Zu einer Arbeit von J. L. Berggren über ambivalente Gruppen

Pacific Journal of
Mathematics
ZU EINER ARBEIT VON J. L. BERGGREN ÜBER
AMBIVALENTE GRUPPEN
A DALBERT K ERBER
Vol. 33, No. 3
May 1970
PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS
Vol. 33, No. 3, 1970
ZU EINER ARBEIT VON J. L. BERGGREN
UBER AMBIVALENTE GRUPPEN
ADALBERT KERBER
Gruppen, in denen jedes Element zu seinem Inversen
konjugiert ist, oder, was dasselbe ist: deren samtliche Charaktere iiber dem Kδrper C der komplexen Zahlen reell sind,
heissen ambivalent. Die Tatsache, dass jede 2-Gruppe in
eine ambivalente Gruppe eingebettet werden kann, ergibt
sich daraus, dass die 2-Sylowuntergruppen symmetrischer
Gruppen Sn ambivalent sind, was wiederum mit der Assoziativitat der Bildung des Kranzprodukts aus dem Ergebnis
folgt, dass mit G auch das Kranzprodukt G I S2 ambivalent ist
(J. L. Berggren in Pacific J. Math. 28 (1969), 289-293). Diese
Arbeit Berggrens hat weiter zum Inhalt, dass unter den alternierenden Gruppen genau die An mit Tie {1, 2, 5, 6,10,14} und
dass gewisse aus einer Klasse von G. A. Miller definierter
Gruppen ambivalent sind.
Dazu werden hier einige Bemerkungen gemacht: Mit G
ist auch G I Sn ambivalent. Es wird auch die vom darstellungstheoretischen Standpunkt her scharfere Frage gestellt, wann
alle gewδhnlichen irreduziblen Darstellungen nicht nur reellen
Charakter haben, sondern sogar zu reellen Darstellungen
Equivalent sind. Im Fall der sechs ambivalenten alternierenden Gruppen gilt das nur in den beiden trivialen Fallen
Λι = A2 = {1}. Fiir Kranzprodukte ergibt sich: Sind alle
gewδhnlichen irreduziblen Darstellungen von G, H und von
gewissen Unter gruppen von H zu reellen Darstellungen aquivalent, dann auch alle von G I H. Ist G oder H nicht ambivalent, dann auch G I H nicht.
1*
A m b i v a l e n t e Kranzprodukte*
Es sei Sn die symmetrische
Gruppe auf Ω = {1, , n}. Dann versteht man unter dem Kranzprodukt Gl Sn von G mit Sn die Menge
{(f;π)\f:Ω-+G,πeSn}
von Paaren (/; π) aus Abbildungen / von Ω in G und Permutationen
πeSn, zusammen mit der Verkniipfung
(Zuf':Ω-+G sei fί definiert durch fί(π(i)):= f'(i) VieΩ, zu zwei
Abbildungen /, f':Ω->G, deren Produkt / / ' durch
ff'(i):=Λi)f'(i)VίeΩ ,
Produkte von Permutationen sind von rechts nach links zu lesen:
669
670
ADALBERT KERBER
ππ'(i): = π(π'(i))VίeΩ).
Jedem Zyklus Uπ(J) * πrϋ)) ~ 3 sei die kleinste Ziffer—von π
kann man mittels / auf eindeutige Weise ein Zyklenprodukt
f(π-r(j)) e G
/ / , . . . fπr(j) = f{j)f(π-\j))
zuordnen.
Ist π e Sn vom Typ (a19
, αΛ), d.h. enthalt π fur 1 ^ A; ^ % 2 ak
Zyklen der Lange k, so sei zu (/; π) I aik die Anzahl der Zyklenprodukte,
die Zyklen der Lange k aus π mittels / zugeordnet sind und in
der ΐ-ten Konjugiertenklasse von G liegen fur eine feste Reihenfolge
K19 •• ,iΓ s der Konjugiertenklassen von G. Diese nicht negativen
ganzen Zahlen aik fassen wir in Matrixform zum Typ
T(f;π):=
(aik) ,
i Zeilenindex , 1 ^ i ^ s ,
A; Spaltenmdex , 1 ^ k ^ n ,
von (/; π) zusammen, und es gilt (Specht [1]):
SATZ
1. (/; π) ist genau dann zu (/'; πr) konjugiert, wenn
T(f; π) = T(f; π') .
Mit Hilfe dieses Satzes kδnnen wir wie angekϋndigt beweisen:
SATZ
2. Ist G ambivalent, so auch G I Sn.
r
Beweis: Dem Zyklus (j
π {j)) aus π entspricht umkehrbar
r
eindeutig der Zyklus (j
π~ (j)) aus π~\ dem bzgl. /"Λ das Zyklenprodukt
(/
1
fAJ))-
zugeordnet ist wie man leicht nachrechnet (zu /: Ω —+G sei f~ι durch
f-\i): = f(i)~ιVi e Ω definiert). Wegen
folgt bei ambivalentem G mit Satz 1 die Behauptung.
Das Korollar, dass Sm I Sn ambivalent ist, kann mit der bekannten
Tatsache, dass jede irreduzible C-Darstellung einer symmetrischen
Gruppe zu einer reellen Darstellung Equivalent ist, auch leicht aus
der Konstruktion der gewohnlichen irreduziblen Darstellungen von
Sm I Sn (vgl. Specht [1], Kerber [1], [2]), auf die wir gleich eingehen
werden, abgelesen werden, Satz 2 dagegen nicht, wenigstens nicht
direkt.
ZU EINER ARBEIT VON J. L. BERGGREN UBER AMBIVALENTE GRUPPEN 671
2* Irreduzible Darstellungen von Kranzprodukten* Ist H
Untergruppe von Sn, dann versteht man unter G I H die Untergruppe
Die Theorie der Darstellungen dieses Kranzprodukts iiber algebraisch
abgeschlossenem Grundkorper K kann mit Cliffords Theorie der Darstellungen von Gruppen mit Normalteilern leicht gewonnen werden
(Kerber [1]), wenn G vollreduzibel ist. Dazu geht man von den
irreduziblen if-Darstellungen des Normalteilers
G* :={(/; 1H) |/: Ω-+G} = G1 x . . .
xGn<\G\H
mit
Gi : = {(/; lH)\fϋ)
= UVJ ^i} = G,
aus, die der algebraischen Abgeschlossenheit von K wegen aussere
direkte Produkte
von irreduziblen iΓ-Darstellungen Ft von G sind mit den darstellenden
Matrizen
F*(f; 1H) = Fx(f(l)) x . . . xFn(f(n))
(Kroneckerprodukt) .
F* heisse nun vom Typ (nlf •• 9nt)9 wenn % die Anzahl der Faktoren
Fi ist, die zur i-ten irreduziblen iίT-Darstellung von G Equivalent sind
(fur eine feste Reihenfolge der irreduziblen if-Darstellungen von G).
Ist dann Sn. die Untergruppe von Sn(^H),
die aus den nό\
Permutationen besteht, die die % Indizes k der zur i-ten irreduziblen
iΓ-Darstellung von G aquivalenten Faktoren Fk vertauschen, dann ist
die Tragheitsgruppe von F* gerade (Specht [1], Kerber [1])
GlHF*:=Gl((Snix
...
xSnt)ΓιH)£GlH.
JP* kann nun auf diese Tragheitsgruppe erweitert werden, wenn man
annimmt—was fur das Folgende keine Einschrankung bedeutet—,
dass die aquivalenten Faktoren von .F* nicht nur Equivalent, sondern
sogar gleich sind. Ist namlich die Matrix
F*(f; 1H) = (d^ifd))
dlnβn{f(n))) ,
so sei
F*(f; π) := ( ^ π _ 1 ( 1 ) ( / ( l ) ) . . .
d:%βtΓ.1{%){f(n)))
fur (/; π)eGl HF*. Man rechnet leicht nach, dass diese Matrizen
eine Darstellung F* von GIHF* bilden. Fur ihre Einschrankung
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ADALBERT KERBER
F* I G* gilt oίfenbar
F* I G* = ί7* ,
sie ist also irreduzibel.
Und mit einer gemass
F'(f;π):=F"(π)
zu einer irreduziblen iΓ-Darstellung F" von
G I HF*/G* = ((S%1 x . . . x Snt) Π H)
gehδrenden irreduziblen Darstellung F' von GIHF* gilt (Specht [2],
Kerber [1]):
3. Die von der irreduziblen K-Darstellung F* 0 Ff induzierte Darstellung
SATZ
(F*
®F')\GIH
ist irreduzibel und jede irreduzible K-Darstellung von G I H ist von
dieser Form.
Es folgt direkt
SATZ 4. Sind alle gewohnlichen irreduziblen Darstellungen von
G, von H und von den Untergruppen (SWl x
x Sn) Π H ^ H zu
reellen Darstellungen dquivalent, dann auch alle gewohnlichen
irreduziblen Darstellungen von G I H.
Denn die Matrix F*(f; π) enthalt mit F*(f; 1H) nur reelle Zahlen,
nach Voraussetzung gilt das auch fur F'(f;π)((f;π)eGl
HF*), also
auch fur das Kroneckerprodukt, also auch fur jede Matrix von
(F* <g> F') ί G I H = F.
Ganz analog folgt das Entsprechende fur ikf-Gruppen, fiir endliche
Gruppen, deren samtliche irreduziblen Darstellungen uber samtlichen
algebraisch abgeschlossenen Korpern, deren Charakteristik nicht in
der Gruppenordnung aufgeht, von eindimensionalen Darstellungen von
Untergruppen induziert werden (Seitz, Kerber [3]):
SATZ 5. Ist G, Hund jede Untergruppe (S%1 x
M-Gruppef dann ist auch G I H eine M-Gruppe.
- x Snt) Π H^H
Auf den vom darstellungstheoretischen Standpunkt her scharferen
Satz 2 kann man allerdings so nicht schliessen, da beim Ubergang
von F*(f;lH) nach F*(f;π) die Hauptdiagonale zerstδrt wird. Dagegen ergibt sich noch:
ZU EINER ARBEIT VON J. L. BERGGREN UBER AMBIVALENTE GRUPPEN
673
SATZ 6. 1st G oder H nίcht ambivalent, dann ist auch G I H
nίcht ambivalent.
Sind namlich Fι bzw. F" irreduzible C-Darstellungen von G bzw. H
mit komplexem Charakter, so sind mit den Einsdarstellungen EG bzw.
ι
EH von G bzw. H die Charaktere _der Darstellungen (F~ #
% F")
H (g) EH' (auf G.SGIH)
bzw. (JS7G #
# EG) <g> F' (auf H' =
{(e; π) I π e £Γ, e(i) = lGVi} ^ Gl H) ebenfalls komplex.
3* Irreduzible gewohnliche Darstellungen alternierender
Gruppen* Das in der Arbeit von J. L. Berggren enthaltene Ergebnis, dass genau die alternierenden Gruppen An mit n e {1, 2, 5, 6, 10, 14}
ambivalent sind, lasst vom darstellungstheoretischen Standpunkt her
die Frage off en, welche der irreduziblen C-Darstellungen dieser alternierenden Gruppen nicht nur reellen Charackter besitzen, sodern sogar
zu einer reellen Darstellung aquivalent sind. Ist a eine Partition von
n, also
, ah), at e N, a3- ^ aj+1, Σ ai = ^ »
a = (a19
dann kann man bekanntlich die irreduziblen C-Darstellungen von Sn
umkehrbar eindeutig diesen Partitionen zuordnen. Die dabei a
zugeordnete Darstellung sei mit [a] bezeichnet. a kann man sich
durch einen Rahmen aus n Kastchen und mit at Kastchen in der
ί-ten Zeile veranschaulichen:
I
I
1
1
I
I a, Kastchen
a:
[
1
ah Kastchen .
Die Zeilen beginnen alle in derselben Spalte, und wegen a5 ;> aj+1 ist
es sinnvoll, von Spalten dieses Rahmens zu sprechen. a) sei die
Lange der jf-ten Spalte. a ist dann umkehrbar eindeutig die assoziierte
Partition
α ' : = (αj, ••-,<,)
von n zugeordnet. Mit der alternierenden Darstellung [ln] (sie ist
der Partition (1, •••, 1) zugeordnet) von Sn bzgl. An gilt bekanntlich
[a] = [a*] <g) [ 1 1 ,
[α'] ist also auch eine im Sinne von Cliffords Theorie der Darstellungen
von Gruppen mit Normalteilern zu [a] bzgl. An assoziierte Darstellung, da
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ADALBERT KERBER
folgt. Nach Cliffords Theorie ist diese Einschrankung irreduzibel,
wenn a Φ a!, d.h. wenn [a] nicht selbstassoziiert ist, mit [a] ist dann
natiirlich auch diese Einschrankung reell. Dagegen ist, falls a — a!
gilt, die Einschrankung auf An reduzibel in zwei konjugierte irreduzible
Darstellungen [a]* von An:
Nur dieser Fall bedarf also einer Untersuchung auf Realitat. Die
Frage, ob [a]* zu einer reellen Darstellung aquivalent sind oder
nicht, lasst sich leicht mit Hilfe des folgendes Satzes beantworten
(Specht [3]):
7. Ist a = a' und sind clf « ,c 5 die positiven aus der
Reihe der Zahlen c{ : = 2(a{ — i) + 1, so sei
SATZ
p : = c&
2
cs = a b
mit quadratfreiem b. b ist dann das minimale r, so dass [a]* im
Korper der r-ten Einheitswnrzeln realisiert werden konnen.
Wendet man das auf die alternierenden Gruppen An, n e {1, 2, 5,.
6, 10, 14} an, dann wird oben erwahnte Frage durch den folgenden
Satz beantwortet:
SATZ 8. Nur im trivialen Fall AL = A2 = {1} sind alle gewohnlichen irreduziblen Darstellungen von An zu einer reellen
aquivalent. Von den Bestandteilen der Einschrankung en selbstassoziierter irreduzibler Darstellungen von Sn auf An sind fur
s ±
3
ne {5, 6, 10, 14} nur die Bestandteile [5, 2, I ] von [5, 2, I ] j AίQ zu
reellen Darstellungen aquivalent.
LlTERATUR
1. J. L. Berggren, Finite groups in which every element is conjugate to its inverse^
Pacific J. Math. 2 8 (1969), 289-293.
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8.
572.
, Darstellungstheorίe der alternierenden Gruppe, Math. Z. 4 3 (1938), 553-
Received November 11. 1969.
JUSTUS LIEBIG-UNIVERSITAT
GIESSEN, W. GERMANY
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H. SAMELSON
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Pacific Journal of Mathematics
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