Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für

Aufgabe 15
Aufgabe 16
Aufgabe 17
Aufgabe 18
Klausuraufgabe
Übungsblatt 9 zur Vorlesung
„Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker“
TU Dortmund
13.12.2012
TU Dortmund
Übungsblatt 9 zur Vorlesung „Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für Informatiker“
Aufgabe 15
Aufgabe 16
Aufgabe 17
Aufgabe 18
Klausuraufgabe
Sei X eine Zufallsvariable mit Exponentialverteilung mit Parameter
λ = 1. Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
(a)
(d)
P(X ≥ 3)
P X ≥ 1|X ≥ 21
(b)
(e)
P X ≥ 12
P(X ≥ 2|X ≥ 1)
(c)
(f)
P(X ≥ 1)
P(X ≥ 4|X ≥ 1)
Welche Vermutung leiten Sie davon ab?
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Klausuraufgabe
Für eine Exponentialverteilung mit λ = 1 ist
F (x ) = P(X ≤ x ) = 1 − e −x
Die W’keiten lassen sich also wie folgt berechnen:
(a) P(X ≥ 3) = P(X > 3) = 1 − P(X ≤ 3) = 1 − F (3)
= 1 − (1 − e −3 ) = e −3 = 0.0497
(b) P X ≥
1
2
1
= ... = e − 2 = 0.6065
(c) P(X ≥ 1) = ... = e −1 = 0.3679
(d) P X ≥ 1|X ≥
1
2
=
P((X ≥1)&(X ≥ 21 ))
P(X ≥ 21 )
=
P(X ≥1)
P(X ≥ 21 )
(e) P(X ≥ 2|X ≥ 1) = ... =
P(X ≥2)
P(X ≥1)
=
e −2
e −1
= e −1
(f) P(X ≥ 4|X ≥ 1) = ... =
P(X ≥4)
P(X ≥1)
=
e −4
e −1
= e −3
=
e −1
1
e− 2
1
= e− 2
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Klausuraufgabe
Die Exponentialverteilung ist eine Inzidenz- bzw. Ausfallverteilung.
Sie ist jedoch eine Verteilung ohne Gedächtnis:
Das Risiko (= die W’keit), in den nächsten k Zeiteinheiten
auszufallen, bleibt immer gleich, egal ob das interessierende Objekt
0, 1 oder 100 Jahre alt ist.
Eine altersbedingte erhöhte Ausfallw’keit kann durch sie also nicht
wiedergegeben werden!
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Klausuraufgabe
Eine Firma bezieht ein Bauteil von vier Lieferanten L1 , L2 , L3 , L4
in folgenden Anteilen:
L1 : 30%, L2 : 20%, L3 : 40%, L4 : 10%.
Der Anteil der fehlerhaften gelieferten Bauteile beträgt bei
L1 :
5
5
90
10
, L2 :
, L3 :
, L4 :
.
100
100
100
100
Die Firma baut zufällig eins von den gelieferten Bauteilen ein.
a) Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass das eingebaute
Bauteil fehlerhaft ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerhaftes
eingebautes Bauteil von der Firma L1 stammt?
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a)
Die gesuchte W’keit lässt sich mit dem Satz von der totalen
W’keit berechnen:
P(A) =
Pn
i=1 P(A|Bi )
· P(Bi )
Bezeichne hier
A das Ereignis Ausfall
Bi das Ereignis Bauteil von Lieferant L1 .
Mit
P(B1 ) = 0.3
P(B2 ) = 0.2
P(B3 ) = 0.4
P(B4 ) = 0.1
P(A|B1 ) = 0.1 P(A|B2 ) = 0.05 P(A|B3 ) = 0.05 P(A|B4 ) = 0.9
ergibt sich
P(A) = 0.3 · 0.1 + 0.2 · 0.05 + 0.4 · 0.05 + 0.1 · 0.9
= 0.03 + 0.01 + 0.02 + 0.09 = 0.15
Mit 15% W’keit ist das eingebaute Bauteil also defekt.
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b)
Die Frage, mit welcher W’keit ein kaputtes Bauteil von Lieferant
L1 kommt, lässt sich mit dem Satz von Bayes lösen:
i )·P(Bi )
=
P(Bi |A) = PnP(A|B
P(A|B )·P(B )
j=1
j
j
P(A|Bi )·P(Bi )
P(A)
Da P(A) = 0.15, P(B1 ) = 0.3, P(A|B1 ) = 0.1 ist
P(B1 |A) =
P(A|B1 )·P(B1 )
P(A)
=
0.1·0.3
0.15
=
0.03
0.15
= 0.2
Ein fehlerhaftes verbautes Bauteil stammt also mit 20% W’keit
von Lieferant L1 .
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Klausuraufgabe
Die Zufallsvariablen X und Y beschreiben die Bewertungen eines
Bauteiles in zwei Tests. Die Verteilung von (X , Y ) ist durch
folgende unvollständige Tabelle gegeben:
1
Y
2
0
3
P(X = i)
0.05
3
20
1
20
0.25
3
3
20
1
20
0.3
4
P(Y = i)
1
20
1
1
20
2
X
1
5
a) Vervollständigen Sie die Tabelle.
b) Sind X und Y stochastisch unabhängig oder gibt es einen
Zusammenhang zwischen den Tests?
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Klausuraufgabe
Beim Vervollständigen ist darauf zu achten, dass sich
die Einträge von Zeilen bzw. Spalten zu den angegebenen
Randw’keiten addieren müssen
sich die Randw’keiten von X und Y jeweils zu 1 addieren
müssen
Y
1
2
3 P(X = i)
1
1 20
0.05
0
0
2
3
20
0.05
1
20
0.25
3
3
20
0.1
1
20
0.3
4
P(Y = i)
1
20
1
5
X
0.4
0.4
1
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Klausuraufgabe
Beim Vervollständigen ist darauf zu achten, dass sich
die Einträge von Zeilen bzw. Spalten zu den angegebenen
Randw’keiten addieren müssen
sich die Randw’keiten von X und Y jeweils zu 1 addieren
müssen
Y
1
2
3
P(X = i)
1
1 20
0.05
0
0
2
3
20
0.05
1
20
0.25
3
3
20
0.1
1
20
0.3
4
P(Y = i)
1
20
1
5
0.15
0.4
0.35
0.4
1
X
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Klausuraufgabe
Beim Vervollständigen ist darauf zu achten, dass sich
die Einträge von Zeilen bzw. Spalten zu den angegebenen
Randw’keiten addieren müssen
sich die Randw’keiten von X und Y jeweils zu 1 addieren
müssen
Y
1
2
3
P(X = i)
1
1 20
0.05
0
0
2
3
20
0.05
1
20
0.25
3
3
20
0.1
1
20
0.3
4
P(Y = i)
1
20
1
5
0.4
0.35
0.15
0.25
0.4
1
X
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1
1
0.05
Y
2
0
3
0
P(X = i)
0.05
2
0.15
0.05
0.05
0.25
3
0.15
0.1
0.05
0.3
4
P(Y = i)
0.05
0.4
0.2
0.35
0.15
0.25
0.4
1
Klausuraufgabe
X
Sind X und Y stochastisch unabhängig?
Nein! Wären sie unabhängig, müsste P(X = i, Y = j) für alle i, j
dem Produkt P(X = i) · P(Y = j) entsprechen.
Für i = 1, j = 1 gilt aber beispielsweise:
P(X = 1)·P(Y = 1) = 0.05·0.4 = 0.02 6= 0.05 = P(X = 1, Y = 1)
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Klausuraufgabe
Während eines Fluges versage jedes Triebwerk eines Flugzeuges
unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit p = 0.5. Das
Flugzeug bleibe flugfähig, wenn mindestens die Hälfte der
Triebwerke funktioniert.
Vergleichen Sie die Zuverlässigkeit von Flugzeugen mit zwei bzw.
vier Triebwerken, d.h. berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
das jeweilige Flugzeug funktionsfähig ist.
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Klausuraufgabe
Ein Flugzeug mit 2 · t Triebwerken ist also flugfähig, wenn
mindestens t Triebwerke funktionieren. Die Triebwerke fallen
unabhängig voneinander mit W’keit 0.5 aus.
⇒ die Anzahl X funktionierender Triebwerke ist binomialverteilt.
P(Eine Maschine mit 2 · t Triebwerken stürzt nicht ab)
= P(X = t) + P(X = t + 1) + ... + P(X = 2 · t)
P2·t 2·t 0.5i (1 − 0.5)2·t−i
i=t
i
P2·t 2·t
2·t
2·t = 0.52·t · P2·t
= i=t
0.5
i=t
i
i
=
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Klausuraufgabe
P(Eine Maschine mit
2 · t Triebwerken stürzt nicht ab)
P2·t 2·t 2·t
= 0.5 · i=t i
Konkret ergibt sich also für 2 bzw. 4 Triebwerke:
P(Eine Maschine
mit 2Triebwerken stürzt nicht ab)
2
= 0.5 · ( 21 + 22 ) = 0.52 · 3 = 0.75
P(Eine Maschine
stürzt nicht ab)
mit 4Triebwerken
4
4
4
4
= 0.5 · ( 2 + 3 + 4 ) = 0.54 · (6 + 4 + 1)
=
11
16
= 0.6875
⇒ Die Maschine mit 2 Triebwerken wäre demnach zuverlässiger!
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Aufgabe 17
Aufgabe 18
Klausuraufgabe
Zwei faire Würfel werden zunächst geworfen und die Würfel, die
mindestens eine 5 zeigten, entfernt.
Mit welcher W’keit sind nach dieser ersten Runde keiner, einer oder
zwei Würfel noch im Spiel?
W’keit, dass ein Würfel eine Augenzahl von mindestens 5 zeigt:
W’keit, dass ein Würfel eine Augenzahl kleiner 5 zeigt: 23
1
3
⇒
2
3
1
3
=
4
9
1
9
P(Ein Würfel raus)
= 1 - P(Kein Würfel raus) - P(Zwei Würfel raus) =
4
9
P(Kein Würfel raus) = P(Beide Augenzahlen < 5) =
P(Zwei Würfel raus) = P(Beide Augenzahlen ≥ 5) =
·
·
2
3
1
3
=
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Nach einer Runde:
P(Kein Würfel raus) = 49
P(Ein Würfel raus) = 49
P(Zwei Würfel raus) = 91
Aufgabe 18
Klausuraufgabe
← Spiel bereits beendet!
Wenn kein oder nur ein Würfel aus dem Spiel genommen wurde,
wird mit den oder dem verbleibenden Würfel erneut gewürfelt.
Wie groß ist die W’keit, dass nach der zweiten Runde beide Würfel
aus dem Spiel entfernt wurden?
P(Nach der zweiten Runde beide Würfel raus)
= P(Kein Würfel raus)·P(Zwei Würfel raus)
+ P(Ein Würfel raus) · 13 + P(Zwei Würfel raus)
=
4
9
·
1
9
Mit W’keit
+
4
9
25
81
·
1
3
+
1
9
=
4
81
+
12
81
+
9
81
=
25
81
werden im Spiel also beide Würfel entfernt.
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