Grundkurs - Digitale Schule Bayern

GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Inhaltsverzeichnis
1
Grundkurs
Stochastik-Skript
Inhaltsverzeichnis
I.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsexperimente und Ergebnisräume …………………...………....
Ereignisalgebra ………………………………………………………..
Relative Häufigkeiten ………………………………………………….
Wahrscheinlichkeitsverteilungen ……………………………………..
Stochastische Unabhängigkeit ………………………………………...
Bernoulli-Ketten ………………………………………………………..
Binomialverteilung ……………………………………………………
II. Statistik
8. Testen von Hypothesen ……………………………………………….
III. Aufgaben
2
3
4
5
8
10
13
16
GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Zufallsexperimente und Ergebnisräume
2
I. Wahrscheinlichkeitstheorie
Die Stochastik, die man als die Lehre der Gesetzmäßigkeit des Zufalls bezeichnen kann,
gliedert sich in zwei gleichberechtigte Teilgebiete, die Wahrscheinlichkeitstheorie und die
Statistik, die jedoch nicht unabhängig voneinander existieren.
Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat die Beschreibung und Untersuchung konkret gegebener
Zufallssituationen zur Aufgabe. Die Statistik sucht Antworten auf die Frage, welche
Schlussfolgerungen man aus zufälligen Beobachtungen ziehen kann. Hierbei benötigt man die
Erkenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie.
1. Zufallsexperimente und Ergebnisräume
1.1 Zufallsexperimente
In den Naturwissenschaften gewinnt man Erkenntnisse, indem man Experimente durchführt.
Bei sinnvollen Experimenten sind die Bedingungen präzise festgelegt und so kann ein
Experiment unter diesen immer gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden. Die
einmalige Durchführung eines Experiments bezeichnet man als Versuch.
Sinnvoll ist ein Experiment meist nur, wenn man sich zu Beginn einen Überblick über alle
möglichen Ergebnisse verschafft. Welches Ergebnis in Endeffekt eintritt ist bei den meisten
Experimenten rein zufällig. Um diese Tatsache besonders zu betonen spricht man in der
Wahrscheinlichkeitstheorie von Zufallsexperimenten.
Wenn man diesen Begriff hört, denkt man zunächst an so genannte Glücksspiele, wie
- Roulette
- Werfen eines Würfels
- Werfen einer Münze
Doch auch im Alltagsleben gibt es genügend Beispiele für Zufallsexperimente:
- Qualitätskontrolle: Oft wird in Firmen getestet, ob ein Werkstück in Ordnung oder
Ausschuss ist. Ob das jeweilige Teststück brauchbar ist, kann meist nicht direkt
erschlossen werden.
- Registrierung des Geschlechts eines Neugeborenen.
- Bestimmung der Anzahl der Verkehrsunfälle in einem Jahr bezogen auf eine
bestimmte Personengruppe.
Setzt man ein Zufallsexperiment aus mehreren einzelnen zusammen, so spricht man von
einem mehrstufigen Zufallsexperiment.
1.2 Stochastische Modelle
Um Zufallsexperimente mathematisch erfassen zu können und Aussagen über die
Wahrscheinlichkeit bestimmter Ausgänge machen zu können, muss man die Realität in ein
mathematisches Modell umwandeln. Der erste Schritt dabei ist die Erstellung des
Ergebnisraums.
1.3 Ergebnisräume
Wie oben erwähnt wird ein Zufallsexperiment meist erst dadurch sinnvoll, dass man sich
einen Überblick über alle möglichen Ergebnisse verschafft. Die Menge aller möglichen
Ergebnisse  bezeichnet man als Ergebnisraum  . Es ist in der Praxis sinnvoll und wichtig,
dass man nur sinnvolle Ergebnisse betrachtet, also den Ergebnisraum so einfach wie möglich
hält. Beim Würfeln ist es beispielsweise nicht sinnvoll, den Fall zu betrachten, dass der
Würfel auf einer Kante liegen bleibt. Die Anzahl der Elemente des Ergebnisraums 
bezeichnet man mit  und nennt sie die Mächtigkeit des Ergebnisraums.
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Zufallsexperimente und Ergebnisräume
3
Beispiele für Ergebnisräume:
a) Mögliche Ergebnisräume beim einmaliges Werfen eines Würfels:
|1| = 6
1  1;2;3;4; 5;6
|2| = 2
2  6; Nicht  6
|3| = 2
 3   gerade Augenzahl; ungerade Augenzahl 
b) Mögliche Ergebnisräume beim zweimaligen Werfen eines Würfels:
2
1  1;2;3;4; 5;6  1;1; 1;2;........; 6;6
|1| = 36
|2| = 11
 2  2;3;........;12(Summe der Augenzahlen)
|3| = 3
 3   0-mal 6; 1-mal 6; 2-mal 6 
Verringert man die Anzahl der Elemente eines Ergebnisraums (z.B. jeweils von 1 auf  2 ),
so spricht man von einer Vergröberung, bei der Umkehrung spricht man von einer
Verfeinerung. Eine Vergröberung bedeutet immer einen Informationsverlust.
2. Ereignisalgebra
Jede Teilmenge A des endlichen Ergebnisraums  heißt Ereignis. Das Ereignis A tritt genau
dann ein, wenn ein Ergebnis  eintritt, dass in A enthalten ist. Die Menge aller Ereignisse
heißt Ereignisraum.
Symbol
____
Sprechweise
A
Gegenereignis von A
A B
Ereignis A und Ereignis B
A B
Ereignis A oder Ereignis B
____
____
______________
weder A noch B
____
____
_____________
höchstens eines der Ereignisse
A B  A B
A B  A B
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Veranschaulichung
(Venn-Diagramm)
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
4
Für die Verknüpfung von Mengen gelten Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz.
Darüber hinaus gelten die Gesetze von De Morgan:
____
____
______________
____
____
_____________
A B  A B
A B  A B
___
Das Ereignis A und sein Gegenereignis A können nicht gemeinsam eintreten. Es gibt jedoch
in fast allen Fällen ein anderes Ereignis B, das auch nicht gemeinsam mit A eintreten kann,
d.h. dass A  B   .
Die Ereignisse A und B heißen unvereinbar oder disjunkt, wenn A  B   .
Das Ereignis  heißt sicheres Ereignis; das Ereignis   heißt unmögliches Ereignis.
3. Relative Häufigkeiten
Man kann zwar nicht vorhersagen, welches Ergebnis bei einem Versuch eines
Zufallsexperiments eintritt, man kann jedoch Aussagen darüber machen mit welcher
Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Ereignis eintritt. Ein Weg, mit dem man in der Praxis
Durchschnittswerte für die Wahrscheinlichkeiten vorgegebener Ereignisse bestimmt, führt
über die relative Häufigkeit. Diese erhält man, indem man das Zufallsexperiment n-mal
durchführt, dabei die Anzahl der Fälle k bestimmt, in denen das gewünschte Ereignis eintritt
(absolute Häufigkeit) und diese Anzahl durch die Zahl der Versuche teilt.
Tritt bei n-maliger Durchführung eines Zufallsexperiments ein Ereignis A genau k-mal
k
ein, so heißt hn  A  die relative Häufigkeit des Ereignisses A.
n
Der Übergang zum Begriff der Wahrscheinlichkeit, wird
durch eine Erfahrungstatsache gestützt, die als Empirisches
Gesetz der großen Zahlen bezeichnet wird:
Dieser feste Wert ist die Wahrscheinlichkeit P A .
Die relative Häufigkeit
eines Ereignisses stabilisiert sich mit zunehmender Versuchszahl um
einen festen Wert.
Eigenschaften relativer Häufigkeiten:
hn (A  B) = hn (A) + hn (B) – hn (A  B)
Für eine “Häufigkeitsverteilung” gilt weiter:
1. 0  hn ()  1
2. hn (1) + hn (2) + ... + hn (m) = 1
3. hn (A) = hn ()
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 = { 1 ; 2 ... m }
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
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Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
4.1 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Um zu entscheiden, wie wahrscheinlich das Eintreten eines Ereignisses ist, reicht es, den
einzelnen Elementarereignissen eindeutig Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Da eine
derartige Funktion „die Wahrscheinlichkeit 1 auf die Elementarereignisse verteilt“, spricht
man von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Eine Funktion P:   P  , heißt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn gilt:
1) 0  P   1 für alle   
2)  P  1 , d.h. die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist 1.

3) P   0 , d.h. die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0.
4) P A   P  , d.h. die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist die Summe der
A
Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse, die in A enthalten sind.
Die dadurch festgelegte Funktion P:
A  P A bezeichnet man
Wahrscheinlichkeitsmaß und sie erfüllt die Axiome von Kolmogorov:
1) P A  0 für alle Ereignisse A
Nichtnegativität
2) P  1
Normiertheit 
3) A  B     P A  B  P A  PB
Additivität 
als

Eine wichtige Eigenschaft der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist: P A  1  P A
4.2 Stochastische Modelle
Der zweite Schritt beim Aufstellen eines stochastischen Modells ist die Festlegung der
zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Zusammenhang zwischen dem
stochastischen Modell und der Realität stellt sich folgendermaßen dar:
Reale Situation
Wie wahrscheinlich ist es,
dass das reale Ereignis A
eintritt?
Konstruktion des zugehörigen
stochastischen Modells
Überprüfung mit Hilfe
der relativen Häufigkeit
Übertragung
Stochastisches
Modell
Festlegung von  , P
von P(A) als
Wahrscheinlichkeit von A
in der Realität
Übertragung in
die Realität
Rechnung
P(A)
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
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4.3 Konkrete Berechnungsmöglichkeiten von Wahrscheinlichkeiten
4.3.1 Berechnung am Baumdiagramm
0,8
1
P((1/1/1)) = 0,7  0,6  0,8  0,336
0,6
0,2
0
P((1/1/0)) = 0,7  0,6  0,2  0,084
0,4
0,8
1
P((1/0/1)) = 0,7  0,4  0,8  0,224
0,2
0
P((1/0/0)) = 0,7  0,4  0,2  0,056
0,8
1
P((0/1/1)) = 0,3  0,6  0,8  0,144
0,6
0,2
0
P((0/1/0)) = 0,3  0,6  0,2  0,036
0,4
0,8
1
P((0/0/1)) = 0,3  0,4  0,8  0,096
0,2
0
P((0/0/0)) = 0,3  0,4  0,2  0,024
1
1
0,7
0
S
1
0,3
0
0
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem Verzweigungspunkt
ausgehen, ist immer 1.
1. Pfadregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses
erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der das Ergebnis
beschreibt, multipliziert.
2. Pfadregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, indem man die
Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die
zu diesem Ereignis gehören, addiert.
4.3.2 Berechnung mit Vierfeldertafeln
___
B
___.
A
A
P( A  B)
P( A  B)
__ _
B
___
.
___
P(B)
___
P( A  B)
P( A  B)
P(A)
P(A)
___
P(B)
___
___
Die Summe der ersten Zeile ergibt P(B), die Summe der 2. Zeile ergibt P(B). Ebenso ergibt
___
die Summe der ersten Spalte P(A), die Summe der 2. Spalte P(A).
Daher gilt:
P A  B  P A  B  PB
o
P A  B  P A  B  PB
o P A  B  P A  B  P A
4.4 Kombinatorik
o
P A  B  P A  B  P A
___
o
___
___
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___
___
___
___
___
___
___
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
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Bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten ist es meist sehr hilfreich, die Mächtigkeit des
Ergebnisraums oder die Mächtigkeit einzelner Ereignisse abzuzählen. Dabei hilft einem die
Kombinatorik. Beim Abzählen der Elemente einer Menge ist entscheidend, ob sich einzelne
Elemente wiederholen können und ob die Reihenfolge der Elemente als wichtig erachtet wird.
Es gibt folgende Möglichkeiten, k Elemente aus einer n-Menge (Menge mit n Elementen)
auszuwählen:
mit Wiederholungen
k-Tupel aus einer
n-Menge
mit Beachtung
der Reihenfolge
Formel:
nk
Beispiel:
Zahlenschloss
ohne Wiederholungen
k-Permutationen aus
einer n-Menge
n!
n  k !
Beispiel: Verteilung von
Kinoplätzen
Formel:
k-Teilmengen aus
einer n-Menge
ohne Beachtung
der Reihenfolge
Formel:
 n  k  1


 k

n
 
k 
Beispiel: Lotto
Formel:
4.5 Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
4.5.1 Gleichverteilung
1
heißt Gleichverteilung. Der Name kommt

daher, dass jedem Elementarereignis dieselbe Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Ein
Zufallsexperiment, bei dem die Gleichverteilung zugrunde liegt heißt Laplace-Experiment.
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit P A des Ereignisses A benutzt man die Regel
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P:  
P  A 
A

Dabei gilt:
A = Anzahl der für A günstigen Ergebnisse
 = Anzahl der möglichen Ergebnisse
4.5.2 Binomialverteilung
Beim n-maligen Ziehen mit Zurücklegen ist es manchmal sinnvoll, nur zu unterscheiden, ob
man einen Treffer (weiße Kugel) oder ein Niete (schwarze Kugel) erhält. Ein sinnvoller
Ergebnisraum ist    kein Treffer; ein Treffer; ……..; n Treffer  .
n
Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung P: k    p k (1  p) n k der die Trefferzahl k
k 
abbildet, heißt Binomialverteilung. Dabei ist p der Anteil der weißen Kugeln.
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Stochastische Unabhängigkeit
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4.5.3 Hypergeometrische Verteilung
Beim n-maligen Ziehen ohne Zurücklegen ist es manchmal ebenfalls sinnvoll, nur zu
unterscheiden, ob man einen Treffer (weiße Kugel) oder ein Niete (schwarze Kugel) erhält.
Ein sinnvoller Ergebnisraum ist wieder    kein Treffer; ein Treffer; ……..; n Treffer  .
Bei insgesamt N Kugeln, von denen K weiß sind, erhält man die WahrscheinlichkeitsK  N  K
   

k   n  k 

verteilung P: k 
. Auch bei dieser so genannten hypergeometrischen
N
 
n
Verteilung wird die Trefferzahl k abgebildet.
4. Stochastische Unabhängigkeit
5.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Es gibt Situationen, in denen die Wahrscheinlichkeiten durch die Vorinformation beeinflusst
werden. Beim Ziehen ohne Zurücklegen beeinflusst der erste Zug die Wahrscheinlichkeit für
das Eintreten eines bestimmten Ereignisses beim zweiten Zug.
Können bei einem Experiment die Ereignisse A und B eintreten, so heißt die
Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist die (bedingte)
Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A und bezeichnet sie mit PA B.
Es gilt P A  B  P A  PA B, was man auch am Baumdiagramm ablesen kann:
PA B 
B
A
P A
_____
PA B 
B
B 
B
___
S
P A
___
P
A
___
A
_____
___
P
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A
B 
B
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Stochastische Unabhängigkeit
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5.2 Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse
Man bezeichnet zwei Ereignisse A und B als stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten
des Ereignisses A die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B nicht beeinflusst.
Daraus folgt mit der Schreibweise von oben PB  PA B . Mit der Formel
P A  B  P A  PA B ergibt sich eine Formel zur Überprüfung der Unabhängigkeit:
Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn P( A)  P( B)  P( A  B)
Die stochastische Unabhängigkeit ist in der Praxis von großer Bedeutung. In der Psychologie
fragt man sich beispielsweise häufig, ob die Auftretenswahrscheinlichkeit einer bestimmten
Störung in bestimmten Bevölkerungsgruppen größer ist als in anderen.
Im Fall der Bulimie hat man in der Gesamtbevölkerung eine Auftretenswahrscheinlichkeit
von 0,1%, bei weiblichen Personen im Alter von 15-35 Jahren liegt sie bei 3%. Durch das
Wissen, dass eine Person weiblich und zwischen 15 und 35 Jahren alt ist verändert sich die
Auftretenswahrscheinlichkeit von Bulimie. Es liegt also stochastische Abhängigkeit vor.
Wäre eine psychische Störung stochastisch unabhängig von einer bestimmten Population, so
müsste die Auftretenswahrscheinlichkeit in der Population mit der in der Gesamtpopulation
übereinstimmen.
___
___
Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, so sind auch A und B, A und B sowie
___
____
A und B stochastisch unabhängig.
Die zugehörige Vierfeldertafel ist eine Multiplikationstafel:
___
B
___.
B
A
A
P ( A)  P ( B )
P ( A)  P ( B )
__ _
___
.
___
___
P ( A)  P ( B )
P ( A)  P ( B )
P(A)
P(A)
P(B)
___
P(B)
___
5.3 Zusammenhang zwischen Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit zweier Ereignisse
Sind zwei Ereignisse A und B (mit P(A); P(B)  0) unvereinbar, so sind sie
abhängig.
ndung:
A;B    sind unvereinbar  A  B =    P(A  B) = 0
aber P(A)  0  P(B)  0  P( A)  P( B)  0  A und B sind abhängig
Be
grü
Graphischer Überblick:
A
A
B
A und B sind unvereinbar
 A und B sind abhängig
B
A und B sind vereinbar
 A und B sind unabhängig,
wenn P( A)  P( B)  P( A  B)
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A
B
B A
 A und B sind abhängig
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Bernoulli-Ketten
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5.4 Stochastische Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse
Ereignisse A1; A2; ……..; An heißen stochastisch unabhängig, wenn sie paarweise
stochastisch unabhängig sind, und wenn gilt:
P A1  A2  ........  An   P A1  P A2  ........  P An 
Paarweise stochastisch unabhängig bedeutet dabei, dass je zwei der Ereignisse stochastisch
unabhängig sind.
5. Bernoulli-Ketten
6.1 Bernoulli-Experimente
Bernoulli – Experiment:
Ein Zufallsexperiment mit dem Wahrscheinlichkeitsraum ; P , bei dem   0;1,
P 1  p und P 0  1  p  q
ist, heißt Bernoulli-Experiment mit der
Trefferwahrscheinlichkeit p.
anschauliche Deutung:
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem nur interessiert, ob ein
bestimmtes Ergebnis vorliegt oder nicht, d.h. ein Zufallsexperiment, dessen Ergebnisraum nur
aus zwei Elementen besteht.
Bezeichnungen:
1 = Treffer
0 = Niete
p = Trefferwahrscheinlichkeit
Weitere Beispiele:
Experiment
Treffer (0)
Niete (1)
Münzwurf
Würfelwurf
Ziehen mit Zurücklegen
Qualitätsprüfung eines Massenartikels
Flaschendrehen
Blümchen zupfen
Geburt
Schwangerschaftstest
Kopf
Sechs
weiße Kugel
gut
Flasche zeigt auf mich
Er/Sie liebt mich
Mädchen
positiv
Zahl
Nicht-Sechs
schwarze Kugel
schlecht
Flasche zeigt nicht auf mich
Er/Sie liebt mich nicht
Junge
negativ
Bemerkung:
Die meisten Zufallsexperimente kann man durch eine Vergröberung des Ergebnisraumes zu
einem Bernoulli-Experiment machen.
Beispiel:
Beim Würfeln ist der zugrunde liegende Ergebnisraum   1;2;3; 4;5;6 . Beim ersten Wurf
beim Mensch-ärgere-dich-nicht ist es jedoch nur interessant ob man eine „6“ würfelt oder
nicht. Hier bietet sich die Vergröberung   6; Nicht  6 an. Mit diesem Ergebnisraum ist
der erste Wurf beim Mensch-ärgere-dich-nicht ein Bernoulli-Experiment.
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Bernoulli-Ketten
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6.2 Bernoulli-Ketten
Meistens interessiert man sich nicht für ein einzelnes Bernoulli-Experiment, sondern für eine
mehrfache Ausführung eines Bernoulli-Experiments. Wenn man einen Zufallsversuch viele
Male unter genau den gleichen Bedingungen durchführt, so werden sich die Ausgänge der
Einzelversuche vermutlich nicht beeinflussen. Münze, Würfel und Roulettscheibe haben kein
„Gedächtnis“.
Bei n-maliger Durchführung eines Experiments bedeute das Ereignis Ai = „Treffer beim i-ten
Versuch“.
Bernoulli-Kette:
Eine Menge von Ereignissen A1; ………. ; An heißt Bernoulli-Kette der Länge n, wenn
1. A1; ………. ; An unabhängig sind
2. alle Ai die gleiche Wahrscheinlichkeit haben: P(A1) = ……….. = P(An)
p heißt Parameter der Bernoulli-Kette
Beispiele:
a) Qualitätskontrolle mehrerer gleichartiger Werkstücke.
b) Psychologische Untersuchung mehrerer Kinder auf Hochbegabung.
c) Raten bei einem Multiple-Choice-Test bei dem jede Frage dieselbe Anzahl an
Lösungsmöglichkeiten hat.
d) Testen eines Medikaments in Tierversuchen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man bei einer Bernoulli-Kette der Länge n und der
Trefferwahrscheinlichkeit p ein bestimmtes n-Tupel mit genau k Einsen?
Um diese Frage zu klären betrachtet man zunächst den Sonderfall, dass die ersten k Elemente
des n-Tupels Einsen sind. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen betrachtet man den
zugehörigen Baumast:
p
p
q
q
p
q
.........
................
Start
1
1
0
0
k Treffer
n-k Nieten
Unter Benutzung der ersten Pfadregel ergibt sich die Wahrscheinlichkeit zu p k  q nk
(mit q = 1-p).
Nun versucht man sich den Baumast für den allgemeinen Fall vorzustellen und bildet
wiederum mit Hilfe der ersten Pfadregel die Wahrscheinlichkeit. Man sieht schnell, dass im
zugehörigen Produkt wieder k-mal der Faktor p und (n-k)-mal der Faktor (1-p) auftritt. Mit
Hilfe des Kommutativgesetzes kann man die Faktoren beliebig anordnen und erkennt: Die
Wahrscheinlichkeit ergibt sich auch im allgemeinen Fall zu: p k  q nk mit q = 1-p
Wahrscheinlichkeitsraum einer Bernoulli-Kette:
Der auf eine Bernoulli-Kette mit den Parametern n und p zugeschnittene Ergebnisraum ist
die Menge aller n-Tupel mit den Elementen 0 und 1.
Den Elementarereignissen einer Bernoulli-Kette mit k Einsen und (n-k) Nullen wird die
Wahrscheinlichkeit p k  q nk zugeordnet.
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Bernoulli-Ketten
12
Spezialfälle:
Bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Parameter p gilt:
P(„lauter Treffer“) = pn
P(„kein Treffer“) = (1-p)n = qn
P(„mindestens ein Treffer“) = 1 – P(„kein Treffer“) = 1 - qn
3-mindestens-Aufgaben:
In der Praxis ist es oft auch von Interesse, wie lang eine Bernoulli-Kette sein muss, um mit
einer bestimmten Sicherheit mindestens einen Treffer zu erzielen.
Beispielsweise fragt sich Herr Moser, der zwei Töchter hat, wie viele Kinder er zeugen muss,
um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98% mindestens einen Sohn zu haben. (Die
Wahrscheinlichkeit für eine Jungengeburt beträgt 0,514).
Lösung:
P(„mindestens 1 Sohn“)  0,98  1- P(„kein Sohn“)  0,98
 - P(„kein Sohn“)  0,98 – 1  P(„kein Sohn“)  0,02
 0,486n  0,02  ln0,486n  ln0,02  n  ln0,486  ln0,02
ln 0,02
n
 n  5,4  n  6
ln 0,486
Herr Moser muss mindestens 6 Kinder zeugen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 98% mindestens einen Sohn zu haben.
Abschätzung der Trefferwahrscheinlichkeit p:
Welche Aussagen kann man über p machen, wenn in einer Bernoulli Kette der Länge n mit
der Mindestwahrscheinlichkeit  mindestens ein Treffer erzielt werden soll?
Es muss gelten: 1  (1  p) n  

p  1 n 1 
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man bei einer Bernoulli-Kette der Länge n und der
Trefferwahrscheinlichkeit p genau k Einsen?
In den meisten Fällen ist es nicht von Interesse, wann die k Treffer auftreten, es ist vielmehr
entscheidend, ob genau k Treffer auftreten. Da man versucht, den Ergebnisraum stets so
einfach wie möglich zu halten, betrachtet man die Vergröberung    kein Treffer; ein
Treffer; ………; n Treffer  .
Nun stellt sich die Frage, welche Wahrscheinlichkeit den einzelnen Elementarereignissen
zugeordnet wird. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei einer Bernoulli-Kette der
Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p ergibt sich folgendermaßen:
 Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses mit genau k Treffern und n-k
Nieten ist p k  q nk .
n
 Die Anzahl der n-Tupel mit genau k Einsen ist   .
k 
Die Wahrscheinlichkeit P(Z=k) für genau k Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Länge n
ergibt sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse zu
n
PZ  k      p k  q n k (mit q = 1-p)
k 
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Binomialverteilung
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6. Binomialverteilung
In den meisten Fällen ist es nicht von Interesse, wann genau die k Treffer auftreten, es ist
vielmehr entscheidend, ob genau k Treffer auftreten. Da man versucht, den Ergebnisraum
stets so einfach wie möglich zu gestalten betrachtet man meist nur die Vergröberung
   kein Treffer; ein Treffer; ………; n Treffer  .
Nun stellt sich die Frage, welche Wahrscheinlichkeit den einzelnen Elementarereignissen
zugeordnet wird. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei einer Bernoulli-Kette der
Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p ergibt sich folgendermaßen:
 Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses mit genau k Treffern und n-k
Nieten ist p k  q nk .
n
 Die Anzahl der n-Tupel mit genau k Einsen ist   .
k 
 Die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Länge n ergibt
sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse zu
 n  k nk
   p  q
(mit q = 1-p)
k 
Binomialverteilung:
n
nk
Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung Bn; p  : k  Bn; p; k      p k  1  p  heißt
k 
Binomialverteilung.
Graphische Darstellung:
Graphisch stellt man die Binomialverteilung entweder mit einem Stabdiagramm oder mit
einem so genannten Histogramm dar.
Stabdiagramm
Histogramm
Beim Histogramm wählt man als Breite eines Rechtecks meist eine Längeneinheit, so dass die
Fläche des jeweiligen Rechtecks über einer Trefferzahl der Wahrscheinlichkeit dieser
Trefferzahl entspricht.
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Binomialverteilung
14
Eigenschaften der Binomialverteilungen:
Die Binomialverteilung B(n;p) wird durch die beiden Parameter n und p charakterisiert.
a) Abhängigkeit vom Parameter p:
- Das Maximum, also die Stelle größter Wahrscheinlichkeit, rückt mit wachsendem
p nach rechts.
n
- B(n;p) und B(n;1-p) liegen symmetrisch zur Achse k  .
2
1
n
- B(n; ) liegt symmetrisch zur Achse k  .
2
2
p = 0,2:
p = 0,5:
b) Abhängigkeit von der Länge n:
- Das Maximum rückt mit wachsendem n nach rechts.
n = 1:
n = 9:
In der Praxis ist man häufig nicht an dem Ereignis „genau k Treffer“, sondern an Ereignissen
„höchstens k Treffer“ bzw. „mindestens k Treffer“ interessiert. Damit man dabei nicht ständig
aufwendige Summen berechnen muss, definiert man sich die so genannte kumulative
Verteilungsfunktion
k
F pn k    Bn; p; i 
i 0
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Binomialverteilung
15
Benutzung von Tafelwerken:
Da die Binomialverteilung für die Praxis von großer Bedeutung ist, sind sowohl sie als auch
die kumulative Verteilungsfunktion für bestimmte Parameter n und p in so genannten
Tafelwerken der Stochastik tabellarisiert.
p = 0,20
n
k
p = 0,25
k
B(n;p;k)

B(n;p;i)
B(n;p;k)
i 0
8
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,16777
0,33554
0,29360
0,14680
0,04588
0,00918
0,00115
0,00008
0,00000
0,10737
0,26844
0,30199
0,20133
0,08808
0,02642
0,00551
0,00079
0,00007
0,00000
p = 0,30
k
0,16777
0,50332
0,79692
0,94372
0,98959
0,99877
0,99992
0,10737
0,37581
0,67780
0,87913
0,96721
0,99363
0,99914
0,99992

k
B(n;p;i)
B(n;p;k)
i 0
0,10011
0,26697
0,31146
0,20764
0,08652
0,02307
0,00385
0,00037
0,00002
0,05631
0,18771
0,28175
0,25028
0,14600
0,05840
0,01622
0,00309
0,00039
0,00003
0,00000
0,10011
0,36708
0,67854
0,88618
0,97270
0,99577
0,99962
0,99998
0,05631
0,24403
0,52559
0,77588
0,92187
0,98027
0,99649
0,99958
0,99997

B(n;p;i)
i 0
0,05765
0,19765
0,29648
0,25412
0,13614
0,04668
0,01000
0,00122
0,00007
0,02825
0,12106
0,23347
0,26683
0,20012
0,10292
0,03676
0,00900
0,00145
0,00014
0,00001
0,05765
0,25530
0,55177
0,80590
0,94203
0,98871
0,99871
0,99993
0,02825
0,14931
0,38278
0,64961
0,84973
0,95265
0,98941
0,99841
0,99986
0,99999
Beim ablesen der Werte geht man so vor, dass man zunächst nach dem passenden Parameter p
sucht. Hat man die richtige Spalte gefunden, so sucht man nach dem passenden Parameter n.
Die gegebenen Parameter geben einem nun die zugehörige Spalte und die zugehörige Zeile
der Tabelle an. Den gesuchten Wahrscheinlichkeitswert erhält man, indem man von dem
gewünschten Trefferwert k aus waagrecht nach rechts (zur Sicherheit mit einem Lineal) und
liest dann den Wert für Bn; p; k  bzw.
k
 Bn; p; i  ab.
i 0
Im obigen Beispiel ist die Bestimmung von B8;0,3;3 in Rot bzw.
3
 B8;0,3; i 
in Blau
i 0
dargestellt.
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Testen von Hypothesen
16
II. Statistik
In der Wahrscheinlichkeitstheorie haben wir bisher mit Wahrscheinlichkeiten gerechnet. In
der Statistik beschäftigen wir uns nun damit, Vermutungen über Wahrscheinlichkeiten
anzustellen (Schätzen) und zu überprüfen (Testen). Derartige Aussagen bezeichnet man als
stochastische Schlüsse.
Obwohl der Begriff Statistik einen weitreichenden geschichtlichen Hintergrund besitzt
entstand die mathematische Statistik, wie wir sie heute kennen, erst im 20. Jahrhundert zu
Beginn der 30er Jahre. Die ersten Abweichungen von den bis dahin bevorzugten
Vollerhebungen entstanden durch einen Vorschlag von W.H. Shewhart, einen Mitarbeiter der
Bell Telephone Laboratories, bei dem es darum ging, statt der Kontrolle aller Einheiten nur
Zufallsstichproben zu untersuchen.
Die zentrale Aufgabe der Statistik besteht darin, Methoden zu entwickeln, mit denen man aus
zufallsgesteuerten Beobachtungen auf die zugrunde liegenden Gesetzmäßigkeiten schließen
kann. Bei der Suche nach diesen Gesetzmäßigkeiten geht es darum, aufgrund der gemachten
Beobachtungen das richtige Wahrscheinlichkeitsmaß zu ermitteln. Dabei gibt es zwei
grundsätzliche Vorgehensweisen:
- die Parameterschätzung
Hat man keine Vermutung über die Trefferwahrscheinlichkeit p, so schätzt man diese
Wahrscheinlichkeit aufgrund des Ergebnisses anhand einer bestimmten Stichprobe
(Hochrechnung). Bei einer Punktschätzung gibt man einen genauen Wert für p an, bei
einer Intervallschätzung nur ein Intervall, in dem p liegen soll. Die Statistik beschäftigt
sich dabei vornehmlich damit, den Grad der Unsicherheit einer derartigen Schätzung zu
bestimmen.
-
das Testen von Hypothesen
Hat man Vermutungen (Hypothesen) über die Trefferwahrscheinlichkeit p, so entscheidet
man anhand einer Stichprobenerhebung, welche Hypothese angenommen oder verworfen
wird. Hier ist die Statistik daran interessiert, wie groß die Wahrscheinlichkeit eines
Irrtums bei einer derartigen Testung ist.
Im Grundkurs Mathematik beschränkt man sich auf das Testen von Hypothesen und lässt die
Schätzung außen vor.
7. Testen von Hypothesen
Ein derartiges statistisches Testverfahren läuft mehrschrittig ab: Zunächst stellt man die zu
überprüfenden Hypothesen auf. Im Anschluss daran entwirft man ein Zufallsexperiment und
formuliert das zugehörige stochastische Modell. Die Wahl der Entscheidungsregel bei der
man sich meist an einem bestimmten Irrtumsniveau orientiert folgt als dritter Schritt. Die
Durchführung des Experiments bildet den Abschluss des Entscheidungsverfahrens. Dass die
Durchführung den Abschluss bildet ist äußerst wichtig, da man geneigt ist, vorliegende Daten
so zu interpretieren, wie man sie sehen möchte. Daher besteht die Gefahr des Selbstbetrugs
oder gar der Manipulation, wenn die Daten erhoben sind, bevor eine Entscheidungsregel
festgelegt wurde.
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Testen von Hypothesen
17
8.1 Der Alternativtest
Beispiel:
Eine Firma stellt Spulenaufwicklungen her. Die eingebauten Motoren sind von
unterschiedlicher Qualität. Es gibt die beiden Möglichkeiten, dass in einer Lieferung von 100
Teilen entweder 10% oder 40% in Ordnung sind. Jede Lieferung muss daraufhin überprüft
werden.
a) Aufstellen der Hypothesen:
H1 = „Der Ausschussanteil beträgt 10%“  p1 = 0,1
H2 = „Der Ausschussanteil beträgt 40%“  p2 = 0,4
H1 und H2 sind Hypothesen, die einander ausschließen, sie heißen Alternativen. H1 und
H2 heißen einfache Hypothesen, weil sie nur durch einen Wert von p beschrieben werden.
b) Aufstellen des zugehörigen stochastischen Modells:
Stichprobenlänge:
Testgröße:
Ergebnisraum:
n = 10
Z = „Anzahl der Fehlteile“
   kein Fehlteil; 1 Fehlteil; ……..; 10 Fehlteile
Wahrscheinlichkeitsverteilung: B(10; 0,1) falls H1 wahr ist
B(10; 0,4) falls H2 wahr ist

c) Entwicklung einer Entscheidungsregel:
Man sucht sich nun einen Wert k  n , so dass man H1 annimmt, falls Z  k und H1
ablehnt, falls Z>k.
Das Ereignis A = Z  k = 0;1;...; k heißt Annahmebereich der Hypothese H1, das
Ereignis A = Z>k = k  1; k  2;...; n heißt Ablehnungsbereich von H2.
___
Bei der Durchführung eines Tests gibt es verschiedene Möglichkeiten:
Realität
Entscheidung für
H1 ( Z  k )
H2 (Z>k)
H1 ist wahr
 p1 = 0,1
richtige
Entscheidung
Fehler
1. Art
H2 ist wahr
 p2 = 0,4
Fehler
2. Art
richtige
Entscheidung
Als Fehler 1. Art bezeichnet man die fälschliche Ablehnung der Hypothese H1. Die
Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen bezeichnet man als Risiko 1. Art.
Als Fehler 2. Art bezeichnet man die fälschliche Ablehnung der Hypothese H2. Die
Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen bezeichnet man als Risiko 2. Art.
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Testen von Hypothesen
18
Vergleich verschiedener Entscheidungsregeln:
(1) Entscheidung für H1, wenn Z  2
(2) Entscheidung für H1, wenn Z  1
(3) Entscheidung für H1, wenn Z  3
Bemerkung:
Verringert man das Risiko 1. Art, so vergrößert sich das Risiko 2. Art.
Verringert man das Risiko 2. Art, so vergrößert sich das Risiko 1. Art.
d) Durchführung des Experiments und Hypothesenentscheidung:
Ist die theoretische Vorarbeit beendet, so wird das „Zufallsexperiment“ durchgeführt. Das
Ergebnis wird im Hinblick auf die festgelegte Entscheidungsregel bewertet und aufgrund
dieser Bewertung wird eine der Hypothesen angenommen, die andere wird abgelehnt.
Dass die Durchführung den Abschluss bildet ist äußerst wichtig, da man geneigt ist,
vorliegende Daten so zu interpretieren, wie man sie sehen möchte. Daher besteht die
Gefahr des Selbstbetrugs oder gar der Manipulation, wenn die Daten erhoben sind, bevor
eine Entscheidungsregel festgelegt wurde. Dieselbe Verfälschung ergibt sich, wenn man
die Entscheidungsregel nicht beachtet oder sie nach der Durchführung verändert.
8.2 Der Signifikanztest
In der Realität gibt es kaum Situationen, in denen man Entscheidungen zwischen zwei
einfachen Hypothesen treffen muss. Meistens gibt es eine unüberschaubare Anzahl von
Möglichkeiten. In solchen Fällen neigt man dazu sich eine Vermutung herauszugreifen und
Testet sie gegen alle anderen möglichen Annahmen. In derartigen Fällen ist man bemüht, das
Risiko 1. Art unter einer bestimmten Schranke zu halten.
Ein Test, bei dem man sich darauf beschränkt, nur für eine Hypothese die Wahrscheinlichkeit
sie irrtümlich abzulehnen so gering wie möglich zu halten heißt Signifikanztest. Die
Hypothese nennt man in diesem Fall Nullhypothese, die Oberschranke für die
Irrtumswahrscheinlichkeit bezeichnet man als Signifikanzniveau  . Ein Versuchsergebnis,
das zur Ablehnung der Nullhypothese führt heißt „signifikant auf dem Niveau  .
a) einseitiger Signifikanztest
Beispiel:
Markus behauptet seine Freiwurfquote liegt bei 80%. Uns interessiert in diesem Fall nur
ob er schlechter ist als er sagt, da wir nicht davon ausgehen, dass er sich unterschätzt. Um
ihn nicht zu beleidigen wollen wir diese Hypothese mit einem Risiko von höchstens 5%
ablehnen.
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Testen von Hypothesen
19
o Aufstellen der Hypothesen:
H0 = „Markus hat eine Freiwurfquote von 80%“  p0 = 0,8
H1 = „Markus hat eine Freiwurfquote von unter 80%“  p1 < 0,8
o Aufstellen des zugehörigen stochastischen Modells:
Stichprobenlänge:
Testgröße:
Ergebnisraum:
n = 30
Z = „Anzahl der Fehlwürfe“
   kein Fehlwurf; 1 Fehlwurf; ……..; 30 Fehlwürfe
Wahrscheinlichkeitsverteilung: B(30; 0,8) falls H0 wahr ist
unbekannt falls H0 falsch ist

o Entwicklung einer Entscheidungsregel:
Man braucht wieder einen Annahmebereich A = k ; k  1;...; n und einen
Ablehnungsbereich A = 0;1;...; k  1 mit einem Wert k  n , so dass die
Wahrscheinlichkeit H0 irrtümlich abzulehnen unter 5% liegt.
___
Realität
die Hypothese H0 wird
angenommen (Z>k)
abgelehnt ( Z  k )
H0 ist wahr
 p0 = 0,8
richtige
Entscheidung
Fehler
1. Art
H2 ist wahr
 p1 < 0,8
Fehler
2. Art
richtige
Entscheidung
Aus der Tabelle abgelesen ergibt sich der Wert k =
Man nennt den Test einseitig, da der Ablehnungsbereich den Annahmebereich nur von
einer Seite her einschränkt.
o Durchführung des Experiments und Hypothesenentscheidung
b) zweiseitiger Signifikanztest
Beispiel:
Bei einer Wahlprognose wurde der CSU bei der nächsten Landtagswahl ein Ergebnis von
60% prognostiziert. Man möchte sich höchstens mit 1% Wahrscheinlichkeit von dieser
Annahme abbringen lassen.
o Aufstellen der Hypothesen:
H0 = „Die CSU wird ein Wahlergebnis von 55% erreichen“  p0 = 0,55
H1 = „Die CSU wird ein anderes Wahlergebnis als 55% erreichen“  p1  0,55
o Aufstellen des zugehörigen stochastischen Modells:
Stichprobenlänge:
Testgröße:
Ergebnisraum:
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n = 100000
Z = „Anzahl der CSU-Stimmen“
   keine Stimme; 1 Stimme; ……..; 100000 Stimmen

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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Testen von Hypothesen
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
20
B(100000; 0,55) falls H0 wahr ist
unbekannt falls H0 falsch ist
o Entwicklung einer Entscheidungsregel:
Man braucht erneut einen Annahmebereich A = k ; k  1;...; l und einen
Ablehnungsbereich A = 0;1;...; k  1 l  1; l  2;........; n mit Werten k ; l  n , so
dass die Wahrscheinlichkeit H0 irrtümlich abzulehnen unter 5% liegt.
___
Realität
die Hypothese H0 wird
angenommen ( k  Z  l )
abgelehnt ( Z  k  Z  l )
H0 ist wahr
 p0 = 0,8
richtige
Entscheidung
Fehler
1. Art
H2 ist wahr
 p1 < 0,8
Fehler
2. Art
richtige
Entscheidung
Nach langwieriger Berechnung ergeben sich die Werte k = und l =
Man nennt den Test zweiseitig, da der Ablehnungsbereich den Annahmebereich von
beiden Seiten her flankiert.
o Durchführung des Experiments und Hypothesenentscheidung
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 1 bis 3
21
Aufgaben zu Ergebnisräumen:
1. Geben Sie zwei verschiedene Ergebnisräume an, die den dreimaligen Würfelwurf
beschreiben könnten.
2. Geben Sie die Mächtigkeiten der Ergebnisräume aus Aufgabe 1 an.
Lösungen:
Aufgabe 1:
1  1;2;3;4;5;6  a; b; c 1  a; b; c  6
3
 2   keine „6“; eine „6“; zwei „6-er“; drei „6-er“

Aufgabe 2:
1  63  216 ;
2  4
Aufgaben zu Ereignisräumen:
1. A;B;C seien 3 beliebige Ereignisse. Beschreiben Sie folgende Ereignisse durch Terme der
Ereignisalgebra:
a) alle drei
b) höchstens zwei
c) mindestens eines
d) keines
e) genau eines
f) nur A und B
g) genau zwei
h) A oder B, aber nicht C
2. Gegeben sind folgende Ereignisse:
A = „Eine Person ist weiblich“
B = „Eine Person ist schwanger“
C = „Eine Person ist Raucher“
Beschreiben Sie folgende Ereignisse durch Terme der Ereignisalgebra:
a) Eine Person ist männlich und raucht.
b) Eine weibliche Frau ist schwanger und Nichtraucherin.
c) Eine Frau ist entweder schwanger oder sie raucht.
d) Eine Person ist entweder eine Frau oder sie raucht.
Lösungen:
Aufgabe 1:
___
____
____
___
____
____
a) A  B  C
b) A  B  C
c) A  B  C
d) A  B  C
A  B  C   A  B  C   A  B  C 
A  B  C   A  B  C   A  B  C 
____
e)
____
___
____
g)
____
____
___
____
____
f)
A B C
h)
A  B  C  A  C   B  C 
___
____
____
____
Aufgabe 2:
___
____
a) A  C
____
b) A  B  C
c) A  B  C   B  C 
____
____
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d) A  C
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 1 bis 3
22
Aufgaben zur relativen Häufigkeit:
1. Auf einer Party sind 15 Gäste. 9 Gäste sind männlich und 5 Gäste rauchen. Die Anzahl
der männlichen Raucher beträgt 3.
a) Legen Sie eine Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten an.
b) Legen Sie eine Vierfeldertafel der relativen Häufigkeiten an.
2. 37% aller Passagiere eines großen Fährschiffes kaufen auf dem Schiff Tabakwaren, 20%
aller Passagiere kaufen Süßwaren.
a) Zwischen welchen Grenzen liegt die relative Häufigkeit der Passagiere, die weder
Tabakwaren und Süßwaren kaufen?
Wir nehmen nun an, dass ein Viertel derjenigen, die Süßwaren kaufen auch Tabakwaren
kaufen. Das sind gerade 100 Personen.
b) Stellen Sie eine Vierfeldertafel auf und ermitteln Sie, wie viele Prozent der
Tabakwarenkäufer auch Süßwaren kaufen.
Lösungen:
Aufgabe 1:
a)
R
M
3
__
M
2 (5-3)
b)
5
6 (9-3)
9
4 (10-6)
6
10
15
M
____
R
R
____
R
3 1

15 5
6 2

15 5
9 3

15 5
__
M
2
15
4
15
6 2

15 5
5
1

15 3
10 2

15 3
1
Aufgabe 2:
a) Da 37% der Personen Tabakwaren kaufen, können höchstens 63% weder Tabak- noch
Süßwaren kaufen. Da höchstens 57% entweder Tabak- oder Süßwaren kaufen, sind es
mindestens 43%.
Die Anzahl derer, die weder Tabak- noch Süßwaren kaufen liegt also im Intervall
0,43;0,63.
b)
Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten:
Vierfeldertafel der relativen Häufigkeiten
____
T
S
100
S
640
____
740
____
T
T
S
0,05
S
0,32
0,37
0,15
0,2
0,48
0,8
0,63
1
____
300
400
960
1600
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1260
2000
T
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 4
23
Aufgaben zu stochastischen Modellen:
1. Geben Sie drei verschiedene stochastische Modelle zum einmaligen Werfen eines Würfels
an.
2. Geben Sie ein sinnvolles stochastisches Modell zum 10-maligen Freiwurf-Werfen beim
Basketball für einen Spieler mit der Trefferwahrscheinlichkeit 88% an.
Lösungen:
Aufgabe 1:
Modell 1:
  1;2;3;4;5;6. Als Wahrscheinlichkeitsverteilung nimmt man die Gleichverteilung.
Modell 2:
  1;2;3;4;5;6. Als Wahrscheinlichkeitsverteilung nimmt man die Verteilung P mit:
P6  0,5 und Px  0,1 für x  1;2;3;4;5;6 (gezinkter Würfel)
Modell 3:
  6; Nicht  6 . Als Wahrscheinlichkeitsverteilung nimmt man die Verteilung P mit:
1
5
P 6  und PNicht  6 
6
6
Aufgabe 2:
   kein Treffer; 1 Treffer; ……..; 10 Treffer
 mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung B(10;0,88).
Aufgabe zu Baumdiagrammen:
Markus hat eine Freiwurfquote von 80 %. Kurz vor Ende eines Spiels wird er gefoult und
erhält zwei Freiwürfe. Zeichnen Sie das entsprechende Baumdiagramm und berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse
Lösung:
1. Wurf
2. Wurf
0,8
T
P((T/T)) = 0,8  0,8 = 0,64
0,2
N
P((T/N)) = 0,8  0,2 = 0,16
0,8
T
P((N/T)) = 0,2  0,8 = 0,16
N
P((N/N)) = 0,2  0,2 = 0,04
T
0,8
Foul
0,2
N
0,2
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 4
24
Aufgabe zu Vierfeldertafeln:
Eine Erhebung unter Jugendlichen im Alter von 15 – 23 Jahren hat ergeben:
38% der Befragten gehen regelmäßig ins Fitnessstudio, 31% zum Inline-Skaten. 18% der
Jugendlichen beschäftigen sich mit beiden Sportarten. Bestimmen Sie mithilfe einer
Vierfeldertafel den Anteil der Jugendlichen, der keine der beiden Sportarten betreibt.
Lösung:
___
F
F
0,13
0,18
0,31
I
(0,31-0,18)
0,2
0,49
0,69
I
(0,38-0,18)
(0,69-0,2)
0,38
0,62
1
 49% der befragten Jugendlichen betreiben keine der beiden Sportarten
___
Aufgaben zur Kombinatorik:
1. Gegeben ist das Wort „Mississippi“. Bestimme die Anzahl aller verschiedenen (oft
sinnlosen) „Wörter“, die aus allen Buchstaben dieses Wortes gebildet werden können!
2. 3 Mädchen und 4 Jungen gehen gemeinsam ins Kino. Auf wie viele Arten können sie in
einer Reihe sitzen?
Lösungen:
Aufgabe 1:
Die Anzahl der Möglichkeiten 11 unterschiedliche Buchstaben beliebig anzuordnen ist 11!.
Da das „s“ und das „i“ je 4-mal und das „p“ 2-mal vorkommen muss man diese Anzahl durch
4!4!2! teilen und erhält 34650 mögliche Worte.
Aufgabe 2:
Sie können auf 7! = 5040 Arten nebeneinander sitzen.
Aufgaben zu Laplace-Wahrscheinlichkeiten:
1. 10 Jungen und 6 Mädchen sollen in zwei Mannschaften zu je acht Spielern eingeteilt
werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in jeder Mannschaft genau 3 Mädchen
sind?
2. Die Partei A besteht aus 8 Frauen und 10 Männern, die Partei B besteht aus 5 Frauen und
11 Männern. Von den 18 Sitzen im Gemeinderat entfallen 11 auf Partei A und 7 auf Partei
B. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sitzen genau 3 Frauen aus Partei A und 2 Frauen aus
Partei B im Gemeinderat?
3. Auf einer Party sind 15 Gäste. 9 Gäste sind männlich und 5 Gäste rauchen. Die Anzahl
der männlichen Raucher beträgt 3. Um Mitternacht stehen vier Personen an der Toilette
an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei Frauen und zwei männliche Raucher
sind.
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 4
25
4. In einer Zeitschrift wird eine Bildungsreise angeboten, an der insgesamt 22 Personen
teilnehmen können. Es melden sich 30 Interessenten für die Reise.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, daraus eine Reisegruppe mit 22 Personen
zusammenzustellen?
b) Unter den 30 Interessenten sind 4 Lehrer und acht Schüler. Wie wahrscheinlich ist es,
dass in einer 22-köpfigen Reisegruppe genau zwei Lehrer und genau vier Schüler
sind?
Lösungen:
Aufgabe 1:
16 
Anzahl der Möglichkeiten =   = 12870
8
 6  10 
Anzahl der günstigen Ereignisse =      = 20 252 = 5040
 3  5 
 6  10 
    
3
5
5040
P(„3 Mädchen in jeder Mannschaft“) =     =
= 0,39
12870
16 
 
8
(39%)
Aufgabe 2:
18  16 
Anzahl der Möglichkeiten =      = 3182411440 = 3,64  108
 11  7 
 8  10   5  11
Anzahl der günstigen Ereignisse =            = 56  45 10  330 = 8316000
 3  8   2   4 
 8  10   5  11
          
3
8
2
4
8316000
P(„3 Frauen aus A und 2 Frauen aus B“) =         =
= 0,023 (2,3%)
3,64  108
18  16 
    
 11  7 
Aufgabe 3:
15 
Anzahl der möglichen Ereignisse =   = 1365
4
 3  6
Anzahl der günstigen Ereignisse =      = 3 15 = 45
 2  2
45
P(„2 Frauen und 2 männliche Raucher“) =
= 0,033 (3,3%)
1365
Aufgabe 4:
 30 
a) Anzahl der Möglichkeiten =   = 5825925
 22 
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 4
26
 4   8  18 
       
2 4 16
6  70  153
64260
b) P („2 Lehrer und 4 Schüler“) =       =
=
= 0,011 (11%)
5852925
5852925
 30 
 
 22 
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 5
27
Aufgaben zur stochastischen Unabhängigkeit:
1. Der Schüler Clemens und die Schülerin Katherina sind öfters montags krank, und zwar
Clemens mit der Wahrscheinlichkeit 0,3 und Katherina mit der Wahrscheinlichkeit 0,5. Es
kommt nur mit der Wahrscheinlichkeit 0,2 vor, dass sie am Montag beide im Unterricht
anwesend sind. Man prüfe durch Rechnung, ob die montägliche Erkrankung von Clemens
und Katherina unabhängige Ereignisse sind.
2. Eine Schulklasse besteht aus 18 Mädchen und 12 Jungen. 6 Mädchen und 4 Jungen mögen
das Fach Mathematik. Sind die Ereignisse
A = „Ein Klassenmitglied ist weiblich“
B = „Ein Klassenmitglied mag Mathematik“
unabhängig?
3. Auf einer Party sind 15 Gäste. 9 Gäste sind männlich und 5 Gäste rauchen. Die Anzahl
der männlichen Raucher beträgt 3. Einige der weiblichen Partygäste sind schwanger.
Gegeben sind die Ereignisse
A= „Eine zufällig ausgewählte Person ist männlich.“
B= „Eine zufällig ausgewählte Person raucht.“
C= „Eine zufällig ausgewählte Person ist schwanger.“
a) Sind die Ereignisse A und B unabhängig? Begründung!
b) Sind die Ereignisse A und C unabhängig? Begründung!
4. Dani und Beni spielen Basketball. Dani trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit
0,5; Beni trifft mit der Wahrscheinlichkeit 0,3. Legen Sie eine Vierfeldertafel der
Wahrscheinlichkeiten an und geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass nur einer von
beiden seinen Freiwurf trifft.
5. Zwei Schützen (Rico und Sven) treffen das Ziel unabhängig voneinander mit den
Wahrscheinlichkeiten 0,5 (Rico) und 0,7 (Sven). Jeder schießt einmal. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit wird das Ziel
a) genau einmal,
b) überhaupt getroffen?
6. Andi und Manuela jobben in Bamberg. Andi fährt mit der Wahrscheinlichkeit 0,95,
Manuela mit der Wahrscheinlichkeit 0,30 am Wochenende in ihre Heimatstadt München.
Die Ereignisse
A= „Andi fährt am Wochenende nach München.“
B= „Manuela fährt am Wochenende nach München.“
sind stochastisch unabhängig.
a) Legen Sie eine Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeit an.
b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass
i.
keiner von beiden am Wochenende in München ist.
ii.
nur einer von beiden am Wochenende in München ist.
Lösungen:
Aufgabe 1:
C:= „Clemens ist montags in der Schule.“
K:= „Katherina ist montags in der Schule.“
P(C) = 0,8 ; P(K) = 0,5 ; P(C  K) = 0,2
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 5
P(C )  P( K )  0,8  0,5  0,4  P(C  K )
28
 C und K sind abhängig
Aufgabe 2:
A = „Ein Klassenmitglied ist weiblich“
B = „Ein Klassenmitglied mag Mathematik“
3
1
1
18
10
6
P(A) =
=
; P(B) =
=
; P(A  B) =
=
5
3
5
30
30
30
3 1 1
P( A)  P( B)     P( A  B)
5 3 5
A
und
B
sind
unabhängig

Aufgabe 3:
9
3
5
1
3
1
= ; P(B) =
= ; P(A  B) =
=
15
5
15
3
15
5
3 1 1
a) P( A)  P( B)     P( A  B)  A und B sind unabhängig
5 3 5
b) A und C sind unvereinbar  P A  C   0  A und C sind abhängig ( P A; PC   0 )
P(A) =
Aufgabe 4:
D = „Dani trifft den Freiwurf“
B = „Beni trifft den Freiwurf“
D
D
B
0,3  0,5
0,3  0,5
B
0,7  0,5
0,7  0,5
0,5
0,5
0,3
0,7
B
B
D
0,15
0,35
0,5
P(„nur einer trifft“) = P(D  B) + P(D  B) = 0,35+0,15 = 0,5
D
0,15
0,35
0,5
0,3
0,7
(50%)
Aufgabe 5:
R:= „Ricco trifft.“
S:= „Sven trifft.“
R
__
R
S
0,5  0,7
__
S
0,5  0,3
0,5
0,5  0,7
0,5  0,3
0,5
0,7
0,3
R
__
R
S
0,35
__
S
0,15
0,5
0,35
0,15
0,5
0,7
0,3
_
_
a) P(„genau ein Treffer“) = P(R  S) + P(R  S) = 0,15 + 0,35 = 0,5 (50%)
_
_
b) P(„überhaupt treffen“) = 1 – P(„kein Treffer“) = 1-P(R  S) = 1- 0,15 = 0,85 (85%)
Aufgabe 6:
a)
A
__
A
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A
__
A
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 5
B
__
B
0,3  0,95
0,3  0,05
0,3
0,7  0,95
0,7  0,05
0,7
0,95
0,05
__
B
__
B
29
0,285
0,015
0,3
0,665
0,035
0,7
0,95
0,05
__ _
b) i) P(„keiner von beiden ist in München“) = P(A  B) = 0,035 (3,5%)
__ _
__
ii) P(„nur einer von beiden ist in München“) = P(A  B) + P(A  B) = 0,015 + 0,665 = 0,68 (68%)
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 6
30
Aufgaben zu Bernoulli-Ketten:
1. Laut Brockhaus sind etwa 5% aller Bundesbürger farbenblind. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse mit 25 Schülern mindestens ein Schüler
farbenblind ist?
2. Etwa 12,5 % einer Bevölkerung sind Linkshänder. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass von sechs zufällig ausgewählten Personen dieser Bevölkerung mindestens einer
Linkshänder ist?
3. Eine Maschine stellt Schrauben mit einem Ausschuss von 5% her. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass unter acht zufällig ausgewählten Schrauben keine
Ausschussware ist?
4. Etwa 10 % einer Bevölkerungsgruppe kennen nicht den Namen ihres gegenwärtigen
Staatspräsidenten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn zufällig
ausgewählten Personen dieser Bevölkerung alle wissen, wie der gegenwärtige
Staatspräsident heißt?
5. Zur Vorbereitung auf die nächste Saison befindet sich die
deutsche
Damen-Biathlon-Nationalmannschaft
momentan im Sommertrainingslager. Am Ende jeder
Woche finden Trainingswettkämpfe über 10 km statt.
Dabei wird 2-mal stehend geschossen (jeweils 5
Schüsse). Durch die große Belastung sinkt die
Trefferwahrscheinlichkeit der Damen auf 88%.
a)
b)
c)
d)
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine
Biathletin
alle 10 Schüsse trifft;
mindestens einen Schuss verschießt;
nur die ersten 3 Schusse verschießt;
die ersten 10 Schüsse trifft;
e) Der deutsche Trainer wettet mit Andrea (p = 0,93), dass sie bei der nächsten
Trainingseinheit mindestens einen Schuss verfehlen. Wie viele Schüsse muss er sie
schießen lassen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98% die Wette
gewinnt?
6. Eine Maschine erzeugt Metallteile. 5% davon sind unbrauchbar. Wie viele Teile muss
man wenigstens nehmen, damit man mit mindestens 50% Wahrscheinlichkeit ein defektes
dabei hat?
Lösungen:
Aufgabe 1:
P(„mindestens ein farbenblinder Schüler“) = 1-0,9525 = 0,7226 (72,26%)
Aufgabe 2:
P(„mindestens ein Linkshänder“) = 1-0,8756 = 0,5512 (55,12%)
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 6
31
Aufgabe 3:
P(„keine Ausschussware“) = 0,958 = 0,6634 (66,34%)
Aufgabe 4:
P(„alle kennen den Staatspräsidenten“) = 0,910 = 0,3487 (34,87%)
Aufgabe 5:
a)
b)
c)
d)
e)
P(„alle 10 Schüsse trifft“) = 0,8810 = 0,2785 (27,85%)
P(„mindestens einen Fehlschuss“) = 1-P(„nur Treffer“) = 1-0,8810 = 0,7215 (72,15%)
P(„nur die ersten 3 Schusse verschießt“) = 0,12 3  0,887  0,0007 (0,07%)
P(„die ersten 5 Schüsse trifft“) = 0,885 = 0,5277 (52,77%)
P(„mindestens 1 Fehlschuss“)  0,98  1- P(„nur Treffer“)  0,98
 - P(„nur Treffer“)  0,98 – 1  P(„nur Treffer“)  0,02
 0,93n  0,02  ln0,93n  ln0,02  n  ln0,93  ln0,02
ln 0,02
n
 n  53,91  n  54
ln 0,93
Er muss sie mindestens 54-mal schießen lassen.
Aufgabe 6:
P(„mindestens 1 Fehlteil“)  0,5  1- P(„kein Fehlteil“)  0,5
 - P(„kein Fehlteil“)  0,5 – 1  P(„kein Fehlteil“)  0,5
 0,95n  0,5  ln0,95n  ln0,5  n  ln0,95  ln0,5
ln 0,5
n
 n  13,51  n  14
ln 0,95
Man muss mindestens 14 Teile nehmen.
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 7
32
Aufgaben zur Binomialverteilung:
1. Ein Versandhaus verschickt Schokoladentafeln, pro Karton 12 Stück. Man rechnet aus
Erfahrung damit, dass 10% der Tafeln beim Transport beschädigt werden. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit findet man in einem Karton
a) genau 3 kaputte Tafeln,
b) weniger als zwei kaputte Tafeln,
c) mehr als 5 kaputte Tafeln,
d) zwischen 3 und 7 kaputte Tafeln?
2. Ein Modejournal behauptet, dass 60% aller Männer „Krawattenmuffel“ sind. Wie groß ist
die Chance, dass unter 200 zufällig ausgewählten
a) genau 110 Krawattenmuffel,
b) weniger als 80 Krawattenmuffel,
c) mehr als 150 Krawattenmuffel,
d) zwischen 120 und 160 Krawattenmuffel sind?
3. Ein idealer Würfel wird 100-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt man
die „6“
a) genau 30-mal,
b) weniger als 23-mal,
c) mehr als 50-mal,
d) zwischen 30 und 70-mal?
4. Eine Maschine stellt Schrauben mit einem Ausschuss von 15% her. In einer Schachtel
befinden sich 15 Schrauben. Man betrachtet die Anzahl der unbrauchbaren Schrauben.
a) Zeichnen Sie das zugehörige Histogramm!
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse und tragen Sie sie mit
den angegebenen Farben im Histogramm ein:
i.
mindestens 8 unbrauchbare Schrauben (gelb)
ii.
höchstens 3 unbrauchbare Schrauben (rot)
iii. zwischen 3 und 6 unbrauchbare Schrauben (blau)
5. Ein großes Kopiergerät in einem Copy-Shop ist gerade erst repariert worden, aber ein
Ausschuss von 8% kann trotzdem nicht ausgeschlossen werden. Herr Eipok macht 15
Kopien und zählt die fehlerhaften.
a) Zeichnen Sie das zugehörige Histogramm!
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse und tragen Sie sie mit
den angegebenen Farben im Histogramm ein:
i. mindestens 8 Fehlkopien (gelb)
ii. höchstens 3 Fehlkopien (rot)
iii. zwischen 3 und 6 Fehlkopien (blau)
6. Eine Maschine stellt Stanzteile mit einem Ausschussanteil von 5% her. Bei einer
Auslieferung fragt man sich, wie viele Fehlteile man in einer 15-er Packung findet.
a) Zeichnen Sie das zugehörige Histogramm!
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse und tragen Sie sie mit
den angegebenen Farben im Histogramm ein:
i. mindestens 8 Fehlteile (gelb)
ii. höchstens 3 Fehlteile (rot)
iii. zwischen 3 und 6 Fehlteile (blau)
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 7
33
7. In einem Elektrizitätswerk arbeiten voneinander unabhängig 3 Generatoren, von denen
jeder mit 10% Wahrscheinlichkeit versagen. Die Stromversorgung ist gesichert, wenn
mindestens zwei Generatoren laufen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit könnte die
Stromversorgung zusammenbrechen?
8. Bei einer Versicherung sind 20 Agenten beschäftigt, die 75% ihrer Zeit im Außendienst
verbringen. Wie viele Schreibtische müssen angeschafft werden, damit mindestens 90 %
der Innendienstzeit jeder Agent einen eigenen Schreibtisch zur Verfügung hat?
Lösungen:
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 8
34
Aufgaben zum Testen von Hypothesen:
1. Bei der Züchtung einer gewissen Blumensorte erhält man rote oder weiße Exemplare.
Eine der beiden Farben ist ein „dominantes Merkmal“ und muss nach den
Vererbungsgesetzen mit der Wahrscheinlichkeit von 75% auftreten. In einem
Kreuzungsversuch ergeben sich 15 Nachkommen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit irrt man sich, wenn man die häufiger auftretende
Farbe für „dominant“ hält?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit irrt man sich, wenn man die weniger häufig
auftretende Farbe für „nicht dominant“ hält?
2. Das neue Waschmittel Lunil soll durch eine große Werbeaktion eingeführt werden. Wenn
es der Werbeagentur gelingt, Lunil bei mehr als 45% der Bevölkerung bekannt zu
machen, erhält sie von den Lunil-Werken eine besondere Prämie. Die Entscheidung soll
auf Grund einer Befragung von 200 Personen getroffen werden. Wie muss die
Entscheidungsregel lauten, wenn die Lunil-Werke nur 0,5% Risiko dafür eingehen wollen,
dass die Agentur zu Unrecht die Prämie erhält? Wie hoch ist dann das Risiko für die
Agentur, die Prämie nicht zu erhalten, obwohl 60% der Bevölkerung von Lunil erfahren
haben?
3. In der Zeitung steht: »Die Hälfte unserer Erwerbspersonen verdient weniger als 1600 DM
monatlich!« Wir wählen daraufhin 100 Personen mit Einkommen zufallsbestimmt aus und
finden, dass nur 42 davon ein Monatseinkommen unter 1600 DM haben. Auf welchem
Signifikanzniveau können wir die Zeitungsbehauptung ablehnen (zweiseitiger Test)?
4. Die Glühlampen einer bestimmten Marke haben zu 25% eine Brenndauer unter 1000
Stunden. Die Konkurrenz bringt einen neuen Typ auf den Markt, bei dem dieser Anteil
angeblich kleiner ist. Wie viele von 100 Lampen der neuen Sorte müssen mehr als 1000
Stunden brennen, wenn man der Behauptung bei nur 5% Fehlerrisiko glauben soll?
5. Bei einem Blutalkoholgehalt von mehr als 0,8 Promille ist Autofahren strafbar. Das
Gesetz zieht rigoros diese Grenze. In einer Klinik kann der Blutalkohol praktisch
zweifelsfrei gemessen werden; der Schnelltest auf der Straße ist nicht so zuverlässig. Das
Testergebnis - es lautet »Alkoholgehalt größer bzw. kleiner als 0,8 Promille« - kann in
zweifacher Weise falsch sein. Erläutere die beiden Fehlermöglichkeiten und ihre Folgen!
Welche Wahl der Fehlerwahrscheinlichkeiten entspricht unserem Rechtsgrundsatz »in
dubio pro reo«? Welche besondere Problematik ergibt sich daraus, dass der
Blutalkoholgehalt eines Fahrers auch beliebig genau bei 0,8 Promille liegen kann?
6. Ein Händler erhält häufig Lieferungen, bei denen ein Ausschussanteil von höchstens 5 %
zugelassen ist. Zur Überprüfung der Lieferungen werden zwei Prüfpläne vorgeschlagen.
Prüfplan 1: Die Lieferung wird abgelehnt, wenn in einer Stichprobe von zehn Stück
mindestens ein Stück Ausschuss ist. Prüfplan 11: Die Lieferung wird abgelehnt, wenn in
einer Stichprobe von 20 Stück mindestens zwei Stück Ausschuss sind. Welchen Prüfplan
sollte der Händler wählen? Begründen Sie Ihre Antwort.
7. Jemand behauptet, dass in den Zoohandlungen grüne und blaue Wellensittiche gleich
häufig zum Verkauf angeboten werden. In mehreren Zoohandlungen wird bei 100
Sittichen die Farbe bestimmt. Man findet 64 grüne Vögel. Kann man bei einem
Signifikanzniveau von 1 % schließen, dass die Farben der angebotenen Tiere gleich häufig
sind?
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GK Wahrscheinlichkeitstheorie – Aufgaben zu Kapitel 8
35
8. Bei einer Lotterie wird damit geworben, dass jedes vierte Los gewinnt. Man beobachtet,
dass unter 53 gezogenen Losen nur acht Gewinnlose waren.
a) Stimmt die Werbeaussage?
b) Zu welchem Ergebnis kommt man, wenn unter 530 Losen 80 Gewinnlose waren
9. Es wird die Hypothese vertreten, dass ein mit Butter bestrichener Toast immer auf die
"Butterseite" fällt.
a) Ein Toast wird 50-mal geworfen. Dabei fällt er 20-mal auf die Butterseite (B). Testen
Sie die Hypothese po= 0,5 auf einem Signifikanzniveau von 1
b) Es wird vereinbart die Hypothese beizubehalten, wenn bei 50 Würfen mindestens
17-mal und höchstens 33-mal B eintritt. Welche Irrtumswahrscheinlichkeit liegt
diesem Test zu Grunde?
c) Berechnen Sie für die Tests in al) und b) die Risiken 2, Art, wenn in Wirklichkeit P
(B)= 0,4 gilt.
d) Was ergibt sich bei a) und b) für das Signifikanzniveau 5 % und Stichprobenumfang n
= 100?
10. Die Beliebtheit einer Fernsehsendung soll untersucht werden. Eine Blitzumfrage hatte
folgendes Ergebnis: Von den Zuschauern, welche die Sendung gesehen hatten, waren 40
% jünger als 25 Jahre; von diesen hatten 30 % und von den restlichen 70 % eine positive
Meinung zu der Sendung. Wie viel Prozent der Zuschauer, welche die Sendung gesehen
hatten, äußerten sich positiv zu ihr?
Lösungen:
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