5. Übung

Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Department Werkstoffwissenschaften
Materials for Electronics and Energy Technology (MEET)
Übungen zur Vorlesung MEET II
PD Dr. Matthias Bickermann, Prof. Dr. Christoph J. Brabec
5. Übung (28. Juni 2010)
1. Kapazität verschiedener Kondensatoren
Für einen Plattenkondensator (Abstand der Platten s) gilt:
B r
r
Q
E⋅A
A
Kapazität C = = ε 0 ε r
= ε 0 ε r , da U = − ∫ E ⋅ ds = E ⋅ s im homogenen E-Feld.
A
U
U
s
Um eine hohe Kondensatorkapazität zu erhalten, muss die Fläche A groß, der Abstand s klein, und εr des Dielektrikums zwischen den Platten groß sein.
Berechnen Sie die Kapazität folgender Kondensatoren:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Luftgefüllter Plattenkondensator (ε = 1,0, d = 5 mm, A = 0,1 m²)
Quarzglas-Schichtkondensator (ε = 3,7, d = 50 µm, A = 0,5 cm² x 50 Schichten)
Polystyrol-Wickelkondensator (ε =2,3, d = 10 µm, A = 100 cm2)
Tantal-Elektrolytkondensator (ε =27, d = 1 µm, A = 1 m2)
PZT-Keramik (ε =1000, d = 50 µm, A = 1 cm2)
Supercapacitor (ε =10, d = 2 nm, A = 50 m²)
Welchen Kondensatortyp benutzt man für hohe Kapazitäten, welchen für hohe Spannungen und welchen für hohe Frequenzen?
2. Ferroelektrika
Bei ferroelektrischen Materialien wie z.B. Bleizirkonat-titanat (PZT) besteht ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen P und E: Hysterese der Orientierungspolarisation
(daher der Name, analog zu den ferromagnetischen Werkstoffen).
Das Polarisationsfeld bleibt auch ohne E-Feld erhalten (Remanenz!). Ursache: Dipolfeld wirkt auf den Nachbardipol ein (Influenz) ⇒ spontane Polarisation ⇒ Domänenbildung im Festkörper (mit sehr dünnen Domänenwänden)
Die Temperatur wirkt als Unordnungs-Kraft: Oberhalb der Curie-Temperatur TC verschwindet die Ferroelektrizität völlig und der Stoff wird dielektrisch. Phasenübergang
ist 1. oder 2. Ordnung.
a) Berechnen Sie die Suszeptibilität χ = ε – 1 aus der Clausius-Mosotti-Beziehung
Nα ε −1
=
3ε0 ε + 2
α Polarisierbarkeit eines Atoms oder Moleküls, N Anzahl der Atome/Moleküle.
b) Bei einer bestimmten Temperatur TC wird Nα/3ε0 = 1 und damit das lokale Feld
der Dipole durch die thermische Energie gerade aufgehoben. Entwickeln Sie
Nα/3ε0 um T – TC herum; durch Einsetzen in die Clausius-Mosotti-Gleichung leite
man einen Ausdruck für ε(T) – das Curie-Weiß-Gesetz –her.
3. Piezoelektrischer Effekt
Hat die Kristallstruktur eines Dielektrikums kein Inversionszentrum (z.B. Zinkblendeoder Wurtzitstruktur), so ist das Material piezoelektrisch (GaAs, ZnS, AlN, GaN). Alle
Ferroelektrika sind auch piezoelektrisch.
Piezoelektrischer Effekt: Druck führt zu einer Polarisationsänderung im Kristall, die
sich in der Bildung eines E-Feldes (bzw. einer el. Spannung) manifestiert. Anwendung: Generation von Hochspannungspulsen (z.B. elektrisches Feuerzeug).
3
3
Pi = ∑∑ d ijk ⋅ σ jk
j =1 k =1
r
r
P = ε 0 (ε r − 1) E , σjk ist der Spannungstensor, dijk ist Tensor 3. Stufe.
Inverser Piezoeffekt: Kristall verzieht sich, wenn man eine Spannung anlegt. Wechselspannung ⇒ Kristallschwingung ("Transducer", z.B. Schwingquarz, UltraschallErzeuger, Stellelemente/Aktoren im µm-Bereich, "Piezoschlangen").
a) An einem BaTiO3-Kristall der Länge L = 1 mm wird eine Spannung U = 1000V
angelegt. Die piezoelektrische Konstante für BaTiO3 ist κ = 85 10–12 C/N. Es gilt:
ΔL/L = κ E. Berechnen Sie die relative und die absolute Längenänderung.
b) Berechnen Sie die longitudinale und transversale Piezospannung für einen Würfel aus BaTiO3 mit einer Kantenlänge von 1 mm, wenn der piezoelektrische Tensor gegeben ist durch e311 = –3 10–2 Vm/N, e333 = 5,6 10–2 Vm/N und
e113 = 1,75 10–2 Vm/N und der Spannungstensor gegeben ist durch
σ11= σ22= σ33= 1 kPa und σ13= σ31= 2 kPa.
4. Dielektrische Verluste
Durch Anlegen eines äußeren elektrischen Wechselfeldes der Frequenz ω an ein
Dielektrikum kommt es zur Energieübertragung an die elektrischen Dipole. Die Phasenverschiebung δ zwischen dem äußeren Wechselfeld und der resultierenden Dipolfeld sei gegeben durch:
tan (δ ) =
(ε
0
− ε ∞ ) ωτ
ε 0 + ε ∞ω 2τ 2
Nebenbemerkung: τ ist die dielektrische Relaxationszeit; sie hängt u.a. vom spezifischen Widerstand ρ des Materials ab.
a) Skizzieren Sie tan(δ) in Abhängigkeit von der Frequenz ω und berechnen Sie die
Grenzwerte für ω → 0 und ω → ∞.
b) Bei welchem ωτ-Produkt ist tan(δ) am größten und welchen Wert nimmt er ein?