Blatt 6 - Fakultät Statistik (TU Dortmund)
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Aufgabe 9
Aufgabe 10
Aus alten Klausuren
Übungsblatt 6 zur Vorlesung
„Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker“
TU Dortmund
29.11.2012
TU Dortmund
Übungsblatt 6 zur Vorlesung „Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für Informatiker“
Aufgabe 9
Aufgabe 10
Aus alten Klausuren
Gegeben sei erneut der folgende Grundraum:
Ω = {1, 1.5, 2, π, 5, 12}
Die Elementarereignisse treten dabei wieder mit den folgenden
Wahrscheinlichkeiten ein:
P({1}) = 0.1, P({1.5}) = 0.2, P({2}) = 0.3,
P({π}) = 0.05, P({5}) = 0.2, P({12}) = 0.15
X sei jetzt die Zufallsvariable, die jedem Elementarereignis e ∈ Ω
den Wert b 2e c zuordnet.
Die Zufallsvariable Y weist jedem Elementarereignis e ∈ Ω den
Wert 1 zu, sofern e natürlich ist, und sonst 0.
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktionen und Zähldichten von
X und Y. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt 1 < X ≤ 3?
b) Bestimmen Sie auch die Zähldichte von (X,Y). Mit welcher
Wahrscheinlichkeit gilt (X,Y)=(0,1)?
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Aufgabe 9
Aufgabe 10
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a)
Grundraum:
Ω = {1, 1.5, 2, π, 5, 12}
ω∈Ω
P({ω})
1
0.1
1.5
0.2
2
0.3
π
0.05
5
0.2
12
0.15
X weist jedem Elementarereignis e ∈ Ω den Wert b 2e c zu.
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Aufgabe 9
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a)
ω∈Ω
X (ω)
P({ω})
1
0
0.1
1.5
0
0.2
2
1
0.3
π
1
0.05
5
2
0.2
12
6
0.15
⇒ Zähldichte:
x
p(x) = P(X=x)
0
1
0.1 + 0.2 =
0.3 + 0.05 =
0.3
0.35
2
6
0.2
0.15
⇒ Verteilungsfunktion:
x
F(x) = P(X≤x)
(∞, 0)
0
[0,1)
0.3
[1,2)
0.65
[2,6)
0.85
[6,∞)
1
P(1 < X ≤ 3) = ?
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Aufgabe 9
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a)
ω∈Ω
X (ω)
P({ω})
1
0
0.1
1.5
0
0.2
2
1
0.3
π
1
0.05
5
2
0.2
12
6
0.15
⇒ Zähldichte:
x
p(x) = P(X=x)
0
1
0.1 + 0.2 =
0.3 + 0.05 =
0.3
0.35
2
6
0.2
0.15
⇒ Verteilungsfunktion:
x
F(x) = P(X≤x)
(∞, 0)
0
[0,1)
0.3
[1,2)
0.65
[2,6)
0.85
[6,∞)
1
P(1 < X ≤ 3) = F(3) - F(1) = 0.85 - 0.65 = 0.2
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Aufgabe 9
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a)
ω∈Ω
Y (ω)
P({ω})
1
1
0.1
1.5
0
0.2
2
1
0.3
π
0
0.05
5
1
0.2
12
1
0.15
⇒ Zähldichte:
x
p(x) = P(X=x)
0
0.25
1
0.75
⇒ Verteilungsfunktion:
x
F(x) = P(X≤x)
(−∞, 0)
0
[0,1)
0.25
[1,∞)
1
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b)
Gesucht ist jetzt die gemeinsame Zähldichte der beiden
Zufallsvariablen X und Y.
ω∈Ω
X (ω)
Y (ω)
P({ω})
1
0
1
0.1
1.5
0
0
0.2
2
1
1
0.3
π
1
0
0.05
5
2
1
0.2
2
0
0.2
6
0
0.15
12
6
1
0.15
⇒
Gemeinsame Zähldichte:
x
y
0
1
0
0.2
0.1
1
0.05
0.3
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b)
Gesucht ist jetzt die gemeinsame Zähldichte der beiden
Zufallsvariablen X und Y.
ω∈Ω
X (ω)
Y (ω)
P({ω})
1
0
1
0.1
1.5
0
0
0.2
2
1
1
0.3
π
1
0
0.05
5
2
1
0.2
12
6
1
0.15
⇒
Gemeinsame Zähldichte mit Randdichten:
x
y
0
1
0
0.2
0.1
0.3
1
0.05
0.3
0.35
2
0
0.2
0.2
6
0
0.15
0.15
0.25
0.75
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b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt (X,Y) = (0,1)?
Gemeinsame Zähldichte:
x
y
0
1
0
0.2
0.1
1
0.05
0.3
2
0
0.2
6
0
0.15
⇒ Diese Merkmalskombination tritt mit W’keit 0.1 auf.
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Die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X sei
folgendermaßen gegeben:
(
F (x ) =
0,
1−
1
k
für x < 2,
für k ≤ x < k + 1, k ∈ IN \ {0, 1}.
Skizzieren Sie diese Verteilungsfunktion und bestimmen Sie mit ihr
folgende Wahrscheinlichkeiten:
(a)
(c)
(e)
(g)
P(X < 2)
P(X ≤ 3)
P(2 < X ≤ 3)
P(2 < X < 3)
(b)
(d)
(f)
(h)
P(X ≤ 2)
P(X > 3)
P(X ∈
/ (2, 3])
P(X ∈ [2, 3])
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Die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X sei
folgendermaßen gegeben:
(
F (x ) =
0,
1−
1
k
für x < 2,
für k ≤ x < k + 1, k ∈ IN \ {0, 1}.
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Aufgabe 10
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Die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X sei
folgendermaßen gegeben:
(
F (x ) =
0,
1−
1
k
für x < 2,
für k ≤ x < k + 1, k ∈ IN \ {0, 1}.
Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten:
(a) P(X < 2) = 0
Für x < 2 ist die Verteilungsfunktion gleich Null.
(b) P(X ≤ 2) = F (2) = 1 −
1
2
= 0.5
(c) P(X ≤ 3) = F (3) = 1 −
1
3
= 0.6̄
(d) P(X > 3) = 1 − P(X ≤ 3) = 1 − F (3) =
1
3
= 0.3̄
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Die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X sei
folgendermaßen gegeben:
(
F (x ) =
0,
1−
1
k
für x < 2,
für k ≤ x < k + 1, k ∈ IN \ {0, 1}.
Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten:
(e) P(2 < X ≤ 3) = P(X ≤ 3) − P(X ≤ 2) = F (3) − F (2)
= 1 − 13 − 1 + 12 = 61 = 0.16̄
(f) P(X ∈
/ (2, 3]) = 1 − P(2 < X ≤ 3) = 1 −
1
6
=
5
6
= 0.83̄
(g) P(2 < X < 3) = P(X < 3) − P(X ≤ 2)
= P(X ≤ 2) − P(X ≤ 2) = 0
(h) P(X ∈ [2, 3]) = P(2 ≤ X ≤ 3) = P(X ≤ 3) − P(X < 2)
= F (3) − 0 = F (3) = 1 − 13 = 23 = 0.6̄
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