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Oberschule XYXYXYYXY Berlin
Klassenstufe 13; 4. Semester
Rehder
Stationsarbeitsleistungskontrolle
Mathematik (Leistungskurs)
18. bzw. 22. Januar 2016
Teil I [Multiple Choice, 15 Punkte]
Kreuzen Sie an, ob die jeweiligen Aussagen entweder „wahr“ oder „falsch“ sind. Für jede richtig angekreuzte Aussage
erhalten Sie einen Punkt. Für jede falsch oder nicht angekreuzte Aussage erhalten Sie 0 Punkte. Die erste falsch
angekreuzte Aussage wird nicht gewertet (Freischuss!). Die maximal erreichbare Punktzahl beträgt 15.
wahr
falsch
1.


2.


3.


4.


5.


6.


Aussage
Ein fairer Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, … , 6 wird einmal geworfen. Die Ergebnismenge
lautet dann Ω = {1, 2, 3, 4, 5}.
Es gibt genau 720 sechsstellige natürliche Zahlen, die nur aus den sechs Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 und 6
bestehen, ohne dass sich eine Ziffer wiederholt.
𝑛
Die Formel von Bernoulli lautet 𝑏(𝑛, 𝑝, 𝑘) = ( ) ∙ 𝑝𝑘 ∙ (1 + 𝑝)𝑛−𝑘 .
𝑘
Es gibt genau 190 Möglichkeiten, aus einer zwanzigelementigen Menge eine achtzehnelementige
Teilmenge auszuwählen.
Es gibt mehr als 211 Möglichkeiten, aus einer zwanzigelementigen Menge eine achtzehn-, oder
neunzehnelementige Teilmenge auszuwählen.
Sei 𝑋 eine diskrete Zufallsvariable mit der Standardabweichung 𝜎(𝑋) und 𝜀 > 0, dann besagt die
1
Ungleichung von Tschebyscheff: ℙ(|𝑋 − 𝔼(𝑋)| ≥ 𝜀) > ∙ 𝜎 2 (𝑋).
𝜀²
7.


Ein Zufallsexperiment heißt genau dann ein Laplaceexperiment, wenn alle Elementarereignisse
die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.
8.


Sei 𝑋 eine binomialverteilte Zufallsvariable (d.h. 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝, 𝑘)), dann gilt 𝔼(𝑋) = 𝑛𝑝.
9.


Es gibt 360 Möglichkeiten, 6-buchstabige „Wörter“ aus allen Buchstaben von ZIFFER zu bilden.
10.


Sei 𝑋 eine diskrete binomialverteilte Zufallsvariable mit der Standardabweichung 𝜎(𝑋). Gelte
𝜎(𝑋) > 3, dann kann ℙ(𝑋 = 𝑘) wie folgt durch die Normalverteilung approximiert werden:
1
𝑘−𝑛𝑝
𝑏(𝑛, 𝑝, 𝑘) ≈ ∙ 𝜑(𝑧) mit 𝑧 =
und 𝜑 als Gauß’sche Glockenkurve.
11.


12.


13.


Das Gewicht einer Kirsche kann als eine stetige Zufallsvariable aufgefasst werden.
𝜎
𝜎
Es sei ℙ ein W-Maß und es seien 𝐴 und 𝐵 Ereignisse mit ℙ(𝐴) > 0, ℙ(𝐵) > 0. Der Satz von
Bayes besagt, wie man die ℙ𝐵 (𝐴) aus ℙ𝐴 (𝐵) berechnen kann.
Sei 𝑋 eine diskrete binomialverteilte Zufallsvariable mit der Standardabweichung 𝜎(𝑋). Gelte
𝜎(𝑋) > 3, dann kann ℙ(𝑋 ≤ 𝑘) wie folgt durch die Normalverteilung approximiert werden:
𝑧
𝑘−𝑛𝑝+0,5
𝑏(𝑛, 𝑝, 𝑘) ≈ 𝜙(𝑧) mit 𝑧 =
und 𝜙 als Gauß’sche Integralfunktion 𝜙(𝑧) = ∫−∞ 𝜑(𝑡)𝑑𝑡.
𝜎
14.


Sei 𝑟 ∈ ℝ und sei 𝑋 eine stetige Zufallsvariable mit der Standardabweichung 𝜎(𝑋) und dem
Erwartungswert 𝜇. Man kann ℙ(𝑋 ≤ 𝑟) wie folgt durch die Normalverteilung approximieren:
𝑧
𝑟−𝜇
ℙ(𝑋 ≤ 𝑟) ≈ 𝜙(𝑧) mit 𝑧 =
und 𝜙 als Gauß’sche Integralfunktion 𝜙(𝑧) = ∫−∞ 𝜑(𝑡)𝑑𝑡.
15.


Die Standardabweichung der Binomialverteilung beträgt 𝑛𝑝(1 − 𝑝).
16.


Sei 𝑋 eine endliche Zufallsvariable mit der Standardabweichung 𝜎(𝑋) und 𝜀 < 0, dann gilt:
ℙ(|𝑋 − 𝔼(𝑋)| < 𝜀) > −𝜀.
𝜎
(für den gesamten Test) zugelassene Hilfsmittel: Tabellen: (Summierte) Binomialverteilung, Normalverteilung
Teil II [Verständnisaufgaben, 10 Punkte]
Beantworten Sie die folgenden Fragen kurz und präzise. (Lösungsweg ist erforderlich!)
i) (2 Punkte) Unter welchen Voraussetzungen darf man eine Zufallsvariable 𝑋 als binomialverteilt annehmen?
ii) (2 Punkte) Ist die absolute Häufigkeit 𝑋 eines Ereignisses beim Ziehen ohne Zurücklegen binomialverteilt? (mit Begründung!)
iii) (6 Punkte) Leiten Sie den Satz von Bayes für die Ereignisse 𝐴, 𝐵 unter Verwendung von Baumdiagrammen her. Klären
Sie außerdem alle erforderlichen Voraussetzungen.
Teil III [Rechenaufgabe, 25 Punkte]
Bei einer Löwenpopulation sind durchschnittlich 3 Prozent der Löwen mit dem Erreger einer Krankheit K infiziert. Die
Zufallsvariable, die die Anzahl der infizierten Löwen in einer Stichprobe angibt, wird als binomialverteilt angenommen.
a) (8 Punkte) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
- in einer Herde von 50 Löwen mindestens vier Löwen infiziert sind;
- in einem Bestand von 420 Löwen höchstens 10 Löwen infiziert sind.
b) (7 Punkte) Berechnen Sie die Mindestgröße einer Herde, bei der mit mindestens 95 Prozent Wahrscheinlichkeit
mindestens ein Löwe infiziert ist.
c) (10 Punkte) Bei einem Blutschnelltest werden 85 Prozent der infizierten Tiere als solche erkannt. Irrtümlich werden aber
auch 20 Prozent der nicht infizierten Tiere durch den Test als infiziert eingestuft. Nach dem Schnelltest wird ein Löwe als
nicht infiziert eingestuft. Weisen Sie nach, dass dann der Löwe mit weniger als ein Prozent Wahrscheinlichkeit tatsächlich
infiziert ist.
(Bonus, ggf. bis zu 10 Bonuspunkte)
Bei einer anderen Löwenpopulation sind durchschnittlich 5 Prozent der Löwen mit dem Erreger einer nicht schlimmen
Krankheit J infiziert. Die Zufallsvariable, die die Anzahl der infizierten Löwen in einer Stichprobe angibt, wird als
binomialverteilt angenommen.
Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Herde von 300 Löwen mehr als fünf Löwen und weniger als 25 Löwen
infiziert sind mit der Tschebyscheff Ungleichung ab.
Bestimmen Sie anschließend ℙ(5 < 𝑋 < 25) unter Verwendung der Näherungsformel von Laplace. Vergleichen Sie beide
Resultate. Was stellen Sie fest?
Oberschule XYXYXYYXY Berlin
Klassenstufe 13; 4. Semester
Rehder
Stationsarbeitsleistungskontrolle
Mathematik (Leistungskurs)
18. bzw. 22. Januar 2016
Teil I [Multiple Choice, 15 Punkte]
Kreuzen Sie an, ob die jeweiligen Aussagen entweder „wahr“ oder „falsch“ sind. Für jede richtig angekreuzte Aussage
erhalten Sie einen Punkt. Für jede falsch oder nicht angekreuzte Aussage erhalten Sie 0 Punkte. Die erste falsch
angekreuzte Aussage wird nicht gewertet (Freischuss!). Die maximal erreichbare Punktzahl beträgt 15.
wahr
falsch
Aussage
1.


2.


3.


4.


5.


Für die Elementarereignisse 𝐸1 , 𝐸2 aus einem Ergebnisraum Ω gilt: ℙ(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = ℙ(𝐸1 ) + ℙ(𝐸2 ).
6.


Sei 𝑋 eine binomialverteilte Zufallsvariable mit der Standardabweichung 𝜎(𝑋) und 𝜀 > 0, dann
1
besagt die Ungleichung von Tschebyscheff: ℙ(|𝑋 − 𝔼(𝑋)| ≥ 𝜀) > ∙ 𝑛𝑝(1 − 𝑝).
7.


Jedes stochastisch unabhängige Ereignis hat dieselbe (Eintritts-) Wahrscheinlichkeit.
8.


Sei 𝑋 eine binomialverteilte Zufallsvariable (d.h. 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝, 𝑘)), dann gilt 𝔼(𝑋) = 𝑛𝑘.
9.


10.


11.


12.


Die Normalverteilung ist „allgegenwärtig“.
13.


Der 1200 malige Münzwurf (fair, Kopf oder Zahl) kann als stetige Zufallsvariable betrachtet werden.
14.


Der Erwartungswert einer Zufallsvariable 𝑋 ist das gewichtete arithmetische Mittel der Elemente
der Wertemenge von 𝑋.
15.


Die Varianz der Binomialverteilung beträgt 𝑛𝑝(1 − 𝑝).
16.


Sei 𝑋 eine endliche Zufallsvariable mit der Standardabweichung 𝜎(𝑋) und 𝜀 > 0, dann gilt:
ℙ(|𝑋 − 𝔼(𝑋)| < −𝜀) = 0.
Es gibt ein Ereignis 𝐸, sodass die zugehörige (Einritts-) Wahrscheinlichkeit negativ (< 0) ist.
Es gibt genau 320 vierstellige natürliche Zahlen, die nur aus den vier Ziffern 2, 3, 5, 7 bestehen,
ohne dass sich eine Ziffer wiederholt.
𝑘
Die Formel von Bernoulli lautet 𝑏(𝑛, 𝑝, 𝑘) = ( ) ∙ 𝑝𝑘 ∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 .
𝑛
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses 𝐸 und der des Gegenereignisses 𝐸̅ ist
gleich 1.
𝜀²
Es gibt mehr als 1325828260 Möglichkeiten, 7-buchstabige „Wörter“ aus allen Buchstaben von
LAPLACE zu bilden.
Die erste Pfadregel für Baumdiagramme ist äquivalent zum Multiplikationssatz für
Schnittereignisse.
Es sei ℙ ein W-Maß und es seien 𝐴 und 𝐵 Ereignisse mit ℙ(𝐴) > 0, ℙ(𝐵) > 0. Der Satz von
Bayes besagt, wie man die ℙ𝐵 (𝐴) aus ℙ𝐴 (𝐴) berechnen kann.
(für den gesamten Test) zugelassene Hilfsmittel: Tabellen: (Summierte) Binomialverteilung, Normalverteilung
Teil II [Verständnisaufgaben, 10 Punkte]
Beantworten Sie die folgenden Fragen kurz und präzise. (Lösungsweg ist erforderlich!)
i) (2 Punkte) Unter welchen Voraussetzungen kann man für eine binomialverteilte Zufallsvariable 𝑋 die Wahrscheinlichkeit
ℙ(𝑋) durch die Normalverteilung approximieren?
ii) (4 Punkte) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim deutschen Lotto („6 aus 49“) mit einem abgegebenen Tipp
genau vier Richtige erzielt?
iii) (4 Punkte) Zwei faire Würfel werden gleichzeitig geworfen. Ist die Augensumme 6, 7 oder 8 wahrscheinlicher?
Teil III [Rechenaufgabe, 25 Punkte]
Eine Elektronikfirma liefert an eine Kaufhauskette Sender S und Empfänger E, die z.B. von Hobbybastlern für die
Fernsteuerung von Flugmodellen verwendet werden können. Es ist bekannt, dass 5 % der Sender S und 10 % Prozent der
Empfänger E defekt sind. Die Zufallsgröße X beschreibe in einer Stichprobe die Anzahl der funktionsfähigen bzw. defekten
Sender oder der funktionsfähigen bzw. defekten Empfänger und soll als binomialverteilt angenommen werden.
a) (3 Punkte) Erläutern Sie Bedingungen, unter denen eine Zufallsgröße als binomialverteilt angenommen werden darf?
b) (9 Punkte) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
i) von 100 Sendern S mehr als 90 funktionsfähig sind,
ii) von 100 Empfängern E höchstens fünf defekt sind.
iii) von 100 Empfängern sind mehr als 5 und weniger als 15 defekt
c) Eine Fernsteuerung für ein Flugmodell bestehe aus genau einem Sender S und genau einem Empfänger E, die unabhängig
voneinander arbeiten. Sie sei funktionsfähig, wenn der Sende S und de Empfänger E funktionsfähig sind. Berechnen Sie
die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse. (13 Punkte)
A: Eine Fernsteuerung ist funktionsfähig
B: Eine Fernsteuerung ist defekt, weil entweder der Sender S oder der Empfänger E defekt ist.
C: Der Empfänger S einer defekten Fernsteuerung ist defekt.
(Bonus, ggf. bis zu 10 Bonuspunkte)
Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 300 Sendern S mehr als fünf Sender und weniger als 25 Sender defekt sind
mit der Tschebyscheff Ungleichung ab.
Bestimmen Sie anschließend ℙ(5 < 𝑋 < 25) unter Verwendung der Näherungsformel von Laplace. Vergleichen Sie beide
Resultate. Was stellen Sie fest?