Management der Informationssicherheit

Aufgabe 6a: Sicherheit des RSA-Verfahrens
 Alice erzeugt ein Schlüsselpaar
– Wählt zwei Primzahlen p = 7, q = 11
– Ermittelt das RSA-Modul n = p·q = 77
– Φ(n) = Φ(p·q) = (p–1) (q–1) = 60
– Wählt Verschlüsselungsexponenten c
• Es muss gelten:
3 ≤ c < Φ(n) und ggT(c, Φ(n)) = 1
• Alice wählt c = 13
– Ermittelt den zugehörigen Entschlüsselungsexponenten d
• Es gilt:
c · d ≡ 1 mod Φ(n)
c · d + k · Φ(n) = 1
13 · d + k · 60 = 1
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ONLINE
Aufgabe 6a: Sicherheit des RSA-Verfahrens
60 = 4·13 + 8
13 = 1· 8 + 5
8 = 1· 5 + 3
5 = 1· 3 + 2
3 = 1· 2 + 1
2 = 2· 1
45
ONLINE
Benötigte Darstellung:
13 · d + k · 60 = 1
Erweiterter
Euklidischer
Algorithmus
Aufgabe 6a: Sicherheit des RSA-Verfahrens
60 = 4·13 + 8
13 = 1· 8 + 5
8 = 1· 5 + 3
5 = 1· 3 + 2
3 = 1· 2 + 1
2 = 2· 1
1 = 3 - 1·2
= 3 – 1·(5 - 1·3) = 3 – 1·5 + 1·3
= 2·3 – 1·5
= 2·(8 – 1·5) – 1·5 = 2·8 – 2·5 – 1·5
= 2·8 - 3·5
= 2·8 – 3·(13 – 1·8) = 2·8 – 3·13 + 3·8
= 5·8 - 3·13
= 5·(60 – 4·13) – 3·13 = 5·60 – 20·13 – 3·13
= 5·60 - 23·13
46
ONLINE
Benötigte Darstellung:
13 · d + k · 60 = 1
Erweiterter
Euklidischer
Algorithmus
Aufgabe 6a: Sicherheit des RSA-Verfahrens
ONLINE
Benötigte Darstellung:
13 · d + k · 60 = 1
Ergebnis d. erw. Euklid. Alg.:
1 = 5 · 60 - 23 · 13
13 · (-23) + 5 · 60 = 1
-23 mod 60 ≡ 37 mod 60
Ergebnis: d = 37
Die Exponenten sind: e = 13, d = 37
Alice hat also folgendes Schlüsselpaar:
•Public-Key: e = 13, n = 77
•Private Key: d = 37, p = 7, q = 11
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Aufgabe 6a: Sicherheit des RSA-Verfahrens
ONLINE
 Bob verschlüsselt eine Nachricht, z.B. m = 15, für Alice:
y = m ^ c mod n
= 15 ^ 13 mod 77 = 64 mod 77
 Berechnung mit dem Square-and-Multiply-Algorithmus:
links steht der Exponent, rechts die Basis; links ”Halbieren und Abrunden”,
rechts: ”Quadrieren und ggf. Reduzieren”; am Ende: alle Zahlen aus der
rechten Spalte aufmultiplizieren, wenn der Wert in der linken Spalte
ungerade ist
13:2
6
3
1
15
152 = 225 mod 77 = 71
712 = 5041 mod 77 = 36
362 = 1296 mod 77 = 64
=> y = 15 · 36 · 64 mod 77 = 34560 mod 77 = 64
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Aufgabe 6a: Sicherheit des RSA-Verfahrens
 Alice kann Bobs Nachricht y wieder entschlüsseln
m = y ^ d mod n
= 64 ^ 37 mod 77 = 15 mod 77
Berechnung wie zuvor:
37
18
9
4
2
1
152 =
712 =
362 =
642 =
64
642 = 4096 mod 77 = 15
225 mod 77 = 71
5041 mod 77 = 36
1296 mod 77 = 64
4096 mod 77 = 15
=> m = 64 · 71 · 15 mod 77 = 68160 mod 77 = 15
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ONLINE