11812 - Mathe-CD

Vektor-Geometrie
für die Sekundarstufe 1
Teil 2
De
mo
: M
ath
e-C
D
Metrik mit Skalarprodukt
Für moderne Geometrie-Kurse am Gymnasium
und für Realschulen in Bayern!
(Prüfungsstoff!)
Dieser Text setzt Kenntnisse der Trigonometrie voraus!
Auch in der Oberstufe zur Ergänzung einzusetzen,
hier wird nur zweidimensional gerechnet!
Dafür wird vieles anschaulicher!
Datei Nr. 11812
Friedrich W. Buckel
Stand 13. Juli 2008
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
Vorwort
Dieser Text enthält vor allem viel Lesestoff. Wer Vektorrechnung betreiben will,
muss sie verstanden haben. Daher habe ich versucht, mit vielen Erklärungen und
Beispielen anschaulich zu machen, was hinter dem Begriff Vektor, hinter der Addition
und Subtraktion von Vektoren steckt usw. Rechen- und Konstruktionsbeispiele gibt
es daneben genügend.
D
Ein Problem könnte auftreten, nämlich dass der Stoff im Unterricht ganz anders
dargeboten worden ist. Dann empfehle ich dennoch sich die Mühe zu machen, und
diese Vektorgeschichte zu lesen. Ein anderer Gesichtspunkt hilft vielleicht, manche
Verständnisprobleme zu beseitigen.
Ma
th
e-C
Es gibt für die Vektorrechnung auch unterschiedliche Schreibweisen. Beispielsweise
G G
wird in Bayern die Vektoraddition so geschrieben u ⊕ v , was durchaus sinnvoll ist,
denn eine Vektoraddition ist doch etwas anderes als eine Zahlenaddition, auch wenn
diese dazu verwendet wird. In den meisten Bundesländern und Büchern ist man da
etwas großzügiger und verwendet – nachdem geklärt ist, dass die Vektoraddition
G G
etwas Neues ist – dennoch die Schreibweise der Zahlenaddition: u + v . Ich werde
dies auch so machen, der Mehrheit folgend. Dies sollte keinem Schüler Verständnisprobleme bereiten.
Ich werde später in Musteraufgaben für die bayerische Realschulabschlussprüfung
G G
ausnahmsweise doch die Notation u ⊕ v verwenden, aber nur dort, weil diese
Aufgaben und Lösungen in erster Linie für diese Zielgruppe geschrieben werden.
mo
:
Ein Problem ist es, wie viel der dreidimensionalen Vektorgeometrie (siehe Band 6
der INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK) auf die Mittelstufe zu übertragen ist.
Ich biete hier eine sinnvolle Auswahl an. Sollte eine Klasse irgendwo ein wenig mehr
behandeln, sollte man eben in Band 6 nachlesen. Hier also das Wichtigste für
zweidimensionale Vektorgeometrie.
De
Am Ende des Textes, also nach den Lösungen findet man das Wichtigste kurz
zusammengefasst als Lernblätter!
Inhalt
Skalarprodukt
1
6.1 Motivation
Vektoren aus der Physik
Begriff der Arbeit
1
1
3
6.2 Polarkoordinaten von Vektoren
5
6.3 Die erste Grundformel für das Skalarprodukt
11
6.4 Die Länge eines Pfeils – der Betrag eines Vektors
13
6.5 Die zweite Grundformel für das Skalarprodukt
14
e-C
D
§ 6
6.6 Rechengesetze für das Skalarprodukt
§ 8
Ma
th
16
17
18
19
Metrik – Anwendungen in der Geometrie
22
7.1 Seiten- und Winkelberechnung in Dreiecken
22
7.2 Richtungsvektoren von Geraden
27
7.3 Schnittwinkel von Geraden
29
7.4 Bestimmung von besonderen Punkten
Rechtwinkelbedingung – Lot fällen
Operative Methode
Punkte an Geraden spiegeln
33
7.5 Drehung von Pfeilen um 90O
40
Allerlei Ergänzungen
43
8.1 Determinante aus zwei Vektoren
Flächeninhalt eines Parallelogramms / Dreiecks
Interessante Beweise zur Determinantenformel!
43
44
46
8.2 Trägerkurven oder Ortskurven
49
De
§ 7
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
Binomische Formeln
mo
:
1.
2.
3.
4.
16
Lösung aller Aufgaben
Lernblatt / Zusammenfassungen
38
53 – 80
81-82
11812
Vektorgeometrie 2
22
§ 7 Metrik – Anwendungen in der Geometrie
7.1
Seiten- und Winkelberechnung in Dreiecken
Beispiel 1
Gegeben ist das Dreieck ABC durch
A ( −3⏐2 ) ; B ( 3⏐− 4 ) ; C (1⏐6 )
a) Vektorielle Berechnung der Seitenlängen
Dazu berechnen wir zuerst drei Vektoren.
C
: M
ath
e-C
D
Wissen: JJJG
Der Vektor AB kann durch die Ortsvektoren
der
A und B so berechnet werden:
JJJG Punkte
G G
AB = b − a , wobei die Ortsvektoren die
Pfeile sind, die vom Ursprung zum Punkt
zeigen. Sie haben daher dieselben
Koordinaten wie die Endpunkte:
G
A ( −3⏐2 ) ⇒ a = −3 und
2
G
B ( 3⏐− 4 ) ⇒ b = 3 .
−4
JJJG G G
Also gilt: AB = b − a = 3 − −3 = 6
2
−4
−6
A
( )
( )
( )( ) ( )
() ( ) ()
B
() ( ) ( )
JJJG G G
JJJG G G
AC = c − a = 1 − −3 = 4 und BC = c − b = 1 − 3 = −2
6
2
4
6
10
−4
Bemerkung:
Dies kann man in der Zeichnung überprüfen. Beispielsweise zeigt der Pfeil
mo
Analog folgt:
JJG
De
BC von B aus 2 nach links und 10 nach oben. So hat man eine Kontrolle, ob
man richtig gerechnet hat.
Die Seitenlängen sind die Längen der Pfeile, also die Beträge der Vektoren:
JJJG
AB = AB =
( −66) =
6 + ( −6 ) = 36 + 36 = 2 ⋅ 36 = 6 2 (LE)
2
2
()
JJJG
2
2
AC = AC = 4 = 4 + 4 = 16 + 16 = 2 ⋅ 16 = 4 2 (LE)
4
( )
JJJG
BC = BC = −2 =
10
( −2 )
2
+ 10 = 4 + 100 = 104 = 2 26 (LE)
2
Ich habe teilweise die Wurzel gezogen, das ist nicht unbedingt nötig. Man kann auch
die Näherungswerte für die Streckenlängen angeben:
AB = 72 ≈ 8,46 (LE) , AC = 32 ≈ 5,66 (LE ) und BC = 104 ≈ 10,20 (LE ) .
Friedrich Buckel
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11812
Vektorgeometrie 2
23
b) Vektorielle Berechnung der Innenwinkel
C
Erklärung der Methode
γ
JJJG
JJJG
Der Winkel α wird von den Vektoren AB und AC
eingeschlossen.
α
A
Wir verwenden die erste Formel für das Skalarprodukt
dieser Vektoren:
JJJG JJJG JJJG JJJG
AB : AC = AB ⋅ AC ⋅ cos α
β
und stellen sie nach cos α um:
D
JJJJG
JJJJG
( )
6
−6
()
JJJG
und AC = 4
4
JJJG JJJG
folgt AB : AC =
Also erhalten wir hier cos α =
0
( −66) : ( 44) = 24 + ( −24) = 0 .
Ma
th
JJJG
Mit AB =
B
e-C
AB : AC
cos α = JJJJG JJJJG
AB ⋅ AC
72 ⋅ 32
=0
Dies führt zu α = 90
O
!
Es liegt also ein rechtwinkliges Dreieck vor.
Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 wird,
sind die Vektoren orthogonal, d.h. sie bilden den
Winkel 90O bzw. 270O.
In einem Dreieck gibt es jedoch keine Innenwinkel,
die größer als 180O sind, daher folgt aus
JJG
mo
:
Merke:
G
b
JJG
90
AB : AC = 0 sofort α = 90 . Die Länge der
Vektoren (im Nenner des Bruches) ist dazu
völlig unerheblich.
JJG
Wir kennen AB =
O
De
Berechnung von β :
JJG
cos β = JJG
( )
cos β =
270
O
JJG
JJG
BA : BC
BA ⋅ BC
JJG
JJG
( )
JJG
6
−6
, also ist BA = − AB =
. Beide haben denselben Betrag AB =
−6
6
JJG
Ferner kennen wir bereits BC =
( )( )
−6
6
G
a
O
:
−2
10
72 ⋅ 104
=
( )
−2
10
JJG
mit BC =
12 + 60
72 ⋅ 104
=
72
104 . Also folgt:
72
72 ⋅ 104
. Der Taschenrechner liefert β ≈ 33, 69 .
O
JJG
JJG
Es erhebt sich die Frage, was passiert, wenn man mit AB statt mit BA rechnet. Ja, dann haben
wir im Zähler und folglich für den Kosinus das umgekehrte Vorzeichen: Er wird negativ und somit
erhalten wir einen Winkel zwischen 90O und 180O, was nicht richtig ist! Also sollte man Vektoren
immer vom Scheitel des Winkels weg zeichnen!
Friedrich Buckel
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11812
Vektorgeometrie 2
JJG
cos γ = JJG
JJG
CA ⋅ CB
()
JJG
JJG
( )
JJG
4
−4
, also ist CA = − AC =
. Beide haben denselben Betrag AC =
4
−4
( )
( )( )
JJG
Ferner kennen wir bereits BC =
cos γ =
Also folgt:
JJG
JJG
CA : CB
Berechnung von γ :
Wir kennen AC =
24
−4
−4
JJG
( )
JJG
2
−2
, also ist CB = − BC =
10
−10
:
2
−10
=
32 ⋅ 104
−8 + 40
32 ⋅ 104
JJG
JJG
mit CB = BC =
32
=
32 ⋅ 104
mit
32
104 .
γ ≈ 56,31
O
ACHTUNG:
γ = 180 − α − β ≈ 180
− 90 − 33,69 = 56,31
O
O
90O
O
O
O
e-C
Kürzer ist demnach:
D
Wir haben nun des Guten zuviel getan, denn wenn man zwei Winkel im Dreieck kennt,
kann man den dritten aus der Winkelsumme 180O berechnen.
Ma
th
Zusammenfassung
Man kann die Innenwinkel eines Dreiecks über die
Skalarproduktformel der beiden Vektoren berechnen,
die den Winkel einschließen. Dabei ist es wichtig,
dass die Pfeile vom Scheitel des Winkels weg zeigen.
JJJJG
JJJJG
JJJJG
JJJJG
JJJJG
AB : AC
cos α = JJJJG JJJJG
AB ⋅ AC
mo
:
Wir verwenden also
JJJJG
De
BA : BC
cos β = JJJJG JJJJG
BA ⋅ BC
CA : CB
cos γ = JJJJG JJJJG
CA ⋅ CB
Kennt man zwei Winkel, berechnet man den dritten über die
Winkelsumme, die im Dreieck 180O beträgt.
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