Musterlösung 6 - homeweb2.unifr.ch

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UNIVERSITÄT FREIBURG
Naturwissenschaftliche Fakultät
Department Mathematik
Frühlingssemester 2016
Propädeutische Statistik – Lösungen Übungsblatt 6
Aufgabe 1. Indépendance et incompatibilité
a) Soient A et B deux événements tels que P (A) =
2
3
und P (B) = 14 . On calcule P (A ∪ B) si...
i) ...A et B sont incompatibles, i.e. A ∩ B = ∅. Alors :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (∅) =
2
3
+
1
4
+0=
11
12 .
ii) ... A et B sont indépendants, i.e. P (A ∩ B) = P (A)P (B). Alors :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A)P (B) = 34 .
iii) 1) Premier exemple : considérons la naissance d’un enfant. Soit A l’événement ”le premier enfant
est une fille” et B l’événement ”le premier enfant est un garçon”. Ces deux événements sont
incompatibles.
Deuxième exemple : considérons le jet d’un dé. Soit A l’événement ”obtenir un 3” et B l’événement
”obtenir un 6”. Ces deux événements sont incompatibles.
2) Premier exemple : considérons la naissance de deux enfants. Soit A l’événement ”le premier enfant
est une fille” et B l’événement ”le deuxième enfant est un garçon”. Ces deux événements sont
indépendants.
Deuxième exemple : considérons le jet de deux dés. Soit A l’événement ”obtenir un 3 avec le
premier dé” et B l’événement ”obtenir un 6 avec le deuxième dé”. Ces deux événements sont
indépendants.
b) A et B sont indépendants si P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = P (A)P (B).
i) P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 0.2 + 0.9 − 0.91 = 0.19 6= 0.18 = P (A)P (B),
donc A et B ne sont pas indépendants.
ii) P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 0.4 + 0.6 − 0.75 = 0.25 6= 0.4 · 0.6 = P (A)P (B),
donc A et B ne sont pas indépendants.
iii) P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 0.5 + 0.3 − 0.65 = 0.15 = 0.5 · 0.3 = P (A)P (B),
donc A et B sont indépendants.
Aufgabe 2. Binomialverteilung
Man hat eine Familie mit 5 Kindern. Sei X die Zufallsvariable, welche der Familie die Anzahl Mädchen
zuordnet. Wir bemerken, dass X einer Binomialverteilung Bin(n, p) mit Parametern n = 5 und p = 12 folgt,
d.h.
5
5
1
P (X = k) =
·
.
k
2
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Kinder Mädchen sind, ist gegeben durch
P (X = 3) =
5
5
1
5
·
=
= 0.3125.
3
2
16
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass es in der Familie mindestens ein Mädchen und einen Jungen gibt, ist gleich
der Wahrscheinlichkeit, dass es in der Familie ein bis vier Mädchen gibt. Also erhält man als gesuchte
Wahrscheinlichkeit
4
4 5
X
X
5
1
15
P (X = k) =
·
=
= 0.9375.
k
2
16
k=1
k=1
c) Der Erwartungswert einer Binomialverteilung Bin(5, 21 ) ist gegeben durch
E(X) =
n
X
k · P (X = k) = n · p.
k=0
Also beträgt der Erwartungswert
E(X) = n · p = 5 ·
1
= 2.5.
2
Aufgabe 3. Loi géométrique
Un gardien essaie d’ouvrir une porte en prenant au hasard une des dix clés de son trousseau. Si ce n’est pas
la bonne, il secoue le trousseau et en choisit au hasard une autre. Soit X la variable aléatoire comptant le
nombre d’essais jusqu’à l’apparition de la bonne clé.
a) La probabilité de trouver dès le premier essai la bonne clé est de
1
.
10
P (X = 1) =
La probabilité de trouver au deuxième essai la bonne clé est de
P (X = 2) =
9 1
.
10 10
La probabilité de trouver au k-ième essai la bonne clé est de
P (X = k) =
9
10
k−1
1
.
10
b) La probabilité d’essayer plus de huit clés est donnée par
P (X ≥ 9)
1 − P (X ≤ 8) = 1 −
=
8
X
P (X = k)
k=1
k−1
k
8 7 X
9
1
1 X 9
1−
=1−
.
10
10
10
10
=
k=1
On utilise le fait que
Pn
i=0
zi =
n+1
1−z
1−z
k=0
et on obtient
8
9
1 1 − 10
8
1−
·
9 =
10 1 − 10
9
10
8
= 0.43.
c) L’espérance de X est donnée par
E(X)
=
=
∞
X
k=0
∞
X
k=0
=
On a ici utilisé l’identité
P∞
k=0
kP (X = k)
k
9
10
k−1
1
1
9 2 = 10.
10 (1 − 10
)
krk−1 =
1
(1−r)2
∞
1
1 X
=
k
10
10
pour |r| < 1.
k=0
9
10
k−1
Aufgabe 4. Poissonverteilung
Sei p = 0.001 die Wahrscheinlichkeit, dass eine mit einem Serum geimpfte Person die Impfung nicht verträgt.
Sei n = 2000 die Anzahl geimpfter Personen. Sei X die Zufallsvariable, welche die Anzahl der Personen
beschreibt, welche die Impfung nicht vertragen.
a) Wie in der Aufgabe 2 folgt die Variable X einer Binomialverteilung mit Parametern n = 2000 und
p = 0.001 :
2000
P (X = k) =
0.001k (0.999)2000−k .
k
b) Wenn X einer Binomialverteilung Bin(n, p) folgt, wobei n sehr gross und p sehr klein sind (es muss np > 0
gelten), darf man X mit einer Poissonverteilung Poi(λ) = Poi(np) approximieren. Da hier np = 2, darf
man X mit einer Poissonverteilung Poi(2) approximieren.
Es gilt dann :
20
= 0.1353
P (X = 0) = e−2
0!
P (X = 1) = e−2
21
= 0.2707
1!
P (X = 2) = e−2
22
= 0.2707
2!
P (X = 3) = e−2
23
= 0.1804
3!
P (X = 4) = e−2
24
= 0.0902
4!
P (X = 5) = e−2
25
= 0.0361.
5!
Die Resultate entsprechen sehr gut denen aus der gegebenen Tabelle.
c) Die beiden Histogramme sind sehr ähnlich. Die Approximation der Binomialverteilung mit der Poissonverteilung scheint sehr gut zu sein.
(a) Binomialverteilung.
(b) Poissonverteilung.
Figure 1 – Beide Histogramme.
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