Wissensmodellierung und wissensbasierte Systeme

Tableau-Methodik
Exkurs: Beweisen mit Tableau
Semantische Tableau ergeben ein Beweisverfahren, mit dem ähnlich wie mit
der Resolution eine Formel dadurch bewiesen wird, dass ihre Negation als
widersprüchlich abgeleitet wird (proof by refutation).
Erster Algorithmus (für ALC) [Schmidt-Schauß und Smolka, 1991].
Erweiterungen für:
◮
Zahlenrestriktion [Baader, 1991]
◮
Transitive Relationen [Sattler, 1996]
◮
Konkrete Bildbereiche, z. B. Zahlen [Baader und Hanschke, 1991]
◮
...
Es wird ein Baum konstruiert, in dem jeder Knoten mit einer Formel markiert
ist. Ein Pfad von der Wurzel zu einem Blatt stellt die Konjunktion aller
Formeln der Knoten entlang des Pfads dar; eine Verzweigung stellt eine
Disjunktion dar. Der Baum wird aufgebaut durch sukzessive Anwendung der
Tableau-Erweiterungsregeln.
Inzwischen existieren hoch-optimierte Tableau-Algorithmen für eine Reihe
von beschreibungslogischen Sprachen, die sich auch im Vergleich mit
klassischen Beweisern gut schlagen (vgl. mit TABLEAUX/TANCS’99
Benchmark).
Idee:
Ein Pfad in einem Tableau ist abgeschlossen, wenn entlang des Pfads
sowohl X wie ¬X für eine Formel X auftreten, oder wenn F (false) auftritt (X
muss nicht atomar sein).
Ein Tableau heißt abgeschlossen, wenn alle seine Pfade abgeschlossen
sind.
Man entscheidet die Unerfüllbarkeit eines Begriffs C, indem man
systematisch versucht ein Modell von C zu konstruieren. Ist dies
erfolgreich, ist C erfüllbar, sonst nicht.
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Auswahl der Regeln bei der Erweiterung sind z. T. nichtdeterministisch.
Tableau-Beweis für eine Formel X ist ein abgeschlossenes Tableau für ¬X .
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Tableau-Erweiterungsregeln
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Tableau-Beweis: Beispiel (1)
Aussagenlogischer Tableau-Beweis für
(P ⇒ (Q ⇒ R)) ⇒ ((P ⇒ Q) ⇒ (P ⇒ R)):
Für Aussagenlogik:
¬W
F
¬¬X
X
`
´
(1) ¬ (P ⇒ (Q ⇒ R)) ⇒ ((P ⇒ Q) ⇒ (P ⇒ R))
¬F
W
(α aus 1)
(2) (P ⇒ (Q ⇒ R))
Für konjunktive Formeln (“α-Regeln”):
α
α1
α2
2 - 166
X ∧Y
X
Y
¬(X ∨ Y )
¬X
¬Y
(α aus 1)
`
´
(3) ¬ (P ⇒ Q) ⇒ (P ⇒ R)
¬(X ⇒ Y )
X
¬Y
(α aus 3)
(4) (P ⇒ Q)
Für disjunktive Formeln (“β-Regeln”):
β
β1 | β2
X ∨Y
X | Y
¬(X ∧ Y )
¬X | ¬Y
(α aus 3)
X ⇒Y
¬X | Y
(5) ¬(P ⇒ R)
(α aus 5)
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2 - 167
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
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Tableau-Beweis: Beispiel (2)
Tableau-Verfahren für Prädikatenlogik
(α aus 5)
Tableau-Erweiterungsregeln für Prädikatenlogik:
(6) P
(α aus 5)
(7) ¬R
Q
Q (β aus 2)
Q
Q
Q
(8) ¬P
(9)
Zusätzlich die folgenden Regeln für die Behandlung quantifizierter
Formeln:
δ
γ
γ[t]
δ[c]
γ
∀x.Φ
¬∃x.Φ
(11) R
Q
Q (β aus 4)
Q
Q
Q
γ[t]
Φ[x := t]
¬Φ[x := t]
δ
∃x.Φ
¬∀x.Φ
δ[c]
Φ[x := c]
¬Φ[x := c]
Hierbei sind t ein Grundterm (oder allgemeiner: ein Term, der keine
Variablen enthält, die in Φ gebunden sind) und c eine “neue” Konstante.
(13) Q
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Tableau-Regeln mit Variablen
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
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Tableau-Verfahren: Eigenschaften
Statt geeignete Instanzen der γ- und δ-Regeln zu “erraten”, können auch
freie Variablen und Skolem-Funktionen in der Erweiterung benutzt werden.
Tableau-Erweiterungsregeln mit Skolem-Funktionen und freien
Variablen
δ
γ
γ[v ]
δ[f (v1 , .., vn )]
Sätze über das Tableau-Verfahren:
1. Erfüllbarkeit wird durch die Tableau-Regeln erhalten: wenn die
Wurzel-Formel eines Tableaus erfüllbar ist, dann gibt es mindestens
einen Pfad im Tableau, der erfüllbar ist.
2. Eine Tableau-Formel G ist unerfüllbar genau dann, wenn ein
geschlossenes Tableau für G existiert.
(Korrektheit und Widerlegungsvollständigkeit des Verfahrens)
Hierbei sind v eine neue Variable, f eine neue Skolem-Funktion, v1 , . . . , vn
alle bisher in dem betreffenden Zweig des Tableaus eingeführten freien
Variablen.
Das Verfahren kann auf unerfüllbare Mengen von Formeln erweitert werden.
Tableau-Verfahren werden zunehmend auch für maschinelles Beweisen
herangezogen, als Alternative zu Resolution. Wegen der relativ einfachen
Modifierbarkeit der Dekompositionsregeln werden Tableau-Verfahren
insbesondere auch für andere Logiken (wie intuitionistische Logik,
Modal-Logiken) entwickelt.
Tableau-Substitutionsregel:
T sei ein Tableau für eine Menge S von geschlossenen Formeln, σ eine Substitution,
die frei für T (d. h. frei für alle Formeln in T ) ist; dann ist σ(T ) (d. h. jede Formel X in T
durch σ(X ) ersetzt) auch eine Tableau für S.
Eine elementar Substitution {x ← t} ist frei für eine Formel P, wenn x in P nicht im
Bindungsbereich einer Variablen y vorkommt, die auch in t vorkommt.
Eine Substitution σ ist frei für eine Formel P, wenn jede ihrer Elementar-Substitutionen
frei für P ist.
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◮
γ[t] und δ[c] ergeben sich aus den folgenden Tabellen:
Q
Q (β aus 9)
Q
Q
Q
(12) ¬P
Erweiterungsregeln wie für Aussagenlogik – in den Regeln stehen X und
Y dann für beliebige (prädikatenlogische) Formeln
γ ist eine universell quantifizierte Formel, δ eine existentiell quantifizierte
Formel.
(Q ⇒ R)
(10) ¬Q
◮
Seit einiger Zeit gibt es sogar eine eigene Tagungsreihe speziell für
Beweisen mit Tableaus.
2 - 171
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
2 - 172
Tableau-Verfahren und Resolution
Tableau-Methode in Beschreibungslogiken: (einf. Bsp. 1)
Gemeinsamkeiten:
TBox: T
◮
Beweis durch Widerlegung
◮
ausgehend von der zu beweisenden (bzw. zu widerlegenden) Formel
◮
Steuerung durch Auswahl-Strategien
C =
˙ ∃r .A ⊓ ∃r .B
D =
˙ ∃r .E
E =
˙ A⊓B
Unterschiede:
◮
◮
◮
Fragestellung:
Resolution setzt Transformation der Formeln in Klauselform voraus;
Tableau-Verfahren nimmt in gewisser Weise eine Transformation
während der Konstruktion des Tableau vor, d. h. Tranformation ist Teil der
Regeln.
C
D
Reduktionen:
∃r .A ⊓ ∃r .B ⊑ ∃r .(A ⊓ B)
1. Auffalten:
Resolution erfordert Reduktion auf leere Klausel für erfolgreichen
Beweis;
Tableau-Verfahren kann (im Prinzip) erfolgreich stoppen, ohne dass die
Formel vollständig auf Atome reduziert ist.
2. Reduktion auf Unerfüllbarkeit:
∃r .A ⊓ ∃r .B ⊓ ¬(∃r .(A ⊓ B))
unerfüllbar?
3. Negationsnormalform (Negationen nach innen schieben):
F = ∃r .A ⊓ ∃r .B ⊓ ∀r .(¬A ⊔ ¬B)
Es ist im allgemeinen einfacher, aus einem nicht weiter reduzierbaren
Tableau ein Modell (und damit ein Gegenbeispiel) abzulesen, als aus
einem fehlgeschlagenen Resolutionsbeweis.
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⊑T
4. Versuch, ein Modell für F zu konstruieren:
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Tableau-Methode: allg. Vorgehensweise (einf. Bsp. 2)
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
2 - 174
Tableau-Methode: allg. Vorgehensweise (einf. Bsp. 3)
1. Annahme: Es existiert ein Element a in der Interpretation des Begriffs
F , d. h.
a ∈ (∃r .A ⊓ ∃r .B ⊓ ∀r .(¬A ⊔ ¬B))I
(a, b)
b
b
2. Dann muss dieses a auch in der Interpretation aller Konjunkte liegen:
∈
∈
∈
rI
A
I
(¬A ⊔ ¬B)
I
(a, c)
∈
rI
c
∈
BI
c
∈
(¬A ⊔ ¬B)I
a ∈ (∃r .A)I
a ∈ (∃r .B)I
a ∈ (∀r .(¬A ⊔ ¬B)I
a : {∃r .A, ∃r .B, ∀r .(¬A ⊔ ¬B)}
e
3. Dann muss es auch Elemente b und c geben, so dass
(a, b) ∈ r I
und
(a, c) ∈ r I
b ∈ AI
und
und
r
c ∈ B I und
b ∈ (¬A ⊔ ¬B)I
c ∈ (¬A ⊔ ¬B)
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
e
und
b : {A}
I
2 - 175
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
@
@
@ r
@
@
@
R
@
e
c : {B}
2 - 176
Tableau-Methode: allg. Vorgehensweise (einf. Bsp. 3)
(a, b)
∈
rI
I
b
∈
A
b
∈
(¬A ⊔ ¬B)I
Tableau-Methode: allg. Vorgehensweise (einf. Bsp. 4)
(a, c)
∈
rI
c
∈
BI
c
∈
(¬A ⊔ ¬B)I
Es ist ein Modell für F gefunden (drei Individuen a, b und c existieren ohne
Widerspruch).
Die Subsumtionsbeziehung gilt nicht!
Erweiterung des Beispiels: (Hinzunahme einer Kardinalitätseinschränkung)
TBox: T ′
a : {∃r .A, ∃r .B, ∀r .(¬A ⊔ ¬B)}
e
r
e
C =
˙ ∃r .A ⊓ ∃r .B ⊓ (≤ 1 r )
D =
˙ ∃r .E
E =
˙ A⊓B
@
@
@ r
@
@
@
R
@
Fragestellung:
C ⊑T ′ D
Negationsnormalform: ∃r .A ⊓ ∃r .B ⊓ (≤ 1 r ) ⊓ ∀r .(¬A ⊔ ¬B)
e
b : {A, (¬A ⊔ ¬B)}
b : {A, ¬B}
c : {B, (¬A ⊔ ¬B)}
c : {B, ¬A}
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Tableau-Methode: allg. Vorgehensweise (einf. Bsp. 5)
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
2 - 178
Tableau-Methode: allg. Vorgehensweise (einf. Bsp. 5)
Kardinalitätseinschränkung führt zur Verschmelzung der Relationsfüller
(Relationsfüllereinschränkung bzgl. A fällt notwendigerweise mit dem Füller
bzgl. der Einschränkung B zusammen).
Kardinalitätseinschränkung führt zur Verschmelzung der Relationsfüller
(Relationsfüllereinschränkung bzgl. A fällt notwendigerweise mit dem Füller
bzgl. der Einschränkung B zusammen).
a : {∃r .A, ∃r .B, (≤ 1 r ), ∀r .(¬A ⊔ ¬B)}
a : {∃r .A, ∃r .B, (≤ 1 r ), ∀r .(¬A ⊔ ¬B)}
e
e
r
r
?
e
?
e
b = c : {A, B, (¬A ⊔ ¬B)}
Widerspruch
Alternative 1: b = c : {A}
Alternative 2: b = c : {B}
Widerspruch
b = c : {A, B, (¬A ⊔ ¬B)}
Gleichsetzung der Individuen
Widerspruch in allen Fällen: D. h. die Subsumtionsbeziehung gilt!
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2 - 179
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
2 - 180
Tableau-Methodik in Beschreibungslogiken: allg. Vorgehensweise
Tableau-Verfahren für Beschreibungslogiken
Um einen “optimalen” (sprich effizienten) Tableau-Algorithmus für
Beschreibungslogiken zu erhalten, werden:
Allgemeine Vorgehensweise um ein Modell für ein Konzept C zu finden:
◮
Tableau-Regeln nicht blind angewendet und
◮
Auffalten und Reduktion auf Unerfüllbarkeit
◮
Redundante Verifikationen vermieden bzw. zwischengespeichert.
◮
Negationsnormalform
Das Modell wird durch einen Baum T abgebildet.
◮
Abstraktion:
Beispiel: ∃r .C. In einer geg. Interpretation I gibt es ein a mit
a ∈ (∃r .C)I . Aus der formalen Semantik des ∃-Konstruktors folgt,
dass es ein b geben muss, so dass (a, b) ∈ r I und b ∈ C I .
◮
◮
◮
◮
Dies gilt für alle Interpretationen, so dass von Interpretationen
abstrahiert werden kann.
◮
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
◮
2 - 181
Tableau-Verfahren für Beschreibungslogiken: Baum
Knoten repräsentieren generische Elemente der generischen
Interpretation. Diese werden mit den Unterbegriffen annotiert.
◮
Kanten repräsentieren Relations-Nachfolger zwischen Elementen der
generischen Interpretation.
Expansion vollständig (Baum stellt ein gültiges Modell dar)
Widerspruch beweist, dass kein Modell existiert
◮
Nichtdeterministische Expansion (z. B. bei C ⊔ D).
◮
Blocking sichert die Termination (bei zyklischen Sprachen).
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2 - 182
Tableau-Verfahren für Beschreibungslogiken: Regeln (1)
Und-Regel (→⊓ ): Enthält ein Knoten eine Konjunktion C ⊓ D, dann füge C
und D zum Knoten hinzu (falls nicht schon dort). [x : {C ⊓ D, C, D}]
Semantik: Ein generisches Individuum x muss sowohl in der
Interpretation von C als auch D sein.
Tableau-Regeln bauen eine Baum auf (semantisch wird eine generische
ABox erzeugt):
◮
Start vom Wurzelknoten {C}
Anwendung von Expansionsregeln, bis
◮
In einer generischen Interpretation arbeiten wir fortan mit
generischen Elementen (x, y, z, . . .). Notation: Das generische
Element x liegt in der generischen Interpretation der
Konzeptbeschreibung ∃r .C, geschrieben: x : {∃r .C}.
Knoten in Ts entsprechen Individuen im Modell.
Restriktionen bzgl. Knoten drücken sich in Einschränkungen bzgl. Individuen
aus.
Kanten werden mit Relationsnamen in T annotiert.
Oder-Regel (→⊔ ): Enthält ein Knoten eine Disjunktion C ⊔ D und weder C
noch D, dann erzeuge zwei alternative Knoten mit einmal C und einmal
D. [x : {C ⊔ D, E} mit E ∈ {C, D}]
Semantik: Ein generisches Individuum x muss entweder in der
Interpretation von C oder D sein.
Initialisierung des Baums mit einem Wurzelknoten (generisches Element x):
x : {C}
Exist.-Qualif.-Regel (→∃ ): Enthält ein Knoten eine existentielle Quantifikation
∃r .C, dann erzeuge eine neue Kante r und einen neuen Knoten für ein
neues generischen Individuum y mit (x, y) ∈ r ein; als Einschränkung
für den neuen Knoten gilt {C} (alles falls nicht schon vorhanden).
[y : {C} und x r y (Kante von x nach y mit Bezeichnung r ).]
Semantik: Es muss für x bzgl. der Relation r ein generisches
Individuum y geben, das in C liegt.
Der Baum enthält einen Widerspruch, wenn für einen Knoten im Baum gilt:
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{A, ¬A}
⊆
{. . .}
{(≥ m r ), (≤ n r )}
⊆
{. . .} für n < m
oder
2 - 183
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
2 - 184
Tableau-Verfahren für Beschreibungslogiken: Regeln (2)
Tableau-Verfahren für Beschreibungslogiken: Regeln (3)
Univ.-Qualif.-Regel (→∀ ): Enthält ein Knoten eine universelle Quantifikation
der Art ∀r .C und es existiert eine Kante r zu y, dann füge die
Einschränkung C zu y hinzu. [y : {C}]
Semantik: Hinzunahme der Restriktion C für alle Füller von r .
Die Regeln →⊔ und →≤ sind nicht-deterministische Regeln. D. h. sie können
einen Baum in unterschiedlicher Weise expandieren.
Minimum-Regel (→≥ ): Enthält ein Knoten eine Kardinalitätseinschränkung
(≥ n r ) und es existieren nicht mindestens n gen. Individuen y1 , . . . , yn
mit (x, yi ) ∈ r für (1 ≤ i ≤ n) und yi 6= yj für (1 ≤ i < j ≤ n), dann füge
solche Individuen hinzu.
Semantik: Es müssen mindestens n unterschiedliche generische
Individuen als Füller von r existieren.
Alle anderen Regeln sind deterministische Regeln.
Die Regeln →∃ und →≥ werden als generierende Regeln bezeichnet, da sie
neue generische Individuen erzeugen.
Alle anderen Regeln bezeichnet man als nicht-generierende Regeln.
Maximum-Regel (→≤ ): Enthält ein Knoten eine Kardinalitätseinschränkung
(≤ n r ) und es existieren n + 1 paarweise verschiedene gen. Individuen
y1 , . . . , yn+1 mit (x, yi ) ∈ r für alle (1 ≤ i ≤ n + 1), aber für ein Paar i 6= j
ist yi 6= yj nicht im Tableau enthalten, dann verschmelze ein yi mit
einem yj durch systematisches Ersetzen von yi durch yj .
Semantik: Es dürfen maximal n unterschiedliche generische Individuen
als Füller von r existieren.
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
Eine Regel kann nur dann angewendet werden, wenn das entsprechende
Konstrukt im Knoten vorhanden ist.
2 - 185
Tableau-Verfahren für Beschreibungslogiken: Einfaches Beispiel
Ein Constraint ist ein syntaktisches Objekt der Art x : C oder x r z , mit C
ein Begriff in NNF, r einer atomaren Relation und x, y Variablen.
x : {(∀hat-kind.Mann) ⊓ (∃hat-kind.¬Mann)}
x : {(∀hat-kind.Mann)}
→⊓ -Regel
x : {(∃hat-kind.¬Mann)}
Sei I eine Interpretation. Eine I-Belegung α ist eine Funktion, die jede
Variable auf ein Objekt des Universums D abbildet.
Ein Constraint c = x : C (oder c = x r z) wird von einer I-Belegung α erfüllt,
falls α(c) ∈ C I (oder (α(x), α(z)) ∈ r I ).
e
→∃ -Regel
Ein System von Constraints S ist eine nicht-leere, endliche Menge von
Constraints. Eine I-Belegung α erfüllt S, falls α jedes Constraint in S erfüllt.
S ist erfüllbar, falls es I und α gibt, so dass α S erfüllt.
x hat-kind y
?
e
→∃ -Regel
y : {¬Mann}
→∀ -Regel
y : {Mann}
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
2 - 186
Tableau als Constraint-System
Fragestellung: Sind ∀hat-kind.Mann und ∃hat-kind.¬Mann disjunkt?
Reduktion: Ist ((∀hat-kind.Mann) ⊓ (∃hat-kind.¬Mann)) unerfüllbar?
→⊓ -Regel
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
Theorem. Ein ALC-Begriff C in NNF ist erfüllbar, gdw. das System x : C
erfüllbar ist.
2 - 187
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
2 - 188
Tableau-Verfahren: Theoreme
Tableau-Verfahren zu Beschreibungslogiken: Eigenschaften
Aufgrund nicht-deterministischer Regeln können exponentiell viele
geschlossene Constraint-Systeme entstehen.
Theorem (Invarianz). Seien S und T Constraint-Systeme:
1. Falls T aus S durch Anwendung einer deterministischen Regel
gewonnen wurde, dann ist S erfüllbar, gdw. T erfüllbar ist.
Selbst ein einzelnes Constraint-System kann exponentielle Größe haben.
2. Falls T aus S durch Anwendung einer nicht-deterministischen Regel
gewonnen wurde, dann ist S erfüllbar, falls T erfüllbar ist.
Weiterhin gilt, dass falls eine nicht-deterministische Regel auf S
anwendbar ist, dann kann sie so angewendet werden, dass S erfüllbar
ist, gdw. T erfüllbar ist.
Beispiel:
∃r .A ⊓ ∃r .B ⊓ ∀r .(
∃r .A ⊓ ∃r .B ⊓ ∀r .(
∃r .A ⊓ ∃r .B ⊓ ∀r .(. . .)
))
n
Erzeugt 2 viele Variablen bei einer Verschachtelungstiefe von n.
Theorem (Terminierung). Sei C ein ALC-Begriff in NNF. Dann gibt es keine
unendlichen Ketten von Transformationsschritten ausgehend von x : {C}.
Der Speicherplatzbedarf kann jedoch polynomiell begrenzt werden, indem
jeweils nur eine Variable für ein ∃r .C erzeugt wird und Tiefenexpansion
angewendet wird:
Ein Constraint-System ist abgeschlossen, falls keine weiteren
Transformationsregeln angewendet werden können.
Theorem (Abgeschlossenheit). Ein abgeschlossenes Constraint-System ist
erfüllbar, gdw. es keinen elementaren Widerspruch, d. h. Paar der Form x : A
und x : ¬A wobei A atomar, enthält.
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2 - 189
Tableau-Verfahren: Spracherweiterungen
Der Tableau-Algorithmus kann um folgende Konstrukte erweitert werden
(PSpace):
◮
ALC mit qualifizierender Kardinalitätseinschränkung
((≤ n r C) und (≥ n r C))
◮
ALC mit inversen Relationen (z. B. hat-kind− )
◮
ALC mit Relationskonjunktion (∃(r ⊓ s).C und ∀(r ⊓ s).C)
◮
TBox mit azyklischen abgeleiteten Konzeptdefinitionen A =
˙ C
Normales Auffalten kann jedoch zu exponentiellem Aufblähen führen.
“Auffalten nach Bedarf” (lazy unfolding) erlaubt Konsistenzüberprüfung
in PSpace.
Problematischer sind:
◮
◮
◮
TBox mit GCI’s Ci ⊑ Di . Zu jedem Knoten muss ¬Ci ⊔ Di hinzugefügt
werden.
Transitiver Abschluss von Relationen r ∗ . Z. B. ∀r ∗ .C führt zu C in
allen r -Nachfolgern
Zyklische TBoxen (
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Termininierungsproblem)
2 - 191
◮
Pfade in einem Tableau sind voneinander unabhängig
◮
Ein Widerspruch in einem Pfad hängt nur von Regeln/Knoten in diesem
Pfad ab
◮
Ein Pfad hat lediglich polynomielle Tiefe
SS07, T. Liebig, Uni Ulm
2 - 190