Die Fermatsche Vermutung

Die Fermatsche Vermutung
Ulrich Görtz
http://www.math.uni-bonn.de/people/ugoertz/
3. Juli 2008
Die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, . . .
Die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, . . .
n-te Potenzen: x 2 = x · x, x 3 = x · x · x, . . . ,
x n = x| · x ·{z· · · · x}
n Faktoren
Die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, . . .
n-te Potenzen: x 2 = x · x, x 3 = x · x · x, . . . ,
x n = x| · x ·{z· · · · x}
n Faktoren
Zum Beispiel: 54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625.
Die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, . . .
n-te Potenzen: x 2 = x · x, x 3 = x · x · x, . . . ,
x n = x| · x ·{z· · · · x}
n Faktoren
Zum Beispiel: 54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625.
Die allermeisten Zahlen sind nicht die n-te Potenz einer anderen
Zahl!
Die Fermatsche Vermutung
Vermutung
Sei n > 2 eine natürliche Zahl. Dann gibt es keine natürlichen
Zahlen x, y , z mit
x n + y n = z n.
Die Fermatsche Vermutung
Vermutung
Sei n > 2 eine natürliche Zahl. Dann gibt es keine natürlichen
Zahlen x, y , z mit
x n + y n = z n.
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos
quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra
quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.
Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis
exiguitas non caperet.
Pierre de Fermat
Geboren Ende
1607/Anfang 1608 in
Beaumont-de-Lomagne,
Frankreich
Gestorben 12. Januar
1665 in Castres
Französischer
Mathematiker und Jurist.
Der Fall n = 2
Es ist leicht, Beispiele von Zahlen x, y , z zu finden, für die
x2 + y2 = z2
gilt, sogenannte Pythagoräische Zahlentripel:
Der Fall n = 2
Es ist leicht, Beispiele von Zahlen x, y , z zu finden, für die
x2 + y2 = z2
gilt, sogenannte Pythagoräische Zahlentripel:
32 + 42 = 52 ,
Der Fall n = 2
Es ist leicht, Beispiele von Zahlen x, y , z zu finden, für die
x2 + y2 = z2
gilt, sogenannte Pythagoräische Zahlentripel:
32 + 42 = 52 ,
52 + 122 = 132 ,
Der Fall n = 2
Es ist leicht, Beispiele von Zahlen x, y , z zu finden, für die
x2 + y2 = z2
gilt, sogenannte Pythagoräische Zahlentripel:
32 + 42 = 52 ,
52 + 122 = 132 ,
332 + 562 = 652 .
Der Fall n = 2
Es ist leicht, Beispiele von Zahlen x, y , z zu finden, für die
x2 + y2 = z2
gilt, sogenannte Pythagoräische Zahlentripel:
32 + 42 = 52 ,
52 + 122 = 132 ,
332 + 562 = 652 .
Sind u, v natürliche Zahlen, u > v , so ist
(u 2 − v 2 )2 + (2uv )2 = u 4 − 2u 2 v 2 + v 4 + 4u 2 v 2 = (u 2 + v 2 )2 ,
also ist (u 2 − v 2 , 2uv , u 2 + v 2 ) ein Pythagoräisches Zahlentripel,
und im wesentlichen haben alle genau diese Form.
Der Fall n = 4.
Theorem
Seien x, y ≥ 1 natürliche Zahlen. Dann ist x 4 + y 4 keine
Quadratzahl (und erst recht keine 4-te Potenz).
Der Fall n = 4.
Theorem
Seien x, y ≥ 1 natürliche Zahlen. Dann ist x 4 + y 4 keine
Quadratzahl (und erst recht keine 4-te Potenz).
Beweis. Angenommen x, y ≥ 1 sind teilerfremd, x ungerade, und
x 4 + y 4 ist eine Quadratzahl.
Der Fall n = 4.
Theorem
Seien x, y ≥ 1 natürliche Zahlen. Dann ist x 4 + y 4 keine
Quadratzahl (und erst recht keine 4-te Potenz).
Beweis. Angenommen x, y ≥ 1 sind teilerfremd, x ungerade, und
x 4 + y 4 ist eine Quadratzahl.Dann ist auch x14 + y14 mit
vv
uu
!
r uu
ut 1
1 p 4
x + y4 + x2 + x
x1 = t
2
2
vv
uu
!
r uu
ut 1
1 p 4
y1 = t
x + y4 + x2 − x
2
2
eine Quadratzahl, und x14 + y14 < x 4 + y 4 .
Der Fall n = 4.
Theorem
Seien x, y ≥ 1 natürliche Zahlen. Dann ist x 4 + y 4 keine
Quadratzahl (und erst recht keine 4-te Potenz).
Beweis. Angenommen x, y ≥ 1 sind teilerfremd, x ungerade, und
x 4 + y 4 ist eine Quadratzahl.Dann ist auch x14 + y14 mit
x1 =
y1 =
eine Quadratzahl, und x14 + y14 < x 4 + y 4 .
Der Beweis von Wiles
Andrew Wiles
Geboren 11. April 1953 in
Cambridge
Studium in Oxford (Abschluss als
Bachelor 1974), Cambridge
(Promotion 1980, Reciprocity laws
and the conjecture of Birch and
Swinnerton-Dyer).
Aufenthalte in Harvard, Bonn, etc.
Seit 1982: Professor an der
Princeton University
Punkte zählen auf elliptischen Kurven, I
Betrachte Gleichung der Form
y 2 = x(x + A)(x + B),
für ganze Zahlen A 6= B und A, B 6= 0,
Punkte zählen auf elliptischen Kurven, I
Betrachte Gleichung der Form
y 2 = x(x + A)(x + B),
für ganze Zahlen A 6= B und A, B 6= 0, zum Beispiel
y 2 = x(x − 1)(x + 3).
Können nach Lösungen dieser Gleichung fragen.
Im Beispiel: x = 3, y = 6, beide Seiten ergeben 36.
Punkte zählen auf elliptischen Kurven, II
Variante: Fixiere eine Primzahl p, und verlange nur, dass die
Gleichung “modulo p” aufgeht: beide Seiten sollen bei Division
durch p den gleichen Rest liefern.
Punkte zählen auf elliptischen Kurven, II
Variante: Fixiere eine Primzahl p, und verlange nur, dass die
Gleichung “modulo p” aufgeht: beide Seiten sollen bei Division
durch p den gleichen Rest liefern.
Beispiel
Sei p = 5,
y 2 = x(x − 1)(x + 3)
Erhalte für x = 3, y = 4
y 2 = 16,
x(x − 1)(x + 3) = 36,
Punkte zählen auf elliptischen Kurven, II
Variante: Fixiere eine Primzahl p, und verlange nur, dass die
Gleichung “modulo p” aufgeht: beide Seiten sollen bei Division
durch p den gleichen Rest liefern.
Beispiel
Sei p = 5,
y 2 = x(x − 1)(x + 3)
Erhalte für x = 3, y = 4
y 2 = 16,
also eine Lösung modulo 5.
x(x − 1)(x + 3) = 36,
Punkte zählen auf elliptischen Kurven, II
Variante: Fixiere eine Primzahl p, und verlange nur, dass die
Gleichung “modulo p” aufgeht: beide Seiten sollen bei Division
durch p den gleichen Rest liefern.
Beispiel
Sei p = 5,
y 2 = x(x − 1)(x + 3)
Erhalte für x = 3, y = 4
y 2 = 16,
x(x − 1)(x + 3) = 36,
also eine Lösung modulo 5.
Man kann zählen, wie viele Lösungen es “modulo p” gibt.
Die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung
Für jede Primzahl p bezeichnen wir mit N(p) die Anzahl der
Lösungen unserer Gleichung modulo p.
Die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung macht eine präzise
Aussage über eine erstaunliche Regelmäßigkeit der Zahlen
N(2), N(3), N(5), N(7), N(11), . . . , N(p), . . .
Die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung
Für jede Primzahl p bezeichnen wir mit N(p) die Anzahl der
Lösungen unserer Gleichung modulo p.
Die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung macht eine präzise
Aussage über eine erstaunliche Regelmäßigkeit der Zahlen
N(2), N(3), N(5), N(7), N(11), . . . , N(p), . . .
Die Idee von Frey/Der Satz von Ribet: Sei q eine Primzahl.
Wäre aq + b q = c q , so würde die Gleichung
y 2 = x · (x − aq ) · (x + b q )
die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung nicht erfüllen.
Eine Seite aus der Arbeit von Wiles
MODULAR ELLIPTIC CURVES AND FERMAT’S LAST THEOREM
473
∧
where M = Hom(M, Qp /Zp ). Now using local duality and global Euler characteristics (cf. [Mi2, Cor. 2.3 and Th. 5.1]) we easily obtain the formula in the
proposition. We repeat that in the above proposition X can be arbitrary of
p-power order.
1
. Let D = (·, Σ, O, M)
We wish to apply the proposition to investigate HD
be a standard deformation theory as in Section 1 and define a corresponding
group Ln = LD,n by setting
 1
n
for q = p and q ∈ M

 H (Qq , Vλ )
1
(Qq , Vλn ) for q = p and q ∈ M
Ln,q = HD
q

 1
H. (Qp , Vλn ) for q = p.
1
(QΣ /Q, Vλn ) = HL1 n (QΣ /Q, Vλn ) and we also define
Then HD
1
∗
1
∗
HD
∗ (QΣ /Q, Vλn ) = HL∗ (QΣ /Q, Vλn ).
n
We will adopt the convention implicit in the above that if we consider Σ ⊃ Σ
1
(QΣ /Q, Vλn ) places no local restriction on the cohomology classes at
then HD
1
∗
primes q ∈ Σ − Σ. Thus in HD
∗ (QΣ /Q, Vλn ) we will require (by duality) that
the cohomology class be locally trivial at q ∈ Σ − Σ.
We need now some estimates for the local cohomology groups. First we
consider an arbitrary finite Gal(QΣ /Q)-module X:
Proposition 1.7. If q ∈ Σ, and X is an arbitrary finite Gal(QΣ /Q)module of p-power order,