Raytracing von Hornhauttopographiedaten zur
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Raytracing von Hornhauttopographiedaten zur Ermittlung der optischen Abbildungsqualität des Auges Zusammenfassung Abstract Hintergrund: Optische Aberrationen im Übertragungskanal beeinträchtigen die Abbildungsqualität des Auges in einer Weise, wie sie durch sphärozylindrische Gläser nicht vollständig ausgeglichen werden können. Die zu erwartende korrigierte Sehschärfe ist somit reduziert. Ziel dieser Studie war, die optische Abbildung einer punktförmigen Lichtquelle sowie eines ausgedehnten Objektes unter Verwendung computertopographischer Messdaten mit exaktem Raytracing abzuleiten. Methoden: Aus den Rohhöhendaten des Hornhauttopographiesystems (TMS-1, Tomey, Erlangen bzw. Orbscan, Orbtec Inc, USA) wurde mittels interpolierendem Subdivisionsschema (modifiziertes Butterfly-Schema) eine konvexe einfach differenzierbare (C1) refraktive Grenzfläche (Hornhautvorderfläche bzw. Vorder- und Rückfläche) berechnet. Die Charakteristika der verbleibenden Grenzflächen wurden dem Augenmodell nach Navarro entnommen. Aus der Berechnung der Punktstreuung (sog. ¹point-spread functionª) mittels exaktem Raytracing (Anwendung des Snellius-Gesetzes) wurde die Fokusebene individuell durch eine Minimierung der Varianz ermittelt. Die Beugung an der Apertur wurde in Form einer Transmissionscharakteristik (radialsymmetrische BesselFunktion) an der Eintrittspupille des Systems realisiert. Das Schema wurde in der Programmiersprache C unter LINUX entwickelt und auf einen Normalbefund (Beispiel 1, TMS-1), einen Befund bei Keratokonus im fortgeschrittenem Stadium (Beispiel 2, TMS-1) und einen Befund mit Hornhautnarben (Beispiel 3, Orb- Background: Optical aberrations in the optical system may downgrade image quality and cannot be fully compensated by spherocylindrical glasses. The subjectively evaluated visual acuity may be significantly reduced. The purpose of this study was to calculate the image forming properties of the eye using a spotlight source or alternatively extended objects. Methods: A convex and first derivative continuous (C1) surface from the rough height data of the anterior corneal surface (TMS-1, Tomey, Erlangen) or the anterior and posterior corneal surface (Orbscan, Orbtec, USA) was calculated by means of an interpolating subdivision scheme (modified Butterfly algorithm). The characteristics of the residual refractive surfaces were used according to Navarro's eye model. The focal distance was calculated from the exact raytracing calculation (Snellius' law) of the point-spread function by minimising the variance of the point-spread function. The diffraction property of the aperture stop was implemented with a transmission characteristic according to a radially symmetrical Bessel function within the entrance pupil. The algorithm was realised with a C code on the LINUX platform and applied to a normal eye (example 1, TMS-1), an eye with severe keratoconus (example 2, TMS-1) and an eye with corneal scars (example 3, Orbscan). Results: The focal distance in example 1 (22.5 mm, 22.6 mm, and 22.8 mm) increased with the pupil diameter (2 mm, 3 mm, and 5 mm). The variance of the approximately radially symmetrical point-spread function in the focal plane attai- Institutsangaben Augenklinik mit Poliklinik der Universität Erlangen-Nürnberg, Erlangen (Vorstand: Prof. Dr. med. Dr. h. c. mult. G. O. H. Naumann) 2 Mathematisches Institut der Justus-Liebig-Universität Gieûen 3 Lehrstuhl für Fertigungstechnologie der Universität Erlangen-Nürnberg, Erlangen (Vorstand: Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. M. Geiger) 1 Hinweis Die Autoren haben kein finanzielles Interesse an der vorgelegten Studie Korrespondenzadresse Priv.-Doz. Dr. Achim Langenbucher, Dipl.-Ing. ´ Augenklinik mit Poliklinik der Universität Erlangen-Nürnberg ´ Schwabachanlage 6 ´ 91054 Erlangen ´ E-mail: [email protected] Eingegangen: 13. November 2002 ´ Angenommen: 7. Februar 2003 Bibliografie Klin Monatsbl Augenheilkd 2003; 220: 235 ± 246 Georg Thieme Verlag Stuttgart ´ New York ´ ISSN 0023-2165 Klinische Studie Assessment of the Optical Image Quality of the Eye Using Raytracing Technique of Corneal Topography Data 235 Heruntergeladen von: Thieme E-Books & E-Journals. Urheberrechtlich geschützt. Achim Langenbucher1 Tomas Sauer2 Gerhard J. van der Heyd3 Anja Viestenz1 Berthold Seitz1 ned a minimum value with a pupil size of 3 mm (0.164, 0.104, and 0.230). In example 2, the focal distance changed inconclusively (21.1 mm, 21.0 mm, and 21.3 mm) with the pupil size (2 mm, 3 mm, and 5 mm). The variance of the markedly asymmetrical point-spread function in the focal plane was systematically higher compared to the values of example 1 and reached a minimum value with a pupil size of 3 mm (0.255, 0.224, and 0.371). The imaging of the sinus-modulated pattern is anisotropic due to the asymmetry of the point-spread function. In example 3, the focal distance (22.3 mm, 22.3 mm, and 22.5 mm) did not change systematically with the pupil size (2 mm, 3 mm, and 5 mm). The variance of the nearly radially symmetrical point-spread function changed only marginally between pupil sizes of 2 mm and 3 mm (0.231, 0.239, and 0.338). Conclusions: Raytracing of corneal topography height data based on refined eye models with the option of auto-focussing has the potential to trace the optical resolution of the eye for arbitrary objects. Further studies on contrast sensitivity and the conversion of the real image to a perceived image by the retina and brain are required for complete modeling of subjective visual acuity. Schlüsselwörter Exaktes Raytracing ´ Hornhauttopographie ´ Wellenfrontanalyse ´ Augenmodelle Key words Exact raytracing ´ corneal topography ´ wave front analysis ´ eye model Hintergrund Ordnung wieder. Diese vereinfachten Ansätze können um Aberrationen niedriger Ordnung erweitert werden, um die klinisch evaluierten Charakteristika des Abbildungsverhaltens möglichst wirklichkeitsgetreu nachzubilden. Die Komplexität der Berechnungen expandiert durch diese Verfeinerungen immens, so dass erst mit der Einführung von leistungsfähigen Rechnersystemen ein praktischer Nutzen daraus gezogen werden konnte [12]. Das visuelle System des Menschen wird durch zwei separate Komponenten geprägt, die sich überlagern: Die optische Übertragung eines Objektes durch die optischen Grenzflächen und die Apertur Pupille sowie die Konvertierung des real auf der Netzhaut abgebildeten Objektes in einen Reiz zum Gehirn [5]. Die optische Funktion des Auges kann demnach als die Abbildungsgüte des isolierten optischen Abbildungsapparates, bestehend aus der Vorder- und Rückfläche der Hornhaut, der (zirkulären) Pupille in der Ebene des vorderen Linsenapex sowie der Vorder- und Rückfläche der Linse, betrachtet werden. Dieser Übertragungsweg kann losgelöst von der weiteren Verarbeitung in der Sehbahn und im Gehirn angesehen werden [9]. Über die Verarbeitung des an der Netzhaut anliegenden Bildes sind Basisuntersuchungen bekannt, die anhand konfokaler Projektionen eines Bildes auf die Netzhaut und einer Auswertung des Sehvermögens dieser Bilder gewonnen wurden [5]. Eine Anzahl verschiedener Augenmodelle wurde entwickelt, um die Funktion des Auges nachzubilden und so die optische Funktion abzuschätzen [13 ± 15,19, 21, 32, 35]. Augenmodelle stellen vereinfachte und schematische Repräsentationen des optischen Systems Auge dar und geben die optische Funktionalität erster Beim Raytracing wird ein abzubildendes Objekt in eine repräsentative Anzahl von punktförmigen Lichtquellen zerlegt und von jeder Lichtquelle ein Bündel äquidistanter Strahlen in Richtung Auge gesandt [4, 7,12, 20]. Gemäû dem Brechungsgesetz von Snellius [3,10, 29] wird jeder Lichtstrahl der Reihe nach an jeder Intersektionsstelle mit einer refraktiven Grenzfläche gebrochen und auf die Netzhaut abgebildet. Mit einem Modell erster Ordnung wird für jeden Strahl nur der Abstand des Intersektionspunktes von der optischen Symmetrieachse und die lokale axiale Brechkraft bestimmt. Damit wird jeder Strahl nur innerhalb einer Ebene gebrochen, die durch die optische Achse und einen Vektor zwischen Intersektion der optischen Achse mit der refraktiven Grenzfläche und dem Intersektionspunkt des Strahls mit der refraktiven Fläche aufgespannt wird (meridionale Ebene) [4, 7,12]. Der gebrochene Strahl wird zur nächsten refraktiven Grenzfläche verfolgt und nach dem gleichen Prinzip gebrochen. Langenbucher A et al. Raytracing von Hornhauttopographiedaten ¼ Klin Monatsbl Augenheilkd 2003; 220: 235 ± 246 Heruntergeladen von: Thieme E-Books & E-Journals. Urheberrechtlich geschützt. Klinische Studie 236 scan) angewandt. Ergebnisse: Im Beispiel 1 vergröûerte sich der Fokusabstand (22,5 mm, 22,6 mm und 22,8 mm) geringfügig mit der Pupillenweite (2 mm, 3 mm und 5 mm). Die Varianz der nahezu radialsymmetrischen ¹point-spread functionª in der Fokusebene erreichte einen minimalen Wert bei einer Pupillenweite von 3 mm (0,164, 0,104 und 0,230). Im Beispiel 2 veränderte sich aufgrund der optischen Aberrationen (v. a. Verkippung, Koma und Trifoil) der Fokusabstand uneinheitlich (21,1 mm, 21,0 mm und 21,3 mm) mit der Pupillenweite (2 mm; 3 mm und 5 mm). Die Varianz der deutlich asymmetrischen ¹point-spread functionª in der Fokusebene lag durchwegs über den Vergleichswerten bei Beispiel 1 und erreichte einen minimalen Wert bei einer Pupillenweite von 3 mm (0,255, 0,224 und 0,371). Das optische Auflösungsvermögen (sinusförmig moduliertes Streifenmuster) war aufgrund der Unsymmetrie der ¹point-spread functionª abhängig von der Orientierung (anisotrop). Im Beispiel 3 veränderte sich der Fokusabstand (22,3 mm, 22,3 mm und 22,5 mm) unwesentlich mit der Pupillenweite (2 mm, 3 mm und 5 mm). Die Varianz der ¹point-spread functionª in der Fokusebene lag unter den Vergleichswerten aus Beispiel 2 und änderte sich unwesentlich zwischen Pupillenweiten von 2 und 3 mm (0,231, 0,239 und 0,338). Schlussfolgerung: Raytracing von topographischen Höhendaten auf der Basis eines Augenmodells mit der Option einer Autofokusfunktion bietet die Möglichkeit, das optische Auflösungsvermögen des Auges für punktförmige oder endlich ausgedehnte Lichtquellen abzuleiten. Weitere Studien über das Kontrastempfindlichkeitsverhalten und die Übertragung des optischen Bildes ins Gehirn sind nötig für eine vollständige Modellierung der subjektiven Sehschärfe. Refraktiv wirksame Fläche Hornhaut- Hornhautvorderfläche rückfläche Linsenvorderfläche Linsenrückfläche Krümmungsradius in mm 7,8 10,2 ± 6,0 0,00 6,5 Asphärizität 0,75 0,75 ± 2,06 Geometrie Ellipsoid Ellipsoid Hyperboloid Paraboloid Abstand zur nächsten Fläche (mm) 0,55 3,05 4,0 16,6 Brechungsindex blau (486 nm) 1,3807 1,3422 1,4263 1,3407 Brechungsindex grün (588 nm) 1,3771 1,3374 1,4200 1,3360 Brechungsindex rot (656 nm) 1,3741 1,3354 1,4175 1,3341 Ziel unserer Studie war die Entwicklung eines Raytracingsystems auf der Basis des Snellius-Gesetzes, mit dem die Abbildungsgüte einer punktförmigen Lichtquelle oder eines ausgedehnten Objektes aus einer beliebigen Entfernung durch den optischen Apparat Auge auf die Netzhaut abgebildet wird. Für die Hornhautvorderfläche sowie, falls messtechnisch zugänglich, auch für die Hornhautrückfläche sollten refraktive Grenzflächen aus den Abtastwerten der Hornhauttopographie berechnet werden. Für die Geometrie von Pupille und Linse wurde auf die Modelldaten des Navarro-Modells [32] zurückgegriffen. Als Schätzwerte für die Abbildungsgüte sollten die Punktstreuung (¹point-spread functionª) in einer fiktiven Ebene der minimalen Varianz sowie die Modulationstransferfunktion angegeben werden. Anhand von klinischen Beispielen sollte die Anwendung des entwickelten Programmpakets demonstriert werden. Snellius [3] der Strahl in Richtung der nächsten Grenzfläche (Hornhautrückfläche) gebrochen. Nach diesem Schema wurden sukzessive alle optischen Grenzflächen sowie die an der vorderen Apexebene der Linse positionierte Apertur durchlaufen und für jeden Strahl ein Auftreffpunkt auf die Netzhaut markiert. Methoden ¹Point-spread functionª und Modulationstransferfunktion Die Überlagerung der Strahlauftreffpunkte auf die Netzhaut wird unter der Voraussetzung einer repräsentativen Anzahl an Strahlen im Strahlbündel als Punktstreuung oder ¹point-spread functionª identifiziert [4, 7]. Das Streumuster gibt an, wie sich eine punktförmige (im Unendlichen positionierte) Lichtquelle durch den optischen Apparat Auge auf die Netzhaut abbildet. Ein aberrationsfreies System bedingt eine konstruktive punktförmige Überlagerung der Strahlen. Ein aberrationbehaftetes optisches System impliziert ein Streumuster mit endlicher Ausdehnung. Um sphärische Abbildungsfehler [1, 4, 21, 26] zu kompensieren, wurde entlang der optischen Achse fiktiv die Fokusebene ausgewählt, welche die geringste Varianz des Streumusters aufwies. Dazu wurde an vier disjunkten Punkten auf der optischen Achse die Varianz des Streumusters berechnet, eine Parabel an die Aufpunkte approximiert, das Minimum [3] detektiert und als Fokusebene identifiziert (Autofokus). Die Beugung an der Pupille wird berücksichtigt, indem der optische Pfad (im Sinne einer Weglänge) als das Produkt aus dem Weg und dem Brechungsindex ermittelt wird. Der Gangunterschied der einzelnen Strahlverfolgung mittels exaktem Raytracing Die optische Übertragung einer punktförmigen Lichtquelle durch alle refraktiv wirksamen Grenzflächen des Auges unter Berücksichtigung der Beugungserscheinungen an der Apertur mit endlichem Durchmesser wurde mit einem speziell entwickelten Programmpaket (höhere Programmiersprache C unter dem Unix-Derivat LINUX 6.2) berechnet. Dazu wurde von der Lichtquelle jeweils ein Bündel von roten, grünen und blauen Strahlen mit festem Winkelabstand zwischen benachbarten Strahlen unter Berücksichtigung der charakteristischen Brechungsindizes (Tab. 1) auf das Auge gesandt und der grüne Anteil wegen des Empfindlichkeitsgradienten der sensorischen Netzhaut 3fach gegenüber dem roten und blauen Spektralanteil gewichtet. Das Dispersionsverhalten der refraktiven Indizes von Hornhaut und Linse wurde aus den Messdaten der Studie von Meeteren [26] abgeleitet und durch eine Taylor-Reihe approximiert. Für jeden Intersektionspunkt eines Strahls mit der Hornhautvorderfläche wurde die Flächennormale bestimmt und nach dem Gesetz von Die kontinuierliche Grenzfläche wurde aus den diskreten topographischen Messdaten mittels interpolierendem Subdivisionsschema [17] (modifiziertes Butterfly-Schema) abgeleitet. Als physikalisch sinnvolle Randbedingung wurde eine stetige global konvexe einfach differenzierbare Grenzfläche (C1) vorausgesetzt [8,18]. Mit diesem Verfahren konnten mit einer beliebigen Auflösung die Krümmung bzw. die Koordinaten der Intersektionspunkte berechnet werden und die für die Anwendung des Brechungsgesetzes nötige Flächennormale analytisch abgeleitet werden. Langenbucher A et al. Raytracing von Hornhauttopographiedaten ¼ Klin Monatsbl Augenheilkd 2003; 220: 235 ± 246 237 Heruntergeladen von: Thieme E-Books & E-Journals. Urheberrechtlich geschützt. Eine weitere Einschränkung ist die Vernachlässigung der Pupillenapertur auf die Strahlbegrenzung und Beugung. Besonders bei geringen Pupillendurchmessern führt die Beugung an der Pupille [3, 5,10, 22] auch bei aberrationsfreier Optik zu einer Aufweitung des Streubildes in der Fokusebene. Tab. 1 Spezifikation des Augenmodells von Navarro, Santamaria und Bescos [32]. Das Augenmodell besteht aus vier zur optischen Achse zentrierten asphärischen refraktiven Grenzflächen und ist auf eine optimale Modellierung der Gesamtasphärizität des Auges bei vertretbarer Komplexität (Anzahl der Grenzflächen) ausgelegt Klinische Studie Mit diesem vereinfachten Verfahren ändert sich die Ebene, in der ein Strahl gebrochen wird, im Verlauf nicht. Für jeden Strahl des Strahlenbündels wird nach dem gleichen Verfahren vorgegangen, bis von jedem Strahl, der durch die Apertur tritt, ein Anteil auf der Netzhaut vorliegt. Dieses Muster wird Punktstreuung oder ¹point-spread functionª genannt. Die Einschränkung dieses paraxialen Ansatzes erster Ordnung liegen auf der Hand: eine sphärische Oberfläche bildet eine Lichtquelle in der Fokusebene auf einen Punkt ab. Damit wird die sagittale Höhe des Intersektionspunktes eines Strahls vernachlässigt und es wird impliziert, dass die Intersektion in einer zur optischen Achse orthogonal verlaufenden Ebene stattfindet und eine sphärische Oberfläche nicht aberrationsbehaftet ist [12, 27, 28, 36, 37]. Korrekt muss der Intersektionspunkt eines Strahls sowie die Flächennormale dreidimensional bestimmt und jeder (gebrochene) Strahl im dreidimensionalen Raum verfolgt werden. Strahlen an der Austrittspupille bezeichnet den Wellenfrontfehler, der im Falle eines aberrationsbehafteten optischen Systems von einer sphärischen Geometrie abweicht. Der Wellenfrontfehler stellt eine alternative Darstellung zur Punktstreuung dar [18]. Die Pupillenfunktion T wird als eine komplexwertige Überlagerung aus der charakteristischen Transmission der Beugung an der Apertur (Betrag) und der Wellenfrontaberration (Phase) gebildet ([10], Abb. 1 a): Klinische Studie 238 W(x, y) ,x2 + y2 ≤ a2 ,sonst mit der Wellenfrontrepräsentation W, dem Radius der Apertur a, ___ der Wellenlänge l und Ö± 1 . Für den Fall einer zirkulär zentrierten Geometrie der Apertur ergibt sich für das Beugungsmuster eine Bessel-Funktion erster Ordnung (Abb. 1 b). Die Modulationstransferfunktion stellt die komplexwertige Fouriertransformierte der ¹point-spread functionª dar und gibt an, wie eine Ortsfrequenz in einem ausgedehnten Objekt sich durch den optischen Apparat überträgt. Stiles-Crawford-Effekt Der Stiles-Crawford-Effekt beschreibt die Beziehung zwischen der Reduktion der visuellen Auflösung der Netzhaut von der Fovea zur Peripherie und dem Einfallswinkel der Lichtstrahlen auf die Netzhaut [40]. Dieser Effekt lässt sich entweder direkt durch ein Dämpfungsprofil der Empfindlichkeit bei der Histogrammbildung des Objektbildes in der Fokusebene berücksichtigen oder alternativ in eine Transmissionscharakteristik auf die Eintrittspupille des Auges transformieren [10]. Wählt man die zweite Option, so resultiert in erster Näherung eine einfache radialsymmetrische Transmission T gemäû einer Exponentialfunktion mit einer Transmission gleich 1 im Zentrum und einer Verringerung zur Peripherie gemäû der Beziehung – T(p)=e Abb. 1 a Berechnungsschema zur Berechnung des Abbildes eines Objektes in die Fokusebene. Aus der Überlagerung der Beugung an der Apertur (Amplitude) und dem Wellenfrontfehler (Phase, Gangunterschied) wird die Punktstreuung (point-spread function) als Abbild einer Lichtquelle im Unendlichen berechnet. Die komplexwertige Fouriertransformierte der Punktstreuung wird als Modulationstransferfunktion bezeichnet und gibt an, wie sich eine Ortsfrequenz über den optischen Pfad überträgt (Dämpfung). Geht man von vereinfachenden Annahmen aus, dass sich die Wellenfront für ein endlich ausgedehntes Objekt nicht ändert, so kann das Abbild des Objektes durch eine Faltung des Fourier-Spektrums des Objektes und der Modulationstransferfunktion berechnet werden. α 2 p 2 mit der radialen Direktive r dem Dämpfungskoeffizienten a = 0,108 [26]. Bei einem Pupillendurchmesser von 8 mm fällt die Transmission auf 42 % am Pupillenrand ab. Endlich ausgedehnte Objekte Wird anstatt einer punktförmigen Lichtquelle ein ausgedehntes Objekt auf die Netzhaut abgebildet, so kann das Objekt als Überlagerung aus einer repräsentativen Anzahl von einzelnen Lichtquellen betrachtet werden. In einer vereinfachten Darstellung kann die Struktur des Abbildes auf der Netzhaut durch eine konstruktive Überlagerung von gewichteten verschobenen Punktübertragungsfunktionen charakterisiert werden. Voraussetzung hierfür ist, dass sich die Wellenfrontaberrationen für das betrachtete Sortiment kohärenter Lichtquellen nicht ändert, was für kleine Objekte zutrifft [10,18, 39]. Alternativ kann die Modulationstransferfunktion des optischen Systems Auge mit der Fouriertransformierten des Objektes multipliziert [12] und vom Ergebnis die Fourierrücktransformierte gebildet werden. Dieses Rechenschema wird im Allgemeinen aufgrund der geringeren Anzahl an Gleitkommaoperationen bevorzugt. In unserer Rechnersimulation wurde jedoch auf diese Vereinfachungen verzichtet und auf Kosten einer aufwändigen mathematischen Mo- Abb. 1 b Punktstreuung einer zirkulären zentrierten Pupille. Das Amplitudenverhalten lässt sich durch eine radialsymmetrische BesselFunktion niedrigster Ordnung beschreiben. dellierung eine exakte Strahldurchrechnung, ausgehend von jeder einzelnen Lichtquelle, durchgeführt. Klinische Beispiele Für drei Beispiele wurden für die Repräsentation der Hornhautvorderfläche die topographisch ermittelten Koordinaten (TMS-1, Tomey, Erlangen) verwendet. Die Geometrie der drei verbleibenden Grenzflächen (Hornhautrückfläche, Linsenvorder- und -rückfläche) wurden dem Augenmodell von Navarro (Tab. 1) entnommen. In einem dritten Anwendungsbeispiel wurden neben der Geometrie der Vorderfläche die Position und Geometrie der Hornhautrückfläche aus den Koordinaten eines Scanning-Slit- Langenbucher A et al. Raytracing von Hornhauttopographiedaten ¼ Klin Monatsbl Augenheilkd 2003; 220: 235 ± 246 Heruntergeladen von: Thieme E-Books & E-Journals. Urheberrechtlich geschützt. 2πι T(x, y)=|T(x, y)|e, λ T(x, y)=0 Ergebnisse Klinisches Beispiel 1 Abb. 3 a gibt die Hornhauttopographie des klinischen Beispiels 1 wieder. Der keratometrische Astigmatismus lag bei 0,75 Dioptrien (D), der vom Topographiesystem angegebene bei 1,25 D. Die Sehschärfe mit einem sphärozylindrischen Korrekturglas von 1,0 ± 0,5/A108 D ist mit 1,2 angegeben. Abb. 3 b gibt die Punktstreuung für eine Pupillenweite von 3 mm in der Fokusebene wieder. Eine Pupillenweite von 3 mm (Varianz der Punktstreuung/Fokusebene vom Hornhautscheitel: 0,164/22,5 mm bei 2 mm, 0,104/22,6 mm bei 3 mm und 0,230/22,8 mm bei 5 mm Pupillenweite) scheint hier ein guter Kompromiss zwischen einer geringen Beugung an der Apertur und einem hohen refraktiven Auflösungsvermögen der optischen Grenzflächen zu sein. Abb. 3 c gibt das Bild eines Landolt-Ringes in der Fokusebene wieder. Während die Öffnung des Sehzeichens links (entsprechend einer Visusstufe von 0,7) noch problemlos aufgelöst werden kann, ist die Auflösungsgrenze beim rechten Bild (Visusstufe 1,0) erreicht. Abb. 3 d beschreibt das Übertragungsverhalten eines sinusmodulierten Streifengitters als Funktion der Pupillenweite für eine Ortsfrequenz von 20 Perioden pro Grad Sehwinkel. Die maximale Übertragung von etwa 60 % wird bei einem Pupillendurchmesser von 3 mm erreicht und liegt hier nur unwesentlich unter dem begrenzenden Effekt der Pupille. Da beide Orientierungen des Streifenmusters sich nur unwesentlich unterscheiden, beschränkten wir uns auf die Darstellung des horizontalen Modulationstransfers. Bei einer Pupillenweite von 6 mm ist der Modulationstransfer auf etwa 28 % abgefallen. Klinisches Beispiel 2 Das klinische Beispiel 2 demonstriert die Verringerung der optischen Abbildungsqualität aufgrund von erheblichen Aberrationen der Hornhautoberfläche. Subjektiv wurden mit einer Refraktion von ± 4,0 ± 1,0/208 eine Sehschärfe von 0,1 erreicht. In der Hornhauttopographie (Abb. 4 a) wird der reguläre Anteil des Astigmatismus (0-te Ordnung) auf 0,5 D geschätzt. Verzerrungen höherer Ordnung wie die massive Verkippung der Oberfläche gegen die optische Achse, welche eine Translation des Abbildes auf der Netzhaut nach sich zieht, sowie komaartige Aberrationen werden von konventionellen Messverfahren ignoriert. Sie induzieren aber ein deutlich unsymmetrisches Punktstreumuster in der Fokusebene (Abb. 4 b, 3 mm Pupillenweite). Die Varianz der Punktstreuung/Fokusebene vom Hornhautscheitel liegt bei 0,255/21,1 mm für eine Pupillenweite von 2 mm, 0,224/21,0 mm für eine Pupillenweite von 3 mm und 0,371/21,3 mm für eine Pupillenweite von 5 mm. Der Landolt-Ring mit einer Öffnung von 10 Winkelminuten (Abb. 4 c, Visusstufe 0,1) kann gerade noch aufgelöst werden, während die Orientierung des Sehzeichens bei einer Öffnung von 5 Winkelminuten nicht mehr möglich ist. Aufgrund der Unsymmetrie des Punktstreumusters ist die Abbildung anisotrop, weshalb in verschiedenen Orientierungsrichtungen das sinusmodulierte Streifenmuster optisch unterschiedlich aufgelöst wird (Abb. 4 d). Der Modulationstransfer erreicht sein Maximum von 50 % bei einer Pupillenweite von etwa 2,5 ± 3 mm und bleibt deutlich hinter dem Limit aufgrund von Beugungserscheinungen an der Pupille zurück. Bei weiter Pupille wirkt sich die Unsymmetrie der Topographie besonders stark auf die Anisotropie des Abbildungsverhaltens aus. So erreicht der Modulationstransfer bei einer Pupillenweite von 6 mm für ein horizontal orientiertes Sinusstreifenmuster einen Wert von 16 %, während der Vergleichswert für ein vertikal moduliertes Streifenmuster gerade bei 9 % liegt. Klinisches Beispiel 3 Abb. 5 b stellt die Hornhauttopographie der Vorder- und Rückfläche in Form einer axialen Brechkraftübersicht dar. Für den redu- Langenbucher A et al. Raytracing von Hornhauttopographiedaten ¼ Klin Monatsbl Augenheilkd 2003; 220: 235 ± 246 239 Heruntergeladen von: Thieme E-Books & E-Journals. Urheberrechtlich geschützt. Für jedes der drei klinischen Beispiele wurde für einen Pupillendurchmesser von 3 mm die ¹point-spread functionª sowie der Betrag der Modulationstransferfunktion für ein horizontal und vertikal orientiertes Sinusgitter (Abb. 2) mit einer Ortsfrequenz von 20 Perioden pro Grad Sehwinkel (20 ppd) in Abhängigkeit des Pupillendurchmessers angegeben. Abb. 2 Sinusförmig moduliertes Streifenmuster mit einer Orientierung in horizontale (links) und vertikale (rechts) Richtung. Mit diesem ¹Sehzeichenª kann die Modulationstransferfunktion für verschiedene Orientierungen oder Pupillenweiten für eine Ortsfrequenz bestimmt werden. Klinische Studie Topographiesystems (Orbscan, Orbtek, Salt Lake City, USA) abgeleitet [38] und die Geometrie der verbleibenden refraktiven Grenzflächen aus dem o. g. Augenmodell abgeleitet. 1. Um die Validität des Modells abzuschätzen, wurde das Auge eines gesunden 28-jährigen Probanden ohne Augenpathologien untersucht. Aus den Hornhauttopographiedaten des TMS-1 wurde eine Hornhautvorderfläche interpoliert und die entsprechende Fläche des Navarro-Augenmodells ersetzt. Als ausgedehntes Sehzeichen wurde die Abbildung eines standardisierten Landolt-Ringes in zwei verschiedenen Auflösungen (entsprechend einer Sehschärfe von 0,7 und 1,0) gewählt. 2. Zum Vergleich wurde die Topographie der Hornhautvorderfläche bei einer 35-jährigen Patientin mit einem fortgeschrittenen Keratokonusstadium erfasst. Als ausgedehntes Sehzeichen wurde die Abbildung eines standardisierten LandoltRinges in zwei verschiedenen Auflösungen (entsprechend einer Sehschärfe von 0,1 und 0,2) gewählt. 3. Bei einem 52-jährigen Patienten mit Hornhautnarben nach einer perforierenden Keratoplastik [23, 30, 31] wurde mittels Orbscan-Topographie die Geometrie der Hornhautvorderund -rückfläche an Abtastwerten gemessen und jeweils zu einer konvexen C1-Fläche interpoliert. Aus der zentralen Pachymetrie wurde der apikale Abstand beider refraktiver Grenzflächen ermittelt und im Navarro-Augenmodell die beiden Modellflächen durch die gemessenen Profile ersetzt. Für dieses Beispiel wurde die Auflösungsgrenze zweier unter einem Sehwinkel von 20 bzw. 5 Winkelminuten dargebotener kohärenter Lichtquellen (entsprechend der Bestimmung des ¹minimum separabileª) ermittelt. Klinische Studie 240 Abb. 3 b Punktstreuung (¹point-spread functionª) als Abbildung einer im Unendlichen liegenden punktförmigen Lichtquelle für eine Pupillenweite von 3 mm. Während für kleine Pupillendurchmesser die Beugung an der Pupille der limitierende Faktor ist, so spielen für groûe Pupillenweiten optische Aberrationen der Hornhauttopographie vermehrt eine Rolle. Abb. 3 c Abbildung eines Landolt-Ringes aus einer Entfernung von 5 m mit einem Pupillendurchmesser von 3 mm in die Fokusebene des Auges. Im linken Bild kann die Orientierung des Sehzeichens (entsprechend einer Visusstufe von 0,7) deutlich aufgelöst werden, während im rechten Bild (Visusstufe 1,0) die Auflösungsgrenze erreicht ist. Abb. 3 d Modulationstransferfunktion (MTF) in Abhängigkeit der Pupillenweite für ein horizontal sinusförmig (grün) moduliertes Streifenmuster mit einer Ortsfrequenz von 20 Perioden pro Grad Sehwinkel aus einer Distanz von 5 m in die Fokusebene des Auges. Da die Übertragung des Musters für beide Orientierungsrichtungen nahezu identisch ist, wurde MTF des vertikal orientierten Musters verzichtet. Bei einer Pupillenweite von 3 mm erreicht die MTF ihr Maximum von etwa 60 %. In die Grafik wurde der obere Grenzwert des Modulationstransfers aufgrund von Beugungserscheinungen an der Pupille eingezeichnet (blau). Langenbucher A et al. Raytracing von Hornhauttopographiedaten ¼ Klin Monatsbl Augenheilkd 2003; 220: 235 ± 246 Heruntergeladen von: Thieme E-Books & E-Journals. Urheberrechtlich geschützt. Abb. 3 a Hornhauttopographie (Vorderfläche, TMS-1) eines Normalprobanden in einer normierten axialen Brechkraftdarstellung. Klinische Studie 241 Abb. 4 b Punktstreuung (¹point-spread functionª) als Abbildung einer im Unendlichen liegenden punktförmigen Lichtquelle für eine Pupillenweite von 3 mm. Das Abbild der punktförmigen Lichtquelle ist deutlich unsymmetrisch verzerrt. Gegenüber Beispiel 1 tritt aufgrund der um Gröûenordnungen höheren Aberrationen die Beugung an der Apertur in den Hintergrund, das Streumuster wird weitestgehend durch optische Aberrationen wie Verkippung, Coma und Trifoil geprägt. Abb. 4 c Abbildung eines Landolt-Ringes aus einer Entfernung von 5 m mit einem Pupillendurchmesser von 3 mm in die Fokusebene des Auges. Im linken Bild kann die Orientierung des Sehzeichens (entsprechend einer Visusstufe von 0,1) gerade noch aufgelöst werden, während im rechten Bild (Visusstufe 0,2) die Auflösungsgrenze überschritten ist. Abb. 4 d Modulationstransferfunktion (MTF) in Abhängigkeit der Pupillenweite für ein sinusförmig (horizontal = grün, vertikal = rot) moduliertes Streifenmuster mit einer Ortsfrequenz von 20 Perioden pro Grad Sehwinkel aus einer Distanz von 5 m in die Fokusebene des Auges. Bei einer Pupillenweite von 2,5 bis 3 mm erreicht die MTF ihr Maximum von knapp 50 %. Bei gröûeren Pupillenweiten reduziert sich speziell die Übertragung vertikaler Strukturen. In die Grafik wurde der obere Grenzwert des Modulationstransfers aufgrund von Beugungserscheinungen an der Pupille eingezeichnet (blau). Langenbucher A et al. Raytracing von Hornhauttopographiedaten ¼ Klin Monatsbl Augenheilkd 2003; 220: 235 ± 246 Heruntergeladen von: Thieme E-Books & E-Journals. Urheberrechtlich geschützt. Abb. 4 a Hornhauttopographie (Vorderfläche, TMS-1) eines Patienten mit Keratokonus im fortgeschrittenen Stadium. In der normierten Brechkraft ist eine deutliche Unsymmetrie sowie eine Vorwölbung im unteren Quadranten zu beobachten. Klinische Studie Abb. 5 b Punktstreuung (¹point-spread functionª) als Abbildung einer im Unendlichen liegenden punktförmigen Lichtquelle für eine Pupillenweite von 3 mm. Das Abbild der punktförmigen Lichtquelle ist deutlich unsymmetrisch verzerrt. Das Streumuster ist gegenüber dem Normalbefund aus Beispiel 1 an der Basis deutlich verbreitert, jedoch nahezu radialsymmetrisch. 242 Abb. 5 d Modulationstransferfunktion (MTF) in Abhängigkeit der Pupillenweite für ein sinusförmig (horizontal = grün, vertikal = rot) moduliertes Streifenmuster mit einer Ortsfrequenz von 20 Perioden pro Grad Sehwinkel aus einer Distanz von 5 m in die Fokusebene des Auges. Bei einer Pupillenweite von 2,0 ± 2,5 mm erreicht die MTF ihr Maximum von knapp über 50 %. In die Grafik wurde der obere Grenzwert des Modulationstransfers aufgrund von Beugungserscheinungen an der Pupille eingezeichnet (blau). Bei einer Pupillenweite von 2 mm weicht der ermittelte Wert nicht wesentlich vom Grenzwert ab. Abb. 5 c Detektion des ¹minimum separabileª als kleinstem Winkelabstand, unter dem zwei identische Lichtquellen unter einem Objektabstand von 5 m aufgelöst werden können. Die beiden Lichtquellen werden dem Probanden unter einem Winkelabstand von zehn (links) und fünf (rechts) Bogenminuten dargeboten. Die Auflösungsgrenze ist im rechten Bild erreicht. Aufgrund der nahezu symmetrischen Konfiguration der Punktverteilung ist das Auflösungsvermögen für alle Orientierungsrichtungen vergleichbar. zierten Visus sind neben der irregulären Vorderflächentopographie auch die (para-)zentralen Hornhauttrübungen verantwortlich. Subjektiv wurde mit einer Refraktion von + 0,75 ± 0,5/1608 eine Sehschärfe von 0,2 erreicht. Für das Raytracingverfahren wurden die dazu korrespondierenden Höhenprofile dieser beiden Oberflächen verwendet. Die Punktstreuung (Abb. 5 b) ist bei diesem Auge gegenüber dem Befund des Normalprobanden deutlich verbreitert, jedoch fehlen die groben Unsymmetrien wie in Beispiel 2. Somit kann in erster Näherung von einem symmetrischen optischen Auflösungsvermögen ausgegangen werden. Die Varianz der Punktstreuung/Fokusebene vom Hornhautscheitel liegt bei 0,231/22,3 mm für eine Pupillenweite von 2 mm, 0,239/22,3 mm für eine Pupillenweite von 3 mm und 0,338/22,5 mm für eine Pupillenweite von 5 mm. Während die beiden Lichtquellen unter einem Sehwinkel von 20 Winkelminuten in der Fokusebene noch problemlos getrennt werden können, ist bei einem Sehwinkel von 5 Winkelminuten (Visusstufe 0,2) die Auflösungsgrenze erreicht (Abb. 5 c). Für ein horizontal bzw. vertikal orientiertes sinusförmig moduliertes Streifenmuster mit einer Ortsfrequenz von 20 Perioden pro Grad Sehwinkel liegt das Maximum des Modulationstransfers (51 bzw. 53 %) bei einer Pupillenweite von etwa 2,5 ± 3 mm unwesentlich unter dem Limit, bedingt durch Beugungseffekte an der Pupille. Für gröûere Pupillenweiten nimmt der Modulationstransfer für beide Orientierungsrichtungen des Gitters deutlich ab und erreicht Langenbucher A et al. Raytracing von Hornhauttopographiedaten ¼ Klin Monatsbl Augenheilkd 2003; 220: 235 ± 246 Heruntergeladen von: Thieme E-Books & E-Journals. Urheberrechtlich geschützt. Abb. 5 a Hornhauttopographie (Vorderund Rückfläche, Orbscan) eines Patienten mit Hornhautnarben in einer normierten axialen Brechkraftdarstellung. Im Raytracingmodell wurde die Hornhautvorderund -rückfläche sowie die Position der Rückfläche durch die aus topographischen Messwerten modellierten refraktiven Grenzflächen ersetzt. Diskussion Von Helmholtz [14] vereinfachte das Modell von Gullstrand und stellte die Hornhaut durch eine brechende Fläche sowie die Linse mit einem einheitlichen refraktiven Index dar. Le Grand u. El Hage [19] vereinfachten das Gullstrand-Modell in ähnlicher Weise, stellten jedoch die Hornhaut durch zwei sphärische Grenzflächen dar. All diesen Modellen ist gemeinsam, dass die optischen Aberrationen ignoriert werden. Lotmar [21] modifizierte das von Le Grand und El Hage vereinfachte Gullstrand-Modell durch die Einführung einer asphärischen Grenzfläche für die Hornhautvorderfläche und die Linsenrückfläche. Während die Asphärizität der Hornhautvorderfläche über die Messung der Keratometriewerte zentral und 308 peripher bestimmt wurde, sollte die Asphärizität der Linsenrückfläche die verbleibende Asphärizität des Auges kompensieren. Sami et al. [35] entwickelten ein vergleichbares Modell, bei dem die verbleibende Asphärizität auf beide Grenzflächen der Linse verteilt wurde. Navarro, Santamaria u. Bescos [32] erweiterten diesen Ansatz insofern, als sie beide Grenzflächen von Hornhaut und Linse asphärisch ansetzten. Die Geometrie der einzelnen Grenzflächen wurde aus den Mittelwerten der klinisch gewonnenen Messwerte bestimmt und die Frequenzcharakteristik des Brechungsindex (Dispersion) wurde so angepasst, dass die longitudinale chromatische Aberration des Auges kompensiert wurde. Im Navarro-Modell wurde auch der anisotropen Empfindlichkeitscharakteristik der Netzhaut Rechnung getragen, indem der Stiles-Crawford-Effekt [40] in vereinfachter Form berücksichtigt wurde. Modellhafte Beschreibungen eines Auges werden eingesetzt, um das optische Auflösungsvermögen des Auges abzuschätzen [7,12]. So wurde von dem Hersteller eines Hornhauttopographiegerätes ein Programmpaket entwickelt, das ausgehend von der Topographie der Hornhautvorderfläche ein Streudiagramm in einer fiktiven Fokusebene berechnet, über das die Abbildungsgüte der Hornhaut abgeschätzt werden kann [4, 20, 22, 38]. Das geometrische Streudiagramm wurde dabei auf der Basis eines paraxialen Ansatzes berechnet und gibt die Streuung einer punktförmigen Lichtquelle wieder. Solche Ansätze können allerdings Hornhauttopographieanalyse Grundsätzlich kann jedes der oben beschriebenen schematischen Augenmodelle für die Analyse der optischen Abbildungsqualität des Auges herangezogen werden. Die Limitation dieser Modelle liegt jedoch darin, dass für Hornhautpathologien keine adäquaten Modellparameter vorliegen und die individuelle Streuung ± speziell der Hornhautvorderflächengeometrie ± eine Verallgemeinerung verbietet. Mit auf dem Markt befindlichen Hornhauttopographieanalysesystemen kann jedoch an einer repräsentativen Anzahl von Hornhautpunkten die Krümmung bzw. die sagittale Höhe selbst bei massiven Pathologien mit hinreichender Genauigkeit ermittelt werden [33, 34]. So kann mit plazidoscheibengestützten Systemen das Krümmungsverhalten flächig determiniert und daraus über einen lokalen Approximationsalgorithmus das sagittale Höhenprofil abgeleitet werden [17,18]. Wird dagegen ein rasterstereographisches Verfahren verwendet, kann unmittelbar die Höheninformation der Hornhautvorderfläche ausgegeben werden. Bei der pankornealen Scanning-Slit-Technologie kann darüber hinaus aus dem Muster der diffusen Volumenstreuung die Geometrie der vorderen und hinteren Hornhautgrenzfläche abgeleitet und der Modellansatz um die Messdaten der Hornhautrückfläche anstelle der implizierten Modelldaten verfeinert werden [38]. Unter der Voraussetzung, dass die Geometrie einer refraktiven Grenzfläche ± sei es ausschlieûlich die Hornhautvorderfläche oder in einem erweiterten Ansatz die Hornhautrückfläche ± repräsentativ durch Abtastwerte eines Videokeratoskops beschrieben wird, kann von einer Beschränkung auf ¹normale Augenª abgesehen und das individuelle Abbildungsverhalten eines Auges berechnet werden. Dazu ist jedoch ein mathematischer Ansatz nötig, um aus den Abtastwerten des Topographiesystems (evtl. mit Fehlstellen behaftet) eine physikalisch sinnvolle stetige und wenigstens einfach differenzierbare Oberfläche (C1-Fläche) zu kreieren. Dieser Ansatz kann alternativ lokal über die Anpassung stetiger Polynome [2, 8,18] oder über globale Ansätze erfolgen, welche das generelle Stetigkeitsverhalten und die Konvexität als Randbedingung einflieûen lassen [17, 41]. Für unser Modell wurde ein interpolierendes Subdivisionsschema eingesetzt, das aus einem beliebigen Sortiment an Abtastwerten eines Oberflächenprofils schrittweise Zwischenwerte ermittelt und am Ende eine quasikontinuierliche Oberfläche liefert, deren Abtastwerte so eng liegen, dass ein beliebiges Raster abgetastet werden kann. Das Vorgehen beim Entwurf eines Subdivisionsschemas ist generell umgekehrt zu dem eines Wavelet-Ansatzes [39], bei dem ein Signal vergröbert und in eine Grob- und Feinstruktur zerlegt wird. Abbildung des optischen Apparates Auge Das Potenzial der oben genannten Augenmodelle liegt in der vergleichsweise einfachen Berechnung der optischen Abbildungsqualität des Auges [10, 29, 39]. Soll jedoch die Begrenzung auf die optische Übertragung fallengelassen werden, so ist ein erweiterter Ansatz zu implementieren, der die sensitive Charakteristik der Netzhaut sowie die Analyse der Signale durch das Gehirn beinhaltet [24, 25, 42]. Erst mit dieser Verallgemeinerung kann die Langenbucher A et al. Raytracing von Hornhauttopographiedaten ¼ Klin Monatsbl Augenheilkd 2003; 220: 235 ± 246 Klinische Studie Modellhafte Beschreibung des Auges Das erste Augenmodell geht auf Gullstrand u. von Helmholtz zurück [13,14]. Diese Augenmodelle wurden aus sphärischen refraktiven Flächen und einer zentrierten Apertur zusammengesetzt und berücksichtigten die optischen Eigenschaften erster Ordnung. Das Gullstrand-Modell hatte besonders die anatomische Übereinstimmung mit dem menschlichen Auge zum Ziel [13]. Die Hornhaut wurde durch zwei sphärische Grenzflächen repräsentiert und die Linse wurde als niederbrechender Kern umgeben von einer höherbrechenden Schale dargestellt, um so dem Gradientenverhalten des Brechungsindex innerhalb der menschlichen Linse Rechnung zu tragen [35]. Aufgrund der hohen Anzahl an Grenzflächen (n = 6) ist der mathematische Aufwand für eine Strahldurchrechnung erheblich. nur als grobe Schätzwerte dienen, da alle weiteren refraktiven Grenzflächen sowie die Beugungseffekte der Apertur unberücksichtigt bleiben [20, 22]. 243 Heruntergeladen von: Thieme E-Books & E-Journals. Urheberrechtlich geschützt. bei einem Pupillendurchmesser von 6 mm Werte um 20 bzw. 17 %. Der globale Verlauf des Modulationstransfers ist deutlich weniger durch die Orientierungsrichtung geprägt als in Beispiel 2. Klinische Studie 244 Aus der Raytracinganalyse werden Kenngröûen berechnet, die nicht unmittelbar für den Kliniker von Nutzen sind oder sich unmittelbar auf klinische Kenngröûen übertragen lassen. So beschreibt die Varianz der Punktstreuung die effektive Fleckgröûe, die eine Lichtquelle im Unendlichen in der Fokusebene des Auges verursacht. Unter der Voraussetzung vernachlässigbarer Aberrationen des Auges und dem Fehlen einer limitierenden Apertur wird eine im Unendlichen liegende Lichtquelle auf einen Punkt in der Fokusebene abgebildet. Fügt man eine Apertur endlicher Geometrie ein (im einfachsten Fall eine zur optischen Achse zentrierte runde Apertur mit binärem Transmissionscharakter [40]), so entsteht in der Fokusebene das fleckförmige Beugungsbild einer runden Blende (radialsymmetrische Besselfunktion), deren Durchmesser umgekehrt proportional zum Durchmesser der Blende ist [3,10, 39]. Lässt man darüber hinaus noch optische Aberrationen zu, so weitet sich der Fleck auf. Wird die Dispersion der Augenmedien ± vor allem der Linse [35] ± miteinbezogen, so wird von einer nicht monochromatischen Lichtquelle ein Spektrum an Strahlen ausgesandt, dessen Anteile separat gewichtet und übertragen werden und zu einem chromatischen Wellenfrontfehler führen [26]. Dadurch wird der Fleck zusätzlich aufgeweitet. Die Varianz in einem realen optischen Übertragungssystem ist somit für den Optiker eine Abschätzung der Abbildungsgüte des Systems, wenn auch der unmittelbare klinische Bezug dieser Gröûe fehlt. Durch die im Programmpaket realisierte Autofokusfunktion wird die Ebene detektiert, in der die Varianz der Punktstreuung minimal wird. Vergleicht man diese Strecke mit der mittels Ultraschallbiometrie ermittelten Bulbuslänge, so kann man Aussagen über den Refraktionsfehler des Patienten machen. Die Lage der Fokusebene ändert sich geringfügig mit der Pupillenweite aufgrund der Asphärizität der optischen Grenzflächen im Auge, speziell der Hornhautvorderfläche. Die Modulationstransferfunktion ist eine in der Regel komplexwertige Funktion der Ortsfrequenz und gibt an, wie sich eine Ortsfrequenz (entsprechend einem sinusförmig modulierten Streifenmuster) überträgt [10]. Ein Rechteckstreifenmuster, das der Geometrie eines Snellen-E weitgehend entspricht, lässt sich als eine Überlagerung aus einem sinusförmigen Streifenmuster und einer Folge ungeradzahliger Harmonischer darstellen. Das Bild berechnet sich demnach aus einer mit den entsprechenden Abtastwerten der Modulationstransferfunktion gewichteten Überlagerung dieser ungeradzahligen Sinusschwingungen. Limitationen des mathematischen Ansatzes Besonderes Augenmerk muss bei der Implementierung der Wellenfrontdarstellung für die Berücksichtigung der Beugung an der Pupille auf den Wellenfrontfehler zwischen benachbarten Abtastwerten gelegt werden. Treten massive Aberrationen auf, weicht das Wellenfrontverhalten an der Austrittspupille deutlich von einer sphärischen Konfiguration ab. Da nur eine begrenzte Anzahl an Strahlen für die Repräsentation des optischen Systems verwendet und der Wellenfrontfehler nur entlang dieser Strahlen untersucht wird, können systematische Fehler bei der Berechnung der Punktstreuung oder der Modulationstransferfunktion auftreten. Unter Einhaltung des Abtasttheorems [3,10,16] darf die Phase der Wellenfront sich zwischen benachbarten Messpunkten um maximal 1808 ändern, um im Syntheseprozess (Rekonstruktion einer kontinuierlichen Funktion aus den Abtastwerten) eindeutig rekonstruiert werden zu können. Wird diese Voraussetzung nicht eingehalten (Nyquist-Flanke), so treten Überfaltungen (Aliasing-Effekte) auf, die signifikante Fehler bei der Berechnung der Fouriertransformierten [10] verursachen. Aus diesem Grund wurde mit dem Subdivisionsschema neben einer Glättung der Fläche und Implementierung und Einhaltung der C1-Randbedingung eine Verfeinerung des Abtastrasters erreicht [17]. Bei den durchgerechneten Beispielen lag das Phaseninkrement der Wellenfront an der Austrittspupille zwischen benachbarten Abtastpunkten unter 578. Alternative Raytracingansätze Camp et al. [4] untersuchten die Abbildungsqualität der Hornhautvorderfläche mittels paraxialem Raytracingverfahren. Die Hornhautvorderfläche wurde repräsentiert durch topographische Krümmungsdaten der zentralen zehn Ringe des TMS-1-Systems, aus denen ohne die Annahme vereinfachender Randbedingungen eine Oberfläche mit abschnittweise konstanter Flächenkrümmung abgeleitet wurde. Mit einem repräsentativen Bündel von Strahlen wurde die ¹point-spread functionª ohne Berücksichtigung einer begrenzenden Pupille oder Beugungserscheinungen an der Pupille berechnet. Ein ausgedehntes Objekt wie beispielsweise ein Snellen-E wurde durch ein Faltungsprodukt aus der ¹point-spread functionª und dem Objekt abgetastet durch ein Raster abgeleitet. Dieser vereinfachte Ansatz setzt voraus, dass die vom abgebildeten Objekt an der Austrittspupille verursachte Wellenfront sich für das gesamte Sortiment der Objektpunkte im Raster nicht ändert, was für ausgedehnte Objekte oder lokal irreguläre Oberflächen nicht gewährleistet ist. Die Fokusebene wurde berechnet aus dem paraxialen Fokus der mittleren Brechkraft aller berücksichtigten Messdaten. Die Autoren fanden, dass die Modellierung der Sehschärfe bei massiven Wellenfrontaberrationen und bei geringen Modulationsgraden des Objektes deutlich von der klinisch evaluierten Sehschärfe der Patienten abwich. Greivenkamp et al. untersuchten anhand des Kooijman-Augenmodells die Abbildung eines punktförmigen Objektes sowie eines Rechteckmusters mittels exaktem Raytracing auf die Netzhaut [12]. Der Fokusabstand wurde in diesem Ansatz nicht berechnet oder als Optimierungsproblem formuliert, sondern durch den Fokusabstand des Modellauges ersetzt. Die Abbildung eines ausgedehnten Objektes (wie z. B. ein Rechteckstreifenmuster) wurde unter denselben vereinfachenden Annahmen analog zum Ansatz von Camp et al. [4] aus der ¹point-spread funktionª durch ein Faltungsprodukt vereinfacht. Das Auflösungsvermögen der Rezeptoren wurde der breitbandigen Querschnittsstudie von Campbell et al. [5] entnommen, bei der ein Zusammenhang zwischen dem Modulationsschwellwert und der Ortsfrequenz eines sinusförmig modulierten Streifenmusters hergestellt wurde. Greivenkamp fand an einer Gruppe von routinemäûig untersuchten Normalprobanden eine exzellente Korrelation zwischen der subjektiv ermittelten Sehschärfe und der mittels KooijmanModell prognostizierten Sehschärfe mit einem Korrelationskoeffizienten von r2 = 0,91. Langenbucher A et al. Raytracing von Hornhauttopographiedaten ¼ Klin Monatsbl Augenheilkd 2003; 220: 235 ± 246 Heruntergeladen von: Thieme E-Books & E-Journals. Urheberrechtlich geschützt. Modellierung der Sehschärfe erfolgen [5, 6, 9, 20, 25]. Die maximal erreichbare Sehschärfe wird aus einer Überlagerung der optischen Abbildung auf die Netzhaut, die Umwandlung in ein Reizsignal sowie die Interpretation durch das Gehirn gebildet. In unserer Modellierung wurde das optische System Auge als zentrisches System vereinfacht, bei dem neben der Apertur auch die Fovea auf der ¹optischen Achseª liegen. Für mittlere Pupillenweiten mag die erste Vereinfachung zutreffend sein, während die Fovea um einen Winkel von etwa 2 ± 38 auûerhalb der Achse liegt [15, 32]. Diese Vereinfachung kann fallengelassen werden, wenn ein höherer Rechenaufwand für die Berücksichtigung des Stiles-Crawford-Effektes (nicht mehr rotationssymmetrisch) sinnvoll erscheint. Schlussfolgerungen Die Berechnung des Abbildes eines Objektes aus einem beliebigen Abstand in die Fokusebene des Auges bietet neben der Möglichkeit der Berechnung des Refraktionsfehlers durch einen Vergleich mit der Ultraschallachsenlänge die Möglichkeit, beliebige Sehzeichen unter beliebigen Kontraststufen in die Fokusebene zu transformieren. Soweit Messdaten über die Lokalisation und Geometrie der refraktiv wirksamen Grenzflächen vorliegen, kön- Literatur 1 Atchinson DA, Smith G, Waterworth MD. Theoretical effect of refractive error and accommodation on longitudinal chromatic aberration of the human eye. Optom Vis Sci 1993; 70: 716 ± 722 2 Belin MW, Ratliff CD. Evaluating data acquisition and smoothing functions of currently available videokeratoscopes. J Cataract Refract Surg 1996; 22: 421 ± 426 3 Bronstein IN, Semendjajew KA. Algebra. In: Grosche G, Ziegler V, Ziegler D (Hrsg): Taschenbuch der Mathematik. 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Geht man derzeit bei einem Pentium-II-Rechner mit einer Taktfrequenz von 500 MHz für die Berechnung der Punktstreuung und der Überlagerung von drei charakteristischen Wellenlängen von einer Rechenzeit von zehn Sekunden aus, so würde sich der Aufwand an Gleitkommaoperationen (floating point operations [FLOPs] gilt als Maû für die Effizienz der Implementierung eines mathematischen Algorithmus) bei einer spektralen Abtastung von 30 Punkten innerhalb des sichtbaren Bereichs um den Faktor 10 erhöhen, die Berechnung des Bildes eines ausgedehnten Objektes in die Fokusebene würde Rechenzeiten von einigen Stunden verursachen. Aus diesem Grund wurde eine Beschränkung auf drei charakteristische Frequenzen mit einer Gewichtung von 1 : 3 : 1 (blau : grün : rot) als ausreichend erachtet. nen die asphärischen Modellflächen durch Messdaten ersetzt und damit das individuelle Abbildungsverhalten untersucht werden. Wir wendeten das Verfahren auf reale Beispiele an, um das Potenzial der Methodik für die klinische Routine aufzuzeigen. Klinische Studie Einfluss der Kontrastempfindlichkeit auf die Abbildungsqualität Sehzeichen werden bei klinischen Sehschärfetests in der Regel mit einem Kontrast von 100 % dargeboten, d. h. die Sehzeichen sind durchgeschwärzt und auf einem weiûen Hintergrund abgebildet. Bei topographischen Irregularitäten kann diese Art von Sehzeichen zu euphemistischen Ergebnissen führen, da die Muster zumindest für geringe oder mittlere Ortsfrequenzen oftmals oberhalb der Kontrastschwelle und Streuungen oder Interferenzen unterhalb der Kontrastschwelle abgebildet werden [5]. Somit werden die Halos vom Betrachter nicht als Strukturen identifiziert und verfälschen den maximal erreichbaren Visus nach oben. Verringert man dagegen den Modulationsgrad [9, 20, 24 ± 26, 42], so liegen die abgebildeten Muster sehr früh unter der Kontrastschwelle und der Betrachter ist nicht in der Lage, das dargebotene Sehzeichen zu identifizieren. Weitere Studien sind unerlässlich, um bei unterschiedlichen Modulationsgraden die Verringerung der Sehschärfe bei irregulären Hornhauttopographien mit der Sehschärfe von Normalprobanden in Beziehung zu setzen. 24 34 Roberts C. Characterization of the inherent error in a spherically-biased corneal topography system in mapping radially aspheric surface. J Refract Corneal Surg 1994; 10: 103 ± 116 35 Sami G, El Hage SG, Berny F. Contribution of the crystalline lens to the spherical aberration of the eye. J Opt Soc Am 1973; 63: 205 ± 211 36 Seiler T, Genth U, Holschbach A, Derse M. Aspheric photorefractive keratectomy with excimer laser. Refract Corneal Surg 1993; 9: 166 ± 172 37 Seiler T, Reckmann W, Maloney RK. 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