7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 343
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7 Theoretische Verteilungen und Abhängigkeiten 291 7 Theoretische Verteilungen und Abhängigkeiten 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7.1.1 Eindimensionale Zufallsvariablen 296 296 Konzept und Ausblick 296 Diskrete Zufallsvariablen und Additionskalkül 298 Stetige Zufallsvariablen und Integrationskalkül 302 Theoretische Verteilungsfunktion 308 Wahrscheinlichkeitsverteilung 314 7.1.2 Mehrdimensionale Zufallsvariablen 316 Konzept und Ausblick 316 Zweidimensionale diskrete Zufallsvariablen 317 Zweidimensionale stetige Zufallsvariablen 326 Stochastische Abhängigkeit und Unabhängigkeit 337 Höherdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen 341 7 Theoretische Verteilungen und Abhängigkeiten 7.1.3 Verteilung von Funktionen von Zufallsvariablen 354 Funktionen einer Zufallsvariablen 354 Funktionen aus mehreren Zufallsvariablen 361 7.2 Theoretische Kennwerte 7.2.1 Kennwerte in Bezug auf Lage und Streuung 369 369 Erwartungswert 369 Theoretische Varianz und Standardabweichung 391 Theoretische Quantile und theoretischer Median 398 7.2.2 Kennwerte in Bezug auf Abhängigkeiten 403 Bedingte Erwartungswerte und Varianzen 403 Theoretische Kovarianz und Korrelation 415 Theoretische Regressionskoeffizienten 424 7 Theoretische Verteilungen und Abhängigkeiten 7.2.3 Spezifische Eigenschaften theoretischer Kennwerte 427 Minimumeigenschaften von Lagekennwerten 427 Wichtige Transformationseigenschaften 428 Endliche und nicht endliche theoretische Momente 431 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen 433 7.3.1 Spezielle diskrete Verteilungen 433 Elementare Kombinatorik 433 Einpunktverteilung 436 Bernoulli-Verteilung 437 Binomialverteilung 439 Poisson-Verteilung 444 294 7 Theoretische Verteilungen und Abhängigkeiten 7.3.2 Spezielle stetige Verteilungen 447 Stetige Gleichverteilung 447 Exponentialverteilung 451 Normalverteilung 455 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte 7.4.1 Exakte Aussagen 465 465 Erwartungswerte und Varianzen 465 Verteilungen unter bestimmten Ausgangsverteilungen 469 7.4.2 Asymptotische und approximative Aussagen 476 Gesetz der großen Zahlen (GGZ) 476 Zentraler Grenzwertsatz (ZGWS) 482 295 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7.1.1 Eindimensionale Zufallsvariablen Konzept und Ausblick ● Zufallsvariablen und Realisationen ● Zufallsvariablen sind Funktionen, welche die Ergebnisse eines Zufallsvorgangs durch Zahlen ausdrücken. 296 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Vorteil kurzer und operabler Schreibweisen ● Mithilfe von Zufallsvariablen lassen sich einzelne Ergebnisse und Ereignisse notationsmäßig einfach und kurz ausdrücken ● Bemerkung zur mathematischen Definition ● ● Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable ● ... Art und Weise wie einzelne Realisationen wahrscheinlichkeitsmäßig auftreten ... Unterscheidung diskreter und stetiger Zufallsvariablen 297 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diskrete Zufallsvariablen und Additionskalkül ● Wahrscheinlichkeitsfunktion für diskrete Zufallsvariablen ● 298 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Additionskalkül für diskrete Zufallsvariablen ● 299 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Beispiel D1-a ● X ... Anzahl mitreisender Kinder bei Pauschalreisen 300 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Beispiel D1-b ● Y ... Anzahl eingehender Notrufe an einem Rettungswagen-Stützpunkt 301 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Stetige Zufallsvariablen und Integrationskalkül ● Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für stetige Zufallsvariablen ● 302 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 303 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Integrationskalkül für stetige Zufallsvariablen ● ● Messbarkeitsproblem ● 304 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Beispiel S1-a ● X ... Höhe eines Trinkgelds 305 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Beispiel S1-b ● Y ... Wartezeit bis zum nächsten Notruf an einem Rettungswagen-Stützpunkt 306 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Verwendung von Indikatorfunktionen ● 307 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Theoretische Verteilungsfunktion ● Verteilungsfunktion diskreter und stetiger Zufallsvariablen ● 308 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 309 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 310 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Berechnung einer Verteilungsfunktion ● 311 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Beispiel S1-a fortgesetzt ● ● Beispiel S1-b fortgesetzt ● 312 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Äquivalenz und Eindeutigkeit ● 313 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilung ● Impliziertes Wahrscheinlichkeitsmaß und Wahrscheinlichkeitsverteilung ● ● Diskretes und stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf ℝ ● Jede Funktion f: ℝ → 0, 1 definiert eindeutig ein diskretes W‘maß auf ℝ, falls für abzählbare a1, a2, ..., aN, ... gilt: 314 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Jede Funktion f: ℝ → 0, 1 definiert eindeutig ein stetiges W‘maß auf ℝ, falls gilt: ● Was man unter „identisch verteilt“ versteht ● Zwei Zufallsvariablen (diskret oder stetig) sind genau dann identisch verteilt, falls gilt: „Identisch verteilt“ heißt nicht, dass X und Y identische Ergebnisse liefern! Beispiel: X ... Münzwurf X = 0, falls Zahl, X = 1, falls Wappen Definiere nun Y = 1−X 315 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7.1.2 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Konzept und Ausblick ● Hintergrund ● ● Zufallsvektoren ● ● Mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Zu berechnende Ereigniswahrscheinlichkeiten lauten jetzt 316 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zweidimensionale diskrete Zufallsvariablen ● Gemeinsame diskrete Verteilung und Randverteilungen ● 317 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 318 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 319 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Bedingte diskrete Verteilungen ● 320 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Beispiel D2-a ● ● Beispiel D2-b ● 321 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 322 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 323 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 324 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Zweidimensionale diskrete Verteilungsfunktion ● ● Beispiel D2-a fortgesetzt ● 325 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zweidimensionale stetige Zufallsvariablen ● Gemeinsame stetige Verteilung und Randverteilungen ● 326 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 327 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Bedingte stetige Verteilungen ● 328 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Beispiel S2-a ● Seien X und Y gemeinsam stetig verteilt gemäß der Dichtefunktion 329 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 330 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 331 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Beispiel S2-b ● Seien X und Y gemeinsam stetig verteilt gemäß der Dichtefunktion 332 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 333 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 334 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 335 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Zweidimensionale stetige Verteilungsfunktion ● ● Beispiel S2-a fortgesetzt ● 336 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Stochastische Abhängigkeit und Unabhängigkeit ● Formale Unabhängigkeitskriterien ● 337 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Beispiel D2-a fortgesetzt ● ● Beispiel D2-b fortgesetzt ● ● Beispiel S2-a fortgesetzt ● ● Beispiel S2-b fortgesetzt ● ● Die Beziehung zwischen „unabhängig“ und „identisch verteilt“ ● Hat nichts miteinander zu tun! 338 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Implizierte Unabhängigkeit von Ereignissen ● Beispiel: Betrachte zwei Ereignisse A = (. 2] und B =[1.2, 2.8] und zwei Zufallsvariablen X und Y, die gemeinsam stetig verteilt sind. Dann gilt: 339 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 340 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Höherdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Allgemeines ● ● n-dimensionale gemeinsame Verteilungen ● Diskreter Fall: Stetiger Fall: ● Randverteilungen ● Jetzt aber auch mehrdimensionale Randverteilungen wie etwa 341 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Bedingte Verteilungen ● Bedingte Verteilung von X1 gegeben X2 = x2, X3 = x3, Xn = xn: Bedingte Verteilung von (X1, X2 )T gegeben X3 = x3: Bedingte Verteilung von (X1, X2 )T gegeben X3 = x3 und X4 = x4 342 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Stochastische Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariablen ● 343 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 344 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Implizierte Unabhängigkeiten ● 345 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Beispiel D3-a ● 0.15 0.17 0.53 0.58 346 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 347 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 348 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 349 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Beispiel S3-a ● Seien X, Y und Z gemeinsam stetig verteilt gemäß Dichte Berechnung einer Ereigniswahrscheinlichkeit P(0 X 0.5, 0 Y 1, 0 Z 0.5) = 350 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Ein- und mehrdimensionale Randdichten 351 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Ein- und mehrdimensionale bedingte Dichten 352 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 353 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7.1.3 Verteilung von Funktionen von Zufallsvariablen Funktionen einer Zufallsvariable ● Hintergrund ● ● Beispiele: Funktionen einer Zufallsvariable ● 0-1-Variable: 0-2-Variable: 354 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diskrete Gleichverteilung mit negativen Trägerpunkten: Diskrete Gleichverteilung mit 6 Trägerpunkten (Würfel): 1/6 Stetige Gleichverteilung auf [0, 1]: 355 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Für u < 0 gilt: Für u > 1 gilt: Für 0 u 1 gilt: Insgesamt gilt: Daraus folgt schließlich 356 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 357 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Stetige Gleichverteilung über [0, 2]: Analog wie zuvor erhalten wir dann Exponentialverteilung: Betrachte nun linear transformierte Größe Dann gilt: 358 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Durch Ableiten erhält man dann 359 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen ● Funktionen unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen ● 360 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Funktionen aus mehreren Zufallsvariablen ● Hintergrund ● ● Beispiele: Funktionen aus mehreren Zufallsvariablen ● Summen unabhängiger 0-1-Variablen: 361 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Betrachte zunächst den Fall n = 2: 362 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen n=3 n = 10 363 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 364 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Summe und Produkt bei diskreter Gleichverteilung 365 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Produkts 366 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 367 7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen Summe und Produkt bei stetiger Gleichverteilung 368 7.2 Theoretische Kennwerte 7.2.1 Kennwerte in Bezug auf Lage und Streuung Erwartungswert ● Definition und Notation ● 369 7.2 Theoretische Kennwerte ● Interpretation des Erwartungswertes ● 370 7.2 Theoretische Kennwerte ● Begründung des Rechenkalküls für stetige Verteilungen ● 371 7.2 Theoretische Kennwerte ● Beispiel D1-a fortgesetzt ● X ... Anzahl mitreisender Kinder bei Pauschalreisen ● Beispiel D1-b fortgesetzt ● Y ... Anzahl eingehender Notrufe an einem Rettungswagen-Stützpunkt 372 7.2 Theoretische Kennwerte ● Beispiel S1-a fortgesetzt ● X ... Höhe eines Trinkgelds 373 7.2 Theoretische Kennwerte ● Beispiel S1-b fortgesetzt ● Y ... Wartezeit bis zum nächsten Notruf an einem Rettungswagen-Stützpunkt 374 7.2 Theoretische Kennwerte ● Erwartungswert einer Funktion einer Zufallsvariable ● 375 7.2 Theoretische Kennwerte Verschiebungs- und Skalenäquivarianz des Erwartungswertes 376 7.2 Theoretische Kennwerte ● Beispiel D1-c ● Sei X Würfelergebnis. Betrachte nun U = X2 und Z = 1+ 2X 1. Berechnungsvariante über die Verteilung von X: 377 7.2 Theoretische Kennwerte 2. Berechnungsvariante über die Verteilung von Y: 378 7.2 Theoretische Kennwerte Außerdem gilt: Z Man beachte: 379 7.2 Theoretische Kennwerte ● Beispiel S1-c ● Sei X stetig gleichverteilt auf [0, 1]. Betrachte nun U = X2 und Z = 1+ 2X. Dann gilt: (vgl. Folie 356) 1. Berechnungsvariante über die Verteilung von X: 380 7.2 Theoretische Kennwerte 2. Berechnungsvariante über die Verteilung von Y: 381 7.2 Theoretische Kennwerte Außerdem gilt: Mit folgt deshalb: 382 7.2 Theoretische Kennwerte ● Erwartungswert einer Funktion aus mehreren Zufallsvariablen ● 383 7.2 Theoretische Kennwerte ● Spezialfall: Erwartungswert von Summen ● 384 7.2 Theoretische Kennwerte ● Spezialfall: Erwartungswert von Produkten ● 385 7.2 Theoretische Kennwerte ● Beispiel D2-b fortgesetzt ● Ein Würfel wird zwei Mal geworfen... Definiere jetzt Einerseits gilt: bzw. 386 7.2 Theoretische Kennwerte Andererseits folgt mit des Produkts bzw. 387 7.2 Theoretische Kennwerte ● Beispiel S2-b fortgesetzt ● Seien X und Y gemeinsam stetig verteilt gemäß der Dichtefunktion Definiere jetzt Einerseits gilt: bzw. Andererseits folgt mit 388 7.2 Theoretische Kennwerte bzw. 389 7.2 Theoretische Kennwerte ● Weitere Beispiele ● Seien X1, X2 und X3 gemeinsam stetig verteilt mit Dichte Dann würde etwa für gelten: 390
