inhaltsverzeichnis: zahlenbereichserweiterung 1

Spezialgebiet Mathematik Georg Jahn 8.B 2001
INHALTSVERZEICHNIS:
ZAHLENBEREICHSERWEITERUNG
1
DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN VON KOMPLEXEN ZAHLEN
2
GESCHICHTE DER KOMPLEXEN ZAHLEN
4
DARSTELLUNG DER KOMPLEXEN ZAHLEN
5
RECHNEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
7
DIE KREISTEILUNGSGLEICHUNGEN
10
KÖRPER DER KOMPLEXEN ZAHLEN
11
GRUPPE
11
BEISPIELE
12
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Zahlenbereichserweiterung
Der Zahlbegriff geht von den natürlichen Zahlen aus , die den Vorgang des Abzählens
beschreiben. Den praktischen Erfordernissen entsprechend hat man in der Menge der
natürlichen Zahlen eine Addition erklärt. Sie ist in N abgeschlossen. Das heißt, die Addition
zweier natürlicher Zahlen ergibt wieder eine natürliche Zahl. Doch bereits die Subtraktion, die
Umkehrung der Addition (a + x = b; b ≤ a) führt aus der Menge der natürlichen Zahlen N
heraus. Es war daher notwendig, die Menge N durch die negativen ganzen Zahlen zur Menge
der ganzen Zahlen Z zu erweitern.
Die Operation des Teilens ( Division ) führt aus der Menge der ganzen Zahlen Z heraus. Erst
mit einer weiteren Zahlenbereichserweiterung wird die Division möglich. Es entsteht die
a
Menge der rationalen Zahlen Q . Q = { | a ∈ Z ∧ b ∈ Z , b ≠ 0}
b
Aus der Menge der rationalen Zahlen führt die Operation des Wurzelziehens. Man erweitert
daher die Menge der rationalen Zahlen zur Menge der reellen Zahlen R. Nun erkennt man aber,
dass auch die reellen Zahlen kein abgeschlossenes algebraisches Zahlensystem bilden, denn die
einfache quadratische Gleichung x2 + 1 = 0 hat bereits keine reelle Zahl x zur Lösung, da
sowohl –1 als auch +1 quadriert positiv ist. Um die Gleichung x2 + 1 = 0 zu lösen, muss der
Bereich der reellen Zahlen wieder erweitert werden. Man erhält die Menge der komplexen
Zahlen C.
Die Zahlenbereichserweiterung geht so vor sich, dass man die beiden Lösungen dieser
Gleichung die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, mit i und – i bezeichnet. Man nennt i die
imaginäre Einheit. Somit wird die Zahl i( -1 ), die „imaginäre Einheit“, als eine der beiden
Lösungen der Gleichung x² + 1 = 0 definiert, die andere Lösung ist –i ( - -1 ). Ebenso wie die
Zahl –1, die „negative Einheit“, als die Lösung der Gleichung x+1=0 definiert ist. Alle
Vielfachen von i nennt man imaginäre Zahlen
Definition und Eigenschaften von komplexen Zahlen
Ein Gebilde der Form z = a + b.i heißt komplexe Zahl, wobei a und b reelle Zahlen sind und i
eine Schreibweise für den Ausdruck -1 , wobei gilt i2= -1 (Def.). a heißt Realteil von z (
Re(z) ), b heißt Imaginärteil von z ( Im(z) ).
Für a = 0 erhält man eine imaginäre Zahl:
a=0 !
Für b = 0 erhält man dann die Menge der reellen Zahlen: . b = 0 !
z = bi .imaginäre Zahl
z = a. reelle Zahl.
Die Menge R stellt also eine Teilmenge der komplexen Zahlen mit dem Imaginärteil b = 0 dar.
Das heißt jede reelle Zahl kann als komplexe Zahl mit dem Im(z)=0 angesehen werden.
Die Bestimmung der Lösungen von x² + 1 = 0 ist gleichbedeutend mit dem Auffinden einer
Zahl deren Quadrat –1 ist. Diese Eigenschaft i² = -1 kann keine reelle Zahl haben, da das
Quadrat einer reellen Zahl immer positiv ist. Die Gleichung x² + 1 = 0 hat also in der Menge
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der reellen Zahlen keine Lösung, ebenso wie in der Menge der positiven Zahlen die Gleichung
x + 1 = 0 keine Lösung hat.
Eine weitere Eigenschaft der komplexen Zahlen erkennt man, wenn man die Potenzen von i
bildet:
i1 = i;
i² = -1 (per def);
i³ = i².i =-1.i=i;
i4 =i².i² =-1.-1 = 1;
i5 = i4.i =1.i = i u.s.w.
i4k = 1;
i4k+1 = i;
i4k+2 = -1;
i4k+3 = - i
kεN
Man sagt die Potenzen von i bilden eine zyklische Gruppe.
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Geschichte der komplexen Zahlen
Bereits in der Antike bemerkte man, dass manche Rechnungen auf Wurzeln aus negativen
Zahlen führen, doch damals hielt man dies für die Folge schlecht gewählter Zahlenbeispiele
und vermied sie deshalb. CARDANO (1501-1576)und BOMBELLI (1526-1572) zählten zu
den Ersten, die über solche Wurzeln genauer nachdachten. CARDANO gab offen zu, dass er
mit ihnen nichts Rechtes anfangen konnte. BOMBELLI ließ sich eine originelle Erklärung
einfallen: Er erweiterte einfach die Vorzeichenregeln
Bis zur vollständigen Anerkennung der komplexen Zahlen dauerte es an die 400 Jahre. Die
Schwierigkeiten, die manche Mathematiker mit den komplexen Zahlen hatten, äußerten sich
darin, dass man diese Zahlen als „unmögliche“, unschickliche“, „eingebildete (imaginäre)“,
„scheinbare“, „gedachte“ Zahlen und Ähnliches bezeichnete. Manche Mathematiker lehnten
sogar die Beschäftigung mit solchen Zahlen ab. Christian WOLFF und Leonhard EULER
vertraten die Meinung, dass Wurzelziehen aus negativen Zahlen zwar unmöglich ist, aber „in
der Mathematik geduldet wird, weil es wie andere eingebildete Sachen sonderlichen Nutzen im
Erfinden bringt“. EULER – von ihm kommt die Bezeichnung der imaginären Einheit mit „i“ –
konnte komplexe Zahlen bereits virtuos handhaben, doch bis ins 19 Jahrhundert gab es noch
viele Unklarheiten.
Ein wesentlicher Schritt war die geometrische Darstellung komplexer Zahlen. Diese wurden
von verschiedensten Mathematikern, vor allem von ARGAND und WESSEL entwickelt. Carl
Friedrich GAUSS kannte diese Darstellung wahrscheinlich schon in seinen frühesten Jahren
und machte sie in breiteren Mathematikerkreisen bekannt. Er schrieb: man könne „das ganze
Reich aller Größen, reeller und imaginärer Größen, sich durch eine unendliche Ebene sinnlich
machen, worin jeder Punkt, durch Abszisse = a, Ordinate = b bestimmt, die Größe a+b.i
gleichsam repräsentiert“. Von vielen wurde diese geometrische Darstellung als Beweis für die
Existenz von komplexen Zahlen angesehen. Als aber HAMILTON seine Konstruktion
komplexer Zahlen mit Hilfe von Paaren reeller Zahlen angab, war eine rein algebraische
Begründung der komplexen Zahlen – ohne Benützung geometrischer Anschauung – gefunden.
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Darstellung der komplexen Zahlen
Es gibt 5 Darstellungsmöglichkeiten einer komplexen Zahl:
z = a + b.i…..................…..….kartesische Binomialform
z = ( a / b )...............................kartesische Zahlenpaarform
z = r.( cos φ . i . sin φ )……...trigonometrische Binomialform
z = ( r ; φ )................................trigonometrische Zahlenpaarform
z = r.eiφ......................................Eulersche Form
Umrechnen von der kartesischen Form in die trigonometrische Form:
r = |z| = a² + b²
b
b
tan φ = a d.h. φ = arc tan a
Umrechnen von der trigonometrischen Form in die kartesische Form:
a = r . cos φ
b = r . sin φ
φ°
φrad = 180 . π Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß
Die reellen Zahlen lassen sich als Pfeile auf der reellen Achse darstellen. Da alle reellen Zahlen
so auf einer Zahlengeraden abgebildet werden können, spricht man von „eindimensionalen
Zahlen“. Die komplexen Zahlen hingegen sind „zweidimensional“. Sie können in der
Gausschen Ebene grafisch dargestellt werden. Zu jedem Punkt der Gauss’schen Zahlenebene
gehört genau ein Pfeil der entsprechenden komplexen Zahl.
Gauss’sche Zahlenebene:
Die x-Achse der Gausschen Ebene –auf ihr wird Re(z) aufgetragen – ist identisch mit einer
reellen Achse, während die y-Achse –auf ihr wird Im(z) aufgetragen –,imaginäre Achse heißt,
auf der die rein imaginären Zahlen dargestellt werden können. Eine beliebige komplexe Zahl in
Binomialform z = a + bi besteht aus einem Realteil a und einem Imaginärteil b. In der
grafischen Darstellung sind Realteil a und Imaginärteil b Abszisse bzw. Ordinate des
zugehörigen Endpunktes der Pfeildarstellung von z in der Gauss’schen Ebene.
_
Zu jeder komplexen Zahl z = x + iy erhält man eine konjugiert komplexe Zahl z = x - iy, die
durch Spiegelung von z an der reellen Achse hervorgeht:
Konjugierte komplexe Zahlen:
z=a+b.i
_
z =a–b.i
_
( z konjugiert komplex zu z )
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Speziell ist die konjugiert Komplexe einer reellen Zahl die Zahl selbst und die konjugiert
Komplexe einer rein imaginären Zahl die zugehörige imaginäre Zahl mit umgekehrtem
Vorzeichen.
.
_
Das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen z z ist eine reelle Zahl:
_
z . z = (a + b . i ) . ( a – b . i ) = a² – b².i² = a² + b2 є R
_
Die Summe zweier konjugiert komplexer Zahlen z + z ist eine reelle Zahl:
_
z+z =2.a !єR
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Rechnen mit komplexen Zahlen
Additionen und Subtraktion von komplexen Zahlen in der kartesischen Binomialform:
Addition: Die Real- und die Imaginärteile der beiden zu addierenden komplexen Zahlen
werden einzeln addiert:
z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2 ).i
Für den Spezialfall zweier reeller Zahlen z1 und z2 erhält man die gewohnte Addition im
Reellen.
Subtraktion: Die Real- und die Imaginärteile der beiden zu subtrahierenden komplexen Zahlen
werden jeweils subtrahiert:
z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2 ) .i
Da a1, b1, a2, b2 und damit auch (a1 + a2), (b1 + b2 ), (a1 - a2), (b1 - b2 ) reelle Zahlen sind
erkennt man: Die Summe und die Differenz zweier komplexer Zahlen ist wieder eine
komplexe Zahl.
Die Addition und die Multiplikationn im Komplexen ist -wie im reellen- kommutativ und
assoziativ:
z1 + z 2 = z 2 + z 1
( z1 + z2 ) + z3 =z1 + ( z2 + z3) = z2 + ( z1 + z3)
z1 . z2 = z 2 . z1
( z1 . z2 ) . z3 =z1 . ( z2 . z3) = z2 . ( z1 . z3)= z1 . z2 . z3
Multiplikation und Division von komplexen Zahlen in der kartesischen Binomialform:
Multiplikation:
z1 . z2 = (a1 + b1.i).(a2 + b2.i) = a1 . a2 + a1 . b2 . i + a2 . b1 . i + b1 . b2 . i² =
(a1 . a2 - b1 . b2) + (a1 . b2 + a2 . b1) . i
Division:
Für die Division zweier komplexer Zahlen
_
z1
wird der Bruch mit z2 erweitert, wodurch im
z2
Nenner eine reelle Zahl entsteht.
z1
a1 + b1.i
a1 + b1.i . a2 - b2.i
=
=
. =
z2
a2 + b2 i
a2 + b2.i a2 - b2.i
a1 . a2 + b1 . b2 a2 . b1 - a1 . b2 .
a1.a2 - a1 . b2 . i + a2 . b1 . i -b1.b2 . i²
=
+
i
=
.
a²2 + b²2
a²2 + b²2
a²2 + b²2
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Multiplikation und Division von komplexen Zahlen in der Polarform:
z1 . z2 = r1 . (cos φ1 +i . sin φ1) . r2 . (cos φ2 + i . sin φ2)
= r1 . r2 . (cos φ1 . cos φ2 + i² . sin φ1 . sin φ2 ) + i*(cos φ1 *sin φ2 + cos φ2 *sin φ1)
Wenn man die Additionstheoremen für Winkelfunktionen berücksichtigt, erhält man:
z1 . z2 = r1 . r2 .[ cos(φ1+φ2)+i.sin(φ1+φ2) ]
Das heißt, die Multiplikation zweier komplexer Zahlen bedeutet die Multiplikation ihrer
Beträge und die Addition ihrer Winkel. Da die Division zur Multiplikation invers ist, sind bei
der Division in Polarkoordinaten die Beträge zu dividieren und die Winkel voneinander
abzuziehen:
z1 r1
= . (.[ cos(φ1 - φ2)+i . sin ( φ1 - φ2) ]
z2 r2
Potenzieren von komplexen Zahlen:
zz = z² = r²(cos2ϕ + i sin2ϕ) "
z³ = r²r(cos2ϕ + i sin2ϕ)(cosϕ + isinϕ) = r³(cos2φcosφ – sin2φsinφ + isin2φcosφ +icosφsin2φ)
cos3φ
sin3φ
z³ = r³(cos3φ + i sin3φ)
Mit dieser Methode weiter entwickelt erhält man den Satz von MOIVRE
zn = rn(cos.n φ + i sin.n φ)
Eine komplexe Zahl z wird mit n potenziert, indem man ihren Betrag r mit n potenziert und ihr
Argument ϕ mit n multipliziert.
Radizieren von komplexen Zahlen:
Man radiziert eine komplexe Zahl, indem man aus dem Betrag r die n-te Wurzel zieht und das
Argument φ durch n dividiert.
n
z =
n
r.( cosφ + i . sinφ) =
n
r
.
(cos
φ
φ
+ i . sin )
n
n
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Grafische Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen:
Da die komplexen Zahlen grafisch als Pfeile dargestellt werden können, können sie wie
Vektoren grafisch addiert (Parallelogrammregel) und Subtrahiert (Regel: Spitze minus Schaft)
Im(z)
z1+z2
z2
z1-z2
z1
Re(z)
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Die Kreisteilungsgleichungen
|eiφ| = |cos φ + i . sin φ | = cos² φ + sin² φ =1
a
b
eiφ ist eine komplexe Zahl mit dem Betrag eins, die in der Gauss’schen Ebene auf dem
Einheitskreis liegt.
Man bezeichnet eine Gleichung der Form zn – 1 = 0
als Kreisteilungsgleichung und deren Lösungen als n-te Einheitswurzeln.
Es ist
zn – 1 = 0
z ∈C n ∈ N
# ! zn = 1
360°
) mit k = 0, 1, ........, n – 1
n
Die Bildpunkte der n-ten Einheitswurzeln liegen am Einheitskreis und teilen diesen in n
gleiche Teile. Sie bilden also die Eckpunkte eines dem Einheitskreis eingeschriebenen
regelmäßigen n-Ecks, wobei ( 1| 0 ) ein Eckpunkt ist.
Es gilt: zk = ( 1 , k .
BEISPIEL: z4 = 1 Berechne die vier Lösungen und stelle sie grafisch dar!
Ausführung:
Die vier Lösungen liegen am Einheitskreis und teilen ihn in vier gleiche Teile.
Zk = (k 90°; 1) k = 0, 1, 2, 3
z0 = (0°; 1) = 1
z1 = (90°; 1) = cos90° + isin90° = i
z2 = (180°; 1) = cos180° + isin180° = -1
z3 = (270°; 1) = cos270° + isin270° = -i
Somit gilt L = 1, i, -1, -i
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Körper der komplexen Zahlen
Gruppe
Ein Verknüpfungsgebilde (M;o) heißt Gruppe, wenn es folgende Eigenschaften hat:
1.)Die verknüpfung „o“ ist assoziativ:
∀ a, b ,c ε M : (a o b) o c = a o ( b o c )
2.)In M existiert genau ein neutrales Element n:
∃ n ε M, V a ε M : a o n = n o a = a
3.)Zu jedem Element a aus M gibt es genau ein inverses Element a* aus M:
∀ a ε M, ∃ a* ε M : a o a* = a* o a = n
4.) (Zusatz) Ist eine Verknüpfung auch kommutativ, so spricht man von einer kommutativen
Gruppe ( Abelschen Gruppe)
Hat eine Gruppe endlich viele Elemente, so bezeichnet man sie als endliche Gruppe.
Hat eine Gruppe unendlich viele Elemente, so bezeichnet man sie als unendliche Gruppe.
RING
Ein Verknüpfungsgebilde (M;o;‫ )ٱ‬heißt Ring , wenn folgndes gilt:
1.) (M;o) ist eine kommutative Gruppe.
2.) (M;‫ )ٱ‬ist assoziativ.
3.) Die zweite Verknüpfung ist bezüglich der ersten distributiv:
∀ a, b, c ε M:!a ‫( ٱ‬b o c ) = ( a ‫ ٱ‬b) o (a ‫ ٱ‬c)
!(a o b ) ‫ ٱ‬c = ( a ‫ ٱ‬c) o (b ‫ ٱ‬c)
Hat eine Gruppe endlich viele Elemente, so bezeichnet man sie als endliche Ring.
Hat eine Gruppe unendlich viele Elemente, so bezeichnet man sie als unendliche Ring.
Körper
Ein Verknüpfungsgebilde (M;o;‫ )ٱ‬heißt Körper , wenn folgndes gilt:
1.) ( M;o) ist eine kommutative Gruppe mit no als neutralem Element.
2.) (M \ no ; ‫ ) ٱ‬ist eine kommutative Gruppe.
3.) Die zweite Verknüpung ist bezüglich der ersten distributiv:
∀ a, b, c ε M : a ‫( ٱ‬b o c ) = ( a ‫ ٱ‬b) o (a ‫ ٱ‬c)
Hat eine Gruppe endlich viele Elemente, so bezeichnet man sie als endliche Körper.
Hat eine Gruppe unendlich viele Elemente, so bezeichnet man sie als unendliche Körper.
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Beispiele
Addition:
(1+3i)+(5+6i)= 6+9i
Subtraktion:
(6+5i) –(4+3i)= 2-2i
Multiplikation:
(4+3i)*(3+3i)=(12+12i+9i+9i²)= 3+21i
Division:
8+1
24-16i+3i-2i² 26-13i 13*(2-i)
(8 + 1) * (3 − 2i )
=
=
=
=
= 2–i
3+2i
9+4
13
13
(3 + 2i ) * (3 − 2i )
Potenzieren:
(3+i)² = 9 +6 i –1 = 8 +6
Radizieren:
1.) z =8 + 2 i
z=?
8+2i=x+yi
8 + 2 i = x² -y² + 2 x y i
x² - y² = 8
2xy = 6
3
y=
x
9
= 8 | .x²
x² x²
x4 –9 = 8 x²
x4 – 8 x²- 9 c= 0! x²1,2 =4 +- 5
x= -3
y = -1
x=3
y=1
2.)Satz von Moivre
z=8+6i z=?
10
6
8
φ
φ
z = r (cos 2 + i sin 2 )
b
φ = arc tan a =36,87
36,87
36,87
10 . (cos 2
+ i sin 2 )
! a = r cos 18,44 = 3
! b = r sin 18,44 = 1
z=(3+i)
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