Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme Markus Schöberl [email protected] Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Johannes Kepler Universität Linz KV Ausgewählte Kapitel der Regelungstheorie 2016 M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 1 / 10 Teil IV Mechanik und Maxwell M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 2 / 10 Übersicht Zeit-invarianter Fall Konfigurationsmannigfaltigkait M Bewegung ist eine Kurve in M parametriert in der Zeit Zeit-varianter Fall Konfigurationsbündel Q → T Bewegung ist ein Schnitt von Q → T Auch zeitinvarianter Fall beinhaltet, mit Q = M × T und speziellen Bündelmorphismen welche die Zeit nicht beinhalten. M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 3 / 10 Punktmechanik I Konfigurationsmannigfaltigkeit M mit Koordinaten q α . Tangentialbündel T (M ) mit Koordinaten (q α , q̇ α ). Bewegung q α = s α (t) und die zugehörige Geschwindigkeit (Änderung der Bewegung) q̇ α ◦ s = v α (s(t)) = ∂t s α . Zur Berechnung der Änderung der Geschwindigkeit (Beschleunigung) benötigt man einen linearen Zusammenhang auf T (M ) → M der Form Λ = dq α ⊗ (∂α + Λβαρ q̇ ρ ∂˙β ) ∂ Λβαρ ∈ C ∞ (M ) , ∂˙β = ∂ q̇ β Der Zusammenhang ist linear da Λβα = Λβαρ q̇ ρ gilt (Λβαρ sind die Christoffelsymbole mit anderer Vorzeichenkonvention). Des weiteren erhält man das kovariante Differential DΛ : ((q̇ β )α − Λβαρ q̇ ρ )dq α ⊗ ∂˙β M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 4 / 10 Punktmechanik II Für die kovariante Ableitung in Richtung der Geschwindigkeit v gilt v ⌋∇Λ (v ) = v α (∂α v β − Λβαρ v ρ )∂β mit V (T (M )) ≈ T (M ) ×M T (M ), das heißt wir identifizieren ∂˙β mit ∂β , da sie sich gleich transformieren. Damit folgt aus ∂t (v β ◦ s) − Λβαρ ◦ s ∂t s α ∂t s ρ ∂β = ∂tt s β − Λβαρ ◦ s ∂t s α ∂t s ρ ∂β (v ⌋∇Λ (v )) ◦ s = das gewünschte Resultat für die vektorielle Darstellung der Beschleunigung. M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 5 / 10 Punktmechanik - Weitere Konzepte Eine Metrik ist eine Abbildung g : T (M ) → T ∗ (M ) der Form g = gαβ dq α ⊗ dq β Für die Christoffelsymbole (Koeffizienten des linearen Zusammenhangs) gilt 2Λκαρ = −ĝ κε (∂α gρε + ∂ρ gεα − ∂ε gαρ ) und ∂ρ gαε = −gκεΛκαρ − gαβ Λβρε Für den Impuls gilt p = m (v ⌋g) , pα = mgαβ v β mit der Masse m. Kovariante Ableitung β v ⌋∇Λ∗ (p) = v α ∂α pβ − Λρ∗ αβ pρ dq ρ ∗ ∗ ∗ mit Λρ∗ αβ = −Λαβ und V (T (M )) ≈ T (M ) ×M T (M ) M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 6 / 10 Konfigurationsbündel Wir betrachten ein Bündel Q → T mit Koordinaten (t, x α ) für Q und die Zeit t für T . Wir betrachten ein triviales Bündel Q = M × T wobei die Koordinaten (x α ) für M sind. Eine Bewegung s(t) ist dann ein Schnitt des Bündels Q → T . Auf dem Bündel Q → T wählen wir einen trivialen Zusammenhang, der Form γ = dt ⊗ ∂t also γ0α = 0, wenn man γ = dt ⊗ (∂t + γ0α ∂α ) betrachtet. Spezielle Koordinatenwechsel der Form x̄ = ϕ(x ) erhalten die Bündelstruktur, sowie das triviale Bündel und den trivialen Zusammenhang. Im allgemeinen dürfte man auch x̄ = ϕ(t, x ) betrachten → mitbewegte (beschleunigte) Koordinatensysteme M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 7 / 10 Geschwindigkeit, Beschleunigung Die Geschwindigkeit kann nun als vertikales Vektorfeld in V (Q ) interpretiert werden. Die Koordinaten für V (Q ) sind nun (t, x α , ẋ α ). Zur Berechnung der Beschleunigung benötigt man einen Zusammenhang auf dem Bündel V (Q ) → Q . Ganz allgemein gilt Γ = dt ⊗ (∂t + Γα0 ∂˙α ) + dx β ⊗ (∂β + Γαβ ∂˙α ) Wir wählen nun Γα0 = 0 und Γαβ = Λαβρ ẋ ρ . Das kovariante Differential folgt nun zu DΓ = (ẋtα − Γα0 )dt ⊗ ∂˙α + (ẋβα − Γαβ )dx β ⊗ ∂˙α und die Kovariante Ableitung des Vektorfelds v = (v α ◦ s)∂α entlang des Vektorfelds vs = ∂t + ∂t s α ∂α ergibt vs ⌋∇Γ (v ◦ s) = (∂t (v α ◦ s) − (Λαβρ v β v ρ ◦ s))∂α mit ∂˙α ≃ ∂α . M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 8 / 10 Newton und Maxwell I Das Gesetz von Newton lautet dann für einen Massenpunkt m m(vs ⌋∇Γ (v ◦ s)) = (ĝ⌋F ) ◦ s mit F = F0 dt + Fα dx α In Koordinaten erhält man m ∂t (v α ◦ s) − (Λαβρ v β v ρ ◦ s) = ĝ ακ Fκ Die Lorentzkraft erhält man indem man den erweiterten Zusammenhang Γe = dt ⊗ (∂t + Γα ∂˙α ) + dx β ⊗ (∂β + Γα ∂˙α ) 0 β betrachtet Γα0 = ĝ ακ F0κ , Γαβ = Λαβρ ẋ ρ + ĝ ακ Fβκ . mit F = F0α dx α ∧ dt + 21 Fαβ dx α ∧ dx β . M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 9 / 10 Newton und Maxwell II Dann gilt DΓe = (ẋtα − ĝ ακ F0κ )dt ⊗ ∂˙α + (ẋβα − Λαβρ ẋ ρ − ĝ ακ Fβκ )dx β ⊗ ∂˙α und somit vs ⌋∇Γe (v ◦ s) = (∂t (v α ◦ s) − (Λαβρ v β v ρ ◦ s) − ĝ ακ (F0κ + Fβκ v β ) ◦ s)∂α beziehungsweise vs ⌋∇Γe (v ◦ s) = vs ⌋∇Γ (v ◦ s) − (ĝ⌋fL ) ◦ s Anmerkungen: Im allgemeinen gilt für die Geschwindigkeit v = ∂t ⌋∇γ (s) mit ∇γ (s) = (∂t s α − γ0α ◦ s)dt ⊗ ∂α Γα0 = 0 bzw. Γα0 = ĝ ακ F0κ gilt für den Fall, dass γ0α = 0 M. Schöberl (regpro - JKU ) 2016 10 / 10