Übung Methodenlehre II, SS 2009 - Ruhr

Übung
Methodenlehre II
SS 2009
Tobias Kley
Organisatorisches
Wiederholung
Fragen
Übung Methodenlehre II, SS 2009
Tobias Kley
Ruhr-Universität Bochum
28. April 2009
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Übung Methodenlehre II
Übung
Methodenlehre II
SS 2009
Tobias Kley
Organisatorisches
Wiederholung
Fragen
I
I
I
I
I
Tobias Kley
NA 3/76 (Mo-Mi),
Raum 302, Leonardo-Campus 3, Münster (Mi-Fr)
Email: [email protected]
www.ruhr-uni-bochum.de/mathematik3/team/kley.html
Übung: Dienstag, 12.15 - 13.00 Uhr, HGA 10
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Übung
Methodenlehre II
SS 2009
Wiederholung: Schätzung
Tobias Kley
I
Gegeben: Stichprobe y1 , . . . , yn
I
I
I
I
I
I
Organisatorisches
Realisationen normalverteilter Zufallsgrößen
die stochastisch unabhängig sind,
Erwartungswert µ und
Varianz σ 2 haben
Wiederholung
Fragen
Gesucht: Funktion, die der Stichprobe einen Wert für die zu
schätzende Kenngröße zuordnet.
Schätzer für Kenngrößen der Population:
n
P
Erwartungswert µ µ̂ = n1
yi
i=1
Varianz σ 2
I
σ̂ 2 =
1
n−1
n
P
(yi − y · )2
i=1
Schätzer für Kenngrößen des Schätzers:
2
Varianz s 2
ŝ 2 = σ̂n
q
2
Standardfehler s ŝ = σ̂n = √σ̂n
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Wiederholung: Konfidenzintervalle
Übung
Methodenlehre II
SS 2009
Tobias Kley
Organisatorisches
Wiederholung
Fragen
I
I
I
Gegeben: Stichprobe y1 , . . . , yn wie eben
Gesucht: Zufälliges Intervall, das den unbekannten
Erwartungswert mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit
enthält.
(1 − α)-Konfidenzintervall für µ
I = µ̂ − tn−1,1−α/2 ŝ, µ̂ + tn−1,1−α/2 ŝ
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Wiederholung: Einstichproben t-Tests
Übung
Methodenlehre II
SS 2009
Tobias Kley
I
I
I
Gegeben: Stichprobe y1 , . . . , yn wie eben, Partitionierung des
Parameterraums in H0 und H1 und Signifikanzniveau 0 < α < 1
Gesucht: Entscheidungsregel δ, die der Stichprobe 0 für µ ∈ H0
bzw. 1 für µ ∈ H1 zuordnet; die Wahrscheinlichkeit dabei die
Nullhypothese H0 irrtümlich abzulehnen wird durch α nach oben
beschränkt
Tests für Nullhypothesen unterschiedlicher
Form:
(
1 Tn > tn−1,1−α
H0 : µ ≤ µ0 δ(y1 , . . . , yn ) =
0 sonst
(
1 Tn < tn−1,α
H0 : µ ≥ µ0 δ(y1 , . . . , yn ) =
0 sonst
(
1 |Tn | > tn−1,1−α/2
H0 : µ = µ0 δ(y1 , . . . , yn ) =
0 sonst
wobei Tn =
µ̂−µ0
ŝ
Organisatorisches
Wiederholung
Fragen
der bekannte Schätzer für µ
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Übung
Methodenlehre II
SS 2009
Experiment aus der Vorlesung
Tobias Kley
Personen
59
53
62
59
65,5
60
68
Organisatorisches
Wiederholung
Reihen
65,5
66,6
68,6
62,3
65,9
66,4
66,2
65
61
72,5
68,5
73
53
56
81
85
90
58
55
59
49
62
48
89
75
76
90
57
60
60
60
56
65
62
75
59
64
58
62
95
50
65
98
50
62,5
64
64
59
62
62
59
62
70
83
66
63
58
53
83
65
60
80
54
82
72
51
68
61
75
77
50
64
60
Fragen
6/9
Übung
Methodenlehre II
SS 2009
Varianz Stichprobe / Mittel
Tobias Kley
Organisatorisches
Wiederholung
Fragen
Personen
Reihen
I
I
59
53
62
59
65,5
60
68
65,5
66,6
68,6
62,3
65,9
66,4
66,2
σ̂ 2 = 16 (26129.25 − 7 · 60.932 ) = 23.869
ŝ 2 = 16 (30439.99 − 7 · 65.922 ) = 3.459
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Übung
Methodenlehre II
SS 2009
tn -Verteilung
Tobias Kley
Organisatorisches
Auf einer Folie ist von einer t4-Verteilung die Rede? Was bedeutet
denn die 4 bzw. was bedeutet generell das n bei einer t-Verteilung?
I
I
I
I
I
Fragen
Wiederholung von Grundbegriffen
I
I
Wiederholung
Zufallsvariable
Wahrscheinlichkeitsmaß
Verteilungsfunktion
Quantilsfunktion
Studentsche t-Verteilung mit n Freiheitsgraden
Sind X0 , X1 , . . . , Xn unabhängige, standardnormalverteilte
Zufallsvariablen, dann ist die Zufallsvariable n √ 2X0 2 tn -verteilt
X1 +...Xn
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Normierung der Teststatistik
Übung
Methodenlehre II
SS 2009
Tobias Kley
Um beim t-Test den Parameter c zu berechnen, nimmt man den
geschätzten Mittelwert -100 durch den Standardfehler. Woher kommt
“-100”? Hängt das mit dem generellen IQ-Mittelwert zusammen? Und
was muss ich da einsetzen, wenn ich den t-Test nicht im Bezug auf
den IQ sondern die Körpergröße usw. durchführe?
I
Organisatorisches
Wiederholung
Fragen
Mit µ0 = 100 lautet die zu überprüfende Hypothese
H0 : µ ≤ µ0 vs. H1 : µ > µ0
I
Teststatistik T und Ablehnungsbereich A legen einen statistischen
Test fest:
(
1 T ∈A
δ(y1 , . . . , yn ) =
0 T ∈
/A
I
Hier: T =
µ̂−µ0
ŝ
und A = [c, ∞) = [tn−1,1−α , ∞)
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