20.4 Wärmeübertragung

:l
> > 20 THERMISCHE EIGENSCHAFTEN UND VORGÄNGE
Tabelle 20.2 Die kritische Temperatur
einiger Substanzen
-
Was
r: 647,4
600
500
400
_Schwefeldioxid: 430,9
-Chlor: 417,12
Kohlendioxid: 304,2
300
-
200
_Stickstoffoxid: 180,2
_
Sauerstoff: 154,
----- Argon: 150,
100
o
_____ eon: 44,4
--Wa er toff: 33,3
--Helium: 5,3
Bei geringeren Drücken und Temperaturen als denen am Tripelpunkt kann keine flüssige Pha e i tieren. Die Kurve OA im
Pha ndiagramm on bbildung 2004 teilt ämtliche p. T- Wertepaare dar. bei denen Fe tkörper und Ga im Gleichgewicht
koexi tieren können. Den direkten .. bergang om fe ten in
den ga förmigen Zustand nennt man ublimation. Man kann
ie bei piel wei e beobachten, wenn man einige Ei würfel
offen in das Gefrierfach eine Kühl chrank mit Defr tereinrichtung legt. Mit der Zeit werden die Ei würfel immer kleiner,
bi je ganz verscbwunden ind. Hier kann ich nämlich niemal
ein Gleichge~ icht z, i cben Eis und Dampf ein teIlen. weil der
Atmo phärendruck weit über dem Druck am Tripelpunkt des
Wa er Liegt. Der Tripelpunkt on Kohlendioxid ( 02) Liegt
bei 216.55 Kund 5,17 bar. Oe wegen kann flü ig
O 2 nur
bei Drücken ob rhalb on 5,17 bar exi tieren. Bei tmo phärendruck kann fe te Kohlendioxid al 0 nicbt chmelzen, sondern e ubJjmiert, d. h. geht direkt in den gasförmigen Zustand
über. Daher rührt auch eine Bezeichnung "Trockenei ".
Die chmelzdruckkurvc OB in Abbildung 20.4 i t die Pha engrenzlinie zwischen fe tem und f1ü igem Zu tand. ie hat
beim a er eine negative teigung (i tal o nach link geneigt.
Das bedeutet, die chmelztemperatur nimmt mit teigendem
Druck ab anders als bei den mei ten anderen ub tanzen.
Die i t die chon erwähnte Anomalie de Wa ers ( gl. Abbil·
dung 20.1). Bei den mei ten anderen ub tanzen teigt die
chmelztemperatur mit zunehmendem Druck an, und die
chmelzdruckkurve bat eine po itive leigung, d. h., ie i t
nach recht geneigt.
Ein Molekül benötigt beim Verdampf n eine be timrnte Energie, um au der Flü igkeit oberfläche in die Ga pha e zu ent\! eichen, denn e mu
dabei die on den anderen Molekülen
ausgeübten anziehenden Kräfte überwinden. eil nur die energiereich ten Moleküle in den Dampfgelangen, inkt die mittlere
Ge chwindigkeit der verbleibenden Moleküle ab. Daher geht
die Verdampfung mit einer Abkühlung der restlichen Flüs igkeit einher. Wird der Flü igkeit beim ieden laufend Wärme
zugeführt, dann bewirkt der gleichzeitige Energieverlu tinfolge
der Verdampfung ein Gleichbleiben der Temperatur am iedepunkt. Die er Effekt kann beim Kalibrieren von Thermometern
au genutzt werden. Aber man kann eine Flü igkeit, bei piel wei e Wa er, auch ohne Wärnlezufuhr verdampfen. Dazu
braucht man nur den Druck im Behälter zu ennindern,
indern man den entweichenden Dampf abpurnpt. Die zum erdampf n nötige Energie wird der re tlicb n Flü igkeit entzogen, die ich dabei abkühlt. Dann kann ich auf ied ndem a·
er ogar Ei bilden!
20.4 Wärmeübertragung
Thermi che Energie kann auf drei rten übertragen werden:
durch Wärmeleitung, Konvektion der trahlung.
Bei der änneleitung ollzieht ich der nergietran port durch
ech elwirkungen z i hen Atom n oder Molekülen. die
dabei ab reib t nicht tran portiert' erden.
ird bei piel wei e ein Ce ter tab an einern Ende erwärmt, dann chwingen
die Atome hier mit höherer Energie al die Atome am kalten
Ende. Durch töße mit den jeweil benachbarten Atomen
ird die Wärmeenergie allmählich durch den Stab tran p rtiert,
wobei jede tom an ein m Platz bleibt. (In den Metall n wird
20.4 WÄRMEÜBERTRAGUNG
die Wärmeleitung durch die freien Elektronen unterstützt, die
die durch Stöße aufgenommene Energie bei Stößen mit anderen
Atomen weitergeben.)
(a)
Eis-
bad
Bei der KODvektion i t die Wärmeübertragung mit einem Stofftransport verbunden. Wird beispielsweise die Luft in einem
Zimmer durch einen Heizkörper erwärmt, dann nimmt ihre
Dichte ab. Dadurch wirkt eine Auftriebskraft auf ie ein, so
das sie aufsteigt und die aufgenommene Wärme nach oben mitnimmt.
Bei der Strahlung wird Energie durch elektromagnetische Weilen, die ich mit Lichtge chwindigkeit au breiten, auch im leeren
Raum transportiert. Zur elektromagnetischen Strahlung gehören neben der Infrarot trahJung unter anderem auch icbtbares
Licht, Radiowellen und Röntgen trahlung. Die Strahlungsarten
unterscheiden sich voneinander durch ihre Frequenz- bzw. ihre
Wellenlängenbereiche.
Für alle Mechanismen der Wärmeübertragung gilt da ewton'ehe AbkühJungsge etz. E be agt, da s die Abkühlung geschwindigkeit eine Körpers näherungswei e proportional zur
Differenz der Temperaturen von Körper und Umgebung ist.
Häufig treten bei der Wärmeübertragung alle drei eben erwähnten Mechanismen (Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung)
gleichzeitig auf. Allerdings kann der eine oder andere Mechanismu vorherrschen. Ein gewöhnlicher Heizkörper erwärmt das
Zimmer durch Strahlung und durch Konvektion. Dagegen hat
bei einem Heizstrahler mit einer Quarzröhre die Strahlung
den größten Anteil an der Heizlei tung. Wenn da Heizelement
aber au Metall besteht (das nicht so effizient strahlt wie Quarz),
dann wird die Wärme vor allem durch Konvektion übertragen.
Dabei teigt die erwärmte Luft auf, so dass ie nahe dem Heizkörper durch kühlere Luft ersetzt wird. Oft unterstützt man dieen Effekt durch den Einsatz eine Ventilators.
Wärmeleitung
Abbildung 20.5 a zeigt einen wärmeleitenden Stab mit der überall gleichen Quer chnitt fläche A. Wenn wir eine Enden auf
unter chiedlichen Temperaturen halten, dann wird in ihm Wärmeenergie vom wärmeren zum kälteren Ende geleitet. Nach
einiger Zeit stellt sich dabei ein stationärer Zu tand ein, bei
dem die Temperatur gleichmäßig zum kälteren Ende hin
abnimmt weil er überall die eibe Querschnitt fläche hat. Die
Änderung der Temperatur pro Längeneinheit, al 0
TICu,
heißt Temperaturgradient.
Wir bezeichnen mit Cu die Länge eine kurzen Ab chnitt die e
Stabs. Entlang dieser Strecke herrscht im stationären Zustand
die Temperaturdifferenz !:.T (Abbildung 20.5 b). Wenn in der
Zeit panne 6.1 die Wärmemenge !:.Q übertragen wird, dann ist
die Geschwindigkeit der Wärmeübertragung QI!:./. Diese
Größe heißt Wännestrom. Er wird gewöhnlich mit I bezeichnet
und in der Einheit Watt (W) angegeben. Es wurde experimentell
ermittelt, das der Wärme trom bei der Wärmeleitung proportional zum Temperalurgradienten TI!:.x und zur Querschnittsfläche Ai t:
(20.7)
DEFINITION DES WÄRMESTROMS
(b)
A
20.5 a) Die Enden dieses wärmeleitenden tab werden mit Hilfe von
Wa erdampf und Ei auf unter chiedlichen Temperaturen gehalten.
b) Im Stabab chnitt der Länge 6x i t der Wärmest rom öQlöt proportional zur QuerschnÜtsfläche A und zur TemperaLUrdifferenz T
entlang des Abschnitts. Außerdem ist er umgekehrt proportional zur
Länge tlx des Abschnitt .
20 THERMISCHE EIGENSCHAFTEN U D VORGANGE
Tabe
ger
20.3
Wärmeleitfähigkeiten eini-
aterialien
k
Die Proportionalität kon tante k nennt man
ärmeleitrahjgkeif. ie hängt v m [at rial ab. durch das die \1 ärme fließt.
und wird mei t in ( . m I. K I) angegeben. Einig \i erle ind
in Tabelle 20. zusammenge teilt.
Wir lö en Gleichung 20.7 nach der Temp ralurdifferenz
und erhalten
Tauf
/(m·K)
Silber
Kupfer
Blei
Gold
Aluminium
Ei n
Stahl
1cY
(429)
(401)
(353)
(31 )
(237)
( 0,4)
T=/----!...
kA
(20. )
T= IR.
(20.9)
oder
Ur
TEMPERATURGRADIENT UND WARMESTROM
(46)
Darin i t R der WärnJewiderstand, der mei t in K·
ben wird:
-I
angege-
(20.10)
DEFINITION DES WÄRMEWIDERSTANDS
Beton
Gla
Wa ser b i 27 0
Eis
Harth lz
eichholz
Luft bei 27 0
(0,19-1,3
(0,7-0,9
(0,609)
(0,592)
(0,15)
ÜBUNG: Berechnen ie den ärmewider land einer
uminiumplaue mit einer Querschnit fläche
n 1 cm~
und einer Dicke von 2 cm.
(LÖllll:0.0-63K·
1=56.3mK. -I
---===:'1
(0,11)
(0,026)
20.6 Dcr Warm Ir m. d r zwei lhermi ch leilende chichi n au
,cr hiedenen :\1alenalien nachemander durch elZl. i I Im 13li nären
Zu land in tleld n chi hlen def'lClbe. Der gesamle \\ärme\\idersland
beider chlchlen ,,\ gleich der ummc au beiden emzelnen \i ärmewider länden.
ÜBUNG: Wie dick rnu eine ilberschichl ein, damit
ie bei gleicher Fläche den eIben Wärme" ider tand hat
wie eine 1 crn dicke Luf chicht?
Lö lmg: ~ = (1 cm)· (.J29) (0,026) = 1 500 cm = 16 01.)
Prakti ehe Bedeutung hat Cl der Wärme trom durch z ei oder
m hrere aufeinander liegende chichten au ver chied nen
aterialien, die di
ärme unterschiedlich gut ( der chlecht)
leiten. Bei piel wei e kann man die ärmedämmung an Haus\ änden durch nbringen on I olation chicbten verb em.
bbildung 20.6 zeigt zwei unter chi dlich tarkewärm leitende
chichten au ver chi denen Materialien, j doch mit der eIben
Quer chnitt Oäch . Hier i t TI die Temperatur auf der warmen
eite, T2 die an der Grenzfläche beider chichten und TJ die
an der kalten eite. Hat ich ein tationärer Zu land eing teilt.
ärme trom I durch beide
dann mus der (nun kon tante)
chichten derselbe ein. D folgt au d m Prinzip der ncrgieerhaltung. denn di auf iner
ite hineinfließende nergie
mu den ge amten Block auf der anderen eile in der eiben
Zeitspanne \ ieder erl en. wenn ich die Temperaturen d
BI ck nicht ändern.
it d n \ ärm \ id rständen R 1 und R~ der beid n chichten
gilt gemäß leichung 20.9:
und
20.4 WÄRMEÜBERTRAGUNG < < <
[
Wir addieren beide Gleichungen und erhalten
Da ergibt
(20.11)
Hier ist R der Wännewider tand der ge amten Schicht. Wenn
mehrere Wärmewider tände sozusagen in Reihe geschaltet
ind, gilt:
(20.12)
WÄRMEWIDERSTÄNDE IN REIHE
Diese Beziehung ist auf beliebig viele aufeinander folgende
chicbten anzuwenden; wir werden ihr in Kapitel 25 bei der Reihenschaltung elektrischer Widerstände wieder begegnen.
Will man die Wärmemenge berechnen, die beispielswei e au
einem Haus pro Zeiteinheit durch Fen ter, Wände, Türen, Kellerboden und Dach entweicht. dann mus man die einzelnen
Wärme tröme durch die jeweiligen Flächen ermitteln. Hier verlaufen die Wärmeströme sozusagen parallel, und man kann
jeden Wärmestrom a1 näherungswei e unabhängig von den
anderen ansehen. Bei allen Wärmeströmen liegt in die em Fall
ja ungefähr die eibe Temperaturdifferenz vor. Der ge amte
Wärmestrom I ist dann gleich der Summe aller einzelnen Wärme tröme durch die parallelen Wege:
Wiederum ist
(20.13)
Darin i t der gesamte Wärmewiderstand R gegeben durch
(20.14)
PARAllELE WÄRM EWIDERSTÄNDE
Auch die e GI ichung hat die elb Form wie die entsprechende
Ge etzmäßigkeit bei (in die em Fall parallel ge chaiteten) elektrischen Wider tänden (siehe Kapitel 25). Beachten Sie, da
owohl für die hintereinander al auch für die parallel geschalteten Wärmewider tände (Gleichung 20.11 bzw. 20.13) der Wärme trom I proportional zur Temperaturdifferenz ß T i t. Da
entspricht dem ewton'schen Abkühlung gesetz. In den Beipielen 20.4 und 20.5 werden diese Zusammenhänge vertieft.
Die e Thermogramm lä t erkennen, an welchen Stellen besonders
viel Energie vom Inneren des Hause nach außen gelangt. Je heller die
Färbung ist, desto größer i t der Wärmestrom.
~
»
20 THERMISCHE EIGENSCHAFTEN U
o VORGÄNGE
BEISPIEL 20.4: Wärmestrom durch z
In bblldung 20.7 sind zwei an rnander 9 I gte
taUb oc e us B I b • aus Silber d rg eilt. Sie sind
e Is
5 cm lang, hab n ernen Querschnitt von 2 cm mal 3 cm und
befind n sich, wie 9 z Igt, zwisch n zwei Wanden. Eine der
Wande wird auf 100 C gehalten, die andere auf 0 C
Berechnen SIe a) de gesamten Warme trom durch beide
Blöc e und b) die Temper tur an der Grenztl che zwischen
beiden Blöck n
20.7
ZUR ÜBUNG
Problembeschreibung: Oie b iden ärme\ iderslände iod in Reihe g challet. a) Den ge amlen Wärme trom berechnen
ie aus d rB zi hung 1= TlR.", b i ich d r ge rote ärm widerstand aus der umme der eiden Einzeh ider länd
ergibt. Die e ermitteln ie mit Hilfe von GI ichung 0.10 und den Wärmeleitfähigkeiten in TabeIl 20.. b) Die Temperatur
an der Gr nzfläche zwi chen b id n Blöcken berechnen ie mit d r Beziehung 1 = TIR) für den Bleib! k. wobei ie
nach
T auflö en und den Wert
n I au Teil a ein etzen.
Lösung:
D cken ie I'unäch I die rechle palte ab und Hl'Suchen je jeneil
chrille
Teilaufgabe a
I. Orücken i d n ge ami n
der
die
rgebnis e elb t zu enniltelo.
Ergebni e
ärmewide tand al
ärme\i ider lände b ider BI"" ke au
um me
R=R
2. lellen i mit Gleichung 20.10 die bhängigkeit j d
~ 'iderslan
v n d r jeweilig n ärmeleilfähigkeit und von
den bme ungen auf.
R
3. Berechnen ie mil Gleichung 20.1 den
land.
1
ärmewider-
R
k
R
k
Pb
TIR =1232
wl
Teilaufgabe b
!. Ber chnen ie die Temp ralurdifferenz enllang d Bleibl k wob i ie die in a ermittelten Wert de
ärmeIr mund de 'V ärmewider land ein elzen.
2.
rmilleln ie mil die em rgebni die Temp ralur an der
renzflach Liehen den Blöcken.
3. . berprüfen ie d
differenz entlang de
L
Ipt,
I
= 1 Rpt,
IIXI C -
1
= IR
:4.9 K
T,
54.9 C
/ 4:. 1
- 4:.1 (
20.4 WÄRMEÜBERTRAGUNG <
BEISPIEL 20.5: Wärmes rom durch zwei parallele Metallblöcke
Dieselben Metallblocke wie im vorigen Beispiel sind nun
parallel angeordnet, wie in Abbildung 20.8 gezeigt.
Berechnen Sie a) den Warmestrom durch jeden Block,
b) den gesamten Wärmestrom und c) den gesamten Wärmewiderstand der beiden parallel angeordneten Blöcke.
oe
100
Ag
20.8
Problembeschreibung: Für den Wärme tram durch jeden Block i gilt J,= TIR" wobei R, der ärmewide tand de
jeweiligen Block i t; die beiden ärmewider tände wurden in Bei piel20.4 berechnet. Der ge amte ärme tram i t die
umme beider ärme tröme, und der ge amte Wärmewider tand kann mit Gleichung 20.14 oder mit der Beziehung / = TlR
errechnet werden.
Lösung:
Tellaufgabe a
Berechnen ie den
1Pb
ärme tram eine jed n Block:
-....I..
- 100 K
Rpn - 0,236 K.
-
-\
T
lOOK
1Ag =R=0194
K· W \
Ag
,
I WI
= 42'...
~
=~
Teilaufgabe b
ddieren ie die ärme tröme, um den ge amten
trom zu ermitteln:
ärrne=424
Teilaufgabe c
1. Berechnen ie mit Gleichung 20.14 den rsatzwärmewiderstand der beiden parallel angeordneten Blöcke:
1
R
+51
1
R Pb
I
RAg
=~
1
0,236 W
-=-+-=-::-::-::-::---:-::-:
damit i t
2. berprüfen Sie da Ergebni an hand der Beziehung
J= TlR:
1= TlR
T
100 K
R=-I-=~=0,J07 K·
r i I al jeder einz Ine \ ärm wide land. Die i I b
o
»> 20 THERMISCHE EIGE SCHAm
U 0 VORGÄ GE
armew' der andsx/k einiger Baumat rialien
ImBauw en\\.irdoftni htdi Warm leitfahi kcildcr at rialien an e eben. ndern d r
nannl
"nu widerstandsfaktor. r i I definiert al der ärme\ ide land. den ein 1 m2
gr ße lü k de betreffenden erk toff b i iner gegebenen
chichtdicke von
hat. ach leichung 20.1 0 i t der ärrnewiderstand R= ~/(kA). MultipliLiert man mit der Fläche A,
dann erhält man d n Wärmewiderslandsfaktor:
20.1 )
DES WARMEWIOERSTANOSfA
DUI ITlO
ORS
Darin' I r die c1lichtdicke und k die 'i ärm leit ähigkeit. Der
\l ärmewiderstandsfaktor wird mei t in der ioh it m2 • K. \ I
angegeben. In der Technik wird er häufig als Wärmedllrchlas wider land b zeichnel; jedoch i t die e
ort mis erständlich,
denn r gibt den ärm wider land pro Flächeneinbeit an. In
Tabelle 20.4 ind eioige typi che erte on ärmewiderstan faktoren zusamrnenge lellt. und Z\ ar für je eil gebräuchliche
bzw. reali ti che ehichtdicken (zu cbaum I ffen gl. auch
bbilduog 20.9). Eine GI
h ibe hat ein 0 r lati eringen
ärmewid landsfaktor.
In d r Pr~ j ist natürlich d
röße. d nn er gibt an. wie i I ärrne pro Z it inheit beipiel wei aus d m Haus durch 'i ände. D cken und F oster
entweicht. ach Gleichung 20. i t der \l änne tr m
I=~A
T.
Mil d rn
ärme ide tand fakt r
chung 20.1 ergibt i h daraus
r=
~/k
g mäß Glei-
1=- T.
r
20.9 haum I ffe ignen i h be nders gUI zur \\armedämrnung.
Hlcr \\lrd für dcn \\erk loff P 11 ;anural g w rbcn. ein Wärme·
\\. Iclersland i I I gleicher Plallen lärke etwa iebcnmal höhcr al dcr
einer H Inp npl lle.
(_0.16)
Der ge amte 'i ärm Ir m durch parallele hicht n i t gleich
der umme der einzelnen ärme tr"me. nd b i auf inander
lieg oden chichteo addieren ich die ärm id tand fakt ren eb n . wie e b iden ärme\ id rständen gemäß Gleichung 20.12 der Fall i t:
In Bei piel_0.6 wird die e Beziehung angewend t.
Oi 'i ärmeleilfähigkeil on G
n. . pi 1 wei der Luft. i t
we entlich gering r al die \on F1ü igkeiten oder e lkörpern.
Dah r i 1 Luft ein ehr gute I lati n material. enn ab r di
Dicke der Luft hieht - t a z\i ch n dem Inn n- und dem
ußenfen ter ein r I liervergla ung - zu gr ß i t. dann \\ird
di i olierende'i irkungdurch di
n ektion tark \ermind n.
Eine Temperaturdiffcren.l zwi ehen e chieden n Teilen de
Luftvolumen \ ird nämlich dur h Kan cktian "trömung n
chnell u geglichen. a da di effekli\e \ ärmel ilfähigk it
der Luft chicht tark erhöht \\ird. BiO pp Ivcrgla ungen i t
ein b ta nd d r h ib n v n 1- _ cm ptimal. Bei ein r dl keren uf hicht wird die thermi che I olatian. wie g agt. dur h
dIe
mektl n rmind rt.
20.4 WÄRMEÜBERTRAGUNG «<
BEISPIEL 20.6: Wärmestrom durch Wände und Decke
Nehmen Sie an, an Ihrem Haus ist em 3 m mal 5 m großer und innen 2,5 m hoher Geräteschuppen angebaut, dessen eine
Längsseite die Hauswand ist. Sie wollen diesen Raum nun als Hobbywerkstatt nutzen, also vom Haus aus zugänglich machen und auch beheizen. Leider hat der Schuppen nur eine einfache, 20 cm starke Ziegel mauer. Sie wollen Heizkosten
sparen und die drei Außenwände sowie das Dach besser isolieren. Dazu verwenden Sie eine 5 cm starke Polystyrolschaummatte, die Sie mit Weichholz (3 cm stark) verkleiden. WievIel HeizenergIe konnen Sie in 24 h sparen, wenn die Außentemperatur um durchschnittlich 15 C tiefer als die Innentemperatur liegt? ehmen Sie der Einfachheit halber n, dass
die Wärmeisolation des Dachs derjenigen der Außenwände entspricht, und lassen Sie die Fensteroffnung außer cht.
Schätzen Sie auch die dadurch erzielte Einsparung an Erdgas ab. (Der mittlere Heizwert von Erdgas liegt zwischen 25 MJ und
56 MJ pro Kubikmeter.)
IM KONTEXT
Problembeschreibung: E müs en zwei Wärme tröme berechnet werden: der durch die unverkleidete und der durch die
mit Schaum toff und Holz verkleidete Ziegel mauer. Die Differenz der Wärme tröme ent pricht der einge parten H izlei tung. Die ärmewiderstände iod Tabelle 20.4 zu entnehmen \ obei ggr. auf die unter chiedlich chichtdicke zu acht n i t.
Lösung:
1. Der Wärmewiderstand faktor einer 30 cm tarken Ziegelmauer beträgt 0,67 m2 . K· W- I • Daher mü en ie für die
20 cm starke Mauer zwei Drittel davon an etzen:
rz = ~ . 0,67
m2
rp
= 1,2 m
K .
3. Den Wärmewider tand fakt r der H Izverkleidung entnehmen ie wegen der gleichen Schichtdicke direkt der
Tabelle 20.4:
'H
= 0,20 m2
4. Der gesamt
ärmewiderstand faktor der erkJeideten
Mauer i t gleich der um me der drei einzelnen Wärmewider tand faktoren:
r
5. Die Ge amtnäche, die b er i o)iert werden 11, etzt
ich folgendermaßen zu ammen: 3 m mal 5 m Dach owie
zwei ußenwände mit 3 m mal 2,5 m und ein Außenwand
mit 5 m mal 2.5 m:
A = (15
2. Der Wärmewider tand faktor de Pol t rol chaum
beträgt bei einer 10 cm tarken chicht 2.4 m2 . K· -1. Al
i t er bei der 5 cm tarken Platte halb 0 groß:
6. Der Wärme trom durch die Ziegelmauer ohne
i olation i t nach Gleichung 20.16:
2
•
.
K . W- 1 = 0,45 m Z
•
K . W- I
0
K . W
1
= rz + rp + rH
= (OA + 1.2 + O,20)
= 1,85 m2 . K·
A
Iz =rz
ärmc-
.
+ 15 + 12,5)
-I
m- . K .
m2 = 42,5 m2
T
--.,,----....,.•. (15 K) = 1420
0,4
I=~
7. Der Wärme trom durch die i oliertc Mauer i t:
r
T
42.5 m2
--.,,----....,.1 .
1,
. Die Differenz bei der
/z - 1 = (1420 - 344)
ärme tröme i t:
9. Daraus berechnen ie die in 24 h einge parte Heizenergie:
Q-(I.O kJ·
(15 K)
= JM
= 1076
1).(2~h)·(3600
= 1.0
k\
h I)
=193000 kJI
10. Au dem Durchschnitt der angegebenen Heizwerte (al
H = 40 . 103 kJ . m 3) und der pro Tag erzielten Energi differenz berechnen ie das eingesparte
0
lumen an Erdga:
v =-.2
H
=
93?OO kJ
40·10' kJ . m
3
=1 2,3 m31
Kommentar: Die e B rechnung i t natürlich nur eine grobe Ab hätzung. ber ie ermittelt einen
ie) Heizenergie chon durch eine ehr einfach
ärmei lation einge part werden k.ann.
indruck dav n, wie
63
2
20 THERMISCHE EIGENSCHAFTEN U D VORGÄNGE
Die wärme isolierende Eigen naft der Luft (oder anderer Ga e)
\ ird am be ten a genutzt wenn m n das Ge mtvolum n in
kleinere b chnitte unterteilt. 0 da die on ektion weitgehend erhindert wird. Darauf beruht b . pielswei e die au gezeichnet
ärmeisolation von Daunen teppd cken oder von
aufge chäumten Kun tstoffen wie t ropor.
~ enn ie an inem kalt n Tag die Ion n ite der Fen te chei e
berühren, dann bem rken ie, da
ie deutlich kälter al die
Luft im Zimmer i l. D liegt daran. d
der ärmewide tand
der Gla eh ib haup ächlich on d n dünnen Luft chichten
herrührt. die auf ihren beiden eiten haften. Die Dicke der Gla heibe hat auf den ge amten ärm widerstand nur geringen
innu . Die Luft chicht an einer cheibenfläche erhöht den
ärme iderstand um rund 45%. und die beidseitigen Lufthi hten e irken eine Erhöhung um 90%. Bei einer n-fachen
erglasung i t daher ein ergrößerung de
ärme iderstand
um den aktor (1 + 0.911) zu ef' arten. wenn zwi chen den Fen terscbeiben keine Konvektion auftritt. tarker ind erwirbelt
di äußere Luf chicht w itgebend und erniedrigt dadurcb d n
ärme iderstand der Fen terscheibe deutlich.
Konvektion
mgeDi on einem Gegen tand dur h Kon kti n in in
bung übertragene V ärm menge j t t\ a pr porti nal zu ein r
Ob rfläche und zur Temperaturdi(ferenz gegenüber dem ihn
umgeb nden fluiden
edium. an kann in
Jeichung für
di durch Kon ektion be\ irkte nergi übertragung aufstellen
und einen Kon ektion koeffizienten defini ren: jed b' teine
au h nur annähernd e akte Be hreibung v n K n ektions orgängen 0 kample . d
ie hier nicht behand It w rden kann.
Wärmestrahlung
Jeder Körper emittiert und ab rbiert elektromagneti ehe
trablung. Befindet er ich in thermi chem Gleichgewicht mit
iner mgebung. 0 olIziehen ich Emi ion und b orpti n
von ärme mit gleicher Ge chwindigkeit. Die
n ihm abg trahlte Lei tung i t pr portional zu einer Oberfläche und zur
ierten Potenz der ab oluten Temperatur. Die i t die u age
d
tefan-Boltzmann' ehen Ge etze da 1 79 on Jo ef tefan
mpiri eh gefunden und on Lud\ ig Boltzmann rund fünf Jahre
päter the reti ch b gründet wurde. E lautet:
Pe
= eaA r.
(20.17)
STEFAN-BOlTZMANN'SCHES GESETZ
nter K n ektion ersteht man di mit einem tofftran port
verknüpfte .. bertragung .. on \ ärme. ie fmd t bei pielsweis
tändig in den eere trömungen taU. aber auch in globalen
Zirkulationen in der tmo phäre. Betrachten wir einen ganz
einfachen Fall von Kon ektion. nämlich bei d r Erwärmung
eine fluid n
edium einer Flü igkeit oder eine G
v n unt n. bei pie I wei e auf einer Herdplatte. Die ef' ärmte
Fr igk it dehnt ich au und teigt aufgrund der geringeren
Dichte nach oben. während kalte Flü igkeit on oben herab
inkt. Die mathemati che Be chreibung i t ehr kompliziert.
\ eil die tr"mung ge chwindigkeil on der je eiligen Temperaturdifferenz an den e chi d n n leUen in der Ai! igkeit
abhängt und weil die Temperaturdifferenzen ihr rseil durch
die lrömung beeinflu t werden.
Darin i t Pe die abge trahlte (emittierte) Lei tung. A die Oberfläche und T die ab olute Temp ralur. Die Größe e. der mis ionsgrad. liegt zwi chen 0 und 1 und hängt von der Ob rfläch nbe chaffenheit de trahlenden Körpers ab, Der Faktor a i t die
t fan-Boltzmann-Koostante. ie hat den" ert
(20.1 )
a = 5.6703· 10
Fällt elektromagneti che trahJung auf einen undurch ichtigen
Körper, dann wird i leih ei e reflektiert und 1 ilw i ab rbier!. Farbige Gegen tänd refleklieren den größt n Teil d
ichtbaren Licht. während dunkle Körper den größten Teil
ab orbieren. Die bei d r rngebung temperatur Ta ab rbierte
lrahlung I i tung i t
p. =eaA
Tci,
(20.19)
enn ein Körper mehr trahlung emittiert. al er ab rbiert,
dann kühlt er sich dadurch ab. während die mge ung durch
b orption der trahlung de Körpe erwännt wird. Da gilt
auch umgekehrt: Wenn d r K"'rp r mehr trahlung ab orbiert.
al eremiltiert. 0\ ird er wärmer. und die die trahlungemitti r nde mgebung kühlt ich ab. Die etto trahlung lei tung
eine .. rpers. der die Temperatur That und ich in einer mgebung mit der Temperatur Ta befindet. i t
p= eaA
(r -
Tci).
(2 .2 )
V enn i h ein Körper in th rmi hem lei hge\ . ht mit ein r
mgebung befindet. haben beide die Temperalur T= To• und
der Körper ab orbiert eine eben 0 hohe trahlung lei tung. wie
er emitti rt.
in n Körper. der die ge amte auftreffende trahlung ab rbiert, nennt man chwarzen örpcr. r i t gl icbzeitig ein idealer trahler. hal al 0 d n mi ion grad I. eine trahlung-
20.4 WÄRMEUBE.RTRAGUNG
eigenschaften können the rell ch berechnet" erden und pi I n
in der Ph ik eine große Rolle. inen ch\\arzen Körper kann
man mit chwarzem amt näherung ei e reali ieren, aber die
be te Reali ierung be teht in einem Hohlraum, der eine kleine
Öffnung hat, durch die trahlung einfallen und au treten
kann. Die trahlung im Inneren wird or dem iederaustrill
o oft reflektiert und dabei teilwei e ab rbiert. da
ie mit
den Wänden in thermi chem Gleichgewicht teht (Abbildung 20.10). \i enn ie chließlich austritt. i t ie charakteri tisch
für di Temperatur der ände de Hohlraum Die trahlung
eines chwarzen K"rpers nennt man de halb auch Hohlraumstrahlung.
Bei einer Temperatur unterh Ib von rund 600 C i t die trahchwarzen Körpers nicht ichtbar, \ eil ie fa t 011tändig bei Wellenlängen über 00 nm liegt (ichtbare Licht
er treckt ich ungefähr on 400 nm bi 700 nm; iehe KapiteI3I). Aber mit höherer Temperatur teigt die Strahlung lei tung gemäß Gleichung 20.17 tark an. und die trahlung
nimmt außerdem immer kleinere ellenlängen bz\ . höhere
Frequenzen an. Zwi chen 600 und 700 fällt chon ein merklicher Anteil der trahlung in d nichtbar n B r i h. uod man
ieht dunkle Rotglut. Bei weiter teigender Temperatur
erscheint helle Rotglut und chließlich
ei ßgJ ut.
bbildung 20.11 zeigt die Wellenlängenabhängigkeit der emittierten
trahlungslei tuog bei drei er chiedenen Temperaturen. Die
Wellenlänge de Maximum i t umg kehrt proportional zur
Temperatur. Die en Sachverhalt nennt man Wien' cbes Vercbiebung c eu:
100 eine
2,9 mm· K
T
<
20.10 Mil einer Höhlung und einer kleinen Öffnung nach außen kann
ein chwarzer Körper ehr gUI angenähert ~erden. Durch die Öffnung
einfallende trahlung wird im Inneren 0 oft ab rbiert und wieder
emittiert. d
ie mit großer V ahrscheinli hkeit vollständig absorbiert
wird. be or ie \ ieder au treten kann. Dadurch leht ie mit den
Wänden in thermi chem Gleichgewicht. Die durch die Öffnung emiltierte trahlung (hier nicht gezeigt) i t deswegen cbarakteri ·tisch für
die Temperatur der ände der Höhlung.
( O. 1)
WIEN'SCHES VERSCHIEBU GSGESETZ
Mit Hilfe die er G etzmäßigkeit kann man die Oberflächentemperatur on ternen au der harakteri tik ihrer trahlung
be timmen, wie Bei piel20.7 erdeutlichl. uch die Temperaturen an er chied nen teIlen der Oberfläche on heißen K"rpem la en ich anband di
Zu ammenhang ermitteln. Die
ufnahme 0 genannter Wärmebilder nennt man Tbermografie.
ie i t unter anderem in der medizini chen Diagno tik nützlich.
eil b i pieI ei kreb befallene G \ ebe eh a "ärmer i t
als ge unde - wie die Thermografie auf der näch ten eit zeigi.
Die pektrale erteilung der trahlung eine chwarzen Körp
bbildung 20.11) war bei der Entwicklung d r mod rnen Ph}ik hr bedeut am. E zeigte ich nämlich. d
die tat ächliche
ellenlängenabhängigkeit der traWung eine ch\ arzen Körpers tark on derjenigen abweicht, wi i mit den Ge etzen
der kla i ehen Ph ik berechnet werden kann. Die rklärung
die er Di kr panz führte a.x Planck um da Jahr 1900 zur
Hypothe e von der Quantelung der Energie.
\! enn ich die ab olute Temp ratur Tein Körp
nur wenig
\on der mgebung temperatur Tu unter cheidet. dann gilt für
die n trahlenden Körper da ewton' che bkühlung ge ctz.
Da b deutet. die on ihm nelto abge trahlle L i tung i t et\ a
proportional zur Temperaturdifferenz. m da zu z igen. f rm n wir GI ichung 20.2 um:
P=eaA (']'4 -~)
= eaA (T~+ TJ)(T~ -
= eaA (T 2 + T~)(T + To) (T - Tu).
T~)
).fIJm
20.11 Die trablung. lei lung eine chwarzen Körpers in bhängigkeit von der Wellenlänge für dr i verschiedene Temperaluren. Die
ellenlänge de Maximum i I umgekehrt prop rtional zur ab luten
Temperatur de Körpe
633
20 THERMISCHE EIGENSCHAFTEN UND VORGÄNGE
BEISPIEL 20.7: Die Strahlung der Sonne
a) Die von der Sonnenoberfläche emittierte Strahlung hat ihr Intensitätsmaximum bei einer Wellenlänge von rund 500 nm.
ehmen Sie an, dass die Sonne einem schwarzen Korper entspricht. Wie hoch ist dann ihre Temperatur an der Oberfläche? b) Berechnen Sie 1.11' der Strahlung eines schwarzen Körpers bei Raumtemperatur, also bei T = 300 K.
Problembeschreibung:
erwenden ie in beiden Fällen da Wien' che
erschiebung ge etz.
Lösung:
Teilaufgabe a
ie mit Gleichung 20.21 die Temperatur T:
Berechnen
Al1UJl = 2,89 mm· K
T
Damit i t
T
= 2.
9 mm· K
AmllX
= 2.89
mrn· K
500 nrn
=15 00 KJ
Teilaufgabe b
Ermitteln
j
)'ma, für T
= 300 K:
A
m.x
= 2, 9 mm· K = 9 66 . 10 ]
300 K
.
mm
Kommentar: Das aximum d r trahlung lei tung der onne liegt im ichtbaren Bereich de pektrums. Die trahlung charakt ri tik der on ne timrnt ungefähr mit der ein
chwarzen trahler überein. Daher war e nicht unberechtigt,
die onne al chwarzen Körper anzunehmen. Die V eUenlänge de trahlung maximum eine chv arzen Körpe mit 300 K
liegt im infraroten Bereich, b i weit höheren Wellenlängen al denen de ichtbar n Licht. Die erstreckt ich bi etwa
700 nm. I 0 können auch Körper, die un nicht h\ arz er cheinen, im Infraroten al ch arze Körper wirken. Ent prechend
teLl te man fe t, da s die Haut de
n chen, unabhängig von d r Hautfarb , im Infraroten ebenfalls al chwarzer Strahler
\ irkt. al 0 den Emi ion grad 1 hat. Die Wärme trahlung der Haut können ie in Bei piel 20. berechnen.
Wenn T - To klein i t, dürfen wir, ohne einen großen Fehler zu
machen, in den ummen T durch To er etzen. Damit erhalten
Wlr
I1P = eoA (rt -
Iri)
:::::eoA (Tg + T~)(To + To)(T - To) = 4eoA T~ 6.T.
Wie e auch das ewton' che bkühlung ge etz bc agt. i t die
nello abge trahlte Lei tung proportional zur Temp raturdifferenz T. Da Ibe Ergebni können wir auch durch differenzielle äherung rhalten:
Darin j t Pe = eo Art. Für kleine Temperaturdiffer nz n
T - To ergibt ich
P~4eoAT1IT To(T-T(J)=4eoAT~
nhand . olcher Thermogramme la en ich Thmoren im Gewebe
auE püren. erkennbar an den unter chiedli hen ärbungen.
T.
20 ZUSAMMENFASSUNG
BEISPIEL 20.8: Die
ärmestrahlung des menschlichen Körpers
Berechnen Sie die von einem nackten Menschen in einem Raum mit 20 C netto abgestrahlte Leistung. ehmen Sie an,
dass die Hautflache wie ein schwarzer Strahler wirkt und eine Flache von 1,4 m' hat. Die Korperoberflache hat eine Temperatur von ca. 33 C bzw. 306 K.
ZUR ÜBUNG
Problembeschreibung:
i t al da Körperinnere.
i t zu beachten, da
die HaulOb rOäche wegen de
ärme\! id r tand der Haut et\va kühl r
Lösung:
Decken ie lunächst die rechte palte ab und versuchen ie jeweils, die Ergebnisse elb t
ehritte
LU
ennitteln.
Ergebnisse
erwenden ie Gleichung 20.20 und etzen ie e= 1 owie T
To = 293 K.
P-lllW
= 306 Kund
Kommentar: Da i t eine recht große Energieabgabe. ie ent pricht ungefähr dem Grundum atz. (120 ) eine erwachenen Menschen. Einen zu großen Energieverlu t durch Ab trahlung ermindern wir mit un erer Kleidung, die wegen ihr r
geringen Wärmeleitfähigkeit an der uBen eile deuLlich kühler i t und daher eine we entlich geringere trahlung lei lUng
emittiert.
Zusammenfassung
Thema
Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1. Thermi ehe
Linearer
usdehnung .
u dehnung koeffizienl a
olumenau dehnung koeffizient
=
pp
----r
(20.2)
VI
(20.4.20.. )
ß=--=3a
T
2.
_
(P+ al~~)(V bn) = ii R T.
3.
Der ättigung dampfdruck i t der Druck. bei dem die nüs ige und die ga förmige Pha e
iner ub tanz bei der jeweIligen Temperatur miteinander im leichge\\i ht teh n. inc
Flü igkeit iedet bei der Temperatur. bei d r ihr Dampfdruck dem äuß r n Druck ntpricht.
4. Tripelpunkt
Der Tripelpunkt i t da jenige
n Druck und Temperatur. bei dem feste. Oü "Ige
und ga förmige Pha e einer ub tanz miteinander im leichge\\icht. tehen. Bei Drücken
unterhalb dOlde Tripelpunkt d rb treffenden ub tanz kann deren nü -ige Pha e nichl
e i tieren.
5. Wärmeübertragung
Wärme kann durch drei Mechani men übertragen werd n: Wärmeleitung. Konvektion und
trahlung.
Bei allen Mechani mcn der ärmcübenragung i t bei geringem Temperaturunters hied
die bkühlung ge ch\\indigkeit eine Geg n land näherung \\ci c prop rtional7ur
Temperaturdifferenz zieh n ihm und einer mgebung.
J
I
»> 20 THERMISCHE EIGENSCHAFTEN UND VORGÄNGE
6. Wärmeleitung
Der Wärmestrom. a1
i t gegeben durch
Wärme trom
0
die pro Zeiteinheit durch Wärmeleitung übertragene Wärmemenge,
1= Jl = kA ~.
öT
/ll
Darin i tl der Wärme trom, k die Wärmeleitfähigkeit und
(20.7)
T//ll der Temperaturgradieot.
(20.9)
Wärmewider tand
Darin i t R der Wärmewider tand:
R=/ll.
kA
(20.10)
Ge amter Wärmewiderstand bei
Wärmewider tänden in Reihe
(20.12)
Ge amter Wärmewiderstand bei
parallelen Wärmewider tänden
Wärmewider tand faktor
(20.14)
Dies ist der Wärmewider tand den ein 1 m2 große
einer gegebenen chichtdicke von /),.x hat:
öx
(20.15)
r=T'
Darin i t k die Wärmeleitfähigkeit. Der Wärme trom durch die Fläche A i t damit gegeben
durch
I
=~
r
T.
(20.16)
7.
(20.17)
Darin i t 0=5,6703'10- W· m- 2 . K-4 die tefan-Boltzmann-Konstante und e der Emi sionsgrad. der zwi ehen 0 und 1 liegt und von der Oberflächenbe chaffenheit de betreffenden Körpers abhängt. toffe, die Wärme trahJung gut ab orbieren, emittieren ie auch
gut.
Abgestrahlte Wärmeleistung
Die von einem Körper mit der Temperatur T an seine Umgebung mit der Temperatur Ta
abgestrahlte Wärmelei wng i t
öP = e 0 A (T' -
chwarzer Körper
Tri).
(20.20)
Ein chwarzer Körper hat den Emis ion grad e = 1. Er ab orbiert sämtliche auf ihn einfallende trahlung und i t auch ein idealer Strahler.
Die von einem Körper emittierte Strahlung lei tung hat ihr Maximum bei der Wellenlänge
Am....' die umgekehrt proportional zur ab oluten Temperatur T des Körper i t:
i.
- 2 898 mm . K
'ma. -
T
(20.21)
20 THERMISCHE EIGENSCHAFTE
UND VORGÄNGE
Van-der-Waals-Gleichung, Flüssigkeits-DampfIsothermen und Phasendiagramme
20.14.
a) Berechnen ie da
olumen on 1 mol Wa erdampf b i 100
und 1 bar; nehmen ie an, d r Dampf verhält ich ie da ideale Ga. b) Bei welcher Temperatur
nimmt d r Dampf da in a rmittelte olumen in, enn er
ich wie ein Van-d r-Waal -Ga erhält? tzen ie für de sen
Kon tanten 0 = 0.55 Pa' m h • mol-~ und b = 30 cm 3 . mol-I.
20.15 ••
Für Helium betragen die Van-der-WaaJ Kon tant n a = 0.03-+57 12 . bar· mol 2 und b = 0.0237 I· mol-I.
Ber chnen ie damit da olumen in Kubikzentimeter, da ein
Heliumatom be etzt, und chätzen ie de sen Radiu ab.
20.16 ••• a) Zeigen Sie, da für ein Ga da der Van-deraal -Gleichung gehorcht, die kriti che Temperatur Tt gleich
a/(27 R b) und der kriti che Druck Pt gleich 0/(27 b 2 ) i t.
b) Formulieren ie die Van-der-WaaJ -Gleichung in Abhängigk it on den reduzierten Variablen r = V/V und Pr = P/ Pt
owie T, = T/Tl .
Wärmeleitung
20.17.
Ein 2 m langer Kupfer tab hat einen krei förmigen Querschnitt mit dem Radiu 1 cm. Ein Ende wird auf 100 C
gehalten, das andere auf 0 . Die Mantelfläche de tab i ti 0liert, 0 da die über ie abfließende Wärme vernacWä igt werden kann. Berechnen ie a) den Wärmewiderstand de tab
b) den Wärme trom f, c) den Temperaturgradjenten T/t:..x,
d die Temperatur d
tab beim b tand 25 cm vom heißen
Ende.
20.18 ••
Zwei Metallwürfel mit der Kantenlänge 3 cm,
einer au Kupr rund d rand re aus Juminium ind angeordn t, ie in bbildung 20.13 gezeigt. Berechnen ie a) den ärme iderstand jede
ürfel b) d n ärrnewider tand beider
Würfel, c) den Wärme trom f, d) die Temperatur an der
Grenzfläche zwi hen d n Würfeln.
]00
Cu
I
20.13 Zu
20
Al
I
-
1...·..•....-'
ufgabc 20.1 .
20.19 ••
Beim Dampf rz uger eine Kraftwerks oll ein
a er übertragen erden.
ärmelci tung von 3 G auf da
Di c ~trömt zur crdampfung durch ein Kupferrohr mit
einer Wanddicke
n 4.0 mm und einer Obertläche on
0,12 m~ pro Meter Läng . Berechnen ie die Ge amtlänge de
Rohr (in irklichkeit \ erden iele parallele Rohre verwendet), die durch den Ofen erlaufen mu wenn die Dampft mperatur bei 225
und die Außentemperatur de Rohr bei
600
liegen.
Wärmestrahlung
20.20.
ebrnen ie den men hlichen
an (da
chwarzen trahler der Temperatur 33
Temperatur der Hautoberfläche) und berechn n
Wellenlänge de trahJung maximum.
20.21 • •
Eine ge chwärzte, ma i e Kupferkugel mit dem
Radiu 4 cm hängt in einem e akuierten Gefäß, de en Wandungen eine Temperatur von 20~ haben. Die Kugel hat eine
Anfang temperatur von 0 . Berechnen Sie - unter der
Annahme, da
ärme nur durch trahlung übertragen wird die Ge ehwindigkeit ihrer Temp raturänderung.
Allgemeine Aufgaben
20.22 • •
Zeigen Sie, da bei einem Temperaturan tieg
um t:..T für die Dichteänderung D.f2 eine i otropen Material
gilt:D.f2=-ßp T.
20.23 ••
Die olarkon tante i t die trabJungslei tung der
onne, die beim mittleren Ab ta nd zwi chen onne und Erde
pro Flächeneinheit senkrecht zur Irahlungsrichtung auf die
Erdoberfläche trifft. ie beträgt in der oberen Atmo phäre
rund 1,350 kW/m~. ehmen ie die onne als ehwarzen trahler an und berechnen ie ihre effektive Oberfläcbenlemperatur.
(Der Sonnenradjus belrägt 6,96 . lOS m.)
20.24 ••
a) Verwenden Sie die Definition des Volumenau dehnung koeffiZienten ß (bei konstantem Druck) und zeigen ie, da für da ideale Ga gilt: ß= 1fT b) Für Stick loffga
wurde bei 0
der
ert ß = 0,003673 K- I experimentell
bestimmt. Vergleichen ie die en Wert mit dem lheor ti chen
Wertl/T für da ideale Ga .
20.25 ••
Die Temperatur d r Erdkru te nimmt pro 30 m
liefe durchschnittlich um 1,0 C zu. Ihre mittlere Wärmeleitfähigkeit beträgt 0,74 J ·m-l·s I·K I. Welche Wärmemenge pro
Sekunde führt die Erdkruste aufgrund von Wärmeleitung au
dem Erdkern ab? Wie hoch i t die e Wärmeabgabe im Vergleich
zur trahlung lei tung. die on der Olle auf die rd g langt?
(Die olarkon lante beträgt rund 1,350 k /m~.)
20.26 ••• Ein tab hat einen ich entlang einer Länge
ändernden Durchme erd. Für die en gilt d=do(1 +ax).
wobei 0 eine K n tante i t und x der Ab tand von einem
Ende. teilen ie einen u druck für den
ärmewid rstand
de tab mit der Länge auf, de en Material die ärmeleilfähigkeit k hat.
20.27 ••• Auf einem Teich ehwimmt eine 1 cm dicke Ei chicht. a) Um wie iele Zentimeter pro tunde wird die Ei chichl unten djcker. wenn die Lufttemperatur -10
beträgt?
Ei hat die Dichte 0,917 g/cm 3. b) Wie lange dauert e bi ich
eine 20 cm dicke Ei chicht gebildet hat?
994
»> 31 EIGENSCHAFTEN DES LICHTS
Im sichtbaren Bereich des Lichlspektrums sind die Photonenenergi n bei den kleinsten bzw. bei den größten Wellenlängen
daher gegeben durch
hc
1240 eV· nm
400 nm
= 3,10 eV
(31.4a)
hc
1240 eV . nm
700 nm
= 1,77 eV.
(3I.4b)
E400nrn
=T =
E 700nrn
=T =
und
Weil die Energieniveaus in Atomen keine beliebigen Zwischenwerte annehmen können, sind auch die Energien der emittierten
Photonen auf bestimmte Werte beschränkt. Das führt zu den
schon erwähnten Spektrallinien. Und mehr noch: Die Energieniveaus und daher die Spektrallinien des emittierten Lichts
sind charakteristisch für das chemische Element, das sie aussendet. Die e schmalen Linien werden aufgrund des DopplerEffekts etwas verbreitert, weil sich die Atome im Gas relativ
zum Beobachter ungeordnet bewegen und weil sie außerdem
ständig mit anderen Atomen zusammenstoßen. Die Linien
sind um 0 'chmaler und daher umso besser voneinander
getrennt je geringer die Dichte des emittierenden Gases ist.
Die Untersuchung der Linienspektren des Wasserstoffs und später auch anderer Elemente führte zu er ten Erkenntnissen über
die Energieniveaus in den Atomen.
Kontinuierliche Spektren Wenn die Atome, beispielweise in Flüssigkeiten und Festkörpern, nahe beieinander sind
und tark miteinander wechselwirken. dann sind die Energieniveau der Atome zu ununterbrochenen Bereichen von Energieniveaus verbreitert. Häufig überlappen sich diese so genannten
Energiebänder, so dass ein zusammenhängender Bereich von
besetzbaren Energieniveaus entsteht und das Emissions pektrum kontinuierlich ist. Im metallischen Glühfaden einer
Lampe werden die Elektronen wegen der hohen Temperatur
durch häufige Stöße beschleunigt, und es wird ein kontinuierliches Spektrum emittiert. Die Geschwindigkeit, mit der ein Körper Wärmeenergie au strahlt, ist proportional zur vierten
Potenz seiner absoluten Temperatur. (Dies ist die Aussage des
Stefan-Boltzmann'schen Gesetzes. Es wurde neben anderen
Eigenschaften der Wärmestrahlung in Abschnitt 20.4 besprochen.)
Die Strahlung, die von einem Körper bei Temperaturen unter
rund 600 C emittiert wird, liegt weitest gehend im Infraroten,
also außerhalb des sichtbaren Spektralbereichs. Mit steigender
Temperatur des Körpers verschiebt sich die Strahlung zu
immer kürzeren Wellenlängen. Zwi ehen ungefähr 600 C und
700 C liegt ein au reichend hoher Anteil der Strahlung im sichtbaren Spektrum. und wir sehen dunkle Rotglut. Bei noch höheren Temperaturen wird der Körper helle Rotglut und schließlich
Weißglut zeigen. Die Wellenlänge Am.,' bei der die emittierte
Strahlungsleistung ihr Maximum hat. i t umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur (Wien 'sehe Verschiebungsgesetz; siehe Abschnitt 20.4). Die Sonnenoberfläche mit einer
Temperatur von rund 6000 K strahlt ein kontinuierliches Spektrum aus, dessen Intensität im gesamten sichtbaren Wellenlängenbcreich vergleichbar hoch ist.
Absorption, Streuung, spontane Emission und
stimulierte Emission
Wenn Strahlung emittierl wird, geht ein Atom von einem angeregten Zustand in einen Zustand mit geringerer Energie über.
Und wenn Strahlung absorbiert wird, dann geht ein Atom von
einem energetisch tieferen Zustand in einen Zustand mit höherer Energie über. Werden beispielsweise die Atome eines Gases
einer Strahlung ausgesetzt, deren Spektrum kontinuierlich ist,
so zeigt die transmittierte (durchgelassene) Strahlung dunkle
Linien. Diese rühren von der Absorption der Strahlung bei
bestimmten, ,.diskreten" Wellenlängen her. Die Absorptionsspektren von Atomen und Molekülen in Gasen waren die ersten
Linienspektren, die man beobachten konnte. Die Atome und
Moleküle befinden sich bei gewöhnlichen Temperaturen entweder in ihrem Grundzustand oder in einem energetisch recht tief
liegenden angeregten Zustand; daher treten nur .. bergänge von
einem Grundzustand (oder einen ihm energetisch nahen
Zustand) in einen höheren angeregten Zustand auf. Aus diesem
Grund haben Absorptions pektren normalerweise wesentlich
weniger Linien als Emissionsspektren.
Abbildung 31.3 illustriert einige interessante Phänomene, die
auftreten können, wenn ein Photon auf ein Atom trifft. Im
Fall a ist die Energie h v des ankommenden Photons zu gering,
um das Atom in einen angeregten Zustand zu versetzen. Das
Atom bleibt dabei in seinem Grundzustand, und das Photon
wird nur gestreut. Weil es dabei die gleiche Energie behält,
spricht man von elastischer Streuung. Wenn die Wellenlänge
des einfallenden Lichts viel größer als das Atom ist, kann die
Streuung mit der klassi ehen elektromagnetischen Theorie
beschrieben werden. In die em Fall spricht man von RayleighStreuung, benannt nach Lord Rayleigh, der die entsprechende
Theorie im Jahre 187l aufstellte. Die Wahrscheinlichkeit der
Rayleigh-Streuung steigt proportional mit 1/A4 an. Deswegen
wird z. B. blaues Licht viel stärker gestreut als rotes Licht. Dieser
Effekt ist verantwortlich für die blaue Farbe des Himmels. Aus
demselben Grund erscheint der Himmel bei Sonnenuntergang
oft rötlich, denn durch die Streuung wird der blaue Anteil des
Licht größtenteils aus der Richtung der Sonneneinstrahlung
abgelenkt.
Von inelastischer Streuung oder Raman-Streuung spricht man,
wenn ein einfallendes Photon mit einer solchen Energie h v aufgenommen wird, dass das Atom oder Molekül dadurch in einen
angeregten Zustand übergeht. Dann strahlt das Molekül ein
Photon ab, wobei es in einen energetisch tieferen Zustand über-
31.3 LICHTQUELLEN «<
geht. des en Energie ich aber von der de Anfangszustand
unter cheidet. Wenn die Energie h y' de ge treuten Photon
geringer al die Energie h y de einfallenden Photon i t (Abbildung 3l.3b), pricht man von tokes-Raman-Streuung. I t die
Energie de ge treuten Photon aber größer al die des einfallenden Photon (Abbildung 31.3 c). 0 handelt e ich um die AntiStokes-Raman-Streuung.
In Abbildung 31.3 d entspricht die Energie de einfallenden
Photons gerade der Energiedifferenz zwischen dem Anfangszutand und einem angeregten Zu tand. Das Atom oder Molekül
nimmt das Photon auf und geht in einen angeregten Zustand
über; dies ist die Resonanzabsorption, die in BeispieI3l.! am
Ende dieses Abschnitts für einige Energiezustände de Kaliumatoms behandelt wird.
In Abbildung 31.3 e geht ein Atom oder Molekül, das sich in
einem angeregten Zu tand befindet, spontan in einen energetisch tieferen Zustand über. Die en Vorgang nennt man spontane Emission. Oft kehrt ein Atom oder Molekül von einem
angeregten Zustand über einen oder mehrere dazwi chenliegende Zustände in den Grundzu tand zurück. Da geschieht beispielsweise, wenn e durch ultraviolettes Licht angeregt wurde
und sichtbare Licht ausstrahlt, während es über mehrere Übergangszustände den Grundzu tand wieder erreicht. Die e 0
genannte Fluore zenz wird bei piel weise in der dünnen Innenbeschichtung von fluoreszierenden Leuchtröhren au genutzt.
Weil die Leben dauer eine angeregten Zu tand normalereise in der Größenordnung von 10
Liegt. cheint die er
Vorgang augenblicklich abzulaufen. Aber einige angeregte
Zu tände haben deutlich höhere Lebensdauern in der Größenordnung von Milli ekunden. zuweilen auch von ekunden oder
sogar Minuten. Man nennt sie dann metastabile Zustände. Die
phosphoreszierenden Materialien haben sehr langlebige metatabile Zustände und strahlen noch lange nach der ur prünglichen Anregung Licht aus.
(a)
(b)
11 .. '
(c)
!
(d)
----<2>---
(e)
----4
.._ - - -
~It.,'
Emitticrtc~
(f)
111'
~ Elektron
?
=====::;:z:?"=
/
7
--~cf~--
Abbildung 31.3f illustriert den photoelektrischen Effekt. Bei
ihm bewirkt die Absorption eine Photon durch das Atom
oder Molekül dessen Ionisierung, d. h., es wird ein Elektron
emittiert. Abbildung 31.3g zeigt die stimulierte Emission. ie
tritt auf, wenn da Atom oder Molekül sich anfang in einem
angeregten Zustand mi t der Energie E z befindet und die Energie
des einfallendcn Photons gleich der Energiedifferenz E~ - EI ist.
wobei EI die Energie de niedrigeren Zustands ist. In die em Fall
kann das einfallende Photon infolge der Schwingung eines
elektromagnetischen Feld das angeregte Atom oder Molekül
timulieren. 0 da s die e ein Photon ausstrahlt, da die gleiche
Richtung wie da infallende Photon hat und mit ihm in Pha e
i t. Die Photonen von angeregten Atomen oder Molekülen können die Emi ion weiterer Photonen timulieren. die ich ebenfall in derselben Richtung und mit gleicher Pha e au breiten.
Die er Proze s er tärkt al da anfang emittierte Photon
und erzeugt einen Licht trahl, der on ver chiedenen tomen
au geht. aber kohärent ist. Daher kann an olchem Licht, da
von sehr vielen tarnen emittiert wird. besonder leicht Interferenz beobachtet werden.
In Abbildung 31.3 h chließlich i t die Compton-Streuung dargeteIlt. Sie tritt auf. wenn die Energie de einfallenden Photon
iel höher als die Ionisierung energie de Atom oder Molekül
i t. Beachten ie, das bei der ompton-Streuung ein Photon
aufgenommen und ein Photon emittiert \ ird. Dagegen wird
beim photoelektri chen Eff kt ein Photon aufgenomm n. aber
kein Photon, ondern ein Elektron emittiert.
(g)
111'
J"/'
.
----<{--vv
vv
/,,'
I1v
Emittierte
EI 'ktron
(h)
111'
~
----l-
...r'"" 1/1"
31.3 Photon-Atom- und Phot n-Molekül-Wech'ch\ irkungcn.
a) Ela tische treuung. b) toke. ·Raman- treuung. c) nti- tokesRaman- treuung. d) Re onamabsorplion. e) I ontanc Emi. ion.
f) photoelektrischer ffckt. g) stimuliene Emi... ion. h) omptolltreuung.
995
996
»> 31 EIGENSCHAFTEN DES LICHTS
BEISPIEL 31.1: Resonanzabsorption und Emission
Der erste angeregte Zustand des Kaliumatoms liegt um F.. 1,62 eV über dem Grundzustand Eo, dem wir hier die Energie
null zuschreiben. Die Energieniveaus des zweiten und des dritten angeregten Zustands liegen um E2 -=2,61 eV bzw. um F.J
3,07 eV über dem Grundzustand. a) Wie groß kann die Wellenlänge der Strahlung höchstens sein, die vom Kaliumatom im
Grundzustand aufgenommen werden kann? Berechnen Sie jeweils die Wellenlänge des emittierten Photons, wenn das
Kaliumatom folgende Übergänge erfährt: b) vom dritten angeregten Zustand (E) in den Grundzustand, c) vom dritten
angeregten Zustand (E ) in den zweiten angeregten Zustand (E:).
Problembeschreibung: Die Energieni eau' de Grund.w tand und
der genannten dr i angeregten Zustände ind in Abbildung 31.4 darge teilt. Für den Zu ammen hang der Energiedifferenz I EI zwi ehen
den Zu tänden mit der Weil nlänge A eine ab orbierten bzw. emittierten PhoLons gilt die B zi hung). = hell E I. Größer Wellenlängen enLsprechen also geringeren Energiedifferenzen. Die klein Le
Energiedifferenz für einen Übergang, der vom Grundzustand au geht,
ist diejenige zwi ehen diesem und dem ersten angeregten Zustand.
- - " T " " " - " T "~-""
E3 = 3,07 e
eV
--+--~--E2=2,61
-,--+----- E]
31.4
=
1,62 eV
--'"--.........- - - - Eo = 0
Lösung:
Teilaufgabe a
Berechnen ie die Wellenlänge des Photon. a1 0 der
trahlung. die beim .- b rgang om Grundzu tand in den
er ten angeregten Zu tand aufgenommen wird:
Teilaufgabe b
Für den Übergang om Zu tand mit dem Energieniveau
E) in den Grundzu ta nd i t die Photonenenergie I EI =
E)- Eo-E) (e wurde ja Eo=O gesetzt). Berechnen ie auch
hier die Wellenlänge der beim Übergang emittierten trahlung:
Teilaufgabe c
Für den Übergang on E~ zu E z i [ die Photonenenergie
I EI = E) - E2• Berechnen ie wiederum die Wellenlänge
der emittierten trahlung:
,
Jz e h e - 1240 e V . nm -- - I ilE I - EI - E o - (l,62 - 0) e V -
A -
,
A -
hc
-- -
- IßE I -
A=~=
IßEI
=12700
E~
hc - 1240 eV . nm - E o - (3,07 - 0) e V -
hc
E) - E~
I765 nm I
I404 nm I
1240 e . nm
(3.07 - 2,61) e V
nml
Kommentar: Die Wellenlänge der Strahlung, die beim Übergang von EI zum Grundzu tand Eo emittiert wird, beträgt
765 nm. Sie i tal 0 eben 0 groß wie die Wellenlänge d r trahlung, die beim Übergang vom Grundzu tand zu EI ab orbiert
wird. Bei die em .. bergang und bei dem Übergang von E J in den Grundzu tand (und umgekehrt) werden Photonen im
ichtbaren Bereich de Spektrum emittiert (bzw. aufgenommen).
(a)
(b)
(c)
inige Mineralien. a) in Tage licht und b) in ultravioleuem Licht (" chwarzlicht·') aufgenommen. 1m chema (c) sind sie durch ummern
identifiziert: LP wellit. 2 Willcmil. 3 chcelit,4 alcit,5 alcit-Willemit-Konglomerat. 60pti eher alcit,7 Willemit. 8 Opal. Die Farbunterchiede in den beiden ufnahmen rühren daher, da die Mineralien unter V-Licht mit ver chiedenen Wellenlängen fluore zieren. Beim optiehen alcit treten owohl Fluorezenz al auch Pho'phore zenz aur.
31.6 REFLEXION UND BRECHUNG < <
BEISPIEL 31.4: Brechung von Luft zu Wasser
Ein Lichtstrahl tritt aus der Luft unter einem Einfallswinkel von 45 in Wasser ein. Dessen Brechzahl beträgt 1,33. Wie groß ist
der Brechungswinkel?
Problembeschreibung: Der Brechung winkel kann mit
Hilfe de nelliu' ehen Ge etze berechnet werden. Wir
wei n der Luft den Index 1 zu und dem Wa ser den Index 2.
Dann i t 111 = 1 und 8 1 =45 sowie 112 = 1,33. Den Brechung winkel bezeichnen wir mit 82 (Abbildung 31.21).
/I. = 1
J1.21
lösung:
1. Lö en Sie die Gleichung für da nellius' ehe Gesetz nach
in 82, dem Sinus de Brechung winkel, auf:
und daher
.
LI
11 1
lnu2=-in81
112
2. Berechnen
ie den Wink I, des en Sinu 0.532 beträgt:
82
= a inG: ine l ) = a
= a in(O. 32) =
Kommentar: Beachten ie, da
inG:~
in45 )
@TI
da Licht beim Eintritt in da Medium mit der höheren Brechzahl zum
infall lot hin
gebrochen wird.
Spiegel reflexion und diffuse Reflexion
Abbildung 31.20a zeigt ein Bündel on Lichtstrahlen, da von
einer Punktquelle P ausgeht und an einer glatten Oberfläche
reflektiert wird. ach der Reflexion divergieren die Strahlen
0, als gingen sie von einem Punkt P' hinter der Oberfläche
aus. (Die er Punkt wird Büdpunkt genannt. Die Erzeugung
von Bildern durch reflektierende und brechende Oberflächen
wird im näch ten Kapitel besprochen.) Wenn die e Strahlen in
un er uge gelangen, können wir ie nicht on Strahlen untercheiden, die tatsächlich von einer Punktquelle bei P' au gehen.
Die Reflexion an einer glatten Oberfläche heißt Spiegel reDeion oder auch reguläre Reflexion. ie unter cbeidet ich von
der diffusen ReDe ion, die in Abbildung 31.22 illu tri rt i t.
Hier werden die trahlen an den einzelnen Punkten der Oberfläche regello in unterschiedliche Richtungen reflektiert, 0 da
kein erkennbare Bild ent teht. Die Reflexion de Licht an dieer Buch eite i teine olehe diffu e Refle ion. In Bilderrahmen
etzt man oft Gla ein, da leicht ge chliffen i t damit e diffu
reflektiert: dadurch wird die Betrachtung de Bild nicht durch
die piegelung von Lichtquellen ge tört. .. brigen erlaubt e
nachts die diffu e Reflexion an der traBen oberfläche. die
traBe or dem Auto zu erkennen, weil ein Teil de cheinwerferlicht zum Fahrer zurückreflektiert wird. Bei ä e herr cht
auf der Straße jedoch mei t piegelrenexion vor. Dann wird
kaum Licht zurückreflektiert, und die traBe i t chwerer zu
erkennen.
J 1.22 Diffu e Reflexion an einer rauen Oberfläche.
1 oo~
1010
»> 31 EIGENSCHAFTEN DES LICHTS
(a)
(b)
Teilweise
reflektiert
Total
reflektiert
31.23 a) Totalreflexion. Mit steigendem Einfall winkel nimmt der Brechungswinkel zu, bis der kritische Einfall winkel Bk erreicht i t, für den
der Brechung winkel gleich 90 ist. Bei noch größeren Einfallswinkeln als Bk tritt kein gebrochener Strahl in das Medium mit der geringeren
Brechzahl aus. b) Dieses Foto illustriert die Brechung und die Totalreflexion an einer Wasser-Luft-Grenzfläche.
Relative Intensität von reflektiertem und
durchgelassenem Licht
Der Anteil der Lichtintensität, der an einer Grenzfläche (z. B.
zwischen Luft und Glas) reflektiert wird, hängt auf komplizierte
Weise von mehreren Größen ab: vom Einfallswinkel, von der
Orientierung des elektrischen Feldvcktors der Welle und von
den Brechzahlen der beiden Medien. Für den Spezialfall des
enkrechten Lichteinfalls (B, = Bi = 0) ist die Intensität der
reflektierten Wellen gegeben durch
(31.11)
Darin ist 10 die einfallende Intensität, und n, und n2 ind die
Brechzahlen der beiden Medien. Für den typi ehen Fall der
Reflexion an einer Luft-Glas-Grenzfläche, also mit n 1 = 1 und
nz = 1,5 ergibt sich aus Gleichung 31.11 die reflektierte Intensität 1=10 /25. Es werden also nur rund 4 % der Lichtenergie
reflektiert, und der allergrößte Teil wird durchgela sen (tran mittiert).
Totalreflexion
Abbildung 31.23 zeigt eine Punktquelle in Glas, von der Lichtstrahlen au gehen, die unter verschiedenen Winkeln auf die
Grenzfläche zwischen Luft und Gla treffen. Alle Strahlen, die
nicht senkrecht zur Grenzfläche verlaufen, werden beim Austritt in die Luft vom Einfallslot weg gebrochen. Mit teigendem
Einfallswinkel nimmt der Brechungswinkel bis zu einem kritischen Einfallswinkel ()k zu, für den der Brechungswinkel gleich
90 ist. Ist der Einfall winkel größer als die er kritische Winkel,
o tritt keine Brechung auf und es tritt kein Strahl in die Luft aus.
Die gesamte Lichtintensität wird staude sen reOektiert. Dieses
Phänomen heißt TotalreOexion. Der kritische Winkel hängt von
den Brechzahlen der beiden Medien ab. Man kann ihn ermitteln,
indem man Gleichung 31.9 b (n, sin 8, = nzsin Bz) nach sin 8 1 auflöst und Bz gleich 90 etzt. Das ergibt
(31.12)
KRITISCHER WINKEl DER TOTALREFLEXION
31.6 REFLEXION UND BRECHUNG «<
Beachten ie. da Totalreflexion nur auftreten kann. wenn da
Licht om Medium mit der höheren Brechzahl au gehend auf
die Grenzfläche trifft. Wäre hier t1z größer als t1h 0 könnte
da Snelliu' ehe Brechung ge etz nicht erfüllt werden, denn
der Si nu eine Winkels kann niemals größer al 1 ein. Die Beispiele 31.5 und 31.6 illu trieren Au wirkungen der Totalreflexion.
Abbildung 31.26 a zeigt Licht, da enkrecht auf eine der Kathetenseiten eine Gla pri ma auftrifft. Oe en Grundfläche i tein
gleich chenklige rechtwinkliges Dreieck. Bei einer Brechzahl
von 1,5 de Gla e i t der kriti cbe Winkel der Totalreflexion
gleich 41,8 (siehe Beispiel 31.5). Der Strahl tritt hier durch
die Gla -Luft-Grenzfläche an der Hypotenu enfläch unter
einem Einfallswinkel von 45 ein. Daher wird er t tal reflektiert
und tritt (ebenfall senkrecht) durch die andere Kat.heten eite
wiederau. Auch in Abbildung 31.26b fäUt der Licht trahl enkrecht ein. jedoch durch die H potenusenfläche de Pri ma . Er
wird zweimal total reflektiert. 0 da er in der Gegenrichtung
wieder austritt, also insgesamt um 180 abgelenkt wird. Diese
Totalreflexion in Pri men wird bei vielen optischen Geräten au genutzt, um die Richtung der Licht trahlen möglichst verlust frei
abzulenken. Ein Feld techer weist für jedes Objektiv zwei 01eher Pri men auf. Dadurch kann der Lichtweg auf einer geringeren, handlichen Länge untergebracht werden. In jedem Pri ma
wird da Bild durch die zweimalige Reflexion umgekehrt
(Abbildung 31.26 b). Der Betrachter ieht im Feld techer da
vom Objektiv umgekehrte Bild aber aufrecht. \ eil im Okular
eine weitere Linse für eine weitere Bildumkehr orgt (vgl.
Ab chnitt 32.4). - Die mit n ~2,4 ehr hohe Brechzahl on Diamant hat große Bedeutung: ahezu da ge amte Licht, da in
einen Diamanten eintritt, wird total reflektiert. Die erleiht
ihm eine Brillanz, wie ie mit Gla nicht zu erzielen i t.
Faseroptik Eine intere ante Anwendung der Totalreflex.ion
ist die Übertragung von Licht trahlen in langen, dünnen Gla fasern oder Lichtleitern (Abbildung 31.27 a). Wenn ein Lichttrahl ungefähr parallel zur Ach e der Faser in die e eintritt,
dann trifft er deren Wandung mit Winkeln, die größer ind al
der kriti ehe Winkel der Totalreflexion olange die Fa er
nicht zu tark gebogen i t). ln die em Fall geht keine Lichtenergie durch die Wandung verloren. Mit Bündeln au ielen oleher
Fa em kann man Bilder übertragen, wie es in bbildung 31.27 b
illu triert i t. Dieses Prinzip wird bei pielswei e in der Medizin
angewandt, um mit einem winzigen Einschnitt, a1 0 "minimal
invasiv", innere Organe zu betrachten oder auch den Verlauf
einer Operation zu verfolgen. In letzter Zeit erlangten die Gla fasern eine ehr große Bedeutung in der Telekommunikation.
Durch Modulation elektromagneti eher Wellen kann pro Zeiteinheit umso mehr Information übertragen werden, j höher
die Freq uenz der Trägerwelle i t. Lichtwellen haben Frequenzen
in der Größenordnung von 1014 Hz. omit ermöglichen je e , in
der eIben Zeit ein Vielfaches der Information menge zu übertragen wie mit Funkwellen, deren Frequenzen nur in der Größenordnung von 106 Hz liegen. In einer einzigen Gla fa er mit
der Dicke eine men chlichen Haar können bei pi 1 \\lei e
Video ignale in hoher Qualität und in Echtzeit üb rtragen werden. Die pro Zeiteinheit übertragbare Information menge i t
dabei ungefähr hoch wie die on 32000 gleichzeitig geführten
Telefonge präehen.
(a)
(b)
31.26 a) Ein Licht trahl trilt durch eine der Katheten eiten in ein
Gla prisma ein, de en rundfläche ein gleich chenklige rechtwinklige Dreieck i t. Der Strahl wird an der H potenusenOäche total
reflektiert. b) Ein Lichtstrahl, der durch die Hypolenusenfläche enkrecht eintritt. wird zweimal total refleklien.
101
1012
> > > 31 EIGENSCHAFTEN DES LICHTS
BEISPIEL 31.5: Totalreflexion
Eine bestimmte Glassorte hat eine Brechzahl von 11 1,50.
Berechnen Sie den kritischen Winkel der Totalreflexion von
Licht, das dieses Glas verlässt und in Luft mit /I 1,00 austritt
(Abbildung 31.24).
:n.24
ZUR ÜBUNG
Problembeschreibung: Die Gegebenheiten sind in der Abbildung verdeutlicht. Sie zeigt den einfallenden und den
gebrochenen Strahl sowie dic Grenzfläche.
lösung:
Decken Sie zunächst die rechte Spalte ab und versuchen Sie jeweib., die Ergebnisse selbst zu ermitteln.
chritte
Ergebnisse
1. Für den kriti chen Winkel der Totalreflexion i t der Brechung winkel gleich 90 .
2. Wenden Sie da Brechung gesetz (Gleichung 31.9 b) an.
. (j _ /1, _
SIO k fl l
Der kritische Winkel (}k ist der Einfallswinkel für einen
Brechungswinkel von 90 .
1,00
1.50
0 667
-.
Tauchtiefe und Gesichtskreis
Sie entspannen sich im Swimmingpool Ihres Urlaubshotels. Sie sind getaucht und bemerken bei einem Blick nach oben,
dass Sie über der Wasserfläche nur Gegenstände in einem Kreis mit einem Radius von rund 2 m sehen können. Darum
herum sehen Sie nur die Farbe der Poolwände. Wie tief sind Sie getaucht?
IM KONTEXT
Problembeschreibung: Sie können die Tauchtiefe aus
dem Radius des Gesichtskrei es und dem Winkel ermitteln,
unter dem das Licht Ihr Auge am Rand diese Krei es trifft.
Hier tritt e unter einem Einfall winkel von 90 von außen
auf da Wa ser. Der zugehörige Brechungswinkel ist gleich
dem kriti chen Winkel Bk der Totalreflexion zwischen Wa er
und Luft. Der Abbildung 3] .25 entnehmen ie, dass die
Tiefe y mit die em Winkel und mit dem Radius r de
Gesichtskreise über tan (}k = ,/y zusammenhängt. Der krili che Winkel der Totalreflexion i t dann mit Gleichung 31.12
zu berechnen, wobei 112=1 und 111=1,33 ist.
31.25
lösung:
1. Die Tiefe y und der Radius, des Gesichtskreises hängen
mit dem kriti chen WinkelOk der Totalreflexion zusammen:
2. Lö en
ie nach der Tiefe y auf:
3. Berechnen ie den kriti ehen Winkel der Totalreflexion
an einer Was er-Luft-Grenzfläche:
lan (}k =
,
Y = tan (}k
=
sin (}k = 112
11,
Ok
4. Berechnen ie die Tiefe y:
'/Y
Y
= 48,
= -'-
tan (}k
1 = 0,752
I, 33
0
=
2,0 m = 1 1 75 m I
tan 48,8°
:
31.6 REFLEXION UND BRECHUNG «<
(a)
(c)
(b)
Glasfaserbündel
31.27 a) Eine Glasfaser, auch Lichtleiter genannt. In der Faser trifft
der Lichtstrahl gewöhnlich flacher als mit dem kritischen Winkel der
Totalreflexion auf die Wandung. Daher tritt kein Licht durch Br~chung
aus der Faser aus. b) Das vom Gegenstand au gehende Licht wird
durch ein Bündel von Glasfasern geführt, und das Bild des Gegenstands kann am anderen Ende des Faserbündels betrachtet werden.
c) Aus einem Glasfaserbündel austretendes Licht. Durch Totalreflexion und oft zusätzlich durch Brechung wie bei der Luftspiegelung wird
das Licht entlang der Faser geführt.
Luftspiegelungen
Wenn ich die Brechzahl eines Mediums räumlich ändert, dann
wird ein hindurchgehender Lichtstrahl gebogen. Ein intere antes Beispiel dafür ist die Luftspiegelung, auch Fata Morgana
genannt. An einem heißen und sonnigen Tag wird Asphalt,
Stein oder Sand ao der Oberfläche oft sehr heiß. Dadurch i t
die Luftschicht nahe am Boden wärmer al die Luft darüber
und hat daher eine geringere Dichte. In Luft mit geringerer
Dichte breiten sich die Lichtwellen etwas schneller aus, so dass
ein Lichtstrahl beim Übergang in die wärmere Luftschicht gebogen wird. Abbildung 31.28a zeigt, wie die von einem Baum
reflektierten Lichtstrahlen bei überall gleicher Lufttemperatur
zum Betrachter gelangen: Die Wellenfronten sind kugelfönnig,
und die Strahlen verlaufen geradlinig. In Abbildung 31.28 bist
die Luft nahe am Boden wärmer. Hier breiten sich die WeIlenfronten schneller aus als darüber und ind daher nicht mehr
kugelförmig. Die Lichtstrahlen, die ja immer senkrecht auf
den Wellenfronten stehen. sind jetzt al 0 nach oben gebogen.
Dadurch gelangen schräg nach unten gerichtete Lichtstrahlen.
die bei überall gleicher Temperatur auf den Boden trafen, nun
zum Betrachter, und er sieht ein Bild de Baums, al würde e
an einer Wa erfläche reflektiert. Wahr cheinlich haben Sie an
heißen onnigen Tagen zuweilen cheinbar nasse Flecken auf
der Straße beobachtet, die aber ver chwanden, als Sie näher
kamen. Auch die er Effekt beruht auf der Lichtbrechung an
der heißen Luftschicht direkt über der Fahrbahn.
Beim Herstellen einer dtinnen Glasfa er wird ein Glasfaden erwärmt
und dlllell LU einer dünnen Faser au einander gezogen. Die Farben
la cn hier erkennen, dass die BrechJ"3hl in der Faser ~on innen nach
außen etwa kleiner wird. Das ermöglicht eine noch bes crc führung
de Lichtstrahls in der Faser. weil cr einer flachen Welle folgt und
daher seltener an der Wandung reflektiert wird.
, 013