6. Ergänzung/Übung zur Vorlesung MEET I

Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Department Werkstoffwissenschaften
Materials for Electronics and Energy Technology (I-MEET)
6. Ergänzung/Übung zur Vorlesung MEET I
PD Dr. Matthias Bickermann – 6. Dezember 2010
1. Kondensatoren
Ein elektrisches Feld kann ein Dielektrikum durchdringen, im Halbleiter oder Metall
wird es dagegen durch freie Elektronen abgeschirmt. Aber auch in dielektrischer Materie wird das Feld abgeschwächt durch die Polarisation, d.h. Ausrichtung von Dipolen in der Materie entgegengesetzt zum elektrischen Feld.


Grundgleichung des elektrischen Feldes: D   0  r E . E-Feld E = F/Q (Kraft pro Ladung) und Verschiebungsdichte D = Q/A (Ladung pro Fläche) zeigen immer von der
positiven zur negativ geladenen Seite.
r (Dielektrizitätszahl) ist eine Materialkonstante (Vakuum: r = 1, Materie:
r > 1), eigentlich aber ein komplexer
Tensor 2. Stufe.
Feldrichtungen und Kondensatorverhalten
Für einen Plattenkondensator (Abstand der Platten s) ist die Kapazität
Q
EA
A
 0 r ,
C   0 r
U
U
s
da im homogenen E-Feld gilt:
B 

U    E  ds  E  s .
A
Um eine hohe Kondensatorkapazität zu erhalten, muss die Fläche A groß, der Abstand s klein, und r des Dielektrikums zwischen den Platten groß sein.
Berechnen Sie…
…die Kapazität folgender Kondensatoren:
a) Luftgefüllter Plattenkondensator (r= 1,0, d = 5 mm, A = 0,1 m²)
b) Quarzglas-Schichtkondensator (r= 3,7, d = 50 µm, A = 0,5 cm² x 50 Schichten)
c) Polystyrol-Wickelkondensator (r =2,3, d = 10 µm, A = 100 cm2)
d) Tantal-Elektrolytkondensator (r =27, d = 1 µm, A = 1 m2)
e) PZT-Keramik (r =1000, d = 50 µm, A = 1 cm2)
2. Dielektrische Verluste
Die ionische und die elektronische Polarisation zeigen ein Resonanzverhalten (siehe
Vorlesung). Durch Anlegen eines äußeren elektrischen Wechselfeldes der Frequenz
 an ein Dielektrikum kommt es zur Energieübertragung an die elektrischen Dipole.
Die Phasenverschiebung  zwischen dem äußeren Wechselfeld und der resultierenden Dipolfeld sei gegeben durch (0 und  bezeichnen die reelle Dielektrizitätskonstante bei deutlich niedrigeren bzw. deutlich höheren Frequenzen als die Resonanzfrequenz, eine Dämpfung wird vernachlässigt):
tan  
 0     
 0     2 2
 ist die dielektrische Relaxationszeit
Berechnen Sie…
a) Skizzieren Sie tan() in Abhängigkeit von der Frequenz  und berechnen Sie die
Grenzwerte für   0 und   .
b) Bei welchem -Produkt ist tan() am größten und welchen Wert nimmt er ein?
c) Warum nennt man  auch "Verlustwinkel"?
3. Clausius-Mosotti-Beziehung und Curie-Weiß'sches Gesetz
Oberhalb aller Resonanzfrequenzen (r = ) gilt die Clausius-Mosotti-Beziehung:
N  r  1

(N ist die Anzahl der Dipole pro Volumen)
30 r  2
Sie setzt die mikroskopischen und makroskopischen Materialkonstanten zueinander
in Beziehung.
In ferroelektrischen Materialien sind permanente Dipole vorhanden, z.B. durch eine
permanente lokale Verschiebung von Kationen- zu Anionengitter (Bariumtitanat u.ä.,
siehe nächste Ergänzung/Übung), die sich gegenseitig influenzieren und so Domänen mit bestimmter Polarisationsrichtung bilden. Die Temperatur wirkt als Unordnungs-Kraft der Influenz entgegen: Oberhalb der Curie-Temperatur TC verschwindet
die Ferroelektrizität völlig und der Stoff wird dielektrisch.
Bei TC geht r  , in der Nähe (oberhalb von TC) gilt das Curie-Weiß'sche Gesetz:
C
r 
.
T  TC
Berechnen Sie…
a) Lösen Sie die Clausius-Mosotti-Beziehung nach r und nach  = (r–1) auf.
b) Leiten Sie das Curie-Weiß'sche Gesetz durch Entwicklung der Clausius-MosottiN
 1   1 T  TC  und
Beziehung in eine Taylorreihe um TC her, d.h. setzen Sie
3 0
berechnen daraus r(T).
In der Realität sind so Dielektrizitätszahlen von über 10.000 erreichbar
(Keramikkondensatoren Klasse 2, siehe PZT-Keramik in der ersten Rechenaufgabe),
aber der Einsatzbereich ist stark in der Temperatur begrenzt.
4. Piezoelektrika
Hat die Kristallstruktur eines Dielektrikums kein Inversionszentrum (z.B. Zinkblendeoder Wurtzitstruktur), so ist das Material piezoelektrisch (GaAs, ZnS, AlN, GaN). Gibt
es dazu eine temperaturabhängige Polarisation, so ist das Material pyroelektrisch
(z.B. Quarz). Alle Ferroelektrika sind auch piezo- und pyroelektrisch.
Piezoelektrischer Effekt: Druck führt zu einer Polarisationsänderung im Kristall, die
sich in der Bildung eines E-Feldes (bzw. einer el. Spannung) manifestiert.
3
3
Ei   eijk   jk (jk ist der Spannungstensor, eijk ist Tensor 3. Stufe)
j 1 k 1
Transversaler (links) und longitudinaler (rechts) Piezoeffekt
Berechnen Sie…
a) An einem BaTiO3-Kristall der Länge L = 1 mm wird eine Spannung U = 1000V angelegt. Die piezoelektrische Konstante für BaTiO3 ist  = 85 10–12 C/N. Es gilt:
L/L =  E. Berechnen Sie die relative und die absolute Längenänderung.
b) Berechnen Sie die longitudinale und transversale Piezospannung für einen Würfel
aus BaTiO3 mit einer Kantenlänge von 1 mm, wenn der piezoelektrische Tensor
gegeben ist durch e311 = –3 10–2 Vm/N, e333 = 5,6 10–2 Vm/N und
e113 = 1,75 10–2 Vm/N und der Spannungstensor gegeben ist durch
11=22=33= 1 kPa und 13= 31= 2 kPa.
5. Oberflächenwellenfilter
An einem Ende werden durch Spannungspulse Schallwellen erzeugt. Am anderen
Ende wird nur die Frequenz f0 detektiert (d.h. selektiert), bei der die Abnehmer resonant schwingen.
Volumenwellenfilter: f0 = v/h (v: Geschwindigkeit der Schallwelle, h: Schichtdicke),
Oberflächenwellenfilter: f0 = v/ (: Abstand der IDTs)
Aufbau eines Oberflächenwellenfilters mit
interdigitated transducers IDT (rechts).
Typische Filter für Fernsehempfang (MHzBereich): Quarz, LiNbO3, LiTaO3
Höchstfrequenzen (> 2 GHz): AlN, Diamant
mit piezoelektrischer Aktuatorschicht
Berechnen Sie…
Welchen Kammabstand d muss ein Oberfächenwellenfilter aus
a) Quarz (v = 3158 m/s)
b) LiNbO3 (v = 3992 m/s)
c) AlN (v = 5790 m/s)
haben, damit man eine Durchlassfrequenz von f=1GHz oder f=10GHz erreicht?