Theoriefragen

Theoriefragen
VO: Algebra und Diskrete Mathematik für Informatik und
Wirtschaftsinformatik
Musterprüfung: http://mtb-projekt.at/groupworks/tiki-mtb_redirect.php?idlink=540
1 Grundlagen
1.1 Zahlen
1.2 Elementare Zahlentheorie
Seien a, b ∈ Z.
Was versteht man unter einem größten gemeinsamen Teiler von a und b?
Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen heißt d=ggT(a,b), wenn folgende zwei
Eigenschaften erfüllt sind:
a. d|a und d|b (d teilt a und d teil b)
b. ist t ein gemeinsamer Teiler von a und b, dann gilt auch t|d.
ggT(a,b) = pPpmin{v(a),v(b)}
Wie funktioniert der Euklidische Algorithmus?
Allgemein: dient zur Berechnung des ggT zweier Zahlen a, b
Funktionsweise:
Man führt zu zwei ganzen Zahlen a, b mit b > 0 die folgende Divisionskette durch:
a = b * q0 + r0
0 < r0 < b
b = r0 * q1 + r1
0 < r1 < r0,
r0 = r1 * q2 + r2
0 < r2 < r1,
…
rk-2 = rk-1 * qk + rk
rk-1 = rk * qk+1 + 0
0 < rk < rk-1
=> der letzte Rest rk != 0 ist der ggT von a und b.
kurzes Beispiel:
a = 59, b = 11
59 = 11 * 5 + 4
11 = 4 * 2 + 3
4=3*1+1
3=1*3+0
=> ggT(59, 11) = 1 (gleichbedeutend mit a und b sind teilerfremd)
Warum bricht der Algorithmus immer nach endlich vielen Schritten ab?
wegen b > r0 > r1 > r2 > … >= 0 muss er einmal abbrechen, da es irgendeinmal einen
verschwindenen Rest gibt (und im “schlimmsten” Fall der ggT zweier Zahlen a, b 1 ist, d.h. die
beiden Zahlen teilerfremd sind.
Was versteht man unter der Restklasse einer ganzen Zahl z modulo n (n ∈ N, n ≥ 2)?
die Menge aller zu a (modulo m) kongruenten ganzen Zahlen bezeichnet man als die Restklasse
von a modulo m
a = { x ∈ Ζ | x ≡ a mod m} Restklasse von a ≡ m
Es gibt genau m Restklassen (0,1,...m-1) modulo m
Ζm = {0,1,2,...m-1} Menge der Restklassen modulo m
Wie ist der Restklassenring Zn definiert (Definition der Menge sowie der
Rechenoperationen)?
Zn={0,1,2, ......, n-1}
Sind ganze Zahlen a, b mit
[a1] = [b1] und [a2] = [b2],
dann gilt: [a1 + a2] = [b1 + b2] sowie [a1 * a2] = [b1 * b2]
Geben Sie für n = 5 die Operationstafeln für ”+“ und ”*“ explizit an.
(Anm. Zahlen sollten oben alle eine horizontale Linie haben)
+|0 1 2 3 4
* |0 1 2 3 4
--+---------------------+----------------0|0 1 2 3 4
0 |0 0 0 0 0
1|1 2 3 4 0
1 |0 1 2 3 4
2|2 3 4 0 1
2 |0 2 4 1 3
3|3 4 0 1 2
3 |0 3 1 4 2
4|4 0 1 2 3
4 |0 4 3 2 1
Wodurch unterscheidet sich der Fall, wo n eine Primzahl ist, von den anderen Fallen?
wenn n eine Primzahl ist, dann sind alle Restklassen a != 0 invertierbar.
Nur Restklassen ℤn mit n ℙbilden einen endlichen Körper. Alle anderen Restklassen besitzen
Nullteiler.
Jeder endliche Körper hat pn Elemente wobei folgendes gilt: pℙ, nℕ
1.3 Elementare Aussagenlogik
Die Begriffe Aussage und Prädikat erklären und Beispiele Angeben wie man Aussagen
durch Junktoren bzw. Prädikate durch Quantoren verknüpfen kann. Was ist eine
Aussagenlogische Formel? Wann ist eine solche Formel gültig (Tautologie), erfüllbar oder
nicht erfüllbar?
Aussage: Unter einer (mathematischen) Aussage versteht man einen sprachlichen Ausdruck,
dem eindeutig ein Wahrheitswert wahr (=w) oder falsch(=f) zugeordnet werden kann. (Aussage
nur wahr oder falsch == Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten == zweiwertige Aussagenlogik)
Beispiele: “13 ist eine Primzahl.” “Es regnet.” “8 ist eine gerade Zahl.”
Verknüpfung von Aussagen durch Junktoren:
Konjunktion: Aussage 1 und Aussage 2, ist nur wahr, wenn sowohl 1 als auch 2 wahr
sind. Z.B. “Es ist Winter und es ist kalt.”
Disjunktion: Aussage 1 oder Aussage 2, ist nur falsch, wenn sowohl 1 als auch 2
falsch sind, z.B. “Die Straße ist nass, oder es regnet.”
Implikation: Aussage 1 impliziert Aussage zwei (“wenn dann”, “aus - folgt”).
aus genau dann falsch, wenn die erste Aussage den Wert wahr hat und
die zweite Aussage den Wert falsch hat. Hat immer den Wert w, wenn die
erste Aussage den Wert f hat, unabhängig davon, wie die zweite Aussage
lautet (“ex falso quodlibet”). z.B. “Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.”
Äquivalenz: “genau dann - wenn” - zwei Aussagen sind nur dann äquivalent, wenn sie
den gleichen Wahrheitswert haben. z.B. “Die Straße ist genau dann nass,
wenn es regnet.”
Negation: Die Negation einer Aussage 1 hat genau dann den Wert w, wenn die
Aussage 1 den Wert f hat und umgekehrt.
Bsp. Aussage 1: “Es ist Winter.” => Negation “Es ist nicht Winter.”
.
Aussagenlogische Formel: ist ein Ausdruck, der aus Aussagenvariablen (Bsp. p1=”Die
Strasse ist nass”, p2 = “Es regnet.” und Junktoren und, oder, impliziert, äquivalent, negiert
entsprechend geklammert gebildet werden kann.
.
Semantische Äquivalenz: zwei aussagenlogische Formeln sind genau dann semantisch (oder
mathematisch) äquivalent, wenn sie für alle(!) Wahrheitsbelegungen von p1, p2, … immer
denselben Wahrheitswert haben.
Tautologie/gültig: Eine Formel heißt gültig oder Tautolgie, wenn sie für jede Belegung wahr ist.
Kontradiktion/ungültig: Eine Formel heißt ungültig oder Kontradiktion, wenn sie für jede
Belegung falsch ist.
Erfüllbar: Eine Formel heißt erfüllbar ,wenn sie für mindestens eine Belegung wahr ist.
.
.
Prädikate: P(x) bezeichnet man als Prädikat (oder Aussagenform) in der Gegenstandsvariablen
x, wenn durch konkretes Einsetzen für x eine Aussage entsteht, dem ein Wahrheitswert
zugeordnet werden kann.
Bsp. P(x) = “x ist groß.” durch das Einsetzen von P(Alexander) = “Alexander ist groß” entsteht
eine Aussage. mehrstellige Prädikate enthalten mehrere Gegenstandsvariablen z.B. Q(x,y) = “x
ist größer als y”.
Quantoren:
Allquantor ∀ (für alle), ∀ x P(x) => alle möglichen x haben die Eigenschaft P.
Existenzquantor ∃ x P(x) => es gibt wenigstens ein x, dass die
Eigenschaft P hat
Junktoren und Quantoren kann man verbinden (solange noch freie Gegenstandsvariablen
vorhanden sind). z.B. P1 = “ist ein Mensch”, P2 => “ist sterblich” so kann man die Aussage “Alle
Menschen sind sterblich” schreiben durch ∀ x (P1(x) => P2(x))
1.4 Mengen
Seien M und N zwei Mengen. Was versteht man unter einer Funktion f : M → N? Was
bedeuten die Begriffe injektiv und surjektiv? Geben Sie je ein Beispiel einer injektiven
und einer surjektiven Funktion für den Fall M = N = R. Worin besteht der Unterschied
zwischen einer Funktion f : M → N und einer Relation auf M × N?
Eine Funktion ist eine spezielle Relation. Seien M und N zwei nichtleere Mengen so ist eine
Funktion RfMN bei der jedem Element mM genau ein nN zugeordnet wird.
Injektivitiät:
Jedem Element nN wird höchstens ein Element mM zugeordnet.
Surjektivität:
Jedem Element nN wird mindestens ein Element mM zugeordnet.
Bijektivität:
Jedem Element nN wird genau ein Element mM zugeordnet. Das heißt, eine Funktion ist genau
dann bijektiv wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Seien A und B zwei Mengen. Wie sind die Mengen A×B, 2A und A∆B definiert?
Sei nun A = R und B = {♥, ♦, ♠, ♣}. Geben Sie zu jeder der oben genannten Mengen je zwei
ihrer Elemente an.
Sei M eine Menge. Was versteht man unter einer Äquivalenzrelation auf M? Was versteht
man unter einer Partition der Menge M? Wie hängen diese beiden Begriff zusammen?
Eine binäre Relation R auf eine Menge heißt Äquivalenzrelation wenn die folgenden drei
Eigenschaften erfüllt sind:
i) Reflexivität
ii)Symmetrie
iii)Transitivität
Ein System von nichtleeren Teilmengen Ai eine Menge A heißt Partition oder Zerlegung von A
wenn die Ai paarweise disjunkt sind. (Die Vereinigung zweier Teilmengen ergibt also immer die
Leere Menge).
Äquivalenzrelationen zerlegen die Grundmenge in so genannte Äquivalenzklassen. Sei R eine
Äquivalenzrelation auf A. Für a Element von A heißt die Menge:
K(a) = {b element von A| bRa}
die von a erzeugte Äquivalenzklasse.
Ist R nun eine Äquivalenzrelation auf A. Dann bilden die (verschiedenen) Äquivalenzklassen der
Elemente von A eine Partion von A.
Reflexivität:
aRa … Jedes Element steht mit sich selbst in Relation
Symmetrie:
aRb bRa
Transitivität
aRb bRc aRc
1.5 Relationen und Funktionen
definieren: binäre relation, äquivalenzrelation, halbordnungsrelation, reflexiv,
symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch
• binäre Relation: (auch “zweistellige Relation”) Eine Beziehung R zwischen genau zwei
Mengen A und B, in der die Teilmenge R AxB ist. Eine binäre Relation auf A (also im
Falle A = B) wird geschrieben als R A2. Anstelle von (a, b) 2 R schreibt man zumeist
auch aRb.
• Äquivalenzrelation: Setzt Objekte, die sich in gewisser Weise ähneln, gleichwertig. Zum
Beispiel: Gleichmächtigkeit endlicher Mengen oder Kongruenz von zwei natürlichen
Zahlen). Sie besitzt die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
• Halbordnungsrelation: (auch “partielle Ordnung”, “Teilordnung”) Eine Ordnungsrelation
(Verallgemeinerung der -Beziehung; eine binäre Relation), die die Eigenschaften
Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität besitzt.
• reflexiv: Jedes Objekt ist zu sich selbst äquivalent: aRa ∀a ϵ A
• symmetrisch:Wenn a zu b äquivalent ist, folgt auch b zu a äquivalent (und umgekehrt):
aRb ⇔ bRa ∀a,b ϵ A
• transitiv: Anfang und Ende einer verbundenen Sequenz sind verbunden (z.B. folgt aus a
< b und b < c stets a < c):
aRb ^ bRc ⇒ aRc ∀a,b,c ϵ A
• antisymmetrisch: (auch “identitiv”) Es gibt keine zwei verschiedenen
Elemente, die in beiden Richtungen in Relation stehen:
aRb ^ bRa ⇒ a = b ∀a,b ϵ A
2 Diskrete Mathematik
2.1 Kombinatorik
Seien n und k zwei natürliche Zahlen. Wie ist n über k definiert? Welches kombinatorische
Abzählproblem wird durch n über k gelöst? Benützen Sie diese kombinatorische
Interpretation von n über k, um die Identität n über k ist gleich n über n−k zu beweisen.
(Die Antwort muss begründet werden!)
nk = n!k!(n-k)!
ist die Auswahl einer Teilmenge = Kombination ohne Wiederholung
Eine Auswahl von k Elementen aus einer Urne mit n Elemente entspricht dem gleichzeitigen
Entnehmen von k Kugeln aus der Urne.
nk = nn-k
2.2 Graphentheorie
Definiere Kantenfolge, Kantenzug, Weg, Kreis, offene und geschlossene Euler’sche Linie
und Hamilton’sche Linie, Handschlagslemma
Sei G = ⟨V, E⟩ ein gerichteter oder ungerichteter Graph, ergibt sich aus diesem eine Folge
x0, (x0, x1), x1, (x1, x2), x2, ..., xk-1, (xk-1, xk) mit xi ∈ V und (xi, xj) ∈ E,k ∈ Ν
diese heißt:
Kantenfolge der Länge k von x0 nach xk
Offene KF wenn x0 ≠ xk
Geschlossene KF wenn x0 = xk
Kantenzug Wenn alle Kanten paarweise verschieden sind (wenn keine Kanten in W mehrfach
auftreten)
Weg wenn alle Knoten und alle Kanten verschieden sind
Kreis wenn alle Knoten und Kanten verschieden sind, mit Ausnahme von x0 = xk
Eine offene Kantenfolge von v nach w kann auf einen Weg von v nach w reduziert
werden.
Ein geschlossener Kantenzug kann auf einen Kreis durch v reduziert werden.
Eulersche Linie
ist ein Kantenzug, der jede Kante eines Graphen genau einmal enthält
In einem ungerichteten, zusammenhängenden Graphen G existiert genau dann eine
geschlossene Euler’sche Linie wenn alle Knotengrade gerade sind.
Eine Eulertour in einem Graphen ist ein Weg, der jede Kante des Graphen genau einmal
enthält und dessen Anfangs und Endknoten identisch sind.
Hamiltonsche Linie
Ist ein Weg, der jeden Knoten von G genau einmal enthält. Ein Kreis, der jeden Knoten von G
genau einmal enthält, heißt hamiltonscher Kreis. Erfüllt ein Graph G (V, E) die Bedingung
deg(x) + deg(y) ≥ |V|
∀ x, y ∈ V ; x ≠ y ; {x, y} ∉ E
so enthält er einen Hamiltonkreis.
Erfüllt ein Graph G (V, E) die Bedingung
deg(v) ≥ |V|/2
für jeden Knoten, so ist er hamiltonsch.
Handschlaglemma
In einem ungerichteten Graphen gilt
v V (G) d(v) = 2 E(G)
denn jede Kante liefert genau zweimal einen Beitrag zu der Summe der Grade
d(v) … Knotengrad, also die Anzahl der Kanten, die von einem Knoten v ∈ E ausgehen
⇒ In endlichen Graphen ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade
Erkläre "zusammenhängend" in Graphen und definiere "Zusammenhangskomponente"
G = ⟨V,E⟩ heißt zusammenhängend genau dann, wenn je zwei Knoten e,f ∈ E durch einen Weg
verbunden werden können
Größtzusammenhängende Teilgraphen von G = ⟨V, E⟩ heißen Komponenten.
Jeder G = ⟨V, E⟩ enthält mindestens |V| |E| viele Komponenten.
Für jeden zusammenhängenden Graphen G = ⟨V, E⟩ gilt |E| ≥ |V| - 1
Wie lassen sich jene Graphen charakterisieren, die Bäume sind? Geben Sie mindestens
zwei Charakterisierungen an und begründen Sie deren Äquivalenz. Was versteht man
unter einem bewerteten Graph? Wie sind die Begriffe spannender Baum und minimaler
spannender Baum definiert?
Charakteristikum 1: Ein Baum enthält keine Kreise.
Charakteristikum 2: für je 2 verschiedene Knoten v,w aus G existiert genau ein Weg der die
beiden verbindet.
Ist äquivalent, denn würde es 2 Wege geben, gäbe es auch einen Kreis.
0(T) = 1(T) +1
Also die Anzahl der Knoten ist die Anzahl der Kanten + 1
Ein schlichter ungerichteter Graph W, der keine Kreise positiver Länge enthält, heißt Wald. Ein
Wald T, der auch zusammenhängend ist, heißt Baum.
In einem bewerteten Graphen wird jeder Kante eE einen Wert w(e)R zugeordnet.
Ein Spannender Baum T eines schlichten ungerichteten zusammenhängenden Graphen G ist
ein Baum mit V(T) = V(G) und E(T)E(G), d.h. er enthält dieselben Knoten wie G und gewisse
Kanten von G. Ist G ein bewerteter Graph, so bezeichnet man ein Gerüst W als minimales
Gerüst, wenn die Summer aller Kantengewichte des Gerüstes w(W)= eE(W)w(e) unter allen
möglichen Gerüsten von G kleinstmöglich ist.
Was ist ein bewerteter Graph? Wozu dient der Dijkstra-Algorithmus? Welche
Voraussetzung muss ein bewerteter Graph erfüllen, damit der Disktra-Algorithmus
korrekt ist? Geben Sie ein Beispiel eines bewerteten Graphen an, wo diese
Voraussetzung verletzt ist und der Algorithmus ein falsches Resultat liefert.
Gerichteter oder ungerichteter Graph in dem jeder Kante ein Wert zugeordnet ist. (Kann Kosten,
Entfernung, usw. entsprechen)
Dijkstra-Algorithmus berechnet die Distanz (minimale Länge (=Summe der Gewichte der
Kanten) einer Kantefolge zwischen zwei Knoten) von einem Ausgangsknoten zu allen Knoten
eines Graphen.
Vorraussetzung: Nur positiv bewertete Kanten.
Sei G = (V, E) ein schlichter, ungerichteter Graph mit Knotenmenge V und Kantenmenge E
⊆ V × V . Wann heißt G zusammenhängend? Wann ist G ein Baum? Was versteht man
unter der Adjazenzmatrix A von G? Wie kann man die Eintrage der Matrix A 4
interpretieren?
Wie funktioniert der Algorithmus von Kruskal? Erklären Sie die Aufgabenstellung (Wovon
geht man aus? Was ist das Ziel?) sowie den Algorithmus zur Lösung der Aufgabe!
2.3 Algebraische Strukturen
Definiere und gib ein Beispiel für: Ring, Integritätsring, Körper. Beweise das jeder
endliche Integritätsring auch ein Körper ist.
Es sei R eine Menge mit zwei Verknüpfungen, einer Addition + und einer Multiplikation.
<R,+,×> heißt Ring, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
• <R,+> ist eine abelsche Gruppe,
• × ist linksdistributiv bezüglich +: a · (b + c) = a·b + a·c ∀ a, b, c ∈ R
• × ist rechtsdistributiv bezüglich +: (a + b) · c = a·c + b·c ∀ a, b, c ∈ R
• und R,× ist eine Halbgruppe.
kommutativer Ring:
<R,×> ist kommutativ
unitärer Ring (mit Einselement) <R,×> ist ein Monoid
Integritätsring
<R,+,×> unitärer kommutativer Ring ohne Nullteiler
Körper
d.h. keine a, b ∈ R | a ≠ b, b ≠ 0, ab = 0
<R,+,×> kommutativer Ring, <K \ {0},×> Gruppe
d.h. ∀ x ∈ K \ {0} ∃ x-1 | x * x-1 = 1
Man definiere die Begriffe binäre Operation, algebraische Struktur, Halbgruppe, Monoid,
Gruppe und kommutative Gruppe und gebe je ein konkretes Beispiel
Eine zweistellige Operation ◦ in M ist eine Verknüpfung, die jedem Paar (a, b) ∈ MxM genau ein
Element a ◦ b zuordnet, also eine Abbildung ◦ : M×M → M.
<M,◦> Gruppoid (=algebraische Struktur)
Sei ◦ eine zweistellige Operaton, dann ist ◦
assoziativ wenn ∀a, b, c ∈ M: (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
kommutativ wenn ∀a, b ∈ M: a ◦ b = b ◦ a
<M,◦> (kommutative) Halbgruppe
Existiert ein neutrales Element e: e ◦ a = a ◦ e = a für alle aÎM
<M,◦> (kommutatives) Monoid
Existieren inverse Elemente a’: a ◦ a’ = a’ ◦ a = e
<Z,+> (kommutative = abelsche) Gruppe
Gegeben sei eine Gruppe (G, ∗). Wann heißt G abelsch? Geben Sie ein Beispiel einer
nichtabelschen Gruppe (mit Begründung!). Wann nennt man G zyklisch? Sind zyklische
Gruppen immer abelsch? (Begründung oder Gegenbeispiel)
Erfüllt eine Gruppe auch das Kommutativgesetz, so heißt sie kommutative Gruppe. Kommutative
Gruppen werden auch als ablsche Gruppen bezeichnet.
Eine nicht Abelsche Gruppe ist zum Beispiel die S3.
Eine Gruppe G nennt man dann zyklisch wenn es ein a element von G gibt welches g erzeugt.
Diese Gruppe ist immer kommutativ. Da am+n = an+m = an o am = am o an.
Seien (G,△) und (H, ♥) zwei Gruppen. Wie ist ein Homomorphismus definiert? Wann
werden (G,△) und (H, ♥) isomorph genannt? Nennen Sie zwei verschiedene, aber
isomorphe Untergruppen U1 und U2 der symmetrischen Gruppe S3 und geben Sie einen
Isomorphismus zwischen U1 und U2 konkret an.
Gegeben sei eine Gruppe (G, * ). Was versteht man unter einer Untergruppe U von G und
unter einer Links- bzw. Rechtsnebenklasse von a ∈ G bezüglich U? Wann ist eine
Untergruppe U auch ein Normalteiler von G? Geben Sie ein Beispiel einer Gruppe G und
einer Untergruppe U von G, die kein Normalteiler ist, sowie ein Beispiel einer Gruppe, wo
jede ihrer Untergruppen ein Normalteiler ist. (Die gewünschten Eigenschaften der
Beispiele müssen begründet werden.)
3 Lineare Algebra
3.1 Vektoren
Man erkläre die Begriffe linear abhängig bzw linear unabhängig für Vektoren eines
Vektorraums V und gebe je ein Bsp mit min. drei linear abhängigen bzw. linear
unabhängigen Vektoren im R3. Was versteht man unter einer Basis eines Vektorraums V
3.2 Matrizen
3.3 Lineare Abbildungen
Sei f : R3 → R4 eine lineare Abbildung mit Abbildungmatrix A. Wie hängen die Spalten von
A mit der Abbildung f zusammen? Wieviele Zeilen und wieviele Spalten besitzt A?
(Begründung!) Warum kann f nicht surjektiv sein?
Gegeben sei eine lineare Abbildung f : R4 → R3 Was versteht man unter dem Kern von f?
Wie ist der Rang von f definiert? Wann nennt man a ∈ R einen Eigenwert von f? Ist 0 ein
Eigenwert von f oder nicht? (Begründung!)
3.4 Lineare Gleichungssysteme
Was versteht man unter einem linearen Gleichungssystem? Wie funktioniert das
Gaußsche Eliminationsverfahren? Beschreiben Sie die allgemeine Gestalt der
Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems.
Lineare Gleichungssysteme lassen sich in Matrixform darstellen und in dieser können Lösungen
(sofern welche existieren) gefunden werden.
/ a11 a12 … a1n | y1 \
| a21 a22 … a2n | y2 |
|…
…
… |
...
\ am1 am2 … amn | ym /
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = y1
⇔ a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = y2
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = y,
Es wird eine Diagonalform der Matrix gebildet. d.h. unter der Diagonale befindet sich nur noch
die Werte 0. Regel hierfür: zieht man von einer Zeile/ Spalte ein vielfaches einer anderen Zeile/
Spalte ab so ändert sich das Ergebnis nicht. Um nun die Diagonalform zu bilden wird von der
Zeile i a1n/a11 abgezogen für alle Zeilen i > 1. Nach diesen Durchlauf sind alle ai = 0 .
Nun wird der Algorithmus auf die Untermatrix angewandt (erste Zeile und erste Spalte streichen)
Nach endlichen Schritten (endliche Menge von Untermatritzen) gibt es 3 charakteristische
Lösungsformen:
/ a11 a12 …
a1n | y1 \
| 0 a22 … a2n | y2 |
|0 0
…
… |
| 0 0 ... am-1n | ym-1 |
\ 0 0 … 0 | ym /
/ a11 a12 … a1n | y1 \
| 0 a22 … a2n | y2 |
|0 0
…
… |
|0 0 …
0 | ym-1|
\ 0 0 … 0 | ym /
Lösung eindeutig! Durchrechnen auf x1 ... x2
Das Gleichungssystem ist nicht lösbar!
/ a11 a12
…
a1n | y1 \
| 0 a22
…
a2n | y2 |
|0 0
…
…
|
\ 0 0 … amn-1 amn | ym /
Lösung nicht eindeutig
Lösung ist mehrdimensional
z.B.: Gerade, Ebene
Durchrechnen auf Gleichung
3.5 Determinanten
Man formuliere die Rechenregeln für die Determinante “des Produktes von Matrizen”,”der
inversen Matrix” und “der transponierten Matrix”, also für det(A * B), det A-1 und det AT
(i) det(A • B) = det A • det B
(ii) det A-1 = (det A)-1
(iii) det AT = det A
Wie kann man mit Hilfe der Determinante einer quadratischen Matrix A entscheiden ob A
invertierbar (=regulär) ist oder nicht?
Eine quadratische Matrix A ist genau dann invertierbar wenn det A ≠ 0
Man definiere den Begriff der “Kofaktoren” zu einer gegebenen quadratischen Matrix A
und gebe eine Formel an wie man unter Verwendung der Kofaktoren die zu einer
regulären Matrix A inverse Matrix A-1 berechnen kann.
Sei die Matrix A ∊ Knxn. Unter dem Kofaktor Aij versteht man die Determinante jener Matrix, die
aus A dadurch hervorgeht, dass die Spalte j aus A mit dem Spaltenvektor ei aus der kanonischen
Basis ersetzt wird.
Formel:
Sei A eine quadratische reguläre Matrix und A1 die Matrix der Kofaktoren, dann kann die inverse
Matrix A-1 folgendermaßen berechnet werden:
A-1 = [1 / det(A)] * A1T
Was versteht man unter der Determinate einer n × n Matrix A? Welche Eigenschaften
besitzt die Determinante? Wie bestimmt man den Wert der Determinante im Fall n = 3 und
wie kann man diesen geometrisch deuten? Was sagt die Determinante von A über A aus?
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
Was versteht man unter einem Eigenwert, was unter einem Eigenvektor einer
quadratischen Matrix A? Geben Sie für die Matrix A =
/2 0\
\ 0 −5 /
alle Eigenwerte und zu jedem Eigenwert je zwei verschiedene Eigenvektoren an.
Eigenwerte einer quadratischen Matrix A ∊ Knxn sind alle Werte ⅄ die folgende Gleichung erfüllen:
A * x = ⅄ * x (x ∊ Kn )
Die Vektoren x bezeichnet man als Eigenvektoren.
Die Eigenwerte können durch folgende Formel berechnet werden.
⅄1, ⅄2, ... , ⅄n = det(⅄ * In - A)
In ist dabei die Einheitsmatrix in passender Dimension n.
7 Differenzen - und Differentialgleichungen
Differenzengleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten
xn+1 = a*xn + b
Die Lösung der Differenzengleichung ergibt sich folgendermaßen:
a=1
a≠1
x0+bn
an*x +b*a
0
n-1a-1
Wichtige Merkregel für das Vereinfachen von
Differenzengleichungen:
1+a2+a3........+an-1 = an-1a-1
Lösung der Differenzengleichungen 2. Ordnung
xn+2 + axn+1 + bxn = 0
λ2 + aλ + b = 0
=> kleine Lösungsformel: λ1 und λ2
3 Fälle:
i) λ1 ≠ λ2 und reel
=> xn = C1λ1n + C2λ2n
ii) λ1 und λ2 konjugiert komplex
λ1,2 in Polarform umwandeln
=> xn = rn((C1 + C2) cos n φ + i (C1 - C2)sin n φ)
iii) λ1 = λ2 und reel
=> xn = C1λn + C2λn = (C1 + C2n) λn
Hat man eine Störfunktion:
Störfunktion sn
Versuchslösung xn[p]
1
A
rn
Arn
sin(rn) oder cos(rn)
Asin(rn)+Bcos(rn)
nk oder Polynom vom Grad k
A0 + A1n + A2n2 + … + Aknk
nk * rn
(A0 + A1n + A2n2 + … + Aknk)rn
dann: xn = xn[p] + xn[h]