Aufgabe 1. (5 Punkte) Zeigen Sie mittles vollständiger Induktion

Aufgabe 1.
(5 Punkte)
Zeigen Sie mittles vollständiger Induktion, dass für jede natürliche Zahl n ≥ 1 gilt:
n
∑ (2k − 1) = n2 .
k=1
Aufgabe 2.
(7 Punkte)
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
x
x
+ 2z =
0
ay + z = a − 3
+ az =
6
(i) (5 Punkte) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x, y, z ∈ R in Abhängigkeit
des Parameters a ∈ R.
(ii) (2 Punkte) Für welche Werte des Parameters a ∈ R hat das Gleichungssystem keine Lösung/eine
Lösung/unendlich viele Lösungen?
Aufgabe 3.
(12 Punkte)
Zur Herleitung einer Formel für einen verbesserten Body-Mass-Index wurde das Gewicht (in kg) und die
Körpergröße (in cm) von sechs männlichen Profisportlern festgestellt.
Gewicht Yi
Körpergröße Xi
65
170
85
188
70
181
73
183
92
192
81
188
Tabelle 1: Datensatz Gewicht und Körpergröße
(a) (5 Punkte) Zeichnen Sie einen Boxplot, der die Körpergröße der Männer darstellt. Gehen Sie dafür
wie folgt vor:
(i) Berechnen Sie die benötigten Quantile.
(ii) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Körpergrößen.
(iii) Geben Sie die minimale und maximale Ausprägung an.
(iv) Fassen Sie die Daten in einem Boxplot zusammen.
(b) (7 Punkte) Berechnen Sie die Regressionsgerade, mittels der das Gewicht der Sportler in Abhängigkeit
von ihrer Körpergröße beschrieben wird. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor:
(i) Geben Sie die Formel für die Regressionsgerade an.
(ii) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Gewichte.
(iii) Berechnen Sie die Varianz der Körpergröße.
(iv) Berechnen Sie die Kovarianz zwischen der Körpergröße und dem Gewicht.
(v) Geben Sie nun die Regressionsgerade in der Form y(x) = m · x + b an mit m, b ∈ R.
(vi) Welches Gewicht lässt sich demnach bei einem Profisportler vermuten, der eine Körpergröße
von 185 cm hat.
Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.
Weitere Rechnungen zu Aufgabe Nr. 3:
Aufgabe 4.
(6 Punkte)
Gegeben sei die Anfangswertaufgabe
y0 (x) = y(x) · (2 + 4x3 ),
y(0) = −1.
(i) (5 Punkte) Bestimmen Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe mit Hilfe der ’Trennung der Variablen’.
(ii) (1 Punkte) Machen Sie die Probe. D.h. überprüfen Sie, ob Ihre Lösungsfunktion y(x) aus (i) richtig
ist, indem Sie diese in die gegebene Differentialgleichung einsetzen.
—— T E I L II ——
Aufgabe 5.
(10 Punkte)
Dickdarmkrebs tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.3 % auf. Anstatt diesen Krebs direkt nachzuweisen,
wird meist ein Hämokkult-Test angewandt. Bei Personen mit Dickdarmkrebs ist dieser in 50 % der Fälle
positiv. Allerdings ist er bei nicht an Dickdarmkrebs erkrankten Patienten ebenfalls in 3% der Fälle positiv.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für Dickdarmkrebs bei einem positivem Test?
Berechnen Sie hierfür zunächst die Wahrscheinlichkeiten, dass
(i) eine zufällig ausgewählte Person Dickdarmkrebs hat,
(ii) eine zufällig ausgewählte Person keinen Dickdarmkrebs hat,
(iii) der Test positiv ist unter der Voraussetzung, dass die Person Dickdarmkrebs hat,
(iv) der Test positiv ist unter der Voraussetzung, dass die Person keinen Dickdarmkrebs hat.
(v) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ist, mithilfe der Wahrscheinlichkeit der Test
”
ist positiv unter der Voraussetzung, dass die Person Dickdarmkrebs hat“ und der Wahrscheinlichkeit
der Test ist positiv unter der Voraussetzung, dass die Person keinen Dickdarmkrebs hat“ an.
”
Wie lässt sich nun die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Dickdarmkrebs bei einem positiven Test hat,
darstellen?
Runden Sie Ihre Zwischenergebnisse und das Ergebnis auf drei Stellen hinter dem Komma.
Aufgabe 6.
(6 Punkte)
Eine Bakterienpopulation wird zum Zeitpunkt t = 1 mit einem Gift kontaminiert. Die stetige Zufallsvariable
X beschreibe den Zeitpunkt, zu dem ein Organismus nach der Kontaminierung stirbt, wobei die zugehörige
Dichtefunktion gegeben sei durch
(
2
t ≥ 1,
3,
f (t) = t
0, t < 1.
(i) (2 Punkte) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Organismus zum Zeitpunkt t = 4 noch
lebt.
(ii) (2 Punkte) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Überlebenszeit des Organismus nach der
Kontaminierung 1 bis 4 Zeiteinheiten beträgt.
(iii) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X.
Aufgabe 7.
(6 Punkte)
Bei einem Versuch wird die Reaktionszeit von 80 zufällig ausgewählten Personen auf ein bestimmtes visuelles Signal gemessen. Die hierbei ermittelte durchschnittliche Reaktionszeit der Testpersonen lag bei 0.8
Sekunden. Geben Sie unter der Annahme, dass die die Reaktionszeit beschreibende Zufallsvariable normalverteilt mit einer Varianz von 0.04 ist, ein 95%-iges konkretes Konfidenzintervall für den Erwartungswert
der Zufallsvariablen an.
Beschreiben Sie in Worten, was sich bei der Berechnung des Konfidenzintervalles ändern würde, wenn die
Varianz nicht bekannt wäre?
Aufgabe 8.
(8 Punkte)
Im Rahmen einer Studie wird das Vorkommen eines Stoffes im Boden untersucht. Bei 10 unabhängigen
Messungen wurden folgende Mengen des Stoffes (in mg) pro Kubikzentimeter festgestellt:
10, 32, 15, 11, 6, 9, 1, 7, 9, 15.
Testen Sie zum Niveau α = 10% die Behauptung, dass die im Boden vorhandene Menge des Stoffes im Mittel 10 mg beträgt. Nehmen Sie dafür an, dass die Menge des im Boden vorhandenen Stoffes normalverteilt
ist. Gehen Sie dafür wie folgt vor:
(i) (2 Punkte) Geben Sie die Nullhypothese und die Alternativhypothese an.
(ii) (2 Punkte) Geben Sie an, unter welchen Bedingungen die Nullhypothese angenommen wird.
(iii) (2 Punkte) Bestimmen Sie die in (ii) benötigten Größen.
(iv) (2 Punkte) Geben Sie an, ob die Nullhypothese angenommen oder verworfen wird.
Runden Sie Ihre Ergebnisse auf drei Stellen hinter dem Komma.
/PSNBMWFSUFJMVOHTUBCFMMF
&SMaVUFrVOHFO[VS/PSNBMWFSUFJMVOHTUBCFMMF
%JFGFUUHFESVDLUFO8FSUFTJOEEJF"VTQS`HVOHFOxEFSTUBOEBSEOPSNBMWFSUFJMUFO;VGBMMTWBSJBCMFOX EJFWJFSTUFMMJHeO
;JGGFSOJOEFS5BCFMMFTFMCTUTUFMMFOEJF[VxHFIaSJHFO7FSUFJMVOHTXFSUFEBSXPCFJXFHHFMBTTFOXVSEF
&TJTUCFJTQJFMTXFJTF1X`
x
Die Quantile tn,γ der t-Verteilung
Freiheitsgrade
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
∞
0,9
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,315
1,314
1,313
1,311
1,310
1,303
1,299
1,296
1,294
1,292
1,291
1,290
1,282
0,95
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
1,684
1,676
1,671
1,667
1,664
1,662
1,660
1,645
Ablesebeispiel: t28;0,995 = 2, 763
0,975
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,056
2,052
2,048
2,045
2,042
2,021
2,009
2,000
1,994
1,990
1,987
1,984
1,960
0,99
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,423
2,403
2,390
2,381
2,374
2,368
2,364
2,326
0,995
63,656
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
2,704
2,678
2,660
2,648
2,639
2,632
2,626
2,576
0,9995
636,578
31,600
12,924
8,610
6,869
5,959
5,408
5,041
4,781
4,587
4,437
4,318
4,221
4,140
4,073
4,015
3,965
3,922
3,883
3,850
3,819
3,792
3,768
3,745
3,725
3,707
3,689
3,674
3,660
3,646
3,551
3,496
3,460
3,435
3,416
3,402
3,390
3,290
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