Wechselwirkung von Elektronen mit inneren und äußeren

Wechselwirkung von Elektronen mit inneren und äußeren Magnetfeldern
Spin-Bahn-Kopplung und Zeeman-Effekt
Bemerkungen zur Nomenklatur:
Zur besseren Unterscheidung von den Magnetquantenzahlen mℓ, ms und mj sind die
r r
r
magnetischen Momente im Folgenden mit den griechischen Buchstaben µ ℓ, µ s und µ j
bezeichnet. In den Unterlagen zur Vorlesung wurde statt µ ein m verwendet, die Unterscheidung erfolgt dort anhand der Vektorpfeile über den Buchstaben. Man beachte vor allem:
die Magnetquantenzahlen sind nicht die Beträge der magnetischen Momente!
Generell:
Bekannt aus der ‚klassischen’ Elektrodynamik: „Rotierende“ Ladungen haben ein
r
magnetisches Moment µ parallel zur Rotationsachse, d.h., zu ihrem Drehimpuls
r
r
! Verschiedene Ausrichtungen der Rotationsachse zu einem Magnetfeld B = µ 0 H bedeuten
r r
verschiedene Wechselwirkungsenergien Emag=- µ · B (Skalarprodukt)
r
r
• Magnetische Momente sind unter anderem mit dem Bahndrehimpuls l , dem Spin s , oder
r
dem Gesamtdrehimpuls j verbunden
• Magnetisches Moment und Drehimpuls sind über das jeweilige gyromagnetische
Verhältnis γℓ, γs oder γj verknüpft.
r
r
r
r
r
r
µ ℓ= γℓ l = -(e/2me) l = - (µB/ћ) l
Für µ ℓ und µ s gilt:
r
r
r
r
µ s= γs s = -ge(e/2me) s ≈ -2 (µB/ћ) s
me: Masse des Elektrons
µB: Bohr’sches Magneton; hat eigene Bezeichnung, da in vielen Rechnungen benötigt
ge: Landé-Faktor, Zahlenwert ≈ 2;
hat eigene Bezeichnung, da historisch zunächst γs=γs erwartet wurde
r
Das magnetische Moment µ ist also dem Drehimpuls entgegengerichtet, durch welchen
r
r
es erzeugt wird. Im Falle von l und s liegt es sogar exakt auf der gleichen Achse,
r
r
während µ j und - j einen kleinen Winkel einschließen (wird weiter unten näher erläutert)
• Das Magnetfeld wird in Rechnungen stets parallel zur z-Achse angenommen, so dass sich
die Bildung des Skalarproduktes stark vereinfacht: es entspricht der Projektion des
magnetischen Momentes auf die z-Achse multipliziert mit dem Betrag des Magnetfeldes
•
Die Ausrichtungen von Rotationsachse sind in der Quantenmechanik nicht kontinuierlich
r
sondern gequantelt (siehe z.B. ℓz =ћmℓ beim Bahndrehimpuls l ), wodurch die Wechselwirkungsenergie ebenfalls gequantelt ist, also nur bestimmte Werte annehmen kann
•
Da mℓ, ms und mj die Projektion des jeweiligen Drehimpulses auf die z-Achse
beschreiben, ist die Wechselwirkungsenergie mit Magnetfeldern proportional zu dieser
•
Quantenzahl, woher sie ihren Namen ‚Magnetische Quantenzahl’ erhalten hat (siehe
Rechnung für ‚Normalen Zeeman-Effekt’ unten)
Die magnetischen Wechselwirkungsenergien müssten streng genommen im HamiltonOperator und damit in der Schrödingergleichung berücksichtigt werden, in der Praxis fügt
man sie jedoch oft ‚am Ende der Rechnung’ als Korrekturterm hinzu
Zeeman-Effekt (1.Teil):
•
•
•
•
•
Zeeman-Effekt beschreibt Aufspaltung von Energieniveaus (und damit auch von Spektrallinien) bei Anwesenheit von äußeren Magnetfeldern
Aufspaltungen wären schon nach dem Bohr’schen Atommodell zu erwarten
! auch hier rotierende Ladung, zu der magnetisches Moment gehört
Normaler Zeeman-Effekt: Nur Bahndrehimpuls ℓ bestimmt Zahl der Energieniveaus, Zahl
der Niveaus entspricht Zahl der möglichen Werte für mℓ und damit für ℓz=ћmℓ. Normaler
Zeeman-Effekt wird nur in speziellen Ausnahmefällen (Gesamtspin=0) beobachtet
Berechnung der Aufspaltung im Magnetfeld aufgrund des Bahndrehimpulses:
r r
r r
r r
Emag = - µ ℓ B = - µ0· µ ℓ· H = - µ0 γℓ l · H
r r
(γγℓ hat negatives Vorzeichen)
= + µ0 [e/(2me)] l · H
r
r
= µ0 [e/(2me)] ℓz | H |
(für H -Feld in z-Richtung)
r
= µ0[eћ/(2me)] mℓ | H |
(mit mℓ=Magnetquantenzahl)
r
= µ0 µB mℓ | H |
Mit mℓ= ℓ, ℓ-1, ... , -ℓ folgt daraus eine Aufspaltung in 2ℓ+1 äquidistante Energieniveaus,
r
Energieabstand ∆Emag= µ0µB | H |
Anomaler Zeeman-Effekt: Gesamtdrehimpuls j=ℓ+s bestimmt Zahl der Energieniveaus,
Aufspaltung ist komplizierter (siehe unten)
Auch wenn der Name etwas anderes suggeriert, ist der anomale Zeeman-Effekt von der
Häufigkeit des Auftretens her der ‚Normalfall’
r
Im Falle von ℓ=0 (s-Orbital) existiert nur das magnetische Moment µ s des Elektrons, für
welches es zwei Ausrichtungen gegenüber einem äußeren Feld gibt. Dieser Fall ist beim
Wasserstoff im Grundzustand gegeben, aber z.B. auch bei wasserstoffähnlichen Atomen
(Alkalimetalle), in denen ein Elektron in der äußersten Schale sitzt und alle inneren
Schalen komplett gefüllt sind. Wichtiges Experiment hierzu: Stern-Gerlach-Versuch
Spin-Bahn-Kopplung:
Historisch: Aufspaltung vieler Spektrallinien auch ohne äußeres Feld war zu erklären
(z.B. gelbe Na-Doppellinie)
! Existenz weiterer atominterner Wechselwirkungsenergien, Energie doch nicht
ausschließlich abhängig von Hauptquantenzahl n
Grundphänomen:
• Klassische Sichtweise: Da das Elektron sich um den Kern bewegt, verändert sich aus
r
Sicht des Elektronenspins s die relative Position des positiv geladenen Kerns
• Da bewegte Ladungen ein Magnetfeld erzeugen, ‚sieht’ der Spin des Elektrons ein inneres
r
Magnetfeld H l , gegenüber dem es zwei Ausrichtungsmöglichkeiten gibt
r
r
• Die Achse dieses Magnetfeldes H l verläuft parallel zur Achse des Bahndrehimpulses l ,
r
und seine Stärke ist proportional zu l
• Eine genaue Berechnung des Proportionalitätsfaktors sowie der gegenseitigen Ausr
r
richtung zwischen H l und l ist mit der ‚klassischen’ Näherung (wie in der Vorlesung
und vielen PC-Lehrbüchern) streng genommen nicht zulässig und ist teilweise
widersprüchlich
Wechselwirkungsenergie:
• Aus klassischer und genauer quantenmechanischer Betrachtung folgt jedoch die wichtige
Formel zur Berechnung der Wechselwirkungsenergie zwischen dem inneren Magnetfeld
r
r
H l und dem magnetischen Moment des Spins µ s:
r r
E l,s = const. ⋅ l ⋅ s
(♦)
r r
• const. > 0 ! Vorzeichen von Eℓ,s entspricht Vorzeichen des Skalarproduktes l ⋅ s
r
r
• Die Wechselwirkungsenergie zwischen l und s kann wiederum nur bestimmte Werte
r
annehmen. Achtung: Allerdings kann man nicht einfach das Feld H l als proportional zu
r
r
r
l annehmen, und dann die zwei möglichen Ausrichtungen von s gegenüber H l wie
beim Zeeman-Effekt behandeln! Es zeigt sich nämlich sowohl experimentell wie auch
theoretisch, dass die beiden zugehörigen Energiewerte sich nicht nur um ein Vorzeichen
unterscheiden, sondern auch verschiedene Beträge haben.
Zusammenhang zwischen Gesamtdrehimpuls j und Energie Ej,ℓ,s
r
r
r
l und s addieren sich vektoriell zu einem Gesamtdrehimpuls j :
r r r
j = l + s
r
Für dessen Betrag gilt:
| j | = ћ(j(j+1)) ½
Wichtig:
(♦♦)
r
r
r
r
r
r
| j | ≠ j, | l | ≠ ℓ, | s | ≠ s und | j | ≠ | l | + | s |
r
r
Die möglichen Ausrichtungen von l und s zueinander werden bestimmt von der folgenden
Regel zur Berechnung der Quantenzahl j aus den Quantenzahlen ℓ und s:
j = ℓ+s, ℓ+s-1, … , |ℓ-s|
(♦♦♦)
Die Regeln (♦♦) und (♦♦♦) sind ein Spezialfall der in der Quantenmechanik gültigen Regeln
zur Kopplung von beliebigen Drehimpulsen. Im Rahmen der Vorlesung wäre eine genaue
Begründung zu umfangreich, weshalb sie auf den ersten Blick willkürlich erscheinen mögen.
Regel (♦♦♦) ist für s=½ eigentlich unnötig umständlich formuliert, da nur zwei Fälle auftreten:
r r
ℓ = 0: j = s
! j = s
ℓ ≥ 1: j = ℓ ± ½
r
Für ℓ ≥ 1 gibt es somit jeweils zwei mögliche Werte für j und damit auch für | j | = ћ(j(j+1)) ½.
r r r
Da j = l + s , gehören zu den beiden möglichen Gesamtdrehimpulsen j unterschiedliche
r
r
Ausrichtungen von l und s zueinander. Damit unterscheiden sich auch die Skalarprodukte
r r
l · s , was nach Gleichung (♦) wiederum zu unterschiedlichen Spin-Bahn-Kopplungsenergien
führt.
Die Quantenzahl ℓ hat auch bei Berücksichtigung der Spin-Bahnkopplung noch Gültigkeit,
r
r
und es gilt immer noch:
| l |=ћ(ℓ(ℓ+1))½ ;
| s |=ћ(s(s+1))½ = ћ (¾)½
r
r
Über die Ausrichtung von l und s gegenüber äußeren Achsen oder auch zueinander ist
jedoch zunächst nichts bekannt, man kennt nur ihre Längen und weiß, dass ihre Vektorsumme
r
j ergibt.
Beispiel:
ℓ = 3 ! j = 7/2, 5/2
r
! | j | = ћ[j(j+1)] ½ = ћ[(7/2)·(9/2)] ½, ћ[(5/2)·(7/2)] ½
3
1
7 ћ ≈ 3,968·ћ, ћ
35 ≈ 2,958·ћ
2
2
r
| l | = ћ (3·4) ½= 12 ћ ≈ 3,464 ћ
r
| s |= ћ (¾)½≈ 0,866 ћ
=
r r r
Damit lässt sich aus j = l + s und den berechneten Beträgen für beide Werte von j die
r
r
Konstellation von l und s grafisch bestimmen (es geht natürlich auch rechnerisch), indem
r
man z.B. für j einen Vektor der Länge 3,968 cm zeichnet und Kreise mit den Radien 3,464
cm und 0,866 cm um seine beiden Enden zieht. Man wählt dann einen der zwei Schnittpunkte
r
r
aus und gewinnt damit die Richtungen von l und s (siehe untenstehende Grafik, links).
r
Das gleiche führt man für den anderen Wert von | j | durch, wodurch man die zweite mögliche
r r
r
Konstellation von j , l und s erhält (rechts).
r
r
ℓ=3 !| l | ≈ 3,464 ћ; | s |≈ 0,866 ћ (unabhängig von j)
j = 7/2
r
| j | ≈ 3,968·ћ;
j = 5/2
r
| j | ≈ 2,958·ћ
r
s
r
j
r
s
r
l
r
j
r
l
r
Man sieht bereits anhand der Zeichnung, dass die beiden Ausrichtungen von s bezüglich der
r
Achse durch l nicht symmetrisch sind, so dass die beiden entstehenden Skalarprodukte nicht
den gleichen Betrag haben können. Die Energieaufspaltung kann damit nicht symmetrisch
sein, wie z.B. im Wedler am Ende von Kapitel 3.1.4 skizziert.
Berechnung der Spin-Bahn-Wechselwirkungsenergie aus den Quantenzahlen
r r
Das für die Kopplungsenergie wichtige Skalarprodukt l · s lässt sich wie folgt berechnen:
r r r
j = l + s
r
r
r r
r
⇒ | j |² = | l |² + | s |²+ 2 l · s
r
r r
r
r
⇔ l · s = (1/2) (| j |² - | l |² - | s |²)
r r
⇔ l · s = (1/2) ћ² (j(j+1)-ℓ(ℓ+1)-s(s+1))
(♦♦♦♦)
Aus (♦) und (♦♦♦♦) folgt die wichtige Formel zur Berechnung der Spin-BahnWechselwirkungsenergie aus den Quantenzahlen j, ℓ und s:
Ej,ℓ,s = (1/2)·A·hc·[j(j+1)-ℓ(ℓ+1)-s(s+1)]
= (1/2)·A·hc·[j(j+1)-ℓ(ℓ+1)- ¾]
Der Vorfaktor wird als Vielfaches von h·c geschrieben, da dieses Produkt in der
Spektroskopie sehr häufig verwendet wird und eine Art ‚Einheit’ darstellt. Der Faktor A ist
die Spin-Bahn-Kopplungskonstante und hängt von der jeweiligen Wellenfunktion ab. Man kann
zeigen, dass in diesem Zusammenhang die kritische Größe der Erwartungswert <1/r³> ist. Auf diese Weise spielt
die Kernladungszahl eine mehrfache Rolle für die Stärke der Spin-Bahn-Kopplung, da sowohl dieser
Erwartungswert wie auch das bahnbedingte Magnetfeld selbst mit der Kernladungszahl zunimmt. Daher ist die
Spin-Bahn-Kopplung bei schwereren Kernen besonders stark ausgeprägt.
Für das gewählte Beispiel mit ℓ=3 bedeutet dies:
j = 7/2:
Ej,ℓ,s = (1/2)·A·hc·[(7/2)·(9/2) - 3·4 – (3/4)]
= (1/2)·A·hc·3
= (3/2)·A·hc
j = 5/2:
Ej,ℓ,s = (1/2)·A·hc·[(5/2)·(7/2) - 3·4 – (3/4)]
= - (1/2)·A·hc·4
= - 2·A·hc
Veranschaulichung der asymmetrischen Aufspaltung:
+ (3/2) hc A
- 2 hc A
Energieniveau ohne
Berücksichtigung
der ℓs-Kopplung
tatsächliche Energieniveaus
nach Korrektur durch Ej,ℓ,s
Zeeman-Effekt (Teil 2):
r
Bei der Wechselwirkung mit einem äußeren Magnetfeld können Bahndrehimpuls l und Spin
r
r
s nicht separat betrachtet werden, sondern nur noch der Gesamtdrehimpuls j . Definiert sind
r
r
dessen Betrag | j | und seine z-Komponente jz, während für den Bahndrehimpuls l nur noch
r
r r
der Betrag | l | und sein Skalarprodukt mit dem Spin ( l · s ) scharf definiert sind.
r
r
(Ausnahme: in sehr starken äußeren Magnetfeldern ( > 1 T) richten sich l und s wieder einzeln an der
Magnetfeldachse aus ! Paschen-Back-Effekt. Sonst dominieren die aus der Spin-Bahn-Kopplung resultierenden
Wechselwirkungsenergien, und jedes äußere Feld wirkt nur als kleine ‚Störung’.)
Analog zur Rechnung für den normalen Zeeman-Effekt gilt:
Emag
r r
r r
= - µ j· B = - µ0 µ j· H
r
Das Problem liegt nun in der Berechnung von µ j. Es gilt der auf den ersten Blick einfache
Zusammenhang
r
r
r
µ j = µ ℓ + µ s,
also vektorielle Addition der einzelnen magnetischen Momente. Für diese gilt, wie bereits
diskutiert
r
r
r
µ ℓ= γℓ l = - (µB/ћ) l
r
r
r
µ s= γs s = - ge (µB/ћ) s
mit Landéfaktor ge≈2
r
Wie man sich grafisch leicht klar machen kann, liegen wegen ge≠1 das zu j gehörende
r
r
magnetische Moment µ j und der Vektor j selbst nicht auf einer Achse:
r
l
r
j
r
s
r
µl
r
µs
r
µj
r
r
Da die Orientierung des Vektors j bezüglich der z-Achse feststeht, kann dies für µ j nicht
r
r
mehr gelten. Stattdessen liegt nur der Winkel zwischen j und µ j fest. Klassisch stellt man
r
r
sich daher vor, dass µ j um eine Achse, die genau durch j läuft, präzessiert. Im zeitlichen
r
Mittel ist nur diejenige Komponente von µ j für die Wechselwirkung von Bedeutung, die in
r
r
Richtung j zeigt, da j durch den festen Wert von jz=mj ћ wiederum ein festes Skalarprodukt
mit dem äußeren Magnetfeld (in z-Richtung) bildet.
Aus diesem Grund wird auf der Folie ‚H-Atom im magnetischen Feld’ in der Vorlesung die
r
r
r
r
‚ j -Komponente’ (µ j )j von µ j berechnet (dort bezeichnet als m jj ):
(µr )
j j
= µB ⋅
3 j( j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
j( j + 1)
2 j( j + 1)
14444244443
gj
Die magnetische Wechselwirkungsenergie berechnet sich daher nach folgender Formel:
mit
und
r
Emag = mj·gj·µB·µ0·| H |
3 j( j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
gj =
2 j( j + 1)
mj = j, j-1, ... , -j
Die aufgrund der Spin-Bahn-Wechselwirkung bereits aufgespaltenen Niveaus teilen sich
damit wiederum entsprechend der Anzahl der erlaubten Werte für jz in 2j+1 energetisch
verschiedene Zustände. Die Energiedifferenz zwischen den Zuständen beträgt
r
∆Emag = gj·µB·µ0·| H |.
∆Emag ist somit also insbesondere auch für beide Werte von j verschieden!