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Spieltheorie
1928 John von Neumann – Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, Mathematische Annalen 100:295–320
1944 John von Neumann & Oskar Morgenstern – The
Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press
Nobelpreisträger (Wirtschaftswissenschaften)
für Leistungen auf dem Gebiet der Spieltheorie
1994 John Forbes Nash Jr., John Harsanyi und Reinhard Selten (für ihre grundlegende Analyse des Gleichgewichts in nicht-kooperativer Spieltheorie)
1996 William Vickrey (für grundlegenden Beiträge zur
ökonomischen Theorie von Anreizen bei unterschiedlichen Graden von Information der Marktteilnehmer)
2005 Robert Aumann und Thomas Schelling (für ihre
grundlegenden Beiträge zur Spieltheorie und zum
besseren Verständnis von Konflikt und Kooperation)
2012 Alvin Roth und Lloyd S. Shapley (für die Theorie
stabiler Verteilungen und die Praxis des Marktdesign)
2014 Jean Tirole (für seine Analyse der Macht und der
Regulierung der Märkte)
Beispiel 1.1. (Stein-Schere-Papier): 2 Spieler
• Papier schlägt Stein, Stein schlägt Schere, Schere
schlägt Papier
• Gewinner: +1, Verlierer: -1, unentschieden (gleiches Zeichen): 0
• Gewinnmatrix für Spieler 1
Spieler 2
Stein Schere
Stein
0
+1
Spieler 1 Schere
-1
0
Papier
+1
-1
Papier
-1
+1
0
Beispiel 1.2. (Kopf oder Zahl): 2 Spieler
• jeder Spieler legt eine Münze auf einen Tisch
• zeigen beide Münzen dieselben Zeichen (entweder
Kopf oder Zahl), gewinnt Spieler 1
• zeigen beide Münzen verschiedene Zeichen, gewinnt
Spieler 2
• Gewinnmatrix für Spieler 1
Spieler 2
Kopf Zahl
Spieler 1 Kopf
+1
-1
Zahl
-1
+1
Beispiel 1.3. (Gefangenendilemma): 2 Spieler
• jeder Gefangene kann schweigen oder gestehen
• beide schweigen: jeder bekommt 2 Jahre Haft
• beide gestehen: jeder bekommt 5 Jahre
• einer gesteht und der andere schweigt: der Geständige
bekommt 1 Jahr, der andere 8 Jahre
Spieler 2
schweigen gestehen
(2, 2)
(8, 1)
Spieler 1 schweigen
gestehen
(1, 8)
(5, 5)
Beispiel 1.4. (Nim-Misére): 2 Spieler
• vorgegeben sind mehrere Reihen von Streichhölzern
• die Spieler nehmen abwechselnd Hölzer aus einer
der Reihen weg
• wer das letzte Hölzchen nehmen muss, verliert
Beispiel 1.5. (Duell): 2 Spieler (Duellisten: P1 , P2 )
• die Spieler laufen auf gerader Linie aufeinander zu
• jeder hat nur einen Schuss und entscheidet, wann
er schießt
• P1 schießt, wenn [P1 , P2 ] = x, und trifft mit Wahrscheinlichkeit p1 (x)
• P2 schießt, wenn [P1 , P2 ] = y, und trifft mit Wahrscheinlichkeit p2 (y)
• Gewinn: +1 für einen Treffer landen, −1 für selbst
getroffen werden
p1(x) + (−1)(1 − p1(x)),
x>y
p1 (x)(1 − p2 (y)) + (−1)(1 − p1 (x))p2 (y), x = y
H1 (x, y) =
(−1)p (y) + (1 − p (y)),
x<y
2
2
Vereinbarung: zu Beginn [P1 , P2 ] = 1 und daher x, y ∈
[0, 1] ⇒ Spiel auf Einheitsquadrat
Beispiel 1.6. (Fußball): 2 Spieler (Mannschaften)
• in einer Liga bekommt der Gewinner 3 Punkte, der
Verlierer 0
• bei einem Unentschieden bekommt jede Mannschaft
1 Punkt
• in einem Pokalspiel gibt es kein Unentschieden
Beispiel 1.7. (Wahlen): n Spieler (Parteien) (n ≥ 2)
• Wahlergebnisse: Partei i erzielt pi (%), i = 1, . . . , n
Pn
• es gilt immer
i=1 pi = 100
Beispiel 1.8. (Lake Wobegon Game): 8 Spieler, davon
1 Bürgermeister und 7 Stadträte
• Vorlage gilt als angenommen, wenn
- Mehrheit der Stadträte dafür ist und der Bürgermeister
kein Veto einlegt (der Vorsitzender des Stadtrates stimmt nur bei Stimmengleicheit ab)
- bei Veto des Bürgermeisters, wenn bei der erneuter
Abstimmung wenigstens 6 Stadträte (inklusive
des Vorsitzenders) dafür sind
Beispiel 1.9. (wähle eine Zahl): 2 Spieler
• Spieler 1 wählt eine Zahl aus der Menge {0, 1, 2, 3}
• Spieler 2 wählt eine Zahl aus der Menge {0, 1, 2}
• Spieler 2 bezahlt e q 2 − p2 + 2pq dem Spieler 1
Spieler 2
1 2
p/q 0
0
0
1 4
Spieler 1
1
-1 2 7
2
-4 1 8
3
-9 -2 7
Beispiel 1.10. (russisch Roulette): 2 Spieler (P1 , P2 )
• es gibt einen Revolver mit 6 Patronenfächern, aber
nur 1 Patrone
• erst is P1 am Zug, dann P2 und spätestens danach
ist das Spiel zu Ende
• wenn ein Spieler den Revolver bekommt, kann er
- passen: den Revolver weitergeben und e 2 Mio.
auf dem Tisch legen
- riskieren: e 1 Mio. auf dem Tisch legen und den
Revolver an die Schläfe halten und abdrücken
• überlebt nur 1 Spieler, bekommt er alles aus dem
Pool
• überleben beide, jeder bekommt die Hälfte
Beispiel 1.11. (Vorstellungsgespräch): 2 Spieler, davon
1 Bewerber und 1 Chef
• der Bewerber wird über seine Gehaltsvorstellung befragt
• nennt er einen zu hohen Betrag, wird er den Job
nicht bekommen
• nennt er einen zu niedrigen Betrag, wird dies als
geringe Selbsteinschätzung betrachtet
Beispiel 1.12. (Werbepause): n Spieler (TV-Sender)
• bei einer Werbepause schalten die Fernsehzuschauer
auf einen anderen Sender um
• die Spieler antizipieren, wenn die Konkurrenz Werbepause hat
Beispiel 1.13. (Lotto 6 aus 49): n Spieler (ca. 21
Mio./Woche in Deutschland)
• jeder Spieler wählt 6 Zahlen zwischen 1 und 49
• ein Spieler gewinnt, wenn er mindestens 3 richtige
Zahlen getippt hat
• es gibt unterschiedliche Gewinnklassen: 6, 5, 4 bzw.
3 richtige Zahlen
Anwendungen der Spieltheorie
• Wirtschaftswissenschaften
• Operations Research
• Politik
• Sozialwissenschaften
• Militär
• Biologie
• Informatik
• Sport
• Linguistik
• Gesellschaftsspiele
• Glücksspiele
• ...
