zt = {z E Z I z ~ O} = N

In diesem Kapitel wiederholen wir das Grundwissen über Zahlen und deren Darstellungen . Die Abschnitte 9.1 bis 9.3 sind vorwiegend zum wiederholenden Selbststudium
gedacht.
9.1 Zahlbereiche, Zahldarstellungen
Übersicht über die wichtigsten Zahlbereiche
Zahlen können zu Mengen zusammengefasst werden. Die wichtigsten Zahlenmengen sind:
N = {O, 1,2,3 ... }
Menge der natürlichen Zahlen
Menge der natürlichen Zahlen ohne Null
Z = { ... -3, -2, -1,0, 1,2,3 ... }
iQ =
{~I z d' und n E N* }
[R
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
C = {a
+ b· i la E [R 1\ b E [R}
Menge der komplexen Zahlen
Es gilt (siehe nebenstehende Abbildung): N c Z c Q c [R c C
Weitere Mengenbezeichnungen sind:
Z + = {z
E
Z I z > O}
Z - = {z
E
Z I z < O}
Menge der negativen ganzen Zahlen
zt = {z
E
Z I z ~ O} = N
Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen
Za
=
= N*
{z E Z I z ~ O}
Z* = Z\{O}
Analog sind die Mengen Q + , Q - ,
Menge der positiven ganzen Zahlen
Menge der nichtpositiven ganzen Zahlen
Menge der ganzen Zahlen ohne Null
Qt, Qa, Q* und [R + , [R - , [Rt, [Ra, [R* sowie C* definiert.
Gelegentlich wird auch folgende Bezeichnung verwendet:
~
= [R\Q
Menge der irrationalen Zahlen
Darstellung reeller Zahlen in Stellenwertsystemen
Bei der symbolischen Darstellung von Zahlen unterscheidet man grundsätzlich zwischen der
Darstellung in einem Stellenwertsystem und der Darstellung in einem Nicht-Stellenwertsystem . In einem Stellenwertsystem kommt man mit endlich vielen Symbolen (Ziffern) aus,
braucht aber im Prinzip unendlich viele Stellen. In einem Nicht-Stellenwertsystem kommt man
mit einer einzigen Stelle aus, braucht aber im Prinzip unendlich viele Symbole. Ein Stellenwertsystem wurde beispielsweise von den alten Chinesen entwickelt, ein Nicht-Stellenwertsystem
von den alten Ägyptern (siehe Mathematik verstehen 5, Seiten 45-47) .
In einem Stellenwertsystem mit der Basis n gibt es n Ziffern, dh. Symbole für die Zahlen 0,
1, 2, 3 ... n - 1. Die heute gebräuchlichsten Stellenwertsysteme sind das Zehnersystem (dekadisches System) mit der Basis 10 und das Zweiersystem (Dualsystem) mit der Basis 2. Im Zehner-
9 Kompendium: Zahlen
system gibt es die zehn Ziffern 0, 1, 2 ... 9, im Dualsystem gibt es nur die Ziffern 0 und 1. Computer wandeln die eingegebenen Zahlen automatisch ins Dualsystem um und rechnen in diesem System (0 = Strom aus, 1 = Strom ein). Die Umrechnung vom Dualsystem ins Zehnersystem erfolgt unter Berücksichtigung der Stellenwerte der einzelnen Ziffern, zum Beispiel:
1011 2
= 1 .2 3 + 0.2 2 + 1 . 2 1 + 1 .2° = 11 10
Umgekehrt erfolgt die Umrechnung vom Zehnersystem ins Dualsystem durch fortlaufendes
Aufsuchen der größten enthaltenen Zweierpotenz:
11 10 = 1 .2 3 + 3 = 1 .2 3 + 0.2 2 + 3 = 1 .2 3 + 0.2 2 + 1 .2 1 + 1 =
= 1 .2 3 + 0 . 22 + 1 .2 1 + 1 .2° = 1011 2
Dezimaldarstellung rationaler und irrationaler Zahlen
Eine rationale Zahl kann ua . auf zwei Arten dargestellt werden, in Bruchdarstellung oder in
Dezimaldarstellung, zB ~ bzw. 0,25. Eine Dezimaldarstellung setzt sich aus Ziffern und dem
Komma zusammen. Treten nach dem Komma nur endlich viele Ziffern auf, spricht man von einer endlichen Dezimaldarstellung, andernfalls von einer unendlichen Dezimaldarstel-
lung.
Manche rationale Zahlen besitzen endliche Dezimaldarstellungen, zB ~
= 0,375.
Doch besitzt
nicht jede rationale Zahl eine endliche Dezimaldarstellung, zB ~:~ = 0,142424242 ... = 0,142 .
Wiederholen sich ab einer gewissen Stelle die Ziffern in stets gleichartigen Blöcken, so nennt
man die Dezimaldarstellung periodisch. Es gilt:
Satz: (1) Die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl ist endlich oder periodisch.
(2) Die Dezimaldarstellung einer irrationalen Zahl ist unendlich, aber nicht
periodisch.
Gleitkommadarstellung
In den Naturwissenschaften und anderen Anwendungsgebieten werden sehr große oder sehr
kleine positive Zahlen in der Form a· 10 k angegeben, wobei a E 0, 1 ::;; a < 10 und k E 7l. ist.
Diese Darstellung bezeichnet man als Gleitkommadarstellung oder Gleitpunktdarstellung .
In selteneren Fällen werden Zahlen auch in der Form a· 10k mit 0,1 ::;; a < 1 dargestellt.
Große und kleine Größen
Zehnerpotenz
10 18
10 15
10 12
10 9
10 6
10 3
10 2
10 1
--
Bezeichnung Vorsilbe Symbol
Trillion
Billiarde
Billion
Milliarde
Million
Tausend
I Hundert
Zehn
Exa
Peta
I Tera
Giga
Mega
Kilo
IHekto
Deka
E
iP
IT
lG
I
IM
Ik
I
h
Ida
Zehner- Bezeichnung Vorsilbe
potenz
10- 1
II Zehntel
I Dezi
10- 2
I Hundertstel : Centi
10- 3
I Tausendstel I Milli
10- 6
I Millionstel I Mikro
10- 9
I Milliardstel Ii Nano
10- 12
; Piko
I Billionstel
l
'5
W10- 18
I Billiardstel
ITrillionstel
!I Femto
i Atto
Symbol
I
!d
!c
1
m
I~
In
Ip
If
la
I
9.1 Zahlbereiche, Zahldarstellungen
Darstellung von reellen Zahlen auf einer Zahlengeraden
Die reellen Zahlen kann man durch Punkte auf einer Zahlengerao
den darstellen. Eine Gerade wird zu einer Zahlengeraden, wenn
man auf ihr zwei verschiedene Punkte wählt, denen die Zahlen 0 und 1 zugeordnet werden.
Jeder reellen Zahl entspricht dann genau ein Punkt auf der Zahlengeraden und umgekehrt entspricht jedem Punkt auf der Zahlengeraden genau eine reelle Zahl. Die Punkte, die den rationalen Zahlen entsprechen, füllen die Zahlengerade nicht lückenlos aus. Die Lücken entsprechen
den irrationalen Zahlen.
Man kann reelle Zahlen auch durch Pfeile auf einer Zahlengeraden darstellen. Dem Pfeil von
a nach b entspricht die reelle Zahl b - a (siehe Abb. 9.1a) . Dies gilt auch, wenn b :::; a ist (siehe
Abb. 9.1 b) .
b-a
b-a
b
o
Abb . 9.la
o
Abb . 9.lb
Die Addition a + x = b kann man auf zwei Arten darstellen:
b
Pfeildarstellung
o
b
Punkt - Pfeil - Darstellung
Intervalle
Definition: Die Menge
• [a; b] = {x E IR1I a ~ x ~ b} heißt abgeschlossenes Intervall mit den Grenzen a
und b,
• Ja; b[ = {x E IR1I a <
• [a; b[ =
x < b} heißt offenes Intervall mit den Grenzen a und b,
{x E IR1I a ~ x < b} heißt links abgeschlossenes und rechts offenes In-
tervall mit den Grenzen a und b.
Diese Intervalle sind in der nebenstehenden Abbildung auf der
Zahlengeraden veranschaulicht. Bei all diesen Intervallen bezeichnet man a und b als Randstellen des Intervalls. Alle anderen
Stellen des Intervalls heißen innere Stellen des Intervalls. Die
Menge der inneren Stellen eines Intervalls nennt man auch das Innere des Intervalls.
9.01
[a; bJ
a
------<J
Ja;b[
a
[a;b[
•
b
0-
b
0
a
b
Definiere Ja; b], [a; co[, Ja; co[, ]-co; b], ]- co; b[. Wie heißen diese Mengen? Veranschauliche sie auf der Zahlengeraden . (Vgl. Mathematik verstehen 5, Seite 40.)
Betrag einer Zahl
Definition: Unter dem Betrag einer reellen Zahl a versteht man die reelle Zahl
Ial =
{
a, falls a ~ 0
-a, falls a < 0
9 Kompendium: Zahlen
Auf der Zahlengeraden bedeutet I a I den Abstand, den a von 0 hat (siehe Abb. 9.2a und 9.2b).
Die Zahl la - b I kann auf der Zahlengeraden als Abstand von a und b gedeutet werden . Es gilt:
la - bl = I b - a I (siehe Abb . 9.3).
,. lai
o
,. lai
"
a
a
,
,
0
o
a
Abb.9 .2b
Abb.9.2a
la-bi = Ib-al
,
b
Abb . 9.3
Empfohlene Wiederholungsaufgaben: Siehe Mathematik verstehen 5 (Abschnitte 3.1 bis
3.7).
9.2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Potenzen mit natürlichen bzw. ganzzahligen Exponenten
Ein Ausdruck der Form an heißt Potenz mit der Basis a und dem Exponenten (der Hochzahl) n.
Die Definition einer Potenz hängt davon ab, aus welchem Zahlbereich der Exponent stammt.
Definition: (1) Für alle a E IR und alle n E N* setzt man: an
= 'a-· -a·v. ..-·"a
n Faktoren
(2) Für alle a E IR* und alle n E N* setzt man: aO
= 1 und a- n = ~
an
Wichtige Spezialfälle sind: a1 = a, a- 1 =~.
a
Wurzeln
Die Definition der n-ten Wurzel beruht auf folgendem Satz:
Satz: Die Gleichung xn = a (mit n E N* und a E 1R6) besitzt genau eine nichtnegative
reelle Lösung.
Definition: Die (eindeutig bestimmte) nichtnegative Lösung der Gleichung xn
(mit n E N* und a E 1R6) nennt man die n-te Wurzel aus a und schreibt dafür
=a
Va.
Es gilt also:
Die n-te Wurzel aus a ist jene nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.
Symbolisch:
Va = x {:::} xn = a 1\ x ;:::: 0
Potenzen mit rationalen bzw. reellen Exponenten
Definition: Für alle a E IR+, alle m E 71. und alle n E N* setzt man: a~
=
vam.
Die Definition einer Potenz mit reeller Hochzahl beruht auf folgendem Satz:
Satz: Es sei r eine beliebige reelle Zahl. Dann gibt es genau eine reelle Zahl, die zwischen allen aX mit rationalem x < r und allen aY mit rationalem y > r liegt.
9.2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Definition: Sei a E IR+ und rE IR. Unter a r verstehen wir jene (eindeutig bestimmte)
Zahl, die zwischen allen aX mit rationalem x< r und allen aY mit rationalem y> r
liegt.
Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln
Für Potenzen mit reellen Exponenten gelten folgende Rechenregeln :
Satz: Für alle a, bE [R+ und alle x, y E [R gilt:
(1) aX · aY=a x+ y
(4) (a · b)x=ax · b x
X
X
(2) a = aX-Y
(5) (~)X = a
aY
b
bx
(3) (aX)Y = aX·Y
Analoge Rechengesetze gelten für Potenzen mit natürlichen, ganzzahligen bzw. rationalen Exponenten, nur sind die Voraussetzungen für a, b, x und y unterschiedlich .
Für das Rechnen mit Wurzeln gelten folgende Rechenregeln:
Satz: (1) Für alle a E [Rt, alle n E N* und alle k E N* gilt:
(Va)
n=
a
und
(Va) k = \W
(2) Für alle a, bE [Rt und alle n E N* gilt:
\lall = va·\16
und
iff; = ~
(b
* 0)
(3) Für alle a E [Rt und alle m, nE N* gilt:
Vlfä=
Va
m
(4) Für alle a E [R+, alle k, n E N* und alle m E 7L gilt:
k\Ja km = varn
Logarithmen
Die Definition des Logarithmus beruht auf folgendem Satz:
Satz: Die Gleichung a X = b (mit a, bE [R+ und a =1= 1) besitzt stets genau eine Lösung
XE [R,
Definition: Die (eindeutig bestimmte) Lösung der Gleichung a X = b (mit a, bE [R+
und a =1= 1) heißt Logarithmus von b zur Basis a oder kurz a-Logarithmus von b,
geschrieben a log b.
Es gilt also:
Der Logarithmus von b zur Basis a ist jene Hochzahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu
erhalten.
9 Kompendium: Zahlen
Symbolisch: a log b = x
{=}
aX = b oder kurz aa10gb = b.
Die Zahl b wird in diesem Zusammenhang auch als Numerus (Iat.: numerus = Zahl) bezeichnet.
Damit ergibt sich die Merkregel:
Basislogarithmus = Numerus
Logarithmen mit der Basis 10 heißen Zehnerlogarithmen. Logarithmen mit der Basis e (Eulersche Zahl) heißen natürliche Logarithmen. Beide können auf Taschenrechnern näherungsweise ermittelt werden.
Für Logarithmen gelten folgende Rechenregeln:
Satz: Für alle a, b E ~+ mit a, b
*' 1 und alle x, y
(1) alog(x · y)=alogx+alogy
x
(2) a log- = a logx - a logy
y
(3) alog(xy)=y · alogx
E ~+ gilt:
(4) blogx=alogx.bloga
(5)
1
ä
logx = - a logx
Empfohlene Wiederholungsaufgaben: Siehe Mathematik verstehen 6 (Abschnitte 1.1 bis
1.6) .
9.3 Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen beruhen auf den Annahmen, dass es eine Zahl i mit i2 = -1 sowie Zahlen
der Form a + b· i mit a, b E ~ gibt. Diese Zahlen nennt man komplexe Zahlen, i heißt imaginäre Einheit, die Zahlen der Form b· i (mit b E ~) heißen imaginäre Zahlen. Bei einer komplexen Zahl a + b · i nennt man a den Realteil und b den Imaginärteil der komplexen Zahl.
Wegen a = a + 0 . i und b . i = 0 + b· i lässt sich jede reelle Zahl und jede imaginäre Zahl als komplexe Zahl auffassen. Es gilt also insbesondere ~ c c.
Rechnen mit komplexen Zahlen
Für komplexe Zahlen gelten dieselben Rechengesetze der Addition und Multiplikation wie für
reelle Zahlen. Für komplexe Zahlen gibt es aber keine Kleiner-Relation, weshalb auch keine Ungleichungen angeschrieben werden können.
Die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient zweier komplexer Zahlen sind wieder
komplexe Zahlen:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a + bi)· (c + di) =(ac - bd) +(ad + bc)i
.) (
d·) a + bi ac + bd bc - ad 1
. (f II
d·
)
(a+bl : c+ I = --d . = 2 - d
+ 2 d 2 · a sc+ 1*0
c+ 1 C + 2
C +
Die Zahlen a + bi und a - bi nennt man konjugiert komplexe Zahlen. Summe und Produkt
konjugiert komplexer Zahlen sind reelle Zahlen.
9.3 Komplexe Zahlen
Geometrische Darstellung komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen können als Punkte oder Pfeile in der
GAUSS'schen Zahlenebene dargestellt werden. Ist a + bi 0
eine komplexe Zahl und sind r, <p die Polarkoordinaten des Punktes (a 1b) in der GAUSS'schen Zahlenebene, dann heißt r der
Betrag von a + bi und <p das Argument von a + bi o Man
schreibt dafür:
imaginäre Achse
*'
r = 1a + bi I, <p = arg(a + bi)
reelle Achse
o
a
Abb . 9.4
Für die komplexe Zahl 0 gilt 101 = 0, das Argument von 0 ist
nicht definiert.
Aus Abb . 9.4 ergibt sich unmittelbar:
Satz: Ist a + b· i E C*, r = 1a + b · i 1und <p = arg (a + b· i), dann gilt:
b
(1) r=Va2+b2,tan<p=-(fallsa*0)
a
(2) a=r · cos<p, b=r · sin<p
(3) a + b · i = r · (cos<p + i . sin <p) (Polardarstellung von a + b· i)
Für den Betrag und das Argument des Produktes zweier komplexer Zahlen gilt:
Satz: Sind A, B E C*, dann gilt:
(1) IA·BI= IAI · I BI
(2) ar (A . B)_{argA+argB
,fallsargA+argB<360°
9
argA + arg B - 360°, falls argA + arg B ~ 360°
In Worten:
(1) Der Betrag des Produktes ist gleich dem Produkt der Beträge.
(2) Das Argument des Produktes ist gleich der Summe der Argumente (wobei allenfalls 360°
abgezogen werden müssen) .
Daraus ergibt sich folgende geometrische Deutung der Multiplikation zweier komplexer Zahlen : Wird A = r · (cos<p + i · sin <p)
mit B = s · (cost/J + i· sint/J) multipliziert, wird der zu A gehörige
Pfeil um t/J = arg B gedreht und mit dem Faktor s = 1B 1gestreckt
(siehe nebenstehende Abbildung).
AB
B
Potenzen komplexer Zahlen kann man mit folgender Formel
berechnen:
Satz (Formel von De MOIVRE):
A = cOS<p + i . sin <p ~ An = cos(n<p) + i· sin (n<p) (mit n E N*)
Daraus folgt:
A=r , (cos<p+i · sin<p) ~ An=rn · (cos(n<p)+i · sin(n<p» (mitnEN*)
9 Kompendium: Zahlen
Konstruktion der komplexen Zahlen aus den reellen Zahlen
Die komplexen Zahlen a + bi lassen sich als Paare (a b) reeller Zahlen auffassen. Die Addition
und Multiplikation werden dabei folgendermaßen ausgeführt:
1
(a 1b) + (c 1d) = (a + c 1b + d)
(a 1b) . (c 1d) = (ac - bd 1ad
+ bc)
Der Zusammenhang mit der üblichen Schreibweise ergibt sich, wenn man eine reelle Zahl a mit
dem Zahlenpaar (a 10) und i mit dem Zahlenpaar (011) identifiziert. Dann gilt nämlich:
= i· i = (0 11 ) . (011) = (0 · 0 - 1 . 1 10· 1 + 1 ·0) = (-1 10) = -1
a + bi = (a 10) + (b 10) . (011) = (a 10) + (b· 0 - 0 . 1 1b· 1 + 0·0) = (a 10) + (0 1b) = (a 1b)
i2
Empfohlene Wiederholungsaufgaben: Siehe Mathematik verstehen 7 (Abschnitte 10.1 bis
10.6).
9.4 Aufgaben zur Maturavorbereitung
9.02
a) Schreibe eine Zusammenfassung über die einzelnen Zahlbereiche und die in ihnen
gültigen Rechengesetze.
b) Schreibe eine Zusammenfassung über die Geschichte der Zahlbereichserweiterungen (siehe Mathematik verstehen 5, Seiten 50-53).
9.03
Schreibe einen Aufsatz über Stellenwertsysteme und Nicht-Stellenwertsysteme (siehe
Mathematik verstehen 5, Seiten 45-49).
9.04
Beweise, dass die folgende Zahl irrational ist:
a)
wobei a E N* und a nicht Quadrat einer natürlichen Zahl ist
Va,
b) 4~
e) 310g 4
d) 410g
i
Va
9.05
a) Beweise: Ist a E [R+ irrational, dann ist auch
irrational.
b) Wenn a, b E [R+ irrational sind, müssen dann a2 , a + b, a· b auch irrational sein? Begründe die Antwort.
e) Kann die Summe oder das Produkt zweier rationaler Zahlen irrational sein? Begründe die Antwort.
d) Kann die Wurzel aus einer rationalen Zahl irrational sein? Begründe die Antwort.
9.06
a) Wie ist eine Potenz mit natürlichem Exponenten definiert? Gib die wichtigsten Rechenregeln für solche Potenzen an und beweise eine davon.
b) Wie sind Potenzen mit ganzzahligen Exponenten definiert? Gib die wichtigsten Rechenregeln für solche Potenzen an und beweise eine davon.
e) Wie sind Potenzen mit rationalen Exponenten definiert? Gib die wichtigsten Rechenregeln für solche Potenzen an und beweise eine davon.
d) Wie sind Potenzen mit reellen Exponenten definiert? Gib die wichtigsten Rechenregeln für solche Potenzen an.
9.07
Wie ist die n-te Wurzel aus a definiert? Gib die wichtigsten Rechenregeln für Wurzeln
an und beweise eine davon.
9.08
Wie ist der Logarithmus von b zur Basis a definiert? Gib die wichtigsten Rechenregeln
für Logarithmen an und beweise eine davon.
9.4 Aufgaben zur Maturavorbereitung
9.09
Beweise, dass für alle a E IR gilt:
1) lal~O
4) lal=l-al
2) 1 a 1 = 0 <=:} a = 0
5) 1 b - a 1 = 1 a - b 1
3) a:::; 1 al und -a :::; 1 al
6) 1 al :::; b <=:} -b :::; a :::; b
(Hinweis: Zum Beweis von 1), 3) und 6) unterscheide die Fälle a ~ 0 und a < O. Zum
Beweis von 4) unterscheide die Fälle a > 0, a = 0 und a < O. Die Behauptung 5) lässt
sich auf 4) zurückführen. Vergiss bei 2) und 6) nicht, den Beweis in beide Richtungen
zu führen.)
9.10
Beweise, dass für alle a, b E IR gilt:
1~1=_1
a! =f5l
la (mltb:;t:O)
(mita:;t:O)
3) b
la
l
(Hinweis: Zum Beweis von 1) unterscheide die Fälle a ~ 0/\ b ~ 0, a:::; 0 /\ b :::; 0,
a :::; 0/\ b ~ 0 und a ~ 0 /\ b :::; O. Zum Beweis von 2) unterscheide die Fälle a > 0 und
a < O. Die Behauptung 3) lässt sich auf 1) und 2) zurückführen.)
2)
1) la · bl=lal·lbl
9.11
a
1
.
1
Beweise, dass für alle a, b E ~ die so genannte Dreiecksungleichung gilt: 1 a + bl :::; 1 a 1 + 1 b I ·
(Hinweis: Zeige unter Benutzung der Regel 3) in Aufgabe 9.09, dass a + b :::; 1 al + 1 b 1
und -(a+b):::;lal+lbl·)
9.12
Für A E C sei
gilt:
a) A + B =
9.13
A die
zu A konjugiert komplexe Zahl. Beweise, dass für alle A, B, C E C
A+ B
b) AB =
A· B
(A) n
r
d)
I AI
A
= 1 (falls A :;t: 0)
r·
Für A E C sei Re(A) der Realteil von A, Im(A) der Imaginärteil von A und
jugiert komplexe Zahl. Berechne: [Re
9.14
c) An =
(i)
+ [Im
(i)
A die zu A kon-
Überprüfe für A = 1 und A = i.
1) Berechne i2 , i3 , i4 , i5
... Lässt sich eine allgemeine Formel aufstellen? Wo liegen diese
Zahlen in der GAUSS'schen Zahlenebene?
2) Berechne
(V; + i V;) n für n = 2, 3, 4, 5 ... Lässt sich eine allgemeine Formel auf-
stellen? Wo liegen diese Zahlen in der GAUSS'schen Zahlenebene?
9.15
Gegeben sind die voneinander verschiedenen komplexen Zahlen u und v sowie die
- 1 +i.J3
2
.
komp Iexe Za hl e =
1) Berechne die komplexen Zahlen
Zl
= v -2 u,
Z2
= -v· (1 + e) - (u + v) . ~ sowie
2
4
Z3
2
= -v· (1 + e
) -
(u + v) . ~ und stelle sie für u = 5 und v = 3 als Punkte in der
GAUSS'schen Zahlenebene dar.
2) Zeige, dass diese Punkte auf dem Einheitskreis liegen .
3) Welches besondere Dreieck wird durch diese Punkte vermutlich festgelegt? Beweise
die Vermutung und berechne den Flächeninhalt A dieses Dreiecks.
4) GAUSS hat gezeigt, dass für den Flächeninhalt A eines durch drei Punkte Zl, Z2, Z3
auf dem Einheitskreis festgelegten Dreiecks die folgende Formel gilt:
A=l z 2- Z3 . Z3
-Zl .Zl
- z2.~i
4
Überprüfe diese Formel anhand des vorliegenden Dreiecks.
Zl
Z2
Z3
In diesem Kapitel wiederholen wir das Grundwissen zu Gleichungen und Gleichungssystemen . Die Abschnitte 10.1 und 10.2 sind vorwiegend zum wiederholenden Selbststudium gedacht.
10.1 Gleichungen n-ten Grades
Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung hat die Form:
ax + b = 0 (mit a, bE [R und a =I=- 0)
Es gilt:
Satz: Eine lineare Gleichung ax + b = 0 (mit a, bE [R und a =I=- 0) hat genau eine Lö.. I'IC h x =
sung, nam
-a-'b
Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung hat die Form:
ax 2 + bx + c = 0 (mit a, b, CE [R und a =I=- 0)
Dividiert man eine solche Gleichung durch a, kann man sie auf folgende Form bringen :
x2 + px + q = 0 (mit p, q E [R)
Die Zahl D =
(~) 2 -
q bezeichnet man als Diskriminante der quadratischen Gleichung . Es gilt:
Satz: Eine quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 mit p, q
nante D =
(~) 2 -
E [R
und der Diskrimi-
q hat
• zwei reelle Lösungen, wenn D > 0,
• genau eine reelle Lösung, wenn D = 0,
• keine reelle Lösung, wenn D < 0,
Zur Berechnung der Lösungen kann man eine der folgenden beiden Formeln verwenden :
Satz: (1) Für eine quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 mit p, q E
[R
und
(~)2 _q ~ 0 gilt:
x 2 + px + q = 0 <=> x =
-~ ± J(~)
2-
q
(2) Für eine quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 mit a, b, CE [R, a =I=- 0 und
b 2 - 4ac ~ 0 gilt:
-b ± /b 2 - 4ac
ax 2 + bx + c = 0 <==> x = __---'V'---_ __
2a
10.1 Gleichungen n-ten Grades
Wenn man auch komplexe Lösungen zulässt, muss für die Diskriminante keine einschränkende
Voraussetzung gemacht werden. Es gilt:
Satz: Eine quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 mit p, q E ~ und der Diskriminante D =
(~) 2 -
q hat
• zwei reelle Zahlen als Lösungen, wenn D > 0,
• genau eine reelle Zahl als Lösung, wenn D = 0,
• zwei konjugiert komplexe Zahlen als Lösungen, wenn D < O.
Manchmal kann man die Lösungen einer quadratischen Gleichung auch mit dem folgenden
Satz ermitteln:
Satz (Satz von VIETA): Besitzt eine quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 die Lösungen X1 und X2 (die auch zusammenfallen können), so gilt:
(1) x 2 + px + q = (x - X1) ' (x - X2)
(2) p = -(X1 + X2) und
q = X1
. X2
Zu (1) sagt man: Die Gleichung x2 + px + q wird in die Linearfaktoren x - Xl und x - X2 zerlegt.
Gleichungen höheren Grades
Seien an, an - 1 ... ao reelle Zahlen .
Ein Polynom vom Grad n ist ein Ausdruck der Form anx n + an - 1xn- 1 + ...
an 0) .
*
+ al x + ao
(mit
Eine Polynomfunktion vom Grad n ist eine Funktion f mit:
f(x) = anx n + an _ lxn - 1 + ... + alX + ao (und an 0)
*
Eine Gleichung vom Grad n ist eine Gleichung der Form anx n + an - 1xn- 1 + ...
(mit an 0).
*
+ al x + aO = 0
Die Bestimmung der Lösungen einer Gleichung n-ten Grades ist gleichwertig mit der Bestimmung der Nullstellen der zugehörigen Polynomfunktion.
Für die Lösungen einer Gleichung vom Grad n:2:: 5 gibt es keine allgemeine Lösungsformel. Lange Zeit versuchten die Mathematiker, solche Lösungsformeln zu finden . Auf Grund von Arbeiten von Niels Hendrik ABEL (1802-1829) und Evariste GALOIS (1811-1832) weiB man aber
heute, dass es solche Formeln nicht geben kann, wenn man voraussetzt, dass diese Formeln
nur aus den vier Grundrechnungsarten und Wurzeln aufgebaut sind.
Manchmal kann man das auftretende Polynom f(x) zerlegen und folgenden Satz anwenden:
Satz: Sind g(x) und h(x) Polynome, dann gilt für alle x E
g(x) . h(x)
= 0 {:::>
g(x)
=0v
~:
h(x) = 0
Wenn man eine Lösung erraten kann, kommt man oft durch Anwendungen des folgenden Satzes weiter:
Satz: Ist f(x) ein Polynom vom Grad n und a eine Lösung der Gleichung f(x) = 0,
dann gilt
f(x) = (x - a) . g(x)
für alle x E ~, wobei g(x) ein Polynom vom Grad n - 1 ist.
10 Kompendium: Gleichungen und Gleichungssysteme
Durch Abspalten des Linearfaktors (x - a) wird der Grad der zu lösenden Gleichung um 1 vermindert. Man kann durch Erraten mitunter so lange Linearfaktoren abspalten, bis sich eine Gleichung ergibt, die man lösen kann.
Durch fortlaufendes Abspalten von Linearfaktoren erkennt man:
Satz: (1) Eine Gleichung vom Grad n hat höchstens n reelle Lösungen.
(2) Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n reelle Nullstellen.
Eine Gleichung vom Grad n kann aber weniger als n reelle Lösungen haben. Zum Beispiel hat
die Gleichung x2 - 2x + 1 = 0 nur die reelle Lösung 1, was man sofort erkennt, wenn man die
Gleichung in der Form (x - 1)2 = 0 schreibt.
Gleichungen n-ten Grades mit komplexen Koeffizienten
Eine Gleichung der Form
anx n + an _ 1 xn -
1
+ ... + al X + ao = 0 (mit an, an _ 1 ... ao E C und an "* 0)
heißt Gleichung vom Grad n mit komplexen Koeffizienten .
Wie für Gleichungen mit reellen Koeffizienten kann man auch hier beweisen:
Satz: Eine Gleichung vom Grad n mit komplexen Koeffizienten hat höchstens n
komplexe Lösungen.
earl Friedrich GAUSS (1777-1855) hat darüber hinaus bewiesen:
Satz (Fundamentalsatz der Algebra): Jede Gleichung vom Grad n mit komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Lösung.
Die Bedeutung dieses Satzes liegt in seiner Anwendung auf Zahlbereichserweiterungen. Zahlbereichserweiterungen wurden hauptsächlich deshalb vorgenommen, um mehr Gleichungen lösen zu können.
Beispiele :
• Die Gleichung
• Die Gleichung
• Die Gleichung
• Die Gleichung
x + 1 = 0 hat keine Lösung in N, wohl aber in 71 .
3x = 2 hat keine Lösung in 71, wohl aber in O.
x2 = 2 hat keine Lösung in 0, wohl aber in [R .
x2 + 1 = 0 hat keine Lösung in [R, wohl aber in C.
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist aber nun jede algebraische Gleichung mit komplexen (insbesondere also auch mit reellen) Koeffizienten in C lösbar. Es besteht also - zumindest
vom Standpunkt des Gleichungslösens aus - keine Notwendigkeit, die Menge C der komplexen
Zahlen abermals zu erweitern.
Empfohlene Wiederholungsaufgaben: Siehe Mathematik verstehen 5 (Abschnitte 11.1 bis
11 .4) und Mathematik verstehen 7 (Abschnitte 1.1, 1.2 sowie 10.6) .
10.2 Lineare Gleichungssysteme
10.2 Lineare Gleichungssysteme
Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit zwei
bzw. drei Unbekannten
Ein System aus zwei linearen Gleichungen mit den Unbekannten x und y hat die Form :
a1x+a 2y =a o mit (a 1Ia 2)*(010)
{ b 1x + b2y = bo mit (b 11b2) * (010)
Ein Zahlenpaar (x y) heiBt Lösung des Gleichungssystems, wenn die reellen Zahlen x und y
beide Gleichungen erfüllen.
1
Ein System aus drei linearen Gleichungen mit den Unbekannten x, y, z hat die Form:
a1x+a2y+a3z=ao mit (a1Ia2Ia3) *(01010)
b1x + b2y + b3z = bo mit (b 11b2 1b3) * (0 1 10)
{
C1X+C2Y+C3Z=CO mit (c1Ic2Ic3) *(01010)
°
Ein Zahlentripel (x y z) heiBt Lösung des Gleichungssystems, wenn die reellen Zahlen x, y, z
alle drei Gleichungen erfüllen. Derartige Gleichungssysteme können mit der Substitutionsmethode oder der Eliminationsmethode gelöst werden (siehe Mathematik verstehen 5, Seiten
154-155 und Mathematik verstehen 6, Seiten 40-41).
1
1
Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
mit nUnbekannten
Allgemein hat ein System aus n linearen Gleichungen mit den Unbekannten X1, X2 ... Xn die
Form :
a11X1 + a12 X2 + a13 X3 + ... + a1n Xn = a1Q
a21 X1 + a22 x2 + a23 X3 + ... + a2n Xn = a20
a31 X1 + a32 X2 + a33 x3 + . . . + a3n Xn = a30
I
an1X1 + an2X2 + an3X3 + ... + annX n = ano
Zur Lösung eines solchen Gleichungssystems empfiehlt sich das GAUSS'sche Eliminationsverfahren bzw. das GAUSS-JORDAN'sche Eliminationsverfahren.
10.01
Beschreibe das GAUSS'sche sowie das GAUSS-JORDAN'sche Eliminationsverfahren
(siehe Mathematik verstehen 6, Seiten 42-43).
Übersicht über mögliche Lösungsfälle linearer
Gleichungssysteme in zwei Variablen
Eine solche Übersicht erhält man, wenn man die Gleichungen als Geraden in der Ebene deutet
(siehe dazu Abschnitt 13.2) . Wir betrachten ein Gleichungssystem der Form:
a1x+a 2y =a o mit (a1Ia2) *(010)
{ b 1x+b 2y=b o mit (b 1Ib 2)*(010)
Die bei den Gleichungen entsprechen geometrisch zwei Geraden g und h in der Ebene mit den
a
Normalvektoren = (a1 1a2) und b = (b 11b2). Jede Lösung (x 1y) des Gleichungssystems entspricht einem Punkt, der auf beiden Geraden liegt, also einem Schnittpunkt von g und h.
10 Kompendium: Gleichungen und Gleichungssysteme
Es können folgende drei Fälle eintreten:
9
h
h
Abb.l0 .la
Abb 10.lb
Abb . l0.lc
Ist (b 1 1b 2) kein Vielfaches von (all a2), dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung
(siehe Abb . 10.1a).
Ist (b 1 1b2) ein Vielfaches von (all a2), dh. b 1 = r· al und b 2 = r · a2 mit einem r E ~*, dann hat
das Gleichungssystem
• keine Lösung, wenn b o * r· ao ist (dh. g =/= h, siehe Abb. 10.1 b),
• unendlich viele Lösungen, wenn bo = r· ao ist (dh. g = h, siehe Abb. 10.1 c). In diesem Fall
ist die Lösungsmenge eine Gerade in ~2.
Zusammenfassend lässt sich also sagen:
Satz: Die Menge der Lösungen eines Gleichungssystems der Form
a 1x+a 2y =a o mit (a1Ia2)=/=(010)
{ b,x + b 2y = b o mit (b 1 1b 2) =/= (0 10)
ist leer, besteht aus einem Punkt in ~2 oder ist eine Gerade in ~2.
Übersicht über mögliche Lösungsfälle linearer
Gleichungssysteme in drei Variablen
Eine solche Übersicht erhält man, wenn man die Gleichungen als Ebenen im Raum deutet (siehe dazu Abschnitt 13.2). Wir betrachten ein Gleichungssystem der Form:
a 1x+a 2Y +a 3z = ao mit (alla2Ia3) *(01010)
b 1x+b 2y+b 3z=b o mit (b 1 Ib 2 Ib 3)*(01010)
{
C1X+C2Y+C3Z=CO mit (cllc2Ic3) *(01010)
Die drei Gleichungen entsprechen geometrisch drei Ebenen E1, E2, E3 im Raum mit den Normalvektoren a =(a1Ia2Ia3), b = (b1Ib2Ib3) und C =(c1Ic2 Ic3)' Jede Lösung (xlylz) des Gleichungssystems entspricht einem Punkt, der in allen drei Ebenen liegt also einem Punkt im
Durchschnitt E1 n E2 n E3.
Der Durchschnitt dreier Ebenen ist leer, besteht aus einem Punkt in ~3, ist eine Gerade in ~3
oder eine Ebene in ~3 (siehe Mathematik verstehen 6, Seite 207). Daraus ergibt sich:
Satz: Die Menge der Lösungen eines Gleichungssystems der Form
a1x+a2y+a3z=ao mit (a1Ia2Ia3) =/=(01010)
b 1x+b 2y+b 3z=b o mit (b 1 Ib 2 Ib 3)=/=(01010)
{
C1X +C2Y +C3 Z =Co mit (c1I c2I c3) =/=(01010)
ist leer, besteht aus einem Punkt in ~3, ist eine Gerade in ~3 oder eine Ebene
in ~3.
Empfohlene Wiederholungsaufgaben: Siehe Mathematik verstehen 5 (Abschnitte 10.2 und
17.3) und Mathematik verstehen 6 (Abschnitte 2.3 und 12.9) .
10.3 Aufgaben zur Maturavorbereitung
10.3 Aufgaben zur Maturavorbereitung
10.02
Schreibe Zusammenfassungen zu folgenden Themen und illustriere an selbst gewählten
Aufgabensteilungen:
a) Lösung von Prozentaufgaben mit Variablen (siehe Mathematik verstehen 5, Seiten
57-63).
b) Rechenregeln zum Umformen von Termen, Gleichungen und Ungleichungen (siehe
Mathematik verstehen 5, Seiten 63- 71 und Mathematik verstehen 6, Seiten 33-39).
10.03
a) Eine Ware wird zuerst um p % verteuert und anschließend um q % verbilligt. Sie
kostet dann 150 €. Wie hoch war der ursprüngliche Preis?
b) Eine Ware, die a € kostet, erhält man bei einer Sonderaktion um b € (b < a) . Wie
viel Prozent Preisnachlass wurde gewährt?
c) Eine Ware wird um p % teurer und kostet dann 100 €. Um wie viel war sie vorher
billiger?
d) Eine Firma erzeugt eine Ware . Sie möchte dem Käufer 10% Rabatt gewähren, jedoch dabei keinen Verlust erleiden . Um wie viel Prozent muss sie dazu den Preis der
Ware anheben?
e) Eine Ware wird zuerst um p % verteuert und anschließend um p % verbilligt. Kostet
sie dann gleich viel wie zu Beginn? Begründe die Antwort.
f) Eine Ware wird zuerst um p % und anschließend um 2p % verteuert. Ist sie dann
insgesamt um 3p % verteuert worden? Begründe die Antwort.
10.04
a) Gib eine Menge an, in der die Gleichung x3 + 2x 2 + X + 2 = 0 keine Lösung, genau
eine Lösung , genau zwei Lösungen bzw. genau drei Lösungen hat.
b) In welcher der Mengen N , 7l.., ([IL IR, C hat die Gleichung x3 + x2 + X + 1 = 0 keine
Lösung, genau eine Lösung, genau zwei Lösungen bzw. genau drei Lösungen? Weiche der Antworten kann man ohne Rechnung geben?
10.05
a) Vitamintabletten sollen 14 Einheiten
Vitamin B Vitami=C1
Vitamin Bund 28 Einheiten Vitamin
i '
C enthalten . Die Tabletten werden
durch Mischung zweier Bestandteile
erzeugt, deren Vitamingehalt (Vitamineinheiten pro Mengeneinheit) in obiger Tabelle angegeben ist. Wie viele Mengeneinheiten müssen für eine Tablette von jedem Bestandteil genommen werden?
~::::~~::::: ,--- --~--+---~--~
~
b) Zur Erzeugung eine~ Metal!membran ~erd~n 60 kg einer Legleru.ng
benötigt, die 90 % Kupfer, 5 % Zink
und 5 % Zinn enthält. Eine solche
Legierung soll durch Vereinigung
von drei Legierungen A, B, C hergestellt werden, deren Gehalt an Kupfer, Zink und Zinn in nebenstehender Tabelle angegeben ist. Wie viel
Kilogramm sind von jeder Legierung
zu nehmen?
I LegieI
rung A
I
Legierung B
Legierung C
I
Kupferant ·1 (. 0/)
, -ei _ In
,
10
Zinkanteil
(in %)
I
80
I
95
1
80
1
--------t---------,----·----!
i
20
!
0
!
10
Zinnanteil -----------------r--------------t------------0
I
5
10
(in %)
I
'-__._ _ _J-.-._ _-....J..!_ _ _--JI'---__ ---'
!,
10 Kompendium: Gleichungen und Gleichungssysteme
10.06
a) Gold ist in reiner Form zu weich, um bearbeitet zu werden. Deshalb wird es mit
Kupfer gemischt (legiert). Der relative Anteil an reinem Gold in einer solchen Legierung wird in Karat angegeben. 1 Karat bedeutet, dass 2~ der Legierung aus reinem
Gold besteht. Wie viel Gold von 20 Karat muss man mit 36 g Kupfer legieren, um
Gold von 14 Karat zu erhalten?
b) Auch Silber wird mit Kupfer legiert. Der relative Anteil an Silber in einer solchen Legierung wird als Feingehalt der Legierung bezeichnet. Die gebräuchlichsten Silberlegierungen haben einen Feingehalt von 0,800, 0,835, 0,925 oder 0,935. Silber mit
einem Feingehalt von 0,925 wird nach der britischen Währung Pfund Sterling als
Sterlingsilber bezeichnet und vorwiegend zur Erzeugung von Münzen, Schmuck
und Besteck verwendet. Eine Silberlegierung vom Feingehalt 0,835 soll mit einer Silberlegierung vom Feingehalt 0,935 gemischt werden, um 100 g Sterlingsilber zu erhalten. Wie viel muss von jeder Legierung genommen werden?
10.07
Der durchschnittliche Tagesbedarf eines Menschen
an Vitamin ( beträgt 60 mg. In der nebenstehenden Tabelle ist der Gehalt an Vitamin ( (in mg pro
100 ml) für verschiedene Fruchtsäfte angegeben.
a) Wie groß ist der Gehalt an Vitamin ( in einem
I Saftsorte
I Vitamin C-Gehalt (mg pro 100 ml)
r-----t'--------1
Apfel
.
I
.
38
Bi~~~-----t'--------'-20----- '-------
t·-------- -----
Mischgetränk aus 200 ml Pfirsichsaft und f - - - - --300 ml Orangensaft?
_~~~E~_~~!
~_~
b) Wie viel Pfirsichsaft muss man zu 200 ml BirOrange
45
nensaft hinzufügen, um den Tagesbedarf an f-Pfirsich-- --------·2·0
Vitamin ( zu decken?
.
c) Zu 200 ml Grapefruitsaft werden 300 ml eines in der obigen Tabelle enthaltenen
Fruchtsafts hinzugefügt. Es ergibt sich eine Mischung mit einem Vitamin (-Gehalt
von 41 mg pro 100 ml. Welcher Fruchtsaft wurde hinzugefügt?
d) In einer 0,3-Liter-Packung sollen Birnen- und Grapefruitsaft so kombiniert werden,
dass damit der eineinhalbfache Tagesbedarf an Vitamin ( gedeckt wird. Wie viel ist
von jedem Saft zu nehmen?
___.___ ________.
--·---1
10.08
Wähle im folgenden Gleichungssystem a, b E IR* so, dass das Gleichungssystem genau
ein reelles Zahlenpaar bzw. kein reelles Zahlenpaar als Lösung hat. Kann es für geeignete a, bE IR* auch unendlich viele reelle Zahlenpaare als Lösungen haben? Wenn ja,
wähle a, b geeignet.
1) {
4x + ay = b
- 2x + 3y = 7
2) {
4x + ay = b
- 2x + 3y2 = 7
10.09
Gegeben ist die Gleichung (k + 1)x 2 - 2(k + 3)x + (k + 4) = O. Für welche k E IR hat
die Gleichung genau eine reelle Lösung, genau zwei reelle Lösungen bzw. keine reelle
Lösung?
10.10
a) Für welche k E IR hat die folgende Gleichung genau zwei reelle Lösungen, genau
eine reelle Lösung bzw . keine reelle Lösung?
(1) 2x 2 + 4x - 3k = 0
(2) kx 2 + 6x + 1 = 0
b) Für welche a E IR hat die folgende Funktion f genau zwei Nullstellen, genau eine
Nullstelle bzw. keine Nullstelle?
(1) f(x)=x 2 -3ax-18
(2) f(x)=ax 2 -(a-2)x+a
c) Unter welcher Bedingung hat die folgende Funktion f genau zwei Nullstellen, genau
eine Nullstelle bzw. keine Nullstelle?
(1) f(x) = x2 + ax + b
(2) f(x) = ax 2 + x + b
10.3 Aufgaben zur Maturavorbereitung
"*
10.11
Die Gleichung ax 2 - 24x + 9 = 0 (mit a 0) besitzt genau eine reelle Lösung. Diese
Zahl ist auch Lösung der Gleichung 12x2 + bx + 12 = O.
1) Bestimme a und b und gib alle Lösungen der beiden Gleichungen an.
2) Stelle eine Gleichung vom Grad 4 auf, deren Lösungsmenge die Vereinigung der Lösungsmengen der bei den obigen Gleichungen ist.
10.12
1) Beweise: Ist a eine Nullstelle der Funktion f mit f(x) = ax4
"*
+ bx 3 + cx 2 + dx + e (mit
a 0), so gilt f(x) = (x - a) . g(x) für alle x E IR, wobei g eine Polynomfunktion vom
Grad 3 ist.
2) Die Funktion h mit h(x) = x3 - 3x 2 - 6x + 8 hat die Nullstelle -2. Berechne die weiteren Nullstellen von h. Zeige, dass h(x) = (x - a)(x - ß)(x - y) für alle x E IR gilt,
wobei a, ß, y die Nullstellen von h sind.
3) Gib auf Grund dieser Darstellung von h(x) an, in welchen Intervallen die Funktion h
positive Werte annimmt.
10.13
1) Gilt der Satz von VIETA auch im Komplexen? Wenn ja, formuliere und beweise ihn .
2) Zeige: Besitzt die Gleichung x 2 + px + q = 0 mit p, q E IR die Lösung a + b· i, dann
besitzt sie auch die dazu konjugiert komplexe Lösung a - b· i.
3) Zeige: Besitzt die Gleichung x 2
ist p = -2a und q = a2
10.14
+ px + q =
0 mit p, q
E
IR die Lösung a + b . i, dann
+ b2 .
Gegeben ist die Gleichung Z2 - (i - 1) . z -
(~-
1) = O.
1) Ermittle die komplexen Lösungen Zl und Z2 dieser Gleichung und überprüfe die
Richtigkeit mit dem Satz von VIET A.
2) Gib die Lösungen in Polardarstellung an und stelle sie in der GAUSS'schen Zahlenebene dar.
3) Stelle eine quadratische Gleichung auf, die die Lösungen ~ und ~ hat.
Z1
10.15
Gegeben ist die quadratische Gleichung mx 2 - 4x
+ 20 =
Z2
0 mit m E IR*.
a) Für welche Werte von m hat die Gleichung zwei reelle Lösungen, für welche Werte
von m zwei nichtreelle komplexe Lösungen? Kann sie eine reelle und eine nichtreelle
komplexe Lösung haben? Begründe die Antwort.
b) Für welche Werte von m hat die Gleichung konjugiert komplexe Lösungen mit dem
Imaginärteil ± 4? Wie lauten diese Lösungen?
c) Für welche Werte von m hat die Gleichung konjugiert komplexe Lösungen mit dem
Betrag V2? Gib diese Lösungen in der Form a + b· i und in Polardarstellung an.
10.16
Gegeben ist die quadratische Gleichung 4x 2 + mx + 113 = 0 mit m E IR+.
a) Ermittle m, wenn eine komplexe Lösung der Gleichung den Realteil -3 hat.
b) Ermittle m, wenn eine komplexe Lösung der Gleichung den Imaginärteil 4 hat.
c) Für welche m E IR + hat die Gleichung nur reelle Lösungen?
d) Für welches m
E
IR + hat die Gleichung genau eine Lösung?
1
In diesem Kapitel wiederholen wir das Grundwissen zu Sinus, Cosinus und Tangens sowie zu Berechnungen in Dreiecken . Die Abschnitte 11.1 und 11.2 sind vorwiegend zum
wiederholenden Selbststudium gedacht.
11.1 Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken
Definition: In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkelmaß <p, der Hypotenusenlänge H, der Gegenkathetenlänge G
und der Ankathetenlänge A setzt man:
.
GAG
SIn<P=H' cos<P=H' tan<p=Ä
~G
A
Man kann zeigen, dass diese Verhältnisse nur vom Winkelmaß <p, aber nicht von der Hypotenusenlänge Habhängen .
Aus der obigen Definition ergeben sich unm ittelbar die folgenden Formeln:
G = H · sin<p,
A= H · cos<p
Empfohlene Wiederholungsaufgaben: Siehe Mathematik verstehen 5 (Abschnitte 5.1 bis
5.3).
11.2 Berechnungen in beliebigen Dreiecken
Polarkoordinaten
Ein Punkt P*-O einer Ebene kann nicht nur durch seine kartesischen
Koordinaten (X1 I X2), sondern auch durch seine Polarkoordinaten
[r I <p] angegeben werden. Dabei ist r = OP der Polarabstand und <p
das Polarwinkelmaß des Punktes P (siehe nebenstehende Abbildung) .
2. Achse
p
1. Achse
Der Polarwinkel wird stets von der positiven 1. Achse aus im Gegenuhrzeigersinn gemessen. Es gilt 0°::;; <p < 360°. Dem Nullpunkt 0
wird kein Polarwinkelmaß zugeordnet.
Auf diese Weise entspricht jedem Punkt P*-O der Ebene genau ein
Paar [r I <p] mit rE IR + und <p E [0°; 360°[. Umgekehrt entspricht jedem solchen Paar ein Punkt P *- O der Ebene. Wir schreiben :
P=(x1Ix2) =[rl <p]
Die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten und umgekehrt erfolgt mit
Hilfe der folgenden Formeln, die man der obigen Abbildung entnehmen kann :
x, = r · cos<p,
X2
= r·sin<p
bzw.
r=
vxt +x~, tan<p= X,
X2
11.2 Berechnungen in beliebigen Dreiecken
Erweiterung von Sinus, Cosinus und Tangens auf alle Quadranten
Definition: Es sei P =
(X1 I X2) = [r I <p] mit r> 0 und 0° :::; <p
< 360°.
Man setzt:
.
X2
SIn<p = -
r
X1
cos<p = -
r
X2
tan<p = -
X1
(sofern X1
* 0, dh. <p * 90°, 270°)
Man kann zeigen, dass auch diese Verhältnisse nur vom Winkelmaß <p, aber nicht von r abhängen. Falls P im ersten Quadranten liegt, stimmt diese Definition mit der ursprünglichen Definition überein .
Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Für r = 1 ist cos<p = ~ = ~ = Xl und sin<p = ~ = ~12 = X2· Somit können Sinus und Cosinus am
r
r
1
Einheitskreis (Kreis mit dem Radius
1)
(4)
(3)
(2)
(1)
als Punkte oder als Strecken dargestellt werden:
-1
-1
-1
-1
(2)
(1)
-1
(4)
(3)
-1
-1
-1
-1
-1
Bei der Streckendarsteilung gilt folgende Vereinbarung: Strecken, die von 0 nach rechts oder
nach oben gehen, erhalten ein positives Vorzeichen. Strecken, die von 0 nach links oder nach
unten gehen, erhalten ein negatives Vorzeichen.
Am Einheitskreis kann man ablesen:
Satz: Für alle Winkelmaße <p mit 0° :::; <p < 360° gilt:
(1) -1 :::;sin<p:::; 1
(2) -1:::; cos<p :::; 1
(3) sin 2 <p+cos 2 <p=1
(4) sin (180° - <p) = sin <p
(5) cos (180° - <p) = - cos<p
11 Kompendium: Trigonometrie
Ebenso kann man am Einheitskreis erkennen, dass die Gleichungen sin<p = c und cos<p = c für
-1 < c < 1 stets zwei Lösungen <Pl und <P2 haben (siehe die nachfolgenden Abbildungen).
-1
-1
-1
-1
Flächeninhalt eines Dreiecks
Satz (Trigonometrische Flächeninhaltsformel für Dreiecke):
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt:
a ·b.
a ·c.
b·c.
A= , sInY = - ' SInß = - , slna
222
b~Q
~
(
Sinussatz und Cosinussatz
Satz (Sinussatz): In jedem Dreieck gilt:
abc
sina
sinß
siny
b~Q
~
(
Satz (Cosinussatz): In jedem Dreieck gilt:
a 2 = b 2 + c2 - 2bc . cosa
b 2 = c2 + a 2 - 2ca . cos ß
c2 = a 2 + b 2 - 2ab . cosy
b~Q
~
Ist ein Winkel im Dreieck ein rechter Winkel, so ist der entsprechende Cosinus gleich 0 und der
Cosinussatz geht in den pythagoreischen Lehrsatz über.
Bei der Berechnung von Winkeln mit dem Sinussatz ist es manchmal schwierig zu entscheiden,
ob ein Winkel spitz oder stumpf ist. Es ist daher empfehlenswert, vor einer Rechnung eine maßstabgetreue Skizze anzufertigen .
Ein Dreieck muss durch drei Bestimmungsstücke gegeben sein, unter denen mindestens eine
Strecken länge sein muss. Falls ein Dreieck durch Seitenlängen oder Seitenlängen und Winkelmaße gegeben ist, kann man die restlichen Seitenlängen und Winkelmaße stets mit dem Sinusund Cosinussatz berechnen . Man beachte aber, dass ein Dreieck durch drei Bestimmungsstücke
nicht immer eindeutig bestimmt ist. Es gilt:
Sind von einem Dreieck zwei Seitenlängen und ein Winkelmaß gegeben und liegt
der Winkel
• der längeren Seite gegenüber, so gibt es genau ein Dreieck,
• der kürzeren Seite gegenüber, so kann es auch zwei Dreiecke oder gar kein Dreieck geben.
11.3 Aufgaben zur Maturavorbereitung
Empfohlene Wiederholungsaufgaben: Siehe Mathematik verstehen 5 (Abschnitte 6.1 bis
6.6).
11.3 Aufgaben zur Maturavorbereitung
11.01
1) Einem Kreis mit dem Radius r wird ein regelmäßiges n-Eck eingeschrieben. Stelle
Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt des n-Ecks auf.
2) Stelle Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt eines regelmäßigen n-Ecks
mit der Seitenlänge a auf.
3) Aus einem Kreis soll ein eingeschriebenes regelmäßiges Fünfeck mit der Seitenlänge
8 cm ausgeschnitten werden. Welchen Radius muss der Kreis haben? Wie groß ist
der Abfall?
11.02
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit der Hypotenusenlänge AB = c = 134,7 cm
und <1:CAB = a = 78,5° wird die Kathete BC in drei gleich lange Stücke geteilt. Die Teilungspunkte werden mit der Ecke A verbunden, wodurch der Winkel CAB in drei Winkel geteilt wird. Berechne die Maße dieser Winkel.
11.03
Für die Seitenlängen a, b, c eines Dreiecks gilt a: b : c = 3 : 4 : 5. Der Umfang des Dreiecks beträgt 48.
1) Zeige, dass das Dreieck rechtwinklig ist.
2) Berechne die Seitenlängen und die Winkelmaße des Dreiecks.
3) Berechne die Höhen des Dreiecks.
4) Berechne den Inkreisradius des Dreiecks.
11.04
Die nebenstehend abgebildete Rennstrecke führt durch die
Orte A, B, C, D (Längenangaben in km).
1) Wie lang ist die Rennstrecke?
2) Berechne die Maße der Innenwinkel des Vierecks ABCD.
3) Wie groß ist der Inhalt der von der Rennstrecke eingeschlossenen Fläche?
c
o
A
11.05
Eine fünfeckige Platte ABC DE hat folgende Abmessungen: AB = 131 cm, BD = 486 cm,
AD = 563 cm, CD = 221 cm, <1:DEA = 121,8°, <1:BCD = 71,3°, <1:EAD = 32,3°. Die Platte soll durch eine flächengleiche Platte ersetzt werden, die die Form eines regelmäßigen
Fünfecks hat. Welche Seitenlänge muss diese Platte haben?
11.06
Von einem Dreieck ABC mit a = 65°, b = 6, c = 3 wird ein schmaler Streifen der Breite
0,5 parallel zu AC weggeschnitten. Um wie viel Prozent wird dadurch a) die Fläche,
b) der Umfang kleiner?
11.07
Ein Dreieck ABC mit BC = a = 8, AC = b = 4 und <1:CAB = a = 68° soll durch eine zu
AC parallele Strecke, die zwei Punkte X, Y der Seiten AB und BC verbindet, in zwei flächengleiche Teile geteilt werden.
1) Wie weit sind die Punkte X und Y von B entfernt?
2) Wie lang ist die Strecke XV?
11.08
Von einem Viereck ABCD kennt man AB = 533, BC = 624, AD = 150, <1:DAB = 90°,
<1:ABC = 115,6°. Das Viereck soll durch eine von A zu einem Punkt E der Seite BC führende Strecke in zwei flächengleiche Teile geteilt werden. Wie weit ist E von Bentfernt?
11 Kompendium: Trigonometrie
11.09
Eine Straßenlaterne, die an einem Mast in h = 3,5 m Höhe befestigt ist, beleuchtet einen Fußweg, der vom Fußpunkt des Masts aus um 11 ° gegen die Horizontale abfällt.
Der Lichtkegel ist lotrecht nach unten gerichtet und hat einen Öffnungswinkel von
120°.
1) Berechne die Länge der beleuchteten Wegstrecke .
2) Wie groß müsste der Öffnungswinkel sein, damit das vom Fußpunkt nach unten
führende, beleuchtete Wegstück um 60 % größer ist?
11.10
Um die Messempfindlichkeit für kleine Flüssigkeitsmengen
zu erhöhen, wird ein Messbecher kegelförmig wie in nebenstehender Abbildung hergestellt. Der Kegel hat einen
Öffnungswinkel von 60° und den Radius r = 9 cm.
1) Berechne die Höhe h, die Länge s der Mantellinie und
das Volumen des Kegels.
2) In welchem Abstand x muss jeweils die Markierung für
0,1 1,0,25 I, 0,5 I bzw. 0,75 I auf dem Gefäß angebracht
werden?
11.11
Der nebenstehend abgebildete Quader ABCDEFGH hat die
Kantenlängen AB = 7 cm, BC = 10 cm und AE = 4 cm.
1) Berechne die Seitenlängen, die Maße der Winkel und
den Flächeninhalt des Dreiecks BGE.
2) Wie 1) für einen Würfel mit der Kantenlänge 7 cm.
E
~---+---:.r
4
A
11.12
Die Grundfläche eines geraden Prismas ist ein Dreieck ABC mit AB
= c = 54 cm,
AC = b = 21 cm, BC = a = 42 cm. Eine Ebene schneidet die Seitenkante durch A in A'
und entsprechend die beiden anderen Seitenkanten in B' bzw. C'. Es ist AA' = 22 cm,
BB' = 56 cm und CC' = 10 cm. Berechne die Längen der Seiten, die Maße der Winkel
und den Flächeninhalt des Schnittdreiecks A'B'C' .
11.13
a) In Abb . 11.1 ist eine Dachfläche dargestellt. Drücke den Inhalt der roten Dachfläche
durch a, b, c, hund ö aus.
b) Drücke in der in Abb . 11.2 dargestellten Pyramide die Seitenflächenhöhen h 1 und
h2 , die Seitenkantenlänge s, die Körperhöhe H und das Pyramidenvolumen V durch
a, bund ö aus .
(Hinweis: Verwende auch den pythagoreischen Lehrsatz.)
Q
Abb . 11.2
Abb . 11.1
11.14
Eine Pyramide hat ein Dreieck ABC als Grundfläche, ihre Spitze S liegt senkrecht über
BC
Es
ist
c = AB
= 6,8 cm,
<p = 1::SBC = 68°. Berechne
b = AC
= 9,4 cm,
BS
= 12,5 cm,
Cl
= 1::CAB = 60°,
11.3 Aufgaben zur Maturavorbereitung
1) Be, ß = <tABC und y = <tBCA,
2) die Länge der Kante AS und das Maß des Neigungswinkels dieser Kante zur Grundfläche,
3) den Flächeninhalt des Dreiecks ACS.
_ _ _ _........,.G
11.15 In dem nebenstehend abgebildeten Würfel mit der Kantenlänge a schneidet eine Ebene das gleichschenklige
Trapez ACQP aus. Der Neigungswinkel zwischen dem EF----:--...;,.-;;;;.......,~
Trapez und der Grundfläche hat das Maß a (:::;; 90°).
Q
1) Gib Schranken für a an und drücke die Trapezhöhe h
durch a und a aus.
2) Drücke die Streckenlänge PQ durch a und a aus.
3) Für welchen Wert von a nimmt die Streckenlänge PQ
~
den Wert
af
an?
4) Drücke den Flächeninhalt A des Trapezes ACQP durch a und a aus.
11.16
Die Rohrleitung eines Kraftwerks fällt um 360 m. Auf einer Karte im Maßstab 1 : 25000
misst die Leitung 3,2 cm.
1) Welches Neigungswinkelmaß, welche Steigung (in Prozent) und welche Länge hat
die Rohrleitung?
2) Um wie viel wäre die Rohrleitung im Vergleich zu 1) länger oder kürzer, würde sie
auf derselben horizontalen Strecke um 1° steiler abfallen?
3) Um wie viel wäre die Rohrleitung im Vergleich zu 1) länger oder kürzer, würde sie
auf derselben horizontalen Strecke um 370 m abfallen?
11.17
Von drei Punkten A, B, C eines horizontalen Geländes ist ihre gegenseitige Lage bekannt: AB = 200 m, AC = 450 m, <tCAB = 68,1°. Ein unzugänglicher Punkt D liegt auf
der Verlängerung von AB über B hinaus. Um die Entfernung AD zu bestimmen, wird in
C der Winkel <tBCD = 43,3° gemessen. Berechne AD.
11.18
Mit Hilfe der Standlinie AB am Ufer eines Sees soll die Lage zweier Bojen P und Q im
See bestimmt werden. Dabei ist A = (18121) und B = (117139) (Maße in m) . Man misst
folgende Winkel : <tQAB = 38°, <tPAB = 68°, <tABP = 43°, <tABQ = 59° . Ermittle die
Koordinaten von P und Q sowie die Entfernung PQ.
11.19
Zwei Punkte P und Q einer Horizontalebene liegen auf verschiedenen Seiten eines Flusses und sollen durch eine Hängebrücke verbunden werden. Zur Berechnung der Entfernung PQ wird in derselben Horizontalebene eine Standlinie AB abgesteckt. Man misst:
AB = 245 m, <tPAB = 114,2°, <tQAB = 32,5°, <tABQ = 106,9°, <tABP = 37,2°.
1) Ermittle die Entfernung PQ.
2) Das Hängetau ist um 36,4 % länger. Berechne seine Länge.
11.20
Von einem Punkt P aus erblickt man eine Strecke AB unter dem Winkel <tAPB = 99,2°.
Außerdem sind die Entfernungen PA = 375 mund PB = 482 m bekannt. Auf der Strecke AB liegen zwei Punkte C, D, für die Folgendes gilt: <tAPC = 26,1°, <tDPB = 38,7°.
Berechne die Entfernung CD .
11.21
Zwischen zwei Orten A und B soll eine geradlinige, in einer Ebene verlaufende Eisenbahnlinie gebaut werden, die zwischen zwei Punkten Mund N durch einen Tunnel führt. Zur
Bestimmung der Tunnellänge werden von einem seitlich von der Strecke AB liegenden
Vermessungspunkt C aus die folgenden Daten gemessen: CB = 6410 m, CA = 5750 m,
<tACB = 98,3°, <tACM = 25,1°, <tMCN = 22,3°. Wie lang wird der Tunnel?
11 Kompendium: Trigonometrie
11.22
Die Punkte P = (20,2135,7) und Q = (72,0 19,8) sind Endpunkte einer Standlinie, von der aus die Punkte Rund S vermessen werden.
Dazu werden gemessen:
PR = 48,2, <tQPR = a = 58,41°, <tQPS = ß = 52,37°,
<tPQS = y = 64,88°.
1) Berechne die Koordinaten von Rund S.
2) Wie groß ist der Flächeninhalt des Vierecks PSQR?
R
P
s
11.23
Ein Grundstück hat die Form eines einspringenden Vierecks ABCD mit unzugänglicher Seite CD. Man misst: AB = a = 35,0 m, BC = b = 24,6 m, AD = d = 40,2 m,
<tDAB = Ci = 102,5°, <tABC = ß = 25,7°.
1) Berechne den Flächeninhalt des Grundstücks.
2) Das Grundstück wird um 55000 € zum Verkauf angeboten. Ist das ein günstiger
Preis, wenn der ortsübliche Grundpreis ca . 100 € pro m 2 beträgt?
3) Wie lang ist die Seite CD des Grundstücks?
11.24 Von einem dreieckigen Grundstück ABC sind die Punkte A = (-68,2144,5) und
B=(89,318,2) gegeben (Maße in m). Der Punkt C=(c1Ic2) mit C2 >0 ist durch die
Winkelmaße <tCAB = 45,1 ° und <tABC = 53,4° festgelegt.
1) Berechne die Koordinaten von C sowie den Umfang und den Flächeninhalt des
Grundstücks.
2) Durch eine Parallele zu AB wird ein 18 m breiter Streifen vom Grundstück abgetrennt. Berechne den Flächeninhalt dieses Streifens.
11.25
Von einem viereckigen Grundstück ABCD sind gegeben: AB = 84 m, <tDAB = 68°,
<tABC = 71°, <tCAB = 43°, <tDBA = 35°.
1) Stelle das Grundstück im Maßstab 1: 1 000 dar.
2) Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Grundstücks.
3) Durch eine Parallele zur Seite AB ist das Grundstück in zwei flächengleiche Parzellen
zu teilen. In welcher Entfernung von der Seite AB muss diese Parallele gewählt werden?
4) Wie groß sind die Umfänge der beiden Parzellen?
11.26
Von einem viereckigen Grundstück ABCD sind folgende Bestimmungsstücke gegeben :
AB = a = 533 m, BC = b = 624 m, AD = d = 150 m, <tDAB = a = 90°, <tABC = ß= 115,6°.
1) Berechne den Inhalt der Fläche ABCD.
2) Das Grundstück soll durch eine von B ausgehende und zu einem Punkt E auf der
Seite CD führende Strecke in zwei Teile mit gleichem Flächeninhalt geteilt werden.
Wie weit ist E von C entfernt?
11.27
Ein ebenes Grundstück hat die Gestalt eines Vierecks ABCD mit folgenden Maßen :
AB = a = 436,4 m,
BC = b = 861,4 m,
AD = d = 302,8 m,
<tABC = a = 122,2°,
<tADB = E = 33,8°.
1) Berechne den Flächeninhalt des Grundstücks in Hektar.
2) Vom Mittelpunkt M der Seite AD aus soll eine gerade Linie zu einem auf der Seite
BC liegenden Punkt N gezogen werden, sodass der an die Seite AB grenzende Teil
eine Fläche von 6 ha aufweist. Wie weit ist N von Bentfernt?
11.3 Aufgaben zur Maturavorbereitung
11.28
Die geknickte Grenzlinie ABC zwischen zwei Grundstücken soll
von C aus durch die neue Grenze CD so begradigt werden, dass
die Flächeninhalte der Grundstücke erhalten bleiben. Für die Absteckung des Grenzpunktes D ist die Streckenlänge x = AD aus
den gemessenen Größen BC = 201,10 m, AB = 246,20 m,
<tBCA = 43,28° und <tDAB = 76,38° zu berechnen.
(Hinweis: Überlege, dass die Dreiecke ACB und ACD flächengleich sein müssen.)
11.29
Ein Viereck ABCD
ist gegeben
durch AB = a = 75 cm,
AD = d = 82 cm,
<tDAB = a = 108,3°, <tABC = ß= 104,0° und <tCDA = ö = 66,5°.
1) Berechne den Umfang des Vierecks.
2) Das Viereck ist so in ein flächengleiches Parallelogramm zu verwandeln, dass die Seite BC und der Winkel ABC unverändert bleiben. Berechne die zweite Seitenlänge
des Parallelogramms.
11 .30
An den beiden Enden eines waagrechten Platzes stehen zwei Gebäude. Von der 73 m
hohen Spitze des größeren Gebäudes aus erscheint die Spitze des kleineren Gebäudes
unter dem Tiefenwinkel ö = 16,95°, der Fuß des kleineren Gebäudes unter dem Tiefenwinkel E = 29,70°.
1) Wie weit sind die beiden Gebäude voneinander entfernt?
2) Wie hoch ist das kleinere Gebäude?
3) Wie weit muss man sich vom größeren Gebäude in Richtung des kleineren Gebäudes bewegen , damit man die Spitze des kleineren Gebäudes unter einem Höhenwinkel von 35° erblickt?
11.31
Von einem Punkt A einer horizontalen Ebene aus erscheint die Spitze S1 eines Berges
unter dem Höhenwinkel 10,2°. Diese Bergspitze wird von einer genau dahinterliegenden zweiten Bergspitze S2 überragt. Der zur zweiten Bergspitze gemessene Höhenwinkel ist um 3,1 ° größer.
Von einem 3 km näher beim ersten Berg liegenden Punkt B erscheinen beide Gipfel in
einer geraden Linie unter dem Höhenwinkel 17,3°.
1) Berechne die Höhe beider Berge, wenn die Ebene, von der aus die Vermessungen
durchgeführt wurden, 357 m über dem Meeresspiegel liegt und eine Instrumentenhöhe von 1,4 m zu berücksichtigen ist.
2) Wie groß ist die Horizontalentfernung der beiden Gipfel in einer Karte im Maßstab
1 : 50000?
11 .32
Durch einen Tunnel von der Talstation Azur Bergstation B
S
soll ein geradlinig verlaufender Schrägaufzug gebaut werden . Zur Vermessung errichtet man zwei horizontale
Standlinien AC und BD, die mit der Spitze S eines auf
0
dem Berggipfel befindlichen Aussichtsturms in einer Vertikalebene liegen. Von S aus misst man AC = 137 mund
BD = 114 m. Die Punkte C, A, B, D erscheinen von Saus
der Reihe nach unter den Tiefenwinkeln a = 16,1°, (
A
ß = 22,6°, Y = 17,3°, Ö = 10,2°. Ermittle die Länge des Schrägaufzugs und das Maß <p
des Anstiegwinkels.
11 Kompendium: Trigonometrie
11.33
Die Punkte A, B und der Fußpunkt F eines Turmes liegen
auf einer Geraden, die gegen die Horizontale unter
t = 10,5° ansteigt. Es ist AB = 125 m. Von A aus misst
man zur Spitze des Turmes den Höhenwinkel a = 32,4°,
von B aus den Höhenwinkel ß = 42,3°. Berechne die Höhe
F
A
des Turmes und die Entfernung BF.
11.34 Von der Spitze eines Leuchtturms aus, die bei Flut a Meter über dem Meer liegt, erscheint eine Boje bei Flut unter dem Tiefenwinkel ß, bei Ebbe unter dem Tiefenwinkel
a. Gib eine Formel für die Fluthöhe h an. Löse die Aufgabe 1) unter ausschließlicher
Verwendung rechtwinkliger Dreiecke, 2) unter Verwendung schiefwinkliger Dreiecke.
11.35
Über einer Ebene schwebt in 1450 m Höhe ein Ballon. Von ihm aus werden zwei Orte
A und B unter den Tiefenwinkeln a = 11,3° und ß = 14,4° anvisiert. Die beiden Visierlinien schließen miteinander den Winkel <p = 115,6° ein . Berechne die Entfernung der
Orte A und B und das Maß des Winkels, den die Vertikalebenen durch den Ballon und
die Orte A bzw. B miteinander einschließen.
11.36
Die Orte A und B befinden sich auf gleicher Meereshöhe, dh. sie liegen in derselben
Horizontalebene. In 725 m Höhe über dieser Horizontalebene schwebt ein Ballon S. Der
Ballonfahrer sieht die Orte A und B unter den Tiefenwinkeln a = 11,25° und
ß = 14,40°. Die Sehstrahlen SA und SB schließen miteinander einen Winkel von
<p = 15,60° ein.
1) Welche Entfernung müsste der Ballon zurücklegen, um bei gleichmäßigem Sinkflug
den Ort A bzw. B zu erreichen?
2) Berechne die Entfernung der Orte A und B.
3) Wie groß ist der Horizontalwinkel, den die Vertikalebenen durch die Sehstrahlen SA
und SB miteinander einschließen?
4) Wie groß sind die Winkel <tBAS und <tABS?
11.37
Durch einen Berg soll ein horizontal verlaufender Tunnel gegraben werden. Um seine
Länge zu bestimmen, werden von einem benachbarten Berggipfel C aus, der 117 m
über dem Tunnelniveau liegt, der Tunnelanfang A und das Tunnelende B ins Visier genommen. Von C aus erscheint A unter dem Tiefenwinkel a = 11,3° und B unter dem
Tiefenwinkel ß = 9,7°. Zwischen den beiden Tiefenwinkelmessungen musste das Zielfernrohr um einen Horizontalwinkel von <p = 93,5° geschwenkt werden.
1) Wie lang ist der Tunnel?
2) Wie groß ist der Winkel, den die Sehstrahlen CA und CB miteinander einschließen?
3) Der Querschnitt der Tunnelröhre hat annähernd die Form eines Kreisabschnitts mit
einer Basisbreite von 12 m und einer maximalen Höhe von 5 m. Wie viel Kubikmeter
Aushubmaterial müssen beim Tunnelbau zumindest abtransportiert werden?
(Hinweis: Benutze die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts mit dem
Radius r und dem Zentriwinkel a: A =
~~~)
11.38 Von einem dreieckigen Grundstück in Hanglage mit den Eckpunkten A, Bund C kennt man: AB = 60 m, <tCAB = 75,72°.
Vom tiefsten Punkt A aus wird der um 10m höher liegende
Punkt C unter dem Höhenwinkel a = 7,73° gesehen. Vom
Punkt C aus wird der Punkt B unter dem Tiefenwinkel
ß = 2,07° gesehen .
(
11.3 Aufgaben zur Maturavorbereitung
1) Ermittle die Seitenlängen und den Flächeninhalt des Grundstücks.
2) Um wie viel liegt der Eckpunkt B höher als A und tiefer als C?
3) Dem Besitzer des Grundstücks wird ein Kaufangebot unterbreitet: Anzahlung sofort
44120 €, ab dem zweiten Jahr 10 Raten zu je 7350 € am Beginn jedes Jahres (Zinssatz: 6 % p. a.).
Soll der Besitzer annehmen, wenn er den derzeitigen Wert des Grundstücks auf
103000 € schätzt?
11.39
11.40
Von einem Punkt A im Inneren eines Bergwerks führen
zwei Stollen geradlinig zu den Punkten Bund C. Der erste
Stollen ist b = 222 m lang und steigt unter dem Höhenwinkel ß = 18,9° an. Der zweite Stollen ist c = 177 m lang und
fällt unter dem Tiefenwinkel y = 16,2° ab. Die Vertikalebenen, in denen die Strecken AB und AC liegen, schließen
miteinander einen Horizontalwinkel von <p = 45,0° ein. Unter welchem Tiefenwinkel müsste ein geradliniger Stollen
von B nach C getrieben werden und wie lang wäre dieser
Stollen?
Von gleich hohen Masten AB und CD werden vier Seile wie
in nebenstehender Abbildung gespannt. Man misst die
Winkel (X = 62°, ß = 34°, y = 29° sowie die Länge
c = 24 m. Wie hoch sind die Masten und wie weit sind sie
voneinander entfernt?
. . tan (X = .. ., t an ß = ... , -tanß = ... )
(H 'Inwels.
B
A
c
o
tan (X
E
11.41
Vor einem Hafen steht ein 50 m hoher Leuchtturm mit dem Fußpunkt F und der Spitze
S. Von der Spitze S aus sieht man zwei Bojen A und B unter den Tiefenwinkeln (X = 6,0°
und ß = 9,3°. Die Vertikalebenen, in denen die Visierlinien SA und SB liegen, schließen
miteinander einen Horizontalwinkel von y = 102,0° ein .
1) Berechne die Entfernung AB.
2) Wie groß ist das Maß des Winkels, den die Visierlinien miteinander einschließen?
3) Der Punkt H liegt am Hafenkai. Man misst e = 1::FAH = 114,0° und
<p
= 1::AHF = 38,5°. Berechne die Streckenlänge AH.
4) Ein Motorboot benötigt von A nach H 67 Sekunden. Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit in
11.42
Ein mit 600
k~?
k~ fliegendes Flugzeug trifft um 8 Uhr auf eine Schlechtwetterfront, die es
umfliegen muss. Es fliegt zuerst in Richtung S72°0 bis 8.30 Uhr, dann in Richtung
N21 °0 bis 9.15 Uhr und gelangt damit auf den vorgesehenen Kurs zurück.
1) Berechne den Umweg und den Zeitverlust durch das Umfliegen der Schlechtwetterfront.
2) Wie schnell müsste das Flugzeug auf der Umwegstrecke fliegen, um den Zeitverlust
zu halbieren?
11 Kompendium: Trigonometrie
11.43 Von einem Schiff aus erblickt man zwei Leuchttürme A und B unter den Winkeln
S78,2°W und S51,3°0. Aus der Seekarte entnimmt man, dass die Leuchttürme A und B
durch ein geradliniges, 5,3 Seemeilen langes Ufer mit der Richtung S 71,0° 0 verbunden sind.
1) Welche Entfernung hat das Schiff von diesem Ufer?
2) Das Schiff bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 12 Knoten in Richtung
S73,5°0. Wie weit ist es nach 30 Minuten von Bentfernt?
(1 Knoten = 1 Seemeile pro Stunde)
3) Unter welchem Winkel (SW) sieht man dann den Leuchtturm B vom Schiff aus?
z
11.44 Beim Diskuswurf wirft der Sportler die Scheibe meist an der vorgesehenen Stelle Ades Wurfkreises (Mittelpunkt M, Kreisradius
r = 1,25 m) ab, verfehlt aber oft die Zielrichtung. Internationale Sportregeln bestimmen, dass nicht die tatsächliche Wurfweite w = AZ, sondern w' = BZ gewertet wird, wobei Z der Punkt ist, an dem der Diskus
den Boden berührt, und B der Schnittpunkt von ZM mit der Kreislinie.
1) Wie viel Zentimeter werden dadurch bei einer tatsächlichen Wurfweite von w = 40 m und einem Abweichungswinkel von
<p = 22°" verschenkt"?
2) Wie groß darf bei einer tatsächlichen Wurfweite von w = 40 m der
Abweichungswinkel <p höchstens sein, damit nur 4 cm "verschenkt"
werden?
11 .45
Ein Raumschiff S hat von der Erde E die Entfernung SE
Rj
368.10 3 km, vom Mond M die
Entfernung SM Rj 64.10 3 km. Die Entfernung Erde-Mond beträgt EM Rj 384· 10 3 km.
Das Raumschiff wird von der Erde mit einer Kraft vom Betrag F1 Rj 310 N, vom Mond mit
einer Kraft vom Betrag F2 Rj 120 N angezogen. Bestimme den Betrag der Resultierenden
dieser beiden Kräfte und die Maße der Winkel, die diese Resultierende mit den gegebenen Kräften einschließt.
11.46 Zwei Kräften F 1 und F 2 mit IF 1 1= 90 N und IF 21
Gleichgewicht gehalten.
1) Wie groß ist der Betrag von F 3, falls <t(F" F 2)
= 560 N wird
von einer Kraft F 3 das
= a = 60° ist?
2) Wie groß sind in diesem Fall die Winkel zwischen den Kräften F 1 und F 3 bzw. zwischen F2 undF 3 ?
3) Für welches Winkelmaß
Cl
ist der Betrag von F 3 um 10% kleiner als für
Cl
= 60°? Wie
groß sind in diesem Fall die Winkel zwischen F 1 und F 3 bzw. zwischen F 2 und F 3 ?
4) Für welches Winkelmaß
Cl
ist der Betrag von F 3 maximal bzw. minimal? Wie groß ist
jeweils der Betrag von F 3?
11.47
Ein 500 m breiter Fluss mit geradlinigen, parallelen Ufern und der Wassergeschwindigkeit 2 m/s wird mit einem Boot (Eigengeschwindigkeit = 4,5 m/s) überquert. Das Boot
startet im Punkt A. Gegenüber von A liegt der Punkt Bund 200 m flussaufwärts von B
liegt der Zielpunkt C.
1) Unter welchem Winkel muss das Boot von der Richtung AB abweichen, um von A
nach C zu gelangen?
2) Wie lange dauert die Überquerung von A nach C?
3) Wie viel Meter flussabwärts von B würde das Boot landen, wenn es in A startet und
stets die Richtung AB beibehält?
11.3 Aufgaben zur Maturavorbereitung
11.48
Der Glasbehälter einer Thermosflasche hat die nebenstehend abgebildete Form . Die angegebenen Maße (in cm) sind die Innenmaße.
1) Berechne den Innendurchmesser d der Öffnung.
2) Für welche Länge a fasst der Glasbehälter genau 1 Liter?
11.49
In dem nebenstehend abgebildeten Gelenksviereck ist die Kurbel MA 1 mit der Kurbel NB 1 durch
die Stange A 1 B1 verbunden. Es ist a = 8 cm,
b = 6 cm, c = 9,5 cm, d = 3 cm. Von der Aus- A2
gangslage, in der M, A 1 und B1 auf einer Geraden
liegen, wird die Kurbel MA 1 um 90° in die Lage
MA2 gedreht. Berechne das Maß <p des Winkels,
um den sich dabei die Kurbel NB 1 mitdreht.
(Hinweis: Zeichne die Hilfslinien A 2B1 und A2N ein.)
11.50
81
Die Intensität der Sonneneinstrahlung auf eine Solarzelle
hängt vom Einfallswinkel E und damit vom Neigungswinkel
der Solarzelle gegenüber der Horizontalen ab. Der auf die Solarzelle entfallende Anteil der Intensität wird durch das Verhältnis ~ angegeben (siehe nebenstehende Abbildung).
c
1) Wie hängt das Verhältnis ~ mit dem Winkelmaß
c
E
zu-
sammen? Wie groß ist dieses Verhältnis, wenn die Sonnenstrahlen normal auf die
Solarzelle bzw. parallel zur Solarzelle einfallen?
2) Eine Solarzelle ist horizontal angebracht. Wie groß ist der auf die Solarzelle entfallende Anteil der Sonnenstrahlenintensität zur Mittagszeit im Sommer (E = 65°)
bzw. im Winter (E = 19°)7 Gib die Anteile auch in Prozent an.
3) Eine Solarzelle steht in einem Winkel von 30° zur
Horizontalen . Die Sonne strahlt unter 46° gegenüber der Horizontalen ein. Unter welchem Winkel
E fallen die Sonnenstrahlen auf die Solarzelle? Unter welchem Winkel gegenüber der Horizontalen
wäre die Solarzelle optimal eingestellt (dh . die Sonnenstrahlen treffen normal auf sie auf)? Wie groß
ist der durch die gegebene Einstellung verursachte
Verlust in Prozent?
4) Mehrere Solarzellen sind hintereinander aufgestellt. Sie sind mit 40° gegen die Horizontale geneigt. In welchem Mindestabstand
müssen sie stehen, damit sie sich auch bei
winterlichem Sonnenstand (E = 19°) nicht gegenseitig abschatten?
1
In diesem Kapitel wiederholen wir das Grundwissen über Vektoren und ihre geometri sche Darstellung. Die Abschnitte 12.1 bis 12.6 sind vorwiegend zum wiederholenden
Selbststudium gedacht.
12.1 Vektoren in IRn
Man kann zwei reelle Zahlen zu einem Zahlenpaar (al I a2), drei reelle Zahlen zu einem Zahlentripel (al I a21 a3) zusammenfassen usw. Allgemein kann man n reelle Zahlen zu einem nTupel (al I a21 ··.1 an) zusammenfassen . Die Menge aller n-Tupel reeller Zahlen bezeichnet man
mit IR n. Insbesondere bezeichnet man die Menge aller Paare reeller Zahlen mit 1R 2 und die Men3
ge aller Tripel reeller Zahlen mit 1R . Die Elemente der Menge IR n, also die n-Tupel
(al I a21 ... I an), bezeichnet man auch als Vektoren in ~n mit den Koordinaten all a2 ... an.
Man kann diese Vektoren in Zeilen- oder in Spaltenform anschreiben . Zwei solche Vektoren heißen gleich, wenn sie die gleichen Zahlen in der gleichen Reihenfolge enthalten.
Die Addition, Subtraktion und Vervielfachung (Multiplikation mit einer reellen Zahl) von Vektoren in IR n erfolgen koordinatenweise :
Definition: Seien (a1 Ia21 . .. I an), (b 1 I b 2 1. .. Ibn) E IR n und rE IR. Man setzt:
(a1 I a21 ... I an) + (b 1 Ib 2 1. . . Ibn) = (a1 + b 1 I a2 + b 2 1. . . Ian + b n)
(a1 I a21 . . . I an) - (b 1 I b 2 1... Ibn) = (a1 - b 1 I a2 - b 2 1. .. I an - b n)
r · (a1 I a21 . . . I an) = (r · a, Ir · a21 .. . Ir· an)
n
Ein spezieller Vektor in IR ist der Nullvektor (0 101 ... 10) . Zu jedem Vektor A = (al I a21 ... 1an)
kann man den Gegenvektor (inversen Vektor) -A = (-all- a21 . .. 1- an) bilden.
Für die Vektoren in IR n gelten Rechengesetze, die zu jenen für reelle Zahlen analog sind:
Satz:
Für
(1)
(2)
(3)
(4)
alle Vektoren A, B, CE IR n und
A + B= B+ A
(A + B) + C = A + (B + C)
A+ 0 = A
A+(-A)=O
alle r, SE IR gilt:
(5) (r · s) · A = r · (s · A)
(6) r· (A + B) = r · A + r · B
(7) (r + s) . A = r . A + s . A
(8) 1·A=A
Empfohlene Wiederholungsaufgaben: Siehe Mathematik verstehen 5 (Abschnitte 12 .1 bis
12.3) und Mathematik verstehen 6 (Abschnitt 11.1).
12.2 Geometrische Darstellung von Vektoren
Darstellungen in kartesischen Koordinatensystemen
Vektoren in 1R 2 kann man als Punkte oder Pfeile in einem zweidimensionalen Koordinatensystem darstellen :