Abbildung 7.4: (L) Links: Parallelschaltung von C und L. Rechts: Resultierende Phasenverschiebung
56
7.1 Wechselstromwiderstände
Zur mathematischen Ableitung des induktiven Widerstandes benutzt man die Gleichung der induzierten Spannung, die bei einer zeitlichen Änderung des Stromes auftritt:
dI
U (t) = L .
(7.15)
dt
Mit dem Ansatz I(t) = I0 · sin(ωt) ergibt sich:
U (t) =
ωLI0 · cos(ωt)
= ωLI0 · sin(ωt + π2 ) .
| {z }
(7.16)
U0
Voraufgabe 7.B:
Erläutern Sie kurz und physikalisch anschaulich wie sich das magnetische Feld der
Spule und I(t) mit der Zeit t ändern und gegenseitig beeinflussen.
Wie verhält sich die Spule, wenn statt Wechselstrom ein Gleichstrom anliegt?
7.1.4 Parallelschaltung von Kondensator und Spule
Um den Gesamtwiderstand Z und die Phasenverschiebung ϕ einer Parallelschaltung
zu ermitteln, benutzen wir die Gleichungen 7.1 und 7.2.
Es ergeben sich folgende Gleichungen:
U (t) = U0 · sin(ωt)
π
U0
· sin(ωt − )
IL (t) =
RL
2
U0
π
π
U0
IC (t) =
· sin(ωt + ) = −
· sin(ωt − ) .
RC
2
RC
2
(7.17)
(7.18)
(7.19)
Wenn man die Wechselströme IL (t) und IC (t) graphisch darstellt, erkennt man, dass
die Phasendifferenz zwischen IL und IC genau π (180◦ ) beträgt, d.h. man kann die
Amplituden mit entgegengesetztem Vorzeichen addieren (siehe Abb. (7.4).
Damit erhält man für den Gesamtstrom I(t):
  U0 − U0 sin(ωt − π ) , wenn 1 > 1
2
RL
RC
RL RC .
(7.20)
I(t) =
U
U
π
1
1
0
0

sin(ωt
+
−
)
,
wenn
>
RC
RL
2
RC
RL
Für die Impedanz Z und die Phasenverschiebung ϕ ergeben sich:
1
1
1 =
−
Z RL RC +90◦ , wenn RC > RL
ϕ=
.
−90◦ , wenn RL > RC
(7.21)
(7.22)
57
7 Wechselstromwiderstände und Schwingkreis
Die Frequenz ω0 , bei der die beiden Leitwerte 1/RL und 1/RC den gleichen Betrag
haben, ergibt sich aus der Gleichung:
1
ω0 C
1
=⇒ ω0 = √
.
LC
RL = RC =⇒ ω0 L =
(7.23)
(7.24)
Dies ist die Resonanzfrequenz des aus RL und RC gebildeten Schwingkreises.
Im Resonanzfall sind die Ströme IL und IC vom Betrag exakt gleich, aber sie haben
entgegengesetztes Vorzeichen. Daher wird der Gesamtstrom gleich Null, d.h. auch der
Leitwert der Parallelschaltung ist damit gleich Null und der Wechselstromwiderstand
Z ist Unendlich:

U0
U0
π
I(t) = RL − RC sin(ωt − 2 ) = 0 


1
1
1 wenn ω = ω0 .
(7.25)
= RL − RC = 0
Z



Z=∞
Voraufgabe 7.C:
An einer Parallelschaltung aus einem kapazitiven und einem induktiven Widerstand
(Parallelschwingkreis, Schaltung in Abb. 7.4) liege ein sinusförmiger Wechselstrom an.
Was schwingt“ bei diesem Schwingkreis und wie kommt diese Schwingung zustande?
”
Hinweis: Beachten Sie das Verhalten von Kondensator und Spule in Abhängigkeit von I(t)
und U(t).
Wie verhält sich der Schwingkreis, wenn statt Wechselstrom ein Gleichstrom anliegt?
7.1.5 Serienschaltung von Kondensator, Spule und Ohmschem Widerstand
Bei einer Serienschaltung von kapazitivem, induktivem und Ohmschem Widerstand
lässt sich der Wechselstromwiderstand Z und die Phasenverschiebung ϕ mit Hilfe der
folgenden Gleichungen berechnen:
q
q
2
2
Z = RΩ
+ (RL − RC )2 = RΩ
+ (ωL − 1/ωC)2
(7.26)
tan ϕ =
RL − RC
.
RΩ
(7.27)
Wenn der induktive Widerstand RL größer ist als der kapazitive Widerstand RC , ist
die Phasenverschiebung ϕ positiv (siehe Abb. 7.5).
Die Kreisfrequenz, bei der der Wechselstromwiderstand Z den kleinsten Wert einnimmt, berechnet sich wie die Resonanzfrequenz des Parallelschwingkreises und stellt
58
7.2 Versuchsanleitung
RΩ
U∼
RL
RC
(a) Serienschwingkreis
RΩ , RL und RC
aus
(b) ϕ
Abbildung 7.5: (L) Links: Serienschaltung von C, L und RΩ . Rechts: Die Phasenverschiebung hängt
von der Frequenz ab.
auch hier die Resonanzfrequenz dar.
ω0 = √
1
LC
(7.28)
Voraufgabe 7.D:
In Abb. 7.6 befindet sich in den Skizzen ein Lautsprecher in einer einfachen elektrischen Schaltung. Wäre weder ein Kondensator noch eine Spule in der Schaltung,
würde die Frequenz des anliegenden Wechselstromes als akustisches Signal gleicher
Frequenz auf dem Lautsprecher ausgegeben.
Begründen Sie kurz, welche der (schematisch vereinfachten) Schaltungen einen einfachen Tiefpass und welche einen einfachen Hochpass darstellt.
7.2 Versuchsanleitung
Es sollen charakteristische Eigenschaften verschiedener Impedanzen bestimmt werden.
In den Aufgaben 7.a – 7.d werden die Widerstände der vier vorgestellten Schaltungen
(siehe Abb. 7.7) in Abhängigkeit von der Frequenz gemessen.
Am Anfang jeder Messung ist die Spannung am Sinusgenerator so einzustellen, dass
ihr Scheitelwert 1 V beträgt.
In den vier Schaltungen ist jeweils die Phasenverschiebung zwischen Strom
und Spannung zu protokollieren.
Anmerkungen zu 7.a – 7.c:
• Nutzen Sie den ganzen Frequenzbereich aus!
• Für fünf verschiedenen Frequenzen werden die Amplituden der anliegenden
59
7 Wechselstromwiderstände und Schwingkreis
RC
RL
U∼
(a) Vereinfachter Tiefpass
(c) Vereinfachter Tiefpass
U∼
RL
Lautsprecher
RC
(b) Vereinfachter Hochpass
Lautsprecher
U∼
Lautsprecher
Lautsprecher
U∼
(d) Vereinfachter Hochpass
Abbildung 7.6: Schematische Darstellung von Tief- und Hochpässen.
Wechselspannung U0 , des durchfließenden Stroms I0 sowie die Schwingungsdauer T des Wechselstroms mit Hilfe des Zweikanal-Oszilloskops ermittelt.
Die Schwingungsdauer T ist auf die Kreisfrequenz ω gemäß der Beziehung
ω = 2π/T umzurechnen.
Aufgabe 7.a:
Kapazitiver Widerstand:
Der Kehrwert des Widerstandes (Leitwert) I0 /U0 wird gegen die Kreisfrequenz ω aufgetragen und aus der Steigung der Geraden die Kapazität des Kondensators ermittelt.
Bestimmen Sie die Unsicherheit grafisch!
Aufgabe 7.b:
Induktiver Widerstand:
Der Widerstand U0 /I0 wird gegen die Kreisfrequenz aufgetragen und aus der Steigung
der Geraden der Koeffizient L der Selbstinduktion bestimmt (Selbstinduktivität). Hier
können Sie die Fehlerbetrachtung auslassen.
60
7.2 Versuchsanleitung
Oszilloskop
U
I
a)
b)
c)
d)
RΩ
1Ω
Sinusgenerator
ν = 60 Hz − 600 Hz
U∼
RC
RL
RC
RL
RC
RL
(a) Schema des Versuchsaufbaus
Frequenz
U∼
min
max
Stromstärke
Spannung
min
max
Spannung
(b) Frontansicht (Schema) der Versuchsapparatur
Abbildung 7.7: Versuchsaufbau.
Aufgabe 7.c:
Resonanzfrequenz einer Parallelschaltung von C und L:
Der Leitwert I0 /U0 wird gegen die Kreisfrequenz aufgetragen. Aus der Graphik ist die
Resonanzfrequenz ωres abzulesen und mit dem aus Gleichung (7.24) berechneten Wert
zu vergleichen. Schätzen Sie die Messunsicherheit ab.
Aufgabe 7.d:
Gesamtwiderstand einer Serienschaltung von RΩ , C und L:
Bei fest vorgegebener Frequenz (z.B. ωres ) soll der Gesamtwiderstand Z (Wechselstromwiderstand oder Impedanz) der Serienschaltung auf zwei Arten bestimmt werden:
q
2
1. Nach der Formel Z = RΩ
+ (RL − RC )2 .
2. Durch Messung von U0 /I0 .
61
7 Wechselstromwiderstände und Schwingkreis
Vergleichen Sie den berechneten Gesamtwiderstand mit dem gemessenen und
schätzen Sie daraus die Unsicherheit ab.
62
8 Röntgenstrahlen
Versuchsziele
- Voraufgaben 8.A - 8.C
- Verständnis der Funktion einer Röntgenröhre
- Aufnahme des Spektrums einer Molybdän-Röntgenröhre (8.b und 8.c)
- Bestimmung der Halbwertsdicke von Aluminium (8.d)
- Bestimmung der Absorption in Abhängigkeit von der Ordnungszahl Z (8.e) und
der maximalen Energie der Röntgenstrahlung (8.f)
Verbindung zur Medizin, Biologie und Pharmazie
Bedeutung von Röntgenaufnahmen von Knochen und Gewebe für die ärztliche
Diagnose. Sichtbarmachung der von einer möglichst punktförmigen (Wieso?)
Röntgenstrahlquelle ausgehenden nicht absorbierten Strahlung durch Röntgenfilme
oder Leuchtschirme. Therapie von Tumoren und Krebsgeschwülsten durch intensive Megavolt-Röntgenstrahlen. Die Beugung von Röntgenstrahlen an Kristallgittern
und Makromolekülen wird zur Röntgenstrukturanalyse benutzt (Laue-Diagramme).
Nachweis der charakteristischen Strahlung der Elemente in einer Probe bei der
Röntgenfluoreszenzanalyse (Spurennachweis von Schadstoffen wie Blei, Quecksilber
etc. in Gewebe, Lebensmitteln, Umwelt).
Grundkenntnisse
Entstehung und Ausbreitung von Schwingungen (transversal, longitudinal); elektromagnetische Wellen; Energie und Intensität einer e.-m. Welle; mathematische
Beschreibung von Wellen; Frequenz, Kreisfrequenz, Wellenlänge, Ausbreitungsgeschwindigkeit (Vakuum, Medium), Zusammenhänge dazwischen; Huygensches Prinzip, Überlagerung von Wellen, Phase, Interferenz und Interferenzkriterien;
Aufbau der Atomhülle und des Atomkerns; Proton, Neutron, Elektron, Kernladungsund Massenzahl; Schalenaufbau der Atome, Bohrsches Atommodell; Aufbau einer
Röntgenröhre, Glühelektrischer Effekt, Beschleunigung von Ladung, Erzeugung von
Röntgenstrahlen, Spektrum der Röntgenstrahlung, Bremsstrahlung und deren Energieverteilung, Grenzwellenlänge, Charakteristische Strahlung und deren Ursprung
Aufnahme eines Röntgenspektrums: Welle-Teilchen-Dualismus, Beugung am Kristall,
Bragg-Gleichung
Nachweis von ionisierender Strahlung: Ionisierung, ionisierende Strahlung, Ionisationskammer, Zählrohr, Szintillationszähler, Dosis, Dosisleistung; Reichweite
und Abschirmung ionisierender Strahlung, Schwächungseffekte von ionisierender
Strahlung: Photoeffekt, Rayleigh-Streuung, Compton-Streuung, Paarbildung, Ab-
63
8 Röntgenstrahlen
schwächungskoeffizienten, Abhängigkeit der Schwächung vom Absorbermaterial und
dessen Dicke
Physikalische Größen und Einheiten, Messfehler und Fehlerrechnung; Exponentialfunktion und deren
physikalische Aussage, natürlicher bzw. dekadischer Logarithmus und Überführung der Exponentialfunktion in eine lineare Funktion durch Logarithmieren; Graphische Darstellung von Messungen in
Koordinatensystemen mit linear und logarithmisch geteilten Achsen und deren Auswertung mit Hilfe
von Ausgleichskurven; lineare Regression;
8.1 Grundlagen bildgebender Verfahren mit Röntgenstrahlung
Bei der diagnostischen Röntgenaufnahme handelt es sich um ein Schattenbild, bei dem
der im Strahlengang positionierte Gegenstand die Strahlung abhängig von seiner Dicke d und Ordnungszahl Z unterschiedlich stark absorbiert und so einen Schatten auf
den Leuchtschirm oder den Röntgenfilm wirft.
Fallen parallele Röntgenstrahlen der Intensität I auf eine dünne Folie eines Materials
mit Dicke dx, so gilt für die Zahl dI der wechselwirkenden Quanten pro Flächen- und
Zeiteinheit (siehe Abbildung 8.1):
dI ∝
I
∝ −dx
=⇒ dI = −µ · I · dx
(8.1)
Das Minuszeichen bedeutet, dass die Intensität abnimmt (dI ≤ 0). Der Proportionalitätsfaktor µ ist der lineare Schwächungskoeffizient des Absorbermaterials mit Einheit m−1 . Er ist eine Funktion der Energie hν der Quanten (siehe Abb. 8.2) sowie der
Dichte % und der Ordnungszahl Z der Materie: µ = f (hν,%,Z). Damit zusammen
hängt der auf die Dichte ρ des Materials bezogene Massenabschwächungskoeefizient
µ0 = µ/ρ (Einheit: cm2 /g).
Für einen dicken Absorber mit homogener Zusammensetzung kann die Differentialgleichung (8.1) integriert werden und man erhält das Schwächungsgesetz:
I(x) = I0 · e−µx mit I0 = Intensität der auftreffenden Quanten
x = Dicke des Materials.
(8.2)
Zum Schwächungskoeffizienten µ tragen Absorption und Streuung der Strahlung gemeinsam bei:
µ = µA + µR + µC + µP + µK
Dabei sind:
µA
µR
µC
µP
µK
64
=
=
=
=
=
Schwächungskoeffizient für Photoabsorption
Schwächungskoeffizient für Rayleigh-Streuung
Schwächungskoeffizient für Compton-Streuung
Schwächungskoeffizient für Paarbildung
Schwächungskoeffizient für Kernreaktion.
(8.3)
8.1 Grundlagen bildgebender Verfahren mit Röntgenstrahlung
I0
I
I1
I2
dx
dx
x
Abbildung 8.1: (L) Allgemeines Schwächungsgesetz. Die Abnahme dI der Intensität in einem Absorber
hängt von der eingehenden Intensität ab: hier z.B. dI0 ∝ I0 und dI1 ∝ I1
104
t/
am
μ ges
102
ρ
1
10
μR /ρ
100
/ρ
μA
μ/ρ [cm2/g]
Emax(medizinische Diagnostik)
103
μA/ρ
μR/ρ
μC/ρ
μP/ρ
μgesamt/ρ
10-1
μ C/ρ
-2
P /ρ
10
μ
10-3
-4
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Eγ[keV]
Abbildung 8.2: Abhängigkeit des Massenabsorptionskoeefizienten µ/ρ von der Energie Eγ der
Röntgenstrahlung am Beispiel von Aluminium (Z = 13). Die in der Diagnostik maximal verwendete Energie beträgt ca. 150 keV, d.h. bis zu dieser Energie tragen nur Photoabsorption,
Rayleigh- und Compton-Streuung bei.
65
8 Röntgenstrahlen
Die Absorption beruht im Wesentlichen auf der Ionisation von Atomen, die ein Elektron aus einer inneren Elektronenschale abgeben. Der Absorptionskoeffizient µA ist
deshalb stark abhängig von der Anregungsenergie der Atome und damit von der Ordnungszahl Z. Abgesehen von den Absorptionskanten, bei denen die Quantenenergie
hν der Röntgenstrahlung gerade der Bindungsenergie EB der Elektronen entspricht,
gilt bei fester Wellenlänge λ näherungsweise die Beziehung
µA ≈ C · Z 4 .
(8.4)
Strahlung im niederenergetischen Bereich, unterhalb der Anregungsenergien der Atome, kann die gebundenen Elektronen der Atome zu Schwingungen anregen, welche
dann Strahlung der gleichen Frequenz wie die einfallende abgeben. Dies geschieht,
vergleichbar den Huygenschen Elementarwellen, in alle Raumrichtungen (RayleighStreuung). Diese Art der Streuung verringert nicht die Energie, nur die Richtung der
Strahlung.
Bei Streuung an (quasi) ungebundenen Elektronen im Material kann die einfallende Strahlung einen Teil ihrer Energie an das Elektron abgeben. Nach diesem Prozess, vergleichbar einem inelastischen Stoß, weist das ausgehende Röntgenquant eine
verringerte Energie und (der Impulserhaltung geschuldete) geänderte Richtung auf
(Compton-Streuung).
Die Schwächungskoeffizienten für Paarbildung und Kernreaktion sind im Energiebereich der diagnostischen Röntgenstrahlung Null bzw. vernachlässigbar klein.
8.2 Projektion auf einen Leuchtschirm
Bei dem Versuch wird ein Schirm aus Bleiglas mit aufgetragenem Leuchtstoff aus
Zink-Cadmium-Sulfid (Zn(Cd)S) verwendet. Im Leuchtstoff hebt das einfallende
Röntgenquant durch Photoeffekt ein Elektron auf eine höhere Bahn um den Atomkern
oder ins Leitungsband (wo das Elektron nicht mehr an die Atomkerne gebunden ist).
Die so entstandene Leerstelle wird von einem Elektron aus einer höheren Schale wieder aufgefüllt, wobei die frei gewordene Energie teilweise in Form von (sichtbarem)
Licht abgegeben wird. Der Vorgang der Anregung und Lichtemission wird Fluoreszenz genannt. Die Übergänge erfolgen sehr schnell (<10−5 s), so dass die Fluoreszenz
im Gegensatz zur Phosphoreszenz nur während der Bestrahlung sichtbar ist.
Aufgabe 8.a:
Röntgenbilder
Ein geschlossener Holzwürfel, in dessen Inneren sich an festen Stellen zwei Schraubenmuttern und ein Hohlraum befinden, wird in den Strahlgang gebracht und die Projektion entlang einer Achse dieses Würfels betrachtet. In Zweiergruppen wird dabei
jeweils eine Projektion entlang einer anderen Achse durchgeführt und dokumentiert.
Im Anschluss soll in einer Gruppenarbeit aus diesen zweidimensionalen Projektionen
die Lagen und Orientierungen der Muttern und des Hohlraums im Würfel bestimmt
werden.
66
8.3 Spektrum einer Molybdän-Röntgenröhre
2θ
θ
Abbildung 8.3: Skizze zur Beugung von Röntgenstrahlen an einem Einkristall.
Voraufgabe 8.A:
Beim Durchleuchten des Holzwürfels mit Röntgenstrahlung der Energie 30 keV ist der
Unterschied zwischen der Abschwächung an Holz und den Hohlräumen (Luft) relativ
schwer erkennbar, der Unterschied zwischen der Abschwächung an Holz oder Eisen
jedoch relativ leicht.
Berechnen Sie nach Gl. 8.2 die Abschwächung I/I0 für eine Dicke von jeweils 5 mm
dieser Materialien. Verwenden Sie dazu folgende Schwächungskoeffizienten:
µ/ρ(Luft) = 0,35 cm2 /g, µ(Holz) = 0,2 cm−1 , µ/ρ(Eisen) = 8,2 cm2 /g.
Erklären Sie damit die erwähnte experimentelle Beobachtung.
8.3 Spektrum einer Molybdän-Röntgenröhre
Es soll das von der Molybdän-Röntgenröhre ausgesandte Spektrum (Intensitätsverteilung der Wellenlänge) mittels der Bragg-Reflexion in seine spektralen Anteile zerlegt werden (Abbildung 8.3).
Die Wellennatur der Röntgenstrahlung wurde erst 1912, d.h. 17 Jahre nach ihrer Entdeckung durch Wilhelm Conrad Röntgen nachgewiesen, denn es ließen sich zunächst
keine Beugungsgitter mit hinreichend kleiner Gitterkonstante herstellen. Schließlich
kam Max von Laue der Gedanke, dass womöglich die Natur solche Gitter in Gestalt von Kristallen bereithält. Es zeigte sich dann beim Durchstrahlen von NaCl mit
Röntgenstrahlung eine Struktur (sog. Laue-Interferenzen) und nicht ein schwarzer
Fleck auf der Photoplatte, womit bewiesen wurde, dass Röntgenstrahlen wie das Licht
(vergleiche Versuch 6: Beugung am Gitter) Welleneigenschaften haben. Außerdem
wurde damit die Periodizität des Kristalls nachgewiesen.
Umgekehrt werden heute Kristalle auf Grund ihrer Gitterstruktur dazu verwendet, die
Spektren und Grenzwellenlängen von Röntgenröhren zu bestimmen.
67
8 Röntgenstrahlen
A
F
UA
B
hν
e−
A
K
W
UA
UH
F
B
W
K
:
:
:
:
:
:
:
Anode
Kathode
Wehneltzylinder
Anodenspannung
Heizspannung
Fenster
Blende
UH
Abbildung 8.4: Aufbau einer Röntgenröhre
d
θ
θ
· 21s
1
s
2
Netzebene
Abbildung 8.5: Zwischen den Reflexionen an zwei Netzebenen eines Kristalls herrscht ein Gangunterschied von s = 2 · d sin Θ.
68
8.3 Spektrum einer Molybdän-Röntgenröhre
8.3.1 Bragg-Reflexion an den Gitterebenen eines Einkristalls
Die Bragg-Reflexion eines nahezu parallelen Röntgenstrahles an den Gitterebenen eines Einkristalls beruht auf der Interferenz elastisch gestreuter Röntgenquanten. Die
elastische Streuung findet an den Elektronen der Atome statt. Aufgrund der periodischen Anordnung der Atome in dem Einkristallgitter kommt es zu einer kohärenten
(d.h. mit fester Phasenbeziehung) Überlagerung der Streuwellen.
Die hierbei beobachtete konstruktive Interferenz der Streuwellen kann man mit Hilfe
des Huygenschen Prinzips deuten. Danach ist jedes Atom ein Streuzentrum, d.h. Ausgangspunkt elementarer Kugelwellen. Nur in bestimmten ausgezeichneten Richtungen kommt es zu einer starken konstruktiven Interferenz, in allen anderen Richtungen
wirkt sich die destruktive Interferenz benachbarter Wellen aus. Es kommt zur konstruktiven Interferenz, wenn der Gangunterschied s, d.h. die zusätzliche Wegstrecke
(siehe Abb. 8.5) bei Streuung an einer benachbarten Netzebene, gleich dem ganzen
Vielfachen der Wellenlänge λ ist.
Der Winkel Θ, unter dem die Bragg-Reflexion beobachtet wird, hängt von der Wellenlänge λ und dem Netzebenenabstand d ab.
Die Bedingung für konstruktive Interferenz lautet dann:
Gangunterschied = ganzes Vielfaches der Wellenlänge
2d · sin Θ
=
nλ mit n = 1,2,3,...
(8.5)
Hierbei ist n die Ordnung des Beugungsmaximums. Der Winkel Θ zwischen der Richtung der einfallenden Röntgenstrahlen und der Netzebene ist der sog. Glanzwinkel.
Der Detektor zum Nachweis der gestreuten Röntgenstrahlung muss so nachgeführt
werden, dass der Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und dem gestreuten Strahl
gleich dem doppelten Glanzwinkel ist, d.h. Θdet = Θ (Abbildung 8.3). Damit sieht
der Detektor stets nur das für eine bestimmte Wellenlänge λ charakteristische Intensitätsmaximum. In dem Versuch wird das Beugungsmaximum erster Ordnung,
d.h. n = 1, beobachtet. Damit ergibt sich für die Wellenlängen λ die Beziehung
λ = 2d · sin Θ,
(8.6)
d.h. es lässt sich aus dem Winkel Θ direkt die Wellenlänge λ berechnen.
Mit den elementaren Beziehungen
EPhoton = h · ν , c = λ · ν
(8.7)
lässt sich die Energie EPhoton jener Photonen berechnen, welche konstruktive Interferenz unter dem Winkel Θ zeigen. Hierbei ist c die Lichtgeschwindigkeit (c = 3,0 ·
108 m/s), h das Plancksche Wirkungsquantum (h = 6,63·10−34 Js = 4,14·10−15 eVs).
Man bemerke in diesem Zusammenhang die Analogie zu dem in Versuch 6 aufzunehmenden Beugungsspektrum erster und zweiter Ordnung über Gleichung (6.1), wobei
69
8 Röntgenstrahlen
d beim Strichgitter die Gitterkonstante, beim Kristall der Netzebenenabstand ist.
Für die Größenordnung der Energie der Röntgenquanten ist es üblich, die Einheit 1 eV
(Elektronenvolt) anzugeben. Die Energie 10 keV z.B. ist die kinetische Energie, die ein
Elektron bei einer Anodenspannung UA = 10 kV auf dem Weg von der Kathode zur
Anode erhält.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Strahlendosis einer Röntgenaufnahme anzugeben, je nachdem ob die reine Anzahl der erzeugten Ionenpaare, die Auswirkung der
ionisierten Strahlung auf Materie etc. betrachtet werden soll. Einen kleinen, nichtvollständigen Überblick gibt dabei Anhang E.
8.3.2 Grenzwellenlänge λg , Grenzfrequenz νg , Grenzenergie Eg
Die aus der geheizten Kathode austretenden Elektronen werden durch die RöhrenHochspannung UA auf die Anode hin beschleunigt (siehe Abbildung 8.4). In dem Anodenmaterial (hier Molybdän) wird die kinetische Energie Ekin = e·UA der Elektronen
teilweise oder ganz in elektromagnetische Strahlung der Energie EPhoton = h · ν umgewandelt.
Die maximale Energie (Grenzenergie Eg ) der Photonen ist jene Energie, welche sich
bei vollständiger Umwandlung von Ekin der Elektronen in EPhoton ergäbe. Photonen
höherer Energie können im Spektrum prinzipiell nicht auftreten. So lässt sich nach
Gl. 8.7 auch die kleinstmögliche Wellenlänge der Strahlung (die Grenzwellenlänge λg )
bzw. die größtmögliche Frequenz (die Grenzfrequenz νg ) berechnen:
Eg = e · UA , λg =
c·h
e · UA
.
, νg =
e · UA
h
(8.8)
Voraufgabe 8.B:
Berechnen Sie die Grenzwellenlänge λg bei einer vorgegebenen Anodenspannung von
UA = 35 kV.
8.3.3 Versuchsdurchführung
Es wird das Spektrum in erster Ordnung mit einem NaCl-Einkristall (d = 281,97 pm,
1 pm = 1 · 10−12 m) aufgenommen. Der Winkel Θ wird zunächst in größeren Schritten (0,5◦ ) von 3◦ bis 10◦ variiert. Die Lage der beiden charakteristischen Mo Kα - und
Mo Kβ -Linien wird hiernach von den Praktikanten abgeschätzt und der entsprechende
Bereich mit höherer Genauigkeit in 0,2◦ -Schritten erneut gemessen. Für den ImpulsZähler eignet sich eine Messzeit von 10 s.
Aufgabe 8.b:
Spektrum der Röntgenröhre
Die Intensität, d.h. die gemessene Zahl der gestreuten Röntgenquanten pro Sekunde,
wird gegen den Winkel Θ auf Millimeterpapier aufgetragen.
70
8.4 Halbwertsdicke von Aluminium
Die Energien der beiden charakteristischen Mo Kα - und Mo Kβ -Linien sind in der Einheit keV aus den entsprechenden Winkeln zu berechnen (Gln. 8.6 und 8.7). Schätzen
Sie die Messunsicherheit ab. Wie ist die erhaltene Kurvenform zu interpretieren?
Aufgabe 8.c:
Grenzwellenlänge
Vergleichen Sie den Grenzwellenlänge aus dem Spektrum (Interpoliere!) mit der in
Aufgabe 8.B berechneten. Schätzen Sie die Unsicherheit ab.
8.4 Halbwertsdicke von Aluminium
Es soll die Halbwertsdicke von Aluminium bei der Schwächung der verwandten
Röntgenstrahlen bestimmt werden.
Unter der Halbwertsdicke dH wird die Schichtdicke eines Absorbermaterials verstanden, nach deren Durchlaufen die Intensität der einfallenden Strahlung auf die Hälfte
abgefallen ist(vgl. Anhang C.3: Bestimmung der Halbwertsgröße). Sie ergibt sich aus
Gleichung (8.2):
I(dH ) ≡
ln 2
I0
= I0 · e−µdH ⇐⇒ dH =
.
2
µ
(8.9)
Voraufgabe 8.C:
Ein dicker Absorber wird mit Röntgenstrahlung der Intensität I0 und der mittleren
Energie E0 bestrahlt. Wie äußert sich der Einfluss (i) der Photoabsorption und (ii) der
Compton-Streuung auf die Intensität I und die mittlere Energie E der durchgelassenen Strahlung hinter dem Absorber?
8.4.1 Versuchsdurchführung
Es werden Al-Bleche verschiedener Dicke als Absorber benutzt. Die Intensität
der durchgelassenen Strahlung wird durch die Zahl der registrierten Pulse eines Zählrohres in 40 Sekunden bestimmt. Zur Darstellung der exponentiellen
Abhängigkeit zwischen der gemessenen Intensität und der Dicke x wird halblogarithmisches Papier verwandt, dessen Ordinatenabschnitte dem Logarithmus der aufzutragenden Größe (hier der Intensität) entsprechen. Bei Verwendung dieses Papieres
ergibt sich in der Zeichnung also bereits eine Gerade, wenn direkt die gemessenen
Werte eingetragen werden (siehe Abb. C.1), aus deren Verlauf die Halbwertsdicke dH
direkt abgelesen werden kann(siehe hierzu Anhang C.3). Um den Einfluss des Probenhalters auf das Ergebnis zu berücksichtigen wird zusätzlich eine Messung ohne Probe
(entsprechend d = 0 mm) durchgeführt.
71
8 Röntgenstrahlen
Aufgabe 8.d:
Halbwertsdicke
Wie groß sind die Halbwertsdicke dH und der damit nach Formel 8.9 zu berechnende
lineare Schwächungskoeffizient µ? Schätzen Sie die Unsicherheit sinnvoll ab.
8.5 Absorption von Röntgenstrahlung in Abhängigkeit von der
Ordnungszahl Z und der Energie der Röntgenstrahlung
Nicht nur die Dicke eines Materials hat Einfluss auf die Absorption, auch die
Ordnungszahl Z (und damit das Material selber). Es soll hier die Absorption von
Röntgenstrahlung in Abhängigkeit von der Ordnungszahl Z qualitativ untersucht
werden (8.e.)
Gleichzeitig zeigt sich die bereits angesprochene Energieabhängigkeit der Absorption
auch für verschiedene Materialien in verschiedenem Ausmaß. An zwei Beispielen soll
auch dies untersucht werden. (8.f)
Aufgabe 8.e:
Auswertung der Z-Abhängigkeit
Es werden Absorber aus verschiedenem Material mit konstanter Dicke (d = 0,5 mm)
benutzt. Das Material und die jeweilige Ordnungszahl Z sind auf der Blende vermerkt.
Die Intensität der durchgelassenen Strahlung wird durch die Zahl der registrierten
Pulse eines Zählrohres in 40 Sekunden bestimmt. Um den Einfluss des Probenhalters
auf das Ergebnis zu berücksichtigen wird zusätzlich eine Messung ohne Probe (entsprechend Z=0) durchgeführt.
Wie ist der Verlauf der Werte zu erklären?
Aufgabe 8.f:
Diskussion der Energieabhängigkeit
Für zwei Materialien wird je eine zusätzliche Messung mit reduzierter Beschleunigungsspannung UA = 25 kV durchgeführt. (Auch hier ist eine Nullmessung ohne
Probe nötig.) Diskutieren Sie die unterschiedliche Absorption der beiden Materialien
bei unterschiedlicher Röntgenenergie.
72
9 Radioaktivität
Versuchsziele
- Voraufgaben 9.A - 9.B
- Verständnis der radioaktiven Strahlung
- Bestimmung eines unbekannten Isotops (9.a)
- Bestimmung von Mittelwert, Fehler des Mittelwertes und Standardabweichung
einer Messreihe (9.b und 9.c)
- Bestimmung der Halbwertszeit von 108 Ag und 110 Ag (9.d)
Verbindung zur Medizin, Biologie und Pharmazie
Radioaktive Präparate werden in der Diagnostik wie der Therapie eingesetzt.
Schwerpunkte der medizinischen Diagnostik sind die Single Photon Emission Computer Tomography (SPECT) und die Positron Emission Tomography (PET). Hierbei
wird das radioaktive Isotop meist an ein Molekül geheftet. Das so radioaktiv markierte Molekül (sog. Tracer) unterscheidet sich chemisch nicht von dem normalen“
”
Molekül, kann aber mit spezieller Messtechnik im Körper verfolgt werden. Ziel ist dabei, funktionelle Abläufe im Körper sichtbar zu machen, wobei die zeitliche Dynamik
eine große Rolle spielt. Die Abweichung der am individuellen Patienten gemessenen
Aktivitätsverteilung von der normalen Verteilung liefert dann eine wichtige Aussage
zur Funktion des Organs. Das Tracer-Prinzip findet auch in der Bio- und Radiochemie
Anwendung.
In der Therapie werden radioaktive Präparate mit energiereicherer Strahlung z.B. in
der Tumortherapie eingesetzt.
Grundkenntnisse
Aufbau des Atomkerns; Proton, Neutron, Kernladungs- und Massenzahl, Systematik des Kernaufbaus, Isotope; Radioaktivität, α,β + ,β − ,γ-Strahlung, radioaktives Zerfallsgesetz, Aktivität, Zerfallskonstante, Halbwertszeit; Nachweis von ionisierender
Strahlung: Ionisierung, ionisierende Strahlung, Ionisationskammer, Geiger-MüllerZählrohr, Szintillationszähler; Statistik: Häufigkeitsverteilungen, Mittelwert, Fehler
des Mittelwertes, Standardabweichung.
Physikalische Größen und Einheiten, Messfehler und Fehlerrechnung; Exponentialfunktion und deren
physikalische Aussage, natürlicher bzw. dekadischer Logarithmus und Überführung der Exponentialfunktion in eine lineare Funktion durch Logarithmieren; Graphische Darstellung von Messungen in
Koordinatensystemen mit linear und logarithmisch geteilten Achsen und deren Auswertung mit Hilfe
von Ausgleichskurven; lineare Regression;
73
9 Radioaktivität
9.1 Einführung
Unter Radioaktivität wird die spontane Umwandlung von Atomkernen verstanden.
Dabei können unterschiedliche Arten ionisierender Strahlung entstehen:
α-Strahlung
Beim Alpha-Zerfall wird aus dem Atomkern ein 42 He–Kern (Alpha-Teilchen) abgestrahlt. Die kinetische Energie der α-Teilchen liegt in der Größenordnung von 1–10
MeV. Ein Beispiel ist die Radium-Radon-Umwandlung (siehe unten).
β − -Strahlung
Beim β − -Zerfall wandelt sich innerhalb des Atomkerns ein Neutron in ein Proton
unter Aussendung eines Elektrons und eines Antineutrinos um:
n −→ p + e− + ν̄e .
Das emittierte Elektron (β − -Teilchen) kann - z.B. mittels des Geiger–MüllerZählrohres - registriert werden. Dieser Zerfallsprozess findet bei instabilen Isotopen
mit Neutronenüberschuss statt.
β + -Strahlung
Hierbei wandelt sich im Atomkern ein Proton in ein Neutron unter Aussendung eines
Positrons (β + -Teilchen) und eines Neutrinos um:
p −→ n + e+ + νe .
Der β + -Zerfall tritt bei instabilen Isotopen mit Protonenüberschuss auf. Beim α-und
β-Zerfall ändert sich die Kernladungszahl, d.h. Anfangs- und Endelement sind verschieden.
γ-Strahlung
Die γ-Strahlung ist eine Begleiterscheinung fast aller radioaktiver Zerfälle. Die bei der
Kernumwandlung entstehenden Nuklide befinden sich üblicherweise in einem angeregten Zustand und gehen unter Emission eines Photons in einen Zustand geringerer Energie über. Da die Differenzen zwischen den Energieniveaus im Kern in der
Größenordnung von 1 MeV liegen, besitzen die emittierten Photonen typischerweise
Wellenlängen von 1 pm:
λ=
h·c
1240 eV nm
≈
= 0,00124 nm = 1,24 pm .
E
1 MeV
Im Gegensatz zum α- oder β-Zerfall behält der Kern beim γ-Zerfall seine Ladungsund Massenzahl bei, er zerfällt also nicht in ein anderes Nuklid.
74
9.2 Bestimmung eines unbekannten Isotopes durch sein γ-Spektrums
Radioaktiver Zerfall
Die Aktivität A eines radioaktiven Präparates ist definiert als die Zahl der radioaktiven
Zerfälle pro Zeiteinheit :
∆N
.
(9.1)
A :=
∆t
Die SI-Einheit der Aktivität ist 1 Bq = 1 s−1 (1 Bq = 1 Becquerel). Eine heute nicht
mehr verwendete Einheit für die Aktivität ist 1 Ci = 1 Curie (1 Ci = 3,7 · 1010 Bq).
Der radioaktive Zerfall ist ein statistischer Prozess, d.h. für einen Atomkern ist nicht
voraussagbar, wann er zerfallen wird. Untersucht man jedoch eine große Menge Atome, lässt sich feststellen:
Die Zahl der Kerne einer radioaktiven Substanz, die in der Zeit dt zerfällt, also die
, ist proportional zur Zahl der momentan noch vorhandenen nicht
Aktivität A = dN
dt
zerfallenen Kerne N . Unter Berücksichtigung des Vorzeichens - die Anzahl der radioaktiven Atomkerne nimmt ab - gilt:
dN
= −λ · N .
(9.2)
dt
Die Integration dieser Differentialgleichung ergibt das radioaktive Zerfallsgesetz:
N (t) = N0 · e−λt mit N (t) : Zahl der Nuklide zur Zeit t
N0 :
Zahl der Nuklide zur Zeit t = 0
λ:
Zerfallskonstante.
(9.3)
Daraus ergibt sich die Halbwertszeit t1/2 , d.h. die Zeit, nach der die Hälfte aller Atomkerne zerfallen ist:
N0
ln 2
= N0 · e−λt1/2 =⇒ t1/2 =
.
(9.4)
2
λ
Aus (9.1) bis (9.3) ergibt sich für die zeitliche Abhängigkeit der Aktivität A (eine Ableitung des Zerfallsgesetzes befindet sich in Anhang C):
dN
A(t) = −
= λN0 · e−λt = A0 · e−λt .
(9.5)
dt
Hierbei ist A0 = λN0 die Aktivität zum Zeitpunkt t = 0. Die Aktivität einer Probe
nimmt also genauso wie die Zahl der radioaktiven Atomkerne exponentiell mit der
Zeit ab.
Die Zahl Z der von einem Detektor in einem bestimmten Zeitintervall registrierten
Zerfälle nimmt ebenfalls exponentiell ab:
N (T1/2 ) =
Z(t) = Z0 · e−λt .
(9.6)
Da es sich beim
√ Zerfall eines radioaktiven Präparates um einen statistischen Vorgang
handelt, ist Z der statistische Fehler von Z.
9.2 Bestimmung eines unbekannten Isotopes durch Aufnahme
seines γ-Spektrums
75
9 Radioaktivität
#
Spektrum
Photokathode
Szintillator
γ-Strahler
PC
Spannungssignal
MCA
Usig
Photomultiplier
U
Bleiabschirmung
UHV
Licht
U++
U++++
e−
Anode
γ
e−
U+
U1 < Usig <= U2
U2 < Usig <= U3
···
Ux < Usig <= Ux+1
Ux+1 < Usig <= Ux+2
+1
7
7
#
3
7
U+++
U
Abbildung 9.1: (L) Schema des Versuchsaufbaus sowie schematischen Darstellungen der Funktionsprinzipien des Szinttilationsdetektors, des Photomultipliers und des MCA
Ein unbekanntes radioaktives Isotop soll anhand seines γ-Spektrums bestimmt werden. Durch Vergleich dieses Spektrums mit dem Spektrum eines zuvor aufgenommenen bekannten Isotopes kann das unbekannte Isotop identifiziert werden.
Dazu muss eine Energiekalibrierung durchgeführt werden, d.h. den anfangs einfach
durchnummerierten Kanälen des Vielkanalanalysators eindeutige γ-Energien zugeordnet werden.
9.2.1 Prinzipielle Funktionsweise der Messapparatur (Abb.9.1)
1. Die vom radioaktiven Atomkern emittierten γ-Quanten müssen registriert und
ihre Energie bestimmt werden. Dies geschieht mit Hilfe eines Szintillationsdetektors. Hierin werden durch die γ-Quanten Lichtblitze ausgelöst, deren Intensität
(Helligkeit) proportional zur Energie der eingestrahlten γ-Quanten ist.
2. Die Lichtblitze werden elektronisch gezählt“, dazu werden sie zunächst in
”
einem Sekundärelektronenvervielfacher (Photomultiplier) in ein elektrisches
Spannungssignal umgesetzt. Wiederum gilt, dass die Höhe der Spannung proportional zur Intensität des Lichtblitzes, d.h. zur Energie des γ-Quants ist. Technisch geschieht dies dadurch, dass der Lichtblitz an einer Photokathode Elektronen freisetzt, deren Zahl proportional zur Intensität des einfallenden Lichts ist.
Diese werden in mehreren Stufen solange vervielfacht, bis ein messbares elektrisches Signal entsteht. Elektronisch wird aus dem so gewonnenen Ladungsein Spannungssignal erzeugt, dessen Höhe letztendlich proportional der Energie des ursprünglich registrierten γ-Quants ist.
3. Der Vielkanalanalysator sortiert nun alle ankommenden Spannungssignale
nach der Höhe der Spannung und fertigt auf dem Bildschirm eine Grafik. In
diesem Spektrum ist die Anzahl der Signale (Intensität der γ-Strahlung) in
Abhängigkeit von der Höhe der zugehörigen Spannung aufgetragen.
76
Intensität
Intensität
9.2 Bestimmung eines unbekannten Isotopes durch sein γ-Spektrums
unbekanntes Präparat
Zählrate
1. Linie 1250 keV
2. Linie 1750 keV
3. Linie 2500 keV
Energie
0
250
500
750
1000
1250
1500
1750
Energie in keV
2000
2250
2500
2750
Energie
3000
Abbildung 9.2: (L) Links: idealisiertes Linienspektrum, rechts: reales Linienspektrum.
Diese Grafik muss zur quantitativen Darstellung nun dahingehend bearbeitet werden,
dass auf der Abszisse nicht die Spannung, sondern die Energie der ursprünglich aufgenommenen γ-Quanten steht. Dies geschieht durch einen Eichvorgang (vgl. Beispiel
zur Eichung eines Vielkanalanalysators am Ende der Versuchsbeschreibung), bei
dem ein bekanntes Präparat mit vergleichbarem Spektrum und bekannten Energien
aufgenommen wird.
Dem Vielkanalanalysator wird hierbei die zu einem Spannungswert ( Kanal“)
”
gehörende Energie angegeben. Aus mindestens zwei Eichwerten werden die zu den
Spannungswerten gehörenden Energien bestimmt. Als Ergebnis erhält man eine Darstellung der Intensität in Abhängigkeit von der Energie (Abb 9.2).
Wird die Messung zunächst für ein bekanntes Radionuklid aufgenommen und geeicht
und werden anschließend auf gleichem Wege die Linien des unbekannten Isotopes
aufgenommen, so liefert der Vielkanalanalysator die gewünschte Information, bei welcher Energie diese Linien liegen. In analoger Weise wie bei der Auswertung der Linien (Farben) eines optischen Linienspektrums lässt sich hieraus das unbekannte Isotop
identifizieren.
Voraufgabe 9.A:
Wieso ist das gemessene Spektrum kein ideales Linienspektrum?
Aufgabe 9.a:
unbekanntes Isotop
1. Nehmen Sie zunächst das Spektrum des Eu-Präparates auf!
2. Weisen Sie den Kanälen des Vielkanalanalysators γ-Energien zu und führen Sie
die Energiekalibration durch (siehe Tabelle 9.1)!
3. Geben Sie die Ungenauigkeit der Kalibrierung an und Schätzen Sie die Unsicherheit auf die Energie ab.
77
9 Radioaktivität
4. Nachdem das Präparat vor dem Szintillationszähler gewechselt worden ist, nehmen Sie ein Spektrum des unbekannten Isotops auf!
5. Identifizieren Sie das Isotop anhand der Linientabelle! Worum handelt es sich?
9.3 Statistische Schwankungen
Hier wird näher auf die statistische Natur des radioaktiven Zerfalls eingegangen. Der
theoretische Hintergrund ist im Anhang B.3 nachzulesen!
Mit der Messanordnung von Versuchsteil 9.2 wird dazu mehrmals unter gleichen Voraussetzungen die Zahl der Ereignisse einer oder mehrerer γ-Linien über eine vorgegebene Zeit gemessen.
Aufgabe 9.b:
Auswertung
Nach Ende der Messreihe soll der Mittelwert x̄, die Standardabweichung σ und der
absolute statistische Fehler des Mittelwertes δx̄ nach den Gleichungen B.12 bis B.14
im Anhang B.3 ermittelt werden.
Aufgabe 9.c:
Vergleich
Vergleichen Sie die Standardabweichung mit den Messfehlern der Einzelmessungen
und ermitteln Sie, welcher Teil der Messwerte außerhalb der Standardabweichung um
den Mittelwert liegt!
Voraufgabe 9.B:
Wovon hängen bei dieser Messung der Mittelwert x̄, die Standardabweichung σ und
der absolute statistische Fehler des Mittelwertes δx̄ ab? Wie ändern sich diese mit der
Anzahl der Messungen?
78
9.4 Messung von Halbwertszeiten
UHV
PC
e−
Ag
Verstärker
+
GM-Zählrohr
Usig
Zähler
Usig
# Ereignisse
R
Abbildung 9.3: Schema des Versuchsaufbaus zur Messung der Halbwertszeiten mit einem GeigerMüller-Zählrohr
9.4 Messung von Halbwertszeiten
Die Halbwertszeiten T1/2 (108 Ag) und T1/2 (110 Ag) der Radionuklide 108 Ag und 110 Ag
sollen bestimmt werden. Aufgrund ihrer kurzen Halbwertszeit müssen diese Nuklide
durch Neutronenbestrahlung vor Ort hergestellt werden. Die Neutronen werden in
einer sogenannten Radium-Beryllium-Quelle erzeugt.
Die Reaktionskette zur Erzeugung der Neutronen ist:
226
88 Ra
9
4 Be
−→
+ α −→
222
86 Rn
12
6 C
+ α + γ
+ n.
Die schnellen Neutronen werden mit Paraffin moderiert, d.h. auf niedrige kinetische
Energie abgebremst. Sie treffen auf ein Stück natürliches Silber (51,4% 107 Ag und 48,6%
109
Ag) und erzeugen dort die Isotope 108 Ag und 110 Ag. Diese gehen durch β − -Zerfall
110
in 108
48 Cd bzw. 48 Cd über.
Die Kernreaktionen zur Aktivierung durch Bestrahlung mit Neutronen sind:
107
47 Ag
109
47 Ag
+ n −→
+ n −→
108
47 Ag
110
47 Ag
.
Beim nachfolgenden Betazerfall geschieht folgende Kernumwandlung:
108
47 Ag
110
47 Ag
−→
−→
108
48 Cd
110
48 Cd
+ e− + ν̄e
+ e− + ν̄e .
Mit einem Geiger-Müller-Zählrohr wird nun die Anzahl der Zerfallsereignisse (bestimmbar durch nachweisbare ionisierende Teilchen, hier Elektronen) in einem bestimmten Zeitintervall, bei laufender Zeitmessung in Abhängigkeit von der Zeit t gemessen. Bedingt durch die natürliche Radioaktivität der Umgebung und die kosmische
Strahlung ist die vom Zählrohr gelieferte Zahl der registrierten Ereignisse auch ohne Quelle nicht Null. Dieser sogenannte Untergrund Z0 muss separat gemessen wer-
79
9 Radioaktivität
105
4
Z(t)
10
103
102
0
100
200
300
t(s)
400
500
Abbildung 9.4: Graphik zur Ermittlung der
Halbwertszeit von 110 Ag und 108 Ag. Es
wird Z gegen t auf halblogaritmischem
Papier aufgetragen. Die Halbwertszeit
des kurzlebigen Isotopes wird bestimmt,
indem zunächst von der Anzahl Ereignisse jener Teil abgezogen wird, der zu den
langlebigen isotopen gehören sollte.
den. Nach Abzug des Untergrundes ist die Zahl der registrierten Zerfallsereignisse
Z(t) − Z0 ein direktes Maß für die im Präparat noch vorhandene Zahl N (t) der aktiven Kerne.
Trägt man ln(Z) gegen t auf, würde man bei Vorhandensein nur eines Isotopes eine
Gerade erhalten (Warum? Hinweis: Ermitteln Sie mit Gleichung (9.6)die Geradengleichung!).
Da das hier zu vermessende Präparat aber aus zwei Isotopen mit verschiedenen Zerfallskonstanten besteht, ergibt seine Zerfallskurve auch auf halblogarithmischem Papier keine Gerade. Unterscheiden sich die Werte der beiden Halbwertszeiten so deutlich voneinander, dass nach einer gewissen Zeit die Aktivität des kurzlebigeren Isotopes abgeklungen ist, kann man durch rückwärtige Verlängerung des geraden Endes
der Kurve (Zerfallskurve des langlebigeren Isotopes) und Subtraktion dieser Geraden
von der gemessenen Kurve die Zerfallskurve des kurzlebigeren Isotopes ermitteln.
Aus den erhaltenen beiden Geraden lassen sich die Halbwertszeiten T1/2 (108 Ag) und
T1/2 (110 Ag) graphisch bestimmen (siehe Abb. 9.4).
Aufgabe 9.d:
Halbwertszeiten
1. Messen Sie ohne Probe den Untergrund. (Protokollieren!)
2. Messen Sie, sobald das Ag-Präparat vor dem Zählrohr liegt, über 20 gleichbleibende Zeitintervalle die Anzahl der Ereignisse in Abhängigkeit von der Zeit
(Protokollieren!).
3. Bestimmen Sie graphisch die Halbwertszeiten der beiden Silberisotope, indem
Sie Z gegen t auf halblogaritmischen Papier auftragen (siehe Anhang C.3 und
Abb. 9.4)! Der statistische Fehler ist als Fehlerbalken zu jedem Messpunkt mit
einzutragen. Diskutieren Sie, inwiefern sich die geschätzte Halbwertszeit des
80
9.4 Messung von Halbwertszeiten
langlebigen Isotops auf die Bestimmung der Halbwertszeit des kurzlebigen Isotops auswirkt.
Beispiel zur Kalibration eines Vielkanalanalysators
Die Kalibration eines Vielkanalanalysators ist die eindeutige Zuordnung von Energien
zu den MCA-Kanälen. Diese Zuordnung wird mit Hilfe eines sog. Eichpräparates mit
bekannten Linienenergien vorgenommen. Die Abbildung 9.5 zeigt beispielhaft das γSpektrum eines Eichpräparates. Man beachte, dass auf der Abszisse die MCA-Kanäle
aufgetragen sind. Dieser Abbildung können unmittelbar die Zuordnungen von Kanal 400 bzw. 1150 zur Energie 920 keV bzw. 2645 keV entnommen werden (Beachte:
Bei der Versuchsdurchführung müssen die Linienenergien der Tabelle 9.1 entnommen werden!). Für die Energiedifferenz ∆E pro Kanaldifferenz ∆K, dem sog.
Eichfaktor F, ergibt sich somit:
F =
(2645 − 920)keV
keV
∆E
=
= 2,3
.
∆K
(1150 − 400)Kanäle
Kanal
(9.7)
E = 920keV + 2,3 · (K − 400)keV
(9.8)
Somit wird die jedem Kanal K eine Energie E nach der Geradengleichung
zugeordnet.
Gemäß dieser Gleichung kann auf der Abszisse nun die Energien statt der Kanäle aufgetragen werden. Dies ermöglicht das direkte Ablesen der Linienenergien eines unbekannten Präparates.
1. Linie: 920 keV
2. Linie: 1495 keV 1725 keV
3. Linie: 2645 keV
# Ereignisse
750 Kanäle
0
0
200
460
400
920
600
1380
800 1000
Kanäle
1200
1840 2300 2760
Energie [keV]
1400
1600
1800
Kalibration
3220
3680
4140
Abbildung 9.5: Aufnahme des γ-Spektrums eines Eichpräparates. Die Kenntnis der Linienenergien
ermöglicht es, jedem Kanal des MCA eindeutig eine Energie zuzuordnen.
81
9 Radioaktivität
152
Energie[keV]
121,8
244,7
344,3
411,1
443,9
778,9
964,1
1085,8
1112,0
1408,0
Eu
rel. Intensität
5
3
4
1
1
3
3
3
3
4
134
Energie[keV]
475,3
563,2
604,7
795,8
801,9
1038,6
1167,9
1365,1
Cs
rel. Intensität
2
4
5
4
2
1
1
1
131
Energie[keV]
80,2
284,3
364,5
636,9
722,9
I
rel. Intensität
2
2
5
2
1
Nur Linien oberhalb von
75 keV sind angegeben.
Nur Linien oberhalb von 100 keV sind angegeben.
133
Energie[keV]
80,0
81,0
276,3
302,9
356,0
383,9
Ba
rel. Intensität
1
5
2
3
5
2
Co
Energie[keV] rel. Intensität
1173,3
5
1332,5
5
60
Ba∗
Energie[keV] rel. Intensität
661,6
5
137
Nur Linien oberhalb von 100 keV sind angegeben.
Nur Linien oberhalb von
75 keV sind angegeben.
Tabelle 9.1: γ-Spektrum einiger radioaktiver Isotope: 5 = sehr starke Linie, 1 = gerade noch sichtbar,
wenn freistehend. 137 Ba∗ ensteht durch β-Zerfall aus 137 Cs und hat eine Halbwertszeit von
3 Minuten. Falls dieses Isotop gefunden wird, kann man auf das Vorhandensein von 137 Cs
schließen (Halbwertszeit 30 Jahre).
82
10 Ultraschall
Versuchsziele
- Voraufgaben 10.A - 10.C
- Bestimmung der Resonanzfrequenzen der Ultraschallwandler (10.a)
- Bestimmung der Schallwellenlänge (10.b und 10.d)
- Bestimmung der Schall-PhasenGeschwindigkeit (10.c)
(10.b)
und
der
Schall-Gruppen-
Verbindung zu Medizin und Biologie
Bildgebende Verfahren zur Diagnose: Sonographie und Dopplersonographie; Therapie mit Ultraschall: Behandlung von rheumatischen Erkrankungen und Gelenkentzündungen durch Wärmezufuhr und Förderung der Durchblutung, Entfernung
von Zahnstein, Zerstörung von Nieren- und Gallensteinen (Lithotripter), UltraschallSkalpell, Echolot im Tierreich (Fledermaus, Delphine und Wale).
Grundkenntnisse
Entstehung und Ausbreitung von Schwingungen (transversal, longitudinal); mathematische Beschreibung von Wellen; Frequenz, Kreisfrequenz, Wellenlänge, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Zusammenhänge dazwischen; Phasengeschwindigkeit, Gruppengeschwindigkeit; Überlagerung von Wellen, Phase, Interferenz und Interferenzkriterien, stehende Welle; Eigenschwingung, Resonanz; Eigenschaften von Schallwellen;
piezoelektrischer Effekt, Erzeugung von Ultraschall; Echolotverfahren.
Physikalische Größen und Einheiten, Messfehler und Fehlerrechnung; Graphische Darstellung von
Messungen und deren Auswertung mit Hilfe von Ausgleichskurven, lineare Regression; Funktionsweise
und Umgang mit dem Oszilloskop; Bestimmung von Periodendauern und Amplituden von Schwingungen mit dem Oszilloskop.
10.1 Bestimmung der Wellenlänge einer Ultraschallwelle sowie
der Schall-(Phasen-)geschwindigkeit in Luft
In diesem Versuchsteil soll über den Zusammenhang c = λν die Schallphasengeschwindigkeit in Luft bestimmt werden. Hierzu werden in einem ersten Schritt die
Resonanzfrequenzen des Ultraschallwandlers bestimmt. Dann wird durch Verschiebung des Empfängers die Wellenlänge ermittelt, so dass die Schallgeschwindigkeit
berechnet werden kann.
83
10 Ultraschall
Frequenz
min
max
Verstärkung
Sender
min
max
Eingang
Ausgang
Trigger
off
on
off
on
=
in
out
∼
S
T
Abbildung 10.1: Links: Frequenzgenerator und Rechts: Verstärker mitsamt den in den Abbildungen
der Aufbauten verwendeten Symboldarstellungen.
Voraufgabe 10.A:
Was passiert, wenn man ein schwingungsfähiges System mit seiner Eigenfrequenz
anregt?
Zur Durchführung der Versuche stehen zwei piezoelektrische Ultraschallwandler zur
Verfügung, die sowohl als Sender als auch als Empfänger benutzt werden können.
Der Sender wird über einen Funktionsgenerator angesteuert, der wahlweise im Dauerbetrieb eine gleichförmige Sinusschwingung liefert oder im Pulsbetrieb im Abstand
von 80 ms einen Schallimpuls von 0,2 ms Dauer aussendet. Das Signal des Empfängers
ist sehr schwach und muss zur Darstellung am Oszilloskop verstärkt werden. Daher
wird das Oszilloskop nicht direkt an den Empfänger angeschlossen, sondern es wird
ein Verstärker zwischengeschaltet.
Versuchsdurchführung
Die beiden Wandler, von denen der eine als Sender und der andere als Empfänger
dient, werden auf Stativhaltern montiert und im Abstand von ca. 50 cm zueinander
ausgerichtet. Der Funktionsgenerator wird auf Dauerbetrieb geschaltet. Das Signal des
Funktionsgenerators (bzw. dessen Triggerausgangssignal) wird auf Kanal 1 (CH 1) des
Oszilloskops gelegt (Einstellung des Oszilloskops: 2 V/Div., 5 µs/Div., Trigger: intern,
AUTO, CH 1.).
Das Signal des Empfängers wird auf Kanal 2 (CH 2) des Oszilloskops beobachtet (Einstellung ca. 0,5 V/Div.).
Durch die Verwendung des Sendersignals als Triggersignal wird dieses bei jedem Darstellungszylus des Oszilloskops phasengleich gezeichnet und bleibt dadurch (inner-
84
10.1 Bestimmung der Wellenlänge und der Phasengeschwindigkeit
Sender
Empfänger
S
ch1 ch2
in
out
T
Abbildung 10.2: Versuchsaufbau zur Bestimmung der Resonanzfrequenzen der Ultraschallwandler sowie der Wellenlänge der Schallwelle.
halb der Genauigkeiten des Triggers) stabil. Das Empfängersignal wird zeitgleich mit
dem Sendersignal aufgezeichnet, am Bildschirm wird also zu gleichen Zeiten dargestellt was der Sender sendet und der Empfänger empfängt. Man beobachtet daher eine
Phasenverschiebung, weil der Schall eine gewisse Zeit vom Sender bis zum Empfänger
unterwegs ist.
Aufgabe 10.a:
Resonanzfrequenzen der Ultraschallwandler
Die Wandler haben im Frequenzbereich zwischen 35 und 50 kHz zwei Resonanzfrequenzen, die bestimmt werden sollen. Dazu variiert man die Frequenz des Funktionsgenerators solange, bis das Signal des Empfängers auf dem Oszilloskop maximale
Amplitude zeigt. Die zugehörige Frequenz lässt sich dann aus der am Oszilloskop abgelesenen Schwingungsdauer berechnen oder alternative durch programmierte Messungen bestimmen. Schätzen Sie die Messungenauigkeit ab.
Aufgabe 10.b:
Schallwellenlänge und Schall-Phasengeschwindigkeit
Bei Variation des Abstandes zwischen Sender und Empfänger beobachtet man eine
Verschiebung des Empfängersignals relativ zum Signal des Senders. Der Empfänger
wird solange verschoben, bis eine Phasenverschiebung von wenigstens 10 vollen
Schwingungen beobachtet werden kann. Aus der Verschiebungsstrecke errechnet man
die Wellenlänge und mit der im vorigen Teil gemessenen Frequenz die Phasengeschwindigkeit der Welle. Bestimmen Sie die Unsicherheit mittels Gauß’scher Fehlerfortpflanzung!
85
Sender
S
d
T
ch1 ch2
in
Empfänger
Reflexionsplatte
10 Ultraschall
out
Abbildung 10.3: Versuchsaufbau zur Bestimmung der Schall-(Gruppen-)geschwindigkeit nach dem
Echolot-Verfahren.
10.2 Bestimmung der Schall-(Gruppen-)geschwindigkeit nach
dem Echolot-Verfahren
Ein Schallimpuls, der eine Laufstrecke s zurücklegt, benötigt dazu eine Laufzeit t. Die
Schallgruppengeschwindigkeit ist dann durch c = s/t gegeben.
Normalerweise wird beim Echolotverfahren aus der Messung von t bei bekanntem c
die unbekannte Strecke s bestimmt.
Sender und Empfänger werden nebeneinander aufgebaut und auf eine Reflexionsplatte
im Abstand d ausgerichtet.
Versuchsdurchführung
Beim Aufbau ist darauf zu achten, dass der Abstand von Ultraschallsender und empfänger etwa 10 cm beträgt. Der Funktionsgenerator wird auf Impulsbetrieb umgeschaltet und bleibt mit dem Sender verbunden. Der Ausgang des Funktionsgenerators wird auf Kanal 1 des Oszilloskops gelegt (Einstellung des Oszilloskops: 2 V/Div.,
1 ms/Div., Das Empfängersignal wird auf Kanal 2 des Oszilloskops eingespeist (Einstellung des Oszilloskops: 0,1 V/Div.).
Das Signal ist um die Laufzeit t für die Strecke s = 2d zeitverschoben(Abb. 10.4).
Tatsächlich erscheinen in Kanal 2 infolge von Reflexionen an verschiedenen Gegenständen im Raum mehrere, zudem stark verbreiterte Signale. Um festzustellen,
welche Impulsgruppe von dem reflektierten Schallimpuls herrührt, betrachtet man das
Bild auf dem Oszilloskop einmal mit und einmal ohne die reflektierende Wand. Das
Prinzip eines medizinischen Ultraschallgerätes wird deutlich, wenn man untersucht,
86
10.2 Bestimmung der Gruppengeschwindigkeit per Echolot-Verfahren
Sendersignal
Sendersignal
(1)
Empfängersignal
Empfängersignal
(4)
(2)
Laufzeit t
(a) Ideale Signale
(3)
Laufzeit t
(b) Realistische Signale
Abbildung 10.4: Echolot. Während man theoretisch ein klares Sendersignal und einem ebenso
klares Empfängersignal nach der Laufzeit t erwartet (Abb. 10.4(a)), erhält man ein Signal
(Abb. 10.4(b)) welches durch ein Nachschwingen des Senders stark verzerrt ist (1). Neben dem
dann ebenfalls verzerrten Echo erhält man allerdings auch noch zusätzliche Signale von sonstigen Reflektionen in der Umgebung (3-4) oder von einer direkten Übertragung des Senders
zum Empfänger (2). Abhängig vom Standort der Apparatur und von den benutzten Geräten
kann das Oszilloskopbild in Details anders aussehen, welches davon aber nun das zu ermittelnde Echo ist findet man am leichtesten heraus, indem man die Reflexionsplatte verschiebt
und beobachtet, welches Echo sich gleichsam verschiebt.
wie Gegenstände, die sich vor Sender und Empfänger befinden, das Bild am Oszilloskop verändern. Nutzen Sie die Möglichkeit zu beobachten, wie sich die Reflexionen
von unterschiedlich großen Gegenständen unterscheiden!
Auch das Signal des Senders ist durch technisch bedingte Vorgänge etwas unsauber.
Es besteht aus einem sehr schmalen (in der Darstellung auf dem Oszilloskop als Strich
erscheinenden) Rechteckimpuls mit einem (für die Messung uninteressanten) Nachschwingvorgang. In der Praxis sieht man daher auf dem Schirm ein Bild für Senderund Empfängersignal wie in Abbildung 10.4(b) angedeutet.
Voraufgabe 10.B:
Welche Informationen kann man mit einem Echolot über Beschaffenheit und Menge
des Materials gewinnen, das sich vor dem Gerät befindet (ein medizinisches Ultraschallgerät nutzt das gleiche Prinzip)?
Hinweis: In Abbildung 10.4(b) sind einige der Effekte zu sehen, die auch bei einem Echolotbzw. Ultraschallgerät auftreten können.
Aufgabe 10.c:
Schall-(Gruppen-)Geschwindigkeit
Durch Messung von d (Abstand Sender – Reflektor) und t (Laufzeit, am Oszilloskop
abzulesen) ist die Gruppengeschwindigkeit c festgelegt. Diese Messung wird für 5 verschiedene Abstände d durchgeführt und grafisch mittels s = 2d gegen t ausgewertet.
87
10 Ultraschall
D = (2 · 3 + 1) ·
λ
4
Sender
λ/2
Relexionsplatte
Abbildung 10.5: Schematische Darstellung einer stehenden Welle
(eingezeichnet sind die Schallschnellen) zwischen Sender
und reflektierender Platte.
Optional (Bonus): Bestimmen Sie die Unsicherheit grafisch aus der Geraden.
10.3 Bestimmung der Schallwellenlänge durch Interferometrie
nach Pierce
Lässt man die von einem Ultraschallsender erzeugte Schallwelle senkrecht auf eine
Platte im Abstand D fallen und reflektieren so kann sich zwischen der Stirnfläche des
schwingenden Quarzes und der Reflektorplatte eine stehende Schallwelle ausbilden,
wenn der Abstand D der Bedingung
D = (2n + 1) ·
λ
4
(10.1)
genügt. Die stehende Welle hat am Sender einen Schwingungsbauch, an der reflektierenden Platte einen Knoten(Abb. 10.5). Unter dieser Bedingung verbraucht der Sender
besonders viel Strom, was mittels eines zwischengeschalteten Mikroamperemeters beobachtet werden kann.
Generell macht die Welle bei der Reflexion an der Platte einen Phasensprung von
π (180◦ ), erreicht die reflektierte Welle den Sender, so wirkt diese auf den Sender zurück. Verschiebt man die Reflektorplatte und ändert so den Abstand D vom
Schwingquarz, so nimmt die Stärke der Rückwirkung der reflektierten Schallwelle
nicht gleichförmig ab bzw. zu, sondern variiert entsprechend periodisch.
Voraufgabe 10.C:
Warum steigt die Leistung des Senders an, wenn er in einem Schwingungsbauch steht?
Überlegen Sie sich hierzu, was passiert, wenn die ausgesendete Welle wie in Abbildung 10.5 dargestellt am Sender mit der reflektierten Welle zusammentrifft.
Der Sender wird mit einem zwischengeschalteten Amperemeter an den Funktionsgenerator angeschlossen. Er wird über einer Reflexionsplatte montiert, die mit einem
Hebetisch in der Höhe verstellt werden kann.
88
10.3 Bestimmung der Schallwellenlänge durch Interferometrie
S
µA
Reflexionsplatte
(höhenverstellbar)
T
Abbildung 10.6: Versuchsaufbau zur Bestimmung der Schallwellenlänge durch Interferometrie.
Aufgabe 10.d:
Versuchsdurchführung
Der Funktionsgenerator steht wieder auf Dauerbetrieb. Die im ersten Versuchsteil bestimmte Resonanzfrequenz νRes muss sehr genau eingestellt sein, damit der Effekt gut
sichtbar ist. Zwischen Funktionsgenerator und Wandler wird das Mikroamperemeter
geschaltet. Der Ultraschallwandler wird so dicht wie möglich über der in der Höhe voll
ausgefahrenen horizontalen Reflektorplatte montiert. Der Abstand Platte – Wandler
wird kontinuierlich vergrößert.
Von jeweils einem Strommaximum zum nächsten wird der Abstand d an der Skala
des Hebetisches abgelesen und hieraus die Wellenlänge λ bestimmt. Es soll über 4 bis
5 Maxima gemessen werden. Begründen Sie etwaige Abweichungen.
Aus νRes und λ wird die Phasengeschwindigkeit c bestimmt. Das Ergebnis wird mit
dem von Aufgabe 10.b verglichen.
89
11 Polarisation des Lichts
Versuchsziele
- Voraufgabe 11.A - 11.C
- Messung der Rotationsdispersion von Quarz (11.a)
- Bestimmung der Konzentration einer Zuckerlösung (11.b)
Verbindung zu Medizin, Biologie und Pharmazie
Polfilter bei Brillen und Fotoapparaten; 3D-Kino; Polarisationsmikroskop (Phasenkontrastaufnahme zur Sichtbarmachung komplexer organischer Strukturen (gestreifte
Muskulatur)); Polarimetrie: Saccharimeter zur Harnzuckerbestimmung; stereochemische Untersuchungen.
Grundkenntnisse
Entstehung und Ausbreitung von Schwingungen (transversal, longitudinal); elektromagnetische Wellen; Energie und Intensität einer e.-m. Welle; mathematische
Beschreibung von Wellen; Frequenz, Kreisfrequenz, Wellenlänge, Ausbreitungsgeschwindigkeit (Vakuum, Medium), Zusammenhänge dazwischen; Huygensches Prinzip, Überlagerung von Wellen, Phase, Interferenz und Interferenzkriterien; Polarisation, elektrisches und magnetisches Feld, Erzeugung von linear polarisiertem Licht
durch Reflexion und Doppelbrechung, Brewstersches Gesetz, optische Aktivität, Rotationsdispersion, Polarimeter; Monochromator.
Physikalische Größen und Einheiten, Messfehler und Fehlerrechnung; Graphische Darstellung von
Messungen und deren Auswertung mit Hilfe von Ausgleichskurven, lineare Regression
11.1 Rotationsdispersion von Quarz
Die Schwingungsebene von linear polarisiertem Licht wird beim Durchgang durch eine optisch aktive Substanz gedreht. Die Abhängigkeit des Drehwinkels von der Wellenlänge λ nennt man Rotationsdispersion. Bei Verwendung eines Polarisators und
Analysators können die Spektralfarben des Lichtes je nach Stellung des Analysators
getrennt beobachtet werdena .
Hat die durchstrahlte Substanz die Dicke d, so gilt für den Drehwinkel α(λ):
α(λ) = α0 (λ) · d .
(11.1)
α0 (λ) gibt den für die Substanz typischen Drehwinkel pro mm Dicke bei der Wellenlänge λ an. α0 (λ) ist dabei eine wellenlängenabhängige Größe; diese Abhängigkeit
91
11 Polarisation des Lichts
Polarisator
Küvette (11.2)
Analysator
Lichtquelle
Doppelquarz
Monochromator
(11.1)
(rechtsdrehend!)
(a) Schematischer Versuchsaufbau
Lichtquelle
Polarisator
Doppelquarz
Analysator
Küvette (Teil 11.2)
nicht im Bild: Monochromator aus Teil 11.1
(b) Foto des Versuchsaufbaus
Abbildung 11.1: Aufbau des Polarimeters
lässt sich in guter Näherung beschreiben mit
α0 (λ) =
α(λ)
m
≈ 2
d
λ
(11.2)
wobei m hier lediglich einer Proportionalitätskonstante entspricht.
a
Dies wird in beiden Versuchsteilen sogar als Hilfsmittel genutzt.
Voraufgabe 11.A:
Leiten Sie mit Hilfe von Gl. 11.2 her, wie α0 (λ) von der Frequenz und der Energie des
Lichts abhängt.
In diesem Versuch soll die Rotationsdispersion am Beispiel von Quarz untersucht
werden. Dazu ist es notwendig, aus dem kontinuierlichen Wellenlängenspektrum der
verwendeten Lichtquelle monochromatisches ( einfarbiges“) Licht herzustellen. Dies
”
geschieht mit verschiedenen Monochromatoren, die aus der einfallenden Menge des
Lichtes jeweils nur Licht einer definierten Wellenlänge transmittieren.
92
11.1 Rotationsdispersion von Quarz
Versuchsdurchführung
Im Versuch (siehe Abbildung 11.1) ist für vier verschiedene Wellenlängen die Drehung der Schwingungsebene von linear polarisiertem Licht beim Durchgang durch
einen 3,75 mm dicken Quarz zu messen. Dieser Quarz besteht aus zwei Stücken, die so
gegeneinander verdreht sind, dass das Licht den Quarz einmal in Richtung der ausgezeichneten Kristallachse durchläuft und einmal entgegen dieser Achse. Entsprechend
wird die Polarisationsebene des Lichts einmal im Uhrzeigersinn, einmal gegen den
Uhrzeigersinn gedreht. Welches dieser Stücke die rechts- und welches die linksdrehende Hälfte ist, kann man dadurch feststellen, dass man linear polarisiertes weißes
Licht (ohne Monochromator) verwendet und die bereits erwähnte Farbenfolge durch
Drehung des Analysators beobachtet. Die rechtsdrehende Hälfte ist diejenige, bei der
durch Rechtsdrehung des Analysators (Blick gegen die Strahlrichtung, Drehung im
Uhrzeigersinn) die Farbenfolge
grün – blau – violett – rot – orange – gelb – grün – blau · · ·
beobachtet wird; bei der linksdrehenden Hälfte muss sich die gleiche Farbenfolge bei
Linksdrehung (Drehung gegen den Uhrzeigersinn) des Analysators beobachten lassen.
Nun stellt man mit Hilfe eines Interferenzfilters als Monochromator einfarbiges Licht
her. Man stelle ohne Quarz den Analysator auf 180◦ oder 0◦ (Nullstellung) und den
Polarisator dazu senkrecht (→ maximale Dunkelheit). Dann bringt man den Doppelquarz in den Strahlengang und dreht den Analysator soweit nach rechts, bis die rechtsdrehende Hälfte des Quarzes maximal dunkel ist (Stellung des Analysators βR ), und
anschließend von der Nullstellung aus nach links (βL ), bis die linksdrehende Hälfte
maximal dunkel ist. Der Drehwinkel α(λ) ergibt sich dann zu
α(λ) =
|βR (λ) − βL (λ)|
.
2
Ein Beispiel, wie βR , βL und die Messunsicherheiten ∆βR und ∆βL bestimmt werden,
zeigt Abbildung 11.2.
Aufgabe 11.a:
Messung und Auswertung
1. Stellen Sie ohne Monochromator und ohne Quarz den Polarisator so ein, dass
die Nullstellung (maximale Dunkelheit) bei einer Analysatorstellung von 0◦ oder
180◦ liegt.
2. Bringen Sie den Quarz in den Strahlgang und finden Sie aufgrund der beschriebenen Farbfolge heraus, welcher Teil des Quarzes die rechts- und welcher die
linksdrehende Hälfte darstellt.
3. Bringen Sie einen der verwendeten Monochromatoren in den Strahlgang und
bestimmen Sie wie oben und in Abb. 11.2 beschrieben den Drehwinkel α(λ)
93
11 Polarisation des Lichts
0
30
280
260
0
0
0
24
30
280
1 = βR − ∆βR
2 = βR + ∆βR
12
12
14
0
22
22
0
160
200
180
0
200
(a) Zur Bestimmung von βr und βL
100
260
2
80
100
40
β
R
1
60
80
2
40
0
32
60
0
β
R
20
βR
βL
0
·∆
3
340
40
2
20
20
180
0
160
340
0
R −β
L
14
β
(b) Zur Messunsicherheit von βR und βL
Abbildung 11.2: Abb. 11.2(a): Ohne Quarz findet man in diesem Beispiel den Bereich maximaler Dunkelheit bei Stellung des Analysators auf 18◦ (Nullstellung). Mit Quarz stellt sich dies hier bei
der rechtsdrehenden Hälfte des Kristalls ein, wenn der Analysator um βR = 34◦ im Uhrzeigersinn gedreht wird. Maximale Dunkelheit der linksdrehenden Hälfte zeigt sich, wenn der
Analysator ausgehend von der Nullstellung um βL = −36◦ (also gegen den Uhrzeigersinn)
gedreht wird. Mit |βR − βL | = 70◦ ist in diesem Beispiel also α(λ) = 35◦ .
Abb. 11.2(b): Im Experiment lassen sich die Winkel nicht beliebig genau bestimmen. Vielmehr existiert ein ganzer Winkelbereich welcher maximal dunkel ohne weitere Helligkeitsunterschiede erscheint. Es kann dann zunächst nur eine Ober- und eine Untergrenze für (in
diesem Beispiel) βR gegeben werden. βR ist dann der mittlere Winkel in diesem Bereich, die
volle Breite des Bereichs entspricht dann 2 · ∆βR .
340
0
20
40
20
2
12
0
40
100
260
80
280
60
30
0
3
14
22
0
160
180
0
200
94
Abbildung 11.3: Zur Verdeutlichung der
Schwierigkeit den Bereich maximaler
Dunkelheit einzustellen. Bei Stellung
des Polarisators auf 0◦ und Drehung
des Analysators kann der exakte
Winkel maximaler Dunkelheit per
Auge nicht beliebig genau ermittelt
werden.
11.2 Saccharimeter
dieser Wellenlänge λ. Wiederholen Sie dies bis sie α(λ) für insgesamt vier verschiedene Wellenlängen bestimmt haben.
4. Tragen Sie α(λ) gegen 1/λ2 in ein Diagramm auf und bestimmen Sie die Wellenlängenabhängigkeit von α0 (λ) nach Gl. 11.2. Bestimmen Sie dazu m mit einer
graphischen Auswertung.
Voraufgabe 11.B:
Im Beispiel in Abbildung 11.2 stellt sich die maximale Dunkelheit der rechtsdrehenden
Hälfte des Quarzes ein, wenn der Analysator auf die 52◦ -Markierung gedreht ist. Es
gibt eine zweite Stellung des Analysators, bei welcher wieder maximale Dunkelheit
der rechtsdrehenden Hälfte beobachtet werden kann. Welche ist das und warum ist
dem so?
Voraufgabe 11.C:
In einem (nicht existenten) idealen Experiment, würde die Bestimmung von βR oder
βL alleine genügen, um den Drehwinkel α zu bestimmen. In der Realität wird die
Messung dann aber durch einen systematischen Fehler unbrauchbar verfälscht. Dieser
wird durch die Bestimmung von sowohl βR als auch βL und Verrechnung der beiden
Winkel umgangen. Welcher systematische Fehler ist das?
11.2 Saccharimeter
Im zweiten Teil des Versuches sind die Konzentrationen verschiedener Traubenzuckerlösungen zu bestimmen.
Für eine optisch aktive Substanz, die in einem nicht optisch aktivem Medium gelöst ist,
gilt bei fester Wellenlänge λ des Lichts, dass der Drehwinkel α zur Konzentration c und
zu der Strecke d, die das Licht durch die durchstrahlte Substanz zurücklegt, proportional ist. Während beim Quarzkristall aus Teil 11.1 die Drehung der Schwingungsebene
kontinuierlich von der durchdrungenen Dicke abhing, ist bei gelösten Substanzen also
zusätzlich eine Abhängigkeit von der Konzentration zu beobachten.
α = α0 · c · d
(11.3)
dl
. Die KonzenDer spezifische Drehwinkel α0 von Traubenzucker beträgt 0,5278◦ dm·g
tration der Lösung wird in der Einheit g/dl (Gramm pro Deziliter) angegeben.
Sind mehrere optisch aktive Substanzen in der Lösung vorhanden, so ergibt sich der
Drehwinkel als Überlagerung der Drehungen beider Substanzen (Beispiel: Invertzucker):
α = (α0 1 · c1 + α0 2 · c2 ) · d
(11.4)
95
11 Polarisation des Lichts
11.2.1 Messung
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 11.1 skizziert. Die Länge d beträgt je nach Experiment zwischen 28 und 34 cm.
Zuerst wird der Analysator fest auf 0◦ eingestellt. Dann wird bei leerer Küvette der Polarisator solange gedreht, bis beide Hälften des Doppelquarzes die gleiche rot-violette
Farbe zeigen. Bei Küvetten mit eingefüllter Traubenzuckerlösung wird der Analysator
nachgedreht, bis die beiden Hälften wieder den gleichen rot-violetten Farbton zeigen.
Aufgabe 11.b:
Auswertung
Man bestimme nach Formel (11.3) die Konzentration von drei verschiedenen Traubenzuckerlösungen.
96
A Größen, Dimensionen und Einheiten in der
Physik
Unter physikalischen Größen versteht man messbare Eigenschaften physikalischer
Objekte, Vorgänge und Zustände (z.B. Länge, Beschleunigung, Temperatur). Eine physikalische Größe wird durch die Grundgleichung
physikalische Größe = Zahlenwert × Einheit
quantitativ erfasst.
Das Produkt aus Zahlenwert × Einheit nennt man auch Größenwert (nicht Größe) einer physikalischen Größe, wenn die quantitative Aussage betont werden soll. Der physikalische Zusammenhang verschiedener Größen wird durch Größengleichungen
beschrieben, z.B.
s
Weg
,
v= .
Geschwindigkeit =
Zeit
t
Die Größengleichungen gelten unabhängig von der Wahl der Einheiten. Als Grundoder Basisgrößen bezeichnet man voneinander unabhängige physikalische Größen;
sie lassen sich nicht über Größengleichungen durch andere Basisgrößen ausdrücken
(z.B. sind Länge und Zeit Basisgrößen, aber nicht die Geschwindigkeit). Die Wahl und
die Zahl der Basisgrößen in einem Größensystem ist in gewisser Weise willkürlich.
Im neuen Internationalen Einheitensystem“ (SI) hat man die sieben Basisgrößen
”
Länge, Masse, Zeit, elektrische Stromstärke, thermodynamische Temperatur,
Stoffmenge und Lichtstärke gewählt. Name und Kennzeichen der zugehörigen SIEinheiten sowie eine Übersicht über abgeleitete SI-Einheiten, atomphysikalische Einheiten etc. sind in den folgenden Abschnitten wiedergegeben.
Unter der Dimension (Abkürzung für Dimensionsprodukt) einer physikalischen
Größe versteht man das durch eine Größengleichung definierte Produkt aus Potenzen
von Basisgrößen. (Ursprünglich wurde das Wort Dimension“ im geometrischen Sinn
”
gebraucht, z.B. der Raum ist dreidimensional“). Z.B. ist die Dimension der Leistung
”
Kraft × Weg
Masse × Weg2
Energie
=
=
Zeit
Zeit
Zeit3
oder kurz: dim (Leistung) = M · L2 · T −3 .
Der Begriff Dimension darf nicht mit dem Begriff Einheit verwechselt werden.
Dementsprechend sollte man auch von Einheitenprobe“ und nicht Dimensionspro”
”
be“ bei der Prüfung von Einheitengleichungen sprechen.
97
A Größen, Dimensionen und Einheiten in der Physik
A.1 SI-Einheiten
SI-Einheiten sind
1. die zu den Basisgrößen des Internationalen Einheitensystems“ (SI) festgesetz”
ten Basiseinheiten des SI:
Basisgröße
Länge
Masse
Zeit
el. Stromstärke
thermodynamische
Temperatur
Stoffmenge
Lichtstärke
Basiseinheit
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Einheitenzeichen
m
kg
s
A
Kelvin
Mol
Candela
K
mol
cd
2. die aus ihnen als Potenzen oder als Potenzprodukte mit dem Zahlenfaktor 1
gebildeten ( kohärent“) abgeleiteten SI-Einheiten (z.B. m2 oder kg/m3 ).
”
Alle aus den Basiseinheiten mit einem von 1 verschiedenen Faktor abgeleiteten
Einheiten sind (nach DIN 1301) keine SI-Einheiten, d.h. auch die mit Vorsätzen
für dezimale Vielfache und Teile gebildeten Einheiten sind keine SI-Einheiten!
Beispiele für abgeleitete SI-Einheiten:
1. ohne besonderen Namen
Größe
Einheit
Fläche
1 m2 = 1 m · 1 m
Geschwindigkeit 1 m s−1 = 1 m · 1 s−1
Dichte
1 kg m−3 = 1 kg · 1 m−3
usw.
2. mit besonderen Namen und Einheitenzeichen
Größe
Einheit
el. Ladung
Coulomb
Kapazität
Farad
Selbstinduktionskoeffizient
Henry
Frequenz
Hertz
Kraft
Newton
Arbeit bzw. Energie Joule
Leistung
Watt
Druck
Pascal
el. Spannung
Volt
el. Widerstand
Ohm
el. Leitwert
Siemens
magn. Fluss
Weber
magn. Flussdichte
Tesla
98
1 C = 1 As
1 F = 1 As/V
1 H = 1 Vs/A
1 Hz = 1/s = 1 s−1
1 N = 1 kg m s−2
1J=1Nm=1Ws
1 W = 1 J/s
1 Pa = 1 N/m2
1 V = 1 W/A
1 Ω = 1 V/A
1 S = 1/Ω
1 Wb = 1 V s
1 T = 1 Wb/m2
Dezimale Vielfache und dezimale Teile von Einheiten können durch Vorsätze
vor den Namen der Einheit sowie durch Vorsatzzeichen vor Einheitenzeichen bezeichnet werden:
Vielfaches/Teil
das 1012 -fache
das 109 -fache
das 106 -fache
das 103 -fache
das 102 -fache
das 101 -fache
Vorsatz
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hekto
Deka
das 10−1 -fache
das 10−2 -fache
das 10−3 -fache
das 10−6 -fache
das 10−9 -fache
das 10−12 -fache
das 10−15 -fache
das 10−18 -fache
dezi
centi
milli
mikro
nano
piko
femto
atto
Vors.Zeichen
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
f
a
Beispiel
GW (Gigawatt)
MN (Meganewton)
km
hPa (Hektopascal)
dm
cm
mg
µm
nm
pF (Pikofarad)
fm
Vorgesehen sind ferner: Peta (P) = 1015 -fach und Exa (E) = 1018 -fach.
Der Vorsatz ist ohne Zwischenraum vor den Namen der Einheit, das Vorsatzzeichen
ohne Zwischenraum vor das Einheitenzeichen zu setzen. Potenzen bei derart zusammengesetzten Kurzzeichen müssen sich immer auf das ganze Kurzzeichen beziehen
(cm2 = (cm)2 usw.).
Dezimale Vorsätze“ sind nicht erlaubt bei den Zeiteinheiten Minute, Stunde, Tag und
”
bei den Winkeleinheiten Grad, Minute, Sekunde sowie bei den Einheiten für Flächen
und Voluminaa (z.B.: Milli“-Quadratmeter; mm2 bedeutet ausschließlich Quadrat”
Millimeter u.ä.).
Atomphysikalische Einheiten sind unabhängig von den SI-Basiseinheiten definierte Einheiten für
Größe
Einheit
Einheitenzeichen
Masse im atomaren Bereich atomare Masseneinheit u
Energie
Elektronenvolt
eV
99
A Größen, Dimensionen und Einheiten in der Physik
A.2 Umrechnungstabellen
Druckeinheiten bei Gasen, Dämpfen und Flüssigkeiten
(mit 1 Pa = 1 N/m2 ≈ (1/9,81) kp/m2 = 0,102 kp/m2 )
bar
Pa
Torr
5
1 bar
1
10
750
−5
10
1
0,0075
1 Pa
1 Torr
0,00133
133
1
9,81
0,0736
1 kp/m2 9,81·10−5
kp/m2
10200
0,102
13,6
1
Einheiten von Energie, Arbeit, Wärmemenge
(mit 1 cal = 4,2 J = 4,2 Nm = 4,2 Ws)
J
kJ
1J
1
0,001
1000
1
1kJ
1kWh 3 600 000
3 600
1 kcal 4 200
4,2
kWh
2,78·10−7
2,78·10−4
1
0,00116
kcal
2,39·10−4
0,239
860
1
Einheiten für Leistung, Energiestrom, Wärmestrom
(mit 1 W = 1 Nm/s = 1 J/s und 1 kcal/s = 4190 W)
W
kW
kcal/h
1W
1
0,001
0,860
1 kW
1000
1
860
0,00116
1
1 kcal/h 1,16
1 PS
736
0,736
632
PS
0,00136
1,36
0,00158
1
Einheiten von Temperatur
Umrechnung von Grad Celsius in Kelvin:
T [K] = T [◦ C] + 273,15
Umrechnung von Kelvin in Grad Celsius:
T [◦ C] = T [K] − 273,15
Daraus folgt: Temperaturdifferenzen haben in Grad Celsius und Kelvin den gleichen Zahlenwert. Zum Beispiel: Die Temperatur steigt von 0 ◦ C auf 30 ◦ C. Die Temperaturdifferenz in
Kelvin ist dann:
(273,15 + 30) K − (273,15 + 0) K = 273,15 K + 30 K − 273,15 K − 0 K = 30 K.
Gleiches gilt für Messunsicherheiten. Ist eine Temperatur T nur auf ∆T = ± 1 ◦ C genau
bestimmbar, so ist sie natürlich auch nur auf ∆T = 1 K genau bestimmbar.
a
gilt nicht für Liter
100
B Messunsicherheiten und Fehlerrechnung
Dieser Abschnitt folgt weitestgehend der DIN-Norm 1319 und dem ISO-Leitfaden
GUM ( Guide to the expression of uncertainty in measurement“). An einigen Stellen
”
werden davon abweichend für dieses Praktikum sinnvolle Vereinfachungen gemacht.
B.1 Messunsicherheiten
Physikalische Messgrößen und Messergebnisse unterscheiden sich von mathematischen Zahlen (oder exemplarischen Berechnungen) dadurch, dass sie u.A. wegen apparativer Unvollkommenheiten oder der statistischen Natur der Messgröße prinzipiell
nicht beliebig genau“ bestimmt und angegeben werden können. Wie weit der Mess”
wert x maximal vom tatsächlichen Wert abweichen sollte, wird durch die absolute
Messunsicherheit ∆x (umgangssprl.: absoluter Fehler) angegeben. Wie fehlerbehaf”
tet“ eine Messgröße ist, hängt dabei stark von der Vorgehensweise und von den verwendeten Apparaturen bei der Messung ab. Die Angabe der relativen Messunsicherist zwar erlaubt, im Praktikum aber selten sinnvoll.
heit ∆x
x
∆x kennzeichnet ein Intervall von x − ∆x bis x + ∆x, in dem die tatsächliche Größe
liegen sollte. Dieses wird allerdings nie explizit angegeben, sondern immer nur in der
Kurzschreibweise x ± ∆x.
Die Messunsicherheiten ∆x, ∆y, ∆z… der gemessenen Größen x, y, z… werden prinzipiell abgeschätzt. Dies geschieht nicht willkürlich oder durch Raten sondern orientiert sich an folgenden Überlegungen:
1. Welche Herstellerangaben sind bzgl. der Genauigkeit der verwendeten Geräte
bekannt?
2. Bis zu welcher Dezimalstelle können Werte vom Gerät mit ausreichender Genauigkeit abgelesen werden?
3. Bleiben die Werte während der Messung konstant oder zeigen sie eine gewisse
Schwankung?
Eine Ausnahme bilden hier lediglich rein statistische Prozesse:
In rein statistischen Prozessen wie z.B. dem radioaktiven Zerfall ist die Messunsicherheit
√ ∆N der Anzahl der gemessenen Ereignisse N für große N schon
mit ∆N = N gegeben.
Beispiel:
Sie wollen das Volumen V eines Zylinders anhand der Formel
V =
π 2
d ·h
4
(B.1)
101
B Messunsicherheiten und Fehlerrechnung
berechnen und messen mit einem Lineal den Durchmesser d und die Höhe h des Zylinders. Als Messwerte erhalten Sie dabei
d = 25,5 mm
h = 83,0 mm
Bei absolut präzisem Ablesen und auch präzisem Anlegen des Lineals erlaubt ein Lineal mit Millimeterskala bestenfalls eine Ablesegenauigkeit von 0,2 mm. Da hiermit
sowohl d als auch h methodisch gleich gemessen werden, kann für beide Größen diese
Messunsicherheit abgeschätzt werden. Das heißt, der tatsächliche Durchmesser d und
die tatsächliche Höhe h liegen mitnichten exakt bei den gemessenen Werten, sondern
vielmehr in den Intervallen
25,3 mm
82,8 mm
≤ d ≤
≤ h ≤
25,7 mm
83,2 mm
Die korrekte Angaben der Messwerte mit den Messunsicherheiten ∆d = 0,2 mm und
∆h = 0,2 mm ist dann:
d = 25,5 mm ± 0,2 mm = (25,5 ± 0,2) mm
h = 83,0 mm ± 0,2 mm = (83,0 ± 0,2) mm
Eine unter Verwendung einer fehlerbehafteten Größe durchgeführte Rechnung kann
nun ihrerseits wieder nicht zu einem beliebig exakten Ergebnis führen. Die Unsicherheiten der verwendeten Größen übertragen sich vielmehr in eine Unsicherheit des Ergebnisses. Inwiefern dies geschieht beschreibt dabei die sogenannte Fehlerrechnung
(Fehlerfortpflanzung).
Beispiel:
Wenn Sie die Zahlen aus dem obigen Beispiel in Gl. B.1 eingeben, ergibt sich laut
Taschenrechner als Wert für das Volumen V = 42388,527927182833356189427594533
mm3 . Der Taschenrechner erweckt die Illusion, es hier mit einem sehr genauen Ergebnis zu tun zu haben. Dies ist leider jedoch falsch.
Wir können aus den oberen und unteren Grenzen der Intervalle einen Minimal- und
einen Maximalwert für das Volumen berechnen.
Vmin = 41625,6722 · · · mm3
Vmax = 43159,8030 · · · mm3
(B.2)
(B.3)
Da wir für die Messgrößen d und h nur Werte innerhalb gewisser Intervallgrenzen
(den Fehlergrenzen) angeben können, liegt auch das Messergebnis V nur innerhalb
gewisser Intervallgrenzen und kann nicht beliebig genau angegeben werden.
B.2 Signifikante Stellen
102
B.3 Herkunft der Messunsicherheiten
Hinweise auf die Messgenauigkeit drückt man schon in der Schreibweise der Messgrößen oder aus den Messgrößen berechneter Ergebnisse aus, indem man alle zuverlässig bekannten Dezimalstellen mitführt; nur die letzte Stelle darf unsicher sein.
Die zuverlässig bekannten Dezimalstellen nennt man signifikante Stellen.
So weist z.B. die Längenangabe x = 25,5 mm bereits darauf hin, dass die Messgenauigkeit in der Größenordnung der letzten angegebenen Stelle, also von 0,1 mm liegt (z.B.
0,2 mm). Eine Angabe weiterer Stellen, z.B. durch x = 25,5 mm, wäre nicht zulässig,
da hier eine Messgenauigkeit impliziert wird, die nicht gegeben ist.
Bei der Angabe von Messergebnissen oder Messwerten ist eine Angabe führender Nullen generell keine gute wissenschaftliche Praxis. Statt z.B. 0,001 m muss der Wert
in wissenschaftlicher Notation mit entsprechendem Zehnerpotenz-Faktor (1 · 10−3 m)
oder dem entsprechenden SI-Präfix (1 mm) angegeben werden (siehe Anhang A.1). Die
Messunsicherheiten oder Fehlergrenzen hingegen dürfen führende Nullen besitzen.
Die Angabe abschliessender“ Nullen, z.B. 20 000 m statt 20 km, ist ebenso nicht
”
zulässig. Mathematisch wäre es zwar völlig richtig, als Messgröße aber nicht, da mit
dieser Angabe wieder eine Aussage bezüglich der Genauigkeit getroffen wird, die nicht
gegeben ist. Völlig korrekt wäre auch hier die Angabe 20,0 · 103 m.
Diese Regeln werden im Praktikum nur auf Messwerte und Messergebnisse angewendet. Für Zwischenrechnungen und Nebenrechnungen ist es meist
sinnvoller hiervon abzuweichen.
Das bisherige Beispiel aufgreifend sieht man, dass übertriebene Genauigkeitsangaben
nicht nur auf die Anzahl der angegebenen Nachkommastellen beschränkt sind, denn
selbst die Angabe des Volumens mit V = 42389 mm3 würde die (Un-)Genauigkeit der
Messung nicht im geringsten widerspiegeln.
B.3 Herkunft der Messunsicherheiten
Die Messunsicherheiten ( Fehler“) setzen sich zusammen aus systematischen und
”
zufälligen Fehlerquellen“.
”
Systematische Fehler
Systematische Fehler rühren von der Unvollkommenheit der Apparatur oder auch von
der nur annähernden Gültigkeit der benutzten Beziehung her. Wenn Sie erkannt werden kann man sie zwar im Prinzip beseitigen, aber gewöhnlich nicht mit den gerade
zur Verfügung stehenden Mitteln. Systematische Fehler sind in Vorzeichen und Betrag
reproduzierbar und auch durch Wiederholung der Messung mit der gleichen Apparatur nicht aufzudecken, eher schon durch Vergleich der mit verschiedenen Apparaturen
gewonnenen Ergebnisse.
Fehlerquellen sind beispielsweise mangelhafte Kalibrierung (vor- oder nachgehende Uhren, ungenaue Skalenteilung), Nullpunktsabweichungen sowie zwar der Tendenz nach bekannte, aber mit den gegebenen Mitteln nicht messbare Störeinflüsse
103
B Messunsicherheiten und Fehlerrechnung
(Wärmeleitungsverluste beim Kalorimeter, Fehler bei der Strom-Spannungs-Messung
von Widerständen).
Systematische Fehler sind schwer erkennbar und nur zum Teil korrigierbar.
Beispiele für korrigierbare systematische Fehler:
Bei der präzisen Bestimmung von Massen muss auch berücksichtigt werden, dass die
unbekannte Masse und die Wägestücke einen Auftrieb in Luft erfahren. Dieser kann
berechnet und das Ergebnis entsprechend korrigiert werden.
Bei der Bestimmung eines ohmschen Widerstandes wie in Versuch 5.1 sind die Innenwiderstände der Messgeräte bekannt und können bei der Bestimmung des Messergebnisses berücksichtigt werden.
Beispiele für nicht korrigierbare systematische Fehler:
Während des Versuchs steigt aufgrund der Körperwärme der Experimentatoren die
Raumtemperatur leicht an. Dies führt zu thermischer Ausdehnung bei den Messgeräten und dadurch zu veränderten Messwerten.
Statistische (zufällige) Fehler
Statistische (zufällige) Fehler können von Umwelteinflüssen (Erschütterungen,
Temperatur- oder Netzspannungsschwankungen) und von subjektiven Beobachtungsungenauigkeiten herrühren. Sie sind in solchen Fällen im Grunde durch das Messverfahren bedingt.
Unter die Kategorie der zufälligen Fehler“ fallen auch Abweichungen, die durch die
”
statistische Natur mancher physikalischer Messgrößen bedingt sind, z.B. die Aktivität (zerfallende Kerne pro Zeiteinheit) eines radioaktiven Präparates.
Statistische Fehler sind nicht reproduzierbar, sondern stochastisch, und können daher
positive und negative Abweichungen verursachen. Bei wiederholter Messung zeigt
sich die Streuung um einen Mittelwert, wobei große Abweichungen seltener sind als
kleine Abweichungen.
Wiederholt man eine Messung mit der gleichen Apparatur immer wieder, so kann man
den statistischen Fehler (im Gegensatz zum systematischen) verringern.
Grobe Fehler
Von den oben genannten Messunsicherheiten deutlich zu unterscheiden sind die
sogenannten groben Fehler. Grobe Fehler entstehen aus Missverständnissen oder
Fehlüberlegungen bei der Bedienung der Messapparatur, aus falscher Protokollierung
von Messdaten oder auch aus Fehlern in der Auswertung und dürfen nicht als Messunsicherheiten betrachtet werden.
In diesen Fällen sind die Messungen und / oder Auswertungen falsch und müssen wiederholt werden.
Das Vorhandensein grober Fehler erkennt man durch kritisches Überprüfen und Kontrollieren der Ergebnisse. Vermeiden kann man sie durch sorgfältiges Vorgehen beim
Experimentieren und bei der Auswertung.
104
B.4 Bestimmung der Messunsicherheit eines Messergebnis
B.4 Bestimmung der Messunsicherheit eines Messergebnis
B.4.1 Vorgehensweise
Die Messunsicherheit eines jeden Messwertes beinhaltet Abweichungen aufgrund von
systematischen und von statistischen Fehlern. Der Einfluss aller möglichen Fehlerquellen auf die Messwerte muss diskutiert und bei statistischen Fehlerquellen die
Größe der resultierenden Abweichungen abgeschätzt werden.
Fast immer wird aus den eigentlichen Messgrößen die gesuchte Größe mittels einer
physikalischen Gesetzmäßigkeit berechnet. Wenn z.B. ein ohmscher Widerstand R
über die Messung der Spannung U und Stromstärke I bestimmt werden soll, so haben
sowohl U als auch I systematische und statistische Messunsicherheiten, die sich auf
die Berechnung von R = U/I übertragen (Fehlerfortpflanzung).
B.4.2 Maximalwertabschätzung
Die im Praktikum mindestens durchgeführte Fehlerfortpflanzung geht von der
ungünstigsten Annahme aus, dass alle auftretenden Messunsicherheiten das Messergebnis mit ihrem vollen Betrag verfälschen und sich nicht gegenseitig kompensieren
können ( Maximalwertabschätzung“). Diese Annahme ist in der Regel falsch und re”
sultiert prinzipiell in zu großen Fehlerabschätzungen.
Die allgemeine Regel, aus denen diese elementaren Regeln abgeleitet werden können,
lautet für eine Größe z, die funktional von x und y abhängt (z(x,y)):
∂z ∂z ∆y
(B.4)
∆z(x,y) = ∆x + ∂x y ∂y x ∂z
die Ableitung der Funktion z(x,y) nach der Variablen x alleine, wenn
Hierbei ist ∂x
y
y konstant bleibt (partielle Ableitung).
Angewendet aus einfache Beispiele ergibt sich dann:
1. Ist
z =x+y
oder
so folgt
z =x−y,
(B.5)
∆z = ∆x + ∆y
2. Ist
z =x·y
so folgt
oder
z=
∆z ∆x ∆y =
+
z x y x
,
y
(B.6)
105
B Messunsicherheiten und Fehlerrechnung
Die Gleichungen B.5 und B.6 gelten auch für Summen (Differenzen) respektive Produkte (Quotienten) aus mehr als zwei Messgrößen sinngemäß. Die Fehlerfortpflanzung ist dann schrittweise zu verfolgen.
Beispiel:
Das Zylindervolumen aus Gl. B.1 hängt linear von der Höhe h und quadratisch vom
Durchmesser d ab. Bei der Maximalwertabschätzung gehen wir nun davon aus, dass
die Messunsicherheit in d jene in h nicht kompensieren kann. Die relative Messunsicherheit des Volumens ergibt sich nach Gl. B.6 dann zu:
∆V
V
oder mit Hilfe von Gl. B.4
∂V
π
= ·d·h
∂d h
2
⇒ ∆V
⇔
∆V
V
= 2·
∆d ∆h
+
d
h
∂V
∂h
=
d
π 2
d
4
π
π
2
= · d · h · ∆d + · d · ∆h
2
4
∆d ∆h +
= 2 ·
d h (B.7)
Da das Volumen V quadratisch vom Durchmesser d abhängt, fließen Unsicherheiten
in d auch stärker in die Unsicherheit von V ein.
B.4.3 Abschätzung bei teilweiser Kompensation der Messunsicherheiten
Die eben beschriebene Maximalwertabschätzung geht vom ungünstigsten Fall aus,
dass alle auftretenden Einzelunsicherheiten die Unsicherheit der Größe z maximal
beeinflussen.
Beim Zusammenwirken mehrerer Einzelunsicherheiten können diese sich jedoch
auch teilweise kompensieren. So kann rein zufällig ein zu groß gemessener Durchmesser d durch eine zu klein gemessene Höhe h im Messergebnis kompensiert werden.
Dies beschreibt die Gausssche Fehlerfortpflanzung, welche die meistens im Praktikum verwendete Methode ist.
Die zugrundeliegende allgemeine Regel lautet hierbei:
v"
#2 u 2
u ∂z
∂z
t
∆z =
∆x +
∆y
∂x y
∂y x
(B.8)
Für einfache Zusammenhänge ergeben sich ähnlich elementare Regeln wie bereits bei
der Maximalwertabschätzung:
1. Ist
z =x+y
106
oder
z =x−y,
B.4 Bestimmung der Messunsicherheit eines Messergebnis
so folgt
∆z =
2. Ist
p
z =x·y
(∆x)2 + (∆y)2
oder
z=
x
,
y
so folgt
s
2 2
∆z ∆x
∆y
+
z =
x
y
Beispiel:
Mit den Vorkenntnissen aus dem vorherigen Abschnitt ergibt sich dann die Messunsicherheit ∆V des Zylindervolumens V zu:
rh
i2 h π
i2
π
2
· d · h · ∆d +
· d · ∆h
(B.9)
∆V =
2
4
s
2 2
∆h
∆V
∆d
+
(B.10)
=
2·
V
d
h
Wenn wir ausgehend von den Werten aus Abschnitt B.1 nun ∆V für die beiden Gleichungen B.9 und B.7 berechnen, erhalten wir folgendes Ergebnis:
∆VMaximalwert = 0,8 cm3
∆VGauß = 0,7 cm3
(B.11)
Die Maximalwertabschätzung liefert einen prinzipiell höheren Wert für die Messunsicherheit; in diesem Praktikum kann dies aber in den meisten Fällen als sinnvolle
Näherung verwendet werden.
B.4.4 Messunsicherheiten bei Messreihen (statistische Behandlung der
Daten)
Die statistische Auswertung einer Messreihe kann vorgenommen werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
• Die Messgröße wurde mehrmals unter den gleichen Versuchsbedingungen bestimmt.
• Systematische Messabweichungen sind korrigierbar oder vernachlässigbar.
• Die Messwerte streuen zufällig um einen Erwartungswert.
Solches trifft z.B. für alle Messgrößen, denen eine statistische Natur zugrunde liegt, zu
(radioaktive Zerfälle etc.).
107
B Messunsicherheiten und Fehlerrechnung
Wurde eine Messung mehrmals (n-mal) durchgeführt, so streuen die n Einzelergebnisse xi (i = 1,2, . . . ,n) um den Mittelwert
1X
x̄ =
xi .
n i=1
n
(B.12)
Ihre Häufigkeitsverteilung ist bei genügend großer Zahl n von Messungen eine
Gausssche Glockenkurve mit dem Maximum in x̄. Ein Maß für die Breite der Verteilungskurve ist die Standardabweichung σ:
v
u
u
σ=t
n
X
1
·
(xi − x̄)2 .
n − 1 i=1
(B.13)
Hierbei ist die Größe xi − x̄ die Abweichung der i-ten Einzelmessung vom Mittelwert.
Das Quadrat der Standardabweichung, d.h. σ 2 , heißt Varianz. Für den statistischen
Fehler des Mittelwertes δx (= mittlerer quadratischer Fehler des Mittelwertes) gilt:
v
u
n
X
u
1
σ
t
·
(xi − x̄)2 .
δx = √ =
n(n − 1) i=1
n
(B.14)
Die Angabe des statistischen Fehlers bedeutet, dass der wahre Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% im Intervall x̄±δx liegt. Über die Streuung der Messergebnisse
macht er keine Aussagen. Die Größe δx stellt den absoluten statistischen Fehler nach
n Messungen dar. Der relative Fehler ist δx/x̄.
Durch wiederholte Messung ändert sich dabei weder der Mittelwert noch die
Häufigkeitsverteilung der Messergebnisse. Durch den statistischen Fehler des Mittelwertes kann nur eine Aussage getroffen werden, in welchem Bereich um den experimentellen Mittelwert der tatsächliche ( wahre“) Mittelwert erwartet wird.
”
108
B.5 Lineare Regression ( Ausgleichsgerade“)
”
B.5 Lineare Regression ( Ausgleichsgerade“)
”
Besteht ein linearer Zusammenhang zwischen Messgrößen, z.B. y(x) = m · x mit
der unbekannten Größe m, eignet sich zur Bestimmung von m die lineare Regression
mittels einer Ausgleichsgeraden.
Dazu trägt man die gemessene oder berechnete Größe y graphisch gegen x auf. Die
Abmessungen der Abszisse und Ordinate dieses Graphen sollten so gewählt werden,
dass die Wertebereiche von y und x abgedeckt, aber nicht wesentlich überschritten
werden (siehe Abb. B.1).
Zusätzlich zu den Punkten (x,y) werden zu jedem Punkt die Messunsicherheiten ∆x
und ∆y als sogenannte Fehlerbalken eingetragen, entsprechend Abweichungen zu
größeren und kleineren Werten, und sind im Falle von ∆x von x − ∆x bis x + ∆x
einzuzeichnen (siehe vergrößerter Ausschnitt in Abb. B.1)
Mathematische Bestimmung der Ausgleichsgeraden
Ziel ist es, den linearen Zusammenhang zwischen y(x) und x durch eine Geradengleichung mit der Geradensteigung s und dem y-Achsenabschnitt B darzustellen:
y(x) = s · x + B
Dabei muss die Lage der Gerade so an alle Messpunkte {yi ± ∆yi , xi ± ∆xi } (mit
Anzahl N ) angepasst werden, dass die Summe der varianzgewichteten Abweichungsquadrate aller N Messpunkte von der Geraden minimal wird. Nach der Gaussschen
Methode ergibt sich daraus folgende Bedingung:
N
X
(yi − s · xi − B)2
i=1
σ 2 (yi )
!
= Minimal
(B.15)
Für jeden einzelnen Messpunkt wird die Abweichung des Ergebnisses yi von der Geraden berechnet, also: (yi − (s · xi + B)). Diese Differenz wird dann quadriert, damit
sich u.a. die Streuung der Messpunkte ober- und unterhalb der Geraden gleich auswirken. Danach wird durch das Quadrat des Messfehlers σ 2 (yi ) des Messpunktes geteilt,
damit Messpunkte mit großem Messfehler weniger stark gewichtet werden.
Tragen alle Messpunkte yi den gleichen Messfehler ∆y = σy , folgt aus Gl. B.15 das
Gleichungssystem:
x · y − s · x2 − B · x = 0
(B.16)
y−s·x−B = 0
Aus der Wertemenge {yi ± ∆yi , xi } müssen also folgende Größen berechnet werden:
• x und y sind die Mittelwerte der xi bzw. yi
• für x2 wird zunächst jeder Wert xi quadriert und aus diesen quadrierten Werten
x2i der Mittelwert berechnet
• für x · y wird für jeden Messpunkt yi , xi das Produkt berechnet und aus diesen
Werten yi · xi der Mittelwert berechnet.
109
B Messunsicherheiten und Fehlerrechnung
Nach Lösung des Gleichungssystems ergeben sich für die Steigung und den yAchsenabschnitt folgende Beziehungen:
x·y−x·y
x2 − x2
x2 · y − x · x · y
B =
x2 − x2
= y−s·x
s =
(B.17)
(B.18)
Die Fehler der Steigung σs und des y-Achsenabschnittes σB ergeben sich dann nach
der Gaussschen Fehlerfortpflanzung aus:
σs2
=
N·
σy2
x2
σB2 = x2 · σs2
−x
2
(B.19)
(B.20)
Graphische Bestimmung der Ausgleichsgeraden
Da die exakte mathematische Bestimmung der Regression meist zu aufwändig wäre,
um diese während der Versuchsdauer anzufertigen, wird im Praktikum die Ausgleichsgerade nach Augenmaß in den Graphen eingezeichnet. Die Lage der Ausgleichsgerade
soll so gewählt werden, dass die Abweichung aller im Graphen eingezeichneten Punkte von der Geraden möglichst gering wird.
Ein Anhaltspunkt für die Lage der Geraden ist dabei der Punkt (x, y) aus den Mittelwerten der xi und yi , da die Ausgleichsgerade durch diesen Punkt verlaufen muss.
Die Steigung s der Ausgleichsgeraden wird aus dem Steigungsdreieck für zwei beliebige Geradenpunkte (x1 ,y1 ) und (x2 ,y2 ) aus dem Differenzenquotienten bestimmt (s.
Abb. B.1).
y2 − y1
Differenzenquotient s =
x2 − x1
Die Wahl eines zu kleinen Steigungsdreiecks würde den Einfluss von Ablesefehlern
aus dem Graphen auf das Ergebnis erhöhen; daher muss das Steigungsdreieck
möglichst groß gewählt werden.
Unsicherheit der Geradensteigung
Die Unsicherheit der Geradensteigung kann nun wiederum graphisch abgeschätzt
werden. Dazu zeichnet man zwei Linien parallel und im gleichen Abstand zur Ausgleichsgeraden (gestrichelt in Abb. B.2). Der Abstand sollte so gewählt werden, dass
ca. 2/3 der Messpunkte (ohne Berücksichtigung der Fehlerbalken) zwischen diesen
beiden Linien liegen. Die beiden Hilfslinien werden nun zu einer rechtwinkligen Box
ergänzt, die gerade diese Messpunkte enthält, d. h. nicht nennenswert über den Wertebereich der Messwerte hinausgehen.
Von dieser Box werden die beiden Diagonalen eingezeichnet. In guter Näherung ist
die Steigung der steileren Diagonale nun um ∆s größer, jene der flacheren Diagonale
110
6
B.5 Lineare Regression ( Ausgleichsgerade“)
”
h
i
y(x) 10−2 m
12
∆x
(x2 , y2 )
11
10
∆y
9
8
7
6
5
4
Steigung s =
3
2
1
y2 − y 1
x2 − x1
(x1 , y1 )
x [s]
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Abbildung B.1: Zunächst wird der Wertebereich der x- und y-Achse sinnvoll dem Wertebereich der
Messung angepasst. Dann werden die Messpunkte mit Fehlerbalken eingezeichnet. Die Ausgleichsgerade kann zur Vereinfachung nach Augenmaß in die graphische Darstellung eingezeichnet werden. Die Steigung s wird dann mittels des Differenzenquotienten eines möglichst
großen Steigungsdreiecks“ berechnet.
”
h
i
y(x) 10−2 m
12
(xmax 2 , ymax 2 )
11
(xmin 2 , ymin 2 )
10
9
8
7
6
(xmin 1 , ymin 1 )
5
4
3
2
ymin 2 − ymin 1
xmin 2 − xmin 1
ymax 2 − ymax 1
smax =
xmax 2 − xmax 1
smax − smin
∆s =
2
smin =
1
(xmax 1 , ymax 1 )
x [s]
0
-1
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Abbildung B.2: Die Unsicherheit der Geradensteigung kann graphisch abgeschätzt werden. Dazu
wird eine Box symmetrisch um die Ausgleichsgerade gezeichnet, welche den Wertebereich
der Messung nicht nennenswert übersteigt und zudem ca. 2/3 der Messpunkte beinhaltet. Die
Diagonalen dieser Box entsprechen smin ≈ s − ∆s und smax ≈ +∆s.
8
9
10
11
12
13
111
14
B Messunsicherheiten und Fehlerrechnung
um ∆s kleiner als s.
smax =
ymax 2 − ymax 1
≈ s + ∆s
xmax 2 − xmax 1
und smin =
ymin 2 − ymin 1
≈ s − ∆s (B.21)
xmin 2 − xmin 1
erhält man eine Abschätzung für den Minimal- und den Maximalwert der Steigung
und daraus die Unsicherheit der Geradensteigung:
∆s =
112
smax − smin
2
(B.22)
C Lösung der Differentialgleichung y 0 = c · y (zu
Versuch 8 und 9)
Die in der Physik häufig vorkommende Gesetzmäßigkeit
y(x) = y0 · e−c·x
(C.1)
ist die Lösung der Differentialgleichung
−
dy(x)
= c · y(x) ,
dx
(C.2)
die einen Vorgang beschreibt, bei der die Änderung der abhängigen Variablen y
bezüglich der unabhängigen Variable x der Größe y selbst proportional ist. (c ist dabei
der Proportionalitätsfaktor.)
Herleitung
Schreibt man Gl. C.2 um zu:
dy
= −c · dx .
y
lassen sich beide Seiten unbestimmt integrieren (c ist unabhängig von x):
Z
Z
1
dy = −c dx .
y
(C.3)
(C.4)
Führt man nun die Integration aus1 , so erhält man2 :
ln y = −c · x + ln A
ln y − ln A = −c · x
oder
y
ln
= −c · x
A
(C.5)
(C.6)
(C.7)
Da gilt: eln z = z folgt daraus:
1
y
= e−c·x
bzw.
A
y = A · a−c·x
(C.8)
(C.9)
Die Lösung eines unbestimmten Integrals ist immer nur bis auf eine additive Konstante bestimmt;
denn die Umkehrung, die Differentiation einer Konstanten, ergibt den Wert 0. Da die Konstante
willkürlich gewählt werden kann, fasst man die auf beiden Seiten zu addierenden Konstanten zusammen zu ln A.
2
ln a ≡ loge (a) nennt man den natürlichen Logarithmus“. Der Wert der Eulerschen Zahl e beträgt
”
d x
e ≈ 2.718281828 . . . . Für sie gilt: dx
e = ex .
113
C Lösung der Differentialgleichung y 0 = c · y (zu Versuch 8 und 9)
y(x)
[logarithmische Skala]
25000
y(x)
[lineare Skala]
20000
15000
10000
104
103
102
5000
101
0
0
10
20
30
x
[lineare Skala]
40
0
10
20
30
x
[lineare Skala]
40
0
10
20
30
x
[lineare Skala]
40
10
8
log10 y(x)
[lineare Skala]
ln y(x)
[lineare Skala]
4
6
4
3
2
1
2
0
10
20
30
x
[lineare Skala]
40
Abbildung C.1: Verschiedene graphische Darstellungen zur Gesetzmäßigkeit
y(x) = y0 · e−c·x : Oben Links: y(x) gegen x aufgetragen zeigt die exponentielle
Abnahme von y(x); Oben Rechts: auf halblogarithmischem Papier ist die Ordinaten-Skala
bereits logarithmisch aufgeteilt. Trägt man hier y(x) auf, erhält man ohne gesonderte
Berechnung von log10 y(x) bereits die Darstellung einer abfallenden Gerade. Zum Vergleich
sind die gleichen Werte unten als ln y(x) und log10 y(x) gegen x dargestellt.
Die Konstante A wird durch die Anfangsbedingung festgelegt, dass für
x = 0 −→ y = y0
sein soll:
0
x = 0 −→ y = A · e = A = y0
daraus folgt:
y = y0 · e−c·x .
(da e0 = 1)
(C.10)
C.1 Graphische Darstellung der Funktion
Trägt man ln y oder log10 y gegen x auf (siehe Gleichung C.5 der Herleitung), so erhält
man eine Gerade mit der negativen Steigung c, die die Ordinate beim Wert ln y0 bzw.
log10 y0 schneidet (siehe Abb. C.1). Statt die Werte von y einzeln zu logarithmieren,
kann halblogarithmisches Papier verwendet werden, dessen Ordinate bereits logarithmisch aufgeteilt ist.
114
C.2 Bestimmung der Halbwertsgröße x = xH
C.2 Bestimmung der Halbwertsgröße x = xH
Unter der Halbwertsgröße xH sei der Wert von x verstanden, für den der Wert von y
gerade auf die Hälfte des ursprünglichen Wertes y0 abgenommen hat; also y(xH ) =
y0 /2. Eingesetzt in Gleichung C.10 folgt:
y0
2
1
2
1
ln
2
ln
1
−
ln
2
|{z}
=0
= y0 · e−c·xH
= e−c·xH
(C.11)
und
(C.12)
= ln e−c·xH
(C.13)
= −c · xH
(C.14)
ln 2 = c · xH
ln 2
xH =
c
(C.15)
(C.16)
C.3 Graphische Bestimmung der Halbwertsgröße x = xH
Graphisch lässt sich die Halbwertsgröße bestimmen, indem man ln(y) gegen x aufträgt. Auf der Abszisse ergibt sich die Halbwertsgröße xH als Differenz zwischen zwei
Werten x1 und x2 , für deren zugehörige Funktionswerte y1 und y2 gilt: y2 = y1 /2.
Die Halbwertsdicke von Aluminium (siehe 8.4) und die Halbwertszeiten von 108 Ag
und 110 Ag (siehe 9.4) sind so zu bestimmen.
115
D Umgang mit dem Oszilloskop
Das folgende Unterkapitel beschränkt sich auf den elementaren Umgang mit dem digitalen Oszilloskop, so wie es im Praktikum verwendet wird (siehe Abb. D.1). Ein Oszilloskop kann den Verlauf elektrischer Signale aufzeichnen und auf einem Display
darstellen. Im Praktikum wird ein Digitaloszilloskop verwendet, welches in der Lage
ist, zwei Signale gleichzeitig darzustellen. Als Digitaloszilloskop unterscheidet es sich
von einem analogen Oszilloskop dadurch, dass es den Benutzer bei der Einstellung
unterstützen kann und das Programmieren automatisiserter Messungen ermöglicht.
Das Oszilloskop ist ein reines Messinstrument. Obgleich Sie in den folgenden Kapiteln sehen werden, dass die Signale scheinbar verändert werden, so sollten Sie sich
Folgendes klarmachen: Sie modifizieren lediglich die Darstellung auf dem Bildschirm,
indem Sie die Anzeige strecken, stauchen oder verschieben. Das zu messende Signal
wird durch das Oszilloskop aber niemals beeinflusst.
Achtung: Das Oszillokop hat keinen Touch-Bildschirm. Bitte bemühen Sie
sich, keine Fingerabdrücke auf dem Bildschirm zu hinterlassen. Außerdem
gilt wie im Rest des Praktikums – hier ganz besonders – dass Essen und Trinken nicht mit einer Laborumgebung vereinbar sind.
Abbildung D.1: Digitaloszilloskop aus der Modellreihe, wie sie im Praktikum verwendet wird (es wird
eine zwei- statt vierkanalige Version verwendet).
116
D.1 Inbetriebnahme des Oszilloskops
D.1 Inbetriebnahme des Oszilloskops
Verbinden Sie die elektrischen Signale, welche Sie messen möchten, über BNC Kabel
mit den Eingängen 1 (und 2) des Oszilloskops. Bitte beachten Sie, dass der BNC Stecker mit einer 90 Grad Drehung im Uhrzeigersinn verriegelt, und umgekehrt wieder
entriegel werden muss. Schalten Sie das Oszilloskop bitte erst ein, nachdem der Tutor
sich davon überzeugt hat, dass alles richtig angeschlossen ist (Einschaltknopf links
unten).
Als ersten Schritt drücken Sie dann stets den Knopf Default Setup, so ist sicher
gestellt, dass alle Praktikanten die gleichen Anfangsbedingungen haben. Fahren Sie
nun nach Anleitung des Tutors oder der Versuchsbeschreibung fort.
Als Beispiel werden in diesem Kapitel zwei unbekannte Wechselspannung auf dem
Oszilloskop dargestellt und untersucht.
D.2 Optimale Anzeige der Signale
Nach Einschalten und Laden des Default Setup sind unsere Beispielsignale nicht
sinnvoll erkennbar (siehe Abb. D.2).
D.2.1 Automatische Einstellung
Das Oszilloskop ist imstande, eine (vermeintlich) optimale Darstellung für die Signale
selbst zu erkennen. Drücken Sie hierzu die Taste Auto Scale. Das Ergebnis sehen
Sie in Abb. D.3.
Das Oszilloskop hat in unserem Beispiel nun folgendes eigenständig gemacht:
• Zuschalten des zweiten Kanals (grün), da dort ein Signal erkannt wurde
• Einstellung der Spannungsablenkung auf 1 V/Div. für beide Kanäle (sichtbar
links am oberen Bildschirmrand)
• Verschiebung der Nulllinie der Signale, so dass sie nicht mehr übereinander liegen (erkennbar an den Pfeilen am linken Bildrand)
• Einstellung der Zeitablenkung auf 500 µs/Div. (sichtbar mittig am oberen Bildschirmrand)
• Einstellung des Triggerlevels
Die automatische Einstellung ist meist gut geeignet, um mit der Untersuchung der
Signale zu beginnen. Es kann jedoch sein, dass die gewonnene Ansicht für Ihre Messung ungeeignet ist. Dann müssen Sie die Darstellung der Signale manuell anpassen.
Natürlich steht Ihnen auch frei, sich von Anfang an an der manuellen Einstellung zu
versuchen, und die Auto Scale-Funktion nicht zur Hilfe zu nehmen.
117
D Umgang mit dem Oszilloskop
Abbildung D.2: Oszilloskop mit Default Setup. Die Beispielsignale sind schlecht erkennbar.
Abbildung D.3: Oszilloskop mit Auto-Scale. Die Beispielsignale sind gut erkennbar.
118
D.2 Optimale Anzeige der Signale
D.2.2 Manuelle Einstellung der Skalierung
Die Einstellung der Signaldarstellung untergliedert sich in Horizontal (gemeinsam für
beide Kanäle) und Vertikal (Einstellung pro Kanal), es steht Ihnen in jeder Sektion ein
großer und ein kleiner Drehknopf zur Verfügung.
Im Bereich Horizontal können Sie mit dem großen Drehknopf einstellen, wie lang
der Zeitbereich sein soll, den Ihr Oszilloskop darstellt. In unserem Beispiel hat das
Oszilloskop 500 µs/Div. vorgewählt. Dies bedeutet, dass ein Kästchen (Division) einer Zeit von 500 µs entspricht, über den gesamten Bildbereich wird also ein Zeitraum
von 10 · 500 µs = 5 ms dargestellt. Wenn Sie den großen Knopf gegen den Uhrzeigersinn drehen, wird sich diese Zeit vergrößern, Sie zoomen also sozusagen aus dem Bild
heraus und können einen größeren zeitlichen Teil Ihres Signalverlaufs betrachten.
Mit Drehen des kleinen Knopfes können Sie Ihre Signale gemeinsam nach links
oder rechts verschieben. Die Position erkennen Sie am sogenannten Triggerzeitpunkt
durch einen kleinen orangenen Pfeil am oberen Bildschirmrand.
Im Bereich Vertical können Sie mit dem großen Drehknopf einstellen, wie groß der
Spannungsbereich sein soll, den Ihr Oszilloskop für den betreffenden Kanal darstellt.
In unserem Beispiel hat das Oszilloskop je 1 V/Div. vorgewählt. Dies bedeutet, dass
ein Kästchen einer Spannung von 1 V entspricht, über den gesamten Bildbereich
können also Signale mit einer Signalhöhe von 10 V dargestellt werden. Wenn Sie den
großen Knopf im Uhrzeigersinn drehen, wird sich die Spannung pro Kästchen verkleinern, Sie zoomen also sozusagen ins Bild hinein.
Mit dem kleinen Drehnopf können Sie Ihr Signal nach oben oder unten verschieben.
D.2.3 Manuelle Einstellung des Triggers
Das Oszilloskop nimmt das elektrische Signal der Kanäle 1 und 2 in regelmäßigen
Abständen auf und zeigt diese Aufnahmem auf dem Bildschirm. Bei periodischen Signalen ist es nun das Ziel, dass sich hieraus ein scheinbar stehendes Bild ergibt. Hierzu
muss die Aufnahme stets zu einem durch Ihr Signal bestimmten Zeitpunkt erfolgen.
Bei einer sinus-förmigen Schwingung wäre dies zum Beispiel der Nulldurchgang des
Signals. In Abb. D.3 hat das Oszilloskop durch die Auto Scale-Funktion einen
optimalen Triggerzeitpunkt ausgewählt:
• Trigger auf Kanal 1 (erkennbar an der organgenen 1 rechts oben)
• Trigger auf steigende Flanke (erkennbar am aufwärtsgerichteten Pfeil rechts
oben), d.h. das Oszilloskop zeichnet nur auf, wenn die eingestellte Schwelle von
einem steigenden Signal überschritten wird
• Triggerlevel auf −20 mV, also knapp unter dem Nulldurchgang des sinusSignals (erkennbar an der Zahl in der rechten oberen Ecke, sowie dem mit T
markierten Pfeil in der Farbe des Kanals am linken Bildschirmrand)
119
D Umgang mit dem Oszilloskop
Die Veranschaulichung der Auswirkungen der Triggereinstellung erfolgt nun anhand
eines komplexeren Signals.
In Abb. D.4 ist das Signal nicht gut erkennbar. Die Triggerschwelle, anhand welcher
das Oszilloskop den Referenzzeitpunkt zur wiederholten Aufnahme erkennt, wird vom
Signal nie erreicht (das T am linken Bildschirmrand ist oberhalb des Signals). Da der
Triggermodus auf Auto steht (erkennbar am oberen Bildschirmrand), versuch das
Oszilloskop dennoch, das Signal darzustellen. Durch den Drehknopf in der Sektion
Trigger kann die Triggerschwelle verschoben werden.
In Abb. D.5 ist die Triggerschwelle nach unten verschoben worden, das Oszilloskop kann nun die steigende Flanke des großen Pulses als Referenz verwenden und
ein scheinbar stehendes Bild erzeugen. Wird jedoch die Triggerschwelle zu weit
abgesenkt, so dass auch die Schwingungen mit niedriger Amplitude die Schwelle
überschreiten, so wird der Referenzzeitpunk zur Aufnahme des Bildes nicht mehr exklusiv von der großen Schwingung bestimmt. Die ist in Abb. D.6 sichtbar.
Bei realen Messaufbauten ist es wichtig, die Triggerschwelle so zu wählen, dass Ihr relevantes Signal den Aufnahmezeitpunkt bestimmt und nicht etwa das Grundrauschen
Ihres Signals.
Abbildung D.4: Das Triggerlevel ist höher als die Signalamplitude (siehe orangener Pfeil mit T am
linken Rand). Das Oszilloskop kann keinen optimalen Aufzeichnungspunkt feststellen.
120
D.2 Optimale Anzeige der Signale
Abbildung D.5: Das Triggerlevel so gewählt, dass der Aufnahmezeitpunkt durch die Amplitude der
größten Schwingung bestimmt wird.
Abbildung D.6: Das Triggerlevel ist so niedrig, dass auch die kleineren Schwingungen eine Aufzeichnung auslösen. Das Signal ist nicht mehr gut erkennbar.
121
D Umgang mit dem Oszilloskop
D.3 Messungen
Mit der Information aus dem vorangegangenen Kapitel sind Sie in der Lage, händisch
durch Abzählen der Kästchen die Signalhöhe (Spannung) oder die Schwingungsdauer
(Zeit) eines Signals festzustellen, und hieraus durch Umrechnung beispielsweise die
(Kreis-)Frequenz einer Schwingung zu bestimmen. Das Oszilloskop kann Sie hierbei
jedoch auch durch Einstellung der sog. Cursors oder automatische Messungen unterstützen. Wie auch bei der Einstellung der Anzeige steht es Ihnen bei den Messungen
frei, ob Sie die Unterstützung nutzen möchten oder nicht.
D.3.1 Cursor-gestützte Messungen
Beispielhaft sollen Amplitude und Kreisfrequenz des Signals auf Kanal 1 bestimmt
werden.
• drücken Sie die Taste Cursors - vier Linien erscheinen im Bild
• drücken Sie die zweite der sechs Tasten unter dem Display (Source) und
wählen Sie mit dem Drehknopf, der rechts mittig neben dem Display ist, den
Kanal (für unser Beispiel bereits richtig eingestellt)
• drücken Sie den Drehknopf, der sich rechts neben der Cursors-Taste befindet
• wählen Sie Y1 und bestätigten Sie die Wahl durch Drücken des Drehknopfes,
um eine der horizontalen Cursoren zu wählen
• verschieben Sie den Cursor zum niedrigsten Punkt des Signals von Kanal 1
• wählen Sie nun, wieder mit dem gleichen Drehknopf, den Cursor Y2 und verschieben Sie ihn auf den höchsten Punkt des Signals von Kanal 1
In Abb. D.7 ist zu sehen, dass ∆Y (1) = 5,0 V ist. Mit den gleichen Schritten kann
mit Verwendung der X-Cursoren der periodische Nulldurchgang der Kurve markiert
werden. Aus ∆X = 2,12 ms und f = 1/∆X = 471,7 Hz ergibt sich die Kreisfrequenz
zu ω = 2π · f ≈ 2964 Hz.
D.3.2 Automatische Messungen
Durch Drücken des Knopfs Meas gelangen Sie in den Messungs-Modus, in dem Sie
verschiedene automatische Messungen programmieren können. Wie Sie in Abb. D.8
erkennen können, hat das Oszilloskop bereits zwei Messungen veranlasst, nämlich
Frequenz und Signalhöhe des Signals auf Kanal 1. Somit haben Sie auf schnellerem
(aber didaktisch unterlegenem) Weg die gleichen Ergebnisse wie mit der manuellen
Cursormessung erhalten. Wir möchten nun beispielhaft eine komplexere Messung
programmieren, die uns die Phasenverschiebung zwischen beiden Signalen bestimmt.
• drücken Sie (wenn Sie im Messungs-Modus sind) die erste der sechs Tasten unter
dem Display (Source) und wählen Sie mit dem Drehknopf, der rechts mittig
neben dem Display ist, Kanal 2
122
D.3 Messungen
• drücken Sie die zweite Taste unter dem Display (Type), und wählen Sie mit
dem Drehknof den untersten Punkt (Phase)
• drücken Sie die vierte Taste unter dem Display (Settings), dann den dritten
Knopf, um (Source2) auf Kanal 1 einzustellen
• drücken Sie die Taste Back und dann die dritte Taste unter dem Display (Add
Measurement) um die Messung hinzuzufügen
Es erscheint nun die dritte Messung wie in Abb. D.9.
Auf Besonderheiten zur Bedienung des Oszilloskops werden Sie durch den Tutor oder
die jeweilige Versuchsbeschreibung aufmerksam gemacht werden.
Abbildung D.7: Oszilloskop mit Benutzung der Cursoren, hier eingestellt zur Messung der Signalamplitude und -periodendauer.
123
D Umgang mit dem Oszilloskop
Abbildung D.8: Oszilloskop nach Drücken von Meas. Es sind bereits zwei Messungen automatisch
erstellt worden: Freq(1) (Frequenz des Signal am ersten Kanal) sowie Pk-Pk(1) (Spannung des
Signals am ersten Kanal von Spitze zu Spitze (engl.: Peak-Peak)). Die letzte Messung wird durch
die Cursoren (gestrichelte Linien in der Farbe des Kanals) angezeigt.
Abbildung D.9: Oszilloskop nach Hinzufügen der dritten Messung. Die Phasenverschiebung beider Signale ist ablesbar. An den Cursoren ist erkennbar, wie das Oszilloskop die Phasenverschiebung
misst.
124
E Überblick der Grundgrößen und Einheiten der
Dosimetrie
Ionendosis:
DI ≡
Ladung der erzeugten Ionenpaare
Masse der durchstrahlten Materie
=
Q
m
,
Coulomb
C
Einheit: 1 Kilogramm
= 1 kg
; früher Röntgen (R): 1 R = 258
µC
kg
(E.1)
,
Ionendosisleistung:
ḊI ≡
Ionendosis
Zeit
=
dDI
dt
A
, Einheit: 1 s ·Ckg ≡ 1 kg
; früher: 1
R
s
,
(E.2)
Energiedosis:
DE ≡
Aus dem Strahlungsfeld absorbierte Energie
Masse der durchstrahlten Materie
=
Eabs
m
,
Joule
Einheit: 1 Kilogramm
= 1 kgJ = 1 Gy (Gray); früher Rad (rad): 1 rad =
1
100
Gy ,
Energiedosisleistung:
ḊE ≡
Energiedosis
Zeit
=
dDE
dt
, Einheit: 1 Gy
; früher: 1 rad
,
s
s
Äquivalentdosis:
Dq ≡ strahlenabhängiger Bewertungsfaktor · Energiedosis = q · DE ,
Einheit: 1 Sv (Sievert) = 1 kgJ ; früher rem: 1 rem= 10 mSv ,
Äquivalentdosisleistung:
Ḋq ≡
Äquivalentdosis
Zeit
=
dDq
dt
, Einheit: 1
Sv
.
s
Die schädigende Wirkung von ionisierender Strahlung hängt nicht nur von der deponierten Energie ab, sondern auch von der Art, wie die Energie mikroskopisch verteilt ist. Unterschiedliche Strahlungsarten haben somit eine unterschiedlich starke
schädigende Wirkung (z.B. gilt für Röntgenstrahlung q = 1, für Alphastrahlung q =
20).
125
F Griechisches Alphabet
groß
Alpha
A
Beta
B
Gamma
Γ
Delta
∆
Epsilon
E
Zeta
Z
Eta
H
Theta
Θ
Iota
I
Kappa
K
Lambda
Λ
My
M
126
klein
α
β
γ
δ
, ε
ζ
η
θ, ϑ
ι
κ
λ
µ
groß
Ny
N
Xi
Ξ
Omikron
O
Pi
Π
Rho
P
Sigma
Σ
Tau
T
Ypsilon
Υ
Phi
Φ
Chi
X
Psi
Ψ
Omega
Ω
klein
ν
ξ
o
π
ρ, %
σ, ς
τ
υ
φ, ϕ
χ
ψ
ω