Adµ - Universität Stuttgart

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Universität Stuttgart
Institut für Analysis, Dynamik
und Modellierung
Adµ
Prof. Guido Schneider
Pfaffenwaldring 57
D–70569 Stuttgart
Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 1
Aufgabe 1.1 Bestimmen Sie jeweils die Ableitungen der folgenden Funktionen:
√
a) f (x) = 6x + 7,
e) f (x) =
b) f (x) = x3 + 7x2 ,
f ) f (x) = ex ,
c) f (x) = sin(x),
g) f (x) = ln(x),
d) f (x) =
h) f (x) = x cos(x).
x
1+x ,
x,
Aufgabe 1.2 Bestimmen Sie die folgenden Integrale:
a)
Z
1
x dx,
0
b)
Z
1
4
(x + 1) dx,
c)
−1
Z
π
sin(x) dx,
0
d)
Z
π
x sin(x) dx.
0
Aufgabe 1.3 Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen der folgenden linearen Gleichungssysteme:
a) 2x + 3y = 5, x + y = 4,
b) x + y = 6, 2x + 2y = 12,
c) 3x + y = 6, 6x + 2y = 10,
d) x + y + z = 5, 2x + 4y = 10, 4y + z = 11.
Bitte wenden!
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Aufgabe 1.4 a) Schreiben Sie die folgenden Dezimalbrüche jeweils als vollständig gekürzten Bruch, d.h. in der Form pq , wobei p, q teilerfremde natürliche Zahlen sind:
5.25,
0.3,
0.27
b) Schreiben Sie die folgenden Brüche als Dezimalbrüche:
13702
,
100
7
,
20
20
.
111
Aufgabe 1.5 Ein Wasserbehälter kann über zwei Zuflüsse gefüllt werden. Wird nur der eine
der Zuflüsse verwendet, so dauert es 45 Minuten, bis das Becken gefüllt ist. Wird nur
der andere Zufluss verwendet, so dauert es 30 Minuten. Wie lange dauert es, bis das
Becken gefüllt ist, wenn beide Zuflüsse gleichzeitig verwendet werden?
Alle Aufgaben auf Blatt 1 sind Votieraufgaben, die in den Übungen am
Donnerstag, den 27.10.2016, bzw. Freitag, den 28.10.2016,
in den Gruppenübungen besprochen werden.
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Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 2
Aufgabe 2.1 (schriftlich, 4 Punkte)
√
√
a) Es sei z = 2 − 2i. Geben Sie sowohl z als auch z 6 in der Polardarstellung reiϕ
mit r ∈ [0, ∞) und ϕ ∈ [0, 2π) an.
Geben Sie weiterhin z 6 in der Form a + ib mit a, b ∈ R an. Dabei sind alle auftauchenden Sinus- und Kosinusterme soweit wie möglich zu vereinfachen.
b) Es seien u und v komplexe Zahlen. Beweisen Sie die Ungleichung
|u − v| ≥ |u| − |v|.
Aufgabe 2.2 Geben Sie für die nachstehenden Objekte (M, ◦) jeweils an, ob es sich dabei
um eine Gruppe bzw. sogar eine kommutative Gruppe handelt. Begründen Sie Ihre
Entscheidung.
a) M = {. . . , −4, −2, 0, 2, 4, . . . }, ◦ = übliche Addition.
b) M wie in a), ◦ = übliche Multiplikation.
c) M = Menge der bijektiven Abbildungen von R nach R, ◦ = Hintereinanderausführung.
Aufgabe 2.3 Geben Sie für die nachstehenden Objekte (M, ◦, ∗) jeweils an, ob es sich dabei
um einen Ring bzw. einen Körper handelt. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
a) M = {q ∈ Q | q > 0}, ◦ = übliche Addition, ∗ = übliche Multiplikation.
b) M wie in a), ◦ = übliche Multiplikation, ∗ = übliche Addition.
c) M = {a, b}, die beiden Verknüpfungen seien definiert durch
a ◦ a = a, a ◦ b = b, b ◦ a = b, b ◦ b = a,
a ∗ a = a, a ∗ b = a, b ∗ a = a, b ∗ b = b.
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Aufgabe 2.4 a) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + bi mit
reellen Zahlen a und b.
1 − i 2
3 − 2i
, (2 − i) · (2 + i)
, 4+i
1 + i
b) Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der Gauß’schen Zahlenebene:
M1 = {z ∈ C | Re z ≥ 1 − 2 · Im z},
M2 = {z ∈ C | |z − 1 − i| ≤ 2},
M3 = {z ∈ C | z = iz},
M4 = {z ∈ C | |z − 1| = |z − i|}.
Aufgabe 2.5 a) Es sei z0 ∈ C und z0 = a + bi mit a, b ∈ R. Bestimmen Sie alle u, v ∈ R,
so dass gilt
(u + vi)2 = z0 .
b) Benutzen Sie a), um alle Lösungen z ∈ C der Gleichung
z 2 + (1 + i)z + 2 + 2i = 0
zu bestimmen.
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 3.11.2016, bzw. Freitag, den 4.11.2016.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.
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Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 3
Aufgabe 3.1 (schriftlich, 4 Punkte)
a) Finden Sie alle komplexen Nullstellen des Polynoms p mit
p(x) = x4 + 2x3 + 6x2 + 8x + 8.
Hinweis: Es gilt p(2i) = 0.
b) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen yh = yh (x) der Differentialgleichung
y ′′ − 4y ′ + 13y = 0.
c) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen y = y(x) der Differentialgleichung
y ′′ − 4y ′ + 13y = 5.
Aufgabe 3.2 Zeigen Sie mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Algebra: Jedes reelle Polynom
p vom Grad n ≥ 1 lässt sich entweder als Produkt von Linearfaktoren schreiben oder
in der Form
p(x) = a · (x − x1 )ν1 · · · (x − xk )νk · q1 (x)µ1 · · · qj (x)µj
(1)
mit a, x1 , . . . , xk ∈ R, qi (x) = x2 + bi x + ci , bi , ci ∈ R, i = 1, . . . , j, ν1 + · · · + νk + 2(µ1 +
µj ) = n, wobei die quadratischen Polynome qi (x) keine reellen Nullstellen besitzen.
Aufgabe 3.3 Schreiben Sie p(x) = x4 + 1 in der Form wie in Aufgabe 3.2, (1).
Aufgabe 3.4 Es sei ξ ∈ C eine n-te Einheitswurzel, d.h. ξ 6= 1 und ξ n = 1. Zeigen Sie:
1 + ξ + ξ 2 + · · · + ξ n−1 = 0.
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Aufgabe 3.5 Geben Sie die komplexen Lagrangepolynome zu den Stützstellen z1 = 1, z2 = i
und z3 = −i an.
Bestimmen Sie damit alle Koeffizienten desjenigen Polynoms p von kleinstmöglichem
Grad, für das gilt
p(1) = 3 − 2i, p(i) = 2, p(−i) = 2.
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 10.11.2016, bzw. Freitag, den 11.11.2016.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.
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Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 4
Aufgabe 4.1 (schriftlich, 4 Punkte) Beweisen Sie die nachstehenden Aussagen durch
vollständige Induktion.
a) Für alle n ∈ N gilt
n
X
k=1
n
1
=
.
k(k + 1)
n+1
b) Für alle n ∈ N mit n ≥ 2 gilt
n−1
1 1
1 2
1 3
1
nn
.
1+
· 1+
· 1+
··· 1 +
=
1
2
3
n−1
n!
Aufgabe 4.2 Im Folgenden seien m, n ∈ N0 mit m ≤ n. Zeigen Sie folgende Aussagen über
Binomialkoeffizienten:
n
n
n+1
+
=
a)
m−1
m
m
n
n
n−1
b) Für 1 ≤ m ≤ n ist
=
·
.
m
m
m−1
n
Anmerkung: Wir setzen dabei m
:= 0, falls m > n oder m < 0.
Aufgabe 4.3 Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
Die Zahl 7n − 1 ist ohne Rest durch 6 teilbar, d.h. es gibt k ∈ N0 , so dass 7n − 1 = 6k.
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Aufgabe 4.4 Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass sich jede natürliche Zahl n ∈ N
als Produkt von Primzahlen schreiben lässt, d.h. es gibt Primzahlen pj und natürliche
Zahlen k ∈ N und rj ∈ N0 , so dass
n = pr11 · pr22 · · · prkk .
Aufgabe 4.5 Die Keksdose wurde restlos leergefuttert! Oma stellt ihre drei Enkel Arno,
Berno und Cherno zur Rede.
• Arno sagt: Mindestens einer von uns dreien hat von den Keksen genascht. Wenn
”
Berno und Cherno beide genascht haben, dann war ich auch dabei. Wenn ich und
Berno genascht haben, dann war auch Cherno dabei.“
• Berno sagt: Wenn Cherno genascht hat und Arno nicht, dann habe ich Kekse
”
genommen. Wenn ich keine Kekse genommen habe, dann heißt das, dass Cherno
genascht hat, wenn Arno genascht hat.“
• Cherno sagt: Mindestens einer von uns hat keine Kekse gegessen. Wenn Berno
”
Kekse gegessen hat, dann haben Arno oder ich Kekse gegessen.“
Wenigstens sind die drei Lausbuben ehrlich, d.h. sie sagen immer die Wahrheit.
a) Drücken Sie jeden Satz der drei Jungs mit Hilfe der Aussagen A, B, C sowie der
Operatoren ¬, ⇒, ∨, ∧ aus, wobei die Aussagen definiert sind als
A : Arno hat genascht“,
”
B : Berno hat genascht“,
”
C : Cherno hat genascht“.
”
b) Finden Sie den oder die Übeltäter.
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 17.11.2016, bzw. Freitag, den 18.11.2016.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.
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Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 5
Aufgabe 5.1 (schriftlich, 4 Punkte) Betrachten Sie folgende Mengen M und die jeweils
angegebene Relation ∼ auf M und entscheiden Sie, ob es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt. Geben Sie, falls möglich, die Äquivalenzklassen an.
def
a) M = R, a ∼ b ⇐⇒ |a| = |b|
def
b) M = R, a ∼ b ⇐⇒ |a − b| < 1
c) Sei p ∈ Z fest gewählt. M = Z,
def
a ∼ b ⇐⇒ Es existiert ein n ∈ Z, sodass a − b = n · p.
Aufgabe 5.2 In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass sich die ganzen Zahlen Z mittels
Äquivalenzklassenbildung in N0 × N0 einführen lassen, wobei N0 = N ∪ {0}. Auf N0 × N0
wird die Relation ∼ definiert durch
def
(m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) ⇐⇒ m1 + n2 = m2 + n1 .
a) Weisen Sie nach, dass es sich bei ∼ um eine Äquivalenzrelation auf N0 ×N0 handelt.
Geben Sie für jede Äquivalenzklasse einen Repräsentanten an.
b) Wir definieren die Addition +Z auf (N0 × N0 ) /∼ durch
def
[(m1 , n1 )]∼ +Z [(m2 , n2 )]∼ = [(m1 + m2 , n1 + n2 )]∼ .
Zeigen Sie, dass die Definition unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist.
c) Zeigen Sie, dass (N0 × N0 ) /∼ mit der Addition +Z eine kommutative Gruppe bildet.
d) Überprüfen Sie, dass die Abbildung ϕ : (N0 × N0 ) /∼ → Z, die gegeben ist durch
def
ϕ([m, n]∼ ) = m − n,
wohldefiniert (d.h. unabhängig von der Wahl des Repräsentanten) und bijektiv ist
und dass außerdem gilt
ϕ(a +Z b) = ϕ(a) + ϕ(b)
für alle a, b ∈ (N0 × N0 ) /∼ .
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Aufgabe 5.3
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a) Seien q ∈ R und n ∈ N0 . Beweisen Sie die geometrische Summenformel
n
X
qk =
k=0
(
n+1
:
q=1
1−q n+1
1−q
:
q 6= 1.
b) Zeigen Sie unter Verwendung der geometrischen Summenformel, dass für beliebige
a, b ∈ R und n ∈ N
n
n
b − a = (b − a) ·
n−1
X
ak bn−1−k .
k=0
c) Beweisen Sie unter Verwendung der geometrischen Summenformel, dass für alle
natürlichen Zahlen m und n gilt:
Die Zahl mn − 1 ist ohne Rest durch m − 1 teilbar, das heißt, es gibt ein k ∈ N0 ,
so dass mn − 1 = (m − 1)k.
Bemerkung: Hierbei handelt es sich um eine Verallgemeinerung von Aufgabe 4.3.
Aufgabe 5.4 Seien M, N, X Mengen und M, N ⊂ X. Zeigen Sie:
a) (M ⊂ N ) ⇔ (N c ⊂ M c )
c) M \ (M ∩ N ) = M \N
b) M \N = (M c ∪ N )c
d) (M ∪ N )c = M c ∩ N c
Aufgabe 5.5 Seien a, b, c, d, x ∈ R. Zeigen Sie unter alleiniger Benutzung der Körperaxiome:
a) 0 · x = x · 0 = 0 ,
b) ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 ,
c) (−1) · x = −x ,
d) (−a)(b − c) = −ab + ac ,
a c
a d
ad
e)
: = · =
,
b d
b c
bc
ad ± bc
a c
.
f) ± =
b d
bd
Geben Sie bei jedem Argumentationsschritt die verwendeten Axiome an.
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 24.11.2016, bzw. Freitag, den 25.11.2016.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.
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Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 6
Aufgabe 6.1 (schriftlich, 4 Punkte) Eine Funktion f : D → R, wobei D ⊂ R ist, heißt
streng monoton wachsend, falls für alle x, y ∈ D mit x < y gilt, dass f (x) < f (y),
streng monoton fallend, falls für alle x, y ∈ D mit x < y gilt, dass f (x) > f (y),
streng monoton, falls f entweder streng monoton wachsend oder fallend ist.
a) Zeigen Sie, dass jede streng monotone Funktion f : D → R injektiv ist.
b) Zeigen Sie die Injektivität von f : [0, ∞) → R, x 7→
x
1+x
(i) direkt mittels der Definition von Injektivität.
(ii) unter Verwendung von (a).
(Hinweis: Ableitungsregeln aus der Schule dürfen verwendet werden.)
c) Schränken Sie den Wertebereich von f derart ein, dass Sie eine bijektive Funktion
erhalten. Bestimmen Sie deren Umkehrfunktion.
d) Untersuchen Sie, ob folgende Mengen ein Supremum, Infimum, Maximum oder
Minimum besitzen und bestimmen Sie es gegebenenfalls. Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
M1 = {1 −
Aufgabe 6.2
1
n
| n ∈ N}
M2 = {M ∈ R | M ist obere Schranke für M1 }
a) Seien u, v ∈ R mit u < v und
f : [0, 1] → [u, v] ⊂ R,
x 7→ xu + (1 − x)v.
Untersuchen Sie f auf Injektivität und Surjektivität.
b) Gegeben seien die Mengen M1 = {2, 4, 7} und M2 = {2, 4, 8, 9}. Geben Sie jeweils,
sofern es möglich ist, eine injektive, eine nicht injektive, eine surjektive und eine
nicht surjektive Abbildung von M1 nach M2 bzw. von M2 nach M1 an. Existieren
auch bijektive Abbildungen?
c) Zeigen Sie, dass g : R → R, x 7→
x−1
1+x2
weder injektiv noch surjektiv ist.
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Aufgabe 6.3 Es seien M und N Mengen und f : M → N eine Funktion. Zeigen Sie:
a) f ist injektiv
⇔ ∃g : N → M mit g ◦ f = idM .
b) f ist surjektiv ⇔ ∃h : N → M mit f ◦ h = idN .
Hierbei ist idM bzw. idN die Identität auf M bzw. N , d.h. es gilt ∀x ∈ M : idM (x) = x
bzw. ∀x ∈ N : idN (x) = x.
Aufgabe 6.4 Untersuchen Sie, ob folgende Mengen ein Supremum, Infimum, Maximum oder
Minimum besitzen und bestimmen Sie es gegebenenfalls.
a) M1 = [0, 5)
b) M2 = (0, 6] ∪ (8, 13)
n
c) M3 = { 1+n
2 | n ∈ N}
d) M4 = {x ∈ Q | x2 ≤ 5}
2
e) M5 = {xe−x | x ∈ [0, ∞)}
Aufgabe 6.5 Zeigen Sie
a) sinh x ≥ x für x ≥ 0.
b) arctan x + arctan x1 =
π
2
für x > 0.
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 1.12.2016, bzw. Freitag, den 2.12.2016.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.
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Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 7
Aufgabe 7.1 (schriftlich, 4 Punkte)
a) Untersuchen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
√
2n − n
n2 + n + 1
(ii) lim √
(i) lim 3
n→∞ ( n + 1)2
n→∞ n + 4n2 + 5
3n3 − 4n + (−1)n
n+2 2
n
√
(iii) lim
+
(iv) lim
n→∞ (2n + n)3 − 4
n→∞ n − 2
n−4
q
√
√
n
n
(v) lim
n+ n− n
(vi) lim
+ (−1)
n→∞
n→∞ n2 + 4
b) Seien (an )n∈N , (bn )n∈N , (cn )n∈N Folgen reeller Zahlen. Beweisen Sie: Gibt es ein
n0 ∈ N, so dass für n ≥ n0 die Ungleichung |cn | ≤ an · bn gilt, und ist (an )n∈N eine
beschränkte Folge und (bn )n∈N eine Nullfolge, dann ist (cn )n∈N eine Nullfolge.
Aufgabe 7.2 ...
a) Untersuchen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
1 4n2 − 3n + 5 3n5 + 8n2 − 1 n − 1
(i) lim
+
+
n→∞ n
7n + 4
−6n4 − 3
n+9
√
2
i(n − 1)
n+ n
√ +√
(ii) lim (−1)n
3
n→∞
n(n2 + 1)
5 − 7n − n
!
r
√
n( n4 + 1 − n2 )
1
4
(iii) lim √
(iv) lim n 1 − 1 −
n→∞
n→∞
n
n2 + n − n
√
√
(ii) lim n n = 1.
b) Zeigen Sie:
(i) ∀a > 0 : lim n a = 1,
n→∞
n→∞
Verwenden Sie dabei die Bernoulli-Ungleichung:
(1 + x)n ≥ 1 + nx
für x ≥ −1 und n ∈ N0 .
(Die Bernoulli-Ungleichung muss nicht bewiesen werden.)
√
c) Bestimmen Sie mithilfe von Teilaufgabe (b) lim n 2n + 3n .
n→∞
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Aufgabe 7.3 ...
a) Zeigen Sie, dass für alle x ∈ R
(i) sin(ix) = i sinh(x),
(ii) cos(ix) = cosh(x),
(iii) tan(ix) = i tanh(x).
b) Seien
f : R → R, x 7→ sinh(x)
und
g : [0, ∞) → R, x 7→ cosh(x).
Bestimmen Sie die Wertebereiche von f und g und berechnen Sie die Umkehrfunktionen f −1 und g −1 als Funktionen des natürlichen Logarithmus.
(Bemerkung: Die Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus Hyperbolicus heißen
Areasinus und Areakosinus Hyperbolicus, kurz arsinh und arcosh.)
Aufgabe 7.4 Die Folgen (xn )n∈N0 , (yn )n∈N0 und (zn )n∈N0 seien wie folgt rekursiv definiert:
a) x0 = 1, xn+1 = xn + n
b) y0 = 1, yn+1 =
c) z0 = 3, zn+1 =
n2 +2n+1
n2 +4n+4
zn + 21n
yn
Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls deren
Grenzwerte.
Aufgabe 7.5 ...
a) Für q ∈ C sei xn = q n und
ym :=
1
m (x1
+ . . . + xm )
(arithmetisches Mittel).
Geben Sie alle q ∈ C an, für die (xn )n∈N konvergiert, beziehungsweise alle q ∈ C,
für die (ym )m∈N konvergiert.
(Hinweis: Berechnen Sie ym explizit.)
b) Sei nun (xn )n∈N eine beliebige Folge in C mit limn→∞ xn = x∗ und (ym )m∈N wie
in (a) definiert. Zeigen Sie limm→∞ ym = x∗ .
(Hinweis: Benutzen Sie die Beschränktheit von (xn )n∈N und
1
1
ym − x ∗ = m
(x1 − x∗ ) + . . . + (xn0 − x∗ ) + m
(xn0 +1 − x∗ ) + . . . + (xm − x∗ )
für geeignetes n0 < m.)
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 8.12.2016, bzw. Freitag, den 9.12.2016.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.
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Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 8
Aufgabe 8.1 (schriftlich, 4 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass der Grenzwert einer konvergenten Folge (an )n∈N eindeutig bestimmt ist, d.h. dass aus limn→∞ an = a und limn→∞ an = a′ bereits a = a′ folgt.
b) Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen und sei a ∈ R. Zeigen Sie, dass die Folge
(an )n∈N gegen a konvergiert, wenn die Folgen (a2n )n∈N und (a2n+1 )n∈N gegen a
konvergieren.
Aufgabe 8.2 (schriftlich, 4 Punkte) Welche der folgenden Aussagen über Folgen reeller
Zahlen sind wahr, welche falsch? Geben Sie jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel
an.
(i) Aus limn→∞ an = a und limn→∞ bn = b folgt limn→∞ max{an , bn } = max{a, b}.
(ii) Ist (|an |)n∈N konvergent, so auch (an )n∈N .
(iii) Ist (an )n∈N konvergent und (an bn )n∈N eine Nullfolge, so ist (bn )n∈N beschränkt.
(iv) Ist (an )n∈N konvergent, so besitzt die Menge {an | n ∈ N} ein Maximum oder ein
Minimum (oder beides).
Aufgabe 8.3 Sei a > 0. Betrachten Sie die Folge (xn )n∈N , die gegeben ist durch x1 = 1 und
1
a
xn+1 =
xn +
2
xn
für n ≥ 1.
a) Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert.
(Hinweis: Untersuchen Sie die Folge auf Monotonie.)
b) Bestimmen Sie den Grenzwert x = limn→∞ xn . Argumentieren Sie dazu, dass dieser
gegeben ist durch eine Lösung der Gleichung
a
1
x+
.
x=
2
x
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Aufgabe 8.4 Einer Folge (nk )k∈N natürlicher Zahlen, d.h. nk ∈ N (insbesondere nk ≥ 1) für
alle k ∈ N, ordne man die Folge (ak )k∈N mit
n1 n1 +n2
n1 +...+nk
1
1
1
ak :=
+
+ ... +
2
2
2
zu. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
a) Die Folge (ak )k∈N konvergiert gegen eine reelle Zahl im Intervall (0, 1].
b) Seien (nk )k∈N und (n′k )k∈N zwei verschiedene Folgen natürlicher Zahlen. Zeigen
Sie, dass die zugeordneten Folgen (ak )k∈N und (a′k )k∈N nicht gegen den gleichen
Grenzwert konvergieren.
Aufgabe 8.5 Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden auf R definierten Funktionen und
geben Sie ggf. an, wo sie nicht existiert. Sie dürfen dabei die Differenzierbarkeit von
Polynomen, sowie Sinus und Kosinus als gegeben voraussetzen und die Formeln für die
Ableitung dieser Funktionen ohne Beweis verwenden.
a) f1 (x) = |x|
b) f2 (x) = x · |x|
c)
f3 (x) =
d) f4 (x) =
(
x3 +2x2 −x−2
x−1
6 sin(1)
· sin(x) x ∈ R \ {1}
x=1
sin(x)·cos(x)
1+x2
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 15.12.2016, bzw. Freitag, den 16.12.2016.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.
R
Adµ
Universität Stuttgart
Institut für Analysis, Dynamik
und Modellierung
Prof. Guido Schneider
Pfaffenwaldring 57
D–70569 Stuttgart
Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 9
Aufgabe 9.1 (schriftlich, 6 Punkte)
a) Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f : R → R,
√
x
sin(2x) + ln( 1 + x4 ).
f (x) = 1+x
2 + (cos x)e
b) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 4-ten Grades zum Entwicklungspunkt x0 = 0
der Funktion g : x 7→ sin(2x2 + 4x4 ).
c) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
5+e−x
x4
x→∞
2
sin(x5 )
tan(3x)
x→0
(ii)
(i) lim
lim
(iii)
lim
x→0
ex +e−x −2
1−cos x
.
d) Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
(i) Sei f : R → R eine Funktion, welche die Abschätzung |f (x) − f (y)| ≤ |x − y|2
für alle x, y ∈ R erfüllt. Dann ist f differenzierbar, f ′ (x) = 0 für alle x ∈ R und f
ist konstant.
(ii) Sei g : R → R eine C n -Funktion und h : R → R eine C n−1 -Funktion. Dann ist
g ◦ h : R → R eine C n -Funktion.
Aufgabe 9.2 ...
a) Bestimmen Sie lim |x|−n e−x
x→0
−2
für beliebiges n ∈ N.
b) Für welche reellen Zahlen α, β ist die folgende Funktion f : R → R stetig?
(
−2
x−4 e αx
für x 6= 0
f (x) =
β
für x = 0
Aufgabe 9.3 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
2
1− x2 −cos x
,
x→0 x arctan x
(i) lim
(iv)
lim (sin
x→+∞
√
2
(ii)
x + 1 − sin
√
e−x
1 ,
)
ln(1+
x→+∞
x
lim
x − 1).
(iii)
lim
x→0
2
x
−
1
sin( 21 x)
,
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Aufgabe 9.4 ...
a) Bestimmen Sie jeweils die Ableitung der folgenden Funktionen:
q
2
2
2
i) f1 : R → R , f1 (x) = 5 1+x
2 + 3 cos x + ln(1 + x )
2 ii) f2 : R\ {0} → R , f2 (x) = sin cos x 6x−7
iii) f3 : (−2, +∞) → R , f3 (x) =
(2−x) ex
2+x
+
(2−cos x) ecos x
2+cos x
√
iv) f4 : (1, +∞) → R , f4 (x) = ln (ln x + ln(2 8 x))
v) f5 : I → R , f5 (x) = ln (tan( x2 )). Hierbei sei I das größtmögliche Intervall
mit 1 ∈ I, auf dem f5 differenzierbar ist. Geben Sie I an.
b) Gegeben seien für k ∈ {1, 2, 3, 4} die Funktionen gk : R → R mit
g1 (x) =
(
sin( x1 )
0
: x 6= 0
: x=0
und
gk (x) = xk−1 g1 (x).
Für welche k ist gk bei x = 0 differenzierbar und für welche stetig differenzierbar?
Aufgabe 9.5 ... Sei f : [0, ∞) → R stetig, f (0) = 0, f differenzierbar auf (0, ∞) und f ′
monoton wachsend. Zeigen Sie, dass dann die Funktion
g : (0, ∞) → R,
g(x) =
f (x)
x
ebenfalls monoton wachsend ist.
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 12.01.2017, bzw. Freitag, den 13.01.2017.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.
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Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 10
Aufgabe 10.1 (schriftlich, 6 Punkte)
a) Entscheiden Sie, ob die folgenden Abbildungen eine Norm in R3 sind. Beweisen Sie
jeweils Ihre Entscheidung.
(i) N1 : R3 → R, (x1 , x2 , x3 ) 7→ x1 +x2 +x3 ,
3
(ii) N2 : R3 → R,
(iii) N3 : R3 → R,
(x1 , x2 , x3 ) 7→ x21 + x22 + x23 ,
p
(x1 , x2 , x3 ) 7→ x21 + 2x22 + 5x23 .
b) Sei Y eine Menge und d : Y × Y → R≥0 eine Metrik. Zeigen Sie:
d˜ : Y × Y → R≥0 ,
def
d˜ =
d
1+d
ist ebenfalls eine Metrik.
c) Seien Mn = {x ∈ R | n − n1 < x < n + n1 }, n ∈ N. Zeigen Sie, dass M =
bezüglich der euklidischen Metrik offen in R ist.
S
n∈N Mn
d) Gegeben sind die Mengen
A = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | (x1 − 1)2 + (x2 − 3)2 < 4},
B = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x1 ∈ (1, 3) ∧ x2 = 0}.
Sind diese Mengen offen in R2 ? Sind sie abgeschlossen in R2 ? Beweisen Sie jeweils
Ihre Behauptung. Geben Sie für A und B jeweils das Innere, den Abschluss und
den Rand an. Argumentieren Sie auch hier bezüglich der euklidischen Metrik.
Aufgabe 10.2 Zeigen Sie:
Jede konvergente Folge in einem normierten Vektorraum ist beschränkt.
R
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Aufgabe 10.3 ...
√
a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2-ten Grades der Funktion h : x 7→ x 3 1 + 2x
zum Entwicklungspunkt x0 = 0. Mit welcher Genauigkeit wird h durch T2 (x; 0) im
Intervall |x| ≤ 81 approximiert?
b) Bestimmen Sie Zahlen a, b und c, so dass
| ln(2 + 3x) − a − bx | ≤ cx2
für alle x ∈ [− 31 , 13 ].
c) Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(i) sin(x2 ) = O(x2 ), sin(x2 ) = x2 + o(x4 ),
√
(ii) 5 + 4x2 = 2x + O(1/x) für x → +∞.
jeweils für x → 0,
Hinweis: (Landau-Symbole)
(x) Man schreibt f ∈ o(g) bzw. f = o(g) für x → a, falls lim fg(x)
= 0,
x→a (x) und f ∈ O(g) bzw. f = O(g) für x → a, falls lim sup fg(x)
< ∞.
x→a
Aufgabe 10.4 ...
a) Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen von R2 :
A = {x ∈ R2 | kxk2 ≤ 1},
B = {x ∈ R2 | kxk∞ ≤ 1},
C = {x ∈ R2 | kxk1 ≤ 1} .
b) Bestimmen Sie alle Punkte auf der Ebene E = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x3 = 5}, die
vom Punkt P = (0, 0, 2) bezüglich der Maximumsnorm den Abstand 3 haben.
c) Kann man auf jeder Menge eine Metrik definieren? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 10.5 ...
a) Sei A eine Teilmenge eines metrischen Raumes. Zeigen Sie:
A ist abgeschlossen ⇐⇒ A = Ā.
b) Seien B = {x ∈ R | x ∈ [0, 1] ∨ x ≥ 3}, C = {1 + n1 | n ∈ N} und D = {−2}. Ist
B ∪ C ∪ D abgeschlossen in R? Beweisen Sie Ihre Behauptung.
c) Geben Sie für jedes n ∈ N eine Menge Mn an, so dass alle Mn in R abgeschlossen
sind, die Vereinigung aller Mn aber nicht. Bestimmen Sie den Abschluss und den
Rand dieser Vereinigung.
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 19.01.2017, bzw. Freitag, den 20.01.2017.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.
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Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 11
Aufgabe 11.1 (schriftlich, 6 Punkte) Sei (an )n∈N eine Folge komplexer Zahlen. Man
nennt die Folge der Partialsummen (sn )n∈N mit
sn :=
n
X
ak ,
k=1
eine Reihe.
a) Zeigen Sie: Ist die Folge (sn )n∈N konvergent, so gilt limn→∞ an = 0.
b) Wir weisen nach, dass die Umkehrung von a) nicht gilt. Sei an := 1/n. Zeigen Sie,
dass
n
X
1
m
≥1−
k
n
k=m+1
und argumentieren Sie dann, dass (sn )n∈N keine Cauchy-Folge und somit nicht
konvergent ist.
c) Wir setzen
s′n
:=
n
X
|ak |
und
s′′n
Zeigen Sie: Ist die Folge
|ak |2 .
k=1
k=1
(s′n )n∈N
:=
n
X
konvergent, so konvergiert auch (s′′n )n∈N
Aufgabe 11.2 Sei (an )n∈N eine konvergente Folge reeller Zahlen mit limn→∞ an = a. Wir
setzen
αn := inf{ak | k ≥ n}
und
βn := sup{ak | k ≥ n}.
Man zeige, dass die Folgen (αn )n∈N und (βn )n∈N monoton wachsend bzw. monoton
fallend gegen a konvergieren.
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Aufgabe 11.3 Für eine Teilmenge A ⊆ C definieren wir die Abstandsfunktion dA : C → R
durch
dA (z) := inf{|z − a| | a ∈ A}.
a) Sei A ⊆ C abgeschlossen und sei (an )n∈N eine konvergente Folge komplexer Zahlen
mit an ∈ A für alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass
lim an ∈ A.
n→∞
b) Sei A ⊆ C abgeschlossen. Zeigen Sie, dass es zu jedem z ∈ C ein a ∈ A gibt, so
dass dA (z) = |z − a|.
c) Zeigen Sie: A ⊆ C ist genau dann abgeschlossen, wenn
A = {z ∈ C | dA (z) = 0}
gilt.
Aufgabe 11.4 Sei ℓ∞ (R) der Vektorraum der beschränkten Folgen reeller Zahlen, d.h.
∞
ℓ (R) := (an )n∈N an ∈ R für alle n ∈ N und sup |an | < ∞ ,
n∈N
wobei die Addition und die Multiplikation mit einem Skalar gegeben sind durch
(an + bn )n∈N = (an )n∈N + (bn )n∈N
und
α · (an )n∈N = (α · an )n∈N .
Zeigen Sie, dass
k(an )n∈N k∞ := sup |an |
n∈N
ℓ∞ (R)
eine Norm auf
definiert. Mit dieser Norm ist ℓ∞ (R) ein normierter Vektorraum.
Finden Sie eine beschränkte Folge in ℓ∞ (R), genauer eine Folge (bn )n∈N mit bn ∈ ℓ∞ (R)
und
kbn k∞ ≤ 1 für alle n ∈ N,
die keine konvergente Teilfolge besitzt.
Bemerkung: Das zeigt, dass der Satz von Bolzano-Weierstraß in ℓ∞ (R) nicht gilt. Das
liegt daran, dass dieser Vektorraum nicht endlich-dimensional ist.
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 26.01.2017, bzw. Freitag, den 27.01.2017.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.
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Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 12
Aufgabe 12.1 (schriftlich, 4 Punkte)
∞
X
n α
konvergent beziehungsweise
n2 + 2
n=1
absolut konvergent? Begründen Sie Ihre Antwort.
∞
P
ak auf Konvergenz. Begründen Sie Ihre Antb) Untersuchen Sie jeweils die Reihe
a) Für welche α ∈ R ist die Reihe
(−1)n
k=0
wort.

(−1) k2 √ 1
k+1
(i) ak = √
√ 4
 k+1− k
: k gerade
: k ungerade
(ii) ak =


1
k2 +1
2
k2
2
5k+1
: k ungerade
: k gerade
Aufgabe 12.2 ...
a) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. Begründen Sie Ihre Antwort.
n2
∞
∞ 4
∞ X
X
X
(n + 1)n−1
n
n
n!
(iii)
(i)
(ii)
+
3n nn
n+1
(−n)n
n=1
n=1
n=1
b) Zeigen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert:
∞
X
k=0
(−1)k
p
1
2) .
arctan(k
sin
(2k + 1)3k
Ihren Wert bezeichnen wir mit s, die n-te Partialsumme mit sn . Geben Sie ein N
an, so dass |sN − s| < 12 10−6 gilt.
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Aufgabe 12.3 Seien (ak )k∈N und (bk )k∈N reelle Folgen. Beweisen oder widerlegen Sie:
(i)
(ii)
(iii)
∞
P
k=0
∞
P
k=0
∞
P
k=0
|ak |2 konvergiert
ak konvergiert
|ak |2 und
∞
P
k=0
⇒
⇒
∞
P
k=0
∞
P
k=0
|ak | konvergiert
|ak |2 konvergiert
|bk |2 konvergieren
⇒
∞
P
ak bk konvergiert absolut
k=0
Aufgabe 12.4 Bestimmen Sie die Werte der folgenden konvergenten Reihen.
(i)
∞
X
1
5j
j=3
(ii)
∞
X
32i+3
i=1
(iii)
92i+1
Hinweis zu (iii): Bestimmen Sie A, B ∈ R, so dass
∞
X
k=0
1
4k2 −1
=
A
2k−1
+
1
−1
4k 2
B
2k+1 .
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 02.02.2017, bzw. Freitag, den 03.02.2017.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.
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Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 13
Aufgabe 13.1 Wir betrachten C als metrischen Raum mit der euklidischen Metrik.
a) Zeigen oder widerlegen Sie: Eine endliche Menge A ⊆ C ist abgeschlossen.
b) Zeigen oder widerlegen Sie: Eine abzählbare Menge A ⊆ C ist abgeschlossen.
Aufgabe 13.2 Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen. Hierbei sei
z ∈ C.
a)
∞
P
(k 4 − 4k 3 )z k
b)
k=0
∞
P
(4 + (−1)k )−3k z 5k
c)
k=0
∞
P
n=0
n
n
1 nz
)
(3+ n
Aufgabe 13.3
a) Sei (an )n∈N eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit limn→∞ an 6= 0. Zeigen
P
n
Sie, dass die Potenzreihe ∞
n=1 an z den Konvergenzradius 1 hat.
P
k
b) Zeigen Sie, dass die Potenzreihe a(z) = ∞
k=0 (1 + k)z den Konvergenzradius 1
hat und dass für z ∈ C mit |z| < 1
a(z) = (1 − z)−2
gilt.
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Aufgabe 13.4 Für welche x ∈ R konvergieren folgende Potenzreihen?
a)
∞
P
b)
k=1
∞
P
(x + 2)k 1 +
3k +(−2)k
(x
k
1 k
k
+ 1)k
k=1
Alle Aufgaben auf Blatt 13 sind Votieraufgaben, die am
Donnerstag, den 09.02.2017, bzw. Freitag, den 10.02.2017
in den Gruppenübungen besprochen werden.