Mathematik für Informatiker III

Institut für Mathematik
der Universität Würzburg
Wintersemester 2014/15
06.01.2015
Prof. Dr. Manfred von Golitschek
Gero Schnücke
Mathematik für Informatiker III
— Übungsblatt 6 —
Aufgabe 6.1 (3 Punkte) Zeigen Sie, dass durch
(
ω (x) :=
xe−x , x ≥ 0
0,
x<0
eine Wahrscheinlichkeitsdichte definiert ist und bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion, den
Erwartungswert sowie die Varianz der Dichte.
Aufgabe 6.2 (4 Punkte) Für eine Zufallsgröße liegen die Messreihen {g1 , ..., gn } und {h1 , ..., hm } vor. Es seien
n
sn :=
und
1X
gj ,
n j=1
m
sm :=
n
qn :=
1 X
2
(gj − sn )
n − 1 j=1
1 X
hj ,
m j=1
m
qm :=
1 X
2
(hj − sm ) .
m − 1 j=1
Zeigen Sie, dass für vereinigte Messreihe die folgende Gleichungen erfüllt sind
sn+m =
m
n
sn +
sn
n+m
n+m
und
2
qn+m =
2
(n − 1) qn + (m − 1) qm + n (sn − sn+m ) + m (sm − sn+m )
.
n+m−1
Aufgabe 6.3 (3 + 3 Punkte) Ein Süßigkeiten Hersteller verkauft Bonbons in einer 200g Tüte. Der Hersteller
gibt an, dass der Inhalt der Tüten normalverteilt ist mit den Parametern µ = 202 und σ = 0, 5.
(i) Um zu prüfen, ob die Tüten ausreichend befüllt sind, werden 4 Tüten einer Lieferung gewogen und
der Mittelwert s4 der Stichprobe bestimmt. Für welchen Wert von s4 gilt
P [s4 = x] = 0, 02.
(ii) In einem weiteren Test wird eine Stichprobe von n Tüten gewogen. Bei diesem Test tritt der Mittelwert
sn =201,5g auf.
Geben Sie das kleinste n ∈ N an, so dass gilt
P [sn − µ ≤ −0, 5] ≤ 0, 05.
Hinweis: Verwenden Sie die Näherung Φ (2, 06) ≈ 0, 98.
Aufgabe 6.4 (3 Punkte) Durch eine Umfrage zufällig ausgewählter Wahlberechtigter soll das Wahlergebnis einer bestimmten Partei prognostiziert werden. Es kann davon ausgegangen werden, dass die Wahlberechtigten unabhängig voneinander antworten.
Wie viele Wahlberechtigte müssen befragt werden , damit die Prognose mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 90% um höchstens 1% vom erwarteten Wert abweicht.
Hinweis: Verwenden Sie Korollar 8.2 aus dem Skriptum und die Näherung Φ (1, 65) ≈ 0, 95.
Abgabe ihrer Bearbeitungen: Bis Donnerstag, den 15.01.2015, 10:00 Uhr in dem Briefkasten vor der
Teilbibliothek-Physik, Astronomie und Informatik.
Es können bis zu drei Personen gemeinsam abgeben. Auf ihrer Bearbeitung muss oben rechts ihre
Übungsgruppen-Nummer (I-II), in der die korrigierte Übung zurückgegeben werden soll, stehen.
Die Klausur Mathematik für Informatiker III (diskrete Mathematik und Stochastik für Informatiker)
wird am 06.02.2015 um 10:00 Uhr im HS 2 im Naturwissenschaftlichen Hörsaalbau stattfinden.
Übungsblätter und Informationen zur Veranstaltung finden Sie unter
https://wuecampus2.uni-wuerzburg.de/moodle/enrol/index.php?id=10370 und
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~goli/
Klausuraufgaben aus vergangenen Semestern
Aufgabe 1 Aus einem gut gemischten Kartenspiel, bestehend aus 32 Karten (darunter 4 Asse), werden an Spieler A und Spieler B jeweils 10
Karten verteilt.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A genau 2 Asse erhält?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl Spieler A als auch Spieler B genau 2 Asse erhalten?
Wie ist für die Ereignisse X und Y mit P (Y ) > 0 die bedingte Wahrscheinlichkeit P (X | Y ) definiert?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler B genau zwei Asse erhält unter der Annahme, dass Spieler A zwei Asse
erhalten hat?
Hinweis: Sie müssen in Ihrer Lösung eventuell auftretende Binomialkoeffizienten nicht weiter ausrechnen.
Aufgabe 2 Seien α, C ∈ R und β ∈ ]0, ∞[. Die Verteilungsfunktion F : ]−∞, ∞[ → R der Zufallsvariable X habe die Dichte
− x−α
ω (x) = C
e β
2 .
− x−α
β 1+e β
(i) Berechnen Sie die Konstante C und geben Sie die Funktion F in geschlossener Form an.
(ii) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X.
Aufgabe 3 Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit Erwartungswert µ = 3 und Standardabweichung σ = 0, 04. Berechnen Sie die
Zahl α > 0, so dass die folgende Gleichung erfüllt ist
P [|X − µ| ≤ α] = 0, 9.
Hinweis: Verwenden Sie die Näherungen Φ (−2) ≈ 0, 023, Φ (−1) ≈ 0, 16 und Φ (−1, 645) ≈ 0, 05.
Aufgabe 4 Der Verkäufer einer Lieferung von Schokolade behauptet, das Gewicht seiner Schokoladentafeln sei normalverteilt mit Erwartungswert µ = 100g und Standardabweichung σ = 2, 5g.
(i) Ein Kunde entnimmt der Ladung eine Stichprobe von n = 25 Tafeln und bestimmt den Mittelwert S25 seiner Stichprobe. Für
welche Werte von S25 akzeptiert er die Ladung auf einem Signifikanzniveau von α = 0, 02?
(ii) Ein anderer Kunde entnimmt der Ladung eine Stichprobe von n Schokoladentafeln und bekommt als Mittelwert Sn = 98g.
Geben Sie explizit das kleinste n ∈ N an, für das
P [Sn ≤ 97] ≤ 0, 02
gilt.
Hinweis: Verwenden Sie die Näherungen Φ (−2) ≈ 0, 023, Φ (−1, 96) ≈ 0, 025 und Φ (−1, 645) ≈ 0, 05.