2 Gleichstromtechnik

27
2 Gleichstromtechnik
2.1 Der unverzweigte Stromkreis
2.1.1 Der Grundstromkreis
Ein unverzweigter Stromkreis ist die geschlossene Hintereinanderschaltung verschiedener
Schaltelemente: Spannungsquellen, Widerstände in Form von elektrischen Verbrauchern,
Leitungen usw.
Die praktisch vorkommenden Stromkreise bestehen aus räumlich angeordneten und mehr oder
weniger kontinuierlich verteilten Widerständen. Diese werden in Schaltbildern konzentriert
angenommen, d. h., die Verbindungen zwischen den Spannungsquellen und Widerständen sind
widerstandsfrei.
Die in den Spannungsquellen kontinuierlich verteilten Widerstandsanteile werden ebenfalls
konzentriert gedacht und zum Innenwiderstand der Spannungsquelle zusammengefasst. Die
Spannungsquelle wird ebenfalls idealisiert, d. h. widerstandslos, angenommen. Die Ersatzschaltung einer Spannungsquelle besteht also aus der Reihenschaltung der Quellspannung Uq
und dem Innenwiderstand Ri.
Wird die Spannung auf Grund einer Energieumwandlung in einer Spannungsquelle durch die
Bezeichnung EMK E von den Spannungen U in stromdurchflossenen Widerständen unterschieden, dann besteht die Ersatzschaltung aus der Reihenschaltung EMK E und dem Innenwiderstand Ri.
Jeder unverzweigte Stromkreis lässt sich zum bereits erwähnten Grundstromkreis zusammenfassen. Er besteht aus dem aktiven Zweipol der Spannungsquelle (Uq und Ri bzw. E und Ri)
und dem passiven Zweipol des Verbrauchers (Ra). Dadurch lassen sich komplizierte Netzwerke einfach behandeln (siehe Abschnitt 2.3.3: Zweipoltheorie).
Im Allgemeinen besteht die Aufgabe darin, bei bekannten Spannungsquellen und Widerständen die Ströme zu berechnen. Wie schon erwähnt, werden für Spannungsquellen heute nur
noch Quellspannungen verwendet. Um Rechenbeispiele älterer Literatur [5], [9], [10], [11],
[12], [13], [14], [15] verstehen zu können – wo mit der EMK E gerechnet wird –, werden im
Folgenden der Grundstromkreis, die Reihenschaltung von Spannungsquellen, die Maschenregel, die Ersatzspannungsquelle, die Ersatzstromquelle und die Netzberechnungsverfahren
sowohl mit der Quellspannung Uq als auch mit der EMK E behandelt. Die unterschiedlichen
Energieansätze (Abschnitt 1.6) sind Ausgangspunkt der beiden Betrachtungsweisen:
W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure 1, DOI 10.1007/978-3-8348-2065-5_2,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden 2013
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2 Gleichstromtechnik
Nach den Energieansätzen des Abschnitts 1.6 ergibt sich für den Grundstromkreis:
Bild 2.1 Grundstromkreis mit Quellspannung Uq
Bild 2.2 Grundstromkreis mit EMK E
Die Summe der drei vorzeichenbehafteten
Energien ist Null:
Die erzeugte Energie ist gleich der beiden
abgegebenen Energien:
3
¦
2
1
Wi
0
(2.1)
i 1
i 1
W1 + W2 + W3 = 0
– Q ˜ U q + Q ˜ U + Q ˜ Ui = 0
¦
Werz i
¦W
abg i
(2.2)
i 1
Werz1 = Wabg1 + Wabg2
(2.3)
Q ˜ E = Q ˜ U + Q ˜ Ui
(2.4)
(2.5)
E = U + Ui
(2.6)
– U q + U + Ui = 0
U q = U + Ui
Beim Aufstellen der Spannungsgleichung
wird der unverzweigte Stromkreis nur einmal umfahren, und zwar in Richtung des
Stroms I:
Wird für die Spannungsquelle die EMK E
verwendet, dann muss der unverzweigte
Stromkreis zweimal in gleicher Richtung
umlaufen werden:
die Quellspannung Uq liegt entgegengesetzt
zur Umlaufrichtung, wird also negativ
berücksichtigt,
beim ersten Umlauf wird die EMK E,
die Spannungen U und Ui liegen in Umlaufrichtung, gehen also positiv ein.
Sowohl E als auch Ui und U liegen im Umlauf des Stroms I, gehen also positiv in die
Spannungsgleichung ein.
beim zweiten Umlauf werden die Spannungen Ui und U erfasst.
2.1 Der unverzweigte Stromkreis
29
Beim normalen Betriebsfall wird die Spannungsquelle mit einem beliebigen Widerstand Ra
mit 0 < Ra < f belastet, wodurch sich ein Strom I einstellt:
Uq = I ˜ Ra + I ˜ Ri
(2.7)
Uq
Ra Ri
(2.8)
E = I ˜ (Ra + Ri)
Uq = I ˜ (Ra + Ri)
I
E = I ˜ Ra + I ˜ Ri
(2.9)
I
E
Ra Ri
(2.10)
Drei charakteristische Betriebszustände werden im Grundstromkreis unterschieden:
Kurzschluss: Ra = 0
Bei einer Klemmenspannung U = 0 fließt ein Kurzschlussstrom
Ik
Uq
Ri
(2.11)
Ik
E
Ri
(2.12)
Leerlauf: Ra = f
Bei verschwindendem Strom I = 0 ist die Klemmenspannung gleich der Leerlaufspannung
U l = Uq
(2.13)
Ul = E
(2.14)
Anpassung: Ra = Ri
Ist der Außenwiderstand gleich dem Innenwiderstand, dann ist der Strom gleich der Hälfte des
Kurzschlussstroms und die Klemmenspannung gleich der Hälfte der Leerlaufspannung
I
I
Uq
2 ˜ Ri
1
Ik
2
U = Uq – U i
mit Ui = U
weil I ˜ Ri = I ˜ Ra
U = Uq – U
2U = Uq
1
Ul
U
2
(2.15)
(2.17)
I
E
2 ˜ Ri
I
1
Ik
2
U = E – Ui
mit Ui = U
weil I ˜ Ri = I ˜ Ra
U=E–U
2U = E
1
Ul
U
2
Auf den Anpassungsfall wird im Abschnitt 2.4.5 genauer eingegangen.
(2.16)
(2.18)
30
2 Gleichstromtechnik
Kennlinien des Grundstromkreises:
Kennlinie des aktiven Zweipols
U + U i = Uq
U + I ˜ Ri = Uq
U I ˜ Ri
1
Uq
Uq
U
I
Uq Uq / R i
I
U
1
Ul I k
U + Ui = E
U + I ˜ Ri = E
U I ˜ Ri
1
E
E
U
I
E E / Ri
1
(2.19)
I
U
U l Ik
1
1
(2.20)
Das ist die Gleichung einer Achsen-Abschnittsgeraden mit den Achsen-Abschnitten Kurzschlussstrom Ik und Leerlaufspannung Ul:
Bild 2.3
Kennlinie des aktiven Zweipols
des Grundstromkreises
Kennlinie des passiven Zweipols
Im Abschnitt 1.5 wurde die Kennlinie des ohmschen Widerstandes behandelt:
U = Ra ˜ I
I
(2.21)
1
˜U
Ra
(2.22)
Bild 2.4
Kennlinie des passiven Zweipols
des Grundstromkreises
2.1 Der unverzweigte Stromkreis
31
Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols
Werden aktiver und passiver Zweipol zusammengeschaltet, dann stellt sich nur ein Strom I
und nur eine Klemmenspannung U ein. Diese Größen ergeben sich durch Überlagerung der
Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols, indem im Schnittpunkt (genannt Arbeitspunkt)
die Größen abgelesen werden.
Bild 2.5
Überlagerung der Kennlinien des aktiven und
passiven Zweipols des Grundstromkreises
Aus den überlagerten Kennlinien lassen sich die Spannungen am Außenwiderstand und Innenwiderstand abgreifen.
Praktische Anwendung: Um den Gleichstrom-Arbeitspunkt bei Transistoren und Röhren zu erhalten, werden die nichtlinearen Kennlinien als Kennlinien des passiven Zweipols mit der Kennlinie
des aktiven Zweipols – gebildet aus der Versorgungsspannung (entspricht der Leerlaufspannung
Ul) und dem Arbeitswiderstand (entspricht dem Innenwiderstand Ri) – überlagert.
2.1.2 Zählpfeilsysteme
Für Netzberechnungen ist es notwendig, einheitliche Richtungen für Ströme und Spannungen
durch Zählpfeile festzulegen, damit eindeutige Ergebnisse erzielt werden. Sie stimmen mit den
im Abschnitt 1.3 bereits vereinbarten Richtungsdefinitionen überein.
Spannungszählpfeile: Spannungen zeigen von der positiven zur negativen Klemme, EMK E
von der negativen zur positiven Klemme. Das Symbol der Spannungsquelle mit Querstrichen
wird in der älteren Literatur verwendet.
Bild 2.6
Festlegung der Spannungszählpfeile
32
2 Gleichstromtechnik
Stromzählpfeile: Vereinbarungsgemäß wird der Stromzählpfeil in Richtung des positiv definierten Stroms (Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger) im Schaltbild eingetragen.
Bild 2.7
Festlegung des Stromzählpfeils
Bei einer Netzberechnung werden die Zählpfeile grundsätzlich zu Beginn der Berechnung in
das Schaltbild eingezeichnet. Sind die Richtungen von Strömen und Spannungen in Schaltelementen nicht voraussehbar, werden Richtungen angenommen. Das Rechenergebnis zeigt, ob
die Annahme richtig war. Richtig vorausgesagte Größen ergeben positive, falsch angenommene Größen negative Zahlen.
Im Verbraucherzählpfeilsystem (VZS-System) werden die im Verbraucher (Widerstand) definierten Strom- und Spannungsrichtungen zugrunde gelegt:
Zur Ermittlung der Spannungsgleichung in einem unverzweigten Stromkreis wird der
Umlauf in Richtung des Stromzählpfeils festgelegt. Dann gehen die Spannungen an
Widerständen positiv in die Spannungsgleichung ein, weil Strom und Spannung in gleicher Richtung liegen. Die Spannungen an Spannungsquellen werden negativ berücksichtigt, weil Strom und Spannung entgegengesetzt gerichtet sind.
Beispiel:
Grundstromkreis
– Uq + U + Ui = 0
Die in einem ohmschen Widerstand in Wärme umgesetzte Leistung ist dann positiv und die durch
die Spannungsquelle zugeführte Leistung negativ:
(2.23)
– Uq ˜ I + I2 ˜ (Ra + Ri) = 0.
Für verzweigte Stromkreise wird obige Regel entsprechend für Maschen angewendet (siehe
Abschnitt 2.2). Grundsätzlich wird bei allen Netzberechnungen im Verbraucherzählpfeilsystem
gerechnet.
Um Verwechslungen im Vorzeichen zu vermeiden, wird auf das Erzeugerzählpfeilsystem, das
die Spannungs- und Stromrichtungen der Spannungsquelle zugrundelegt, nicht eingegangen.
2.1 Der unverzweigte Stromkreis
33
2.1.3 Die Reihenschaltung von Widerständen
In einem unverzweigten Stromkreis mit einer Spannungsquelle und n in Reihe, d. h. hintereinander, geschalteten äußeren Widerständen Rv mit v = 1, 2, ... , n ist an jeder Stelle des Kreises
die Menge der pro Zeit fließenden Ladungen – die Stromstärke I – gleich. An den verschieden
großen Widerständen Rv müssen die Spannungsabfälle Uv jeweils entsprechend groß sein, um
den gleichen Strom I zu gewährleisten:
ohmscher Widerstand
R1
R2
˜
˜
Rn
Spannungsabfall
U1 = I ˜ R1
U2 = I ˜ R2
˜
˜
Un = I ˜ Rn
Bild 2.8 Ersatzschaltung eines Stromkreises mit n in Reihe geschalteten ohmschen Widerständen
Die Klemmenspannung U ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle Uv an den Widerständen Rv:
U = U1 + U2 + ... + Un
(2.24)
U = I ˜ R1 + I ˜ R2 + ... + I ˜ Rn
(2.25)
U = I ˜ (R1 + R2 + ... + Rn)
(2.26)
oder in Kurzform
n
U = ¦ Uv
v 1
n
I ˜ ¦ Rv .
(2.27)
v 1
Die n in Reihe geschalteten Widerstände lassen sich zu einem Ersatzwiderstand, dem Gesamtwiderstand Ra, zusammenfassen:
Mit
U = I ˜ (R1 + R2 + ... + Rn) = I ˜ Ra
(2.28)
ergibt sich für den Gesamtwiderstand der Reihenschaltung
n
Ra
¦ Rv ,
(2.29)
v 1
n in Reihe geschaltete Widerstände können zu einem Gesamtwiderstand zusammengefasst
werden, dessen Widerstandswert gleich der Summe der Einzelwiderstandswerte ist.
34
2 Gleichstromtechnik
Die n Widerstände lassen sich jeweils durch n Leitwerte angeben, so dass sich mit
Rv =
1
Gv
mit v = 1, 2, ... , n
(2.30)
für den Gesamtleitwert Ga der Reihenschaltung mit Ra = 1/Ga schreiben lässt:
1
Ga
1
1
1
!
G1 G 2
Gn
(2.31)
oder in Kurzform
1
=
Ga
n
¦ G1v .
(2.32)
v 1
2.1.4 Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen
Ein unbelasteter Spannungsteiler besteht aus zwei in Reihe geschalteten Widerständen R1 und
R2, die entweder räumlich getrennt sind oder aus einem Gesamtwiderstand mit einem Abgriff
bestehen. Die Ausführung eines unbelasteten Spannungsteilers mit einem veränderlichem
Abgriff, Schleifer genannt, heißt Potentiometer. Die Teilwiderstände werden damit variabel.
Bild 2.9 Ausführungen unbelasteter Spannungsteiler
Wird an den Spannungsteiler eine Spannung U angelegt, dann sind die beiden Widerstände
vom gleichen Strom durchflossen, wenn durch den Abgriff kein Strom fließt. Der Spannungsteiler ist dann unbelastet, der belastete Spannungsteiler wird im Abschnitt 2.2.8 behandelt. Die
anliegende Spannung U wird entsprechend der Größe der Widerstände aufgeteilt:
U = U1 + U2 = I ˜ R1 + I ˜ R2 = I ˜ R.
(2.33)
Mit den Proportionen
U1
U2
I ˜ R1
I˜ R2
und
U1
U
I ˜ R1
I ˜ R1 R 2 und
U1
U
R1
R1 R 2
I ˜ R1
I˜R
ergibt sich die Spannungsteilerregel:
U1
U2
R1
R2
(2.34)
R1
;
R
(2.35)
die Spannungen über zwei vom gleichen Strom durchflossenen Widerstände verhalten sich wie
die zugehörigen Widerstandswerte.
2.1 Der unverzweigte Stromkreis
35
Eine Anwendung der Spannungsteilerregel ist die Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers zum Messen höherer Spannungen, für die der Spannungsmesser nicht ausreicht. Die
zu messende Spannung U wird durch die Reihenschaltung eines Vorwiderstandes Rv und des
Widerstandes R0 des Messinstrumentes geteilt. Dadurch braucht das Messinstrument nur die
Teilspannung U0 anzuzeigen.
Bild 2.10
Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers
Wird der Messbereich um das p-fache erweitert, d. h., kann die zu messende Spannung U das
p-fache der am Messinstrument anliegenden Spannung U0 betragen, dann ergibt sich aus
p
U
U0
R0 Rv
R0
1
Rv
R0
(2.36)
die Größe des notwendigen Vorwiderstandes:
Rv = (p – 1) ˜ R0.
(2.37)
2.1.5 Die Reihenschaltung von Spannungsquellen
Werden n Spannungsquellen in Reihe geschaltet, dann lassen sich die Spannungen Uqv bzw.
Ev und die Innenwiderstände Riv der n Spannungsquellen zu einer Ersatzspannungsquelle mit
der Ersatz-Quellspannung Uq ers bzw. Ersatz-EMK Eers mit einem Ersatz-Innenwiderstand
Ri ers mit v = 1, 2, ... , n zusammenfassen. Die Ersatzgrößen werden nach dem Verbraucherzählpfeilsystem (Abschnitt 2.1.2) ermittelt:
Die Ersatz-Quellspannung Uq ers bzw. die Ersatz-EMK Eers berücksichtigt alle Uqv bzw.
Ev, die in gleicher Richtung wirken, positiv und die entgegengesetzt wirken, negativ.
Der Ersatz-Innenwiderstand Ri ers ist gleich der Summe aller Innenwiderstände Riv.
36
2 Gleichstromtechnik
Beispiel: n = 4
Behandlung mit Quellspannungen:
Bild 2.11 Ersatzschaltung der Reihenschaltung von Spannungsquellen, behandelt
mit Quellspannungen
I ˜ Ri4 – Uq4 + I ˜ Ri3 + Uq3 + I ˜ Ri2 – Uq2 + I ˜ Ri1 – Uq1 + U = 0
I ˜ Ri ers – Uq ers + U = 0
d. h. Uq ers = Uq1 + Uq2 – Uq3 + Uq4
= Ri1 + Ri2 + Ri3 + Ri4
und Ri ers
oder Behandlung mit EMK:
Bild 2.12 Ersatzschaltung der Reihenschaltung von Spannungsquellen, behandelt mit EMK
E1 + E2 – E3 + E4 = I ˜ ( Ri1 + Ri2 + Ri3 + Ri4) + U
=I˜
Ri ers
+U
Eers
d. h. Eers= E1 + E2 – E3 + E4
und
Ri ers= Ri1 + Ri2 + Ri3 + Ri4
2.2 Der verzweigte Stromkreis
37
2.2 Der verzweigte Stromkreis
2.2.1 Die Maschenregel (Der 2. Kirchhoffsche Satz)
Ein Netzwerk (kurz: Netz) ist ein verzweigter Stromkreis, der Energiequellen (Spannungsquellen und Stromquellen), Verbraucher (Widerstände) und die sie verbindenden widerstandslosen
Leitungen enthält. Sind Ströme und Spannungen zeitlich konstant, dann handelt es sich um
Gleichstromnetze.
Unter einem Zweig des Netzes versteht man einen solchen Abschnitt, der nur aus in Reihe
geschalteten Spannungsquellen und Widerständen oder nur aus Spannungsquellen oder nur aus
Widerständen besteht und nur zwei Klemmen zum Anschluss an andere Abschnitte des Netzes
besitzt. Eine Stromquelle (Abschnitt 2.2.5) rechnet nicht als Zweig, wenn sie zwischen zwei
Knotenpunkten liegt.
Ein Knotenpunkt des Netzes ist ein Punkt des Netzes, in dem nicht weniger als drei Ströme
zufließen oder wegfließen und zwar Ströme durch Widerstände und Quellströme. In Netzen
ohne Stromquellen sind in Knotenpunkten nicht weniger als drei Zweige verbunden.
Wird von einem Knotenpunkt eines Netzes ausgegangen und wird der Leiter bis zum Ausgangspunkt verfolgt, ohne die Strecke zweimal zu durchlaufen, dann wird dieser geschlossene
Weg eine Masche genannt.
Beispiel:
Bild 2.13 Netzwerk zur Erläuterung der Begriffe Zweige, Knotenpunkte und Maschen
38
2 Gleichstromtechnik
Zur Ermittlung der Spannungsgleichungen in einem verzweigten Stromkreis werden beliebige
Maschenumläufe gewählt, für die die Maschenregel gilt:
Beim Umlauf einer Masche ist die Summe
aller vorzeichenbehafteten Spannungen
(Quellspannungen und Spannungen an
Widerständen) in einer Masche gleich Null:
n
l
¦ Ui
Beim Umlauf einer Masche ist die Summe
der vorzeichenbehafteten EMK E gleich
der Summe der vorzeichenbehafteten
Spannungsabfälle an den Widerständen:
0
(2.38)
i 1
Wird mit Quellspannungen gerechnet, dann
wird jede Masche nur einmal durchlaufen.
¦ Ei
i 1
m
¦ Ui
(2.39)
i 1
Wird mit EMK E gerechnet, muss jede Masche zweimal durchlaufen werden, einmal
für die EMK und einmal für die Spannungsabfälle.
Vorzeichenbehaftet bedeutet, dass alle in der gewählten Umlaufrichtung liegenden Spannungen und EMK positiv und dass alle entgegengesetzt gerichteten Spannungen und EMK negativ
in der Maschengleichung berücksichtigt werden.
Beispiel:
Bild 2.14 Beispiel eines verzweigten Stromkreises zur Erläuterung der Maschenregel
Masche I:
Uq1 + U2 – U3 + U1 = 0
Masche II:
– U3 – Uq2 + U4 – U5 = 0
Masche III:
– Uq3 – U5 – U2 + U6 = 0
usw.
Masche I:
– E1 = U1 + U2 – U3
Masche II:
E2 = – U3 + U4 – U5
Masche III:
E3 = – U2 – U5 + U6
usw.
Das Netzwerk enthält insgesamt sieben Maschen, für die die Spannungsgleichungen aufgestellt
werden können.
2.2 Der verzweigte Stromkreis
39
2.2.2 Die Knotenpunktregel (Der 1. Kirchhoffsche Satz)
In einem unverzweigten Stromkreis ist die Stromstärke I an allen Stellen gleich. Verzweigte
Stromkreise enthalten Verzweigungen, in denen sich der Strom jeweils aufteilt. Ein Netzwerk
ist im Allgemeinen ein verzweigter Stromkreis mit Knotenpunkten und Zweigen.
Treffen sich mehrere stromdurchflossene Leiter in einem Knotenpunkt, so gilt die Knotenpunktregel:
Die Summe aller vorzeichenbehafteten
Ströme eines Knotenpunktes ist Null; vorzeichenbehaftet bedeutet, dass die zum
Knotenpunkt hinfließenden Ströme positiv
und die von ihm wegfließenden Ströme
negativ gezählt werden oder umgekehrt:
Die Summe der zum Knotenpunkt hinfließenden Ströme ist gleich der Summe der
vom Knotenpunkt wegfließenden Ströme:
l
¦ Ii
0
(2.40)
i 1
Beispiel:
– I1 + I2 + I3 – I4 = 0
oder
I1 – I2 – I3 + I4 = 0
oder
I2 + I3 = I 1 + I 4
n
m
i 1
i 1
¦ Ii ¦ Ii
x
n
(2.41)
x
p
Bild 2.15
Beispiel eines Knotenpunktes zur
Erläuterung der Knotenpunktregel
2.2.3 Die Parallelschaltung von Widerständen
In einem verzweigten Stromkreis mit einer Spannungsquelle und n parallelgeschalteten äußeren Widerständen Rv mit v = 1, 2, 3, ... , n liegt an allen n Widerständen die Klemmenspannung U an.
Bild 2.16 Ersatzschaltung eines Stromkreises mit n parallel geschalteten ohmschen Widerständen
40
2 Gleichstromtechnik
In den verschieden großen Widerständen RQ treibt der gleiche Spannungsabfall U verschieden
große Ströme IQ durch die Widerstände RQ:
ohmscher Widerstand
ohmscher Leitwert
R1
G1
I1
R2
G2
I2
.
.
.
.
.
.
Strom
U
U ˜ G1
R1
U
R2
U ˜ G2
.
.
.
U
U ˜ Gn
Rn
Nach der Knotenpunktregel ist der Gesamtstrom I gleich der Summe aller Teilströme IQ:
Gn
Rn
In
I = I1 + I2 + I3 + ... + In
(2.42)
U
U
U
U
!
R1 R 2 R 3
Rn
I=
(2.43)
I = U ˜ G1 + U ˜ G2 + U ˜ G3 + ... + U ˜ Gn
(2.44)
§ 1
1
1
1 ·
¸
!
I = U ˜ ¨¨
R n ¸¹
© R1 R 2 R 3
(2.45)
I = U ˜ (G1 + G2 + G3 + ... + Gn)
(2.46)
oder
oder in Kurzform
n
I = ¦ IQ
Q 1
n
1
R
Q 1 Q
U˜ ¦
n
U ˜ ¦ GQ .
(2.47)
Q 1
In einer Parallelschaltung von n Leitwerten können Einzelleitwerte GQ zu einem Gesamtleitwert Ga zusammengefasst werden:
Ga = G1 + G2 + G3 + ...+ Gn
(2.48)
oder in Kurzform
n
Ga = ¦ G Q .
(2.49)
Q 1
Die n Leitwerte lassen sich jeweils durch n Widerstände ersetzen, so dass sich mit
Gv =
1
mit Q = 1, 2, 3, ... , n
RQ
(2.50)
für den Gesamtwiderstand Ra der Parallelschaltung mit Ga = 1/Ra ergibt:
1
Ra
1
1
1
1
!
R1 R 2 R 3
Rn
n
1
¦ RQ .
Q 1
(2.51)
2.2 Der verzweigte Stromkreis
41
2.2.4 Anwendungen der Parallelschaltung von Widerständen
Ein Stromteiler besteht aus zwei parallel geschalteten Widerständen R1 und R2, an denen die
gleiche Spannung anliegt.
Nach der Knotenpunktregel teilt sich der
Strom I in die Teilströme I1 und I2 auf:
I = I 1 + I2 .
(2.52)
Bild 2.17 Stromteiler
Mit
U = I1 ˜ R1 =
I1
G1
U = I2 ˜ R2 =
und
I2
G2
(2.53)
ergibt sich
I=
§ 1
1 ·
¸
U ˜ ¨¨
¸
R
R
2¹
© 1
U
U
R1 R 2
(2.54)
I = U ˜ G1 + U ˜ G2 = U ˜ (G1 + G2).
(2.55)
Mit den Proportionen
I1
I2
U
R1
U
R2
U ˜ G1
U ˜ G2
(2.56)
und
I2
I
U
R2
§
·
U ˜¨ 1 1 ¸
R
R
2 ¹
© 1
1
R 2 R1
R2 ˜
R1 ˜ R 2
R1
R1 R 2
(2.57)
bzw.
I2
I
U ˜ G2
U ˜ G1 G 2 lautet die Stromteilerregel:
I1
I2
G1
G2
R2
R1
I2
I
G2
G1 G 2
(2.58)
und
R1
.
R1 R 2
(2.59)
In parallelen Zweigen mit ohmschen Widerständen sind die Teilströme proportional den
Zweigleitwerten und umgekehrt proportional den entsprechenden Zweigwiderständen.
42
2 Gleichstromtechnik
Für zwei parallel geschaltete Widerstände gilt die Regel:
Der Teilstrom verhält sich zum Gesamtstrom wie der Widerstand, der nicht vom Teilstrom
durchflossen ist, zum Ringwiderstand der Parallelschaltung. Der Ringwiderstand bedeutet der
Widerstand der Reihenschaltung der beiden Widerstände, nicht der Gesamtwiderstand der
Parallelschaltung:
I1
I
R2
R1 R 2
(2.60)
I2
I
R1
.
R1 R 2
(2.61)
und
Daraus lassen sich die Teilströme als Teil des Gesamtstroms berechnen:
I1
R2
˜I
R1 R 2
(2.62)
I2
R1
˜ I.
R1 R 2
(2.63)
und
Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung kann aus der Formel für den Ersatzwiderstand
von n parallelgeschalteten Widerständen mit n = 2 hergeleitet werden:
Mit Gl. (2.52)
1
Ra
n
1
¦R
Q 1
Q
ergibt sich
1
Ra
1
1
R1 R 2
R 2 R1
R1 ˜ R 2
(2.64)
und
Ra =
R1 ˜ R 2
.
R1 R 2
(2.65)
Bild 2.18
Ersatzwiderstand von zwei parallelgeschalteten
Widerständen
2.2 Der verzweigte Stromkreis
43
Eine Messbereichserweiterung eines Strommessers ist notwendig, wenn ein Strom gemessen
werden soll, der größer ist, als das Strom-Messwerk zulässt. Zum Messinstrument mit dem
Widerstand R0 wird dann ein Widerstand Rp parallel geschaltet, der entsprechend der Stromteilerregel einen Großteil des zu messenden Stroms I aufnimmt:
R0 Rp
I
I0
Rp
(2.66)
.
Bild 2.19
Messbereichserweiterung eines Strommessers
Der Messbereich des Strommessers soll um das p-fache vergrößert werden, d. h. I = p ˜ I0.
Damit lässt sich mit
p=
I
I0
R0 Rp
Rp
R0
1
Rp
(2.67)
die Größe des parallelgeschalteten Widerstandes errechnen:
R0
.
(2.68)
p 1
Beide Widerstände durch Leitwerte ersetzt, ergibt die analoge Formel für den Vorwiderstand
der Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers (Gl. (2.37)):
Rp =
Gp = (p – 1) ˜ G0.
(2.69)
Anmerkung: Dualität in der Gleichstromtechnik
Bei den bisherigen Betrachtungen über die Gleichstromtechnik drängt sich eine Gesetzmäßigkeit
auf, die die Reihen- und Parallelschaltung, Spannungen und Ströme, Widerstände und Leitwerte
betrifft:
Bei einer Reihenschaltung von Widerständen ist der Strom gleich und die Spannung wird entsprechend der Widerstände geteilt, die Widerstände werden zum Gesamtwiderstand zusammengefasst.
Bei einer Parallelschaltung von Leitwerten ist die Spannung gleich und der Strom wird entsprechend der Leitwerte geteilt, die Leitwerte werden zum Gesamtleitwert zusammengefasst.
Auch bei der Messbereichserweiterung setzt sich diese so genannte Dualität zwischen Größen und
Schaltungen fort, wie aus den analogen Formeln für die zuzuschaltenden Widerstände zu ersehen ist:
Spannungsmessung
Reihenschaltung von Messinstrument und
Reihenwiderstand Rv
Rv = (p – 1) R0
Gv = G0/(p – 1).
Strommessung
Parallelschaltung von Messinstrument und
Parallelwiderstand Rp
Gp = (p – 1) ˜ G0
Rp = R0/(p – 1).
Diese Dualität setzt sich in vielen Gesetzmäßigkeiten fort, so dass Zusammenhänge anschaulicher
sind und Formeln besser behalten werden können. An entsprechender Stelle wird jeweils auf die
Dualität hingewiesen.
44
2 Gleichstromtechnik
2.2.5 Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle
Eine elektrische Energiequelle lässt sich entweder durch eine Spannungsquelle oder durch eine
Stromquelle im elektrischen Netzwerk angeben. Wie im Abschnitt 1.3 behandelt, kann die
Spannungsquelle anschaulich physikalisch erklärt werden. Die Stromquelle hingegen physikalisch zu erklären, dürfte nicht ohne weiteres möglich sein; sie ergibt sich aus dem mathematischen Modell, das aus der Spannungsgleichung für den Grundstromkreis mit Spannungsquelle
(Gl. (2.5) bis (2.8)) hergeleitet werden kann:
Im Ersatzschaltbild für eine belastete Energiequelle wird die Spannungsquelle durch die Reihenschaltung der Quellspannung Uq bzw. der EMK E und dem Innenwiderstand Ri angegeben;
der belastende Verbraucher wird durch den äußeren Widerstand Ra erfasst.
Bild 2.20 Ersatzschaltbilder für die belastete Spannungsquelle
Die Spannungsgleichung
Uq = U + I ˜ Ri
bzw.
(2.70)
E = U + I ˜ Ri
(2.71)
wird nur durch Ri dividiert, wodurch sich die Gleichung einer Stromverzweigung ergibt:
Uq
Ri
U
I
Ri
(2.72)
bzw.
E
Ri
U
I
Ri
(2.73)
Diese Gleichung bedeutet schaltungstechnisch die Parallelschaltung einer idealen Stromquelle
mit dem Innenwiderstand Ri und dem Außenwiderstand Ra:
Bild 2.21 Belastete Stromquelle
2.2 Der verzweigte Stromkreis
45
Denn der Quellstrom Iq = Uq/Ri bzw. Iq = E/Ri der Stromquelle verzweigt sich nach obiger
Stromgleichung in den Strom durch den Innenwiderstand Ii = U/Ri und in den Belastungsstrom I durch den Außenwiderstand Ra:
Iq
Uq
mit Iq
(2.74)
bzw. mit Iq
Ri
und
Ii I
Ii
E
Ri
U
Ri
(2.75)
Jede Ersatzspannungsquelle wird also mit der Gleichung
Iq
Uq
Ri
in eine äquivalente Ersatzstromquelle überführt:
bzw. Iq
E
Ri
(2.76)
Bild 2.22
Spannungsquelle in Stromquelle
Umgekehrt kann jede Ersatzstromquelle mit der Gleichung
Uq
Iq ˜ R i
bzw. E
Iq ˜ R i
(2.77)
durch eine äquivalente Ersatzspannungsquelle ersetzt werden:
Bild 2.23 Stromquelle in Spannungsquelle
Während die Quellspannung Uq keinen Widerstand enthält (Kurzschluss), wie die durchgezogene Linie im Kreis verdeutlicht, bedeutet der Quellstrom Iq jeweils eine Einströmung in die
beiden Knotenpunkte (siehe Bild 2.64, S. 80) mit einem unendlich großen Widerstand (Unterbrechung), wie die quergezogene Linie im Kreis angibt.
Bis Ende des Abschnitts 2.2 wird nur noch mit der Quellspannung Uq gerechnet.
46
2 Gleichstromtechnik
Die Ersatzspannungsquelle als Reihenschaltung ist damit der Ersatzstromquelle als Parallelschaltung gleichwertig, zumal sich an den Klemmen zwischen aktiven und passiven Zweipol
in beiden Grundstromkreisen die gleiche Klemmenspannung U und der gleiche Klemmenstrom
I bei Belastung mit dem Widerstand Ra einstellen:
normaler Belastungsfall
für Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle (Bild 2.20):
I
Uq
U
(2.78)
Ri Ra
Ra
˜ Uq
Ri Ra
(2.79)
(Spannungsteiler)
für Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle (Bild 2.21):
I
Ri
˜ Iq
Ri Ra
(2.80)
U
Ri ˜ Ra
˜ Iq
Ri Ra
(2.81)
(Stromteiler)
Die drei charakteristischen Betriebszustände der beiden Grundstromkreise zeichnen sich durch
folgende Spannungen und Ströme aus:
für Ersatzspannungsquelle
Kurzschluss mit Ra = 0:
Leerlauf mit Ra = f:
I = Ik =
I=0
U = U l = Uq
I
U=0
I = I k = Iq
weil Ii = 0
I=0
U = Ul = Iq ˜ Ri
Ri
weil Ui = 0
U
Anpassung mit Ra = Ri:
Uq
U=0
für Ersatzstromquelle
weil Ii = Iq
U l Uq
2
2
I k Iq
2
2
Jedes Gleichstrom-Netzwerk kann mit entsprechendem Aufwand in einen GleichstromGrundstromkreis überführt werden. Dabei wird das Netzwerk so in einen aktiven und einen
passiven Zweipol geteilt, dass sämtliche Spannungs- und Stromquellen im aktiven Zweipol
enthalten sind und der Rest des Netzwerks mit nur ohmschen Widerständen dem passiven
Zweipol zugeordnet ist.
2.2 Der verzweigte Stromkreis
47
Die Spannungsquellen-Ersatzschaltung enthält die drei Schaltelemente Uq ers, Ri ers und Ra ers,
die für ein Gleichstromnetz folgendermaßen ermittelt werden:
U q ers :
Die Ersatz-Quellspannung ist gleich der Leerlaufspannung
Uq ers = Ul,
(2.82)
d. h., für den aktiven Zweipol des Gleichstromnetzes wird bei offenen Klemmen, also bei Leerlauf, die Klemmenspannung rechnerisch oder messtechnisch ermittelt.
Sollten Spannungsquellen oder Stromquellen in Reihe oder parallel geschaltet sein,
dann werden diese zusammengefasst und bei der Berechnung von Ul berücksichtigt.
Bild 2.24 Ermittlung der Ersatz-Quellspannung
R i ers :
Der Ersatz-Innenwiderstand ist gleich dem ohmschen Widerstand des aktiven Zweipols hinsichtlich der offenen Zweipolklemmen, wenn alle Spannungsquellen des
Gleichstromnetzes als kurzgeschlossen und alle Stromquellen als unterbrochen angenommen werden. Innenwiderstände bleiben berücksichtigt in der Schaltung des
Netzes. Anschließend müssen Brückenschaltungen durch Dreieck-Stern-Umwandlungen oder Stern-Dreieck-Umwandlungen (Abschnitt 2.2.10) in zusammenfassbare
Reihen- und Parallelschaltungen überführt werden und mit den übrigen ohmschen
Widerständen zusammengefasst werden.
Bild 2.25 Ermittlung des Ersatz-Innenwiderstandes
48
R a ers :
2 Gleichstromtechnik
Der Ersatz-Außenwiderstand ist gleich dem ohmschen Widerstand des passiven
Zweipols hinsichtlich der offenen Zweipolklemmen. Dabei müssen Brückenschaltungen durch Dreieck-Stern-Umwandlungen oder Stern-Dreieck-Umwandlungen
(Abschnitt 2.2.10) in zusammenfassbare Reihen- und Parallelschaltungen überführt
werden und mit den übrigen ohmschen Widerständen zusammengefasst werden.
Bild 2.26 Ermittlung des Ersatz-Außenwiderstandes
Die Stromquellen-Ersatzschaltung enthält die drei Schaltelemente Iq ers, Ri ers, und Ra ers.
Die Ermittlung von Ri ers und Ra ers ist bei der Spannungsquellen-Ersatzschaltung beschrieben.
Iq ers :
Der Ersatz -Quellstrom ist gleich dem Kurzschlussstrom
Iq ers = Ik,
(2.83)
d. h., für den aktiven Zweipol des Gleichstromnetzes wird bei kurzgeschlossenen
Klemmen, also bei Kurzschluss, der Klemmenstrom rechnerisch oder messtechnisch
ermittelt. In Reihe oder parallel geschaltete Spannungs- oder Stromquellen werden
zusammengefasst und bei der Ermittlung des Kurzschlussstroms berücksichtigt.
Bild 2.27 Ermittlung des Ersatz-Quellstroms
R i ers : siehe oben
R a ers : siehe oben
2.2 Der verzweigte Stromkreis
49
Nachdem die Schaltelemente des jeweiligen Grundstromkreises ermittelt sind, werden die
Ströme und Spannungen nach den bereits angegebenen Formeln Gl. (2.78) bis (2.81) berechnet:
für die Spannungsquellen-Ersatzschaltung:
I
U q ers
R i ers R a ers
(2.84)
U
(2.86)
U
R a ers
R i ers R a ers
˜ U q ers
(2.85)
˜ I q ers
(2.87)
für die Stromquellen-Ersatzschaltung:
I
R i ers
R i ers R a ers
˜ I q ers
R i ers ˜ R a ers
R i ers R a ers
Beispiel 1:
Das dargestellte Gleichstromnetz soll in die Spannungsquellen-Ersatzschaltung und in die Stromquellen-Ersatzschaltung überführt werden. Die Auftrennung in aktiven und passiven Zweipol ist
vorgegeben und im Schaltbild eingezeichnet:
Bild 2.28 Beispiel für die Überführung eines Gleichstromnetzes in Ersatzschaltungen in Form
von Grundstromkreisen
Spannungsquellen-Ersatzschaltung
U q ers :
Nach der Spannungsteilerregel
(Gl. (2.35)) ergibt sich für die
Leerlaufspannung:
Uq ers
Bild 2.29 Ermittlung der Ersatz-Quellspannung eines Beispiels
Ul
R2
˜ Uq .
R1 R2
50
2 Gleichstromtechnik
R i ers : Die Quellspannung Uq wird kurzgeschlossen angenommen, so dass sich der Widerstand
des aktiven Zweipols berechnen lässt:
Ri ers = R3 + (R1 || R2) ( || bedeutet „parallel“ geschaltet)
Ri ers = R 3 R1 ˜ R 2
R1 R 2
R 3 (R1 R 2 ) R1R 2
R1 R 2
R a ers : Der Widerstand des passiven Zweipols besteht aus Reihen- und Parallelschaltungen von
Widerständen:
Ra ers = [(R4 + R5) || R6] + [R7 || R8]
Ra ers =
R 7R 8
(R 4 R 5 )R 6
R4 R5 R6 R7 R8
Stromquellen-Ersatzschaltung
I q ers :
Bild 2.30
Ermittlung des Ersatz-Quellstroms
für ein Beispiel
Nach der Stromteilerregel (Gl. (2.59)) ergibt sich für den Kurzschlussstrom bezogen auf den
Gesamtstrom:
Ik
R2
,
I
R2 R3
der Gesamtstrom ist
Uq
Uq
,
I=
R1 (R 2 || R 3 ) R R 2 R 3
1
R 2 R3
und die Formel für den Ersatz-Quellstrom entsteht durch Multiplikation beider Gleichungen
I q ers
Ik
Uq ˜ R 2
R1 (R 2 R 3 ) R 2 R 3
Ri ers und Ra ers wurden bereits für die Spannungsquellen-Ersatzschaltung ermittelt.
Die Ergebnisse lassen sich mit der Formel Uq ers = Iq ers ˜ Ri ers kontrollieren.
2.2 Der verzweigte Stromkreis
51
Beispiel 2:
In der skizzierten Schaltung ist die Spannung U vom Widerstand R abhängig.
1. Zunächst soll die Schaltung in die beiden Grundstromkreise überführt werden, indem nur der
variable Widerstand R dem passiven Zweipol zugeordnet werden soll.
2. Mit Hilfe der beiden Ersatzschaltungen soll anschließend die Funktion U = f (R) entwickelt
werden.
3. Die Funktion U = f (R) ist dann mit folgenden Zahlenwerten zu berechnen und darzustellen:
Ri = 1:,
Rp = 5:
Uq = 10V,
R = 0:, 0,5:, 1:, 2:, 3:, 4: und 5:.
4. Die Funktion mit den Zahlenwerten ist dann durch Kennlinienüberlagerung zu kontrollieren.
Bild 2.31 Schaltbild zum Beispiel 2
Lösung:
Zu 1.
Uq ers = Ul =
Ri ers =
Zu 2.
Rp
Ri R p
Uq
Iq ers = Ik =
RiR p
R a ers
R i ers R a ers
˜ U q ers
Stromquellen-Ersatzschaltung:
mit Gl. (2.87)
U
R i ers ˜ R a ers
R
R iR p
˜
Ri Rp
U
R
Rp
Ri Rp
R Rp
R i R p R (R i R p )
˜Uq
U
Ri Rp
R iR p
Ri Rp
˜Uq
U
˜ I q ers
R i ers R a ers
R iR p
U
Ri
Ra ers = R
Ri R p
Spannungsquellen-Ersatzschaltung:
mit Gl. (2.85)
U
Uq
˜R
˜
R
Uq
Ri
R Rp
R i R p R (R i R p )
˜Uq
52
2 Gleichstromtechnik
Zu 3.
R in :
U in V
0
0
0,5
3,1
1
4,5
2
5,9
3
6,5
4
6,9
5
7,1
Bild 2.32
Darstellung von U = f (R)
des Beispiels 2
Zu 4.
Die Kennlinie des aktiven Zweipols ist eine Achsen-Abschnittsgerade mit den Abschnitten
Rp
5
U
10 V 8,3 V
Ul = Uq ers =
Ri Rp q 6
Ik = Iq ers =
Uq
Ri
10V
1:
10 A .
Die Kennlinie des passiven Zweipols ist eine Nullpunktsgerade (siehe Bilder 1.15 und
1.16). Wegen der unterschiedlichen Widerstandswerte von R entsteht also eine Schar von
Nullpunktsgeraden mit unterschiedlichem Anstieg.
Die Überlagerung der Kennlinien bestätigt die Funktion U = f (R):
Bild 2.33
Kennlinienüberlagerung des Beispiels 2
2.2 Der verzweigte Stromkreis
53
Beispiel 3:
Durch zwei voneinander getrennte Messungen soll in der skizzierten Schaltung zum einen die
Spannung am Widerstand R2 mit einem Spannungsmesser gemessen werden und zum anderen
der Strom durch den Widerstand R2 mit einem Strommesser gemessen werden. Die Schaltung
soll als aktiver Zweipol und die Messgerätewiderstände RV und RA als passive Zweipole aufgefasst werden. Für die Spannungsmessung soll ein aktiver Zweipol mit Ersatzspannungsquelle, für
die Strommessung ein aktiver Zweipol mit Ersatzstromquelle verwendet werden.
1. Zunächst sind die beiden Zweipol-Ersatzschaltungen anzugeben.
2. Dann sind mit Hilfe der Ersatzschaltungen die Formeln für die relativen Fehler
'U
Ul
Ul U
Ul
'I
Ik
Ik I
Ik
in Abhängigkeit von den gegebenen Widerständen zu entwickeln.
Die Leerlaufspannung Ul ist die Spannung am Widerstand R2 ohne Spannungsmesser, also
ohne Widerstand RV. Die Spannung U ist die Spannung am Widerstand R2 mit Spannungsmesser, also die Klemmenspannung zwischen dem aktiven und dem passiven Zweipol.
Der Kurzschlussstrom Ik ist der Strom durch den Widerstand R2 ohne Strommesser, also ohne
Widerstand RA. Der Strom I ist der Strom durch den Widerstand R2 mit Strommesser, also
der Klemmenstrom zwischen dem aktiven und dem passiven Zweipol.
3. Wie groß muss der Widerstand RV des Spannungsmessers mindestens sein, wenn der relative
Fehler 4 % betragen soll?
4. Wie groß ist der relative Fehler der Strommessung, wenn der Widerstand des Strommessers
100: beträgt?
Bild 2.34 Schaltbild zum Beispiel 3
Lösung:
Zu 1. Spannungsmessung
Bild 2.35 Zweipol-Ersatzschaltungen zum Beispiel 3
Strommessung
54
2 Gleichstromtechnik
Zu 2.
'U
Ul
mit
Ul U
Ul
U
Ul
1
RV
R iU R V
'U
Ul
1
'U
Ul
R iU
R iU R V
RV
R iU R V
R iU R V R V
R iU R V
mit RiU = [( Ri1 || R1 ) + Ri2 ] || R2 = 99,9:
Zu 3.
RiU + RV =
Ik I
Ik
'I
Ik
U
Ul
R iU
'U/U l
I
Ik
R iI
R iI R A
mit
I
Ik
'I
Ik
1
'I
Ik
RA
R iI R A
R iI
R iI R A
R iI R A R iI
R iI R A
mit RiI = ( Ri1 || R1 ) + Ri2 + R2 = 100,1k:
Zu 4.
§ 1
·
1¸
RV = R iU ˜ ¨
©'U/U l
¹
§
·
RV = 99,9: ˜ ¨ 1 1¸
© 0,04
1
¹
'I
Ik
100:
100k: 100: 100:
'I
Ik
998 ˜106 | 1˜103
'I
| 0,1%
Ik
RV = 2398:
2.2.6 Die Parallelschaltung von Spannungsquellen
Werden n Spannungsquellen parallel geschaltet, dann lassen sich die Quellspannungen UqQ mit
den Innenwiderständen RiQ über entsprechende Stromquellen IqQ zu einer Ersatzstromquelle
Iq ers und dann zu einer Ersatzspannungsquelle Uq ers mit dem Ersatz-Innenwiderstand Ri ers
zusammenfassen.
Zunächst werden die Spannungsquellen in äquivalente Stromquellen mit
IqQ =
U qQ
R iQ
mit Q = 1, 2, 3, ... ,n
(2.88)
überführt.
Bild 2.36 Überführung von n parallel geschalteten Spannungsquellen in n äquivalente Stromquellen
2.2 Der verzweigte Stromkreis
55
Bild 2.37 Überführung von n parallel geschalteten Stromquellen in eine Ersatz-Stromquelle und eine
Ersatz-Spannungsquelle
Dann lassen sich die Stromquellen mit den Quellströmen IqQ nach der Knotenpunktregel zu
einer Stromquelle mit dem Ersatz-Quellstrom Iq ers zusammenfassen:
Iq ers
U qQ
n
n
Q 1
Q 1
¦ I qQ ¦ R
.
(2.89)
iQ
Die parallel geschalteten Innenwiderstände RiQ werden ebenfalls zusammengefasst zu einem
Ersatz-Innenwiderstand Ri ers:
1
R i ers
n
1
¦ R iQ .
(2.90)
Q 1
Anschließend lässt sich die Ersatz-Stromquelle in eine äquivalente Spannungsquelle Uq ers mit
dem in Reihe geschalteten Innenwiderstand Ri ers überführen:
U q ers
1
1
Iq ers ˜ R i ers
˜ Iq ers
(2.91)
R i ers
U qQ
n
U q ers
R i ers
¦R
Q 1
n
iQ
1
¦R
Q 1 iQ
1
n
1
R iQ
1
¦
Q
U q1
U q2
U q3
!
U qn
R i1 R i2 R i3
R in
1
1
1
1
! R i1 R i2 R i3
R in
1
1
1
1
1
! R i1 R i2 R i3
R in
(2.92)
(2.93)
56
2 Gleichstromtechnik
Sind die parallel geschalteten Spannungsquellen mit einem äußeren Widerstand Ra belastet,
dann lässt sich der Belastungsstrom mit Hilfe der Formel für den Grundstromkreis (Gl. (2.78))
berechnen:
n
I
U q ers
I
Q 1
R i ers R a
n
U q1
iQ
R i1
n
iQ
(2.94)
§
·
¨
¸
n
¸
1 ¨
1
Ra ¸
¦ R ˜¨ n
¸
Q 1 iQ ¨
1
¨¦
¸
¨
¸
© Q 1 R iQ
¹
U qQ
¦R
Q 1
U qQ
¦R
1
1 Ra ˜ ¦
Q 1 R iQ
U q2
R i2
U q3
R i3
! U qn
R in
§ 1
1
1 ·
1 Ra ˜¨
! ¸
R
R
R
i2
in ¹
© i1
(2.95)
Beispiel:
Zwei parallel geschaltete Spannungsquellen sind mit einem Widerstand R belastet, dessen Strom
mit einem Strommesser ermittelt werden soll. Der Instrumentenwiderstand sei RA.
1. Die Schaltung wird zunächst in einen Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle mit Iq ers und
Ri ers überführt.
2. Anschließend werden die Ströme bei Belastung ohne Messinstrument und bei Belastung mit
Messinstrument berechnet. Damit lässt sich der Fehler der Strommessung bezogen auf den
wahren Stromwert angeben.
Bild 2.38 Beispiel für die Parallelschaltung
von Spannungsquellen
2.2 Der verzweigte Stromkreis
57
Lösung:
Zu 1. Die Spannungsquellen werden in äquivalente Stromquellen überführt und zu einer Stromquelle zusammengefasst:
Bild 2.39 Beispiel einer Überführung von parallel geschalteten Spannungsquellen in eine Ersatzstromquelle
I q ers
I q1 I q2
R i ers
R i1 ˜ R i2
R i1 R i2
Zu 2.
U q1
R i1
U q2
R i2
5 :˜4 :
9:
200 V 160 V
5:
4:
80 A
2,22 :
Mit Hilfe des Grundstromkreises mit Ersatzstromquelle können nun die gesuchten Ströme
errechnet werden:
mit Gl. (2.86)
R i ers
I
˜I
R i ers R a ers q ers
ergibt sich
ohne Messinstrument: Ra ers = R
2,22 :
I
80 A 7,993 A
2,22 : 20 :
(wahrer Wert)
mit Messinstrument: Ra ers = R + Ra
2,22 :
I
80 A 7,649 A .
2,22 : 20 : 1:
Durch das Messinstrument gibt es eine Verfälschung des Stromwertes von 4,3 %:
7,993A ˆ 100 %
7,649A ˆ 95,70 %,
d. h., der vom Strommesser angezeigte Wert weicht 4,3 % vom wahren Wert ab.
Ergänzend soll noch die Ersatzspannungsquelle errechnet werden, um die Gleichungen (2.91) bis
(2.95) erläutern zu können:
U q1 U q2 200 V 160 V
R i1 R i2
80 A
4:
5:
177,78 V .
U q ers
1
1
1
1
1
2,22 :
R i1 R i2
5: 4 :
58
2 Gleichstromtechnik
2.2.7 Messung von Widerständen
Ein ohmscher Widerstand ist definiert durch den Quotienten aus Spannungsabfall UR am ohmschen Widerstand und der Stromstärke I des durch den Widerstand fließenden Stroms:
R
UR
.
I
(2.96)
Deshalb lässt sich durch Messungen der Spannung U und des Stroms I ein ohmscher Widerstand ermitteln. Prinzipiell werden zwei Messschaltungen für die Messung von großen und
kleinen Widerständen unterschieden, weil sich entweder bei der Spannungsmessung oder bei
der Strommessung Fehler durch die Messinstrumentenwiderstände ergeben.
Stromrichtige Messschaltung zur Messung von großen Widerständen:
Bei der Messung von großen Widerständen wird der durch den Widerstand R fließende Strom
I ohne Verfälschung gemessen, weil der Strom durch den Widerstand auch durch das Amperemeter fließt und angezeigt wird. Die gemessene Spannung U ist um den Spannungsabfall UA
am Amperemeter größer als die Spannung UR, die den Widerstand bestimmt. Der gemessene
Widerstand RM ergibt sich also aus
RM
U
I
UR UA
I
RM = R + 'R
mit
UR UA
I
I
'R =
UA
I
(2.97)
(2.98)
RA.
Bild 2.40
Stromrichtige Widerstandsmessung
Bei der Messung von großen Widerständen R ist der Widerstand des Amperemeters so klein,
dass die Spannungsmessung wenig verfälscht wird; die Spannung am Amperemeter ist vernachlässigbar klein im Vergleich zur Spannung am ohmschen Widerstand: UA << UR.
Für die Ermittlung kleiner Widerstände (z. B. in der Größenordnung der Amperemeterwiderstände) ist die Schaltung nur dann geeignet, wenn der Amperemeterwiderstand RA bekannt ist
und entsprechend berücksichtigt wird.
2.2 Der verzweigte Stromkreis
59
Spannungsrichtige Messschaltung zur Messung von kleinen Widerständen:
Der Spannungsabfall UR am ohmschen Widerstand R wird direkt und damit unverfälscht gemessen, weil Widerstand und Voltmeter parallel geschaltet sind. Durch das Amperemeter fließt
der um IV vermehrte Strom IA. Der gemessene Widerstand RM ergibt sich aus
RM
UR
IA
UR
I IV
(2.99)
Bild 2.41
Spannungsrichtige Widerstandsmessung
oder in Leitwerten ausgedrückt
I IV
UR
GM
IA
UR
GM
G 'G
I
I
V
UR UR
mit
'G
(2.100)
IV
UR
GV
1
.
RV
(2.101)
Nach der Stromteilerregel (Gl. (2.58)) ist
IV
I
R
,
RV
(2.102)
d. h., der Widerstand des Voltmeters muss im Vergleich zum kleinen ohmschen Widerstand R
sehr hochohmig sein, damit der gemessene Strom IA nur durch einen geringen Strom IV verfälscht wird: I >> IV. Bei der Messung von großen Widerständen wäre der gemessene Strom
für den gesuchten Widerstand nicht zu verwenden, weil der Strom IV gegenüber dem Strom I
nicht mehr vernachlässigbar ist.
Die Größen ohmscher Widerstände genau zu messen, ermöglicht die Gleichstrombrücke nach
Wheatstone, die nur aus ohmschen Widerständen und einem empfindlichen Strommesser besteht. Bei drei bekannten Widerständen lässt sich ein unbekannter Widerstand ermitteln. R1,
R2, R3 und R4 sind die ohmschen Widerstände, I1, I2, I3 und I4 sind Zweigströme der Messbrücke, und der Strommesser mit dem Widerstand RA kann kleine positive und negative Ströme IA messen. Die Brücken-Eckpunkte sind mit den Buchstaben A, B, C und D bezeichnet.
60
2 Gleichstromtechnik
Bild 2.42
Wheatstone-Messbrücke
Nachdem die Richtungen der Zweigströme und die Umlaufrichtungen der Maschen – wie
eingezeichnet – festgelegt wurden, können die Maschengleichungen der Maschen ADC und
BCD nach der Maschenregel (Abschnitt 2.2.1, Gl. (2.38)) aufgestellt werden:
Masche ADC: – I3 ˜ R3 – IA · RA + I1 ˜ R1 = 0,
(2.103)
I2 ˜ R2 + IA · RA – I4 ˜ R4 = 0.
(2.104)
Masche BCD:
Aus den beiden Maschengleichungen lässt sich IA ˜ RA eliminieren:
IA ˜ RA = I1 ˜ R1 – I3 ˜ R3 = – I2 ˜ R2 + I4 ˜ R4.
(2.105)
Die Brücke heißt abgeglichen, wenn die Spannung zwischen den Punkten C und D Null ist,
d. h., wenn der Strom durch das Amperemeter Null ist. Dann ist die Spannung IA ˜ RA Null,
und es ergeben sich die Beziehungen zwischen Strömen und Widerständen:
I1·R1 – I3·R3 = 0
und
I1·R1 = I3·R3
– I2·R2 + I4·R4= 0
I2·R2 = I4·R4
I1 R 3
=
I 3 R1
(2.106)
I2 R 4
=
I4 R 2
(2.107)
Bei Abgleich der Brücke sind außerdem zwei Zweigströme gleich, weil der Diagonalzweig
stromlos ist: I1 = I2 und I3 = I4. Dadurch werden obige Proportionen gleich und die Abgleichbedingung der Wheatstonebrücke lässt sich in ohmschen Widerständen ausdrücken:
R3
R1
R4
R2
oder
R1
R2
R3
.
R4
(2.108)
Bei der Messung eines unbekannten ohmschen Widerstandes (z. B. R1) mit Hilfe der eben
beschriebenen Wheatstonebrücke ist zunächst mit einem anderen variierbaren Widerstand
(z. B. R2) der Abgleich einzustellen. Der Abgleich wird mit dem empfindlichen Strommesser
kontrolliert. Mit den beiden restlichen bekannten Widerständen (z. B. R3 und R4) lässt sich
dann der unbekannte Widerstand nach der Abgleichbedingung berechnen.
2.2 Der verzweigte Stromkreis
61
Eine praktische Ausführung der Wheatstonebrücke ist die Schleifdraht-Messbrücke, in der die
Widerstände R3 und R4 durch einen Drahtwiderstand mit gleichmäßigen Querschnitt A gebildet werden. Auf diese Weise wird die Widerstandsmessung auf eine Längenmessung zurückgeführt. RX ist der unbekannte Widerstand, RN ein genau einstellbarer Normwiderstand.
Bild 2.43 Wheatstonebrücke als Schleifdrahtmessbrücke ausgeführt
Die Einstellung des Schleifers wird solange verändert, bis die Brücke abgeglichen ist, bis also
zwischen den Punkten C und D keine Spannung auftritt und das Nullinstrument (Amperemeter) keinen Strom anzeigt. Die Abgleichbedingung ergibt sich aus Gl. (2.108):
R1
R2
R3
R4
R1
R2
RX
RN
R3
R4
U ˜ l3
A
U ˜ l4
A
l3
.
l4
(2.109)
Die Formel für den unbekannten Widerstand RX lautet dann mit l4 = l – l3
RX
RN ˜
l3
l4
RN ˜
l3
.
l l3
(2.110)
Technische Ausführungen von Messbrücken enthalten umschaltbare Normalsätze von Widerständen, die um Zehnerfaktoren veränderbar sind. Die Schieberskala trägt direkt das Verhältnis
l3/(l – l3). Der abgelesene Wert wird dann mit dem dekadischen Wert des Normwiderstandes
RN multipliziert.
62
2 Gleichstromtechnik
2.2.8 Der belastete Spannungsteiler
Der unbelastete Spannungsteiler (Abschnitt 2.1.4) besteht aus der Reihenschaltung von zwei
Widerständen, die vom gleichen Strom durchflossen sind; der Abgriff zwischen den Widerständen ist stromlos. Es gilt dann die Spannungsteilerregel (Gl. (2.35))
U1
U
R1
R1 R 2
U2
U
R2
.
R1 R 2
und
(2.111)
Bild 2.44
Unbelasteter Spannungsteiler
Ist parallel zum Teilwiderstand R2 ein Belastungswiderstand R3 geschaltet, dann verzweigt
sich der Strom I1 in die Teilströme I2 und I3:
I 1 = I2 + I3 .
(2.112)
Bild 2.45
Belasteter Spannungsteiler
2.2 Der verzweigte Stromkreis
63
Wird die Schleiferstellung des Potentiometers verändert, ändern sich auch die Spannung U2
und der Belastungsstrom I3. Im Folgenden soll dieser Zusammenhang entwickelt werden:
Mit Hilfe der Spannungsteilerregel ergibt sich für den belasteten Spannungsteiler
U2
U
R 2 || R 3
R1 R 2 || R 3 U2
U
R 2R 3
R 2 R3
§ R R ·
R1 ¨¨ 2 3 ¸¸
© R 2 R3 ¹
R 2R 3
R1R 2 R 3 R 2 R 3
(2.113)
mit R1 = R – R2
(2.114)
R 2R3
U2
U
R R 2 R 2 R 3 R 2 R 3
R 2R3
R R 2 R 3 R 22 R 2 R 3 R 2 R 3
,
(2.115)
wobei sich – R2R3 und + R2R3 aufheben.
Der Teilwiderstand R2 wird als Teil des Gesamtwiderstandes R ausgedrückt:
R2 = v ˜ R
mit
0 d v d 1,
vRR 3
U2
U
R vR R 3 v R
2
U2
U
vR 3
2
(2.116)
RvR 3
,
ª
R ˜ « vR+R 3 v 2 R º»
¬
¼
U2 = U ˜
oder
2
R(v v ) R 3
vR 3
.
R ˜ (v v 2 ) R 3
(2.117)
(2.118)
Der Strom durch den Belastungswiderstand R3 ist durch die Spannung U2 bestimmt:
I3
U2
R3
U˜
v
R ˜ v-v 2 R 3
.
(2.119)
Erfasst der Schleifer den gesamten Widerstand mit R2 = R und v = 1 (im Bild Schleifer oben),
dann ist der Strom I3 durch R3 maximal
I3max
U
.
R3
(2.120)
64
2 Gleichstromtechnik
Das Stromverhältnis I3/I3max und das Spannungsverhältnis U2/U in Abhängigkeit vom Belastungswiderstand R3 und von der Schleiferstellung v sind durch eine Formel darstellbar:
I3
I 3max
U2
U
v
.
R
˜ (v v 2 ) 1
R3
(2.121)
Zwei Grenzfälle für die Größe des Belastungswiderstandes R3 können mit obiger Formel bestätigt werden:
R3 o f bedeutet der unbelastete Spannungsteiler
U2
U
v
R2
R
(2.122)
R3 = 0 bedeutet Kurzschluss des Teilwiderstandes R2 und U2 = 0:
mit Gl. (2.119) ergibt sich
I3
U˜
I3
U˜
v
R˜ vv
1
R(1 v)
2
(2.123)
U
R vR
U
R R2
U
R1
I1 .
(2.124)
Die Formeln für I3/I3max und U2/U in Abhängigkeit von v = R2/R mit dem Parameter R/R3
sind gleich, also in einem Koordinatensystem als gleiche Kurven darstellbar. Die Kurven weisen eine vom Parameter R/R3 abhängige Krümmung auf. Je kleiner R3 gegenüber R ist, um so
stärker ist die Krümmung.
Wenn v = 1 ist, handelt es sich um eine Parallelschaltung von R und R3, denn R2 = R und
R1 = 0. Damit ist I3/I3max = U2/U = 1, d. h. U2 = U und I3 = I3max.
Bild 2.46
Strom- und Spannungsverläufe
des belasteten Spannungsteilers
2.2 Der verzweigte Stromkreis
65
Beispiel:
Für den belasteten Spannungsteiler (Bild 2.45) soll der Strom I2 in Abhängigkeit von der Schleiferstellung v ermittelt werden. Gegeben sind U = 24V und R = 1 000:.
1. Zunächst ist mit Hilfe von entsprechenden Schaltbildern der Strom I2 bei v = 0 und bei v = 1
anzugeben.
2. Dann ist allgemein die Formel für den Strom I2 in Abhängigkeit von U, R, R3 und v zu entwickeln. Diese soll dann in die normierte Form
R
I2
f(v)
mit
als Parameter überführt werden.
R3
I 2max
3. Schließlich soll der Verlauf der normierten Funktion mit v = 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 und 1
einmal mit R3 = 100: und zum anderen mit R3 = 10k: berechnet und in einem Diagramm
dargestellt werden.
Lösung:
v = 1:
Zu 1.
v = 0:
R2 = v · R = R
R2 = v · R = 0
U
24 V
U
24 V
I 2 = I1 =
I2 =
R 1000 :
R 1000 :
I2 = 24 mA
I2 = 24 mA
Bild 2.47 Beispiel zum belasteten Spannungsteiler
Zu 2.
Mit
I2 =
U2
R2
und Gl. (2.118)
vR 3
U2 = U ˜
R ˜ (v v 2 ) R 3
I2 =
vR 3
U
˜
R 2 R ˜ (v v 2 ) R 3
und R2 = v R
I2 =
U ˜ R3
ª
R ˜ R(v v 2 ) R 3 º
¬
¼
U
ªR
º
R˜«
v v 2 1»
R
¬ 3
¼
66
2 Gleichstromtechnik
ergibt sich
I2
I 2max
Zu 3.
I2
U/R
1
.
R
(v v 2 ) 1
R3
R3 = 100 :
R
R3
1 000 :
100 :
10
v
0
0,1
I2/I2max
1
0,526 0,323 0,286 0,323 0,526
0,3
0,5
0,7
0,9
1
1
v
0
0,1
1
I2/I2max
1
0,991 0,979 0,976 0,979 0,991
R3 = 10 k:
R
R3
1 000 :
10 000 :
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1
Bild 2.48
Beispiel zum belasteten Spannungsteiler
2.2.9 Kompensationsschaltungen
Die Grundschaltung der Spannungskompensation kann aus dem belasteten Spannungsteiler
abgeleitet werden, indem der Belastungswiderstand R3 durch eine Quellspannung Uqx ersetzt
wird.
Bild 2.49
Grundschaltung der Spannungskompensation
2.2 Der verzweigte Stromkreis
67
Mit Hilfe der Spannungskompensation können Spannungen genau gemessen werden, ohne die
Messspannung zu beeinflussen. Im Folgenden soll die Bedingungsgleichung für die unbekannte Spannung mit Hilfe von zwei Maschengleichungen entwickelt werden; die Maschenumläufe
sind im Schaltbild eingetragen:
Masche I: U = I1R1 + I2R2
mit I1 = I2 + I3
U = (I2 + I3)R1 + I2R2 = I2(R1 + R2) + I3R1
mit R = R1 + R2
U = I2R + I3R1
U I 3R1
I2 =
R
Masche II: Uqx – I2R2 + I3RA = 0
(2.125)
(2.126)
(2.127)
(2.128)
(2.129)
(Soll für die Spannungsquelle ein Innenwiderstand berücksichtigt werden,
dann wird er genauso behandelt wie der Amperewiderstand RA: Statt I3RA
muss dann I3 (RA + Rix) stehen.)
Uqx = I2R2 – I3RA
I2 =
U qx I3R A
R2
(2.130)
.
Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen für I2 ergibt sich die Formel für den Strom I3:
U I 3 R1
R
U qx I3R A
(2.131)
R2
UR2 – I3R1R2= UqxR + I3RAR
I3 =
UR 2 U qx R
R A R R1 R 2
.
(2.132)
Der Schleifer am variablen Widerstand lässt sich so verschieben, dass die am Teilwiderstand
R2 anliegende Spannung U2 gleich der Quellspannung Uqx ist; die Spannung Uqx kompensiert
die Spannung U2. Im Zustand der Kompensation ist der Spannungsteiler unbelastet, denn der
Belastungsstrom I3 ist Null. Die Spannungsteilerregel
U2
U
R2
R
U qx
U
(2.133)
umgeschrieben in
U ˜ R2 = Uqx ˜ R
(2.134)
bestätigt in der Gleichung für den Belastungsstrom I3 (Gl. (2.132)) die Kompensationsbedingung, dass bei Spannungskompensation auch der Strom I3 Null ist.
68
2 Gleichstromtechnik
In der angegebenen Grundschaltung der Spannungskompensation ist U eine konstante Hilfsspannung, z. B. einer Akkumulatorenbatterie, und Uqx die zu bestimmende Quellspannung.
Der Schleifer am Widerstand R wird so eingestellt, dass das empfindliche Galvanometer keinen Strom mehr anzeigt; dann ist die Spannungsquelle Uqx unbelastet. Die im Zustand der
Kompensation anliegende Quellspannung Uqx ist so groß wie die abgegriffene Spannung U2.
Die Messung von Uqx wird nicht von einem Messinstrument oder der übrigen Messanordnung
beeinflusst. Die unbekannte Spannung ergibt sich dann aus
U qx
U
R2
.
R
(2.135)
Selbstverständlich lassen sich auch beliebige Spannungen, z. B. an stromdurchflossenen Widerständen oder zwischen beliebigen Punkten eines Netzes mit Hilfe der Spannungskompensation messen, ohne die Messspannung durch Belastung der Messanordnung zu beeinflussen.
Eine Messung mittels Messinstrument bedeutet immer eine Belastung der Messspannung.
Spannungsmessungen, bei denen eine noch größere Genauigkeit verlangt wird, lassen sich
mittels zweifacher Kompensation bei Verwendung eines Normalelementes durchführen.
Bild 2.50 Zweifache Spannungskompensation
Zuerst wird in der unteren Stellung des Umschalters die Normalspannungsquelle kompensiert,
deren Quellspannung auf vier Ziffern genau bekannt ist. Damit ergibt sich durch Grob- und
Feineinstellung ein Widerstandswert RN. Bei Kompensation gilt
U qN
U
RN
.
R
(2.136)
Dann wird durch den zweipoligen Umschalter in der oberen Stellung die unbekannte Spannung Uqx bzw. Ux an die Messschaltung angelegt und kompensiert. Es ergibt sich ein ablesbarer Widerstandswert Rx. Bei Kompensation gilt
Ux
U
Rx
.
R
(2.137)
2.2 Der verzweigte Stromkreis
69
Während beider Kompensationen bleibt die Hilfsspannung U konstant, weil die Hilfsspannungsquelle bei beiden Kompensationen jeweils vom Widerstand R belastet wird. Der Spannungsabfall infolge des Innenwiderstandes der Hilfsspannungsquelle kann also keinen Fehler
bewirken. Damit können beide Proportionen zusammengefasst werden:
Ux
Rx
U qN
RN
U
,
R
(2.138)
und die unbekannte Spannung kann unabhängig von der Hilfsspannung auf vier Ziffern genau
berechnet werden:
Ux
Rx
U qN .
RN
(2.139)
2.2.10 Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung
und umgekehrt
Teile eines Netzwerks, die aus Reihen- und Parallelschaltungen bestehen und die keine Spannungs- oder Stromquellen enthalten, lassen sich zu einem Ersatzwiderstand zusammenfassen
und mit der Spannungsteiler- und Stromteilerregel berechnen.
Besteht ein Netzwerkteil aus einer Brückenschaltung von ohmschen Widerständen, dann lassen sich Ströme und Spannungen nicht mit der Spannungsteiler- und Stromteilerregel ermitteln. Wendet man eine Dreieck-Stern-Transformation oder eine Stern-Dreieck-Transformation
an, dann wird das Netzwerkteil eine Schaltung aus in Reihe und parallel geschalteten Widerständen.
Bild 2.51 Dreieck- und Sternschaltung in einer Brückenschaltung
70
2 Gleichstromtechnik
Die Dreieckschaltung von Widerständen
zwischen den Punkten A, B und C der
Brückenschaltung lässt sich in eine Sternschaltung umwandeln, wenn die Spannungen zwischen den Eckpunkten gleich bleiben:
UAC = U2
UBC = U1
UBA = U3
Andererseits lässt sich auch die Sternschaltung von Widerständen zwischen den
Punkten B, C und D der Brückenschaltung
mit dem Sternpunkt A in eine Dreieckschaltung von Widerständen überführen, wobei
ebenfalls die Spannungen zwischen den
Punkten unverändert bleiben müssen:
UBC = U1,
UDB = U4
UDC = U5 + U2
Bild 2.52 Durch Transformationen umgewandelte Brückenschaltungen
Ehe die Brückenschaltung weiter verfolgt wird, sollen die beiden Arten der Transformation
gesondert behandelt werden:
Dreieck-Stern-Transformation
Bild 2.53 Transformation einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung
2.2 Der verzweigte Stromkreis
71
Wenn die Spannungen zwischen zwei Eckpunkten der Sternschaltung und der Dreieckschaltung jeweils gleich sein sollen, dann muss bei der Sternschaltung und bei der Dreieckschaltung
zwischen den jeweiligen Punkten der gleiche Gesamtwiderstand vorhanden sein:
RAB = R3 || (R1 + R2) = R1' R '2
und
RAB =
R 3 ˜ (R1 R 2 )
R1 R 2 R 3
R1' R '2
(2.140)
RBC =
R1 ˜ (R 2 R 3 )
R1 R 2 R 3
R'2 R'3
(2.141)
RCA =
R 2 ˜ (R1 R 3 )
R1 R 2 R 3
R1' R '3 .
(2.142)
Die Widerstände der Dreieckschaltung R1, R2 und R3 sind gegeben, die Widerstände der
Sternschaltung R1', R'2 und R '3 gesucht. Deshalb müssen die Gleichungen entsprechend umgeformt werden.
Zunächst wird Gl. (2.141) von Gl. (2.140) subtrahiert:
(R1' R '2 ) (R '2 R 3' )
R 3 (R1 R 2 ) R1 (R 2 R 3 )
R1 R 2 R 3
(2.143)
R1' R 3'
R 3R1 R 3R 2 R1R 2 R1R 3
R1 R 2 R 3
(2.144)
R1' R 3'
R 2 R 3 R1R 2
.
R1 R 2 R 3
(2.145)
Zur Gl. (2.145) wird Gl. (2.142) addiert:
R 2 R 3 R1R 2 R 2 R1 R 2 R 3
.
R1 R 2 R 3
R1' R 3' R1' R 3'
(2.146)
Damit ergibt sich die Formel für den Sternwiderstand R1' in Abhängigkeit von den drei Dreieckwiderständen:
R1'
R 2R 3
.
R1 R 2 R 3
(2.147)
Die beiden anderen Sternwiderstände können analog berechnet werden und ergeben die Formeln:
R '2
R 3 R1
,
R1 R 2 R 3
(2.148)
R 3'
R1R 2
.
R1 R 2 R 3
(2.149)
Für die Umrechnung von Dreieckwiderständen in Sternwiderstände lautet die Merkregel:
Sternwiderstand
Produkt der beiden Dreieckwiderstände
.
Summe aller Dreieckwiderstande
72
2 Gleichstromtechnik
Stern-Dreieck-Transformation
Bild 2.54 Transformation einer Sternschaltung in eine Dreieckschaltung
Bei einer Stern-Dreieck-Umwandlung sind die Widerstände R1' , R '2 und R 3' gegeben und die
Widerstände R1, R2 und R3 gesucht. Die Umrechnungsformeln für die Dreieck-SternTransformation (Gl. (2.147) bis (2.149)) werden zunächst dividiert:
R1'
R '2
R2
,
R1
R '2
R '3
R1'
R3
,
R2
R 3'
R3
.
R1
(2.150)
Dann werden in den Gln. (2.147) bis (2.149) die unbekannten Widerstandsverhältnisse ersetzt,
z. B.
R1'
R 2R 3
R1 R 2 R 3
R3
R1
R2
R 2 R3
1
R 1 R1
R1'
R 3'
R2
1
R1'
R '2
R1'
(2.151)
R 3'
und nach den gesuchten Größen aufgelöst, z. B.
R2
R1'
R 3' §¨ R1' R1' ·¸
1
R1' ¨© R '2 R 3' ¸¹
§ R' R' ·
R 3' ¨1 '1 1' ¸.
¨ R
¸
2 R3 ¹
©
(2.152)
Die Formeln für die Dreieckwiderstände in Abhängigkeit von den Sternwiderständen lauten
damit:
R2
R' R'
R1' R 3' 1 ' 3
R2
R1' R '2 R '2 R 3' R1' R 3'
R1
R '2 R 3' R '2 R 3'
R1' R '2 R '2R 3' R1' R 3'
R1'
R3
R1' R '2 R1'
R1' R '2
R 3'
(2.153)
R '2
R1' R '2 R '2 R 3' R1' R 3'
R 3'
(2.154)
.
(2.155)
2.2 Der verzweigte Stromkreis
73
Werden die Widerstände durch Leitwerte ersetzt, dann ergeben sich für die Stern-DreieckTransformation Umrechnungsformeln, die der Dreieck-Stern-Transformation analog sind.
Mit Gv = 1/Rv lassen sich die Widerstandsgleichungen in Leitwertform ausdrücken, z. B.
Gl. (2.151):
Aus
R1'
R1'
R 3'
R2
1
R1'
R '2
(2.156)
R1'
R 3'
ergibt sich
G 3'
G2
G1'
G1'
1
G '2
G1'
G1' G 3'
G 3'
G1'
G1' G '2 G 3'
(2.157)
und entsprechend
G1
G3
G 3' G '2
(2.158)
G1' G '2 G 3'
G1' G '2
G1' G '2 G 3'
.
(2.159)
Für die eingangs dieses Abschnitts behandelte Brückenschaltung können nun die entwickelten
Formeln angewendet werden. Bei der Umformung des linken Dreiecks der Brückenschaltung
in die äquivalente Sternschaltung entsprechen die Indizes zufällig den Indizes der allgemeinen
Umformung, so dass die Formeln für die gesuchten Widerstände R1' , R '2 und R 3' den Gleichungen (2.147) bis (2.149) entsprechen. Bei der Umformung des unteren Sterns der Brücke
mit dem Sternpunkt A in eine äquivalente Dreieckschaltung lauten die Formeln für die Dreieckwiderstände nach den Gleichungen (2.153) bis (2.155)
R "2
R3 R5 R 3R 5
R2
R "3
R 2 R5 R 2R 5
R3
R "5
R2 R3 R 2R 3
R5
Anmerkung: Dualität in der Gleichstromtechnik
Die am Ende des Abschnitts 2.2.4 beschriebene Gesetzmäßigkeit zwischen Reihenschaltung und
Parallelschaltung, Spannungen und Strömen, Widerständen und Leitwerten kann durch die Dualität Dreieckschaltung und Sternschaltung ergänzt werden:
Die Widerstandsgleichungen der Dreieck-Stern-Transformation entsprechen den Leitwertgleichungen der Stern-Dreieck-Transformation und umgekehrt.
74
2 Gleichstromtechnik
Übungsaufgaben zu den Abschnitten 2.1 und 2.2
2.1
Von vier verschiedenen Grundstromkreisen sind die in folgender Tabelle eingetragenen Werte
gegeben. Berechnen Sie die restlichen Zahlenwerte:
Stromkreis
1
2
3
4
2.2
2.3
2.4
Uq
V
50
30
12
6
Ri
:
I
A
Ui
V
1,5
0,5
1
U
V
48
10
Ra
:
30
10
40
Bei einer Klemmenspannung von 54V fließt durch eine Spannungsquelle ein Strom von 3A, bei
Kurzschluss erhöht sich der Strom auf 30A. Ermitteln Sie die Quellspannung und den Innenwiderstand der Spannungsquelle.
Für ein Volta-Element wird eine Leerlaufspannung von 1,1V gemessen. Wird ein äußerer Widerstand von 5: an das Element angeschlossen, sinkt die Klemmenspannung auf 0,9V. Ermitteln Sie
den Innenwiderstand der Spannungsquelle.
Mit der skizzierten Schaltung lassen sich unbekannte Widerstände Rx mit Hilfe eines Strommessers direkt anzeigen. Die Skala des Strommessers wird nichtlinear in Ohmwerte geteilt. Rv ist ein
Korrekturwiderstand.
1. Berechnen Sie RA und RV, wenn durch den Strommesser bei Endausschlag ein Strom von
3mA fließt und eine Spannung von 60mV anliegt.
2. Berechnen Sie die Ströme bei Rx = 10:, 100:, 1 000:, 10 000: und bei Leerlauf. Wie viel
Skalenteile zeigt der Strommesser jeweils an, wenn die Skala in 30 gleiche Teile zerlegt wird.
Bild 2.55
Übungsaufgabe 2.4
2.5
An eine Spannungsquelle mit Uq = 100V und Ri = 200: ist ein nichtlinearer Widerstand R(I) mit
folgenden Größenpaaren U = f (I) angeschlossen:
U in V
I in mA
2.6
5 10 15 20
152 265 321 359
30 50 70
400 410 411
90
411
110
437
1. Stellen Sie die Kennlinie des passiven Zweipols dar.
2. Überlagern Sie der gezeichneten Kennlinie die Kennlinie des aktiven Zweipols.
3. Geben Sie den Klemmenstrom I und die Klemmenspannung U an und errechnen Sie den
Gleichstromwiderstand Ra. Ermitteln Sie außerdem für diesen Arbeitspunkt den differentiellen Widerstand Rd.
An ein Potentiometer mit 600 Windungen liegt eine Spannung von 30V an. Berechnen Sie die
Windungszahlen, die abgegriffen werden müssen, um die Spannungen 0,5V, 1V, 2V, 10V und
20V zu erhalten.
Übungsaufgaben zu den Abschnitten 2.1 und 2.2
2.7
75
Für einen Vielfach-Spannungsmesser mit drei Spannungsbereichen 1,5V, 7,5V und 30V sind die
Vorwiderstände R1, R2 und R3 zu berechnen. Bei Vollausschlag beträgt die Spannung am Messinstrument U0 = 0,075V bei einem Instrumentenwiderstand R0 = 30:.
Bild 2.56
Übungsaufgabe 2.7
2.8
2.9
Gleiche Spannungsquellen mit je Uq = 1,5V und Ri = 1: sind in Reihe geschaltet, um bei Belastung mit einem äußeren Widerstand von 20: einen Strom von 0,5A zu erreichen. Leiten Sie zunächst die Formel für die Anzahl n der Spannungsquellen ab, ehe Sie die Zahlenwerte berücksichtigen.
Von der Stromverzweigung zweier paralleler Widerstände R1 und R2 mit den Teilströmen I1 und
I2, dem Gesamtstrom I und der Spannung U sind die in folgender Tabelle eingetragenen Werte
gegeben. Berechnen Sie die fehlenden Zahlenwerte:
Stromverzweigung
1
2
3
4
2.10
U
V
100
12
I1
A
0,5
I2
A
0,1
I
A
R1
:
R2
:
10 mA
5 mA
4
300
200
6
700
Rers
:
100
In der skizzierten Schaltung sind die Teilspannungen U1, U2 und U3 und sämtliche Ströme zu
berechnen.
Bild 2.57
Übungsaufgabe 2.10
2.11
2.12
Ein Normalwiderstand hat nach seiner Fertigung statt des Sollwertes von 1,000: den Wert
1,004:. Berechnen Sie den Widerstand, der zur Korrektur dem Normalwiderstand parallelgeschaltet werden muss.
An eine Spannungsquelle mit Uq = 15V und Ri = 2,4: sind drei Widerstände R1 = 12:, R2 = 7:
und R3 = 3: parallel geschaltet. Berechnen Sie den Gesamtstrom, die Spannung an den Widerständen und die Teilströme durch die Widerstände.
76
2.13
2.14
2 Gleichstromtechnik
Für ein Drehspul-Messinstrument mit einem Messwerkwiderstand von 20: soll der Messbereich
von 3mA auf 7,5mA, 15mA, 30mA, 75mA, 150mA und 300mA erweitert werden. Berechnen
Sie die dazu nötigen Parallelwiderstände.
Für einen Vielfach-Strommesser mit den Messberechen 10mA, 100mA und 1A sind die Widerstände R1, R2 und R3 zu berechnen. Bei Endausschlag beträgt der Strom durch das Drehspulmesswerk 4mA bei einem Messwerkwiderstand von 5:.
Bild 2.58 Übungsaufgabe 2.14
2.15
In der skizzierten Schaltung soll die Spannung UAB mittels eines Spannungsmessers (Messbereich 10V, bezogener Widerstand 250:/V) ermittelt werden.
1. Berechnen Sie die Spannung UAB ohne Spannungsmesser.
2. Auf welchen Wert sinkt die Spannung UAB, wenn der Spannungsmesser angeschlossen wird?
Wie groß ist der Fehler der Anzeige?
3. Wie lässt sich der Fehler vermindern und wie sogar vermeiden?
Bild 2.59 Übungsaufgabe 2.15
2.16
Drei parallel geschaltete Spannungsquellen sind mit einem Widerstand Ra belastet. Strom I und
Spannung U sind gesucht.
1. Überführen Sie schrittweise die drei Spannungsquellen in eine Ersatzspannungsquelle, indem
Sie jeweils die Schaltbilder und die zugehörigen Formeln angeben.
Bild 2.60 Übungsaufgabe 2.16
2. Berechnen Sie mit den allgemeinen Formeln die Quellspannung Uq ers und den Innenwiderstand Ri ers, wenn Uq1 = 24V, Ri1 = 12:, Uq2 = 16V, Ri2 = 12:, Uq3 = 8V und Ri3 =12:
betragen.
3. Berechnen Sie den Strom I und die Spannung U, wenn Ra = 8: ist. Wie groß muss der Außenwiderstand sein, damit der Strom maximal ist?
Übungsaufgaben zu den Abschnitten 2.1 und 2.2
2.17
2.18
2.19
2.20
77
Die Lichtmaschine eines Automobils mit einer Quellspannung Uq1 = 15,6V und einem Innenwiderstand Ri1 = 0,2: ist an eine Batterie mit der Quellspannung Uq2 = 12,6V und einem Innenwiderstand Ri2 = 0,01: parallel geschaltet und mit einem Verbraucher Ra = 1,2: belastet.
1. Wandeln Sie die beiden Ersatzspannungsquellen in äquivalente Stromquellen um und fassen
Sie diese zu einer Ersatzstromquelle zusammen. Berechnen Sie für den Grundstromkreis den
Strom durch den Verbraucher.
2. Berechnen Sie anschließend die Teilströme durch die beiden parallel geschalteten Spannungsquellen.
Ein Widerstand von 30: wird einmal in der spannungsrichtigen Schaltung und zum anderen in
der stromrichtigen Schaltung mit den gleichen Messgeräten gemessen. Der Strommesser zeigt in
der spannungsrichtigen Schaltung 707mA und in der stromrichtigen Schaltung 645mA an. Der
Spannungsmesser zeigt in beiden Schaltungen 20V an.
1. Entwickeln Sie die Gleichungen für den Spannungsmesser-Widerstand RV und den Strommesser-Widerstand RA.
2. Berechnen Sie RV und RA mit den Zahlenwerten.
Die Größe eines konstanten Widerstandes R soll mit der spannungsrichtigen Messschaltung
ermittelt werden. Der Widerstand des Strommessers RA beträgt 1:.
1. Leiten Sie zunächst die Gleichung für den Widerstand R in Abhängigkeit von UR, RV und IA ab.
2. Ermitteln Sie dann die Strommesseranzeige IA, wenn die Gerätekonstante des Strommessers
kA = 1mA/Skt. und der Strommesserausschlag 140 Skalenteile (Skt.) betragen. Die Spannungsmesseranzeige ohne Messbereichserweiterung UR0 ist anschließend zu ermitteln, wenn
die Gerätekonstante des Spannungsmesser kV = 10mV/Skt. und der Spannungsmesserausschlag 130 Skalenteile betragen.
3. Berechnen Sie dann den Spannungsmesserwiderstand RV und die Spannungsmesseranzeige
UR, wenn das Messwerk des Spannungsmessers einen Widerstand RV0 = 200: besitzt und
der Messbereich durch einen Vorwiderstand RVv = 9 800: erweitert wird.
4. Mit der oben allgemein abgeleiteten Formel ist nun der Widerstand R zu ermitteln.
5. Geben Sie die prozentuale Abweichung des Widerstandes an, wenn der Einfluss des Messgerätewiderstandes nicht berücksichtigt werden würde und nur die angezeigten Messwerte in
die Rechnung eingehen.
6. Berechnen Sie schließlich den Fehler, der sich bei Anwendung der stromrichtigen Schaltung
ergeben würde. Gehen Sie davon aus, dass der Widerstandswert R berechnet ist.
Für eine nichtabgeglichene Wheatstone-Messbrücke als Schleifdrahtmessbrücke ausgeführt
(siehe Bild 2.43) soll der Strom IA durch das Galvanometer mit RA bei Verstellung des Schleifers
errechnet werden.
1. Entwickeln Sie die Gleichung für den Strom IA durch das Galvanometer in Abhängigkeit von
den Widerständen R1, R2, R3, R4 und RA und der Spannung U, indem Sie die Brücke in einen
aktiven und einen passiven Zweipol aufteilen: nur der Strommesser wird dem passiven Zweipol und der Rest der Brücke dem aktiven Zweipol zugeordnet.
2. Berechnen Sie den Strom IA, wenn
R1 = Rx = 100:
R2 = RN = 100:
R3 + R4 = 1,000:
RA = 100:
mit l = 1m
U = 2V
betragen und der Schleifer um 1mm von der Mitte des Schleifdrahtes verschoben wird.
78
2.21
2 Gleichstromtechnik
Mittels Dehnungsmessstreifen lassen sich Zug- und Druckkräfte in Änderungen von ohmschen
Widerständen umsetzen, die als Wheatstonebrücke zusammengeschaltet werden.
1. Ermitteln Sie zunächst die Ersatzschaltelemente Iq ers und Ri ers des äquivalenten Grundstromkreises mit Ra ers = RA. Beachten Sie, dass in der Schaltung eine Stromeinprägung I, also eine Stromquelle, angenommen ist.
2. Berechnen Sie anschließend die Abhängigkeit des auf den Quellstrom I bezogenen Stroms
durch das Galvanometer IA von der Widerstandsänderung 'R:
IA
f('R).
I
Bild 2.61 Übungsaufgabe 2.21
2.22
Die skizzierte Wheatstonebrücke mit drei gleichen Nickelinwiderständen R und einem Platinwiderstand Rp eignet sich für Temperaturmessungen. Bei 20°C sind alle vier Widerstände gleich, so
dass die Spannung UCD Null ist. Bei höheren Temperaturen sind auf Grund der verschiedenen
Temperaturkoeffizienten die Widerstände R und Rp unterschiedlich, so dass die Spannung UCD
mit wachsender Temperatur ansteigt.
1. Leiten Sie zunächst die Formel für die Spannung UCD in Abhängigkeit von Rp, R und U ab.
2. Berücksichtigen Sie die Temperaturabhängigkeit der Widerstände durch die Temperaturkoeffizienten D20 und DP20.
3. Berechnen Sie für '- = 50ºC, 80ºC und 100ºC die Spannungen UCD, wenn
D20 = 0,23 ˜ 10–3ºC–1 und DP20 = 0,002ºC–1 und U = 10V betragen.
Bild 2.62 Übungsaufgabe 2.22
2.23
Durch den Belastungswiderstand R3 des belasteten Spannungsteilers (Bild 2.45) fließt ein Strom
I3 = 3A. Die anliegende Spannung U beträgt 100V, und die Spannungsteilerwiderstände betragen
R1 = 20: und R2 = 15:.
1. Berechnen Sie aus den gegebenen Werten den Belastungswiderstand R3.
2. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit Hilfe des normierten Diagramms des belasteten Spannungsteilers (Bild 2.46).
Übungsaufgaben zu den Abschnitten 2.1 und 2.2
2.24
2.25
2.26
79
In einer Transistorschaltung wird der belastete Spannungsteiler mit U = 24V, R1 = 1,5M: und
R2 = 100 kŸ (Bild 2.45) verwendet, wobei R3 die Belastung infolge des Transistors ist.
1. Berechnen Sie den Belastungsstrom I3 und die Spannung U2 in Abhängigkeit vom Belastungswiderstand R3 für folgende Werte:
R3 = 0:, 25k:, 50k:, 93,75k:, 100k:, 200k:, 300k:, 500k:, 1M:, f.
Stellen Sie die Verläufe in einem Diagramm dar.
2. Erläutern Sie die drei charakteristischen Betriebszustände anhand des Ersatz-Grundstromkreises
mit Ersatzspannungsquelle für R3 = 0, R3 = f und R3 = Ri.
Mit Hilfe der zweifachen Spannungskompensation (siehe Bild 2.50) soll die Quellspannung Uqx
einer Spannungsquelle gemessen werden. Bei der Kompensation der Normalspannung
UqN = 1,02V beträgt der obere kleine Widerstand 0,4: (Feineinstellung) und der untere große
Widerstand 4: (Grobeinstellung). Bei der Kompensation der unbekannten Quellspannung betragen die Widerstandswerte 0,8 bzw. 6:. Ermitteln Sie Uqx.
Für die skizzierte Schaltung ist der Widerstand zwischen den Punkten A und B mit Hilfe einer
Dreieck-Stern-Transformation oder einer Stern-Dreieck-Transformation mit folgenden Widerstandswerten zu berechnen:
R1 = 50:,
R5 = 30:,
R2 = R4 = 20:,
R3 = R6 = 10:.
Bild 2.63 Übungsaufgabe 2.26
80
2 Gleichstromtechnik
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
Für ein Gleichstrom-Netzwerk, in dem Spannungsquellen, Stromquellen und ohmsche Widerstände gegeben sind, sollen die Zweigströme und Spannungen berechnet werden. Die Richtungen der Spannungsquellen und Stromquellen sind durch Zählpfeile vorgegeben.
2.3.1 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze (Zweigstromanalyse)
Lösungsweg:
1. Kennzeichnung der Richtung der Zweigströme
Ist die Stromrichtung nicht vorauszusagen, dann ist sie beliebig anzunehmen. Die Berechnung ergibt negative Ströme, wenn die Stromrichtung falsch vorausgesagt wurde.
2. Aufstellen der k – 1 Knotenpunktgleichungen
Für ein Netzwerk mit k Knotenpunkten ergeben sich k – l voneinander unabhängige Knotenpunktgleichungen mit Hilfe der Knotenpunktregel. Die Gleichungen sind voneinander
linear abhängig, wenn sie sich aus einer oder mehreren Knotenpunktgleichungen ableiten
lassen. Stromquellen im Netzwerk werden als Ein- und Ausströmungen in jeweils zwei
Knotenpunkten und in den Knotenpunktgleichungen berücksichtigt. Sie sind also keine
Zweige, denn sie haben einen unendlich großen Widerstand:
Bild 2.64
Beispiel zur Behandlung von Stromquellen bei
der Zweigstromanalyse
3. Willkürliche Festlegung der Maschen-Umlaufrichtungen und
Aufstellen der unabhängigen Maschengleichungen nach der Maschenregel
Für die Berechnung eines Netzwerkes sind z Gleichungen mit z unbekannten Zweigströmen notwendig, k – 1 Knotenpunktgleichungen sind bereits aufgestellt. Dazu kommen
noch die unabhängigen Maschengleichungen für die Spannungen der Maschen, die man
erhält, wenn nach jedem Maschenumlauf die behandelte Masche aufgetrennt gedacht wird.
Diese Trennstelle wird in einem Zweig des Netzes durch zwei Striche gekennzeichnet. Ein
neuer Maschenumlauf darf nicht über diese Trennstelle erfolgen. Nach dem Umlauf wird
eine zweite Trennstelle vorgesehen, die beim dritten Umlauf nicht überschritten werden
darf, usw. Ist wegen der eingezeichneten Trennstellen kein Umlauf mehr möglich, sind alle
unabhängigen Maschengleichungen aufgestellt. Nun ist noch zu kontrollieren, ob die k – 1
Knotenpunktgleichungen und die unabhängigen Maschengleichungen z Gleichungen ergeben.
4. Auflösen des Gleichungssystems nach den gesuchten Strömen und Spannungen
Handelt es sich um kleine Netze, können das Eliminationsverfahren, das Einsetzverfahren,
das Determinantenverfahren (Abschnitt 2.3.6.3), das Bilden der inversen Matrix (Abschnitt
2.3.6.2) oder der Gaußsche Algorithmus (Abschnitt 2.3.6.3) angewendet werden. Bei größeren Netzen sollte ein Rechner zu Hilfe genommen werden, für den z. B. der Gaußsche
Algorithmus programmiert wird.
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
81
1. Beispiel:
Gegeben ist die skizzierte Schaltung, in der der Strom I5 durch den Widerstand R5 mit Hilfe der
Kirchhoffschen Sätze zu berechnen ist.
Bild 2.65
Beispiel 1 für die Zweigstromanalyse
Lösung:
Anzahl der Zweige bzw. notwendigen Gleichungen: z = 3
Anzahl der Knotenpunkte: k = 2
Bild 2.66
Zum Beispiel 1 für die Zweigstromanalyse
Knotenpunktgleichung und unabhängige Maschengleichungen:
k – 1 = 1:
I 1 = I3 + I5
Masche I:
– Uq1 + I1R1 + I3R3 – Uq2 + I1R2 = 0
Masche II:
– Uq1 + I1R1 + I5R5 + I5R4 + I1R2 = 0
Nach den unbekannten Zweigströmen geordnetes Gleichungssystem:
– I3
0 = I1
Uq1 + Uq2 = I1(R1 + R2) + I3R3
Uq1 = I1(R1 + R2)
– I5
+ I5(R4 + R5)
(2.160)
(2.161)
(2.162)
Lösen des Gleichungssystems nach dem Eliminationsverfahren: Gl. (2.161) minus Gl. (2.162):
Uq1 + Uq2 = I1(R1 + R2) + I3R3
= I1(R1 + R2)
+ I5(R4 + R5)}
– {Uq1
Uq2 =
I3R3 – I5(R4 + R5)
(2.163)
Gl. (2.162) minus (R1 + R2) * Gl. (2.160):
+ I5(R4 + R5)
Uq1 = I1(R1 + R2)
–{0 = I1(R1 + R2) – I3(R1 + R2) – I5(R1 + R2)}
Uq1 = I3(R1 + R2) + I5(R1 + R2 + R4 + R5)
(2.164)
82
2 Gleichstromtechnik
(R1 + R2) * Gl. (2.163) minus R3 * Gl. (2.164)):
= I3R3(R1 + R2) – I5(R1 + R2) (R4 + R5)
Uq2(R1 + R2)
= I3R3(R1 + R2) + I5R3(R1 + R2 + R4 + R5)}
– {Uq1R3
Uq2(R1 + R2) – Uq1R3 = – I5[(R1 + R2) (R4 + R5) + R3(R1 + R2 + R4 + R5)]
I5
I5
U q1R 3 U q2 (R1 R 2 )
(R1 R 2 )(R 4 R 5 ) R 3 (R1 R 2 R 4 R 5 )
U q1R 3 U q2 (R1 R 2 )
(R1 R 2 )(R 3 R 4 R 5 ) R 3 (R 4 R 5 )
(2.165)
Wird bei den Spannungsquellen mit EMK Ei gerechnet, muss jede Masche zweimal umlaufen
werden. Das Gleichungssystem kann sofort geordnet aufgeschrieben werden:
– I3
0 = I1
E1 +E2 = I1(R1 +R2) + I3R3
E1 = I1(R1 + R2)
– I5
+ I5(R4 + R5)
Es kann auf die gleiche Weise gelöst werden wie das geordnete Gleichungssystem mit Quellspannungen.
2. Beispiel:
Für das skizzierte Gleichstrom-Netzwerk ist das Gleichungssystem für Zweigströme nach der
Zweigstromanalyse aufzustellen.
Bild 2.67 Beispiel 2 für die Zweigstromanalyse
Lösung:
Anzahl der Zweige bzw. notwendigen Gleichungen: z = 9
Anzahl der Knotenpunkte: k = 5
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
83
Bild 2.68 Zum Beispiel 2 für die Zweigstromanalyse
Knotenpunktgleichungen und unabhängige Maschengleichungen:
k1:
0 = I1 – I2 – I4 – I3 – Iq
k2:
0 = I3 – I6 – I7
k3:
0 = I7 – I8 – I9 + Iq
k4:
0 = I4 + I6 + I8+ I9+ I5
I:
–Uq + I2R2 + I1R1 = 0
II:
–I2R2 + I4R4 – I5R5 = 0
III:
I3R3 + I6R6 – I4R4 = 0
IV:
–I6R6 + I7R7 + I8R8 = 0
V:
–I8R8 + I9R9 = 0
Nach den unbekannten Zweigströmen geordnetes Gleichungssystem:
– I2
– I3
– I4
Iq = I 1
0 =
I3
– I6
– I7
– Iq =
I7
– I8
0 =
I4
+ I5
+ I6
+ I8
Uq = I1R1 + I2R2
0 =
– I2R2
+ I4R4 – I5R5
0 =
I3R3 – I4R4
+ I6R6
0 =
– I6R6 +I7R7
+ I8R8
0 =
– I8R8
Gleichungssystem in Matrizenschreibweise:
(Erläuterung siehe Abschnitt 2.3.6.1)
ª I q º ª 1
«
» «
« 0 » « 0
« I q » « 0
«
» «
« 0 » « 0
« U » = « R
« q » « 1
« 0 » « 0
« 0 » « 0
«
»
« 0 » « 0
«
» «
« 0
¬ 0 ¼ ¬
1
1
1
0
0
0
R2
R 2
0
0
0
1
0
0
0
0
R3
0
0
0
0
1
0
R4
R 4
0
0
0
0
0
1
0
R 5
0
0
0
0
1
0
1
0
0
R6
R 6
0
0
1
1
0
0
0
0
R7
0
0
0
1
1
0
0
0
R8
R 8
0
0
1
1
0
0
0
0
R9
º
»
»
»
»
»
» ˜
»
»
»
»
»
»
¼
– I9
+ I9
+ I9R9
ª I1 º
« »
«I 2 »
« I3 »
« »
«I 4 »
«I »
« 5»
«I6 »
«I »
« 7»
« I8 »
« »
«¬ I9 »¼
Das Gleichungssystem kann mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus gelöst werden (siehe Abschnitt 2.3.6.3). Sind Zahlenwerte gegeben, kann auch ein Rechner die Zweigströme berechnen.
84
2 Gleichstromtechnik
3. Beispiel:
Für das skizzierte Gleichstrom-Netzwerk mit den gegebenen Stromeinspeisungen Ia = 6,5A
und Ib = 4,8A, den Quellspannungen Uq1 = 16V und Uq2 = 10V und den Widerständen R1 = 2:,
R2 = 0,4: und R3 = 5: sind die Zweigströme, der abfließende Strom Ic und die Potentiale in den
Punkten B, C, D und E gesucht.
Bild 2.69
Beispiel 3 für die Zweigstromanalyse
Lösung:
Anzahl der Zweige bzw. notwendigen Gleichungen: z = 3
Anzahl der Knotenpunkte: k = 3
Bild 2.70
Zum Beispiel 3 für die Zweigstromanalyse
Knotenpunktgleichungen:
A:
B:
C:
Ia + I2= I1
I1= Ib + I3
I3= I2 + Ic
Eine der Knotenpunktgleichungen ist für die Netzberechnung nicht notwendig. Werden die Knotenpunktgleichungen für die Punkte A und B in der Berechnung berücksichtigt, dann ist die Gleichung für den Punkt C überflüssig. Wie die folgende Addition der drei Gleichungen zeigt, ist die
Gleichung für den Punkt C von den beiden anderen linear abhängig:
I a + I 2 + I1 + I3 = I1 + Ib + I3 + I2 + Ic
Ia = Ib + Ic.
Das Netzwerk kann hinsichtlich der zu- und abfließenden Ströme als Knotenpunkt aufgefasst
werden. Der 1. Kirchhoffsche Satz (Abschnitt 2.2.2) lautet in allgemeiner Form:
Die Summe aller vorzeichenbehafteten Ströme, die durch eine Hüllfläche fließen, ist Null
(Abschnitt 3.2.2, elektrisches Strömungsfeld).
Die Hüllfläche ist für das Beispiel um das gesamte Netzteil zu denken; die Punkte A, B und C
liegen auf der Hüllfläche.
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
85
Die Maschengleichung lautet entsprechend des festgelegten Umlaufs:
I1R1 – Uq1 + I3R3 + Uq2 + I2R2 = 0.
Die gesuchten Ströme können nun berechnet werden:
aus Gl. (2.168)
mit Gl. (2.166)
und Gl. (2.167)
Ic = Ia – Ib = 6,5A – 4,8A = 1,7A
I2 = I1 – Ia
I3 = I1 – Ib.
in Gl. (2.169) eingesetzt ergibt sich I1:
I1R1 – Uq1 + (I1 – Ib) R3 + Uq2 + (I1 – Ia) R2 = 0
I1(R1 + R2 + R3) = Uq1 – Uq2 + IaR2 + IbR3
U q1 U q2 I a R 2 I b R 3
I1
R1 R 2 R 3
16 V 10 V 6,5 A ˜ 0,4 : 4,8 A ˜ 5 :
4,4A
I1
2 : 0,4 : 5 :
mit Gl. (2.167)
mit Gl. (2.166)
I3 = I1 – Ib = 4,4A – 4,8A = – 0,4A,
I2 = I1 – Ia = 4,4A – 6,5A = – 2,1A.
Sowohl der Strom I2 als auch der Strom I3 fließen bei den gegebenen Größen in umgekehrter
Richtung als angenommen: die Zahlenwerte sind negativ.
Die Knotenpunktgleichung für den Punkt C kann zur Kontrolle der Ergebnisse herangezogen
werden:
I3 = I2 + Ic = – 2,1A + 1,7A = – 0,4A.
Mit Hilfe der Maschengleichung (Gl. (2.169)) lassen sich die gesuchten Potentiale ermitteln:
UAD + UDB + UBC + UCE + UEA = 0
I1R1 – Uq1 + I3R3 + Uq2 + I2R2 = 0
UAD = MA – MD = I1R1 = 4,4A ˜ 2: = 8,8V
UDB = MD – MB = – Uq1 = – 16V
UBC = MB – MC = I3R3 = – 0,4A ˜ 5: = – 2V
UCE = MC – ME = Uq2 = 10V
UEA = ME – MA = I2R2 = – 2,1A ˜ 0,4Ÿ = – 0,84V
MD = MA – 8,8V = – 8,8V
mit MA = 0:
MB = MD + 16V = – 8,8V + 16V = 7,2V
MC = MB + 2V = 7,2V + 2V = 9,2V
ME = MC – 10V = 9,2V – 10V = – 0,8V
Probe:
ME – MA = – 0,8V | – 0,84V.
86
2 Gleichstromtechnik
Spannungen, elektrische Potentiale und Ströme lassen sich in Abhängigkeit der Widerstände in
einem Diagramm darstellen:
Bild 2.71 Zum Beispiel 3 für die Zweigstromanalyse: Darstellung des Potentialverlaufs
2.3.2 Netzwerkberechnung mit Hilfe des Überlagerungssatzes
(Superpositionsverfahren)
Das Überlagerungs- oder Superpositionsprinzip ist von allgemeiner physikalischer Bedeutung:
In einem physikalischen System, in dem Wirkungen linear von den Ursachen abhängen,
lässt sich zunächst jeweils die Wirkung von nur einer Ursache ermitteln. Die resultierende Wirkung aller Ursachen ergibt sich dann als Summe der Einzelwirkungen.
Beispiele:
Durchbiegung eines eingespannten Metallstabes infolge mehrerer Kräfte,
Berechnung der Feldstärke oder des elektrischen Potentials in einem Punkt, verursacht durch
mehrere Punktladungen (Abschnitt 3.3.3).
Für elektrische Netze lautet das Überlagerungsprinzip: (Satz von Helmholtz1))
Die Ströme in den Zweigen eines linearen Netzwerks sind gleich der Summe der Teilströme in den betreffenden Zweigen, die durch die einzelnen Quellspannungen und
Quellströme hervorgerufen werden. Lineares Netzwerk bedeutet, dass zwischen den
Strömen und Spannungen lineare Zusammenhänge bestehen.
1)
Helmholtz, deutscher Physiker und Physiologe, 1821–1894
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
87
Lösungsweg:
1. Kennzeichnung der Richtung der Zweigströme
Ist die Stromrichtung nicht vorauszusagen, dann ist sie beliebig anzunehmen. Die Berechnung ergibt negative Ströme, wenn die Stromrichtung falsch vorausgesagt wurde.
2. Nullsetzen und Kurzschließen aller Quellspannungen und Nullsetzen und Unterbrechen
aller Quellströme bis auf eine Quellspannung oder einen Quellstrom
Innenwiderstände verbleiben in der Schaltung. Es empfiehlt sich, die Schaltung mit nur
einer Spannungs- oder Stromquelle noch einmal zu zeichnen.
3. Berechnen des von der einen Quellspannung oder von dem einen Quellstrom verursachten
Teilstroms in dem Zweig, in dem der Zweigstrom ermittelt werden soll
Da nur eine Energiequelle in der Schaltung wirkt, kann in den meisten Fällen die Stromrichtung in dem betreffenden Zweig vorausgesagt werden. Die Richtung des Teilstroms
kann dabei auch entgegengesetzt zur angenommenen Richtung des unter 1. vereinbarten
Richtung des gesamten Zweigstroms verlaufen.
4. Nullsetzen und Kurzschließen aller Quellspannungen und Nullsetzen und Unterbrechen
aller Quellströme bis auf eine zweite Quellspannung oder einen zweiten Quellstrom und
Berechnen des Teilstroms in dem betreffenden Zweig
5. Berechnen der Teilströme in dem betreffenden Zweig auf Grund einer dritten, vierten,...
Energiequelle
Es ergeben sich so viele Teilströme, wie Spannungs- und Stromquellen in der Schaltung
vorhanden sind.
6. Aufsummieren der Teilströme bei Beachten der Vorzeichen der Teilströme
Teilströme, die die gleiche Richtung haben wie der unter l. vereinbarte gesuchte Zweigstrom, werden positiv berücksichtigt. Die Teilströme, die entgegengesetzt gerichtet sind,
gehen negativ in die Berechnung ein.
1. Beispiel:
Das Beispiel l der Zweigstromanalyse im vorigen Abschnitt soll mit Hilfe des Überlagerungssatzes berechnet werden, damit ein Vergleich beider Verfahren möglich ist.
Gegeben ist die skizzierte Schaltung, in der der Strom I5 durch den Widerstand R5 zu ermitteln
ist.
Bild 2.72
Beispiel 1 für das Superpositionsverfahren
88
2 Gleichstromtechnik
Lösung:
Zunächst wird die Quellspannung Uq2 kurzgeschlossen. Nur die Quellspannung Uq1 wirkt im
Netzwerk, so dass die Zweigströme I1Uq1 und I5Uq1 fließen:
Bild 2.73
Zum Beispiel 1 des Superpositionsverfahrens, Uq1 wirkt
I5 Uq
1
I1Uq
1
R3
,
R3 R 4 R5
I1Uq
U q1
R 3 ˜ (R 4 R 5 )
R1 R 2 R3 R4 R5
1
U q1 ˜ R 3
I5U q1
(R1 R 2 )(R 3 R 4 R 5 ) R 3 (R 4 R 5 )
.
Dann wird die Quellspannung Uq1 kurzgeschlossen, so dass nur die Quellspannung Uq2 wirkt:
Bild 2.74
Zum Beispiel 1 des Superpositionsverfahrens, Uq2 wirkt
I 5 Uq
2
I 3 Uq
2
I5U q2
R1 R 2
,
R1 R 2 R 4 R 5
I3 Uq
2
U q2
(R1 R 2 ) ˜ (R 4 R 5 )
R3 R1 R 2 R 4 R 5
U q2 ˜ (R1 R 2 )
R 3 (R1 R 2 R 4 R 5 ) (R1 R 2 )(R 4 R 5 )
.
Beide Teilströme werden vorzeichenbehaftet überlagert, wobei die Nenner gleich sind:
I5
I5
I5U q1 I5U q2
U q1 ˜ R 3 U q2 ˜ (R1 R 2 )
(R1 R 2 )(R 3 R 4 R 5 ) R 3 (R 4 R 5 )
.
Dieses Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis der Zweigstromanalyse (Gl. (2.165)) überein.
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
89
2. Beispiel:
Für die skizzierte Schaltung mit zwei Stromquellen ist der Strom I2 durch den Widerstand R2 gesucht.
Bild 2.75
Beispiel 2 für das Superpositionsverfahren
Lösung:
Zunächst wird die Stromquelle Iq2 geöffnet und der Teilstrom durch den Widerstand R2 berechnet, der durch den Quellstrom Iq1 verursacht wird:
Bild 2.76
Zum Beispiel 2 für das Superpositionsverfahren,
Iq1 wirkt
I 2 Iq
1
I q1
R1 R 3
,
R1 R 2 R 3 R 4
I 2 Iq
1
R1 R 3
I
R1 R 2 R 3 R 4 q1
Dann wird die Stromquelle Iq1 geöffnet und der Teilstrom durch den Widerstand R2 berechnet,
der durch den Quellstrom Iq2 hervorgerufen wird:
Bild 2.77
Zum Beispiel 2 für das Superpositionsverfahren,
Iq2 wirkt
I 2 Iq
I q2
2
R3 R4
,
R1 R 2 R 3 R 4
I 2 Iq
2
R3 R4
I q2
R1 R 2 R 3 R 4
Schließlich werden die beiden Teilströme überlagert:
I2
I 2 Iq I 2 Iq
1
(R1 R 3 ) ˜ I q1 (R 3 R 4 ) ˜ I q2
2
R1 R 2 R 3 R 4
.
90
2 Gleichstromtechnik
2.3.3 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Zweipoltheorie (Zweipolverfahren)
Durch die Netzwerkberechnung nach der Zweipoltheorie wird das gegebene GleichstromNetzwerk in einen Grundstromkreis überführt, wobei der gesuchte Zweigstrom gleich dem
Belastungsstrom des Grundstromkreises ist bzw. die gesuchte Spannung gleich der Klemmenspannung des Grundstromkreises ist. Nach der Überführung kann der Strom bzw. die Spannung nach den Formeln für den Grundstromkreis (Gl.(2.78) bis (2.81) bzw. (2.84) bis (2.87))
berechnet werden.
Wie bereits im Abschnitt 2.2.5 behandelt, gibt es zwei mögliche Ersatzschaltungen für ein
Gleichstromnetz:
die Spannungsquellen-Ersatzschaltung und
die Stromquellen-Ersatzschaltung.
Lösungsweg:
1. Aufteilung des Netzwerks in einen aktiven und einen passiven Zweipol
Die Aufteilung muss so vorgenommen werden, dass der gesuchte Zweigstrom von der oberen Klemme des aktiven Zweipols in die obere Klemme des passiven Zweipols und von der
unteren Klemme des passiven Zweipols in die untere Klemme des aktiven Zweipols oder
umgekehrt fließt bzw. die gesuchte Spannung zwischen den Klemmen der Zweipole liegt.
2. Berechnung der Ersatzschaltung des aktiven Zweipols
Ersatzspannungsquelle
Ersatzstromquelle
oder
mit Uq ers = Ul und Ri ers
mit Iq ers = Ik und Ri ers
3. Berechnung der Ersatzschaltung des passiven Zweipols
Ersatz-Außenwiderstand Ra ers
4. Ermittlung des gesuchten Stroms oder der gesuchten Spannung mit Hilfe der Ersatzschaltung (Grundstromkreis)
Spannungsquellen-Ersatzschaltung s. Gln. (2.84) und (2.85)
Stromquellen-Ersatzschaltung s. Gln. (2.86) und (2.87)
1. Beispiel:
Das Beispiel 1 der Zweigstromanalyse und nach dem Überlagerungssatz soll auch mit Hilfe der
Zweipoltheorie behandelt werden, um die Verfahren miteinander vergleichen zu können.
Gegeben ist die skizzierte Schaltung, in der der Strom I5 durch den Widerstand R5 zu ermitteln ist.
Bild 2.78
Beispiel 1 für die Zweipoltheorie
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
91
Lösung:
Die Schaltung wird zunächst in den aktiven und passiven Zweipol aufgeteilt und anschließend in
den Grundstromkreis überführt. Beide Möglichkeiten sollen behandelt werden:
Bild 2.79 Zum Beispiel 1 für die Zweipoltheorie, Aufteilung in aktiven und passiven Zweipol
Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle:
U q ers U l :
Bild 2.80 Zum Beispiel 1 für die Zweipoltheorie, Ermittlung der Ersatz-Quellspannung
Ul
mit I
Ul
Ul
Ul
U q2 I ˜ R 3
U q1 U q2
R1 R 2 R 3
U q2 (U q1 U q2 )R 3
R1 R 2 R 3
U q2 (R1 R 2 R 3 ) (U q1 U q2 )R 3
R1 R 2 R 3
U q2 (R1 R 2 ) U q1R 3
R1 R 2 R 3
U q ers
92
2 Gleichstromtechnik
R i ers :
R i ers
(R1 R 2 ) ˜ R 3
R1 R 2 R 3
R a ers
R4 R5
R a ers :
Bild 2.81 Zum Beispiel 1 für die Zweipoltheorie, Ermittlung der Widerstände
U q2 (R1 R 2 ) U q1R 3
I5 I5
I5
U q ers
R i ers R a ers
R1 R 2 R 3
(R1 R 2 )R 3
R4 R5
R1 R 2 R 3
U q1R 3 U q2 (R1 R 2 )
(R1 R 2 )R 3 (R 4 R 5 )(R1 R 2 R 3 )
U q1R 3 U q2 (R1 R 2 )
(R1 R 2 )(R 3 R 4 R 5 ) R 3 (R 4 R 5 )
Dieses Ergebnis stimmt mit den Ergebnissen der Beispiele 1 der Zweigstromanalyse (Gl. (2.165))
und nach dem Überlagerungssatz überein.
Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle:
I q ers I k :
Die beiden parallelgeschalteten Spannungsquellen werden zunächst in äquivalente Stromquellen
überführt und zusammengefasst:
Bild 2.82 Zum Beispiel 1 der Zweipoltheorie, Ermittlung des Ersatz-Quellstroms
Ik
Ik
I q1 I q2
U q1
R1 R 2
U q2 (R1 R 2 ) U q1R 3
(R1 R 2 )R 3
U q2
R3
I q ers
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
93
R i ers :
1
R i ers
1
1
R i1 R i2
1
R i ers
1
1
R1 R 2 R 3
R i ers
(R1 R 2 )R 3
R1 R 2 R 3
R a ers
R4 R5
R a ers :
Bild 2.83 Zum Beispiel 1 der Zweipoltheorie, Ermittlung der Widerstände
I5 I5
I5
R i ers
R i ers R a ers
I q ers
(R1 R 2 )R 3
U q2 (R1 R 2 ) U q1R 3
R1 R 2 R 3
˜
(R1 R 2 )R 3
(R1 R 2 )R 3
R4 R5
R1 R 2 R 3
U q1R 3 U q2 (R1 R 2 )
(R1 R 2 )R 3 ( R 4 R 5 )(R1 R 2 R 3 )
U q1R 3 U q2 (R1 R 2 )
(R1 R 2 )(R 3 R 4 R 5 ) R 3 (R 4 R 5 )
(vgl. mit Gl. (2.165))
2. Beispiel:
Für die im Abschnitt 2.2.7 behandelte Wheatstone-Brücke (Bild 2.42) soll der Strom IA mit Hilfe
der Zweipoltheorie ermittelt werden.
Gegeben sind die Spannung U und sämtliche Widerstände.
Lösung:
Bild 2.84 Zum Beispiel 2 der Zweipoltheorie
94
2 Gleichstromtechnik
Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle:
U q ers U l :
Bild 2.85
Zum Beispiel 2 der Zweipoltheorie,
Ermittlung der Ersatz-Quellspannung
U1 U 3
R1
U
mit U1
R1 R 2
Ul
Ul
Ul
und
U3
R3
U
R3 R4
§ R1
R3 ·
R1 (R 3 R 4 ) R 3 (R1 R 2 )
¸
¨
˜U
¨ R R R R ¸˜U
(R1 R 2 )(R 3 R 4 )
1
2
3
4
¹
©
R1R 4 R 2 R 3
U U q ers
(R1 R 2 )(R 3 R 4 )
R i ers :
Bild 2.86
Zum Beispiel 2 der Zweipoltheorie, Ermittlung des Ersatzinnerwiderstandes
R i ers
R 3R 4
R1R 2
R1 R 2 R 3 R 4
R i ers
R1R 2 (R 3 R 4 ) R 3R 4 (R1 R 2 )
(R1 R 2 )(R 3 R 4 )
R a ers
RA
R a ers :
IA
IA
R1R 4 R 2 R 3
U
(R1 R 2 )(R 3 R 4 )
R i ers R a ers R1R 2 (R 3 R 4 ) R 3 R 4 (R1 R 2 )
RA
(R1 R 2 )(R 3 R 4 )
(R1R 4 R 2 R 3 )U
R1R 2 (R 3 R 4 ) R 3 R 4 (R1 R 2 ) R A (R1 R 2 )(R 3 R 4 )
U q ers
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
95
Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle:
I q ers I k :
Bild 2.87
Zum Beispiel 2 der Zweipoltheorie, Ermittlung des ErsatzQuellstroms
Ik
I 2 I1
mit I 2
R4
I
R2 R4
und
I1
R3
I
R1 R 3
Ik
§ R
R 3 ·
4
¨
¸˜ I
©R 2 R 4 R1 R 3 ¹
Ik
R 4 (R1 R 3 ) R 3 (R 2 R 4 )
U
(R1 R 3 )(R 2 R 4 )
R1R 3 (R 2 R 4 ) R 2 R 4 (R1 R 3 )
(R1 R 3 )(R 2 R 4 )
Ik
(R1R 4 R 2 R 3 ) ˜ U
R1R 3 (R 2 R 4 ) R 2 R 4 (R1 R 3 )
mit
U
R 2R 4
R1R 3
R1 R 3 R 2 R 4
I
I q ers
R i ers :
R i ers
R1R 2 (R 3 R 4 ) R 3R 4 (R1 R 2 )
(R1 R 2 )(R 3 R 4 )
R a ers
RA
R a ers :
IA
R i ers
R i ers R a ers
I q ers
IA
R1R 2 (R 3 R 4 ) R 3R 4 (R1 R 2 )
(R1 R 2 )(R 3 R 4 )
(R1R 4 R 2 R 3 ) ˜ U
˜
R1R 2 (R 3 R 4 ) R 3R 4 (R1 R 2 )
R
R
(
R
1
3
2 R 4 ) R 2 R 4 ( R1 R 3 )
RA
(R1 R 2 )(R 3 R 4 )
IA
(R1R 4 R 2 R 3 ) ˜ U
R1R 2 (R 3 R 4 ) R 3R 4 (R1 R 2 ) R A (R1 R 2 )(R 3 R 4 )
96
2 Gleichstromtechnik
3. Beispiel:
Mit Hilfe der Zweipoltheorie soll für den belasteten Spannungsteiler die Klemmenspannung UAB
in Abhängigkeit von der Schleiferstellung v ermittelt werden.
1. Für den aktiven Zweipol ist zunächst die Ersatzspannungsquelle mit Uq ers und Ri ers in Abhängigkeit von Uq, Ri, R = R1 + R2 und v = R2/R zu ermitteln.
2. Dann sind die Formeln für Uq ers und Ri ers für vernachlässigbaren Innenwiderstand Ri zu vereinfachen.
3. Die Abhängigkeit der Ersatzgrößen von der Schleiferstellung v ist anschließend zu berechnen
und darzustellen:
U q ers
Uq
R i ers
f(v)
f(v)
R
für v = 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1
4. Schließlich ist die Klemmenspannung UAB in Abhängigkeit von der Schleiferstellung v bei
Ri = 0 aus den Ersatzgrößen zu bestimmen.
Bild 2.88 Beispiel 3 für die Zweipoltheorie
Lösung:
Zu 1.
Ul
Uq
U q ers
R i ers
R2
R Ri
Ul
R2
R
R Ri
R R
v ˜ Uq
R
1 i
R
R 2 || (R1 R i )
mit R = R1 + R2
R i ers
v
R
1 i
R
R 2 (R1 R i )
R 2 R1 R i
bzw.
R 2 (R R 2 ) R 2 R i
R Ri
R 2 R1 R 2 R i
R 2 R1 R i
R1 = R – R2
R 2R R 22 R 2R i
R Ri
R2 R 22
R
Ri 2
R
R
Ri
1
R
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
§R
R 2 2 R 2 ˜ R i ·
2
¸ R§v v 2 v R i ·
R ¨
¨
¸
¨ R
R ˜ R ¸
R2
R ¹
©
©
¹
R
R
1 i
1 i
R
R
§
R i ·
vR¨1 v +
¸
R ¹
©
R
1 i
R
R i ers
R i ers
Zu 2.
Zu 3.
97
Uq ers = v ˜ Uq
U q ers
und
v
Uq
v
U q ers
Uq
R i ers
R
und
Ri ers = v ˜ R ˜ (1 – v)
R i ers
R
v ˜ (1 v)
v v2
0
0,25
0,5
0,75
1
0
0,25
0,5
0,75
1
0
0,1875
0,25
0,1875
0
Bild 2.89
Zum Beispiel 3 für
die Zweipoltheorie
Zu 4.
U AB
U q ers
U AB
U AB
R a ers
R i ers R a ers
R a ers ˜ U q ers
R3 ˜ v ˜ Uq
R i ers R a ers
v ˜ (1 v)R R 3
v ˜ Uq
R
(v v 2 ) 1
R3
Dieses Ergebnis entspricht der Formel Gl. (2.121) im Abschnitt 2.2.8.
98
2 Gleichstromtechnik
2.3.4 Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren
Beim Maschenstromverfahren werden nur Maschengleichungen für Spannungen berücksichtigt. Deshalb sind im Gleichstromnetz vorkommende Stromquellen zunächst in äquivalente
Spannungsquellen zu überführen. Bei idealen Stromquellen mit Gi = 0 ist die Umwandlung
nicht möglich. In diesem Fall kann ein zur Stromquelle parallel geschalteter Innenwiderstand
angenommen werden, der dann im Endergebnis unendlich gesetzt wird. Das Maschenstromverfahren kann aber auch für ideale Stromquellen erweitert werden [16].
Jeder unabhängigen Masche wird dann ein geschlossener Maschenstrom zugeordnet. In den
Zweigen, die mehreren Maschen angehören, werden die Maschenströme überlagert. Die
Zweigströme sind also gleich der vorzeichenbehafteten Summe der Maschenströme, je nachdem ob die Maschenströme in dem Zweig gleich gerichtet oder entgegengesetzt gerichtet sind.
Anschließend werden die unabhängigen Maschengleichungen für die Zweigströme nach der
Maschenregel aufgestellt und zwar mit den angenommenen Maschenströmen.
Gegenüber der Netzberechnung nach den Kirchhoffschen Sätzen (Abschnitt 2.3.1) werden
beim Maschenstromverfahren die Knotenpunktgleichungen eingespart, wodurch sich in vielen
Fällen Vereinfachungen ergeben.
Lösungsweg:
1. Umwandlung sämtlicher Stromquellen in äquivalente Spannungsquellen
Bild 2.90
Behandlung von Stromquellen beim
Maschenstromverfahren
2. Jeder unabhängigen Masche wird ein Maschenstrom zugeordnet
Dabei kann die Umlaufrichtung der Maschenströme beliebig gewählt werden. Die Zuordnung der Maschenströme wird so vorgenommen, dass durch den Zweig, für den der Strom
berechnet werden soll, nur ein Maschenstrom angenommen wird, damit nach Auflösung
des Gleichungssystems nicht die Summe oder Differenz von Maschenströmen gebildet
werden muss. Es wird also mit der Festlegung des Maschenstroms begonnen, zu dem der
gesuchte Zweigstrom gehört. Anschließend wird dieser Zweig getrennt gedacht und mit
zwei Strichen gekennzeichnet. Dann wird ein neuer Umlauf mit einem neuen Maschenstrom gesucht und wieder getrennt gedacht, usw. Ist infolge der gedachten Trennstellen
kein Umlauf mehr möglich, sind sämtliche unabhängigen Maschen berücksichtigt.
3. Aufstellen der Maschengleichungen für die ausgewählten Maschen und zwar für Zweigströme
4. Berechnen des gesuchten Stroms oder der gesuchten Ströme mit Hilfe des geordneten Gleichungssystems
(Eliminationsverfahren, Cramersche Regel, Matrizenrechnung, Gaußscher Algorithmus im
Abschnitt 2.3.6.3).
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
99
1. Beispiel:
Das bereits dreimal behandelte Gleichstromnetz, jeweils Beispiel 1, soll auch mit Hilfe des Maschenstromverfahrens berechnet werden, um einen Vergleich mit anderen Netzberechnungsverfahren zu ermöglichen.
Gegeben ist die skizzierte Schaltung, in der der Strom I5 durch den Widerstand R5 zu ermitteln ist.
Bild 2.91 Beispiel 1 für das Maschenstromverfahren
Bild 2.92 Zum Beispiel 1 für das Maschenstromverfahren
Lösung (siehe Bild 2.92):
Masche I: II (R3 + R4 + R5) – III R3 + Uq2 = 0
weil II (R4 + R5) + Uq2 + (II – III) R3 = 0
Masche II: III(R1 + R2 + R3) – I1R3 – Uq2 – Uq1 = 0
weil (III – II) R3 – Uq2 + III(R1 + R2) – Uq1 = 0
Nach den unbekannten Maschenströmen geordnetes Gleichungssystem:
= – Uq2
II(R3 + R4 + R5) – IIIR3
+ III(R1 + R2 + R3) = Uq1 + Uq2
– IIR3
Auflösen des Gleichungssystems nach II = I5 mit Hilfe des Eliminationsverfahrens:
II(R3 + R4 + R5) (R1 + R2 + R3) – IIIR3(R1 + R2 + R3) = – Uq2(R1 + R2 + R3)
+ IIIR3(R1 + R2 + R3) = (Uq1 + Uq2)R3
– IIR32
Beide Gleichungen addiert, ergibt den gesuchten Strom:
II
I5
I5
U q2 (R1 R 2 R 3 ) (U q1 U q2 )R 3
(R 3 R 4 R 5 )(R1 R 2 R 3 ) R 3 2
U q1R 3 U q2 (R1 R 2 )
(R1 R 2 )(R 3 R 4 R 5 ) R 3 (R 4 R 5 )
.
Dieses Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis der Zweigstromanalyse (Gl. (2.165)) überein.
100
2 Gleichstromtechnik
2. Beispiel:
Für das skizzierte Schaltbild soll mit Hilfe des Maschenstromverfahrens das Gleichungssystem
für die Maschenströme aufgestellt werden. Es soll mit dem alten Symbol für die Spannungsquelle
(siehe Bild 2.6) gerechnet werden, damit auch die ältere Literatur verstanden werden kann.
Gesucht ist der Strom I3.
Bild 2.93 Beispiel 2 für das Maschenstromverfahren
Bild 2.94 Zum Beispiel 2 für das Maschenstromverfahren
Lösung (siehe Bild 2.94):
Wird mit EMK Ei gerechnet, kann das Gleichungssystem, nach den Maschenströmen geordnet,
sofort aufgestellt werden:
– IIIIR4
0 = II(R3 + R4 + R5) – IIIR5
E2 = – IIR5
+ III(R5 + R6 + R7) – IIII(R6 + R7)
E1 – E2 = – IIR4
– III(R6 + R7)
+IIII(R1 + R2 + R4 + R6 + R7).
Gleichungssystem in Matrizenschreibweise: (Erläuterung siehe Abschnitt 2.3.6.1)
§ 0 ·
¨
¸
¨ E2 ¸
¨E E ¸
2¹
© 1
§ R3 R 4 R5
¨
R5
¨
¨
R4
©
R5
R5 R6 R7
(R 6 R 7 )
R4
· § II ·
¸ ¨ ¸
(R 6 R 7 )
¸ ˜ ¨ I II ¸
R1 R 2 R 4 R 6 R 7 ¸¹ ¨© I III ¸¹
Wird dieses Beispiel mit Quellspannungen berechnet, dann unterscheidet sich das Gleichungssystem lediglich durch die expliziten Größen bzw. durch die explizite Spaltenmatrix (Begründung
siehe Abschnitt 1.6, Gl. (1.37))
§
·
0
¨
¸
¨ U q2 ¸
¨¨
¸¸
© U q1 U q2 ¹
§ R3 R 4 R5
¨
R5
¨
¨
R4
©
R5
R5 R6 R7
(R 6 R 7 )
R4
· § II ·
¸ ¨ ¸
(R 6 R 7 )
¸ ˜ ¨ I II ¸
R1 R 2 R 4 R 6 R 7 ¸¹ ¨© I III ¸¹
Zur Berechnung der Maschenströme kann die Matrizengleichung mit der inversen Matrix der
Verknüpfungsmatrix (Matrix der Widerstände) multipliziert werden. Mit Zahlenwerten wird das
Gleichungssystem im Abschnitt 2.3.6.3 mit der Cramerschen Regel und mit Hilfe der inversen
Matrix gelöst.
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
101
3. Beispiel:
Für die skizzierte Schaltung ist das Gleichungssystem der unabhängigen Maschenströme zu entwickeln.
Bild 2.95
Beispiel 3 für das Maschenstromverfahren
Lösung:
Zuerst muss die Stromquelle Iq2 mit dem Innenwiderstand R2 in eine äquivalente Spannungsquelle umgewandelt werden.
Bild 2.96
Zum Beispiel 3 für das Maschenstromverfahren: Umwandlung der Stromquelle
Die Parallelschaltung der Widerstände R3 und R4 kann zu einem Widerstand R34 zusammengefasst werden. Es ist einfacher, die Teilströme durch die beiden Widerstände mit Hilfe der Stromteilerregel aus dem Gesamtstrom zu berechnen als ein noch umfangreicheres Gleichungssystem
zu lösen.
Bild 2.97
Beispiel 3 für das Maschenstromverfahren
Uq1 = II(R1 + R7) + IIIR7
0 = IIR7
+ III(R34 + R5 + R7)– IIIIR5
+ IIVR34
Uq2 =
– IIIR5
+ IIII(R2 + R5 + R8) + IIVR2
Uq2 =
IIIR34
+ IIIIR2
+ IIV(R2 + R34 + R6)
Nachdem die Maschenströme berechnet sind, kann auch der Zweigstrom I2 ermittelt werden:
mit I*2
I 2 I q2
ergibt sich
mit
I2
I*2 I q2
I*2
I III I IV .
I III I IV I q2
102
2 Gleichstromtechnik
2.3.5 Netzwerkberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren
Das Knotenspannungsverfahren basiert auf dem Knotenpunktsatz und dem Ohmschen Gesetz.
Dabei wird mit den Spannungen zwischen dem jeweiligen Knotenpunkt und einem mit dem
Potential Null festgelegten Knotenpunkt gerechnet.
Verbindet eine ideale Spannungsquelle mit Ri = 0 zwei Knotenpunkte, dann wird in einem der
beiden Anschlusspunkte der Spannungsquelle das Potential Null angenommen, wodurch das
Potential des anderen Knotenpunktes über die Quellspannung bekannt ist. Mit den übrigen
Spannungen und den Leitwerten ergeben sich dann die gesuchten Zweigströme.
Einströmungen, z. B. Quellströme, lassen sich in den Knotenpunktgleichungen berücksichtigen.
Lösungsweg:
1. Kennzeichen der Knotenpunkte von 0 bis k – 1: k0, k1, k2, k3, ...
Der Knotenpunkt k0 erhält das Potential Null: M0 = 0. Zwischen den k – 1 Knotenpunkten
und dem Knotenpunkt k0 bestehen dann die k – l Spannungen Ui0 :
U10 = M1 – M0 = M1
U20 = M2 – M0 = M2
U30 = M3 – M0 = M3
#
Uk – 1,0 = Mk – 1 – M0 = Mk – 1.
2. Festlegen der Richtungen der z Zweigströme I1, I2, ... , Iz im Gleichstromnetz
Einströmungen (zu- und abfließende Ströme) und Stromquellen (Quellströme) sind vorgegeben.
3. Aufstellen der k – 1 Knotenpunktgleichungen in den Knotenpunkten k1, k2, ... nach der
Knotenpunktregel
4. Aufstellen der z Gleichungen für die Zweigströme in Abhängigkeit von den Zweigleitwerten G,
den Spannungen Ui0 und den eventuell vorhandenen Quellspannungen
Erläuterungsbeispiel:
Bild 2.98
Erläuterndes Beispiel zum Knotenspannungsverfahren
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
103
Fließt der Zweigstrom I1 vom Knotenpunkt k2 zum Knotenpunkt k1, dann wird er durch die
Spannungsdifferenz U20 – U10 getrieben.
Befinden sich zwischen den Knotenpunkten k1 und k2 Quellspannungen, dann sind diese zu der
Spannungsdifferenz U20 – U10 zu addieren, wenn die Quellspannungen entgegengesetzt zum
Zweigstrom I1 gerichtet sind, und zu subtrahieren, wenn die Quellspannungen gleichgerichtet
sind mit dem Zweigstrom I1. Im Beispiel wirkt die Quellspannung Uq1 stromtreibend (entgegengesetzt gerichtet zu I1) und die Quellspannung Uq2 stromhemmend (in gleicher Richtung wie I1).
Fließt der Zweigstrom durch mehrere in Reihe geschaltete Widerstände, dann ist deren Leitwert
zu ermitteln. Im Beispiel fließt der Zweigstrom I1 durch die beiden Widerstände R1 und R2; der
zugehörige Zweigleitwert beträgt G12 = 1/(R1 + R2).
weil
und
I1 = G12 ˜ (U20 – U10 + Uq1 – Uq2)
I1(R1 + R2) = U20 – U10 + Uq1 – Uq2
U20 – U10 = – Uq1 + Uq2 + I1(R1 + R2).
Wird mit EMK Ei gerechnet, dann sind zu der Spannungsdifferenz die EMK zu addieren, wenn
sie gleichgerichtet sind mit I1, und zu subtrahieren, wenn sie entgegengesetzt zu I1 sind:
weil
I1 = G12 ˜ (U20 – U10 + E1 – E2)
E1 – E2 = I1(R1 + R2) – (U20 – U10).
Für die übrigen k – l Zweigströme werden auf die gleiche Weise die Gleichungen ermittelt.
5. Einsetzen der Gleichungen für die Zweigströme in die Knotenpunktgleichungen und Ordnen des Gleichungssystems
Durch das Einsetzen der unter 4. entwickelten Gleichungen in die unter 3. aufgestellten
Knotenpunktgleichungen entsteht ein Gleichungssystem mit bekannten Leitwerten, gegebenen Quellspannungen und unbekannten Spannungen Ui0
6. Lösen des Gleichungssystems nach den unbekannten Spannungen Ui0 und Berechnen der
gesuchten Zweigströme I1, I2, ... , Iz
(Eliminationsverfahren, Cramersche Regel, Matrizenrechnung, Gaußscher Algorithmus im
Abschnitt 2.3.6.3).
1. Beispiel:
Das Gleichstromnetz mit zwei Spannungsquellen, das viermal mit verschiedenen Netzberechnungsverfahren jeweils als Beispiel 1 behandelt wurde, soll auch mit Hilfe des Knotenspannungsverfahrens berechnet werden, um Vergleiche der Verfahren zu ermöglichen.
Gegeben ist die skizzierte Schaltung, in der der Strom I5 durch den Widerstand R5 zu ermitteln ist.
Bild 2.99 Beispiel 1 für das Knotenspannungsverfahren
Bild 2.100 Zum Beispiel 1 für das Knotenspannungsverfahren
104
2 Gleichstromtechnik
Lösung (siehe Bild 2.100):
Anzahl der Knotenpunkte: k = 2
Knotenpunktgleichung für k1:
0 = I1 – I3 – I5
Gleichungen für die Zweigströme:
I1 = G12 ˜ (U10 – 0 + Uq1)
I3 = G3 ˜ (0 – U10 + Uq2)
I5 = G45 ˜ (0 – U10)
eingesetzt in die Knotenpunktgleichung:
0 = G12U10 + G12Uq1 + G3U10 – G3Uq2 + G45U10
und nach der unbekannten Spannung U10 aufgelöst:
U10
G12 U q1 G 3 U q2
G12 G 3 G 45
.
Damit ergibt sich der gesuchte Strom
I5
mit
G12
I5
I5
G 45 U10
1
,
R1 R 2
G12 U q1 G 3 U q2
G12 G 3 G 45
G3
1
R3
G 45
und
U q2 ·
§ U q1
1
¨
¸
¨R R R ¸R R
2
3 ¹ 4
5
© 1
1
1
1
R1 R 2 R 3 R 4 R 5
1
R 4 R5
G 45
U q1R 3 U q2 (R1 R 2 )
1
˜
(R1 R 2 )R 3
R 4 R5
R 3 (R 4 R 5 ) (R1 R 2 )(R 4 R 5 ) (R1 R 2 )R 3
(R1 R 2 )R 3 (R 4 R 5 )
U q1R 3 U q2 (R1 R 2 )
(R1 R 2 )(R 3 R 4 R 5 ) R 3 (R 4 R 5 )
(vgl. mit Gl. (2.165)).
2. Beispiel:
Für das skizzierte Schaltbild ist das Gleichungssystem für die Spannungen U10, U20, U30 nach
dem Knotenspannungsverfahren zu entwickeln. Dabei sind Ia, Ib, Ic und I0 Einströmungen.
Bild 2.101 Beispiel 2 für das Knotenspannungsverfahren
Bild 2.102 Zum Beispiel 2 für das Knotenspannungsverfahren
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
105
Lösung (siehe Bild 2.102):
Knotenpunktgleichungen:
k1: 0 = Ia – I1 – I2 – I6
k2: 0 = – Ib + I1 + I3 + I4
k3: 0 = – Ic + I2 – I3 + I5
Der Strom Io ist durch die Ströme Ia, Ib und Ic gemäß des 1. Kirchhoffschen Satzes in allgemeiner
Form (s Abschnitt 2.3.1, Beispiel 3) gegeben und wird deshalb durch die Netzberechnung nicht
erfasst:
Io = Ia – Ib – Ic.
Gleichungen für die Zweigströme:
I1 = G1(U20 – U10 + Uq1) = G1U20 – G1U10 + G1Uq1
I2 = G2(U30 – U10 + Uq2) = G2U30 – G2U10 + G2Uq2
I3 = G3(U20 – U30 + Uq3) = G3U20 – G3U30 + G3Uq3
I4 = G4(U20 – 0) = G4U20
I5 = G5(U30 – 0) = G5U30
I6 = G6(0 – U10) = – G6U10
eingesetzt in die Knotenpunktgleichungen:
k1:
k2:
k3:
0 = Ia – G1U20 + G1U10 – G1Uq1 – G2U30 + G2U10 – G2Uq2 + G6U10
0 = – Ib + G1U20 – G1U10 + G1Uq1 + G3U20 – G3U30 + G3Uq3 + G4U20
0 = – Ic + G2U30 – G2U10 + G2Uq2 – G3U20 + G3U30 – G3Uq3 + G5U30
nach den unbekannten Spannungen Ui0 geordnetes Gleichungssystem:
– Ia + G1Uq1 + G2Uq2 = U10(G1 + G2 + G6) + U20(– G1)
+ U30(– G2)
+ U20(G1 + G3 + G4) + U30(– G3)
Ib – G1Uq1 – G3Uq3 = U10(– G1)
+ U20(– G3)
+ U30(G2 + G3 + G5)
Ic – G2Uq2 + G3Uq3 = U10(– G2)
geordnetes Gleichungssystem in Matrizenschreibweise:
§I G U G U ·
1 q1
2 q2
¨ a
¸
¨ I b G 1U q1 G 3 U q3 ¸
¨ I G U G U ¸
2 q2
3 q3 ¹
© c
· §U10 ·
¸ ¨
¸
G 3
¸˜ ¨U 20 ¸
¸ ¨
¸
G 2 G 3 G 5 ¹ ©U 30 ¹
Wird das Beispiel mit EMK E berechnet, dann unterscheidet sich das Gleichungssystem lediglich
durch die expliziten Größen bzw. durch die explizite Spaltenmatrix:
Uq1 Ÿ E1 und Uq2 Ÿ E2.
Das Gleichungssystem lässt sich mit allgemeinen Größen mit Hilfe des Eliminationsverfahrens
nach den unbekannten Spannungen U10, U20 und U30 auflösen. Aus den Spannungen können
dann die Zweigströme errechnet werden.
Sind für die Spannungsquellen, Einströmungen und Widerstände Zahlenwerte gegeben, lassen
sich die Elemente der linken Spaltenmatrix und die Elemente der quadratischen Verknüpfungsmatrix berechnen. Anschließend können die unbekannten Spannungen mit Hilfe der Regeln für
die Matrizenrechnung ermittelt werden. Im Abschnitt 2.3.6.3 sind für dieses Beispiel Zahlenwerte
gewählt und die Spannungen berechnet worden.
Bei der Berechnung von größeren Netzen sollten Rechner zu Hilfe genommen werden. Die Rechenprogramme basieren nicht auf der Matrizenrechnung, sondern enthalten häufig den Gaußschen Algorithmus. Dieses Beispiel ist im Abschnitt 2.3.6.3 ebenfalls mit Hilfe des Gaußschen
Algorithmus durchgerechnet worden.
§G 1 G 2 G 6
G 1
¨
G 1
G1 G 3 G 4
¨
¨
G 2
G 3
©
G 2
106
2 Gleichstromtechnik
3. Beispiel:
Für die skizzierte Schaltung ist das Gleichungssystem für die Spannungen Ui0 aufzustellen.
Bild 2.103
Beispiel 3 für das Knotenspannungsverfahren
Lösung:
Bild 2.104
Beispiel 3 für das Knotenspannungsverfahren
Knotenpunktgleichungen:
k1: 0 = I1 – I2 – I4
k2: 0 = I2 – I3 – I5
k3: Iq = I4 + I5 – I6
Gleichungen für die Zweigströme:
I1 = G1(0 – U10 + Uq) = – G1U10 + G1Uq
I2 = G2(U10 – U20) = G2U10 – G2U20
I3 = G3(U20 – 0) = G3U20
I4 = G4(U10 – U30) = G4U10 – G4U30
I5 = G5(U20 – U30) = G5U20 – G5U30
I6 = G6(U30 – 0) = G6U30
eingesetzt in die Knotenpunktgleichungen:
– G1Uq = – G1U10 – G2U10 + G2U20 – G4U10 + G4U30
0
= G2U10 – G2U20 – G3U20 – G5U20 + G5U30
Iq = G4U10 – G4U30 + G5U20 – G5U30 – G6U30
nach den unbekannten Spannungen Ui0 geordnetes Gleichungssystem:
+ G2U20 + G4U30
– G1Uq = – (G1 + G2 + G4)U10
0
=
G2U10 – (G2 + G3 + G5)U20 + G5U30
G4U10
+ G5U20 – (G4 + G5 + G6)U30
Iq =
geordnetes Gleichungssystem in Matrizenschreibweise:
§G U · §(G G G )
· §U10 ·
G2
G4
2
4
¨ 1 q1 ¸ ¨ 1
¸ ¨
¸
G2
(G 2 G 3 G 5 )
G5
¨ 0 ¸ ¨
¸˜ ¨U 20 ¸
¸ ¨
¸
¨ I
¸ ¨
G4
G5
(G 4 G 5 G 6 )¹ ©U 30 ¹
© q ¹ ©
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
107
4. Beispiel:
Im skizzierten Schaltbild ist die Spannungsquelle ideal angenommen, d. h., der Zweigwiderstand
ist Null. Das Gleichungssystem für die Spannungen U20 und U30 ist aufzustellen; U10 = Uq ist
bekannt.
Bild 2.105 Beispiel 4 für das Knotenspannungsverfahren
Bild 2.106 Zum Beispiel 4 für das Knotenspannungsverfahren
Lösung (siehe Bild 2.106):
Knotenpunktgleichungen:
Die Knotenpunktgleichung für den Knotenpunkt k1 entfällt, weil die Spannungsquelle einen
Kurzschluss der beiden Knotenpunkte k0 und k1 bedeutet. Für den Strom I1 braucht dann die
Gleichung nicht aufgestellt zu werden.
k2: 0 = I2 – I3 – I5
k3: 0 = I4 + I5 – I6
Gleichungen für die Zweigströme:
I2 = G2(U10 – U20) = G2Uq – G2U20
I3 = G3(U20 – 0) = G3U20
I4 = G4(U10 – U30) = G4Uq – G4U30
I5 = G5(U20 – U30) = G5U20 – G5U30
I6 = G6(U30 – 0) = G6U30
eingesetzt in die Knotenpunktgleichungen:
0 = G2Uq – G2U20 – G3U20 – G5U20 + G5U30
0 = G4Uq – G4U30 + G5U20 – G5U30 – G6U30
nach den unbekannten Spannungen Ui0 geordnetes Gleichungssystem:
– G5U30
G2Uq = (G2 + G3 + G5)U20
– G5U20 + (G4 + G5 + G6) U30
G4Uq =
Mit Hilfe des Eliminationsverfahrens lassen sich die beiden Spannungen U10 und U20 einfach berechnen. Aus den Spannungen ergeben sich dann die gesuchten Zweigströme.
Das Knotenspannungsverfahren eignet sich auch für die Berechnung von stationären Temperaturfeldern. Nachdem das Feld in geeignete Volumenelemente aufgeteilt wurde, kann ein Ersatznetzwerk mit Knotenpunkten, Wärmeleitwerten und Einströmungen entwickelt werden.
Für die gesuchten Wärmepotentiale, den Temperaturen, lässt sich ein entsprechendes Gleichungssystem aufstellen und mit Hilfe von Rechnern lösen. Anwendungsbeispiel: Temperaturfeld von Hochspannungssicherungen [22].
108
2 Gleichstromtechnik
2.3.6 Matrizen und Determinanten und ihre Anwendung
bei der Netzwerkberechnung
Bei drei Verfahren der Netzberechnung (Zweigstromanalyse, Maschenstromverfahren und
Knotenspannungsverfahren) entstehen Gleichungssysteme, die nach den gesuchten Strömen
oder Spannungen aufgelöst werden müssen.
Für kleine Netze entstehen nur wenige Gleichungen, die mit dem Eliminationsverfahren oder
dem Einsetzverfahren – wie gezeigt – behandelt werden können.
Bei größeren Netzen ist das entsprechende Gleichungssystem so umfangreich, dass für die
Lösung Rechner zu Hilfe genommen werden müssen.
Ein Anwendungsbeispiel ist die Berechnung von elektrischen inhomogenen Strömungsfeldern
(Abschnitt 3.2), z. B. von Schaltkontakten, von Erdern oder von Schmelzleitern in Sicherungen. Der elektrische Leiter kann in Volumenelemente aufgeteilt werden, denen jeweils ein
elektrisches Potential zugeordnet wird. Zwischen den Volumenelementen werden homogene
oder symmetrische Strömungen angenommen, denen einfach berechenbare Widerstände oder
Leitwerte zugeordnet werden können. Es entsteht also ein Gleichstromnetzwerk, das mit den
behandelten Verfahren berechnet werden kann. Wie umfangreich das Gleichungssystem wird,
hängt von der Anzahl der Volumenelemente ab. Selbst bei großzügiger Aufteilung von 10 mal
10 mal 10 Volumenelementen in den drei räumlichen Dimensionen enthält das Gleichungssystem 1 000 Gleichungen mit 1 000 unbekannten Größen.
Steht dem Benutzer ein Lösungsprogramm für Gleichungssysteme zur Verfügung, sollte ihm
für die Eingabe der Systemdaten die Matrizenrechnung bekannt sein. Für die Erstellung eines
Programms muss der Benutzer wissen, welches der Verfahren für eine Programmierung geeignet ist. Um einen Zugang zu den Lösungsverfahren zu bekommen, sind mathematische Kenntnisse nötig, die im Folgenden dargestellt werden sollen. Gleichzeitig werden die Voraussetzungen für die Vierpoltheorie im Band 3, Kapitel 10 geschaffen, die ohne Matrizenrechnung
nicht einfach zu behandeln ist.
2.3.6.1 Matrizen
Definition einer Matrix:
Eine Matrix ist ein rechteckiges, nach m Zeilen und n Spalten geordnetes Schema von n ˜ m
Elementen, die Größen oder Zahlen sein können. Dabei bestimmen die Anzahl der Zeilen und
die Anzahl der Spalten den Typ der Matrix:
Matrix vom Typ (m, n) oder eine (m, n)-Matrix:
ªa11
«
«a 21
«a 31
«
a 41
A «
« #
«
«a i1
« #
«a
¬ m1
a12
a 22
a 32
a 42
#
a i2
a13
a 23
a 33
a 43
#
a i3
a14
a 24
a 34
a 44
#
a i4
a15
a 25
a 35
a 45
#
a i5
#
a m2
#
a m3
#
a m4
#
a m5
!
!
!
!
!
a1k
a 2k
a 3k
a 4k
#
a ik
!
#
a mk
!
!
!
!
!
!
a1n º
»
a 2n »
a 3n »
»
a 4n »
# »
»
a in »
# »
»
a mn ¼
(2.166)
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
109
Matrizen mit einer Zeile, also vom Typ (1, n), werden Zeilenmatrix oder Zeilenvektoren genannt:
A = (a1, a2, a3, ... ,an).
(2.167)
Matrizen mit einer Spalte, also vom Typ (m, 1), heißen Spaltenmatrix oder Spaltenvektor:
A
ª a1 º
«a »
« 2»
« a3 »
« »
« # »
«a m »
¬ ¼
(2.168)
Beispiel:
Spaltenmatrix der Quellströme und Quellspannungen im Gleichungssystem bei der Netzberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze oder die Spaltenmatrix der Zweigströme (Abschnitt
2.3.1.2. Beispiel).
Matrizen, bei denen die Anzahl m der Zeilen gleich der Anzahl n der Spalten ist, heißen
quadratische Matrizen. Sie werden Matrizen n-ter Ordnung genannt.
Beispiel:
Verknüpfungsmatrix im Gleichungssystem bei der Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren oder nach dem Knotenspannungsverfahren (Abschnitt 2.3.4 und Abschnitt 2.3.5).
Besondere quadratische Matrizen sind
die Diagonalmatrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen Null sind,
D
§ d1 0
¨
¨ 0 d2
¨0 0
©
0·
¸
0¸
d 3 ¸¹
für n = 3,
(2.169)
die Einheitsmatrix E, bei der alle Elemente der Hauptdiagonalen Eins und alle restlichen
Elemente Null betragen und
die symmetrische Matrix, bei der alle Elemente an der Hauptdiagonalen gespiegelt sind,
A
§ 6 3 0·
¸
¨
¨ 3 4 2¸
¨ 0 2 0¸
¹
©
für n = 3.
(2.170)
110
2 Gleichstromtechnik
Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Größen oder Zahlen, bei denen die Art und der
Platz innerhalb der Matrix entscheidend sind. Sie stellen außerdem keine Zahlenwerte dar.
Deshalb können die bei Größen und Zahlen angewendeten Rechenoperationen nicht einfach
auf Matrizen übertragen werden. Die Relationen und Operationen mit Matrizen müssen sinnvoll definiert werden. Eine Addition, Subtraktion und Multiplikation kann definiert werden,
eine Division von Matrizen aber nicht.
Gleichheit zweier Matrizen:
Zwei Matrizen sind nur dann gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind und wenn sie in allen
ihren entsprechenden Elementen übereinstimmen:
A=B
(aik) = (bik).
oder
(2.171)
Addition und Subtraktion von Matrizen:
Matrizen werden addiert oder subtrahiert, indem die einander entsprechenden Elemente addiert
oder subtrahiert werden. Es können also nur Matrizen vom gleichen Typ addiert oder subtrahiert werden.
Beispiel:
§a11 a12 ·
A ¨
¸,
©a 21 a 22 ¹
§b11 b12 ·
B ¨
¸,
©b 21 b 22 ¹
§a11 r b11
A r B ¨
©a 21 r b 21
a12 r b12 ·
¸
a 22 r b 22 ¹
(2.172)
Für die Addition von Matrizen gelten außerdem folgende Regeln:
A + B = B + A,
A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C).
(2.173)
Multiplikation einer Matrix mit einem Faktor k:
In Übereinstimmung mit der Definition der Addition von Matrizen wird eine Matrix mit einem
reellen Faktor k multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit k multipliziert wird.
Beispiel:
k˜A
§ a11 a12 ·
k ˜¨
¸
© a 21 a 22 ¹
§ k ˜ a11
¨
© k ˜ a 21
k ˜ a12 ·
¸
k ˜ a 22 ¹
(2.174)
Umgekehrt gilt selbstverständlich:
Haben alle Elemente einer Matrix einen gemeinsamen reellen Faktor k, so kann dieser vor die
Matrix gestellt werden.
1 sein.
Erweiterung: Der Faktor k kann auch die imaginäre Einheit j
Sind die Elemente einer Matrix komplex, dann kann die Matrix in zwei reelle Matrizen überführt werden.
Beispiel:
Zerlegung einer Vierpol-Koeffizientenmatrix (siehe Band 3, Abschnitt 10.5)
§ y11
¨¨
© y 21
y12 ·
¸
y 22 ¸¹
§ g11 jb11 g12 jb12 ·
¨¨
¸¸
© g 21 jb 21 g 22 jb 22 ¹
b12 ·
§ g11 g12 ·
§b
¨¨
¸¸ j ˜ ¨¨ 11
¸¸
g
g
b
b
22 ¹
22 ¹
© 21
© 21
(2.175)
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
111
Multiplikation zweier Matrizen:
Das Produkt einer (m, n)-Matrix A mit einer (n, p)-Matrix B in der Reihenfolge A ˜ B ist gleich
eine (m, p)-Matrix C = A ˜ B. Die Elemente cik ergeben sich aus dem Skalarprodukt der i-ten
Zeile des ersten Faktors A und der k-ten Spalte des zweiten Faktors B.
Erläuterung:
Aus zwei Matrizen lässt sich nur dann die Produktmatrix bilden, wenn die Spaltenzahl n des
ersten Faktors gleich der Zeilenzahl des zweiten Faktors ist. Die beiden Matrizen sind dann
verkettbar:
(m, n) ˜ (n, p) = (m, p).
Die Reihenfolge der Faktoren darf also bei der Matrizenmultiplikation nicht vertauscht werden, weil die Matrizen entweder nicht verkettbar sind oder sich bei quadratischen Matrizen
unterschiedliche Elemente ergeben.
Die Bildung der Produktmatrix soll mit n = 3 erklärt werden. Aus der Vektorrechnung ist bekannt, dass aus zwei Vektoren ein Skalarprodukt gebildet werden kann. Es bedeutet in Komponentenschreibweise:
mit
§a x ·
¨ ¸
¨a y ¸,
¨ ¸
©a z ¹
G
G
G
G
a ax e x ay e y azez
ergibt sich
G G
a˜b
G
G
G
G
b bx ex by e y bzez
§b x ·
¨ ¸
¨b y ¸,
¨ ¸
©b z ¹
a x ˜ b x a y ˜ b y a z ˜ bz .
Zunächst werden die beiden Matrizen im Falkschen Schema angeordnet, wobei der erste Faktor A unten links und der zweite Faktor B oben rechts steht. Man stelle sich dann vor, dass in
G
der i-ten Zeile der Matrix A die Komponenten
des Vektors a und in der k-ten Spalte der
G
Matrix B die Komponenten des Vektors b stehen, dann ergibt sich im Kreuzungspunkt der
i-ten Zeile und k-ten Spalte das oben angegebene Skalarprodukt
cik = axbx + ayby + azbz.
n
3
1.
1.
2.
2. 3.
B
k. Spalte
bx
by
bz
A˜B
A
#
i.
Zeile
ax
ay
az
!
cik
Auf diese Weise kann das Skalarprodukt auch für beliebig große n gebildet werden, indem
jede Zeile des ersten Faktors A und jede Spalte des zweiten Faktors B jeweils als Vektor mit n
Komponenten angenommen wird. In jedem Kreuzungspunkt erscheint dann das Skalarprodukt.
112
2 Gleichstromtechnik
Beispiele:
1. Zwei Zahlenbeispiele:
0
3
B
A
0
4
–1
0
3
–2
1
–2
B
1
0
4
–2
5
9
–8
–4
8
15
–6
A
2
–1
0
3
1
0
1
1
0
1
2
–1
C=A˜B
1
2
0
–1
3
0
4
–2
9
3
2
–7
2
1
C=A˜B
2. Multiplikation zweier quadratischer Matrizen 2. Ordnung:
A
a11
a21
b12
b22
b11
b21
B
a12
a22
a11b11 + a12b21
a21b11 + a22b21
a11b12 + a12b22
a21b12 + a22b22
3. Multiplikation einer quadratischen Matrix mit einer Spaltenmatrix:
X
A
a11
a21
a12
a22
x1
x2
a11x1 + a12x2
a21x1 + a22x2
Y=A˜X
= y1
= y2
Bei der Multiplikation einer quadratischen Matrix 2. Ordnung mit einer Spaltenmatrix des
Typs (2,1) im Beispiel 3 ist die Produktmatrix A ˜ X eine Spaltenmatrix des Typs (2,1), denn
die Zeilenzahl der quadratischen Matrix A und die Spaltenzahl der Spaltenmatrix X bestimmt
den Typ der Produktmatrix. Damit kann der Inhalt der Produktmatrix dem Inhalt einer Spaltenmatrix Y gleichgesetzt werden. Die Matrizenschreibweise Y = A ˜ X mit
§ y1 ·
¨¨ ¸¸
© y2 ¹
§ a11 a12 · § x1 ·
¨¨
¸¸ ˜ ¨¨ ¸¸
© a 21 a 22 ¹ © x 2 ¹
bedeutet also eine andere übersichtliche Schreibweise für das Gleichungssystem
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2
(2.176)
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
113
Auf die gleiche Weise können lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen in
Matrizenschreibweise übersichtlich geschrieben werden.
Damit ist auch erklärt, warum bei der Behandlung der Netzwerks-Berechnung in den Abschnitten 2.3.1, 2.3.4 und 2.3.5 die Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise angegeben
werden durften. Bei der Behandlung der Vierpoltheorie im Band 3, Kapitel 10 werden die
Vierpolgleichungen ebenfalls in Matrizenschreibweise überführt, damit die Zusammenschaltung von Vierpolen einfacher behandelt werden kann.
Multiplikation von mehr als zwei Matrizen und weitere Rechenregeln
Die Multiplikation von mehr als zwei Matrizen lässt sich auf die Multiplikation von zwei
Matrizen zurückführen:
Assoziativgesetz:
A ˜ B ˜ C = (A ˜ B) ˜ C = A ˜ (B ˜ C).
(2.177)
Sind die Addition und Multiplikation von Matrizen - wie bei der Vierpoltheorie - erforderlich,
dann gelten zwei Regeln:
Distributivgesetze:
(A + B) ˜ C = A ˜ C + B ˜ C
(2.178)
C ˜ (A + B) = C ˜ A + C ˜ B.
(2.179)
Die beiden Regeln des Distributivgesetzes dürfen nicht zusammengefasst werden, weil die
Faktoren bei der Matrizenmultiplikation nicht vertauscht werden dürfen.
Inverse Matrix oder reziproke Matrix oder Kehrmatrix
Die inverse Matrix A–1 kann aus einer Matrix A entwickelt werden, wenn die Matrix A quadratisch und ihre zugehörige Determinante det A ungleich Null ist. Ehe die inverse Matrix
behandelt werden kann, müssen die Gesetze über die Bildung von Determinanten bekannt sein.
Die inverse Matrix A–1 ist die Matrix, mit der die ursprüngliche Matrix A von rechts oder von
links multipliziert die Einheitsmatrix E (Diagonalmatrix) ergibt:
A ˜ A–1 = A–1 ˜ A = E.
(2.180)
114
2 Gleichstromtechnik
2.3.6.2 Determinanten und Bilden der inversen Matrix
Definition einer Determinante
Zu jeder quadratischen Matrix A existiert die zugehörige Determinante det A, die aus den
Elementen nach folgender Rechenvorschrift eine Größe oder eine Zahl ergibt:
a11
a12
a13
a14
"
a1n
a 21
a 22
a 23
a 24
"
a 2n
a 31
a 32
a 33
a 34
"
a 3n
a 41
a 42
a 43
a 44
"
a 4n
#
#
#
#
a n1
a n2
a n3
a n4
det A
¦ a PQ ˜ APQ
det A
(2.181)
#
"
a nn
n
.
(2.182)
Q 1
Die obige Gleichung bedeutet die Entwicklung der Determinante nach der P-ten Zeile. Dabei
ist APQ die sogenannte Adjunkte, die gleich der mit (– 1) P+Q vorzeichenbehafteten Unterdeterminante des Elementes aPQ ist. Diese ergibt sich durch Streichen derjenigen Zeile und Spalte
von det A, denen das Element aPQ angehört.
Es ist zweckmäßig, eine Determinante nach der ersten Zeile, also mit P = 1, zu entwickeln.
Beispiele:
1. Berechnung einer Determinante 2. Ordnung:
det A =
a11
a12
a 21
a 22
2
¦a
1v
mit A11 = (– 1)1+1 ˜ a22 = a22
det A =
a11
a12
a 22
a 21
˜ A1v
a11 ˜ A11 a12 ˜ A12
v 1
und
A12 (– 1)1+2 ˜ a21 = – a21
a11 ˜ a 22 a12 ˜ a 21
(2.183)
2. Berechnung einer Determinante 3. Ordnung
a11
det A
a12
a13
a 21 a 22
a 31 a 32
a 23
a 33
3
¦ a1v ˜ A1v
a11 ˜ A11 a12 ˜ A12 a13 ˜ A13
v 1
mit
A11 ( 1)11 ˜
A12
A13
a 22
a 32
( 1)1 2 ˜
a 23
a 33
a 22a 33 a 23a 32
a 21 a 23
a 31 a 33
( 1)1 3 ˜
a 21
a 31
a 22
a 32
(a 21a 33 a 23a 31 )
a 21a 32 a 22 a 31
det A = a11a 22 a 33 a11a 23 a 32 + a12 a 23 a 31 a12 a 21a 33 + a13 a 21a 32 a13 a 22 a 31
(2.184)
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
115
Die folgenden Rechenregeln für die Zeilen von Determinanten gelten entsprechend für die
Spalten:
1. Eine Determinante ist gleich Null, wenn
eine Zeile aus lauter Nullen besteht oder
zwei Zeilen einander gleich sind oder
zwei Zeilen einander proportional sind.
2. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn
die Zeilen mit den Spalten vertauscht werden oder
zu irgendeiner Zeile eine andere Zeile addiert bzw. subtrahiert wird
oder zu irgendeiner Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addiert bzw. subtrahiert wird.
3. Bei Vertauschen zweier Zeilen ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
4. Eine Determinante wird mit einer Zahl k multipliziert, indem die Elemente einer einzigen
Zeile mit k multipliziert werden.
5. Die Multiplikation zweier Determinanten wird auf die Multiplikation ihrer zugehörigen
Matrizen zurückgeführt:
(det A) ˜ (det B) = det (A ˜ B) = det (B ˜ A).
(2.185)
Beispiele zu den Rechenregeln für Determinanten:
Zu 1:
1 2 3
1 2 3
0 0 0
Zu 2:
Zu 3:
Zu 4:
0
1 2 3
1 2 3 =0
4 5 6
4
2 4
5 6
6
0
7 8 9
3 4
5 3 2 1
2 5 5 = 4 5 0 =9
1 0 2 5 5 2
3 4
3 4 5
2 5 5 =9
1 0 2
3 4
5
3 4
5
2 5 5= 2 5 5=9
1 0 2
3 5 7
5
1 0 2
9
2 5 5
3 4 5 9 4 5
3 ˜ 2 5 5 = 6 5 5 = 27
1 0 2 3 0 2
Zu 5:
2
det A ˜ det B
A˜B
2
1
–3
3
0
1
3 1
1
0 2
1 0 2 ˜ 2 2
3 1 1 1 0
–1
2
–1
3
1
1
2
–1
0
2
0
–2
3
1
9
–1
0
6
0
2
4
0
8
det (AB) = 48 – 8 = 40
(20) ˜ (2)
40
B˜A
1
2
–1
0
2
0
–2
3
1
2
1
–3
8
–3
–5
det (BA) = – 16 + 5 + 51 = 40
3
0
1
1
9
–2
–1
2
–1
1
–1
0
116
2 Gleichstromtechnik
Bilden der inversen Matrix
Bildungsvorschrift:
A
1
1 A
det A ad
ª A11
«
« A12
1 ˜ «« A13
det A « A14
« #
«
¬« A1n
A 21
A31
A 41
"
A 22
A 23
A 24
#
A32
A33
A34
#
A 42
A 43
A 44
#
"
"
"
A 2n
A3n
A 4n
"
A n1 º
»
A n2 »
A n3 »
»
A n4 »
# »
»
A nn ¼»
(2.186)
1. Überprüfung der Umkehrbarkeit der gegebenen Matrix A:
1.1 Matrix quadratisch?
1.2 det A ungleich Null?
2. Aufstellen der adjungierten Matrix Aad der Matrix A:
2.1 Bilden der Adjunkten APQ, das ist die mit dem Vorzeichenfaktor (– 1)P+Q multiplizierte Unterdeterminante des Elements aPQ, die sich durch Streichen derjenigen Zeile und
Spalte von det A ergibt, denen aPQ angehört.
2.2 Zusammenfassen der Adjunkten zu einer Matrix, indem die Zeilen mit den entsprechenden Spalten vertauscht werden. Es ergibt sich die gestürzte Matrix der Adjunkten.
3. Division der adjungierten Matrix Aad durch det A.
1. Beispiel:
§ a11 a12 ·
Bilden der inversen Matrix A–1 der Matrix A = ¨
¸ (Matrix 2. Ordnung):
© a 21 a 22 ¹
Zu 1. Die Matrix ist quadratisch und die zugehörige Determinante det A soll ungleich Null sein
mit det A = a11a22 – a12a21.
Zu 2.
A11 = (– 1)1 + 1 ˜ a22 = + a22
A12 = (–1)1 + 2 ˜ a21 = – a21
A ad
Zu 3. A
1
§ A11
¨¨
© A12
A 21 ·
¸
A 22 ¸¹
A21 = (– 1)2 + 1 ˜ a12 = – a12
A22 = (– 1)2 + 2 ˜ a11 = + a11
§ a 22 a12 ·
¨¨
¸¸
© a 21 a11 ¹
§ a 22
1
˜
a11a 22 a12 a 21 ¨© a 21
a12 ·
¸
a11 ¹
(2.187)
2. Beispiel:
§ a11 a12
¨
Bilden der inversen Matrix A–1 der Matrix A = ¨ a 21 a 22
¨a
© 31 a 32
Zu 1.
a13 ·
¸
a 23 ¸ (Matrix 3. Ordnung):
a 33 ¸¹
Die Matrix ist quadratisch und die zugehörige Determinante det A soll ungleich Null
sein (siehe Gl. (2.184)).
Zu 2. A11
(1)11 ˜
a 22
a 32
a 23
a 33
A12
(1)12 ˜
a 21 a 23
a 31 a 33
a 22a 33 a 23a 32
(a 21a 33 a 23a 31 )
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
a 31
a 22
a 32
a 21a 32 a 22 a 31
(1) 2 1 ˜
a12
a 32
a13
a 33
(a12 a 33 a13a 32 )
A 22
(1) 2 2 ˜
a11 a13
a 31 a 33
A 23
(1) 2 3 ˜
A 31
(1) 3 1 ˜
a12
a 22
A 32
(1)32 ˜
a11 a13
a 21 a 23
(a11a 23 a13a 21 )
A 33
(1)33 ˜
a11 a12
a 21 a 22
a11a 22 a12 a 21
A13
(1)13 ˜
A 21
A ad
Zu 3.
a 21
117
A
1
§ A11
¨
¨ A12
¨A
© 13
a11
a12
a 31 a 32
A 21
A 22
A 23
§ A11
1 ¨
˜ ¨ A12
det A ¨
© A13
a13
a 23
a11a 33 a13a 31
(a11a 32 a12 a 31 )
a12 a 23 a13a 22
A 31 ·
¸
A 32 ¸
A 33 ¸¹
A 21
A 22
A 23
A 31 ·
¸
A 32 ¸
A 33 ¸¹
(2.188)
3. Beispiel:
Bilden der inversen Matrix A–1 der Matrix A
§ 2 1 0·
¨
¸
¨ 0 1 2¸ :
¨3 0 1¸
©
¹
Zu 1.
Die Matrix ist quadratisch und hat den Wert det A = 2 ˜ 1 – 1 ˜ (– 6) = 8, das ist ungleich
Null.
Zu 2.
A11 A12 A13 A ad
Zu 3.
1 2
0 1
0 2
3 1
0 1
3 0
1
A 21 6
A 22 3
A 23 § 1 1 2 ·
¨
¸
2 4¸
¨ 6
¨ 3 3
2 ¸¹
©
§ 1/8 1 / 8 1 / 4 ·
¨
¸
A 1 ¨ 3 / 4
1/ 4 1/ 2¸
¨ 3 / 8 3 / 8 1/ 4 ¸
©
¹
1 0
0 1
2 0
3 1
2 1
3 0
1
A31 2
A32 3
A33 1 0
1 2
2 0
0 2
2 1
0 1
2
4
2
118
2 Gleichstromtechnik
2.3.6.3 Lösung der Netzberechnungs-Gleichungssysteme
Cramersche Regel:
Das Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen ist geordnet, so dass die gesuchten
Ströme bzw. Spannungen untereinander stehen. Die Koeffizienten der Variablen lassen sich in
einer quadratischen Matrix zusammenfassen, aus der eine Determinante D entwickelt und
berechnet werden kann.
Anschließend wird eine zweite Determinante DQ mit Q = 1, 2, 3, ... , n aus der Determinante D
abgeleitet, indem diejenige Spalte durch die von den Variablen unabhängigen Größen (links
vom Gleichheitszeichen bzw. die gegebene Spaltenmatrix) ersetzt wird, die zu der gesuchten
Variablen gehört.
Die gesuchte Variable ergibt sich schließlich aus dem Quotienten beider Determinanten nach
der Cramerschen Regel:
DQ
IQ
bzw.
D
(für Zweigstromanalyse und
Maschenstromverfahren)
UQ0
DQ
D
(für Knotenspannungsverfahren)
Beispiel 1:
Zum 1. Beispiel der Netzberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze im Abschnitt 2.3.1
(S. 81):
D
1
R1 R 2
R1 R 2
1
1
R3
0
0 R 4 R5
D5
1
R1 R 2
R1 R 2
1
0
R 3 U q1 U q2
0
U q1
R 3 (R 4 R 5 ) (R1 R 2 )(R 4 R 5 ) R 3 (R1 R 2 )
R 3 U q1 (R1 R 2 )U q1 (R1 R 2 )(U q1 U q2 )
D5 = R3Uq1 – (R1 + R2) Uq2
I5
D5
D
U q1R 3 U q2 (R1 R 2 )
(R1 R 2 )(R 3 R 4 R 5 ) R 3 ( R 4 R 5 )
(vgl. Gl. (2.165))
Beispiel 2:
Zum 2. Beispiel der Netzberechnung nach dem Maschenstromverfahren im Abschnitt 2.3.4
(S. 100) mit folgenden Zahlenwerten:
Uq1 = 10V bzw. E1 = 10V, Uq2 = 12V bzw. E2 = 12V,
R1 = 2:, R2 = 4:, R3 = 12:, R4 = 2:, R5 = 16:, R6 = 3:, R7 = 5:
Gleichungssystem in Matrizenschreibweise:
§ 0 V·
¨
¸
¨ 12 V ¸
¨ 2 V¸
©
¹
§ 30 : 16 : 2 : · § I I ·
¨
¸ ¨ ¸
24 : 8 : ¸ ˜ ¨ I II ¸
¨ 16 :
¨ 2 : 8 : 16 : ¸ ¨ I ¸
©
¹ © III ¹
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
119
Determinante der Verknüpfungsmatrix:
30 : 16 : 2 :
D
16 :
24 : 8 :
2 :
8 : 16 :
30 : ˜
24 : 8 :
8 : 16 :
16 : ˜
16 : 8 :
2 : 16 :
2 : ˜
16 : 24 :
2 : 8 :
D = 30: ˜ [24: ˜ 16: – (– 8:)(– 8:)] + 16: ˜ [(– 16:) ˜ 16: – (– 2:)(– 8:)]
– 2: ˜ [(– 16:)(–8:) – (– 2:) ˜ 24:] = 9 600:3 – 4 352:3 – 352:3
3
D = 4 896:
ersetzte
Spalte
0 V 16 : 2 :
DI
12 V
24 : 8 :
2 V
8 : 16 :
0 V˜
24 : 8 :
8 : 16 :
16 : ˜
12 V 8 :
2 V 16 :
2 :˜
12 V
24 :
2 V 8 :
DI = 0 V ˜ :2 + 16 : ˜ [12 V ˜ 16 : – (– 2 V)(– 8 :)] – 2 : ˜ [12 V ˜ (– 8 :) – (– 2 V) ˜ 24 :]
DI = 0 V ˜ :2 + 2 816 V ˜ :2 + 96 V ˜ :2
DI = 2 912 V ˜ :2
II
DI
D
2 912 V ˜ : 2
4 896 :3
0,595 A,
entsprechend ergeben sich die beiden anderen Maschenströme:
III = 1,055 A, IIII = 0,477 A.
Der Rechenaufwand bei der Auflösung der Gleichungssysteme mit Hilfe von Determinanten
steigt mit der Anzahl der Gleichungen und Variablen sehr stark an. Der Einsatz von Rechnern
ist dann zu empfehlen, wenn für die Berechnung der Determinanten ein entsprechendes Programm zur Verfügung steht.
Inverse Matrix
Die Gleichungssysteme, die bei Anwendung des Maschenstromverfahrens und des Knotenspannungsverfahrens in Matrizenform entwickelt werden, können mit Hilfe der inversen
Matrix (siehe voriger Abschnitt) nach der Spaltenmatrix der gesuchten Maschenströme bzw.
Knotenspannungen aufgelöst werden.
Maschenstromverfahren:
Gleichungssystem:
U=R˜I
aufgelöstes Gleichungssystem:
I = R–1 ˜ U
mit U: Spaltenmatrix der in den Maschen wirksamen Quellspannungen bzw. EMK
R: quadratische Verknüpfungsmatrix der Widerstände
I: Spaltenmatrix der gesuchten Maschenströme
R–1: inverse Matrix der Verknüpfungsmatrix R der Widerstände
120
2 Gleichstromtechnik
Beispiel:
Zum 2. Beispiel der Netzberechnung nach dem Maschenstromverfahren im Abschnitt 2.3.4
(S. 100) mit folgenden Zahlenwerten: Uq1 = 10V bzw. E1 = 10V, Uq2 = 12V bzw. E2 = 12V,
R1 = 2:, R2 = 4:, R3 = 12:, R4 = 2:, R5 = 16:, R6 = 3:, R7 = 5:
Gleichungssystem in Matrizenschreibweise:
§ 0 V · § 30 : 16 : 2 : · § I I ·
¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸
24 : 8 : ¸ ˜ ¨ I II ¸
¨ 12 V ¸ ¨ 16 :
¨ 2 V ¸ ¨ 2 : 8 : 16 : ¸ ¨ I ¸
©
¹ ©
¹ © III ¹
Bilden der inversen Matrix R–1 (siehe voriger Abschnitt S. 116))
Zu 1. Die Matrix ist quadratisch und die Determinante entspricht der Größe
det R = D = 4 896 :3 (nach Beispiel 2 der Cramerschen Regel, S. 119)
Zu 2.
A11
24 : 8 :
8 : 16 :
320 : 2 ,
A 31
A12
16 : 8 :
2 : 16 :
16 :
24 :
2 : 8 :
R ad
272 : 2
476 : 2
272 : 2
16 : 2 :
24 :
8 :
30 : 2 :
16 : 8 :
30 : 16 :
24 :
16 : 2 :
8 : 16 :
272 : 2 ,
30 : 2 :
2 : 16 :
476 : 2 ,
272 : 2 ,
A 23
16 :
176 : 2 ,
A 22
176 : 2 ,
A 33
§ 320 : 2
¨
¨ 272 : 2
¨
¨ 176 : 2
©
272 : 2 ,
A 32
A13
A 21
30 : 16 :
2:
8 :
464 : 2 .
176 : 2 ·¸
272 : 2 ¸
¸
464 : 2 ¸
¹
§ 320 : 2 272 : 2 176 : 2 ·
¨
¸
¨ 272 : 2 476 : 2 272 : 2 ¸
˜
Zu 3. R
¸
4 896 :3 ¨¨
176 : 2 272 : 2 464 : 2 ¸
©
¹
Lösungsgleichungen für die Maschenströme:
1
1
§ 320 : 2 272 : 2 176 : 2 · § 0 V ·
¨
¸ ¨
¸
˜ ¨ 272 : 2 476 : 2 272 : 2 ¸ ˜ ¨ 12 V ¸
3 ¨
¸
4 896 :
¨ 176 : 2 272 : 2 464 : 2 ¸ ¨© 2 V ¸¹
©
¹
1
2
2
[320 : ˜ 0 V 272 : ˜ 12 V 176 : 2 ˜ ( 2 V)] 0,595 A
4 896 :3
§ II ·
¨ ¸
¨ I II ¸
¨I ¸
© III ¹
II
I II
I III
1
1
4 896 :3
1
[272 : 2 ˜ 0 V 476 : 2 ˜ 12 V 272 : 2 ˜ ( 2 V)] 1,055 A
4 896 : 3
[176 : 2 ˜ 0 V 272 : 2 ˜12 V 464 : 2 ˜ ( 2 V)] 0,477 A
272 : 2 ,
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
121
Knotenspannungsverfahren:
Gleichungssystem:
I=G˜U
aufgelöstes Gleichungssystem:
U = G–1 ˜ I
mit I:
G:
U:
G–1:
Spaltenmatrix der in dem Knotenpunkt wirksamen Einströmungen und in den Zweigen wirksamen Spannungsquellen
quadratische Verknüpfungsmatrix der Leitwerte
Spaltenmatrix der gesuchten Spannungen
inverse Matrix der Verknüpfungsmatrix G der Leitwerte
Beispiel:
Zum Beispiel 2 der Netzberechnung
(S. 105) mit folgenden Zahlenwerten:
Uq1 = 8V bzw. E1 = 8V
Uq2 = 6 V bzw. E2 = 6 V
Uq3 = 4 V bzw. E3 = 4 V
nach dem Knotenspannungsverfahren im Abschnitt 2.3.5
R1 = 0,666 : R4 = 0,222 : Ia = 2 A
R2 = 0,5 :
R5 = 0,4 :
Ib = 3 A
R3 = 0,25 : R6 = 1 :
Ic = 4 A
die Leitwerte haben dann folgende Werte:
G2 = 2 S
G3 = 4 S
G1 = 1,5 S
G4 = 4,5 S
G5 = 2,5 S
G6 = 1 S
Gleichungssystem in Matrizenschreibweise:
§ 22 A ·
¨
¸
¨ 25 A ¸
¨ 8 A¸
©
¹
§ 4,5 S 1,5 S
¨
10 S
¨ 1,5 S
¨ 2S 4S
©
2 S · § U10 ·
¸ ¨
¸
4 S ¸ ˜ ¨ U 20 ¸
8,5 S ¸¹ ¨© U 30 ¸¹
Lösungsgleichungen für die Knotenspannungen mit der inversen Matrix:
§ U10 ·
¨
¸
¨ U 20 ¸
¨U ¸
© 30 ¹
U10
U 20
U 30
§ 69,0 S2
¨
¨ 20,75 S2
3¨
227,375 S
¨ 26,0 S2
©
1
1
227,375 S 3
1
227,375 S 3
1
227,375 S 3
20,75 S2
34,25 S2
21,0 S2
26,0 S2 ·¸ § 22 A ·
¨
¸
21,0 S2 ¸ ˜ ¨ 25 A ¸
¸
42,75 S2 ¸ ¨© 8 A ¸¹
¹
[ 69,0 S 2 ˜ 22 A 20,75 S 2 ˜ 25 A 26 S 2 ˜ 8 A] 5,3 V
[ 20,75 S 2 ˜ 22 A 34,25 S 2 ˜ 25 A 21 S 2 ˜ 8 A] 1,02 V
[ 26,0 S 2 ˜ 22 A 21,0 S 2 ˜ 25 A 42,75 S 2 ˜ 8 A] 1,71 V
Aus den Spannungen lassen sich die Zweigströme berechnen.
Wird ein Gleichungssystem mit Hilfe der inversen Matrix über Adjunkten gelöst, dann ist der
Zusammenhang zwischen der ursprünglichen Verknüpfungsmatrix und der inversen Matrix
anschaulich dargestellt.
Selbstverständlich lässt sich auch mit Hilfe der Determinante erkennen, ob das System von
linearen Gleichungen linear unabhängig, also lösbar ist.
122
2 Gleichstromtechnik
Das Rechnen mit der inversen Matrix ist genauso wie bei der Cramerschen Regel wegen der
Determinanten aufwendig und deshalb in dieser Form nicht zu empfehlen. Mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus oder des Stiefelverfahrens [4] wird die Behandlung von Gleichungssystemen mit der inversen Matrix für Rechner zugänglich.
Gaußscher Algorithmus
Die systematische Umwandlung eines Systems mit n linear unabhängigen Gleichungen mit n
Variablen in ein gestaffeltes Gleichungssystem – das bedeutet die Umwandlung der Koeffizientenmatrix in eine Matrix mit Nullen unter der Hauptdiagonalen bzw. die Umwandlung der
zugehörigen Determinante mit Nullen unter der Hauptdiagonalen – soll anhand eines Systems
mit drei linear unabhängigen Gleichungen und drei Variablen erläutert werden:
Aufgabenstellung:
gegeben:
gesucht:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = a1
b11x1 + b12x2 + b13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = a2
b22x2 + b23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = a3
b33x3 = b3
oder in Matrizenschreibweise:
§ a11 a12
¨
¨ a 21 a 22
¨a
© 31 a 32
a13 · § x1 ·
¸ ¨ ¸
a 23 ¸ ˜ ¨ x 2 ¸
a 33 ¸¹ ¨© x 3 ¸¹
§ b11 b12
¨
¨ 0 b 22
¨ 0
0
©
§ a1 ·
¨ ¸
¨a2 ¸
¨a ¸
© 3¹
b13 · § x1 ·
¸ ¨ ¸
b 23 ¸ ˜ ¨ x 2 ¸
b33 ¸¹ ¨© x 3 ¸¹
§ b1 ·
¨ ¸
¨ b2 ¸
¨b ¸
© 3¹
Überführung des Gleichungssystems in das gestaffelte Gleichungssystem:
a11x1
+ a12x2
a 21
a
a11x1 21 a12x2
a11
a11
a
+
+ a13x3 =
˜ c 21 a1
a 21
a
a13x3 = 21 a1
a11
a11
a
a
­ – a21x1 21 a12x2 21 a13x3 = 21 a1
a11
a11
a11
®
a
x
¯
21 1
+ a22x2
+ a23x3 =
a2
§ a 21
·
§ a 21
·
a 21
¨
¸
¨
¸
¨ a a12 a 22 ¸ ˜ x 2 ¨ a a13 a 23 ¸ ˜ x 3 = a a1 a 2
11
© 11
¹
© 11
¹
a '22 ˜ x 2
a '23 ˜ x 3
a '2
a 21
a11
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
a11x1
+ a12x2
123
+ a13x3 =
˜ c 31 a1
a 31
a11
a
a
a
a
31 a11x1 31 a12x2 31 a13x3 = 31 a1
a11
a11
a11
a11
– a31x1 +
a31x1
a 31
a
a
a12x2 31 a13x3 = 31 a1
a11
a11
a11
+ a32x2
+ a33x3 =
a3
§ a 31
·
§ a 31
·
a 31
¨
¸
¨
¸
¨ a a12 a 32 ¸ ˜ x 2 ¨ a a13 a 33 ¸ ˜ x 3 = a a1 a 3
11
© 11
¹
© 11
¹
'
a 32
˜ x2
'
a 33
˜ x3
a '22 x 2
a'32 '
a 22 x 2
a'22
+ a '23x 3 =
a 3'
a '2
˜ c 32
a'32 '
a'32 '
a
x
=
a2
23
3
a'22
a'22
ac32
˜
ac22
a'
a'
'
'
= 32
a '2
a
x
– a 32
x 2 32
23
3
'
'
a
a 22
22
+
'
a 32
x2
'
+ a 33
x3 =
a 3'
'
'
§ a 32
·
a 32
'
' ¸
¨
a
a
x
=
a '2 + a 3'
˜
23
33
3
'
¨ a'
¸
a
22
© 22
¹
''
a 33
x 3 = a 3''
Die Gleichungen in den Kästen werden mit
b1i
a1i
b 2i
a '2i
''
b33 a 33
in das gesuchte gestaffelte Gleichungssystem überführt:
b11x1 + b12x2 + b13x3 = b1
b22x2 + b23x3 = b2
b33x3 = b3.
Aus der letzten Gleichung ergibt sich die Unbekannte x3, aus der vorletzten Gleichung mit x3 die
Unbekannte x2 und schließlich aus der obersten Gleichung mit x3 und x2 die Unbekannte x1:
x3
b3
b33
x2
b 2 b 23x 3
b 22
x1
b1 b12 x 2 b13x 3
.
b11
124
2 Gleichstromtechnik
Zahlenbeispiel:
Gleichungssystem:
2x – 3y + 4z = 19
4x – 4y + 3z = 22
– 6x – y + 5z = 7
2x – 3y + 4z = 19
˜ c 21
2
˜ c31
3
˜ c32
5
­ – 4x + 6y – 8z = – 38
+®
¯ 4x – 4y + 3z = 22
2y – 5z = – 16
gestaffeltes Gleichungssystem:
2x – 3y + 4z = 19
2y – 5z = – 16
– 8z = – 16
2x – 3y + 4z = 19
­ 6x – 9y + 12z = 57
+®
¯ – 6x – y + 5z = 7
– 10y + 17z = 64
Lösungen:
2y – 5z = – 16
z=2
y=–3
x=1
­
+®
¯
10y – 25z = – 80
– 10y + 17z = 64
– 8z = – 16
Für eine formale Berechnung der drei Unbekannten eines linearen Gleichungssystems mit drei
Gleichungen lässt sich das folgende Rechenschema anwenden:
a11 a12 a13
a1
a11 a12 a13
a1
a21 a22 a23
a2
a '22
a '2
a31 a32 a33
a3
a '23
''
a 33
a '22 a '23
a '2
b11 b12 b13
b1
'
'
a 32
a 33
a 3'
b22 b23
b2
''
a 33
a 3''
b33
b3
a 3''
Koeffizienten des gestaffelten
Gleichungssystems
1. Zunächst werden die Koeffizienten des Gleichungssystems aik und ai in das Schema eingetragen.
2. Dann werden die Multiplikatoren
c 21
a 21
,
a11
c31
a 31
,
a11
c32
'
a 32
a '22
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
125
und die restlichen Elemente des Schemas nach folgenden Formeln berechnet und eingetragen:
a '22 = c21a12 + a22
= b22
a '23 = c21a13 + a23
= b23
a '2
= b2
= c21a1 + a2
'
= c31a12 + a32
a 32
'
= c31a13 + a33
a 33
a 3'
= c31a1 + a3
acc33
'
= b33
= c32 a '23 + a 33
acc3
= c32 a'2 + a 3'
= b3.
3. Aus den b-Koeffizienten des gestaffelten Gleichungssystems ergeben sich die gesuchten
x-Werte:
x3
b3
,
b33
x2
b 2 b 23x 3
,
b 22
x1
b1 b12 x 2 b13x 3
.
b11
Zum Zahlenbeispiel (vorige Seite):
Gleichungssystem:
Rechenschema:
2x – 3y + 4z = 19
2
–3
4
19
4x – 4y + 3z = 22
4
–4
3
22
– 6x – y + 5z = 7
–6
–1
5
7
c21 = – 2
2
–5
– 16
Lösungen:
– 10
17
64
c31 = 3
16
2
z
c32 = 5
–8
– 16
8
16 (5) ˜ 2
y
3
2
19 (3) ˜ (3) 4 ˜ 2
1
z
2
Beispiel:
Zum Beispiel 2 der Netzberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren im Abschnitt 2.3.5
(S. 105) mit den Zahlenwerten des Beispiels für die inverse Matrix (S. 121).
Gleichungssystem:
§ 22 A ·
¨
¸
¨ 25 A ¸
¨ 8 A¸
©
¹
Rechenschema:
4,5
– 1,5
–2
c21 = 0,33
c31 = 0,44
§ 4,5 S 1,5 S
¨
10 S
¨ 1,5 S
¨ 2S 4S
©
– 1,5
10
–4
9,5
– 4,67
c32 = 0,49
2 S · § U10 ·
¸ ¨
¸
4 S ¸ ˜ ¨ U 20 ¸
8,5 S ¸¹ ¨© U 30 ¸¹
–2
–4
8,5
– 4,67
7,61
5,32
22
– 25
8
– 17,67
17,78
9,12
126
2 Gleichstromtechnik
Lösungen:
x3
U 30
b3
b 33
x2
U 20
b 2 b 23 U 30
b 22
x1
U10
b1 b12 U 20 b13U 30
b11
9,12
V 1,71 V
5,32
17,67 4,67 ˜ 1,71
V
9,5
1,02 V
22 1,5 ˜ 1,02 2 ˜ 1,71
V
4,5
5,3 V
Soll ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten gelöst werden,
dann kann die Berechnung formal nach folgendem Rechenschema erfolgen:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = a1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = a2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = a3
a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 = a4
a '22 = c21a12 +a22
= b22
'
a '43
= c42 a '23 + a '43
a '23 = c21a13 + a23 = b23
a''44 = c42 a '24 + a '44
a '24 = c21a14 + a24 = b24
a '4' = c42 a '2 + a '4
a '2 = c21a1
+ a2
= b2
'
= c31a12 + a32
a 32
''
''
'
a '44
= c43 a 34
+ a '44
=b44
'
= c31a13 + a33
a 33
'
a '4'' = c43 a 3'' + a '44
'
= c31a14 + a34
a 34
a 3' = c31a1
+ a3
a '42 = c41a12 + a42
a '43 = c41a13 + a43
a '44 = c41a14 + a44
a '4 = c41a1
+ a4
''
'
= b33
a 33
= c32 a '23 + a 33
''
'
= b34
a 34
= c32 a '24 + a 34
a 3'' = c32 a '2 + a 3' = b3
2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung
127
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44
a1
a2
a3
a4
c 21
a 21
a11
a '22
a '23
a '24
a '2
c31
a 31
a11
'
a 32
'
a 33
'
a 34
a 3'
c 41
a 41
a11
a '42
a '43
a '44
a '4
''
a 33
''
a 34
a 3''
'
a '43
'
a '44
a '4'
''
a '44
a '4''
c32
c 42
'
a 32
a '22
a '42
a '22
c 43
a11
a12
a13
a '22
a14
a '23
''
a 33
a '24
''
a 34
''
a '44
'
a '43
''
a 33
a1
b11
a '2
a 3''
a '4''
b12
b13
b14
b1
b22
b23
b24
b2
b33
b34
b3
b44
b4
Lösungen:
x4 = b4 : b44
x3 = (b3 – b34x4): b33
x2 = (b2 – b23x3 – b24x4): b22
x1 = (b1 – b12x2 – b13x3 - b14x4): b11
Beispiel:
Zum Beispiel 3 der Netzberechnung nach dem Maschenstromverfahren im Abschnitt 2.3.4
(S. 101) mit folgenden Zahlenwerten
Uq1 = 12V, Uq2 = 10V, Iq2 = 5A, R1 = 1:, R2 = 2:, R3 = 8:,
R34 = 4:, R4 = 8:, R5 = 10:, R6 = 20:, R7 = 8:, R8 = 2:.
Gleichungssystem in Matrizenschreibweise:
§ U q1 ·
¨
¸
¨0 ¸
¨U ¸
¨ q2 ¸
¨ U q2 ¸
©
¹
§ R1 R 7
¨
¨ R7
¨
0
¨
¨
0
©
R7
R 34 R 5 R 7
0
R5
R5
R 34
R 2 R5 R8
R2
· § II ·
¸ ¨ ¸
¸ ¨ I II ¸
¸˜¨I ¸
R2
¸ ¨ III ¸
R 2 R 34 R 6 ¸¹ ¨© I IV ¸¹
0
R 34
128
2 Gleichstromtechnik
§12 V ·
¨
¸
¨0 ¸
¨10 V ¸
¨
¸
¨10 V ¸
©
¹
8:
0 : 0 : · § II ·
§9 :
¨
¸ ¨ ¸
8
22
10
:
:
: 4 : ¸ ¨ I II ¸
¨
˜
¨ 0 : 10 :
14 : 2 : ¸ ¨¨ I III ¸¸
¨
¸
¨0 :
4:
2 : 26 : ¸¹ ¨© I IV ¸¹
©
Lösung des Gleichungssystems nach dem Gaußschen Algorithmus:
9
8
0
0
8
22
– 10
4
c21 = – 0,89
14,89
0
– 10
14
2
0
4
2
26
– 10
4
12
0
10
10
– 10,67
c31 = 0
– 10
14
2
10
c41 = 0
4
2
26
10
c32 = 0,672
7,28
4,69
2,83
c42 = – 0,269
4,69
24,92
12,87
21,90
11,05
c43 = – 0,644
Lösungen:
IIV = 0,504 A
IIII = 0,0650 A
III = – 0,808 A
II = 2,05 A
Zweigströme:
I1 = II = 2,05 A
I6 = IIV = 0,504 A
I8 = IIII = 0,0650 A
I3 = I4 = I34/2 = – 0,152 A
I*2 = IIV + IIII = 0,504 A + 0,0650 A =
I2 =
I*2
– Iq2 = 0,569 A – 5 A
0,569 A
= – 4,431 A
I34 = III + IIV = – 0,808 A + 0,504 A = – 0,304 A
I5 = IIII – III = 0,0650 A + 0,808 A = 0,873 A
I 7 = II + III = 2,05 A – 0,808 A
= 1,242 A
Das Rechenschema des Gaußschen Algorithmus lässt sich für größere Gleichungssysteme
entsprechend erweitern. Ab etwa zehn Gleichungen mit zehn Unbekannten sollten Rechner zu
Hilfe genommen werden, weil der Rechenaufwand mit Hilfe des Rechenschemas zu groß wird
und der Fehler aufgrund der Fehlerfortpflanzung nicht zu vernachlässigen ist. Die Programmierung für einen Rechner ist relativ einfach, da nur einfache Rechenoperationen nötig sind.
Mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus lassen sich auch Determinanten systematisch vereinfachen, wodurch das Rechnen mit der Cramerschen Regel und der inversen Matrix einfacher
wird.
Für die Lösung von Gleichungssystemen mit Hilfe von Rechnern bietet sich auch das Austauschverfahren nach Stiefel [4] an, das eine Weiterführung des Einsetzverfahrens ist. Beim
Stiefelverfahren wird eine Ausgangsmatrix in mehreren Stufen invertiert.
Übungsaufgaben zum Abschnitt 2.3
129
Übungsaufgaben zum Abschnitt 2.3
2.27
Berechnen Sie mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze (Zweigstromanalyse) den Strom I2 durch den
Widerstand Ri2 in der skizzierten Schaltung. Wenden Sie das Eliminationsverfahren oder das
Einsetzverfahren an.
Bild 2.107
Übungsaufgabe 2.27
2.28
Eine Lampe soll mit I = 10A von zwei Spannungsquellen Uq1 = Uq2 = 220V mit unterschiedlichen Innenwiderständen Ri1 = 3: und Ri2 = 5: gespeist werden. Berechnen Sie mit Hilfe der
Kirchhoffschen Sätze (Zweigstromanalyse) die Speiseströme I1 und I2 und den Widerstand der
Lampe Rx.
Bild 2.108
Übungsaufgabe 2.28
2.29
Mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze ist das für die Berechnung der Zweigströme notwendige
Gleichungssystem in Matrizenschreibweise aufzustellen. Gegeben sind die Spannungsquellen, die
Stromquelle und die Widerstände.
Bild 2.109
Übungsaufgabe 2.29, 2.30 und 2.31
2.30
Für das gleiche Schaltbild sind sämtliche Zweigströme mit Hilfe des Maschenstromverfahrens
und des Gaußschen Algorithmus mit folgenden Zahlenwerten zu berechnen:
Uq3 = 12V
R1 = 4:
R3 = 5:
R5 = 1:
Uq1 = 10V
I0 = 4A
R2 = 10:
R4 = 3:
R6 = 2:
Uq2 = 6V
2.31
Mit Hilfe des Knotenspannungsverfahrens und des Gaußschen Algorithmus sind die Ergebnisse
der Aufgabe 2.30 zu bestätigen.
130
2 Gleichstromtechnik
2.32
Berechnen Sie den Strom I2 durch den Widerstand R2 in Abhängigkeit von Uqx der skizzierten
Kompensationsschaltung mit Hilfe des Maschenstromverfahrens. Gegeben sind:
R2 = 5k:
R0 = 10k:.
U = 4V,
R1 = 2k:,
Wie groß muss die Spannung Uqx sein, damit der Strom I2 Null ist?
Bild 2.110
Übungsaufgabe 2.32
2.33
1. Ermitteln Sie den Strom I2 durch den Widerstand R2 mit Hilfe des Superpositionsverfahrens.
2. Kontrollieren Sie das Ergebnis für den Strom I2 mit der Zweigstromanalyse nach Kirchhoff.
Bild 2.111
Übungsaufgabe 2.33
2.34
In der skizzierten Schaltung sind die Stromquelle Iq1, die Spannungsquelle Uq2 und die Widerstände Ri1, Ri2 und R gegeben.
1. Berechnen Sie den Strom I durch den Widerstand R mit Hilfe des Superpositionsverfahrens,
ohne die Stromquelle oder die Spannungsquelle umzuwandeln.
2. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die Spannungsquelle in eine äquivalente Stromquelle überführen und die Stromquellen zusammenfassen.
Bild 2.112
Übungsaufgabe 2.34
2.35
1. In der skizzierten Kompensationsschaltung ist der Strom I2 mit Hilfe des Superpositionsverfahrens in Abhängigkeit von der Spannung Uqx zu ermitteln.
2. Kontrollieren Sie das Ergebnis für den Strom I2 mit der Zweigstromanalyse.
3. Geben Sie die Bedingungsgleichung für die Spannung Uqx an, damit der Strom I2 Null wird.
Bild 2.113
Übungsaufgabe 2.35
Übungsaufgaben zum Abschnitt 2.3
2.36
131
Für den skizzierten belasteten Spannungsteiler sollen mit Hilfe der Zweipoltheorie der Belastungsstrom I3 und die Spannung U2 ermittelt werden.
1. Wandeln Sie dazu den aktiven Zweipol einmal in eine Ersatzspannungsquelle und zum anderen in eine Ersatzstromquelle um, die dann jeweils mit dem Widerstand R3 belastet ist. Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse für Uq ers, Iq ers und Ri ers, bevor Sie mit den beiden Ersatzschaltungen I3 und U2 berechnen.
2. Gegeben sind die Größen U = 24V, R1 = 1,5M: und R2 = 100k:. Berechnen Sie I3 und
U2 für die Werte von R3 = 0k:, 100k:, 200k:, 300k:, 500k:, 1 000k:, f und stellen Sie
die Funktionen I3 = f (R3) und U2 = f (R3) in einem Diagramm dar.
Bild 2.114
Übungsaufgabe 2.36
2.37
Die Leerlaufspannung zwischen den Klemmen A und B der skizzierten Schaltung soll gemessen
werden. Es steht ein Voltmeter mit 10V Endausschlag mit einem Instrumentenwiderstand
R0 = 5k: zur Verfügung. Der Messbereich des Voltmeters ist so zu erweitern, dass bei der Leerlaufspannung Endausschlag angezeigt werden würde.
Gegeben sind Uq = 200V, Ri = 5k: und R = 5k:.
1. Ermitteln Sie zunächst die zu messende Leerlaufspannung und den Innenwiderstand der
Schaltung (aktiver Zweipol).
2. Berechnen Sie dann den Vorwiderstand Rv für das Voltmeter. Mit welchem Widerstand wird
die Schaltung also belastet? (passiver Zweipol)
3. Wie groß ist die Spannung UAB ab bei Belastung mit dem erweiterten Voltmeter und wie groß
ist die prozentuale Abweichung vom ursprünglichen Wert der zu messenden Leerlaufspannung?
4. Welche Folgerungen ziehen Sie aus dieser Berechnung?
Bild 2.115
Übungsaufgabe 2.37
132
2 Gleichstromtechnik
2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung
2.4.1 Energie und Leistung
Energiebegriff:
Während Strom, Spannung und Widerstand elektrische Größen sind, haben Energie und Leistung allgemeine physikalische Bedeutung. Sie bilden die Brücke zu den anderen technischen
Wissenschaften, in denen andere Formen der Energie und Leistung behandelt werden.
Energie ist das Vermögen, Arbeit zu verrichten. Energie und Arbeit sind damit hinsichtlich der
Dimension gleichwertig. Alle Naturgeschehen sind Umwandlungen einer Energieform in eine
andere, wobei die Gesamtmenge der einzelnen Energien in einem abgeschlossenen System
konstant bleibt (Energiesatz nach Robert Mayer)1):
n
¦ WQ
konstant.
Q 1
Mit dem Satz von der Erhaltung der Masse (nach Lavoiseur)2):
n
¦ mQ
konstant
Q 1
besteht zwischen Energie und Masse der Zusammenhang über die Lichtgeschwindigkeit c:
W = m ˜ c2
(nach Albert Einstein)3):
1 g ˆ 8,9876 ˜ 1013 Ws,
weil sich mit m = 1g, W = 8,9876 ˜ 1013 Ws, c = 2,99792 ˜ 1010 cm/s ergibt:
1g 8,9876 ˜1013 Ws ˜ s 2
1 m 2 ˜ kg ˜ s 2
10 4 cm 2 ˜103 g ˜ s 2
2,997922 ˜1020 cm 2
107 ˜ s 2 ˜ cm 2
107 ˜ s 2 ˜ cm 2
1g
mit 1Ws = 1 kg ˜ m2 ˜ s–2.
Leistungsbegriff:
Das Vorhandensein irgendeines großen Energiereservoirs allein ist für die Technik nicht maßgebend. Die Energie muss sich zeitlich ändern, d. h. nutzbar wandeln, wenn etwas geleistet
werden soll.
Die Leistung ist der Quotient aus dem Energieumsatz dW in der Zeitspanne dt, in der die Umwandlung erfolgt:
P
1)
2)
3)
dW
.
dt
Robert Mayer, deutscher Arzt und Physiker 1814–1878
Antoine Lavoiseur, französischer Chemiker 1743–1794
Albert Einstein, deutscher Physiker 1879–1955
(2.189)
2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung
133
Ist die Energieänderung pro Zeiteinheit konstant, dann ist die Leistung konstant:
P
W
.
t
(2.190)
Beispiel:
Energieumwandlungen im Speicherkraftwerk
Die potentielle Energie des Wassers wird in kinetische Energie überführt:
Wpot
m ˜ g ˜ 'h,
Wkin
mit m: Teilmenge des Wassers und
m ˜ v2
2
'h : Höhendifferenz
Da keine Arbeit verrichtet wird, ist dies keine nutzbare Umwandlung von Energien. Indem die Wasserturbine angetrieben wird, erfolgt eine Umwandlung in mechanische Energie. Durch den an der
Turbine angekoppelten Generator wird die mechanische Energie in elektrische Energie überführt.
Diese Energieform ist für den wirtschaftlichen Transport von Energie geeignet. Außerdem ist sie
wirtschaftlich in andere Energieformen übertragbar, z. B. für Antriebszwecke im Elektromotor.
In einem geschlossenen System ist auch die Summe aller Leistungen Null:
n
¦ PQ
0.
Q 1
Beispiel:
Die Umwandlung von potentieller Energie des Wassers in kinetische Energie bzw. elektrische
Energie entspricht der negativen Leistung hinsichtlich der potentiellen Energie und der positiven
Leistung der kinetischen bzw. elektrischen Energie.
Elektrische Energie
In Analogie zur mechanischen Energie werden bei der elektrischen Energie Ladungsträger,
d. h. Elektronen und Ionen (vgl. Körper), mittels der Quellspannung (vgl. Kraft) über einen
Weg in einem Stromkreis (vgl. Gefälle) befördert. In der Spannungsquelle wird den Ladungsträgern die potentielle Energie erteilt, die es ihnen ermöglicht, durch den Leiterkreis zu fließen.
In den Verbrauchern wird dann die elektrische Energie in andere Energieformen umgewandelt.
Eine direkte Nutzung der elektrischen Energie ist also nicht möglich; sie ist eine Zwischenform zwischen anderen Energieformen.
Vorteile der elektrischen Energie als Zwischenform:
1. Verlustarmer Transport großer Energiemengen über große Entfernungen.
2. Wirtschaftliche Umwandlung der elektrischen Energie in andere Energieformen:
in Wärmeenergie fast 100 %, in mechanische Energie in Motoren bis 97 % und in chemische Energie bis 100 %.
3. Wirtschaftliche Energiespeicherung der elektrischen Energie in Akkubatterien oder durch
Pumpspeicherwerke.
Die elektrische und magnetische Energie im elektrischen und magnetischen Feld lässt
sich nicht technisch nutzen, weil eine kontinuierliche Weiterverwendung nicht möglich
ist. Außerdem ist die Energiedichte zu gering.
4. Bei der Nachrichtenübertragung wird die elektrische Energie in elektromagnetische Strahlungsenergie umgewandelt.
134
2 Gleichstromtechnik
Zusammenfassung der qualitativen Zusammenhänge:
1. Elektrische Energie einer Spannungsquelle:
W = Q ˜ U q = Uq ˜ I ˜ t
bzw.
mit Q = I ˜ t
W=Q˜E=E˜I˜t
mit EMK E und Q = I ˜ t
2. Elektrische Energie eines Verbrauchers.
W=Q˜U=U˜I˜t
mit Q = I ˜ t
Bei zeitlich veränderlicher Spannung u(t) und zeitlich veränderlichem Strom i(t) muss die
Augenblicksleistung integriert werden:
W
³ u(t) ˜ i(t) ˜ dt .
(2.191)
3. Maßeinheit der elektrischen Energie:
[W] = [U] ˜ [I] ˜ [t] = 1 V ˜ 1 A ˜ 1 s = 1 Ws (Wattsekunde)
und 1 kWh = 3,6 ˜ 106 Ws (Kilowattstunde).
Eine spezielle Maßeinheit der elektrischen Energie ist das Elektronenvolt, das in der Atomphysik und bei Halbleitern und Elektronenröhren verwendet wird:
mit
W = Q ˜ Uq
und
Q = e Elementarladung, Ladung des Elektrons
und
Uq = 1 V
ergibt sich die kleine Energieeinheit Elektronenvolt
W = e ˜ Uq = 1,602 ˜ 10–19 As ˜ 1V
1 eV = 1,602 ˜ 10–19 Ws.
(2.192)
4. Umwandlung elektrischer Energie in Wärmeenergie:
Enthält ein elektrischer Stromkreis nur ohmsche Widerstände, dann wird die elektrische
Energie restlos in Wärmeenergie, in so genannte Joulesche Wärme, überführt:
U2
˜t .
(2.193)
R
Bei zeitlich veränderlicher Spannung und zeitlich veränderlichem Strom wird die Energie
durch Integration ermittelt.
W = I2 ˜ R ˜ t =
W
R ˜
³ [i(t)]
2
˜ dt
1
R
³ [u(t)]
2
˜ dt .
(2.194)
2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung
135
Elektrische Leistung
Leistung ist die Energieänderung pro Zeit. Je schneller sich also eine Energieumwandlung
vollzieht, um so größer ist die Leistung.
Zusammenfassung der quantitativen Zusammenhänge:
1. Elektrische Leistung einer Spannungsquelle:
bzw.
P = Uq ˜ I
2. Elektrische Leistung eines Verbrauchers:
P = E ˜ I.
P = U ˜ I.
3. Maßeinheit der elektrischen Leistung:
[P] = [U] ˜ [I] = 1 W.
4. Umwandlung elektrischer Leistung in Wärmeleistung:
P
I2 ˜ R
U2
.
R
2.4.2 Energieumwandlungen
Elektrische Energie in Wärmeenergie
Wie die Energieumwandlung elektrischer Energie in Wärmeenergie erklärt wird, ist bereits im
Abschnitt 1.6 behandelt worden. Quantitativ lässt sich der Zusammenhang zwischen beiden
Energieformen nicht errechnen; er wird mit Hilfe eines Kalorimeters messtechnisch bestimmt
(nach Joule)1). Das Kalorimeter besteht aus einem thermisch gut isolierten Behälter mit einer
Flüssigkeit mit der spezifischen Wärmekapazität c und der Masse m. Eine Heizspirale mit dem
ohmschen Widerstand R erwärmt die Flüssigkeit mit dem Wirkungsgrad nahezu 100 %. Die
elektrische Energie ist dann gleich der Wärmeenergie (Wärmemenge):
Wel = Wth
(2.195)
U ˜ I ˜ t = c ˜ m ˜ '-.
(2.196)
Beispiel:
Für Wasser soll die spezifische Wärmekapazität c ermittelt werden. Die Heizspirale wird bei einer Spannung U = 100V betrieben, wodurch ein Strom vom I = 1A die Heizspirale und 1 Liter
Wasser, d. h. m = 1kg, erwärmt. Nach 10 Minuten ist das Wasser um eine Temperaturdifferenz
von '- = 14,33 K wärmer geworden:
c
1)
U˜I˜t
m ˜ '-
100 V ˜1 A ˜ 600 s
1 kg ˜14, 33 K
4187
Ws
.
kg ˜ K
James Prescott Joule, englischer Physiker 1818–1889
136
2 Gleichstromtechnik
Wärmeenergie in elektrische Energie
Die großtechnische Nutzung der Umwandlung von Wärmeenergie in elektrische Energie führt
zurzeit noch über die mechanische Energie im Wärmekraftwerk: Kesselanlage, Dampfturbine
und Generator. Neben dem großen Raumbedarf, hohen Unterhaltungskosten und großen Umweltbelastungen ist der Wirkungsgrad der Umwandlung mit 35 % bis 50 % relativ niedrig.
Die direkte Umwandlung von Wärmeenergie in elektrische Energie (Thermoelement und
Thermoemission) hat einen noch niedrigeren Wirkungsgrad von 0,5 % bis 25 %, so dass zurzeit an eine großtechnische Nutzung nicht zu denken ist.
Mechanische Arbeit in elektrische Energie und umgekehrt
Wegen der relativ hohen Wirkungsgrade wird der elektrische Energiebedarf vor allem aus der
Umwandlung der mechanischen Energie gedeckt. Sie erfolgt in den häufigsten Fällen durch
einen Generator nach dem Prinzip der elektromagnetischen Spannungserzeugung (Bewegungsinduktion), die im Abschnitt 3.4.6.1 behandelt wird:
Wird ein Leiter in einem Magnetfeld bewegt, dann wird auf die Ladungen eine Kraft
ausgeübt, die zu Ladungsverschiebungen im Leiter führt, wodurch in einem geschlossenen Stromkreis ein Strom verursacht wird.
Dieser Vorgang ist reversibel, denn durch einen Elektromotor kann elektrische Energie in
mechanische Energie umgewandelt werden. Verluste entstehen jeweils durch die Wärmeumwandlungen in den Wicklungen.
Der Zusammenhang zwischen mechanischer Arbeit und elektrischer Energie wird durch folgende Umrechnungsformel beschrieben:
1 J = 1 Ws = 1 Nm = 1 kg ˜ m2 ˜ s–2.
In älterer Literatur werden die Kalorie und das Kilopondmeter verwendet. Um die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Energien zu verstehen, sind in folgender Tabelle die dort
verwendeten Energieäquivalente zusammengestellt:
J = Nm = Ws
1J = 1 Nm = 1 Ws
cal
kWh
2,778
10–7
kpm
0,102
6,25 ˜ 1018
0,4269
2,62 ˜ 1019
3,671 ˜ 105
2,25 ˜ 1025
1
0,2388
1 cal
4,1868
1
1 kWh
3,6 ˜ 106
859,8 ˜ 103
1 kpm
9,80665
2,342
2,724 ˜ 10–6
1
1 eV
1,602 ˜ 10–19
3,82 ˜ 10–20
4,44 ˜ 10–26
1,63 ˜ 10–20
1,163 ˜ 10–6
1
eV
6,12 ˜ 1019
1
Rechenbeispiele für Energieumwandlungen:
Beispiel 1:
Aus einem in 200m Höhe liegenden Becken eines Pumpspeicherwerks fließen über drei Rohrleitungen je 20 m3/s für sechs Turbinensätze ins Tal.
1. Zu ermitteln ist die je Turbine zu installierende Leistung, wenn die Verluste vernachlässigt
werden.
2. Zu berechnen ist die Elektroenergie in kWh, die bei täglich achtstündiger Einspeisung in das
Landesnetz jährlich zurückgewonnen werden.
2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung
137
Lösung:
Zu 1.
Pmech =
W mech
t
m
˜ g ˜ 'h
t
Pmech = 3 ˜ 20 ˜ 103 ˜ kg ˜ 9,81
m
s3
Pmech = 3 ˜ 20 ˜ 200 ˜ 9,81 ˜ 103
Pmech = 117,72 ˜ 106
Pel
Zu 2.
1
Pmech
6
˜ 200 m
kg ˜ m m
s2 s
Nm
s
mit
1
kg ˜ m
s2
1N
19,62 MW (elektrische Leistung eines Generators)
Wel
6 ˜ Pel ˜ t
Wel
6 ˜ 19,62 ˜ 103 kW
Wel
344 ˜ 106 kW/Jahr
8 h 365 Tage
˜
Tag
Jahr
Beispiel 2:
Ein Industriebetrieb hat einen Anschlusswert von 250kW. Anschlusswert ist die installierte Leistung einer Starkstromanlage, d. h. das Produkt aus Spannung und höchstem Strom, der aufgrund
des installierten Leitungsquerschnitts fließen darf. Die tatsächliche Belastung des Netzes liegt im
Mittel bei 50 % des Anschlusswertes, weil nicht alle Maschinen und Geräte gleichzeitig eingeschaltet (Gleichzeitigkeitsfaktor) und nicht alle Maschinen voll ausgelastet (Belastungsfaktor)
sind. Die Belastungsspitze liegt deshalb bei etwa 170kW.
Zu ermitteln sind die monatlichen Energiekosten bei täglich 16-stündiger Arbeitszeit und 26 Arbeitstagen im Monat, wenn der Tarif bei 0,08 EUR/kWh liegt.
Lösung:
Energiekosten
Monat
16 h 26 Tage
˜ 0,5 ˜ 250 kW ˜ 0,08 EUR
Tag Monat
kWh
4160 EUR/Monat .
Beispiel 3:
Ein Schwimmkran hebt ein Brückenelement mit der Masse m = 85t mit konstanter Geschwindigkeit in 15s 1,8m hoch.
Zu ermitteln ist die Leistung des Kranmotors bei einem Wirkungsgrad von 82 % (Wirkungsgrad
siehe Abschnitt 2.4.4).
Lösung:
Pmech = m ˜ g ˜ h/t
mit 1N = 1kg ˜ m/s2
Pmech = 85 000 kg ˜ 9,81m/s2 ˜ 1,8 m/15 s
3
Pmech = 833 850 N ˜ 0,12 m/s = 100,1 ˜ 10 Nm/s
Pel =
Pmech
K
100,1˜10 3 W
0,82
122 kW.
Beispiel 4:
Ein Transistorenempfänger wird mit fünf Monozellen betrieben und nimmt dabei einen mittleren
Strom von 100mA auf. Eine Monozelle mit einer Betriebsspannung von 1,3V kostet 1,– EUR.
Zu berechnen ist der Preis der Kilowattstunde, wenn nach 200 Betriebsstunden der Batteriesatz
gewechselt werden muss.
138
2 Gleichstromtechnik
Lösung:
Wel = U ˜ I ˜ t = 5 ˜ 1,3 V ˜ 0,1 A ˜ 200 h = 0,13 kWh
0,13 kWh ˆ 2,50 EUR
und
1 kWh ˆ 2,50 EUR/0,13 = 19,25 EUR.
2.4.3 Messung der elektrischen Energie und Leistung
2.4.3.1 Messung der elektrischen Energie
Messverfahren
Zur Messung der elektrischen Energie sind Umwandlungen in mechanische oder chemische
Energie notwendig, d. h., die Messgeräte haben einen Eigenverbrauch, der die Messgenauigkeit beeinflusst.
Bei konstanter Leistung Pel wird die elektrische Energie nach der Gleichung
Wel = Pel ˜ t
(2.197)
auf eine Zeitzählung zurückgeführt. Es braucht nur die Zeitdauer der Einschaltung des
Verbrauchers gezählt zu werden; die Zeitzähler sind lediglich Uhrwerke. In Beleuchtungseinrichtungen werden vorwiegend Zeitzähler verwendet, weil die umgewandelte Energie pro Zeit
gleich bleibt, so lange die Beleuchtung eingeschaltet ist.
Bei zeitlich veränderlicher Leistung muss die Leistung kleiner Zeitabschnitte 't aufsummiert
werden:
n
Wel
¦P
el v
˜ 't.
(2.198)
v 1
Bild 2.116
Ermittlung elektrischer Energie
Soll die Energiemessung noch genauer erfolgen, dann muss die Leistung in differentiell kleinen Zeitspannen dt, also in jedem Augenblick, betrachtet und dann kontinuierlich aufsummiert
werden; der Funktionsverlauf Pel(t) muss integriert werden:
t2
Wel
³ Pel (t) ˜ dt.
t1
2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung
139
In den meisten Anwendungsfällen ist die Netzspannung U konstant: Pel(t) = U ˜ i(t). Dadurch
wird die Integration der Leistungskurve zu einer Integration der Stromkurve, die der transportierten Ladungsmenge entspricht:
t2
Wel =U ˜ ³ i(t) ˜ dt
U˜Q
(2.199)
t1
mit i
dq
dt
t2
und
Q= ³ i(t) ˜ dt .
t1
Die Ladungsmenge wird in Amperestunden (A ˜ h) gemessen. Amperestundenzähler werden in
der Praxis häufig eingesetzt, obwohl sie Netzschwankungen nicht berücksichtigen.
Grundsätzlich werden folgende Zählerarten unterschieden:
Wasserstoff-Elektrolyt-Zähler und Quecksilber-Elektrolyt-Zähler:
Die von Ionen transportierte Stoffmenge in einem Elektrolyten ist der Ladungsmenge Q
proportional. Die aufgefangene Stoffmenge ist also ein Maß für die Amperestunden.
Diese Zählerart ist nur für experimentelle Arbeiten im Labor geeignet, indem die Elektroden gewogen werden.
Magnet-Motorzähler nach dem elektrodynamischen Prinzip:
Das Erregerfeld wird durch ein oder zwei Dauermagnete aufgebaut. In diesem Feld bewegt sich eine Metallscheibe aus Aluminium, auf der eine dreiteilige Ankerwicklung
sitzt. Der größte Teil des Messstroms wird über einen parallelgeschalteten Nebenwiderstand RN geschickt, der Rest von etwa 100mA wird über Bürsten durch die Ankerwicklung geführt, wodurch ein Drehmoment, das so genannte Triebmoment MT = c1 ˜ I, erzeugt wird. Durch die im Erregerfeld drehende Metallscheibe werden Wirbelströme induziert, die ein Gegenmoment, ein Bremsmoment MB = c2 ˜ n bewirken. Bei Gleichheit
beider Momente stellt sich die Drehzahl n der Scheibe ein:
aus
c1 ˜ I = c2 ˜ n
folgt
n
c1
˜ I.
c2
Bild 2.117
Magnet-Motorzähler
140
2 Gleichstromtechnik
Die Ankerumdrehungen z in der Zeit t ergeben sich aus
z=t˜n=
c1
˜I˜t
c2
c1
˜ Q.
c2
(2.200)
Die in der Zeit t gelieferte Elektrizitätsmenge Q kann durch Zählung der Ankerumdrehungen gemessen werden.
Motor-Wattstunden-Zähler:
Sind die Fehler der Energiemessung infolge von Netzschwankungen zu groß, dann
müssen Motor-Wh-Zähler eingesetzt werden, die ebenfalls nach dem elektrodynamischen Prinzip arbeiten. Anstelle von Dauermagneten werden Elektromagneten, so genannte Feldspulen, eingesetzt.
2.4.3.2 Messung der elektrischen Leistung
Messprinzip
Bei konstanten elektrischen Größen kann die elektrische Leistung durch eine StromSpannungs-Messung und anschließende Produktbildung erfolgen.
Bei zeitlich veränderlichen Größen oder bei Registrierung der elektrischen Leistung wird ein
elektrodynamisches Messwerk verwendet, dessen Triebmoment
MT = c ˜ U ˜ I = c ˜ Pel
(2.201)
ist. Dem Triebmoment wirkt ein Gegenmoment einer Feder, das so genannte Richtmoment
MR = D* ˜ D
(2.202)
mit
D* = Drehfederkonstante (Winkelrichtgröße) das ist das Drehmoment pro Winkel
und
D = Zeigerausschlag
entgegen, wodurch sich für den Zeigerausschlag ergibt:
D=
c
˜ U ˜ I = cstat ˜ Pel
D*
(2.203)
Bild 2.118
Leistungsmesser
2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung
141
Das Elektrodynamometer ist ein Drehspulmesswerk mit elektromagnetischer Erregung, dessen
Triebmoment
MT =k ˜ I1 ˜ w1 ˜ I2 ˜ w2
bzw.
MT = c ˜ U ˜ I,
(2.204)
wenn die Felderregung aus der Spannung abgeleitet wird.
Stromrichtige und spannungsrichtige Leistungsmessung
Wie bei der Strom- und Spannungsmessung bei der Ermittlung von Widerständen (Abschnitt
2.2.7) gibt es auch bei der Leistungsmessung eine spannungsrichtige und eine stromrichtige
Schaltung:
Bild 2.119 Spannungsrichtige Messschaltung
mit zwei getrennten Instrumenten
Bild 2.120 Stromrichtige Messschaltung
mit zwei getrennten Instrumenten
Bild 2.121 Spannungsrichtige Messschaltung
mit einem elektrodynamischen Messwerk
Bild 2.122 Stromrichtige Messschaltung
mit einem elektrodynamischen Messwerk
In der spannungsrichtigen Schaltung wird
der Strom verfälscht gemessen:
Die Messspannung ist in der stromrichtigen
Schaltung um ¨U zu groß:
Umess = U,
Imess = I + 'I
Imess = I. Umess = U + 'U
142
2 Gleichstromtechnik
Die in den Instrumenten auftretende Verlustleistung bestimmt die Messgenauigkeit:
spannungsrichtige
Messschaltung
Leistung des Verbrauchers
Leistungsverlust im Spannungs- bzw.
Strompfad
P=U˜I=
stromrichtige
Messschaltung
U2
R
'P = U ˜ 'I =
mit 'I =
U2
RV
U
RV
Pmess = P + 'P
Messleistung
P = U ˜ I = I2 ˜ R
'P = 'U ˜ I = I2 ˜ RA
mit 'U = I ˜ RA
Pmess = P + 'P
2
relativer Fehler
'P
P
U
RV
2
U
R
R
RV
'P
P
I2 ˜RA
I2 ˜R
RA
R
Sowohl in der spannungsrichtigen als auch in der stromrichtigen Messschaltung wird eine um
'P zu große Verbraucherleistung P gemessen.
In der Starkstromtechnik kann der Eigenverbrauch 'P des Spannungs- bzw. Strompfads vernachlässigt werden, weil die zu messende Verbraucherleistung P sehr viel größer ist als 'P. Es
ist also gleichgültig, ob stromrichtig oder spannungsrichtig gemessen wird.
In der Schwachstromtechnik kann der Eigenverbrauch des Strom- bzw. Spannungspfads nicht
vernachlässigt werden. Um einen minimalen relativen Fehler bei der Leistungsmessung zu
erreichen, empfiehlt sich bei kleinem Verbraucherwiderstand mit RV>>R die spannungsrichtige Messung und bei großem Verbraucherwiderstand mit R>>RA die stromrichtige Messung.
2.4.4 Wirkungsgrad in Stromkreisen
Bei der Umwandlung einer Energieform in eine andere wird die eine Energie nicht restlos in
die andere überführt. Das Verhältnis zwischen der Nutzenergie (umgewandelte, d. h. abgegebene Energie) und der zur Verfügung gestellten Energie (aufgewendete Energie) wird Wirkungsgrad K genannt.
Bei technischen Untersuchungen werden anstelle der Energien die Leistungen ins Verhältnis
gesetzt:
K
mit
PN :
PN
Pges
Nutzleistung
Pges: zugeführte Gesamtleistung.
(2.205)
2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung
143
Nach dem Satz von der Erhaltung der Energie bzw. der Leistungen ist die zugeführte Gesamtleistung gleich der Nutzleistung PN und der Verlustleistung PV. Damit lautet die Formel für
den Wirkungsgrad
K
PN
.
PN PV
(2.206)
Beispiele:
Die Umwandlung elektrischer Energie
in Wärmeenergie geschieht praktisch 100 %: K = 1,
in mechanische Energie (Elektromotor): K = 0,7 ... 0,99 und
in sichtbare Lichtenergie (Glühlampen, Leuchtstoffröhren, u.a.): K = 0,01 ... 0,25.
Wirkungsgrad im Grundstromkreis
Wie behandelt, kann jedes Gleichstromnetz in einen Grundstromkreis überführt werden, so
dass die Ermittlung des Wirkungsgrades eines Grundstromkreises von Bedeutung ist. Die
Energiequelle – als Ersatzspannungsquelle oder Ersatzstromquelle betrachtet – liefert die gesamte Leistung (erzeugte Leistung PE), im Außenwiderstand kann die Leistung (äußere Leistung Pa) genutzt werden und im Innenwiderstand muss eine Verlustleistung (innere Leistung
Pi) in Kauf genommen werden.
Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle:
Bild 2.123
Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle
Wird die Spannungsgleichung
Uq = I ˜ Ri + I ˜ Ra
mit dem Strom I multipliziert, dann entsteht die Leistungsgleichung des Grundstromkreises:
Uq ˜ I = I2 ˜ Ri + I2 ˜ Ra
PE = Pi + Pa.
Laut Definition ist dann der Wirkungsgrad des Grundstromkreises mit Ersatzspannungsquelle
K
K
Pa
PE
Pa
Pa Pi
1
.
R
1 i
Ra
1
P
1 i
Pa
1
I2 ˜ Ri
1 2
I ˜ Ra
(2.207)
144
2 Gleichstromtechnik
Der Wirkungsgrad ist maximal, wenn Ri/Ra gegen Null geht, d. h., wenn Ri gegen Null geht,
denn Ra gegen Unendlich bedeutet Leerlauf; fließt kein Strom, kann eine Energieumwandlung
nicht erfolgen.
Um den Wirkungsgrad der Umwandlung von der in der Spannungsquelle erzeugten elektrischen Energie in äußere Energie im Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle am größten
zu bekommen, muss der Innenwiderstand der Spannungsquelle minimal sein.
Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle:
Bild 2.124
Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle
Entsprechend lässt sich die Stromgleichung des Grundstromkreises mit Ersatzstromquelle
Iq
U
U
Ri Ra
mit der Spannung U multiplizieren:
Iq ˜ U
U2 U2
Ri Ra
PE = Pi + Pa.
Für den Wirkungsgrad des Grundstromkreises mit Ersatzstromquelle ergibt sich dann eine
andere Formel als für den Wirkungsgrad mit Ersatzspannungsquelle:
K
K
Pa
PE
Pa
Pa Pi
1
.
R
1 a
Ri
1
P
1 i
Pa
1
U2 / Ri
1 2
U / Ra
(2.207)
Der Wirkungsgrad ist maximal, wenn Ra/Ri gegen Null geht, d. h., wenn Ri gegen Unendlich
oder der Innenleitwert Gi gegen Null strebt.
Für beide Grundstromkreise ist also der Wirkungsgrad am größten, wenn die Verluste innerhalb der elektrischen Energiequelle am kleinsten sind. Während das im Grundstromkreis mit
Ersatzspannungsquelle bei geringstem Innenwiderstand erreicht wird, muss im Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle der Innenwiderstand möglichst groß sein, damit der Strom durch
den Innenwiderstand klein gegenüber dem Strom durch den Belastungswiderstand ist.
2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung
145
In Abhängigkeit von Ra/Ri haben die Kurven für den Wirkungsgrad entsprechend der unterschiedlichen Formeln unterschiedliche Verläufe:
Bild 2.125 Wirkungsgrad für Grundstromkreise
Sind der Außenwiderstand Ra und der Innenwiderstand Ri gleich, ist der Wirkungsgrad
K = 0,5. Die von der Energiequelle gelieferte Leistung wird nur zur Hälfte im Außenwiderstand umgesetzt. Auf diesen Anpassungsfall wird im Folgenden eingegangen.
2.4.5 Anpassung
Wirkungsgrad-Maximum, Verbraucherleistung-Maximum
In der Starkstromtechnik kommt es bei der Erzeugung, Übertragung und Weiterverwendung
auf einen guten Wirkungsgrad der Leistungsumwandlung an, denn die Umwandlungen dürfen
nicht mit zu großen Verlusten verbunden sein.
In der Schwachstromtechnik, d. h. in der Nachrichtenübermittlung der Nachrichtentechnik, ist
man weniger an einem guten Wirkungsgrad des Nachrichtenträgers interessiert, sondern an
einer am Verbraucher maximal abgegebenen Leistung. Die maximale Leistung wird bei Widerstandsanpassung erreicht: der Belastungswiderstand Ra des passiven Zweipols muss gleich
dem Innenwiderstand Ri des aktiven Zweipols sein.
Die Berechnungen für die Widerstandsanpassung lassen sich auf den Grundstromkreis beschränken, weil jedes Gleichstrom-Netzwerk in einen Grundstromkreis mit aktiven und passiven Zweipol überführt werden kann.
Zum Abschluss der Behandlung der Gleichstromtechnik sollen die den Grundstromkreis beschreibenden Größen einschließlich der Leistungen in Abhängigkeit von den Widerständen
zusammengefasst werden. Dabei sollen Strom, Spannung und die Leistungen auf Maximalwerte bezogen und in Abhängigkeit vom Widerstandsverhältnis Ra/Ri dargestellt werden. Damit
sind auch Aussagen über die Größen bei Anpassung möglich.
146
2 Gleichstromtechnik
Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle
Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle
Bild 2.126 Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle
Bild 2.127 Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle
maximale Spannung: Leerlaufspannung
maximaler Strom: Kurzschlussstrom
Ul = Uq = Ik ˜ Ri
Ik
maximaler Strom: Kurzschlussstrom
Ik
Uq
maximale Spannung: Leerlaufspannung
Ul = Iq ˜ Ri = Ik ˜ Ri
Ul
Ri
Ri
Strom:
Spannung:
U
Ul
U
Ul
Ul
Ri
Iq
Ra
Ri Ra
1
(2.209)
1
1
Ra / Ri
Strom:
R
˜ i
R i R a Uq
I
Ik
1
R
1 a
Ri
Ri
Ri Ra
I
Ik
1
R
1 a
Ri
(2.210)
Spannung:
U Iq ˜ R i ˜ R a
1
˜
Ul
R i R a Iq ˜ R i
Uq
I
Ik
I
Ik
(2.211)
U
Ul
1
1
1
Ra / Ri
(2.212)
Weil die Ersatzspannungsquelle und die Ersatzstromquelle äquivalent sind, ist das Strom- und
Spannungsverhalten in beiden Grundstromkreisen gleich.
Bei Anpassung mit Ra = Ri ist der Klemmenstrom gleich dem halben Kurzschlussstrom und
die Klemmenspannung gleich der halben Leerlaufspannung (vgl. Abschnitt 2.1.1)
I
Ik
0,5
und
U
Ul
0,5.
2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung
Leistungen im Grundstromkreis mit
Ersatzspannungsquelle
147
Leistungen im Grundstromkreis mit
Ersatzstromquelle
Erzeugerleistung: Leistung der Energiequelle
PE = Uq ˜ I
PE = I q ˜ U
innere Leistung: am Innenwiderstand umgesetzte Leistung
U2
Ri
äußere Leistung: am Außenwiderstand umgesetzte Leistung (Verbraucherleistung, Klemmenleistung)
Pi
I2 ˜ R i
Pi
Pa
I2 ˜ R a
Pa
Ik ˜
mit I
Pa
Pa
Ik ˜ R i ˜
Pa
Pk
Ri ˜ Ra
R i R a Ri ˜ Ra
2
Ul
Ri Ra
Ul 2
R i R a 2
Ra
Ul2
Ri ˜ Ra
˜
R i R i R a 2
Pa
Pk ˜
Pk
Ri ˜ Ra
R i R a Ik 2 ˜ R i
Ul 2
Ri
P k = Ik ˜ U l
2
(2.213)
Ik ˜ Ik ˜ R i
R i R a 2
Ul2
Ri ˜ Ra
˜
R i R i R a 2
Pa
Pl ˜
das ist die Kurzschlussleistung, die bei kurzgeschlossenen Klemmen am Innenwiderstand Ri
umgesetzt wird.
Ri ˜ Ra
R i R a Ik ˜
2
Ri ˜ Ra
Ri Ra
Pa
Ik 2 ˜ R i2 ˜ R a 2 1
2
R i R a R a
Pa
Ik 2 ˜ R i ˜
Pa
Pl ˜
Pl
(2.215)
1
Ra
Pa
mit Pl
Ul
˜ Ul
Ri
Ra
Ri Ra
Ul 2 ˜ Ra2
oder mit U
Pa
mit Pk
2
R i R a oder mit I
Pa
2
2
Pa
Ra
R i R a Ul ˜
mit U
Ri
Ri Ra
Ik 2 ˜ R i2
U2
Ra
Ri ˜ Ra
R i R a Ri ˜ Ra
R i R a Ul 2
Ri
Ik 2 ˜ Ri
Pl = Ik ˜ U l
2
2
(2.214)
Ul
˜ Ul
Ri
Ik ˜ Ik ˜ R i
(2.216)
das ist die Leerlaufleistung, die bei offenen Klemmen am Innenwiderstand Ri
umgesetzt wird.
148
2 Gleichstromtechnik
Damit ergibt sich für die äußere Leistung bezogen auf die Kurzschluss- bzw. Leerlaufleistung
mit Pk = Pl = Pkonst.:
Ra
Ri
Pa
Pkonst.
§ R ·2
¨1 a ¸
© R i ¹
(2.217)
.
Sie hat ein Maximum bei Anpassung der Widerstände, wie rechnerisch nachgewiesen werden
kann:
­
½
§
§
·2
·
° R a
° 1 ˜ ¨1 R a ¸ 2 ˜ ¨1 R a ¸˜ R a
°
d ­ Pa ½
d ° R i
© R i ¹
© R i ¹ R i !
0
®
¾
®
¾
2
§R ·¯Pkonst. ¿ §R ·°§
·
§ R ·4
a
d¨ a ¸ ¨1 R a ¸ °
d¨ a ¸
¨1 ¸
°
©R i ¹
©R i ¹°
© R i ¹
¯© R i ¹ ¿
d. h.
1
Ra
R
2˜ a
Ri
Ri
0 bzw.
Ra
Ri
1.
Die maximale Verbraucherleistung beträgt dann
Pa max
Pkonst.
1
,
4
d. h.
Pa max
Pk
4
bzw.
Pa max
Pl
.
4
(2.218)
Bild 2.128 Spannung, Strom und Leistung in Abhängigkeit von den Widerständen im Grundstromkreis
In der Nachrichtenübertragung wird also ein schlechter Wirkungsgrad in Kauf genommen, um
eine maximale Verbraucherleistung zur Verfügung zu haben.
Übungsaufgaben zum Abschnitt 2.4
149
Übungsaufgaben zum Abschnitt 2.4
2.38
In einem elektrischen Warmwasserspeicher mit einem Fassungsvermögen von 40 Liter soll ein
Heizelement eingebaut werden, das so bemessen ist, dass Wasser von 11,5ºC in drei Stunden auf
80ºC erwärmt wird.
1. Ermitteln Sie die elektrische Leistung, die das Heizelement aufnimmt, wenn der Wirkungsgrad 80 % beträgt.
2. Berechnen Sie die Stromaufnahme, wenn der Warmwasserspeicher an eine Spannung von
220V angeschlossen wird.
2.39
Eine Wasserpumpe mit elektromotorischem Antrieb soll je Stunde 20m3 Wasser in einen Behälter
pumpen, der 25m höher liegt. Der Wirkungsgrad der Pumpe beträgt 70 %, der des Motors 90 %.
1. Berechnen Sie die Leistung des Antriebsmotors.
2. Welcher Strom fließt bei einer Spannung von 220V?
2.40
An einem aktiven Zweipol mit Uq = 20V und Ri = 1: ist ein variabler Widerstand Ra = 0:,
0,5:, 1:, 5:, 10: und 15: angeschlossen.
1. Berechnen Sie die Funktionen
I = f(Ra),
U = f(Ra),
Pa = f(Ra),
Pi = f(Ra),
Pges = f(Ra).
2. Stellen Sie die Funktionen übersichtlich in einem Diagramm dar. Diskutieren Sie den Anpassungsfall.
2.41
Ein Thermoelement liefert eine Thermospannung von 150PV/K bei einem Innenwiderstand von
20Ÿ. Bei einem Temperaturunterschied von 100K zwischen den Lötstellenwerden nacheinander drei
empfindliche Strommesser angeschlossen, die einen Endausschlag von 100PA, 1mA und 10mA haben. Der Eigenverbrauch der drei Strommesser beträgt bei Endausschlag jeweils 20PW.
1. Stellen Sie das Ersatzschaltbild der Messschaltung dar und berechnen Sie die Größen der Ersatzschaltelemente.
2. Berechnen Sie die Ströme, die bei Anschluss der Messinstrumente fließen.
3. Welches Instrument hat den größten Ausschlag und warum?
http://www.springer.com/978-3-8348-0903-2