primzahl - Ужгородський національний університет

O. KANJUK
N. KISCH
DEUTSCH
FÜR
MATHEMATIKER
LEHRBUCH
USHHOROD – 2011
1
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,
МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
Ужгородський національний університет
О. Л. Канюк
Н.В. Кіш
НІМЕЦЬКА МОВА
ДЛЯ МАТЕМАТИКІВ
НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК
УЖГОРОД - 2011
2
УДК 811. 112. 2:51(075.8)
ББК – Ш 143.24 – 439: В₁ я 73
К – 46
О.Л.Канюк, Н.В.Кіш, Німецька мова для математиків.
Навчальний посібник. – 2-е видання, виправлене і доповнене. –
Ужгород - 2011. – 240с.
Навчальний посібник з німецької мови призначений для студентів,
аспірантів, викладачів вищих навчальних закладів й усіх тих, хто
вдосконалює свої знання з німецької мови і рекомендується для
використання в навчальному процесі та самостійної роботи.
Укладено згідно з вимогами програми МОН України з німецької
мови.
Рецензенти:
завідувач кафедри іноземних мов ФРГФ УжНУ,
кандидат педагогічних наук, доцент
Бартош О.П.
завідувач кафедри соціальної роботи ФСН УжНУ,
доктор педагогічних наук, професор
Козубовська І.В.
кандидат педагогічних наук,
доцент кафедри педагогіки ФСН УжНУ
Опачко М. В.
завідувач кафедри філології Закарпатської філії
Київського славістичного університету,
кандидат філологічних наук, доцент
Жовтані Р.Я.
Відповідальний за
випуск:
декан ФРГФ УжНУ,
завідувач кафедри англійської філології,
професор, доктор філологічних наук
Фабіан М.П.
Рекомендовано до друку Редакційно-видавничою радою Ужгородського
національного університету, протокол № 2 від 24 лютого 2011р.
Усі права на цей посібник знаходяться під охороною видавців.
Жодна частина даного видання, включаючи назву та художнє оформлення,
не може бути перероблена, перевидана, ксерокопійована, репродукована
або розмножена будь-яким іншим способом без дозволу авторів чи
видавництва.
О.Л. Канюк, 2011
Н.В.Кіш, 2011
3
ПЕРЕДМОВА
У даному посібнику
поряд із основним завданням – навчання
читанню та перекладу літератури по спеціальності поставлені наступні
завдання: навчання безперекладному розумінню текстів по спеціальності
та передача на німецькій мові основного змісту – реферування, а також
розвиток навичків усної мови по спеціальності. Це завдання витікає з
основних цілей навчання на немовних факультетах вузів.
Тексти, які подані у посібнику, запозичені з оригінальної німецької
літератури по спеціальності, присвячені історії математики, алгебри та
геометрії, математичним визначенням, теоремам тощо. Усі тексти
супроводжуються великою кількістю граматичних, словотворчих, лексикограматичних вправ, які направлені на аналіз текстів, перевірку розуміння
фахових текстів, формування комунікативних навичків та розраховані як
на роботу в аудиторіях, так і на самостійне позааудиторне навчання.
Певний вклад у професійну підготовку фахівців-математиків може
внести пропонований посібник з німецької мови, укладений спеціально для
студентів математичного факультету авторами О.Л.Канюк та Н.В.Кіш. Він
охоплює такі розділи, як „Алгебра” : „Натуральні числа”, „Додавання і
віднімання”, Множення і ділення”, „Дроби”, „Алгоритми”, „Рівняння”;
„Геометрія” : „Трикутник”, „Чотирикутник”, „Квадрат”, а також основні
етапи життя і творчості видатних математиків.
використані кросворди, прислів’я
Для пожвавлення занять
та приказки, в яких особливо
проявляється своєрідність усного мовлення. Посібник завершується 3
додатками, які містять розв’язок кросвордів та різноманітних вправ.
В основу даного посібника були покладені теоретичні та методичні
принципи навчання німецькій мові.
Даний посібник допоможе студентам одночасно вивчати німецьку
мову і здобувати знання з професійної підготовки математиків.
4
EINLEITUNG
DAS BILDUNGSWESEN IN DER UKRAINE
Das Bildungswesen der Ukraine erlebt wie die ganze Gesellschaft die Zeit
der Reformen. Es wird nach neuen Formen und Inhalten gesucht.
Die neue Verfassung garantiert jedem Bürger das Recht auf Bildung. Die
Schulausbildung ist Pflicht.
Zwischen dem dritten und sechsten Lebensjahr können die Kinder einen
Kindergarten besuchen. Die Schulausbildung umfasst elf Klassen und ist in drei
Stufen gegliedert: Grundstufe, Mittelstufe und Oberstufe. Außer Ukrainisch und
Russisch werden Englisch, Deutsch oder Französisch gelernt, auf der Krym auch
Tatarisch. Es sind auch Schulen für nationale Minderheiten wie Ungarn und
Bulgaren eingerichtet. In den wieder entstehenden Gymnasien werden auch alte
Sprachen (Latein) angeboten. Der Besuch von staatlichen Schulen, Gymnasien
und Lyzeen ist gebührenfrei. In vielen Schulen können gegen Bezahlung
zusätzliche Kurse, z.B. in Ökonomie oder Philosophie belegt werden. Für die
Kinder aus den wohlhabenden Familien gibt es auch private Schulen. Zur Zeit
gibt es in der Ukraine etwa 23 Tausend Schulen. Das Schuljahr ist in 2 Quartale
eingeteilt. Am Ende jedes Quartals bekommen die Schüler ihr Schulzeugnis mit
Noten. Eine „Zwölf“ ist dabei die beste, eine „Eins" die schlechteste Note.
Zwischen den einzelnen Quartalen gibt es Ferien. Das Schuljahr beginnt
traditionell am 1. September.
Viele Schulabgänger entscheiden sich für eine Berufsausbildung. Ihnen stehen
1300 Berufsschulen und 740 Fachschulen zur Verfügung, wo man einen von
800 Berufen erlernen kann.
Jugendliche, die einen Schulabschluss (das Reifezeugnis) haben, können
sich um einen Studienplatz bewerben. Die Wahl ist sehr groß: 14 klassische und
45 technische und andere Universitäten, 30 Akademien und 72 Hochschulen.
Die ersten
ukrainischen Universitäten wurden in Charkiw (1805), Kyjiw
(1834) und in Odessa (1865) gegründet.
Die meisten Universitäten und Hochschulen sind staatlich und
gebührenfrei, in einigen aber werden auch Studiengebühren bezahlt. Die Zahl
der Hochschulbewerber ist viel größer als die Zahl der Studienplätze. Deshalb
gibt es an den ukrainischen Hochschulen Aufnahmeprüfungen. Zur Zeit
studieren im Lande etwa 1,5 Millionen Jugendliche. Das Hochschulwesen hat
sich bis jetzt strukturell wenig geändert. Das Studium dauert 4 bis 7 Jahre und
endet mit Staatsexamen und Diplom. Jedes Studienjahr besteht aus 2 Semestern.
Am Ende jedes Semesters werden Vorprüfungen und Prüfungen abgelegt. Das
Studium existiert in drei Formen: Direkt-, Abend- und Fernstudium.
Bei den Lehrinhalten aber findet ein großer Wandel statt.
Wirtschaftswissenschaften, Politologie, Soziologie, Recht, Geschichte,
Pädagogik und andere Lehr- und Studienfächer werden mit neuen Inhalten
gefüllt.
5
Wörter zum Text
das Bildungswesen
die Verfassung
das Recht
die Pflicht
besuchen
die nationale Minderheit
umfassen
gebührenfrei
zusätzlich
das Hochschulwesen
die Prüfung
das Studienjahr
die Aufnahmeprüfung
das Studium
система освіти
Конституція
npaвo
обов’язок
відвідувати
національна меншина
охоплювати
безкоштовно
додатково
система вищої освіти
екзамен
навчальний рік (у вузі)
вступний іспит
навчання
Übungen
I. Beantworten Sie folgende Fragen zum Text:
1.Was erlebt gegenwärtig das Bildungswesen der Ukraine?
2. Was garantiert die neue Verfassung jedem Bürger?
3. Wie viel Klassen umfasst die Schulausbildung?
4. Ist der Besuch von staatlichen Schulen, Gymnasien und Lyzeen gebührenfrei?
5. Gibt es in der Ukraine auch private Schulen?
6. Wie hat sich bis jetzt das Hochschulwesen geändert?
7. Wie lange dauert das Studium an den Hochschulen?
II. Bilden Sie Sätze mit folgenden Wörtern:
1. Lieblingsfach, mein, Mathematik, sein.
2. Ein Brief, erhalten, ich, von, ein Wissenschaftler.
3. Der Hörsaal, in, die Vorlesung, stattfinden.
4. Wir, an, die Universität, studieren, zur Zeit.
5. Laboratorien, modern, haben, die Nationaluniversität.
6. Monat, 9, etwa, dauern, das Studienjahr.
III. Beantworten Sie folgende Fragen:
1. Wann haben Sie die Universität bezogen?
2. An welcher Fakultät studieren Sie?
3. In welchem Studienjahr sind Sie?
4. Wann beginnt der Unterricht an der Universität?
5. Welche Lehrfächer studieren Sie im ersten Studienjahr?
6. Wie lange dauert der Unterricht?
7. Welche Fremdsprache sludieren Sie?
6
IV.a) Schreiben Sie Sätze im Präsens.
1. Ich (sein) Student.
5. Vorn (hängen) eine Tafel.
2. Ich (arbeiten) hier.
6. Du (sitzen) auch hier.
3. Dort (sein) unser Hörsaal
7.Vorn (stehen) ein Tisch.
4. Der Hörsaal (sein) groß und hell. 8. Da (liegen) die Kreide und der Bleistift.
b) Übersetzen Sie ins Deutsche.
1. Я студент.
2. Там висить дошка.
3. Вона розміщена вгорі.
4. Наша аудиторія світла.
5. Ми працюємо тут.
6. Тут лежить моя книга.
7. Мій стіл стоїть ліворуч.
8. Праворуч лежить крейда.
V. Übersetzen Sie den Text ohne Wörterbuch.
WAS IST DER NOBELPREIS?
1862 gelang es dem Maschinenfabrikanten Alfred Nobel aus Stockholm,
Nitroglyzerin in großen Mengen herzustellen. Drei Jahre später baute er die
Fabrik in Krümmel an der Elbe zur größten Sprengstofffabrik Europas aus.
In den folgenden Jahren entstanden in Europa und Amerika 15
Dynamitfabriken. Die Nachfrage war ungeheuer groß. Aber man verwendete
Dynamit weniger für friedliche Ziele als für die Kriegsführung. Alfred Nobel
war als Geschäftsmann erfolgreich. Er häufte ein Vermögen an, aber er war
nicht glücklich. Voll Schmerz hörte er von den Wunden, die seine Waffen
schlugen. In seinem Testament stiftete er die Zinsen seines großen
Vermögens — etwa 142 000 Schwedenkronen — als Nobelpreis. Der
Nobelpreis wird alljährlich für die besten Leistungen auf dem Gebiet der
Physik, Chemie, Medizin, Literatur und der Friedensbewegung verliehen.
VI. . Lösen Sie die Aufgaben mit dem Rechenstab.*
 4,5 kg einer Ware kosten 6,00 Euro.
Berechnen Sie den Preis 34,0 kg
für:
2,5 kg
1,5 kg
3,8 kg
4,0 kg
 Der durchschnittliche Benzinverbrauch eines Autos für 100 km beträgt
8,5 Liter.
Wie viele Kilometer können mit folgenden Mengen zurückgelegt 24 l
werden?
15 l
32 l
7
80 l
27 l
USHHORODER NATIONALER UNIVERSITÄT
Die Ushhoroder Universität wurde im Oktober 1945 gegründet. Im
Oktober 2000 wurde ihr der Status Nationaler verliehen.
Heutzutage ist die Ushhoroder Nationaler Universität ein führendes
wissenschaftliches Lehrzentrum der westlichen Region. Sie ist eine von den
klassischen Universitäten der Ukraine. Die Universität rechnet 14 Fakultäten,
eine
Vorbereitungsabteilung,
78
Lehrstühle,
5
wissenschaftliche
Forschungsinstitute, ein Infozentrum. 15 Computersäle, zahlreiche Laboratorien.
Sie besitzt auch eine große Bibliothek, die in verschiedenen Gebäuden der
Universität untergebracht ist. An der Uni gibt es auch einen schönen botanischen
Garten. Hier studieren und arbeiten mehr als 11 Tausend Personen, darunter
auch 10 Tausend Studenten und Hörer. Den Lehrprozess und die Erfüllung der
wissenschaftlichen Untersuchungen verwirklichen 950 Hochschullehrer und
wissenschaftliche Mitarbeiter, darunter auch 105 Professoren, Doktoren der
Wissenschaften und 425 Dozenten, Kandidaten der Wissenschaften. An der
Universität arbeiten 3 korrespondierende Mitglieder der Nationalen Akademie
der Wissenschaften der Ukraine, 10 Preisträger der Staatlichen Prämien der
Ukraine, 30 verdiente Arbeiter der Bildung, Wissenschaft und Kultur, Ärzte,
Erfinder und Rationalisatoren.
Nach ihrer Lage und Besonderheit der Region ist die Universität
einzigartig und entwickelt sich ständig. Sie bildet hochqualifizierte Fachleute in
allen Bereichen der Wirtschaft und Wissenschaft. Nur in den letzten Jahren
werden neue Fakultäten und Abteilungen wie „Politologie", „Internationale
Wirtschaftsbeziehungen", „Journalistik", „Physische Rehabilitation", „Statistik",
„Krankenschwesterausbildung" eröffnet. Die Ushhoroder Nationaler Universität
verwirklicht die Vorbereitung der Fachleute nach den Magisterprogrammen in
humanitären, naturwissenschaftlichen und Ingenieurfächer. An der Universität
funktioniert erfolgreich die Aspirantur in 51 Fächern, arbeiten 4 spezialisierte
wissenschaftliche Rate für die Promovierung der Kandidatendissertationen in 8
Fächern (in physikalischmathematischen, historischen, ökonomischen und
philologischen Wissenschaften). Mit jedem Jahr werden die wissenschaftlichpädagogischen Verbindungen der Universität mit den Lehranstalten
verschiedener Länder - der Slowakei, Ungarn, Polen, Rumänien, Slowenien,
Jugoslawien, Tschechien, Österreich, England, Kanada, Deutschland, den USA,
Frankreich, Belgien, Schottland verbreitet und vertieft.
An der Uni studieren Vertreter verschiedener Nationalitäten der Ukraine
und auch Studenten aus dem Ausland. Der Unterricht an der Uni beginnt um 8
Uhr. Jeden Tag haben die Studenten 3-4 Doppelstunden. An der Universität gibt
es zwei Studienformen: Direkt- und Fernstudium. Die Studienzeit dauert 5 Jahre
für die Direktstudenten und 6 Jahre für die Medizin- und Fernstudenten. Das
Studienjahr besteht aus zwei Semestern. Am Ende jedes Semesters legen die
Studenten Vorprüfungen und Prüfungen ab. Die Studenten der Universität
erhalten gute Kenntnisse, die für ihre spätere Arbeit notwendig sind. Die
Absolventen sind in allen Bereichen der Wirtschaft und Wissenschaft, in den
Industriebetrieben, Werken, Hoch-, Fach- und Mittelschulen tätig.
8
Wörter zum Text
нагороджувати
провідний
успішний
єдиний у своєму роді
здійснювати
екзамен, іспит
залік
навчальний процес
дослідження
зв’язок
призер, лауреат
кафедpa
виконання, проведення
підготовче відділення
стаціонарна і заочна форма
навчання
викладач вищого навчального
закладу
члени-кореспонденти Академії
Наук України
науковий співробітник
навчально-науковий центр
наукове дослідження
науково-педагогічний
зв’язок
захист кандидатської дисертації
verleihen
führend
erfolgreich
einzigartig
verwirklichen, -te, -t
die Prüfung
die Vorprüfung
der Lehrprozess
die Untersuchung
die Verbindung
der Preisträger
der Lehrstuhl
die Erfüllung
die Vorbereitungsabteilung
Direkt- und Fernstudium
der Hochschullehrer
der korrespondierende Mitglieder
der wissenschaftliche Mitarbeiter
das wissenschaftliche Lehrzentrum
die wissenschaftliche Untersuchung
die wissenschaftlich-pädagogischen
Verbindung
die Promovierung
der Kandidatendissertation
das wissenschaftliche
Forschungsinstitut
науково-дослідний
інститут
Übungen
I. Beantworten Sie folgende Fragen zum Text.
1. Wann wurde die Ushhoroder Universität gegründet?
2. Wann wurde der Universität der Status „Nationaler" verliehen?
3. Was ist heutzutage die Ushhoroder Nationaluniversität?
4. Wie viel Fakultäten und Lehrstühle rechnet gegenwärtig die Universität?
5. Wie viel Tausend Personen studieren und arbeiten heutzutage an der
Universität?
6. Wie viel Doktoren und Kandidaten der Wissenschaften wirken heutzutage an
der Universität?
7. Ist die Universität nach ihrer Lage und Besonderheit der Region einzigartig?
Wie entwickelt sich die Universität?
9
8. Welche neue Fakultäten und Abteilungen werden in den letzten Jahren
eröffnet?
9. Wie entwickeln sich die internationalen Verbindungen der Universität?
10. Nach welchen Programmen verwirklicht die Uni die Vorbereitung der
Fachleute?
11. Was funktioniert erfolgreich an der Universität?
12. Wen bildet die Universität aus?
13.
Wo
sind
die
Absolventen
der
Universität
tätig?
14. Wurde die Ushhoroder Nationaler Universität zu einem wichtigen
kulturellen Zentrum des Gebiets?
II. Konjugieren Sie im Präsens.
sich entwickeln
eröffnen
verbreiten
vertiefen
helfen
fahren
lesen
laufen
werden
sprechen
III. Setzen Sie die Personalpronomen in richtigen Kasus:
1. Der Lehrer kommt. Die Studenten fragen (er).
2. Der Lehrer antwortet (sie).
3. Eine Studentin zeigt (er) ihr Heft.
4. (Es) ist sauber.
5. Der Lehrer sagt: „Geben Sie (ich) Ihr Heft!"
6. Er zeigt (wir) das Heft der Studentin.
7. Der Lehrer fragt (wir).
8. Wir antworten (er).
9. Die Studentin fragt (er).
10. Er antwortet (sie).
IV. Setzen Sie die Personalpronomen in richtige Form ein:
1. Wir sprechen deutsch nicht richtig. Der Lehrer korrigiert ... .
2 Das sind meine Freunde. Ich frage ... .
3. Meine Freunde fragen mich. Ich antworte ....
4. Die Studenten sprechen deutsch. Der Lehrer korrigiert ... .
5. Du arbeitest hier. Ich helfe ....
6. Das ist mein Freund. Ich besuche ... .
7. Hier liegt ein Buch. Wir lesen ....
8. Ich frage die Lehrerin. Sie antwortet .... .
V. a) Übersetzen Sie ins Deutsche.
1. Я навчаюсь в університеті.
2. Мій друг вчиться на першому курсі математичного факультету.
3. Навчальний рік складається з двох семестрів.
4. Наш університет готує хороших спеціалістів.
5. Заняття починаються о 8 годині.
6. Ввечері я йду в читальний зал.
8. Біля університету знаходиться гуртожиток.
10
b) Antworten Sie.
1. Wie alt sind Sie (bist du)?
2. Wie alt ist Ihr (dein) Vater?
3. Wie alt ist Ihre (deine) Mutter?
4. Wie alt sind Ihre (deine) Großeltern?
5. Wie alt ist Ihre (deine) beste Freundin?
6. Wie alt ist Ihr (dein) bester Freund?
7. Wie viele rote Stifte hat er?
8. Wie viele kleine Kinder hat diese Frau?
9. Wie viele neue Wagen hat diese Firma?
10. Wie viele große Hotels gibt es in Ihrer (deiner) Stadt?
11. Wie viele schöne Bilder sind in diesem Museum ausgestellt?
12. Wie viele Zeitungen und Zeitschriften abboniert diese Bibliothek?
13. Wie viele Studenten studieren an Ihrer Universität?
14. Wie viele Fakultäten hat Ihre Universität?
15. Wie viele Studenten wohnen in diesem Studentenwohnheim?
VI. a) Suchen Sie in diesem Kreuzworträtsel möglichst viele Wörter zum Thema
„Universität“.
b) Schreiben Sie diese Wörter heraus und fügen Sie den Substantiven den
Artikel hinzu.
c) Welche anderen Wörter haben Sie hier gefunden?
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T
A
U
L
A
G
I
E
ICH STUDIERE AN DER MATHEMATISCHEN FAKULTÄT
Ich heiße Mychajlo Petrenko. Ich bin Student der Ushhoroder Nationaler
Universität. Ich studiere an der Mathematischen Fakultät und stehe im ersten
Studienjahr. Von Kindheit an wollte ich Mathematiker werden. Jetzt geht mein
Wunsch in Erfüllung. Das Studium fällt mir leicht. Besonders interessiere ich
mich für Mathematik und Informatik. Ich erhalte das Stipendium.
Das Studium an der Uni beginnt am 1. September. Der Unterricht beginnt
um 8 Uhr. Jeden Tag haben wir Vorlesungen und Seminare. Wir besuchen alle
11
B
I
L
D
U
N
G
R
V
R
Vorlesungen gern. An unserer Fakultät studieren alle direkt. Im ersten
Studienjahr studieren wir Informatik, Mathematik, Ukrainisch, Fremdsprache
und andere Fächer. Wir haben einen festen Studienplan. In den Lesesälen
arbeiten Studenten, Aspiranten und Professoren. Die Studenten machen hier
Hausaufgaben, schreiben Referate und übersetzen Artikel. Sie lesen hier auch
Zeitungen und Zeitschriften. Alle Studenten führen systematisch ihre Aufgaben
aus und hören den Vorlesungen aufmerksam zu. Jeder Studiengruppe gehören
10-15 Studenten an. Nach den Vorlesungen gehen die Studenten nicht immer
nach Hause. Sie arbeiten im Lesesaal, machen dort ihre Aufgaben und
wiederholen den Vorlesungsstoff. Zweimal im Jahre legen die Studenten die
Prüfungen ab. Nach den Prüfungen haben sie Ferien.
Wörter zum Text
studieren, -te, -t
im 1. Studienjahr stehen
das Studienjahr
von Kindheit an
in Erfüllung gehen
das Studium
leicht (schwer) fallen
die Vorlesung
der Vorlesungsstoff
sich interessieren, -te, -t (fürAkk.)
die Prüfungen ablegen
der Unterricht
der Studienplan
übersetzen, -te, -t
aufmerksam
besuchen, -te, -t
der Artikel
ausführen, führte aus, ausgeführt
навчатись
бути на першому курсі
навчальний рік
з дитинства
здійснюватись
навчання
даватись легко (важко)
лекція
лекційний (навчальний) матеріал
цікавитись
складати іспити
заняття
навчальний план
перекладати
уважно
відвідувати
стаття, артикль
виконувати
Übungen
I. Beantworten Sie folgende Fragen:
1. Haben Sie jeden Tag Vorlesungen?
2. Haben Sie jeden Tag praktische Übungen?
3. Haben Sie jeden Montag Deutsch?
4. Studiert Ihr Freund an der Universität in Ushgorod?
5. Ist Ihre Schwester Studentin?
6. Sind die Vorlesungen interessant?
7. Haben Sie Mathematik gern?
8. Wollen Sie Mathematiker werden?
9. Will Ihr Freund Physiker werden?
12
10. An welcher Fakultät studieren Sie?
11. An welcher Fakultät studiert Ihr Freund?
12. In welchem Studienjahr sind Sie?
13.In welchem Semester ist Ihr Freund?
14. Was studieren Sie an der Universität?
15. Welche Fächer haben Sie im ersten Semester?
16. Wer hält Vorlesungen in mathematischer Analysis?
17. Wer hält Vorlesungen in mathematischer Logik?
18. Wer hält Vorlesungen in höherer Algebra?
19. Wer unterrichtet das Fach Programmierung?
20. Wer leitet die Seminare in Geschichte der Ukraine?
21. Welche Fremdsprachen lernen Sie?
22. Wie viel Stunden Unterricht haben Sie täglich?
II. Bilden Sie Sätze mit folgenden Wörtern und Wortgruppen und übersetzen Sie
diese Sätze ins Ukrainische:
1. Dieser Student, an der mathematischen Fakultät, studieren.
2. Mein Freund, stehen, im ersten Studienjahr.
3. Das Studium, leichtfallen, ihm.
4. Mein älterer Bruder, sein, Mathematiklehrer.
5. Unsere Großeltern, mit uns, wohnen, zusammen.
6. Von Kindheit an, wollen, meine Schwester, werden, Lehrerin.
7. Alle Studenten, fleißig, unsere Gruppe, lernen.
III. Gruppieren Sie folgende Antonyme dem Sinne nach:
schwerfallen gesund
leicht
schwer
krank
fleißig
leichtfallen wenig
alt
faul
viel
jung
IV. Setzen Sie die unten angegebenen Modelle statt der Punkte ein:
1. Als Fach ... er Mathematik.
2. Meine Schwester ...Algebra.
3. Die Aufgabe der Medizinschwester ........ der Hilfe dem Kranken.
4. Viele Studenten unserer Gruppe ... Programmierung. .
5. Ihre Schwester ......der Universität.
6. Unsere Gruppe ... ...25 Studenten.
studieren an + (Dat.), schwärmen für + (Akk.), bestehen aus + (Dat.),
sich interessieren für + (Akk.), bestehen in + (Dat.), studieren + (Akk.)
V. a)Bilden Sie aus den folgenden Wortgruppen entsprechende
Zusammensetzungen; gebrauchen Sie das Bindeelement s, wo es nötig ist.
Muster: die Bibliothek der Universität → die Universitätsbibliothek:
das Diplom an der Hochschule die Sammlung von Büchern
die Bedingungen des Lebens
das Leben der Studenten
13
die Bibliothek für Studenten
die Arbeit in der Forschung
der Minister für Kultur
das Theater der Stadt
b) Beantworten Sie die Fragen mit passenden Präpositionen.
das Auto die U-Bahn
das Land
der Bus
die Stadt
die Eltern
Wie kommen Sie
zur Hochschule?
das Fahrrad
Wo wohnnen Sie?
das Motorrad
das Studentenwohnheim die Schewtschenkostrasse
die Straßenbahn
VI. Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz.
Was ein Sohn von seinem Vater denkt
Mit 7 Jahren: Papa ist ein Weiser, alles weiß er, alles kann er.
Mit 14: Es scheint, dass sich Papa in einigen Punkten, die er sagt, irrt.
Mit 20: Vater ist mit seinen Ansichten etwas zurückgeblieben; er ist nicht von
meiner Generation.
Mit 25: Der Alte weiß überhaupt nichts. Was er auch tut, nichts ist richtig.
Alles, was er denkt, ist falsch.
Mit 30: Wenn mein Vater meine Erfahrungen hätte...
Mit 40: Ich weiß nicht, ob ich den "Alten" in dieser Angelegenheit um Rat
fragen sollte. Es wäre durchaus möglich, dass er mir helfen könnte.
Mit 50: Es ist schade, dass mein "lieber Alter" so früh gestorben ist. In
Wirklichkeit hatte er tatsächlich einige ganz brauchbare Ideen.
Mit 60: Armer Vater! Du warst ein Weiser. Schade, dass ich dich erst so spät
verstehen kann.
KINDHEIT UND JUGEND ISAAC NEWTONS
Der englische Physiker und Mathematiker Isaac Newton wurde im ersten
Jahr des großen englischen Bürgerkrieges geboren. Er war ein Zeitgenosse
Peters I. und Ludwigs XIV. Newtons Leben verlief still und eintönig. Nie ist
er über Englands Grenzen hinausgekommen. Nie hat er nähere Freunde
gehabt. Sein privates Leben läßt sich durch eine Reihe offizieller Daten und
ein Dutzend Anekdoten und Legenden schildern. Er war von seiner Arbeit
vollkommen besessen. Die Früchte dieser Arbeit waren die „Optik" und die
„Prinzipien". Seine Gedanken, seine Arbeit konzentrierten sich auf die
Naturphilosophie oder Physik, Mathematik und Astronomie bedeuteten für
ihn nur Hilfsmittel für die Lösung der speziellen physikalischen Aufgaben.
14
Die Heimat Newtons ist das Dorf Woolsthorpe, nahe der Ostküste
Englands. Über die Familie Newtons liegen wenige Daten vor. Newtons
Vater heiratete Anna Ayscough. Seinen Vater kannte Newton nicht, weil
der Vater sehr früh gestorben war. Bekannt ist nur, dass sein Vater im
Alter von 37 Jahren gestorben ist. Drei Jahre nach der Geburt des Sohnes
heiratete seine Mutter von neuem. Newtons Erziehung übernahm seine
Großmutter. In der benachbarten Dorfschule erlernte er das Lesen,
Schreiben und Rechnen. Zum Glück genügte das seinen Verwandten nicht,
und sie schickten den Zwölfjährigen in die Lateinschule. In der Schule
bereitete sich Newton intensiv für Cambridge vor. Am 5. Juni 1661 wurde er
ins Trinity College aufgenommen. Der Leiter der Schule lobte Newtons
Charakter und seine Begabung. Es erwies sich, dass Newton weit besser als
seine Mitschüler vorbereitet war.
Als Knabe baute Newton Modelle von Wassermühlen, Automaten,
Wasser- und Sonnenuhren. Der 16 jährige Newton machte seine erste
„Experimente", um die Windstärke zu bestimmen. Im Schleifen von
Spiegeln, Prismen und Linsen übertraf er die besten damaligen Londoner
Handwerker. Im Hause des Apothekers Clark befreundete er sich mit der
kleinen Miss Storey. Bis zu seinem Tode unterhielt er freundschaftliche
Beziehungen zu seiner einzigen kleinen Jugendgenossin, half ihr und
besuchte sie.Er untersuchte den Zusammenhang zwischen den Bewegungen
und den Kräften. Er faßte seine Erfahrungen in drei Prinzipien zusammen.
Diese Prinzipien bilden die Grundlage der Mechanik.
Wörter zum Text
der Zeitgenosse
lässt sich ... schildern
vollkommen
Woolsthorpe- sprich:(wu:lsto:p)
liegen nur wenige Daten vor
übernehmen (a,o)
sich erweisen (als A,N)(ie, ie)
Ayscough – sprich:(o:ska:f)
als Knabe
freundschaftliche Beziehungen
unterhalten
der Zusammenhang
zusammenfassen, fasste zusammen,
zusammengefasst
die Begabung
verlaufen,-ie, schildern,-te, -t
die Bewegung
die Grundlage
сучасник
можна охарактеризувати
повністю
Вулстоп
є мало відомостей
брати на себе що-небудь
виявлятися (чим,яким)
Оскаф
хлопчиком
підтримувати дружні відносини
зв’язок
підсумовувати, охоплювати,
узагальнювати
талановитість, здібність
проходити
описувати, зображувати
рух
основа
15
der Bürgerkrieg
die Kraft
die Erziehung
Modelle von Wassermühlen
Modelle von Automaten
Modelle von Wasser- und
Sonnenuhren
die Grundlage der Mechanik
громадянська війна
сила
виховання
моделі водяних млинів
моделі автоматів
моделі водних і сонячних
годинників
основа механіки
Übungen
1. Beantworten Sie folgende Fragen:
1.Wie verlief Newtons Leben?
2.Was waren die Resultate seiner Arbeit?
3.Wo verlief sein Leben?
4.Welche Ausbildung hatte er erhalten?
5.Was baute er als Knabe?
II. Ergänzen Sie die Sätze durch die unter dem Strich stehenden Wörter und
Wendungen:
1. Nie ist er ... gegangen.
2. Nie bin ich .... gewesen.
3. Nie ist sie .... gefahren.
4. Ich und meine Schwester sind ... eingetreten.
5. Nie ist Newton ...hinausgekommen.
in diesen Park, hier, in dieses Dorf, ins Zimmer, über Englands Grenze
III. Bilden Sie zusammengesetzte Substantive. Übersetzen Sie sie:
a)
b) der Betrieb(-s) + die Leitung =
die Kinder + die Jahre =
die Kinderjahre
die Betriebsleitung
das Wasser + die Uhr;
der Maschinenbau + das Werk;
zusammen + der Hang;
die Entwicklung + das Tempo;
die Jugend + der Genosse;
die Vorbereitung + die Arbeiten
IV.
b) Setzen Sie das Verb „sein“ im
Imperfekt ein:
1. Нь’ютон досліджував зв’язок руху 1.
Newton .... ein Zeitgenosse
та сили.
Peters .
2. Він
сформулював
свої2. Ihre Jugendgenossin ... eine gute
спостереження у вигляді трьох Studentin.
основних законів.
3.
Ihr ... Studenten der Fakultät
3. Ще хлопчиком він будував моделі für Maschinenbau.
різних автоматів, водяні та сонячні
годинники.
a) Übersetzen Sie ins Deutsche:
16
V. Bilden Sie Adjektive oder Adverbien
ins Ukrainische.
klar
wohl
ruhig
artig
ausführbar
erfüllbar
begrenzt
begreiflich
beweglich
bewußt
bekannt
beträchtlich
VI.
4
0
1
1
1
1
mit dem Präfix ’’un -’’, übersetzen Sie
trennbar
auffälig
befleckt
beständig
nötig
wichtig
angenehm
aufmerksam
befriedigend
bestimmt
glücklich
wesentlich
Beleuchtung
Platzieren Sie in den hellen Feldern des
Diagramm Lampen derart, dass alle hellen Felder
beleuchtet sind und keine Lampe eine andere
beleuchtet. Ein helles Feld ist beleuchtet, wenn es sich
in der gleichen Zeile oder Spalte wie die Lampe
befindet und kein schwarzes Feld dazwischen ist. Die
Zahlen in dunklen Feldern geben an, wie viele
Lampen auf horizontal und vertikal benachbarten
hellen Feldern platziert werden müssen.
JAKOB LEUPOLD – MECHANIKER UND TECHNIKER
Gegen Ende des 17. Jahrhunderts nahm in Europa die
Experimentalphysik einen großen Aufschwung. In England, Frankreich und
Holland entstanden Werkstätten. Die Handwerker dieser Werkstätten stellten
physikalische Geräte verschiedener Art her. Auch in Leipzig entstand eine
solche Werkstatt. Ihr Gründer war Jakob Leupold. Im Deutschen Museum zu
München kann man noch heute eine Kolbenluftpumpe sehen. Sie hat Leupold
in seiner Leipziger Werkstatt angefertigt.
Jakob Leupold wurde am 25. Juli 1674 in der Nähe von Zwickau
geboren. Bei seinem Vater erlernte der Junge das Tischlerhandwerk. Weil er
sehr fleißig war, schickte ihn sein Vater auf die Lateinschule in Zwickau.
Leupold studierte dann an den Universitäten in Jena und Wittenburg. Aber
neben seinem Studium bildete er sich in Mathematik und Mechanik weiter
aus. Als seine Eltern das Geld für das Studium nicht mehr aufbringen
konnten, mußte er die Universität verlassen. Auf der Heimreise ging ihm
das Geld aus. Deshalb unterbrach er seine Reise in Leipzig und unterrichtete
dort Studenten. Für seinen Unterricht baute er selbst Geräte und
Instrumente. So blieb Leupold in Leipzig und fertigte dort mathematische
und physikalische Geräte an. Da es ihm an Geld fehlte, arbeitete er nicht
lange als Wirtschaftsleiter in einem Krankenhaus. Später beschäftigte er sich
mit dem Aufbau einer mechanischen Werkstatt. Er stellte physikalische
Instrumente und Geräte her und schickte sie an alle deutschen Universitäten.
Weil er seine Kenntnisse vertiefen wollte, studierte er erneut an der
Universität. Er schrieb ein Lehrbuch der mechanischen Wissenschaft und ein
17
Buch über Transportgeräte.
Der verdiente Mechaniker, Techniker und Lehrer starb
Januar 1727 in Leipzig.
am
12.
Wörter zum Text
einen Aufschwung nehmen
die Kolbenluftpumpe
aufbringen, brachte auf, aufgebracht
der Gründer
anfertigen, -te, -t
das Tischlerhandwerk
fleißig
ausbilden, bildete aus, ausgebildet
verlassen, verließ, verlassen
das Ausgehen
das Gerät
verdient
erneuen,-te, -t
der Wirtschaftsleiter
unterrichten,-te,-t
die Heimreise
der Aufbau
herstellen, stellte her, hergestellt
vertiefen,-te, -t
die Experimentalphysik
бурно розвиватися
поршневий повітряний насос
діставати, здобувати
засновник
виготовляти, робити, виконувати
столярне ремісництво
старанно
готувати
залишати
вихід
прилад
заслужений
оновлювати
керівник з питань економіки
викладати, інформувати
подорож додому
розбудова, структура, конструкція
виготовляти
поглиблювати
експериментальна фізика
Übungen
1. Setzen Sie das eingeklammerte Verb im Imperfekt ein:
1. Er .... ein Lehrbuch der mechanischen Wissenschaft (schreiben).
2. So ... Leupold in Leipzig (bleiben).
3. In England, Frankreich und Holland ... Werkstätten (entstehen).
4. Auf der Heimreise ... ihm das Geld (ausgehen).
5. Er ... physikalische Instrumente und Geräte (herstellen).
6. Bei seinem Vater ... der Junge das Tischlerhandwerk (erlernen).
7. Ihr Gründer ... Jakob Leupold (sein).
II. a) Ergänzen Sie folgende Sätze:
1. Da Leupold sehr fleißig war, ..... .
2. Als seine Eltern das Geld für sein Studium nicht mehr aufbringen konnten,
... .
3. Weil er sein Wissen vertiefen wollte, ... .
18
b) Übersetzen Sie den Text ohne Wörterbuch.
ÜBER ENTDECKUNGEN UND ERFINDUNGEN
Wenn man eine Idee hat und etwas vollständig Neues entwickelt, dann
erfindet man etwas. (Alexander Graham Bell z. B. erfand 1876 das Telefon.)
Findet man etwas, von dessen Existenz niemand wusste, oder verwendet man
etwas, von dessen Existenz niemand wusste, oder verwendet man etwas auf
völlig neue Art, dann entdeckt man etwas. (Alexander Fleming entdeckte 1928
das Antibiotikum Penizillin.)
Ist das Telefon eine nützliche Erfindung? Ist die neuartige Verwendung
des Penizillins eine wertvolle Entdeckung? Als Erfinder muss man seine
Erfindung patentieren lassen. Die Erfindung wird in ein Register eingetragen
und enthält eine Patentnummer, d.h. dass diese Idee vor unberechtiger
Nachahmung geschützt ist. In mancher Hinsicht ist das Leben heute viel
einfacher als früher.
Denken wir nur an die arbeitssparenden Maschinen, die uns einen Großteil
der Schwerarbeit abnehmen, oder an die zeitsparenden Geräte und Apparate, die
uns helfen, unsere Arbeiten so viel schneller zu erledigen. Eine Tragödie ist es
auch, wenn man bedenkt, dass Wissenschaftler oft jahrelang forschen und dann
Erfindungen wie die Atombombe und andere Nuklearwaffen dabei
herauskommen, die nachher dazu dienen, Menschen zu vernichten und Städte zu
zerstören. Im allgemeinen nehmen wir es hin, dass etwas im Namen des
Fortschritts verschwindet und ersetzt wird, aber manchmal müssen wir einsehen,
dass das Neue nicht unbedingt besser ist.
III.Bilden Sie Sätze aus folgendem Wortmaterial.
a) etwas nimmt
b) herstellen, anfertigen c) sich beschäftigen
(nahm) einen großen
Aufschwung
im17. Jahrhundert –
eine Waage – die
Leupold – Pläne
die Experimentalphysik mechanische Werkstatt zur Gründung einer Schule
die Chemie –
die Handwerker –
der Ingenieur –
im 19. Jahrhundert
Geräte und Maschinen
die Verbesserung
derTechnologie
IV. Übersetzen Sie ins Deutsche:
1. Якоб Леопольд народився поблизу Цвікау.
2. Для свого заняття він виготовляв сам прилади та інструменти.
3. Пізніше Якоб Леопольд будував механічні майстерні.
4. Визначний механік вчився в університетах Єни та Віттенбурга.
5. Якоб Леопольд викладав студентам та ремісникам.
V. Beschreiben Sie das Leben von Jakob Leupold .
1. Was für eine Wissenschaft nahm gegen Ende des 17. Jahrhunderts einen
großen Aufschwung?
19
2.
3.
4.
5.
Wann wurde Jakob Leupold geboren?
Wem unterrichtete Leupold in Leipzig?
Was für Werke schrieb Leupold?
Wann starb der verdiente Mechaniker, Lehrer und Autor?
VI. Lesen Sie folgende Sätze vor.
Es ist 8.30.
Es ist 9.15.
Es ist 3.05.
Es ist 4.45.
Es ist 6.50.
Es ist 7.25.
PETER HENLEIN – ERFINDER DER TASCHENUHR
Wer die Uhr eigentlich erfand, ist schwer zu beantworten. Uhren gibt
es ja schon seit Jahrtausenden.Allerdings sahen diese Uhren ganz anders aus
als die heutigen Taschen- und Armbanduhren. Die ältesten Uhren waren
Sonnenuhren. An der Richtung des Schattens las man die Zeit ab. Später
erfand man Wasseruhren und Sanduhren. Sie hatten bereits den Vorteil,
dass sie die Zeit auch bei bedecktem Himmel und in der Dunkelheit
anzeigten. Erst im Mittelalter wurden diese Uhren durch Gewichtsuhren und
durch Federuhren verdrängt. Gewichtsuhren und Federuhren sind den
heutigen Uhren, sehr ähnlich. Alle diese Uhren konnte man nicht bei sich
tragen: sie waren schwer und groß.
Die erste Taschenuhr schuf Peter Henlein in Nürnberg. Über das Leben
des Erfinders wissen wir nicht viel. Peter Henlein wurde 1480 in Nürnberg
geboren. Er erlernte den Beruf eines Schlossers. Nachdem er im Jahre 1509 die
Meisterprüfung abgelegt hatte, nahm man ihn in die Schlosserzunft auf. Als
er 30 Jahre alt war, also im Jahre 1510, schuf er seine erste Taschenuhr. 1542
ist er in Nürnberg gestorben.
Ein Zeitgenosse schrieb über Henleins Erfindung: „Er macht aus Eisen
kleine Uhren mit vielen Rädern. Diese Uhren gehen vierzig Stunden lang
und sind so klein, dass man sie im Geldbeutel tragen kann." Die ersten
Uhren Henleins hatten die Form einer ovalen, mehrere Zentimeter hohen
Dose. Einige Jahre später fertigte er flache Uhren an, sie waren den modernen
Taschenuhren noch mehr ähnlich. Noch später ergänzte er diese Uhren durch
einen Minutenzeiger.Das Bauprinzip der modernen Uhren ist aber immer
noch dasselbe wie bei Peter Henlein — wie im Jahre 1510, als die erste
Taschenuhr zu ticken begann.
Wörter zum Text
das Jahrtausend-s,-e
erfinden,-a,-u
die Erfindung-,-en
der Erfinder-s,
die Uhr-,-en
die Sonnenuhr-,-en
тисячоліття
винаходити
винахід; вимисел
винахідник
годинник
сонячний годинник
20
die Wasseruhr-,-en
die Sanduhr-,-en
die Armbanduhr-,-en
die Taschenuhr-,-en
das Gewicht-(e)s,-e
die Feder-,-n
der Vorteil-(e)s,-e
anzeigen, -te, -t
schaffen, -u, -a
die Dunkelheit
der Schlosser-s,das Eisen-s,das Rad-(e)s, -ër
der Beutel-s, =
flach
anfertigen, -te, -t
der Uhrzeiger-s, =
der Schatten -s, =
das Uhr(arm)band-(e)s, -ër
eigentlich
allerdings
ablesen, las ab, abgelesen (von D.)
ergänzen, -te, -t
wurde verdrängt
die Schlosserzunft
die Dose
ticken,-te,-t
водяний годинник
пісочний годинник
наручний годинник
кишеньковий годинник
вага; тягар
перо; пух; пружина
перевага; вигода; прибуток
повідомляти; заявляти
творити; створювати
темрява
слюсар
залізо; чавун
колесо
гаманець; мішок
плоский; горизонтально
виготовляти
стрілка годинника
тінь
ремінець для наручного годинника
власний; справжній; власне кажучи;
по суті
звичайно, справді
читати (з чого); читати показання
доповнювати
був витіснений
кооперація слюсарів
коробка
цокати (про годинник)
Übungen
I. Beantworten Sie folgende Fragen:
1. Welche Uhren waren die ältesten?
2. Wer schuf die erste Taschenuhr?
3. Wann und wo wurde Peter Henlein geboren ?
4. Wann und wo schuf Peter Henlein seine erste Taschenuhr ?
5. Wie sahen die ersten Uhren Henleins aus?
II. Bilden Sie zusammengesetzte Substantive aus folgenden Wörtern und
übersetzen Sie sie:
die Tasche + die Uhr
der Bau + das Prinzip
das Armband + die Uhr
die Minute + der Zeiger
die Sonne + die Uhr
die Zeit + der Genosse
das Wasser + die Uhr
das Geld + der Beutel
der Sand + die Uhr
der Schlosser + die Zunft
21
das Gewicht + die Uhr
die Feder + die Uhr
das Mittel + das Alter
der Meister + die Prüfung
III. Bilden Sie Komparationsstufen von folgenden Adjektiven und Adverbien:
schwer alt groß viel klein lang hoch spät
IV. Beschreiben Sie das Lebenslauf eines berühmten Gelehrten. Gebrauchen Sie
dabei den Plan.
▪ Geburtsdatum
▪ Fachrichtung
▪ Studienjahre
▪ Wissenschaftliche Arbeit
V. Nennen Sie Grundformen von folgenden Verben.
erfinden
beantworten aussehen
erfinden
ablegen
haben
können
tragen
erlernen
sein
schreiben
machen
anzeigen
schaffen
anfertigen
VI. Nennen Sie die Stadt, wo diese Sehenswürdigkeit ist.
Leipzig
der’’Römer’’
der Kölner
die
Hamburg
Dom
Thomaskirche
Köln
der Alex
das
die Semperoper
Hofbräuhaus
München
die Kirche St.Michaeli
die Bayerische
Staatsbibliothek
Dresden
das
der größte
StadtmusikantenSeehafen
die Paulskirche
Denkmal
das Goethedas Branderburger Tor
Museum
werden
wissen
ticken
Berlin
Bremen
Weimar
Frankurft
am Main
MIT KLEINEM BEGANN ES...
(Momente aus dem Leben einiger Erfinder)
Wer weiß, vielleicht wird aus dir oder aus deinem Freunde einmal ein
Mensch, der im Dienste der Wissenschaft Großes leistet und dessen Arbeit auf
der ganzen Welt anerkannt wird. Oder glaubt ihr vielleicht, dass einer der
folgenden Männer schon zu Anfang wusste, welche Bedeutung seine
Entdeckung für die Menschheit haben würde?
Archimedes, der im 3. Jahrhundert vor u.Z. lebte, badete einmal in einem
vollen Becken. Dabei hatte er das Gefühl, als ob er im Wasser leichter sei.
Nach dieser Beobachtung stellte er folgendes Prinzip fest: ein Körper, der in
eine Flüssigkeit getaucht ist, verliert so viel an Gewicht, wie das Gewicht der
verdrängten Flüssigkeit beträgt.
James Watt bemerkte schon als Knabe, dass der Wasserdampf den Deckel
von Mutters Teekessel heben konnte. Nach demselben Prinzip konstruierte er
22
viele Jahre später die Dampfmaschine.
Montgolfier beobachtete einen feuchten Frauenrock, der zum Trocknen
über einem Kamin hing: der Rock blähte und hob sich. "Warum?" dachte
Montgolfier. Plötzlich erkannte er klar: warme Luft hat Hebekraft! Bald darauf
schuf er den ersten Luftballon.
Benjamin Franklin machte während eines Gewitters Versuche mit
einem Papierdrachen. Mit beiden Händen hielt er die Schnur, als es plötzlich
blitzte. Ein Teil der Elektrizität des Blitzes wurde durch die Drachenschnur
weitergeleistet: Franklin spürte einen Schlag und ließ erschrocken die Schnur
los. Nach diesem Erlebnis dachte er viel über die Geheimnisse der Elektrizität
nach und hatte Erfolg. Blitzableiter sind heute in der ganzen Welt verbreitet.
Isaac Newton schlief einmal unter einem Apfelbaum. Da fiel eine Frucht
herab, und er erwachte. Dieses unbedeutende Ereignis hatte bedeutende
Folgen: der Physiker beschäftigte sich nun mit frei fallenden Körpern. Nach
sieben Jahren eifrigen Studiums stellte er das Gesetz der Schwere auf, mit
dessen Hilfe er auch die Bewegung der Planeten um die Sonne erklären
konnte.
Um Erfinder zu werden, genügt es aber nicht, Erscheinungen und
Ereignisse zu beobachten und zu erforschen. Man muss sich auch mit dem
neuesten Stand der Wissenschaft bekannt machen und fleißig studieren.
(1736 1819)
англійський інженер
та винахідник
Montgolfier Moнгольфье
(1740 1810)
Isaac
Newton
(1643 1727)
французький винахідник
повітряної кулі, наповненої
теплим повітрям
англійський фізик
James Watt
Джеймс
Ватт
Icaaк
Ньютон
Wörter zum Text
der im Dienste der Wissenschaft
Großes leistet
welche Bedeutung... haben würde
vor u. Z.= vor unserer Zeitrechnung
als ob er leichter sei
das Gewicht der verdrängten
Flüssigkeit
als es plötzlich blitzte
beschäftigte sich nun mit frei fallenden
Körpern
das Gesetz der Schwere
23
який досягне великих успіхів,
служачи науці
яке значення могло б мати ....
до нашої ери
наче він легший
вага витісненої рідини
коли раптом блиснула блискавка
зайнявся тепер вивченням
вільного падіння тіл
закон тяжіння
Übungen
I. Wählen Sie die richtige Antwort.
1. Was für ein Gefühl hatte Archimedes, als er einmal in einem vollen
Becken badete?
a) als ob er im Wasser schwerer sei; b) als ob er im Wasser heißer sei;
c) als ob er im Wasser leichter sei; d) als ob er im Wasser kälter sei.
2. Was konstruierte viele Jahre später James Watt?
a) eine Waschmaschine;
b) eine Eisenbahnlinie;
c) eine Weltraumrakete;
d) eine Dampfmaschine.
3. Was schuf Mongolfier, als er klar erkannte, dass warme Luft Hebekraft
hat?
a) den ersten Luftballon;
b) den ersten Computer;
c) den ersten Fernseher;
d) den ersten Videorekorder.
4.Womit machte Benjamin Franklin Versuche während eines Gewitters?
a) mit einem Papierpferd;
b) mit einer Papiertaube;
c) mit seinem Hut;
d) mit einem Papierdrachen.
5. Was fiel auf den Newtonkopf einmal herab, als er schlief?
a) eine Birne;
b) ein Apfel;
c) eine Pflaume;
d) ein Zweig.
II. Setzen Sie passende Modalverben ein.
1.Die Entdeckung eines Menschen ... eine große Bedeutung für die
Menschheit haben.
2.Nach der Beobachtung ... man einige Zusammenfassungen machen.
3.Montgolfier ... den ersten Luftballon schaffen.
4.Benjamin Franklin ... die Schnur eines Papierdrachens mit beiden
Händen halten.
5.Franklin spürte einen Schlag und ... erschrocken die Schnur los.
6.Der Physiker ... sich mit frei fallenden Körpern beschäftigen.
7.Man ... sich auch mit dem neuesten Stand der Wissenschaft vertraut
machen und fleißig studieren.
musste
muss
kann
wollte
konnte
will
ließ
III. Wählen Sie passende Verben zu den folgenden Substantiven.
der Luftballon — den Luftballon schaffen
Muster :
die Wissenschaft —
die Bedeutung
—
die Entdeckung —
die Beobachtung —
24
die Erscheinung
—
IV. Bestimmen Sie, von wem in den folgenden Aussagen die Rede ist?
Archimedes James
Benjamin
Isaac
Mongolfier
Watt
Franklin
Newton
♣
Er schlief einmal unter einem Apfelbaum. Da fiel eine Frucht herab,
und er erwachte.
☻ Er bemerkte schon als Knabe, dass der Wasserdampf den Deckel von
Mutters Teekessel heben konnte. Nach demselben Prinzip
konstruierte er viele Jahre später die Dampfmaschine.
♥ Er beobachtete einen feuchten Frauenrock, der zum Trocknen über
einem Kamin hing: der Rock blähte und hob sich. Er erkannte
plötzlich: warme Luft hat Hebekraft. Bald darauf schuf er den ersten
Luftballon.
♠ Er lebte im 3. Jahrhundert vor u.Z. Nach dem Baden in einem vollen
Becken stellte er folgendes Prinzip fest: ein Körper, der in eine
Flüssigkeit getaucht ist, verliert so viel an Gewicht, wie das Gewicht
der verdrängten Flüssigkeit beträgt.
♦ Er machte während eines Gewitters Versuche mit einem Papierdrachen.
Er hielt die Schnur mit beiden Händen, als es plötzlich blitzte. Er spürte
einen Schlag und ließ erschrocken die Schnur los. Nach diesem Erlebnis
dachte er viel über die Geheimnisse der Elektrizität nach und hatte
Erfolg.
V. Zerlegen Sie die Wörter.
der Weltraum = die Welt + der Raum
Muster :
der Wasserdampf =
die Dampfmaschine =
der Luftballon =
der Papierdrachen =
die Drachenschnur =
der Blitzableiter =
VI. Ergänzen Sie die Tabelle.
Infinitiv Präteritum Partizip II Infinitiv Präteritum Partizip II
gehen
fliegen
schlief
konstruierte
gegeben
beobachtet
erfand
entdecken
tragen
wurde
geschaffen
genannt
25
DIE NEWTONSCHEN PRINZIPIEN DER MECHANIK
Diese Prinzipien werden die drei Newtonschen Axiome der
Mechanik genannt.
1. Das Trägheitsprinzip.
Eine Person, die auf einem ruhenden Wagen steht, fällt bei
plötzlichem Anfahren des Wagens gegen die Fahrtrichtung um. Eine Person,
die auf einem fahrenden Wagen steht, fällt bei plötzlichem Bremsen des
Wagens in Fahrtrichtung um.
Die Ursache dieser Erscheinungen ist die Trägheit. Im ersten Fall will
die Person im Zustand der Ruhe bleiben, im zweiten Fall will sich die Person
in Fahrtrichtung weiterbewegen. An den Beispielen erkennt man:
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen
geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch Kräfte gezwungen wird, diesen
Zustand zu ändern.
2. Das Aktionsprinzip.
Untersucht man den Zusammenhang zwischen der Kraft, die auf einen
Körper wirkt, der Beschleunigung und der Masse des Körpers, so findet
man folgende Beziehungen:
Die Beschleunigung eines Körpers ist der Kraft, die auf ihn wirkt,
proportional: F = ~ a.
Kraft und Beschleunigung haben dieselbe Richtung. Um Körpern mit
verschiedenen Massen gleichgroße Beschleunigung zu erteilen, braucht man
Kräfte mit verschiedenen Beträgen und gleichen Richtungen.
Die Beträge dieser Kräfte sind den Massen proportional F ~ m. Faßt
man beide Beziehungen zusammen, so erhält man die Gleichung F=c-m-a in
der c ein Proportionalitätsfaktor ist. Die Kraft, die auf einen Körper
wirkt, ist dem Produkt aus seiner Masse und seiner Beschleunigung
proportional.
3. Das Reaktionsprinzip.
Auf einer horizontalen Ebene stehen zwei Wagen, in denen sich je
eine Person befindet. Die Wagen einschließlich der Personen haben gleiche
Massen. Jede Person hält ein Ende des gleichen Seils in der Hand. Zieht die
Person I am Seil, so bewegen sich beide Wagen mit gleichgroßen
Beschleunigungen gegeneinander und treffen sich in der Mitte des Weges.
Den gleichen Vorgang beobachtet man, wenn die Person II am Seil zieht,
oder wenn beide Personen gleichzeitig am Seil ziehen. Man erkennt daraus,
dass die Kraft, die auf einen Körper wirkt, von einem oder mehreren
anderen Körpern ausgeht. Wirkt ein Körper I mit einer Kraft F1 auf
einen Körper II, so wirkt auch der Körper II mit der Kraft F2 auf den
Körper I. Die beiden Kräfte F1 und F2 haben gleiche Beträge, aber einander
entgegengesetzte Richtung: F1 = — F2.
Man sagt auch: wirkt zwischen zwei Körpern eine Kraft, so wirkt
zwischen ihnen gleichzeitig eine Gegenkraft mit demselben Betrag.
26
Wörter zum Text
das Trägheitsprinzip
umfallen,-ie,-a
die Richtung -,-en
verharren,-te,-t
geradlinig
das Aktionsprinzip
einwirken, wirkte ein, eingewirkt
(auf Akk.)
die Beschleunigung
der Betrag-es, -¨e
das Maß-sses,-sse
die Masse
das Reaktionsprinzip
die Ebene
das Seil
entgegensetzen, setzte entgegen,
entgegengesetzt
die Gegenkraft
zwingen,-a,-u
plötzlich
anfahren, -u, -a
der Wagen
bremsen,-te,-t
die Trägheit
im Zustand
weiterbewegen
gleichförmig
geradlinig
die Beschleunigung
die Kraft
wirken,-te,-t
gleichgroß
erteilen,-te,-t
die Gleichung -,-en
der Proportionalitätsfaktor
sich bewegen,-te,-t
der Betrag
gleichzeitig
entgegengesetzt
ziehen, -o, -o
закон інерції
падати
напрямок
залишатись (в якомусь стані)
прямолінійний
закон взаємодії маси та прискорення
впливати на що-небудь
прискорення
величина, сума
міра, розмір
маса, кількість
закон рівності дії та протидії
площина, поверхня
канат, трос
протиставляти
сила протидії
примушувати
раптово
підвозити, доставляти; приводити в
дію
вагон; вагонетка, автомобіль
гальмувати
інерція
у стані
рухати далі
рівномірно
прямолінійний
прискорення
сила
діяти, впливати
рівний за величиною
давати (команду, пораду)
рівняння
фактор пропорційності
рухатись
сума, величина
водночас
протилежно
тягнути, волочити, добувати (корінь)
27
Übungen
1. Beantworten Sie folgende Fragen:
1. Welche drei Newtonschen Prinzipien werden die drei Newtonschen
Axiome der Mechanik genannt?
2. Wie lautet das Trägheitsprinzip?
3. Welche Beziehungen findet man, wenn man den Zusammenhang zwischen der
Kraft, der Beschleunigung und der Masse des Körpers untersucht?
4. Was sagt das Reaktionsprinzip?
II. Setzen Sie die entsprechenden Personalpronomen ein.
Er kann ... dieses Experiment zeigen Er hat keine Zeit,...diese Geschichte
(ich).
zu erzählen (er).
Er hat vergessen, ... dieses Buch zu Ich beginne schon morgen, .... zu
bringen (sie).
helfen (ihr).
Ich höre ... jeden Morgen singen (sie). Er bittet ... , ihm mein deutsches
Lehrbuch zu geben (ich).
III. Lesen Sie rollenweise den Dialog vor. Sprechen Sie über das Thema
„Die drei Newtonschen Axiome der Mechanik“:
Dialog
Iwanow: Der Gründer der klassischen Physik ist der englische Physiker
und Mathematiker Isaac Newton. Er faßte seine Erfahrungen in
drei Prinzipien zusammen.Diese Prinzipien werden die drei
Newtonschen Prinzipien der Mechanik genannt.
Petrow: Ja, das stimmt.
Iwanow: Nun, wie lautet das erste Newtonsche Prinzip?
Petrow: Das erste Prinzip ist das Trägheitsprinzip, es lautet: jeder
Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen
geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch die Kraft
gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern.
Iwanow: Alles richtig. Das zweite Prinzip ist das Aktionsprinzip.Es
besagt: die Kraft, die auf einen Körper wirkt, ist dem Produkt
aus seiner Masse und seiner Beschleunigung proportional.
Petrow: Schön. Was besagt das dritte Prinzip?
Iwanow: Das dritte Prinzip ist das Reaktionsprinzip, das lautet: wirkt
zwischen zwei Körpern eine Kraft, so wirkt
zwischen ihnen
gleichzeitig eine Gegenkraft mit demselben Betrag.
Petrow: Alles stimmt. Oh, es ist schon Zeit, wir müssen gehen.
IV. Nennen Sie Antonyme zu den angegebenen Wörtern.
positiv
ungefähr
hoch
klein
schwach
die Nähe gebunden
leitend
geschlossen direkt
28
weich
kompliziert
V. Gebrauchen Sie statt der Punkte die Relativpronomen:
1. Eine Person, ... auf einem fahrenden Wagen steht, fällt bei plötzlichem
Bremsen des Wagens um.
2. Die Beschleunigung eines Körpers ist der Kraft, ... auf ihn wirkt,
proportional.
3. Das Experiment, ... wir heute im Laboratorium durchgeführt haben, ist
sehr wichtig.
4. Ich gebe Ihnen jetzt einen Text, ... Sie übersetzen müssen.
5. Im Institut, an ... ich studiere, gibt es 5 Fakultäten.
VI. Gebrauchen Sie statt der Punkte die untenstehenden Wörter:
1. Gib mir bitte ..., das dort liegt.
2. ..., der an der Moskauer Universität studiert, kommt bald nach Kyjiw.
3. Schreiben Sie ... aus, die Sie lernen müssen.
4. Wo ist ..., den ich übersetzen muss?
5. Ich kann nicht ... übersetzen, den Sie mir gegeben haben.
das Werkzeug, das Buch, das Heft, mein Bruder, mein Sohn, die Wörter,
die Sätze, der Artikel, der Text
KONRAD ZUSE – DER DEUTSCHE ERFINDER DES COMPUTERS
Heute können wir uns das Leben ohne Computer kaum vorstellen. Wann ist
aber der erste Rechner entstanden? Was ist uns über seinen Erfinder bekannt?
Das Deutsche Museum in München hat ein interessantes Exponat im Bereich
Informatik — das ist der erste frei programmierbare Rechenautomat von Konrad
Zuse. Er hatte die Bezeichnung Z 3.
Konrad Zuse hat Ende 1939 mit seiner Arbeit begonnen. Und der Geburtstag
des Computers, das Datum seiner Fertigstellung, ist der 12. Mai 1941. Der
Geburtsort ist auch bekannt, das war das Wohnzimmer seines Vaters in Berlin.
Dieser Rechner wurde eingesetzt, und zwar für statische Berechnungen im
Flugzeugbau in Berlin. Der Rechner hatte die wichtigsten Elemente, die auch
moderne Computer haben. Er war aber viel größer – 3 Meter lang und 2 Meter
hoch, dazu kommt noch ein Keyboard, etwa 1 Meter auf 1,5 Meter. Er konnte in 3
Sekunden mathematishe Operationen ausführen: multiplizieren, dividieren,
Quadratwurzeln ziehen.
Im Jahre 1944 fiel eine Bombe genau auf das Wohnzimmer des Vaters von
Konrad Zuse und zerstörte das Haus und das Gerät. Später hat der Erfinder
seinen Apparat noch einmal mit Originalteilen nachgebaut. Mit seinen
Computern ist er aber nicht reich geworden. Er hat alle Papiere schon 1941 an das
Patentamt geschickt, aber während des Krieges gingen sie verloren.
Und 1944 meldete der Amerikaner Howard Alken seinen Computer, Mark 1,
an. Dieser amerikanische Wissenschaftler galt bis in die 60er Jahre als Erfinder des
Rechners, und 1962 schrieb er einen Brief an Zuse und bestätigte, dass Zuse der
Computer-Pionier war.
29
Wörter zum Text
der Rechner = der Computer, die
Rechenmaschine
die Berechnungen
das Keyboard, die Tastatur
gelten,-a,-o
bestätigen,-te,-t
schlucken = hier: aufnehmen
florieren = erfolgreich sein
die Handkurbel = kurze Stange, die man im
Kreis dreht, um einen Mechanismus in
Bewegung zu setzen
zusammenschustern = nicht besonders
professionell herstellen
basteln = zusammenbauen
langwierig = etwas, wozu man sehr viel Zeit
braucht
die Faulheit = wenn man nicht arbeiten
möchte
das Ungetüm, -e = Monster
das Patent, -e = das Recht, eine Erfindung als
einziger wirtschaftlich zu nutzen
postulieren = fordern,-te,-t
bahnbrechend = sensationell
fussen = basieren,-te,-t
die Nachbauten, Pl. = Rekonstruktionen
etwas aus dem Gedächtnis machen = etwas
aus der Erinnerung heraus machen
der Fronteinsatz = wenn man in der
vordersten Linie gegen den Feind kämpfen
muss
die Einberufung = amtliche Aufforderung,
den Militärdienst zu beginnen
das Blech = sehr dünnes Metall
die Laubsäge, -n = kleine leichte Säge, mit
der man vor allem dünnes Holz sägt
Übungen
I. Bilden Sie 5 Fragen zum Text.
30
комп’ютер, ЕОМ
розрахунки
клавіатура
вважатися
підтвердити
записувати; приймати
бути успішним; розквітати
рукоятка, яку обертають,
щоб привести в дію
виготовляти не особливо
професійно
змайструвати
дещо, що потребує часу
лінь
чудовисько, монстр
патент = єдине право
використовувати винахід в
народному господарстві
вимагати
новаторський, сенсаційний
базуватись, ґрунтуватись
реконструкції
вивести щось із пам’яті,
пригадати
боротись з ворогом на
передовій
призив = службовий заклик
розпочати військову службу
бляха = дуже тонкий метал
маленька легка пила, з якою
розпилюють передусім
тонку деревину
II. Finden Sie die richtige Ergänzung.
1. Das Deutsche Museum befindet sich in....
a) Berlin
b) Amerika
c) München
2. Der erste frei programmierbare Rechenautomat wurde von ... erfunden.
a) Konrad Zuse b) Howard Aiken c) Bill Gates
3. Der Rechner hatte die Bezeichnung... .
a)Zl
b)Z2
c)Z3
4. Der Erfinder Konrad Zuse hat seine Arbeit am Rechner ... begonnen.
a)1941
b)1939
c)1944
5. Der Geburtsort des Rechners ist... .
a)das Wohnzimmer b) das Schlafzimmer c) das Wohnzimmer seines
seines Vaters in Berlin seines Vaters in Berlin Vaters in München
6. Der erste Computer war... .
1 Meter lang,
3 Meter lang,
2 Meter lang,
3 Meter hoch
2 Meter hoch
5 Meter hoch
7. Er konnte ... multilpizieren, dividieren, Quadratwurzeln ziehen.
a) in 1 Sekunde
b) in 30 Sekunden c) in 3 Sekunden
8. Im Jahre... zerstörte eine Bombe das Haus und das Gerät
a)1944
b)1942
c) 1941
9. Konrad Zuse wollte seine Erfindung schon patentieren ... .
a)1942
b)1944
c)1941
10. Seinen Computer meldete der ... Howard Aiken zuerst an.
a) Deutsche
b) Amerikaner c) Engländer
III. Bestimmen Sie, ob die folgenden Aussagen richtig (+) oder falsch (-) sind.
Setzen Sie entsprechende Zeichen in die Klammern ein.
1. Im Bereich Medizin hat das Deutsche Museum ein interessantes Exponat - den
ersten Rechner.
2. Der Geburtstag des Computers, das Datum seiner Fertigstellung ist der 12.
Mai 1941.
3. Dieser Rechner wurde für statische Berechnungen im Flugzeugbau
eingesetzt.
4. Das Keyboard dieses Rechners war 3 Meter lang und 2 Meter hoch.
5. Nachdem eine Bombe das Gerät vernichtet hatte, konnte Konrad Zuse
es nicht mehr nachbauen.
6. Mit seinen Computern konnte er aber nicht reich werden.
7. Es hat seine Papiere an das Patentamt geschickt, aber sie gingen
während des Krieges verloren.
8. Der Amerikaner Howard Aiken gilt auch heute als Erfinder des Rechners.
IV. Übersetzen Sie folgende Sätze ins Ukrainische ohne Wörterbuch.
1. Heutzutage ist es schwer, sich unser Leben ohne Computer vorzustellen.
2. Häufig sagt man, dass das Computerzeitalter erst begonnen hat.
3. Der Computer vereinfacht für uns das Leben.
31
4.
5.
6.
7.
Der Computer kann die Daten speichern und wiedergeben.
Der Computer kann auch schnell rechnen, programmieren.
Der Computer ist wie das menschliche Gehirn, aber mehr flexibel.
Computer werden immer weiter entwickelt und können immer mehr leisten.
V. Bilden Sie die Sätze aus folgendem Wortmaterial.
1. eröffnet, dem Menschen, der Computer, Perspektiven, große;
2. fast, nur, gearbeitet, wird, mit, Computern, Berufsleben, im, man;
3. viele, gibt, es, logische, Computerspiele, Kriegsspiele, u.a.
4. erlernen, hilft, die Fremdsprachen, hilft, der Computer ;
5. vereinfacht, uns, für, das Leben, der Computer.
VI. Ordnen Sie folgende Substantive nach dem Geschlecht in drei Gruppen .
Computer Inklusivpacket Startknopf
Textverarbeitung Maus Steckdose
Tastatur System-Einheit Schreibtisch Programmpacket Pfeil Rechner
Cursor
Bildschirm
Auswahl-Feld Lernprogramm
Klick Hardware
MATHEMATIK
Die Mathematik (griechisches Adjektiv μαθηματική [τέχνη],
mathēmatikē [téchnē], „[die Kunst des] Lernen[s], zum Lernen gehörig“; vom
altgriechischen Verb μανθάνω, manthánō, „ich lerne“) ist eine der ältesten
Wissenschaften. Es gibt keine allgemein anerkannte Definition für Mathematik.
Sie entstand aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen.
Heute untersucht die Mathematik abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften
und Muster. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike in Griechenland und im
Hellenismus. Von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des
„rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die
euklidische Geometrie.
Die ersten bekannten Wissenschaftler des Mittelalters waren Euklid,
Archimed, Aristotel. In der frühen Neuzeit leisteten auch viele Gelehrte einen
großen Beitrag in der Entwicklung der Mathematik. Zum Beispiel, François
Viète führte Variablen ein und R. Descartes eröffnete durch die Verwendung
von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Schon im 16.
Jahrhundert entstand die Theorie der komplexen Zahlen. Die Boolesche Algebra
findet in der Digitaltechnik und der elektrischen Steuerungstechnik für
Maschinen und Anlagen weitreichende Anwendung. Die Beschreibung von
Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur
Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton.
Später hat Fourier beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für
den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat die Methode der kleinsten
Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen
systematisiert. Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen
zunehmend komplizierterer algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung
entwickelten N. H. Abel und E. Galois den Begriff der Gruppe, die Beziehungen
32
zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Im Laufe des 19. Jahrhunderts
fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von A. L. Cauchy und K.
Weierstrass ihre heutige strenge Form. Am Ende des 19. Jahrhunderts
entwickelte G. Cantor Mengenlehre.
In der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert veröffentlichte David Hilbert die
Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch
einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik auf ihre wesentlichen
Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte E. Noether die Grundlagen der
modernen Algebra, F. Hausdorff die Topologie als die Untersuchung
topologischer Räume, S. Banach den wohl wichtigsten Begriff der
Funktionalanalysis. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik
Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie
aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer
bereitgestellt.
Wörter zum Text
die Aufgabenstellung
die Variable
die Tangente -, - n
die Infinitesimalrechnung
das Fehlerquadrat
zunehmend
die Gleichung -, - en
die Behandlung -, - en
streng
die Mengenlehre
der Versuch -es, - e
reduzieren
die Anregung -, - en
bereitstellen
постановка задачі
змінна (величина)
дотична
обчислення нескінчено малих
похибка
зростаючий, збільшуючийся
рівняння
трактування, обговорення
строгий
вчення про множину
спроба, намагання
скорочувати, зменшувати, обмежувати
стимули, імпульси
підготовляти, надавати
Übungen
I. Bilden Sie fünf Fragen zum Text „Mathematik“ und übersetzen Sie diesen Text
ohne Wörterbuch.
II. Ergänzen Sie die Sätze.
1. David Hilbert veröffentlichte ….. (cписок 23 математичних проблем).
2. Fourier hat die Grundlage für den modernen …. (поняття функції) gelegt.
3. Die Mathematik …. (досліджує) abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften
und Muster. 4. Gauß hat die Methode der kleinsten … (похибки) entwickelt.
5. Am Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte G. Cantor … (вчення про
множину).
6. François Viète führte … (змінні величини) ein.
33
7. E. Noether entwickelte …. (основні положення) der modernen Algebra.
III. Setzen Sie die in Klammern gegebenen Verben ins Präteritum und Perfekt
Aktiv.
1. Man … seit dem Altertum mit Fragen der Mathematik (sich beschäftigen).
2. Unter Mathematik … man im Altertum die Wissenschaft (verstehen) .
3. Die Mathematik … aus praktischen Bedürfnissen (sich entwickeln).
4. Die Wissenschaftler … interessante Gesetze (aufstellen).
5. Man … die einzelnen Ergebnisse in der Forschungsarbeit (verallgemeinern).
6. Die mathematische Betrachtungsweise … auf den einfachsten Grundbegriffen
und Grundsätzen, den sogenannten Axiomen (aufbauen).
IV. Merken Sie sich folgende Verben. Führen Sie einige Beispiele an:
verstehen unter, sich beschäftigen mit, aufstellen, verallgemeinern,
hervorgehen aus, sich entwickeln zu, bezeichnen als, bilden, stattfinden.
V. a) Setzen Sie die passenden Präpositionen zu den Substantiven in Klammern
ein. Stellen Sie Fragen zu den unterstrichenen Wörtern.
1. Man versteht … (die Arithmetik) die Lehre von Zahlen.
2. Die Überprüfung der Richtigkeit der Theorie findet … (die Praxis) statt.
3. Meine Freundin beschäftigt sich … (Fragen) der Theorie.
4. Sie interessiert sich … (die höhere Mathematik).
5. Die Algebra beschäftigt sich … (die Lösung) von Gleichungen.
6. Die mathematische Betrachtungsweise baut sich … (die einfachsten
Grundbegriffe) auf.
b) Bevor Sie zu arbeiten beginnen, diskutieren Sie über das Rauchen.
- Warum rauchen so viele – auch - Weil es Spaß macht,
junge - Menschen?
- weil die Freunde oder die Eltern auch
rauchen,
- weil es „in“ ist, …..
- aus Neugier, aus Nachahmung, aus
Leichtsinn;
- weil sie gefallen möchten;
- weil es ihnen langweilig ist.
Was spricht gegen das Rauchen? - Sehr gesundheitsschädlich, sehr teuer,
……
- Wirkt
auf
die
Arbeitsund
Studienleistungen.
- Mindert die Reaktion und Sehkraft.
34
Die Schädlichkeit des Rauches
Zwischen
starkem Zigarettenrauchen und dem Auftreten von
Lungenkrebs besteht ein deutlicher Zusammenhang, wie Sie aus der Tabelle
erkennen können:
Lungenkrebserkrankungen
pro 100 000 Personen
Nichtraucher
3
schwache Raucher (weniger als 10 Zigaretten
51
pro Tag)
mittelstarke Raucher ( als 10 – 20 Zigaretten
60
pro Tag)
starke Raucher (20 – 40 Zigaretten pro Tag)
143
sehr starke Raucher (über 40 pro Tag)
217
Berechnen Sie, um wie viel mal die Gefährdung (das Risiko) bei Rauchern
größer ist als bei Nichtrauchern. Diskutieren Sie diese Ergebnisse.
schwache Raucher 51 : 3 = 17 17 faches
Risiko
mittelstarke
60 : 3 = ?
? faches
Raucher
Risiko
starke Raucher
?
? faches
Risiko
sehr
starke
?
? faches
Raucher
Risiko
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Bernard Bolzano
(1781 - 1848)
Bernard Bolzano wurde am 5. Oktober 1781 als Sohn eines Kaufmanns in
Prag geboren. 1795 begann er sein Studium an der philosophischen Fakultät der
Prager Universität, welche er 1800 beendete. An der Universität wurde er von
St. Vydra, einem Priester, der Mathematik unterwiesen, jedoch konnten seine
Vorlesungen Bolzano weder beeindrucken noch zufriedenstellen. Sein zweiter
Professor war F.J. Gerstner, ein vorzüglicher Mathematiker mit großem
Weitblick. Gerstner konnte Bolzanos Begabung richtig einschätzen und
beeinflussen. 1805 absolvierte er die theologische Fakultät, wurde zum Doktor
der Philosophie und zum Priester geweiht.
1806 wurde er zum Professor der Religionslehre in Prag ernannt, nachdem
der freigewordene Lehrstuhl für Elementarmathematik zu seinen Ungunsten
besetzt worden war. Seine kritische Haltung zu gesellschaftlichen Normen
brachten ihm viele Kritiker, die schon bald seine Absetzung verlangten. Parallel
zu seiner Tätigkeit befaßte er sich sehr intensiv mit der Mathematik und
35
schließlich brachte er 1810 in seiner Arbeit "Beiträge zu einer begründeteren
Darstellung der Mathematik" seine Vorstellung vom Wesen und von der
Methode der Mathematik zum Ausdruck. 1817 bewies er die Existenz von
Wurzeln der algebraischen Gleichung, einen von Gauß mehrmals bearbeiteten
Satz. 1818 wurde er Direktor der naturwissenschaftlichen Abteilung der
Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften und am 24. Dezember 1819 wurde
er durch Kaiser Franz seines Amtes enthoben, was er mit stoischer Ruhe zur
Kenntnis nahm. Sofort nach seiner Entlassung begann er sich ausschließlich mit
wissenschaftlichen Fragen zu befassen.
Von 1819 bis 1823 lebte er in Radic bei Prag. 1820 wurde er der
Universität verwiesen und unter Polizeiaufsicht gestellt. Von da an durfte er
weder publizieren, noch journalistisch auftreten, noch im Staatsdienst arbeiten.
1824 weigerte er sich, seine Ansichten zu widerrufen und 1825 wurde der
Prozess gegen ihn eingestellt. In dem 1837 erschienenen Werk
"Wissenschaftslehre" erwies sich Bolzano als einer der Begründer der
mathematischen Logik. Bolzano gab auch eine exakte Definition der Stetigkeit
einer Funktion an, und zwar zeitlich vor Cauchy. Leider konnte er sein Werk
"Größenlehre" nie beenden, in dem er sich vorgenommen hatte, wesentliche
Teile der Mathematik zu einem logisch abgeschlossenen System
zusammenzufassen. 1848 erkrankte er schwer und starb am 18. Dezember.
Wörter zum Text
unterweisen ie, ie
vorzüglich
der Weitblick
zu seinem Ungunst
besetzen
die Absetzung, -, -en
die Darstellung
entheben, o, o
verweisen, ie, ie
sich weigern
widerrufen
exakt
die Stetigkeit
навчати когось, повчати когось, давати вказівки
чудовий, передовий
далекозорість
не в його користь
зайняти
звільнення з посади, виключення
представлення, уявлення, зображення
звільняти
виганяти, робити догану
відмовлятись
відмовлятись від сказаного, відрікатись
точний, пунктуальний
безперервність
ANWENDUNGSGEBIETE DER MATHEMATIK
Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend
formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen
in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die
Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der
Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt
dieser Fächer bereitgestellt.
36
Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das
physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen.
Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen
Funktionsbegriff gelegt. Gauß hat im Rahmen der Hannover'schen
Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das
Lösen von linearen Gleichungen systematisiert. Umgekehrt
haben
Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende
praktische Anwendungen gefunden haben. So ist z.B. die schon im 16.
Jahrhundert entstandene Theorie der komplexen Zahlen zur mathematischen
Darstellung des Elektromagnetismus inzwischen unerlässlich geworden, oder
die Boole'sche Algebra findet in der Digitaltechnik und der elektrischen
Steuerungstechnik für Maschinen und Anlagen weitreichende Anwendung. Ein
weiteres Beispiel ist der tensorielle Differentialformenkalkül, ohne den die
allgemeine Relativitätstheorie nicht mathematisch formulierbar wäre. Des
Weiteren galt die Beschäftigung mit der Zahlentheorie lange Zeit als
intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings
die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet
nicht denkbar.
Wörter zum Text
sich ergeben, a,e
aufnehmen, a,o
bereitstellen
überraschend
unerlässlich
der Kalkül
випливати
сприймати, засвоювати
закладати (фундамент науки)
здивований
необхідний
обчислення
Übungen
I. a)Ergänzen Sie die Sätze mit passenden Fachwörtern und übersetzen Sie
diese Sätze.
◆ Die Mathematik (griechisches Adjektiv μαθηματική [τέχνη], mathēmatikē
[téchnē], „[die Kunst des] Lernen[s], zum Lernen gehörig“; vom altgriechischen
Verb μανθάνω, manthánō, „ich lerne“) ist ......., welche aus der Untersuchung
von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand.
◆ Für ....... gibt es keine allgemein anerkannte Definition.
◆ Die Beschreibung von ....... und die Bestimmung von ...... („Quadratur“)
führte zur Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton.
b) Wiederholen Sie die Modalverben. Setzen Sie die Modalverben im Präsens
ein.
a) können
1. Ich … die Lösung dieser Aufgabe nicht finden.
2. Ihr …. diese Mathematikaufgaben nicht lösen.
37
b) müssen
c) sollen
3. Da ... diese Frage beantworten.
4. Er … gut deutsch sprechen.
1. Der Leser … das Formular ausfüllen.
2. Ihr … den Aufsatz noch einmal schreiben.
3. Wir … um 8 Uhr in der Universität sein.
4. Sie … sich auf die Prüfung vorbereiten.
1. Du … diese Übung schriftlich machen.
2. Ihr … ins Dekanat gehen.
3. Die … diesen Text ohne Wörterbuch übersetzen.
c) Übersetzen Sie ins Ukrainische.
1. Ich kann diesen Text ohne Wörterbuch übersetzen.
2. Er kann gut deutsch sprechen.
3. Wir dürfen bis 14 Uhr im Labor bleiben.
4. Wir müssen dem Studenten Petrow helfen.
5. Am Ende des Semesters müssen die Studenten Prüfungen ablegen.
6. Mein Freund will Mathematiker werden.
7. Du sollst die Bücher rechtzeitig zurückgeben.
8. Ich möchte dieses Buch bis zum Montag haben.
d) Beantworten Sie folgende Fragen.
1. Können Sie gut deutsch sprechen? Und Ihr Freund?
2. Kann Iwanow gut englisch sprechen? Und seine Freundin?
3. Können Sie mit dieser Rechenmaschine arbeiten? Und die Studenten Ihrer
Gruppe?
4. Können Sie die Fachliteratur ohne Wörterbuch übersetzen? Und Ihr Freund?
5. Dürfen Sie die Prüfung vorfristig ablegen? Und Ihre Freundin?
6. Müssen Sie viele Aufgaben lösen? Und die Studenten Ihrer Gruppe?
7. Möchten Sie in die BRD fahren? Und Ihre Freundin?
II. a) „Können“ oder „dürfen“?
1. …Sie mir helfen, bitte?
2. Die Kinder …. auf die Straße gehen.
3. Hier … man nicht laut sprechen.
4. In der Prüfung … man nicht abschreiben.
5. Ich … Ihre Bitte unserem Vorgesetzten ausrichten.
6. Viele Kinder … gut Schach spielen.
7. … Sie mir sagen, wo die nächste Bushaltestelle ist?
8. Ich … Sport nicht treiben. Das hat mir der Arzt gesagt.
b) „Müssen“ oder „sollen“?
1. Ich … mich gut auf die Prüfung vorbereiten.
2. Der Fahrer … seinen Führerschein abgeben.
3. Der Schüler … sich bei der Lehrerin entschuldigen.
4. Wir … noch zum Freund ins Krankenhaus gehen.
38
5. Zweimal pro Tag … der Kranke Tabletten einnehmen.
6. Ich brauche einen Kredit und deswegen …. ich jeden Tag zu den Banken
laufen.
7. Alle Familienangehörigen … sparen, um ein großes und modernes Haus zu
kaufen.
c) Bilden Sie Sätze mit Modalverben nach folgendem Muster.
Der Student beschäftigt sich viel mit der Lösung von Gleichungen.
Der Student muss sich viel mit der Lösung von Gleichungen beschäftigen.
1. Ich löse diese schwere Aufgabe.
2. Die Mathematik-Olympiade findet jedes Jahr statt.
3. Unter Arithmetik versteht man die Lehre von den Zahlen.
4. Sie kennen das griechische Wort „mathema“.
5. Die Mathematik ist mit den praktischen Bedürfnissen des Menschen
verknüpft.
6. Der Praktikant erklärt den Schülern die Grundrechnungsarten.
7. Man lernt die mathematischen Sätze und Regeln auswendig.
d) Setzen Sie passende Modalverben ein.
▸Die Entdeckung eines Menschen ... eine große Bedeutung für die
Menschheit haben.
▸Nach der Beobachtung ... man einige Zusammenfassungen machen.
▸Montgolfier ... den ersten Luftballon schaffen.
▸Benjamin Franklin ... die Schnur eines Papierdrachens mit beiden Händen
halten.
▸Der Physiker ... sich mit frei fallenden Körpern beschäftigen.
▸Man ... sich auch mit dem neuesten Stand der Wissenschaft vertraut
machen und fleißig studieren.
musste
muss
kann
wollte
konnte
will
III.
ABC End View
Schreiben Sie in einige Felder des Diagramms
einen Buchstaben, wobei ein Buchstabe in jeder Zeile
und jeder Spalte genau einmal vorkommen muss (ggf.
bleiben einige Felder frei). Ein Buchstabe am Rand
des Diagramms gibt an, welchen Buchstaben man
"sieht", wenn man aus der entsprechenden Richtung in
das Diagramm "hineinblickt".
Welche Buchstaben verwendet werden dürfen,
wird bei jeder Aufgabe angegeben (AB oder ABC
oder ABCD oder ...).
39
IV. a) Lesen Sie ein Zitat über Mathematik
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf
zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
Jean-Jacques Rousseau
b) und lustige Arithmetik.*
Wie viel Kinder?
Ich habe sechs Söhne. Jeder Sohn hat eine leibliche Schwester. Wie
viel Kinder habe ich?
c) Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz.
Ein Physiker und ein Mathematiker bekommen eine Aufgabe gestellt:
Sie haben eine Schachtel Streichhölzer und eine Kerze und sollen damit eine
Fackel entzünden. Der Physiker entzündet problemlos ein Streichholz, bringt
damit die Kerze zum Brennen und mit der Kerze wiederum die Fackel. Der
Mathematiker braucht zwar fünf Streichhölzer und lässt zwischendurch die
Kerze wieder ausgehen; letzenendes hat aber auch er mit der gleichen
Strategie Erfolg. Nun wird die Aufgabe modifiziert: Die Schachtel
Streichhölzer entfällt, dafür brennt die Kerze bereits. Auch diese Aufgabe
wird von beiden in akzeptabler Zeit gemeistert. Als dritte Variante wird zu
der bereits brennenden Kerze die Schachtel Streichhölzer wieder zur
Verfügung gestellt. Der Physiker kümmert sich nicht weiter um die
Streichhölzer und bringt wie in Version zwei die Fackel mit der Kerze zum
Brennen. Der Mathematiker aber bläst die Kerze aus und sagt: "Ich habe das
Problem auf ein bekanntes zurückgeführt!".
V.
Прості числа
13 - dreizehn
14 - vierzehn
15 - fünfzehn
16 - sechszehn
17 - siebzehn
18 - achtzehn
19- neunzehn
Die natürlichen Zahlen
1 - ein(s)
7 - sieben
2 - zwei
8 - acht
3 - drei
9 - neun
4 - vier
10 - zehn
5 - fünf
11 - elf
6 – sechs
12 – zwölf
20 - zwanzig
30 - dreißig
40 - vierzig
50 - fünfzig
60 - sechzig
70 - siebzig
80 - achtzig
90 - neunzig
100 - hundert
1000 - tausend
1000000- die Million
40
21- einundzwanzig
22- zweiundzwanzig
23- dreiundzwanzig
56 – sechsundfünfzig
87 - siebenundachtzig
99 – neunundneunzig
Die Kardinalzahlen
101 - (ein)hunderteins
210 - zweihundertzehn
532- fünfhundertzweiunddreißig
1005-(ein)tausendfünf
4037- viertausendsiebenunddreißig
100000 – hunderttausend
789432 – siebenhundertneunundachtzigtausendvierhundertzweiunddreißig
3000000 - drei Millionen
das
Jahr:
im Jahre 1965 - neunzehnhundertfünfundsechzig
im Jahre 1861 – achtzehnhunderteinundsechzig
Die römischen Zahlen
I
1
ein (s)
V
5
fünf
C
100 hundert
M
1000 tausend
XLV 40
vierzig
XLVII 47
siebenundvierzig
unter Kaiser Karl I.
Katharina II.
X
10
zehn
L
50
fünfzig
D
500 fünfhundert
XXXYIII
38
achtunddreißig
MCMLXV111 1968 neunzehnhundertachtundsechzig
Karl I.
Karl der Erste
unter Kaiser Karl dem Ersten
Katharina die Zweite
Die Rechenarten
a+b=c
a–b=m
a•b=c
a:b=c
23
42 = 16
√9 = 3
n
√c
3
√9
аєА
a2
<
>
∑
∫
∞
a plus (und) b gleich (ist) c
a weniger (minus) b gleich c
a mal b gleich c
a (dividiert) / (geteilt) durch b gleich c
zwei hoch drei (dritte Potenz von zwei)
vier zum Quadrat ist sechszehn
vier hoch zwei ist sechszehn
die Quadratwurzel aus neun ist drei
die n-te Wurzel aus c
die Kubikwurzel aus neun
a ist ein Element von A
a zum Quadrat / a im Quadrat / a Quadrat / a hoch zwei
kleiner als
größer als
Summe
Integral
unendlich
41
VI. a) Übersetzen Sie ins Deutsche.
десять комп'ютерів три машини
двадцять шкіл
четверо спортсменів
п'ятнадцять країн
сім фломастерів
два чемодани
дві студентки
125 тисяч жителів
п'ять газет
три кішки
дві собаки
два великих готелі
десять будинків
один диск
сім ручок
одинадцять факультетів
п'ять зошитів і дві книги
троє маленьких дітей
три гарні картини
чотирнадцять олівців
три сестри і чотири брати
три нових і два старих словники
двадцять чотири години
b) Lesen Sie.
11 + 17 = 28
99 - 13 = 86
200 x 4 = 800
3+9-4-5=3
1005 + 34= 1039
12x5 = 60
6 3 0 : 2 = 315
3 7 1 + 5 - 11 =365
179 + 81 =260
2157-22 = 2135
15 : 3 = 5
5x7-11 :2= 12
19-3 = 16
3 8 x 3 = 114
99 x 6 = 594
1 7 7 - 8 + 1 3 x 2 = 3 64
9 x9=81
50+50= 1 0 0
c) Rechnen Sie.
147-22 = ?
? x 5 = 125
? +345 = 361
7 x ? = 49
452-31 =?
81 : 9 = ?
7231 -30 = ?
9 + ? = 1990
122:2 = ?
44 x 11 = ?
390+ 140 = ?
27-13 = ?
d) Lesen Sie folgende Zahlen vor.
16
17
19
22
78
100
501
605
1840
1950
1569
1480
31
137
1387
e) Meine Telefonnummer ist:
2-17-31
044-78-31
4-29-07
145-47-09
5-15-70
222-98-12
66-00-50
232-67-00
61-19-19
235-54-57
37
248
2000
45
872
2007
66
1000
2011
824-47-33-32
03122-5-17-32
810049-27-11-20
76-89-07 -23-56
83-22-59-59-89
f) Lesen Sie.
1. Wie viel Kilometer ist es von Hamburg bis Frankfurt? - .....500 km.
2. ... ... von Hamburg bis Stuttgart? - 695 km.
3. von Hamburg bis Berlin? - ...... 290 km.
4. ....von Hamburg bis Leipzig? -....447 km.
5. von Berlin bis Frankfurt? - ...... 534 km.
6. von Berlin bis Stuttgart? - ...... 635 km.
7. von Berlin bis Leipzig? - ....... 165 km.
42
g) Übersetzen Sie ins Deutsche.
Петро І
Олександр II Микола III
Фрідріх I
Карл V
Єлизавета II Наполеон І
Леопольд І
під час правління Катерини II
Фердинанд I
Вільгельм II
h) Antworten Sie.
1. Wann ist Goethe geboren? (1749)
2. In welchem Jahr ist er gestorben? (1832)
3. Wie alt ist Goethe geworden? (83)
4. Wann hat Luther gelebt? (1483-1546)
5. Von wann bis wann hat Ludwig van Beethoven gelebt? (1770-1827)
6. Wissen Sie, wann Heinrich Heine gelebt hat? (1797-1856)
7. Wissen Sie, in welchem Jahr Rudolf Diesel geboren ist? (1858)
8. Wissen Sie auch, wann er gestorben ist? (1919)
9. Von wann bis wann hat Werner von Siemens gelebt? (1816-1892)
10. Sie wissen aber nicht, wann Heinrich Boll geboren wurde? Oder doch?
(1917)
11. Dann wissen Sie auch, in welchem Jahr Günter Grass geboren wurde. Oder
nicht? (1927)
12. Wie viel Jahre ist Heinrich Heine jünger als J.W. von Goethe?
ZAHLEN
NATÜRLICHE ZAHLEN
Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, usw. Oft wird auch die 0 (Null) zu den natürlichen
Zahlen gerechnet.
Bezeichnungen und Konventionen für die Menge der natürlichen Zahlen
Die Menge der natürlichen Zahlen, Formelzeichen
enthält je nach
Definition die positiven ganzen Zahlen, also
oder die
nichtnegativen ganzen Zahlen, also
Für diese beiden
verschiedenen Konventionen gibt es sowohl historische als auch praktische
Gründe. Die Definition ohne die Null steht in der älteren Tradition, da die
natürlichen Zahlen ohne die Null lange Zeit die einzigen bekannten Zahlen
waren: In Europa wurde erst ab dem 13. Jahrhundert mit der Null gerechnet. In
manchen Gebieten der Mathematik wie der Zahlentheorie, in denen die
multiplikative Struktur der natürlichen Zahlen im Vordergrund steht, ist
aufgrund der Sonderrolle der Null bei der Multiplikation die Definition ohne
Null häufiger anzutreffen. Aber beispielsweise in der mathematischen Logik,
der Mengenlehre oder in der Informatik vereinfacht die Definition mit Null die
Darstellung. Als Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen wurde von der
französischen Mathematikergruppe Nicolas Bourbaki das
eingeführt. Weil
dies handschriftlich nur schwer darstellbar ist, variierte man es im Tafelbild zu
43
dem Strichbuchstaben .
Die gleiche Entwicklung fand auch bei den anderen DoppelstrichSymbolen wie beispielsweise
und
statt. Da nicht überall die 0 als ein
Element der natürlichen Zahlen angesehen wird, ist es sinnvoll, von positiven (1,
2, 3, ...) und nicht-negativen (0, 1, 2, ...) ganzen Zahlen zu sprechen. In Texten,
in denen das Symbol
für die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null
verwendet wird, wird zur Unterscheidung das Symbol
oder
für die
Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null benutzt. Falls jedoch das
Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null verwendet wird, wird
meist
,
,
,
oder
für die Menge der natürlichen Zahlen
ohne 0 geschrieben.
Wörter zum Text
das Zählen
die Konvention
die Multiplikation
antreffen (а,о)
die Darstellung
sinnvoll
einschließlich
лічба
правило, звичай, традиція
множення
стосуватися, відноситися
представлення, зображення
раціонально, розумно
виключно
Übungen
I. a) Nennen Sie die ukrainischen Äquivalente für folgende Fachbegriffe.
zahlen
die Zahl
die Zahlenfolge
die Zählbarkeit
zählbar
der Zähler
das Zahlenpaar
die Zahlentheorie
zählen
der Zahlbegriff
die Zahlenlehre
das Zahlensystem
zahllos
der Zahlenraum
die Zahlenmenge die Zahlenachse
b) Gebrauchen Sie statt der Punkte die untenstehenden Wörter.
1. In Europa wurde erst ab dem 13. Jahrhundert ..... gerechnet.
2. Aber beispielsweise in der mathematischen Logik, der Mengenlehre oder in
der Informatik vereinfacht ..... die Darstellung.
3. Als Symbol ..... wurde von der französischen Mathematikergruppe Nicolas
Bourbaki das eingeführt.
4. Die gleiche Entwicklung fand auch bei den anderen Doppelstrich-Symbolen
wie beispielsweise ..... statt.
5. ...... sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
usw.
mit der Null, und , die natürlichen Zahlen,
für die Menge der natürlichen Zahlen, die Definition mit Null,
44
c) Übersetzen Sie ins Ukrainische.
1. Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 5 oder
eine Null ist.
2. Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn sie mit einer Null endet.
3. Wenn das erste Glied der Differenz größer als das zweite Glied ist, so ist die
Differenz eine natürliche oder eine ganze positive Zahl.
4. Wenn man in einer Aufgabe mehrere Additionen und Subtraktionen ausführt,
so vertauscht man die Reihenfolge der Rechenoperationen nach dem
Kommutativgesetz.
5. Steht eine Zahl in Verbindung mit einer physikalischen Einheit, so spricht
man von einer Größe.
6. Addiert man zwei gerade Zahlen, so erhält man wieder eine gerade Zahl.
7. Subtrahiert man die Zahl 11 von der Zahl 17, so erhält man die Zahl 6.
8. Ist das erste Glied der Differenz kleiner als das zweite Glied, dann ist der
Wert der Differenz negativ.
d) Suchen Sie im Wörterbuch die ukrainischen Äquivalente für folgende Verben.
verdoppeln vereinfachen vereinigen
vergrößern
verkürzern
verkleinern verbessern
verlängern
vermehren
vermindern
e) Übersetzen Sie ins Deutsche.
1. Числа 1, 2, 3, 4, 5, … називаються цілими числами.
2. Найменшим числом натурального ряду є одиниця.
3. В натуральному ряді чисел нема найбільшого числа.
4. Натуральний ряд чисел є безкінечним.
5. Він складається з парних і непарних чисел.
6. Числа 17, 25, і 101 є непарні числа.
7. Числа 8, 28, 160 є парні числа.
f) Bilden Sie Objektsätze nach dem Muster, gebrauchen Sie dabei die gegebenen
Sätze.
Er sagt, dass ...
Muster :
Er sagt, dass die Zahl einer der grundlegenden Begriffe der
Mathematik ist.
Er fragt, ob ...
oder :
Er fragt, ob er in diesem Fall recht hat.
1. Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5... sind ganze positive Zahlen.
2. Die Reihe 1, 2, 3, 4, 5... der natürlichen Zahlen ist unendlich.
3. Diese Zahlen nennt man Kardinalzahlen.
4. Die Platznummern sind Ordinalzahlen.
5. Zu den natürlichen Zahlen rechnet man häufig die Null.
g) Übersetzen Sie folgende Wortfamilien.
die Einführung der natürlichen Zahlen
mit Hilfe der Peano-Axiome
45
natürliche Zahl
beim Körper der reellen Zahlen
als Teilmenge der reellen Zahlen
die Existenz jeder einzelnen natürlichen
Zahl
der Begriff einer induktiven Menge
das Prinzip der mathematischen
Induktion
das Induktionsaxiom
das Induktionsaxiom
eine Definition der Menge der natürlichen Zahlen
formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen
ein mengentheoretisches Modell der natürlichen Zahlen
die Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion.
II. Die Ordnungszahlen
2…….19
-te
20 …….
-ste
Der erste, der dritte, der achte, der siebente
Die Zeit
Wie spät ist es?
Es ist ….
9.00
- Es ist neun Uhr
9.05
- fünf nach neun
9.15
- Viertel zehn
9.30
- halb zehn
9.35
- fünfundzwanzig vor zehn
9.45
- Viertel vor zehn
9.55
- fünf vor zehn
14.00
-zwei Uhr mittags
a) Schreiben Sie folgende Zahladjektive. Verwandeln Sie sie in Ordnungszahlen.
8; 10; 12; 17; 149; 752; 904; 1 953; 2 003; 15 379; 17 101; 200 306; 358 007;
1 259 388; 7 035 111.
b) der 8. März, der 6. Januar, der 17. April, der 25. Juni, der 1. November, der
30. September
III. a) Übersetzen Sie ins Deutsche:
п'ятий білет, перше питання, третій ряд, десятий день, другий тиждень,
шостий місяць, друга іноземна мова, перша книжка, третя субота, десята
стаття, сьомий параграф, сімнадцятий день, моя перша вчителька, її
друга дитина, ваша третя кімната, його шоста прем'єра, їх другий журнал,
його перший лист, їх третя робота, мій перший переклад, його п'ята
машина, їх друга телеграма.
b) Wie spät ist es?
7.25 Uhr; 9.30 Uhr; 11.48 Uhr; 12.00 Uhr; 13.55 Uhr; 19.35 Uhr; 22.01 Uhr;
22.47 Uhr; 23.50 Uhr; 24.00 Uhr; 24.15 Uhr; 1.10 Uhr.
46
c) Ergänzen Sie die Sätze durch Ordnungszahlwörter:
1. Diese Erzählung ist in seinem Buch.
2. Ich fahre mit dem Zug.
3. Das Warenhaus ist im Haus von hier.
4. Der Mann sitzt amTisch.
5. Der Kranke geht schon zum Arzt und niemand kann ihm helfen.
6. Ich möchte nach der
Fremdsprache noch eine Sprache lernen.
7. Das ist die Buchhandlung, die wir heute besucht haben.
8. Das ist das Mädchen, die ich an der Universität kennengelernt habe.
d) Übersetzen Sie ins Deutsche.
3-го березня 1925 року; 5-го травня 1928 року; 28-го серпня 1933 року;
22-го червня 1944 року; 21-го липня 1951 року; 10-го квітня 1954 року;
11-го вересня 1975 року; 1-го вересня 1982 року; 7-го ірудня 2000 року;
15-го лютого 2003 року; 1-го січня 2004 року.
IV.
a)
Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
Zwei Mathematikprofessoren unterhalten sich vor einem Hörsaal.
Sie sehen einige Studenten hinein- und dann wieder herausgehen. Zuerst
gehen 5 hinein, dann 6 wieder heraus. Daraufhin der eine Mathematiker
zu dem anderen: "Wenn jetzt noch einer reingeht, ist der Saal leer!"
b) und ein Zitat über Mathematik.
Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen
sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.
Albert Einstein
V. a) Beantworten Sie folgende Fragen.
1. Wie viel Tage hat das Jahr?
2. Wie viel Monate hat das Jahr?
3. Wie viel Stunden haben Tag und Nacht zusammen?
4. Wie viel Minuten hat die Stunde?
5. In welchem Jahr wurden Sie geboren?
6. Wie alt sind Sie? 6. Welches Jahr zählen wir jetzt?
7. Der wie vielte ist heute?
8. Den wie vielten haben wir heute?
9. Der wie vielte war gestern?
10. Den wie vielten haben wir morgen?
11.Wann haben Sie die Vorlesung in mathematischer Analysis?
47
12. Wann feiern wir den Tag der Unabhängigkeit der Ukraine?
13. Wann ist der Nikolaustag?
14. Wann feiern wir das Neujahr?
15. Wann haben Sie Geburtstag?
16. Wann feiert man Silvesterabend?
17. Der wie vielte Monat des Jahres ist der Februar?
18. Der wie vielte war vorgestern?
19. Der wie vielte Tag der Woche ist der Freitag?
b) Wie spät ist es? Schreiben Sie die Zeitangaben in Buchstaben.
Muster: 21.30 Es ist einundzwanzig Uhr dreißig. / Es ist halb zehn.
0.20; 1.15; 6.50; 7.05; 8.15; 8.30; 9.12; 10.35; 11.40; 12.28; 13.30; 14.40;
15.45; 16.50; 17.14; 17.57; 18.30; 20.25; 21.45; 22.34; 23.10; 23.30
VI. a) Beantworten Sie folgende Fragen. Gebrauchen Sie dabei auch die
Uhrzeiten.
1.Wann stehen Sie gewöhnlich auf?
2.Wann sind Sie heute aufgestanden?
3.Wann beginnt der Unterricht / Ihr Arbeitstag?
4.Wann haben Sie Mittagspause?
5.Wann ist die Abfahrt des Zuges?
6.Wann müssen wir an Ort und Stelle sein?
7.Wann geht's los?
8.Wann soll ich Sie morgen anrufen/abholen?
9.Wann beginnt das Konzert?
10.Wann macht ihr heute Feierabend?
11.Wann kommen die Gäste?
12.Wann geht das Kind schlafen?
13.Wie spät ist es?
14.Wann ist das Flugzeug gelandet?
15.Bis wann bleiben Sie da?
b) Bilden Sie weitere
Gesprächspartner.
Fragen
und
stellen
Sie
sie
an
Ihren/Ihre
c) Beschreiben Sie einen Arbeitstag aus Ihrem Leben. Gebrauchen Sie dabei die
Wörter da, dann, danach, später, doch, aber, zuerst, deswegen, deshalb.
7.45 - der Wecker, läuten
Muster:
Um 7.45 läutete der Wecker.
7.45 bis 8.05
8.30
in 20 Min.
der Wecker läuten
im Bett bleiben
aufstehen, das Bett machen, ins Bad gehen
das Telefon, klingeln mein Freund, anrufen
er, ich, abholen, wollen
Kaffee trinken
48
8.55
9.15
sich anziehen
hinunter gehen, das Auto, schon da, sein
im Büro, sein, müssen, im Stau sein, eine Viertelstunde
Verspätung haben
d) Beschreiben Sie ihren Arbeitstag selbständig bis zu Ende.
e) Übersetzen Sie ins Deutsche.
О котрій годині ти встаєш?
О котрій годині ти йдеш з дому?
Скільки часу ти потребуєш на дорогу
до університету?
Вечірні концерти починаються о 19
годині.
Потяг прибуває в суботу о 14.45.
Заняття закінчуються в четверть
четвертого.
О 12.30 у нас обід.
Тиждень має сім днів.
Аптека закривається о 9 вечера.
Скільки тобі років?
Коли закінчуються пари?
Скільки пар на день ти маєш?
О котрій годині починаються
заняття?
О котрій годині ти лягаєш спати?
PRIMZAHL
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen
Teilern, nämlich 1 und sich selbst. Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, … Die
fundamentale Bedeutung der Primzahlen für viele Bereiche der Mathematik
beruht auf den folgenden drei Konsequenzen aus dieser Definition:
Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die
beide größer als eins sind, darstellen.
Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch
eine Primzahl teilbar, so ist bereits einer der Faktoren durch sie teilbar.
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl lässt sich
als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Produktdarstellung ist bis auf die
Reihenfolge der Faktoren eindeutig.
Jede dieser Eigenschaften könnte auch zur Definition der Primzahlen
verwendet werden. Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt prim, wenn sie eine
Primzahl ist, andernfalls heißt sie zusammengesetzt.
Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt. Bereits die
antiken Griechen interessierten sich für die Primzahlen und entdeckten einige
ihrer Eigenschaften. Obwohl sie über die Jahrhunderte stets einen großen Reiz
auf die Menschen ausübten, sind bis heute viele die Primzahlen betreffende
Fragen ungeklärt.
Über zweitausend Jahre lang wusste man keinen praktischen Nutzen aus
dem Wissen über die Primzahlen zu ziehen. Dies änderte sich erst mit dem
Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen, wo die Primzahlen
beispielsweise in der Kryptographie eine zentrale Rolle spielen.
49
Wörter zum Text
просте число
дільник
висновки
ділимий
співмножник
роздратування, збудження
незрозумілий
впливати
поява, виникнення
die Primzahl, -, -en
der Teiler, -s
die Konsequenzen
teilbar
der Faktor, -es, -toren
der Reiz, -es, -e
ungeklärt
ausüben
das Aufkommen
Die kleinsten Primzahlen
Die kleinsten Primzahlen sind
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97, 101, 103 ...
Die Zahl 4 ist die kleinste zusammengesetzte Zahl: Sie hat genau drei
positive Teiler (1, 2, 4).
Die Zahl 6 ist die nächstgrößere zusammengesetzte Zahl; sie besitzt vier
positive Teiler (1, 2, 3, 6).
Die Liste der zusammengesetzten Zahlen beginnt mit 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14,
15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, ...
Praktische Anwendung
Eine wichtige Rolle spielen Primzahlen in der Kryptographie: Viele
Verschlüsselungssysteme basieren darauf, dass man zwar sehr schnell große
Primzahlen multiplizieren kann, andererseits aber kein effizientes
Faktorisierungsverfahren bekannt ist und allem Anschein nach auch nicht
existiert. So ist es innerhalb von Sekunden problemlos möglich, zwei 500stellige Primzahlen zu finden und miteinander zu multiplizieren. Mit den
heutigen Methoden würde die Rückgewinnung der beiden Primfaktoren aus
diesem 1000-stelligen Produkt dagegen Millionen von Jahren benötigen.
Primzahlen werden auch bei der Programmierung von Hashtabellen verwendet.
Wörter zum Text
das Verschlüsselungssystem
еffizient
dem (allem) Anschein nach
die Rückgewinnung
система кодування
ефективний, діючий
очевидно, судячи з усього
регенерація
50
Übungen
I. a) Übersetzen Sie einen Text ohne Wörterbuch ins Ukrainische.
b) Nennen Sie die Grundformen von folgenden Verben.
c) Bilden Sie Substantive aus folgenden Verben.
beruhen
vermuten
zusammenfallen übernehmen
testen
erklären
untersuchen
verallgemeinern
liefern
verbesssern
verwenden
zusammensetzen
ausüben
darstellen
basieren
multiplizieren
existieren
benötigen
enthalten
beweisen
d) Ergänzen Sie die Sätze nach dem Inhalt.
1. Eine Primzahl ist ..... mit genau zwei natürlichen Teilern, nämlich 1 und sich
selbst.
2. Über zweitausend Jahre lang wusste man keinen praktischen Nutzen aus dem
Wissen ..... zu ziehen.
3. Eine wichtige Rolle spielen ..... in der Kryptographie.
4. Die Schwierigkeiten ..... bezeichnet man als Faktorisierungsprobleme.
5. Alexander K. Dewdney bezeichnete diese ..... weitgehend ähnlich.
Primzahlen, über die Primzahlen, als den Elementen der Chemie,
eine natürliche Zahl, bei der Primfaktorzerlegung
e) Ordnen Sie folgende Substantive nach dem Geschlecht
übersetzen Sie sie ins Ukrainische.
Differenz
Primzahl
Element
Bedeutung
Primzahlsatz Eindeutigkeit Primfaktor
Reihenfolge
Produkt
Bereich
Kryptographie Berechnung
Menge
Formel
Teiler
Ringtheorie
f) Setzen Sie passende Wörter ein.
1. Die natürlichen Zahlen 1., 2., 3… sind … .
2. Ordinalzahlen sind … .
3. Die Null rechnet man zu den … .
4. Die Reihe 1., 2., 3 der natürlichen Zahlen ist … .
5. Arithmetik ist die Lehre von … .
Zahlen Kardinalzahlen
ganze positive
unendlich
Zahlen
in drei Gruppen und
Primfaktorzerlegung
Wahrscheinlichkeit
Primfaktorisierung
Rückgewinnung
natürliche Zahlen
g) Übersetzen Sie ins Deutsche.
1. Я чекала на тебе півгодини.
2. До наступного уроку німецької мови Ви повинні прочитати дві з
половиною сторінки цього оповідання.
3. Через півтори години ми від'їжджаємо.
4. Ми зустрінемося біля театру о пів на шосту.
5. Мої батьки провели півроку у Китаї.
51
Першого вересня починається новий навчальний рік.
Через десять хвилин ти мусиш бути вдома.
Котра година? - Рівно пів на сьому.
Мій брат народився 10 квітня 1954 року.
Конституція України була прийнята 28 червня 1996 року.
Моя сестра одружилася 10 серпня 2003 року.
Тиждень має сім днів.
15 липня починаються вступні іспити.
Я живу на третьому поверсі.
Понеділок - перший день тижня.
Сьогодні вночі було 10 градусів нижче нуля.
У нашому місті проживає 126 тисяч жителів.
Це її сімдесятий день народження.
Ця шкіряна куртка коштує 235 гривень.
Дайте мені, будь ласка, літр молока, 25 грамів масла і 2 кілограми
яблук.
21. Розмова тривала 45 хвилин.
22. Я повторяю тобі це вчетверте.
23. Мені потрібно два з половиною метри шерстяної тканини на пальто.
24. Ця матерія має ширину один метр п'ятдесят вісім сантиметрів.
25. Вода кипить при ста градусах Цельсія.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
II. Erzählen Sie den Artikel nach.
Warum ist die Zahl 1 keine Primzahl?
Die einfachste Antwort auf die Frage, warum die 1 keine Primzahl ist,
zitiert die Definition: Eine natürliche Zahl wird dann Primzahl genannt, wenn
sie genau zwei natürliche Teiler hat. Die Zahl 1 hat nur einen natürlichen Teiler
(die 1). Deshalb ist sie per Definition keine Primzahl. Die folgenden Antworten
gehen auf den Zweck dieser Definition ein: Damit man eine eindeutige
Primfaktorzerlegung bekommt (man hätte sonst beliebig viele 1-Faktoren mit
drin). Weil 1 eine Einheit ist. Weil man ansonsten bei nahezu allen Aussagen
über Primzahlen schreiben müsste: „Für alle Primzahlen mit Ausnahme der 1
gilt...“. Beispielsweise in der Theorie der endlichen Körper. Ein mathematisches
System ist letztendlich willkürlich aus einer unendlichen Anzahl von möglichen
Systemen ausgewählt. Seine Relevanz erhält es dadurch, ob es nicht-triviale
Eigenschaften hat. Man erzeugt zwei verschiedene Systeme, wobei im ersten 1
eine Primzahl ist, und im zweiten nicht, und stellt dabei fest, dass das erste
System sehr langweilig ist, und das zweite (in dem die 1 keine Primzahl ist) so
interessant ist, dass es heute einen der wichtigsten Grundbausteine der globalen
Wirtschaft bildet. Man könnte nun natürlich auch ein System definieren, in dem
die 2 keine Primzahl ist (oder die 3 oder die 5 ...), doch solange man das
herkömmliche System noch nicht völlig verstanden hat, sind diese Systeme nur
für Mathematiker interessant.
52
Wörter zum Text
eingehen (auf A) i, a
eindeutig
die Primfaktorzerlegung
ansonsten
die Aussage
willkürlich
die Relevanz
herkömmlich
детально зупинятись
визначений
розклад на прості множники
в іншому випадку, інакше
вираження, висловлювання, судження
добровільний
актуальність, важливість
звичайний, традиційний
III. a) Schreiben Sie aus dem Text Fachbegriffe und Wortgruppen heraus, die
die Grundinformation des Textes enthalten.
b) Nennen Sie ukrainische Äquivalente zu folgenden Begriffen.
die Primzahl
das Primelement
die Teilmenge
die natürlichen Teiler
die erzeugten Zahlen
die Primfaktorzerlegung
die Primfaktorisierung
die wichtigsten Grundbausteine
die Theorie der endlichen Körper
eine gewisse Wahrscheinlichkeit
die Definition
drei Konsequenzen
zahlentheoretisch
die Ringtheorie
direkte Berechnung
c) Bilden Sie Wörter und schreiben Sie sie mit dem Artikel.
Prim-
IV.
a)
-zahl-
Lesen Sie ein Zitat über Mathematik
Niemand vermag zur Erkenntnis
göttlicher und menschlicher Dinge zu
gelangen, der nicht zuvor die Mathematik
gründlich erlernt hat.
Augustinus
53
b) und einen Wissenschaftlerwitz.
Eine Gruppe von Mathematikern und eine Gruppe von Physikern
fahren mit dem Zug zu einer Tagung. Jeder Physiker besitzt eine Fahrkarte,
dagegen hat die Gruppe der Mathematiker nur eine einzige Karte. Plötzlich
ruft einer der Mathematiker : "Der Schaffner kommt !", worauf sich alle
Mathematiker in einer der Toiletten zwängen. Der Schaffner kontrolliert
die Physiker, sieht, dass das WC besetzt ist und klopft an die Tür : "Die
Fahrkarte bitte!" Einer der Mathematiker schiebt die Fahrkarte unter der
Tür durch und der Schaffner zieht zufrieden ab. Auf der Rückfahrt
beschließen die Physiker, denselben Trick anzuwenden und kaufen nur eine
Karte für die ganze Gruppe. Sie sind sehr verwundert, als sie merken, dass
die Mathematiker diesmal überhaupt keine Fahrkarte haben. Dann ruft
einer der Physiker : "Der Schaffner kommt !". Sofort stürzen die Physiker
in das eine WC, die Mathematiker machen sich etwas gemächlicher auf den
Weg zu einem anderen WC. Bevor der letzte der Mathematiker die Toilette
betritt, klopft er bei den Physikern an : "Die Fahrkarte bitte!" Und die
Moral von der Geschicht: Man sollte keine Methoden anwenden, deren
Sinn man nicht verstanden hat.
c)
Hakyuu
 Schreiben Sie in jedes Feld eine Zahl. Jeder
fett umrandete Bereich aus N Feldern muss alle Zahlen
von 1 bis N genau einmal enthalten.
 Wenn zwei gleiche Zahlen in einer Zeile bzw.
Spalte stehen, müssen sich zwischen den beiden Zahlen
mindestens so viele andere Zahlen befinden, wie die
Zahl angibt; beispielsweise müssen sich zwischen zwei
Feldern mit der Zahl 3 mindestens drei andere Felder
befinden.
V. a) Lesen Sie den Text ohne Wörterbuch;
b) betiteln Sie jeden Absatz des Textes;
c) stellen Sie den Plan zum Text zusammen;
d) schreiben Sie zu jedem Punkte des Planes jene Wörter und Wortgruppen
heraus, die die Grundinformation des Textes enthalten.
Die größte bekannte Primzahl
Der Grieche Euklid hat im vierten Jahrhundert vor Christus festgestellt,
dass es unendlich viele Primzahlen gibt; diese Aussage wird als Satz von Euklid
bezeichnet. Euklid führte einen Widerspruchsbeweis für die Richtigkeit dieses
54
Satzes: ausgehend von der Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt,
kann man aus den vorhandenen neue konstruieren, was einen Widerspruch zur
Annahme darstellt. Somit kann eine endliche Menge niemals alle Primzahlen
enthalten, also gibt es unendlich viele. Heute kennt man eine ganze Reihe von
Beweisen für den Satz von Euklid. Der Satz von Euklid besagt, dass es keine
größte Primzahl gibt. Es ist jedoch kein Verfahren bekannt, das effizient
beliebig große Primzahlen generiert, so dass es stets eine größte bekannte
Primzahl gab, seitdem sich die Menschen mit Primzahlen befassen. Derzeit ist
es 232.582.657 − 1, eine Zahl mit 9.808.358 (dezimalen) Stellen, gefunden am 4.
September 2006 von einem Professorenteam der Central Missouri State
University im Rahmen von George Woltmans GIMPS-Projekt zur Suche von
Mersenne-Primzahlen. Für den ersten Primzahlbeweis einer Zahl mit mehr als
10 Millionen Dezimalstellen hat die Electronic Frontier Foundation einen Preis
von 100.000 US-Dollar ausgeschrieben. Die größte bekannte Primzahl war fast
immer eine Mersenne-Primzahl, also von der Form 2n − 1, da in diesem
Spezialfall der Lucas-Lehmer-Test angewendet werden kann, ein im Vergleich
zur allgemeinen Situation sehr schneller Primzahltest. Bei der Suche nach
großen Primzahlen werden deshalb nur Zahlen diesen oder eines ähnlich
geeigneten Typs auf Primalität untersucht. Man weiß, dass zwischen der größten
und der zweitgrößten bekannten Primzahl (nämlich 230.402.457 − 1) mehr als
109.000.000 weitere, unbekannte Primzahlen liegen.
Wörter zum Text
die Annahme, -, -n
припущення, гіпотеза
der Widerspruch, -es, -üche протест, заперечення, розбіжність, суперечність
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Albert Einstein
(1879 - 1955)
Wer kennt ihn nicht. Spezialsammlung Einstein bei Oliver Faulhaber
Einstein schuf die spezielle und allgemeine Relativitästheorie. Seinen ersten
Nobelpreis aber bekam er für die Erklärung des lichtelektrischen Effekts. Die
großen Ehrungen hinderten die Nazis nicht daran ihn aus der preußischen
Akademie rauszuwerfen. Er ging daraufhin 1933 in die USA. Als die Gefahr
bestand, dass Deutschland die Atombombe baute, schrieb er einen Brief an
Roosevelt, worin er auf diese Gefahr hinwies und die Entwicklung dieser Waffe
durch die USA befürwortete - einen Brief den er später sehr bedauerte. Die
Theorien von Schwerkraft und elektromagnetischen Kräften zu vereinigen,
gelang ihm allerdings nicht mehr.
Wörter zum Text
befürworten
клопотатися, заступатися
55
ZUSAMMENGESETZTE ZAHL
Eine zusammengesetzte Zahl n ist eine natürliche Zahl, die sich als
Produkt mindestens zweier (gleicher oder verschiedener) Primzahlen darstellen
lässt. Die Primzahlen, die in einer solchen Produkt-Darstellung von n auftreten,
heißen Primfaktoren der Zahl n, die Produktdarstellung selbst heißt
Primfaktorzerlegung. Mit Ausnahme der Zahlen 0 und 1 ist jede natürliche Zahl
entweder eine Primzahl oder zusammengesetzt; die Zahlen 0 und 1 sind weder
prim noch zusammengesetzt. Die ersten 10 zusammengesetzten Zahlen und ihre
Primfaktorzerlegungen sind:
Zahlenmengen
Fast alle Zahlen, die in der Schulmathematik auftreten, sind reelle
Zahlen. Reelle Zahlen sind schlicht und einfach Dezimalzahlen, d.h. sie lassen
sich durch eine Abfolge von Ziffern (d.h. Symbolen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und
9), einen Dezimalpunkt ("Komma" - wir verwenden die Schreibweise als Punkt,
es kann aber auch ein Beistrich geschrieben werden) und ein Vorzeichen (- oder
+) darstellen.
Beispiele für reelle Zahlen sind -5 (''minus fünf''), 54.321 (''vierundfünfzig
Komma drei zwei eins'') und Zahlen, deren Dezimaldarstellung nie abbricht (wie
z.B. 0.101001000100001... oder Pi (π= 3.14159265...).
Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet.
In gewisser Hinsicht kann man sich eine reelle Zahl auch geometrisch
vorstellen, nämlich als einen Punkt auf einer Geraden. Dabei müssen zwei
Punkte dieser Zahlengeraden als 0 und 1 ausgezeichnet sein. Damit kann man
die Menge R der reellen Zahlen ''aufzeichnen''. Im folgenden Diagramm sind
einige reelle Zahlen (als Strichmarkierungen, damit man sie sieht)
eingezeichnet:
Reelle Zahlen stellen sich nun als ''Abstand'' vom Nullpunkt (von der
Nullmarkierung) dar, wobei der Punkt ''1'' gerade den Abstand 1 hat. Punkte
rechts von 0 werden als positive Zahlen und Punkte links von 0 als negative
Zahlen interpretiert.
Einige Teilmengen von R sind so wichtig, dass sie nun eigene Namen
erhalten:
56

Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir zählen: 1, 2, 3,
4,... Die Menge aller natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet:
N = {1, 2, 3, 4, ...}.
 Auf der Zahlengeraden bildet sie eine Abfolge von Punkten im Abstand 1,
von 1 aus nach rechts gehend.
 Manchmal will man mit 0 zu zählen beginnen. Gibt man die Zahl 0 zu den
natürlichen Zahlen hinzu, so erhält man die Menge
N0 = {0}  N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
 Auf der Zahlengeraden bildet sie eine Abfolge von Punkten im Abstand 1,
von 0 aus nach rechts gehend. Achtung: In manchen Lehrbüchern wird die Null
zu den natürlichen Zahlen hinzugenommen und als "Menge der natürlichen
Zahlen" N das bezeichnet, was wir N0 genannt haben.
 Die ganzen Zahlen sind jene reellen Zahlen, deren Dezimaldarstellung
abbricht, d.h. nur Nullen enthält. Die Menge aller ganzen Zahlen wird mit Z
bezeichnet:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.
 Auf der Zahlengeraden bildet sie eine Abfolge von Punkten im Abstand 1,
von 0 aus nach rechts und links gehend.
 Die
rationalen Zahlen sind jene reellen Zahlen, deren
Dezimaldarstellung von einer bestimmten Stelle an nur Nullen aufweist oder
periodisch ist (Beispiele: 0.4 und -11.2181818...). Es lässt sich zeigen, dass dies
genau jene reellen Zahlen sind, die sich als Division einer ganzen Zahl durch
eine (von 0 verschiedene) ganze Zahl darstellen lassen. (So ist z.B. 11.2181818... dieselbe Zahl wie -617/55. Daher werden die rationalen Zahlen
manchmal auch als Bruchzahlen bezeichnet (wobei Brüche der Form ''ganze
Zahl/ganze Zahl'' gemeint sind). Eine rationale Zahl kann daher entweder als ein
solcher Bruch oder in ihrer Dezimaldarstellung angeschrieben werden. So
besteht etwa zwischen 2/5 und 0.4 - abgesehen von der unterschiedlichen
Darstellungsweise - keinerlei Unterschied! Im Fall einer Zahl wie 2/3 (welche
gleich 0.6666... ist) wird die Bruchform vor der Dezimaldarstellung vorzuziehen
sein.
Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet.
Auf der Zahlengeraden bildet sie eine Menge von Punkten, die sehr "dicht"
liegen: viel dichter als man je einzeichnen könnte. Zwischen je zwei rationalen
Zahlen liegt wieder eine rationale Zahl (tatsächlich sogar unendlich viele).
Die irrationalen Zahlen sind jene reellen Zahlen, die nicht rational sind.
Das sind also genau jene, deren Dezimaldarstellung weder abbricht noch
periodisch ist (Beispiele: 0.1010010001000001... oder π), und das sind
wiederum genau jene, die sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen
schreiben lassen. Die Menge der irrationalen Zahlen (der wir keinen eigenen
Buchstaben als Name zuweisen) kann als R \ Q geschrieben werden: die Menge
aller Elemente von R, die nicht in Q liegen.
57
Wörter zum Text
reelle Zahlen
schlicht
einfach
die Dezimalzahl
die Abfolge
der Dezimalpunkt
die Schreibweise
die Dezimaldarstellung
abbrechen (а,о)
die Menge
einzeichnen
die Teilmenge
aufweisen (ie,ie)
vorziehen (o,o)
der Quotient
zuweisen (ie,ie)
дійсні числа
простий, скромний
одинарний, звичайний, простий
десяткове число
послідовність
кома в десятковому числі
стиль
представлення чисел в десятковій системі
обчислення
руйнувати, ламати
множина, кількість
відмічати, записувати, вносити
підмножина
показувати, позначати
надавати перевагу
частка
приписувати
Übungen
I.
a)
b)
c)
d)
Lesen Sie einen Text und schreiben Sie aus diesem Text Fachbegriffe
und Wortgruppen heraus, die die Grundinformation des Textes
enthalten;
Geben Sie andere Benennung des Textes an;
Schreiben sie kurz den Textinhalt auf Deutsch wieder;
Erklären Sie, wie Sie den Ausdruck “ zusammengesetzte Zahl“
verstehen.
II. Formulieren Sie die folgenden Sätze in Wenn-Dann-Form und suchen Sie,
was zusammenpasst.
1. Eine Primzahl ist nur durch eins a) Wenn eine Zahl größer als 100
und sich selbst teilbar.
ist, dann ist sie auch größer als
99.
2. Alle durch sechs teilbaren Zahlen b) Wenn zwei Zahlen gerade sind,
sind auch durch drei teilbar.
dann ist auch der größte
gemeinsame Teiler dieser Zahlen
gerade.
3. Der größte gemeinsame Teiler c) Wenn eine Zahl eine Primzahl
zweier gerader Zahlen ist selbst
ist, dann ist sie nur durch eins
gerade.
und sich selbst teilbar.
4. Eine Zahl, die größer als 100 ist, d) Wenn eine Zahl durch sechs
ist auch größer als 99.
teilbar ist, dann ist sie auch auch
durch drei teilbar.
58
1.
2.
3.
4.
III. a) Bestimmen Sie, was zusammenpasst.
1. шлях
a. die Länge
s
2. площа
b. die Höhe
A, S
Radius,
3. діаметр
c. der
d
Halbmesser
4. глибина
d der Durchmesser
h
5. довжина
e. die Weglänge
L
6. радіус
f. die Tiefe
r
7. товщина
g. die Breite
8. ширина
h. die Stärke
b
9. висота
i. die Fläche
h
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
IV. a) Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
Zwei Männer fahren mit einem Ballon. Plötzlich schlägt das Wetter
um, und der Ballon gerät in dichten Nebel und starken Sturm. Als sich das
Wetter lange Zeit später wieder bessert, befinden sich die beiden
Ballonfahrer völlig orientierungslos über der offenen See. Doch
glücklicherweise werden sie auf eine Insel zugetrieben, an deren Strand sie
einen einsamen Wanderer entdecken. Um sich zu orientieren, rufen sie ihm
zu: "Wo sind wir?" Aber der Wanderer guckt nur kurz hoch und geht dann
seines Weges. Etliche Minuten später, als sie den Mann kaum noch erkennen
können, hören sie ganz leise von unten die Antwort:"In einem Ballon!" Da
sagt der eine Ballonfahrer zu seinem Kollegen: "Der da unten war bestimmt
Mathematiker,denn: Erstens: Es hat sehr lange gedauert, bis er eine Antwort
gegeben hat.Zweitens: Die Antwort war absolut präzise. Und drittens: Sie
war zu nichts zu gebrauchen!"
b) und ein Zitat über Mathematik.
Manche
Menschen
haben
einen
Gesichtskreis vom Radius Null, und nennen ihn
ihren Standpunkt.
David Hilbert, deutscher Mathematiker
59
V.
Schiebepuzzle
Das Spielbrett steht senkrecht, ähnlich
wie bei "Vier Gewinnt".
Im Spielbrett befinden sich 41
Spielsteine, die mit Buchstaben bezeichnet sind.
Ein Spielstein kann entweder ein Feld
nach rechts oder ein Feld nach links ziehen,
wobei es keinen oder genau einen benachbarten
Stein in Zugrichtung mitnehmen kann, nicht aber
mehrere.
Wenn sich unter einem Spielstein ein
leeres Feld befindet, fällt der Spielstein hinunter,
bis er auf ein Feld trifft, das bereits von einem
Spielstein belegt ist.
Ziel ist es, genau vier Züge zu finden,
dass danach in dem Diagramm das Wort
"PUZZLE" zu finden ist, horizontal, vertikal
oder diagonal.
Beispiel: Ergebnis des
Zuges
"C nach rechts".
A B
B
C D
A C
>
E F
E F D
>
Aufgabe:
U
Z
Z
P
Z
L
L
E
U E Z
P
L
L Z U U
U
L
U E L E L Z
E L U Z U E Z L
Z P E E P P U E
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Mileva Einstein-Maric
(1875-1948)
Mileva Maric wird in Österreich-Ungarn - der Teil gehört heute zu
Kroatien - geboren. Ihr Vater fördert ihr Talent sehr. Da Frauen dort nicht
studieren dürfen, siedelt sie nach Zürich um und studiert dort Medizin. Später
wechselt sie die Fachrichtung und studiert Mathematik und Physik. Sie ist die
einzige Frau in ihrem Jahrgang. Hier lernt sie Albert Einstein kennen, den sie
1903 heiratet, mit dem sie ein Jahr zuvor ein uneheliches Kind hat. Das
Schicksal dieser Tochter ist unbekannt. Es gibt einen regen Austausch über die
wissenschaftliche Tätigkeit von Albert. Ob sie einen maßgeblichen Anteil an der
1905 veröffenlichten speziellen Relativitätstheorie hat oder nicht, darüber wird
immer noch heftig gestritten. 1914 wird die Ehe geschieden. Das Preisgeld für
den
Nobelpreis
Albert
Einsteins
erhält
sie
gemäß
der
Scheidungsvereinbarungen. Das Geld braucht sie vor allem für die Pflege ihres
zweiten Sohnes Eduard, der geistig behindert war. Ihr erster Sohn - Hans Albert
- studierte Technik. 1937 wanderte er mit seiner Familie nach Amerika aus und
wurde dort zum Professor für Hydraulik in Berkeley berufen. 1948 starb Mileva
in Zürich.
60
Wörter zum Text
fördern
zuvor
unehelich
regen
maßgeblich
die Scheidungsvereinbarung
auswandern
сприяти
до цього часу, перш за все
позашлюбний
зворушливий
авторитетний,компетентний, визначальний
договір про розлучення
емігрувати
ADDITION UND SUBTRAKTION
Die uns vertrauteste Operation für Zahlen ist die Addition. Zwei reelle
Zahlen können addiert werden, und die Summe ist wieder eine reelle Zahl, z.B.
12 + 1 = 13
(dabei heißen 12 und 1 Summanden). Diese Operation kann vollständig
innerhalb der kleineren Zahlenmengen N, N0, Z und Q durchgeführt werden: Die
Summe zweier natürlicher (ganzer, rationaler) Zahlen ist wieder eine natürliche
(ganze, rationale) Zahl.
Aus der Addition leitet sich (gewissermaßen als ''Umkehrung'') eine
weitere Operation ab: die Subtraktion zweier reeller Zahlen. Wir
veranschaulichen sie anhand eines Beispiels:
Die Differenz
13 - 12
ist definiert als die Antwort auf die Frage
"12 + wie viel = 13?"
oder, anders ausgedrückt: ''Wie viel fehlt 12 auf 13?'' Die Antwort lautet
natürlich 1, und daher ist 13 - 12 = 1. Die Subtraktion kann man also
vollständig auf die Addition zurückgeführt werden.
Die Subtraktion kann vollständig innerhalb der Zahlenmengen Z und Q
durchgeführt werden: Die Differenz zweier ganzer (rationaler) Zahlen ist wieder
eine ganze (rationale) Zahl.
Aus der Menge N der natürlichen Zahlen kann die Subtraktion allerdings
hinausführen: So ist etwa 3 N und 5 N, aber 3 - 5 = -2 N.
Die Subtraktion hängt eng mit der Tatsache zusammen, dass es Zahlen
unterschiedlichen Vorzeichens gibt. Zu jeder von 0 verschiedenen reellen Zahl
gibt es eine andere, die sich von ersterer nur durch das Vorzeichen
unterscheidet. So bilden z.B. 7 und -7 ein Paar von Zahlen, die ''zueinander
negativ'' sind. Ihre Summe ist 0. Wir bezeichnen das ''Umdrehen des
Vorzeichens'' mit einem vorangestellten Minuszeichen, schreiben also z.B.
-(-7) = 7.
Beachten Sie, dass wir diese Schreibweise definiert haben, sie also nicht
begründen müssen.
61
Mit dieser Definition kann jede Differenz als Summe dargestellt werden.
So gilt etwa
13 - 12 = 13 + (-12),
so dass sich das Subtrahieren gewissenmaßen als Spezialfall des Addierens
herausstellt.
Beachten Sie bitte beim Rechnen: Das Minuszeichen kann
insgesamt drei verschiedene Rollen spielen: in -7 ist es ein Vorzeichen (das uns
sagt, dass -7 eine negative Zahl ist), in 13 - 12 ist es ein Operationszeichen (das
uns auffordert, die beiden Zahlen zu subtrahieren), und schließlich bedeutet ein
Minuszeichen vor einer reellen Zahl, dass ihr Vorzeichen geändert werden soll.
Letzteres bedeutet, auf die reelle Zahl -7 angewandt, dass -(-7) = 7 ist! Auf eine
positive Zahl, etwa 3, angewandt, fallen die erste und die dritte Rolle
zusammen: die Zahl -3 ist natürlich jene, die aus 3 durch "Vorzeichenumdrehen"
hervorgeht.
Wörter zum Text
die Addition, -, -en
der Summand, -en, -en,
veranschaulichen
die Differenz, -, -en
definieren
zurückführen (auf A.)
zusammenhängen
die Tatsache , -, -en
das Umdrehen
vorangestellt
sich herausstellen
auffordern
angewandt
hervorgehen, i, a
додавання
доданок
унаочнювати, пояснювати
різниця
визначати
зводити до
тісно зв’язана з … , тісно прилягати до
факт
оберт, поворот
наперед поставлений
виявлятись
закликати
прикладний
випливати
Übungen
I.
a) Schreiben Sie aus dem Text Fachbegriffe und Wortgruppen heraus, die
die Grundinformation des Textes enthalten.
b) Schreiben Sie 3 Fragen zum Text, und stellen Sie sie aneinander.
c) Stellen Sie den Plan zum Text zusammen.
d) Drücken Sie die Hauptinformation des Textes aus.
II. Bestimmen Sie den Artikel folgender Zusammensetzungen und übersetzen Sie
sie mit Hilfe des Wörterbuches.
Zahlenmenge
Minuszeichen
Operationszeichen
Rechenmöglichkeit Kubikwurzel
Vorzeichenumdrehen
Rechenoperation
Zeitaufwand
Abstraktionsgrad
62
Mittelstrebe
Zwischenergebnis
Ausgangsposition Zehnersystem
Dezimalzahl
Ausgangsstellung
III. a) Bilden Sie Sätze aus folgendem Wortmaterial.
1. Vier, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Grundrechnungsarten, Division,
es gibt.
2. Werden, als Rechnungsarten erster Stufe, die ersten beiden, die anderen
beiden, als Rechnungsarten, bezeichnet, zweiter Stufe.
3. Das Rechenzeichen, gelesen, oder, „+",„plus", „und", wird.
4. Kann, man, so, addieren, : , a + b = c, die Zahlen.
5. Stets, die Addition, zweier natürlichen Zahlen, ist, ausführbar.
b) Addieren Sie zu jeder der linken Seite der Tabelle jede Zahl der rechten Seite.
27
35
42
56
69
+
4
6
8
9
Anleitung: Rechnen Sie.
27 + 4 =
27 + 6 =
27 + 8 =
27 + 9 = 35 + 4 = usw.
c) Das sind Additionstabellen. Addieren Sie zu jeder Zahl der (senkrechten)1.
Spalte jede Zahl der (waagerechten) 1.Zeile und schreiben Sie das Ergebnis in
das entsprechende Kästchen.
+ 6 6 15
+ 8 7 12
+ 5 11 12
18 24 27
31
45
22
42
54
34
87
63
IV.
a) Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
Ein Physiker und ein Mathematiker sollen Wasser kochen.
Es ist eine Feuerstelle vorhanden, sowie ein Topf mit Wasser, der in
Position 1 steht. Der Physiker löst das Problem, indem er den Topf auf das
Feuer setzt. Der Mathematiker löst es auf die gleiche Weise.
Problem 2. Wieder soll Wasser gekocht werden, doch der Topf mit
kaltem Wasser steht diesmal in Position 2, während die Feuerstelle an ihrem
alten Platz steht. Der Physiker löst das Problem wieder so, dass er den Topf
auf das Feuer setzt. Der Mathematiker dagegen stellt den Topf in Position 1
und hat damit das Problem auf das vorherige zurückgeführt.
b) und ein Zitat über Mathematik.
Es gibt keinen
Königsweg
zur Mathematik.
Euklid
63
V.
Hashiwokakero
Zeichnen
Sie
einfache
und
doppelte
Linien
zwischen
den
Zahlenfeldern derart, dass in
jedem Feld genau so viele
Linien enden wie die Zahl in
dem Feld angibt.
Die Linien müssen
horizontal oder vertikal
verlaufen
und
dürfen
einander nicht kreuzen. In
Feldern ohne Zahl enden
keine Linien.
Alle Linien hängen
zusammen; d.h. man kann
von jedem Feld mit einer
Zahl zu jedem beliebigen
anderen Feld gelangen,
indem man den Linien folgt.
VI. Erzählen Sie den Text nach.
François Viète
(1540 − 1603)
Französischer Mathematiker. Der Kronjurist und Vertraute der Könige
Heinrich III. und Heinrich IV. befasste sich mit Problemen der Dreieckslehre
und erstellte trigonometrische Tafeln (Canon mathematicus, 1579). Er führte
erstmals die systematisch-logische Anwendung von Buchstaben in der Algebra
ein (1591), wodurch er Gleichungen jeden Grades darstellen konnte, und
erkannte den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Lösungen
von algebraischen Gleichungen (Vietasche Wurzelsätze, siehe Abbildung
unten). Ferner bestimmte er die Kreiszahl p als unendlichen Produktausdruck.
Vieta wirkte stark auf Descartes. Der größte Teil von Viètes Lebenszeit fällt in
die Zeit der französischen Religionskriege. Nachdem Viète in seiner
Heimatstadt die Klosterschule der Franziskaner besucht hatte, studierte er Jura
in Poitiers, wurde 1559 Baccalaureus und Lizentiat und ließ sich in seiner
Heimatstadt als Advokat nieder. Seine Geschicklichkeit, in schwierigen
Rechtsfällen gute Lösungen zu finden, hat seinen Lebensweg stark beeinflusst.
Er verfasste eine Rechtfertigungsschrift für Jean de Parthenay, dem vorgewurfen
wurde, als Kommandant von Lyon die Stadt zu früh den Feinden übergeben zu
haben, wurde 1564 Sekretär von de Parthenay und Lehrer dessen Tochter
Cathérine.
Ihr Interesse für Astronomie (Astrologie) und Mathematik dürfte Viètes
Beschäftigung mit diesen Wissenschaften gefördert. Er begann eine Darstellung
64
der Planetentheorie, Harmonicon coeleste, auf der Grundlage des Ptolemäischen
Systems; das Kopernikanische System lehnte er wegen seiner Ungenauigkeiten
ab. Cathérine heiratete 1568 den bretonischen Edelmann Charles de Quellenec;
Viète ging 1571 nach Paris, als Rat am Parlament. In der Bartholomäusnacht
1572 wurde de Quellenec ermordet, Cathérine nur durch das Eingreifen des
Herzogs René de Rohan gerettet. Viète war anscheinend nicht gefährdet;
offenbar war er trotz seiner guten Beziehungen zu den Führern der Protestanten
Katholik geblieben. Aber seine Aussichten auf eine Stelle als Rat am Parlament
in Paris waren gering; er wurde 1573 Rat am Parlament der Bretagne in Rennes,
hielt sich jedoch als Ratgeber des Königs Heinrich III meist in Paris auf. 1580
wurde er maître des requètes (requètres=Bittschriften, wohl als Streitfälle und
Gnadengesuche zu vestehen). Auf Betreiben religiös-politischer Gegner musste
der König Viète 1585 entlassen. Er lebte einige Jahre auf dem Gut von
Cathérine de Parthenay und konnte sich in dieser Zeit mit mathematischen
Studien und Arbeiten beschäftigen. Studiert hat er u.a. Cardano und Diophant.
1589 verlegte der König seinen Hof nach Tours und konnte Viète wieder in sein
früheres Amt berufen, das Viète seit 1594 wieder in Paris, und später unter
Heinrich IV, bis 1602 innehatte. Er hat seinem König auch durch Entzifferung
verschlüsselter Briefe der Gegner wertvolle Dienste geleistet. 1602 nahm er aus
Gesundheitsgründen seinen Abschied.
Viète starb am 23. Februar 1603 in Paris.
Wörter zum Text
erstellen
darstellen
erkennen, a, a,
der Zusammenhang, -es, -e
die Geschicklichkeit
der Rechtsfall
die Rechtfertigungsschrift, -, -en
vorwerfen, a, o
fördern
ablehnen
die Ungenauigkeit
das Eingreifen
anscheinend
gefährden
offenbar
die Aussicht, -, -en
sich aufhalten, ie, a
auf Betreiben
verlegen
innehaben
die Entzifferung
verschlüsseln
розробляти, запроваджувати, складати
представляти, зображати
визнавати
зв'язок, причина
вміння, майстерність
судова справа, юридичний випадок
виправдовування, пояснення
дорікати
сприяти, прискорювати
відхиляти
неточність, погрішність
втручання
мабуть, напевне
загрожувати
явно, очевидно
сподівання, надія, шанс, перспектива
перебувати, затримуватися
на вимогу
переводити
займати, володіти
розшифровка
кодувати, шифровати
65
MULTIPLIKATION UND DIVISION
Neben der Addition gibt es noch die Multiplikation als grundlegende
Operation für reelle Zahlen. Wenn man will, kann man sie auf die Addition
zurückführen, doch das ist nur für die natürlichen Zahlen leicht. So kann etwa
das dreifache Addieren der Zahl 7, also 7 + 7 + 7, auch als
3 × 7 oder 3 · 7
geschrieben werden. Wir wollen es uns aber nicht unnötig schwer machen,
sondern voraussetzen, dass zwei beliebige reelle Zahlen multipliziert werden
können, und dass das Produkt wieder eine reelle Zahl ist, z.B.
2.3 × 7.6 = 17.48
(dabei heißen 2.3 und 7.6 Faktoren). Wann immer keine Mißverständnisse zu
befürchten sind, kann das Symbol × bzw der Punkt · weggelassen werden. Das
ist insbesondere der Fall, wenn Symbole (Buchstaben) stellvertretend für Zahlen
angeschrieben werden. So bedeutet a• b einfach "a mal b".
Das Verhalten negativer Zahlen in einem Produkt wird durch die
Beispiele
2.3 × (-7.6) = -17.48
(-2.3) × (-7.6) = 17.48
illustriert. Zwei Minuszeichen "heben einander auf". Dabei handelt es sich um
eine (für Rechenzwecke) äußerst sinnvolle Vorschrift, die aber genau
genommen begründet werden muss. Die Multiplikation kann vollständig
innerhalb der kleineren Zahlenmengen N, N0, Z und Q durchgeführt werden:
Das Produkt zweier natürlicher (ganzer, rationaler) Zahlen ist wieder eine
natürliche (ganze, rationale) Zahl. Die Zahlen 0 und 1 spielen bezüglich der
Multiplikation eine besondere Rolle: Die Multiplikation mit 1 ''ändert nichts'',
z.B.
3 × 1 = 3,
und die Multiplikation mit 0 ''macht alles zu 0'', z.B.
3 × 0 = 0.
Aus der Multiplikation leitet sich (als ''Umkehrung'', ähnlich wie die
Subtraktion aus der Addition) eine weitere Operation ab: die Division. Wir
veranschaulichen sie anhand eines Beispiels:
Der Quotient
3
2
ist definiert als die Antwort auf die Frage
"2 × wie viel = 3?"
oder, ein bisschen schlampig ausgedrückt: ''Wie oft passt 2 in 3 hinein?'' Die
Antwort lautet 1.5, und daher ist 3/2 = 1.5. Die Division kann also vollständig
auf die Multiplikation zurückgeführt werden.
Obiger Quotient kann auch als 3:2 geschrieben werden, aber wir ziehen
die Schreibweise als Bruch vor (wobei die Zahl über dem Bruchstrich als
Zähler, die Zahl unter dem Bruchstrich als Nenner bezeichnet wird). Weiters
ist es nicht immer sinnvoll, einen Bruch sogleich in seine Dezimaldarstellung zu
verwandeln. Im obigen Fall ist die Angabe 3/2 sogar für viele Zwecke günstiger
66
als die Angabe 1.5, denn was mit 3/2 gemeint ist, ist völlig klar, während die
Angabe 1.5 mitunter den Verdacht aufkommen lässt, es handle sich nur um
einen Näherungswert.
Außerdem lässt sich für viele Zwecke der Mathematik mit Brüchen besser
weiterrechnen als mit Dezimalzahlen. Das Umwandeln von Brüchen in die
Dezimaldarstellung sollte, falls überhaupt nötig, möglichst erst am Ende von
Problemlösungen stattfinden. Im Unterschied zur Subtraktion gibt es im Fall der
Division eine extrem wichtige Einschränkung: Die Division durch 0 ist nicht
definiert!
Betrachten wir die die Angelegenheit genauer. Macht ein Quotient wie 1/0
einen Sinn? Die zu dieser Division gehörende Fragestellung ist: 0 × wie viel =
1? Nun haben wir festgestellt, dass jede Multiplikation mit 0 wieder 0 ergibt und daher nie 1 ergeben kann (und auch keine andere Zahl, die von 0
verschieden ist)!
Wenn die Division als ''Umkehrung'' der Multiplikation aufgefasst wird
(wie wir es hier tun), dann ist damit schlicht und einfach nicht festgelegt (nicht
definiert), was eine Division durch 0 sein soll. Manchmal wird das so
ausgedrückt, dass die Division durch 0 ''verboten'' ist oder dass sie keinen
Sinn macht.
Wir halten fest, dass in mathematisch korrekten Ausdrücken nie eine
Division durch Null auftreten darf. Durch jede von Null verschiedene reelle Zahl
darf dividiert werden. Wird 1 durch eine solche Zahl dividiert, so erhält man
deren Kehrwert (reziproken Wert). Beispiel:
1
ist der Kehrwert von
3.
3
Das Bilden des Kehrwerts hat - wie das ''Vorzeichenumdrehen'' - die
Eigenschaft, dass nach zweimaliger Anwendung die ursprüngliche Zahl
zurückzuliefern. So ist nicht nur 1/3 der Kehrwert von 3, sondern auch 3 der
Kehrwert von 1/3. Der Kehrwert von 1 ist wieder 1.
Ebenso ist Kehrwert
von -1 wieder -1. (-1 und 1 sind die einzigen Zahlen, die mit ihrem Kehrwert
übereinstimmen).
Da die Division durch 0 nicht definiert ist, besitzt 0 keinen Kehrwert, und
es gibt keine reelle Zahl, deren Kehrwert 0 wäre.
Mit Hilfe des Kehrwerts kann ein Quotient immer als Produkt dargestellt
werden. So ist z.B.
12
1
= 12 ×
3
3
Dividieren durch eine reelle Zahl ist dasselbe wie Multiplizieren mit
ihrem Kehrwert.
Die Division kann vollständig innerhalb der kleineren Zahlenmenge Q
durchgeführt werden: Der Quotient zweier rationaler Zahlen (mit Nenner  0) ist
wieder eine rationale Zahl. Aus den Mengen N und Z kann die Division
67
allerdings hinausführen: So ist etwa 3  N und 2  N, aber 3/2 = 1.5 N. Damit
haben wir die beiden algebraischen Strukturen Addition und Multiplikation
vorgestellt. Gemeinsam mit der Subtraktion und der Division werden sie als
Grundrechnungsarten bezeichnet. Was ihre grundlegenden Eigenschaften
betrifft, ist nur noch zu erwähnen, dass sie auf wunderbare Weise miteinander
verwoben sind. So ist etwa
2 × ( 4 + 6 ) = 2 × 4 + 2 × 6.
Das ist eine ganz allgemein geltende Rechenregel, die als ''Klammern
auflösen'' oder ''Faktoren in Klammern hineinmultiplizieren'' bekannt ist. Ihr
genauer Name ist ''Distributivgesetz''. Auf diesen Strukturen beruht der größte
Teil des Schulmathematik. Wir werden allerdings in einem späteren Kapitel
lernen, sie ''mit anderen Augen'' zu betrachten (nämlich in der mathematischen
Symbolsprache).
Wörter zum Text
weglassen, ie, a
stellvertretend
sich aufheben
die Vorschrift
bezüglich
sich ableiten
veranschaulichen
definieren
schlampig
оbiger
vorziehen, o,o
die Dezimaldarstellung
meinen
mitunter
der Näherungswert
das Umwandeln
extrem
die Einschränkung
die Angelegenheit
ergeben,a,e
der Kehrwert
übereinstimmen
hinausführen
verweben, o,o
випускати, пропускати
тимчасово виконуючий обов’язки
взаємно знищуватися (компенсуватися)
зразок, інструкція, положення
відносно
походити
унаочнювати
визначати
недбало, халатно
вище згадане
надавати перевагу
десяткове зображення
мати на увазі
інколи, час від часу
приблизна величина, приблизне значення
перетворення
крайній, надзвичайний, радикальний
обмеження
справа, питання
давати, становити
обернена величина, обернене значення
співпадати
вивести
тісно пов'язаний з …
Множення
Multiplikation
68
multiplizieren
malnehmen
vervielfachen
Faktoren, Malwerte
Multiplikand, m
Multiplikator, m
Malzeichen n (x oder •)
Einmaleins n
Produkt,n
einmal
zweimal
dreimal
множити
співмножники
множене
множник
знак множення
таблиця множення
добуток
один раз
два рази
три рази
Ділення
Division
dividieren
teilen
Dividend m
Divisor m
der größte gemeinsame Teiler
Quotient m
Ergebnis n
Divisionszeichen n (:, /, -)
gesuchte (unbekannte )Größe)
Differenz f
Rest m
teilbar sein
ділити
ділене
дільник
найбільший загальний дільник
частка
відношення
знак ділення читається як «durch» або
«geteilt durch»
невідоме (невідома) величина
різниця, залишок
різниця, залишок
бути здатним до ділення
Übungen
I. Übersetzen Sie folgende Sätze ins Ukrainische.
1. Die Multiplikation ist eine Addition von gleichen Summanden.
2. Wenn man die Zahl a n-mal addiert, so schreibt man dafür n ° c = a (lies: n
mal a gleich c).
3. Das Rechenzeichen „•" wird „mal" gelesen.
4. In einer Multiplikationsaufgabe n • a = c sind a und n Faktoren.
5. Wenn man die Zahl a mit der Zahl n multipliziert, erhält man als Ergebnis ein
Produkt.
6. Der Wert eines Produktes ist Null, wenn ein Faktor Null ist.
7. Die Multiplikation zweier natürlicher Zahlen ist stets ausführbar, das heißt:
zu zwei natürlichen Zahlen gibt es immer genau eine dritte, die Produkt der
beiden ist. Auch für Multiplikation gilt das Kommutativgesetz: a ° b = b • a,
das heißt die Faktoren darf man miteinander vertauschen.
69
8. Wegen der Kommutativität ist es notwendige zwischen Multiplikand und
Multiplikator zu unterscheiden; ihr gemeinsamer Name in der Mathematik
lautet Faktor.
Es gilt: das Produkt ist positiv, wenn beide Faktoren gleiche Vorzeichen
besitzen; anderenfalls ist es negativ.
9. Ist die Anzahl der negativen Faktoren in einem Produkt gerade, so ist das
Produkt positiv; ist sie ungerade, so ist das Produkt negativ.
II. a) Übersetzen Sie ins Deutsche:
1. Основні арифметичні дії – це додавання, віднімання,
множення і
ділення.
2. Додавання і віднімання називаються діями другого ступеню.
3. Спочатку виконуються дії другого, а потім дії першого ступеню.
4. Результат додавання чисел називається сумою.
5. Результат віднімання чисел називається різницею.
b) Lesen Sie laut folgende Rechenübungen.
9+6=
9 - 6 =
17 + 9 =
15 - 11 =
25 + 15 =
90 - 45 =
4•6=
6•3=
8•9 =
25 : 5 =
54 : 6 =
48 : 4 =
c) Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen richtig sind.
1. Die Faktoren eines Produktes darf man vertauschen.
2. Die Division durch Null ist möglich.
3. Die Multiplikation im Bereich der natürlichen Zahlen ist unbeschränkt
ausführbar.
4. Die Division zweier natürlicher Zahlen ist im Bereich der natürlichen Zahlen
unbeschränkt ausführbar.
5. Das Multiplizieren und das Dividieren sind die Rechenoperationen erster
Stufe.
d) Beantworten Sie folgende Fragen.
1. Wie heißen die vier Grundrechnungsarten?
2. Wie heißen die Glieder der Addition?
3. Wie heißen die Glieder der Multiplikation?
4. Wie heißen die Glieder der Division?
5. Wie heißen die Glieder der Subtraktion?
70
III. a)
b)
Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
und ein Zitat über Mathematik.
Die Mathematik muss man schon
deswegen studieren, weil sie die
Gedanken ordnet.
Lomonossow, M. W. (1711 - 1765)
Der kürzeste
Mathematikerwitz:
Sei Epsilon < 0
IV.
Heyawake
Färben Sie einige Felder des Diagramms dunkel,
entsprechend den folgenden Regeln:
Die Felder des Diagramms sind durch dicke Linien zu
Parzellen zusammengefasst.
Eine Zahl in einem Feld gibt an, wie viele Felder in
Parzelle, der es angehört, dunkel zu färben sind. Von
Parzellen, die kein Feld mit einer Zahl enthalten, ist nicht
bekannt, wie viele dunkle Felder sie enthalten.
Zusammenhängende helle Felder dürfen sich nicht
horizontal oder vertikal über drei oder mehr Parzellen
erstrecken.
Dunkle Felder dürfen weder horizontal noch vertikal
benachbart sein (wohl aber diagonal)
Die dunklen Felder dürfen den Bereich der hellen
Felder auch nicht in zwei Teile zerlegen; alle hellen
Felder sind also miteinander horizontal oder vertikal
verbunden.
V. Rechnen Sie bitte.
Merkwürdige Ergebnisse
37 • 3 =
74 • 3 =
37 • 6 =
74 • 6 =
37 • 9 =
74 • 9 =
11 • 91 =
7 • 143 =
13 • 77 =
625 • 25 =
125 • 125 =
3125 • 5 =
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Leonhard Euler
(15. 4. 1707 − 18. 9. 1783)
Schweizer Mathematiker. Euler studierte neben Mathematik auch
Theologie, Medizin und orientalische Sprachen und kam, erst 20jährig, an die
Petersburger Akademie, wo er Professor für Physik und Mathematik wurde.
Nachdem ihn Friedrich der Große an die Akademie der Wissenschaften in
Berlin gerufen hatte, kehrte er 1766 nach Petersburg zurück und begründete den
71
Weltruf der dortigen Akademie mit seinen wegweisenden Arbeiten über reine
und angewandte Mathematik, Astronomie und Physik.
Euler wirkte bahnbrechend durch seine Arbeiten über die Analysis des
Unendlichen, die Variations- und Differenzrechnung sowie die analytische
Zahlentheorie und Differentialgeometrie. Er gilt als einer der Begründer der
Strömungslehre (Eulersche Bewegungsgleichung für die Flüssigkeitsströmung)
und hinterließ, obwohl 1767 völlig erblindet, schließlich 28 größere Werke und
750 Abhandlungen, darunter auch zur Philosophie und Musiktheorie, sowie
zahlreiche populäre Lehrbücher.
Wörter zum Text
оrientalisch
wirken
bahnbrechend
gelten (als Nom., für Akk.)
die Strömungslehre
hinterlassen, ie, a
die Abhandlung
східний
впливати
новаторськи
вважати
вчення про аерогідродинаміку
залишати
наукова стаття
TEILBARKEIT
Ein im Rahmen der natürlichen Zahlen wichtiger Begriff ist der des
Vielfachen. So ist etwa 12 ein Vielfaches von 3 (nämlich das 4-fache).
Umgekehrt betrachtet, ''passt 3 genau 4 mal in 12 hinein''. Die Division 12/3
führt auf das ganzzahlige Ergebnis 4. Man sagt, ''3 teilt 12'' oder '' 3 ist ein
Teiler von 12'' (bzw. ''12 wird von 3 geteilt''). All diesen Aussagen liegt die
einfache Tatsache zugrunde, dass 12 = 3 × 4 ist. 5 teilt 21 nicht, da 21/5 nicht
ganzzahlig ist, oder, anders ausgedrückt, da 21 kein ganzzahliges Vielfaches von
5 ist: Es gibt keine ganze Zahl n, für die 21 = 5 n wäre.
Man kann aber 21 als 21 = 5 × 4 + 1 schreiben. Die hier auftretende Zahl
1 ist gerade der Rest, der sich beim Versuch, 21 durch 5 zu dividieren, ergibt.
Die Teilbarkeit kann auf offensichtliche Weise auch auf negative ganze Zahlen
übertragen werden (Beispiel: 3 teilt -12). Eine ganze Zahl, die von 2 geteilt
wird, heißt gerade, ansonsten ungerade. Jede natürliche Zahl besitzt sich selbst
und 1 als Teiler.
Falls eine gegebene natürliche Zahl außer diesen beiden (1 und sie selbst)
keinen weiteren Teiler besitzt, heißt sie Primzahl.
So ist beispielsweise 7
eine Primzahl, denn sie wird nicht von 2, 3, 4, 5 oder 6 geteilt, und natürlich
auch nicht von einer Zahl, die größer ist als 7. Die ersten paar Primzahlen sind 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... (1 wurde früher auch als Primzahl bezeichnet, heute
aber nicht mehr). Der antike Philolog, Mathematiker und Geograph Eratosthenes
lebte ungefähr 275-195 v.Chr. Primzahlen sind in gewisser Hinsicht die
''Bestandteile'' der natürlichen Zahlen: Jede natürliche Zahl lässt sich in
eindeutiger
Weise
als
Produkt
von
Primzahlen
schreiben.
72
Beispiel: Die Zahl 18 kann als 2 × 9 geschrieben werden. Der Faktor 9
kann weiter als 3 × 3 zerlegt werden, woraus sich 18 = 2 × 3 × 3 ergibt. Das ist
die Primfaktorzerlegung der Zahl 18: Eine weitere Zerlegung ist nicht mehr
möglich, da 2 und 3 Primzahlen sind. Die Zahlen 2 und 3 heißen Primfaktoren
oder Primteiler. (Der Faktor 2 kommt nur einmal vor, der Faktor 3 zweimal.
Man spricht von der Vielfachheit eines Primfaktors). In der abgekürzten
Schreibweise 3 × 3 = 32 lautet die Primfaktorzerlegung von 18 also
18 = 2 × 32.
Es kann streng bewiesen werden (doch wir ersuchen Sie hier, uns zu
glauben), dass es für jede natürliche Zahl nur eine Primfaktorzerlegung gibt
(d.h. dass sie eindeutig ist). Zwei (oder mehr) natürliche Zahlen können einen
oder mehrere gemeinsame Teiler besitzen. Ist dies nicht der Fall, heißen sie
teilerfremd (oder relativ prim). Manchmal ist es notwendig, den größten
gemeinsamen Teiler (abgekürzt ggT) oder das kleinste gemeinsame Vielfache
(abgekürzt kgV) zweier (oder mehrerer) gegebener natürlicher Zahlen zu
ermitteln. Der ggT spielt etwa beim Kürzen von Brüchen, das kgV beim
Addieren von Brüchen eine Rolle. Hier ist die Primfaktorzerlegung hilfreich.
Wörter zum Text
die Teilbarkeit
das Vielfache
hineinpassen (in A.)
der Teiler, -s
der Rest, es, e
offensichtlich
gerade Zahlen
falls
in gewisser Hinsicht
sich ergeben,a,e
die Primfaktorzerlegung
der Primfaktor
die Vielfachheit
streng
ersuchen
подільність
кратне
входити
дільник
залишок
очевидний, явний
парні числа
у випадку, якщо
в деякому відношенні
витікати
розклад на прості множники
простий співмножник
багатократність
строго
просити, звертатися
Übungen
I. a) Bilden Sie Substantive mit dem Suffix „-ung“ von folgenden Verben und
übersetzen Sie diese Substantive.
Muster : bedeuten ⇨ die Bedeutung − значення, важливість
führen
umkehren
lösen
meinen
verwenden
potenzieren erheben
erhalten
entsprechen
bezeichnen
73
b) Bilden Sie Verben von folgenden Substantiven und übersetzen Sie sie.
Muster : die Bedeutung ⇨ bedeuten − означати, мати значення
die
die Division die Substraktion das Quadrat
der Kubus
Addition
die Potenz die Radix
die
die Zahl
die Wurzel
Multiplikation
c) Substantivieren Sie folgende Verben und übersetzen Sie sie.
Muster : potenzieren ⇨ das Potenzieren ⇨ піднесення до
степеня
addieren ⇨
kubieren ⇨
radizieren ⇨
dividieren ⇨
quadrieren ⇨
substrahieren ⇨
multiplizieren ⇨
d) Bilden Sie aus folgenden Wörtern zusammengesetzte Wörter. Beachten Sie
den Artikel des gebildeten Wortes.
Muster : das Quadrat + die Wurzel ⇨ die Quadratwurzel
der Grund + die Zahl dieWurzel + der Exponent die Wurzel + der Wert
die Potenz + der Wert das Jahr + das Hundert
die Tabelle + der Wert
die Wurzel + das Ziehen
hoch + die Zahl
II. a) Merken Sie sich folgende Synonyme.
erfolgen - geschehen
die Einführung – die Einleitung
bestimmen – finden - herausfinden
die Grundlage – die Basis
b) Merken Sie sich folgende Antonyme.
reell – imaginär
endlich – unendlich
die Erweiterung – die Verengung
74
rational – irrational
periodisch – unperiodisch
die ganze Zahl – der Bruch
III.
a)
Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
Zwei Mathematiker sitzen im Restaurant und unterhalten sich. Der
eine stellt im Laufe des Gesprächs fest: "Mathematik kann inzwischen
jeder.", doch dies glaubt sein Kollege nicht. Deshalb tut der Mathematiker
so, als müsse er aufs Klo, geht aber stattdessen zur Kellnerin und sagt : "Ich
werde Sie gleich etwas fragen. Dann antworten Sie einfach: 1/3 x3". Wieder
am Tisch will der Mathematiker seinem Kollegen seine Behauptung
beweisen und fragt die Kellnerin: "Was ist das Integral von x2 ?" Darauf
antwortet die Kellnerin :" 1/3 x3" und beim Gehen sagt sie noch zu sich
selbst: "Die Bevölkerung wird auch immer dümmer, denn die Konstante c
aus R haben sie vergessen."
b) und ein Zitat über Mathematik.
Die Mathematik ist eine wunderbare Lehrerin für die Kunst, die
Gedanken zu ordnen, Unsinn zu beseitigen und Klarheit zu schaffen.
Jean-Henri Fabre (1823 - 1915)
IV.
Färben Sie die Felder des Diagramms hell oder
dunkel. In einer Zeile oder Spalte des Diagramms darf keine
Zahl mehr als einmal auf einem hellen Feld stehen. Zwei
dunkle Felder dürfen weder horizontal noch vertikal
benachbart sein. Die dunklen Felder dürfen die hellen Felder
nicht in zwei oder mehr disjunkte Bereiche zerlegen; d.h. die
hellen Felder müssen orthogonal zusammenhängen.
4
1
2
2
3
Hitori
3 1 2
2 2 4
3 4 5
5 2 1
4 3 4
4
5
2
3
2
V. Setzen Sie die Verben im Präsens Passiv ein und übersetzen Sie diese Sätze.
Muster : Diese Zahlen ..... gewöhnlich in der Form a + i • b..... (schreiben).
Diese Zahlen werden gewöhnlich in der Form a + i • b
geschrieben.
1. Dabei ..... a Realteil ..... (nennen).
2. Der Bereich der komplexen Zahlen ..... als abgeschlossen .....
(bezeichnen).
3. Die rationalen Zahlen ...... immer mehr ...... (entwickeln).
4. Die Gegenstände ..... ....... (zählen).
5. Der Tätigkeitsbereich des Menschen ...... ständig ..... (erweitern).
6. Diese Zahlen ...... Kardinalzahlen ......(nennen).
7. Kardinalzahlen ...... von Ordinalzahlen ......(unterscheiden).
75
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Carl Friedrich Gauß
(30. 4. 1777 − 23. 2. 1855)
Deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker. Veröffentlichte
grundlegende Werke über die höhere Arithmetik, die Differentialgeometrie und
die Bewegung der Himmelskörper. Zusammen mit dem Physiker Wilhelm
Weber widmete er sich der Erforschung des Erdmagnetismus, wobei er das nach
ihm benannte absolute physikalische Maßsystem aufstellte. Wegen seiner
ungewöhnlichen Begabung erhielt Gauß vom Herzog von Braunschweig ein
Stipendium zum Besuch der höheren Schule und der Universität Göttingen
(1795-1798). Schon 1801 gab er seine Untersuchungen über höhere Mathematik
heraus, die Grundlage der modernen Zahlentheorie. Später folgten Arbeiten u.a.
zur Theorie der unendlichen Reihen, über die hypergeometrische
Differentialgleichung, über die numerische Mathematik und den algebraischen
Fundamentalsatz. Als Prof. für Astronomie und Direktor an der Sternwarte in
Göttingen errechnete Gauß den Standort des Planetoiden Ceres, der dadurch von
Wilhelm Olbers tatsächlich wiederaufgefunden wurde. Die dabei angewandten
neuen Methoden der Bahnbestimmung veröffentlichte er in seinem
astronomischen Hauptwerk Theorie der Bewegung der Himmelskörper (1809).
Bei Grad- und Landvermessungen in Hannover verbesserte Gauß die
geodätischen Verfahren und erfand dafür das Heliotrop, den
Sonnenwendspiegel, und neue Kartenprojektionen, vor allem die Gauß-KrügerAbbildung. Für erdmagnetische Forschungen entwickelte er das
Bifilarmagnetometer und das absolute physikalische Maßsystem. Weitere
Arbeiten, gemeinsam mit dem befreundeten Physiker Wilhelm Weber, führten
1833 zu einem damals noch verkannten elektromagnetischen Telegraphen, zu
neuen Erkenntnissen in der Mechanik sowie über die Potentialtheorie (1839)
und in der geometrischen Optik.
Wörter zum Text
grundlegend
aufstellen
herausgeben, a,a
die Sternwarte
der Standort
errechnen
wiederauffinden, a,u
die Bahnbestimmung
die Landvermessung
die Gradvermessung
das Sonnenwendspiegel
verkannt
основний, базовий
розробляти, висувати
видавати
обсерваторія
місце розташування, місце знаходження
вирахувати
винаходити, знаходити
визначення параметрів траєкторії чи орбіти
межа
обчислення градусів, балів
зеркало сонцестояння
невизнаний, незрозумілий, неопізнаний
76
GEWÖHNLICHE BRÜCHE
Was sind Brüche? Wenn man 6 Äpfel unter drei Kinder gleichmäßig
verteilen muss, so rechnet man 6:3=2 und weiß damit, dass jedes Kind 2 Äpfel
bekommt. Verfügt man für den gleichen Zweck über nur 2 Äpfel, so muss man
die Divisionsaufgabe 2:3 lösen. Diese Aufgabe ist aber mit natürlichen Zahlen
nicht lösbar. Trotzdem wird die Verteilung verwirklicht, indem man zum Messer
greift. In diesem Falle wird die Äpfelmenge für jedes Kind durch den Bruch 2/3
gekennzeichnet. Brüche entstehen also bei der Teilung eines Ganzes oder
mehrerer Ganzer.
Jeder Bruch hat die Form p/q, p heißt der Zähler, q heißt der Nenner des
Bruches. Brüche mit dem Zähler 1 heißen Stammbrüche, z.B. ½; 1/3; ¼; 1/5.
Brüche, deren Zähler kleiner als der Nenner ist, heißen echte Brüche, 2/3; 3/7;
5/9. Bei einem echten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner, z.B.: 3/2;
16/3; 9/8. Auch Brüche mit gleichem Zähler und Nenner wie 5/5 sind unechte
Brüche. Brüche mit gleichen Nennern heißen gleichnamige Brüche, z.B. 2/5;
4/5; 7/5. Beim Kürzen des Bruches dividiert man Zähler und Nenner durch die
gleiche Zahl.
a a:
c
b b:
c
Der Zähler eines gemeinen Bruches entspricht den Dividenden, der
Nenner des Bruches dem Divisor in einer Divisionsaufgabe. Für die Addition
und Subtraktion gewöhnlicher Brüche gilt folgender Satz: Gleichnamige Brüche
werden addiert (subtrahiert), indem man ihre Zähler addiert (subtrahiert) und
den Nenner beibehält, ungleichnamige Brüche muss man vor dem Addieren
(Subtrahieren) gleichnamig machen. Der Hauptnenner
ist das kleinste
gemeinsame Vielfache aller Einzelnenner.
Brüche werden miteinander
multipliziert, indem man das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner
dividiert. Man dividiert einen Bruch durch einen zweiten Bruch, in dem man den
ersten Bruch mit dem reziproken Wert des zweiten Bruches multipliziert. Den
reziproken Wert (den Kehrwert) eines Bruches erhält man, dem man Zähler und
Nenner des Bruches miteinander vertauscht. Der Kehrwert von 2/7 ist 7/2. Die
Zusammensetzung von ganzer Zahl und nachfolgendem Bruch heißt gemischte
Zahl, z.B. 3 1/3 (lies: 3 Ganze ein Drittel).
Wörter zum Text
der gemeine Bruch
der echte Bruch
der unechte Bruch
der Dezimalbruch
gleichnamige Brüche
der Zähler
звичайний дріб
правильний дріб
неправильний дріб
десятковий дріб
дроби з однаковим знаменником
чисельник
77
der Bruchstrich
der Nenner
der Einzelnenner
ein Bruch, der sich aufheben lässt
verfügen (über Akk.)
der Dividend
der Divisor
die Division
beibehalten
der reziproke Wert
die Zusammensetzung
риска дробу
знаменник
окремий, одиничний знаменник
дріб, який можна скоротити
мати у своєму розпорядженні,
розпоряджатися
ділене
дільник
ділення
зберігати, залишати
обернена величина
склад, структура
I. Beantworten Sie folgende Fragen.
1. Woraus besteht ein gewöhnlicher Bruch?
2. Was für gewöhnliche Brüche unterscheidet man?
3. Was sind echte Brüche?
4. Was sind unechte Brüche?
5. Was sind gemischte Zahlen?
6. Wie kürzt man einen Bruch?
7. Was sind Dezimalbrüche?
8. Wie werden Dezimalbrüche addiert?
9. Wie werden Dezimalbrüche subtrahiert?
10. Wie werden Dezimalbrüche mit einer ganzen Zahl multipliziert?
11. Wie wird eine Dezimalzahl durch eine ganze Zahl dividiert?
12. Wie wird eine Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl dividiert?
Dezimalbrüche
Endliche Dezimalbrüche sind Brüche, deren Nenner Potenzen von 10 sind.
Beispiel 1.
a) 3/10, b) 7/100 – sind endliche Dezimalbrüche. Sie werden meistens in
der Dezimalschreibweise mit Hilfe eines Kommas geschrieben. Dabei hat jede
Stelle vor und hinter dem Komma einen bestimmten Stellenwert.
Beispiel 2.
a) 3/10 = 0,3 (lies: Null Komma b) 7/100 = 0,07 (lies: Null Komma Null
drei)
sieben)
Neben den endlichen Dezimalbrüchen gibt es auch unendliche
Dezimalbrüche. Diese können reinperiodisch, gemischtperiodisch und
nichtperiodisch sein. Beginnt die Periode unmittelbar hinter dem Komma, so
heißt der Bruch reinperiodisch. Gehen der Periode eines Dezimalbruches noch
andere Ziffern voraus, so heißt der Dezimalbruch gemischtperiodisch. Jeder
nichtperiodische endliche Dezimalbruch kann ohne weiteres in einen
gewöhnlichen Bruch verwandelt werden.
Beispiel 3. 0,003 = 3/100
78
Endliche sowie unendliche periodische Dezimalbrüche sind rationale
Zahlen. Man kann jede rationale Zahl durch einen gemeinen Bruch darstellen.
Wörter zum Text
der Stellenwert
gemein
значення розряду
звичайний, загальний
Übungen
I.
a) Schreiben Sie aus dem Text Fachbegriffe und Wortgruppen heraus, die
die Grundinformation des Textes enthalten.
b) Stellen Sie den Plan zum Text zusammen.
c) Drücken Sie die Hauptinformation des Textes aus.
BRUCHZAHLEN
Читання простих дробів
ДРОБИ
- від 2 до 19 знаменник утворюється
шляхом додавання до кількісного
числівника суфікса: - tel
- від 20 і вище - суфікса: -stel
Zum Beispiel
¾ - drei Viertel
1/5 – ein Fünftel
9/10 - neun Zehntel
1/201/1002/101 ein Zwanzigstel
ein Hundertstel
zwei Hunderteinstel
3/102 –
5/1000 –
1/1000000 –
drei Hundertzweitel
fünf Tausendstel
ein Millionstel
Особливі випадки
утворення:
1/2 - ein halb (einhalb, Hälfte, halb);
1/3 - ein Drittel; 6/7 - sechs Siebtel;
1/4 - anderthalb, eineinhalb
Ein halb mal ein halb ist ein viertel.
Geben Sie mir ein halbes Kilo
Kartoffeln!
Die Studenten müssen viereinhalb
Kilometer laufen.
Ich war eineinhalb Jahre in
Deutschland.
Dezimaler Bruch
Десятковий дріб
Десятковий дріб
0,1
Null Komma eins
виражається кількісним
0,2
Null Komma zwei
числівником.
0,0007 Null Komma drei Null sieben
Між назвою цілого числа 2,25 zwei Komma fünfundzwanzig
та частини ставиться
zwei Komma zwei fünf
слово "Komma" .
0,31 Null Komma einundreißig
0,05 Null Komma Null fünf
79
52,709 zweiundfünfzig Komma sieben
0,006 Null Komma Null Null sechs
Null Komma zwei Null sechs
mal
vielmals
mehrmals
oftmals
doppelt
Wir haben bei unseren Freunden sechsmal angerufen.
Nach dreimaliger Behandlung war mein Vater wieder gesund.
Mein Auto kostet zweimal so viel wie das Auto meines Freundes.
Die Bevölkerungsdichte in Polen ist sieben Komma dreimal so
groß wie in Holland, nich wahr?
Ich habe vielmals an dieser Diskussion teilgenommen.
Wir müssen doppelt arbeiten, um dieses Auto kaufen zu können.
II. a) Nennen Sie die
Fachbegriffe.
der Bruch
die Bruchzahl
der Nenner des Bruches
der gemeine Bruch
der reziproke Bruch
ukrainischen Äquivalente für unten
die Bruchlinie
der Zähler des Bruches
der Kehrwert des Bruches
der echte Bruch
die gleichnamigen Brüche
angeführte
der Bruchwert
der Dezimalbruch
der dekadische Bruch
der unechte Bruch
die ungleichnamigen
Brüche
b) Erzählen Sie den Text nach. Finden Sie im Text die Kardinal-, die Ordinalund die Bruchzahlen, schreiben Sie sie aus. Übersetzen Sie den Text.
Freundschaftsdienste
Einmal hörten wir folgende Geschichte:
Zu einem alten Araber kamen drei junge Leute und sagten ihm: "Unser Vater
ist gestorben. Er hat uns siebzehn Kamele hinterlassen und verfügt, dass der
Älteste eine Hälfte, der Zweite ein Drittel und der Jüngste ein Neuntel der
Kamele bekommen soll. Jetzt können wir uns über die Teilung nicht einigen.
Entscheide du!" Der Araber dachte nach und sagte: "Wie ich sehe, habt ihr ein
Kamel zu wenig, um richtig teilen zu können. Ich habe selbst nur ein Kamel,
aber ich gebe es euch. Nehmt es und teilt dann. Bringt mir, was übrig bleibt."
Die jungen Leute bedankten sich für den Freundschaftsdienst, nahmen das
Kamel mit und teilten die achtzehn Kamele nun so, dass der Älteste die Hälfte,
das sind neun, der Zweite ein Drittel, das sind sechs, und der Jüngste - ein
Neuntel, das sind zwei Kamele, bekam. Zu ihrem Erstaunen blieb, als sie ihre
Kamele zur Seite geführt hatten, ein Kamel übrig. Dieses brachten sie ihrem
alten Freund zurück.
(Bertolt Brecht)
80
c) Übersetzen Sie ins Ukrainische.
►Ein Dezimalbruch wird mit 10, 100, 1000,... multipliziert, indem das Komma
um 1, 2, 3,... Stellen nach rechts gerückt wird. 6,53 • 10 = 65,3
►Umgekehrt: Ein Dezimalbruch wird durch 10, 100, 1000, ... dividiert, indem
das Komma um 1, 2, 3,... Stellen nach links gerückt wird. 87,2: 10 = 8,72
►Eine Zahl mit 0 multipliziert ergibt 0.
►Nicht jede Division einer ganzen Zahl durch eine andere ganze Zahl ergibt
eine ganze Zahl.
►0,5 mit 7 multipliziert ergibt 3,7.
►Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem der Nenner mit
der ganzen Zahl multipliziert wird.
►Brüche werden miteinander multipliziert, indem die Zähler miteinander und
die Nenner miteinander multipliziert werden.
►Eine Summe wird addiert, indem die Summanden nacheinander addiert
werden.
►Eine Differenz wird subtrahiert, indem der Minuend subtrahiert und der
Subtrahend addiert wird.
►Eine algebraische Summe wird durch eine Zahl dividiert, indem jedes Glied
durch die Zahl dividiert wird.
►Nicht jeder Bruch lässt sich kürzen.
►Der Doppelpunkt in einer Divisionsaufgabe entspricht dem Bruchstrich bei
einem gemeinen Bruch.
d) Lesen Sie.
¼
1/3
1/6
1½
1,23
2,4
7,345
5,8
1/2
Ich fahre 3 ½ Stunden nach Lviv.
Ich brauche noch 2½ Kilo Zucker.
Nach Kyiv fahren wir 7 ½ Stunden.
Geben Sie mir bitte ½ Kilo Kaffee.
Das Waschprogramm dauert 1 ½ Es ist 22.35 Uhr.
Stunden.
Nach Österreich brauchen Sie 1 ½ Ich stehe jeden Morgen um 6.45 auf.
Tage.
Wir haben 3 ½ Wochen Urlaub.
Sie müssen morgen um 18.20 an Ort
und Stelle sein.
e) Bilden Sie die Sätze.
z.B.: Dieses Buch ist (100) interessant ... jenes Buch.
Dieses Buch ist hundertmal so interessant wie jenes.
Das Kind wiegt (2) viel ... unser
Hund.
Ich bin (20) schön... meine
Rivalin.
Die Bevölkerungsdichte in Kyjiw ist (2,5)
groß … Lemberg.
Mein Schwein ist (4,5) dick… das Schwein
meines Nachbars.
81
f) Übersetzen Sie ins Deutsche.
1. Територія України складає близько однієї шостої території Росії, чи не
так?
2. Мій будинок на одну цілу чотири десятих більше будинку мого друга.
3. Київ удвічі більше Берліна, чи не так?
4. Густота населення у Швейцарії майже на одну цілу вісім десятих
більше щільності населення в Австрії.
5. Дружина хотіла третину майна свого чоловіка, але він був з цим не
згідний, адже вона не працювала жодного дня у своєму житті.
6. Австрія вдвічі більша за Швейцарію.
7. Це яблуко вдвічі більше за те.
8. Моя зарплата на одну цілу три десятих більша зарплати моєї дружини.
9. По-перше, ти повинен робити домашнє завдання, а, по-друге, ти
повинен бути більш дисциплінованим.
10. Існують сотні можливостей чесно заробити гроші.
11. Швейцарія складає біля однієї дев'ятої території Німеччини.
12. Моя кішка важить на півтора кіло більше мого песика.
13. Остання чверть години була дійсно цікавою.
14. Я йому одного разу сказав, що він повинен повернути гроші, потім
другого разу, потім третього, але це не допомагає.
15. Цюріх вдвічі більший, ніж Базель.
16. Україна в п'ять разів більша Молдови.
17. Моя бібліотека в чотири рази більша бібліотеки мого коллеги.
18. Я п'ять разів їздив у Швейцарію й тільки два рази в США.
19. Моя машина коштує в тринадцять разів більше машини мого сусіда.
20. Ми повинні вдвічі більше працювати в саду на вихідних, якщо ми
хочемо, щоб батько був задоволений нами.
21. Я розлучений, але я бачу моїх дітей кожні вихідні й віддаю їм одну
чверть моєї зарплати.
22. Густота населення в Україні на сім цілих три десятих більша, ніж в
Росії.
23. Я купив утричі більше яблук цього разу, ніж того разу.
24. Ця мавпа важча за ту на один кілограм.
g) Suchen Sie im Wörterbuch die ukrainischen Äquivalente für folgende Verben.
verdoppeln vereinfachen vereinigen
vergrößern
verkürzen
verkleinern verbessern
verlängern
vermehren
vermindern
verneinen
vervielfachen
h) Schreiben Sie die Größen in Dezimal- und Bruchform. Setzen Sie die Reihen
fort bis zu 100.
10 dm = 1 m
100 cm = 1m
1000 mm = 1m
daher ist:
daher ist:
daher ist:
1
1
1 mm = 0,001 m =
1 dm = 0,1 m =
m
1 cm = 0,01 m =
m
10
100
82
1
m
1000
2 dm = 0,2 m =
2 cm = 0,02 m =
2 mm = 0,002 m =
III. a) Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
Nichtmathematiker zum Mathematiker: "Ich finde Ihre Arbeit ziemlich
monoton."
Mathematiker.- "Mag sein! Dafür ist sie aber stetig und nicht beschränkt."
b) und ein Zitat über Mathematik.
Strukturen sind die Waffen der
Mathematiker.
Nicolas Bourbaki
IV. Färben Sie die Felder des Diagramms
entweder dunkel oder hell. Die Zahlen am oberen
und linken Rand des Diagramms geben die
Summe der Werte der schwarz gefärbten Felder
in der betreffenden Zeile bzw. Spalte an. Die
Zahlen am rechten Rand des Diagramms geben
die Werte der Felder für die Spaltensummen an;
die Zahlen am unteren Rand des Diagramms
geben die Werte der Felder für die
Zeilensummen an.
Kakurasu
V. a) Diese Übung enthält Beispiele für Summen und Differenzen von Brüchen.
Zum Üben wird empfohlen, die hinteren Spalten der Tabelle abzudecken.
Bruchrechnung: Addition und Subtraktion von Brüchen
Berechnen Sie bitte a+b und a-b
a
b
a+b
a-b
6/8
1 / 12
5/6
2/3
3/7
5 / 21
2/3
4 / 21
6/7
2/3
32 / 21
4 / 21
3/5
4 / 60
2/3
8 / 15
4/9
3 / 51
77 / 153
59 / 153
2 / 11
1 / 12
35 / 132
13 / 132
7 / 28
3 / 14
13 / 28
1 / 28
83
5/8
3 / 104
17 / 26
31 / 52
3 / 18
2 / 17
29 / 102
5 / 102
9 / 12
16 / 48
13 / 12
5 / 12
6 / 16
8 / 32
5/8
1/8
2/3
1/2
7/6
1/6
3/5
6 / 111
121 / 185
101 / 185
3/5
20 / 85
71 / 85
31 / 85
4 / 22
9 / 99
3 / 11
1 / 11
26 / 108
3 / 54
8 / 27
5 / 27
b) Lesen Sie den Text und versuchen Sie ihn ohne Wörterbuch zu verstehen.
Wer war Pythagoras ?
570 v.Chr. wird Pythagoras auf der ionischen Insel Samos geboren. Sein
Vater ist der samische Goldschmied Mnesarchos. Als 20jähriger lernt er in Milet
bei Thales und Anaximander. Später lernt er bei ägyptischen Priestern und soll
sogar nach Babylon gelangt sein, um seinen Wissensdurst zu befriedigen. Mit
ca. 40 Jahren kehrt er nach Samos zurück. 530 v.Chr. wandert er nach Kroton an
die Ostküste Kalabriens aus. Begründet wird dieser Schritt auf folgende Weise:
Pythagoras ist Anhänger der Orphiker, einer zu dieser Zeit neuen religiösen
Bewegung, die die Seele des Menschen in den Vordergrund stellt und im
Gegensatz zu traditionellen Religionen das Jenseits und nicht das Diesseits zum
Lebensmotiv macht. Dies macht ihn zum Außenseiter in der diesseits
orientierten ionischen Welt.
,,Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe
der
Kathetenquadrate
gleich
dem
Hypotenusenquadrat."
c² = a² + b²
Diese Worte, auch als Satz des Pythagoras bekannt, werden dem
Lebenswerk des Pythagoras von Samos oftmals gleichgesetzt. Wie aber
folgende Zitate erkennen lassen, war dieser Mensch noch viel mehr. ,,Er ist einer
der bedeutendsten Menschen" - Bertrand Russel ,,Er ist der Anführer der
Schwindler" - Heraklid ,,Der weise Pictagoras, der ein astronomierre was" 84
Wolfram von Eschenbach Ludwig Börne über ihn: ,,Als er den Satz gefunden
hatte, soll er den Göttern hundert Ochsen geopfert haben. Seitdem zittern alle
Ochsen, sooft eine neue Wahrheit entdeckt wird." Über sich selbst sagt
Pythagoras von Samos, er sei ein Sonderwesen zwischen Mensch und Gott.
Diese Aussage verdeutlicht zugleich die Unklarheit, die seiner Person zugrunde
liegt.
Die Pythagorasüberlieferung ist nicht ganz zuverlässig: Was ist Legende
und welcher Anteil entspricht der Wahrheit? Er lehrt zunächst die Elemente des
anständigen Lebens, darunter die Achtung vor den Eltern, die Absage an die
Trägheit und das Streben nach Geistesbildung und Gerechtigkeit. Er gründet
eine Schule, die eher einer religiösen Lebensgemeinschaft gleicht. Unter seinen
Schülern gilt er als der Göttliche, denn sie wagen es nicht seinen Namen
auszusprechen. ,,Die reine Wahrheit sei nur ihm zugänglich" so Pythagoras. Die
Folge ist, dass eine Vielzahl von mysteriösen Geschichten über Pythagoras
erzählt werden.
Wörter zum Text
der Anhänger, -s, der Außenseiter, -s, das Lebenswerk
gleichsetzen
der Schwindler
die Überlieferung
zuverlässig
anständig
die Absage
die Trägheit
wagen
zugänglich
mysteriös
послідовник
аутсайдер (людина, яка не має шансів на успіх,
але перемагає)
справа всього життя
прирівнювати
обманщик, шарлатан, аферист
перекази, традиції, звичаї
надійний, вірний, достовірний
пристойний, порядний
відмова
інертність, інерція
насмілюватися, відважуватися
доступний
загадковий, таємничий
c) Lesen Sie aufmerksam den Text. Schreiben Sie den Plan und die
Zusammenfassung zu diesem Text.
Diskrete Mathematik
Die diskrete Mathematik als Zweig der Mathematik befasst sich mit
mathematischen Strukturen, die endlich oder abzählbar sind. Im Gegensatz zu
anderen Gebieten wie der Analysis, die sich mit kontinuierlichen Strukturen
beschäftigt, werden in der diskreten Mathematik Begriffe wie Stetigkeit nicht
gebraucht. Anschaulich kann man sich den Begriff diskret als eckig
verdeutlichen. Die diskrete Mathematik ist ein recht junges Gebiet. Ein
wesentlicher Faktor in ihrer Entwicklung war das Aufkommen des binär
85
rechnenden Computers, der systembedingt mit diskreten Zuständen arbeitet.
Mangels Alternativen waren die Mathematiker gezwungen, Gebiete, die bisher
rein stetig behandelt worden waren, auf zugrundeliegende diskrete Mengen zu
überführen, um die Korrektheit umfangreicher maschineller Berechnungen
abzusichern, die durch Menschen nicht mehr zu tätigen sind. Dabei sind vor
allen Dingen die Bemühungen auf dem Gebiet der numerischen Mathematik zu
würdigen, die der Beseitigung von Rundungsfehlern dienen, die durch die
Diskretisierung hervorgerufen werden.
Als ein Beispiel für die Auswirkung solcher Fehler kann die Simulation
eines physikalischen Pendels dienen. Wird die Auslenkung des Pendels auf
herkömmliche Weise berechnet, so kann man beobachten, wie das Pendel in der
Simulation immer stärker ausschwingt, was einem Perpetuum Mobile
entspräche.
Zu den Kerngebieten der diskreten Mathematik zählen:
▪ Mathematische Logik ▪ Graphentheorie
▪ Relationen
▪ Zahlentheorie
▪ Funktionen
▪ Kodierungstheorie
▪ Kombinatorik
▪ Kryptografie
Darüber hinaus hat die diskrete Mathematik in folgenden Gebieten
zusätzliche Beiträge geliefert:
♦ Weitere Beiträge der Numerik zur Verbesserung des diskreten Rechnens
lassen sich auf den Gebieten der linearen und diskreten Optimierung finden.
♦ Die diskrete Mathematik hat viele Berührungspunkte mit der Algebra und
der Zahlentheorie,
♦ und auch mit der Logik.
♦ In der Geometrie gibt es das Teilgebiet der diskreten Geometrie.
In der Berechenbarkeitstheorie, die ein Teilgebiet der theoretischen
Informatik ist, benötigt man endliche Automaten, die in der diskreten
Mathematik untersucht werden.
Wörter zum Text
abzählbar
kontinuierlich
die Stetigkeit
anschaulich
diskret
eckig
das Aufkommen, -s
mangels
zwingen, a,u
behandeln
überführen
würdigen
лічильний, рахунковий (злічений)
безперервний
постійність
образний, наочний
тактичний, скромний, стриманий
кутовий
поступлення, доходи
за браком, за відсутністю
змушувати, примушувати
поводитися; обмірковувати, пояснювати
вводити (у виробництво), перетворювати
переводити
цінувати, оцінювати, віддавати належне
86
die Beseitigung, -, -en
der Rundungsfehler
das Pendel, -s
die Auswirkung, -, -en
herkömmlich
die Auslenkung, -, -en
ausschwingen
усунення, ліквідація
помилка округлення
маятник
дія, вплив, результат
звичайний, традиційний
відхилення
зупинятись, перестати коливатись
(про маятник)
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Pythagoras und die Pythagoreer
(um 580 vor Chr. − um 500 v.Chr.)
Griechischer Philosoph, wuchs in Samos auf, machte Reisen nach
Phönizien, Ägypten und Babylon, die ihn mit der Überlieferung des Orients
vertraut machten, kehrte nach Samos zurück, wanderte um 529 nach
Kroton/Süditalien aus und gründete dort einen Orden, den sogenannten
pythagoreischen Bund, dessen Mitglieder insbesondere auf eine bestimmte
genau festgelegte, asketische Lebensweise verpflichtet wurden und deren
wissenschaftliche Aufgabe die mathematisch-astronomische Erforschung des
Kosmos war. Anscheinend aufgrund feindseliger Haltung der Bevölkerung ging
er um 509 nach Metapont und starb dort. Die Pythagoreer machten sich
einerseits dadurch unbeliebt, dass sie sich gegen Nichtmitglieder abschlossen,
andererseits "wollte man das Gemeinwesen von Pythagoreern verwaltet sehen".
Unruhen in Kroton um 509 blieben auf diese Stadt beschränkt und dauerten
nicht lange. Die Pythagoreer behielten politischen Einfluss, mißbrauchten aber
anscheinend gelegentlich ihre Macht, z.B. verlosten sie nach der Eroberung von
Sybaris das gewonnene Land nicht wie üblich. Es kamen Bestrebungen auf, die
Oligarchie durch eine demokratische Verfassung zu ersetzen. "Damals setzten
sich sogar aus dem Rat der Tausend Hippasos, Diodoros und Theages für die
Zulassung aller Bürger zu den Staatsämtern und zur Volksversammlung ein:
auch sollten die Amtspersonen vor durch das Los bestimmten Vertretern der
Gesamtheit Rechenschaft abzulegen haben. Die Pythagoreer Alkimachos,
Deinarchos, Meton und Demokedes widersetzten sich dem Plan und suchten die
Zerstörung der ererbten Verfassung zu verhindern. [...] Die Gegner der
Pythagoreer gingen so weit, dass sie, als die Pythagoreer zu Kroton in Milons
Haus zusammen saßen und politische Fragen berieten, das Haus anzündeten.
Alle fanden den Flammentod, bis auf zwei: Archippos und Lysis. Sie waren die
Jüngsten und Kräftigsten und konnten sich irgendwie ins Freie durchschlagen."
(Iamblichos). Nach anderen Quellen waren das Archippos und Philolaos oder
Philolaos und Lysis. Diese Unruhen fanden etwa 445 statt. In den antiken
Nachrichten werden die beiden Aufstände gegen die Pythagoreer (509 und 445)
nicht deutlich auseinandergehalten. Mit der geschilderten Katastrophe war
hingegen der Orden der Pythagoreer als solcher ausgelöscht. Es gab jedoch
87
weiterhin einzelne Anhänger der Lehre des Pythagoras. Der pythagoreische
Lehrsatz wird Pythagoras wahrscheinlich zu Unrecht zugeschrieben. Originale
Werke von Pythagoras oder den Pythagoreern sind allerdings nicht erhalten.
Über die historischen Geschehnisse wissen wir besonders durch Aristoteles und
Iamblichos (ca. 250-330 n.Chr., Schüler von Porhyrios, Neuplatoniker, schrieb
eine Art Enzyklopädie der Pythagoreischen Lehre).
Wörter zum Text
sich mit etwas (Dat.) vertraut machen
die Überlieferung
аnscheinend
feindselig
die Haltung
abschließen,o,o
das Gemeinwesen
verwalten
gelegentlich
mißbrauchen
ознайомитись з чимось
традиції, звичаї
очевидно, мабуть, певно
ворожий, недоброзичливий
позиція
усамітнитися, замикатися в собі
колектив, комуна, товариство
керувати, володіти
при можливості, при нагоді
зловживати
LINEARE ALGEBRA
Die Lineare Algebra (auch Vektoralgebra) ist ein Teilgebiet der
Mathematik, das sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen
diesen beschäftigt. Dies schließt insbesondere auch die Betrachtung von linearen
Gleichungssystemen und Matrizen mit ein. Vektorräume und deren lineare
Abbildungen sind ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik.
Außerhalb der reinen Mathematik finden sich Anwendungen u. a. in den
Naturwissenschaften und in der Wirtschaftswissenschaft (z. B. in der
Optimierung). Die lineare Algebra entstand aus zwei konkreten Anforderungen
heraus: einerseits dem Lösen von linearen Gleichungssystemen, andererseits der
rechnerischen Beschreibung geometrischer Objekte, der so genannten
analytischen Geometrie (daher bezeichnen manche Autoren Lineare Algebra als
Lineare Geometrie).
Geschichte
Die Geschichte der modernen linearen Algebra reicht zurück bis in die
Jahre 1843 und 1844. 1843 erdachte William Rowan Hamilton (von dem der
Begriff Vektor stammt) mit den Quaternionen eine Erweiterung der komplexen
Zahlen. 1844 veröffentlichte Hermann Grassmann sein Buch Die lineale
Ausdehnungslehre. Arthur Cayley führte dann 1857 mit den 2×2-Matrizen eine
der grundlegendsten algebraischen Ideen ein.
Wörter zum Text
die Optimierung
оптимальне програмування
88
Übungen
I. a) Übersetzen Sie folgende Sätze, beachten Sie dabei die Bildung von Präsens
Passiv.
1. Die Lehre von der Auflösung der Gleichungen wird als Algebra bezeichnet.
2. Die natürlichen Logarithmen werden häufig praktisch verwendet.
3. Dieses Problem wird mit Hilfe der neuen Theorien gelöst.
4. Bei der Lüsung dieser Aufgabe werden die Begriffe der Menge gebraucht.
5. Die Eigenschaften der Funktion werden in der Trigonometrie betrachtet.
6. Der Abstand zwischen zwei Punkten wird oft durch Koordinaten gemessen.
7. Algebra wird mannigfach in der Analysis, Geometrie und Physik angewandt.
8. Die Funktion wird oft durch ein Diagramm dargestellt.
9. Unter einem Axiom wird ein mathematischer Grundsatz verstanden.
10. Die Menge wird als eine Einheit der Elemente aufgefasst.
11. Die Lehre von den Zahlen wird in der Buchstabenrechnung verallgemeinert.
12. Dieses Gesetz wird leicht von den Studenten bewiesen.
b) Schreiben Sie folgende Sätze in Präsens Passiv.
1. Die Studenten lösen eine algebraische Gleichung.
2. Man bezeichnet die unbekannten Größen mit x,y,z.
3. Viele Aufgaben der Mathematik löst man mit Hilfe der Rechenmaschinen.
4. Man verwendet die natürlichen Logarithmen in allen Bereichen der
Mathematik.
5. Die Geometrie teilt man in die Planimetrie und Stereometrie ein.
6. Die Kardinalzahlen bekommt man aus dem Vergleich der Mengen.
7. Das Parallelogramm mit gleichen Seiten nennt man Rhombus.
8. Die Studenten heben diese Zahl in die dritte Potenz.
9. Gegenwärtig führt man viele neue Begriffe in die Mathematik ein.
10. Man drückt die Zahlen durch neue Symbole aus.
11. Eine Gerade bestimmt man eindeutig durch zwei Punkte.
12. Man verbindet diesen Lehrsatz mit dem Namen von Pythagoras.
c) Zerlegen Sie die folgenden Zusammensetzungen in ihre Bestandteile;
bestimmen Sie, welche Bestandteile als erste Komponenten erscheinen.
der Treppeneffekt
die Kurvendarstellung
systembedingt
das Kerngebiet
der Rundungsfehler
zugrundeliegen
die Zahlentheorie
der Berührungspunkt
umfangreich
das Teilgebiet
die Berechenbarkeitstheorie untersuchen
die Naturwissenschaft der Abstraktionsschritt
außerhalb
das Gleichungssystem die Zusammenfassung
grundlegend
die Fragestellung
die Ausdehnungslehre
beispielsweise
der Zusammenhang
die Hauptinformation
alltäglich
die Integralrechnung
die Näherungsformel
gleichzeitig
89
II. a) Lesen Sie die lustige Arithmetik.*
Aus sieben Ziffern
Schreiben Sie aufeinanderfolgende Ziffern von 1 bis 7 auf : 1 2 3 4 5
6 7 Es ist ganz leicht, sie mit Plus- und Minuszeichen so zu verbinden, dass
40 herauskommt: 12 + 34 – 5 + 6 – 7 = 40. Probieren Sie eine andere
Kombination dieser Ziffern, welche nicht 40, sondern 55 ergibt.
b) Lesen Sie den Text und beantworten Sie folgende Fragen.
1. Was ist Algebra?
2. Was betrachtet die klassische Algebra als ihre Aufgabe?
3. Wie kann man die moderne Algebra bezeichnen?
4. Was versteht man unter linearer Algebra?
III. Lesen Sie den Text und versuchen Sie ihn ohne Wörterbuch zu verstehen.
Algebra
Algebra ist ein Teil der Mathematik, eine der ältesten mathematischen
Disziplinen. Die klassische Algebra betrachtete die Auflösung von Gleichungen
als ihre Grundaufgabe. Im Laufe der Zeit rückten neben der praktischen
Bestimmung der unbekannten Größen die Fragen nach der Entwicklung
allgemeiner formaler Lösungsmethoden in den Vordergrund. Dabei werden neue
Begriffe wie Determinante, Matrix, Gruppe, Ring, Körper in Algebra eingeführt.
Auf Grund dieser Begriffe entwickelten sich neue umfangreiche Theorien. Sie
bilden den Inhalt der modernen Richtung der Algebra, die sich erst im XX.
Jahrhundert endgültig herausbildete. Die moderne Algebra kann man als Lehre
von den formalen Rechenoperationen betrachten. Sie beschäftigt sich mit
Gesamtheiten von Elementen,
Vektoren,
Funktionen,
Permutationen,
Polynomen, in denen algebraische Operationen definiert sind. Die Methoden
der modernen Algebra durchdringen heute viele Gebiete der Analysis und der
Geometrie. Sie werden auch in der Physik und anderen Naturwissenschaften mit
Erfolg angewandt. Unter linearer Algebra versteht man ein Teilgebiet der
Algebra, das die Theorie der linearen Gleichungen, die Determinanten-, und
Matrizentheorie, die Theorie der Vektorräume und der linearen Transformationen
umfasst. Die Bedeutung der modernen Algebra geht weit über den Rahmen der
Theorie der Gleichungen hinaus.
Wörter zum Text
rücken
umfangreich
die Richtung
endgültig
die Permutation
das Polynom,-s,-e
просуватись, продвигатись
неосяжний, великий
напрямок
остаточно
перестановка
багаточлен
90
IV. Ergänzen Sie folgende Sätze.
1. Die klassische Algebra betrachtet … .
2. Die neuen umfangreichen Theorien bilden … .
3. Die Methoden der modernen Algebra durchdringen … .
4. Die Algebra verwendet man … .
5. Unter linearer Algebra versteht man … .
6. Die lineare Algebra umfasst … .
V. Übersetzen Sie folgende Sätze, beachten Sie dabei den Gebrauch von
Präteritum Passiv.
1. Die Entwicklung der Mathematik wurde von den praktischen Bedürfnissen
der Menschheit angeregt.
2. Im 17. Jahrhundert wurde die mathematische Analysis entwickelt.
3. Der Aufgabenbereich der Mathematik wurde im Laufe von 200 Jahren
bedeutend erweitert.
4. Die Grundlagen der Mathematik wurden durch Abstraktion aus der
Wirklichkeit gewonnen.
5. Ein System der Folgerungen wurde von Hilbert untersucht.
6.Die Methoden der Infinitesimalrechnung wurden von den großen
Mathematikern Leibniz und Newton ausgearbeitet.
7. Der Satz vom Quadrat der Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks wurde von
Euklid bei der Konstruktion des Quadrates benutzt.
8. Die Grundlagenforschung wurde im 19. Jahrhundert ausgearbeitet.
VI. Schreiben Sie folgende Sätze in Präteritum Passiv.
1. Der Programmierer installierte selbst den Computer.
2. Alle Hörer lasen dieses Buch.
3. Der Arzt untersuchte heute einen schwerkranken Patienten.
4. Wann haben dich deine Freunde zum letzten Mal besucht?
5. Der Verkäufer empfahl ganz moderne Sachen.
6. Der Direktor entließ viele Arbeiter.
7. Der Student schrieb den Brief.
8. Das Mädchen bestellte die Bücher in der Bibliothek.
IV.
D
1
2
1
ABC Kombi
C
1
0
2
B
1
1
0
D
C
B
A
1
1
1
1
0
1
2
0
2
1
1
2
0
1
1
1
1
1
1
Schreiben Sie in alle Felder des Diagramms
einen Buchstaben von »A« bis »MAX«.
Die Zahlen links und oberhalb des
Diagramms geben an, wie oft die einzelnen
Buchstaben in der jeweiligen Zeile bzw. Spalte
vorkommen.
Waagerecht
oder
senkrecht
benachbarte Felder dürfen nicht den gleichen
Buchstaben enthalten.
91
V. a) Lesen Sie ein Zitat über Mathematik
Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit
beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind,
beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit. Mathematische
Theorien über die Wirklichkeit sind immer ungesichert - wenn sie
gesichert sind, handelt es sich nicht um die Wirklichkeit.
Albert Einstein
b) und einen Wissenschaftlerwitz.
Ein Mathematiker, ein Physiker, ein Ingenieur und ein Lehrling sollen
1+1
ausrechnen.
Der Lehrling zählt an seinen Fingern ab: Ein Finger und noch ein Finger
macht zwei Finger, also ist 1+1=2. Der Ingenieur zieht einen Taschenrechner
aus seiner Brusttasche und gibt ein 1 + 1 = und erhält 2, also ist 1+1=2. Der
Physiker setzt sich hin, nimmt ein Blatt Papier, rechnet ein wenig und kommt
zu dem Ergebnis 1,9 +/- 10%. Der Mathematiker verzieht sich in sein
Kämmerchen und kommt nach ein paar Tagen zurück, wobei er stolz
verkündet, dass das Problem nicht lösbar ist.
LOGIK
Unter Logik (griech. λογική [τέχνη] „die denkende [Kunst,
Vorgehensweise]“) wird heute im Allgemeinen eine Theorie verstanden, die sich
mit den Normen des korrekten (Schluss-)Folgerns beschäftigt. Die Logik
untersucht die Gültigkeit von Argumenten hinsichtlich ihrer Struktur und
abstrahiert dabei vom konkreten Inhalt der in den Schlüssen verwendeten
Aussagen. In diesem Sinne spricht man auch von "formaler" Logik.
Die Logik ist sowohl ein Teilgebiet der Philosophie als auch der
Mathematik und der Informatik. Seit dem 20. Jahrhundert versteht man unter
Logik überwiegend symbolische Logik. Diese baut auf einer künstlichen
Sprache auf und verwendet streng definierte Schlussregeln. Ein einfaches
Beispiel für ein solches formales System ist die Aussagenlogik. Die symbolische
Logik nennt man auch mathematische oder formale Logik, dabei wird "formal"
aber in einem anderen, engeren Sinne gebraucht als oben. Die Logik hatte nicht
immer eine in diesem Sinne formale Struktur, sondern befasste sich in der
Antike und im Mittelalter überwiegend mit natürlichsprachlichen Argumenten.
92
Wörter zum Text
правильний, корректний
висновок, заключення
законність, дійсність, сила
korrekt
(Schluss-)Folgern
die Gültigkeit
Verschiedene Bedeutungen von „Logik“
In der Geschichte der Philosophie ist die oben dargestellte
Verwendungsweise des Ausdrucks „Logik“ erst seit Beginn des 20. Jahrhunderts
üblich, obwohl dieser Begriff bereits von dem antiken Stoiker Zenon von Kition
geprägt worden war. Zuvor wurde der Ausdruck vielfach (etwa bei Immanuel
Kant oder Georg Wilhelm Friedrich Hegel) sehr viel weiter im Sinne einer
Erkenntnistheorie, Ontologie oder einer allgemeinen Dialektik verwendet. Die
Logik im modernen Sinne wurde auf der anderen Seite häufig anders bezeichnet,
etwa als Analytik, Dialektik oder Logistik. Auch heute noch sind in
verschiedenen Disziplinen Wendungen wie Logik der Forschung, Logik der
Dichtung u.ä. verbreitet, bei denen unter „Logik“ keine Theorie des Folgerns
verstanden wird, sondern eine Lehre allgemeiner „Gesetze“ oder
Verfahrensweisen, die in einem bestimmten Bereich gelten. Insbesondere in der
Tradition der Philosophie der normalen Sprache wurde unter einer „logischen“
Analyse vielfach eine Analyse begrifflicher Zusammenhänge verstanden. In der
Umgangssprache werden Ausdrücke wie „Logik“ oder „logisches Denken“
darüber hinaus in einem sehr viel weiteren oder völlig anderen Sinne verstanden
und etwa einem „lateralen Denken“ gegenübergestellt. Ebenso gibt es den
Begriff der „Frauenlogik“, „Männerlogik“, der „Affektlogik“ und den Begriff
der „Alltagslogik“ – bekannt auch als „gesunder Menschenverstand“ (common
sense) – in der Umgangssprache.
In diesen Bereichen bezieht sich „Logik“ oft auf Formen des Handelns,
der Pragmatik. Auch in gegenwärtigen Debatten ist weithin unbestritten, dass
die Theorie des korrekten Folgerns den Kern der Logik ausmacht; umstritten ist
jedoch, welche Theorien genau noch zur Logik zu rechnen sind und welche
nicht. Strittige Fälle sind etwa die Mengentheorie, die Argumentationstheorie
und die Sprechakttheorie.
Wörter zum Text
zuvor
die Wendung
begrifflich
lateral
das Handeln,-s
перш за все, до цього часу
вираження
абстрактний
латеральний, бічний
поступок, дія
93
Übungen
I. a) Lesen Sie den Text und versuchen Sie ihn ohne Wörterbuch
verstehen.
zu
Geschichte der Logik
Antike
Als Begründer der Logik gilt der antike griechische Philosoph Aristoteles.
Besonders zu nennen ist seine in der 1. Analytik ausgearbeitete Syllogistik, ein
formales logisches System, in dem Argumente starrer Struktur, Syllogismen
genannt, untersucht werden. Die Aussagen, die innerhalb von Syllogismen
auftreten, setzen Begriffe zueinander in Beziehung (z. B. „Alles S ist P“, d. h.
alles, was unter den Begriff S fällt, fällt auch unter den Begriff P). Logische
Systeme, in deren Aussagen Begriffe zueinander in Beziehung gesetzt werden,
heißen Begriffslogiken. Gleichfalls auf Aristoteles zurück geht die (allerdings
nicht in seiner Analytik, sondern in seiner Metaphysik entwickelte) Lehre von
einigen fundamentalen Grundsätzen menschlichen Denkens. Hierzu zählen etwa
der Satz vom Widerspruch und der Satz vom ausgeschlossenen Dritten. In
verschiedenen anderen Werken hat sich Aristoteles zudem mit zentralen 1
Termini wie Urteil und Begriff und mit allgemeinen Regeln des Beweisens und
des Widerlegens beschäftigt. Durch Arbeiten von Łukasiewicz ab 1923 und
Mates ab 1949 weiß man, dass schon die Stoa eine voll ausgearbeitete
Junktorenlogik hatte. Wegen der großen Autorität, die Aristoteles genoß,
beachtete man die stoische Logik bis ins zwanzigste Jahrhundert nicht oder
verstand sie zumindest nicht, weil man sie mit der Syllogistik nicht in Deckung
bringen konnte.
Wörter zum Text
starr
(D.) in Beziehung setzen
gleichfalls
der Widerspruch,-es,-e
das Urteil,-es,-e
das Widerlegen
die Stoa
in Deckung bringen
нерухомий, сталий
установлювати зв'язок чогось з чимось
так само
протиріччя
судження
спростування, заперечення
стоїцизм
збігатися, прикривати
II. a) Wählen Sie passende Verben zu den folgenden Substantiven.
Muster :
der Luftballon ⇨ den Luftballon schaffen
die Wissenschaft ⇨
die Bedeutung ⇨
die Entdeckung ⇨
94
die Beobachtung ⇨
die Erscheinung ⇨
b) Ergänzen Sie die Tabelle.
Infinitiv
gehen
Präteritum
Partizip II
schlief
gegeben
entdecken
erfand
geschaffen
fliegen
konstruierte
beobachtet
erleben
führte
gefunden
beschreiben
war
entstanden
c) Ersetzen Sie die unterstrichenen Wörter durch unten gegebene Synonyme.
1. Die ersten literarischen Zeugnisse über Fragen der Logik findet man noch vor
unserer Zeitrechnung.
2. Der Schöpfer der Logik als Wissenschaft war Aristoteles.
3. Die Ursache für den großen Aufschwung der Logik ist nicht allen bekannt.
4. Die moderne Logik bezeichnet man als mathematische Logik.
5. Die dialektische Logik basiert auf der dialektischen Einheit von Logik,
Dialektik und Erkenntnistheorie.
der Begründer der Grund die Schriften nennen sich finden beruhen auf (Dat.)
III. a) Bilden Sie Sätze aus folgendem Wortmaterial.
▫ Die Logik, das Mittelalter, eine weitere bedeutende Epoche, ist, für.
▫ Im, Universitätsbetrieb, hat, ihren, in der sogenannten „Artistenfakultät“
mittelalterlichen, die Logik, Platz.
▫ Als, insbesondere, werden: Petrus Abaelardus, und, bedeutende, Johannes
Buridan, können, mittelalterliche, Wilhelm von Ockham, Logiker, genannt.
b) Nennen Sie die Grundformen von folgenden Verben.
dienen
untersuchen werden
sich orientieren
zeigen
feststellen
bringen
verwenden
stellen
beweisen
formulieren präsentieren
finden
aufnehmen entstehen
veröffentlichen
95
leisten
führen
bestimmen
reduzieren
datieren
eröffnen
sich entwickeln
systematisieren
c) Ordnen Sie folgende Substantive nach dem Geschlecht in drei Gruppen.
Neuzeit
Interesse
Ansicht
System
Logik
Syllogistik
Behandlung
Vermittlung
Lehrbuchwissen
Hauptwerk
Beachtung
Gegenstandsbereich
Operation
Klassensymbol
Mathematik
Form
Multiplikation
Addition
Stufe
Zahlentheorie
Logiker
Erfolg
Computertechnik
Axiomatisierung
Gegensatz
Widerspruch
Forschung
Jahrhundert
Durchbruch
Zeitgenosse
IV. a) Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
Ein Physikstudent, ein Mathematikstudent und ein Medizinstudent
bekommen von ihren Professoren jeweils ein Telephonbuch vorgelegt.
Der Physikstudent: "Ich kann aus diesen Messergebnissen nicht auf den
Versuch schließen und damit ist das Ergebnis zu ungenau und wertlos!"
Der Mathematikstudent: "Diese Nummern lassen sich nicht als
mathematische Reihe zusammenfassen, damit sind sie per Definition
Definitionen und ohne Zusammenhang sind diese Definitionen wertlos"
Der Medizinstudent schaut den Professor nur müde an und fragt : "Bis
wann ?"
b) und ein Zitat über Mathematik.
Die Mathematik
ist das Alphabet, mit
dem Gott die Welt
geschrieben hat.
Galileo Galilei
V.
Arukone
Verbinden Sie je zwei Felder mit der gleichen Zahl
durch einen Linienzug. Die Linien eines Linienzuges
verlaufen waagerecht oder senkrecht durch die
Mittelpunkte der Felder; durch jedes Feld muss genau ein
Linienzug führen.
96
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Sophia Kowalewskaja
(1850 – 1891)
Sophia Kowalewska - auch Kovalevskaja - ist eine der wenigen
Mathematikerinnen, die in dieser scheinbar männerdominierten Wissenschaft
häufiger erwähnt wird. Ihr Vater – Artellerieoffizier - und ihre Mutter, die als
Tochter aus einer Gelehrtenfamilie wissenschaftlich gebildet, erkannten schon
recht früh das mathematische Talent ihrer Tochter und ließen sie privat
entsprechend unterrichten. Da sie in Russland nicht studieren durfte, nahm sie
ein Jahr nach ihrer Hochzeit –1868 – ein Studium der Mathematik in Heidelberg
auf. Nach drei Semestern ging sie nach Berlin, wo sie die berühmteste Schülerin
von Weierstrass wurde. 1874 promovierte sie mit summa cum laude und war
damit die erste promovierte Mathematikerin der Welt.
In Russland bekam sie keine Anstellung und so ging sie nach
Kopenhagen. 1888 bekam den Prix Bordin der Französischen Akademie der
Wissenschaften. Dies machte sie noch zu Lebzeiten berühmt, hatte sie doch ein
Problem gelöst, welches schon Euler, Lagrange, Poisson und Jacobi in den Bann
gezogen hatte. Es geht um die Rotation eines festen Körpers um einen festen
Punkt, ein Problem, dass noch heute in der theoretischen Physik eine wichtige
Rolle spielt. Sie war - wie ihre Schwester - auch schriftstellerisch tätig.
Wörter zum Text
aufnehmen ,a, o
die Anstellung
in den Bann ziehen
die Rotation
починати
посада, місце роботи
приводити до вигнання
обертання
POTENZRECHNUNG
Durch die Addition gleicher Summanden wurde eine neue Rechenart
definiert: die Multiplikation. a + a + a ….. + a =n ° a
Für die Multiplikation gleicher Faktoren wird eine Abkürzung eingeführt:
die Potenzrechnung. Unter der Potenz an (lies a hoch n, n-te Potenz von a)
versteht man das Produkt von n gleichen Faktoren a. Man nennt hierbei a die
Grundzahl oder die Basis, n - die Hochzahl oder den Exponenten und b - die
Potenz oder den Potenzwert. Der Rechenvorgang wird Potenzieren genannt, es
ist ein mehrfaches Multiplizieren mit derselben Größe. Die Potenzrechnung
gehört zu den Rechenarten dritter Stufe. Die Grundzahl a darf jeden beliebigen
Wert annehmen. Dagegen muss die Hochzahl n auf Grund der Definition der
Potenz immer eine natürliche Zahl 1 sein.
Grund- und Hochzahl einer Potenz sind im Allgemeinen nicht miteinander
97
vertauschbar: aⁿ  na. Für die Potenzrechnung gilt demnach nicht das
Kommutativgesetz.
Für die Potenzrechnung gelten folgende Gesetze:
 Potenzen können nur dann addiert (subtrahiert) werden, wenn sie sowohl in
ihren Grundzahlen als auch in ihren Hochzahlen übereinstimmen: 34 + 24 = 81 +
16 = 97.
 Potenzen mit gleichen Hochzahlen können dadurch multipliziert
werden,
dass
n
n
man das Produkt der Grundzahlen mit der Hochzahl potenziert: a • b = (a • b)n
 Potenzen mit gleichen Hochzahlen können dividiert werden, wenn
man den Quotienten der Grundzahlen mit der gemeinsamen Hochzahl potenziert:
a n/ bn = (a/b)n für b  0.
Wörter zum Text
die Grundzahl
die Hochzahl
die Potenz
der Rechenvorgang
annehmen,a,o
übereinstimmen
основне число
показник степені
степінь
процес обчислення
приймати
співпадати
Übungen
I. a) Schreiben Sie aus dem Text Fachbegriffe und Wortgruppen heraus, die
die Grundinformation des Textes enthalten.
b) Stellen Sie den Plan zum Text zusammen.
c) Drücken Sie die Hauptinformation des Textes aus.
d) Beantworten Sie folgende Fragen.
1.
2.
3.
4.
Was versteht man unter der Potenz?
Zu welcher Stufe der Rechenarten gehört die Potenzrechnung?
Welche Gesetze gelten für die Potenzrechnung?
Wie heißt die erste Umkehrung des Potenzierens?
e) Verwenden Sie das Imperfekt der angegebenen Verben.
1. Potenzen und Wurzeln …… den Menschen schon in der Antike bekannt
(sein).
2. Die Babylonier …. Die Aufgaben mit Hilfe der Zweierpotenzen (lösen).
3. Hippokrates …. zum ersten Mal den Begriff Potenz (formulieren).
4. Platon … auch diesen Begriff in seinen Arbeiten (verwenden).
5. Rafaelle Bombelli aus Bologna (16.Jh.) … als erster das Wort „potenza“
(einführen).
6. Auch er … damit das Quadrat der Unbekannten (bezeichnen).
98
7. Erst später … der Begriff „Potenz“ seine heutige allgemeine Bedeutung
(erhalten).
8. Die jetzige Schreibweise der Potenz … im wesentlichen auf den Franzosen
Rene Descartes (zurückgehen).
9. Das Quadrat einer Zahl … er noch a • a (schreiben).
10. Potenzen mit gebrochenen Exponenten … auch seit längerer Zeit bekannt
(sein).
11. Schon bei dem Franzosen Nicole Oresme … man einige Sätze über das
Rechnen mit Bruchpotenzen (finden).
f) Verwandeln Sie die Sätze ins Präsens.
1. Es gab gerade und ungerade Potenzen.
2. Eine Potenz war gerade, wenn ihr Exponent durch zwei teilbar war.
3. Eine Potenz mit negativer Basis hatte einen positiven Wert bei geraden
Exponenten.
4. Im alltäglichen Leben verwendete man meist nur Quadrat- und Kubikwurzeln.
g) Übersetzen Sie ins Muttersprache.
a) Berechnen Sie die Summe folgender Zahlen: 15, 157, 3791.
Beim Quadrieren wird ein Produkt berechnet, das aus zwei gleichen Zahlen
besteht.
Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich in Faktoren zerlegen.
Wenn man die Teilbarkeitsregeln beherrscht, so ist es leicht eine ganze
Zahl in Faktoren zu zerlegen.
Wenn man 7 in die dritte Potenz erhebt, erhält man die Zahl 343.
b) Potenzen mit gleicher Hochzahl werden multipliziert, indem das Produkt
der Grundzahlen mit der Hochzahl potenziert wird.
Die Wurzel wird aus einem Quotienten gezogen, indem aus Zähler und
Nenner die Wurzeln gezogen werden.
Ein Bruch wird potenziert, indem Zähler und Nenner einzeln potenziert
werden.
Ein Produkt wird radiziert, indem die einzelnen Faktoren radiziert werden.
II.
a)
Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
Irren ist menschlich.
Aber für ein richtiges Chaos braucht man einen Computer.
b) und ein Zitat über Mathematik.
Der Mathematiker ist ein Mensch, der einen ihm vorgetragenen
Gedanken nicht nur sofort begreift, sondern auch erkennt, auf welchem
Denkfehler er beruht.
Helmar Nahr, dt. Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler
99
c) Diese Übung enthält verschiedene Aufgabentypen zum Rechnen mit
Potenzen. *
Schreibe als Potenz
Schreibe mit einer Potenz
Aufgabenstellung Lösung(en)
5.5.5.5.5.5
?
3.3.3.3.3.3.3
.
3
?
7
?
8
?
16
?
Basis, Exponent, Potenz:
Fülle die folgende Tabelle aus
Basis Exponent
Aufgabenstellung Lösung(en)
62 + 82
?
72 + 242
?
33 + 43 + 53
?
24 - 42 + 59
?
6 . 74 - 4 . 74
?
12 . 69 - 8 . 69 + 2 .
69
?
7 . 24 + 24
?
Wert
der Potenz
Rechne aus
Aufgabenstellung Lösung(en)
2
7
?
?
6
4096
34
?
8
?
64
43
?
?
5
243
83
?
11
?
1331
210
?
16
5
?
55
?
?
4
625
73
?
51
?
2601
292
?
36
?
46656
136
?
12
4
?
361
?
?
3
512
10002
?
6
7
?
42
?
83
?
253
?
100
IV.
Kakuro
Kakuro
sind
ähnliche
wie
Kreuzworträtsel, nur dass Ziffern (1 bis 9)
statt Buchstaben (A bis Z) in die
Kästchen einzutragen sind und dass
anstelle
der
Wortdefinitionen
die
Ziffernsummen angegeben sind.
Eine Ziffer kommt in einer
Ziffernsumme nicht mehrfach vor.
V. Nennen Sie die ukrainischen Äquivalente für folgende Fachbegriffe.
potenzieren
das Potenzieren
die Potenz
zur Potenz erheben
die Potenzreihe
der Potenzexponent die Potenzfunktion die Potenzformel
die Potenzhebung das Potenzvorzeichen die Potenzrechnung der Potenzwert
endliche Potenz
gebrochene Potenz gerade Potenz
ungerade Potenz
VI. Erzählen Sie den Text nach.
René Descartes
(31. 3. 1596 - 11. 2. 1650)
Nach dem Besuch der Jesuitenschule in La Flèche (1606-14) zog
Descartes – meist in militärischen Diensten Nassaus und Bayerns — bis 1629
durch ganz Europa und ließ sich dann in Holland nieder, um in Ruhe seinen
erkenntnistheoretischen und naturwissenschaftlichen Arbeiten und Forschungen
nachgehen zu können. Hier entstanden die bedeutenden Schriften des »Vaters
der neuzeitlichen Philosophie«, der im Gegensatz zu den Scholastikern nach
einer sicheren Basis als Ausgangspunkt aller philosophischen Überlegungen
suchte. Er fand dabei mit seiner Methode des universellen Zweifelns den
Menschen, also sich selbst: „Cogito, ergo sum“ („Ich denke, also bin ich“),
lautete die einfache Begründung hierfür. Die von Gott garantierte Klarheit der
Erkenntnis der Umwelt, die Descartes in der Zwei-Substanzen-Lehre als „res
extensa“ von der Innenwelt, der „res cognita“, unterschied, ist bei ihm ein
Wahrheitskriterium, wobei er sich um das Ideal der mathematischen Exaktheit
allen Erkennens bemühte. Damit — und mit der Annahme, dass die Summe
sämtlicher sich nach mechanischen Gesetzen vollziehenden Bewegungen der
körperlichen, im geometrischen Sinne ausgedehnten Welt stets gleich sei —
leitete Descartes von der Philosophie zur Naturwissenschaft über und stellte den
ersten, noch heute gültigen Hauptsatz der Energie und die Theorie der
Korpuskularbewegungen aller Materie auf. Auch in der Mathematik wirkte
Descartes wegweisend, u.a. in der analytischen Geometrie, indem er zur Lösung
von Gleichungen mit mehreren Unbekannten die Kurven im Koordinatensystem
101
einführte. Er erklärte die Erscheinung des Regenbogens anhand wassergefüllter
Glaskugeln und wurde dadurch Mitentdecker des Brechungsgesetzes. Descartes
fasste die Ergebnisse seiner philosophischen und naturwissenschaftlichen
Arbeiten in zahlreichen Werken zusammen. So erschienen 1637 die
autobiographische Abhandlung über die Methode, 1641 die Meditationen über
die metaphysischen Grundlagen der Philosophie und 1644 die Prinzipien der
Philosophie. Gewarnt vom Schicksal Galileis, veröffentlichte er seine
mathematisch-physikalischen Erkenntnisse nur sehr zögernd oder überhaupt
nicht (darunter Die Welt, entstanden um 1625). Ebenfalls postum erschienen
1701 die Regeln zur Leitung des Geistes und die Erforschung der Wahrheit.
1649 folgte Descartes einem Ruf an den Hof der Königin Christine von
Schweden, erlag aber kurz darauf einer Lungenentzündung.
Wörter zum Text
nachgehen, i,a
sicher
die Überlegung
hierfür
die Erkenntnis
die Exaktheit
sämtlich
ausgedehnt
überleiten (zu D.)
aufstellen
wegweisend
das Brechungsgesetz
die Abhandlung
gewarnt
zögernd
postum
переслідувати, зясовувати, вивчати
безпечний
міркування, роздум
на це, для цього, за це
пізнання, свідомість
точність, пунктуальність, акуратність
все без винятку
просторий, великий
переходити
встановлювати
провідний; той,що вказує шлях
закон заломлення
стаття, праця
попереджений
нерішучий, вагаючийся
посмертно
WURZELN
Bisher haben wir genau genommen nur über Rechenregeln gesprochen.
Nun wollen wir uns zum ersten Mal einer "richtigen" mathematischen
Problemstellung zuwenden. Betrachten wir eine positive reelle Zahl. Gibt es
eine reelle Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl ist? Leichtes
Beispiel: Wir beginnen mit der Zahl 4. Gibt es eine reelle Zahl, deren Quadrat 4
ist? Es gibt sogar zwei, nämlich -2 und 2. Die positive der beiden wird als die
Wurzel (oder Quadratwurzel) aus 4 bezeichnet:
__
√ 4=2
102
Manchmal wird aus drucktechnischen Gründen der Oberstrich
weggelassen, so dass diese Beziehung dann √4 = 2 heißt. Analog ist √9 = 3, √16
= 4, √25 = 5 usw. Schwierigeres Beispiel: Gibt es eine reelle Zahl, deren
Quadrat 2 ist? Wir wollen keinen strengen mathematischen Beweis führen,
sondern eher gefühlsmäßig argumentieren: Da 12 = 1
ist, ist 1 ''zu klein'',
um als < 2 in Frage zu kommen. Erhöhen wir ein bisschen: 1.012
,
daher ist 1.01 auch zu klein. Stellen wir uns viele kleine Erhöhungsschritte vor.
Sind wir bei 1.5 angelangt, so sagt uns die Rechnung 1.52 = 2.25 >2, dass wir
bereits übers Ziel hinausgeschossen haben: Die Zahl 1.5 ist zu groß, um √2 zu
sein.
Nun stellen wir uns vor, wir beginnen bei 1 und erhöhen nicht in kleinen
Schritten, sondern kontinuierlich, bis der Wert 1.5 erreicht ist (so, als ob sich
ein Punkt auf der Zahlengeraden mit langsamer Geschwindigkeit, von 1
ausgehend, nach rechts bewegt, bis er 1.5 erreicht hat). Irgendwo, zwischen 1
und 1.5, wird das Quadrat der Zahl geich 2 sein, denn zu Beginn war es zu klein,
und am Ende ist es zu groß. Dahinter steht die Beobachtung, dass eine kleine
Veränderung einer Zahl nur eine kleine Veränderung ihres Quadrats zur Folge
hat. (Im Fachjargon heißt das, dass das Quadrieren eine stetige Operation ist).
Wir kommen als zum Schluss (der sich auch streng beweisen lässt): Es
gibt (genau) eine positive reelle Zahl, deren Quadrat 2 ist. Diese nennen wir
die Wurzel (genauer: Quadratwurzel) aus 2 und bezeichnen sie als √2. Sie
liegt irgendwo zwischen 1 und 1.5. Die Dezimaldarstellung von √2 ist 1.41421...
Wenn diese Zahl exakt angegeben werden soll, muss das Symbol √2 verwendet
werden. Es gibt keinen Grund, sie sofort durch einen Näherungswert wie 1.4142
zu ersetzen. Genau dieselbe Argumentation trifft übrigens für jede positive
reelle Zahl zu: Immer gibt es zwei Zahlen (die sich nur durch das Vorzeichen
unterscheiden), deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl ist. Die positive dieser
beiden Zahlen bezeichnen wir als Wurzel. Daher sind etwa die Wurzeln √3, √1.5
und √π wohldefinierte reelle Zahlen (deren Näherungswerte Ihnen jeder Rechner
mit "Wurzeltaste" oder Wurzelfunktion anzeigt). Die Zahl 0 ist ein Grenzfall:
Hier gibt es nur eine Zahl, deren Quadrat 0 ist, nämlich 0 selber. Folglich
schreiben wir √0 = 0. Aus negativen Zahlen kann allerdings nie die Wurzel
gezogen werden, da das Quadrat jeder reellen Zahl ≥ 0 ist. (Das gilt genau
genommen nur im Rahmen der reellen Zahlen. Es gibt einen allgemeineren
Zahlbegriff, die ''komplexen Zahlen'', der auch Wurzeln aus negativen Zahlen
zulässt. Nur in wenigen Fällen ist die Wurzel einer natürlichen Zahl wieder eine
natürliche Zahl. Es ist dies nur für die ''Quadratzahlen'' 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,
64, ... der Fall. Für alle anderen natürlichen Zahlen sieht die Lage nicht so rosig
aus, aber die Wurzeln existieren dennoch als eindeutig bestimmte reelle Zahlen.
Wörter zum Text
gefühlsmäßig
über das Ziel hinausschießen
kontinuierlich
емоційний
переходити межі, перебирати міру
безперервно
103
der Wert,es,e
das Quadrieren
exakt
ersetzen
der Grenzfall
folglich
значення, величина
піднесення до квадрата
точний
замінювати
крайній випадок
тому, отже
Übungen
I. a) Schreiben Sie aus dem Text Fachbegriffe und Wortgruppen heraus, die
die Grundinformation des Textes enthalten.
Stellen Sie den Plan zum Text zusammen.
Drücken Sie die Hauptinformation des Textes aus.
Wurzelrechnung
Radizieren ist die erste Umkehrung des Potenzieren
s. Für die beiden direkten Rechenarten erster und zweiter Stufe, die Addition
und die Multiplikation, gilt das Kommutativgesetz:
a+b=b+a
und
a*b=b*a
Aus diesem Grunde besitzt jede dieser beiden Rechenarten nur eine Umkehrung.
Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion, die Umkehrung der
Multiplikation ist die Division. Das Kommutativgesetz gilt aber nicht für die
Potenzrechnung, denn es ist
aⁿ nª. Aus diesem Grunde muss die
Potenzrechnung zwei Umkehrungen besitzen. Soll aus der Potenzgleichung aⁿ
= b bei bekannten n N und b 0 die Grundzahl a bestimmt werden, so nennt man
die zugehörige Rechenart Wurzelrechnung oder Radizieren und schreibt man a
=ⁿ b (gelesen: a ist die n-te Wurzel aus b). In a = ⁿb nennt man b den
Radikanden, n den Wurzelexponenten und a die Wurzel oder den Wurzelwert.
Die dritte Wurzel wird auch Kubikwurzel genannt: mit ihr kann aus dem
Rauminhalt die Würfelkante berechnet werden.
Wörter zum Text
das Radizieren
die Umkehrung
das Potenzieren
der Radikand
der Rauminhalt
die Würfelkante
добування кореня
обернення
піднесення до степеня
підкореневий вираз
об’єм, ємкість, кубатура
ребро куба
b) Setzen Sie passende Wörter ein und übersetzen Sie diese Sätze.
1. Die Wurzel mit dem Wurzelexponeneten 3 heißt … .
2. Das Wurzelzeichen heißt … oder … .
3. …. Ist die Umkehrung des Potenzierens.
104
4. Das Potenzieren mehrziffriger Zahlen ist sehr … .
die Kubikwurzel
das Radizieren die Wurzel
zeitraubend
die Radix
c) Sagen Sie folgende Ausdrücke in der Sprache der Mathematik und benennen
Sie die Bestandteile: √25 = 5; √49 = 7; ³√64 = 4; ³√125 = 5; 5² ; а³.
d) Ersetzen Sie in folgenden Sätzen das Subjekt durch das Pronomen „man“.
Übersetzen Sie die Sätze.
1. Die Umkehrung des Potenzierens nennen die Mathematiker das Radizieren
oder Wurzelziehen.
2. Welche Zahl müssen wir ins Quadrat erheben, um den Wert 9 zu erhalten?
3. Dieses Beispiel schreiben die Studenten in mathematischer Form.
4. Zur Kennzeichnung des Wurzelziehens verwendet er das Wurzelzeichen √.
5. Bei der Quadratwurzel können wir den Wurzelexponenten weglassen.
6. Die Wurzelwerte entnimmt mein Freund aus den Wurzeltafeln.
7. Tabellenwerte bezeichnen wir als ungenaue Werte.
8. In der Praxis müssen die Menschen die 2.Potenzen (Quadrate) und die
9.Potenzen (Kuben) von gegebenen Zahlen berechnen.
e) Ersetzen Sie das Ich-Subjekt durch das Man- Subjekt.
1. Ich verwendete die Formel v = a³.
2. Ich besaß alle Lehrbücher in Mathematik.
3. Ich löste eine schwere mathematische Aufgabe.
4. Ich erhob die Zahl 3 in die zweite Potenz.
II. Bilden Sie Wörter und schreiben Sie sie mit dem Artikel.
Wurzel-
III.
a)
Lesen Sie ein Zitat über Mathematik
Die Mathematiker, die nur Mathematiker sind, denken
also richtig, aber nur unter der Voraussetzung, dass man ihnen
alle Dinge durch Definitionen und Prinzipien erklärt; sonst sind
sie beschränkt und unerträglich, denn sie denken nur dann
richtig, wenn es um sehr klare Prinzipien geht.
Blaise Pascal
105
und einen Wissenschaftlerwitz.
Glaubensbekenntnis:
ich glaube an die Mathematik,
die allmächtige Wissenschaft,
die regiert im Endlichen und im Unendlichen,
und an Analysis, ihre eingeborene Tochter,
empfangen durch Pythagoras,
geboren durch Isaac Newton,
Getauft von Rieman,
die kreuzigt und umbringt die Studenten.
sie wird kommen zu richten
die Regulären und die Singulären.
Ich glaube an das heilige Integral,
Gemeinschaft der Matrizen,
Parametrisierung der Sünden,
und das ewige Rechnen.
IV. a) Übersetzen Sie ins Ukrainische.
▪ Für jede positive reelle Zahl x gibt es genau eine positive reelle Zahl y, deren
Quadrat x ist (d.h. y2 = x).
▪ Die Zahl y heißt (Quadrat-)Wurzel von x und wird als √x, oft auch als x1/2
bezeichnet.
▪ Sie ist - per Definition - für jedes x ¹ 0 positiv.
▪ Die Wurzel aus einer negativen Zahl existiert allerdings im Rahmen der reellen
Zahlen nicht, das jedes Quadrat nicht-negativ ist.
▪ Die Wurzeln aus den natürlichen Zahlen sind entweder wieder natürliche
Zahlen (für 1, 4, 9, 16,...) oder irrationale Zahlen.
▪ Innerhalb der komplexen Zahlen können Quadrate negativ sein, wodurch
Wurzeln aus negativen Zahlen möglich werden.
▪ Diese Wurzeln sind aber keine reellen Zahlen mehr.
V. a) Bilden Sie Komparativ und Superlativ von folgenden Adjektiven und
Adverbien.
weni
gut
kalt
schnell
bald
vie
richti
g
wirksa
m
g
l
b) Schreiben Sie den Dialog zum Thema "Die Wurzel" nach den Varianten:
▪ Charakteristik der Wurzel;
▪ Verwendung der Wurzel .
106
107
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Pierre de Fermat
(1601 − 1665)
Der Jurist und Parlamentsrat Fermat entwickelte fast gleichzeitig mit René
Descartes die Vorstufen der analytischen Geometrie. Als Privatgelehrter wirkte
er bahnbrechend auch in der Infinitesimalrechnung und vor allem in der
Zahlentheorie mit seinen Fermatschen Sätzen sowie in der Differential- und
Integralrechnung. In einer ausgedehnten Korrespondenz mit Blaise Pascal
entwickelte er 1654 die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung anhand
der Glücksspieltheorie. Seine Forschung auf dem Gebiet der geometrischen
Optik führten u.a. zum Fermatschen Prinzip des kürzesten Lichtweges. Fermats
umfangreiche Erkenntnisse konnten erst durch die Wiederentdeckung in
neuester Zeit gewürdigt werden, da er selbst nur wenig veröffentlicht hatte.
Wörter zum Text
die Vorstufe
bahnbrechend
ausgedehnt
die Wahrscheinlichkeitsrechnung
anhand
die Glücksspieltheorie
die Erkenntnisse
würdigen
перший крок, попередній етап
новаторський
тривалий, довготерміновий
теорія ймовірності
за допомогою, на основі
теорія азартних ігор (лотереї)
накопичений досвід, наукові висновки
оцінювати, визнавати
ALGORITHMUS
Unter einem Algorithmus versteht man allgemein eine genau definierte
Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer bestimmten Art von
Problemen. Im täglichen Leben lassen sich leicht Beispiele für Algorithmen
finden: Zum Beispiel ist ein Kochrezept ein Algorithmus – zumindest dann,
wenn alle Angaben genau genug sind und es für alle Teilaufgaben, wie Braten,
Rühren, etc., ebenfalls Algorithmen gibt. Auch Reparatur- und
Bedienungsanleitungen oder Hilfen zum Ausfüllen von Formularen sind in der
Regel Algorithmen. Ein weiteres, etwas präziseres Beispiel sind
Waschmaschinenprogramme.
Das Wort Algorithmus ist eine Abwandlung des Namens von
Muhammed Al Chwarizmi (* ca. 783; † ca. 850), einem Perser, dessen
arabisches Lehrbuch Über das Rechnen mit indischen Ziffern (um 825) in der
mittelalterlichen lateinischen Übersetzung mit den Worten "Dixit Algorismi"
begann. Im Mittelalter wurde daraus lat. algorismus (mit lat. Varianten wie
alchorismus, algoarismus, altfranzösisch algorisme, argorisme, mittel108
englisch augrim, augrym) als Bezeichnung für die Kunst des Rechnens mit den
arabischen Ziffern und als Titel für Schriften über diese Kunst.
Die lateinischen Autoren pflegten zu erklären, dass das Wort 'algorismus'
aus dem Namen des Erfinders dieser Kunst, einem Philosophen namens Algus,
und dem griechischen Wort rismus (rhythmós) für 'Zahl' zusammengesetzt sei.
Dabei wurde Algus von einigen als Araber, von anderen als Grieche oder
zumindest griechisch schreibender Autor, oder gelegentlich auch als 'König von
Kastilien' (Johannes von Norfolk) betrachtet. In der volkssprachlichen Tradition
erscheint dieser 'Meister Algus' dann zuweilen in einer Reihe mit großen antiken
Schriftstellern wie Platon, Aristoteles und Euklid.
Algorithmus und Programm
Für Algorithmen gibt es unterschiedliche formale Repräsentationen. Diese
reichen vom Algorithmus als abstraktes Gegenstück zum konkret auf eine
Maschine zugeschnittenen Programm (d. h., die Abstraktion erfolgt hier im
Weglassen der Details der realen Maschine, das Programm ist eine konkrete
Form des Algorithmus, angepasst an die Notwendigkeiten und Möglichkeiten
der realen Maschine).
Erster Computeralgorithmus
Der erste für einen Computer gedachte Algorithmus wurde 1842 von Ada
Lovelace in ihren Notizen zu Charles Babbages Analytical Engine, festgehalten.
Sie gilt deshalb als die erste Programmiererin. Weil Charles Babbage seine
Analytical Engine nicht vollenden konnte, wurde Ada Lovelaces Algorithmus
nie darauf implementiert.
Definition
Die mangelnde mathematische Genauigkeit des Begriffs Algorithmus
störte viele Mathematiker und Logiker des 19. und 20. Jahrhunderts.
Insbesondere steht die natürliche Sprache mit ihren Unschärfen und
Widersprüchlichkeiten.
Eigenschaften
Nichtdeterministische Algorithmen finden vor allem in der theoretischen
Informatik Anwendung, so, dass in anderen Bereichen oft vorausgesetzt wird,
dass es sich um einen deterministischen Algorithmus handelt. Eine Ausnahme
bilden sogenannte stochastische randomisierte oder probabilistische
Algorithmen, in die absichtlich ein Zufallsfaktor eingebaut wurde. Solche
Algorithmen sind demnach nicht deterministisch und auch nicht determiniert.
Stochastische Algorithmen dagegen sind im Allgemeinen deterministisch,
orientieren sich aber an Erfahrungswerten. Die verschiedenen formalen
Eigenschaften in Kürze:
Algorithmen im Alltag
Auch im Alltag begegnen uns Algorithmen in Form von
Handlungsanweisungen oder Rezepten:
Prozess
Ausführender
Algorithmus
Typische Anweisung
Kuchenbacken
Bäcker
Rezept
109
nimm 1 Pfund Mehl /
rolle Teig aus
Spielen
Sänger,
einer Melodie Instrumentalist
Bedienung
eines Handys
Bau
eines Radios
Kassieren
im
Supermarkt
Anrufer
Radiobastler
Kassiererin an
Registrierkasse
Tonfolge
Bedienungsanleitung
drücke die Taste #
Schaltplan
und Montageanleitung
verbinde die Basis
von Transistor T1
mit dem Kollektor
von T5
Bedienungsanleitung
für Registrierkasse,
Eintippen von 13,37 +
Funktionsplan der
Registrierkasse
Wörter zum Text
die Handlungsvorschrift
zumindest
die Abwandlung
daraus
namens
zumindest
zuweilen
die Repräsentation
das Gegenstück
zuschneiden auf A.
angepasst
implementieren
mangelnd
die Unschärfe
vorausgesetzt , dass
der Zufallsfaktor
інструкція, закон
щонайменше
зміна, перетворення, модифікація
звідси
по-імені
по меншій мірі
інколи
представлення
еквівалент, протилежність
пристосовувати
відповідний, підігнаний
вводити, застосовувати, використовувати
недостатній
нечіткість
при умові, що …
фактор випадковості
Übungen
I. a) Schreiben Sie aus dem Text Fachbegriffe und Wortgruppen heraus, die die
Grundinformation des Textes enthalten.
b) Stellen Sie den Plan zum Text zusammen.
c) Drücken Sie die Hauptinformation des Textes aus.
d) Beantworten Sie folgende Fragen:
1. Was ist ein Algorithmus?
2. Wann wurden die Algorithmen
entdeckt?
110
II. a) Suchen Sie zu unterstrichenen Wörtern die unten gegebenen Synonyme.
1. Bereits im Altertum wurden die Algorithmen entdeckt.
2. Als Beispiel dazu wird der Euklidische Algorithmus betrachtet.
3. Allgemeine Gedanken über Algorithmen traten in der Mathematik im
Mittelalter auf.
4. Man verwendet die Algorithmentheorie in immer größerer Anzahl von
Prozessen, z.B. in der Technik, Wissenschaft und Produktion.
5. E.L.Post und A.A.Markow beschäftigten sich mit der Präzisierung des
Algorithmenbegriffs.
erfinden, sich befassen mit (Dat.), die Vielzahl, vorkommen, ansehen
b) Wiederholen Sie das Thema: Infinitiv mit und ohne zu. Übersetzen Sie.
☼ 1. Er bleibt in der Bibliothek, um an der Fachliteratur zu arbeiten.
2. Um einen Bruch zu kürzen, muss man Zähler und Nenner durch die gleiche
Zahl dividieren.
3. Man muss Zähler und Nenner vertauschen, um den reziproken Wert eines
Bruches zu bilden.
4. Damit jede Subtraktionsaufgabe eine Lösung hat, muss man zum Bereich der
ganzen Zahlen übergehen.
5. Um jede Subtraktionsaufgabe lösen zu können, muss man zum Bereich der
ganzen Zahlen übergehen.
6. Um nachzuprüfen, ob die Kurve y durch Punkte P und R hindurchgeht, ist es
notwendig, die Kurve zu zeichnen.
☼ 1. Wir haben die Rechenmaschinen zu benutzen.
2. Die Mathematik-Studenten haben eine Anzahl von Definitionen, Postulaten
und Axiomen zu lernen.
3. Man hat zu zeigen, dass diese Gleichung lösbar ist.
4. Die Faktoren sind zu vertauschen.
5. Das Ergebnis der Division ist zu berechnen.
6. Wir haben hier die Additionsmethode anzuwenden.
7. Die n-te Wurzel ist noch zu ziehen.
8. An geometrischen Figuren sind die Objekte der realen Welt zu erkennen.
c) Beantworten Sie folgende Fragen; benutzen Sie dabei die eingeklammerten
Wörter.
1. Wozu lernen Sie Deutsch? (Fachliteratur in deutscher Sprache lesen).
2. Wozu lesen Sie viel Fachliteratur? (das Fach besser beherrschen).
3. Wozu gehen Sie ins Labor? (mit den Rechenmaschinen arbeiten).
4. Wozu gehst du in die Bibliothek? („Mathematische Annalen" lesen).
5. Wozu stellt man die Funktion f graphisch dar? (die Kurve der Funktion f
erhalten).
111
d) Setzen Sie „sein“ oder „haben“ ein.
1. Dieser Bruch … zu kürzen.
2. Wir … aus dieser Zahl die Wurzel zu ziehen.
3. Eine quadratische Gleichung der Form x2 + px + q = 0 … mit Hilfe der
Formel (2) zu lösen.
4. Man …
jede Koordinate des Vektors r nach dem Parameter t zu
Differenzieren.
5. Der Wert des Produktes und ein Faktor sind gegeben, der andere Faktor … zu
berechnen.
6. Die Veränderliche y … bei der Integration als Parameter
anzusehen.
7. Im Bereich der natürlichen Zahlen … nicht jede Subtraktionsaufgabe zu
lösen.
e) Übersetzen Sie schriftlich ins Ukrainische.
Algorithmenanalyse
Die Erforschung und Analyse von Algorithmen ist die Hauptaufgabe der
Informatik, und wird meist theoretisch durchgeführt. Sie ähnelt somit dem
Vorgehen in anderen mathematischen Gebieten.
Algorithmen werden zur Analyse in eine stark formalisierte Form
gebracht und mit den Mitteln der formalen Semantik untersucht. Die Analyse
unterteilt sich in verschiedene Teilgebiete. Beispielsweise wird das Verhalten
von Algorithmen bezüglich Ressourcenbedarf wie Rechenzeit und
Speicherbedarf in der Komplexitätstheorie behandelt, die Ergebnisse werden als
asymptotische Laufzeiten angegeben. Der Ressourcenbedarf hängt davon ab,
wie groß die Zahlen sind, deren größter gemeinsamer Teiler gesucht wird, oder
wie viele Elemente sortiert werden müssen etc. Das Verhalten bezüglich der
Terminierung, d. h. ob der Algorithmus überhaupt jemals erfolgreich beendet
werden kann, behandelt die Berechenbarkeitstheorie.
Wörter zum Text
das Vorgehen, -s
die Rechenzeit
der Speicherbedarf
behandeln
asymptotisch
die Laufzeit
die Terminierung
підхід, дія
термін обчислення
запам’ятовуючий пристрій
трактувати, розробляти, обговорювати
необмежено приближений
строк дії
встановлення строку
f) Bilden Sie Sätze aus folgendem Wortmaterial.
Informatik und Mathematik
Algorithmen, der Informatik, aber, sind, vor allem, eines, Mathematik der
zentralen Themen, und.
Wie, sind, der Berechenbarkeitstheorie einiger Spezialgebiete der
Theoretischen Informatik, der Algorithmentheorie, der Komplexitätstheorie,
112
und, Gegenstand, sie.
Andere Maschinen von Computerprogrammen, sie, und, , steuern, Computer,
und, in Form, elektronischen Schaltkreisen.
III. a) Lesen Sie ein Zitat über Mathematik.
Zahlen sind Symbole des Vergänglichen.
Oswald Srengler,
deutscher Geschichtsphilosoph
b) und einen Wissenschaftlerwitz.
Informatiker jagen Elefanten, indem sie Algorithmus A ausführen:
Algorithmus A
1. gehe nach Afrika
2. beginne am Kap der guten Hoffnung
3. durchkreuze Afrika von Süden nach Norden bidirektional in OstWest-Richtung
4. für jedes Durchkreuzen gilt:
1. fange jedes Tier, das du siehst
2. vergleiche jedes gefangene Tier mit einem als Elefant bekannten Tier
3. halte an bei Übereinstimmung
IV. Nennen Sie die ukrainischen Äquivalente für folgende deutsche
Wortverbindungen.
Muster : als Musterbeispiel ⇨ у якості показного приклада, зразка
im Prinzip ⇨
als universelle Verfahren ⇨
ein programmmgesteuerter Automat ⇨
nach einem angegebenen Programm ⇨
eine immer größere Anzahl von Prozessen ⇨
V.
Lateinische Quadrate
In die Felder eines Diagramms der Größe NxN sind
die Zahlen von 1 bis N einzutragen, wobei in jeder Zeile,
in jeder Spalte sowie in jedem stark umrandeten Bereich
(egal, welcher Form) jede Zahl genau einmal vorkommen
muss.
113
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Blaise Pascal
(19. 6. 1623 - 19. 8. 1662)
Französischer Philosoph und Naturwissenschaftler. Schon als Kind galt
Pascal als mathematisches Genie und verblüffte 16jährig seine Umgebung mit
einer Arbeit über Kegelschnitte. Wenig später entwarf er eine Rechenmaschine,
fand 1647 das Gesetz der kommunizierenden Röhren und erkannte bei der
Untersuchung der Druckverhältnisse in flüssigen Stoffen die Möglichkeit, das
Barometer als Gerät für die Höhenmessung zu benutzen. Bei seiner
Beschäftigung mit Kombinatorik verwendete er 1654 das heute nach ihm
benannte Pascalsche Dreieck und widmete ihm eine Abhandlung. (Das
Zahlendreieck selbst war schon lange vor ihm bekannt.)
Er arbeitete außer über Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik
auch über die Infinitesimalrechnung und erfand eine Rechenmaschine. Schon
lange an einer Krankheit leidend, starb er dort auch im Alter von 39 Jahren.
Pascals Religionsphilosophie ist speziell bezeugt in dem anonym erschienenen
Werk Briefe an einen Provizial (1657) und in den 1670 nachgelassenen
Gedanken über die Religion: Hauptwerk: Pensées sur la religion, Fragmente zu
einer Apologie der christlichen Religion. Gott sei nicht durch philosophischrationale oder theologische Spekulation fassbar, sondern nur über die
geschichtlich-persönliche Existenz von Jesus Christus. Pascal betonte die
Distanz zwischen Gott und dem Menschen, dessen Daseinsgegensätze Größe
und Elend sind. Der Mensch bedarf zum Glauben der göttlichen Gnade; er kann
sie nicht erzwingen, nur erwarten. Pascals Philosohie war von großem Einfluss,
vor allem auf Kierkegaard und die französischen Existentialisten. Bis heute zählt
Pascal zu den faszinierendsten Gestalten der europäischen Geistesgeschichte. In
der seltenen Kombination von hoher wissenschaftlicher Begabung und religiöser
Inbrunst wandte er sich weltoffenen, durchaus toleranten Tons an sein gebildetes
Publikum, um mit Hilfe einer exakten und scharfsinnigen, von Logik geprägten
Sprache seine innersten seelischen Erlebnisse anzuvertrauen und die
fundamentalen Grenzen aller Gedanken und Beweise überzeugend
klarzumachen.
Wörter zum Text
gelten als N.
verblüffen mit D.
der Kegelschnitt
entwerfen, а, о
kommunizierende Röhren
das Druckverhältnis
die Abhandlung
die Wahrscheinlichkeitsrechnung
bezeugt
вважати
вражати, дивувати, приголомшувати
конусний розріз
розробляти, проектувати
сполучені посудини
степінь тиску, натискання
наукова праця, стаття
теорія ймовірності
підтверджений, завірений
114
nachgelassen
die Apologie
der Daseinsgegensаtz
die Gnade
erzwingen, а, u
faszinierend
die Inbrunst
scharfsinnig
geprägt
посмертний
захист, восхвалення
контраст існування
милість, пощада, помилування
примушувати, добиватися силою
захоплюючий
пристрасть, запал
дотепний, кмітливий
викарбуваний
WIE DIE ALTEN ÄGYPTER RECHNEN
Wenn Du dieses hier liest, hast Du sicherlich schon die Seite über alte
ägyptische Zahlen gelesen. Hier noch einmal zur Erinnerung die Tabelle mit
den Zahlen-Hieroglyphen. Zahlen wurden durch Gruppierung bzw.
Anordnung geschrieben, siehe auch die unten stehenden Beispiele.
Die Schreibweise der Hieroglyphen
hat sich natürlich im Laufe von 2
= 249 Jahrtausenden
etwas
gewandelt.
Außerdem sehen sie jeweils etwas
anders aus, je nachdem ob sie von links
nach rechts oder von rechts nach links
= 12 125geschrieben werden. Unten siehst Du
eine Abbildung mit alternativen
Schreibweisen.
= 3 261
312
115
Addiert wird durch Neugruppierung der Hieroglyphen. Hier ist ein Beispiel.
Beachte, dass beim Ergebnis für die 11 Einer-Hieroglyphen 1 ZehnerHieroglyphe und 1 Einer-Hieroglyphe geschrieben wird.
+
=
Wie aber haben die alten Ägypter multipliziert oder dividiert? Ich will Dir
hier ihre Methoden vorstellen, aber sage nicht, es sei mühsam. Bedenke, sie
hatten nicht unsere Zahlenschreibweise. Damit es für Dich besser
durchschaubar ist, verwende ich aber unsere Schreibweise.
Wie also haben sie z.B. 47 x 24 gerechnet ?
Du legst 2 Spalten
Jetzt setzt Du den Faktor 24 aus
47 x 24
an. In die 1. Spalte
den Zahlen der 2. Spalte zusammen
z.B. 8+16=24
47
1 schreibst Du 47 und in
94
2 die 2. Spalte 1. Jetzt
24
= 16 + 8
188
4 musst Du nur noch von
47 x 24
= 47 x
zu
Zeile
376
8 Zeile
47 x 24
= (16 +
752
16 verdoppeln.
47 x 24
= 8)
752 +
376
1128
Als nächstes will ich Dir die ägyptische Divisionsmethode zeigen und zwar
an der Division 329 : 12.
Auch hier legst Du 2
Jetzt stellst Du folgende
329 : 12
Spalten an. In die 1.
Staffelrechnung an:
12
1 Spalte schreibst Du den
329
24
2 Divisor 12 und in die 2.
-192
48
4 Spalte 1. Jetzt musst Du
137
96
8 nur noch von Zeile zu
-96
Zeile
verdoppeln
und
192
16
41
zwar
so
lange
bis
die
384
32
-24
Zahl in der 1. Spalte
17
größer ist als der
-12
Dividend 329.
5
Also gilt:
329 = 16 x 12 + 8 x 12 + 2 x 12 + 1 x 12 + 5 = (16 + 8 + 2 +1) x 12 + 5
demnach ist: 329 : 12 = 27 5/12 = 27 + 1/3 + 1/12
Wir erinnern uns, die alten Ägypter kannten fast nur Stammbrüche. Aber
auf jeden Fall kannten sie offensichtlich das Distributivgesetz.
Wir erinnern uns daran, wie die Ägypter ihre Bruchzahlen
schrieben. Sie setzten über die Zahlen-Hieroglyphe für den
Nenner die Hieroglyphe für "Mund", also ein Oval. Und sie
kannten bis auf die beiden Ausnahmen 2/3 und 3/4 nur
Stammbrüche. Alle anderen Brüche wandelten sie in
116
Stammbrüche um. Wenn man ihre Schreibweise in unsere
Schreibweise überträgt, würde es vielleicht so aussehen:
und noch ein Beispiel für
die Umwandlung in
Stammbrüche
Wie Du sicherlich weißt, ist die Umwandlung eines Bruches in eine Summe
von Stammbrüchen nicht eindeutig, d.h. Du hast da meistens immer mehrere
Möglichkeiten.
Die Ägypter bevorzugten nun bestimmte
1/
1/r+
1/p +
+
Stammbrüche für die Zerlegung. Die genaue
q
Formel, die sie für die Zerlegung eines Bruches
5 3
15
in eine Summe von Stammbrüchen verwendet
haben, ist aber noch unbekannt. Auf alle Fälle
7 4
28
benutzten sie aber Tabellen wie die
9 6
18
nebenstehende
Tabelle
(natürlich
mit
Hieroglyphen geschrieben). Diese Tabelle
11 6
66
stammt von Ahmes, der den Rhind-Papyrus
13 8
52
104
geschrieben hat (siehe Rand). Auf alle Fälle
steht fest, dass die Ägypter die allgemeinen
15 10
30
Regeln des Bruchrechnens beherrschten
Übungen
I. a) Schreiben Sie aus dem Text Fachbegriffe und Wortgruppen heraus, die
die Grundinformation des Textes enthalten.
b) Stellen Sie den Plan zum Text zusammen.
c) Drücken Sie die Hauptinformation des Textes aus.
II. Lesen Sie den Text und versuchen Sie ihn ohne Wörterbuch zu verstehen.
III.
a)
Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
Wenn du einen Mathematiker wählen lässt zwischen einem Brötchen
und ewiger Seligkeit, was nimmt er? Natürlich das Brötchen: Nichts ist
besser als ewige Seligkeit - und ein belegtes Brötchen ist besser als nichts...
b) und ein Zitat über Mathematik.
Die erste Regel, an die man sich in der Mathematik halten muss, ist, exakt
zu sein.
Die zweite Regel ist, klar und deutlich zu sein und nach Möglichkeit
einfach.
Lazare Nicolas Marguerite Carnot (13.5.1753 - 2.8.1823)
117
IV. a) Nennen Sie die Verben, von denen die folgenden Substantive gebildet
sind. Bestimmen Sie Grundformen dieser Verben.
Muster :
die Behandlung ⇨ behandeln ⇨ behandelte ⇨
behandelt
die Abbildung ⇨
die Verwendung ⇨
die Bestimmung ⇨
die Berechnung ⇨
die Bezeichnung ⇨
b) Übersetzen Sie folgende Wörter und Wortverbindungen ins Ukrainische und
bilden Sie mit ihnen Beispiele.
Muster : die Zerlegung ⇨ розкладання
Das Wort “Analysis“ bedeutet griechisch „Zerlegung“.
die Variationsrechnung ⇨
die mathematische Optimierung ⇨
die Primzahlverteilung ⇨
die nummerische Analysis ⇨
die analytische Zahlentheorie ⇨
c) Übersetzen Sie folgende Sätze ins Ukrainische, beachten Sie dabei die
Attributnebensätze.
1. Analysis ist eine zusammenfassende Bezeichnung für solche Teilgebiete der
Mathematik, die sich auf den Grundbegriffen der Mathematik aufbauen.
2. Die klassische Analysis ist die Lehre, die die Theorie der
Differentialgleichungen enthält.
3. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teil der Mathematik, der immer
grössere Anwendung findet.
V.
4 5
3
6
5 8
4 3
Lateinische Summen
Schreiben Sie in jedes Feld des Diagramms
einen Zahl von 1 bis MAX, wobei in jeder Zeile und
in jeder Spalte jede Zahl genau einmal vorkommen
muss. Die vorgegebenen Zahlen in einigen Feldern
sind die Summe der Zahlen in den 8 Nachbarfeldern,
wobei andere benachbarte Summenzahlen nicht
mitgerechnet werden.
118
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Milet von Thales
(um 625 v.Chr - um 547)
Griechischer Philosoph und Mathematiker. Vom Leben des Thales ist
wenig bekannt. Nach Herodot war er phönizischer Herkunft, war zunächst
politisch tätig und wandte sich dann der Naturwissenschaft zu. Die politische
Tätigkeit dürfte darin bestanden haben, die Regierenden von Milet zu beraten.
Thales hat für das Jahr 585 richtig eine Sonnenfinsternis vorausgesehen, die am
28. Mai während einer Schlacht stattfand. Diese wurde daraufhin abgebrochen,
und es wurde Frieden geschlossen. Welche mathematischen Grundlagen Thales
für diese Voraussage hatte, ist unbekannt. Dass Thales auf Reisen auch in
Ägypten war, ist mehrfach überliefert. Er beriet ionische Seeleute, sich statt
nach dem großen Bären nach dem kleinen Bären am Himmel zu orientieren.
Nach Aristoteles soll Thales gezeigt haben, dass man mit der Wissenschaft auch
reich werden könne. Er habe nämlich auf Grund seiner wissenschaftlichen
Kenntnisse eine gute Ölernte vorausgesehen und schon im Winter alle Ölpressen
in Milet und auf Chios gemietet und auf diese Weise einen großen Gewinn
erzielt. Thales wurde der "Ahnherr der Philosophie" genannt und eröffnet die
Reihe der Sieben Weisen. (In seinem Dialog Protagoras zählt Platon Bias von
Priene, Chilon von Lakedaimon, Kleobulos von Lindos, Periandros von Korinth,
Pittakos von Mytilene, Solon von Athen und Thales von Milet zu den Sieben
Weisen.
In älteren Quellen finden sich auch andere Namen — insgesamt 17
verschiedene Namen werden in unterschiedlichen Kombinationen dem Kreis
zugeordnet — z.B. Epimenides von Kreta, Leophantos von Lebedos, Pythagoras
und häufig Anacharsis). Thales fand Erklärungen zu Naturphänomenen, wie
Sonnenfinsternissen, Nilüberschwemmungen, Magnetismus und Erdbeben.
Seine mathematischen Leistungen und Erkenntnisse liegen auf dem Gebiet der
elementaren Geometrie, insbesondere ist sein Satz des Thales bekannt. Er
scheint der erste gewesen zu sein, der den Winkelbegriff in die Geometrie
eingeführt hat, obgleich unbekannt ist, ob und wie er Winkel gemessen hat.
Wörter zum Text
die Regierende
Milet
daraufhin
abbrechen
überliefern
der Ahnherr
die Überschwemmung
управителі
(місто)
на основі цього, після цього
закінчуватися
повідомляти
родоначальник
паводок, розлив, повінь
119
REIHE
In der Mathematik ist eine (unendliche) Reihe eine Folge, deren Glieder
als Summe der ersten n Glieder (den Partialsummen) einer anderen Folge
gegeben sind.
Vokabular
Aus jeder Folge (ai) kann man eine Reihe (sn) konstruieren mit
(wobei wir als Indizes für die Glieder von Folge und Reihe in diesem Artikel die
natürlichen Zahlen einschließlich der Null verwenden; in manchen
Anwendungen ist es üblich, die Null auszuschließen). Mit Hilfe des
Summenzeichens können die einzelnen Glieder der Reihe auch abgekürzt als
geschrieben werden; sie werden auch Partialsummen der Folge (ai) genannt.
Wenn (ai) und damit auch (sn) für unendlich viele Indizes i bzw. n definiert sind,
spricht man von einer unendlichen Reihe. Wenn der Grenzwert der Folge der
Partialsummen
existiert, sagt man, die Reihe konvergiert; den Grenzwert S nennt man die
Summe der Reihe (auch: Wert der Reihe). Mit Hilfe des Summenzeichens
kann diese Summe auch abgekürzt als
geschrieben werden.
Eine Reihe (sn) heißt divergent, wenn sie nicht konvergiert. Sie heißt
bestimmt divergent oder uneigentlich konvergent, wenn die Teilsummen (sn)
gegen -∞ oder +∞ streben. Andernfalls heißt die Reihe unbestimmt divergent;
dabei kann sie Häufungspunkte haben oder auch nicht. Mit verschiedenen
Konvergenzkriterien lässt sich feststellen ob eine Reihe konvergiert.
Beispiele
Für einige einfache endliche Reihen kann man die Summe explizit
berechnen, beispielsweise für arithmetische Reihen wie
Der Beweis solcher Formeln erfolgt über vollständige Induktion. Weitere
solche Summationsformeln finden sich in der Formelsammlung Algebra.
Eine klassische Reihe ist die geometrische Reihe, der Name ergibt sich aus der
geometrischen Folge (an) = (qn) (für n N). Die unendliche geometrische Reihe
ist also:
120
Weitere Beispiele endlicher Reihen findet man im Artikel Addition.
Eine der einfachsten konvergenten unendlichen Reihen ist
Diese Schreibweise bezeichnet nach der oben gegebenen Darstellung den
Grenzwert der Folge
Man kann die Konvergenz dieser Reihe auf der Zahlengeraden
visualisieren: Stellen wir uns eine Linie mit der Länge zwei vor, auf der
aufeinanderfolgende Abschnitte mit den Längen 1, 1/2, 1/4, usw. markiert sind.
Es gibt auf dieser Linie immer noch Platz für einen weiteren Abschnitt, da
immer noch so viel Platz ist, wie der letzte Abschnitt lang war: Wenn wir die
Strecke 1/2 markiert haben, haben wir insgesamt 3/2 verbraucht, es bleiben also
noch 1/2 übrig. Wenn wir nun 1/4 wegstreichen, bleibt ein weiteres 1/4 übrig,
etc. Da das "Reststück" beliebig klein wird, ist der Grenzwert gleich 2.
Diese Reihe ist eine spezielle geometrische Reihe. Konvergente
geometrische Reihen sind auch ein Gegenstand der Paradoxa von Zenon. Ein
Beispiel für eine divergente Reihe mit mehreren Häufungspunkten ist die
Summe über die Folge +1,-1,+1,-1,... Die Reihe wechselt zwischen den Werten
1 und 0.
Wörter zum Text
die Folge
die Indizes
die Partialsumme
der Grenzwert
konvergieren
divergent
uneigentlich
der Häufungspunkt
die Konvergenzkriterien
explizit
sich ergeben
aufeinanderfolgend
verbraucht
wegstreichen
послідовність
індекси
часткова сума
граничне значення, межа
сходитись
розбіжний
невласний
точка накопичення, скупчення
критерії збіжності
явний, очевидний
витікати
послідовний
використаний
викреслювати
Übungen
I.
a) Schreiben Sie aus dem Text Fachbegriffe und Wortgruppen heraus,
die die Grundinformation des Textes enthalten.
b) Bereiten Sie die Annotation zum Text vor.
c) Stellen Sie den Plan zu ihrer Annotation zusammen.
121
II. Bilden Sie von den gegebenen Substantiven Adjektive mit dem Suffix“-isch“
und übersetzen Sie diese Adjektive.
Muster :
die Mathematik ⇨ mathematisch
die Geometrie ⇨
die Logik ⇨
die Algebra ⇨
die Theorie ⇨
die Topologie ⇨
III.
a)
Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
Treffen sich ein Operator und eine Funktion. Sagt der Operator:
"Lass mich vorbei! Oder ich leite Dich ab!" Sagt die Funktion: "Mach doch,
mach doch... ich bin die Funktion ex " Erweiterung: Entgegnet der Operator:
"Ich bin aber d nach dt."
b) und ein Zitat über Mathematik.
Alles was lediglich wahrscheinlich ist, ist
wahrscheinlich falsch.
René Descartes
IV. a) Bestimmen Sie die Komponenten der Zusammensetzungen und übersetzen
Sie diese Substantive.
die Lösungsgerade
die Lösungskurve
das Lösungsverfahren
die Lösungsgesamtheit
die Lösungsstrahl
die Auflösungsformel
b) Bilden Sie von den gegebenen Verben die Substantive: Führen Sie Beispiele
mit diesen Substantiven an.
Muster : addieren ⇨ das Addieren
Das Addieren der Zahlen ist eine der vier
Grundrechenoperationen.
lösen ⇨
erfüllen ⇨
rechnen ⇨
umfassen ⇨
formulieren ⇨
122
V.
Magische Quadrate
Schreiben Sie in jedes Feld des Diagramms eine Zahl,
wobei in jeder Zeile, jeder Spalte und in jeder der beiden
Diagonalen jede Zahl genau einmal vorkommen muss.
Welche Zahlen verwendet werden dürfen, richtet sich nach
der Größe des Diagramms: 1 bis 4 bei 4x4, 1 bis 5 bei 5x5, 1
bis 6 bei 6x6, usw.
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Diophantos von Alexandria
Wann Diophantos von Alexandria , wie sein voller Name oft angeben
wird, eigentlich gelebt hat, ist uns unbekannt. Man ist auf Vermutungen
angewiesen, die sich aus Vergleichen ergeben und kommt dabei auf einen
Zeitraum zwischen 150 und 350. Mit einiger Sicherheit weiß man dagegen, wie
alt er geworden ist, und das verdanken wir einer Grabinschrift, die in
Hexametern verfasst ist: Hier dies Grabmal deckt Diophantos. Schaut das
Wunder! Durch des Entschlafenen Kunst lehret sein Alter der Stein. Knabe zu
sein gewährte Gott ihm ein Sechstel des Lebens. Noch ein Zwölftel dazu sprosst'
auf der Wange der Bart. Dazu ein Siebentel noch, da schloss er das Bündnis der
Ehe; nach fünf Jahren entsprang aus der Verbindung ein Sohn. Wehe, das Kind
das geliebte, gerade die Hälfte der Jahre hatt' es des Vaters erreicht, als es dem
Schicksal erlag. Darauf vier Jahre hindurch durch der Größen Betrachtung den
Kummer von sich scheuchend auch er kam an das irdische Ziel.
Aus
diesem
Text
gelangt
man
über
die
lineare
Gleichung
zu dem Ergebnis, dass DIOPHANT 84 Jahre alt
geworden ist. Zugleich aber wird durch die Fassung dieser Inschrift sinnreich
auf sein Wirken hingewiesen.
DIOPHANT – einer der Begründer der Algebra
Am Ausgang der Antike begegnet uns mit DIOPHANT zum ersten Mal
ein mit der Algebra verbundener Mathematiker, und man darf ihn als einen der
Begründer dieser Disziplin ansehen. Sein Hauptwerk ist die „Arithmetica“; sie
bestand wahrscheinlich aus 13 Büchern, von denen sechs erhalten geblieben
sind.
DIOPHANTs Ziel ist es, darzulegen, wie man zu Problemen Gleichungen
aufstellt und mit deren Hilfe diese Probleme löst. Dabei gibt er einige
Verfahrensregeln an, so z. B. etliche, die wir heute als Verfahren äquivalenter
Umformungen benutzen (etwa Subtraktion der gleichen Zahl auf beiden Seiten
der Gleichung) und schafft somit Ansätze eines Lösungskalküls. Im
Allgemeinen aber beschränkt er sich auf Beispielaufgaben und -lösungen, und
das oft an recht komplizierten Problemen, die schon den Charakter von
Denkaufgaben haben. Bei alldem beweist DIOPHANT eine virtuose
123
Rechentechnik, und oft bleibt dem Leser verborgen, was ihn zu dieser oder jener
Verfahrensweise bewogen hat.
Beweis zahlentheoretischer Sätze
DIOPHANT beschäftigte sich mit Problemen der Zahlentheorie und gibt
eine Reihe zahlentheoretischer Sätze an, beweist sie und demonstriert sie an
Aufgaben. So nennt er etwa den folgenden Satz: Jede Quadratzahl lässt sich als
Summe von zwei Quadraten (rationaler Zahlen) schreiben.
Am Beispiel der Zahl 16 zeigt DIOPHANT hierzu folgenden
Lösungsweg:
Die erste gesuchte Zahl sei x; dann ist die andere
Letzteres wird
gleichgesetzt (2x wird als beliebiges Vielfaches von x gewählt, 4 ist die
Wurzel
aus
der
Ausgangszahl
16.)
Aus
der
Gleichung
gewinnt er
ist
und als zweiten Summanden
Tatsächlich
(Hätte er statt 2x in der Klammer 3x gewählt, hätte er
als Summanden
erhalten.)
Es war dies übrigens die Stelle von DIOPHANTs Buch, die PIERRE DE
FERMAT später bewog, in sein Exemplar den berühmten Vermerk über die
Nichterfüllbarkeit der Gleichung
für natürliche Zahlen a, b, c und
natürliche Exponenten n (mit n > 2) zu machen.
DIOPHANT löst außer den linearen auch quadratische Gleichungen und
hantiert mit negativen Zahlen, wobei er als Lösung dann nur positive Ergebnisse
angibt. Er nutzt bereits Regeln wie „Minus mal Minus ergibt Plus“. Ganz
zwangsläufig entsteht bei dieser Arbeit eine Reihe von Zeichen, Symbolen und
Schreibweisen, mit denen er bemüht ist, die Rechnungen übersichtlich zu
gestalten. Für einfache Zahlen benutzt DIOPHANT die Buchstaben des
griechischen Alphabets mit einem Querstrich, so ist bei ihm
Zahlen, die addiert werden sollen, schreibt er einfach
nebeneinander, für die Subtraktion führt er ein besonderes Zeichen
ein.
Außerdem benutzt er Zeichen für Potenzen, bedeutet beispielsweise . Die
Gleichheit drückt er durch den griechischen Buchstaben (von isoi, griech.
gleich) aus. Er führt zahlreiche Begriffe (wie etwa Quadratzahl, Kubikzahl,
Biquadratzahl) ein, und gibt auch dafür Symbole an.
Wörter zum Text
das Grabmal
entschlafen
gewähren
sprosst' auf der Wange der Bart
Wehe!
надмогильний пам’ятник
померлий, заснувший
надавати, задовольняти
пробивається на щоках пушок
горе!
124
dem Schicksal erliegen
die Betrachtung
scheuchend
die Fassung
darlegen
aufstellen
das Verfahren
die Umformung
der Ansаtz
der Lösungskalkül
verbеrgen, о,о
die Verfahrensweise
hantieren
nutzen
zwangsläufig
übersichtlich
помирати від долі
міркування, розуміння
проганяючи, відлякуючи
формулювання
викласти, пояснити, представити
виставляти, видвигати
метод, спосіб
деформація, зміна форми
математичне вираження
обчислення розв’язку
ховати, прятати
метод, спосіб
займатися
використовувати, користуватися
неминуче
наглядний
GALOISTHEORIE
Galoistheorie ist der Bereich der Algebra, der die Symmetrie der
Nullstellen (auch Wurzeln) von Polynomen untersucht. Diese Symmetrien
werden normalerweise durch symmetrische Gruppen dargestellt, welche in der
Tat von Evariste Galois erfunden wurden, um damit die Symmetrie der Wurzeln
zu beschreiben. Die Galoistheorie hat viele Anwendungen bei klassischen
Problemen, wie etwa »Welche regulären Polygone lassen sich mit Zirkel und
(unmarkiertem) Lineal konstruieren?«, »Warum kann ein Winkel nicht
dreigeteilt werden.« (wieder nur mit Zirkel und unmarkiertem Lineal)
und »Warum gibt es keine geschlossene Formel zur Berechnung der Nullstellen
von Polynomen fünften oder höheren Grades, die nur mit den vier
Grundrechenarten und Wurzelziehen auskommt?« (Der Satz von Abel-Ruffini).
Evariste Galois
(1811- 1832)
Am 31. Mai 1832 wurde in Paris der 20 jährige französische Privatlehrer
der Mathematik Evariste Galois im Duell getötet und am 2. Juni von seinen
Freunden in einer öffentlichen Begräbnisstätte bestattet, die uns unbekannt ist.
Wissenschaftler seiner Zeit wussten weder etwas von seinem tragischen
Schicksal noch von seinen mathematischen Leistungen.
Zwar hatte Galois bereits zwei Jahre vor seinem Tode der französischen
Akademie der Wissenschaften zwei Manuskripte eingerichtet, in denen er seine
Gedanken dargelegt hatte. Sie waren dem bekannten Mathematiker Augustin
Cauchy zur Beurteilung zugegangen.
Cauchy hat jedoch von diesen
Manuskripten keinerlei Notiz genommen, und als Galois Nachforschungen nach
ihrem Verbleib anstellte, waren sie unauffindbar. Sie sind auch nie wieder
125
aufgefunden worden. So besitzen wir außer einem kurzen Manuskript aus dem
Jahre 1831 über seine grundlegenden Erkenntnisse nur sein wissenschaftliches
Testament, das er am Vorabend seines Duells verfasste. Dieses Dokument
wurde erst im Jahre 1846 im „Journal de mathématiques“ veröffentlicht.
Seitdem ist der Name Galois in allen Kreisen der mathematischen Welt bekannt,
und seine Gedanken sind in alle Zweige der Mathematik eingedrungen. Begriffe
wie Galoissche Gruppe, Galoissches Feld, Galoissche Theorie zeugen von
seiner Bedeutung.
Wörter zum Text
вбивати
хоронити
направляти на оцінку, обговорення
однак, все ж таки
авторський рукопис
розслідування, наведення справок
перебування
здійснювати
не знайдено
töten
bestatten
zur Beurteilung zugehen
jedoch
das Manuskript
die Nachforschung
der Verbleib, -s
anstellen
unauffindbar
Übungen
I.
Welche neue Information bekamen Sie aus dem obenangeführten Text?
II. Übersetzen Sie schriftlich ins Ukrainische.
David Hilbert
◈ Hilbert wurde in Königsberg geboren.
◈ 1885 promovierte er mit einer Dissertation über die Invariantentheorie.
◈ 1892 wurde er als Professor in Königsberg berufen. Drei Jahre später lehrte er
in Göttingen.
◈ Er bearbeitete ein weites Feld mathematischer Probleme: Invariantentheorie,
algebraische Zahlentheorie, axiomatische Grundlagen der Geometrie, Analysis,
aber auch die allgemeine Relativitätstheorie - relativ zeitgleich mit Einstein.
◈ Am bekanntesten sind wohl die zum Teil noch ungelösten 23 Probleme, die er
im Jahr 1900 formulierte.
III.
a)
Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
Kommt ein Vektor in einen
Drogenladen und sagt: "Ich bin
linear abhängig!"
126
b) und ein Zitat über Mathematik.
So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft,
in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen,
ob das, was wir sagen, wahr ist.
Bertrand Russell (18.5.1872 - 2.2.1970)
IV.
Minesweeper
2
3
2
2 4
3 4
1
3
3
3
3
Zeichnen Sie in einige Felder des Diagramms
Bomben ein.
Die Zahl in einem Feld gibt an, wie viele der acht
Nachbarfelder eine Bombe enthalten.
Ein Feld mit einer Zahl enthält keine Bombe.
V. Lesen Sie einen Text ohne Wörterbuch. Schreiben Sie aus dem Text
Fachbegriffe und Wortgruppen heraus, die die Grundinformation des Textes
enthalten.
GESCHICHTE DER MATHEMATIK:
ZEITTAFELN ALGEBRA, GEOMETRIE, ANALYSIS
Hauptinformation über die ägyptische
Mathematik: Rhind Papyrus (nach dem
schottischen Ägyptologen Alexander Henry
Rhind, der das Papyrus im Jahr 1858 kaufte). Es
stammt vom Schreiber Ahmes (1680 - 1620
v.Chr.). Dieser wiederum gab an, dass die
Informationen auf dem Papyrus bereits in den
Jahren 2000 v.Chr. bekannt waren.
Altchinesische
Mathematik um 1303
(das später nach Blaise
Pascal benannte Dreieck)
2. Jahrtausend
vor Christus
2. Jahrtausend
vor Christus
2. Jahrtausend
Zeittafel „Klassische Algebra“
Die Ägypter lösen lineare Gleichungen mit einer
Unbekannten
Die Babylonier lösen Systeme von zwei linearen
Gleichungen mit zwei Unbekannten
Die Babylonier behandeln Gleichungssysteme, die auf
127
quadratische Gleichungen führen
Die Griechen verwenden bei der Lösung von
Gleichungssystemen Symbole für die Rechenoperationen
Al-Khwarizmi entwickelt Methoden zur Lösung
quadratischer Gleichungen
Cardano veröffentlicht Lösungsmethoden für die
Gleichungen dritten Grades
Vieta verwendet in der Theorie der Gleichungen
1591
Buchstaben statt Zahlen
John Napier veröffentlicht die ersten Werte für
1614
Logarithmen
Descartes stellt den Zusammenhang zwischen dem Grad
1637
einer Gleichung und der Zahl ihrer Lösungen fest
Gauss beweist in seiner Dissertation den Fundamentalsatz
1797
der Algebra: 'Jede Gleichung n-ten Grades hat genau n
komplexe Lösungen'
Niels Abel beweist, dass es für Gleichungen ab 5. Grad
1824
keine allgemeine Lösungsformeln gibt
Beginn der 'modernen' Algebra mit Evariste Galois
Ab 1824
Zeittafel „Geometrie“
2. Jahrtausend Den Babylonier ist der später nach Pythagoras benannte
vor Christus Satz über die Beziehungen der Seiten in einem
rechtwinkligen Dreieck bekannt
2. Jahrtausend Die Ägypter benützen eine Näherungsformel für die
vor Christus Berechnung der Kreisfläche
Ägypter
berechnen
das
Volumen
eines
2. Jahrtausend Die
vor Christus Pyramidenstumpfs
Hippokrates v. Chios berechnet die Flächen von Möndchen
um 440 vor
Christus
Apollonios v. Perge definiert die Ellipse als Kegelschnitt
um 220 vor
Christus
Verbindung von Algebra mit Geometrie: Pierre de Fermat
1636
führt Koordinatensysteme ein
René Descartes stellt eine Hyperbelgleichung auf
1637
Erfindung der projektiven Geometrie: Victor Poncelet
1822
untersucht projektive Eigenschaften
David Hilbert führt die strenge Axiomatik in der Geometrie
1900
ein
Zeittafel „Analysis“
3. Jahrhundert Archimedes berechnet eine unendliche Reihe
vor Christus
3. Jahrhundert Archimedes berechnet den Inhalt eines Parabelsegmentes
vor Christus
Infinitesimale Methoden: Kepler berechnet den Inhalt von
1615
Rotationskörpern
vor Christus
3. Jahrhundert
nach Christus
9. Jahrhundert
nach Christus
1545
128
1629
1635
1670
um 1675
um 1675
1755
Anfänge der Differentialrechnung: Fermat bestimmt
Maxima und Minima
Cavalieri berechnet den Flächeninhalt der allgemeinen
Parabel
Zusammenhang
zwischen
Differentialund
Integralrechnung: Barrow entdeckt den Hauptsatz der
Differential- und Integralrechnung
Erfindung des Calculus: Leibniz erfindet die moderne
Differentialrechnung
Anwendung
auf
Physik:
Newton
berechnet
Bewegungsvorgänge
Die ersten Lehrbücher: Euler differenziert die SinusFunktion
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Jose Echegaray
(1832 - 1916)
Jose Echegaray Eizaguirre ist ein Nobelpreisträger, nicht für Mathematik,
denn für Mathematik gibt es den bekanntlich ja nicht, sondern für Literatur.
Damit gibt es die Parallelen zu Bertrand Russel . Jose Echegaray erhielt eine
Ausbildung als Ingenieur und studierte anschließend Wirtschaftswissenschaften
und Mathematik. Im Jahre 1854 erfolgte seine Berufung als Professor für
Mathematik an die Ingenieurschule nach Madrid. Diese Tätigkeit beendete er als
er zum Unterrichtsminister, später zum Handelsminister berufen wurde. Neben
wissenschaflichen Arbeiten zur Geometrie, Elektrizität und allgemeiner Physik,
schrieb er zahlreiche Dramen, die man der Neoromantik zurechnet.
Wörter zum Text
аnschließend
услід за, потім
129
GEOMETRIE
Die Geometrie (griech. „Erdmaß“, „Landmessung“) ist ein Teilgebiet der
Mathematik. Einerseits versteht man unter "Geometrie" die zwei- und
dreidimensionale euklidische Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht
gelehrt wird und die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln
etc. beschäftigt, sowie diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge
einer systematischen und mathematischen Behandlung dieses Themas
entwickelt wurden.Andererseits umfasst der Begriff „Geometrie" eine Reihe von
großen Teilgebieten der Mathematik, deren Bezug zur Elementargeometrie für
Laien nur mehr schwer erkennbar ist. Die Verwendung des Plurals weist darauf
hin, dass der Begriff Geometrie in einem ganz bestimmten Sinn gebraucht wird,
nämlich Geometrie als mathematische Struktur, deren Elemente
traditionellerweise Punkte heißen, und deren Beziehungen untereinander durch
Axiome geregelt sind. Dieser Standpunkt geht zurück auf Euklid, der versucht
hat, die Sätze der ebenen euklidischen Elementargeometrie auf einige wenige
Postulate (d. h. Axiome) zurückzuführen.
Die folgende Liste soll einen Überblick über verschiedene Typen von
Geometrien, die in dieses Schema passen, geben:
 Geordnete Geometrie
 Projektive Geometrie und Affine Geometrie: Solche Geometrien
bestehen meist aus Punkten und Geraden, und die Axiome betreffen
Verbindungsgeraden von Punkten und die Schnittpunkte von Geraden. Affine
und projektive Geometrien kommen meist in Paaren - Das Hinzufügen von so
genannten Fernpunkten macht eine affine Geometrie zu einer projektiven.
 Euklidische Geometrie:
 Absolute Geometrie: Das sind die euklidischen zusammen mit den
nichteuklidischen Geometrien.
 Nichteuklidische Geometrie: Geometrien, deren Eigenschaften in vielem
analog zur euklidischen Geometrie sind, in denen jedoch das
Parallelenpostulat nicht gilt.
Man unterscheidet elliptische und hyperbolische Geometrien.
In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen Transformationen,
die bestimmte Eigenschaften nicht zerstören: Zum Beispiel ändert Spiegelung in
einer zweidimensionalen euklidischen Geometrie die Abstände von Punkten.
Felix Klein hat in seinem Erlanger
Programm Geometrie allgemein als die Theorie der Transformationsgruppen
und ihrer Invarianten definiert (vgl. Abbildungsgeometrie). Im folgenden sind
Geometrien und prominente Invarianten aufgezählt:
● Projektive Geometrie Invariante sind das Doppelverhältnis (Verhältnis
von Teilverhältnissen) von vier Punkten und die Kollinearität von Punkten.
● Affine Geometrie: Die Parallelität von Geraden, das Teilverhältnis von
drei Punkten auf einer Geraden, Flächeninhaltsverhältnisse.
● Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzlich zur affinen Geometrie sind
130
invariant: Streckenverhältnisse, Winkel.
● Euklidische Geometrie, zusätzliche Invarianten sind Abstände von
Punkten.
● Nichteuklidische Geometrie: Invariant sind die Abstände von Punkten,
und die Kollinearität von Punkten. Die nichteuklidischen Geometrien passen
jedoch nicht in die obige Hierarchie.
Wörter zum Text
dreidimensional
der Abstand, -es, -e
die Behandlung, -, -en
der Bezug, -es, -e
der Laie, -n, -n
hinweisen auf Akk.
untereinander
der Standpunkt
zurückgehen, i, a
eben
zurückführen auf Akk.
betreffen
der Schnittpunkt
das Hinzufügen
die Transformation, -, -en
im folgenden
invariant
aufzählen
die Kollinearität
zusätzlich
obig
трьохмірний
відстань, інтервал, дистанція
трактування, розробка
відношення, посилання
неспеціаліст, дилетант
посилатися на…, вказувати на…
один з одним, між собою
точка зору, позиція, думка
повертатися
плоский, площинний
зводити до
стосуватися
точка перетину
доповнення
перетворення
надалі, нижче
інваріантний
перераховувати
коллінеарність
додатковий
вищезгаданий, вищевказаний
Gebiete der Mathematik, die zur Geometrie zählen
Die folgende Liste umfasst sehr große und weitreichende Gebiete
mathematischer Forschung.
▪ Inzidenzgeometrie
▪ Algebraische Geometrie
▪ Differentialgeometrie
▪ Konvexe Geometrie
▪ Algorithmische Geometrie
Übungen
I. a) Stellen Sie Fragen zu fettgedruckten Wörtern und Wortgruppen.
◈ Die Geometrie (griech. „Erdmaß“, „Landmessung“) ist ein Teilgebiet der
Mathematik.
131
◈ In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen Transformationen, die
bestimmte Eigenschaften nicht zerstören.
◈ Felix Klein hat in seinem Erlanger Programm Geometrie allgemein als die
Theorie der Transformationsgruppen und ihrer Invarianten definiert (vgl.
Abbildungsgeometrie).
◈ Solche Geometrien bestehen meist aus Punkten und Geraden, und die Axiome
betreffen Verbindungsgeraden von Punkten und die Schnittpunkte von
Geraden.
◈ Die nichteuklidischen Geometrien passen jedoch nicht in die obige
Hierarchie.
b) Nennen Sie Antonyme zu den angegebenen Wörtern.
positiv ungefähr
hoch
klein
schwach weich
die Nähe gebunden
leitend geschlossen direkt
kompliziert
II.
a) Lesen Sie den Text über die Geschichte der Geometrie; betiteln Sie
jeden der Absätze des Textes; übersetzen Sie schriftlich den zweiten
Absatz des Textes ins Ukrainische.
b) Schreiben Sie aus dem Text alle Fachbegriffe heraus und geben Sie
ihre Übersetzung ins Ukrainische.
Geschichte der Geometrie
Zitat: "Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie
der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt
geliefert."
Johannes Kepler, Harmonice Mundi, 1619
In den frühen Hochkulturen gaben die Landvermessung, astronomische
Beobachtungen und der Bau von Tempeln, Pyramiden und Brücken erste
Anstöße zu geometrischen Überlegungen, da diese es erforderten Winkel zu
messen, Flächen- und Rauminhalte zu berechnen und Pläne anzufertigen. Die
Griechen schufen mit Axiomen und davon abgeleiteten Lehrsätzen und der
Logik des Aristoteles die Grundlage für den Beweis der in Mesopotamien und
Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse. Sie machten die Geometrie zu einer
Wissenschaft und benutzten sie auch z.B. zum Beweis zahlentheoretischer
Aussagen. Euklid fasste neben anderen Dingen auch die damals bekannten
Kenntnisse in der Geometrie in seinem Buch "Die Elemente" zusammen. Die
"Elemente" waren bis in die Neuzeit das grundlegende Werk zur Geometrie.Es
wurde vor allem im angelsächsischen Raum noch lange als Schulbuch
verwendet (wozu es denkbar ungeeignet ist). Im Mittelalter erhielt die
Geometrie im Bereich der Trigonometrie (Dreieckslehre) neuen Aufschwung in
Indien und in den Ländern des Islam. In der Neuzeit verlagert sich die
132
Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa. Im 17. Jh. entsteht die
analytische Geometrie (Descartes Anhang "La Géométrie" zu "Méthode pour
bien conduire sa raison, ..." 1638, Leiden) und im 18. Jh. die
Differentialgeometrie als Bindeglied zur Analysis. Ab dem 19. Jahrhundert wird
die Geschichte der Geometrie zu komplex, als dass sie hier auch nur annähernd
beschrieben werden könnte. Wichtig im Zuge der Exaktifizierung
mathematischer Begriffe wie Axiom und Beweis war die Entdeckung der
nichteuklidischen Geometrie.
Wörter zum Text
die Landvermessung
der Tempel, -s,
die Überlegung, -en
abgeleitet
der Lehrsatz
zahlentheoretisch
das Aussagen
angelsächsisch
der Aufschwung
sich verlagern
annähernd
вимірювання землі
храм
міркування, роздум
похідний
теорема
арифметичний
висловлювання
англосаксонський
зліт, розквіт
переміщатися
приблизний
III. a) Bilden Sie Adjektive aus den unten angeführten Wörtern mit Hilfe der
Suffixe -ig; -lich; -sam; -bar; -los und übersetzen sie.
Muster : der Tag → täglich
der Span die Arbeit die Form
die Kraft
das Jahr
das Bild
die Zahl
b) Lesen Sie den Text und beantworten Sie folgende Fragen.
1. Was versteht man unter dem Begriff „der Punkt", „die Gerade", „der
Strahl"?
2. Womit beschäftigt sich die Geometrie?
3. Welche Arten der Geometrie sind Ihnen bekannt?
4. Welche Hauptaufgabe hat jede Art von Geometrie?
Geometrie
Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie ist die Lehre von den
Eigenschaften der räumlichen Figuren, die sich auf Form, Größe und Lage
beziehen. Die Geometrie beschäftigt sich auch mit den Transformationen der
Gebilde. Das Wort „Geometrie" stammt aus der griechischen Sprache und
bedeutet „Erdmessung". Sie entstand in den alten Kulturgebieten Ägypten und
Babylonien als reine Erfahrungswissenschaft aus den Erfordernissen der
Architektur, Astronomie und der Feldvermessung. Die Geometrie zerfällt heute
133
in Planimetrie, Stereometrie, darstellende Geometrie, ebene Trigonometrie,
sphärische Trigonometrie und analytische Geometrie.
Die Elementargeometrie umfasst die Planimetrie und die Stereometrie. Die
planimetrischen Untersuchungen führt man in allgemeinen in einer gegebenen
Ebene durch.
Die Planimetrie betrachtet die Gebilde höchstens als
zweidimensional. Punkte und Geraden sind Grundbausteine der
Elementargeometrie in der Ebene. Die elementare Geometrie beschäftigt sich
mit Punkten, Strecken, Winkeln, Geraden, Dreiecken, Vierecken, Kreisen und so
weiter in der Ebene und im Raum.
Dabei spielt das Bedürfnis, die Gebilde zu messen, eine wesentliche
Rolle. Anschaulich wird die Gerade oft als Spur eines Punktes erklärt. Dieser
Punkt bewegt sich in einer Ebene auf dem kürzesten Verbindungsweg zwischen
Punkten und dabei nie Richtung ändert. Der Punkt wird als Schnittstelle zweier
Geraden aufgefasst. Ein Strahl enthält genau die Menge aller Punkte einer
Gerade.
Die Stereometrie untersucht die Linien und Flächen im Raum. Ein
Teilgebiet der Planimetrie ist die Ebene Trigonometrie. In ihr werden die
Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln der Dreiecke aufgestellt.
Die sphärische Trigonometrie befasst sich mit Eigenschaften von
Dreiecken auf der Kugeloberfläche. Die Aufgabe der darstellenden Geometrie
ist die getreue Darstellung räumlichen Figuren in der Ebene.
Die Differentialgeometrie untersucht die Eigenschaften von Kurven und
Flächen mit den Mitteln der Differentialrechnung.
Wörter zum Text
sich beziehen auf Akk.
das Gebilde, -s, das Erfordernis, -ses, -se
die Feldvermessung
darstellende Geometrie
anschaulich
die Spur, -, -en
die Schnittstelle
auffassen
aufstellen
getreu
посилатися на…, відноситись до…
образ, зображення
вимога, необхідність
геодезія
нарисна геометрія
наглядний, образний
відбиток
стик, точка сполучення
сприймати
встановлювати
точний
IV. a) Lesen Sie lustige Arithmetik.*
Wie errät man den Geburtstag?
Schlagt eurem Freund vor, auf ein Blattt Papier zu schreiben, am wie
vielten Tag eines Monats er geboren ist, und folgende Rechnung durchzuführen:
Beispiel: Euer Freund wurde am 17. August, also am 17. Tag des 8. Monats
geboren.
134
Das geschriebene Zahl mit 2 malnehmen,
17 • 2 = 34
das Ergebnis mit 10 multiplizieren,
34 • 10 = 340
zum Resultat 73 zuzählen,
340 + 73 = 413
die Summe mit 5 malnehmen,
413 • 5 = 2065
zum Ergebnis die Ordnungszahl des Geburtsmonats 2065 + 8 = 2073
addieren.
Das Ergebniszahl 2073 nennt er euch, und ihr sagt ihm sein Geburtsdatum.
b)
Lesen Sie ein Zitat über Mathematik.
Die Mathematik ist das Instrument, welches die Vermittlung bewirkt
zwischen Theorie und Praxis, zwischen Denken und Beobachten: Sie baut die
verbindende Brücke und gestaltet sie immer tragfähiger. Daher kommt es, dass
unsere ganze gegenwärtige Kultur, soweit sie auf der geistigen Durchdringung
und Dienstbarmachung der Natur beruht, ihre Grundlage in der Mathematik
findet.
David Hilbert
c)
Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz.
Ein Mann fliegt einen Heißluftballon und realisiert, dass er die
Orientierung verloren hat. Er reduziert seine Höhe und macht
schließlich einen Mann am Boden aus. Er lässt den Ballon noch
weiter sinken und ruft: "Entschuldigung, können Sie mir helfen. Ich
versprach meinem Freund, ihn vor einer halben Stunde zu treffen aber
ich weiß nicht, wo ich mich befinde." Der Mann am Boden überlegt
eine Weile und sagt dann: "Sie befinden sich in einem
Heißluftballon." "Sie müssen Mathematiker sein", sagt der
Ballonfahrer. - "Bin ich", antwortet der Mann. "Woher wissen Sie...?"
"Sehen Sie", sagt der Ballonfahrer, "Erstens hat es ewig gedauert, bis
eine Antwort kam. Zweitens war die Antwort vollkommen richtig.
Und drittens war sie zu überhaupt nichts zu gebrauchen..." Der
Mathematiker sagt daraufhin: "Sie müssen ein Manager sein!" - "Bin
ich", antwortet der Ballonfahrer, "aber... woher wissen Sie das?"
"Sehen Sie", sagt der Mathematiker, "Sie wissen nicht, wo Sie sind
oder wohin Sie gehen.Sie haben ein Versprechen gegeben, von dem
Sie keine Ahnung haben, wie Sie es einhalten können und Sie
erwarten, dass ich Ihnen dieses Problem löse. Tatsache ist: Sie
befinden sich in exakt derselben Position, in der Sie waren, bevor wir
uns getroffen haben, aber irgendwie ist jetzt alles meine Schuld."
135
d) Konstruieren Sie die Mittelsenkrechte der Strecke AB. Die Länge der Strecke
AB sei d. Zeichnen Sie jeweils einen Kreis mit Mittelpunkt A und mit Mittelpunkt
B mit dem selben Radius r > 1/2 d. Die beiden Kreise schneiden sich in den
Punkten S1 und S2. Die Gerade durch S1 und S2 ist die Mittelsenkrechte der
Strecke AB.*
V.
Zerlege das lachende Gesicht
Zerschneiden Sie das lachende Gesicht
entlang der Rasterlinien in drei gleiche Teile.
Die drei Teile müssen die gleiche Form
und Größe haben, können aber gedreht und/oder
gespiegelt sein.
Das Auge dient nur der Verzierung und
hat bezüglich der Zerlegung keinerlei Bedeutung.
VI. Ezählen Sie nach.
Stefan Banach
(1892 - 1945)
Banach wurde in Krakow geboren, welches damals noch zu ÖsterreichUngarn gehörte, so dass manche ihn auch als Österreicher sehen. Schon in der
Schule interessierte er sich sehr stark für die Mathematik, genau wie sein Freund
Witold Wilkosz, der ebenfalls Mathematiker wurde. Nachdem er sich erst
anderen Dingen zuwandte, brachte ihn die Begegnung mit Steinhaus wieder auf
den Weg der Mathematik. Gemeinsam gründeten sie die mathematische
Gesellschaft von Krakow. Ein weiterer Förderer war Zaremba. 1924 - 25 war er
Gastprofessor in Paris. Er begegnete Tarski, mit der z.B das sogenannte BanachTarski-Paradoxon formulierte. Seine wichtigsten Arbeiten beziehen sich auf die
Funktionsanalyse und Vektorrechnung. Der Begriff Banach-Raum ist heute
wohl jedem Mathematiker geläufig.
Wörter zum Text
zuwenden, a,a
der Förderer, -s
wohl
geläufig
повертати, приділяти
меценат, покровитель
мабуть, напевно
відомий
AFFINE GEOMETRIE
Die affine Geometrie ist eine Verallgemeinerung der Euklidischen
Geometrie, in der zwar das euklidische Parallelenaxiom gilt, aber Abstand und
Winkel keine Bedeutung haben. Im Sinne des Erlanger Programms von Felix
136
Klein wird die affine Geometrie als Inbegriff der unter affinen Abbildungen
invarianten geometrischen Eigenschaften eingeführt.
Definition
Von einer affinen Geometrie spricht man, wenn man eine Menge von
Punkten
, eine Menge von Geraden , eine Inzidenzrelation I zwischen
und sowie eine Parallelitätsrelation auf gegeben hat, und folgende
Axiome erfüllt werden:
Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade.
Auf jeder Gerade liegen mindestens zwei Punkte.
Die Parallelitätsrelation ist eine Äquivalenzrelation
Durch jeden Punkt geht genau eine Gerade, die zu einer gegebenen Gerade
parallel ist.
Wenn ein Dreieck ABC gegeben ist, und zwei Punkte A' und B' derart, dass
die Gerade gAB parallel zu der Geraden gA'B' liegt, so gibt es einen Punkt C' so,
dass auch gAC parallel zu gA'C' und gBC parallel zu gB'C' liegen.
Schreib- und Sprechweise
▬Punkte werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet.
▬Geraden werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet.
▬Gilt für
und
so sagt man, A liegt auf g oder g geht
durch A.
▬Gilt für
so sagt man, g und h sind parallel.
▬Seien
zwei Punkte, so wird die nach dem ersten Axiom
eindeutig definierten Gerade durch A und B mit gAB bezeichnet.
Beispiele
◣ Durch Vektorräume erzeugte affine Räume:
 Der euklidische Anschauungsraum, kann mit einem dreidimensionalen
Vektorraum über erzeugt werden.
 Die euklidische Ebene kann durch einen zweidimensionalen Vektorraum
über erzeugt werden.
 Triviale Beispiele sind:
 eine Gerade auf der alle Punkte liegen,
 ein einzelner Punkt und ist leer,
 sowohl
als auch sind leer
Die kleinste affine Ebene ist die Ebene die durch den zweidimensionalen
Vektorraum über den endlichen Körper erzeugt werden kann.
Sie besteht aus den Punkten
und den Geraden
.
Ferner gilt
137
Wörter zum Text
der Abstand, -es, -e
der Inbegriff, -es, einführen
die Äquivalenzrelation
derart
erzeugen
der Anschauungsraum
відстань, інтервал
сукупність
вводити
відношення еквівалентності
такого роду
створювати
простір споглядання
Übungen
I.
a) Stellen Sie den Plan zum Text zusammen.
b) Drücken Sie die Hauptinformation des Textes aus.
c) Analysieren Sie die Textstellen, die das Verstehen des Inhaltes
erschweren können.
d) Schreiben Sie aus dem Text Wörter, Wortgruppen und Fachbegriffe, die
die Grundinformation des Textes enthalten.
II. a) Senkrechte zu einer Strecke durch einen Punkt P *
Zeichnen Sie einen Kreis mit Mittelpunkt P, der die Strecke AB in zwei
Punkten S1 und S2 schneidet. Konstruieren Sie die Mittelsenkrechte zur Strecke
S1S2. Diese ist die gesuchte Senkrechte. Bemerkung: Dies gilt auch, wenn der
Punkt P auf der Strecke AB. Konstruieren Sie eine Senkrechte zur Strecke AB,
die durch den Punkt P verläuft.
b) Winkelhalbierende*
Konstruieren Sie die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels.
Zeichne einen Kreis mit dem Scheitel S des Winkels als Mittelpunkt. Er
schneidet die Schenkel des Winkels in den Punkten A und B. Zeichnen Sie
jeweils einen Kreis um den Mittelpunkt A und um den Mittelpunkt B mit dem
selben Radius, so dass sich diese Kreise in einem Punkt P schneiden. Die
Gerade duch P und S ist die Winkelhalbierende des gegebenen Winkels.
III. Erzählen Sie den Artikel nach.
Ungelöste Probleme der Mathematik
Im Jahre 2000 stellte das CMI in Cambridge, Massachusetts, die sieben
wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik vor und lobte für eine
veröffentlichte Lösung jeweils einen Preis von 1 Million Dollar aus. Als Vorbild
diente offensichtlich David Hilbert, der am 8. August 1900 auf dem
Internationalen Mathematikerkongress in Paris 23 bis dahin ungelöste Probleme
der Mathematik formulierte. Dazu gehörte auch die Riemannsche Vermutung,
die heute noch ungelöst ist und auch in der CMI-Liste enthalten ist.
138
Weitere ungelöste Probleme sind:
▬ Zahlentheorie
▪ Primzahlen
▸ Gibt es unendlich
viele Primzahlzwillinge?
▸ Gibt es unendlich
viele Mersenne-Primzahlen?
▸ Gibt es unendlich
viele Fermatsche Primzahlen?
▸ Gibt es unendlich
viele Sophie-GermainPrimzahlen?
▸ Gibt es einen schnellen Algorithmus
▸ Gibt es nur endlich
zur Primfaktorzerlegung?
viele Wieferich-Primzahlen?
▸ Goldbachsche Vermutung
▪ Collatz-Problem
▪ Gibt es unendlich
(Preisgeld: 1000 englische Pfund) viele befreundete Zahlen?
Existieren ungerade perfekte Zahlen?
► 1977:
► 2002:
Vier-Farben-Problem
Catalan'sche Vermutung
► 1995:
► 2003:
Fermatsche Vermutung
Poincaré-Vermutung
Ein Beweis der allgemeineren Geometrisierung von 3Mannigfaltigkeiten von Grigori Perelman wurde 2006 anerkannt.
IV. a)
Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
Ein
Physiker,
ein
Mathematiker
und
ein
Wirtschaftswissenschaftler werden vor die Aufgabe gestellt, die
Höhe eines Kirchturms zu ermitteln. Wie machen sie es?
-Der Physiker natürlich mit einem Stein und der Stoppuhr,
-Der Mathematiker berechnet die Höhe, indem er die Strahlensätze
mit Hilfe seines Daumens anwendet.
-Der Wirtschaftswissenschaftler gibt dem Pastor 50 Euro für die
Antwort.
b) ein Zitat über Mathematik
Wer sich keinen Punkt denken kann, der ist einfach zu faul
dazu.
Mathematiklehrer Brenneke in "Eduards Traum" von
Wilhelm Busch
139
c) und lustige Arithmetik.*
Wie viel Fahrzeuge?
In einer Werkstatt wurden im Monat 40 Fahrzeuge − Autos und
Motorräder − repariert. Insgesamt durchliefen genau 100 Räder die
Reparatur. Nun ist die Frage, wie viele von den reparierten Fahrzeugen
waren Autos, wie viele Motorräder?
V.
Möbius
Verbinden Sie die Zahlen im Diagramm mit einer
durchgehenden Linie, beginnend mit der kleinsten Zahl und
endend mit der größten Zahl. Die Linie darf das Diagramm
auf einer Seite (links, rechts, oben, unten) verlassen. In diesem
Fall muss sie auf der gegenüberliegenden Seite (rechts, links,
unten, oben) wieder in das Diagramm eintreten.
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Euklid von Alexandria
Über das Leben des griechischen Mathematikers Euklid ist wenig
bekannt. Man nimmt an, dass er um das Jahr 365 v. Chr. geboren wurde und
dass er seine Ausbildung an Platons Akademie in Athen erhalten hat. Man ist
ziemlich sicher, dass er während der Regierungszeit von Ptolemaios I
(möglicherweise auch während der von Ptolemaios II) in Alexandria bis etwa
zum Jahre 300 v. Chr. gelebt und dort Mathematik gelehrt hat. Berühmt wurde
Euklid durch 13 Lehrbücher, in denen das damalige Wissen zur Mathematik
zusammengefasst ist. Die Elemente, wie diese Bücher genannt werden, sind die
erfolgreichsten Mathematikbücher aller Zeiten. So wurden Übersetzungen dieser
Bücher z. B. in England noch im 19. Jahrhundert als offizielle Schulbücher für
die Geometrie benutzt. Über Euklid erzählt man sich viele Anekdoten: Ein
Schüler fragte, als er den ersten Satz gelernt hatte: "Was kann ich verdienen,
wenn ich diese Dinge lerne?" Da rief Euklid seinen Sklaven und sagte: "Gib ihm
drei Obolen, denn der arme Mann muss Geld verdienen mit dem, was er lernt."
Pharao Ptolemaios fragte einmal Euklid, ob es nicht für die Geometrie einen
kürzeren Weg gebe, als die Lehre der Elemente. Er aber besaß den Mut zu
antworten, dass es zur Geometrie keinen Königsweg gebe. Auch ein König muss
sich wie jeder andere Mensch "auf den Hosenboden setzen", wenn er die
Mathematik verstehen will.
Wörter zum Text
аnnehmen, а, о
zusammenfassen
der Obolus
besitzen, a, e
"auf den Hosenboden setzen"
вважати, припускати
узагальнювати
внесок, лепта
мати, володіти
засісти за зубріння
140
DIFFERENTIALGEOMETRIE
Die Differentialgeometrie stellt als Teilgebiet der Mathematik die
Synthese von Analysis und Geometrie dar.
Teilgebiete
Klassische Differentialgeometrie
Die elementare Differentialgeometrie beschäftigt sich mit Kurven und
Flächen
im
dreidimensionalen
Anschauungsraum
und
ihren
Krümmungseigenschaften. Zu den klassischen Studienobjekten gehören
beispielsweise die Minimalflächen, die in der Natur als Formen von
Seifenhäuten entstehen.
Moderne Differentialgeometrie
Die abstrakte Differentialgeometrie entsteht aus der Beschreibung ohne
Rückgriff auf einen umgebenden Raum. Der zentrale Begriff ist der der
differenzierbaren Mannigfaltigkeit: eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein
geometrisches Objekt (genauer: ein topologischer Raum), der lokal in etwa
aussieht wie der n-dimensionale reelle Raum.
Das klassische Beispiel, das auch die Terminologie motiviert, ist die
Erdoberfläche: In kleinen Ausschnitten lässt sie sich durch Karten beschreiben,
d.h. kleine Teile "sehen aus wie" die Ebene. Um aber ein Gesamtbild der Erde
zu erhalten, müssen noch die Kartenwechsel beschrieben sein: welche Teile
zweier Karten entsprechen sich? Das Attribut differenzierbar bezieht sich nun
darauf, dass diese Kartenwechsel differenzierbare Abbildungen sein sollen. Das
ermöglicht es, von differenzierbaren Funktionen auf der Mannigfaltigkeit zu
sprechen, und die Analysis wird gewissermaßen zur lokalen Theorie, deren
globale Entsprechung die Differentialgeometrie ist.
Riemannsche Geometrie
Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es keine vordefinierte
Längenmessung. Ist sie als zusätzliche Struktur gegeben, spricht man von
riemannschen Mannigfaltigkeiten. Sie sind Gegenstand der riemannschen
Geometrie, die auch die sich aus dieser Struktur ergebenden Begriffe der
Krümmung, der kovarianten Ableitung und der Parallelverschiebung untersucht.
Differentialtopologie
Die Differentialtopologie benutzt Mittel der Differentialgeometrie und der
Topologie zum Studium topologischer Eigenschaften der betrachteten
Mannigfaltigkeiten.
Theorie der Liegruppen
Liegruppen treten an vielen Stellen der Mathematik und Physik als
Gruppen kontinuierlicher Symmetrien auf, beispielsweise als Drehungen des
Raumes. Das Studium des Transformationsverhaltens von Funktionen unter
Symmetrien führt zur Darstellungstheorie der Liegruppen.
Anwendungsgebiete
Anwendung findet die klassische Differentialgeometrie in der
Allgemeinen Relativitätstheorie. Sie ermöglicht die Voraussage von
Phänomenen, die durch das Experiment bestätigt werden (Lichtablenkung).
141
Koordinatentransformationen entsprechen in der Relativitätstheorie Wechsel
von Bezugssystemen, aus denen heraus ein Phänomen beobachtet wird. Dies
entspricht unterschiedlichen Sichtweisen auf ein Ereignis. Die klassische
Differentialgeometrie wurde auch schon früher in der Geodäsie und
Kartographie angewendet. Beispiel ist hier unter anderem die
Kartenprojektionslehre, aus der die Begriffe geodätische Linie und gaußsche
Krümmung stammen. Ein anderes wichtiges Anwendungsgebiet ist in der
Theorie der Defekte und der Plastizität.
Wörter zum Text
die Krümmung
die Krümmungseigenschaft
die Seifenhаut
der Rückgriff
umgebend
differenzierbar
die Mannigfaltigkeit
der Ausschnitt, -es, -e
gewissermaßen
kovariant
die Ableitung, -, -en
die Parallelverschiebung
die Drehung, -, -en
kontinuierlich
das Transformationsverhalten, -s
die Darstellungstheorie
die Voraussage, -, -n
die Lichtablenkung
der Wechsel, -s
das Bezugssystem
die Sichtweise
die Plastizität
крива, викривлення
властивість викривлення, вигину
мильна плівка, пінка
регрес, повернення
оточений
диференційований
багатоманітність, різноманітність
сектор
певним чином
коваріантний
похідна
паралельний перенос
поворот, оберт
безперервний
властивість перетворення
теорія представлення
прогноз, передбачення
відхилення світла (зміна руху)
зміна, чередування
система співвідносних понять
точка зору
пластичність
Übungen
I. a) Schreiben Sie aus dem Text Fachbegriffe und Wortgruppen heraus, die
die Grundinformation des Textes enthalten.
b) Stellen Sie den Plan zum Text zusammen.
c) Drücken Sie die Hauptinformation des Textes aus.
II. a) Geben Sie Synonyme zu den fettgedruckten Wörtern.
▪ Er beschäftigt sich mit Mathematik.
▪ Der Mathematiker trug zur Entwicklung dieser Theorie bei.
▪ Euler war vielseitig interessierter Mathematiker.
142
▪ Milet von Thales bestimmte die Höhe einer ägyptischen Pyramide ohne sie zu
besteigen.
▪ Auf diesen arabischen Mathematiker Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi gehen
die Begriffe “Algorithmus” und “Algebra” zurück.
▪ Samos von Pythagoras gründete einen Geheimbund der Pythagoraeer mit
zwei Klassen, den „Mathematikern“ und den „Zuhörern“.
▪ Jordanus Nemonarius benutzt die Symbole m und p für Plus und Minus
▪Geronimo Cardano befasste sich als erster mit der mathematischen
Wahrscheinlichkeit, beschrieb die schon vor ihm erfundene kardanische
Aufhängung und das Kardangelenk.
▪Nostradamus stellte Horoskope und prophezeite auf Grund angeblich göttliche
Offenbarungen
b) Konjugieren Sie im Präsens Passiv.
mündlich
loben
bitten
anrufen
suchen
schriftlich
nennen
mitnehme
n
c) Bestimmen Sie den Artikel folgender Zusammensetzungen und übersetzen Sie
sie mit Hilfe des Wörterbuches.
Wahrscheinlichkeitstheorie Schätzfunktion
Konfidenzintervalle
Parallelverschiebung
Grundgesamtheit Koordinatentransformation
Differentialgeometrie
Erdoberfläche
Kartenwechsel
Längenmessung
Liegruppe
Kartenprojektionslehre
Vektorfeld
Bereichsschätzung Krümmungstensor
III. Lesen Sie den Artikel und Erzählen Sie den Text nach.
Was ist Trigonometrie?
Das Wort Trigonometrie stammt von griechischen trigonom, welches für
Dreieck und métron (Maß) steht. Die Trigonometrie ist natürlich auch ein
wichtiges Teilgebiet der Geometrie und somit von der Mathematik. Wir
behandeln hier nur die Euklidische Trigonometrie, aber dies nebenbei. Nun stellt
sich wohl die Frage, warum Trigonometrie wichtig ist. Diese Frage wird in den
meisten Schulbüchern nur mit einem kleinen Absatz beantwortet. Wir hingegen
wollen hier einige Beispiele auflisten, in denen die Trigonometrie heutzutage
benötigt wird.
Abbildung 1a Abbildung 1b
Die Abbildung 1a zeigt eine Teekanne und ist zugleich das erste Beispiel.
Dieses Bild wurde mit einem Computerprogramm erstellt. Die Teekanne steht
143
repräsentativ für alle 3D Bilder oder Filme die mit dem Computer erstellt
werden, zu gehören Special Effects in Kinofilmen wie auch bei
Computerspielen. Das Bild ist nun schon das fertige Produkt, Abbildung 1b zeigt
die Teekanne wie sie der Computer sieht. Wenn Sie das Bild vergrößern, stellen
Sie fest das es aus lauter kleinen Dreiecken besteht. Und aus diesen kleinen
Dreiecken besteht sozusagen jede Virtuelle Welt die auf modernen 3D-Karten
dargestellt wird. Leider sind diese Sachen so komplex, dass wir diese hier nicht
einmal anschneiden können.
Wörter zum Text
somit
behandeln
nebenbei
hingegen
auflisten
repräsentativ
lauter
anschneiden, і, і
IV. a)
таким чином
звертатися, обговорювати, трактувати
поблизу, поряд
навпаки ж, проте
навести
показний, представницький
виключно
відрізати
Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
Ein Mathematiker, ein Physiker und ein Biologe stehen vor einem
Fahrstuhl. Es steigen 9 Personen in den Fahrstuhl hinein. Nach einiger Zeit
kommt der Fahrstuhl wieder und es steigen 10 Personen aus. Was denken
sich die drei? Der Biologe: Na, die haben sich anscheinend vermehrt! Der
Physiker: Naja, 15% Rechenungenauigkeit! Der Mathematiker: Wenn jetzt
noch einer reingeht, ist keiner mehr drin.
b) ein Zitat über Mathematik
Die Furcht vor der Mathematik steht
der Angst erheblich näher
als der Ehrfurcht.
Felix Euerbach (1856 - 1933)
c) und eine Arithmetik.*
Eine Million Schritte
Sie wissen natürlich sehr gut, was eine Million ist, und ebenso gut
haben sie eine Vorstellung davon, wie lang Ihrer Schritt ist. Und da sie
beides wissen, wird es ihnen nicht schwerfallen, auf die Frage zu antworten:
Wie weit würden sie mit einer Million Schritte gehen? Mehr als 10 km oder
weniger?
144
V.
Rechengitter
In die Felder des Diagramms sind die Zahlen
+
x = 42
von 1 bis N einzutragen, wobei jede Zahl genau einmal
x
+
:
verwendet werden muss. Die Gleichungen müssen
x
: = 28
stimmen.
x +
Die Rechenoperationen sind strikt von oben
+ = 13
nach unten und von links nach rechts durchzuführen.
Kein Zwischenergebnis darf negativ werden.
=
= =
Alle Divisionen müssen ganzzahlig ohne Rest 23 10 8
aufgehen.
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Napoleon Bonaparte
(1769 - 1821)
Über Napoleon Bonaparte, auch Napopolen I., gibt es jede Menge im
Netz, in Büchern und viel ist auch im Kino und Fernsehen zu sehen gewesen.
Sein Beitrag zur Mathematik aber ist nicht unbedingt so bekannt. So förderte er
die Naturwissenschaften, aber eben auch die Mathematik durch Gründungen
verschiedener wissenschaftlicher Einrichtungen, wobei er auf schnelle
Verwertbarkeit der Ergebnisse besonderen Wert legte.
Es gibt aber auch den Satz des Napoleon, den er im Kreise von
Mathematikern gern zitiert haben soll, ob er ihn selber gefunden hat ist nicht so
sicher. Dieser Satz besagt, dass für jedes Dreieck gilt: Werden über den Seiten
des Dreiecks gleichseitige Dreiecke errichtet, so bilden deren Schwerpunkte ein
gleichseitiges Dreieck. Zu diesem Satz gibt es auch eine Reihe von
Verallgemeinerungen.
GEORDNETE GEOMETRIE
Die Geordnete Geometrie ist eine Geometrie mit recht wenigen
Axiomen. Die Affine Geometrie, die Projektive Geometrie, die Absolute
Geometrie sowie die Euklidische und die Nichteuklidische Geometrie sind alle
Spezialfälle der Geordneten Geometrie.
Die Geordnete Geometrie beschränkt sich auf
▪ das Konzept eines Punktes (z. B. A, B, C, ...) und
▪ das Konzept des Dazwischen (z. B. B ist zwischen A und C, geschrieben als
[ABC]). Das entspricht den ersten beiden Axiomen der Euklidischen Geometrie.
► Man kann eine gerade Strecke von einem Punkt zu einem anderen Punkt
ziehen.
► Man kann eine Strecke kontinuierlich zu einem Strahl verlängern.
Daraus entstehen Begriffe wie
◦ das Segment AB (die Menge aller Punkte P, für die [APB] gilt),
◦ die Strecke AB (das Segment AB einschließlich A und B),
◦ der Strahl AB (die Menge aller Punkte P, für die [PAB] gilt),
145
◦ die Gerade AB (die Vereinigung des Strahls AB, der Strecke AB und des
Strahls BA) und
◦ das Dreieck ABC (Wenn A, B und C nicht alle auf einer Geraden liegen).
Auch Winkel und Parallele lassen sich definieren.
Die Geordnete Geometrie wird durch die folgenden Axiome exakt
definiert:
1. Axiom: Es gibt mindestens zwei Punkte.
2. Axiom: Wenn A und B unterschiedliche Punkte sind, dann gibt es wenigstens
einen Punkt C, so dass [ABC].
3. Axiom: Wenn [ABC] dann A ungleich C.
4. Axiom: Wenn [ABC] dann [CBA], aber nicht [BCA].
5. Axiom: Wenn C und D unterschiedliche Punkte auf der Geraden AB sind,
dann ist A auf der Geraden CD. Bislang konnten theoretisch alle Punkte der
Geometrie auf einer Geraden liegen. Um diese 'langweilige' Geometrie
auszuschließen, fordert man
6. Axiom: Wenn die Gerade AB existiert, dann gibt es einen Punkt C außerhalb
der Geraden AB. Das folgende 7. Axiom stellt auf eine sehr 'verborgene' Weise
sicher, dass es zwischen zwei beliebigen Punkten immer noch (mindestens)
einen weiteren Punkt gibt. Die direkte axiomatische Forderung nach
'Zwischenpunkten' führt zu axiomatischen Problemen, die hier nicht diskutiert
werden können.
7. Axiom: Wenn ABC ein Dreieck ist, und [BCD] und [CEA] gilt, dann existiert
auf der Geraden DE ein Punkt F, für den [AFB] gilt. Weiterhin muss
sichergestellt sein, dass die Geraden 'kontinuierlich' sind, d.h. dass keine Lücken
auftreten.
8. Axiom: (Informal) Die Punkte auf einer Geraden liegen dicht (im Sinne des
Grenzwertsatzes). Bislang wurde noch gar nicht über die Dimension des von
der Geometrie beschriebenen Raumes gesprochen. Sie wird ebenfalls
axiomatisch festgelegt: 2 Dimensionen:
9. Axiom: Alle Punkte liegen in einer Ebene.
oder 3 Dimensionen:
9. Axiom: Wenn ABC ein Dreieck bilden, dann gibt es einen Punkt D außerhalb
der durch das Dreieck aufgespannten Ebene.
10. Axiom: Alle Punkte liegen im 3-dimensionalen Raum.
oder 4 Dimensionen:
10. Axiom: Wenn ABCD einen 3-Dimensionalen Tetraeder bilden, dann gibt es
einen Punkt E außerhalb des durch den Tetraeder aufgespannten Raumes.
11. Axiom: Alle Punkte liegen im 4-dimensionalen Raum.
oder mehr Dimensionen
Dieses Schema kann bis zu beliebigen Dimensionen fortgeführt werden.
146
Wörter zum Text
sich beschränken auf Akk.
das Konzept
ziehen
kontinuierlich
der Strahl, -es, -en
еxakt
außerhalb
verborgen
die Weise, -n
die Forderung nach D.
sicherstellen
kontinuierlich
die Dimension, -, -en
axiomatisch
festlegen
aufgespannt
das Tetraeder, -s
fortführen
обмежуватися
поняття
протягати
безперервний
промінь, напівпряма, пряма
точний
за межами, поза
таємничий, прихований
спосіб, манера
вимога, претензія (чогось)
встановлювати, гарантувати
безперервний
розмір, вимірювання
аксіоматичний; той, що не потребує доказів
встановлювати, визначати
розтягнений
тетраедр, чотирикутник
продовжувати
Übungen
I. a) Gliedern Sie den Text in sinngebundene Textteile. Betiteln Sie jeden
Teil.
b) Drücken Sie in einem Satz den Hauptgedanken des Textes aus.
c) Welche neue Information bekamen Sie aus dem obenangeführten Text?
II. a) Übersetzen Sie folgende Sätze ins Ukrainische und schreiben Sie alle
mathematischen Fachbegriffe heraus.
▬ Die Geometrie (griech. „Erdmaß“, „Landmessung“) ist ein Teilgebiet der
Mathematik.
▬ Einerseits versteht man unter "Geometrie" die zwei- und dreidimensionale
euklidische Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht gelehrt wird und
die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc. beschäftigt,
sowie diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge einer
systematischen und mathematischen Behandlung dieses Themas entwickelt
wurden.
▬ Andererseits umfasst der Begriff „Geometrie" eine Reihe von großen
Teilgebieten der Mathematik, deren Bezug zur Elementargeometrie für Laien
nur mehr schwer erkennbar ist.
b) Nennen Sie die ukrainischen Äquivalente für unten angeführte Fachbegriffe.
mathematische
euklidische
eine tiefere Diskussion
Behandlung
Elementargeometrie
dieses Konzeptes
147
eine gerade Strecke
im 3-dimensionalen
Raum
die Menge aller
Punkte
eine Geometrie mit recht
wenigen Axiomen
eine Reihe von großen
Teilgebieten der
Mathematik
der Unterschied
zwischen rationalen
Zahlen und reellen
Zahlen
von einem Punkt zu
einem anderen Punkt
ziehen
einen 3-Dimensionalen
Tetraeder bilden
die direkte axiomatische
Forderung
III. a) Bilden Sie Adjektive oder Adverbien mit dem Präfix ’’un -’’, übersetzen
Sie ins Ukrainische.
klar
ruhig
ausführbar
begrenzt
beweglich
bekannt
wohl
artig
erfüllbar
begreiflich
bewußt
beträchtlich
trennbar
auffällig
befleckt
beständig
nötig
wichtig
angenehm
aufmerksam
befriedigend
bestimmt
glücklich
wesentlich
b) Nennen Sie Grundformen von folgenden Verben.
erfinden beantworten aussehen
ablegen haben
können
erlernen sein
schreiben
IV.
a)
erfinden anzeigen werden
tragen
schaffen wissen
machen anfertigen ticken
Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz,
Was schenkt ein Mathematiker seiner Braut am
Hochzeitstag?!
- einen Polynomring in einer Intervallschachtelung
verpackt!
b) ein Zitat über Mathematik
Von allen, die bis jetzt nach Wahrheit forschten,
haben die Mathematiker allein eine Anzahl Beweise finden können,
woraus folgt, dass ihr Gegenstand der allerleichteste gewesen sein müsse.
René Descartes
148
c) und lustige Arithmetik.*
Wasser und Wein
In einer Flasche ist ein Liter Wein, in einer anderen ein Liter Wasser. Aus
der ersten wurde ein Löffel Wein in die zweite umgefüllt und danach aus der
zweiten in die erste ein Löffel des entstandenen Gemisches zurückgegossen. Ist
jetzt mehr Wasser in der ersten Flasche oder mehr Wein in der zweiten?
V.
Pfeilpfad
Nummerieren Sie die Felder von 1 bis N (= Zeilen ×
Spalten); einige Nummern sind schon vorgegeben. Ein
Pfeil in einem Feld zeigt in die Richtung, in der sich das
Feld mit der nächsten Nummer befindet. Jedes Feld muss
genau einmal verwendet werden.
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Gerhard Mercartor
(1512 - 1594)
Mercator (ursprünglich Cremer) Er studierte um 1530 in Leeuwen u.a.
Philosophie und Mathematik. Mit seinen von ihm hergestellten mathematischen
Instrumenten nahm er Landvermessungen vor. Seine spätere Meisterschaft in
der Kartenproduktion zeigte sich schon bei der Anfertigung seiner Globen, 1541
einen Erdglobus und 1551 einen Himmelsglobus. 1552 siedelte er nach
Duisburg über. Dort brachte er 1559 seine bekannte herzfömige Weltkarte
heraus. Für die Darstellung seiner riesen Weltkarte (1,31 m x 2 m) nutzte er als
erster eine Projektionsform, die als Mercatorprojektion bis heute noch
angewandt wird. Der Ausgabe seiner vielen Karten in einem Sammelwerk gab
er den Namen Atlas, so hat der Begriff des Autoatlasses eine recht lange
Vorgeschichte.
PROJEKTIVE GEOMETRIE
Die projektive Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Sie ist aus
der perspektivischen Darstellung dreidimensionaler Gegenstände in der
zweidimensionalen Ebene hervorgegangen. Im Gegensatz zur "gewöhnlichen",
euklidischen Geometrie, gibt es in der projektiven Geometrie keine Parallelen.
Auch die mathematischen Strukturen, die in der projektiven Geometrie
untersucht werden, heißen projektive Geometrien, siehe auch: Axiomatischer
Zugang weiter unten.
Projektive Geometrie als Erweiterung der euklidischen Geometrie
In der projektiven Geometrie der Ebene wird die bekannte euklidische
Ebene um zusätzliche Punkte ergänzt: Zu jeder Klasse paralleler Geraden
149
kommt ein so genannter unendlich ferner Punkt hinzu; alle diese Punkte bilden
die unendlich ferne Gerade. Im Gegensatz zur Euklidischen Geometrie
schneiden sich zwei Geraden stets in einem Punkt: Zwei parallele Geraden
schneiden sich in ihrem gemeinsamen Fernpunkt, eine gewöhnliche Gerade und
die Ferngerade schneiden sich im Fernpunkt der Geraden. Eine entsprechende
Konstruktion ist auch für den Raum möglich. Die Bezeichnung "projektive"
Geometrie leitet sich davon ab, dass Zentralprojektionen ein wichtiges
Hilfsmittel und Studienobjekt der projektiven Geometrie sind.
Eine Zentralprojektion von einem Punkt P auf eine Gerade g, die P nicht
enthält, kann in der projektiven Ebene oder im projektiven Raum auf jeden
Punkt mit Ausnahme von P angewendet werden. Im euklidischen Fall müsste
man die Parallele zu g durch P ausschließen. Ein wichtiger Begriff in diesem
Zusammenhang ist das Doppelverhältnis
von vier Punkten A,B,C,D,
die auf einer Geraden liegen. Es ändert sich bei Zentralprojektion nicht.
Wörter zum Text
die Darstellung
hervorgehen
Axiomatischer Zugang
die Erweiterung, -en
ergänzen
hinzukommen
fern
sich schneiden
sich ableiten von
die Zentralprojektion
enthalten
представлення, зображення, виклад
витікати, походити
аксіоматичний підхід
розширення
доповнювати
добавляти
віддалений
пересікатися
виводити
центральна проекція, перспектива
містити
Axiomatischer Zugang
Beim axiomatischen Zugang werden abstrakte Mengen von so genannten
Punkten und Geraden zusammen mit einer Inzidenzrelation betrachtet, die
angibt, welche "Punkte" auf welchen "Geraden" liegen. An diese Daten werden
gewisse Anforderungen (Axiome) gestellt.
Das einfachste Beispiel für eine projektive
Geometrie ist die Fano-Ebene, die aus sieben Punkten
und sieben Geraden besteht; im nebenstehenden Bild sind
die "Punkte" die dick markierten Punkte, die "Geraden"
sind die Strecken sowie der Kreis.
Fano-Ebene
150
Ein mögliches Axiomsystem der projektiven Geometrie lautet:
1. Geradenaxiom: Sind P und Q zwei verschiedene Punkte, so gibt es genau
eine Gerade, die mit P und Q inzidiert.
2. Veblen-Young-Axiom: Sind A,B,C,D vier Punkte, so dass AB und CD mit
einem gemeinsamen Punkt inzidieren, so inzidieren auch AC und BD mit einem
gemeinsamen Punkt.
3. Axiom 3: Jede Gerade inzidiert mit mindestens drei Punkten.
4. Axiom 4: Es gibt mindestens zwei verschiedene Geraden.
Ein projektiver Raum ist eine Geometrie, die die Axiome 1-3 erfüllt. Wird
zusätzlich das Axiom 4 erfüllt, spricht man von einem nichtausgearteten
projektiven Raum.
Axiom 2 sagt, dass sich zwei Geraden schneiden können. Benutzt man an
seiner Stelle das stärkere Axiom 2', spricht man von einer projektiven Ebene.
Axiom 2': Je zwei verschiedene Geraden haben einen gemeinsamen
Punkt.
Bei dreidimensionalen projektiven Geometrien sind außer Fernpunkten
auch Ferngeraden (als die Richtung von parallelen Ebenen) und eine unendlich
ferne Ebene einzuführen. Bei höheren Dimensionen gibt es entsprechend
"Fernebenen" usw.
Anschaulich lässt sich unter einem Fernpunkt im dreidimensionalen Raum
die Richtung einer Geraden vorstellen. Dann haben zwei in einer Ebene liegende
Geraden immer einen gemeinsamen Punkt: Entweder ihren im Endlichen
liegenden gewöhnlichen Schnittpunkt oder, wenn sie parallel sind, ihre
gemeinsame Richtung, ihren Fernpunkt. Bei perspektivischer Darstellung laufen
sie in der Zeichenebene tatsächlich in diesem Punkt zusammen. Die geläufige
Redeweise, dass Parallelen sich im Unendlichen schneiden erhält damit neben ihrer praktischen Erklärung beim perspektivischen Zeichnen - auch einen
präzisen mathematischen Sinn. Entsprechend ist eine Ferngerade die Richtung
einer Ebene im Raum. Zwei Ebenen haben also immer eine Gerade gemeinsam:
Entweder ihre im Endlichen liegende Schnittgerade oder, wenn sie parallel sind,
ihre gemeinsame Richtung (Ferngerade).
Durch die Inzidenzbeziehungen der Grundelemente Punkt, Gerade und
Ebene des projektiven Raumes entstehen die Grundgebilde. Ihre durch die
Operationen Projizieren und Schneiden entstehenden Beziehungen werden in
der koordinatenfreien synthetischen projektiven Geometrie (Geometrie der
Lage) untersucht. Projektive Räume höherer Dimensionen lassen sich analog
konstruieren.
Wörter zum Text
die Relation, -, -en
angeben
gewiss
inzidieren
erfüllen
відношення, співвідношення
вказувати, повідомляти
безумовно, звісно
надрізати, робити надріз
виконувати
151
nichtausgeartet
sich schneiden
der Fernpunkt
einführen
anschaulich
der Schnittpunkt
geläufig
die Redeweise
präzis
die Schnittgerade
die Ferngerade
das Grundgebilde
не перетворений; не вийшовший за межі
пересікатися
дальня точка
вводити
наглядно, образно
точка перетину
уживаний, загальновідомий
спосіб вираження, викладу
точний
розрізана пряма
віддалена пряма
зображення в плані
Übungen
I.
a) Stellen Sie schriftlich den Plan zum Text zusammen.
b) Welcher Absatz des Textes enthält die Information über Axiomsystem
der projektiven Geometrie? Übersetzen Sie diesen Absatz ins
Ukrainische.
c) Bereiten Sie möglichst kurz die Annotation zum Text vor.
d) Geben Sie andere Benennung des Textes.
II. Konstruieren Sie die Mittelsenkrechte der Strecke AB. Der Schnittpunkt der
Mittelsenkrechten mit der Strecke AB ist der Mittelpunkt M der Strecke AB. *
III.
a)
Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz,
Der Lehrer fragt Bernd: Du hast sieben Stück Schokolade und dein Bruder
Peter will zwei davon haben, wie viele bleiben dir dann noch? Sieben, Herr
Lehrer.
b) ein Zitat über Mathematik
Das Buch der Natur ist mit mathematischen
Symbolen geschrieben. Genauer: Die Natur spricht
die Sprache der Mathematik: die Buchstaben
dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere
mathematische Figuren.
Galileo Galilei
152
c) und lustige Arithmetik.*
Frühstück
Zwei Väter und zwei Söhne aßen zum Frühstück drei Eier,
wobei jeder von ihnen ein ganzes Ei aß.
Wie erklärt ihr das?
IV. a) Übersetzen Sie folgende Sätze ins Ukrainische.
Zur Geometrie zählen jene Teilgebiete der Mathematik, die sich mit Punkten,
Figuren und Körpern, Geraden und Ebenen, Linien und Flächen, Längen und
Längenverhältnissen sowie Verallgemeinerungen dieser Begriffe beschäftigen.
Die klassische Geometrie widmete sich seit der Antike vor allem der
Erforschung der ebenen Figuren und der ihnen innewohnenden
Gesetzmäßigkeiten.
In der auf Pierre de Fermat (1601 oder 1607 - 1665) und René Descartes
(1596 - 1650) zurückgehenden analytischen Geometrie werden geometrische
Objekte (meist in Bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem) analytisch
("formelmäßig") beschrieben und geometrische Probleme rechnerisch gelöst.
Aus der klassischen Geometrie entstanden, aber heute sehr stark mit
analytischen Methoden angereichert sind die Trigonometrie (Dreiecksgeometrie)
und die sphärische Trigonometrie.
b) Handelt es sich bei den folgenden Sätzen um All- oder Existenzaussagen?
Sind die Aussagen wahr oder falsch? Formuliere jeweils des Gegenteil. *
Allaussagen und Existenzaussagen
1. Alle Primzahlen sind ungerade.
2. Alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen.
3. Die Höhen aller Dreiecke schneiden sich im Innern der Dreiecke.
4. Wenn der Abstand der Mittelpunkte zweier Kreise kleiner ist als die Summe
Ihrer Radien, dann schneiden sich die Kreise.
5. Verläuft eine Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises, so unterteilt sie
diesen in zwei gleich große Teile.
6. Es gibt keinen Drachen, der ein Parallelogramm ist.
7. Trapeze besitzen höchstens eine Spiegelachse.
8. Es gibt Rauten mit rechten Winkeln.
9. Enthält ein Viereck einen rechten Winkel, so ist es ein Rechteck.
10.Wenn zwei Zahlen durch sechs teilbar sind, dann ist auch Ihre Summe durch
sechs teilbar.
c) Schreiben Sie fünf Fragen zum Text und stellen Sie sie aneinander.
Die Grundkonstruktionen
Eine Gerade m heißt Mittelsenkrechte von AB, wenn sie durch den
Mittelpunkt von AB geht und senkrecht zu AB verläuft.
153
Die Mittelsenkrechte von AB ist die Ortslinie aller Punkte, die von zwei
festen Punkten A und B gleich entfernt sind. Durch Konstruktion der
Mittelsenkrechten erhält man also insbesondere den Mittelpunkt einer
gegebenen Strecke. Überdies lässt sich mit Hilfe der Mittelsenkrechten aber
auch der Mittelpunkt eines Kreises durch drei vorgegebene Punkte (die nicht auf
einer Linie liegen) konstruieren, d. h. man kann einen Punkt finden, der von drei
vorgegebenen Punkten gleich weit entfernt ist.
Eng mit der Mittelsenkrechte verwandt ist das Lot eines Punktes P auf
eine Gerade g. Darunter versteht man die zu g senkrechte Gerade durch P. Die
beiden Parallelen einer Geraden im Abstand d bestehen aus der Menge aller
Punkte, die von einer festen Geraden den Abstand d haben. Dagegen ist die
Mittelparallele zu zwei parallelen Geraden g und h die Ortslinie aller Punkte, die
von den beiden parallelen Geraden den gleichen Abstand haben.
Eine Gerade w heißt Winkelhalbierende eines Winkels , wenn sie den
Winkel halbiert. Die Winkelhalbierende eines Winkels ist die Ortslinie aller
Punkte, die von den beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben.
Der Kreis um M mit dem Radius r besteht aus der Menge aller Punkte,
die von einem festen Punkt M die Entfernung r haben.
V.
Mochikoro
Färben Sie die Felder des Diagramms hell oder dunkel,
entsprechend den folgenden Regeln:
Die dunklen Felder zerlegen das Diagramm in rechteckige
Bereiche heller Felder.
Jedes Feld mit einer Zahl gehört zu einem hellen Bereich;
und zu einem hellen Bereich darf maximal ein Feld mit einer
Zahl gehören. Die Zahl gibt an, aus wie vielen Feldern der
helle Bereich besteht.
Die hellen Bereiche dürfen sich nicht orthogonal berühren, müssen aber
diagonal zusammenhängen.
Die dunklen Felder dürfen keine Bereiche der Größe 2x2 bilden.
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Leonardo Pisano - Fibonacci
(1170 - 1250)
Leonardo von Pisa kennt man besser als Fibonacci, dies ist eigentlich nur
die Kurzform von Filius Bonacci, was Sohn des Bonacci bedeutet. Als Händler
im Mittelmeerraum lernte er - wie so viele - die verschiedensten
Rechenverfahren und Zahlensysteme kennen. Im Unterschied aber zu den
meisten anderen erkannte er die Vorteile des schriftlichen Rechnens mit den
arabischen Zahlen. Als er dann im Jahr 1202 sein Buch Liber abbaci
herausbrachte, traten die arabischen Zahlen und die damit verbundenen
schriftlichen Grundrechenverfahren ihren Siegeszug durch Europa an. (Zuerst
154
noch zögerlich, da ja auch das Buch noch nicht in gedruckter Form vorlag, der
Buchdruck war einfach noch nicht erfunden.). Diese besondere Zahlenfolge, die
darin vorkommt, ist es, die sicher dazu geführt hat, dass man seinen Namen
heute noch kennt. Er lernte auf Handelsreisen nach Algerien, Ägypten, Syrien,
Griechenland, Sizilien und in die Provence alle damals bekannten
Rechenverfahren kennen. Hierbei entdeckte er recht bald die Vorteile des
arabischen Zahlensystems gegenüber dem bis dahin noch in Europa
gebräuchlichen römischen Zahlensystem. 1202 veröffentlichte er daraufhin sein
Buch Liber abbaci , in welchem er zum einen die arabischen Zahlen und die
Ausführung der Grundrechenarten mit diesen einführte, zum anderen aber auch
Aufgaben vorstellte. Die bekannteste unter diesen und auch der Grund,
weswegen er auch heute noch so bekannt ist, ist sicherlich die
Kaninchenaufgabe. Daneben schrieb er noch weitere Bücher, wie die Practica
geometriae (1220), Flos (1225) und das Liber quadratorum , von welchen jedoch
nicht alle erhalten sind.
Wörter zum Text
еrkennen а,а
der Vorteil, -es, -e
herausbringen, а, а
antreten
der Siegeszug (der Siegeslauf)
die Zahlenfolge
vorkommen
führen
die Ausführung
weswegen
das Kaninchen
erhalten
усвідомлювати, розуміти, пізнавати
перевага, вигода, користь
випускати
вводити, заводити
тріумфальна хода
натуральний ряд, числова послідовність
виходити вперед, траплятися
приводити, виводити, вводити
реалізація,
здійснення,
виконання;
модель, конструкція
із-за чого
кролик
зберігати
DREIECK
Ein Dreieck ist ein Polygon und eine
geometrische Figur. Es handelt sich innerhalb der
Euklidischen Geometrie um die einfachste Figur in
der Ebene, die von geraden Linien begrenzt wird.
Seine Begrenzungslinien bezeichnet man als Seiten.
In seinem Inneren spannen sich drei Winkel, die
sogenannten Innenwinkel auf. Die Scheitel dieser
Winkel bezeichnet man als Eckpunkte des Dreiecks.
Auch eine Verallgemeinerung des Dreiecksbegriffes
auf nichteuklidische Geometrien ist möglich.
155
Ein Dreieck mit üblichen Bezeichnungen mit Teilen eines Ankreises
Wörter zum Text
das Polygon
sich spannen
der Scheitel
der Eckpunkt
die Verallgemeinerung
багатокутник
розтягувати, натягувати
вершина кута
вершина
узагальнення
Das beliebige (allgemeine) Dreieck
Definition und Eigenschaften
Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert,
die nicht auf einer Geraden liegen. Sie werden
Ecken des Dreiecks genannt.
Die Verbindungsstrecken zwischen je zwei
Ecken heißen Seiten des Dreiecks. Das Dreieck
unterteilt die Ebene in zwei Bereiche, das Äußere
und das Innere des Dreiecks.
allgemeines Dreieck
Der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete
Winkel ist eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks. In der
Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit A, B und C
bezeichnet. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird analog a, b bzw. c
genannt. Damit liegt z. B. die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber, verbindet also
die Punkte B und C. Häufig wird mit a, b und c auch stattdessen die Länge der
jeweiligen Seite BC, CA oder AB bezeichnet. Die Winkel werden α, β und γ
genannt; α ist der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ liegt am
Eckpunkt C. Die Summe der Innenwinkel in einem planaren (ebenen) Dreieck
beträgt immer 180°. Die Summe der Außenwinkel beträgt entsprechend 360°.
Da es sich bei den beiden Außenwinkeln eines Eckpunktes um Scheitelwinkel
handelt, sind diese immer identisch groß. Die Summe aller Außenwinkel beträgt
demnach genau genommen 2 · 360° = 720°. Die Gesamtlänge zweier Seiten
eines Dreiecks ist immer größer oder gleich der Länge der dritten Seite.
Wörter zum Text
definieren
unterteilen
der Bereich
zusammentreffend
gegenüberliegen
die Scheitelwinkel
визначати
ділити, розділяти
обмежена частина поверхності
зустрічний
лежати (знаходитись) навпроти
вертикальні кути
156
Das gleichseitige Dreieck
Eigenschaften
 Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten
gleich lang und alle drei Innenwinkel gleich groß. Aus
diesem Grund gehört das gleichseitige Dreieck auch zu den
regelmäßigen Polygonen.
 Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 60°.
 Das gleichseitige Dreieck zählt zu den spitzwinkligen
Dreiecken, weil alle drei Winkel kleiner als 90° sind.
 Außerdem ist das gleichseitige Dreieck auch ein gleichschenkliges Dreieck.
 Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich.
 Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende und Höhe zu einer
Seite fallen bei einem gleichseitigen Dreieck jeweils zusammen. Entsprechendes
gilt für den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt, den Schwerpunkt und
den Höhenschnittpunkt des gleichseitigen Dreiecks.
Wörter zum Text
regelmäßig
spitzwinklig
gleichschenklig
die Mittelsenkrechte
die Winkelhalbierende
die Seitenhalbierende
zusammenfallen
der Umkreismittelpunkt
der Inkreismittelpunkt
der Schwerpunkt
der Höhenschnittpunkt
der Umfang, es, e
правильний
гострокутний
рівнобедрений
перпендикуляр
бісектриса
медіана
збігатися
центр описаного кола
центр вписаного кола
центр ваги
найвища точка перетину
периметр
Formeln
Fläche
Höhe
Umkreisradius
Inkreisradius
Umfang
157
Das gleichschenklige Dreieck
▪ Bei einem gleichschenkligen Dreieck
sind wenigstens zwei Seiten gleich lang und
daher die diesen Seiten gegenüberliegenden
Winkel gleich groß.
▪ Die beiden gleich langen Seiten
bezeichnet man als Schenkel, die dritte als
Basis.
▪ Die gleich großen Winkel, die den
gegenüber
liegen,
heißen
Links ein gleichschenkliges, Schenkeln
Basiswinkel. Der Punkt, an dem beide
rechts ein gleichseitiges
Schenkel zusammentreffen, nennt man
Dreieck
Spitze.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Mittelsenkrechte zur Basis,
die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze, die Seitenhalbierende der
Basis und die Höhe zur Basis identisch. Das gleichseitige Dreieck lässt sich als
eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks sehen, bei der jede Seite
gleichzeitig Schenkel und Basis ist und jede Ecke des Dreiecks als Spitze
bezeichnet werden kann. Man kann die Höhe bestimmen, wenn man das Dreieck
teilt und so den Satz des Pythagoras anwenden kann.
Wörter zum Text
кут при основі трикутника
сторона (кута)
вершина
der Basiswinkel
der Schenkel
die Spitze
Das rechtwinklige Dreieck
Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90°-Winkel, auch rechter Winkel
genannt.
 Die längste Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenüber und
wird Hypotenuse genannt.
 Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.
Satz des Pythagoras
c2 = a 2 + b 2
Kathetensatz von
Euklid
c=p+q
Höhensatz von
Euklid
158
Bei Kenntnis zwei der Angaben (a, b, c, p, q
und h) lassen sich die fehlenden vier anderen
Werte aus den in der Tabelle aufgeführten
Formeln berechnen.
Die Längen der drei Seiten werden durch
den Satz des Pythagoras in Beziehung gebracht:
Das Quadrat der Länge der Hypotenuse (in der
Grafik als c bezeichnet) gleicht der Summe der
Quadrate der Längen der Katheten (a und b).
In Bezug auf die spitzen Winkel des Dreiecks spricht man von der
Ankathete des Winkels als die dem Winkel anliegende Kathete und von der
Gegenkathete als die dem Winkel gegenüberliegende Kathete. Durch das
Verhältnis zwischen Katheten und Hypotenuse lässt sich auch ein Winkel im
rechtwinkligen Dreieck eindeutig bestimmen.
Funktion
Berechnung
Der Sinus des Winkels α ist dabei als das Verhältnis
zwischen der Gegenkathete (hier: a) und der
Hypotenuse (hier: c) definiert.
Der Kosinus des Winkels α ist das Verhältnis zwischen
der Ankathete (hier: b) und der Hypotenuse.
Der Tangens ist durch das Verhältnis zwischen
Gegenkathete und Ankathete gegeben.
Der Kotangens ist das Verhältnis zwischen Ankathete
und Gegenkathete, und ist damit der Kehrwert des
Tangens.
Der Sekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur
Ankathete, also der Kehrwert des Kosinus.
Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur
Gegenkathete, d. h. der Kehrwert des Sinus.
Übungen
I. Lösen Sie folgende Aufgaben.*
a) Ein Rechteck und ein Dreieck
b) Von den Seiten eines Dreiecks
haben gleichen Flächeninhalt. Das ist b um 8 cm länger als a und c um
Rechteck ist 122 m lang und 100 m 15 cm kürzer als a. Der Umfang
breit, das Dreieck hat eine Grundlinie beträgt 113 cm.
von 152, 50 m.
▪ Berechne Sie die Länge der 3
▪ Berechnen Sie die Höhe des Seiten!
Dreiecks!
c) Die Fläche eines rechtwinkeligen Dreieckes beträgt 1734 cm². Eine Kathete
159
mißt 51cm.
▪ Fertigen Sie eine Skizze und bezeichne die Seiten!
▪ Wie groß ist der Umfang des rechtwinkeligen Dreieckes?
d)
Zahlendreieck
In die Kreise dieses Dreiecks setzt
die 9 (neun) Grundziffern (1 bis 9) so
ein, dass jede Seite die Summe 20 ergibt.
e) Lesen Sie aufmerkam.
Berechnung rechtwinkliger Dreiecke
Zur Erinnerung:
Bekanntlich lassen sich mit Hilfe der trigonometrichen Funktionen die
Maße rechtwinkliger Dreiecke berechnen. Die folgenden Tabellen enthalten
einige einfache Beispiele für derartige Dreiecke. Die Dreiecke besitzen ihren
rechten Winkel bei C. Alle Kantenlängen sind einer einheitlichen Längeneinheit
(LE) auf eine Dezimale, alle Winkel auf ganze Grad genau angegeben.
Typ 1
gegeben
gesucht
c
alpha
a
b
beta
20,3
17
73
5,9
19,4
25,3
58
32
21,5
13,4
18,2
11
79
3,5
17,9
9,6
61
29
8,4
4,7
29,1
9
81
4,6
28,7
Typ 2
gegeben
a
79,4
22,5
26,9
11,9
256,2
beta
12
38
48
45
35
alpha
78
52
42
45
55
160
gesucht
b
16,9
17,6
29,9
11,9
179,4
c
81,2
28,6
40,2
16,8
312,8
f) Übersetzen Sie schriftlich den Text ins Ukrainische;
Schreiben Sie zusammengesetzte Fachbegriffe heraus;
Übersetzen Sie sie ins Ukrainische;
Erzählen Sie den Text nach.
Dreieck
Dreieck ist das zentrale Studienobjekt der Trigonometrie.
Die besondere Rolle von Dreiecken in der Geometrie rührt daher, dass
beliebige durch Strecken oder Geraden begrenzte ebene Figuren in Dreiecke
zerlegt werden können.
Für die elementaren geometrischen Eigenschaften von Dreiecken siehe
Winkelsumme im Dreieck, Höhen im Dreieck, Umkreis eines Dreiecks, Inkreis
eines Dreiecks, Schwerpunkt eines Dreiecks, Eulersche Gerade, Satz von
Pythagoras, Satz von Thales und Flächeninhalt des Dreiecks.
Die wichtigsten auf der Verwendung von Winkelfunktionen beruhenden
Methoden zum Auflösen von Dreiecken (z.B. im Rahmen von
Vermessungsaufgaben) sind der Sinussatz und der Cosinussatz.
Zur Bezeichnung von Eckpunkten, Seiten, Winkeln und Höhen im Dreieck
hat sich eine nützliche Konvention herausgebildet, deren Gültigkeit
angenommen werden kann, sofern nichts anderes gesagt wird: Die Seitennamen
a, b und c werden im Gegenuhrzeigersinn vergeben, die Eckpunkte mit den
entsprechenden Großbuchstaben A, B und C bezeichnet, wobei A der Seite a
gegenüberliegt, usw. Die (Innen-)Winkel werden mit a, b und g bezeichnet,
wobei a der Winkel beim Punkt A ist, usw.
Die Höhe auf die Seite c wird meist mit hc bezeichnet, usw.
Das gesamte Dreieck kann durch die Angabe der Eckpunkte mit dem Symbol
DABC bezeichnet, der Winkel a (dessen Scheitel der Punkt A ist) in der Form
CAB geschrieben werden.
g) Bilden Sie konjunktionslose Bedingungssätze.
Muster: Zwei Seiten sind einander gleich.
Ein Dreieck heißt gleichschenklig.
Sind zwei Seiten gleich, so heißt ein Dreieck gleichschenklig.
1. Alle drei Seiten sind einander gleich. Das Dreieck heißt gleichseitig.
2. Das Dreieck ist gleichseitig. Alle Winkel sind gleich.
3. Die Summe zweier Seiten ist stets größer als die dritte Seite. Man kann ein
Dreieck konstruieren.
4. Die Differenz zweier Seiten ist nicht kleiner als die dritte Seite. Es lässt sich
ein Dreieck konstruieren.
5. Das Dreieck ist gleichschenklig. Die Winkel an der Grundlinie sind einander
gleich.
161
h) Setzen Sie das passende Verb richtig ein.
1. Dieser Punkt … in einer Ebene auf dem kürzesten Verbindungsweg zwischen
zwei Punkten und ändert dabei nie die Richtung.
2. Ein Strahl … genau die Menge aller Punkte einer Gerade.
3. Das Wort „Geometrie“ … aus der griechischen Sprache und …
„Erdmessung“.
4. Die Geometrie …. in den alten Kulturgebieten Ägypten und Babylonien.
5. Die Planimetrie …. die Gebilde höchstens als zweidimensional.
enthalten sich bewegen bedeuten stammen
entstehen betrachten
i) Erklären Sie auf Deutsch die Bedeutung folgender Wörter und
Wortverbindungen.
Muster: „Elemente“ Euklids. Das ist das älteste Werk aus dem 3. Jahrhundert
vor unserer Zeitrechnung, das die Anfänge der Geometrie enthält.
die Differentialgeometrie
die Erfahrungswissenschaft
das Ordnungsprinzip
die analytische Geometrie
j)Versuchen Sie einige geometrische Figuren an der Tafel zu zeichnen.
das Dreieck
die Kurve
die Kugel
der Kreis
die Sekante
die Tangente
k) Was kann man.
a) konstruieren
einen Kreis
die Winkel
die Fläche
die Länge
b) messen
ein Dreieck
einen Kreis
eine Senkrechte
ein Lot
eine geometrische Figur
die Seiten
eine Strecke
II. a) Lesen Sie ein Zitat über Mathematik.
Religion und Mathematik
sind nur verschiedene
Ausdrucksformen derselben
göttlichen Exaktheit.
Michael Faulhaber
162
b) Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz.
Großer wissenschaftlicher Kongress in Wien. Je eine
Delegation Mathematiker und Maschinenbauer fahren von Linz
weg mit dem Zug. Die Mathematiker erscheinen eine Stunde
vorher am Bahnhof rechnen herum und optimieren schließlich
die Kombinationen aus Gruppen- und Studenten-Tarifen und
kaufen sich dann jeder eine Karte. Die Maschinenbauer schicken
einen Studenten zum Schalter, und der kauft dann eine Karte.
Alle betreten den Zug, es erscheint der Schaffner. Während die
Karten der Mathematiker kontrolliert werden, schließen sich die
Maschinenbauer in der Toilette ein. Der Schaffner klopft an die
Türe und zieht zufrieden weiter, nachdem eine Karte unter der
Türe durchgeschoben wurde. Für den Rückweg kaufen die
lernfähigen Mathesen natürlich auch nur ein Ticket. Doch die
Maschinenbauer kaufen diesmal gar keine Karte. Der Schaffner
erscheint in Sichtweite, und die Mathematiker stürmen die
Toilette. Gemächlich folgt ihnen ein Maschinenbauer. Er klopft
an die Tür und schreit "Ham' Sie an Fahrschein?"
c) Formulieren Sie die folgenden Sätze in Wenn-Dann-Form und suchen Sie,
was zusammenpasst.
1. Es gibt eine Raute mit rechten a) Wenn ein Dreieck rechtwinklig
Winkeln.
ist, dann ergänzen sich die
beiden Winkel, die nicht rechte
Winkel sind, zu 90°.
2. Gleichseitige Dreiecke sind auch b) Wenn ein Viereck eine Raute ist,
gleichschenklig.
dann kann es rechte Winkel
besitzen.
3. In gleichschenkligen Dreiecken c) Wenn ein Dreieck gleichseitig
sind die Basiswinkel gleich groß.
ist,
dann
ist
es
auch
gleichschenklig.
4. Tangenten an einen Kreis stehen d) Wenn eine Gerade Tangenten an
senkrecht auf dem Kreisradius.
einen Kreis ist, dann steht sie
senkrecht auf dem Kreisradius.
ein
Viereck
ein
5. In einem rechtwinkligen Dreieck e) Wenn
ergänzen sich die beiden Winkel,
Parallelogramm ist, dann ist es
die nicht rechte Winkel sind, zu
ein Trapez
90°.
163
Parallelogramme
6. Alle
Trapeze.
1.
2.
3.
4.
5.
sind
Wenn
ein
Dreieck
gleichschenklig ist, dann ist sind
seine Basiswinkel gleich groß.
f)
6.
III. a) Übersetzen Sie ins Ukrainische.
■ das Dreieck
■■ ■ die Dreiecksseite
■■■
■ der Mittelpunkt
■ der Innen- und Außenwinkel
■ die Seitenlänge
■ der Umfang
■ die Grundlinie
■ die Dreiecksungleichung
■
betragen
■
bezeichnen
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
b) Konstruieren Sie ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c.*
Dreieck mit drei gegebenen Seitenlängen
▪ Zeichnen Sie eine Dreiecksseite (z.B. die dem Punkt C gegenüber liegende
Seite mit der Länge
▪ Zeichnen Sie jeweils einen Kreis um den Mittelpunkt A mit dem Radius b und
einen Kreis um den Mittelpunkt B mit dem Radius a. Der Schnittpunkt der
beiden Kreise ist der dritte Punkt des Dreiecks.
▪ Verbinden Sie die drei Punkte zum Dreieck
c) Lesen Sie aufmerksam.
Flächenberechnung von Drei- und Vierecken.
Hier alle Formeln, mit denen man den Flächeninhalt von Dreiecken
und verschiedenen Vierecken berechnen kann.
Dreieck:
A= ½ •g•h
Parallelogramm
A=g•h
Raute
A=g•h= ½ •e•f
Trapez
A= ½ (a+c) h •
Drachenviereck
A= ½ •ef •
164
d) Gebrauchen Sie das Verb im Präsens Passiv.
1. In der Geometrie …. die Eigenschaften der räumlichen Gebilde …
(untersuchen).
2. Die planimetrischen Untersuchungen … im Allgemeinen in einer gegebenen
Ebene … (durchführen).
3. In der Planimetrie … die Gebilde höchstens als zweidimensional …
(betrachten).
4. Anschaulich … die Gerade oft als Spur eines Punktes … (erklären).
5. Der Punkt … als Schnittstelle zweier Geraden … (auffassen).
6. In der ebenen Trigonometrie … die Beziehungen zwischen den Seiten und
Winkeln der Dreiecke … (aufstellen).
e) Setzen Sie das passende Verb richtig ein.
1. Die graphische Darstellung dieser Funktion … eine Kurve.
2. Diese geometrische Figur … 4 Winkel.
3. Aus diesem Punkt … drei Strahlen.
4. Der Begriff des Strahles … durch die Abstraktion.
5. Diese Strecke … zwei Dreiecke. 6. Zwei Strahlen, die aus einem Punkt
ausgehen, … einen Winkel.
bilden
verbinden
ausgehen
enthalten entsprechen entstehen
IV.
Unindentifizierbarer fliegender Observierer
Im Spielfeld befinden sich 9 ArbeiterRoboter (mit 1 bis 9 bezeichnet) und ein AufseherRoboter (mit 0 bezeichnet). Ein Roboter bewegt
sich in einem Schritt geradlinig waagerecht oder
senkrecht (nicht aber diagonal) auf einen anderen
Roboter zu, bis er anstößt. Ein Zug besteht aus
mehreren dieser Schritte, die nacheinander
ausgeführt werden. Der Aufseher "sieht" einen Hinweis: Es gibt zwei
Arbeiter genau dann, wenn sich kein anderer
Lösungen.
Arbeiter in der Sichtlinie zwischen den Zentren der
beiden Roboter befindet (diese Sichtlinie kann
beliebige Winkel haben, nicht notwendigerweise
waagerecht oder senkrecht). Ziel ist es, genau vier
Züge durchzuführen derart, dass sich danach der
Aufpasser in der Mitte des Spielfeldes befindet
und genau fünf Arbeiter sehen kann.
Beispiel: Im Diagramm unten kann der Aufpasser (0) genau sechs
Arbeiter sehen (6, 2, 5, 3, 7, 8). Er kann das Feld in der Mitte des Spielbretts mit
einem einzigen Zug aus fünf Schritten erreichen (nach rechts, nach oben, nach
recht, nach unten, nach links). Danach kann der Aufpasser sieben Arbeiter sehen
(6, 5, 2, 1, 3, 7, 8).
165
V. Lesen Sie den Text ohne Wörterbuch und geben Sie den Textinhalt auf
Deutsch wieder.
Bermuda-Dreieck
Das Bermuda-Dreieck ist in den Medien sehr präsent. Ob es jedoch
existiert, ist eine andere Frage. Laut unzähliger, spekulativer Berichte, Artikel
und Bücher, die in den 60er und 70ger Jahren erschienen, handelt es sich dabei
um eine mysteriöse Stelle im Atlantik, an der im Laufe der Jahre viele Schiffe
und Flugzeuge angeblich spurlos verschwunden sind; seit 1945 mehr als
hundert. Die geographische Begrenzungslinien dieses unheilvollen Gebietes
ergeben ein Dreieck, das die Spitze von Florida, Puerto Rico und Bermuda
verbindet; daher stammt auch sein Name, der 1964 von Vincent Gaddis, einem
erfahrenen amerikanischen Erforscher rätselhafter Phänomene geprägt wurde.
Es gibt viele Theorien darüber, warum und wie das Dreieck seine tödliche
Anziehungskraft ausübt. Sie umfassen Angriffe von Meeresungeheuern,
Entführungen von außerirdischen oder unter Wasser lebenden Wesen,
Killerwellen von gigantischem Ausmaß, die plötzliche Freisetzung von
Methanblasen von Eisgittern am Meeresgrund, ein schwarzes Loch unter den
Wellen, Geomagnetische Anomalien und einen riesigen, kristallenen
Laserkomplex unter Wasser, der elektromagnetische Aberrationen der Schiffe
und Flugzeuge verursacht. Am häufigsten wird von fünf Torpedo-Bombern der
Marke Avebger der US Navy, dem Flight 19, berichtet, die am Abend des
5.Dezember 1945 verschwand, als sie das Gebiet bei Schlechtwetter überflog.
Sie waren am selben Nachmittag unter guten Flugbedingungen zu einem
Routine-Trainingsflug vom Marine- und Luftstützpunkt Fort Lauderale
aufgebrochen. Ein Suchflugzeug der Marke Martin Mariner, das nach ihnen
suchen sollte war ebenfalls verschollen. Viele Berichte sprechen von
Nachrichten, die vom Anführer der Bomber, Leutnant Chrales C.Taylor, vor
dem Verschwinden übertragen wurden: "Wir scheinen vom Kurs abgekommen
zu sein ... nichts stimmt mehr ... seltsam ... nicht einmal das Meer sieht so aus,
wie es sollte ... es sieht aus, als währen wir ..." Dann wurde der Empfang
unterbrochen. Doch was Lawrence D.Kusche, ein wissenschaftlicher
Bibliothekar an der Universität des US-Bundesstaates Arizona uns Autor des
vielgelobten Buches - The Bermuda Triangle - Solved - dazu Nachforschungen
anstellte, fand er keinen Hinweis. Ein offizieller Bericht der Navy zog die
Schlussfolgerung nach sich, dass keiner der beiden
Kompasse, über die Taylor verfügte, richtig
funktionierte, und er deshalb die Position seiner
Flotte falsch bestimmte. Er ließ sich dabei auch von
der Ähnlichkeit zwischen den Bahamas und den
Florida Keys (den Inseln die sie überfliegen sollten)
in die Irre führen. Dabei wäre ihm das Benzin
ausgegangen, so dass sie in der Nacht ins Meer
stürzten.
166
Auf Grund der Dunkelheit hätten die Suchmannschaften die Trümmer
nicht finden können. Um 19.50 Uhr sah das Schiff Gaines Mills, wie ein
Flugzeug in der Nähe von Daytona Beach über dem Meer Feuer fing, bevor es
ins Wasser stürzte und explodierte. Man nimmt an, dass es sich dabei um das
verschollene Suchflugzeug handelte. Kusche und andere Forscher fanden auch
zahlreiche Unstimmigkeiten zwischen den Berichten von weiteren Vorfällen im
Bermuda-Dreieck und den bestätigten Fakten hierzu. Wie David Group in
seinem Werk - The Evidence for the Bermuda Triangle - betont, ist es
augenscheinlich, dass die angeblichen "Beweise" primär auf sachlichen Fehlern
basieren sowie auf offenkundig verzerrter Darstellung der Fakten.
Bei fast allen Fällen ist eine absolut einleuchtende Erklärung möglich.
Empfindlich getroffen wurden die Sensationsberichterstatter vermutlich durch
die Versicherungsgesellschaft Llyod's of London, die am 4.April 1975 in einem
Brief an das Magazin Fate folgendes schrieb: "Entsprechend der Statistik von
Llyod's sind seit 1955 weltweit 428 Schiffe verschollen. Vielleicht ist es für sie
von Interesse, dass unser Geheimdienst keinen Hinweis darauf finden kann, dass
im Bermuda-Dreieck mehr davon verschwunden sind als anderswo.
Wörter zum Text
präsent
spekulativ
angeblich
unheilvoll
ergeben
rätselhaft
prägen
die Anziehungskraft
ausüben
der Angriff , -es, -e
das Meeresungeheuer, -s
die Entführung
der Killer, -s
das Ausmaß, -es, -e
die Methanblasen
das Eisgitter, -s
die Aberration, -, en
aufbrechen, а, о
das Suchflugzeug
verschallen, о, о
der Anführer, -s
übertragen
abkommen
stimmen
seltsam
присутній
спекулятивний, ризикований
ніби, як би
роковий, пагубний
виявляти, показувати
загадковий, таємничий, незрозумілий
створювати
сила притягання
здійснювати, виконувати
наступ, атака
монстр, чудовище
викрадення
вбивця
розмір, масштаб, обєм
метанові бульбашки
льодяна решітка
відхилення, аберація
виявлятися, виходити на поверхню
літак пошукової служби
зникати
ватажок, керівник
передавати, транслювати
збиватися
подавати голос
дивний, незвичайний
167
währen
der Empfang, -es, -e
die Nachforschung
anstellen ( j-n zu D.)
der Hinweis – es, -e
die Navy
verfügen über Akk.
in die Irre führen
stürzen
die Trümmer
explodieren
annehmen, а,о
die Unstimmigkeit, -, -en
der Vorfall, -es, -e
die Evidenz, -, -en
angeblich
primär
offenkundig
verzerrt
einleuchtend
empfindlich
der Berichterstatter, -s, anderswo
тривати, продовжуватися
отримання (інформації)
розшук, розслідування
доручати
вказівка, посилання, натяк
військово-морський флот
мати в своєму розпорядженні
ввести кого-небудь в обман
падати, звалитися, кидати
уламки, руїни
вибухати
припускати, вважати
розбіжність, протиріччя
випадок, інцидент, подія
ясність, очевидність
гаданий, так званий, ніби, начебто
первинний, найперший
очевидний, явний, загальновідомий
викривлений, спотворений
ясний, очевидний
чутливий, відчутний, уразливий
доповідач, референт
десь, в іншому місці
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Giovanni Domenico Cassini
(1625-1712)
Cassini wurde in Perinaldo (Italien) geboren. Er studierte in Genua und
Bologna. An der Universität in Bologna wurde er als Nachfolger Cavalieris
(Satz von Cavalieri: Zur Berechnung des Volumens von Körpern) zum Professor
für Astronomie und Mathematik berufen. So hielt er dort unter anderem
Vorlesungen über euklidische Geometrie. Sein astronomischer Schwerpunkt war
die Suche nach Kometen. Dieser Aufgabe blieb er auch treu, als er durch
Ludwig XIV.
1669 als Leiter - der noch im Bau befindlichen - Sternwarte von Paris
eingesetzt wurde. Mit den dortigen Instrumenten entdeckte er die große Teilung
der Saturnringe - die Cassinispalte, mehrere Monde des Saturn und die
Polkappen des Mars. Der Stechzirkel auf der Marke und die Jahreszahl 1678
deuten auf die Vermessung der Erde (Vermutung einer Eiform - Nachweis erst
durch La Condamine s.u.) und der Sonnenparallaxe hin. Er berechnete eine
Enfernung von rund 150 Mio km zur Sonne. Diesem Abstand gab er den
Namen astronomische Einheit. Häufig spricht man ihm auch von Cassini I, da
ihm noch drei Cassinis als Direktoren der Pariser Sternwarte nachfolgten.
168
Wörter zum Text
das Volumen, -s
der Schwerpunkt
die Sternwarte
einsetzen als Akk.
die Polkappen
der Stechzirkel
die Sonnenparallaxe
hindeuten auf Akk.
der Abstand
об’єм
центр тяжіння
обсерваторія
призначати кимось
полярні шапки (Марса)
циркуль для вимірювання
параплакс Сонця
вказувати на щось, натякати
відстань, інтервал, дистанція
VIERECK
Hierarchie der
Vierecke
Ein Viereck ist eine Figur der ebenen
Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und
vier Seiten. In der Mathematik definiert man (ebene)
Vierecke als Polygone mit vier Ecken, und (daher
auch) vier Kanten (oder Seiten).
Das regelmäßige (oder reguläre) Viereck ist
das Quadrat.
Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide
Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das
Viereck konvex (konvexes Viereck), liegt genau eine
Diagonale außerhalb, so hat das Viereck eine
konkave Ecke (nicht-konvexes Viereck). Bei einem
überschlagenen (auch: verschränkten) Viereck liegen
beide Diagonalen außerhalb des Vierecks.
Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte
Polygone und werden normalerweise nicht zu den
(normalen oder "echten") Vierecken gerechnet.
Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei
oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als
2 Eckpunkte auf einer Geraden liegen.
Für jedes Viereck gilt:
▪ Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck beträgt 360 Grad bzw. 2π.
▪ Es ist Musterkachel für eine periodische Parkettierung der (euklidischen)
Ebene (Raumfüller).
Wörter zum Text
die Kante -, -n
konvex
konkav
überschlagen verschränkt
ребро, грань, кант
випуклий
вгнутий
обмежений, схрещений
169
entartet
die Parkettierung
die Kachel -, -n
вироджений
паркеттаж
плитка, кафель
Spezielle Vierecke
 Trapez: Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten.
 Parallelogramm: Viereck, bei dem je zwei einander gegenüberliegende
Seiten parallel sind.
 Rechteck: Viereck mit vier gleich großen (Innen-)Winkeln (90°, siehe
rechter Winkel)
Deltoid (Drachenviereck): Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht
aufeinander stehen und eine Diagonale durch die andere halbiert wird. <==>
Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die jeweils gleich lang sind.
 Rhombus (Raute): Viereck mit vier gleich langen Seiten
 Quadrat: Rechteck mit vier gleich langen Seiten <==> Rhombus mit vier
gleichen Winkeln
 Sehnenviereck: Viereck mit einem Umkreis (Die vier Seiten sind Sehnen
des Umkreises.)
Tangentenviereck: Viereck mit einem Inkreis (Die vier Seiten sind
Tangenten an den Inkreis.)
Klassifikation
Die ebenen Vierecke werden nach verschiedenen Gesichtspunkten
eingeteilt:
nach Eigenschaften des Inneren:
o konvex
o nicht konvex
nach Symmetrie-Eigenschaften:
o eine Diagonale ist Symmetrieachse: Deltoid
o beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: Rhombus
o die
Mittelsenkrechte einer Seite ist eine Symmetrieachse:
gleichschenkeliges Trapez
o die Mittelsenkrechten zweier Seiten sind Symmetrieachsen: Rechteck
o vier Symmetrieachsen: Quadrat
o zweizählige Symmetrie (punktsymmetrisch): Parallelogramm
o vierzählige Symmetrie: Quadrat
nach der Länge der Seiten:
o zwei Paare gleich langer gegenüberliegender Seiten: Parallelogramm
o zwei
Paare gleich langer benachbarter Seiten: Deltoid
(Drachenviereck)
o gleichseitiges Viereck: Rhombus
o die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten ist gleich:
Tangentenviereck
170
nach der Größe der Winkel:
o zwei
Paare gleich großer gegenüberliegender Winkel:
Parallelogramm
o zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: gleichschenkeliges
Trapez
o gleichwinkeliges Viereck: Rechteck
o die Summe gegenüberliegender Winkel ergibt 180°: Sehnenviereck
nach der Lage der Seiten:
o ein Paar paralleler Seiten: Trapez
o zwei Paar paralleler Seiten: Parallelogramm
o die
Seiten berühren denselben Kreis (den Inkreis):
Tangentenviereck
nach der Lage der Ecken:
o die Ecken liegen auf einem Kreis (dem Umkreis): Sehnenviereck
Formeln
Die Innenwinkelsumme beträgt 360°:
Die Vierecksfläche A lässt sich ermitteln aus
,
,
.
Bezeichnungen
am Viereck
Ein Viereck kann unter anderem durch geeignete Kombinationen folgender
Angaben (fünf voneinander unabhängige Bestimmungsstücke) beschrieben
werden :
▪ Winkel an den Ecken
▪ Länge der
▪ Länge der
(Innenwinkel)
Seiten
Diagonalen
▪ Umfang
▪ Fläche
Wörter zum Text
das Deltoid –es, -e
senkrecht
аufeinander
jeweils
das Sehnenviereck
der Umkreis –es, -e
der Inkreis –es, -e
der Gesichtspunkt
дельтоїд
вертикально
один на одного, один за одним
відповідно, в кожному випадку
вписаний багатокутник
описане коло
вписане коло
точка зору
171
konvex
die Symmetrieachse
die Mittelsenkrechte
gleichschenkelig
gleichwinkelig
berühren
sich ermitteln
випуклий
вісь симетрії
медіатриса
рівнобедрений
рівнокутний
дотикатися, торкатися
обчислювати, визначати
Übungen
I.
a) Stellen Sie den Plan zum Text zusammen.
b) Drücken Sie die Hauptinformation des Textes aus.
c) Analysieren Sie die Textstellen, die das Verstehen des Inhaltes
erschweren können.
d) Schreiben sie aus dem Text Wörter, Wortgruppen und Fachbegriffe, die
die Grundinformation des Textes enthalten.
II. a) Beweisen Sie folgende geometrische Sätze mit Hilfe der Vektorrechnung.
Aussagen über Parallelogramme und Diagonalen im Viereck
▬Verbindet man in einem (ebenen oder räumlichen) Viereck die Mittelpunkte
benachbarter Seiten, so entsteht ein Parallelogramm.
▬In einem Viereck, das aus zwei Paaren benachbarter gleich langer Seiten
besteht (,,Drachen``), stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.
▬Die Summe der Quadrate über den Seiten eines Parallelogramms ist gleich
der Summe der Quadrate über den Diagonalen (,,Parallelogrammgleichung``).
b) Beweisen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung: In einem nicht entarteten ebenen
Viereck
halbiert die Diagonale
genau dann die Diagonale
,
wenn der Vektor
parallel zu
ist.
Diagonalenhalbierung im Viereck
c) Vorgegeben sei ein konvexes Viereck
(Winkel kleiner als
) mit
folgenden Eigenschaften:
▬Es gibt einen Kreis , dessen Mittelpunkt
auf der Seite
liegt und der
die anderen Seiten von
berührt.
▬
ist ein Sehnenviereck (es besitzt einen Umkreis).
Beweisen Sie die Längen der Seiten:
.
Seitenlängen in einem Viereck
Hinweise:
172
Beim Sehnenviereck kann der
Peripheriewinkelsatz
angewandt
werden: Alle Winkel über einer
Strecke, die Sehne eines Kreises ist,
und deren Scheitel auf diesem Kreis
liegen, sind gleich (daher treten in der
Figur die Winkel , und noch je
ein zweites Mal auf).
◨ Eine Lösungsmöglichkeit besteht darin, die gesuchten Streckenlängen
trigonometrisch mit Hilfe des Radius des Kreises zu berechnen. Dabei kann
der Übergang auf halbe Winkel zweckmäßig sein.
III. a) Schreiben Sie aus dem Text alle mathematischen Fachbegriffe heraus
und übersetzen Sie sie ins Ukrainische.
Geometrie in der Ebene
Die Geometrie in der Ebene beschäftigt sich in erster Linie mit Dreiecken,
Vierecken und anderen Figuren dieser Art. Diese Geometrie in der Ebene kann
seit etwa 2500 Jahren, nämlich seit Thales (ca. 624 - 548 v. Chr.) seine "Schule
von Milet" gründete und dort Geometrie lehrte, als Wissenschaft gelten. (Viele
andere, z. B. die Ägypter, die Babylonier, die Inder oder die Chinesen, betrieben
schon weit früher Geometrie. Es war aber eher eine praxisorientierte Tätigkeit
als wissenschaftlichen Arbeiten. Von diesem und anderen griechischen
Gelehrten kennen wir viele nützliche und erstaunliche Lehrsätze, beispielsweise
den Winkelsummensatz, Satz des Thales oder den Satz des Pythagoras. Neben
dieses Lehrsätzen übernehmen wir von den Griechen aber auch heute noch die
Forderung, Geometrie mit Zirkel und Lineal zu betreiben, d. h. ohne
Winkelmesser, ohne die cm-Einteilung des Geodreiecks und ohne sonstige
Konstruktionshilfen. Um allein mit Zirkel und Lineal Quadrate,
Parallelogramme, Trapeze oder sonstige spezielle geometrische Figuren
konstruieren zu können, muss man eine Hand voll sogenannter
Grundkonstruktionen einüben. Als Grundkonstruktion bezeichnet man häufig
gebrauchte "geometrische Zeichen-Werkzeuge", die einfach und (natürlich) nur
mit Zirkel und Lineal auszuführen sind.
Wörter zum Text
betreiben, іе, іе
eher
der Lehrsatz
übernehmen von Dat.
die Forderung, -, -en
der Winkelmesser
einüben
займатися
скоріше
теорема
перейняти від
вимога, претензія
транспортир
розучувати, вправлятися, тренуватися
173
b) Schreiben Sie alle Substantive heraus;
b)
Nennen Sie das Bestimmungs- und das Grundwort aller Substantive;
Ordnen Sie alle Substantive nach dem Geschlecht.
Ein Viereck ist ein von vier Strecken, seinen Seiten, begrenztes Stück einer
Ebene.
Dabei sollen sich diese Seiten nicht kreuzen, da sonst ein sog. verschränktes
Viereck entsteht.
Derartige Vierecke aber werden hier nicht behandelt.
Verbindet man zwei nicht benachbarte Ecken durch eine Gerade, so stellt
diese Gerade eine Diagonale des Vierecks dar.
Mit Hilfe einer Diagonale ist es möglich, ein Viereck in zwei Dreiecke zu
zerlegen.
Die Winkelsumme im Viereck beträgt 360°. Ein Viereck mit einem Paar
paralleler Seiten heißt Trapez.
Die Mittelparallele dieser Seiten heißt Mittellinie und der Abstand der
parallelen Seite Höhe des Trapezes.
An diesem allgemeinen Trapez treten keine weiteren Besonderheiten auf,
wohl aber im rechtwinkligen Trapez: Ein rechtwinkliges Trapez enthält stets
zwei rechte Winkel.
Durch Umklappung eines rechtwinkligen Trapezes um die Seite, der beide
rechte Winkel anliegen, erhält man als Gesamtfigur ein gleichschenkliges
Trapez.
Aus der Symmetrie der dabei entstehenden Figur ergibt sich: Im
gleichschenkligen Trapez sind beide Winkel an jeder der Parallelen gleich und
beide Schenkel gleich lang.
Ein Viereck mit zwei Paaren parallelen Seiten heißen Hohen des
Parallelogramms.
dem Rhombus.
Ein Viereck mit vier gleichen Winkeln heißt Rechteck.
IV. a) Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz.
Ein Physikstudent, ein Mathematikstudent und ein Medizinstudent
bekommen von ihren Professoren jeweils ein Telephonbuch vorgelegt. Der
Physikstudent: "Ich kann aus diesen Messergebnissen nicht auf den Versuch
schliessen und damit ist das Ergebnis zu ungenau und wertlos !" Der
Mathematikstudent: "Diese Nummern lassen sich nicht als mathematische
Reihe zusammenfassen, damit sind sie per Definition Definitionen und ohne
Zusammenhang sind diese Definitionen wertlos" Der Medizinstudent schaut
den Professor nur müde an und fragt : "Bis wann ?"
174
b) Lesen Sie ein Zitat über Mathematik.
Es ist unglaublich, wie unwissend die studierende Jugend auf
Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder
geometrisiere, so schläft 1/4 derselben sanft ein.
Georg Christoph Lichtenberg (1742 - 1799)
c) und lustige Arithmetik.*
Peters Großvater ist 68 Jahre älter als Peter.
Das Alter des Großvaters erhält man, wenn man
Peters Alter mit 7 multipliziert und 2 dazuzählt. Wie
alt ist Peter, wie alt ist sein Großvater?
V.
1 1
Mosaik
2
5
3
2
Färben Sie einige Felder des Diagramms dunkel.
3
4
5
3 4
3
2
3
Die Zahl in einem Feld gibt an, wie viele der 9 Felder
mit dem Zahlenfeld als Mittelpunkt dunkel gefärbt sind.
1
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Platon
(427 - 347 v. Chr.)
Platon war in erster Linie Philosoph. Er wirkte in Athen und hat über die
Kirchenlehrer des Frühchristentums und über den Humanismus die Entwicklung
der abendländischen Wissenschaft entscheidend beeinflusst. Platon hat selbst
keine mathematischen Einzelleistungen von Bedeutung erbracht, hat aber der
Mathematik an der von ihm gegründeten und geleiteten Akademie in Athen
große Wichtigkeit zugemessen – über dem Eingang der Akademie stand der
Satz: "Kein der Geometrie Unkundiger möge hier eintreten". Platon war mit
vielen Mathematikern seiner Zeit in Verbindung und berief manche von ihnen
an seine Akademie. Er übernahm die Schlussweisen der Mathematik auch auf
andere Gebiete und versuchte überall eine streng logische Systematik nach dem
Schema: "Definitionen, Axiome, Beweise (in direkter oder indirekter
Schlussweise)" einzuführen. Ihm wird die Erfindung der "analytischen
Beweismethode" (von der Behauptung auf richtige Aussagen schließen und
dann versuchen, die Schlusskette umzukehren) sowie die Beschränkung der für
geometrische Konstruktionen zulässigen Hilfsmittel auf Zirkel und Lineal
zugeschrieben. Die "Elemente" des Euklid stehen ganz unter dem Einfluss der
Forderungen Platons.
175
Wörter zum Text
аbendländisch
die Einzelleistung
erbringen, а, а
zumessen
der Unkundiger
übernehmen
die Schlussweise , -n
die Behauptung, -en
schließen
zulässig
західно-європейський, римо-католицький
індивідуальна продуктивність
надавати
відводити
незнаючий
перейняти
метод, спосіб
твердження
робити висновки
допустимий, можливий
RECHTECK
Rechteck mit Länge a, Breite b und
Diagonale d
Ein Rechteck (ein Orthogon) ist ein (ebenes) Viereck, dessen
Innenwinkel alle rechte Winkel sind. Für jedes Rechteck gilt:
♦ Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.
♦ Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.
♦ Rechteck auch ein Sehnenviereck.
♦Es
ist
achsensymmetrisch
bezüglich
der
Mittelsenkrechten
(Seitensymmetralen) der Rechtecksseiten. Die beiden Symmetrieachsen stehen
also senkrecht aufeinander.
♦ Es ist punktsymmetrisch (zweizählig symmetrisch) bezüglich des
Diagonalenschnittpunkts.
♦ Es ist konvex.
Beim Rechteck handelt es sich um einen Spezialfall des Parallelogramms
(gleichwinkeliges Parallelogramm) und damit auch des Trapezes. Quadrate sind
Rechtecke mit vier gleich langen Seiten (gleichseitiges Rechteck).
Die Formel für die
Formeln zum Rechteck
Diagonalenlänge beruht
Flächeninhalt
auf dem Satz des
Umfang
Pythagoras.
Der
Umkreisradius
ergibt Diagonalenlänge
sich durch Halbierung
Umkreisradius
der Diagonalenlänge.
Rechtecke mit der
Eigenschaft a/b = b/(a-b)
nennt man "Goldene Seitenlängen
Rechtecke".
176
Ein Rechteck heißt perfekt, falls man es mit Quadraten lückenlos und
überschneidungsfrei überdecken kann, wobei alle Quadrate unterschiedlich groß
sind. Es ist nicht einfach, eine solche Zerlegung zu finden. Eine solche
Zerlegung eines Rechtecks in 9 Quadrate wurde 1925 von Morón gefunden. Sie
besteht aus den Quadraten mit den Seitenlängen: 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 18.
Wörter zum Text
das Sehnenviereck
achsensymmetrisch
die Symmetrieachse
der Diagonalenschnittpunkt
konvex
gleichwinkelig
sich ergeben
perfekt
lückenlos
überschneidungsfrei
überdecken
die Zerlegung
вписаний багатокутник
симетричний відносно осі
вісь симетрії
точка перетину діагоналей
випуклий
рівнокутний
витікати, одержувати
досконалий, бездоганний, остаточний
безперервний
незалежно від перехрещення, перетинання
накривати, перекривати
розклад
Übungen
I. a) Lesen Sie zwei Texte und schreiben Sie aus jedem Text Fachbegriffe und
Wortgruppen heraus, die die Grundinformation des Textes enthalten;
b) Geben Sie andere Benennung des Textes;
c) Schreiben Sie kurz den Textinhalt auf Deutsch wieder;
d) Erklären Sie, wie Sie den Ausdruck “ Rechteck“ verstehen.
II. a) Konstruieren Sie die folgende Rechtecke.
1 = 4 cm, b = 3 cm
1 = 4,5 cm, b = 2 cm
1 = 6 cm, b = 3 cm
1 = 4,8 cm, b = 4,4 cm
1 = 6 cm, b = 2 cm
1 = 5 cm, b = 2,5 cm
b) Konstruieren Sie die folgenden Rechtecke, zeichnen Sie die Diagonalen ein
und messen Sie ihre Längen.
1= 4,7 cm, b = 3,5 cm 1= 5,8 cm, b = 2,6 cm 1= 5 cm, b = 3,7 cm
c) Zeichnen Sie ein Rechteck (1 = 4 cm, b = 2 cm) und ein Quadrat (s = 2cm)
und zeichnen Sie mit Farbstift ein: ♦ die Diagonalen, ♦ alle Symmetrieachsen.
III. a) Setzen Sie das passende Wort ein.
1.Die Geometrie …. auch mit den Transformation der Gebilde.
2. Die Geometrie …. heute in Planimetrie, Stereometrie, Trigonometrie.
3. Die Stereometrie …. die Linie und Flächen im Raum.
177
4. Die sphärische Trigonometrie … mit Eigenschaften von Dreiecken auf der
Kugeloberfläche.
zerfallen
untersuchen
sich beschäftigen
sich befassen
b) Merken Sie sich folgende Synonyme.
sich beschäftigen – sich befassen
aufstellen – zusammenfassen
durchführen – ausführen
auffassen – betrachten
stets – immer
umfassen – enthalten
IV. a) Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz.
Schwarzes Schaf
Ein Sozialwissenschaftler, ein Physiker und ein Mathematiker
fahren mit einem Zug durch die Schweiz. Als sie aus dem Fenster
schauen, entdecken sie auf einem Acker ein schwarzes Schaf. Der
Sozialwissenschaftler, der noch nie in der Schweiz war und hier das erste
und bisher einzige Schaf dieses Landes kennenlernt, folgert messerscharf:
"Aha - in der Schweiz sind alle Schafe schwarz!" Der Physiker denkt, er
wäre schlauer und macht sich sogleich über den SoWi lustig: "Das ist
eine völlig unerlaubte Verallgemeinerung - das einzige, was du sagen
kannst, ist: Es gibt in der Schweiz ein schwarzes Schaf." Der
Mathematiker, der sich bisher nicht an der Diskussion beteiligt hatte,
kann daraufhin nur müde lächeln und meint: "Auch das ist völliger
Unsinn. Du kannst nur behaupten: Es gibt in der Schweiz ein Schaf, das
von einer Seite schwarz ist!"
b) Lesen Sie ein Zitat über Mathematik.
Wie die Musiker schon nach den ersten Akkorden Mozart, Beethoven,
Schubert erkennen, so könnten die Mathematiker ihren Cauchy, Gauß,
Jacobi oder Helmholtz nach wenigen Seiten erkennen.
L. Boltzmann
c) Lesen Sie lustige Arithmetik.*
Schwestern und Brüder
Ich habe gleichviel Schwestern und Brüder. Doch meine
Schwester hat halb soviel Schwestern wie Brüder. Wie viele
sind wir?
178
V.
Färben Sie die Felder des Diagramms
entweder dunkel oder hell. Die dunklen Felder
bilden zusammenhängende Gruppen, deren
Anzahl, Reihenfolge und Länge durch die
Zahlenfolgen am oberen und linken Rand
angegeben ist. Zwei Gruppen dunkler Felder
sind durch mindestens ein helles Feld
voneinander getrennt. Beispiel:
Nonograms (Griddlers)
1
1
3 1 3 4 3
1 1
1 3
5
1 3
1
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Maria Reiche
(1903 - 1998)
Maria Reiche wurde in Dresden geboren. Ab 1928 absolvierte sie ein
Studium der Mathematik, Physik, Geographie und Pädagogik in Hamburg und
Dresden. 1932 ging sie als Hauslehrerin und Übersetzerin nach Cuzco, später
nach Lima. 1940 nahm sie eine Tätigkeit auf, die sie für Jahrzehnte nicht wieder
loslassen sollte. Die Untersuchung, Freilegung, Vermessung und Deutung der
Figuren von Nasca (oder Nazca), die 1939 durch den Archäologen Paul Kosok
entdeckt wurden als er mit einem Flugzeug die Pampa de San José in Nasca
überflog. Für ihre Tätigkeit wurde sie mehrfach als Ehrendoktor ausgezeichnet.
Wenn auch vieles bei den Figuren, die in ihrer Gesamtheit nicht vom Boden aus
gesehen werden können, dafür spricht, dass sie Kalenderdaten und
Götterverehrungen darstellen, wird wohl das letzte Geheimnis nicht gelöst
werden. Der Block von den Malediven zeigt einige der Figuren.
Wörter zum Text
die Freilegung
die Vermessung, -, -en
überfliegen
die Gesamtheit
die Götterverehrung
der Block -s,-s
відкриття
вимірювання
перелітати
сукупність
повага, шанування Бога
блок, група
179
QUADRAT
In der Geometrie ist ein Quadrat ein (ebenes
und konvexes) Viereck, nämlich
das regelmäßige Viereck
Für Quadrate gilt daher:
die vier Seiten sind gleich lang: es ist gleichseitig
die vier (Innen-)Winkel sind gleich: es ist gleichwinklig
(alle Winkel 90°)
es hat vier Symmetrieachsen: die beiden
Quadrat mit
Seitenlänge a und Seitensymmetralen (Mittelsenkrechten) und die beiden
Diagonalen
Diagonale d
▸es ist 4-zählig drehsymmetrisch (und daher auch punktsymmetrisch)
▸die beiden Diagonalen sind gleich lang, halbieren einander und stehen
aufeinander senkrecht der Schnittpunkt der Diagonalen ist Umkreis- und
Inkreismittelpunkt: es ist sowohl Sehnen- als auch Tangentenviereck.
Das Quadrat ist ein Sonderfall des Parallelogramms, es ist sowohl
Rechteck als auch Rhombus (Raute). Quadrate sind die Begrenzungsflächen
eines der platonischen Körper (= dreidimensionale reguläre Polytope), nämlich
des Hexaeders (Würfels). Das Quadrat ist Stein einer regulären Parkettierung.
Als Spezialfall entsprechender allgemeiner n-dimensionaler Körper ist das
Quadrat sowohl der zweidimensionale Würfel als auch das zweidimensionale
Kreuzpolytop. Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe z.B. der
Länge der Seite oder der Diagonale.
Wörter zum Text
die Begrenzungsfläche
das Hexaeder , -s
zweidimensional
der Würfel , -s
площа зіткнення, стикання
гексаедр, шестикутник
двохмірний
куб, кубик
Formeln zum Quadrat
Flächeninhalt
Umfang
Diagonalenlänge
Umkreisradius
Inkreisradius
Seitenlänge
180
Übungen
I.
a) Stellen Sie den Plan zum Text zusammen.
b) Drücken Sie die Hauptinformation des Textes aus.
c) Analysieren Sie die Textstellen, die das Verstehen des Inhaltes
erschweren können.
d) Schreiben sie aus dem Text Wörter, Wortgruppen und Fachbegriffe, die
die Grundinformation des Textes enthalten.
II. a) Lesen Sie den Text und übersetzen Sie ins Ukrainische.
Quadrat und Dreieck
...
...
...
..
Man kann in ein gleichseitiges Dreieck ein auf der
Spitze stehendes Quadrat legen, so dass es die Seiten
berührt. Es sei a die Seite des Dreiecks und b die Seite
des Quadrates. Dann gilt: b = (1/4)*[3*sqr(2)-sqr(6)]*a
...(ungefähr 0,49*a). Diese Formel leitet man mit Hilfe des
Strahlensatzes (blau) und den Beziehungen h =
(1/2)*sqr(3)*a und b = sqr(2)*x her.
Dieses ist ein anderes Quadrat, das in das Dreieck passt. Es steht
auf der Grundseite. Es hat die Seitenlänge [2*sqr(3)-3]*a oder
...gerundet 0,46*a. Es ist etwas kleiner als das Quadrat oben mit
0,49a.
Man kann ein gleichseitiges Dreieck in ein Quadrat
legen, so dass es eine Ecke mit dem Quadrat gemeinsam
hat und zwei Seiten berührt. Es sei a die Seite des
Quadrates und b die Seite des Dreiecks. Dann gilt: b =
[sqr(6)-sqr(2)]*a
(ungefähr
1.03*a).
...Diese Formel leitet man mit Hilfe des Satzes des
Pythagoras (blau und grün) her. Man gelangt zu einer
quadratischen Gleichung, deren positive Lösung man
nehmen muss.
Dieses ist ein anderes Dreieck, das in das Quadrat passt. Es liegt
auf der Grundseite. Es hat eine Seitenlänge von a und ist deshalb
....ein wenig kleiner als das Dreieck oben mit 1,03*a.
b) Bestimmen Sie den Artikel folgender Zusammensetzungen und übersetzen Sie
sie mit Hilfe des Wörterbuches.
Dreieck
Grundseite
Strahlensatz
Seitenlänge
Querschnittfläche Begrenzungsfläche
Symmetrieachse
Spezialfall
Inkreismittelpunkt
181
Flächeninhalt
Schnittpunkt
Definitionsbereich Zahlenfolge
Umkreisradius
Elementargeometrie
c) Suchen Sie aus dem Text diejenigen Stellen heraus, die die folgenden
Gedanken bestätigen.
Das Quadrat ist ein Sonderfall des Parallelogramms, es ist sowohl Rechteck als
auch Rhombus (Raute).
In der Geometrie ist ein Quadrat ein (ebenes und konvexes) Viereck
Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe z.B. der Länge der
Seite oder der Diagonale.
Das Quadrat ist Stein einer regulären Parkettierung.
Die vier Seiten sind gleich lang.
d) Übersetzen Sie ins Deutsche.
▬ Я студент УжНУ.
▬ Я навчаюсь на математичному факультеті .
▬ Навчання в університеті триває 5 років.
▬ В університеті багато облаштованих лабораторій та комп’ютерних
кабінетів.
▬ Ми вивчаємо різні предмети: креслення, фізику, геометрію, іноземні
мови та інші предмети.
III. a) Bestimmen Sie, was zusammenpasst.
►
1. прискорення
a
◄
2. кут
a, ß
▲
3. швидкість
v
▼
4. час
t
●
5. об’єм
V
♣
6. поперечний розріз
S, q
♥
7. площа поперечного
перерізу
►
◄
▲
▼
●
♣
der Querschnitt
die Geschwindigkeit
die Zeit, Zeitspanne
der Winkel
das Volumen
die Querschnittfläche
die Beschleunigung
♥
b)
Bimagische Quadrate
Ein magisches Quadrat heißt bimagisch (oder
2-multimagisch), wenn es auch magisch bleibt,
nachdem alle Zahlen quadriert worden sind. Der
Franzose G. Pfeffermann entdeckte 1890 das erste
bimagische Quadrat der Welt. Er veröffentlichte es
allerdings nicht vollständig, sondern nur teilweise
182
in Form eines Puzzles in der am 15. Januar 1891 in der zweiten Ausgabe der
vierzehntägig erscheinenden Zeitschrift Les Tablettes du Chercheur - Journal de
Jeux d'Esprit et de Combinaisons.Wer war dieser G. Pfeffermann? Wir haben
nirgends irgendwelche Informationen über ihn gefunden, obwohl er zahlreiche
Artikel über magische Quadrate in Frankreich veröffentlicht hat; insbesondere
zwischen 1890 und 1896. Sogar sein Vorname ist uns unbekannt. Wir haben nur
ganz selten die folgende Unterschrift gefunden: "Gg. Pfeffermann".
Wahrscheinlich Georges. Oder vielleicht Grégoire? Darüber war schon 1926
André Gérardin (Nancy) erstaunt und schrieb in den Annales de la Société
Scientifique de Bruxelles: " Es ist ein Mathematiker über den wir sehr wenig
bibliographische Informationen haben, weil nur wenige Familien die
wissenschaftlichen Überlieferungen ihrer Eltern weitergeben oder
Aufzeichnungen aufheben". Zumindest hoffe ich, dass es kein Pseudonym war!
In der nachfolgenden Abbildung ist das damals vorgestellte Quadrat angegeben.
Sie sind aufgefordert, die fehlenden Zahlen so zu ergänzen, dass ein
bimagisches Quadrat entsteht. Hinweis: Die Zeilen-, Spalten- und
Diagonalensummen eines magischen Quadrats der Ordnung n=8 müssen jeweils
260 (=n(n²+1)/2) ergeben.
Die bimagische Summe der quadrierten Zahlen lautet 11 180
(=n(n²+1)(2n²+1)/6).
Pfeffermann veröffentlichte die
1890: das erste multimagische
Lösung 14 Tage später in der
Quadrat (bimagisch mit der
gleichen
Zeitschrift.
Die
Ordnung 8
Herausgeber von Les Tablettes
von Pfeffermann)
gratulierten dem Autor des ersten
Ergänzen Sie die fehlenden
bimagischen Quadrats mit den
Zahlen!
"aufrichtigsten Glückwünschen zu
56
8
18
9
dieser riesigen Anstrengung, die er
20
48
29
10
mit dem Quadrat vollbracht habe".
Der
berühmte
Mathematiker
26
13
64
4
Edouard Lucas (1842-1891), der
5
30
12
60
regelmäßig Artikel für die
15
63
41
50
Zeitschrift Les Tablettes schrieb,
55
11
58
45
sprach von einem "äußerst
bemerkenswerten
Quadrat".
61
42
27
39
Pfeffermann veröffentlichte in den
62
37
51
3
folgenden
Ausgaben
weitere
bimagische Quadrate achter und
neunter Ordnung.
Wörter zum Text
quadrieren
die Ausgabe, -n
nirgends
підносити до квадрата
видання, випуск
ніде
183
irgendwelche
erstaunt
die Überlieferung -, -en
die Aufzeichnungen
aufheben
zumindest
auffordern
jeweils
die Zeilensumme
die Spaltensumme
ergeben
aufrichtig
die Anstrengung -, -en
vollbringen
bemerkenswert
які - небудь
здивований
звичай, традиція
записи, мемуари, замітки
зберігати, берегти
принаймі, щонайменше
пропонувати
відповідно, у кожному випадку
сума рядків
сума стовпчиків
складати
щирий, відвертий
зусилля, старання
здійснювати, виконувати
вартий уваги, знаменний
IV. a) Lesen Sie ein Zitat über Mathematik.
Die Phantasie arbeitet in einem schöpferischen Mathematiker
nicht weniger als in einem erfinderischen Dichter.
Jean le Rond d'Alembert
b) Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz
Ein Mathematiker will seinen neuesten Beweis als Bild aufhängenleider ist keiner da, der den Nagel reinhaut. Naja, er nimmt also eine Leiter,
Nagel und Hammer und hält den Nagel mit dem Kopf zur Wand. Gerade als
er zuschlagen will, schaut er nochmal genau hin- und stutzt. er überlegt,
und überlegt und überlegt- nach 5 Minuten konzentriertem Hinschauen hat
er's: " Das ist ein Nagel für die gegenüberliegende Wand!"
c) und lustige Arithmetik.*
Ein Stück Seife
Auf einer Wiegeschale liegt ein Stück Seife. Auf der anderen
eines solchen Stückes und noch ein
3
4
3
4
kg. Die Waage ist im
Gleichgewicht. Wie viel wiegt das ganze Stück Seife? Bemühen Sie,
diese leichte Aufgabe im Kopf, ohne Bleistift und Papier, zu lösen.
184
V.
Nurikabe
1
Färben Sie die Felder des Diagramms hell oder
dunkel, entsprechend den folgenden Regeln: Ein Feld mit
einer Zahl ist immer hell. Die Zahl in einem Feld gibt an,
2
3
3
wie viele Felder einen hellen Bereich bilden. Alle Felder
1
eines hellen Bereichs müssen waagerecht oder senkrecht
2
miteinander verbunden sein. Zu jedem hellen Bereich
gehört genau ein Feld mit einer Zahl. Alle hellen
Bereiche müssen durch dunkle Felder voneinander 4
3
2
getrennt sein.
Helle Bereiche dürfen sich also nicht berühren, weder horizontal noch vertikal
(wohl aber diagonal).Alle dunklen Felder müssen einen einzigen dunklen
Bereich bilden. Alle Felder des dunklen Bereichs müssen waagerecht oder
senkrecht miteinander verbunden sein. Es gibt keinen dunklen Teilbereich der
Größe 2x2.
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Jules Henrí Poincaré
(1854 - 1912)
Henri Poincaré war der letzte Universalmathematiker, er erfasste und
bearbeitete alle Zweige der damals bekannten mathematischen Felder und
entwickelte viele von ihnen entscheidend weiter. Fast 250 Veröffentlichungen
aus den verschiedensten Gebieten wie Optik, Topologie, Differentialrechnung,
komplexe Funktionen, Wahrscheinlichkeitstheorie, Himmelsmechanik umfasst
sein Werk. Eine Analyse seiner Werke lässt erkennen, dass er alle Werkzeuge
für die Relativitätstheorie Einsteins entwickelt hatte, ohne allerdings den letzten
Schritt zu erkennen. Trotzdem wird er heute neben Lorentz als einer der Väter
der Relativitätstheorie angesehen. Seine Bücher haben auch großen literarischen
Wert, so dass er als Schriftsteller in die französische Akademie aufgenommen
wurde. Die Universität von Nancy - seiner Geburtsstadt - trägt seinen Namen.
Wörter zum Text
еrfassen
entscheidend
allerdings
охоплювати, збирати
вирішально
звичайно, справді
185
POLYGON
einfaches, nicht
Siebeneck
Ein Polygon (v. griech.: polys = viel + gonos =
Winkel) oder auch Vieleck ist ein Begriff aus der
Geometrie und dabei insbesondere der Planimetrie.
Einfach gesagt erhält man ein Polygon, indem
man mindestens drei voneinander verschiedene
Punkte in einer Zeichenebene durch Strecken so
miteinander verbindet, dass durch den entstandenen
Linienzug eine zusammenhängende Fläche (Figur)
umschlossen wird. Diese Fläche nennt man Polygon.
Dreiecke, Vierecke und Sechsecke sind aus dem
Alltag bekannte Beispiele für Polygone.
überschlagenes, planares, konvexes, regelmäßiges
Mathematische Definition
Ein
Polygon
ist
eine
Figur,
die
durch
ein
Tupel
von n Punkten (die Eckpunkte
oder kurz Ecken genannt werden) eindeutig definiert wird. Die Strecken
und
bezeichnet man als Seiten oder Kanten
des Polygons, alle anderen Verbindungsstrecken
zweier PolygonEckpunkte als Diagonalen. Meist werden noch weitere Bedingungen
vorausgesetzt:
►Das Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene
Eckpunkte.
► Die Kanten schneiden (berühren) einander nur in den Eckpunkten.
Andernfalls bezeichnet man das Polygon auch als überschlagen.
►Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch Pn, P1, P2
und Pn − 1, Pn, P1 gelten als angrenzende Eckpunkte.
►Falls der Schnitt zweier Kanten entweder leer oder eine Ecke ist, und jede
Ecke zu höchstens zwei Kanten gehört (das heißt, es liegt keine
Selbstüberschneidung vor), bezeichnet man das Polygon als einfach.
Besondere Polygone
Unter den unendlich vielen Polygonen stellen die nachstehend
aufgelisteten etwas Besonderes dar. Einige von ihnen können entweder
unerwarteterweise exakt (Beispiel 65537-Eck) oder in sehr guter Näherung
(Beispiel Siebeneck) mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Andere haben
neben der geometrischen eine Bedeutung als Form in der Architektur (Beispiel
Pentagon) oder in der Symbolik (Beispiel Pentagramm).
Dreieck
Parallelogramm
Viereck
Quadrat
Drachenviereck
Raute
186
Rechteck
Trapez
Sechseck (Hexagon) Siebeneck (Heptagon)
Neuneck
Siebzehneck
(Heptadekagon)
65537-Eck
Fünfeck
(Pentagon)
Achteck
(Oktogon)
257-Eck
Berühmte Vielecke
▬ das „Pentagon“ (Sitz des US-Verteidigungsministeriums);
▬ das Pentagon in Kronach: die Festung Rosenberg zeigt ein Fünfeck als
Grundriss;
▬ Frankreich wird auf Grund seiner geographischen Form auch als Hexagon
bezeichnet;
▬ das karolingische Oktogon im Grundriss des Aachener Doms.
Wörter zum Text
der Linienzug
zusammenhängend
umschließen
überschlagen
konvex
voraussetzen
angrenzend
falls
der Schnitt –es, -e
die Selbstüberschneidung
vorliegen
exakt
der Grundriss
контур
зв'язаний
охоплювати, містити в собі
перевернутий
випуклий
припускати
суміжний; той, що прилягає
якщо, у випадку
розріз
самоперетинання
існувати
точний, пунктуальний
план, горизонтальна проекція
Übungen
I. a) Stellen Sie schriftlich den Plan zum Text zusammen.
b) Welcher Absatz des Textes enthält die Information über drei paarweise
voneinander verschiedene Eckpunkte des Polygons? Übersetzen Sie
diesen Absatz ins Ukrainische.
c) Bereiten Sie möglichst kurz die Annotation zum Text vor.
d) Bilden Sie 5 Fragen zum Text.
187
II. a) Bilden Sie Adjektive
Sie ins Ukrainische.
klar
ruhig
ausführbar
begrenzt
beweglich
bekannt
oder Adverbien mit dem Präfix ’’un -’’, übersetzen
wohl
artig
erfüllbar
begreiflich
bewusst
beträchtlich
trennbar
auffällig
befleckt
beständig
nötig
wichtig
angenehm
aufmerksam
befriedigend
bestimmt
glücklich
wesentlich
f) Bilden Sie von folgenden Verben Substantive und
ins Ukrainisch.
Muster‫׃‬
ziehen – der Zug
widerstehen vergnügen
verfahren
einsetzen
vorgehen
übergehen
verhüten
vergleichen
antreiben
mischen
halten
saufen
teilnehmen
befestigen
begegnen
gefallen
treffen
denken
übersetzen Sie diese
einsetzen
drücken
messen
schaffen
schmerzen
bedienen
g) Setzen Sie die entsprechenden Adjektive ein.
1. Ein … Dreieck hat einen rechten Winkel.
2. Ein … Dreieck hat zwei gleich lange Schenkel.
3. Ein … Dreieck hat zwei gleich lange Schenkel und einen rechten Winkel.
4. Ein … Dreieck hat drei gleich lange Seiten.
5. Ein … Dreieck hat drei ungleich lange Seiten.
h) Setzen Sie das Verb im Präsens Passiv ein.
1. Ein Winkel … von zwei Strahlen a und b, die von demselben Punkt S
ausgehen, … (bilden).
2. Der Ausgangspunkt S … Scheitelpunkt … (nennen).
3. Winkel … nach dem Richtungsunterschied der Schenkel … (einteilen).
4. Winkel, deren Schenkelneigung größer ist als ein gestreckter Winkel, …
überstumpf … (nennen).
5. Auf einer Gerade g … die Senkrechte … (errichten).
6. Durch drei voneinander verschiedene Punkte der Ebene … drei Geraden
… (legen).
7. Die dritte Seite des Dreiecks … Basis … (nennen).
8. Im rechtwinkligen Dreieck … eine Seite Hypotenuse … (nennen).
188
f) Ordnen Sie die Wörter unten in drei Gruppen ein.
Bildung
Kultur
Mathematik
Fachrichtung
Dreieck
Gleichung
Unterricht
Arbeit
Lineal
Hochschule
Wasser
Zahlen
Lehre
Vektor
Schauspieler
Algorithmus
Studium
Teilbarkeit
Museum
Körperkultur Reise
Künstler
Körper
Erforschung
Wurzeln
Leben
Tradition
Satz des
Pythagoras
Lernzeit
Bundeswehr
Theaterbesuch
Trapez
Ausstellung
Galoistheorie
Prüfung
Bruchrechnen
Körperpflege
Fremdsprache
Addition
g) Ersetzen Sie die unterstrichenen Wörter durch die unten angegebenen
Antonyme.
1. Die Länge der zwei Schenkel des Dreiecks ist gleich.
2. Die gezeichnete geometrische Figur ist konkav.
3. Das Prinzip der Symmetrie gebraucht man oft in den geometrischen
Konstruktionen.
4. Der Außenwinkel dieses Dreiecks ist größer als der Innenwinkel.
kleiner
konvex
unterschiedlich
die Asymmetrie
III. a) Übersetzen Sie folgenden Text schriftlich ins Ukrainische, beachten Sie
dabei die Bedeutung der neuen Fachwörter und bilden Sie 3 Fragen zum Text.
Polygone in der Computergraphik
Polygonmodell
mit verfeinertem
Surfacemodell im
Wechsel
In der 3D-Computergrafik meint man mit Polygonen
oft Dreiecke, da diese Grundlage für die Berechnung
bei der Bildsynthese sind. Dieses Primitiv wird durch
drei Vertices, in Form eines dreidimensionalen
Vektors, beschrieben. Mit Hilfe spezieller 3DGrafiksoftware kann ein Polygon aus beliebigen
einzelnen
Eckpunkten
und
Kanten/Segmenten
zusammengefügt werden. Sobald ein Linienzug zu
einem einfachen Polygon geschlossen wird,
verschwinden alle übriggebliebenen Punkte und
Segmente und nur das einfache Polygon bleibt übrig. In
diesem geschlossenen Polygon wird nun der Kern bzw.
das Sichtbarkeitspolygon eingezeichnet.
189
Auch nach dem Schließen des Polygons kann dessen Gestalt weiterverändert
werden; der Grafik-Editor erlaubt neben dem Verschieben von Eckpunkten,
Kanten oder des gesamten Polygons auch das Rotieren, Skanieren oder Scheren
des Polygons in einem Kontextmenü.
Eckpunkte und Kanten können auch gelöscht und neue hinzugefügt werden.
Je zahlreicher und kleiner die Polygone sind, desto realistischer kann die
künstliche Bildschirmwelt wirken. Die technische Grafik-Leistung eines
Computerspiels bemisst sich zu einem großen Teil nach der Qualität der
gleichzeitig darstellbaren Bildpunkte, Farben, bewegten Flächen und Lichtreflexe.
Je mehr solcher Attribute ohne sichtbare Zeitverzögerung für jede
Perspektivänderung zu berechnen sind, desto räumlicher und plastischer wirkt die
Grafik im Spiel. Voraussetzung für eine „wirklichkeitsnahe“ Wiedergabe am
Bildschirm ist daher ein schneller Prozessor. Die PlayStation 2 kann theoretisch
70 Millionen Polygone pro Sekunde verarbeiten. Nicht vergleichbar, doch kann
moderne 3D-Grafiksoftware mehrere Milliarden Polygone verarbeiten.
Wörter zum Text
die Berechnung -, -en
die Bildsynthese
zusammenfügen
der Linienzug
das Sichtbarkeitspolygon
das Schließen
die Gestalt -, -en
das Verschieben
rotieren
das Scheren
löschen
hinzufügen
die Leistung -, -en
sich bemessen
sichtbar
die Zeitverzögerung
vergleichbar
обчислення
відтворення зображення
з’єднувати, зв’язувати, збирати
контур
видимий, явний, очевидний
багатокутник
завершення
фігура, образ, форма
зміщення
повертати
різання, різка
витирати, стирати, закреслювати
добавляти, доповнювати
продуктивність, досягнення
визначати, оцінювати, вимірювати
видимий, явний, очевидний
тимчасова витримка
зіставний, порівнянний
b) Sagen Sie dasselbe mit anderen Wörtern.
die Kante
der Computer
die Geometrie
das Lineal
das Polygon
der Mathematiker
c)Übersetzen Sie folgende Stoffeigenschaften ins Ukrainische.
langfaserig
glanzlos
beanspruchbar
empfindlich
kurzfaserig faulig, faulend
190
biegsam
elastisch
dekorativ
glänzend
unauflösbar
lösbar,
löslich
brennbar
umformbar
halbelastisch
kältefest
verklebbar
geruchlos
schweißbar
wachsartig
gesättigt
gummiartig
feuchtigkeitsabhängig
beständig
feuchtigkeitsbeständig
frostfesttemperaturbeständig
bis
durchschneidend
alterungsbeständig
lichtdurchlässig
unzerbrechlich
porig
matt
rostig
harzig
ölig
giftig
V. a) Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz.
Nach der Mathestunde sagt der völlig verzweifelte Lehrer zu seiner
Klasse: "Ihr seid so blöd! Mindestens 80% von euch haben wieder einmal
nichts verstanden!" Da meldet sich einer der Schüler und sagt ganz
überzeugt: "So viele sind wir gar nicht!"
b) Lesen Sie ein Zitat über Mathematik.
Wer der Geometrie begreift,
vermag in dieser Welt alles zu verstehen.
Galileo Galilei
c) und lustige Arithmetik.*
weitergehen, erneut die richtige Zeit anzeigen Drei Uhren
Im Hause waren drei Uhren. Am 1. Januar zeigten sie alle die
genaue Zeit an. Doch richtig ging nur die erste Uhr, die zweite blieb 1
Minute am Tag zurück, die dritte ging 1 Minute am Tag vor. In welcher
Zeit werden alle drei Uhren, wenn sie so?
V.
Pfadfinder
Zeichnen Sie einen Linienzug in das Diagramm.
Dieser beginnt im Feld S und endet im Feld Z. Er berührt
jedes Feld des Diagramms genau einmal. In Feldern mit
einem schwarzen Kreis muss der Linienzug rechtwinkelig
abbiegen; in Feldern mit einem grauen Kreis darf er nicht
abbiegen.
191
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Regiomontanus Johannes Müller
(1436 – 1476)
Von den zahlreichen Schriften, die Regiomontanus verfasste sind
besonders hervorzuheben: die Epitome (1462), ein Handbuch der Sternkunde,
das einen Auszug aus dem Almagest von Ptolemlus war und eine erhebliche
Verbesserung des antiken Vorbildes darstellte, die Dreieckslehre (1462), ein
fünfbändiges Werk über Ebene und sphärische Trigonometrie, das ebenfalls
erstmals das Wissen griechischer und arabischer Wissenschaftler erweiterte, die
Tabulae directionum (1467), Planetentafeln, die selbst berechnete Tabellen für
Sinus- und Tangenswerte sowie die Sonnendeklination enthielten, die Tabula
primi mobilis (1468), die eine verbesserte Sinustafel enthielt, die
Kometenschrift (1472), in der er u.a. die Anwendung des von ihm konstruierten
Gradstockes oder Jakobstabes bei der Bestimmung des Durchmessers von
Kometen beschrieb, und die Ephemeriden (1474), ein für die Jahre 1475 bis
1506 berechnetes nautisches Tafelwerk, das u.a. Christoph Columbus auf seinen
Entdeckungsfahrten benutzt haben soll.
Wörter zum Text
hervorheben
die Sternkunde
der Auszug -es, -e
erheblich
die Verbesserung
der Tangenswert –es, - e
die Sonnendeklination
der Gradstock , -es, -e
die Bestimmung, -en
der Durchmesser ,–es, die Ephemeriden
nautisch
das Tafelwerk
виділяти, відмічати
астрономія
витяг, фрагмент
значний, важливий
удосконалення, поліпшення, виправлення
значення, величина, дані
сонячне схилення
градусна шкала
визначення
діаметр
ефемеріди
навігаційний
збірник репродукцій
FORM
Eine geometrische Figur oder Form ist eine zusammenhängende
Teilmenge der Ebene oder des Raums, die mit mathematischen Mitteln exakt
definiert werden kann. Dabei sind die bestimmenden Eigenschaften unabhängig
von der Lage und der Orientierung in der Ebene oder im Raum. Die Figur kann
eindimensional ("Faden"), zweidimensional ("Fläche") oder dreidimensional
("Körper") sein. Die Definition kann durch eine Kurve, den Graph einer
Funktion oder die direkte Angabe einer Teilmenge erfolgen. Diese abstrakte und
192
theoretische Definition ist so allgemein, dass sie nahezu trivial ist. Enger gefasst
bezeichnet geometrische Figur eine Figur, die sich durch spezielle
mathematische Eigenschaften auszeichnet und die zu einer Gruppe von Figuren
gehört, für die es einen eigenen Namen gibt. So eine Eigenschaft kann sein, dass
sie sich besonders einfach beschreiben lässt, wie ein Kreis oder ein Würfel, es
kann sein, dass sie in einem besonderen Verhältnis zu einer anderen
geometrischen Figur steht, wie ein Sehnenviereck oder eine Inkugel, es kann
auch sein, dass sie dazu dient, einen bestimmten mathematischen Sachverhalt zu
illustrieren, wie die Mandelbrot-Menge oder das Sierpinski-Dreieck. Dabei
entspricht es sicherlich dem historischen Ablauf, dass zunächst Formen mit
einem eigenen Namen ausgezeichnet wurden, die nur selten in der Natur
vorkommen und die durch besondere Regelmäßigkeit auffallen, wie Polygone
und Polyeder. Danach kamen wohl Spezialisierungen und Verallgemeinerungen
dazu. Irgendwann während dieser Entwicklung wurden die Beschreibungen
mathematisch formalisiert. Mit der abstrakten mathematischen Behandlung
ergaben sich Bezeichnungen, die Beziehungen zwischen Figuren ausdrücken.
Und mittlerweile ist es eher so, dass Figuren nicht "entdeckt" werden, sondern
das Ergebnis einer abstrakten Definition sind. Damit werden dann auch Objekte
als Figur angesehen, die sich der unmittelbaren Vorstellung entziehen, wie zum
Beispiel der vierdimensionale Tesserakt oder die Kleinsche Flasche. Der
Ausdruck Form für eine geometrische Figur ist eher umgangssprachlich. Nichts
zu tun hat er mit Form in der Algebra.
Wörter zum Text
zusammenhängend
die Teilmenge
eindimensional
der Faden, -s
trivial
der Würfel, -s, das Sehnenviereck
die Inkugel, -n
das Mandelbrot
der Ablauf , -es –e
zunächst
auszeichnen
die Regelmäßigkeit, -, -en
auffallen
das Polyeder, -s danach
irgendwann
die Behandlung, -en
sich ergeben
die Bezeichnung, -, -en
складний, зв'язний
підмножина
одномірний, лінійний
нитка, спіраль
тривіальний, плоский
куб, шестикутник
вписаний багатокутник
вписана куля
марципан
послідовність, розвиток
перш за все, спочатку
виділяти, розрізняти
правильність, регулярність, закономірність
виділятися, впадати в очі
багатокутник
після цього, потім
коли-небудь, колись
виклад, трактування, обговорення
витікати
назва, позначення
193
виражати
тим часом, між тим
раніше
розглядати
ухилятися, уникати, не піддаватися
ausdrücken
mittlerweile
eher
ansehen
sich entziehen Dat.
Geometrische Figuren der Ebene
Eindimensional
▪ Punkt
Zweidimensional
▪ Polygon ▪ Dreieck
▪ Fünfeck
▪ Neuneck
▪ Sechseck
▪ Zehneck
▪ Gerade
▪ Strahl (Halbgerade)
▪ Viereck: - Quadrat - Trapez Parallelogramm - Raute Sehnenviereck - Drachenviereck
▪ Siebeneck
▪ Strecke
▪
Tangentenviereck
▪ Achteck
Kegelschnitt
▪ Ellipse
▪ Kreis
▪ Hyperbel
▪ Parabel
Sterne
▪ Pentagramm
▪ Hexagramm
Sonstige
▪ Superellipse
▪ Zykloide
Fraktales
▪ Koch-Kurve
▪ Sierpinski-Dreieck
▪ Kugelzweieck
▪ Rosette
▪ Drachenkurve
▪ Mandelbrot-Menge
▪ Penrose-Dreieck
Geometrische Figuren des Raumes
▪ Helix
▪ Kugel
▪ Rotationsellipsoid
▪ Paraboloid
▪ Alle geometrischen
▪ Polyeder
Körper
Platonische Körper
▪ Tetraeder
▪ Dodekaeder
▪ Kugeldreieck
▪ Logarithmische Spirale
▪ Ellipsoid
▪ Hyperboloid
▪ Rotationsparaboloid
▪ Oloid
▪ Pyramide
▪Würfel
194
▪ Menger-Schwamm
▪ Gosper-Kurve
▪ Ikosaeder
Archimedische Körper
▪ Kuboktaeder
Prismen
▪ Pyramidenstumpf
▪ Kegel
▪ Torus
▪ Kegelstumpf
▪ Zylinder
▪ Geodätische Kuppel
Hyperebene
▪ Möbiusband
▪ Kleinsche Flasche
195
Galerie
Tetraeder
Ikosaeder
Zwölfseitiges Prisma
Zwölfseitige Pyramide
Rhombendodekaeder
Durchkreuzungszwillinge
aus zwei
Würfel
Oktaeder
Quadratisches Prisma
Hexagonales Prisma
Quadratische Pyramide Hexagonale Pyramide
Quadratische
Kombination Prisma
mit Pyramide
Trapezoeder
Hexagonale
Kombination Prisma
und Pyramide
Dodekaeder
Achtseitiges
Prisma
Achtseitige
Pyramide
Tesserale
Kombination
Oktaeder und
Würfel im
Gleichgewicht
Achtundvierzigflächner Pyramidenwürfel
Durchkreuzungszwillinge Kombination Prisma 2.
Hexagonale
Ordnung mit
aus zwei Tetraedern
Kombination Prisma
Rhomboedern
196
Pentagondodekaedern
mit Rhomboeder
Hexagonale Kombination
Kombination
der Turmalingruppe Hexagonale Kombination
orthodiagonales
Basis unten - oben
Prisma Pyramide Basis
Pinakoid - Hemitropie rhomboedrisch Gips
Hemimorph
Makrodiagonales Doma
Orthodoma
Pyramidenoktaeder
Rhombischer
Kieselzinkkristall Basis
oben entwickelt Parallelfläche unten fehlt Hemimorph
Tesserale Kombination
Oktaeder mit Würfel
Quadratische
Kombination Prisma 2.
Ordnung mit Pyramide
Monokline
Kombination Säule
Klinopinakoid
Hemipyramide
Monokline Pyramide
Rhombische
Kombination Prisma Rhombische Pyramide
Brachyprisma
Pyramide
Rhombisches Prisma
Tesserale Kombination
Würfel mit Oktaeder
Trikline Pyramide
Zwei Oktaeder miteinander verwachsen Magneteisen Spinell
197
Brachydiagonales
Doma
Tesserale
Kombination
Oktaeder mit
Pentagondodekaeder
Übungen
I.
a) Stellen Sie den Plan zum Text zusammen.
b) Drücken Sie die Hauptinformation des Textes aus.
c) Analysieren Sie die Textstellen, die das Verstehen des Inhaltes
erschweren können.
d) Schreiben sie aus dem Text Wörter, Wortgruppen und Fachbegriffe, die
die Grundinformation des Textes enthalten.
II. a) Übersetzen Sie folgende Internationalismen ins Ukrainische.
Variabilität Sortiment
Front
Typensektion Detail
stabil
produktiv
Person
realisieren
komplettieren
produzieren parken
zentral
Zentrale
Element
Ensemble
Faktor
Fassade
Investition
Rekonstruktion
Sanierung
Standardisierung industriell kompositionell materiell
Resssourcen Etage
Montage
Kollege
Komfort
Block
solid
Expert
Mathematiker Physiker
Basis
bilateral
Effektivität Etappe
Integration
Maschine
Kooperation
Niveau
Objekt
Produktion
b) Ersetzen Sie die unterstrichenen Wörter durch Synonyme.
1. Die Elementargeometrie umfasst die Planimetrie und die Stereometrie.
2. Die Geometrie beschäftigt sich mit den Transformation der Gebilde.
3. Die planimetrischen Untersuchungen führt man in einer gegebenen Ebene
durch.
4. In der Trigonometrie werden die Beziehungen zwischen den Seiten und
Winkeln der Dreiecke aufgestellt.
d) Setzen Sie passende Adjektive in folgende Sätze ein:
1. Der größeren Seite eines Dreiecks liegt der … Winkel gegenüber.
2. Im gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel ….
3. Die Summe zweier Seiten im Dreieck ist stets … als die dritte Seite.
4. Die Differenz zweier Seiten im Dreieck ist nicht … als die dritte Seite.
III. Lesen Sie den Text aufmerksam.
Millennium-Probleme
Am 24. Mai 2000 setzte das Clay Mathematics Institute (CMI) in
Cambridge, Massachusetts ein Preisgeld von jeweils 1 Million US-Dollar für die
Lösung eines der sieben, aus seiner Sicht wichtigsten ungelösten Probleme der
Mathematik aus.
Liste der Probleme
▪ der Beweis der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer,
▪ der Beweis der Vermutung von Hodge,
198
▪ Analyse von Existenz und Regularität von Lösungen der dreidimensionalen
inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen,
▪die Lösung des P/NP-Problems,
▪ der Beweis der Poincaré-Vermutung (2002 gelöst von Grigori Perelman),
▪ der Beweis der Riemannschen Vermutung,
▪ die Erforschung der Gleichungen von Yang-Mills.
Diese Millennium-Liste steht in der Tradition der 100 Jahre zuvor am 8.
August 1900 vom deutschen Mathematiker David Hilbert auf dem
Internationalen Mathematiker-Kongress in Paris aufgestellten Liste von 23 bis
dahin ungelösten Problemen der Mathematik, die die Entwicklung der
Mathematik im 20. Jahrhundert wesentlich befruchtet und vorangebracht hat.
Die Riemannsche Vermutung ist als einziges Problem auf beiden Listen zu
finden.
Poincaré-Vermutung
Die Poincaré-Vermutung wurde 2002 von Grigori Perelman bewiesen.
Allerdings hat er seine Arbeit bisher nicht in einer begutachteten Fachzeitschrift
veröffentlicht, wodurch die Voraussetzungen für das Preisgeld noch nicht erfüllt
sind.
IV. a) Lesen Sie einen Wissenschaftlerwitz.
Ein Heißluftballon verirrt sich im Nebel. Die Mannschaft sieht
unten am Boden einen Mann. Sie fahren hinunter und fragen den Mann,
wo sie denn gerade seien. Nach langer, langer Zeit kommt endlich die
Antwort: "Sie sind in der Luft!" Wieso handelte es sich bei dem Mann am
Boden um einen Mathematiker?
Er brauchte sehr lange für eine Antwort.
Die Antwort war eindeutig richtig (oder etwa nicht?!).
Die Erkenntnis war völlig nutzlos!
b) Lesen Sie ein Zitat über Mathematik.
Mathematik ist die einzige perfekte Methode,
sich selber an der Nase herumzuführen.
Albert Einstein
199
c) und lustige Arithmetik.*
Wer ist älter?
In zwei Jahren wird mein Junge doppelt so alt sein, wie er
vor zwei Jahren war. Und meine Tochter wird in drei Jahren so alt
sein wie vor drei Jahren. Wer ist älter, der Junge oder das
Mädchen?
V.
Samunamupure
In die Felder des Diagramms sind die Zahlen von 1
bis N (= Größe des Diagramms) einzutragen, wobei in
jeder Zeile, in jeder Spalte sowie in jedem weißen bzw.
grauen Bereich jede Zahl genau einmal vorkommen
muss. Die Summe der Zahlen in einem fett umrandeten
Bereich muss der vorgegebenen Zahl entsprechen,
wobei in einer Summe keine Summand mehrfach
vorkommen darf.
VI. Erzählen Sie den Text nach.
Hypatia von Alexandria
(370 - 415)
Erste Frau, dass sie sich aktiv mit Mathematik, aber auch Astronomie
beschäftigt hat. Sie wurde von ihrem Vater Theon, der auch Mathematiker war,
ausgebildet. Sie arbeitete in der Biliothek von Alexandria und gab kommentierte
Werte von Diophant, Appollinius und Ptolomäus heraus. Sie soll von
christlichen Fanatikern zu Tode gesteinigt worden sein.
200
BEILAGE 1
ЧИТАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАКІВ ТА ФОРМУЛ
ЧИТАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАКІВ
+
:
•X
±
=
≠
≡
≈
~
<
>
∞
plus (und)
minus (weniger) oder minus
dividiert, geteilt durch
mal (maltipliziert)
plus
gleich
ungleich
identisch gleich (völlig gleich)
angenähert, nahezu gleich, etwa
proportional entspricht
kleiner (weniger) als
nicht kleiner (weniger) als
größer (mehr) als
nicht größer als
unendlich
rechtwinklig
AB
Strecke AB
AB || CD AB parallel CD
AB ist senkrecht auf CD
AB
∆
Dreieck
□
Quadrat
Rechteck
О
Kreis Parallelogramm
√
Wurzelzeichen
√a
(Quadrat) Wurzel aus a
zweite Wurzel aus а
n-te Wurzel aus а
ª
2
а
a Quadrat, a hoch zwei
3
а
a Kubus, a hoch drei
n
a
a hoch n
а'
a Strich
а"
a zwei Strich
m
m unten eins
log
Logarithmus
loga
Logarithmus zur Basis а
z
log
Logarithmus von z zur Basis а
!
Fakultät
n!
n Fakultät
201
()
[]
()
{}
lim
∫
Jdx
f (x)
x
sec
sin
cos
tg
ctg
runde Klammern
eckige Klammern
spitze Klammern
geschweifte Klammern
Figurklammern
Limes m
Sigma, Summe
Summe von n bis m
Integralzeichen
Integral über dx
f von x
a x gegen a
Sekans, Sekante
cosek Kosekans
Sinus
Kosinus
Tangens
Cotangens
Читання математичних формул
При читанні тексту з формулами вживають переважно такі вислови:
Der Ausdruck (die Formel) вираз має вигляд
lautet
Es ist...
маємо
z = a + (n - 1)d
z gleich a plus, runde Klammer auf, n minus
1, runde Klammer zu mal d
b1c  bt
x ist gleich b unten eine mal с minus b mal
x
ab1  a1b
geteilt durch a mal b unten eine minus a unten
eins mal b
5
zwei x Quadrat plus fünf durch zwei Mal x
2x²+ x -87₌ 0
2
minus siebenundachtzig ist gleich Null
zwei Siebentel - geschweifte Klammer auf 

1
2 3
2 15  7   3( x  2)   5  x
fünfzehn plus sieben - eckige Klammer auf 3 4
2


ein halb plus drei mal - runde Klammer auf 7
x minus zwei - runde, eckige geschweifte
Klammer zu - ist gleich fünf zwei Drittel plus
drei viertel x
x y
F ist gleich Integral von x unten Null bis x
₁ ₁
unten eins über dx mal Integral von у unten
Null bis у unten eins über Quadratwurzel von
F₌  dx  1 +p²+ q²dy
1 plus p hoch 2 plus q hoch 2 dy
x y
202
₀ ₀
5sin²x - cos2x₌ 0
Fünf mal Sinus Quadrat x minus Cosinus
zwei x ist gleich Null.
Числівники
Zahlwörter
0
1
по-перш
zweitens
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
18
19
20
21
40
100
800
null
eins
один
zwei
drei
vier
fünf
sechs
sieben
acht
neun
zehn
elf
zwölf
dreizehn
achtzehn
neunzehn
zwanzig
einundzwanzig
vierzig
hundert
achthundert
1000 tausend
IMio Million
2Mrd Milliarde
keinmal
der erste
einmal
перший один раз,
der zweite zweimal
der dritte
dreimal
der vierte viermal
der fünfte fünfmal
der sechste sechsmal
der
siebente
(siebte)
siebenmal
der achte
achtmal
der neunte
neunmal
der zehnte
zehnmal
der elfte
elfmal
der zwölfte
zwölfmal
der dreizehnte
dreizehnmal
der achtzehnte
achtzehnmal
der neunzehnte
neunzehnmal
der zwanzigste
zwanzigmal
der einundzwanzigste
der vierzigste
vierzigmal
der hundertste
hundertmal
der achthunderste achthundertmal
der tausendste
tausendmal
der Millionste
Millionenmal
Порядкові числівники
від 1 до 19:
від 20:
erstens
drittens
viertens
fünftens
sechstens
siebtens
achtens
neuntens
zehntens
elftens
zwölftens
dreizehntens
Ordnungszahlwörter
Утворення
основа + суфікс -te(n) der vierte, am
vierten aber der erste, der dritte
основа + суфікс -ste(n)
der zwanzigste am
zweiundzwanzigsten
203
Дроби
Bruchzahlen
1/2
1/3
1/5
3/7
1/10
1/25
1/100
1½
5 3/4
0,5
1,5
2,16
ein halb, die Hälfte
ein Drittel
ein Fünftel
drei Siebtel
ein Zehntel
ein Fünfundzwanzigstel
ein Hundertstel
eineinhalb, anderthalb
fünf (und) drei Viertel
null Komma fünf
eins Komma fünf
zwei Komma eins sechs ( zwei Komma sechzehn)
9,99
neun Komma neun neun( neun Komma neunundneunzig)
Арифметичні дії
Додавання
2+3=5
Віднімання
8-4-4
Grundrechenarten
Addition
zwei plus/und/drei ist(gleich) fünf (wir addieren)
Subtrahieren (Subtraktion)
acht minus/weniger/vier ist (gleich) vier (wir subtrahieren)
Множення
5 X 2 = 10
Multiplikation
fünf mal zwei ist (gleich) zehn
fünf multipliziert mit zwei ist(gleich) zehn (wir
multiplizieren)
Ділення
12 : 6 = 2
Піднесення до степеня
З2=9
Добування кореня
√9 =3
³√25
Dividieren (Division)
zwölf geteilt (dividiert) durch sechs ist
(gleich) zwei (wir dividieren)
Potentierung
Drei hoch zwei ist (gleich) neun (drei zum
Quadrat ist neun)
Radizierung( Wurzelziehen)
die Quadratwurzel aus neun ist (gleich)
drei
Die Kubikwurzel aus fünfundzwanzig
204
Читання формул
Formelnlesen
Satz des Pyphagoras
Das Quadrat über der Hypotenuse (с)
eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der
Summe der Quadrate über den beiden
Katheten (a und b) с Quadrat ist gleich a
Quadrat plus b Quadrat fünf hoch zwei ist
gleich vier hoch zwei plus drei hoch zwei с ist
gleich die Quadratwurzel aus a hoch zwei plus
b hoch zwei fünf ist gleich die Quadratwurzel
aus sechzehn plus neun
с2 = а2 + Ь2
52 = 42 +32
с 2 = V а 2 +Ь 2
5 = V 42 +32
U (периметр)
der Umfang
Der Umfang eines Kreises ist gleich der
zwei Radius mal π oder dem Ergebnis des
Durchmessers mamal к (zwei mal л mal r
oder 7rmal d)
А (площа)
die Fläche
а
А = a* b
V (об'єм)
V = г2 πh
Закон Ома
I = U/R
A = a* b die Fläche eines Rechteckes ist gleich
dem Ergebnis der Länge a mal die Breite b ( a
mal b )
das Volumen
V = r2 πh
Das Volumen eines Kreiszylinders ist
gleich dem Ergebnis der Radiusquadrats mal π
mal Höhe h (r hoch zwei mal π mal h)
Ohm sches Gesetz
Die Stromstärke ist gleich Spannung geteilt
(dividiert durch) Widerstand
205
Основні фізичні величини
і їх позначення
довжина, L
товщина
ширина, b
висота, h
глибина, h
радіус, г
діаметр, d
шлях, s
площа, A, S
поперечний переріз, S, q
площа поперечного перерізу,
об'єм, V
кут, а, ß
час, t
швидкість, V
прискорення, а
Вільне прискорення, g
число обертів, n
кут прискорення, W
кутове прискорення, а
частота, f
довжина хвилі, X
вага, m
густина, Q
сила, F
сила тяжіння, G
момент, М
тиск, р
деформація, k
робота, А
енергія, W, Е
потужність, Р
коефіцієнт корисної ДІЇ, Т|
(ККД)
напруга, U
електрична потужність, С
сила струму, І
опір, R
електропровідність, j
індуктивність, L
Physikalische Basisgrößen
und ihre Formelzeichen
die Länge
die Stärke
die Breite
die Höhe
die Tiefe
der Radius, Halbmesser, Fahrstrahl
der Durchmesser
die Weg länge
die Fläche
der Querschnitt
die Querschnittfläche
das Volumen
der Winkel
die Zeit, Zeitspanne
die Geschwindigkeit
die Beschleunigung
die Fallbeschleunigung
die Drehzahl
die Winkelgeschwindigkeit
die Winkelgeschwindigkeit
die Frequenz
die Wellenlänge
die Masse
die Dichte
die Kraft
die Gewichtkraft
das Moment
der Druck,
die Dehnung,
die Arbeit
die Energie
die Leistung
der Wirkungsgrad
die elektrische Spannung
die elektrische Kapazität
die Stromstärke
der elektrische Widerstand
die elektrische Leitfähigkeit
die Induktivität
206
число витків, N
die Windungszahl
сила світла, Ig
die Lichtstärke
освітленість, Eg
die Beleuchtungsstärke
швидкість світла, V
die Schallschnelle
Довжина
Länge
1 метр (м) =
1 Meter (m)=
100 сантиметрам (см) =
100 Zentimeter (cm) =
1000 міліметрам (мм) =
1000 Millimeter (mm) =
1000000 мікрометрам (мк)
1000 Mikrometer (mk)
1 м = 100 дециметрам (дм)
Im = 100 Dezimeter (dm)
1 німецька миля (географічна 1 deutsche Meile (geographi
миля) = 7,420 км
sche Meile) = 7,420 km
( в обрахунках ~ 7,5 км)
(gerechnet ~ 7,5 km)
1 морська миля = 1852 м 1 1 Seemeile = 1852 m 1 englische Meile
англійська миля = 1760 ярдам =1760 Yards = 1609 m
1 Yard= 91,44 cm
= 1609 м
1 ярд = 91,44 см
Площа
Fläche
2
1 кв. м (м )=
1 Quadratmeter (m 2) = 100 Quadratdezimeter
100кв.дм(дм2 )=10000 кв. см (dm 2) = 10000 Quadratzentimeter (cm 2) =
2
(см 2) = 1000000 кв. мм (мм 2) =1000000
Qadratmillimeter
(mm
)
2
2
1 кв.кілометр (км ) = 100
1 Quadratkilometer (km ) = 100 Hektar
гектарам (га) = 10000 арам
(ha)=10000Ar (a) = 1000000 Quadratmeter
2
(а)= 1000000 кв.метрам (м ) (m 2)
Об'єм
1м =1000 д м 3
1 м 3 = 1000000 с м 3
1 дм 3 = 1 літр (л)
Volumen
1Kubikmeter (m 3) = 100 Kubikdezimeter
(dm3)
1Kubikmeter (m3)=1000000 Kubikzentimeter
(cm 3)
1 Kubikdezimeter (dm 3)= 1 Liter (L)
Вага
1 кг = 1000 г
1 англ. фунт = 0,4536 кг
1 тона = 1000 кілограм
Gewicht (Maße)
1 Kilogramm (kg) = 1000 Gramm (g)
1 englisches Pfund (Pf) = 0,4536 Kilogramm
(kg)
1 Tonne (t) = 1000 Kilogramm
3
207
BEILAGE 2
Text
Lösung
Lösung
Text
Aufgabe

Aufgabe

Mathematik
Aufgabe
Antwort
Text
34,0 kg
2,5 kg
1,5 kg
3,8 kg
4,0 kg
45,322
24 l
3,3325
15 l
1,9995
32 l
5,0654
80 l
5,332
27 l
282,336 176,460 376,448 941,120 317,628
Wie viel Kinder?
Ich habe sechs Söhne. Jeder Sohn hat eine
leibliche Schwester. Wie viel Kinder habe ich?
Es sind zusammen sieben : 6 (sechs) Söhne und
eine Tochter. (Gewöhnlich wird
jedoch
geantwortet, es seien 12 (zwölf) Kinder. Doch
dann hätte jeder Sohn 6 (sechs) Schwestern und
nicht eine.)
Lineare Algebra
Aus sieben Ziffern
Schreiben Sie aufeinanderfolgende Ziffern von 1
bis 7 auf : 1 2 3 4 5 6 7
Aufgabe Es ist ganz leicht, sie mit Plus- und
Minuszeichen so zu verbinden, dass
40
herauskommt:
12 + 34 – 5 + 6 – 7 = 40.
Probieren Sie eine andere Kombination dieser
Ziffern, welche nicht 40, sondern 55 ergibt.
Antwort
Die Aufgabe hat nicht eine, sondern drei verschiedene Lösungen. Hier sind
sie.
123 + 4 – 5 – 67 = 55
1– 2 – 3 – 4 + 56 + 7 = 55
12 – 3 + 45 – 6 + 7 = 55
Text Potenzen
Diese Übung enthält verschiedene Aufgabentypen zum Rechnen
mit Potenzen. Die folgende Übersicht zeigt die zur Zeit verfügbaren
Aufgabenstellungen.
Schreibe als Potenz
Schreibe als Potenz
Aufgabenstellung Lösung(en)
Aufgabenstellung Lösung(en)
5.5.5.5.5.5
?
5.5.5.5.5.5
56
3.3.3.3.3.3.3
?
3.3.3.3.3.3.3
38
208
.
.
3
3
7
?
7
71
8
?
8
81 = 23
16
?
16
161 = 42 =
24
Basis, Exponent, Potenz:
Fülle die folgende Tabelle aus
Basis Exponent
Wert
der Potenz
Basis, Exponent, Potenz:
ausgefüllte Tabelle
Basis Exponent
Wert
der Potenz
2
7
?
2
7
128
?
6
4096
4
6
4096
8
?
64
8
2
64
?
5
243
3
5
243
11
?
1331
11
3
1331
16
5
?
16
5
1048576
?
4
625
5
4
625
51
?
2601
51
2
2601
36
?
46656
36
3
46656
12
4
?
12
4
20736
?
3
512
8
3
512
6
7
?
6
7
279936
Schreibe mit einer Potenz
Schreibe mit einer Potenz
Aufgabenstellung Lösung(en)
Aufgabenstellung Lösung(en)
62 + 82
?
62 + 8 2
102
72 + 242
?
72 + 242
54
33 + 43 + 53
?
33 + 43 + 53
63
24 - 42 + 59
?
24 - 42 + 5 9
59
6 . 74 - 4 . 74
?
6 . 74 - 4 . 74
2 . 74
12 . 69 - 8 . 69 + 2 .
?
12 . 69 - 8 . 69 + 2 .
6 . 69 = 610
209
69
7 . 24 + 24
Text
69
?
7 . 24 + 24
8 . 24 = 27
Rechne aus
Rechne aus
Aufgabenstellung Lösung(en)
Aufgabenstellung Lösung(en)
Geometrie
34
?
34
81
43
?
43
64
83
?
83
512
210
?
210
1024
55
?
55
3125
73
?
73
343
292
?
292
841
136
?
136
1
361
?
361
36
10002
?
10002
1000000
Wie errät man den Geburtstag?
Schlagt eurem Freund vor, auf ein Blattt Papier zu
schreiben, am wie vielten Tag eines Monats er geboren
ist, und folgende Rechnung durchzuführen:
Beispiel: Euer Freund wurde am 17. August, also am 17. Tag des 8. Monats
geboren.
Das geschriebene Zahl mit 2 malnehmen,
17 • 2 = 34
das Ergebnis mit 10 multiplizieren,
34 • 10 = 340
zum Resultat 73 zuzählen,
340 + 73 = 413
die Summe mit 5 malnehmen,
413 • 5 = 2065
zum Ergebnis die Ordnungszahl des Geburtsmonats 2065 + 8 = 2073
addieren.
Das Ergebniszahl 2073 nennt er euch, und ihr sagt ihm sein Geburtsdatum.
Antwort
Um das gesuchte Datum zu finden, sind vom
2073 - 365 =
Endergebnis 365 abzuziehen.
1708
1708
Die letzten zwei Ziffern (08) der Differenz
08
210
bezeichnen die Monatszahl
1708 und die voranstehenden (17) – die Tageszahl im
Monat.
Aus der Zahl 17 - 08 stellen wir das Datum fest : 17. 08.
Text Projektive
Geometrie
Text Projektive
Geometrie
Aufgabe
Antwort
17
17. 08
Mittelsenkrechte einer Strecke
Konstruieren
Sie die Mittelsenkrechte der
Strecke AB. Die Länge der Strecke AB sei d.
Zeichnen Sie jeweils einen Kreis mit
Mittelpunkt A und mit Mittelpunkt B mit dem
selben Radius r > 1/2 d. Die beiden Kreise
schneiden sich in den Punkte S1 und S2. Die
Gerade durch S1 und S2 ist die Mittelsenkrechte
der Strecke AB.*
Frühstück
Zwei Väter und zwei Söhne aßen zum
Frühstück drei Eier, wobei jeder von ihnen ein
ganzes Ei aß. Wie erklärt ihr das?
Die Sache erklärt sich ganz einfach. Am
Tisch saßen nicht vier, sondern drei Personen:
der Großvater, sein Sohn und der Enkel.
Großvater und Sohn sind Väter. Sohn und Enkel
sind Söhne.
Text Projektive
Allaussagen und Existenzaussagen
Geometrie
Handelt es sich bei den folgenden Sätzen um All- oder Existenzaussagen? Sind
die Aussagen wahr oder falsch? Formuliere jeweils des Gegenteil.
1. Alle Primzahlen sind ungerade.
2. Alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen.
3. Die Höhen aller Dreiecke schneiden sich im Innern der Dreiecke.
4. Wenn der Abstand der Mittelpunkte zweier Kreise kleiner ist als die Summe
Ihrer Radien, dann schneiden sich die Kreise.
5. Verläuft eine Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises, so unterteilt sie
diesen in zwei gleich große Teile.
6. Es gibt keinen Drachen, der ein Parallelogramm ist.
7. Trapeze besitzen höchstens eine Spiegelachse.
8. Es gibt Rauten mit rechten Winkeln.
9. Enthält ein Vierecke einen rechten Winkel, so ist es ein Rechteck.
10.Wenn zwei Zahlen durch sechs teilbar sind, dann ist auch Ihre Summe durch
sechs teilbar.
211
Lösungen
1. Dies ist eine falsche Allaussage. Das Gegenteil ist die wahre
Existenzaussage: Es gibt eine gerade Primzahl (die Zahl 2).
2. Dies ist eine falsche Allaussage. Das Gegenteil ist die wahre
Existenzaussage: Es gibt eine ungerade Zahl, die keine Primzahl ist (z.B. die
Zahl 9).
3. Dies ist eine falsche Allaussage. Das Gegenteil ist die wahre
Existenzaussage: Es gibt Dreiecke, bei denen sich die Höhen außerhalb der
Dreiecke schneiden. (Wenn eine Dreieckshöhe außerhalb des Dreicks liegt, kann
auch der Höhenschnittpunkt nicht im Innern des Dreiecks liegen.)
4. Dies ist eine falsche Allaussage. Das Gegenteil ist die wahre
Existenzaussage: Es gibt Kreise, bei denen die Abstände ihrer Mittelpunkte
kleiner ist als die Summe ihrer Radien, die sich jedoch nicht schneiden. (Die
Kreise können ineinander liegen.)
5. Dies ist eine wahre Allaussage. Das Gegenteil ist die falsche
Existenzaussage:
Es gibt eine Gerade, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft und diesen
in zwei verschieden große Teile teilt.
6. Dies ist eine falsche Allaussage. Das Gegenteil ist die wahre
Existenzaussage:
Es gibt einen Drachen, der ein Parallelogramm ist. (Eine Raute ist ein Drachen
und ein Parallelogramm.)
7. Diese Ausage ist eine falsche Allaussage. Das Gegenteil ist die wahre
Existenzaussagen: Es gibt Trapeze mit mehr als einer Spiegelachse. (Ein
Quadrat ist ein Trapez mit vier Spiegelachsen.)
8. Dies ist eine wahre Existenzaussage. Das Gegenteil ist die falsche
Allaussage: Alle Rauten besitzen nur Winkel ungleich 90°. (Ein Quadrat ist eine
Raute.)
9. Dies ist eine falsche Allaussage. Das Gegenteil ist die wahre
Existenzaussage: Es gibt ein Viereck mit einem rechten Winkel, das kein
Rechteck ist.
10.Dies ist eine wahre Allaussage. Das Gegenteil ist die falsch Existenzaussage:
Es gibt durch sechs teilbare Zahlen, deren Summe nicht durch sechs teilbar ist.
Text Projektive
Geometrie
Mittelpunkt der Strecke AB
Konstruieren Sie
Strecke
AB.
die Mittelsenkrechte der
Der
Schnittpunkt
der
Mittelsenkrechten mit der Strecke AB ist der
Mittelpunkt M der Strecke AB.
Text
Dreieck
Ein Rechteck und ein Dreieck haben gleichen
212
Antwort
Flächeninhalt. Das Rechteck ist 122 m lang
und 100 m breit, das Dreieck hat eine
Grundlinie von 152, 50 m.
▪ Berechne die Höhe des Dreiecks!
a) Rechteckfläche: 122 m • 100 m = 12200
qm
b)Dreieckshöhe: Die Formel für die
Dreiecksberechnung
lautet:
F△=
Grundlinie * Höhe
2
Wenn
man
nun
Dreiecksfläche : Grundlinie rechnet, so erhält
man die halbe Höhe.
Dreiecksfläche : Grundlinie = halbe Höhe
12200 qm
: 152,5 m = 80 m
80 m • 2 = 160 m
Die Dreieckshöhe
beträgt 160 m.
Text
Dreieck
Antwort
Von den Seiten eines Dreiecks ist b um 8 cm
länger als a und c um 15 cm kürzer als a. Der
Umfang beträgt 113 cm.
▪ Berechne die Länge der 3 Seiten!
Die Seite a sei x .
a=x
b = 8 + x c = x - 15
Seite a + Seite b + Seite c =
Umfang
x
+
x + 8 + x - 15 = 113
3x = 113 +15 – 8
Seite a : x = 40 cm 3x = 113 + 7
Seite b : x + 8 = 40 + 8 = 48 cm
3x
= 120
Seite c: x -15 = 40 – 15 = 25 cm
x =
Text
Dreieck
Antwort
120
 40
3
x =
40
Die Fläche eines rechtwinkeligen Dreieckes
beträgt 1734 cm². Eine Kathete mißt 51cm.
▪ Fertige eine Skizze und bezeichne die Seiten!
▪ Wie groß ist der Umfang des
rechtwinkeligen Dreieckes?
Die Kathete b ist zugleich die Höhe des
rechtwinkeligen Dreiecks.
b) Die Kathete a ist zugleich die
A
Grundlinie des Dreiecks. Länge der
aneren Kathete :
213
Dreiecksfläche =
Grundlinie * Hohe
2
1734
cm²
1734 =
a * 51
2
a = 68 (cm)
b = 51cm
B
C
a
Länge der Hypotenuse :
c² = 68² + 51² c = 85 (cm)
c² = a² + b²
Dreiecks :
Dreiecksumfang = a + b + c
cm = 204 cm
Text
Dreieck
Text
Dreiecksumfang = 68 cm + 51 cm + 85
Zahlendreieck
In die Kreise dieses Dreiecks setzt die 9
(neun) Grundziffern (1 bis 9) so ein, dass jede
Seite die Summe 20 ergibt.
Antwort
2675; 5348; 2918
Affine Geometrie
Senkrechte zu einer Strecke durch einen
Punkt P
Zeichnen Sie einen Kreis mit Mittelpunkt P,
der die Strecke AB in zwei Punkten S1 und S2
schneidet.
Konstruieren
Sie
die
Mittelsenkrechte zur Strecke S1S2. Diese ist
die gesuchte Senkrechte. Bemerkung: Dies gilt
auch, wenn der Punkt P auf der Strecke AB.
Konstruieren Sie eine Senkrechte zur Strecke
AB, die durch den Punkt P verläuft.
Übung I a)
Text
Umfang des
Affine Geometrie
Übung I b)
Winkelhalbierende
Konstruieren Sie die Winkelhalbierende eines
gegebenen Winkels. Zeichnen Sie einen Kreis
mit dem Scheitel S des Winkels als
Mittelpunkt. Er schneidet die Schenkel des
Winkels in den Punkten A und B. Zeichnen Sie
jeweils einen Kreis um den Mittelpunkt A und
um den Mittelpunkt B mit dem selben Radius,
214
so dass sich diese Kreise in einem Punkt P
schneiden. Die Gerade duch P und S ist die
Winkelhalbierende des gegebenen Winkels.
Text
Affine Geometrie
Antwort
Text Geordnete Geometrie
Antwort
Text
Dreieck
Übung IVa)
Wie viel Fahrzeuge?
In einer Werkstatt wurden im Monat 40
Fahrzeuge − Autos und
Motorräder −
repariert. Insgesamt durchliefen genau 100
Räder die Reparatur. Nun ist die Frage, wie
viele von den reparierten Fahrzeugen waren
Autos, wie viele Motorräder?
Es waren 10 Autos und 30 Motorräder.
Tatsächlich:
10 • 4 + 30 • 2 = 100
Wasser und Wein
In einer Flasche ist ein Liter Wein, in
einer anderen ein Liter Wasser. Aus der ersten
wurde ein Löffel Wein in die zweite umgefüllt
und danach aus der zweiten in die erste ein
Löffel
des
entstandenen
Gemisches
zurückgegossen. Ist jetzt mehr Wasser in der
ersten Flasche oder mehr Wein in der zweiten?
Bei der Lösung dieser Aufgabe kann man
sich leicht verwirren, wenn man nicht
berücksichtigt, dass die Flüssigkeitsmenge in
den Flaschen nach dem Umfüllen die gleiche
ist wie ursprünglich – 1 Liter. Überlegen wir
weiter so. Mögen nach der Umfüllung in der
zweiten Flasche n cm³ Wein und
dementsprechend (1000 – n) cm³ Wasser sein.
Also nach der Umfüllung ist im Wein so viel
Wasser, wie im Wasser Wein ist.
Dreieck mit drei gegebenen Seitenlängen
Konstruieren Sie ein Dreieck mit den
215
Seitenlängen a, b und c.
▪ Zeichnen Sie eine Dreiecksseite (z.B. die
dem Punkt C gegenüber liegende Seite mit
der Länge
▪ Zeichnen Sie jeweils einen Kreis um den
Mittelpunkt A mit dem Radius b und einen
Kreis um den Mittelpunkt B mit dem Radius
a. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der
dritte Punkt des Dreiecks.
▪ Verbinden Sie die drei Punkte zum Dreieck
Text
Viereck
Wie alt ist Peter, wie alt ist sein Großvater?
Peters Großvater ist 68 Jahre älter als Peter.
Das Alter des Großvaters erhält man, wenn
man Peters Alter mit 7 multipliziert und 2
dazuzählt. Wie alt ist Peter, wie alt ist sein
Großvater?
Peter ist x Jahre alt. Peters Großvater ist x + 68
Jahre alt. Der Ansatz lautet demnach:
Alter des Großvaters = 7 • Peters Alter + 2
x + 68
= 7x + 2
x = 11
Peter ist 11 Jahre alt. Peters Großvater ist 79
Jahre alt.
Text
Rechteck
Schwestern und Brüder
Ich habe gleichviel Schwestern und
Brüder. Doch meine Schwester hat halb soviel
Schwestern wie Brüder. Wie viele sind wir?
Insgesamt sind es sieben: vier Brüder
und drei Schwestern. Jeder Bruder hat drei
Brüder und drei Schwestern. Jede Schwester
hat vier Brüder und zwei Schwestern.
Antwort
Text
Quadrat
Ein Stück Seife
Auf einer Wiegeschale liegt ein Stück
Seife. Auf der anderen
und noch ein
3
4
3
eines solchen Stückes
4
kg. Die Waage ist im
Gleichgewicht. Wie viel wiegt das ganze Stück
Seife? Bemühen Sie, diese leichte Aufgabe im
Kopf, ohne Bleistift und Papier, zu lösen.
216
Antwort
3
4
eines
Stückes Seife +
3
4
kg wiegen
ebensoviel wie ein ganzes Stück. En ganzes
3
1
Stück +
4
4
1
3
Stück. Also
Stück wiegt
kg und
4
4
3
demzufolge das ganze Stück 4mal soviel wie
4
Stück besteht aber aus einem
kg, das sind 3 kg.
Text
Polygon
Antwort
Text Differentialgeometrie
Antwort
Text
Drei Uhren
Im Hause waren drei Uhren. Am 1. Januar
zeigten sie alle die genaue Zeit an. Doch richtig
ging nur die erste Uhr, die zweite blieb 1
Minute am Tag zurück, die dritte ging 1 Minute
am Tag vor. In welcher Zeit werden alle drei
Uhren, wenn sie so weitergehen, erneut die
richtige Zeit anzeigen?
Nach 720 Tagen. Während dieser Zeit
bleibt die zweite Uhr 720 Minuten zurück, d.h.
12 Stunden. Die dritte Uhr geht die gleiche Zeit
vor. Dann zeigen alle drei Uhren das gleiche
wie am 1. Januar, nämlich die genaue Zeit.
Eine Million Schritte
Sie wissen natürlich sehr gut, was eine
Million ist, und ebenso gut haben sie eine
Vorstellung davon, wie lang Ihrer Schritt ist.
Und da sie beides wissen, wird es ihnen nicht
schwerfallen, auf die Frage zu antworten: Wie
weit würden sie mit einer Million Schritte
gehen? Mehr als 10 km oder weniger?
Eine Million Schritte sind weit mehr als
10 km, mehr sogar als 100 km. Da es von
Moskau nach Leningrad ganze 640 km sind,
würden sie von Moskau aus eine Million
Schritte gehend, weiter als bis nach Leningrad
kommen.
Wer ist älter?
In zwei Jahren wird mein Junge doppelt
so alt sein, wie er vor zwei Jahren war. Und
meine Tochter wird in drei Jahren so alt sein
wie vor drei Jahren. Wer ist älter, der Junge
217
Antwort
oder das Mädchen?
Keiner ist älter. Es sind Zwillinge und
jedes Kind ist zur Zeit sechs Jahre alt. Das
Alter lässt sich auf einfache Weise ermitteln:
in zwei Jahren ist der Junge vier Jahre älter als
vor zwei Jahren und dabei doppelt so alt. Also,
vier jahre – das war sein Alter vor 2 Jahren,
und demzufolge ist er jetzt 4+2 = 6 Jahre. So
alt ist auch die Schwester.
218
BEILAGE 3
ABC End View
Schreiben Sie in einige Felder
des Diagramms einen Buchstaben,
wobei ein Buchstabe in jeder Zeile
und jeder Spalte genau einmal
vorkommen muss (ggf. bleiben
einige Felder frei). Ein Buchstabe
am Rand des Diagramms gibt an,
welchen Buchstaben man "sieht",
wenn man aus der entsprechenden Richtung in das Diagramm "hineinblickt".
Welche Buchstaben verwendet werden dürfen, wird bei jeder Aufgabe
angegeben (AB oder ABC oder ABCD oder ...). Beispiel mit den Buchstaben
ABC:
ABC Kombi
Schreiben Sie in alle
D 1 0 2 1
D 1 0 2 1
Felder
des
C 0 2 0 1
C 0 2 0 1
Diagramms
einen
B 1 1 1 1
B 1 1 1 1
Buchstaben von »A«
D C B A 2 1 1 1
bis »MAX«. Die D C B A 2 1 1 1
1 1 1 1 A C D B
Zahlen links und 1 1 1 1
oberhalb
des 2 0 1 1
2 0 1 1 D B A D
Diagramms geben an, 1 2 0 1
1 2 0 1 A C D C
wie oft die einzelnen 0 0 2 2
0 0 2 2 B A B A
Buchstaben in der jeweiligen Zeile bzw. Spalte vorkommen. Waaegrecht oder
senkrecht benachbarte Felder dürfen nicht den gleichen Buchstaben enthalten.
Beispiel:
Arukone
Verbinden Sie je zwei Felder
mit der gleichen Zahl durch einen
Linienzug.
Die
Linien
eines
Linienzuges verlaufen waagerecht
oder
senkrecht
durch
die
Mittelpunkte der Felder; durch jedes
Feld muss genau ein Linienzug
führen.
219
Schiebepuzzle
Das Spielbrett steht senkrecht, ähnlich wie
bei "Vier Gewinnt". Im Spielbrett befinden sich
41 Spielsteine, die mit Buchstaben bezeichnet
sind. Ein Spielstein kann entweder ein Feld nach
rechts oder ein Feld nach links ziehen, wobei es
keinen oder genau einen benachbarten Stein in
Zugrichtung mitnehmen kann, nicht aber
mehrere. Wenn sich unter einem Spielstein ein
leeres Feld befindet, fällt der Spielstein hinunter,
bis er auf ein Feld trifft, das bereits von einem
Spielstein belegt ist.
Ziel ist es, genau vier Züge zu finden, dass
danach in dem Diagramm das Wort "PUZZLE"
zu finden ist, horizontal, vertikal oder diagonal.
Beispiel: Ergebnis des
Zuges
"C nach rechts".
AB
B
->
CD
AC
->
EF
EFD
Aufgabe:
U
Z
Z
P
Z
L
L
E
U E Z
P
L
L Z U U
U
L
U E L E L Z
E L U Z U E Z L
Z P E E P P U E
L nach links
U
Z
Z
P
Z
L
L
E
U E Z
L
L Z U U
L
U E L E L
E L U Z U E Z
Z P E E P P U
Z nach links
Z
U
Z
Z
E
L
L
Z U
L L U E
E L U Z
Z P E E
E
U
L
U
P
P
U
Z
L
E
P
L
Z
P
U
U
E L Z
E Z L
P U E
Z
P
Z
U
L
E
L Z E Z
L
Z U U U
L L U E L E L
E L U Z U E Z
Z P E E P P U
U nach rechts:
Z
Z
E
L Z
L
Z U
L L U E
E L U Z
Z P E E
220
U
E
U
L
U
P
P
U
Z
L
E
P
L
Z
P
U
U
E L Z
E Z L
P U E
Beleuchtung
Platzieren Sie in den
hellen
Feldern
des
Diagramm Lampen derart,
dass alle hellen Felder
beleuchtet sind und keine
Lampe
eine
andere
beleuchtet. Ein helles Feld
ist beleuchtet, wenn es sich
4
4
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
in der gleichen Zeile oder Spalte wie die Lampe befindet und kein schwarzes
Feld dazwischen ist. Die Zahlen in dunklen Feldern geben an, wie viele Lampen
auf horizontal und vertikal benachbarten hellen Feldern platziert werden müssen.
Hakyuu
Schreiben Sie in jedes
Feld eine Zahl. Jeder fett
umrandete Bereich aus N
Feldern muss alle Zahlen
von 1 bis N genau einmal
enthalten.
Wenn
zwei
gleiche Zahlen in einer Zeile
bzw. Spalte stehen, müssen
sich zwischen den beiden Zahlen mindestens
so viele andere Zahlen
befinden, wie die Zahl angibt; beispielsweise müssen sich zwischen zwei
Feldern mit der Zahl 3 mindestens drei andere Felder befinden.
Hashiwokakero
Zeichnen
Sie
einfache und doppelte
Linien
zwischen
den
Zahlenfeldern derart, dass
in jedem Feld genau so
viele Linien enden wie die
Zahl in dem Feld angibt.
Die
Linien
müssen
horizontal oder vertikal
verlaufen
und
dürfen
einander nicht kreuzen. In
Feldern ohne Zahl enden
keine Linien. Alle Linien
hängen zusammen; d.h.
man kann von jedem Feld
mit einer Zahl zu jedem
beliebigen anderen Feld
221
gelangen, indem man den
Linien folgt.
Lösung
Heyawake
Färben Sie einige
Felder des Diagramms
dunkel, entsprechend den
folgenden Regeln: Die
Felder des Diagramms
sind durch dicke Linien
zu
Parzellen
zusammengefasst.
Eine Zahl in einem Feld gibt an ,wie viele Felder in Parzelle, der es angehört,
dunkel zu färben sind. Von Parzellen, die kein Feld mit einer Zahl enthalten,
ist nicht bekannt, wie viele dunkle Felder sie enthalten. Zusammenhängende
helle Felder dürfen sich nicht horizontal oder vertikal über drei oder mehr
Parzellen erstrecken. Dunkle Felder dürfen weder horizontal noch vertikal
benachbart sein (wohl aber diagonal). Die dunklen Felder dürfen den Bereich
der hellen Felder auch nicht in zwei Teile zerlegen; alle hellen Felder sind also
miteinander horizontal oder vertikal verbunden.
Hitori
Färben Sie die Felder des 4 3 1 2 4
Diagramms hell oder dunkel. In einer 1 2 2 4 5
Zeile oder Spalte des Diagramms darf 2 3 4 5 2
222
4 3 1 2 4
1 2 2 4 5
2 3 4 5 2
keine Zahl mehr als einmal auf einem 2 5 2 1 3
2 5 2 1 3
hellen Feld stehen.
3 4 3 4 2
3 4 3 4 2
Zwei dunkle Felder dürfen weder horizontal noch vertikal benachbart sein. Die
dunklen Felder dürfen die hellen Felder nicht in zwei oder mehr disjunkte
Bereiche zerlegen; d.h. die hellen Felder müssen orthogonal
zusammenhängen. Die Zahlen am rechten Rand des Diagramms geben die
Werte der Felder für die Spaltensummen an; die Zahlen am unteren Rand des
Diagramms geben die Werte der Felder für die Zeilensummen an.
Kakurasu
Färben Sie die Felder
des
Diagramms
entweder
dunkel oder hell. Die Zahlen
am oberen und linken Rand des
Diagramms geben die Summe
der Werte der schwarz
gefärbten Felder in der betreffenden Zeile bzw. Spalte an. Die Zahlen am
rechten Rand des Diagramms geben die Werte der Felder für die
Spaltensummen an; die Zahlen am unteren Rand des Diagramms geben die
Werte der Felder für die Zeilensummen an.
Kakuro
Kakuro sind ähnliche wie
Kreuzworträtsel, nur dass Ziffern
(1 bis 9) statt Buchstaben (A bis
Z) in die Kästchen einzutragen
sind und dass anstelle der
Wortdefinitionen
die
Ziffernsummen angegeben sind.
Eine Ziffer kommt in einer
Ziffernsumme nicht mehrfach
vor.
Lösung
223
Lateinische Quadrate
In die Felder eines
Diagramms der Größe NxN
sind die Zahlen von 1 bis N
einzutragen, wobei in jeder
Zeile, in jeder Spalte sowie in
jedem
stark
umrandeten
Bereich (egal, welcher Form)
jede Zahl genau einmal
vorkommen muss.
Lateinische Summen
Schreiben Sie in jedes Feld des
4 5
Diagramms einen Zahl von 1 bis MAX,
3
6
wobei in jeder Zeile und in jeder Spalte jede
Zahl genau einmal vorkommen muss. Die 5 8
4 3
vorgegebenen Zahlen in einigen Feldern sind
die Summe der Zahlen in den 8
Nachbarfeldern, wobei andere benachbarte
Summenzahlen nicht mitgerechnet werden.
Magische Quadrate
Schreiben Sie in jedes Feld des
Diagramms eine Zahl, wobei in jeder
Zeile, jeder Spalte und in jeder der
beiden Diagonalen jede Zahl genau
einmal vorkommen muss. Welche
Zahlen verwendet werden dürfen,
richtet sich nach der Größe des
Diagramms: 1 bis 4 bei 4x4, 1 bis 5 bei
5x5, 1 bis 6 bei 6x6, usw.
224
1
3
5
2
4
2
8
1
5
1
2
4
2
6
1
3
Minesweeper
Zeichnen Sie in einige Felder des
2
3
Diagramms Bomben ein.
2
Die Zahl in einem Feld gibt an,
2 4
3
wie viele der acht Nachbarfelder eine 1
3 4
Bombe enthalten. Ein Feld mit einer
3
Zahl enthält keine Bombe.
3
3
2
3
2
2 4
3 4
1
3
3
3
3
Zerlege das lachende Gesicht
Lösung
Zerschneiden Sie das lachende Gesicht
entlang der Rasterlinien in drei gleiche Teile.
Die drei Teile müssen die gleiche Form und
Größe haben, können aber gedreht und/oder
gespiegelt sein. Das Auge dient nur der
Verzierung und hat bezüglich der Zerlegung
keinerlei Bedeutung.
Unindentifizierbarer fliegender Observierer
Im Spielfeld befinden sich 9 ArbeiterRoboter (mit 1 bis 9 bezeichnet) und ein AufseherRoboter (mit 0 bezeichnet). Ein Roboter bewegt
sich in einem Schritt geradlinig waagerecht oder
senkrecht (nicht aber diagonal) auf einen anderen
Roboter zu, bis er anstößt. Ein Zug besteht aus
mehreren dieser Schritte, die nacheinander
ausgeführt werden.
Der Aufseher "sieht" einen Arbeiter genau
dann, wenn sich kein anderer Arbeiter in der Hinweis: Es gibt zwei
Sichtlinie zwischen den Zentren der beiden Roboter
Lösungen.
befindet (diese Sichtlinie kann beliebige Winkel
haben, nicht notwendigerweise waagerecht oder
senkrecht). Ziel ist es, genau vier Züge
durchzuführen derart, dass sich danach der
Aufpasser in der Mitte des Spielfeldes befindet und
genau fünf Arbeiter sehen kann.
Beispiel: Im Diagramm unten kann der
Aufpasser (0) genau sechs Arbeiter sehen (6, 2, 5,
225
3, 7, 8). Er kann das Feld in der Mitte des
Spielbretts mit einem einzigen Zug aus fünf
Schritten erreichen (nach rechts, nach oben, nach
recht, nach unten, nach links). Danach kann der
Aufpasser sieben Arbeiter sehen (6, 5, 2, 1, 3, 7, 8).
Lösung
Mochikoro
Färben Sie die Felder des
Diagramms
hell
oder
dunkel,
entsprechend den folgenden Regeln:
Die dunklen Felder zerlegen das
Diagramm in rechteckige Bereiche
heller Felder.
Jedes Feld mit einer Zahl gehört zu einem hellen Bereich; und zu einem
hellen Bereich darf maximal ein Feld mit einer Zahl gehören. Die Zahl gibt an,
aus wie vielen Feldern der helle Bereich besteht. Die hellen Bereiche dürfen sich
nicht orthogonal berühren, müssen aber diagonal zusammenhängen. Die dunklen
Felder dürfen keine Bereiche der Größe 2x2 bilden.
Aufgabe:
Lösung:
Möbius
Verbinden Sie die Zahlen im
Diagramm mit einer durchgehenden Linie,
beginnend mit der kleinsten Zahl und endend
mit der größten Zahl. Die Linie darf das
Diagramm auf einer Seite (links, rechts, oben,
unten) verlassen. In diesem Fall muss sie auf
der gegenüberliegenden Seite (rechts, links,
unten, oben) wieder in das Diagramm
eintreten.
226
Mosaik
1 1
2
2
Färben Sie einige Felder des
3
Diagramms dunkel. Die Zahl in
5
4
einem Feld gibt an, wie viele der 9
5
3
Felder mit dem Zahlenfeld als 3 4
3
3
Mittelpunkt dunkel gefärbt sind.
2
1
1 1
2
3
4
5
3 4
3
2
5
3
2
3
1
Nonograms (Griddlers)
Färben Sie die Felder
1
1
des Diagramms entweder
1
1
dunkel oder hell. Die dunklen
3 1 3 4 3
3 1 3 4 3
Felder
bilden
1 1
1 1
zusammenhängende Gruppen,
1 3
1 3
deren Anzahl, Reihenfolge
5
5
und
Länge
durch
die
1 3
1 3
Zahlenfolgen am oberen und
1
1
linken Rand angegeben ist.
Zwei Gruppen dunkler Felder
sind durch mindestens ein
helles
Feld
voneinander
getrennt.
Nurikabe
Färben Sie die Felder des
1
1
Diagramms hell oder dunkel,
entsprechend den folgenden
2
3 3
2
3
3
Regeln:
1
1
Ein Feld mit einer Zahl ist
2
2
immer hell.
Die Zahl in einem Feld gibt
an, wie viele Felder einen
4
3
2
4
3
2
hellen Bereich bilden.
Alle Felder eines hellen Bereichs müssen waagerecht oder senkrecht
miteinander verbunden sein. Zu jedem hellen Bereich gehört genau ein Feld mit
einer Zahl. Alle hellen Bereiche müssen durch dunkle Felder voneinander
getrennt sein. Helle Bereiche dürfen sich also nicht berühren, weder horizontal
noch vertikal (wohl aber diagonal). Alle dunklen Felder müssen einen einzigen
dunklen Bereich bilden. Alle Felder des dunklen Bereichs müssen waagerecht
oder senkrecht miteinander verbunden sein. Es gibt keinen dunklen Teilbereich
der Größe 2x2.
227
Pfadfinder
Zeichnen
Sie
einen
Linienzug in das Diagramm.
Dieser beginnt im Feld S und
endet im Feld Z. Er berührt jedes
Feld des Diagramms genau
einmal. In Feldern mit einem
schwarzen Kreis muss der
Linienzug
rechtwinkelig
abbiegen; in Feldern mit einem
grauen Kreis darf er nicht
abbiegen.
Pfeilpfad
Nummerieren Sie die Felder
von 1 bis N (=Zeilen×Spalten);
einige Nummern sind schon
vorgegeben. Ein Pfeil in einem
Feld zeigt in die Richtung, in der
sich das Feld mit der nächsten
Nummer befindet. Jedes Feld
muss genau einmal verwendet
werden.
Rechengitter
In die Felder des Diagramms
4 + 3 x 6 = 42
+
x = 42
sind die Zahlen von 1 bis N
x
+
:
x
+
:
einzutragen, wobei jede Zahl genau
8 x 7 : 2 = 28 einmal verwendet werden muss. Die
x
: = 28
x
+
x
+
Gleichungen müssen stimmen. Die
9 - 1 + 5 = 13 Rechenoperationen sind strikt von
+ = 13
oben nach unten und von links nach
=
=
=
=
=
=
rechts
durchzuführen.
Kein
23 10 8
23 10 8
Zwischenergebnis darf negativ
werden. Alle Divisionen müssen
ganzzahlig ohne Rest aufgehen.
Samunamupure
In die Felder des
Diagramms
sind
die
Zahlen von 1 bis N (=
Größe des Diagramms)
einzutragen, wobei in jeder
Zeile, in jeder Spalte sowie
in jedem weißen bzw.
grauen Bereich jede Zahl
228
genau einmal vorkommen muss. Die Summe der Zahlen in einem fett
umrandeten Bereich muss der vorgegebenen Zahl entsprechen, wobei in einer
Summe keine Summand mehrfach vorkommen darf.
229
QUELLENVERZEICHNIS
1. Бернштейн В.Б. Ми говоримо і читаємо про техніку/В.Б. Бернштейн. Київ: Радянська школа, 1970. - 100с.
2. Біров І.Й. Німецька мова для математиків/І.Й. Біров, О.Л.Канюк,
Н.В.Кіш . – Ужгород: Шарк, 2008. – 137с.
3. Вывиорковская З.М. Пособие по немецкому языку для технических
вузов/Зинаида Михайловна Вывиорковская.-Москва: Высшая школа,
1976.- 151с.
4. Методические указания и контрольные упражнения по немецкому
языку для студентов I-III курсов математического факультета: Учебное
пособие. [С.С. Бобинец, Н.И. Зимомря, И.И. Биров, Д.В. Костюк, В.П.
Оленич] – Ужгород: Изд-во УжГУ , 1988. - 77с.
5. Немецкий язык для технических вузов: Учебное пособие. [ Н.В.Басова,
Л.И. Ватлина, Т.Ф. Гайвоненко, Л.Е. Лысогорская, В.Я. Тимошенко,
Л.В. Шупляк] - Ростов-на-Дону: Феникс, 2003.-512с.
6. Немецко-русский
электротехнический
словарь.
[М.Л.Гинзбург,
П.К.Горохов, Л.Б. Гейлер, С.В. Шишкин] - Государственное
издательство физико-математической литературы.- Москва, 1962.1089с.
7. Немецко-русский политехнический словарь. [Г.М. Бардышев, Л.И.
Барон, Н.Ф. Брызгалин, Д.А. Бунин, И.Н. Грабов] - Москва: Руссо,
1998.- 864с.
8. Плакс В.Х. Учебник немецкого языка для технических вузов / В.Х.
Плакс, Г.А. Шаболдина, А.И. Марсакова.- Москва: Высшая школа,
1978.- 352с.
9. Подгорная Л.И. История Германии в биографиях / Людмила Ивановна
Подгорная. - Санкт-Петербург: КАРО, 2002.- 268с.
10.Посібник з німецької мови [ Г. Г. Левченко, В.А. Лук’янова, Н.О.
Цисарчук, Л.С. Бойко, К. Гофман, Х. Дрешер ] . - Київ: Вища школа,
1993.-183с.
11.Учебник немецкого языка для технических вузов: Учебное пособие. [
М.В. Гумилева, Н.В. Казакова, Т.Н.Золотарева, З.Г. Левина ] - Москва:
Высшая школа, 1987.- 207с.
12.Шелудько Н.И. Немецкий язык для технических вузов / Н.И. Шелудько,
А.Ш. Сыркин, Л.А.Спирова . - Москва: Высшая школа, 1987.- 390с.
13.Матеріали періодичної преси ФРН.
14.Frank Ayres. Differential- und Integralrechnung, Schaum Studienhilfen,
McGraw Hill, 3. Nachdruck, 1987
15.M. Barner, F. Flohr. Analysis I, de Gruyter-Verlag, 4. Auflage 1991
16.Davis Hersh. Erfahrung Mathematik, Birkhäuser-Verlag 1985
17.Dr. Heinz – Dieter Ebbinghaus. Einführung in die Mengenlehre, Spektrum,
Akad. Verlag, 3. Auflage 1994
18. Otto Forster. Analysis 1, Grundkurs Mathematik, 4. Auflage 1996
230
19.Helmuth Gericke. Geschichte des Zahlbegriffs, BI-Hochschultaschenbücher,
Mannheim 1970
20.Paul Halmos. Naive Mengenlehre, Vandenhoeck und Ruprecht, 1968
21.Dieter Hirt. Aufgabensammlung. – München, №3, 1980
22.Michael Kofler. Maple V Release 4. Einführung und Leitfaden für den
Praktiker, Addison Wesley Longmann, Bonn 1996
23.Courant-Robbins. Was ist Mathematik? Springer-Verlag, Neuauflage 1998
24.Peter Mlader. Mathematik hat Geschichte, Metzler Schulbuch-Verlag, 1992
25.Arnold Oberschelp. Aufbau des Zahlsystems, Vandenhoeck und Ruprecht,
Göttingen 1968
26.Alexander Walz. Maple V. Rechnen und Programmieren mit Release 4,
Oldenburg-Verlag, München 1998
231
INHALTSVERZEICHNIS
ПЕРЕДМОВА
EINLEITUNG
DAS BILDUNGSWESEN IN DER UKRAINE
USHHORODER NATIONALER UNIVERSITÄT
ICH STUDIERE AN DER MATHEMATISCHEN
FAKULTÄT
KINDHEIT UND JUGEND ISAAC NEWTONS
JAKOB LEUPOLD – MECHANIKER UND TECHNIKER
PETER HENLEIN – ERFINDER DER TASCHENUHR
MIT KLEINEM BEGANN ES ...
DIE NEWTONSCHEN PRINZIPIEN DER MECHANIK
KONRAD ZUSE – DER DEUTSCHE ERFINDER DES
COMPUTERS
MATHEMATIK
ANWENDUNGSGEBIETE DER MATHEMATIK
ZAHLEN
NATÜRLICHE ZAHLEN
PRIMZAHL
ZUSAMMENGESETZTE ZAHL
ADDITION UND SUBTRAKTION
MULTIPLIKATION UND DIVISION
TEILBARKEIT
GEWÖHNLICHE BRÜCHE
LINEARE ALGEBRA
LOGIK
POTENZRECHNUNG
WURZELN
ALGORITHMUS
WIE DIE ALTEN ÄGYPTER RECHNEN
REIHE
GALOISTHEORIE
GEOMETRIE
AFFINE GEOMETRIE
DIFFERENTIALGEOMETRIE
GEORDNETE GEOMETRIE
PROJEKTIVE GEOMETRIE
DREIECK
VIERECK
RECHTECK
QUADRAT
POLYGON
232
4
5
5
8
11
14
17
20
22
26
29
32
36
43
43
49
56
61
66
72
77
88
92
97
102
107
114
119
124
129
135
140
144
148
154
167
174
179
185
FORM
BEILAGE 1
ЧИТАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАКІВ ТА ФОРМУЛ
ЧИТАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАКІВ
ЧИТАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ФОРМУЛ
BEILAGE
BEILAGE 3
QUELLENVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
233
191
200
200
200
201
207
216
228
230