Quantenmechanik II - Fachschaft Physik

Theoretische Physik E
Gehört bei Prof. Dr. Steinhauser
KIT - Karlsruher Institut für Technologie
Wintersemester 2012/13
Mitschriebe ausgearbeitet von
Philipp Basler, Nils Braun, Larissa Bauer
Überprüft von Dennis Roy
15. Februar 2013
2
Inhaltsverzeichnis
1 Addition von Drehimpulsen
7
1.1
Drehimpuls in der klassischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Drehimpuls in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Addition von zwei Spin-1/2-Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Addition von zwei beliebigen Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5
Wigner-Eckart-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2 Wasserstoffatom: Feinstruktur
25
2.1
Wiederholungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2
Feinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.3
Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.4
Zeemann-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3 Relativistische Quantenmechanik
45
3.1
Elemente aus der speziellen Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.2
Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3
Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.4
Nicht-relativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . .
58
3.5
Lorentzkovarianz der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.6
Lösungen der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.7
Streuung von Elektronen am Coulomb-Potential
. . . . . . . . . . . . .
78
3.8
Dirac-Gleichung und Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.9
Klein’sches Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.10 Löcher-Theorie / Ladungskonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4 Zeitabhängige Phänomene
91
4.0
Wiederholung: Stationäre Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.1
Heisenberg-Darstellung / Wechselwirkungsbild . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.2
Plötzliche Veränderung des Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3
4.3
4.4
4.5
4.6
Formalismus der zeitabhängigen Störungstheorie . . . . . . . . . . .
Störungstheorie 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alternative Formulierung: Entwicklung nach Energieeigenzuständen
Anwendung: Wechselwirkung mit Strahlungsfeld, Auswahlregeln . .
5 Systeme identischer Teilchen
5.1 Identische Teilchen . . . . .
5.2 Austauschentartung . . . . .
5.3 Symmetrisierungspostulat .
5.4 Anwendung . . . . . . . . .
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6 Feldquantisierung
6.1 Euler-Lagrange-Gleichung für klassische Felder
6.2 Feldquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 CASIMIR-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Ultraviolette Regularisierung . . . . . . . . . .
7 Anhang
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98
99
103
105
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119
119
119
120
122
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127
127
133
138
140
145
4
Literatur
• Cohen-Tannoudji: ”Quantenmechanik I/II”
• Messiah: ”Quantenmechanik I/II”
• Schwabl: ”Quantenmechanik”
• Bjorken/Drell: ”Relativistische Quantenmechanik”
Wiederholung
• Schrödingergleichung
∂
ψ(~r, t) = Hψ(~r, t)
∂t
Wenn der Hamiltonoperator nicht explizit von der Zeit abhängt, geht man zur stationären Schrödingergleichung über. Die hier vorgestellte Darstellung ist die Ortsdarstellung.
i~
• Wahrscheinlichkeitsdichte und -interpretation
ρ = |ψ|2
mit dem Wahrscheinlichkeitsstrom und der Kontinuitätsgleichung
• Potentialtopf
• Postulate der Quantenmechanik
• Dirac-Notation
ψn (~r) 7→ |ψn i 7→ |ni
• Streutheorie
• Harmonischer Oszillator
• Drehimpuls
• Wasserstoffatom
• zeitunabhängige Störungstheorie
Ziel dieser Vorlesung ist die Vertiefung und Erweiterung der genannten Themengebiete.
5
6
Kapitel 1
Addition von Drehimpulsen
1.1
Drehimpuls in der klassischen Mechanik
System von N Teilchen mit Drehimpuls
~ i = ~ri × p~i
L
i = 1, . . . , N
Der Gesamtdrehimpuls ist gegeben durch
~ =
L
X
~i
L
i
Der Drehimpuls ist erhalten, wenn
~
dL
~ = ~r × F~ = 0
=M
dt
Dies ist der Fall, wenn F~ = 0 oder ~r||F~ .
1.2
1.2.1
Drehimpuls in der Quantenmechanik
Ein Teilchen
Sei J~ ein Drehimpulsoperator. Dann gilt
[J~2 , Ja ] = 0
a ∈ {x, y, z} bzw. a ∈ {1, 2, 3}
[Ja , Jb ] = iεabc Jc
7
Also haben J~2 und Jz eine gemeinsame Eigenbasis. Man bezeichnet die Vektoren mit
|j, mi. Für sie gilt
J~2 |j, mi = j(j + 1)~2 |j, mi
mit
1
3
j = 0, , 1, , . . .
2
2
Jz |j, mi = m~ |j, mi
m = −j, . . . , j
~ so ist
Eigenfunktionen Bezeichnet J~ einen Bahndrehimpuls L,
|l, mi = Ylm (θ, φ)
~ z.B. mit Spin 1/2, so ist
Ist J~ stattdessen ein Spin S,
!
!
1
0
,
0
1
|s, mi =
Auf- und Absteigeoperatoren
p
J± |j, mi = ~ j(j + 1) − m(m ± 1) |j, m ± 1i
J± = Jx ± iJy
1.2.2
Zwei nicht wechselwirkende Teilchen
H1 = −
~2
∆1 + V (r1 )
2m1
H2 = −
~2
∆2 + V (r2 )
2m2
mit den zwei Drehimpulsen
~ 1, L
~2
L
~ i = ~ri × p~i = ~ ~ri × ∇i
L
i
Das gesamte System wird dargestellt durch
H = H1 + H2
~ i , Hj ] = 0 folgt [L
~ i , H] = 0. Deshalb sind die Eigenfunktionen des Gesamtsystems
Aus [L
gegeben durch das Produkt der Eigenfunktionen der beiden Teilchen.
1.2.3
Zwei Teilchen mit Wechselwirkung
H = H1 + H2 + Ṽ (|~r1 − ~r2 |)
8
Nun ist
~ 1 , H] = [L
~ 1 , Ṽ ] 6= 0
[L
denn es ist z.B.
~
[L1z , Ṽ ] =
i
∂ Ṽ
∂ Ṽ
x1
− y1
∂y1
∂x1
!
~
= Ṽ 0 (|~r1 − ~r2 |)
i
x1 (y1 − y2 ) y1 (x1 − x2 )
−
|~r1 − ~r2 |
|~r1 − ~r2 |
6= 0
analog für die anderen Komponenten. Wir definieren deshalb wie in der klassischen Me~ =L
~1 + L
~ 2 als den Gesamtdrehimpuls, dann
chanik L
~
[Lz , H] = Ṽ 0 (|~r1 − ~r2 |)
i
1.2.4
x1 (y1 − y2 ) y1 (x1 − x2 ) x2 (y2 − y1 ) y2 (x2 − x1 )
−
+
−
|~r1 − ~r2 |
|~r1 − ~r2 |
|~r1 − ~r2 |
|~r1 − ~r2 |
=0
Eigenvektoren
Wir erhalten somit zwei Möglichkeiten für die Basis:
~ 21 , L
~ 22 , L1z , L2z
L
~ 1 und L
~ 2 keine Konstanten der Bewegung sind
Der Nachteil dieser Methode ist, dass L
und sich deshalb keine Basis zusammen mit dem Hamiltonoperator finden lässt.
~ 2 , Lz , L
~ 2, L
~2
L
1
2
Die Operatoren vertauschen alle mit dem Hamiltonoperator und sind deshalb eine gute
Wahl. Die Frage bleibt nur nach den Eigenvektoren und dem Basiswechsel. Dies nennt
sich Addition von Drehimpulsen.
1.3
Addition von zwei Spin-1/2-Teilchen
~1 , S
~2 .
System von zwei Spin-1/2-Teilchen mit S
1.3.1
Zustandsraum
Mit dem Tensorprodukt der beiden Räume
{|++i , |−+i , |+−i , |−−i} = {|ε1 , ε2 i}
erhält man
~ 2 |ε1 , ε2 i = S
~ 2 |ε1 , ε2 i = 3 ~2 |ε1 , ε2 i
S
1
2
4
9
S1z |ε1 , ε2 i =
1.3.2
ε1
~ |ε1 , ε2 i
2
S2z |ε1 , ε2 i =
ε2
~ |ε1 , ε2 i
2
~=S
~1 + S
~2
Gesamtspin S
Die vier Operatoren
~ 2 , Sz , S
~ 2, S
~ 2}
{S
1
2
müssen jetzt mit der alten Basis in Verbindung gesetzt werden. Das Ziel ist die Konstruktion von gemeinsamen Eigenbasisvektoren |S, M i. Es gilt
~12 |S, M i = S
~22 |S, M i = 3 ~2 |S, M i
S
4
~ 2 |S, M i = S(S+1)~2 |S, M i
S
Sz |S, M i = M ~ |S, M i
mit den schon bekannten Regeln
S≥0
−S ≤M ≤S
Da Sz mit allen Vektoren der alten Basis vertauscht, ist |ε1 , ε2 i auch ein Eigenvektor von
Sz mit
1
Sz |ε1 , ε2 i = (ε1 + ε2 )~ |ε1 , ε2 i
2
mit den Eigenwerten
ε1 + ε2
=M
2
Somit kann M nur die Werte ±1, 0 annehmen und S nur die Werte 1 und 0.
M = 1 : Hier ist nur der Zustand |++i möglich. Deshalb
|++i = |1, 1i
M = −1 : Hier ist nur der Zustand |−−i möglich. Deshalb
|−−i = |1, −1i
M = 0 : Hier sind die beiden Zustände |+−i , |−+i möglich.
10
1.3.3
~ 2 auf |ε1 , ε2 i an
Wende S
2
2
~
~
~
S = S1 + S2
~2 + S
~ 2 + 2S
~1 · S
~2
=S
1
2
~2 + S
~ 2 + 2S1z S2z + S1+ S2− + S1− S2+
=S
1
2
3 2
21 1
2
~
+ 0 |++i = 2~2 |++i
S |++i = 2 · ~ + 2~
4
22
3 2
1
2
21
~
S |+−i = 2 · ~ + 2~
−
|+−i + ~2 |−+i = ~2 (|+−i + |−+i)
4
2
2
~ 2 |−+i = ~2 (|+−i + |−+i)
S
~ 2 |−−i = 2~2 |−−i
S
s 1 1
1 1
S1− |+−i = ~
+1 −
− 1 |−−i = ~ |−−i
2 2
2 2
Also insgesamt
~ 2 |S, M i = S(S + 1)~2 |S, M i
S
1.3.4
Zusammenfassung
|1, 1i = |+, +i
|1, −1i = |−, −i
1
|1, 0i = √ (|+, −i + |−, +i)
2
Check:
~ 2 |1, 0i = √1 ~2 · 2 (|+, −i + |−, +i)
S
2
= 2~2 |1, 0i
Sz |1, 0i = 0
Behauptung:
1
|0, 0i = √ (|+, −i − |−, +i)
2
Beweis durch einsetzen.
11
1.4
Addition von zwei beliebigen Drehimpulsen
1.4.1
Problemstellung
Zwei Teilchen, Drehimpulse J~1 , J~2 mit der Basis |j1 , m1 i , |j2 , m2 i von J~12 , J1z , J~22 , J2z mit
den Eigenwerten
J~q2 |jq , mq i = ~2 jq (jq + 1) |jq , mq i
Jqz |jq , mq i = ~mq |jq , mq i
q ∈ {1, 2}
Zustandsraum
H = H1 ⊗ H 2
mit der Basis
|j1 , j2 ; m1 , m2 i = |j1 , m1 i ⊗ |j2 , m2 i
Gesamtdrehimpuls
J~ = J~1 + J~2
{J~2 , Jz , J~12 , J~22 } vertauschen paarweise.
Aufgabenstellung
(1) Konstruiere gemeinsame Eigenzustände dieser Observablen.
|J, M ; j1 , j2 i ≡ |J, M i
(2) Mögliche Werte für J und M ?
1.4.2
Eigenwerte von J~2 und Jz
Betrachte feste j1 , j2 . Zustandsraum
dim H = dim H1 · dim H2 = (2j1 + 1) · (2j2 + 1)
o.B.d.A. sei j1 ≥ j2
(a) Jz = J1z + J2z , |j1 , j2 ; m1 , m2 i ist EV von Jz
Jz |j1 , j2 ; m1 , m2 i = ~(m1 + m2 ) |j1 , j2 ; m1 , m2 i =⇒ M = m1 + m2
M kann folgende Werte annehmen
j1 + j2 , j1 + j2 − 1, . . . , −j1 − j2
12
ganzzahlig oder halbzahlig.
Entartungsgrad: Beispiel :
• j1 = j2 =
1
2
=⇒ M = 0, ±1
m2
M = +1
1/2
1/2
m2
M = −1
M =0
• j1 = 2, j2 = 1 =⇒ M = 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3
1
m2
M = +1
M = +3
m2
1
M = 0 M = +1
M = −3
(b) M ganz oder halbzahlig =⇒ J ganz oder halbzahlig.
Mmax = j1 + j2 =⇒ Jmax = j1 + j2
Es gilt J ≥ M ≥ −J, also Jmin =?
J
M
j1 + j2
j1 + j2 − 1
..
.
j1 + j2 , j1 + j2 − 1, . . . , −j1 − j2
j1 + j2 − 1, . . . , − (j1 + j2 − 1)
..
.
Jmin = |j1 − j2 |
|j1 − j2 |, . . . , −|j1 − j2 |
Begründung: Anzahl der M −Werte in der Tabelle. Wir verwenden als Substitution
13
J = j1 − j2 + i ⇐⇒ i = J − j1 + j2
j1 +j2
X
(2J + 1) =
2j2
X
2 (j1 − j2 + i) + 1
i=0
J=|j1 −j2 |
2j2 (2j2 + 1)
2
= (2j1 + 1) (2 (j1 − j2 ) + 1 + 2j2 )
= (2 (j1 − j2 ) + 1) (2j1 + 1) + 2
= (2j1 + 1) (2j2 + 1)
1.4.3
Eigenvektoren von J~2 und Jz
J~2 |J, M i = ~2 J(J + 1) |J, M i
Jz |J, M i = ~M |J, M i
außerdem
2
J~1,2
|J, M i = ~2 j1,2 (j1,2 + 1) |J, M i
Algorithmus zur Konstruktion von |J, M i
(1) Setze J = j1 + j2 mit M = J =⇒ nur einen Zustand. |J, Ji = |j1 , j2 ; j1 , j2 i.
(2) Wende J− auf |J, Ji an =⇒ |J, J − 1i mit J− = J1− + J2− . Also ist |J, J − 1i
Linearkombination von |j1 , j2 ; j1 − 1, j2 i , |j1 , j2 ; j1 , j2 − 1i
(3) Wende J− an bis M = −J.
(4) Erniedrige J : J → J − 1. Wähle den orthogonalen Zustand zu |J, J − 1i aus (2).
(5) Wende J− an (siehe (3)).
(6) Erniedrige J, wähle orthogonalen Zustand.
(7) Wende J− an
(8) Wiederhole das ganze bis J = |j2 − j1 |.
Beispiel: 2 Spin- 21 -Teilchen {| 21 , 12 ; m1 , m2 i}; {|S, M i}, S = 0, 1, M = 0, ±1
(1)
1 1 1 1
1 1
S = + = 1 =⇒ |1, 1i = , ; ,
,M = 1
2 2
2 2 2 2
14
(2)
S− |1, 1i = ~
p
1(1 + 1) − 1(1 − 1) |1, 0i
|
{z
}
√
2
1 1 1 1
!
= (S1− + S2− ) , ; ,
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1
= ~ , ; − ,
+ , ; , −
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1
=⇒ |1, 0i = √ , ; − ,
+ , ; ,−
2 2 2 2
2 2 2 2 2
(3)
√
S− |1, 0i = ~ 2 |1, −1i
1 1 1 1
1 1 1 1 1
!
+ , ;− ,−
= ~√ , ; − , −
2 2 2 2
2 2 2 2
2
1 1 1 1
|1, −1i = , ; − , −
2 2 2 2
(4) S = 0 Ansatz :
1 1 1 1
1 1 1 1
|0, 0i = a , ; − ,
+ b , ; ,−
2 2 2 2
2 2 2 2
a, b aus :
!
h1, 0|0, 0i = 0
=⇒ a = −b =
1.4.4
!
h0, 0|0, 0i = 1
√1
2
Clebsch-Gordan-Koeffizienten
Wir wechseln von der neuen in die alte Basis durch Einfügen einer 1:
|J, M i =
XX
m1
|j1 , j2 ; m1 , m2 i hj1 , j2 ; m1 , m2 |J, M i
m2
Die Koeffizienten hj1 , j2 ; m1 , m2 |J, M i nennt man die Clebsch-Gordan-Koeffizienten. Sie
erfüllen folgende Eigenschaften, welche direkt aus ihrer Definition folgen. Die Berechnung
erfolgt wie in Abschnitt 3 erklärt. Eine allgemeine Formel gibt es nicht. Aufgrund ihrer
Definition gibt es bestimmte Freiheiten in ihrer Wahl. Man definiert deshalb (um den
Phasenfaktor festzulegen): Alle CGK sind reell. Oft wählt man auch:
hj1 , j2 ; j1 , J − j1 |J, Ji > 0
15
Weiterhin sind die CGK nicht Null, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
M = m1 + m2
1.4.5
|j1 − j2 | ≤ J ≤ j1 + j2
Beispiel: Addition von Bahndrehimpuls l und Spin 1/2
Bezeichne
~ +S
~
J~ = L
Dann gilt nach den vorigen Betrachtungen:
1
1
j = l − ,l +
2
2
Aufgrund der Dimensionen gibt es 2(2l + 1) mögliche Zustände. Sie sind auf die Unterräume wie folgt aufgeteilt: (2l + 2) Zustände sind in H(j = l + 1/2) und 2l Zustände in
H(j = l − 1/2). Die alte Basis ist gegeben durch Vektoren der Form
1
l, ; ml , ms
2
~ 2, S
~ 2.
Gesucht ist dann eine Basis für J~2 , Jz , L
(a) Im Raum H(l + 1/2) kann M die Werte von l + 1/2 bis −(l + 1/2) annehmen. Wir
arbeiten den Algorithmus ab:
1 1
1
1
|Jmax , Mmax i = l + , l +
= l, ; l,
2
2
2 2
Wir wenden J− an:
s
1
1
1
3
1
1 1
1
J− l + , l +
=~
l+
l+
− l+
l−
l + ,l −
2
2
2
2
2
2 2
2
√
1
1
= ~ 2l + 1 l + , l −
2
2
16
und auf die rechte Seite:
1 1
1
1
= (L− + S− ) l, ; l,
(L− + S− ) l + , l +
2
2
2 2
p
1
1
= ~ l(l + 1) − l(l − 1) l, ; l − 1,
2
2
r
1
1 1
1
1 1
+~
( + 1) − ( − 1) l, ; l, −
2 2
2 2
2
2
√ 1
1
1
1
= ~ 2l l, ; l − 1,
+ ~ l, ; l, −
2
2
2
2
Wir haben also erhalten:
r
1
1
1
2l
1
1
1
1
l + , l −
l, ; l − 1,
l, ; l, −
=
+√
2
2
2l + 1 2
2
2
2l + 1 2
Würden wir J− wieder anwenden, so erhielten wir:
r
r
1
1
3
2l
−
1
1
2 1
1
l + , l −
l, ; l − 2,
l, ; l − 1, −
=
+
2
2
2l + 1 2
2
2l + 1 2
2
Wir schließen somit schon auf die allgemeine Form:
r
r
l + 1 , M = l + M + 1/2 l, 1 , M − 1 , 1 + l − M + 1/2 l, 1 , M + 1 , − 1
2
2
2
2l + 1
2 2
2l + 1
2 2
(b) Im Raum H(l − 1/2) kann M die Werte l − 1/2 bis −(l − 1/2) annehmen. Wieder starten wir mit dem maximalen M . |l − 12 , l − 21 i ist eine Linearkombination von
|l, 21 ; l − 1, 12 i und |l, 12 ; l, − 21 i. Der Zustand muss jedoch orthogonal zum schon gefundenen Zustand für |l + 21 , l − 21 i sein und außerdem normiert. Man erhält:
r
1
1
1
2l
1
1
1
1
l − , l −
l, ; l, −
l, ; l − 1,
=
−√
2
2
2l + 1 2
2
2
2l + 1 2
Durch Anwenden von J− erhält man wieder eine allgemeine Abhängigkeit:
r
r
1
l
+
M
+
1/2
l − M + 1/2 1
1
1
1
1 1
l, ; M + , −
l − , M =
−
2
l, 2 ; M − 2 , 2
2
2l + 1
2 2
2l + 1
(c) Eigenfunktionen im Ortsraum: In der alten Basis ist diese gegeben durch:
!
1
1
1
l, ; ml ,
: Rk,l (r)Yl,ml (θ, φ)
2
2
0
17
!
1
0
1
l, ; ml , −
: Rk,l (r)Yl,ml (θ, φ)
2
2
1
Mit diesem Wissen kann jetzt die Ortsdarstellung der neuen Basis berechnet werden:
!
p
l + M + 1/2 Yl,M −1/2 (θ, φ)
p
l − M + 1/2 Yl,M +1/2 (θ, φ)
1
Φl+1/2,M = Rk,l (r) √
2l + 1
Φl−1/2,M
1.5
1
= Rk,l (r) √
2l + 1
!
p
− l − M + 1/2 Yl,M −1/2 (θ, φ)
p
l + M + 1/2 Yl,M +1/2 (θ, φ)
Wigner-Eckart-Theorem
1.5.1
Vorbereitung
Skalare Operatoren A ist ein skalarer Operator, wenn gilt
~ =0
[A, J]
Es gilt
hk, j, m| A |k 0 , j 0 , m0 i ∼ aj (k, k 0 )δjj 0 δmm0
was unmittelbar aus
[Jz , A] = [J~2 , A] = 0
folgt.
Vektoroperatoren V ist Vektoroperator, wenn
[Ja , Vb ] =
X
i~εabc Vc
c
Ein einfaches Beispiel ist der Drehimpulsoperator selbst. Wenn dieser nur durch den
Bahndrehimpulsoperator gegeben ist, dann sind auch R und P Vektoroperatoren.
1.5.2
Wigner-Eckart-Theorem für Vektoroperatoren - Vorbereitung
Ziel: Zeige, dass die Matrixelemente von V~ proportional zu den Matrixelementen von J~
sind.
18
(a) Matrix von V~ : Wir definieren:
V± = Vx ± iVy
J± = Jx ± iJy
Daraus folgt:
[J+ , V− ] = −[J− , V+ ] = 2~Vz
[J+ , V+ ] = [J− , V− ] = 0
[Jz , V± ] = ±~V±
Vz :
hk, j, m| Vz |k 0 , m0 , l0 i ∝ δmm0
da [Jz , Vz ] = 0.
V± :
Jz V± = [Jz , V± ] + V± Jz = V± Jz ± ~V±
Jz V± |k 0 , j 0 , m0 i = ~(m0 ± 1)V± |k 0 , j 0 , m0 i
Also ist V± |k 0 , j 0 , m0 i ein Eigenvektor zu Jz mit Eigenwert ~(m0 ± 1). Da |k, j, mi
und V± |k 0 , j 0 , m0 i beides Eigenvektoren zu Jz sind, ist
hk, j, m| V± |k 0 , j 0 , m0 i ∝ δm,m0 ±1
da die Eigenvektoren zueinander orthogonal sind.
~ Aus [J+ , V+ ] = 0 folgt:
(b) Proportionalität der Matrixelemente von V~ und J:
hk, j, m + 2| J+ V+ |k, j, mi = hk, j, m + 2| V+ J+ |k, j, mi
Benutze
X
1=
|k 0 , j 0 , m0 i hk 0 , j 0 , m0 |
k0 ,j 0 ,m0
und beachte
hk, j, m| J+ |k 0 , j 0 , m0 i ∝ δkk0 δjj 0 δmm0 ±1
Dann gilt:
hk, j, m + 2| J+ |k, j, m + 1i hk, j, m + 1| V+ |k, j, mi
= hk, j, m + 2| V+ |k, j, m + 1i hk, j, m + 1| J+ |k, j, mi
Wir können auch umstellen auf:
hk, j, m + 2| V+ |k, j, m + 1i
hk, j, m + 1| V+ |k, j, mi
=
hk, j, m + 1| J+ |k, j, mi
hk, j, m + 2| J+ |k, j, m + 1i
19
Für j − 2 ≥ m ≥ −j ist der Nenner ungleich Null. Da m jedoch beliebig war ist das
Verhältnis unabhängig von m. Wir schreiben:
hk, j, m + 2| V+ |k, j, m + 1i
= α(k, j)
hk, j, m + 2| J+ |k, j, m + 1i
Insgesamt erhält man:
hk, j, m| V+ |k, j, m0 i = α+ (k, j) hk, j, m| J+ |k, j, m0 i
und ebenso analog:
hk, j, m| V− |k, j, m0 i = α− (k, j) hk, j, m| J− |k, j, m0 i
Wir verwenden den schon bekannten Kommutator:
[J− , V+ ] = −2~Vz
und erhalten
−2~ hk, j, m| Vz |k, j, mi = hk, j, m| J− V+ − V+ J− |k, j, mi
p
= ~ j(j + 1) − m(m + 1) hk, j, m + 1| V+ |k, j, mi
p
− ~ j(j + 1) − m(m − 1) hk, j, m| V+ |k, j, m − 1i
Benutzen wir die oben erhaltenen Beziehungen, erhalten wir (aufgrund der Orthogonalität der Zustände):
= ~2 α+ (k, j) (j(j + 1) − m(m + 1) − j(j + 1) + m(m − 1)) = −2~2 mα+ (k, j)
Insgesamt haben wir also erhalten:
hk, j, m| Vz |k, j, mi = m~α+ (k, j)
Analog erhält man durch Ausnutzung von
[J+ , V− ] = 2~Vz
die Beziehung
hk, j, m| Vz |k, j, mi = m~α− (k, j)
20
Also müssen α+ und α− gleich sein. Wir schreiben deshalb:
hk, j, m| Vz |k, j, m0 i = α(k, j) hk, j, m| Jz |k, j, m0 i
{z
}
|
=~mδmm0
(c) Wigner-Eckart-Theorem für Vektoroperatoren
Für jeden Vektoroperator V~ gilt:
hk, j, m| V~ |k, j, m0 i = α(k, j) hk, j, m| J~ |k, j, m0 i
Beschränkt man sich auf den Unterraum H(k, j) dann sind alle Matrixelemente von
~ Die α(k, j) werden berechnet, indem
V~ proportional zu den Matrixelementen von J.
~ einfach ausgerechnet werden können.
man m und m0 so wählt, dass hV~ i und hJi
1.5.3
Projektionstheorem
Betrachte Operator J~ · V~ . Wir schränken uns auf den Unterraum H(k, j) ein. Definiere
P (k, j)J~ · V~ P (k, j)
über
P (k, j) =
X
|k, j, mi hk, j, m|
m
Dann gilt:
P P
~ (k, j)
(a) P (k, j)V~ P (k, j) = m 0m |k, j, mi hk, j, m| V~ |k, j, m0 i hk, j, m0 | = α(k, j)P (k, j)JP
~ P (k, j)] = 0
(b) [J,
(c) P 2 (k, j) = P (k, j)
~ (k, j) = JP
~ (k, j)
(d) P (k, j)JP
~ (k, j)JP
~ (k, j) = α(k, j)J~2 P (k, j)
(e) P (k, j)J~ · V~ P (k, j) = α(k, j)JP
= α(k, j)~2 j(j + 1)P (k, j)
Im Unterraum H(k, j) ist der Erwartungswert von J~ · V~ für jeden beliebigen normierten Zustand |ψk,j i gleich. Denn:
~
hψk,j | J~ · V~ |ψk,j i = hJ~ · V~ ik,j = α(k, j)~2 j(j + 1) = α(k, j)hJi
21
Setzen wir das in die erste Beziehung ein, so erhalten wir das Projektionstheorem:
hJ~ · V~ ik,j ~
V~ =
J
hJ~2 ik,j
Alle Vektoroperatoren sind in H(k, j) proportional zum Drehimpulsoperator.
Die klassische Interpretation führt über ein isoliertes System. In diesem ist der gesamte
~ Nach
Drehimpuls J~ erhalten. Alle anderen physikalischen Größen präzessieren um J.
Zeitmittelung bleibt nur die Projektion von V~ auf J~ übrig.
J~ · V~ ~
V~|| =
J
|J~2 |
1.5.4
Wigner-Eckart-Theorem (allgemeiner Fall)
Sei T (r) ein irreduzibler Tensoroperator r-ter Stufe. Dann gilt:
hk, j, m| Tq(r) |k 0 , j 0 , m0 i = hj 0 , r; m0 , q|j, mi
hk, j| |T (r) | |k 0 , j 0 i
√
2j + 1
Erläuterung:
(a) Das Element hj 0 , r; m0 , q|j, mi ist ein CGK für die Addition von Drehimpulsen j 0 und
(r)
r zu j. Deshalb ist der Ausdruck für hk, j, m| Tq |k 0 , j 0 , m0 i nur dann ungleich Null,
wenn
q = m − m0
|j − j 0 | ≤ r ≤ j + j 0
(b) Das sogenannte reduzierte Matrixelement
hk, j| |T (r) | |k 0 , j 0 i
hängt nicht von m und m0 ab. In der Praxis kann es relativ leicht bestimmt werden,
indem man m und m0 geschickt wählt.
(c) Der Faktor
√
2j + 1 ist dabei reine Konvention.
(r)
(d) Die Tq für q = −r, . . . , r heißen Standartkomponenten eines irreduziblen Tensors
r-ter Stufe falls gilt:
p
(r)
[J± , Tq(r) ] = ~ r(r + 1) − q(q ± 1)Tq±1
22
[Jz , Tq(r) ] = ~qTq(r)
Beispiel:
(a) Skalare Operatoren sind irreduzible Tensoren nullter Stufe.
(b) Vektoroperatoren sind irreduzible Tensoren erster Stufe:
(1)
V1
1
= − √ (Vx + iVy )
2
(1)
V0
= Vz
1
(1)
V−1 = √ (Vx − iVy )
2
Zu zeigen ist noch, dass die definierenden Bedingungen erfüllt sind, wenn gerade
[Ja , Vb ] = iεabc Vc
erfüllt ist.
(c) Die Kugelfächenfunktionen
Yl,m
l fest
m = −l, . . . , l
2l + 1 Werte
sind Tensoren l-ter Stufe
Tm(l) = Yl,m
Es muss gelten:
[L± , Yl,m ] = ~
p
l(l + 1) − m(m ± 1)Yl,m±1
[Lz , Yl,m ] = ~mYl,m
(d) T (r) ist irreduzibler Tensor falls es keinen echten (nicht gleich dem Gesamtraum oder
dem Nullraum) unter Drehungen invarianten Unterraum gibt.
~ Vektoroperator. Dann ist Tij = Vi Wj ein reduzibler Tensor 2. Stufe,
Beispiel: V~ , W
denn:
1
1
1
2
Tij = Tr(T )δij + (Tij − Tji ) +
Tij + Tji − δij Tr(T )
3
2
2
3
Alle drei Komponenten sind invariant unter Drehungen.
23
1.5.5
Spezialisierung des allgemeinen WE-Theorems auf Vektoroperationen
hk, j||V (1) ||k 0 , j 0 i
√
2j + 1
hk, j||J (1) ||k 0 , j 0 i
√
hk, j, m|Jq(1) |k 0 , j 0 , m0 i = hj 0 , 1; m0 , q|j, mi
2j + 1
hk, j, m|Vq(1) |k 0 , j 0 , m0 i = hj 0 , 1; m0 , q|j, mi
mit k = k 0 , j = j 0 folgt
(1)
hk, j, m|Vq |k, j, m0 i
(1)
hk, j, m|Jq |k, j, m0 i
=
hk, j||V (1) ||k, ji
hk, j||J (1) ||k, ji
= α (k, j)
Dies ist das WE-Theorem für Vektoroperationen.
24
Kapitel 2
Wasserstoffatom: Feinstruktur
Ziele
(1) Anwendung der Störungstheorie
(2) Fundamentale Konzepte der Atom und Teilchenphysik.
2.1
Wiederholungen
Lösung der Schrödinger-Gleichung mit Coulomb Potential
p~2
+ V (r)
2µ
Ze2 1
V (r) = −
4πε0 r
H0 =
µ ist die reduzierte Masse des Systems mit
µ=
me mp
≈ me ≡ m
me + mp
Fundamentaler Parameter
α=
e2
1
≈
4πε0 ~c
137.03
Energieeigenwerte
mc2 (Zα)2
En = −
2
n2
Bahnradius
a0 =
~
Zαmc
Comptonwellenlänge
~
= λc
mc
25
Eigenfunktionen
ψn,l,ml ,ms (r, θ, ϕ) = Rnl (r) · Yml (θ, ϕ) · ξms
32 s
ρ
2
1 (n − l − 1)! l
L2l+1
Rnl = −
n+l (ρ)
3 ρ exp −
2
a0
n
2
2 ((n − l)!)
ξms
1
= s = ; ms ; = |↑i , |↓i ; = |+i , |−i ; =
2
ρ=
2r
a0 n
!
!
1
0
,
0
1
Bemerkung
(i) H0 ist nur ein Näherung, nicht berücksichtigt sind relative Effekte und magnetische
Effekte (Elektron bzw Protonenspin)
(ii) In der Praxis ist die Näherung gut da α << 1. Allerdings sind spektroskopische
Experimente sensitiv auf die vernachlässigten Effekte
Idee : Wende Störungstheorie auf H = H0 + H1 an.
2.2
Feinstruktur
H1 = Hrel + HLS + HD = HF S
2.2.1
Zusätzliche Terme im Hamiltonoperator
Bemerkung: Strenge Herleitung ist nicht möglich. Hier: Beschränkung auf physikalische
Interpretation.
relativistische Korrektur Hrel relativistischer Ausdruck für Energie
E=
p
(pc)2 + (mc2 )2
|~
p|<<mc
=
mc2 +
p~2
p~4
−
± ...
2m 8m3 c2
Damit
Hrel = −
p~4
8m3 c2
Größenordnung:
|Hrel |
≈
|Hel |
p
~4
8m3 c2
p
~2
2m
26
=
p~2
1 2
=
β
4m2 c2
4
Weiterhin
h2T i = hV i =⇒ mv 2 ≈
α~c
v
e2
=
= α2 mc2 =⇒ β = ≈ α
4πε0 a0
a0
c
Also
|Hrel |
≈ α2 ≈
|Hel |
1
137
2
Damit |H0 | ≈ 10 eV → |Hrel | ≈ 1 meV
Spin-Bahn-Koppelung HLS heuristische Betrachtung :
V =−
~ = −∇V = − ~r dV
E
r dr
Ze
4πε0 r
~
Elektron sieht in seinem Ruhesystem das E−Feld
und
~ = 1 E
~ × ~v = − 1 1 dV L
~
B
c2
c2 rm dr
mit ~v = mp~ als Geschwindigkeit des Elektrons.
~
Wechselwirkung des magnetischen Moments des Elektrons mit Magnetfeld B
~
HLS = −~µ · B
1
1 dV ~
e~
L
=− S· − 2
m
c mr dr
1 Ze2 1 ~ ~
= 2 2
S·L
m c 4πε0 r3
exakte Behandlung (Thomas 1927) liefert
HLS =
1 Ze2 1 ~ ~
L·S
2m2 c2 4πε0 r3
Bemerkung: HLS beschreibt die Wechselwirkung des magnetischen Moments des
Elektronenspins mit dem durch die Elektronenbewegung ”gesehenen” Magnetfeld.
~ |S|
~ ≈~
Größenordnung |L|,
|HLS | Z=1
=
|H0 |
~2
m2 c2 r3
1
r
27
≈
~2
m2 c2 a20
~
a0 = mcα
≈
α2
Darwin-Term Zitterbewegung des Elektrons um Kern : δr ≈
mittleres Potential
~
mc
. Elektron fühlt
1
h(δ~r∇) (δ~r∇) V i + . . .
2
3
1 X
isotrope Fluktuation
=
V (~r) + 0 + h
(δxi )2 ∂x2i V i + . . .
2 i=1
hV (~r + δ~r)i = hV (~r)i + hδ~r∇V i +
(δx1 )2 =(δx2 )2 =(δx3 )2 = 31 (δr)2
=
V (~r) +
1
(δr)2 ∇2 V
6
Exakte Behandlung
HD =
1
~2 Ze
(δr)2 ∇2 V =
(4πδ(~r))
8
8m2 c2 4πε0
Größenordnung
Z=1
hψ|HD |ψi =
~2
e2
4π|ψ(0)|2
2
2
8m c 4πε0
R
Es gilt |ψ(r)|2 dr3 = 1 , weiterhin ist um den Ursprung das Volumen ca a30 und
damit |ψ(0)|2 ≈ a13 . Damit
0
~2
(αmc)3
hψ|HD |ψi ≈
~cα4π
≈ mc2 α4 ≈ α2 |H0 |
2
2
3
8m c
~
2.2.2
Störungstheorie 1. Ordnung
Relativistische Korrektur Die korrekte Behandlung führt über die Störungstheorie für entartete Zustände. Das ist sehr kompliziert und aufwändig auszuführen. Wir benutzen
deshalb einen Trick: Wir schreiben:
Hrel
1
=−
2mc2
p~2
2m
2
=−
1
T2
2mc2
und mit H0 = T + V folgt
Hrel = −
1
H02 − H0 V − V H0 + V 2
2
2mc
Mit diesen Definitionen sehen wir:
~ 2 ] = [Hrel , Sz ] = [Hrel , S
~ 2] = 0
[Hrel , Lz ] = [Hrel , L
28
Deshalb sind die Eigenzustände
ψnlml ms = Rnl Ylml ξms
welche schon vorher für das ungestörte Problem gefunden wurden, auch Eigenzustände von Hrel . Die Diagonalisierung, welche beim Entwickeln der Störtheorie nötig
wäre, ist damit unnötig geworden. Man erhält:
(1)
Erel = hψnlml ms | Hrel |ψnlml ms i
und mit der Definition von Hrel von oben und dem Wissen, wie H0 auf die Zustände
wirkt, erhalten wir:
1
=−
2mc2
1
1
2
2
En − 2En (−Zα~c)
+ (Zα~c)
r
r2
Durch analytische Rechnungen erhalten wir:
1
1
Zαmc
=
=
2
r
a0 n
~n2
1
r2
=
1
(Zα)2 (mc)2
=
a20 n3 (l + 1/2)
~2 n3 (l + 1/2)
Setzen wir das ein und sortieren, so erhalten wir:
(1)
Erel
1
Zαmc
mc2 (Zα)2
2m
2
2
=−
En −
+ 2(Zα~c)
− (Zα) (~c) 2
2mc2
2
n2
~n2
~ n(l + 1/2)
und nach Umsortieren erhalten wir:
(1)
Erel
(Zα)2
= −En
n2
n
3
−
4 l + 1/2
LS-Kopplung Hier ist jetzt die Diagonalisierung nicht mehr so einfach, denn
~ · S,
~ Lz ] 6= 0
[L
~ · S,
~ Sz ] 6= 0
[L
Das bedeutet, dass die Matrix hψnlml ms | HLS |ψnlml ms i nicht mehr diagonal ist. Aber
auch hier können wir wieder einen Trick anwenden: Wir benutzen Drehimpulsaddition und verwenden die neue Basis über den Gesamtdrehimpuls
~ +S
~
J~ = L
29
Damit ist
~ ·S
~ = 1 J~2 − L
~2 − S
~2
L
2
und wenn wir in die neue Basis mit den CGK c
|l, s; ml , ms i 7→ |j, mj ; l, si =
X
c(l, ml , s, ms , j, mj ) |l, s; ml , ms i
ml ,ms
wechseln, dann ist HLS in dieser neuen Basis diagonal und wir haben uns die Diagonalisierung wieder gespart. Genauer:
2
~ ·S
~ |j, mj ; l, si = ~ ((j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)) |j, mj ; l, si
L
2

2 l
j = l + 1/2
~
|j, mj ; l, si
= εj |j, mj ; l, si =
2 −l − 1 j = l − 1/2
Wir gehen vor wie oben:
(1)
ELS
1 Ze2
= hψnjmj ls | HLS |ψnjmj ls i =
εj
2m2 c2 4πε0
1
r3
mit den analytisch zu erhaltenden Ergebnis:
1
r3
=
1
1
3 3
a0 n l(l + 1/2)(l + 1)
Deshalb betrachten wir erst einmal den Fall l 6= 0. Man erhält nach Umsortieren
das Endergebnis:
εj
(Zα)2
(1)
ELS = −En 2
~ nl(l + 1/2)(l + 1)
Wir betrachten jetzt den Fall l = 0. Dann ist j = 1/2 und
~ ·S
~ |j, mj , l, si = 0
L
und die Energiekorrektur ist ebenfalls Null.
Darwin-Term Dieser ist aufgrund seiner Form sehr einfach zu Berechnen:
(1)
ED
=
1 ~2 Ze2
(3)
4πδ (~r)
8 m2 c2 4πε0
30
Es ist
(3)
h4πδ (~r)i = 4π √
1
4π
2
2 |Rnl (0)|
δl0 = 4
1
na0
3
4
δl0 = 3
n
Zαmc
~
3
δl0
und damit insgesamt
(1)
ED = −En
(Zα)2
δl0
n
Alle Korrekturen Insgesamt erhält man für die Feinstruktur in erster Ordnung:
(1)
(1)
(1)
(1)
EFS = Erel + ELS + ED
2
= −En



(Zα)  3
n
−
+
2
n
4 l + 1/2 
n
2(l+1/2)(l+1)
−n
2l(l+1/2)

(1 − δl0 ) + nδl0 
Bringen wir alles auf den Hauptnenner, so werden die beiden Fallunterscheidungen
unnötig und man erhält für alle Fälle das Ergebnis
(1)
EFS
(Zα)2
= −En
n2
3
n
−
4 j + 1/2
mit j = l + 1/2 oder j = l − 1/2.
Bemerkungen:
(1) Die Korrektur hängt nur vom Gesamtdrehimpuls ab.
(2) Die ”guten” Quantenzahlen sind jetzt n, j, mj , l und s.
(3) Die spektoskopische Notation für einen Zustand ist:
n2s+1 lj
wobei
l = {S, P, D, . . . }
n = 1, 2, . . .
(4) Auch für Quark-Quark-Systeme erhält man die selbe Rechnung und damit die selben
Ergebnisse.
(5) Die hier eingeführten relativistischen Korrekturen sind in der Dirac-Gleichung schon
enthalten. Sie ist eine relativistische Gleichung, welche den Spin des Elektrons schon
enthält. Sie löst auch die Schrödingergleichung, ist aber in der Praxis wesentlich
31
schwerer zu lösen. Für kompliziertere Atome gibt es jedoch keine äquivalente DiracGleichung (diese ist nicht zu verallgemeinern).
H0
n=1
H0 + HFS (1)
2
2
2
EFS = − − mc2 (Zα)
− 41 (Zα)
2
n
n2
− 18 mc2 α4
2
n=2
S1/2
j=3/2, 4 Zustände
1
− 128
mc2 α4
2
P3/2
5
−
mc2 α4
2
2 128
S1/2 P1/2
j=1/2t, 4 Zustände
Abbildung 2.1: Anfang des Termschemas des Wasserstoffatoms
Energieniveaus, Termschema
2.3
Hyperfeinstruktur
Wir betrachten nur den Fall n = 1 und Z = 1, da alle anderen Fälle zu kompliziert sind.
2.3.1
Protonenspin
Bisher wurde der Spin des Protons vernachlässigt. Man definiert deshalb den Protonenspin I. Der magnetische Moment ist dann gegeben durch
µ
~ I = gp µp
I~
~
µp =
gp ~
2Mp
|µp | |µe |
Weil die Masse des Protons viel größer als die Masse des Elektrons ist. Mit der Beachtung
des Proton-Spins ist das n = 1-Niveau 4-fach entartet mit
1
1
n = 1, l = 0, ml = 0, ms = ± , mI = ±
2
2
32
2.3.2
Hamiltonoperator
Der neue Hamiltonoperator für n = 1 ist dann definiert als:
2
HHFS = −µ0 µ
~ sµ
~ I δ (3 (~r)
3
Die Herleitung führt über eine Multipolentwicklung des Problems. Die gyromagnetischen
Vehältnisse sind definiert über
µ
~ S = ge
e ~
S
2me
µ
~ I = gP
−e ~
I
2Mp
mit
ge ≈ 2
2.3.3
gp ≈ 5.585
Störungstheorie 1. Ordnung
Wir betrachten Matrixelemente der Form
~ |ms , mI i
hn = 1, l = 0, ml = 0, m0s , m0I | HHFS |1, 0, 0, ms , mI i = A hm0s , m0I | I~ · S
mit
2e gp (−e)
2
h1, 0, 0| δ (3) (~r) |1, 0, 0i
A = − µ0
{z
}
3 2me 2Mp |
|R10 (0)|2 /4π
=4
2.3.4
4 me
1 (αme c)3
1 e2
2 4 1
m
c
α 2
=
g
e
p
3 4πε0 c2 me Mp ~3
3 Mp
~
Berechnung des Matrixelementes
~ Aus den Werten erhält man, dass F
Wir betrachten wieder den Gesamtspin F~ = I~ + S.
nur die Werte 0 und 1 annehmen kann. Dann ist
1 ~ 2 ~2 ~ 2 ~
~
I ·S =
F −I −S
2
und nach dem Basiswechsel von der |ms , mI i-Basis in die |F, mF i-Basis (über die CGK)
ist das Matrixelement jetzt diagonal. Es ist dann
2
~ |F, mF i = ~ (F (F + 1) − I(I + 1) − S(S + 1)) |F, mF i
I~ · S
2
33
und schließlich
(1)
EHFS = A~2

1
F = 1 mF = 0, ±1
4
− 3
4
F = 0 mF = 0
Bemerkung
(i) Die 4-fache Entartung des n = 1-Niveaus wird (teilweise) aufgehoben.
(ii) Für n = 2 erhält man in der Feinstruktur die Zustände 2s1/2 , 2p1/2 (gleiche Energie)
und 2p3/2 . In der Hyperfeinstruktur sind 2s1/2 und 2p1/2 genauso wie oben nach den
zwei F -Werten (0,1) aufgespalten. Beim Zustand 2p3/2 ergeben sich für F die Werte
1 und 2.
34
2.3.5
Niveauaufspaltung für n = 1 und n = 2 im Wasserstoffatom
5
4
3
5/2
3/2
1/2
3
2, 3
1
0
+1/2
±1/2
−1/2
+1/2
3/2
1
+1/2
1/2
0
1
−1/2
−1/2
2
2
1
2
1
1
0
1
0
2
1
1
0
1
0
1
0
1
+1/2
0
1/2
Bohr
Feinstruktur
Lamb-Verschiebung
Hyperfeinstruktur
Lösungen der
Schrödingergleichung
ohne Spin.
Entartung:
Spin-Bahn-Kopplung
und relativistische
Korrektur.
Strahlungskorrektur (QED)
Spin-Spin-Kopplung
(Energieskala
100-mal gestreckt)
Abbildung 2.2: Schematisches Termschema des Wasserstoffatoms für die ersten beiden
Werte von n.
Bemerkung
(i) Bei der HFS für n = 1 ist die experimentelle Genauigkeit sehr groß. Es ist
A~
= 1 420 405 751, 768 ± 0.001 Hz
2m
(ii) Mit diesem sehr genauen Messergebnis lässt sich die QED genau prüfen und dann
die Feinstrukturkonstante α sehr genau bestimmen. Da gp jedoch nicht genau bestimmbar ist, benutzt man stattdessen ein Positronium (e− e+ ) oder ein Myonium
(µ+ e− ).
35
(iii) Wasserstoffmaser
(iv) Radioastronomie (aufspüren von Wasserstoffatomen im interstellaren Raum). Diese
liefert Informationen über die Dichte, die Temperatur und die Bewegung der Materie.
2.4
2.4.1
Zeemann-Effekt
Wiederholung
Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld. Das Teilchen habe die Masse m, die
~ r, t). Das magnetische Feld sei B(~
~ r, t).
Ladung Q und das elektrische Feld die Stärke E(~
~ r, t) mit
Diese reellen Funktionen sind beschreibbar durch Potentiale φ(~r, t) und A(~
~
~ = − ∂ A − ∇φ
~
E
∂t
~ =∇
~ ×A
~
B
~ und
Bei der Wahl der Potentiale besitzt man eine gewisse Eichfreiheit unter der sich B
~ nicht ändern:
E
∂
~0 = A
~ + ∇Λ(~
~ r, t)
A
φ0 = φ − Λ(~r, t)
∂t
Der Hamiltonoperator eines Teilchens im Feld lautet dann:
1
H=
2m
2
~~
~
∇ − QA + Qφ
i
Die Schrödingergleichung
∂
ψ = Hψ
∂t
bleibt invariant unter dem Wechsel der Eichfunktion.
i~
Für den Hamiltonoperator ergibt sich weiterhin:
H=−
~2
i~Q ~ ~
i~Q ~ ~ Q2 ~ 2
∆+
A∇ +
∇A +
A + Qφ
2m
2m
2m
2m
Verwenden wir die Coulombeichung
~A
~=0
∇
erhält man:
H=−
~2
∆+
2m
i~Q ~ ~
A∇
| m{z }
paramagnetischer Term
36
+
Q2 ~ 2
A
|2m
{z }
diamagnetischer Term
+Qφ
Konstantes Magnetfeld
~
Wir wählen die z-Achse in B-Richtung
und erhalten dann
~
~ = − 1 ~r × B
A
2
Paramagnetischer Beitrag
i~Q ~ ~
i~Q −1 i~Q ~
~
~
~ =− Q L
~ ·B
~
~r × B ∇ =
~r × ∇ B
A∇ =
m
m 2
2m
2m
Diamagnetischer Beitrag
Q2 ~ 2 2
Q2 2 ~ 2
Q2 ~ 2
2
~
~r B − (~r · B) =
A =
B (x + y 2 )
2m
8m
8m
Vergleich der beiden Beiträge
2
Q B
2 2
2 ~
(x
+
y
)
8m
Q=e |e|a20 B
≈ 10−6 B in Tesla
≈
~ ·B
~ −QL
4~
2m
weswegen der diamagnetische Anteil so gut wie vernachlässigbar ist (wichtig aber z.B.
bei Neutronensternen oder Elektronen in Metallen)
Vergleich von paramagnetischem Anteil und Coulombenergie
− Q L
~ 2m ~ · B
mc2 (Zα)2 ≈
−
2
n2
|e|
~B
2m
~2
2a20 m
=
|e|Ba20
~
Auch hier ist der paramagnetische Anteil wieder klein und wir können Störungstheorie
anwenden.
Bemerkung Eigentlich ist definiert
~
H = −~µ · B
Deswegen ist
|µdia | ∝ B
und der Name ”Diamagnetisch” erklärt sich. µ des paramagnetischen Terms hängt dafür
nicht vom Magnetfeld ab.
37
Normaler Zeeman-Effekt
Betrachte Wasserstoffatom ohne Spin im Magnetfeld. Hamilton-Operator :
H = H0 −
e ~ ~
L·B
2m
~ ·B
~ = BLz . Daraus
|n, l, ml i sind Eigenfunktionen zu H0 und auch Eigenfunktonen von L
folgt
H |n, l, ml i = (En + ωL ~ml ) |n, l, ml i
eB
Lamor-Frequenz
ωL = −
2m
Aufspaltung in (2l+1) äquidistante Niveaus.
Bemerkung
(1) Aufspaltung aufgrund von Bahndrehimpuls. Dies ist der ”normale” Zeeman-Effekt.
(2) Wasserstoffatom
• Aufspaltung in gerade Anzahl von Niveaus. → ”anomaler” Zeeman-Effekt.
2.4.2
Das Wasserstoffatom im Magnetfeld
Hamiltonoperator:
H = H0 + HFS + HHFS + Hz
~ = B~ez , B konstant.
Nun wieder B
~
Hz = − (~µL + µ
~S + µ
~I) B
e ~
µ
~L =
L
2m
e ~
µ
~ S = ge
S
hier: ge = 2
2m
e ~
µ
~ I = −gP
I
2m
Im Folgenden setzen wir voraus:
~
|Hz | >> |HHFS |, |~µI B|
38
H0
HF S
Hz
j = l + 21
j =l−
und deshalb
Hz = −
1
2
Aufspaltung in 2j + 1 Niveaus
2l + 2 Niveaus
l − 12
2l Niveaus
−(l − 12 )
e
e
(Lz + 2Sz ) B = −
(Jz + Sz ) B
2m
2m
Wir entwickeln jetzt die Theorie in zwei Schritten:
~
(a) schwaches B-Feld
=⇒ |HFS | >> |Hz |. Betrachte Hz als Störung zu HFS
=⇒ Benutze Eigenzustände |n, j = l + 21 , mj , l, s = 12 i = |n, j, mj , li. Betrachte festes
n und j:
hn, j, mj , l|Jz |n, j, mj , li = mj ~
1
1
hn, j = l ± , mj , l|Sz |n, j = l ± , mj , li = ∗
2
2
Benutze
s
j = l ± 1 , mj , l = ± l ± mj +
2
2l + 1
1
2
s
l, mj − 1 , ms = 1 + l ∓ mj +
2
2
2l + 1
1
2
l, mj + 1 , ms = − 1
2
2
Daraus folgt für den Erwartungswert von Sz (∗)
∗=±
mj ~
2l + 1
Man erhält also
1
e~
1
1
hn, j = l ± , mj , l|Hz |n, j = l ± , mj , li = −
Bmj 1 ±
2
2
2m
2l + 1
Bemerkung
(1) Alle entarteten Niveaus spalten auf in 2j+1 Niveaus
(2) Annahme: hl|Hz |l0 i = 0. Verwendung von nicht-entarteter Störungstheorie, da
hl|Hz |l0 i = 0 angenommen wird.
(b) Beliebiges Magnetfeld
Wende entartete Störungstheorie auf HFS + Hz an.
39
Startpunkt: |n, j = l + 21 , mj , li =⇒ HFS ist diagonal.
~ 2 , Hz ] = 0
[L
!
~ 2 , Hz ]|l0 i
=⇒ 0 = hl|[L
= ~2 (l(l + 1) − l0 (l0 + 1)) hl|Hz |l0 i
=⇒ l 6= l0 =⇒ hHz i = 0
[H0 , Hz ] = 0 =⇒ hn|Hz |n0 i = 0 für n 6= n0
[Jz , Hz ] = 0 =⇒ hmj |Hz |m0j i = 0 für mj 6= m0j
• n = 1, l = 0, j = 21 , mj = ± 21 . Matrix ist diagonal.
Ez(1)
1
1
e~
= 1, , mj , 0 Hz 1, , mj , 0 = − Bmj
2
2
m
• n=2
n=2
l=0
j = 21 (S 1 )
2
l=0
j=
j=
1
2
1
2
l=1
j=
3
2
mj
− 12
− 12
+ 12
∗1
+ 12
j=
1
2
(P 1 )
− 12
2
+ 21
l=1
j=
− 32
− 12
3
2
(P 3 )
2
+ 12
+ 32
∗1
− 12
+ 12
− 32
− 12
+ 12
+ 32
∗2
∗2
∗3
∗3
∗1
∗2
∗2
∗3
∗3
∗1
Wir diagonalisieren die beiden 2 × 2 Matrizen mit mj = − 21 und mj = + 21
(angedeutet durch ∗2 und ∗3 ) einzeln.
(1) für |n, j = l + 12 , mj = ±(l + 21 ), li ist HFS + Hz diagonal.
Ez(1) = hHz i = ∓
e~
B(l + 1)
2m
Negatives Vorzeichen bei mj = +(l + 12 ) und positives bei mj = −(l + 12 ).
40
(2) |mj | < l +
1
2
diagonalisierbare 2 × 2 Matrix.
!
hn, j = l + 21 , mj , l|HFS + Hz |n, j = l + 21 , mj , li
hj = l + 12 |Hz |j = l − 21 i
hj = l − 12 |Hz |j = l + 21 i
hj = l − 21 |HFS + Hz |j = l − 12 i
e~
Sei µB = − 2m
. Dann lässt sich die Matrix umformen zu
√

(1)
EF S (j
= l + 21 ) + µB Bmj 2l+2
√ 1 2 2 2l+1
(l+ 2 ) −mj
−µB B
2l+1
−µB B
(1)
EF S (j
=l−
(l+ 12 )2 −m2j
2l+1
1
)
2
+
2l
µB Bmj 2l+1


Bemerkung zu den Nebendiagonalelementen: Es gilt
1
1
hj = l + |Jz |j = l − i = 0
2
2
q
(l + 12 )2 − m2j
1
1
hj = l + |Sz |j = l − i = −~
2
2
2l + 1
Eigenwerte der 2 × 2 Matrix:
(1)
EF S+Z
∆F S
1
∆F S
=
= l − ) + µB Bmj +
±
2
2
1
1
(1)
(1)
= EF S (j = l + ) − EF S (j = l − )
2
2
(1)
EF S (j
s
∆2F S
mj
+ µB B∆F S
+
4
2l + 1
µB B
2
2
Wir prüfen die behaupteten Gleichungen in einigen Grenzfällen:
(1) Wie im vorigen Punkt setzen wir ∆F S µB B. Dann ist die Energiekorrektur
in erster Näherung
(1)
EF S+Z
=
(1)
EF S
∆F S
∆F S
1 4µB B mj
1
+ µB Bmj +
±
1+
j =l−
2
2
2
2 ∆F S 2l + 1
=
(1)
EF S
1
j =l±
2
+ µB Bmj 1 ±
und damit das selbe Ergebnis wie davor.
41
1
2l + 1
(2) Der s.g. Paschen-Back-Effekt: ∆F S µB B. Dann ist in erster Näherung
(1)
EF S+Z
∆F S
µB B
1 4∆F S mj
1
+ µB Bmj +
±
1+
=
j =l−
2
2
2
2 µB B 2l + 1
(1)
(1)
1
1
EF S j = l + 2 − EF S j = l − 2
1
∆F S mj
=
+ µB B mj ±
±
2
2
2l + 1
2
2
mj ms
(Zα) 3
n
(Zα)
− En
−
= µB B(mj + ms ) − En
n l(l + 1)(l + 1/2)
n2
4 l + 1/2
nm2s
(Zα)2
+ En
n2 l(l + 1)(l + 1/2)
ml ms
(Zα)2 3
n
(Zα)2
− En
−
= µB B(ml + 2ms ) − En
n l(l + 1)(l + 1/2)
n2
4 l + 1/2
(1)
EF S
nachdem wir
(1)
(1)
EF S (j = l + 12 ) + EF S (j = l − 21 )
(Zα)2 3
n
= −En
−
2
n2
4 l + 1/2
nm2s
(Zα)2
+ En
n2 l(l + 1)(l + 1/2)
und
mj = ml + ms
benutzt haben.
Nehmen wir beide betrachteten Abhängigkeiten zusammen, so kommen wir auf folgendes Termschema für n = 2:
5
4
3
+2
+1
0
-1
-2
5/2
3/2
1/2
2
+1
0
-1
3/2
+3/2
+1/2
−1/2
−3/2
+1/2
−1/2
1/2
0
1
+1
+1/2
0
+1/2
−1
+1
+1/2
−1/2
0
−1/2
−1
−1/2
0
+1/2
0
−1/2
+1/2
1/2
−1/2
Bohr
Normaler
Zeeman-Effekt
Feinstruktur
Anomaler
Zeeman-Effekt
PaschenBack-Effekt
Lösungen der
SchrödingerGleichung ohne Spin.
Magnetfeld ohne
Berücksichtigung
des Spins.
Spin-Bahn-Kopplung
und relativistische
Korrektur.
Magnetfeld mit
Berücksichtigung
des Spins.
B < ls-Kopplung
Magnetfeld mit
Berücksichtigung
des Spins.
B > ls-Kopplung
Abbildung 2.3: Termschema für Wasserstoff im Magnetfeld für n = 2
42
Es ist also je nach Magnetfeld geschickter eine andere Basis zu verwenden:
Kein Magnetfeld oder kleines Magnetfeld Hier sind es die Feinstrukturvektoren, die als Basis geschickt sind:
|j, mj , l, si
Großes Magnetfeld Das Magnetfeld entkoppelt den Bahndrehimpuls und den Spin.
Es ist besser wieder in die alte Basis
|l, ml , s, ms i
zu wechseln.
43
44
Kapitel 3
Relativistische Quantenmechanik
Dieses Kapitel ist neu in der Quantenmechanik II. Die vorher betrachtete Schrödingergleichung lässt sich aus der Mechanik ableiten. Viele Dinge wie Impuls und Masse konnten
nach dem Korrespondenzprinzip übertragen werden. In diesem Kapitel suchen wir jetzt
eine Art Ersatz für die Schrödingergleichung für Teilchen, welche sich mit fast Lichtgeschwindigkeit bewegen.
3.1
3.1.1
Elemente aus der speziellen Relativitätstheorie
Relativitätsprinzip von Einstein, Lorentztransformation
Das Relativitätsprinzip postuliert zwei Annahmen:
(i) Alle Inertialsysteme sind gleichwertig.
(ii) Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen gleich.
Aus diesen Postulaten folgt direkt die Lorentztransformation. Nehmen wir zwei Intertialsysteme mit den Ortsvektoren xα und x0α , dann besagt die Lorentztransformation die
Transformation zwischen den beiden Systemen:
x0α = Λαβ xβ + bα
wobei Folgendes gelten muss:
(Λαγ )T gαβ Λβδ = gγδ ⇐⇒ ΛT gΛ = g
45
mit gµν dem metrischen Tensor (1,-1,-1,-1 auf der Diagonalen) und
xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 )T =
!
ct
~x
einem kovarianten 4-Ortsvektor.
3.1.2
Beispiel:
IS’ bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit v relativ zu IS. Zuerst müssen wir die
Gleichung ΛT gΛ = g lösen. Wir erhalten dann die Lösung für die Lorentztransformation
(Boost in x-Richtung) mit


γ
−γβ 0 0


−γβ

γ
0
0
0ν
 xµ
x =
 0
0
1 0


0
0
0 1 νµ

cosh ψ − sinh ψ

− sinh ψ cosh ψ
=

0
0

0
0
0
0
1
0

0

0
 xµ
0

1 νµ
Dabei ist tanh ψ gerade gegeben durch β. ψ nennt sich Rapidität. β und γ sind die wie
in der Relativitätstheorie üblich bezeichneten Variablen.
3.1.3
Tensor n-ter Stufe
Ein allgemeiner Tensor transformiert wie
T 0µ1 ,...,µn = Λµν11 · · · Λµνnn T ν1 ,...,νn
Dies lässt sich auf einzelne Beispiele übertragen:
Skalare Sie bleiben erhalten
φ0 = φ
Vektoren Ein Beispiel ist der Ortsvektor von vorhin:
A0µ = Λµν Aν
Tensoren 2. Stufe
F 0µν = Λµρ Λνσ F ρσ
46
3.1.4
Eigentliche und uneigentliche Lorentztransformationen
Eigentliche LT sind gegeben durch alle Transformationen, bei denen die Determinante von
Λ gleich 1 ist. Beispiele sind Boosts oder Drehungen, die aus infinitesimalen Transformationen zusammengesetzt werden können. Uneigentliche LT besitzen eine Determinante
von -1 und sind gegeben durch Raumspiegelungen und Zeitumkehr.
3.1.5
Notation
Ein 4-Vektor heißt kontravariant in Schreibweise Aµ falls er transformiert wie ein Ortsvektor, also
A0µ = Λµν Aν
Ein 4-Vektor in der Schreibweise Aµ nennt sich kovariant und ist definiert über den
kontravarianten:
Aµ = Aν gνµ
Das Längenquadrat eines Vektors ist gegeben durch
s2 = x20 − ~x2 = gµν xµ xν
Allgemein ist das Skalarprdukt zwischen zwei Vektoren gegeben durch
A · B = Aµ B µ = Aµ Bµ = gµν Aµ B ν
Daran sieht man auch, dass das Skalarprodkt invariant unter LT ist, denn es gilt
A0 B 0 = g µν Λµρ Λνσ Aρ B σ = AB
Es ist
g µν gνρ = gρµ = δρµ
die Einheitsmatrix.
Möchte man Ableitungen betrachten, dann ist die Divergenz
∂ µ Aµ = ∂µ Aµ =
∂A0 ~ ~
+ ∇A
∂x0
denn es ist
∂
=
∂µ =
∂xµ
1 ∂
c ∂t
!
~
∇
Obwohl es sich hier also um einen kovarianten Vektor handelt, steht ein Pluszeichen. Dies
47
kommt daher, dass natürlich weiterhin
∂µ xν = δµν
gelten soll. Analog ist dann
1 ∂
c ∂t
∂µ =
!
~
−∇
Als letztes definieren wir hier noch den d’Alembert-Operator
= ∂µ ∂ µ =
1 ∂2
−∆
c2 ∂t2
Alle hier auftretenden griechischen Buchstaben werden als Indizees von 0 bis 3 benutzt.
Die auftretenden lateinischen Buchstaben (als Indizees) starten bei 1.
3.1.6
Relativistische Mechanik in der speziellen Relativitätstheorie
Die Wirkung eines freien Teilchens (Lagrange-Mechanik) ist gegeben durch
Z
S = −mc
Z
Z p
p
2
2
2
(dx0 ) + (d~x) = −mc
dt 1 − β 2
ds = −mc
2
Im klassischen Grenzfall erhalten wir wieder die bekannten Formeln. Die Bewegungsp
gleichung lautet mit L = −mc2 1 − β 2
∂L
=0
∂xi
i
mc2 cv2
∂L
mẋi
p
p
=
=
= pi
∂ ẋi
1 − β2
1 − β2
mit dem verallgemeinerten Impuls p. Die Bewegungsgleichung lautet dann insgesamt
d mẋi
p
=0
dt 1 − β 2
Die Hamiltonfunktion solch eines Systems ist gegeben durch
H=
X
i
p
m~v 2
mc2
pi q̇i − L = p
+ mc2 1 − β 2 = p
= γmc2 = E
2
2
1−β
1−β
Die Hamiltonfunktion ist zeitunabhängig. Durch weitere Rechnung erhält man die so genannte Energie-Impuls-Beziehung (oder auch Dispersionsrelation) für ein relativistisches
48
Teilchen
E 2 − c2 p~2 = m2 c4
Mit dieser Relation kommt man auf den 4-Impuls:
pµ =
!
E/c
p~
p2 = pµ pµ = m2 c2
Zerfall eines π − → µ− + ν (Pion in Myon und Antineutrino) Wir nehmen die
Masse des Antineutrinos als Null an. Dann benutzen wir die Energie-Impulserhaltung des
Vierervektors p (für jedes Teilchen einzeln definiert). Achtung: hier ist nur α ein Index.
pαπ = pαµ + pαν
Daraus folgt die Energie- und Impulserhaltung:
p~απ = p~αµ + p~αν
Eπα = Eµα + Eνα
Wir stellen uns jetzt zum Beispiel die Frage, wie groß die Impulse von Myon und Antineutrino im Schwerpunktsystem des Pions sind. Wir erhalten mit
Eν = |~pν |c
q
Eµ = m2µ c4 + |~pµ |2 c2
Eπ = mπ c2
zuerst
p~ν = −~pµ
und dann
3.1.7
m2π − m2µ
|~pν | = |~pµ | = c
2mπ
Elektrodynamik in kovarianter Form
Das Ziel dieses Abschnittes ist die Formulierung der Maxwellgleichungen und der Wellengleichung in einer Form, so dass sich diese unter LT nicht ändert. Wir versuchen also
die Gleichungen mit Tensoren umzuschreiben.
Wir definieren zuerst den 4-Strom:
jµ =
cρ
~j
!
Die Kontinuitätsgleichung
0=
∂ρ ~
+ ∇j
∂t
49
lautet dann ganz einfach
∂µ j µ = 0
Da die Kontinuitätsgleichung immer (in jedem IS) gilt, ist das Ergebnis 0 ein Skalar.
Damit dies der Fall ist, muss j also ein 4-Vektor sein.
Weiter betrachten wir die Wellengleichung in der Lorenzeichung. Sie lautet (in nicht
kovarianter Form)
ρ
φ =
ε0
Definieren wir jetzt das 4-Potential mit
!
φ/c
~
A
Aµ =
Dann lautet die Wellengleichung ganz einfach
Aµ = µ0 j µ
Die Lorenzeichung
1 ∂φ ~ ~
+ ∇A = 0
c2 ∂t
in kovarianter Form lautet
∂µ A µ = 0
Um die Maxwellgleichungen aufzuschreiben, definieren wir den Feldstärketensor
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
Er ist ein antisymmetrischer Tensor und besitzt dementsprechend 6 unabhängige Komponenten. Dies sind gerade die elektrischen und magnetischen Felder. Sie sind in dieser
Eichung definiert über
~ = −∇φ
~ −A
~˙
~ =∇
~ ×A
~
E
B
also

Fµν

0
Ex /c Ey /c Ez /c


−Ex /c
0
−Bz By 


=

−E
/c
B
0
−B
y
z
x

−Ez /c −By Bx
0
oder in kontravarianter Form
50

F µν

0
−Ex /c −Ey /c −Ez /c


Ex /c

0
−B
B
z
y

=
E /c
Bz
0
−Bx 
 y

Ez /c −By
Bx
0
Die homogenen Maxwellgleichungen in kovarianter Form lauten dann
∂ρ Fµν + ∂µ Fνρ + ∂ν Fρµ = 0
Dabei ist die Wahl der Indizes in der Reihenfolge egal. Die Relation ist jeweils identisch
erfüllt. Die Gleichung ist nur dann nicht-trivial, falls alle drei Indizees verschieden sind.
Deshalb ergeben sich aus dieser Gleichung 4 Differentialgleichungen (und zwar gerade die
bekannten homogenen Maxwellgleichugnen)
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
Die homogenen Maxwellgleichung kann in der kompakten Form
∂ρ F̃ ρσ = 0
geschrieben werden mit dem dualen Feldstärketensor
1
F̃ ρσ = ερσµν Fµν
2
und dem Pseudotensori



1


ερσµν = −1



0
(ρ, σ, µ, ν) ist gerade Permutation von (0, 1, 2, 3)
ungerade Permutation
sonst
Die inhomogenen Maxwellgleichungen lauten
∂µ F νµ = µ0 j ν
in kovarianter Form. Setzt man wieder die möglichen Werte für die Indizees ein, so erhält
i
Ein Pseudotensor transformiert unter eigentlichen LT wie ein normaler Tensor, unter uneigentlichen
LT wie ein normaler Tensor mit einem Minuszeichen.
51
man die bekannten inhomogenen Maxwellgleichungen
~
~ ×B
~ − 1 ∂ E = µ0~j
∇
c2 ∂t
~ ·E
~ = cµ0 j 0
∇
3.1.8
Kovariante Formulierung der Lorentz-Kraft
Wir setzen die Lagrangefunktion eines Teilchens im Potential (wie oben erhalten) an
L = −mc2
p
~ · ~v − qφ
1 − β 2 + qA
Sie führt auf die Bewegungsgleichung
~ i
ṗi = qEi + q(~v × B)
Auch dies können wir wieder in kovarianter Form schreiben:
ṗa =
1
pν
qFiν
γ
m
Nachtrag
Aµ ist 4-Vektor, falls er transformiert wie xµ . Zum Beispiel ist x̃µ = (2x0 , x1 , x2 , x3 )T
kein 4-Vektor, da x̃0µ = (2x00 , x01 , x02 , x03 )T ungleich Λµν x̃ν ist. Auch a = (1, 2, 3, 4) ist kein
4-Vektor.
3.2
3.2.1
Klein-Gordon-Gleichung
Motivation
Wir stellen einige Anforderungen an eine Wellengleichung, welche relativistisch invariant
ist:
• Sie muss dem Relativitätsprinzip gehorchen
• Sie muss eine Lorentz-invariante Form besitzen
• Sie soll die Postulate der Quantenmechanik weiterhin befolgen. φ wollen wir also
weiterhin als Wellenfunktion auffassen können und sein Normquadrat als Wahrscheinlichkeitsdichte. Observablen sollen durch hermitesche Operatoren dargestellt
werden können, deren Eigenwerte die Messwerte repräsentieren. Eine beliebige Wel52
lenfunktion soll nach Eigenfunktionen einer Observablen entwickelbar sein. Schließlich soll die zeitliche Entwicklung weiterhin gegeben sein durch
i~
3.2.2
∂φ
= Hφ
∂t
Freies nichtrelativistisches Teilchen
Für dieses Beispiel lautet die Hamiltonfunktion in der klassischen Mechanik einfach
p~2
H=
2m
Nach dem Korrespondenzprinzip folgern wir
H → i~
∂
∂t
p~ →
~~
∇
i
und erhalten somit die Schrödingergleichung für ein freies Teilchen
~2
∂φ
=−
∆φ
i~
∂t
2m
Diese Gleichung ist nicht Lorentzinvariant, da sie nicht symmetrisch in Orts- und Zeitableitung ist. Trotzdem hat sie in vielen Experimenten ihre Richtigkeit bewiesen. Wir
versuchen deshalb ähnlich vorzugehen:
3.2.3
Freies relativistisches Teilchen
(a) Wir versuchen die bekannte Relation für die Energie zu benutzen:
H=
p
m2 c4 + p~2 c2
Dies führt auf die Gleichung
i~
∂φ √ 2 4
= m c − ~2 c2 ∆φ
∂t
Die Wurzel eines Operators ist nur definiert über eine Reihenentwicklung. Man erhält also beliebig hohe Terme in ∆, was wiederum zu einer Asymmetrie führt. Wir
probieren deshalb weiter:
(b) Stattdessen verwenden wir jetzt das Quadrat:
H 2 = p~2 c2 + m2 c4
53
Außerdem quadrieren wir auch die Zeitabhängigkeit, also
−~2
∂2
2 2
2 4
φ
=
−~
c
∆
+
m
c
φ
∂t2
Schreiben wir die Gleichung um, so erhalten wir die sogenannte Klein-Gordon-Gleichung
m2 c2
+ 2
~
φ=0
Aus dieser KG-Gleichung wollen wir jetzt den Wahrscheinlichkeitsstrom ableiten.
Wir gehen dabei analog vor wie bei der Schrödingergleichung und multiplizieren die
KG-Gleichung mit der konjugierten Wellenfunktion. Man erhält dann:
m 2 c2
m2 c2
φ−φ + 2
φ∗ = 0
φ + 2
~
~
∗
Dies ist (mit Tensoren geschrieben)
∂ µ (φ∗ ∂µ φ − φ∂µ φ∗ ) = 0
Ausmultipliziert erhält man (erweitert mit
∂ i~
∂t 2mi2
~
)
2mi
∂φ∗
∗ ∂φ
~ − φ∇φ
~ ∗ =0
~ ~ φ∗ ∇φ
−φ
φ
+∇
∂t
∂t
2mi
Wir definieren wie früher den Wahrscheinlichkeitsstrom als
~ − φ∇φ
~ ∗
~j = ~ φ∗ ∇φ
2mi
Die Definition der Wahsrcheinlichkeitsdichte schlägt aber fehlt, da
i~
ρ=
2mi2
∂φ∗
−φ
φ
∂t
∂t
∗ ∂φ
nicht positiv definit ist. Der Grund liegt in den möglichen negativen Energien, da die
Wurzel in
p
H = ± p~2 c2 + m2 c4
auch negative Lösungen hat. Die negativen Energien werden dann (später in der
Dirac-Gleichung) als Antiteilchen definiert. Die KG-Gleichung bekommt vor allem in
der Quantenfeldtheorie eine große Bedeutung zu.
Insgesamt liefert die KG-Gleichung zwar gute Resultate, aber die gesamte Zeitent54
wicklung ist noch nicht alleine aufgrund der Anfangsbedingung gegeben. Auch können wir ρ nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretieren.
3.3
Dirac-Gleichung
3.3.1
Gesucht: Gleichung der Form i~∂t ψ = Hψ
Bemerkung
• Hamiltonoperator muss lineare Ortsableitungen haben.
• Ansatz
~c
H=
i
3
X
!
αj ∂xj
+ βmc2
j=1
αj als normale Zahl ist nicht möglich, da H dann nicht invariant unter räumlichen
Drehungen wäre.
• Vorschlag: i~∂t ψ = Hψ ist Matrix-Gleichung mit


ψ1
 . 
. 
ψ=
 . 
ψN
und αj , β sind N × N -Matrizen.
3.3.2
Forderungen an Dirac-Gleichung
(1) Muss die Energie-Impuls-Beziehung E 2 = p~2 c2 + m2 c4 erfüllen.
(2) Muss Kontinuitätsgleichung erfüllen und Wahrscheinlichkeitsinterpretation für die
Wellenfunktion zulassen.
(3) Muss Lorentz-kovariant sein.
55
3.3.3
Zu 1.
Jede Komponente von ψ muss Klein-Gordon-Gleichung erfüllen.
−~2 ∂t2 Ψj = −~2 c2 ∇2 + m2 c4 ψj
i~∂t ψ = Hψ
3
−~2 ∂t2 ψ =
~c X
αi ∂xi + mc2 β
i i=1
!
3
~c X
αj ∂xj + mc2 β
i j=1
3
X
!
ψ
3
~mc3 X
αi αj ∂xi ∂xj +
= −~2 c2
(αi β + βαi ) ∂xi + m2 c4 β 2
i
i,j=1
i=1
!
= −~2 c2 ∆ + m2 c4 ψ
!
ψ
αi αj +αj αi
2
Mit αi αj =
Daraus folgt
αi β + βαi = 0
β2 = 1
αi αj + αj αi = 2δij 1
αi2 = 1
3.3.4
Weitere Eigenschaften von αi und β
• αi , β müssen hermitesch sein, damit H hermitesch ist, d.h. αi† = αi , β † = β
• αi2 = β 2 = 1 =⇒ Eigenwerte sind ±1
•
Tr(αi ) = −T r (βαi β)
= −Tr β 2 αi
= −Tr (αi )
=⇒ Tr (αi ) = 0
Analog
Tr(β) = 0
P
Allgemein gilt Tr(A) =
λi , wobei λi die Eigenwerte von A sind. Daraus ergibt
sich, dass αi , β genauso viele Eigenwerte +1 wie -1 haben. Daraus folgt, dass Dimension N gerade sein muss.
56
N = 2 nicht möglich, denn es gibt in 2 Dimensionen nur 3 miteinander anti-kommuntierende
Matritzen: Pauli-Matrizen
N = 4 ist möglich, z.b.
0 σi
σi 0
αi =
!
β=
!
1 0
0 −1
Mit den Pauli Matrizen
0 1
1 0
σ1 =
!
σ2 =
!
0 −i
i 0
σ3 =
!
1 0
0 −1
Bem: αi , β sind nicht eindeutig bestimmt.
3.3.5
zu 2. Stromerhaltung
Multipliziere i~∂t ψ = Hψ mit ψ † von links
3
~c X †
i~ψ ∂t ψ =
ψ αi ∂xi ψ + mc2 ψ † βψ
i i=1
†
Multipliziere −i~∂t ψ † = (Hψ)† mit ψ von rechts
3
−i~ ∂t ψ
†
~c X
ψ=−
∂xi ψ † αi ψ + mc2 ψ † βψ
i i=1
Differenz der beiden Gleichungen ergibt
3
~c X
∂x ψ † αi ψ
i~∂t ψ ψ =
i i=1 i
†
=
ˆ ∂t ρ + ∇~j = 0
dies gibt uns
2
ρ = kψk =
4
X
ψi∗ ψi
~ji = cψ † αi ψ
i=1
Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation ist somit möglich.
Noch zu zeigen :
!
cρ
Jµ =
~j
ist ein 4-Vektor ebenso wie die Kovarianz der Dirac-Gleichung.
57
3.3.6
Lösung für freies, ruhendes Elektron
Die Dirac-Gleichung lautet in diesem Fall
i~
∂
ψ = βmc2 ψ
∂t
Da β in der Dirac-Darstellung Diagonalform hat, sind dies 4 entkoppelte Differenzialgleichungen mit 4 linear unabhängigen Lösungen. Wir setzen die Lösungen
ψ (1) = e−i
mc2
t
~
(1, 0, 0, 0)T
ψ (2) = e−i
ψ (3) = ei
mc2
t
~
(0, 0, 1, 0)T
ψ (4) = ei
mc2
t
~
mc2
t
~
(0, 1, 0, 0)T
(0, 0, 0, 1)T
an.
Betrachten wir die Lösungen, welche wir in der Schrödingergleichung erhalten haben,
dann würden die Lösungen 1 und 2 zu Energien E > 0 gehören und sehr gut dazu
passen. Die Lösungen 3 und 4 sind jedoch Lösungen mit negativer Energie - was wir
bisher noch nicht verstehen können.
3.4
3.4.1
Nicht-relativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung
Betrachte Wechselwirkung mit Elektromagnetischem-Feld
Es sei wieder Aµ =
Φ
c
!
~
A
. Minimale Kopplung
pµ → pµ − eAµ


α1
 
Daraus folgt mit α
~ = α2 
α3




 ~


2
~
 i~∂t −eΦ ψ = c~
α
∇ − eA +βmc  ψ
|{z}
i


0
|
{z
}
=cp
(3.1)
~ p−eA
~
Π=~
Woher kommt minimalistische Substitution?
~ i , Φ = 0 . Es gilt, falls ψ Lösung ist =⇒ ψ 0 = exp i e ϕ ψ, ϕ = const.
A
~
ϕ = ϕ(~x, t)? =⇒ ψ 0 ist keine Lösung der Dirac-Gleichung. Aber ψ 0 = exp i ~e ϕ(~x, t) ψ
58
ist Lösung der Dirac-Gleichung , falls
e ψ → ψ = exp i ϕ ψ
~
0
Φ → Φ = Φ − ∂t ϕ
~→A
~0 = A
~ + ∇ϕ
A
0
3.4.2
Nicht-relativistischer Limes von 3.1
!
!
0 σi
1 0
Verwende αi =
,β =
. Sei ψ =
σi 0
0 −1
Spaltenvektoren sind. 3.1 liefert dann
i~∂t
!
ϕ̃
wobei ϕ̃, χ̃ 2-komponentige
χ̃
!
!
!
!
ϕ̃
χ̃
ϕ̃
ϕ̃
~
= c~σ Π
+ mc2
+ eΦ
−χ̃
χ̃
χ̃
ϕ̃
Nicht-relativistischer Grenzfall : mc2 ist größte Energie.
Ansatz
!
!
ϕ
ϕ̃
i 2
= exp − mc τ
~
χ
χ̃
|
{z
}
| {z }
dominante Zeitabhängigkeit langsam veränderliche Funktionen
einsetzen:
i~∂t
!
!
!
!
ϕ
χ
ϕ
0
~
= c~σ Π
+ eΦ
+ mc2
χ
ϕ
χ
−2χ
Betrachte die untere Gleichung mit der Näherung |i~∂t χ|, |eΦχ| << |mc2 χ|, dass also
mc2 die größte auftretende Energie ist. Daraus folgt
χ=
~
c~σ · Π
ϕ
2mc2
Eingesetzt in die erste Zeile ergibt sich


2
~
~
σ
·
Π


i~∂t ϕ = 
+ eΦ ϕ
2m
59
Verwende (~σ · ~a) ~σ · ~b = ~a~b + i~σ ~a × ~b . Daraus folgt
2
2
~
~
~
~
~σ · Π = Π + i~σ Π × Π
~ 2 − i~σ p~ × eA
~ + eA
~ × p~
=Π
~e
2
~ + eA
~ × p~
~ − i~σ −eA
~ × p~ +
∇×A
=Π
i
~ 2 − e~~σ B
~
=Π
Und damit insgesamt die so genannte Pauli-Gleichung
"
#
~ 2
(~p − eA)
e~ ~
∂
−
~σ B + eφ ϕ
i~ ϕ =
∂t
2m
2m
Diese Gleichung hatten wir schon aus der Schrödingergleichung eines spinlosen Teilchens
~ =∇
~ ×A
~ bzw.
erhalten. Verwende jetzt noch B
~ = 1 ~r × B
~
A
2
~ 2 , da wir ein schwaches homogenes Magnetfeld ansetWir vernachlässigen die Terme in B
zen. Wir erhalten dann
2
~ = p~2 − eB
~L
~
p~ − eA
~ und der Coulombeichung ∇
~ ·A
~ = 0. Die Pauligleichung
mit dem Bahndrehimpuls L
vereinfacht sich dann zu
2
p~
e ~
∂
~
~
−
L + 2S B + eφ ϕ
i~ ϕ =
∂t
2m 2m
~ = ~ ~σ einführen.
wenn wir S
2
Bemerkungen
(i) ϕ hat zwei Komponenten. Sie entsprechen den zwei Spinfreiheitsgraden eines Elektrons (+ und -). Der Spin entstand also ganz natürlich aus der Dirac-Gleichung.
(ii) Das gyromagnetische Verhältnis ge = 2 entstand ganz einfach und richtig aus der
Dirac-Gleichung. Genauer ist der Zahlenwert nicht ganz richtig. In der QED erhält
man noch weitere Terme, die dann das richtige Ergebnis liefern:
α
ge = 2 1 +
+ . . . α2 + . . . α3 + . . . α4 + . . . α5
2π
60
Der experimentelle Wert im Moment ist
ge − 2
= 1159652180.73(0.28) · 10−12
2
der theoretische Wert ist
ge − 2
= 1159652181.78(0.77) · 10−12
2
Der Fehler in der Bestimmung von α ist also größer als der bei der Bestimmung von
g aus Experiment und Theorie.
(iii) Dieses Ergebnis ist eine starke Motivation, dass die Dirac-Gleichung ein relativistisches Elektron beschreibt.
3.5
Lorentzkovarianz der Dirac-Gleichung
Das Ziel ist die Forminvarianz der Dirac- und der Kontinuitätsgleichung unter LT zu
zeigen.
3.5.1
Umschreiben der Dirac-Gleichung
Es ist sinnvoller, die Gleichung in einer anderen Form zu schreiben:
i~
1∂
~
+α
~ · ∇ ψ − mcβψ = 0
c ∂t
Wir definieren 4 neue Matrizen:
γ0 = β
γ i = β · αi
und erhalten damit die Gleichung
0 ∂
1 ∂
2 ∂
3 ∂
i~ γ
+γ
+γ
+γ
ψ − mcψ = 0
∂x0
∂x1
∂x2
∂x3
oder umgeschrieben:
(i~γ µ ∂µ − mc) ψ = 0
mit
γµ =
γ0
~γ
!
∂µ =
61
1 ∂
c ∂t
~
−∇
!
Bemerkungen
(i) Die γ µ sind nicht eindeutig festgelegt. Die γ µ müssen nur die Vertauschungsrelationen
der α und β erfüllen. Diese sind
{γ µ , γ ν } = 2g µν
(ii) Manchmal ist es aber bequem, eine bestimmte Darstellung zu wählen:
γ0 =
1 0
0 −1
!
γi =
0 σi
−σi 0
!
(iii) Wir definieren weiterhin für eine Größe a:
a
/ = γ µ aµ
die Feynmandagger- oder auch Slash-Notation. Die Diracgleichung lautet dann einfach
i~∂/ − mc ψ = 0
(iv) Mit pµ = i~∂ µ ergibt sich
p/ − mc ψ = 0
(v) Für eine Wechselwirkung mit einem elektromagnetischen Feld ersetzen wir einfach
pµ durch pµ − eAµ und erhalten damit die Gleichung
/ − mc ψ = 0
p/ − eA
(vi) Der Wahrscheinlichkeitsstrom ist
µ
j =
cρ
~j
!
=
cψ † ψ
cψ † α
~ψ
!
Mit der Definition
ψ̄ = ψ † γ 0
erhält man
cψ † ψ = cψ̄γ 0 ψ
cψ † α
~ ψ = cψ̄~γ ψ
und damit
j µ = cψ̄γ µ ψ
62
(vii) Wir benutzen später natürliche Einheiten ~ = 1, c = 1. Zu jeder Zeit kann jedoch die
Gleichung in SI-Einheiten rekonstruiert werden (wir verlieren also keine Information).
Damit wird die Diracgleichung zu
p/ − m ψ = 0
3.5.2
Nachweis der Kovarianz
(a) Vorüberlegungen:
(i) Wir schreiben x statt xµ
(ii) Wir betrachten zwei IS O und O0 . Λµν ist die Lorentztransformation zwischen
den beiden Systemen.
(iii) Wir wollen in diesem Kapitel folgendes zeigen: Wenn im IS O ein ψ(x) berechnet
wurde, dann muss die Lösung ψ 0 (x0 ) der Dirac-Gleichung im anderen IS O0 aus
ψ(x) mit Λ berechenbar sein. ψ 0 (x0 ) muss also die Gleichung
0µ ∂
− mc ψ 0 (x0 ) = 0
i~γ
∂x0µ
erfüllen, wobei natürlich γ 0 = γ erfüllt ist.
(iv) Zusammenhang zwischen ψ(x) und ψ 0 (x0 ) ist linear, da die Dirac-Gleichung und
die Lorentztransformation linear sind. Wir machen also den Ansatz
ψ 0 (x0 ) = S(Λ)ψ(x)
mit einer 4x4-Matrix S(Λ).
(b) Bestimmungsgleichung für S(Λ): Es gilt
ψ 0 (x0 ) = ψ 0 (Λx) = S(Λ)ψ(Λ−1 x0 )
Oder anders
ψ(x) = S −1 (Λ)ψ 0 (x0 ) = S −1 (Λ)ψ 0 (Λx) = S(Λ−1 )ψ 0 (x0 )
Also muss also
S −1 (Λ) = S(Λ−1 )
gelten.
63
Die Diracgleichung in O lautet
(i~γ µ ∂µ − mc) ψ(x) = 0
mit ψ(x) = S −1 (Λ)ψ 0 (x0 ) erhält man daraus
i~S(Λ)γ µ S −1 (Λ)∂µ − mc ψ 0 (x0 ) = 0
Führen wir eine LT durch, dann müssen wir beachten:
∂µ = Λνµ ∂ν0
und erhalten
i~S(Λ)γ µ S −1 (Λ)Λνµ ∂ν0 − mc ψ 0 (x0 ) = 0
In O0 lautet die Diracgleichung
(i~γ ν δν0 − mc) ψ 0 (x0 ) = 0
Es muss also gelten:
S(Λ)γ µ S −1 (Λ)Λνµ = γ ν
Bzw.
Λνµ γ µ = S −1 (Λ)γ ν S(Λ)
(3.2)
Bemerkung :
(i) 3.2 ist Bestimmungsgleichung für S(Λ).
(ii) Wellenfunktionen, die sich unter ψ 0 (x0 ) = S(Λ)ψ(x) und 3.2 transformieren heißen 4-komponentige Lorentz-Spinoren. Beachte: ψ hat 4 Komponenten, ist aber
kein 4-Vektor.
(iii) Konstruiere S(Λ) =⇒ Kovarianz der Dirac-Gleichung ist bewiesen.
Wir werden im Weiteren die möglichen Fälle für eine Lorentztranformation Λ betrachten und für jeden Fall eine Matrix S konstruieren.
(c) Infinitesimale, eigentliche Lorentztransformationen
Wir setzen also eine Art Entwicklung für Λ an:
Λνµ = gµν + ∆ωµν
64
Aus ΛT gΛ = g folgt die Antisymmetrie von ∆ω
∆ω νµ = −∆ω µν
Bemerkung
(1) ∆ω µν hat 6 unabhängige Komponenten.
(2) Die Komponenten ∆ω 0i entsprechen einem Boost in xi -Richtung.
(3) Die Komponenten ∆ω 12 , ∆ω 13 , ∆ω 23 sind die Drehung um die z,y,x-Achse.
Wir entwickeln S nach Potenzen von ∆ω µν
i
S = 1 − σµν ∆ω µν + O (∆ω)2
4
i
−1
S = 1 + σµν ∆ω µν
4
Die Matrizen σµν sind dabei die Entwicklungskoeffizienten und müssen noch bestimmt werden. Für sie gilt
σµν = −σνµ
nach Wahl. Einsetzen in die Bestimmungsgleichung Λνµ γ µ = S −1 (Λ)γ ν S(Λ) liefert:
gµν
i
i
ρσ
αβ
ν
+
γ = 1 + σρσ ∆ω
γ 1 − σαβ ∆ω
4
4
i
∆ωµν γ µ = ∆ω ρσ (σρσ γ ν − γ ν σρω )
4
1
= (∆ω νµ γµ − ∆ω µν γµ )
2
1
= ∆ρσ gρν gσµ γµ − gρµ gσν γµ
2
1
= ∆ω ρσ gρν γσ − gσν γρ
2
∆ωµν
µ
Es muss also gelten
2i gρν γσ − gσν γρ = γ ν σρσ − σρσ γ ν
= [γ ν , σρσ ]
Die Gleichung
2i gρν γσ − gσν γρ = [γ ν , σρσ ]
65
(3.3)
schränkt jetzt die Wahl der Matrizen σµν ein. Die Aufgabe ist die Konstruktion dieser
6 Matrizen, so dass 3.3 erfüllt ist. Die Lösung ist die Wahl
i
σµν = [γµ , γν ]
2
was man durch einfaches Einsetzen mithilfe von
{γ µ , γ ν } = 2g µν
zeigen kann. Damit ergibt sich für infinitesimale Lorentz-Transformationen
1
S = 1 + [γµ , γν ]∆ω µν + O (∆ω)2
8
i
= 1 − σµν ∆ω µν + O (∆ω)2
4
(d) Endliche L.T.
Eine endliche L.T. kann durch wiederholtes Anwenden der infinitesimalen L.T. konstruiert werden. Wir betrachten einen Boost in x-Richtung als Beispiel. Dazu trennen
wir ∆ω auf in
∆ωµν = ∆ωIµν
mit für einen Boost in x-Richtung:


0 −1 0 0


−1 0 0 0
ν

Iµ = 
0
0 0 0


0
0 0 0
Die komplette endliche L.T. kann dann aus Λνµ = δµν + ∆ωµν konstruiert werden
x0ν = lim
N →∞
g+
ω ν ω α1
ω αN µ
I
g+ I
... δ + I
x
N α1
N α2
N µ
= (exp (ωI))µν xµ
= (cosh (ωI) + sinh (ωI))νµ xµ
ν
= 1 − I 2 + I 2 cosh ω + I sinh ω µ xµ
ν

cosh ω − sinh ω 0 0


− sinh ω cosh ω 0 0 µ
 x
=


0
0
1
0


0
0
0 1 µ
66
was genau der schon bekannten Matrix Λνµ für einen Boost in x-Richtung entspricht.
Dabei wurde benutzt, dass

1

0
I2 = 
0

0
0
1
0
0
0
0
0
0

0

0

0

0
I3 = I
Für einen Boost in y−, z−Richtung oder für eine Drehung kann analog vorgegangen
werden (nur muss dann I anders gewählt werden).
(e) Endliche Spinortransformationen
Wir wollen jetzt ähnlich für eine endliche Spinortransformation vorgehen. Wir konstruieren sie also als Aneinanderkettung infinitesimaler Spinortransformationen.
ψ 0 (x0 ) = S(Λ)ψ(x)
N
ω µν
i
ψ(x)
= lim 1 − σµν In
N →∞
4
N
i
µν
= exp − ωσµν In ψ(x)
4
Mit n als ”Drehungen” um Achse in n−Richtung, ∆ω =
vorher. Ein paar Beispiele zur Verdeutlichung:
ω
N
und ∆ωµν = ∆ωIµν wie
(1) Für einen Boost in x-Richtung ist wie vorhin schon gesehen


0 −1 0 0


−1 0 0 0
ν

Iµ = 
0

0
0
0


0
0 0 0

I µν = Iρµ g ρν
0

−1
=
0

0
und damit
σµν I µν = σ01 − σ10 = 2σ01
Schließlich erhält man als Spinortransformation
i
ψ (x ) = exp − ωσ01 ψ(x)
2
0
0
67
1
0
0
0
0
0
0
0

0

0

0

0
(2) Bei einer Raumdrehung um den Winkel ϕ um die z−Achse ist

0 0 0

0 0 1
Iνµ = 
0 −1 0

0 0 0

0

0

0

0

I µν
0

0
=
0

0

0 0 0

0 −1 0

1 0 0

0 0 0
und damit
σµν I µν = −σ12 + σ21 = −2σ12
Man erhält also die Transformation
0
0
ψ (x ) = exp
i
ϕσ12 ψ(x)
2
Mit
σ12
i
= [γ1 , γ2 ] =
2
σ3 0
0 σ3
!
Beachte: Der Drehwinkel ist ϕ2 . Erst nach einer Drehung um 4π hat ψ(x) wieder
seinen ursprünglichen Wert erhalten. Physikalische Größen müssen also immer
bilinear in ψ(x) sein um physikalisch sinnvolle Aussagen machen zu können.
(f) Zusammenhang zwischen S, S † , S −1
Wir benutzen
σij† = σij
†
σ0i
= −σ0i
γ0† = γ0
γi† = −γi
(1) Betrachte zuerst räumliche Drehungen. Hier ist
i
ij
SR = exp − ωij σ
4
i
†
ij
SR = exp + ωij σ
= SR−1
4
SR ist also unitär.
(2) Für einen Boost in x−Richtung z.B. ist
i
SL = exp − ωσ01
2
68
mit
σ01
0 σ1
=i
σ1 0
Also ist
SL = exp
ω
2
0 σ1
σ1 0
!
!!
= SL†
SL ist nicht unitär. Es gilt jedoch
SL−1 = γ 0 SL† γ 0
da {γ 0 , σ0i } = 0. Außerdem gilt auch
SR−1 = γ 0 SR† γ 0
da [γ 0 , σ ij ] = 0.
(3) Insgesamt gilt also für eigentliche LT:
S −1 = γ 0 S † γ 0
(g) Zusammenfassung: Eine LT überführt
ψ → ψ 0 (x0 ) = S(Λ)ψ(x)
mit
i
S(Λ) = exp − ωσµν Inµν
4
Außerdem wird überführt:
ψ † → ψ 0† = ψ † S † (Λ)
Da dies nicht symmetrisch ist, definieren wir ψ̄ = ψ † γ0 und erhalten dann
ψ̄ → ψ̄ 0 = ψ † S † γ 0 = ψ̄S −1
Somit muss ψ̄ψ ein lorentzinvarianter Skalar sein. Außerdem ist auch ψ̄γ µ ψ ein lorentzinvarianter Vektor, da
ψ̄ 0 γ µ ψ 0 = ψ̄S −1 γ µ Sψ = Λµν ψ̄γ ν ψ
Insbesondere ist also
j µ = cψ̄γ µ ψ
69
ein 4-Vektor. Die Kontinuitätsgleichung ∂ µ jµ = 0 ist also lorentzinvariant. Die Wahrscheinlichkeitsdichte j 0 = cρ transformiert sich wie die Zeit-Komponente eines 4Vektors.
3.5.3
Raumspiegelungen
Wir betrachten also jetzt Transformationen
~x0 = −~x
t0 = t
Die Dirac-Gleichung ist kovariant, falls es eine Lösung von
Λνµ γ µ = P −1 (Λ)γ ν P (Λ)
gibt. Zur besseren Unterscheiden bezeichnen wir die Transformationsmatrix nicht mehr
mit S, sondern mit P (für Parität). Dabei ist
Λνµ = diag (1, −1, −1, −1)
Man erhält also die Gleichungen
γ 0 = P −1 γ 0 P
−γ i = P −1 γ i P
Daraus schließen wir, dass
P = eiϕ γ 0
mit einem beliebigen Phasenfaktor ϕ. Zur Bestimmung fordern wir, dass 4 Raumspiegelungen wieder den orginalen Zustand erhalten, also
eiϕ = ±1; ±i
Häufig wählt man ϕ = 0.
Es gilt weiterhin
P −1 = P † = γ0 P † γ0
Deshalb ist die Transformation ganz einfach
ψ(x) → ψ 0 (x0 ) = ψ(t, −~x) = eiϕ γ0 ψ(x)
70
Lösung der Dirac-Gleichung für p = 0 Wir hatten die Lösungen
ψ (1) = (1, 0, 0, 0)T e−imc
2 t/~
ψ (2) = (0, 1, 0, 0)T e−imc
ψ (3) = (0, 0, 1, 0)T eimc
2 t/~
ψ (4) = (0, 0, 0, 1)T eimc
2 t/~
2 t/~
erhalten. Diese sind Eigenfunktionen zum Paritätsoperator P mit verschiedenem Vorzeichen der Eigenwerte für E > 0 und E < 0. Die oberen beiden Komponenten des Spinors so hatten wir schon ausgerechnet - beschreiben ein Elektron mit Spin. Die unteren beiden
Komponenten - das werden wir noch ausrechnen - stehen für das Antiteilchen des Elektrons - das Positron. Das System aus Elektron und Positron (e+ e− ) hat negative Parität,
falls der Bahndrehimpuls gerade ist.
3.5.4
Bilineare Kovarianten
Es gibt 16 linear unabhängige 4 × 4-Matrizen. Die Basis kann aus γ-Matrizen aufgebaut
werden.
(a) Wir definieren
i µ ν ρ σ
γ γ γ γ εµνρσ
24
Die explizite Form in Dirac-Darstellung ist
γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 =
γ5 =
0 1
1 0
!
Weiterhin ist
{γ µ , γ 5 } = 0
[σ µν , γ 5 ] = 0
Für eigentliche Lorentztransformationen ist also
[S, γ 5 ] = 0
und für Raumspiegelungen
{P, γ 5 } = 0
γ 5 ist also ein Pseudoskalar.
(b) Die Basis ist also gebildet durch
71
Wichtig
für die
Klausur
Basis
Anzahl an Matrizen
bilineare Kovariante ψ̄Γψ
ΓS = 1
ΓVµ = γµ
ΓTµν = σµν
5
ΓA
µ = γ γµ
ΓP = γ 5
1
4
6
4
1
ψ̄ψ Skalar
ψ̄γµ ψ Vektor
ψ̄σµν ψ Tensor
5
ψ̄γ γµ ψ Axialvektor / Pseudovektor
ψ̄γ 5 ψ Pseudoskalar
Alle diese auftretenden bilinearen Kovarianten sind physikalisch sinnvolle Größen
und können auch als solche interpretiert werden (z.B. den Skalar als Wahrscheinlichkeitsdichte und den Vektor als Strom usw.).
3.6
Lösungen der Dirac-Gleichung
Bis hierher wissen wir:
• Die Dirac-Gleichung ist lorentzkovariant
• Der nicht-relativistische Grenzfall führt auf schon uns bekannte Gleichungen
2 t/~
• Wir haben schon Lösungen für p = 0 gefunden: ψ (r) (x) = ω (r) e−iεr mc
3.6.1
Lösungen für positive und negative Energien
Um jetzt für ein allgemeines p die Dirac-Gleichung zu lösen, können wir entweder eine
LT auf die schon gefundene Lösung für p = 0 anwenden oder die Gleichung direkt lösen.
Wir wählen die zweite Möglichkeit, lösen also
(i∂/ − m)ψ = 0
(a) Für eine positive Energie wählen wir den Ansatz einer ebenen Welle mit
ψ(x) = u(p)e−ipx
Die Lösung kann abhängig von p sein, da der Hamiltonoperator mit p vertauscht.
Nach Einsetzen erhalten wir dann
(p/ − m)u(p) = 0
72
Wir schreiben
u=
!
ϕ
χ
und erhalten mit der Definition von p/
!
ϕ
(−p0 γ 0 + p~~γ + m)
=0
χ
Wir wechseln in die Dirac-Darstellung der γ-Matrizen und erhalten zwei Teilgleichungen
−p0 ϕ + p~~σ χ + mϕ = 0
p0 χ − p~~σ ϕ + mχ = 0
Es ist also
χ=
p~~σ
ϕ
p0 + m
und mit (~p~σ )2 = p~2 erhält man
−p0 (p0 + m) + p~2 + m(p0 + m) ϕ = 0
Diese Gleichung ist aufgrund er Energieerhaltung immer erfüllt. Damit können zwei
linear unabhängige Lösungen folgendermaßen geschrieben werden:



u (p) = N 


(1)
!
1
0 !
1
p
~~
σ
p0 +m
0









u (p) = N 


(2)
!
0
1 !
0
p
~~
σ
p0 +m
1






wobei N eine Normierungskonstante ist. Sie erhält man aus der Forderung, dass
ūu = 1
und damit
r
N=
p0 + m
2m
(b) Für negative Energien geht man sehr analog vor. Wir wählen den Ansatz
ψ(x) = v(p)eipx
73
Einsetzen in die Dirac-Gleichung (i∂/ − m)ψ = 0 liefert
(p/ + m)v(p) = 0
Wieder setzen wir
ϕ
χ
v=
!
und erhalten die zwei Teilgleichungen
"
p0 0
0 −p0
!
−
0
p~~σ
−~p~σ 0
!
+
!#
!
m 0
ϕ
=0
0 m
χ
Diesmal lösen wir zuerst die erste Gleichung und erhalten
ϕ=
p~~σ
χ
p0 + m
Zur Überprüfung setzen wir das Ergebnis in die zweite Gleichung ein und erhalten
(~p~σ )2
+m χ=0
−p0 +
p0 + m
Da p2 = m2 ist diese Gleichung immer erfüllt. Wir erhalten also jetzt zwei ähnliche
linear unabhängige Lösungen

!
1
~
σ
 p0p~+m



0
(1)
! 
v (p) = N 


1


0

!
0
~
σ
 p0p~+m



1
(2)
! 
v (p) = N 


0


1
mit der selben Normierungskonstante wie oben
r
N=
3.6.2
p0 + m
2m
Orthogonalität und Vollständigkeit
Ein System {|ni} ist ein orthonomiertes, vollständiges System falls gilt:
X
hn|n0 i = δnn0
n
74
|ni hn| = 1
(a) Orthonormalität der Lösungen von oben: Man sieht recht schnell, dass
ū(i) u(j) = δij
durch Einsetzen der Lösungen von oben (oder man geht direkt in das Ruhesystem
mit p = 0 und sieht dort, dass das Skalarprodukt Null ist. Da es invariant ist, ist es
auch in jedem anderen System Null). Für v gilt
v̄ (i) v (j) = −δij
(b) Vollständigkeit: Für u ist die Summe gegeben durch
(1)
(2)
(2)
u(1)
α ūβ + uα ūβ
dabei bezeichnet α und β die Spinorindizes. Setzt man die Lösung von oben ein,
so erhält man

! 
1
!!† !




0
p0 + m 
1
p
~~
σ

! 1 0 −
=


p0 +m
2m 
1
0
 p~~σ

p0 +m
0
! 
0




1
! 0 1 −
+

0 
 p~~σ

p0 +m
1


p
~~
σ
p0 +m
!!† !

0


1

αβ
Rechnet man das Matrixprodukt aus, so erhält man gerade
(1)
(2)
(1)
(2)
(2)
u(1)
α ūβ + uα ūβ =
1
(p/ + m)αβ
2m
und analog
vα(1) v̄β + vα(2) v̄β =
1
(p/ − m)αβ
2m
und damit insgesamt
(1)
(2)
(1)
(2)
(2)
(1)
(2)
u(1)
α ūβ + uα ūβ − (vα v̄β + vα v̄β ) = 1
Das Minuszeichen zwischen den beiden Summen lässt sich jetzt noch nicht verstehen. Es hängt mit der Tatsache zusammen, das v die Lösung des Antiteilchens vom
75
Elektron (das Positron) ist.
Es ist also
(p/ − m)u(p) = 0
(p/ + m)v(p) = 0
Wir können die Gleichung hermitesch konjugieren und erhalten (durch Multiplizieren
von γ 0 von links)
u† (p/† − m) = 0 =⇒ ū(γ 0 p/† γ 0 − m) = 0
Insgesamt erhält man
ū(p)(p/ − m) = 0
v̄(p)(p/ + m) = 0
3.6.3
Elektronspin
Um den Elektronenspin darstellen zu können, schreiben wir
(p/ − m)u(p, s) = 0
u(p, s) ist dabei ein Spinor für die Lösung der Dirac-Gleichung mit positiver Energie
(wie oben) mit dem Impuls pµ und dem Spin sµ . Der Spin-4-Vektor sµ ist definiert im
Ruhesystem des Elektrons über den Polarisationsvektor ~s.
ŝµ =
!
0
~s
Dabei bezeichnet der Hut die Größe im Ruhesystem. Im Ruhesystem gilt ebenfalls
p̂µ =
m
~0
!
Da ŝν ŝν = −~s2 = −1 und p̂ν ŝν = 0 gelten auch in jedem anderen System mit
sµ = Λµν ŝν
pµ = Λµν p̂ν
die Beziehungen
sµ sµ = −1
pµ sµ = 0
76
Damit lässt sich die Vollständigkeitsbeziehungen schreiben als
X
u(p, s)ū(p, s) =
s
3.6.4
p/ + m
2m
X
v(p, s)v̄(p, s) =
s
p/ − m
2m
Projektoren für Energie und Spin
Gesucht sind Operatoren, die aus einer gegebenen Lösung die vier unabhängigen Lösungen zu positiver oder negativer und zu Spin ↑ und Spin ↓ herausprojezieren. Sie sollen
kovariant formuliert sein.
(a) Projektor der Energie: Der Operator
Λ± =
±p/ + m
2m
projiziert auf Eigenzustände mit positiver (+) / negativer (-) Energie.
Beweis: Es ist
Λ2±
=
±p/ + m
2m
2
=
2m(m ± p/)
p/2 + m2 ± 2p/m
=
= Λ±
4m2
4m2
da p/2 = pµ pµ = m2 und weiterhin
Λ+ Λ− = 0
Λ+ + Λ− = 1
Also ist Λ± ein Projektor, der die gewünschten Eigenschaften erfüllt.
(b) Projektor auf Spin: Der Operator
Σ(s) =
1 + γ5 /s
2
projiziert auf Eigenzustände mit Spin s. Um dies zu sehen, wechseln wir wieder ins
Ruhesystem (da wir nur dort eine Vorstellung vom Spin besitzen). Wir betrachten
einen Spin in z-Richtung:
ŝµ = (0, 0, 0, 1)T =: uµz
Diesen Vektor uz können wir jetzt benutzen, um die Operatoren Σ zu definieren, die
77
einen Zustand auf Spin nach oben oder Spin nach unten projizieren. Es ist
1+
1 + γ5 (−γ3 )
Σ(uz ) =
=
2
σ3 0
0 −σ3
2
!


1


=


0



0 

1
und analog

0

 1
Σ(−uz ) = 

1







0
Wir erhalten also
Σ(uz )(1, 0, 0, 0)T = (1, 0, 0, 0)T
Σ(−uz )(0, 1, 0, 0)T = (0, 1, 0, 0)T
Σ(uz )(0, 0, 0, 1)T = (0, 0, 0, 1)T
Σ(−uz )(0, 0, 1, 0)T = (0, 0, 1, 0)T
Bei den letzten beiden Spinoren scheint unsere Intuition verdreht.
Wieder können wir nachrechnen, dass Σ ein Projektor ist. Es ist
Σ(s)2 =
1 + 2γ5 /s + γ5 /sγ5 /s
1 + γ5 /s
=
= Σ(s)
4
2
und
Σ(s)Σ(−s) = 0
3.7
Σ(s) + Σ(−s) = 1
Streuung von Elektronen am Coulomb-Potential
3.7.1
Differentieller Wirkungsquerschnitt in Born’scher Näherung
• Potential: V (r) = − Zα
r
• Streuamplitude
m
f (θ, ϕ) = A = −
2π
Z
ψp~†0 (~r) V (r) ψp~ (~r) dV
elastische Streuung : p00 = p0 = E, |~p| = |~p0 |
78
• Dirac-Wellenfunktion:
ψp~ (~r) = u(p, s) exp (−i (p0 t − p~~x))
•
dσ
= |A|2
dΩ
Einsetzen von ψp~ (x) in die Amplitude ergibt
Z
m
A=−
u† (p0 , s0 ) exp (i (p00 t − p~0~r)) V (r)u(p, s) exp (−i (p0 t − p~~r)) dV
2π
Z
2
(γ 0 ) =1 m
0 0
0
= − u (p , s ) γ u(p, s) V (r) exp (−i (~p0~r − p~~r)) dV
2π
m
Zα4π
= − u (p0 , s0 ) γ 0 u(p, s) 0
2π
|~p − p~|2
2mZα
q~=~
p−~
p0
u(p0 , s0 )γ 0 u(p, s)
= −
|~q|2
dσ
4Z 2 m2 α2
=⇒
=
|u(p0 , s0 )γ 0 u(p, s)|2
dΩ
|~q|4
Bemerkung: I.A. wird der Spin des e− im einlaufenden Strahl nicht präpariert =⇒
Mittelung 50% Spin ↑, 50% Spin ↓. Spin des e− im Endzustand wird nicht gemessen
=⇒ Summation
4Z 2 m2 α2 1 X
dσ
=
|u(p0 , s0 )γ 0 u(p, s)|2
dΩ
|~q|4 2 s,s0
3.7.2
Einschub: Berechnung von Spinormatrixelementen
(a) Betrachte:
P
|u(p0 , s0 )Γu(p, s)|2 mit Γ ∈ {1, γ µ , γ µ γ 5 , σ µν , γ 5 }. Also
s,s0
X
s,s0
|u(p0 , s0 )Γu(p, s)|2 =
X
†
u(p0 , s0 )Γu(p, s) (u(p0 , s0 )Γu(p, s))
s,s0
u† =γ 0 u
=
X
u(p0 , s0 )Γu(p, s)u† (p, s)Γ† γ 0 u(p0 , s0 )
s,s0
γ 0 γ 0 =1
=
X
uα (p0 , s0 )Γαβ uβ (p, s)uγ (p, s)Γγδ uδ (p0 , s0 )
s,s0
Vollständigkeit
=
= Tr
p/0 + m
2m
Γαβ
δα
p/0 + m p/ + m
Γ
Γ
2m
2m
79
p/ + m
2m
Γγδ
βγ
Γ = γ 0 Γ† γ 0
(b) Berechnung von Γ = γ 0 Γ† γ 0 . Verwende
{γ µ , γ ν } = 2g µν
γ02 = 1
†
γ0 = γ0
†
γ i = −γ i
1=1
γµ = γµ
γ 5 = −γ 5
γ µ γ 5 = γ 5 γ µ = −γ 5 γ µ = γ µ γ 5
i
σ µν = − γ 0 [γ µ , γ ν ]† γ 0
2
i 0 ν † µ †
µ †
ν †
= − γ (γ ) (γ ) − (γ ) (γ ) γ 0
2
i
= − [γ ν , γ µ ]
2
i µ ν
= [γ , γ ]
2
= σ µν
a
//b . . . p/ = p/ . . . /ba
/
= p/ . . . /ba
/
(c) Berechnung von Spuren
{γ µ , γ ν } = 2g µν =⇒ a
//b = −/ba
/ + 2ab
{γ 5 , γ ν } = 0 =⇒ γ 5 a
aγ 5
/ = −/
Tr (AB . . . Z) = Tr (ZAB . . .)
Es gelten folgende Aussagen
(1) Die Spur über eine ungerade Anzahl von γ-Matrizen ist Null.
80
(2)
Tr(1) = 4
Tr a
//b = Tr /ba
/
1
= Tr a
//b + /ba
/
2
1
= Tr (2ab)
2
= 4ab
(3) Reduktion der Anzahl der γ−Matrizen um 2 mit n gerade
Tr a
/1 . . . a
/n = a1 a2 Tr a
/3 . . . a
/n − a1 a3 Tr a
/2 a
/4 . . . a
/n
+ a1 a4 Tr a
/2 a
/3 a
/5 . . . a
/n ∓ · · · + a1 an Tr a
/2 . . . a
/n−1
Tr a
/1 a
/2 a
/3 a
/4 = 4 [(a1 a2 ) (a3 a4 ) − (a1 a3 )(a2 a4 ) + (a1 a4 )(a2 a3 )]
(4)
Tr (γ5 ) = 0
Tr γ 5 a
//b = 0
Tr γ 5 a
//b/cd/ = 4iεαβγδ aα bβ cγ dδ
(5)
γµ γ µ = 4
γ µa
a
/γµ = −2/
γµ a
//bγ µ = 4ab
Also insgesamt
4Z 2 m2 α2 1
4Z 2 m2 α2 1 X
dσ
0 0 0
2
=
|u(p
,
s
)γ
u(p,
s)|
=
Tr
dΩ
|~q|4 2 s,s0
|~q|4 2
3.7.3
p/0 + m 0 p/ + m 0
γ
γ
2m
2m
Zurück zur Streuung am Coulomb-Potential

Tr
p/0 + m 0 p/ + m 0
γ
γ
2m
2m
=


1 
 Tr p/0 γ 0 p/γ 0 +m2 Tr γ 0 γ 0 

2
4m
| {z }
|
{z
}
=4
4(p00 p0 −p0 p+p00 p0 )
81
Verwenden wir nun p00 = p0 = E und
pp0 = p0 p00 − p~p~0 = p20 − |~p|2 cos θ
= m2 + p~2 (1 − cos θ) = m2 + p~2 · 2 sin2
θ
2
Weiterhin sei p~2 = β 2 E 2 . Also
Tr
p/0 + m 0 p/ + m 0
γ
γ
2m
2m
1
2
2
2 2
2 θ
2
= 2 2E − m − 2β E sin + m
m
2
2
θ
2E
= 2 1 − β 2 sin2
m
2
θ
|~q|2 = |~p|2 (1 − cos θ) = 2|~p|2 sin2
2
Damit ergibt sich für den Wirkungsquerschnitt
4Z 2 α2 m2 1 2E 2
dσ
2
2 θ
=
1 − β sin
dΩ
2
16|~p|4 sin4 2θ 2 m2
2 2
Z α
2
2 θ
=
Mottscher Streuquerschnitt
1
−
β
sin
4
θ
2
4|~p|2 β 2 sin 2
β → 0 liefert den schon bekannten Rutherford-Streuquerschnitt.
3.8
Dirac-Gleichung und Wasserstoffatom
Die Energie ist proportional zu mα2 , was sehr viel kleiner als m ist. Es sind in unserer
Dirac-Gleichung also nur die positiven Energien relevant. Wir haben jetzt zwei Möglichkeiten, die Lösung dieses Problems zu finden.
3.8.1
Foldy-Wouthuysen-Transformation
Die genannte Transformation hat die Form ψ 0 = eiS ψ und der Hamiltonoperator H 0 =
eiS He−iS . S soll so konstruiert sein, dass die Dirac-Gleichung in zwei 2-komponentige
Gleichungen zerfällt. Damit soll eine systematische Entwicklung in v/c durchgeführt werden. Der erste Term wird der Pauli-Gleichung entsprechen. Die folgenden Terme entsprechen dann der Feinstruktur aus Kapitel 2 und noch höheren Ordnungen. Wir können die
Dirac-Gleichung außerdem so umschreiben, dass die Wechselwirkung zwischen Elektronen
und dem elektrischen Feld nicht-relativistische und anschauliche Gestalt hat. Wir wollen alle diese Punkte hier jedoch nicht ausführen. Stattdessen betrachten wir die zweite
Möglichkeit:
82
3.8.2
Lösung der Dirac-Gleichung für das Potential Vc = − Zα
r
Die Dirac-Gleichung lautet dann:
Hψ = [~
αp~ + βm + Vc (R)] ψ = Eψ
Die Lösung geschieht analog zum Weg bei der Schrödingergleichung:
(a) Zuerst wird eine Variablenseparation (Winkelanteile) durchgeführt. Wir wissen, dass
~ =0
[H, J]
~ +S
~=L
~+1
J~ = L
2
~σ 0
0 ~σ
!
Es können also gemeinsame Eigenfunktionen zu H, J~2 und Jz konstruiert werden
mit den Eigenwerten E, ~2 j(j + 1) und m~. Wir machen also den Ansatz für den
Lösungsspinor
!
ϕ
ψ=
χ
und können dann die Winkelanteile wie in der Pauli-Gleichung durch die Wurzeln hässlichen
ausgedrückt werden wie folgt:
q
j =l+
1
2
(+)
ϕj,m =

l+1/2+m
Y
q 2l+1 l,m−1/2 
l+1/2−m
Yl,m+1/2
2l+1
q
j =l−
1
2
(−)
ϕj,m = 
−
l+1/2−m
Y
q 2l+1 l,m−1/2
l+1/2+m
Yl,m+1/2
2l+1


(b) Danach muss nur noch der Radialanteil betrachtet werden. Wir machen also den
Ansatz
!
!
A(+) (r)ϕ(+)
A(−) (r)ϕ(−)
ψ(r) =
+
B (−) (r)ϕ(−)
B (+) (r)ϕ(+)
Man erhält also zwei gekoppelte Differenzialgleichungen mit jeweils zwei Variablen.
Wie in der Schrödingergleichung erhält man über einen Potenzreihenansatz und die
Forderung der Normierbarkeit eine Lösung. Sie soll hier nur angegeben werden:
En = s
1+
m
√Zα
n−(j+1/2)+ (j+1/2)2 −Z 2 α2
83
2
(c) Da die Lösung so kompliziert ist, soll sie hier diskutiert werden. Wir entwickeln zuerst
bis zu 4. Ordnung in Zα und erhalten:
3
1
(Zα)2
4
(Zα) + O((Zα)6 )
+
−
En ≈ m 1 −
2n2
8n4 (2j + 1)n3
Dies stimmt ein mit der Lösung für die Schrödingergleichung und der Feinstruktur.
p
Für n = 1 enthält man sofort j = 1/2 und damit E1 = m 1 − (Zα)2 . Für n =
2 sind die Zustände S1/2 und P1/2 immer noch entartet (die Entartung wird erst
durch die Lamb-Verschiebung aufgehoben, die nicht Teil dieser Theorie sein kann.
Deswegen lohnt es sich nicht, weitere Ordnungen in Zα zu betrachten, da diese
Störung außerhalb der Theorie sogar noch größer ist).
3.9
Klein’sches Paradoxon
Wir betrachten im Folgenden eine Potentialstufe
V (z) =

0
V
z<0
0
z≥0
mit einem V0 > 0. Das einlaufende Elektron (also besser gesagt die Welle als die wir es
behandeln) von links soll eine Energie zwischen 0 und V0 besitzen. Der Spin soll nach
oben ausgerichtet sein. Wir lösen wieder wie früher in beiden Gebieten einzeln. Zuerst im
Gebiet ohne Potential. Nach der Lösung für ein freies Elektron von oben und mit
p~ = pz
σz =
!
1 0
0 −1
erhält man für die einlaufende Welle


1




0

ψ1ein = Aeik1 z 
 k1 
 E+m 
0
p~ = ~~k = ~k
p0 = E
k12 = E 2 − m2 von pµ pµ = m2
84
und für die auslaufende Welle:

ψ1ref
= Be
−ik1 z
1
0


0
1
0










 + B 0 e−ik1 z 

− k 1 


 E+m 


k1
0
E+m
da sich auch der Spin ändern könnte. Für das zweite Gebiet erhalten wir die Lösung
analog, da das Potential V0 zu einer nullten Komponente im Vektorpotenial führt (mit
eφ = V0 ). Der Impuls muss also in der nullten Komponente um −V0 verschoben werden.
Es ist dann
k22 = (E − V0 )2 − m2 = (E − m − V0 )(E + m − V0 )
und die Lösung

ψ2trans
= De
ik2 z
1
0


0
1
0









 + D0 eik2 z 




 k2 


 E−V0 +m 
k2
0
− E−V0 +m
Wieder fordern wir die Stetigkeit der Wellenfunktion bei z = 0. Man erhält dann vier
Gleichungen
A+B =D
B 0 = D0
k1
k2
=D
E+m
E − V0 + m
−k2
k
1
= D0
B0
E+m
E − V0 + m
(A − B)
Aus Gleichung 2 und 4 erhalten wir sofort, dass B 0 = D0 = 0 gelten muss, dass es also
zu keiner Spinumklappung kommt. Wenn |E − V0 | < m ist k2 imaginär und es existiert
ein exponentiell gedämpfte Lösung im Gebiet mit Potential. Aber falls V0 > E + m ist k2
reell und es kommt zu einer Oszillation im Gebiet mit Potential!
Wir wollen weiterhin den transmittierten / reflektierten Strom betrachten. Er ist gegeben
durch ~j = ψ † α3 ψ~ez . Man erhält
4r
jtrans
=
jein
(1 + r)2
(1 − r)2
jref
jtrans
=
=1−
2
jein
(1 + r)
jein
r=
k2 E + m
k1 E − V0 + m
und hat die Form wie in der Schrödingergleichung. Die Wahrscheinlichkeit ist erhalten.
85
Für V0 > E + m ist r < 0. Dann ist jtrans < 0 und damit jref > jein was ein Widerspruch
ist! Dies nennt sich das Klein’sche Paradoxon und kann nur durch das Verstehen der
Lösungen der Dirac-Gleichung zu negativen Energien gelöst werden.
3.10
3.10.1
Löcher-Theorie / Ladungskonjugation
Interpretation der Zustände mit E < 0
(a) Es existieren Lösungen der Diracgleichung für negative Energien. Prinzipiell würde
jedes Elektron mit E > 0 den Übergang zu einem Zustand E < 0 durchführen
können. Die Materie wäre also nicht stabil.
(b) Der Ausweg ist die s.g. Löchertheorie (Dirac 1930). Sie sagt aus, dass alle Zustände
mit E < 0 unter Beachtung des Pauli-Prinzips durch Elektronen besetzt sind. Der
Vakuum-Zustand hätte dann die Form
E
2
mc
unbesetzte Zustände
0
−mc2
besetzte Zustände
DIRAC-See
Abbildung 3.1: Vakuumzustand in der Löchertheorie
Die Materie ist stabil, da bei E < 0 kein Elektron untergebracht werden kann (PauliPrinzip).
(c) Aus diesem Modell folgern einige Vorhersagen, die experimentell überprüft werden
müssen. Wir könnten uns also vorstellen, dass ein Photon auf die schon besetzten
Zustände trifft und absorbiert wird. Dabei wird ein Elektron in den positiven Energiebereich gehoben.
86
E
2
mc
e−
0
γ
−mc2
Abbildung 3.2: Vakuumzustand in der Löchertheorie
Es ist also ein Elektron mit der Energie −|e| und E < 0 freigeworden. Das Loch
im ”Dirac-See” entspricht also jetzt (relativ zum Vakuum) der Anwesenheit eines
Elektrons mit Ladung +|e| und E > 0 (nennt sich Positron). Dieser Vorgang nennt
sich Paarerzeugung von (e+ e− ). Dies kann auch experimentell beobachtet werden!
• Die Vorhersage war die Existenz des Positrons, das zwei Jahre später (1932)
durch Anderson experimentell nachgewiesen wurde.
• Löchertheorie → Mehrteilchen-Theorie. Dirac-Gleichung ist keine Gleichung für
1-Teilchen-Wellenfunktion.
3.10.2
Ladungskonjugation
Ziel: Konstruktion der Wellenfunktion eines e+ aus der Wellenfunktion von e− mit E < 0.
Dirac-Gleichung für e− gibt
/+m ψ =0
i∂/ − eA
für e+ ergibt sich dann
/ + m ψC = 0
i∂/ + eA
Im Prinzip hätten wir auch die Gleichung für e+ als Startpunkt nehmen können.
Aufgabe: Konstruiere Operator, der die beiden Gleichung ineinander überführt. Ändern
wir das Vorzeichen der komplex konjugierten Dirac-Gleichung für e− , so erhalten wir
partielle
Ableitunµ ∗
∗
[(i∂µ + eAµ ) (γ ) − m] ψ = 0
gen sind
∂, nicht δ
Suche Matrix C · γ 0 mit
−1
Cγ 0 (γ µ )∗ Cγ 0
= −γ µ
87
−1
Wir fügen vor dem ψ ∗ eine 1 = (Cγ 0 ) (Cγ 0 ) ein und multiplizieren von links mit Cγ 0
und erhalten
/ + m Cγ 0 ψ ∗ = 0
i∂/ + eA
Mit
ψC = Cγ 0 ψ ∗ = Cψ
T
Behauptungen:
C = iγ 2 γ 0 = −C −1 = −C † = −C T
in Dirac-Darstellung.
Beweis:
CC −1 = iγ 2 γ 0 (−1)iγ 2 γ 0
= −γ 2 γ 2 γ 0 γ 0
=1
C † = −i γ 0
†
= −iγ 0 −γ
γ2
2
†
= −iγ 2 γ 0
= −C
C T = i γ0
T
γ2
T
= iγ 0 γ 2
= −C
In den ersten beiden Aussagen haben wir keine spezielle Darstellung benutzt, diese wird
T
T
erst bei C T benutzt. In Dirac-Darstellung gilt (γ 0 ) = γ 0 , (γ 2 ) = γ 2 . Weiterhin gilt
γ0
∗
= γ0
γ2
∗
= −γ 2
γ1
∗
= γ1
γ3
∗
= γ3
Damit folgt
Cγ 0
−1
= γ0
−1
88
C −1 = −γ 0 C
und daraus
Cγ 0 γ 0
∗
Cγ 0
−1
= Cγ 0 γ 0 (−1)γ 0 C
= −iγ 2 γ 0 γ 0 iγ 2 γ 0
= −γ 0
Cγ 0 (γ χ )∗ Cγ 0
−1
= Cγ 0 γ χ (−1)γ 0 C
χ ∈ {1, 3}
= γ 2γ χγ 0γ 2γ 0
= −γ χ
Cγ 0 γ 2
∗
Cγ 0
−1
= iγ 2 γ 0 γ 0 −γ 2 (−1)γ 0 iγ 2 γ 0
= −γ 2 γ 2 γ 0 γ 2 γ 0
= −γ 2
Wende ψC = Cγ 0 ψ ∗ auf freie e− (in Ruhe) Lösung an (mit E < 0).
ψ (4)
ψC = iγ 2
 
0
 
0 imt

=
0 e
 
1
 
1
 
∗ 0 −imt

ψ (4) = 
= ψ (1)
0 e
 
0
(3.4)
(3.5)
(3.4) Loch im See = Abwesenheit von e− mit E < 0 und Spin ↓ ⇐⇒ Positron mit E > 0
und Spin ↑. ψC = iγ 2 ψ ∗ für die Spinoren u und v
uC (p, s) = CuT (p, s)
= v(p, s)
vC (p, s) = u(p, s)
Interpretation der Spinoren u und v:
u(p, s) ist ein einlaufendes e− und u(p, s) ist ein auslaufendes e− . Matrixelemente uΓu
v(p, s) ist ein auslaufendes e+ und v(p, s) ist ein einlaufendes e+ . Matrixelemente vΓv
Matrixelemente bei Paarerzeugung vΓu und bei Paarvernichtung uΓv.
89
Beispiel e+ e− → µ+ µ−
A = e v E γ µ uE
| {z }
Elektron
gµν
q2
|{z}
e uM γ ν vM
| {z }
Myon
Propagator
90
q = p1 + p2
Kapitel 4
Zeitabhängige Phänomene
4.0
Wiederholung: Stationäre Störungstheorie
Gegeben: H = H0 + λH1
(0)
• H0 : Eigenwerte und Eigenfunktionen bekannt H0 |n(0) i = En |n(0) i mit hm(0) |n(0) i =
P (0)
δmn und
|n i hn(0) | = 1
n
• λH1 ist eine ” kleine ” Störung.
Ziel: näherungsweise Lösung von H |ni = (H0 + λH1 ) |ni = En |ni. Annahme: |ni und
En lassen sich in Potenzreihen in λ entwickeln.
En =
∞
X
En(j) λj
|ni =
j=0
∞
X
|n(0) i λj
(4.1)
j=0
mit
hn(0) |n(j) i = 0
4.0.1
j≥1
Nicht-entarteter Fall
• Setze (4.1) in H |ni = En |ni ein, sortiere nach Potenzen von λ
• Man multipliziert mit hn(0) | und erhält daraus Terme für die Energie. Multiplikation
mit hm(0) | und Summierung über alle anderen Zustände außer n liefert die gestörten
Wellenfunktionen. Genauer erhält man also
En(r) = hn(0) |H1 |n(r−1) i
91
oder für die ersten beiden Ordnungen:
En(1) = hn(0) | H1 |n(0) i
|n(1) i =
X
|m(0) i
m6=n
4.0.2
hm(0) | H1 |n(0) i
(0)
(0)
En − Em
Entarteter Fall
Diesmal ist wieder
H0 |n, ki(0) = En(0) |n, ki(0)
k = 1, . . . , r
jedoch diesmal mit einem Entartungsgrad r. Wir gehen folgendermaßen vor:
• Die Matrix Mij =(0) hn, i| H1 |n, ji(0) muss diagonalisiert werden.
(1)
• Die gestörten Energien in erster Ordnung En,k ergeben sich dann aus den Eigenwerten dieser Matrix M .
• Es müssen jedoch neue Eigenzustände nullter Ordnung gewählt werden, sodass diese Eigenzustände zu H0 (sind sie sowieso, da sie alle Eigenzustand zum selben
Eigenwert von H0 sind) und zu H1 sind. Also wählen wir
(0)
]
|n,
ki
=
r
X
(k)
ci |n, ii(0)
i=1
(k)
mit ci
aus
M · ~c(k) = En,k~c(k)
4.1
Heisenberg-Darstellung / Wechselwirkungsbild
Da es im Folgenden einfacher ist, wechseln wir ins Heisenbergbild.
4.1.1
Zeitentwicklungsoperator
Im bisherigen wurden vorwiegend zeitunabhängige Hamiltonoperatoren besprochen. Die
Lösung für |ψ, t = 0i war aus der zeitunabhängigen Schrödingergleichung errechenbar und
für eine allgemeine Zeit ergab sich die Lösung
|ψ, ti = e−iHt/~ |ψ, 0i =
X
|ni e−iEn t/~ hn|ψ, 0i
n
also als Linearkombination der Zeitentwicklung der einzelnen Energieeigenzustände.
92
Jetzt wollen wir jedoch einen zeitabhängigen Hamiltonoperator besprechen, also
H(t) = H0 + V (t)
Die allgemeine Lösung |ψ, ti der Schrödingergleichung
i~
∂
|ψ, ti = H |ψ, ti
∂t
kann formal folgendermaßen mit einem Operator U geschrieben werden:
|ψ, ti = U (t, t0 ) |ψ, t0 i
Der Operator U heißt auch Zeitentwicklungsoperator. Er muss U (t0 , t0 ) = 1 erfüllen und
außerdem unitär sein. Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein, so erhält man für
U die Differentialgleichung
i~
∂U (t, t0 )
= H(t)U (t, t0 )
∂t
(a) Wir betrachten zuerst noch einmal den einfachen Fall, indem H nicht von der Zeit
abhängt. In diesem Fall ist U gerade gegeben durch
U (t, t0 ) = e−iH(t−t0 )/~
wie wir oben schon erhalten hatten.
(b) Falls H von der Zeit abhängt, so kann die Bestimmungsgleichung für U oben in eine
Integralgleichung umgeschrieben werden:
i
U (t, t0 ) = 1 −
~
Z
t
H(t0 )U (t0 , t0 ) dt0
t0
Diese Gleichung kann zwar immer noch nicht nach U aufgelöst werden, aber die
Gleichung kann iterativ durch Einsetzen der Lösung gelöst werden (wie in der Streutheorie in Theo D):
i
U (t, t0 ) = 1 −
~
Z
t
t0
2 Z t
Z t0
i
0
dt H(t ) +
dt
dt00 H(t0 )H(t00 ) ± . . .
~
t0
t0
0
0
Rt
R t0
Integrale der Form t0 dt0 t0 dt00 integrieren über ein Dreieck. Stattdessen können
wir auch über ein Quadrat integrieren (also beide Indizes von t0 nach t) und durch
93
2 teilen. Dabei müssen wir sicherstellen, dass die beiden Hamiltonfunktionen nicht
ihren Platz tauschen in der Form, dass der Hamiltonoperator mit der größeren Zeit
wieder vorne steht, also
Z
t
t0
dt0
Z
t0
t0
dt00 H(t0 )H(t00 ) =
1
2
Z
t
dt0
Z
t0
t
dt00
t0

H(t0 )H(t00 )
für t0 > t00
H(t00 )H(t0 )
für t0 ≤ t00
Wir definieren den Zeitordnungsoperator T mit

H(t )H(t )
1
2
T (H(t1 )H(t2 )) =
H(t )H(t )
2
1
für t1 > t2
für t1 ≤ t2
und induktiv auch für beliebig viele Argumente. Wir können also die iterative Lösung
für U (t, t0 ) auch schreiben als
Z
i t 0
0
U (t, t0 ) = T · exp −
dt H(t )
~ t0
Benutzt man die Reihendarstellung der e-Funktion, so erkennt man die iterative
Lösung von oben.
4.1.2
Heisenbergdarstellung / -bild
Im Heisenbergbild ist jeder Operator im Schrödingerbild definiert über
OH = U † (t, t0 )OS U (t, t0 )
wenn OS der Operator im Schrödingerbild und OH der im Heisenbergbild ist. Auch wenn
OS also nicht explizit von der Zeit abhängt, ist dies im Heisenbergbild gegeben. Jeder
Zustand im Heisenbergbild ist gegeben durch
|ψiH = U † (t, t0 ) |ψ, tiS = |ψ, t0 iS
Die Wellenfunktion ist jetzt also nicht mehr zeitabhängig, dafür aber jetzt die Operatoren.
Es gilt
i
d
OH (t) = [HH (t), OH (t)] +
dt
~
da
∂OS
∂t
H
d
dU †
dU
∂OS
OH (t) =
OS U + U † OS
+ U†
U
dt
dt
dt
∂t
94
und wenn wir die Bestimmungsgleichung von U oben einsetzen:
1
HU
i~
†
†
OS U +U OS
1
∂OS
i
∂OS
†
†
†
†
HU +
=
U HU U OS U − U OS U U HU +
i~
∂t H
~
∂t H
und damit die Behauptung, wenn wir die Definition für HH und OH einsetzen.
Wie oben schon gesagt ist |ψiH zeitunabhängig. Die Observablen (Erwartungswerte) sind
damit gleich geblieben
S hψ, t| OS |ψ, tiS =H hψ| OH |ψiH
Bemerkungen
(a) |ψi ist im Heisenbergbild zeitunabhängig, dafür im Schrödingerbild zeitabhängig.
(b) Ein Operator O kann im Schrödingerbild zeitabhängig sein, aber selbst wenn er im
Schrödingerbild nicht von der Zeit abhängt, hängt OH von t ab.
(c) Falls HS im Schrödingerbild zeitunabhängig ist und [OS , HS ] = 0, dann sind beide
Operatoren OS und OH gleich. Insbesondere ist dann HS = HH .
Beispiel Wir betrachten ein Teilchen der Masse m im Potential V . Im Schrödingerbild
ist
p2
HS = S + V (xS , t)
2m
und im Heisenbergbild
p2
HH = H + V (xH , t)
2m
Nach der Formel von oben ist
dxH
i
pH
= [HH , xH ] =
dt
~
m
und
dpH
i
∂V (x, t) = [HH , pH ] = −
dt
~
∂x x=xH
Diese Gleichung entsprechen den Bewegungsgleichungen aus der klassischen Physik. Sie
sind eine Art Verallgemeinerung des Ehrenfest-Theorems.
4.1.3
Wechselwirkungsbild
Ziel des gesamten Kapitels ist die Entwicklung einer Störungstheorie für einen Hamiltonoperator der Form
H = H0 + V (t)
95
Bequem ist es jetzt, die Zeitentwicklung bezüglich H0 von |ψ, tiS abzuspalten. Dies nennt
sich dann Wechselwirkungsbild oder auch Diracbild. Die Transformationen sind also die
selben wie vom Schrödingerbild ins Heisenbergbild, jetzt jedoch statt U benutzt man nur
noch e−iH0 t/~ . Man erhält dann für einen Zustand
|ψ, tiI = eiH0 t/~ |ψ, tiS
und für einen Operator
VI (t) = eiH0 t/~ VS (t)e−iH0 t/~
Wir wollen die Schrödingergleichung für dieses Bild lösen. Im Schrödingerbild ist einfach
i~
∂
|ψ, tiS = HS |ψ, ti
∂t
und im Heisenbergbild noch einfacher
i~
∂
|ψ, tiH = 0
∂t
da die Zustände nicht direkt von der Zeit abhängen. Im Wechselwirkungsbild ist jetzt
i~
i
∂
|ψ, tiI = i~ H0 eiH0 t/~ |ψ, tiS +eiH0 t/~ (H0 + V (t)) |ψ, tiS = eiH0 t/~ V (t) |ψ, tiS = VI (t) |ψ, tiI
∂t
~
Zusammenfassung
Zustand
Operatoren
Heisenbergbild
WW-Bild
Schrödingerbild
konstant
Zeitentwicklung
durch VI gegeben
Zeitentwicklung
durch den Hamiltonoperator bestimmt
Zeitentwicklung
durch H0 bestimmt
Zeitabhängigkeit
durch
den gesamten Hamiltonoperator gegeben.
konstant (abgesehen von
expliziter
Zeitabhängigkeit)
Im Allgemeinen kann die Schrödingergleichung im Wechselwirkungsbild nicht exakt gelöst
werden. Es sind deshalb Näherungen nötig.
96
4.2
Plötzliche Veränderung des Potentials
Dieser Abschnitt soll ein erstes Beispiel für einen zeitabhängigen Hamiltonoperator sein.
Wir können diesen einfachen Fall direkt berechnen ohne die Methode der Störungstheorie
entwickeln zu müssen. Ein physikalisches Beispiel ist der α-Zerfall. Wir betrachten also
z.B. einen Atomkern, der ein α-Teilchen emittiert. Die Elektronen müssen sich an die
neue Kernladung anpassen. Die Zeitskala des Zerfalls tα-Zerfall ist sehr viel kleiner als die
der Elektronenanpassung te− -Anpassung . Unmittelbar nach dem Zerfall befinden sich die
Elektronen also erst einmal im gleichen Zustand wie vorher.
Die Frage, die wir mit dieser Rechnung beantworten wollen, ist wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich die Elektronen im neuen Grundzustand befinden.
Das Potential ist durch eine unstetige Funktion gegeben:
V (t) =

0
t≤0
V
t ≥ ts
Was zwischen den beiden Zeitpunkten 0 und tS passiert ist irrelevant (das Potential
steigt irgendwie an), da diese Zeit sehr viel kleiner als die charakteristische Zeitskala zur
Umordnung des Systems ist (dieser Umstand nennt sich plötzlich).
Ein ursprünglicher stationärer Zustand |n0 i ist gegeben durch H0 . Seine Zeitentwicklung
ist
|n0 , ti = e−iEn t/~ |n0 i
Ein stationärer Zustand im neuen System ist gegeben durch H0 + V mit
|n̄, ti = e−iĒn̄ t/~ |n̄i
Das System sei am Anfang im Zustand |ψi. Da tS tchar. ist das System auch unmittelbar
nach dem ”Einschalten” des Potentials im Zustand |ψ, t = 0i. Die Zeitentwicklung ist jetzt
aber nicht mehr durch H0 , sondern durch das neue H0 + V (also |n̄i) gegeben.
|ψ̄, 0i = |ψ, 0i
X
|ψ̄, ti =
e−iĒn̄ t/~ |n̄i hn̄|ψ, 0i
n̄
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der neue Zustand |ψ̄i in einem Eigenzustand |n̄i befindet, ist dann gegeben durch
Pψ̄→n̄ = | hn̄|ψ, 0i |2
97
4.3
Formalismus der zeitabhängigen Störungstheorie
Wir betrachten im Folgenden einen Hamiltonoperator der Form
H(t) = H0 + V (t)
Wir wollen annehmen, dass V (t) ”klein” gegenüber H0 ist (also die Matrixelemente der
beiden Operatoren). Die Störung V (t) soll für Zeiten t < t0 verschwinden.
Für t ≤ t0 ist die Schrödingergleichung gegeben durch
i~
∂ 0
|ψ , ti = H0 |ψ 0 , ti
∂t
Für größere Zeiten kommt die Störung mit dazu
i~
∂
|ψ, ti = (H0 + V ) |ψ, ti
∂t
Zum Zeitpunkt t = t0 müssen die beiden Zustände zusammenfallen:
|ψ 0 , t0 i = |ψ, t0 i
Wir wechseln zur Lösung des Problems ins Wechselwirkungsbild. Im neuen System mit
Störung lautet dann die Zustandsgleichung:
i~
∂
|ψ, tiI = VI |ψ, tiI
∂t
mit den Definitionen von oben. Diese Gleichung lässt sich umschreiben in eine Integralgleichung:
Z
1 t 0
|ψ, tiI = |ψ, t0 iI +
dt VI (t0 ) |ψ, tiI
i~ t0
Wieder können wir diese Gleichung iterativ lösen und kommen auf eine ähnliche Lösung
wie in der Einleitung beschrieben:
1
|ψ, tiI = |ψ, t0 iI +
i~
Z
t
t0
2 Z t
Z t0
1
0
0
dt VI (t )
dt VI (t ) |ψ, t0 iI +
dt00 VI (t0 )VI (t00 ) |ψ, t0 iI +. . .
i~
t0
t0
0
0
Dies ist eine systematische Entwicklung der Lösung in VI und da VI als klein angenommen wurde, können wir diese Rechnung nach einer gewissen Ordnung abbrechen. Diese
Entwicklung nennt sich Neumann- oder Dyson-Reihe.
98
4.4
4.4.1
Störungstheorie 1. Ordnung
Übergangsamplitude zwischen stationären Zuständen
Wir setzen t0 zur Vereinfachung Null. Für t < 0 sei das System im Eigenzustand |mi von
H0 . Die Zeitentwicklung ist dann
|m, ti = e−iEm t/~ |mi
Gesucht ist jetzt die Übergangsamplitude in den Eigenzustand |ni von H0 nach dem
Wirken von V (t). In erster Ordnung Störungstheorie ist der neue Zustand im WW-Bild
gegeben durch
Z
1 t 0
dt VI (t0 ) |mi
|ψ, tiI = |mi +
i~ 0
da
|ψ, 0iI = eiH0 t/~ |m, tit=0 = |m, t = 0i = |mi
Die Übergangswahrscheinlichkeit für eine Zeit t > 0 ist gegeben durch mit der Zeitentwicklung des |ni-Zustandes:
hn, t|ψ, ti = hn| eiH0 t/~ |ψ, ti = hn|ψ, ti
{z
}
|
=|ψ,tiI
Die Störungstheorie eingesetzt ergibt sich:
1
= δnm +
i~
Z
t
dt0 hn| VI (t0 ) |mi
0
Setzen wir die Definition des Potentials im Wechselwirkungsbild ein, so erhalten wir
Hamiltonoperatoren im Exponenten, welche wir wieder auf die beiden Eigenzustände n
und m wirken lassen können:
Z
1 t 0 i(En −Em )t0 /~
= δnm +
dt e
hn| V (t0 ) |mi
i~ 0
Die Übergangswahrscheinlichkeit Pmn (t) für den Übergang des Zustandes m nach n (für
m 6= n) ist dann gegeben durch
Z
2
1 t 0 i(En −Em )t0 /~
0
Pmn (t) = 2 dt e
hn| V (t ) |mi
~
0
99
4.4.2
Übergang in Kontinuum
(a) Wir versuchen Pmn (t) auf Übergange in ein kontinuierliches Spektrum anzuwenden.
Physikalische Beispiele wären die Streuung einen Teilchens mit Impuls ~k auf den Impuls ~k 0 (die 1. Ordnung Störungstheorie entspricht gerade der Bornschen Näherung).
oder wiederum der α-Zerfall (bei ihm ist der Impuls des α-Teilchens kontinuierlich). Ein weiteres Beispiel ist das Helium-Atom, indem sich beide Elektronen im
2S-Zustand befinden (man könnte dann berechnen wie groß die Wahrscheinlichkeit
ist, dass ein Elektron in den 1S-Zustand fällt und eines das Atom verlässt und frei
ist).
Wir betrachten zunächst ein stufenförmiges Potential mit V (t) = V · Θ(t). Die Wahrscheinlichkeit ist dann nach der Formel von oben gegeben. Die Zeitabhängigkeit im
m
und
Potential verschwindet und das Integral ist lösbar. Wir setzen ωmn = En −E
~
erhalten:
2
1 eiωmn t − 1 1
Pmn (t) = 2 |hn| V |mi|2 = 2
~
ωmn
~
sin(ωnm t) 2
2
ωmn /2 |hn| V |mi|
(b) Uns interessiert das Verhalten für große Zeiten (also t → ∞), weshalb wir einen
mathematischen Einschub machen. Wir betrachten die Funktion
δt (α) =
sin2 (αt)
πα2 t
Abbildung 4.1: Ein Plot der Funktion δt (α) für verschiedene t-Werte. Verdoppelt man t,
so wird das Maximum doppelt so hoch.
Wir erhalten einige Abschätzungen
t
δt (0) =
π
1
δt (α 6= 0) ≤
πα2 t
Z
∞
δt (α) dα = 1
α=−∞
Man kann beweisen, dass δt (α) für unendlich große t-Werte eine Darstellung der
δ-Funktion ist.
Wir erhalten also für unsere Wahrscheinlichkeit für große t:
Pnm =
ω 1
2π
mn
πtδ
|hn| V |mi|2 = t δ(En − Em ) |hn| V |mi|2
2
~
2
~
100
Die Übergangsrate (also die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit) ist
Γmn =
Pmn
2π
=
δ(En − Em ) |hn| V |mi|2
t
~
Dies ist gerade Fermis Goldene Regel.
(c) Wir betrachten jetzt Übergange in eine ganze Gruppe von Zuständen. Dazu führen
wir die Zustandsdichte ρ ein:
dN
ρ(E) =
dE
Sie beschreibt die Anzahl der Zustande im Intervall (E, E + dE). Die Zustandsdichte
muss als gegeben angenommen werden, weshalb wir unsere Teilchenzahl schreiben
können also
dN = ρ(E) dE
Außerdem nehmen wir an, dass das Übergangsmatrixelement hn| V |mi gleich für
alle Zustände im Intervall (E, E + dE) ist. Die totale Rate für den Übergang vom
Zustand m in eine ganze Gruppe n von Zuständen mit ungefähr der selben Energie
E ≈ En ≈ Em ist dann
Z
Z
2π
2π
dNn Γmn = dEn ρ(En )δ(En − Em ) |hn| V |mi|2 = ρ(Em ) |hn| V |mi|2
~
~
Wir haben gewisse Annahmen für die Energien gemacht. Das Intervall der betrachteten Energien wurde größer als die Energieunterschiede ωmn angenommen und diese
wiederum größer als die einzelnen Energieunterschiede zwischen den En in der kontinuierlichen Gruppe. Dies wollen wir noch einmal genauer betrachten:
(d) Wir haben bei der Herleitung verwendet, dass
sin2 αt
δt (α) =
→ δ(α)
πα2 t
mit
En − Em
2~
Die Funktion δt hat Nullstellen, wenn der Sinus Null wird. Dies ist der Fall, wenn
α=
αt = 2π =⇒ En − Em =
4π~
→0
t
für t → ∞
δt hat also die Breite (die Entfernung zwischen den Nullstellen) von 4π~
. Viele der
t
betrachteten Zustände müssen zwischen diesen beiden Nullstellen (im ”Peak’) liegen
101
und die Zustandsdichte muss in diesem Bereich fast gleich sein, damit die Charakterisierung durch die Zustandsdichte ρ(E) in Ordnung ist. Dies ist der Fall, wenn
die Breite der Zustandsdichte ∆E viel größer als die Breite von δt ist. Außerdem
müssen die Zustände sehr dicht liegen - also die Separation der Zustände δ klein
sein. Insgesamt gilt die Regel also unter der Bedingung
∆E 4.4.3
4π~
δ
t
Periodische Störungen
Als Beispiel kann ein periodisches äußeres elektromagnetisches Feld dienen. Das Potential
hat also die Form (im Schrödingerbild)
V (t) = Θ(t) F e−iωt + F † eiωt
wenn F ein bis jetzt noch nicht näher spezifizierter Operator ist. Wir gehen vor wie im
Abschnitt davor. Wieder sei für t = 0 nur der Zustand |mi besetzt. Wir betrachten nur
denn Fall n 6= m. Wieder erhalten wir (diesmal nur mit einem anderen Potential) die
Übergangsamplitude
1
hn, t|ψ, ti =
i~
Z
t
0
0
dt0 ei(ωnm −ω)t hn| F |mi + ei(ωnm +ω)t hn| F † |mi
0
mit
En − Em
~
Weiter ist dann analog wie oben (die Rechnung geht genauso)
ωmn =
|hn, t|ψ, ti|2 = t
2π
2
†
2
δ(ω
−
ω)|
hn|
F
|mi
|
+
δ(ω
+
ω)|
hn|
F
|mi
|
mn
mn
~2
Der Interferenzterm wird Null, da die beiden Terme für t → ∞ auf zwei Delta-Funktionen
gehen welche einen verschiedenen Ort des Peaks haben. Die Übergangsrate ist dann (wenn
wir von ω noch zu E übergehen):
Γmn =
2π
δ(En − Em − ~ω)| hn| F |mi |2 + δ(En − Em + ~ω)| hn| F † |mi |2
~
Analog kann man auch wieder die totale Rate berechnen:
Z
dNn Γmn =
2π ρ(Em + ~ω)| hn| F |mi |2 + ρ(Em − ~ω)| hn| F † |mi |2
~
102
Bemerkung: Es gilt weiterhin die Energieerhaltung - nur jetzt unter Einbeziehung des
Potentials. Der Term ρ(Em + ~ω) beschreibt dabei eine Absorption, der andere Term eine
Emission eines Photons mit ~ω.
4.5
Alternative Formulierung: Entwicklung nach Energieeigenzuständen
Wir wollen die Näherung noch alternativ herleiten.
4.5.1
Formalismus
Wieder starten wir mit der Schrödingergleichung im Wechselwirkungsbild
i~
∂
|ψ, tiI = λVI (t) |ψ, tiI
∂t
mit dem Hamiltonoperator
H = H0 + λV
Als Ansatz wählen wir jetzt (analog zur zeitunabhängigen Störungstheorie)
|ψ, tiI =
X
bn (t) |ni
n
wobei die |ni Eigenzustände zum ungestörten Hamiltonoperator sind
H0 |ni = En |ni
Die Entwicklungskoeffizienten beinhalten jetzt die gesamte Zeitabhängigkeit:
bn (t) = hn|ψ, ti
Eingesetzt in die Schrödingergleichung im Wechselwirkungsbild ergibt sich:
i~
X
d
bn (t) = hn| λVI (t) |ψ, tiI = hn| λVI (t)
bk (t) |ki
dt
k
X
=λ
bk (t) hn| VI |ki
k
=λ
X
bk (t) exp [i(En − Ek )t/~] hn| V |ki
k
103
Jetzt benutzen wir Störungsrechnung und entwickeln nach Koeffizienten von λ:
(0)
(1)
(2)
bk = bk + λbk + λ2 bk + . . .
Dies setzen wir ein und trennen nach verschiedenen Koeffizienten von λ:
0. Ordnung
d (0)
b =0
dt n
(0)
Also hängen die bn nicht von der Zeit ab.
ν-te Ordnung
i~
d (ν) X (ν−1) i(En −Ek )t/~
b =
bk
e
hn| V |ki
dt n
k
Dies erlaubt uns also eine rekursive Berechnung der Koeffizienten.
4.5.2
Störungstheorie 1. Ordnung
Für t ≤ 0 befinde sich das System wie immer im Zustand |mi. Gesucht ist wieder die
Übergangswahrscheinlichkeit in einen Zustand |ni. Für die bi für t = 0 ergibt sich dann
direkt
bi (0) = δim
für alle Ordnungen von λ. Also muss
(0)
bi (t = 0) = δmi
(ν)
bi (t = 0) = 0
ν 6= 0
In der ersten Ordnung ergibt sich dann
i~
d (1) X (0) i(Ej −Ek )t/~
b =
bk e
hj| V |ki = ei(Ej −Em )t/~ hj| V |mi
dt j
k
Diese Differentialgleichung ist recht einfach zu lösen. Man erhält:
(1)
bj
1
=
i~
Z
t
dt0 ei(Ej −Em )t/~ hj| V |mi
0
Damit ergibt sich mit
|ψ, tiI =
X
bn |ni = |mi + λ
n
X
k
104
(1)
bk |ki + . . .
die Übergangsamplitude
hn, t|ψ, ti = hn|ψ, tiI = δmn +
λb(1)
n
λ
= δmn +
i~
Z
t
dt0 ei(En −Em )t/~ hn| V (t0 ) |mi
0
und damit die selbe Formel wie oben.
4.6
Anwendung: Wechselwirkung mit Strahlungsfeld,
Auswahlregeln
4.6.1
Emission und Absorption von Photonen
Wir wollen im Folgenden die Emission und Absorption von Photonen durch ein Atom besprechen. Der Hamiltonoperator eines Elektrons im elektromagnetischen Feld ist gegeben
durch
2
1 ~
p~ − eA(~r, t) + eφ(~r, t) + V (~r) =: H0 + V (t)
H=
2m
für eine geeignete Wahl von H0 und V (t) (siehe unten). V (~r) beschreibt dabei zum Beispiel
ein Coulomb-Potential. Für Atome mit mehreren Elektronen ist zum Beispiel
X p~2
i
+ V (~ri )
H0 =
2m
i
und
V (t) =
X
i
−
o
e n ~
e2 ~ 2
p~i , A(~ri , t) +
A + eΦ(~ri , t)
2m
2m
Im Weiteren benutzen wir die Coulomb-Eichung, also
~ =0
[~p, A]
und führen die Ladungsdichte
ρ(~r) :=
X
δ(~r − ~ri )
i
und die Stromdichte
X
~j := 1
2 i
p~i
, δ(~r − ~ri )
m
ein. Mit diesen Definitionen ergibt sich
Z
V (t) =
~ r, t)d~r + . . .
−e~j(~r)A(~
105
Wir vernachlässigen die quadratischen Terme in A. Man kann zeigen, dass diese Terme
genau für 2-Photonen-Prozesse verantwortlich sind (welche wir hier nicht beachten wollen)
4.6.2
Hamiltonoperator des Strahlungsfelds
Elektromagnetische Strahlung beschreibt nichts anderes als Oszillationsvorgänge des elektromagnetischen Feldes. Im Weiteren benötigen wir deshalb außer dem Hamiltonoperator
des Elektrons noch den des Strahlungsfeldes.
(a) Wir wollen V (t) als Summe über Eigenfrequenzen ausdrücken. Dazu betrachten wir
die beiden für uns wichtigen Maxwellgleichungen
~ = −∇Φ − A
~˙
E
~ =∇×A
~
B
und benutzen ein paar Vereinfachungen:
Abwesenheit von Quellen Damit ist zuerst einmal
Φ=0
und außerdem
~ = 0 =⇒ A
~ = 0,
∇·A
~ erfüllt also die freie Wellengleichung.
A
Ansatz als Fourier-Reihe
r
X
~ r, t) =
A(~
~k,λ
~
†
i(~k·~
r−ω~k t)
∗
−i(~k·~
r−ω~k t)
a~ ~ε~ e
+ a~k,λ ~ε~k,λ e
2kcV ε0 k,λ k,λ
mit noch zu bestimmenden Koeffizienten a und ε.
(b) Bemerkungen:
• Es sei
ω~k = c|k| = ck
~ die freie Wellengleichung erfüllt, muss auch gelten
Da A
~
ei(k·~r−ω~k t) = 0
106
Hierbei sind ~ε~k,λ (mit λ = 1, 2) die so genannten Polarisationsvektoren mit
|~εi | = 1
~ε1 · ~ε2 = 0
~ε1 × ~ε2 =
~k
k
• Es besteht eine (gewünschte) Analogie zum harmonischen Oszillator. Für ihn
hat der Hamiltonoperator die Form
HHO =
mit
r
q=
mq̇ 2 mω 2 2
+
q
2
2
~
ae−iωt + a+ e+iωt
2mω
und
[a, a† ] = 1
Genauso sind auch die a in unserer Formel Aufsteige- und Absteigeoperatoren.
• Der Vorfaktor ist gegeben durch den Vergleich mit dem Harmonischen Oszillator. Die einzelnen Energieniveaus ergeben sich zu
HHO
1
†
= ~ω a a +
2
und da für die Einheiten
[A] =
Ns
C
N2 ms2
~
=
kcV ε0
mC2
gilt, sind die Auf-und Absteigeoperatoren dimensionslos.
• Wir benutzen periodische Randbedingungen im Volumen V . Dies legt die möglichen (diskreten) Werte für ~k fest.
• Damit A reell wird, addieren wir noch den hermitesch konjugierten Anteil hinzu.
• a~k,λ und a~†k,λ sind die Vernichtungs- bzw. Erzeugungsoperatoren für Photonen
mit Wellenvektor ~k und Polarisation λ. Es soll daher gelten
[a~k,λ , a~†k0 ,λ0 ] = δ~k~k0 δλλ0
und
h
i
(†)
(†)
a~k,λ , a~k0 ,λ0 = 0
wie für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren beim HO.
107
(c) Der Hamiltonoperator des freien Strahlungsfeldes ist also gegeben durch
Hrad
2 
2  X
X
Z Z
2
ε0
c
ε
1
~
~
˙
0
~~ )eik~r  d~r
~ 2 + c2 B
~ 2 d~r =
~~ eik~r + (~k × A
 =
E
A
k
k
2
2
c2 ~k,λ
~k,λ
X
V c2 ε0 X ~˙ 2 1
1
~2 =
=
|A~k | 2 + |~k × A|
~ck a~†k,λ a~k,λ +
2
c
2
~k,λ
~k,λ
da wegen den periodischen Randbedingungen gilt
Z
~
~0
0
eik~r−ik ~r d~r = V δ~k~k0
(d) Insgesamt ergibt sich für den Hamiltonoperator, der die Wechselwirkung von Materie
(Atomen) mit dem Strahlungsfeld beschreibt
H = H0 + Hrad + H1
X p2
i
+ V (~ri )
2m
i
Z
~ d~r
H1 = V (t) = (−e)~j · A
H0 =
und Hrad wie oben.
4.6.3
Spontane Emission
Ein Elektron im Atom geht unter Aussendung eines Photons mit Wellenzahl ~k und Polarisation λ vom Zustand |mi in den Zustand |ni über. Also
|0i |mi → a~†k,λ |0i |ni
|{z}
Vakkuumzustand des Strahlenfeldes
(a) Zur Berechnung der Übergangsrate verwenden wir das schon berechnete Γmn von
oben mit der Form
V (t) = Θ(t) F e−iωt + F † eiωt
Dabei benutzen wir jetzt unser angesetztes Störpotential
Z
V (t) = Θ(t)
~ ~r
(−e)~j Ad
~ bei welchem der Term mit a~ aber gegen 0 geht, weil
mit dem oben angesetzten A,
k,λ
108
a~k,λ |0i = 0 ist. Dann gilt
Γm→n
2
Z Xr
~
~k0 ~
†
†
2
2
i
r
∗
= | h0, n|a~k,λ F |0, mi | = e h0, n| ~j
d~r |0, mi
a~k,λ a~k0 ,λ0 ~ε~k,λ e
2kcV ε0
~k0 ,λ0
r
2
Z
2
~
~k~
2
−i
r
∗
hn| ~j · ~ε~ e
=e
d~
r
|mi
k,λ
2kcV ε0
und damit für die Übergangsrate
Γm→n,~k,λ
2
Z
2π 2 ~
−i~k~
r
3 ~ ∗
=
|mi
e
δ(En − Em + ~ck) hn| d rj~ε~k,λ e
~ 2kcV ε0
(b) Wir wollen die abgestrahlte Leistung betrachten. dPλ sei die Leistung, die in ein
Raumwinkelelement dΩ abgestrahlt wird. Es ist dann
dPλ =
X
Γm→n,~k,λ
~ω~k
|{z}
~k∈dΩ
Energie eines Photons
wobei Γ die Wahrscheinlichkeit pro Zeit ist, dass ein Photon mit der Wellenzahl ~k
und Polarisation λ abgestrahlt wird. Wir betrachten eine Teilchen im Kasten mit
Volumen V . Die Abstände der möglichen ~k-Werte ist proportional zu V1 (siehe QM
I). Für große Volumen können wir also von der Summe zum Integral übergehen:
X
Z
→
~k
d3 k
V
(2π)3
Außerdem benutzen wir Kugelkoordinanten, also
d3 k = k 2 dk dΩ
Zur Abkürzung benutzen wir die Fouriertransformierte der Stromdichte (das ist genau das auftretende Integral in unserer Formel):
~j~ =
k
Z
~
d3 r~j(~r)e−ik~r
Wir setzen dies alles in die Formel ein und erhalten:
Z
k2
πe2
k 2 πe2
2
∗
~
dPλ = dΩ dk
~kc
δ(E
−E
+~ck)|
hn|
j
ε
|mi
|
=
dΩ
| hn| ~j~k ε~∗k,λ |mi |2
~k ~k,λ
n
m
(2π)3
kcε0
(2π)3 cε0
109
Dabei wurde die k-Integration ausgeführt, da dies mit der Delta-Funktion so einfach
ist (wenn man den Vorfaktor beachtet). Deswegen ist k festgelegt mit
k=
En − Em
~c
(c) Wir betrachten die Formel für verschiedene Multipole. Für Atome gilt
~k~r ≈ ka = ω a = ∆E a
c
~c
wenn a der Bohr-Radius ist. Die Energieunterschiede bei einem typischen Atom liegen
im Bereich mc2 α2 . Es ist dann
2 2
~k~r ≈ ∆E a ≈ mc α ~ = α 1
~c
~c mcα
Wir können also ~k~r und die Exponentialfunktion entwickeln. Es ist dann vor allem
!
~k~r)2
(
hn| ~j~k |mi = d3 r hn| ~j(~r) 1 − i~k~r −
+ . . . |mi
2
Z
~
= hn| j~k=0 |mi − i hn| d3 r(~k~r)~j(~r) |mi + . . .
Z
Der erste Term entspricht gerade den elektrischen Dipolübergängen. Der zweite Term
gibt uns Aufschluss über magnetische Dipole und elektrische Quadrupole.
4.6.4
Elektrische Dipolübergänge
(a) Wir definieren das Dipolmatrixelement:
~j0 =
Z
d r~j(~r) =
3
Z
1X
dr
2 i
3
p~i
p~i
δ(~r − ~ri ) + δ(~r − ~ri )
m
m
=
p~
m
wenn p~ der Impuls des Schwerpunktes ist. Wir kennen jedoch die Bewegungsgleichung
für den Schwerpunkt:
i
X
p~
ih
~
~ =
=
H0 , R
R
~ri
m
~
i
Damit ist
hn| ~j0 |mi = hn|
p~
i
~ |mi = i (En − Em ) hn| R
~ |mi
|mi = hn| [H0 , R]
| {z }
m
~
~
=d~nm
110
wobei d~nm das Dipol-Matrixelement definiert. Die abgestrahlte Leistung eines Photons mit Wellenzahl ~k und Polarisation λ ist dann
dPλ
e2 π 2
=
ω 2 ω 2 |d~nm ~ε~∗k,λ |2
dΩ
(2π)3 c3 ε0
| {z }
=F
Bemerkungen:
• Die Leistung pro Raumelement ist proportional zur Frequenz hoch 4.
• Die Amplitude ist proportional zur Projektion von d~nm auf ~ε~∗k,λ (also vor allem
auch von der Polarisation!)
• Das Matrixelement d~nm legt fest, ob Dipolübergänge möglich sind oder nicht
(Auswahlregeln).
(b) Im Folgenden wollen wir die Auswahlregeln für Dipolübergänge besprechen (also
Aussagen über das Verschwinden und Nicht-Verschwinden von d~nm ). Wir betrachten
dazu zuerst einige
Kommutatorrelationen
[Lz , Z] = 0
[Lz , X ± iY ] = (±X + iY )~
~ 2 und L
~ z sind
Wir nehmen natürlich an, dass |ni und |mi Eigenzustände von L
und zwar mit den Eigenwerten l und m für |mi und l0 , m0 für |ni. Für die
z-Komponente von dnm erhalten wir dann mit
0 = hn| [Lz , Z] |mi = hn| Lz Z |mi − hn| ZLz |mi
das Ergebnis
hl0 , m0 | Z |l, mi (m − m0 ) = 0
und analog in den anderen beiden Komponenten
hl0 , m0 | X +iY |l, mi (m0 −(m+1)) = 0
hl0 , m0 | X −iY |l, mi (m0 −(m−1)) = 0
Damit jetzt Dipolübergänge möglich sind, muss für mindestens eine Komponente dnm nicht verschwinden. Da die Gleichungen aber erfüllt sein müssen, muss
die jeweils andere Klammer verschwinden. Es muss also gelten
m = m0
oder m = m0 ± 1
111
Antikommutatorrelationen Es ist
~ 2 , [L
~ 2 , R]]
~ = 2~2 {R,
~ L
~ 2}
[L
Wir benutzen den selben Trick wie oben. Zuerst für die linke Seite
~ 2 , [L
~ 2 , R]]
~ |l, mi = ~2 (l0 (l0 + 1) − l(l + 1)) hl0 , m0 | [L
~ 2 , R]
~ |l, mi
hl0 , m0 | [L
2
~ |l, mi
= ~4 (l0 (l0 + 1) − l(l + 1)) hl0 , m0 | R
und dann für die rechte:
~ L
~ 2 } |l, mi = 2~4 (l(l + 1) + l0 (l0 + 1)) hl0 , m0 | R
~ |l, mi
hl0 , m0 | 2~2 {R,
Insgesamt erhalten wir nach etwas ausklammern:
~ |l, mi (l + l0 )(l + l0 + 2)((l − l0 )2 + 1)
0 = hl0 , m0 | R
Dabei ist (l + l0 + 2) immer ungleich Null, da l, l0 positiv sind. Weiterhin gilt
~ |0, 0i = 0 und damit
l + l0 = 0 nur für l = l0 = 0. Dann ist aber auch h0, 0| R
auch wieder d~nm . Der einzige mögliche Fall ist also
l = l0 ± 1
(c) Polarisation der emittierten Strahlung
(1) Wenn m = m0 , dann ist d~nm nur in ~ez ungleich Null. Damit erhalten wir linear
polarisiertes Licht in der ~ez -~k-Ebene (da in allen anderen Fällen das Skalarprodukt zwischen d~nm und ~ε verschwindet). Insbesondere erhält man in z-Richtung
keine Strahlung.
(2) Falls jedoch m = m0 ± 1, dann verschwindet nur die z-Komponente von d~nm .
Dann kann das Matrixelement hl0 , m0 | X ± iY |l, mi nicht verschwindet, dafür
muss das Matrixelement hl0 , m0 | X∓iY |l, mi und das Matrixelement hl0 , m0 | Z |l, mi
verschwinden. Aus der Beziehung für das zweite Matrixelement folgt
hl0 , m0 | Y |l, mi = ∓i hl0 , m0 | X |l, mi
und damit ist das Dipolmatrixelement d~nm proportional zu (1, ∓i, 0)T . Zeigt ~k
in z-Richtung, so liegen ~ε1 und ~ε2 beide in der x-y-Ebene. Dann ergibt sich
zirkular polarisiertes Licht. Wenn ~k jetzt jedoch in x-Richtung zeigt, dann zeigt
112
zum Beispiel ~ε1 in y-Richtung und ~ε2 in z-Richtung und es ergibt sich linear
polarisiertes Licht. Bei allem Zwischenfällen kommt es zu elliptisch polarisiertem
Licht.
(d) Konsequenzen der Auswahlregeln
Es ergeben sich einige Konsequenzen aus den Auswahlregeln. Es gibt zum Beispiel
wesentliche Einschränkungen bei den optischen Übergängen. Betrachten wir zum
Beispiel ein Wasserstoffatom mit einem sehr großen n und l = n−1 (im so genannten
Rydberg-Zustand).
E
A
n=2
B
∆l = 1
n=1
0
1
2
3
l
Abbildung 4.2: Termschema mit mehreren Zuständen
Der Zerfall in den Grundzustand ist (aufgrund der Auswahlregeln) nur stufenweise
möglich. Der direkte Dipolübergang von A nach B ist nicht möglich.
4.6.5
Lebensdauer
Die Lebensdauer für Dipolübergänge lässt sich mithilfe der Übergangswahrscheinlichkeit
berechnen.
(1) Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass ein Photon mit Polarisation λ
in den Raumwinkel dΩ abgestrahlt wird, ist gegeben durch
dωλ =
X
Γm→n,~k,λ
~k∈dΩ
Nach einer analogen Rechnung wie für die abgestrahlte Leistung pro Winkeleinheit
113
erhalten wir:
dωλ = F
ω3 ~ ∗ 2
|dmn ~ε~k,λ | dΩ
~
mit
F =
und
e2 π
(2π)3 c3 ε0
e2
α=
4πε0 ~c
erhält man
F =
α~
2πc2
Wir führen Kugelkoordinaten im Koordinatensystem ~ε1 , ~ε2 , ~k ein und schreiben damit
d~mn um.
z
~k
d~mn
θ
θ1
θ2
ϕ
y
x
~ε2
~ε1
Abbildung 4.3: Kugelkoordinaten im neuen Koordinatensystem mit den eingeführten
Winkeln.
Wir können also für die Skalarprodukte schreiben:
d~mn · ~ε1 = |d~mn ||ε1 | cos(θ1 ) = sin(θ) cos(ϕ)|d~mn |
und für das andere analog (nur mit sin(θ) sin(ϕ)). Also für beide Polarisationen
zusammen:
dω = F
ω3
ω3
dΩ|d~mn |2 (cos2 θ1 + cos2 θ2 ) = F
dΩ|d~mn |2 sin2 θ
~
~
114
Damit ist die Übergangswahrscheinlichkeit für alle Raumwinkel:
Z
ω=
ω3
dω
= F |d~mn |2
dΩ
dΩ
~
Z
dϕ dcos θ sin2 θ = F
ω 3 ~ 2 8π
4 ω3
|dmn |
= α 2 |d~mn |2
~
3
3 c
Dies ist die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit. Die Lebensdauer entspricht gerade
der inversen Übergangswahrscheinlichkeit.
(2) Bei der Berechnung der Lebensdauer muss noch berücksichtigt werden, dass über
alle verschiedene Übergangsmöglichkeiten summiert werden muss:
1 X
=
ω
τ
n
wobei die Summe über alle erlaubten Endzustände gehen muss. Betrachten wir beispielsweise konkret ein Wasserstoffatom im Zustand |21mi und den Übergang in
|100i, wobei m = 0, ±1 sein kann. Betrachten wir zuerst den Winkelanteil von
~ |mi:
d~nm = hn| R


sin θ cos ϕ
Z


dΩ Y00∗ Y1m  sin θ sin ϕ 
cos θ
was einfach lösbar ist, wenn man den Vektor mit Kugelflächenfunktionen umschreibt.
Das Resultat ist unabhängig von m:

2
Z
sin θ cos ϕ 1


dΩ Y00∗ Y1m  sin θ sin ϕ  =
3
cos θ
Betrachten wir jetzt noch den Radialanteil:
Z
0
2
∞
2
r dr
∗
∗ R10
R21
r
=
a20
256
81
2
1
6
(3) Insgesamt erhält man (da es nur einen möglichen Endzustand |100i gibt, fällt die
Summe weg):
1
4 ω3
~ |2, 1, mi |2
= α 2 | h1, 0, 0| R
τ
3 c
mit
E2 − E1
mc2 α2
1
~
ω=
=
− +1
a0 =
~
2~
4
mcα
115
also insgesamt:
1
256 5 mc2
=
α
τ
6561
~
und mit Zahlenwerten:
τ = 1.6 · 10−9 s
4.6.6
Elektrische Quadrupol und magnetische Dipolübergänge
In Abschnitt 3 (c) war ~k~r 1 und wir konnten die Exponentialfunktion nähern mit
hn| ~j~k |mi =
Z
~
d r hn| 1 − ik~r + . . . ~j(~r) |mi
3
Wir wollen uns jetzt dem zweiten Term in der Näherung widmen. Er ist gegeben durch:
Z
−i
d3 r(~k~r)(~jε~∗k,λ )

h
i 1h
i

1
d3 r  (~k~r)(~j~ε~∗k,λ ) − (~ε~∗k,λ~r)(~j~k) + (~k~r)(~j~ε~∗k,λ ) + (~ε~∗k,λ~r)(~j~k) 
2|
2
|
{z
}
{z
}

Z
= −i
=I
=II
Wir können umschreiben:
Z
1 XZ
i ~
i
p~i
3
∗
∗
3
~
~
d r k × ~ε~k,λ (~r × j) = − k × ~ε~k,λ
, δ(~r − ~ri )
I=−
d r ~r ×
2
2
2 i
m
1 XZ
i ~
(~pi )l
∗
3
= − k × ~ε~k,λ
d r εjkl rk
, δ(~r − ~ri )
2
m
j 2
i
dabei wird die Summe über alle Teilchen I durchgeführt. Es ist das Integral gleich
1
2
2
1
εjkl {(pi )l , (ri )k } = εjkl (2(pi )l (ri )k − ~δlk ) = εjkl (pi )l (ri )k = (Li )j
m
m
m
m
und damit insgesamt:
i ~
~
(k × ~ε~∗k,λ )L
2m
Der Term I ist also proportional zum Drehimpuls, also auch proportional zum magnetischen Moment. Deshalb entspricht I gerade dem magnetischen Dipolübergang. Es ergeben
~ |l, mi
sich wiederum gewisse Auswahlregeln, damit das Matrixelement hl0 , m0 | (~k × ~ε~∗k,λ )L
nicht verschwindet. Analog zu oben erhält man diesmal m = m0 oder m = m0 ± 1 und
diesmal l = l0 .
I=−
116
Betrachten wir jetzt den Term II:
Z
i
∗
II = − kj (ε~k,λ )l d3 r(jl rj + rl jj )
2
1 X
i
= − kj (ε~∗k,λ )l
((pi )l (ri )j + (ri )j (pi )l + (ri )l (pi )j + (pi )j (ri )l )
2
2m i
Es ist für ein r = ri :
[rj rl , H0 ] =
und damit
i~
i~
(rj pl + pj rl ) = [rl rj , H0 ] =
(rl pj + pl rj )
m
m
1 X m
i
∗
II = − kj (ε~k,λ )l
2[(ri )j (ri )l , H0 ]
2
2m i i~
Betrachten wir jetzt das Matrixelement, so erhalten wir
hn| II |mi = −
X
1
(Em − En )
hn| (~k~ri )(~ε~∗k,λ~ri ) |mi
2~
i
Bemerkungen Die Kombination (ri )j (ri )l entspricht gerade dem Quadrupolmoment.
Die magnetischen Dipol- und die elektrischen Quadrupolübergänge, welche wir hier berechnet haben, sind um den Faktor α unwahrscheinlicher, als die elektrischen Dipolübergänge (da ~k~r ∈ O(α) liegt).
Bisher wurde der Spin nicht berücksichtigt. Für die bisherigen Ergebnisse gilt also zusätzlich noch die Auswahlregel:
∆S = S − S 0 = 0
Um den Spin jetzt noch zu berücksichtigen, müssen wir einen Zusatzterm im Hamiltonoperator aufnehmen:
ge X ~ ~
Si B(~ri , t)
HSpin = −
2m i
mit
~ =∇×A
~
B
~ aus den Erzeuger- und Vernichteroperatoren. Wir müssten
und der Entwicklung von A
auch diesen Term wieder mit zeitabhängiger Störungstheorie behandeln.
117
118
Kapitel 5
Systeme identischer Teilchen
5.1
Identische Teilchen
Zwei Teilchen nennen wir im Folgenden identisch, wenn alle ihre Eigenschaften übereinstimmen (Masse, Ladung, Spin, ...). Sie können experimentell nicht unterschieden werden.
Beispiele dafür sind zwei Elektronen. Nicht-Beispiel wäre Elektron und Positron.
Klassische Physik Hier sind identische Teilchen nur ein Spezialfall. Es gibt keine
Besonderheiten für dieses System, da sich hier jedes Teilchen auf einer wohldefinierten
Bahn bewegt. Die Teilchen lassen sich sozusagen durchnummerieren.
Quantenmechanik Hier müssen wir die wohldefinierten Bahnen aufgeben. Stattdessen
können sich die Wellenfunktionen überlappen. Man verliert also die Nummerierung, da
sie nicht mehr eindeutig ist.
5.2
Austauschentartung
Wir betrachten dies am Beispiel eines Systems von 2 Spin- 12 -Teilchen. Die z-Komponenten
der Spins sind ~2 und - ~2 . Wir wechseln in die schon hinlänglich bekannte Basis {ε1 , ε2 }.
Der physikalische Zustand kann dann beschrieben werden durch z.B. |+, −i oder |−, +i
(welcher besser ist kann man nicht entscheiden, da man die beiden Teilchen ja nicht unterschieden kann). Die Quantenmechanik erlaubt sogar, jeden Zustand α |+, −i+β |−, +i
als Beschreibung zu benutzen, solange α2 + β 2 = 1 ist. Diese Unbestimmtheit in der Beschreibung nennt man jetzt Austauschentartung. Die physikalischen Aussagen, welche wir
aus diesem System berechnen, hingen jetzt von α und β ab - und das kann nicht sein.
Betrachten wir beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass die x-Komponente des Spins
119
~
2
ist, dann erhalten wir:
P (S1x = S2x
2 2
1
1
~
= ) = (h+, +| + h+, −| + h−, +| + h−, −|) (α |+, −i + β |−, +i) = (α + β)
2
2
2
Wir benötigen also ein weiteres Postulat der Quantenmechanik, welches festlegt, welchen
der Zustände α |+, −i + β |−, +i wir verwenden müssen.
5.3
Symmetrisierungspostulat
Zusätzlich zu den Postulaten aus QM I führen wir noch ein weiteres ein:
Bei einem System aus mehreren identischen Teilchen können nur bestimmte Vektoren
(abhängig von der Natur der Teilchen) die physikalischen Zustände beschreiben.
Bei Bosonen müssen die physikalischen Vektoren symmetrisch unter Permutation der
Teilchen sein. Bei Fermionen gerade antisymmetrisch. Fermionen sind Teilchen mit halbzahligem Spin (wie Elektron, Positron, Proton, Neutron,...) Bosonen hingegen haben
ganzzahligen Spin (wie γ, π, oder H).
Bemerkungen
(i) Es gibt mit diesem Postulat keine Austauschentartung mehr.
(ii) Konstruktionsvorschrift von symmetrischen / antisymmetrischen Zuständen:
(a) Nummeriere die Teilchen durch und konstruiere einen Ket mit
|ui = |ϕα1 , ϕα2 , ϕα3 , . . .i
(b) Ein symmetrischer Zustand wird gerade durch
|ψS i =
1 X
Pα |ui
N! α
und ein antisymmetrischer durch
|ψA i =
1 X
εα Pα |ui
N! α
gegeben. Dabei ist N die Anzahl an Teilchen und Pα der Permutationsoperator.
Die Summe läuft deshalb über alle Permutationen. εα ist 1 oder -1 für gerade
120
oder ungerade Permutationen (also die Anzahl an Vertauschungsoperationen,
um die Permutation darzustellen).
(c) Normiere den Zustand
(iii) Das Symmetriepostulat enthält das Pauli-Prinzip.
Beispiele
(i) Betrachte zwei identische Teilchen, welche sich in den Zustanden |ϕα1 i und |ϕα2 i
befinden. Der Hamiltonoperator ist dann
H = H1 + H2
mit
Hi ϕαi = Eαi ϕαi
E = Eα1 + Eα2
Damit ist der Startket gegeben durch
|ui = |ϕα1 , ϕα2 i
und die beiden Zustände (symmetrisch und antisymmetrisch) sind dann
1
|ψS i = √ (|ϕα1 , ϕα2 i + |ϕα2 , ϕα1 i)
2
1
|ψA i = √ (|ϕα1 , ϕα2 i − |ϕα2 , ϕα1 i)
2
(ii) Falls |ϕα1 i = |ϕα2 i, dann ist
|ψS i = |ϕα1 , ϕα1 i
|ψA i = 0
Das letzte Ergebnis hatten wir auch schon aufgrund des Pauliprinzips erwartet.
(iii) Es ergeben sich also bestimmte Folgerungen für den Grundzustand von N identischen
Teilchen. Bei Bosonen können sich alle Teilchen im 1-Teilchen-Grundzustand mit der
Energie E0 befinden. Die Gesamtenergie entspricht also
E = N E0
Bei Fermionen funktioniert dies nicht. Im Grundzustand befinden sie sich in Zuständen mit Energie Ei und
E0 ≤ E1 ≤ · · · ≤ EN −1
121
Die Grundzustandsenergie ist dann
E = E0 + E1 + · · · + EN −1
Dabei ist EN −1 die so genannte Fermi-Energie.
5.4
5.4.1
Anwendung
Elastischer Stoß
Im Anfangszustand fliegen zwei Teilchen in z-Richtung aufeinander zu. Wir nennen sie
Teilchen 1 und Teilchen 2. Dieser Zustand heißt |ψi i. Im Endzustand fliegen die beiden
Teilchen in entgegengesetzte Richtung ~n voneinander weg. Dieser Zustand heißt |ψt i. Es
ist
 
 
 
  
0
0
0
0
1   
 
 
 
|ψi i = √ |ϕ1 0 , ϕ2  0 i + ε |ϕ2 0 , ϕ1  0 i
2
−p
p
−p
p
1
|ψt i = √ (|ϕ1 (~n), ϕ2 (−~n)i + ε |ϕ2 (~n), ϕ1 (−~n)i)
2
wobei ε gerade + für Bosonen und - für Fermionen ist. Wir wollen jetzt die Wahrscheinlichkeitsamplitude berechnen, dass |ψi i in |ψt i übergeht. Es ist
hψt | U (t0 , t1 ) |ψt i =
1
[(hϕ1 (~n)ϕ2 (−~n)| + ε hϕ2 (~n)ϕ1 (−~n)|) U (t0 , t1 ) (|ϕ1 (~p)ϕ2 (−~p)i + ε |ϕ2 (~p)ϕ1 (−~p)i)]
2
Alle vier ausmultiplizierten Terme stehen für verschiedene Stoßvorgänge.
Insgesamt erhält man eine Wahrscheinlichkeitsamplitude, welche aus den beiden Termen
für die zwei verschiedenen Stoßmöglichkeiten besteht. Diese werden entweder addiert oder
subtrahiert (abhängig von der Teilchenart). Bei der Quadrierung der Wahrscheinlichkeitsamplitude - um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten - enthält einen Interferenzterm,
welcher noch abhängig von ε ist. Das Ergebnis ist also abhängig vom Teilchencharakter.
122
5.4.2
Heliumatom
Ein Heliumatom kann wie ein Wasserstoffatom beschrieben werden, jedoch mit Z = 2.
Es ist dann der Hamiltonoperator:
Ze2
~2
Ze2
e2
~2
∆1 −
−
∆2 −
+
H=−
2m
4πε0 r1 2m
4πε0 r2 4πε0 |~r1 − ~r2 |
Wir haben also den Hamiltonoperator in der Form
H = H1 + H2 + V
dargestellt, wobei H1 und H2 nur auf das erste bzw. zweite Elektron wirken.
(a) Wir betrachten zuerst den Fall ohne Elektron-Elektron-Wechselwirkung, also V = 0.
Dann ist in nullter Ordnung Störungstheorie
(H1 + H2 ) |ψi(0) = En(0)
|ψi(0)
1 ,n2
und wir kennen auch schon die Lösung:
|ψi(0) = |n1 , l1 , m2 i |n2 , l2 , m2 i
und mit
En(0)
= En(0)
+ En(0)
1 ,n2
1
2
En(0)
= −Z 2
i
mc2 α 1
2 n2i
Setzen wir einige Werte ein, so erhalten wir zum Beispiel folgende Energiewerte:
n1
1
1
1
1
2
n2
1
2
3
∞
2
E (eV)
-108.6
-68.0
-60.4
-54.4
-27.2
Den Zustand mit n2 = ∞ wollen wir hier nicht betrachten, da es sich um den
einfach ionisierten Zustand handelt. Der Zustand mit n1 = n2 = 2 liegt energetisch
schon oberhalb des einfach ionisierten Zustandes (steht darüber). Deshalb müssen in
Bindungszustände von Heliumatomen mindestens ein Elektron die Hauptquantenzahl
1 haben (also im Grundzustand sein).
123
(b) Wir wenden das Pauli-Prinzip an. Da es sich bei Elektronen um Fermionen handelt,
muss die Gesamtwellenfunktion (Produkt aus Ortswellenfunktion und Spinwellenfunktion) antisymmetrisch sein. Bei den Spinwellenfunktionen ergeben sich entweder
die symmetrischen Triplettzustände oder die antisymmetrischen Singulettzustände
(siehe erstes Kapitel). Es ergeben sich also zwei mögliche Fälle
• Symmetrische Ortswellenfunktion und Singulett-Zustand:
1
ψnS = √ (|100i |nlmi + |nlmi |100i) |S = 0, MS = 0i
2
wobei dies nur für n ≥ 2 gilt. Für n = 1 erhält man eine andere Normierung
mit
ψ1S = |100i |100i |S = 0, MS = 0i
Dies nennt sich auch Parahelium
• Antisymmetrische Ortswellenfunktion und Triplett-Zustand
1
ψnT = √ (|100i |nlmi − |nlmi |100i) |S = 1, MS i
2
wobei wieder für n = 1 der Spezialfall
ψ1T = 0
gilt. Dies nennt sich Orthohelium. Der Fall für n = 1 kann also nicht auftreten.
(c) Nun betrachten wir das System mit dem Potential V in erster Ordnung Störungstheorie. Dazu müssen wir zum Beispiel für den Grundzustand berechnen:
e2
∆E = h100| h100| V |100i |100i =
4πε0
Z
Es ist
ψ100
1
=√
π
3
d r1
Z
d3 r2 |ψ100 (~r1 )|2 |ψ100 (~r2 )|2
1
|~r1 − ~r2 |
3/2
Z
e−Zr/a
a
und damit
6
Z ∞
Z ∞
Z
Z
Z
1 e2
1
2 −2Zr1 /a
2 −2Zr2 /a
∆E =
r1 e
dr1
r2 e
dr2
dΩ1
dΩ2
2
a
π 4πε0 0
|~r1 − ~r2 |
0
124
Die Winkelintegration ergibt gerade einen Term der Form
(4π)2
1
max{r1 , r2 }
und damit insgesamt
5 mc2 α2
= 34 eV
∆E = Z
4
2
Für den Grundzustand in erster Ordnung erhalten wir also
(1)
(0)
E11 = E11 + ∆E = −74.8 eV
Experimentell erhält man z.B.
E11 = −78.975 eV
also eine sehr gute Übereinstimmung.
(d) Jetzt betrachten wir die angeregten Zustände in Störungstheorie. Man erhält
∆E
S/T
1 e2
=
2 4πε0
Z
d3 r1 d3 r2 |ψ100 (~r1 )ψnlm (~r2 ) ± ψnlm (~r1 )ψ100 (~r2 )|2
1
|~r1 − ~r2 |
Wenn man den Betrag ausmultipliziert, erhält man das Integral in der Form
Z
=
|ψ100 (~r1 )|2 |ψnlm (~r2 )|2
±
...
|~r1 − ~r2 |
Z
...
∗
∗
(~r1 )ψnlm (~r1 )ψnlm
(~r2 )ψ100 (~r2 )
ψ100
|~r1 − ~r2 |
Der erste Term entspricht physikalisch der elektrostatischen Wechselwirkung der beiden Elektronen (auf ihn würden wir auch ohne das Pauli-Prinzip kommen). Er ist
immer positiv. Das Vorzeichen vor dem zweiten Integral ist abhängig vom SpinZustand. Der zweite Term nennt sich Austauschterm (oder Austauschintegral). Er
stammt erst aus dem Symmetriesierungspostulat. Auch dieser ist positiv (!).
Man erhält dann folgendes Bild für die Energiewerte:
125
126
Kapitel 6
Feldquantisierung
6.1
6.1.1
Euler-Lagrange-Gleichung für klassische Felder
Gekoppeltes System
Wir betrachten viele gleichartige Teilchen (die wir dann in der Näherung später als kontinuierlich ansehen wollen). Wir betrachten das System in einer Dimension. Die Kopplung
der einzelnen Teilchen soll nur eine Nächste-Nachbarn-Wechselwirkung sein. Wir können
uns das System also als lange Kette mit Federn verbundener Massepunkte vorstellen. Die
Auslenkungen der einzelnen Massepunkte i aus der Ruhelage (Abstand a) nennt sich qi .
Das Potential ist also gegeben durch
V =
kX
(qi − qi+1 )2
2 i
und damit die Lagrange-Funktion:
X m q̇ 2 ka (qi − qi+1 )2 mX 2
i
L=T −V =
(q̇i ) − V = a
−
2 i
2
a
2
a2
i
Wir wenden den Euler-Lagrange-Formalismus an, um die Bewegungsgleichungen zu erhalten:
∂L
d ∂L
−
=0
∂qi dt ∂ q̇i
Also
m
qi+1 − qi
qi − qi−1
q̈i − ka
+ ka
=0
2
a
a
a2
da sich ein qi zweimal in der Summe befindet.
127
6.1.2
Übergang zum kontinuierlichen System
Wir müssen also jetzt einfach a → 0 betrachten. Dabei müssen wir beachten:
•
m
a
entspricht der Massendichte µ. Diese soll bei allen Grenzwertbetrachtungen konstant bleiben.
• Es gilt jeweils das Hooksche Gesetz: Die Ausdehnung des ”Stabs” pro Längeneinheit
ist proportional zur Kraft. Dabei ist die Kraft gegeben durch
F = k(qi+1 − qi ) =: ξY
mit
qi+1 − qi
a
Damit muss das so genannte Youngsche Modul Y = ka sein.
ξ=
• Die Indizes i machen bei einer kontinuierlichen Verteilung nur noch wenig Sinn.
Deshalb wechseln wir von qi auf eine Funktion q(x).
• Dann entsprechen die Terme
qi+1 − qi
q(x + a) − q(x)
=
→ q 0 (x)
a
a
für a → 0. q 0 ist also die örtliche Ableitung.
• Auch die Summe verliert ihren Sinn und wir schreiben besser
Z
X
a
→ dx
i
Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir im Limes a → 0 dann:
Z
L=
dx
Y
1
µq̇ − (q 0 )2
2
2
Man definiert die Lagrangedichte mit
1
Y
L = µq̇ − (q 0 )2
2
2
Für die Bewegungsgleichungen erhält man dann
µq̈(x) − Y q 00 (x) = 0
128
wenn man wieder den Differentenquotienten betrachtet.
Bemerkungen
• x ist keine verallgemeinerte Koordinate im Sinne des Lagrange-Formalismus. Es ist
stattdessen ein kontinuierlicher Index.
• Die Formel lässt sich leicht in 3 Dimensionen verallgemeinern. Es ist dann
Z
L=
d3 x L
mit
L = L(q, q̇, ∇q)
• Das q = q(t, ~x) ist eine Art Feld.
6.1.3
Euler-Lagrange-Gleichungen für Felder
Die Wirkung des Systems ist definiert als
t2
Z
Z
S=
dt
d3 x L
t1
Nach dem Hamiltonprinzip muss bei einem stationären Zustand S minimal sein. Es muss
also δS = 0 für eine kleine Störung sein. Das führt uns auf:
t2
Z
Z
0 = δS =
dt
3
dx
t1
∂L
∂L
∂L
δq +
δ q̇ +
δ∇q
∂q
∂ q̇
∂∇q
d
Wir wissen, dass δ∇q = ∇δq und δ q̇ = dt
δq. Die Randterme der kleine Störung verschwinden, also
δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0
Für |~x| → ∞ soll q(~x, t) ebenfalls verschwinden. Führen wir in δS also die partielle
Integration nach ~x und t aus, dann erhalten wir:
Z
t2
0 = δS =
Z
dt
t1
3
dx
∂L
d ∂L
∂L
−
−∇
∂q
dt ∂ q̇
∂∇q
δq
Da die Störung δq beliebig ist, muss damit die Klammer verschwinden. Wir erhalten dann
eine Euler-Lagrange-Gleichung:
∂L
d ∂L
∂L
−
−∇
=0
∂q
dt ∂ q̇
∂∇q
129
Beispiel: Für den berechneten Stab von oben gilt:
∂L
=0
∂q
∂L
= µq̇
∂ q̇
∂L
∂L
= 0 = −Y q 0
∂∇q
∂q
Wir erhalten also die Euler-Lagrange-Gleichung:
µq̈ − Y q 00 = 0
also genau dieselbe Gleichung, die wir oben auch anders erhalten hatten.
Bemerkungen:
(1) Wir haben jetzt zwar nur noch eine Differentialgleichung, aber neben den zeitlichen
kommen jetzt auch räumliche Ableitungen vor.
(2) Wir können analog zur klassischen Mechanik die Hamilton-Dichte einführen:
H = π q̇ − L
mit dem kanonischen Impuls
π=
∂L
∂ q̇
(3) Da wir hier Felder behandelen, bezeichnen wir diese nicht mit q, sondern mit φ(x)
oder ψ(x). x ist dabei ein 4-Vektor. Außerdem wollen wir die ganze Theorie kovariant betrachten. Die Lagrangedichte hängt also jetzt ab von L(φ, ∂µ φ, x). Die
Euler-Lagrange-Gleichung lautet dann:
∂L
∂L
− ∂µ
=0
∂φ
∂∂µ φ
und der kanonische Impuls ist
π=
6.1.4
∂L
∂∂0 φ
Beispiele
Wir benutzen im folgenden Lagrange-Dichten, die wir nicht genau beweisen werden.
Reelles skalares Feld Die Lagrange-Dichte ergibt sich über die kinetische Energie und
das Potential (nicht genauer beschrieben):
1
m2
L = (∂µ φ)(∂ µ φ) −
φ
2
2
130
Dann ist
∂L
= −m2 φ
∂φ
∂L
= ∂ µφ
∂∂µ φ
und man erhält damit die schon bekannte Klein-Gordan-Gleichung:
m2 φ + ∂µ ∂ µ φ = 0 = ( + m2 )φ
Komplexes skalares Feld Für so ein Feld ist die Lagrangedichte
L = (∂µ φ)(∂ µ φ∗ ) − mφφ∗
Wir spalten φ auf in einem Reell- und Imaginärteil:
φ = φ1 + iφ2
Wir können dann die Gleichungen für φ1 und φ2 herleiten oder wir benutzen gleich
φ und φ∗ als zwei unabhängige Variablen. Man erhält dann
∂L
= −m2 φ
∂φ∗
∂L
= ∂ µφ
∂∂µ φ∗
( + m2 )φ = 0
und für φ die Gleichung:
( + m2 )φ∗ = 0
Dirac-Theorie Wir betrachten ein geladenes Fermion mit Masse m. Es gibt dann zwei
unabhängige Felder ψ und ψ̄ = ψ † γ 0 . Die Lagrange-Dichte für dieses System lautet
dann
L = ψ̄(i∂/ − m)ψ
Dann ist
∂L
= (i∂/ − m)ψ i
∂ ψ̄i
∂L
=0
∂∂µ ψ̄i
und wir erhalten die schon bekannte Dirac-Gleichung:
(i∂/ − m)ψ = 0
Wir können die Theorie auch für ψ ausführen und erhalten:
∂L
= (−mψ̄)i
∂ψi
∂µ
←
∂L
= ∂µ ψ̄(i∂ µ ) i = ψ̄i ∂/
∂∂µ ψi
131
←
∂/ soll dabei andeuten, dass ∂ nach links wirkt. Wir erhalten dann die Gleichung:
←
ψ̄(i ∂/ + m) = 0
was genau die ladungskonjugierte Gleichung ist (wie erwartet).
Elektrodynamik Die Lagrange-Dichte für ein System aus elektrischem und magnetischen Feld lautet
1
L = − F µν Fµν − jµ Aµ
4
mit
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
Dann ist
∂L
= −j ν
∂Aν
∂L
1
= − 4F µν
∂∂µ Aν
4
wie man durch Nachrechnen zeigen kann und man erhält insgesamt die bekannte
Maxwell-Gleichung:
∂µ F µν = j ν
6.1.5
Energie-Impuls-Tensor
Wir definieren den Energie-Impuls-Tensor als
Tµν =
X ∂L
∂ φ − gµν L
µφ ν i
∂∂
i
i
Der 4-Impuls ergibt sich aus diesem Tensor gerade durch
Z
Pν =
d3 x T0ν
Wir wollen dies für ν = 0 nachrechnen. Man erhält:
T00 =
X ∂L
X
φ̇i − L =
πi φ̇i − L = H
∂
φ̇
i
i
i
und dann
Z
P0 =
d3 x H = H
was genau der Energie entspricht.
132
6.2
6.2.1
Feldquantisierung
Motivation
(1) Sowohl die KG-Gleichung als auch die Dirac-Gleichung ergeben Zustände mit negativer Energie. Die Feldquantisierung löst dieses Problem.
(2) Sowohl Vielteilchensysteme, als auch die Erzeugung / Vernichtung von Teilchen konnten bisher nicht richtig verstanden werden.
(3) In der Elektrodynamik erfüllen die klassischen Felder die Maxwell-Gleichungen - das
Photon hat diese Maxwell-Gleichung als Bewegungsgleichung.
(4) Auch das Pauli-Prinzip kann erklärt werden.
(5) Die Feldquantisierung bietet ein Werkzeug, um Streuprozesse auf systematische Art
zu berechnen.
6.2.2
Quantisierung des skalaren Felds
Das Ziel dieses Abschnitts ist, φ in der KG-Gleichung
( + m2 )φ = 0
als Operator zu interpretieren und Eigenwerte und Eigenzustände zu bestimmen. Dann
wollen wir dies als Teilchen interpretieren.
(a) Kommutatoren, Erzeuger und Vernichter
Die Lagrange-Dichte des Systems ist
m2 2
1
φ
L = (∂µ φ)2 −
2
2
mit π = ∂L
dem kanonischen Impuls. Wir wollen jetzt π und φ als zwei Operatoren
∂ φ̇
interpretieren (wie p~ und ~x in der Quantenmechanik). Vor allem fordern wir folgende
Kommutatorrelationen:
[φ(x), π(y)]x0 =y0 = iδ(~x − ~y )
[φ(x), φ(y)]x0 =y0 = [π(x), π(y)]x0 =y0 = 0
Es muss Folgendes noch nachgerechnet werden:
• Heisenbergsche Bewegungsgleichungen
133
• Energie- und Impulsoperatoren
• Kausalität: Kann eine Messung an einem (Raum-Zeit-)Punkt eine Messung an
einem anderen Punkt beeinflussen, wenn der Abstand raumartig ist? Genauer:
[φ(x), φ(y)] = 0
für
(x − y)2 < 0
(b) Die klassische Lösung der KG-Gleichung
Wir benutzen die Fouriertransformierte von φ:
Z
φ(t, ~x) =
d3 p i~p~x
e φ̃(t, p~)
(2π)3
Setzen wir dies in in die KG-Gleichung ein, so erhalten wir:
stimmt
nicht(siehe
nächster
Punkt).
Was
meinst
du?
∂2
2
2
+ |p| + m φ̃ = 0
∂t2
also einen Harmonischen Oszillator für jedes k. Analog dazu schreiben wir wieder
1
1
1
H = P 2 + ω 2 φ̃2 = ω(aa† + )
2
2
2
mit
1
φ̃ = √ (a + a† )
2ω
r
ω
P = −i
(a − a† )
2
(c) Erzeuger und Vernichter der quantisierten Klein-Gordon-Gleichung
In Analogie zu (b) führen wir Fourierkomponenten für die Operatoren φ und π ein.
Z
φ(x) =
d3 k 1 ikx † ~
−ikx ~
e a (k) + e
a(k)
(2π)3 2ω
(i) φ(x) ist hermitesch nach Definition
(ii) a, a† wollen wir als Operatoren auffassen
(iii)
Z
d~k
2ω
ist deshalb so gewählt, da es Lorentz-Invariant ist, denn
Z
1
δ(k − m )Θ(k0 )d k =
2|k0 |
Z ~
dk
=
2ω
2
2
4
q
q
δ k0 − ~k 2 + m2 + δ k0 + ~k 2 + m2
Θ(k0 )dk0 d~k
134
Mit dieser Definition erhält man für π:
Z
π(x) = φ̇(x) = i
1 i~k·~x † ~
−i~k·~
x ~
e
a
(
k)
+
e
a(
k)
d~k
(2π)3
Wenn wir nun den Kommutator von φ und π bilden, erhalten wir
Z
~
~
a(k) = −i (iωφ(x) − π(x)) eik·~x d~x
Z
~
† ~
a (k) = i (−iωφ(x) − π(x)) e−ik·~x d~x
denn mit
Z
erhält man
Z
1 i~k·~x±i~k0 ·~x
e
d~x = δ(~k ± ~k 0 )
(2π)3
1 iωt † ~
e a (k) + e−iωt a(−~k)
2ω
Z
i iωt † ~
i~k·~
x
−iωt
~
π(x)e d~x =
e a (k) − e
a(−k)
2
~
φ(x)eik·~x d~x =
und
a (~k) = e−iωt
†
Z
~
(ωφ(x) − iπ(x)) eik·~x d~x
bzw. für a analog.
Für die Kommutatorrelationen zwischen a und a† erhalten wir
[a(~k), a(~k 0 )] = [a† (~k), a† (~k 0 )] = 0
[a(~k), a† (~k 0 )] = 2ω(2π)3 δ(~k − ~k 0 )
Beweis:
Z
0 0
[a(~k), a(k )] = (−i)
eikx+ik x [iωφ(x) − π(x), iωφ(x0 ) − π(x0 )] d~xdx~0
Z
0
= − ei(k+k )x (−iω + iω 0 ) d~x
~0
2
=0
wegen
0
ei(k+k )x ∼ δ(~k + ~k 0 ) =⇒ ω = ω 0
Die Aussage [a† (~k), a† (~k 0 )] = 0 erhält man stark analog. Außerdem
135
Z
0 0
† ~0
~
[a(k), a (k )] = i(−i) ei(kx−k x ) (−iω[φ(x), π(x0 )] + iω 0 [π(x), φ(x0 )]) d~xdx~0
Z
0
= ei(k−k )x (ω + ω 0 ) d~x
= 2ω(2π)3 δ(~k − ~k 0 )
(d) Energie und Impulsoperator
Der Energie- und Impulstensor definiert dem 4-Impuls mit
Z
µ
p =
Z
µ0
(∂ µ φ)(∂ 0 φ) − g µ0 L d~x
T d~x =
Z
= ··· =
Z
=
. . . d~xd~kdk~0
1
1
µ
† ~
~k) + a(~k)a† (~k) d~k
k
a
(
k)a(
2 2ω(2π)3
(i) Für die räumliche Anteile des Impulses ist
Z
i
p =
1 ~ † ~
ka a dk +
2ω(2π)3
Z
1 ~ ~
k dkd~x
(2π)3
|
{z
}
=0 (da ungerade)
(ii) Und für den zeitlichen Anteil des Impulses, also den Energie-Operator, ist
0
H=p =
Z
=
Z
ω †
1
(a a + aa† ) d~k
2ω(2π)3 2
1
ωa† a d~k +
2ω(2π)3
Z
1 ω ~
dkd~x
(2π)3 2
|
{z
}
=∞ (Vakuumenergie)
Wir setzen die konstante Vakuumenergie als Energienullpunkt fest und ”subtrahieren” sie einfach. In der Praxis benutzen wir die Normalordnung (symbolisiert
durch zwei Doppelpunkte), die die a† nach links sortiert, also
†
†
: aa : = a a
Z
:H:=
136
1
ωa† a d~k
3
2ω(2π)
(e) φ(x) und a(~k) erfüllen die Heisenbergsche Bewegungsgleichung
∂µ φ(x) = [iPµ , φ(x)]
h
i
k µ a† (~k) = P µ , a† (~k)
−k µ a(~k) = [P µ , a(~k)]
Den Beweis hierzu erhält man durch Einsetzen:
Z
h
i
d3 k0
0 µ
† ~0
µ † ~
~k 0 ), a† (~k)
(k
)
a
(
k
)a(
[P , a (k)] =
(2π)3 2ω 0
= k µ a† (~k)
h
i Z
h
i
d3 k0
µ
0 µ
† ~0
~k 0 ), a(~k)
~
P , a(k) =
(k
)
a
(
k
)a(
(2π)3 2ω 0
= −k µ a(~k)


Z
h
i
h
i
d3 k0 
eikx iPµ , a† (~k) +e−ikx iPµ , a(~k) 
[iPµ , φ(x)] =

(2π)3 2ω 0 
|
| {z }
{z
}
ikµ a†
ikµ a
= ∂µ φ(x)
(f) Teilcheninterpretation
(i) Der Vakuumzustand lautet |0i. Dies entspricht keinem Teilchen, also einer Energie und Impuls von E = 0, p~ = 0 =⇒ Pµ |0i = 0.
(ii) k µ a† (~k) |0i = [P µ , a† (~k)] |0i = P µ a† (~k) = 0. Wir erhalten daraus, dass a† (~k) |0i
Eigenzustand von P µ mit Eigenwert k µ ist.
(iii)
−k µ a(~k) |0i = [P µ , a(~k)] |0i
= P µ a(~k) |0i
Also ist a(~k) |0i Eigenzustand zu P µ mit Eigenwert −k µ . Dies kann nicht gelten,
da Vakuumzustand der Zustand mit niedrigster Energie ist. Also folgt
a(~k) |0i = 0
(iv)
|~ki = a† (~k) |0i
137
ist ein 1-Teilchenzustand mit Impuls ~k und Energie k0 = ω =
ergibt sich z.B.
|~k1 , ~k2 i = a† (~k1 )a† (~k2 ) |0i
p
~k 2 + m2 . Es
bzw
|~k1 , . . . , ~kn i = a† (~k1 ) . . . a† (~kn ) |0i
Dies ist ein Zustand im FOCK-Raum.
(v) Teilchenzahloperator
d3 k
a† (~k)a(~k)
(2π)3 2ω
Z
N=
Anwenden auf einen Zustand im FOCK-Raum
N |~kn , . . . , ~kn i = n |~k1 , . . . , ~kn i
Z
d3 k
a† (~k)
N |~kn , . . . , ~kn i =
3
(2π) 2ω
a(~k)a† (~k1 )
a† (~k2 ) . . . a† (~kn ) |0i
| {z }
3
(3)
=a† (~k1 )a(~k)+(2π) 2ωδ (~
k − ~k)
|
{z 1
}
=1
= n · 1 |~k1 , . . . , ~kn i
!
n
X
P µ |~k1 , . . . , ~kn i =
kiµ |~k1 , . . . , ~kn i
i=1
(g) Zusammenhang zwischen Spin und Statistik:
Teilchen mit Spin 0 gehorchen BOSE-Symmetrie
|~k1 , ~k2 i = a† (~k1 )a† (~k2 ) |0i
= a† (~k2 )a† (~k1 ) |0i
= + |~k2 , ~k1 i
6.3
CASIMIR-Effekt
Literatur: Quantum Field Theory von Izykson-Zuber.
• Beobachtung von Vakuumfluktuationen.
• Elektromagnetische Feld verschwindet nicht im Vakuum.
138
• Ursprung bei
X~
~k
2
ω~k
Dieser ist unendlich groß und nicht beobachtbar, abberatische Variationen sind
jedoch messbar.
6.3.1
Versuchsaufbau
y
L
z
x
a
Abbildung 6.1: Versuchsaufbau des Casimir-Effektes
Man hat zwei große parallele, elektrisch leitende Platten mit sehr kleinem Abstand zueinander (a << L). Als Bedingung muss gelten, dass die Wellen auf den Platten verschwinden müssen, es sind also nur bestimmte Wellenlängen möglich ( a = n2 λ mit n ∈ N+ ).
Dimensionsbetrachtung:
Kraft
dε
:= f = −
Fläche
dz
Also [f ] =
N
m2
=
kg
.
ms2
ε = Energie pro Fläche
Betrachten wir jetzt die Konstanten, die vorkommen dürfen.
[~] = Js = Nms =
m
[c] =
s
[a] = m
kgm2
s
Wir bekommen also
[f ] ∼
6.3.2
~c
a4
Nullpunktsenergie zwischen Platten
• Betrachte Moden im Volumen L2 a. Es sei immernoch L >> a und Randeffekte sind
zu vernachlässigen.
139
• Diskrete Werte für kz =
nπ
,n
a
∈ N+ . Es gibt 2 Polarisationszustände ~k · ~ε = 0
• kz = 0 =⇒ ~ε ∝ ~ez =⇒ 1 Polarisationszustand.
Nullpunktsenergie:
E=
X1
~k
=
2
X1
~k
~c
=
2
2
Z
~c|~k|
q
~c ~kk2 + kz2
d2 kk
2L
2
(2π)
∞
X
!
r
nπ 2
~k 2 +
|~kk | + 2
k
a
n=1
=∞
Wobei die 2 vor der Summe die 2 Polarisationszustände angibt.
Subtrahiere von E die Energie, die man für das Volumen L2 a erhält, ohne Randbedingungen, d.h. die leitenden Platten.
~c
E0 =
2
Z
d2 kk
(2π)2
L
2
Z∞
q
dkz
a 2 ~kk2 + kz2
2π
−∞
nπ
π
kz =
=⇒ dkz = dn
a
a
r
Z 2
Z∞
2 2
d kk 2
~c
~k 2 + n π
E0 =
L
dn
2
k
2
a2
(2π)2
0
Die Energie pro Fläche ergibt sich dann als
E − E0
L2


r
∞
Z∞
Z
∞ r
2
2
X
2
~c 1
~k d~k ~k + 2
~k 2 + nπ − dn 2 ~k 2 + n π 
=
2 2π
a
a2
n=1
ε=
0
0
ε ist noch nicht wohldefiniert wegen Divergenzen für k → ∞ , k = |~kk |. Dies sind Ultraviolette Divergenzen.
6.4
Ultraviolette Regularisierung
Große Frequenzen bzw. kleine Wellenlängen (unterhalb der atomaren Dimensionen) spüren die Randbedingungen (Leitplatten) nicht. Wir führen eine Funktion ein, die große
140
Frequenzen abschneidet mit
f (k)
1
k
kmax
Also
Z∞

∞
X
r
π 2 n2
r
π 2 n2
!
Z∞
r
π 2 n2
r
π 2 n2
!
k
kdk  f (k) +
k2 + 2 f
k2 + 2
− du k 2 + 2 f
k2 + 2 
2
a
a
a
a
n=1
0
0


∞
Z∞
Z
∞
a2 k2
2
X
√
√
u= 2 ~c π π
√
√
π√
π√
2f
2 −
2f
 1 uf π u +
=π
u
+
n
u
+
n
du
u
+
n
u + n2 
du
2π 2a2 a
2
a
a
a
n=1
0
0


∞
Z
∞
X
~cπ 2  1
=
F (n) − dnF (n)
F
(0)
+
4a3
2
n=1
ε=
~c
2π
0
Mit
Z∞
F (n) =
π √
√
du u + n2 f
u + n2
a
0
Bemerkung
•
P
und
R
können vertauscht werden, da der Ausdruck wohldefiniert ist.
• für n → ∞ gilt F (n) → 0
• Benutze Euler-Maclaurin-Formel:
∞
Z
∞
X
1
1
1
F (0) +
F (n) − dnF (n) = − B2 F 0 (0) − B4 F 000 (0) ± . . .
2
2!
4!
n=1
0
141
wobei Bk die Bernoulli-Zahlen sind, welche definiert sind durch
∞
X yk
y
=
Bk
ey − 1 k=0
k!
B0 = 1
B1 = −
1
2
1
6
B3 = 0
B2 =
B4 = −
1
30
Die Berechnung von ε: Verschiebe u + n2 → u und damit
Z∞
F (n) =
√ π √ du uf
u
a
n2
dn2 dF
dn dn2 π
= 2n(−1)nf
n
π a
n
= −2n2 f
πa 00
2π 0 π
F (n) = −4nf
n − 2n f
n
a
a
a
π 2 π π 0 π
π 0 π 000
2 π
F (n) = −4f
n − 4n f
n − 4n f
n − 2n
n
f 00
a
a
a
a
a
a
a
F 0 (n) =
Annahme:
f 0 (0) = 0
f (0) = 1
f 00 (0) = 0
Damit
F 0 (0) = 0
F 00 (0) = 0
F 000 (0) = −4
F (4) = 0
F (k) (0) = 0 für k ≥ 4
Woraus sich für ε ergibt
~cπ 2
ε=
4a3
−1
4!
1
~cπ 2 1
−
(−4) = − 3
30
a 720
Die Kraft pro Fläche ist dann
f =−
dε
~cπ 2 1
=− 4
da
a 240
142
Dies ist die Vorhersage von H.B.G. Casimir 1948, Experimenteler Nachweis durch Derjaguin, Abrikosova, Lifshitz 1956, Sparnaay 1958
143
144
Kapitel 7
Anhang
145
146
Todo list
Wichtig für die Klausur . . . . . . . . .
hässlichen . . . . . . . . . . . . . . . . .
partielle Ableitungen sind ∂, nicht δ . .
stimmt nicht(siehe nächster Punkt). Was
. . . .
. . . .
. . . .
meinst
147
. . .
. . .
. . .
du?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
71
83
87
134
148
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