Pulsationsmodelle fiur den Ж Scuti Stern XX Pyxidis

Pulsationsmodelle fur den Æ Scuti Stern
XX Pyxidis
Diplomarbeit
eingereicht von
Holger Pikall
zur Erlangung des akademischen Grades
Magister der Naturwissenschaften
an der Formal- und Naturwissenschaftlichen Fakulta
t
der Universit
at Wien
Wien, im April 1998
Institut fu
 r Astronomie
Tu
 rkenschanzstr. 17
A-1180 Wien
2
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
5
1 Æ Scuti Sterne
1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Variabilitat . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Historisches . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Frequenzanalyse . . . . . . . . . .
1.1.4 Beobachterisches . . . . . . . . . .
1.2 XX Pyxidis . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Entdeckung und Benennung . . . .
1.2.2 Weitere Kampagnen . . . . . . . .
1.2.3 Amplituden- und Frequenzvariation
2 Sternaufbau und Entwicklung
2.1 Einleitung . . . . . . . . . . .
2.2 Die Sternaufbaugleichungen .
2.2.1 Randbedingungen . . .
2.2.2 ZAMS . . . . . . . . .
2.3 Computerprogramme . . . . .
2.3.1 Die Henyey-Methode .
2.3.2 Rotation . . . . . . . .
2.3.3 Mikrophysik . . . . . .
3 Pulsationen
3.1 Kugelachenfunktionen . .
3.2 Lokale Analyse . . . . . .
3.3 Propagationsdiagramm . .
3.4 Modenklassizierung . . .
3.5 Asymptotisches . . . . . .
3.6 Das Arbeitsintegral . . . .
3.7 Geometrische Ausloschung
3.8 Programme . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
4 Methodisches
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Warum XX Pyx? . . . . . . . . . . . . .
4.3 Einschrankungen . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Anregendes . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Frequenzspacing . . . . . . . . . .
4.4 Parametersurfen . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Visualisierung . . . . . . . . . . .
4.4.2 Graphische Benutzerschnittstelle
4.4.3 Zusatzliche Funktionen . . . . . .
4.4.4 Verwendung . . . . . . . . . . . .
4.5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Diskussion und Ausblick
5.1 Knapp vor dem Ziel? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Die 17. Kampagne des Æ Scuti Network . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Verbesserung der Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Literaturverzeichnis
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67
A Die Pulsationsgleichungen
71
B Modellvergleich Basel{Warschau
73
Curriculum Vitae
81
Danksagung
82
Einleitung
Die Astronomie ist die alteste der Wissenschaften und hat sich, nachdem sie den
Ansto gegeben hatte, der die Naturwissenschaften begrundete, von der Astrologie entkoppelt. Damals waren allerdings die Wissenschafter noch universal gebildet, und eine Einteilung, wie sie heute verwendet wird, noch nicht vorhanden.
Fur manche Philosophen ist die Astronomie streng genommen keine Naturwissenschaft, da einer der wichtigsten Anspruche der sogenannten "harten\ Naturwissenschaften, die Wiederholbarkeit des Experiments, nicht gegeben ist. Ein immer
mehr an Bedeutung gewinnendes Teilgebiet der Astronomie ist die Astrophysik,
die { wie der Name impliziert { versucht, mit der Methodik der Physik astronomische Objekte zu erforschen.
Die stellare Astrophysik erforscht Entstehung, Struktur und Entwicklung der
Sterne. Zum Unterschied von Planeten sind Sterne selbst leuchtende, eigengravitative Gaskugeln, da heit sie sind nicht von der Sonne verschieden, allein
die Sonne hat eine relative geringe Entfernung von der Erde. Die Entfernung
der Sterne ist so gro, da uns selbst die nahesten nur als Punkte im Teleskop
erscheinen. Was wir also beobachten konnen ist die uns zugewandte Halfte der
Photosphare { also jener Schicht die das zu uns gelangende Licht am starksten
beeinut { auf einen Punkt konzentriert.
Der direkte Blick ins Innere ist uns trotz modernster Teleskope verwehrt, da
die Gase gerade in der Photosphare lichtundurchlassig werden. Aber gerade die
Struktur im Inneren ist ausschlaggebend und bestimmend fur den Stern, und legt
auch seine zukunftige Entwicklung fest. A.S. Eddington schreibt in "Der Innere
Aufbau der Sterne\ (1926) in der Einleitung:
Von ihm (dem Stern) breitet sich ein Gravitationsfeld aus, welches durch materielle Hindernisse nicht wesentlich verandert werden kann; ferner gelingt es
auch der aus dem heien Inneren stammenden Strahlungsenergie, nach mannigfachen Ablenkungen und Verwandlungen, sich bis zur Oberache durchzuschlagen
und die Reise durch den Weltraum anzutreten.
Das Gravitationsfeld kann man nicht direkt messen, aber das Licht kann man
doch sehr genau analysieren. Nach dieser langen und weiten Reise durch den Weltraum, wobei das Licht durch das interstellare Material geschwacht und verandert
wird, erreicht es die Erde, und mu durch die Atmosphare, welche aber nur Licht
mit bestimmten Wellenlangen durchlat. Aus der abgestrahlten Energie lassen
5
6
EINLEITUNG
sich Informationen uber die Helligkeit, die Schwerebeschleunigung an der Sternoberache, die Rotationsgeschwindigkeit, die Radialgeschwindigkeit, das Magnetfeld, die chemische Zusammensetzung der Photosphare, die Masse und den
Radius gewinnen.
Variable Sterne sind fur viele Astronomen interessanter als Sterne die jahrein,
jahraus immer gleich hell leuchten, also konstant sind, die allerdings von anderen als Standardsterne geschatzt werden. Periodisch Veranderliche sind nicht
nur in der Entfernungsbestimmung fur extragalaktische Objekte von Bedeutung,
sondern sie erlauben Messungen von unvergleichlicher Prazision, namlich die Periode ihrer regelmaigen Veranderung (oder ihre Frequenz). Die Perioden der
Lichtkurve eines Sternes werden aber nicht alleine durch Oberacheneekte bestimmt (ausgenommen weie Zwerge, roAp Sterne und ahnliche), sondern diese
Schwingungen betreen den gesamten Stern, also auch das Innerste. Es ist also nicht ausreichend nur die Atmosphare eines Sterns zu betrachten, sondern es
Bedarf der Kenntnis des gesamten Sternaufbaus. Die Sonne zeigt Tausende, der
bekannten "5 Minuten Oszillationen\, die freilich die Gesamthelligkeit zuwenig
andern, um mit freiem Auge erkennbar zu sein.
Asteroseismologie nennt man das Teilgebiet der stellaren Astrophysik, in Anlehnung an die terrestrische Seismologie, welches sich mit den Wellen, die die
"Oberache\ in Gestalt und Ansehen verandern und so die Helligkeit variieren,
beschaftigt. Obwohl nur die Oberacheneekte mebar sind, kann man damit
aber sehr genau Aussagen uber die Struktur eines Sterns machen.
Bei Æ Scuti Sternen (eine der Gruppen pulsierender Sterne) im besonderen,
geht man heute davon aus, da ihre Lichtkurven durch U berlagerung von Dutzenden Pulsationsmoden zustande kommen. Die Beobachtungstechnik hat in den
letzten Jahren ein Niveau erreicht, da die Detektion von Helligkeitsveranderungen im Bereich von tausendstel Magnituden1 zulat. Mit dieser Genauigkeit,
zusammen mit ausgedehnten internationalen Beobachtungskampagnen, war es
dann moglich sehr genaue Frequenzspektren der Æ Scuti Sterne zu erhalten.
Ein Stern hat gewisse Analogien zu einem Musikinstrument: beide sind
schwingungsfahige Systeme. Fur ein Musikinstrument kann man diese Schwingungen horen { als Tone. Ein Ton hat nicht nur eine bestimmte Lautstarke (Amplitude), sondern auch eine bestimmte Tonhohe (Frequenz oder Periode). Ein
reiner Ton ware unseren Ohren aber sehr ungewohnt, da bei Musikinstrumenten
immer noch sogenannte Obertone mitschwingen. Der Klang eines Musikintrumentes wird durch die Frequenzverhaltnisse der Obertone und die Lautstarke der
Obertone untereinander bestimmt. Auch viele Sterne zeigen nicht nur eine Frequenz, sondern viele, freilich kann man eine Schallwelle im Stern von der Erde aus
nicht horen, da Schall nicht durch das Vakuum2 transportiert wird und die Fre-
Ein Helligkeitsunterschied von einer Magnitude kann von einem erfahrenen Beobachter mit
freiem Auge leicht erkannt werden, Spezialisten schaen ein Zehntel einer Magnitude, aber ein
paar Tausendstel in ein paar Stunden jedoch sicherlich nicht.
Das interstellare Medium wurde hier salopp zum Vakuum erklart, da man in technische
1
2
7
quenzen zu niedrig sind um horbar zu sein. Die Wellen in einem Stern verandern
aber die Oberache derart, da sich die Gesamthelligkeit des Sterns andert, was
man dann messen kann. A hnlich dem Proze, der ganz unbewut beim Menschen beim Horen ablauft, wird der "Klang\ eines Sterns untersucht, obwohl die
Frequenzen eines Sterns nicht unbedingt
im Frequenzfenster des menschlichen
Gehors liegen mussen. Dies nennt man auch Frequenzanalyse, und die Ergebnisse
Frequenzspektren.
Die Reproduktion eines dieser beobachteten Frequenzspektren durch ein
Sternmodell ist Gegenstand dieser Arbeit.
Anwendungen froh ware eine derartig geringe Dichte zu erzeugen.
8
EINLEITUNG
Kapitel 1
Æ
Scuti Sterne
1.1 Allgemeines
1.1.1 Variabilitat
Die ersten variablen Sterne, die man entdeckte, waren wohl Novae und Supernovae. Dann war es Fabricius (1596) der bei Mira A nderungen der photometrischen
Helligkeit um mehrere Groenklassen beobachtete, die sich aber auf Zeitskala von
knapp einem Jahr abspielt, was das Erkennen dieses Phanomens mit freiem Auge
erschwert, aber dank guter, gewissenhafter Aufzeichnungen war dies moglich.
Die Anwendung der photographischen Photometrie in der Astronomie erlaubte dann erstmals eine viel genauere Bestimmung von Helligkeiten, und damit auch
bald die ersten photometrischen Zeitserien. Tragt man in einem Diagramm die
aus den Zeitserien gewonnenen Helligkeiten gegen die Zeit auf, so spricht man
von Lichtkurven. Vollig chaotische und zufallig erscheinenden Lichtkurven sind
zwar interessant, aber schwer interpretierbar. Naturlich sind Lichtkurven von Novae oder Supernovae auch nicht wiederholbar, aber Lichtkurven unterschiedlicher
Novae haben doch eine ahnliche Struktur, wie zum Beispiel den charakteristischen Helligkeitsabfall. Im Gegensatz dazu stehen die periodischen Lichtkurven,
wozu wiederum die Lichtkurven bedeckungsveranderlicher und pulsierender Sterne gehoren.
Das Thema dieser Arbeit ist die Interpretation (multi-)periodischer Lichtkurven, die durch Pulsationen hevorgerufen werden.
1.1.2 Historisches
1900 entdeckt Wright die Variabilitat Æ Scutis anhand von Radialgeschwindigkeitsmessungen in hochauosenden Spektren. 1935 wurde von E.A.Fath durch
simultane Radialgeschwindigkeits- und Helligkeitsmessungen die Natur der Variabilitat als Pulsation gedeutet. Spater wurden die heutigen Æ Scuti Sterne als
Zwergcepheiden bezeichnet (Smith 1955), um sie von den RR Lyrae Sternen zu
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10
KAPITEL 1.
Æ SCUTI STERNE
unterscheiden. Bessel (1969) klassizierte alle Objekte mit einer Amplitude groer
als 0.3 mag als AI Velorum Sterne. Schlielich schlug Breger (1979, 1980a) vor, alle diese Objekte, mit Ausnahme der metallarmen, welche als SX Phoenicis Sterne
tituliert werden, Æ Scuti Sterne zu nennen. Zu erwahnen ware noch, da bei den
ehemaligen Zwergcepheiden meist nur wenige Moden beobachtet werden, wobei
es sich dabei meist um die radiale Grundschwingung und/oder den ersten radialen Oberton handelt, was durch Radialgeschwindigkeitsmessungen, den Vergleich
theoretischer und beobachteter Periodenverhaltnisse und Phasenverschiebungen
in unterschiedlichen photometrischen Filtern bestatigt wurde.
1.1.3 Frequenzanalyse
Abbildung 1.1: ein paar Stunden der Lichtkurve von XX Pyx
In Abb.1.1 sind knapp vier Stunden der Lichtkurve XX Pyxidis's dargestellt.
Auf der Ordinate sind die Dierenzen der Helligkeiten im B - Filter zum Mittelwert als Sterne aufgetragen. Auf der Abszisse ist die Zeit von einem willkurlichen
Nullpunkt (t0 ) an gerechnet, aufgetragen. Dazu wurde noch punktiert eine berechnete Sinusfunktion mit der Frequenz1 von f1 (das ist die Frequenz mit der groten
Amplitude, bei der ersten Untersuchung des Pulsationsverhalten des Sterns) und
willkurlicher Amplitude und Phase eingezeichnet. Die mathematische Denition
einer periodischen Funktion (8x : f (x + P ) = f (x)) ist zu streng fur Medaten, aber man sieht, da eine gewisse Regelmaigleit in den Daten vorhanden ist
und man konnte nun leicht eine Periode fur die Nulldurchgange oder die Maxima der Lichtkurve abschatzen. Weiter ist zu bemerken, da die Extrema in ihrer
Hohe stark variieren. Dies ist nicht einer Amplitudenvariation einer einzelnen, si
nusformigen Funktion zuzuschreiben, sondern kann durch Uberlagerung
mehrerer
sinusformiger Signale unterschiedlicher Frequenz und Phase zustande kommen.
Das Fouriertheorem besagt, salopp formuliert, da man mittels der Summation einer Reihe von Sinusfunktionen jede Funktion beliebig genau approximieren kann. Mathematisch sieht das Fourierintegral so aus: f (t) =
1
siehe auch Tab. 4.1
1.1.
ALLGEMEINES
11
R1
1 R1 ~
i!t
i!t dt wobei f (t) die Licht~
2 1 f (! ) exp d! und f (! ) = 1 f (t) exp
kurve und ! die Kreisfrequenz sind. Dies sieht nach einer Zirkeldenition aus.
Tatsachlich ist man bei der Periodenbestimmung aber nur am Betrag oder dem
Quadrat der Funktion f~(! ) interessiert, das heit man kennt die Funktion f (t)
und kann daraus f~(! ) berechnen. Nun ist keine Messung weder unendlich lange
noch kontinuierlich, und bei der Berechnung des Fourierspektrums (f~(! )) werden
aus den Integralen Summen, die man nur uber die Medauer integrieren mu.
Die window function (w(t)) ist zu allenR Mezeitpukten eins und uberall sonst
Null. Die Fouriertransformation (F ( ) = 11 w(t) expi 2t dt) der window function heit Spektralfenster. Geht man davon aus, da ein Stern ein kontinuierliches
Signal(f0) zeigt, so bekommt man durch Faltung von w(t) f0 (t) =
R1
w
(
t
t0 ) f0 (t0 ) dt0 die Funktion f (t). Im Fourierraum wird dann aus der Fal1
tung eine Multiplikation. f~(! ) = f0 ~ w(! ) = f~0 (! ) w~ (! )
Aus der Orthogonalitat der Sinusfunktionen kann man leicht erkennen, da ein
unendlich langes, sinusformiges Signal ein Fourierspektrum hat, das nur an genau
einer Stelle nicht Null ist; diese "Funktion\ bezeichnet man als Æ -Distribution. Allerdings ist man nicht so sehr an dem intrinsischen Signal des Sterns interessiert,
sondern daran mit welcher Frequenz er seine Helligkeit variiert. Die Funktionswerte von f~ werden als Amplitude tituliert. Ein Fourierspektrum eines realen
Datensatzes besteht nicht nur aus Faltungen des Spektralfensters mit einigen
Æ -Funktionen, sondern es treten auch Scheinfrequenzen auf, die als Rauschen bezeichnet werden und durch Mefehler hervorgerufen werden. Naiverweise konnte
man doch versuchen, das Rauschen aus f~ zu eliminieren, und zuruck zu transformieren, um so das Signal ohne Rauschen zu erhalten. Da das Rauschen mitunter
gleiche Amplitude wie das Signal hat, ist dies aber nicht moglich. Ein einzelnes,
hohes Maximum wird also auf eine Mode mit groer Amplitude schlieen lassen,
und die Frequenz bei der dieses Maximum auftritt, lat sich leicht mit der vorhin
abgeschatzten Periode vergleichen. Hat man viele Maxima ahnlicher Amplitude,
so wird die Sache weit schwieriger. Die von der Wiener Asteroseismologie Gruppe bevorzugt verwendete Methode wird im folgenden kurz beschrieben. Fur eine
ausfuhrlichere Beschreibung empfehlen sich Kerschbaum (1988) und Sperl (1998).
Die Nyquist-Frequenz ist der Kehrwert der kleinsten noch auosbaren Periode. Im Falle aquidistanter Daten wird sie mit N = 1=2t berechnet, wobei t
der zeitliche Abstand zweier Mepunkte ist. Fur nicht-aquidistante Daten ist die
Nyquist-Frequenz nicht deniert, aber aus dem Fourierspektrum meist leicht ablesbar, da oberhalb der Nyquist-Frequnz das Rauschniveau sprungartig ansteigt.
Nach eingehenden Vorbereitungen betrachtet man das erzeugte Fourierspektrum und entscheidet sich fur ein vielversprechendes Maximum (zum Beispiel
das mit der groten Amplitude). Danach berechnet man die Residuen wie folgt:
Mit der gewahlten Frequenz wird ein sinusformiger Fit von der Lichtkurve abgezogen. Diese Dierenzen heien Residuen: r(t) = f (t) a1 sin(21 t + 1 ) Die
Summe der Quadrate der Residuen ist ein Indikator fur die Qualitat des Fits.
12
KAPITEL 1.
Æ SCUTI STERNE
Die Frequenzen der anderen in Frage kommenden Maxima werden andere Werte
fur die Quadrate der Fehler liefern, und man wird sich fur die Frequenz mit dem
kleinsten entscheiden.
Falls das Signal durch Superposition mehrerer sinusformiger Teilsignale zustande kam, werden die Residuen, die sich nach Abzug von nur einem Teilsignal
ergeben, noch gewisse Periodizitaten aufweisen. Daher fuhrt man wieder eine
Fouriertransformation durch, allerdings nicht von der Lichtkurve sondern von den
Residuen. Auch hier werden die vielversprechendsten Maxima ausprobiert, wobei
aber diesmal nicht nur eine Frequenz abgezogen wird, sondern es wird ein Fit
mit zwei sinusformigen Funktionen von der Lichtkurve abgezogen, wobei sich die
vorhin gewonnene Frequenz noch andern kann. Die Residuen werden erneut untersucht, und dann wird mit drei Frequenzen gettet. Dies ist ein iterativer Proze,
der nicht vollig automatisiert werden kann, und der ein hohes Ma an Umsicht
und Erfahrung verlangt. Werden die Amplituden kleiner, so kommt man dem
Rauschniveau immer naher. Langjahrige Studien haben gezeigt, da ein SignalRauschverhaltnis von mindestens vier notwendig ist, um sicherzugehen, da man
wirklich eine intrinsische Variation des Sterns (oder der Atmosphare) gefunden
hat.
Die Fourieranalyse dient also in erster Linie nur dazu, bessere Schatzwerte
fur die Frequenzen des Fits an die Lichtkurve zu erhalten. Andererseits gibt sie
auch Auskunft uber die Verlasslichkeit, da die gefundenen Frequenzen nicht Teil
des Rauchen sind, sondern Pulsationsmoden des Sterns. Die Frequenzwerte fur
den Fit werden mit der Methode der kleinsten Quadrate verfeinert. Dabei ist
es wichtig, die Konvergenzeigenschaften des Algorithmus zur Minimumssuche zu
kennen und auszutesten.
1.1.4 Beobachterisches
Æ Scuti Sterne sind pulsierende Veranderliche mit einer Spektralklassikation zwischen A2V und F1V auf der Hauptreihe und zwischen A5III und F8III im Riesenbereich. Von hellen Sternen kann man zusatzlich zu photometrischen Zeitreihen
Zeitserienspektroskopie machen, welche weitere Informationen liefert. Viskum et
al. (1997) verwenden Spektren geringer Auosung und photometrische Daten die
simultan gewonnen wurden, um aus dem Verhaltnis der Amplitude der Variati quivalentbreite einer Wasserstoinien zur gemittelten photometrischen
on der A
Amplitude { basierend auf den Arbeiten von Kjeldsen Bedding et al. (1996) {
eine Bestimmung des Grads2 der Moden vorzunehmen. Mantegazza et al. (1996)
konnten mit Hilfe der Linienprolvariationen in hochauosenden Spektren Moden
mit ` 6 feststellen.
Breger (1990) zeigt die enorme Verbesserung der Spektralfenster (Erklarung
im nachsten Kapitel) durch internationale Kampagnen unter Verwendung von
2
Der Grad einer Pulsationsmode wird meist mit ` bezeichnet und in Kapitel 3 deniert.
1.1.
ALLGEMEINES
13
Teleskopen unterschiedlicher geographischer Lange. Daher gibt es einige internationale Anstrengungen, dies umzusetzen. DSN steht fur Delta Scuti Network und
wurde von M. Breger an der Universitat Wien und an der University of Texas
in Austin im Jahre 1983 gegrundet. Mittlerweile wurden schon 16, meist recht
erfolgreiche, Kampagnen durchgefuehrt. Whole Earth Telescope (WET) wurde
durch Initiative von R.E. Nather und D.E. Winget an der Universitat Texas
in Austin gegrundet und von Nather (1990) beschrieben. Der Schwerpunkt der
WET-Kampagnen sind weie Zwerge.
Weitere bekannte Beispiele sind: GNAT (Global Network of Automated Telscopes), STACC (a Small Telescope Array with Ccd Cameras), STEPHI (STEllar
PHotometry International) und MUSICOS (MUlti SIte COntinuous Spectroscopy).
Es gibt zahllose Beobachtungstechniken, wobei man mit der Wahl der Technik bereits die Nyquistfrequenz mehr oder weniger vorgibt, was den verwendbaren
Frequenzbereich einschrankt. Die wichtigste Methode fur langperiodische Æ Scuti
Sterne ist die Drei-Sternmethode (Breger 1993). Dabei reicht ein Einkanalphotometer, und es werden abwechselnd der erste Vergleichsstern, der Veranderliche und der zweite Vergleichsstern gemessen, und nach jedem Stern zusatzlich
der Himmelshintergrund. Die Vergleichssterne sollten einen moglichst ahnlichen
Spektraltyp wie der Veranderliche haben und auch am Himmel nahe beisammen
sein, um lange Teleskopfahrten zu vermeiden. Erfahrene Beobachter schaen es
dabei, etwa alle vier bis sechs Minuten zu einem Mewert fur den Veranderlichen
zu kommen (G. Handler, private communication). Diese Abtastrate ist ausreichend fur Perioden groer als eine halbe Stunde und die Vergleichssterne erlauben es Transparenzschwankungen der Atmosphare zu erkennen und die Mewerte
entsprechend zu korrigieren, was die Genauigkeit verbessert.
Ist man an kurzeren Perioden interessiert, so wird man die "highspeed\-Technik verwenden. Dabei benutzt man meist ein Zwei- oder DreiKanalphotometer, und es wird nur ein Vergleichsstern durch einen anderen Kanal,
und gegebenenfalls der Himmelshintergrund durch den dritten Kanal gemessen.
Dabei nimmt man an, da die Sensibilitat der Rohren wahrend der Beobachtungszeit nur langsam variiert, und da der/die Vergleichsstern/e konstant ist/sind.
Diese Technik wird fur roAp-Sterne und Weie Zwerge angewendet, und auch fur
Æ Scutis, falls sie kurze Perioden, wie etwa XX Pyxidis, zeigen.
GLOBUS Kampagnen sind gemeinsame Kampagnen von WET und DSN.
Breger und Handler (1993) erlautern anhand der GLOBUS Kampagne 1993 die
Unterschiede der Drei-Sternmethode und der High-Speed-Methode.
14
KAPITEL 1.
Æ SCUTI STERNE
1.2 XX Pyxidis
1.2.1 Die Entdeckung der Variabilitat des Sterns
CD {24 7599 und seine Benennung in XX Pyxidis
Bei der WET Kampagne XCOV 7 im ersten Quartal des Jahres 1992 beteiligten
sich sechs Sternwarten, um eine Zwergnova mit 2-Kanal Photometern zu beobachten. Als Vergleichssterne wurden CD{24 7599 oder CD{24 7605 empfohlen.
Nach einigen Tagen wurde die Variabilitat von CD{24 7599 bemerkt und von
da an wurde CD{24 7599 ausschlielich als Vergleichsstern beobachtet, was auf
den ersten Blick etwas verwundern mag. Dazu ist anzumerken, da fur die Reduktion der high-speed-WET Daten der zweite Kanal nur zur Entdeckung von
etwaigen Transparenzvariationen oder ob die Bedingungen noch "photometrisch\
sind, verwendet wird, aber nicht um die Daten des ersten Kanals zu reduzieren (Nather et al. 1990). Die so erhaltenen 110 Stunden high-speed-Photometrie
wurden von Gerald Handler sorgfaltigst reduziert und publiziert (siehe Handler
1994, und Handler et al. 1996). 1997 wurde dann der Name XX Pyxidis im IBVS
(Kazarovets & Samus 1997) zugewiesen.
1.2.2 Weitere Kampagnen
Da Handler (1994) die begrundete Vermutung aufstellte, da weitere Frequenzen
nur durch eine neuerliche Kampagne zu gewinnen waren, wurde im Mai 1994
bei der XCOV 10 Kampagne CD{24 7599 als drittes Zielobjekt ausgewahlt, was
immerhin 92 Stunden brauchbarer Photometrie lieferte. Die Kombination beider
Datensatze ergab schlielich 14 Frequenzen, wobei eine Frequenz doppelt so hoch
war wie die Hauptfrequenz, was durch eine nicht sinusformige Hauptfrequenz
hervorgerufen wurde und daher nicht als unabhangige Frequenz gezahlt werden
kann. Mit diesen 13 Frequenzen war CD{24 7599 ein Jahr lang der Æ Scuti Stern
mit den meisten Frequenzen. Was nach Abzug der 14 Frequenzen ubrig blieb
ist in Abb. 1.3 zu sehen. G. Handler vermutete Amplitudenvariationen in nur
wenigen Monaten und beobachtete daher diesen unscheinbaren Æ Scuti Stern sowohl zwischen den beiden WET-Kampagnen als auch nachher, namlich im Marz
1993, im November 1994, im Marz und Dezember 1995 und im Februar und Marz
1996 (alle in Handler et al. 1998), wobei letzteres eine Mini-Kampagne mit drei
beteiligten Sternwarten war, und die Februar 96 Kampagne mit zwei Sternwarten bestritten wurde. Abbildung 1.2 zeigt das Ergebnis der Auswertung beider
WET-Kampagnen: ein schematisches Amplitudenspektrum.
1.2.3 Amplituden- und Frequenzvariation
Was bei all diesen Daten auÆel war, da die Amplituden und die Frequenzen der
dominierenden Moden nicht konstant waren. Das zeigt einerseits, da XX Pyx {
1.2.
XX PYXIDIS
15
Abbildung 1.2: Amplituden nach Auswertung der XCOV 10 Kampagne
Abbildung 1.3: Fourierspektrum nach Abzug der 14 signikanten Frequenzen.
mp sind eine von der WET-gruppe gerne verwendete Einheit der Intensitatsanderung, die etwa 0.92 mmag2 entspricht (Winget et al. 1994). Diese Abbildung wurde freundlicherweise von G. Handler zur Verfugung gestellt.
16
KAPITEL 1.
Æ SCUTI STERNE
so wie viele andere Æ Scuti Sterne auch { kein stabiles Pulsationsverhalten hat,
und andererseits die Probleme der Beobachter, und der Datenanalyse mit der
Fouriermethode, bei der man versucht ein Signal mit Sinusfunktionen konstanter
Frequenz und Amplitude zu reproduzieren. Wahrend ein sinusformiges Signal ein
verschobenes Spektralfenster im Fourierraum zur Folge hat, verursacht eine Amplitudenvariation eine Verbreiterung der Strukturen des Spektralfensters. Leider
ist CD{24 7599 nicht das ganze Jahr von der Erde aus beobachtbar - seine Saison
ist Oktober bis Mai {, da sonst einer luckenlosen Beobachtung nur profane Dinge
im Weg stunden, wie etwa nicht ausreichende, nanzielle Resourcen oder nicht
genug Beobachtungszeit an diversen Teleskopen.
Die Verwendung von Wavelets statt der Fourieranalyse hatte den Vorteil der
variablen Amplituden, aber dazu mute der "duty cycle\ groer als 80% sein. Leider ist die Entwicklung von Wavelets noch nicht weit genug vorangeschritten um
hier eine Verbesserung zu bringen. In Abb.1.5 sieht man in den kleinen Kasten die
jeweiligen Spektralfenster, die Ruckschlusse auf Anzahl der beteiligten Teleskope,
deren geographische Verteilung und der gesamt Dauer der Kampagnen zulassen,
und im Fourierspektrum sieht man wie schnell sich die Amplituden bei XX Pyx
andern.
Vorausgesetzt, die Perioden eines Sterns sind richtig bestimmt, zeigt ein
O{C\ -Diagramm (observed minus calculated) wie sich die Phase3 einer Mode
"
des Sterns andert. Dabei tragt man auf der Abszisse den Zeitpunkt der Beobachtungen auf und auf der Ordinate die Phasendierenz der vorausgesagten und
der beobachteten Lichtkurve. Fig 1.4 zeigt fur die drei Moden mit den starksten

Amplituden die Anderung
der Phase.
Die Phase () ist der Zeitpunkt des Maximums oder des ansteigenden Nulldurchgangs
modulo der Periode.
3
1.2.
XX PYXIDIS
17
Abbildung 1.4: Amplituden- und Freqenzvariationen: links: "O{C\ -Diagramm:
Auswertung aller bisherigen Beobachtungen. rechts: Die beobachteten Frequenzanderungen sind zu gro, um von der stellaren Entwicklung hervorgerufen zu sein. Diese Abbildungen wurden freundlicherweise von G. Handler zur
Verfugung gestellt und sind von G. Handler et al. (1998) publiziert worden.
18
KAPITEL 1.
Æ SCUTI STERNE
Abbildung 1.5: Die Zeitreihe der Fourierspektren illustriert die Amplitudenvariationen
Kapitel 2
Sternaufbau und
Sternentwicklung
2.1 Einleitung
Auf die Sternentstehung wird hier nicht weiter eingegangen, es wird nur ein Abriss
der gangigen Theorie gegeben. Genugend groe interstellare Wolken kontrahieren,
um meist nicht nur einen Stern sondern einen ganzen Haufen von verschiedenen
Sternen zu gebaren. Durch die Kontraktion wird die vormals interstellare Materie erwarmt, wobei die dazu notige Energie aus der potentiellen Energie gewonnen wird. Die entscheidenden Groen fur die Details der Sternentstehnung sind,
auer der Anfangskonguration, die chemische Zusammensetzung, die Rotation
und das Magnetfeld. Es entstehen lokale Verdichtungen die schneller kontrahieren
und in Folge auch umliegendes Material { Gas und Staub { akkretieren und so
schneller wachsen. Es wird aber nicht das gesamte Ausgangsmaterial in Sterne
umgewandelt, da ab einem gewissen Stadium die Protosterne durch Sternwind
und Strahlung das Material rund um den Protostern weg vom Massenzentrum
des Protosterns beschleunigen, und damit ihre Umgebung von Gas und Staub
befreien. Diese Anfangsphasen sind noch nicht vollig verstanden, da Staub und
Gashullen die Beobachtungen stark erschweren, so lange sie nicht vollig weggeraumt sind. Das vorher eingefallene Material und die Kontraktion erhitzen den
Stern so lange bis erst der schwere Wassersto (=Deuterium) zur Kernfusion
kommt, was den Stern weiter erhitzt. Dann setzt die Kernfusion von Wassersto (auch als Wasserstobrennen bezeichnet) im Kern ein, und die abgestrahlte
Energie wird nicht mehr aus der Gravitationsenergie, sondern durch den Massendeekt bei der Kernfusion gedeckt. Dies ist die Geburtsstunde eines Sterns.
Er liegt jetzt im Hertzsprung-Russel-Diagramm (HRD) auf der ZAMS { der "zero
age main sequence\. Auf ihr haben alle Sterne gleiches Alter (Null).
Photometrische Messungen von Sternhaufen zeigen im FarbenHelligkeitsdiagramm eine untere Einhullende { die Hauptreihe. Geht man
19
20
KAPITEL 2.
STERNAUFBAU UND ENTWICKLUNG
davon aus, da die Mitglieder eines Sternhaufens in etwa gleiches Alter haben,
so wurde im HRD eines einzelnen Sternhaufens eine Isochrone zu sehen sein. Bei
den jungsten Sternhaufen sieht man die ZAMS.
Die Lage der theoretischen ZAMS wird durch die in den Berechnungen verwendeten Parameter, wie zum Beispiel unterschiedlichen chemischen Zusammensetzungen und Rotationsraten, bestimmt, man kann aber die Kurve die die ZAMS
beschreibt alleine mit der Masse als Parameter darstellen. Eine wichtige Annahme
fur die Modellbildung ist, da die Sterne beim Einsetzen des Wasserstobrennens
chemisch homogen sind. Dies ist die einfachste Annahme und bedeutet, da die
Sterne ihre Entstehungsgeschichte, abgesehen von den Gesamthaugkeiten, vollig
vergessen. Bevor die Sternentstehungsrechnungen nicht dazu zwingen, wird dieses
Konzept, in Ermangelung etwas Besseren, wohl erhalten bleiben.
Nahm man fruher an, da die sogenannten Fixsterne unveranderlich und ewig
sind, so zeigt sich, da eigentlich nichts konstant und unveranderlich ist. Freilich
ist die nukleare Zeitskala1 eines Ein-Sonnenmassen Sterns mit etwa 109 Jahren
so gro, da daraus resultierende A nderungen nicht leicht beobachtet werden
konnen, andererseits sieht man bei der Sonne auch periodische Veranderungen
wie die Sternecken, mit einem Zyklus von etwa 22 Jahren, und die schon fruher
erwahnten Funf-Minuten-Pulsationen.
2.2 Die Sternaufbaugleichungen
Die Sternaufbaugleichungen sind nichtlineare partielle Dierentialgleichungen,
die die raumliche Struktur eines eigengravitativen Gasgemischs vorgegebener Zusammensetzung und dessen zeitliche Entwicklung beschreiben. Nicht beschrieben
werden hier die Eekte der Rotation. Im Buch von Kippenhahn und Weigert
(1990) nden sie sich in ubersichtlicher Art und Weise zusammengestellt und
erlautert.
1
@r
=
(2.1)
@Mr
4r2 @P
GMr
1 @2r
=
(2.2)
@Mr
4r4 4r2 @t2
@T Æ @P
@Lr
= n cP +
(2.3)
@Mr
@t @t
GMr T
@T
=
r
(2.4)
@Mr
4r4P
!
X
@Xi
m X
= i
rji
rik
; i = 1; : : : ; I
(2.5)
@t
j
k
1
Die nukleare Zeitskala entspricht jener Zeit, in der ein Stern die abgestrahlte Energie durch
Kernfusion decken kann. nuk = Enuk =L
2.2.
DIE STERNAUFBAUGLEICHUNGEN
21
Der chemische Vektor Xi speziziert die hauptsachlichen Bestandteile des Gases. Von den I Gleichungen
(2.5) sind nur I -1 Gleichungen notwendig, da man
P
noch die Bedingung Ii=1 Xi = 1 hat. Die Xi sind Massenanteile, und nicht der
dekadische Logarithmus der Teilchenzahl, bezogen auf Wassersto, wie es die
Spektroskopiker gerne verwenden. Oft verwendet man aber nur zwei Elemente
{ namlich Wassersto (X ) und Helium (Y ) { und bezeichnet alle anderen als
Metalle (Z ). Solare Haugkeiten sind X = 0:7 und Y = 0:28, daher mu dann
Z = 0:02 sein. Zu berucksichtigen ist auch, da Sterne im allgemeinen keine
homogene chemische Zusammensetzung haben. Erwahnt seien die Umwandlung
durch Kernreaktionen, Diusion, Absetzprozesse, selektive Strahlungbeschleunigung, Akkretion von Gas, Staub oder Begleitern und die Entstehungsgeschichte
des Sterns.
Gleichung (2.1)Rerhalt man durch Dierenzieren der Denition der integrierten Masse: Mr = 0r 4 r0 2 % dr0 . Die integrierte Masse ist die Masse innerhalb
einer Kugel mit Radius r. Die Funktion Mr (r) ist im Intervall [0; R] monoton
wachsend, und daher auch als unabhangige Variable geeignet. Da die Sternmasse
meist konstant gesetzt wird { Sternwinde und Akkretion werden vernachlassigt {
und der Sternradius nicht von vornherein bekannt ist und sich obendrein wahrend
der Entwicklung stark vergroert, ist die Masse als unabhangige Koordinate besser geeignet. Im Zentrum ist also r(Mr = 0) = 0, wahrend man den Sternradius
erst aus den Berechnungen erhalt.

Gleichung (2.2) wird aus hydrostatischen Uberlegungen
abgeleitet: der anziehenden Wirkung der Gravitation wirkt der Druck entgegen. Hinzu kommt
noch ein Beschleunigungsterm, der aber in den Sternentwicklungsprogrammen
vernachlassigt wird, da dort hydrostatisches Gleichgewicht angenommen wird.
Den Druck im Inneren kennt man nicht genau, aber am Auenrand des Sternes
ist er fast Null, bzw. gleich dem Druck im interstellaren Medium. Die Gleichungen
(2.1) und (2.2) bilden den sogenannten mechanischen Teil, und sind nur durch
% mit den anderen Gleichungen gekoppelt. Verwendet man einen analytischen
Zusammenhang zwischen % und P , der unabhangig von der Temperatur ist, so
kann man damit die mechanische Struktur, also den Dichteverlauf und die Massenverteilung im Modell, fur einfache Modelle, wie etwa Polytropen, berechnen.
Die Gleichung (2.3) wird auch als Energiegleichung adressiert, da die Terme
n und die Energieerzeugungsrate aus der Kernfusion und der Energieverlust
durch Neutrinos sind. Die Leuchtkraft im Zentrum ist Null und nimmt nach
auen hin zu, solange die Zustandsgroen Kernfusion erlauben, um durch die
Hulle konstant zu bleiben. Die Zeitableitungen in 2.3 berucksichtigen A nderungen der inneren Energie, allerdings auf der Kelvin-Helmholtz-Zeitskala (= KH ).
Wahrend der Hauptreihenentwicklung ist nuk jedoch deutlich groer als KH und
diese Terme sind vernachlassigbar. Nachdem der Wassersto im Kern verbrannt
 ndeist, also nach der Hauptreihenentwicklung, kommt es zu groen, schnellen A
rungen im Modell, und die Zeitableitungen sind nicht mehr vernachlassigbar, da
die Energie, die durch Kontraktion frei wird, einen nicht unerheblichen Anteil an
22
KAPITEL 2.
STERNAUFBAU UND ENTWICKLUNG
der Leuchtkraft hat.
Die Gleichung (2.4) beschreibt den Verlauf der Temperatur. Dabei ist r =
d ln T=d ln P und wird entsprechend dem Schwarzschildkriterium entweder fur
strahlungsdominierten oder konvektiven Energietransport berechnet. Die Zentrumstemperatur ist a priori unbekannt, und die "Auentemperatur\ hangt von
der verwendeten Atmosphare ab.
Drei der Groen (namlich %(P; T; Xi ); (P; T; Xi); n (P; T; Xi )) werden auch
als Materialfunktionen bezeichnet, wobei die n meist schon um die korrigiert
sind. Es ware zu aufwendig diese gleichzeitig mit den Sternaufbaugleichungen zu
losen, daher verwendet man Tabellen, welche von anderen Arbeitsgruppen (OPAL
(Rogers et al. 1996), OP (Seaton et al. 1996)) berechnet werden. Zu erwahnen
ware hier noch, da nicht nur die Wahl der Materialfunktionen, sondern auch die
Art und Weise, wie in den Tabellen der Materialfunktionen interpoliert wird, eine
groe Rolle spielt (siehe auch Appendix).
An- und Abreicherungen verschiedenster Elemente in der Hulle und in der
Atmosphare sind bisher nur schlecht verstandene Phanomene, die haug mit der
Entmischung durch Strahlungsdruck, welchem aber die Diusion entgegenwirkt,
bzw. mit dem Absinken der schweren Elemente erklart wird. Diese konnten wohl
 ber- und Unterhaugkeiten einiger Gruppen chemisch pekuliarer Sterne
fur die U
wie zum Beispiel die Gruppe der -Bootis Sterne2 oder die Gruppe der Æ Delphini Sterne3 , verantwortlich sein. Da Spektralanalysen von Æ Scuti-Sternen, im
Gegensatz zu den roAp-Sternen, keine systematischen Abweichungen von den
Haugkeiten der Sonne zeigen, werden die Modelle mit einer Mischung von Elementen schwerer als Helium die der Sonne entspricht, gerechnet.
2.2.1 Randbedingungen
Die Gleichungen 2.1 bis 2.5 beschreiben einen Stern mit einer bestimmten Masse
M . Mathematisch gesehen ist dies ein Anfangs-Randwertproblem. Es sind vier
Funktionen und der zeit- und tiefenabhangige chemische Vektor, die den Sternaufbau beschreiben: r(Mr ), Lr (Mr ), P (Mr ), T (Mr) und Xi (Mr ). Ist man an einer
Momentaufnahme eines Hauptreihensternes interessiert, so gibt man die chemische Struktur vor und reduziert damit das Problem auf vier Gleichungen. Weiters
kann man die Zeitableitungen in den ersten vier Gleichungen vernachlassigen, da
die Zeitskalen fur diese Terme die Kelvin-Helmholtz bzw. die dynamische (FreiFall) Zeitskala sind, welche bekanntlich um mehrere Groenordnungen kleiner
als die nukleare Zeitskala sind. Dadurch erhalt man ein gewohnliches Dierentialgleichungssystem vierter Ordnung. Der Preis fur diese Vereinfachung sind die
impliziten Annahmen, da der Stern immer im thermischen und hydrostatischen
Ein anderer Erklarungsversuch des -Bootis-Phanomens ware die Akkretionshypothese
(Heiter 1996 und dortige Referenzen).
siehe auch Kurtz 1976
2
3
2.2.
23
DIE STERNAUFBAUGLEICHUNGEN
Gleichgewicht ist, was man aber fur die Hauptreihenentwicklung als gegeben annimmt. Die Losung dieser Gleichungen, also die Kenntnis der vier oben genannten
Funktionen im Intervall [0; M ] zu einem Zeitpunkt t bezeichnet man als Sternmodell (siehe auch Abb. B.1).
Physikalisch sinnvoll losen kann man das Problem nur mit Randbedingungen.
Fur das Zentrum eines Sterns ergeben sich die Randbedingungen:
Mr = 0 :
r = 0;
Lr = 0
Dies folgt aus physikalischen U berlegungen, da innen weder ein Loch noch eine
Singularitat sein sollte.
An der Oberache ist die Sache etwas schwieriger. Im einfachsten Modell setzt
man einfach am Auenrand Druck und Temperatur auf Null:
Mr = M : T = 0; P = 0
Der Stern ist naturlich nicht plotzlich "aus\, sondern die Dichte und der Druck
werden nach auen zu sehr klein und nahern sich dann den Werten des interstellaren Mediums. Will man die Sache etwas realistischer angehen, so nimmt
man die Photosphare, welche sich bei einer optischen Tiefe4 von = 2=3 bendet, als "Oberache\. Die Photosphare hat per denitionem Eektivtemperatur
2 T 4 , wobei die Stefan-Boltzmann-Konstante fur
(Te ), und es gilt L = 4Re
e
Schwarzkorperstrahlung ist. Der Druck in der Photosphare ist nicht Null sondern
entspricht dem Gewicht der auerhalb liegenden Masse auf die Oberache. Mit
diesen Annnahmen kann man eine analytische Randbedingung formulieren. Genauere Resultate sind mit einem aufgesetzten Atmospharenmodell moglich (ein
aktuelles Beispiel: Audard et al. 1998), sind aber nur fur einzelne Modelle sinnvoll, da eine zuzsatzliche Atmospharenrechnung zu viel Rechenzeit verbrauchen
wurde.
Problematisch bei den Randwerten ist die Tatsache, da man die Randbedingungen nicht an nur einer Intervallgrenze kennt, sondern zwei an jeder. Dies
verhindert, da man einfach an der Grenze mit den bekannten Randwerten zu
integrieren beginnen kann, um so eine Losung zu erhalten.
Technisch lost man das, indem man von innen beginnend mit Schatzwerten
fur den Zentrumsdruck (Pc ) und Zentraltemperatur (Tc ) bis zu einer vorher denierten Fitmasse integriert. Ebenso beginnt man von auen mit Schatzwerten
fur den Sternradius (R) und die Eektivtemperatur (Te ) in den Stern hinein zu
integrieren, bis man zur Fitmasse kommt. Da man die Schatzwerte nicht genau
genug kennt, werden die Funktionswerte an der Stelle Mt fur die vier Funktionen (r(Mr ), Lr (Mr ), P (Mr), T (Mr)) nicht unabhangig davon sein, ob man von
auen oder von innen begonnen hat zu integrieren. Die Funktionen sollten dort
physikalisch sinnvolle Bedingungen erfullen (Stetigkeit, Dierenzierbarkeit). Aus
4
Denition: (r) =
R1
r
( ) ( ) dr
R r0 % r0
0
24
KAPITEL 2.
STERNAUFBAU UND ENTWICKLUNG
den Dierenzen und den Dierenzen der Ableitungen werden neue Schatzwerte
abgeleitet. Mit diesen beginnt das Integrieren von neuem solange, bis die Auenund die Innenlosung stetig und dierenzierbar (im numerischen Sinne) aneinander
anschlieen.
Wie man sieht, denieren alleine die Masse und das chemische Prol das
Sternmodell. Allerdings lassen die Gleichungen nicht nur einen Hauptreihenstern
zu, sondern auch einen massegleichen weien Zwerg. Praktisch sind die Materialfunktionen entweder fur weie Zwerge oder fur Hauptreihensterne bestimmt und
die Konvergenzradien der numerischen Losungsverfahren klein genug um entweder ein ZAMS-Modell zu berechnen oder kein erfolgreiches Programmende zu
erreichen.
Fur Sterne die nur einen geringen Unterschied in der Masse aufweisen, sind
die Strukturen sehr ahnlich. Modelle mit Massen groer als etwa 1.2 M haben
eine zentrale Konvektionszone, deren Groe primar von der Masse und dem Alter
abhangen, und eine radiativ geschichtete Hulle.
2.2.2 ZAMS
Rechnet man fur verschiedene Massen eine Sequenz von chemisch homogenen
Modellen, so erhalt man die ZAMS, die man versucht, an Sternhaufen anzupassen, um ein Sternaufbauprogramm zu kalibrieren und zu testen. Aus Leuchtkraft,
Oberachenschwerebeschleunigung und Temperatur gewinnt man Farbe und Helligkeit, die mebar sind. Die im Farben-Helligkeitsdiagramm eingezeichnete Isochrone (Linie gleichen Alters), die am besten zu dem Sternhaufen pat, bestimmt
das Alter des Sternhaufens. Fur sehr junge Sternhaufen ist dann die Isochrone fast
die ZAMS. Andererseits kann man Doppelsterne verwenden, bei denen man die
Oberachenschwerebeschleunigung und die Massen aus den gegenseitigen Umlaufbahnen und eventuell auch aus spektroskopischen Untersuchungen kennt, um
Kalibrationen mit synthetischer Photometrie zu vergleichen (Villa 1998).
Die ZAMS ist stark von den gewahlten Parametern abhangig. In Abb. 2.1
werden die Eekte der Parameteranderungen visualisiert. Dazu wurden verschiedene Modelle in ein Hertzsprung-Russell-Diagramm (siehe auch Kapitel 4, S. 43)
eingezeichnet. Die Rotation verursacht durch die Zentrifugalkraft eine Verminderung der eektiven Schwerebeschleunigung. Dies verandert die Modelle derart,
da der Radius zunimmt, und damit die Dichte abnimmt. Mit dem Abnehmen
der Dichte wird auch der Temperaturgradient acher, und Te nimmt ab. Dagegen wird die Zentraldichte mit schnellerer Rotation geringfugig groer, aber
die Zentraltemperatur nimmt ab und es wird daher weniger Masse pro Zeit in
Energie umgewandelt und somit wird die Leuchtkraft geringer.
Eine A nderung der chemischen Zusammensetzung ist schwieriger nachzuvollziehen, da man dabei keine Homologierelationen verwenden kann, da die Groe
der zentralen Konvektionszone stark von der Chemie abhangt und somit die
Struktur zweier Modelle nicht mehr homolog ist. Erhoht man den Wasserstoge-
2.3.
COMPUTERPROGRAMME
25
halt oder die Metallhaugkeit fur ein Modell, so verandert man damit die Opazitaten, die Zustandsgleichungen und die Bedingungen im Sterninneren fur die
Energieerzeugung und damit wird auch die Leuchtkraft beeinut. Naiverweiser
wurde man erwarten, da mit der Erhohung der Wasserstohaugkeit auch eine
Vermehrung der durch Kernfusionsprozesse freigesetzten Energie einhergeht, aber
der Eekt durch abnehmende Tc ist groer und vermindert damit die Leuchtkraft.
Die Struktur und Te werden aber starker durch die Erhohung der Opazitat und
der Zustandsgleichung beeinut, bzw. stellt sich die Energieerzeugung im Sterninneren so ein, da der Stern im thermischen und hydrostatischen Gleichgewicht
ist, etwas anderes konnen die Gleichungen auch nicht beschreiben.
Auch die sogenannten inneren Parameter, namlich der Mischungsweglangen
parameter (MLT ) und der Parameter des konvektiven Uberschieens
(dover ) beeinuen die Lage der ZAMS, die Struktur und die weitere Entwicklung der
Modelle.
2.3 Der Warschau-New Jersey-code
geht zuruck auf B. Paczynski (1969, 1970) und wurde von R. Sienkiewicz, M.
Kozlowski, A.A. Pamyatnykh und W. Dziembowski im Laufe der Jahre weiterentwickelt. Auf Modularitat wurde Wert gelegt und der Code erleichtert nun die
Verwendung verschiedener Quellen fur die mikrophysikalischen Daten. Er besteht
aus mehreren Teilen und ist mittlerweile in FORTRAN geschrieben. Er bedient sich
einer von Schwarzschild entwickelten Methode um ein Startmodell zu generieren und verwendet anschlieend fur die Sternentwicklung die Henyey-Methode
(Kippenhahn & Weigert, 1990). Hervorzuheben ist, da die Rotation in der quasispharischen Approximation berucksichtigt wird (siehe Kippenhahn & Thomas,
1970 oder Sou et al. 1998).
2.3.1 Die Henyey-Methode
Betrachtet man das allgemeine Problem genauer, so sieht man, da die Haugkeiten der Elemente nur in Gleichung 2.5 eingehen. Bedenkt man nun weiter,
da fur Hauptreihensterne die Zeitskala fur nukleare Reaktionen viel kleiner ist
als die fur das hydrostatische Gleichgewicht (nuk << hyd ), so liegt es nahe,
nur die ersten vier Gleichungen 2.1 bis 2.4 unter der Annahme, da sich die chemische Zusammensetzung vernachlassigbar langsam andert (also "konstant\ ist)
und alle Zeitableitungen ebenfalls zu vernachlassigen sind, zu losen. Man erhalt
so eine statische Losung, einen Stern der vollig konstant und ewig leuchtet, also
ein Objekt, das unendlich viel Energie abstrahlen kann, etwas A hnliches wie ein
Perpetuum mobile. Mit dieser statischen Losung kennt man also die Zustandsgroen im Zentrum hinreichend gut, um die nuklearen Reaktionsraten abschatzen
zu konnen und somit den Verbrauch an "Brennsto\ abzuschatzen. Die Henyey-
26
KAPITEL 2.
STERNAUFBAU UND ENTWICKLUNG
Abbildung 2.1: Theoretische Unbestimmtheit der ZAMS: die gestrichelte Linie ist
die ZAMS. Das Referenzmodell hat die Parameter: M = 1:9M , vrot = 100km/s,
X = 0:7, Z = 0:02 und log Te = 3:943. Eine andere Wahl der Parameter fuhrt zu
einer Verschiebung der ZAMS, die durch die Darstellung von Modellen mit unterschiedlichen aueren Parametern, aber gleichen Parametern fur die Beschreibung
der Konvektion MLT = 1 und das konvektive U berschieen dover = 1, angedeutet wird. Die geanderten Parameter der Modelle sind in der Abbildung explizit
angegeben.
2.3.
COMPUTERPROGRAMME
27
Methode ist ein Verfahren um Sternentwicklung zu betreiben, bei der der Umsatz
von Wassersto in Helium fur einen Zeitschritt extrapoliert und anschlieend das
chemische Prol entsprechend verandert wird. Mit diesem veranderten chemischen Prol wird dann ein neues Modell berechnet. Diese Extrapolation ist aber
zugleich der heikelste Punkt bei dieser Methode, da es ein Eulerverfahren ist.
Der WNJ-code in seiner aktuellsten Version berucksichtigt aber zusatzlich zu
X; Y und Z noch die Isotope N14 und O16 explizit, da diese Isotope entscheidend
fur die EÆzienz des CNO-Kreislaufs verantwortlich sind.
2.3.2 Rotation
Manche der Sternentwicklungsprogramme vernachlassigen die Rotation, aber wie
schon Breger (siehe auch VO 803 004: Einfuhrung in die Astronomie) sagte:
Alles dreht sich, alles bewegt sich!\ Die Rotation verursacht eine Abplattung,
"also
eine geometrische Storung, welche sich naturlich unter Beibehaltung radialer
Symmetrie nicht in trivialer Weise inkludieren lat. Weiters vermindert die aus
der Rotation resultierende Zentrifugalkraft die eektive Schwerebeschleunigung
und bei aufwendigeren Rechnungen waren auch meridionale Stromungen und
die Wechselwirkung zwischen Rotation und Konvektion in Betracht zu ziehen.
Prinzipiell ware es moglich, voll drei-dimensional zu rechnen, aber leider sind
die momentan verfugbaren Rechner nicht schnell genug. Deupree (1998) rechnet
zwei-dimensional, aber nicht die volle Entwicklung, sondern er kombiniert die
Henyey-Methode mit hydrodynamischen Rechnungen, wobei die Zeitpunkte, an
denen der Hydrocode verwendet wird, fur den Verlauf der Entwicklungswege im
HRD entscheidend sind.
Um die Rotation aber nicht vollig auer acht zu lassen und die Rotation
ausschlielich in den Pulsationscodes etwas inkonsistent zu berucksichtigen, {
erst die Rotation (bei Abwesenheit von Magnetfeldern) hebt die Entartung der
Eigenwerte auf { wird im Warschau-New Jersey-Code die quasispharische Approximation verwendet. Dabei wird die geometrische Storung vernachlassigt, und

die Gleichungen nicht in Masse oder Radius, sondern auf Aquipotential
achen
und in Pseudoradien angeschrieben, was das hydrostatische Gleichgewicht beeinut. Die Rotationsbeschreibung ist dennoch einfach, da starre Rotation und
Drehimpulserhaltung angenommen werden. Fur Æ Scuti Sterne liegen nicht genug
Frequenzen pro Stern vor, um die Rotation im Inneren zu modellieren, wie das
bei der Sonne und bei weien Zwergen gemacht wird.
2.3.3 Mikrophysik
Bevor man zu rechnen beginnen kann, mu man erst einige Tabellen bereitstellen. Die Ergebnisse der Arbeitsgruppen OP und OPAL lassen sich leicht mittels
ftp von den Rechnern der entsprechenden Arbeitsgruppen kopieren. F
ur diese
Arbeit wurden die weltbekannten OPAL Opazitaten (Iglesias & Swenson 1996)
28
KAPITEL 2.
STERNAUFBAU UND ENTWICKLUNG
verwendet. Wie wichtig die Opazitaten und speziell die richtige Behandlung der
Metalle fur die Sternmodelle sind, wenn man an Pulsationen, die durch den Opazitatsmechanismus angeregt sind, interessiert ist, wurde von Dziembowski (1991)
eindrucksvoll gezeigt. Auch die OPAL Zustandsgleichung (Rogers, Swenson &
Iglesias 1996) wurde verwendet. Die Mischung der schweren Elemente von Grevesse & Noels (1993) wurde ubernommen. Die nuklearen Energieerzeugungsraten
von Bahcall & Pinsonneault (1995) kamen ebenfalls zur Verwendung.
Kapitel 3
Pulsationen
Wahrend im vorigen Kapitel stets von thermischem und hydrostatischem Gleichgewicht ausgegangen wurde, und so Sternmodelle konstruiert wurden, sollen diese
Momentaufnahmen der stellaren Entwicklung jetzt genauer untersucht werden.
Eine Stabilitatsanalyse eines Sternmodells gibt Aufschlu uber die Reaktion des Systems, wenn eine kleine Storung auftritt. Dazu stort man das System
ein bichen, was mit einer kleinen Energieanderung verbunden ist, und es wird
entweder wieder in den Ausgangszustand zuruckkehren, in einen anderen, energetisch gunstigeren Zustand ubergehen oder im neuen Zustand verharren. Diese
drei unterschiedlichen Reaktionen werden als stabiles, instabiles und indierentes
Gleichgewicht bezeichnet. Beim stabilen Gleichgewicht kann es allerdings passieren, da die Ruckstellkrafte derart stark und die Dampfung so gering sind, da es
zu einem U berschieen uber dieses Gleichgewicht kommt. Meist sind physikalische
Systeme gedampft, und das gestorte System wird die zugefuhrte Energie durch
Reibung wieder verlieren. Falls dieses U berschieen jedoch verstarkt wird, kann
sich eine kleine Storung aufschaukeln bis zur Katastrophe oder bis sich Energiezufuhr und Dampfung die Waage halten und es dann mit konstanter Amplitude
oszilliert.
Fur die lineare Stabilitatsanalyse ersetzt man alle Variablen durch die Gleichgewichtswerte und eine kleine Storung. Dann formt man die Gleichungen um
und entfernt alle nichtlinearen Terme. Fur die stellaren Pulsationen erhalt man
ein komplexwertiges Gleichungssystem sechster Ordnung (siehe Anhang). Die Eigenwerte des Gleichungssytems sind komplex, und zu jedem Eigenwert gibt es
sechs Eigenfunktionen. Ein einzelner Eigenwert zusammen mit den dazugehorigen Eigenfunktionen wird als Schwingungsmode bezeichnet. Obwohl meist nur die
Frequenz einer Mode interessiert, sind die Eigenfunktionen doch von Bedeutung,
da man zum Beispiel anhand der radialen Verschiebung die radiale Knotenzahl1
bestimmen kann. Das Eigenwertspektrum ist diskret, was erst vor einigen Jahren gezeigt werden konnte. Die Klassizierung der Moden geht auf eine Arbeit
Ein Knoten oder eine Knotenlinie sind die Nullstellen der Eigenfunktionen. Anschaulich
sind das Bereiche, deren Amplitude Null ist.
1
29
30
KAPITEL 3.
PULSATIONEN
von Cowling (1941) zuruck. Im stellaren Fall ohne Magnetfelder zahlen die pModen (pressure) und die g-Moden (gravitation), die nach der vorherrschenden
Ruckstellkraft klassiziert werden, zu den haugsten nicht-radialen.
Die grundlegenden Arbeiten uber nichtradiale Pulsationen gehen auf Ledoux
& Walraven (1956) zuruck. Dziembowski (1971 und 1977) beginnt mit adiabatischen Programmen, um dann spater nichtadiabatisch zu rechnen. Gemeinsam
mit Goode (1992) werden Rotationseekte im Stile einer Storungsrechnung bis
zur zweiten Ordnung inkludiert.
In diesem Kapitel wird die lineare Theorie kurz dargestellt und mit Ergebnissen des Pulsationscodes von Dziembowski illustriert.
3.1 Kugelachenfunktionen
Das Gleichungssystem wird durch die Einfuhrung von Kugelachenfunktionen,
welche Losungen des Laplaceoperators2 sind, vereinfacht, weil man dadurch den
radialen Anteil von den winkelabhangigen Anteilen trennen kann. Die Kugelachenfunktionen Ylm (; ) bilden eine Orthogonalbasis fur dieses Problem. Man
kann
in Kugelachenfunktionen entwickeln: u(r; ; ; t) =
P daher jedem Storung
!n` t
u
~
(
r
)
Y
(
;
)
e
Die Zeitabhangigkeit wird alleine durch den Term
`
n;`;m n`
!
t
n`
e beschrieben, wobei die !n` die Eigenwerte des Gleichungssystems, der Imaginarteil von !n` die Frequenz und der Realteil die Dampfung sind. Weiters ist u~
nur mehr von r abhangig, da die Winkelabhangigkeit alleine in Y`m (; ) enthalten
ist. Die Indizes ` und m entsprechen dem Grad und der Ordnung der zugehorigen
Legendreschen Polynome. Anschaulich gibt ` die Anzahl der Knotenlinien auf der
Oberache an, und m die Anzahl der Knotenlinien, die den A quator schneiden,
das heit zu jedem ` gibt es 2` + 1 Moden, die in erster Naherung gleiche Eigenwerte haben. Diese m-fache Entartung wird durch Rotation oder Magnetfelder
aufgehoben, da die Coriolis- und die magnetischen Krafte von der Geometrie der
Moden abhangen. Damit andern sich auch die Frequenzen der Moden. Im Falle
eines rotierenden Sterns sind die Moden nicht mehr stehende Wellen, sondern
laufende Wellen, welche man allerdings als Superposition von stehenden Wellen
betrachten kann. Fur eine m = 0 Mode ist die Losung immer noch eine stehende
Welle. Drastisch verkompliziert wird die Situation, wenn die magnetischen und
die durch die Rotation hevorgerufenen Krafte vergleichbar werden (siehe Kurtz
1982 und Dziembowski und Goode 1992).
Man bezeichnet Moden mit ` = 1 auch als Dipolmoden und mit ` = 2 als
Quadrupolmoden. Moden mit ` = 0 heien radiale Moden und sind ein Spezialfall der nichtradialen, wobei die radiale Mode mit der kleinsten Frequenz als
Fundamentalmode bezeichnet wird. Die Fundamentalmode hat keine Knoten. In
Der Laplaceoperator kommt in der Poissongleichung (4 = 4G %) zur Verwendung, die
in leicht modizierter Form in den Pulsationsgleichungen enthalten ist.
2
3.2.
31
LOKALE ANALYSE
Anlehnung an die radialen Moden bezeichnet man bei nichtradialen Moden die
Moden ohne radialen Knoten als f-Mode.
Schmalwieser (1998) visualisiert die Oberacheneekte nichtradialer Pulsationen anhand des Æ Scuti Sterns FG Virginis. Inspiriert durch jene Arbeit wird
jeweils eine Ansicht einer nichtradialen Mode mit den Quantenzahlen ` = 2 und
jmj = 1 in um jeweils 6Æ verschiedenen Phasen am oberen aueren Rand gezeigt,
die wenn man die Seiten schnell genug umblattert den Eindruck einer laufenden
Welle erzeugen. Die Amplitude an der Oberache mute stark vergroert werden
um die geometrische Verformung sichtbar machen zu konnen. Die Helligkeitswerte
entsprechen der Auslenkung von der Kugeloberache.
3.2 Lokale Analyse
Bei der lokalen Analyse beschaftigt man sich nur mit einer dunnen Schichte im
Stern, und kann daher die Materialgroen als konstant ansetzen. In der CowlingNaherung werden die Storungen im Gravitationspotential vernachlassigt (A.4 und
A.5). Fur das adiabatische (A.6 und A.7 werden nicht berucksichtigt) Problem
in der Cowling-Naherung reduziert sich das Problem auf zwei Gleichungen in
zwei Unbekannten, wobei die Verwendung der Brunt-Vaisala-Frequenz (N ), der
Lambfrequenz (L` ) und der Schallgeschwindigkeit (cs ) die Notation erleichtern
und auerdem noch sekundarer Nutzen daraus zu ziehen ist. Die Details sind in
den "Nonradial Oscillations of stars\ von Unno et al. (1989) nachzulesen. Die
Brunt-Vaisala-Frequenz (N ) deniert sich durch
'
d ln 1 d ln p
gÆ
(3.1)
N 2 (r) = (rad r + r ) = g
Hp
Æ
dr
1 dr
und wird auch als Auftriebsfrequenz bezeichnet. Sie ist die Frequenz mit der eine Menge Gas nach radialer Verschiebung um ihre Ruhelage schwingen wurde.
Die fur die Schwingung notwendige Kraft ist dabei der durch die unterschiedliche Umgebungsdichte erzeugte Auftrieb. Die Lambfrequenz L` andererseits mit
hauptsachlich die lokale Schallgeschwindigkeit. Sie wird durch den Kehrwert der
Zeitskala, welche sich durch den Quotienten aus horizontaler Wellenlange und
Schallgeschwindigkeit ergibt, deniert:
`(` + 1)c2s
L2` (r) =
(3.2)
r2
wobei cs die lokale Schallgeschwindigkeit und r der Radius sind. Die Abhangigkeit der Lambfrequenz von ` beruht auf der Abhangigkeit der horizontalen Wellenlange von `. Je mehr Knotenlinien, desto kurzer ist diese. Gough (1984, 1986)
veranschaulicht, da die maximale Eindringtiefe der Druckmoden, wenn sie ins
Innere des Sterns hineinlaufen, durch Beugung der Schallwellen bis zur Totalreexion, von der Frequenz und der Ordnung der Moden abhangig ist.
32
KAPITEL 3.
PULSATIONEN
3.3 Propagationsdiagramm
Abbildung 3.1: Propagationsdiagramm fur ein ZAMS Modell mit den Parametern: M = 1:9M , log Te = 3:946 und vrot = 50 km/s. N ist als durchgezogene
gewundene Linie, L` als strichpunktierte Linie. Der von rechts oben nach links
unten schraÆerten Bereich ist der Existenzbereich der g-Moden und der andere
schraÆerte Bereich der der p-Moden. Die radiale Fundamentalmode (durchgezogene Linie) bei etwa 21.5 d 1 ist das untere Limit fur die p-Moden. Links sind die
` = 1 und rechts die ` = 2 Moden dargestellt. Zu beachten ist die Trennung von
p- und g-Moden Spektren fur ` = 1, wobei man nicht vergessen sollte, da die
f-Mode fur ` = 1 die Frequenz Null hat, aber bei ` = 2 die f-Mode zwischen den
g- und p-Moden liegt, wodurch keine klare Separation der Teilspektren gegeben
ist.
L` und N sind lokale, das heit vom Radius abhangige, Groen, die man
in hochst ansprechender Form gegen den Radius darstellt, wie dies in Abb. 3.1
zu sehen und erstmals bei Smeyers (1966) zu nden ist. Osaki (1975) zeigt die
Analogie zu den Potentialen, wie sie in der Schrodingergleichung vorkommen, und
da in der Atomphysik ebenfalls ein Ansatz mit Kugelachenfunktionen gemacht
wird. Aus der lokalen Analyse sieht man, da uberall dort wo ein Eigenwert groer
oder kleiner als beide charakteristischen Frequenzen ist, eine periodische Losung
moglich ist. Auerhalb dieser Bereiche werden die Moden exponentiell gedampft.
Die Existenzbereiche sind in dieser Abbildung schraÆert. Die dargestellten gModen haben nur in dem senkrecht schraÆerten Bereich raumlich oszillierende
Losungen, da dort G N und G L` gilt, und sie sind weiter auen in
der Hulle gedampft. Das Arbeitsintegral (siehe spater) fur diese g-Moden ist
allerdings negativ, das heit man erwartet nicht, diese Moden zu beobachten. Fur
die p-Moden gilt P N und P L` was in dem schrag schraÆerten Bereich
in der Sternhulle erfullt ist. Auf der Hauptreihe sind die meisten p-Moden stabil.
Fur einen 1.9 M Stern ist auf der ZAMS p8 bei etwa 6:4 oder 67d 1
instabil.
3.4.
MODENKLASSIFIZIERUNG
33
Da N von r abhangt, so andert sich der Verlauf von N an der Grenze des
konvektiven Kerns, welcher im Laufe der stellaren Entwicklung auf der Hauptreihe schrumpft. Dabei bleibt eine Zone mit abnehmender Wasserstohaugkeit
uber, in welcher daher ein nicht verschwindender -Gradient existiert. Dieser ist
zum Teil fur den recht beachtlich wachsenden Buckel in N innerhalb der inneren
12% des Radius zustandig, der in Abb. 3.2 dargestellt wird.
Abbildung 3.2: Entwicklung des kernnahen Maximums der Brunt-VaisalaFrequenz(N ): Dimensionsloser Radius und Modellnummer am Entwicklungsweg
gegen die Brunt-Vaisala-Frequenz veranschaulichen den schrumpfenden konvektiven Kern, in dem das Wasserstobrennen stattndet. Das Quadrat der BruntVaisala-Frequenz ist in konvektiven Zonen negativ und sehr klein und wird dort
gleich Null gesetzt.
3.4 Modenklassizierung
Bei einem einfachen Sternmodell uberlappen die Frequenzbereiche der g- und pModen nicht, und die Gesamtzahl der radialen Knoten pro Mode wird als Index
zur Bezeichnung der Moden verwendet: pi und gi . Es gibt zwar zu jeder radialen Knotenzahl zwei Moden, aber anhand der Frequenz ist die Unterscheidung
34
KAPITEL 3.
PULSATIONEN
Abbildung 3.3: Propagationsdiagramm fur ein etwas entwickeltes Modell mit den
Parametern: M = 1:9M , log Te = 3:905 und vrot = 70 km/s. (siehe auch
#62 in Abb.3.2 und 3.5). Das lokale Maximum in N , das auf der ZAMS bei
etwa r=R? = 0:25 lag, hat sich nur geringfugig verschoben. Zusatzlich existiert
ein weiteres lokales Maximum in der chemisch inhomogenen Zone auerhalb des
konvektiven Kerns, dessen Maximum bei etwa 13.5 (= 90 d 1 ) liegt. N ist die
durchgezogene Linie, L2 die punktierte. Die Frequenzen der Quadrupolmoden
sind links im Kernbereich angedeutet. Zwei Moden (p2 und p3 aus Abb.3.5 #62)
sind besonders hervorgehoben, indem die Lage der radialen Knoten mittels Sternen bei der passenden dimensionslosen Frequenz gezeigt wird.
3.4.
MODENKLASSIFIZIERUNG
35
leicht. Die f-Mode hat keine Knoten. Sie ist eigentlich eine Oberachenschwerewelle (Gough 1987), verhalt sich aufgrund ihres im Sternmodell auenliegenden
Propagationsgebiets wahrend der Hauptreihenentwicklung wie eine p-Mode. Bei
` = 1 hat die f-Mode die Frequenz Null. Sie entspricht einer unendlich langsamen
Translation des Massenzentrums (Aizenman et al. 1977). Es gibt keine radialen
g-Moden und die radiale Mode ohne Knoten3 wird als radiale Fundamentalmode
bezeichnet.
Abbildung 3.4: Zeitliche Entwicklung des Modenspektrums: Im Zuge der Entwicklung auf der Hauptreihe kommt es zu avoided crossing, wobei die Temperatur,
bei welcher dies stattndet, von ` abhangt. Dargestellt sind nur m = 0 Moden,
die stabilen Moden als Kreise und die instabilen als ausgefullte Kreise.
Wie man in Abb. 3.4, in der nur dimensionslose Frequenzen verwendet werden,
sieht, entwickelt sich das g-Modenspektrum, welches auf der ZAMS noch niedrigere Frequenzen hatte, zu hoheren Frequenzen und das weit schneller als das
Fur r ! 0 geht auch Ær gegen 0, das heit man hat streng genommen dort auch einen
Knoten.
3
36
KAPITEL 3.
PULSATIONEN
p-Modenspektrum, das auf der Hauptreihe fast konstante dimensionslose Frequenzen aufweist. Dies ruhrt daher, da das Propagationsgebiet der p-Moden
deutlich auerhalb des Kerngebiets liegt, und dieses kaum A nderungen erfahrt.
 nderungen in der Dichte werden durch Verwendung der dimensionslosen
Die A
Frequenzen kompensiert. Daher ist es unvermeidlich, da sich die p- und g-Moden
kreuzen. Fur Moden mit gleichem ` kommt es zu Interferenzerscheinungen { dem
avoided crossing { und sie kreuzen einander nicht.
In Abb. 3.3 sind Moden dargestellt, deren Frequenz so liegt, da sie sowohl
im p- als auch im g-Modenbereich angeregt werden. In dem dazwischen liegenden
Bereich, dessen "Breite\ frequenzabhangig ist, werden diese Moden allerdings exponentiell gedampft, was aber bei der geringen Dicke nicht allzuviel ausmacht.
In Abb. 3.5 sind die Eigenfunktionen einiger ausgewahlter Moden dargestellt.
Zusatzlich ist auch noch einer der Bereiche, in dem sich das avoided crossing
abspielt, aus dem Evolutionsdiagramm der Moden (siehe Abb. 3.4) in Abb. 3.5
(links oben) vergroert dargestellt. Weiters sieht man, da manche Moden sowohl Knoten im p- als auch im g-Modenbereich haben. Zusatzlich liegen manche
Knoten im -Gradienten Bereich. Die Gesamtzahl der Knoten ist nicht mehr nur
zweideutig wie bei einem ZAMS-Modell. Avoided crossing wurde erstmal von
Osaki (1975) fur einen 10 M Stern beschrieben und spater von Aizenman et al.
(1977) genauer untersucht.
Abb. 3.4 zeigt die Entwicklung eines 1.9 M Sterns entlang der Hauptreihe.
Man bemerkt, da das avoided crossing fur Quadrupolmoden fruher eintritt als
fur Dipolmoden, was auf die Abwesenheit der f-Mode zuruckzufuhren ist. Physikalisch gesehen handelt es sich hier um zwei gekoppelte Oszillatoren, und deren
Verhalten, wenn ihre diskreten Eigenwerte sehr ahnlich werden (von Neumann
1929). Zwei Moden mit gleichem ` und m konnen nicht die gleiche Frequenz
haben, wobei Analogien in der Atomphysik bei der Besetzung von Orbitalen
mit Elektronen zu dem dabei verwendeten Pauliverbot bestehen. Aizenman et
al. (1977) zeigten, da bei einer willkurlichen Unterdruckung der Kopplung die
Frequenzen einander doch kreuzen. Betrachtet man die Entwicklung des Quadrupolmodenspektrums in Abb. 3.4, so erreicht die Frequenzdierenz der p2 -Mode
zur p3 -Mode bei log Te = 3:905 (entspricht #62) ein Minimum. Wie man in
Abb. 3.5 sieht, haben beide Moden nennenswerte Amplitude in beiden Anregungsbereichen, was die Bezeichnung gemischte Moden nahelegt. Bei #56 ist die
p2 -Mode ihrer Eigenfunktion nach eine g-Mode. Daher erfolgt fur sie die Frequenzanderung schnell, bis sie mit der p3 -Mode zu interferieren beginnt. Bei der
groten Annaherung (#62) hat die p2 -Mode bereits zwei Knoten mehr, und beide
Moden sind gemischt. Anschlieend wird die p2 -Mode wieder zur p-Mode und die
p3 -Mode hat g-Modencharakter, bis sie auf die p4 -Mode trit und das Spiel von
Neuem beginnt.
Nachdem avoided crossing aufgetreten ist, lat die Gesamtzahl der Knoten
pro Mode (n) nicht mehr eindeutig auf die Mode schlieen. Da von den beiden
zusatzlichen Knoten einer im p-Bereich und einer im g-Bereich auftritt, bekommt
3.4.
MODENKLASSIFIZIERUNG
37
 nderung des Modencharakters wahrend des avoided crossing,
Abbildung 3.5: A
am Beispiel der ` = 2; m = 0 p2 und p3 Moden. An den mit Pfeilen angedeuteten
Stellen wurden die radialen Eigenfunktionen geplottet. Die durchgezogene Linie
ist die p2 Mode, die strichlierte die p3 . Anfangs ( #56, log Te = 3.91) hat p2 gModencharakter, was an der groen Amplitude im Zentrum zu sehen ist, und zwei
radiale Knoten. Dann ( #62, log Te = 3.905) spricht man von gemischten Moden,
wobei p2 bereits vier radiale Knoten hat, und die Skala der Ordinate groer ist,
um die Nullstellen besser ersichtlich zu machen. Zuletzt ( #68, log Te = 3.9) hat
die p2 wieder p-, und die p3 g-Modencharakter, um diesen aber bald wieder an
p4 abzugeben.
38
KAPITEL 3.
PULSATIONEN
Abbildung 3.6: A nderung des Modencharakters wahrend des avoided
crossing, illustriert durch die Verteilung der kinetischen Energie im
Modell.R Der Integrand von 1 =
1=Ekin 4r2 % dx mit x = r=R
ist auf der Ordinate aufgetragen,
sonstiges siehe Abb. 3.5
man bei Verwendung der Denition n = nP ng wieder eine monotone Funktion n( ). Zur Orientierungshilfe bei der Klassikation verwendet man meist ein
ZAMS-Modell.
3.5 Asymptotisches
Folgt man Tassoul (1980), so sieht man, da die Gleichungen fur die lokale Analyse
fur groe und fur kleine Frequenzen stark vereinfacht werden konnen, indem
man sie naherungsweise in ein Sturm-Liouville4 Problem umschreibt. In Abb. 3.1
sieht man die Propagationsbereiche fur die g- und p-Moden. Die Analogie zu
Potentialen, wie sie in der Atomphysik verwendet werden, ist augenscheinlich.
Einer der Unterschiede zwischen Schwere- und Druckmoden besteht darin, da
hohe Obertone einmal aquidistant in der Periode und fur die anderen aquidistant
in der Frequenz werden.
Fur XX Pyx sind die Voraussetzungen fur die Anwendung der asymptotischen
Theorie nicht gegeben, da die angeregten Obertone zu geringes n haben. Es bestehen zwar mehr oder weniger regelmaige Frequenzdierenzen zwischen radialen
Obertonen, aber diese sind deutlich unterschiedlich von den asymptotischen.
4
siehe auch: Courant und Hilbert (1968)
3.6.
DAS ARBEITSINTEGRAL
39
3.6 Das Arbeitsintegral
Aus dem Ansatz e!t (mit ! 2 C ) sieht man, da das Vorzeichen des Realteils
der komplexen Frequenz uber Anregung oder Dampfung entscheidet, indem man
! = + i setzt und somit e!t = et eit erhalt. eit ist der periodische Anteil und
et der Dampfungsterm, falls > 0 ist, ware es naturlich besser von Anregung
zu sprechen. hat die Dimension einer Frequenz und entspricht dem Kehrwert
jener Zeit, in der die Amplitude um den Faktor e vergroert oder verkleinert
wird. Nicht verwechseln sollte man dies mit der normalisierten Wachstumsrate ,
welche nach Stellingwerf (1978) mit Hilfe des Arbeitsintegrals berechnet wird.
W
= R 1 dW
0 j dr jdr
Wahrend also die Zeitskala der Amplitudenvariationen vorgibt, sagt etwas
uber die Wahrscheinlichkeit, eine Mode zu sehen (Robustheit der Moden), bzw.
ob fur sie, uber den Stern gemittelt, die Dampfung oder Anregung uberwiegt.
Abb. 3.7 zeigt die Frequenzabhangigkeit von , aber auch die Unabhangigkeit
gegenuber `. wird fur gemischte Moden oder fur g-Moden deutlich kleiner als
fur p-Moden, was mit der kinetischen Energie einer Schwingungsmode, und deren
Abhangigkeit vom Charakter der Mode, erklart werden kann. Betrachtet man den
Verlauf von ( ) und ( ), so sieht man zwar Unterschiede im Verlauf, aber die
Nullpunkte sind gleich. Das impliziert, da die Berechnungen, die einmal erster
(fur ) und einmal zweiter Ordnung (fur ) sind, konsistent sind.
Das Vorherige impliziert, da es fur jeden Stern einen Frequenzbereich gibt,
in welchem alle Moden angeregt sein sollten, und daher beobachtbar, sofern die
geometrische Ausloschung dies zulat. Fur XX Pyx ergeben sich je nach Modell
zwischen 15 und 35 Moden, bis jetzt sind aber erst 13 Moden entdeckt5 . Allerdings
gibt es fur nicht angeregte Moden die Moglichkeit, durch Resonanzeekte und
Kopplung von Moden zu beobachtbarer Amplitude zu gelangen.
3.7 Geometrische Ausloschung
Die Helligkeitsvariationen eines pulsierenden Sterns lassen sich leicht berechnen.
Durch Integration des richtungsabhangigen Photonenu uber die passende Kugelachenfunktion und uber die dem Beobachter zugewandte Seite erhalt man
das Verhaltnis von intrinsischer zu beobachteter Amplitude. Dieses Verhaltnis bezeichnet man als geometrische Ausloschung, und es hangt von der Inklination des
Sterns ab. Je groer `, desto mehr Knotenlinien verlaufen auf der Sternoberache,
und desto mehr und kleiner sind die Bereiche, welche entgegengesetzte Auswirkungen auf die integrierte Gesamthelligkeit haben. Aus Goupil et al. (1996) sind
5
Wo sind die anderen? siehe auch Handler (1997)
40
KAPITEL 3.
PULSATIONEN
Abbildung 3.7: Anregung und Wachstumsraten: Fur ein Modell mit den Parametern M = 1:8782M , log Te = 3:90721, vrot = 63:4 kms 1 und solaren Haugkeiten, sind und = Im(! ) gegen die beobachtete Frequenz aufgetragen. Die
Schnittpunkte mit der Nullinie sind ident fur beide Groen. ist dimensionslos,
wobei 0 bedeutet, da sich Dampfung und Anregung die Waage halten und 1,
da eine Mode im gesamten Stern angeregt wird.
3.7.

GEOMETRISCHE AUSLOSCHUNG
41
Abbildung 3.8: aus Goupil et al. 1996, die Frequenzabhangigkeit der geometrischen Ausloschung.
die Werte in Tabelle 3.1 fur die Verringerung der Amplituden entnommen, die
allerdings uber die Inklination gemittelt sind.
`
R
0 1 2
3
4
1 0.7 0.3 0.06 0.02
Tabelle 3.1: Obige Werte verstehen sich als Anteil der beobachtbaren Amplitude gemittelt uber die Inklination, unter der Annahme, da alle Moden gleiche
intrinsische Amplitude haben. R = Abeobachtbar =Aintrinsisch
Die Detektionswahrscheinlichkeit korreliert mit der beobachtbaren Amplitude. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, da man Moden mit ` 3 noch photometrisch mit Bodenbeobachtungen nden kann, sehr gering. Allerdings wird mit
hoherem Grad der Moden auch die Anzahl der Moden groer und damit die
Wahrscheinlichkeit, doch eine zu beobachten.
In Abb. 3.8 sieht man, da die Frequenzabhangigkeit der geometrischen
Ausloschung gering ist, und daher vernachlassigt werden kann.
Zu beachten bei der Modenidentikation ist weiters die Inklination des Sterns,
welche manche Moden in ihrer Entdeckbarkeit begunstigt, und andere unsichtbar
macht. Nimmt man an, da die Rotationsachse die ausgezeichnete Achse im Stern
ist, d.h. die rotationsinduzierten Krafte heben die Entartung der Eigenwerte auf,
so wird man eine ` = 1, m = 0 Mode, deren Knotenlinie entlang das A quators
verlauft, aus der Blickrichtung auf den Pol ausgezeichnet beobachten konnen,
aber bei Blick auf den A quator ist keine Amplitude festzustellen, da auf Grund
der Symmetrie die Eekte der beiden Hemispharen entgegengesetzt sind.
42
KAPITEL 3.
PULSATIONEN
3.8 Programme
Der Pulsationscode wurde von Dziembowski (1977) entwickelt, und dann noch
um die Berucksichtigung der Zentrifugalkrafte bereichert, was bei Sou et al.
(1998) fur den rein adiabatischen Fall nachgelesen werden kann. Dieser Code ist
nicht-adiabatisch { zumindest in der Hulle { was aber erst fur hohere Obertone
{ etwa ab n = 6 { relevant wird. Ausgegeben werden nicht nur die dimensionslose Frequenz sondern unter anderem auch die beobachtbare Frequenz, die
Anregungsrate und das normalisierte Arbeitsintegral ( ).
In einem zweiten Programm wird dann die Rotationsaufspaltung fur Moden
mit ` > 0 nach der von Dziembowski und Goode (1992) entwickelten Storungsrechnung, die bis zu quadratischen Termen in der Rotationsrate genau ist, ermittelt. Dieser Code benutzt die adiabatische Naherung, aber die nichtadiabatische
Korrektur die mit dem Pulsationscode ermittelt wurde, wird jeweils fur alle Moden eines Multiplets berucksichtigt. Der Code wurde noch von A.A. Pamyatnykh,
W.A. Dziembowski und M.J. Goupil uberarbeitet.
Kapitel 4
Die Methodik der Modellierung
eines Æ Scuti Sterns anhand des
Sternes XX Pyxidis
4.1 Einleitung
Fur viele Æ Scuti Sterne liegen oft ausgezeichnete Messungen, manche mit Zeitspannen von 20, 30 Jahren, vor. Am Beginn der photoelektrischen Photometrie wurden auf Grund der noch nicht so prazisen Megerate hauptsachlich helle
Sterne mit groen Amplituden entdeckt. Æ Scuti Sterne mit mehreren Frequenzen
kleiner Amplitude wurden bei unzureichender Beobachtungsdauer oft als irregular
veranderliche Sterne interpretiert. Mit verbesserter Beobachtungstechnik und der
besseren Verfugbarkeit der Teleskope der 1-Meter Klasse sind heute immer mehr
Sterne als multiperiodisch bekannt. Das Unvermogen, manche Beobachtungsergebnisse mit rein radialen Pulsationen zu erklaren, machte die nicht-radialen als
mogliche Interpretation wahrscheinlicher.
Æ Scuti Sterne mit groer Amplitude (& 0.1 mag) zeigen meist nur ein oder
zwei Frequenzen, die man dann meist mit radialer Grundschwingung (Fundamentalmode) oder deren Obertonen erklaren kann. Kennt man das Frequenzverhaltnis
zweier gemessener radialer Obertone, so kann man damit n (die radiale Knotenzahl) bestimmen. Nun ist die Frequenz der Fundamentalmode eine Funktion der
mittleren Dichte, aus welcher man die Masse ableiten kann, sofern man Temperatur und Rotationsrate kennt.
Die Modelle fur die ZAMS zeigen nur einen kleinen, instabilen Frequenzbereich, der sich im Laufe der Entwicklung vergroert und zu niedrigeren Frequenzen
verschiebt. Bei der TAMS1 sagen die Modellrechnungen dann einen Frequenzbe-
Terminal Age Main Sequence: Minimum der massenabhangigen Eektivtemperatur
wahrend des zentralen Wasserstobrennens (aus Stothers (1972)), auch als erste Kehre der
S-Kurve bekannt.
1
43
44
KAPITEL 4.
METHODISCHES
reich, der etwa sechs oder sieben radiale Obertonen entspricht, als instabil voraus.
Dies ergibt dann etwa 100 instabile Moden mit ` 2 und unterschiedlichstem
Charakter.
Fur die Zwergsterne unter den Æ Scuti Sternen hat man bis jetzt eher kleinere Amplituden gefunden. Modenidentikationen sind aber selten, und man kann
nicht davon ausgehen, da man nur radiale Moden sieht, und die Amplitudenverringerung durch geometrische Ausloschung der Nichtradialen hinreichend ware.
Es besteht eine Antikorrelation zwischen Rotationsrate und Amplitude, allerdings gibt es eine Korrelation zwischen Rotationsrate und mittlerer Dichte (siehe
Solano & Fernley, 1997).
Belmonte (1993) zeigt Frequenzspektren 14 multiperiodischer Objekte, die
allerdings nicht alle publiziert sind. Breger (1995) hingegen listet nur publizierte
Frequenzspektren von 16 Æ Scuti Sternen. Zehn dieser Objekte zeigen mehr als
funf Pulsationsfrequenzen, das heit XX Pyx mit 13 bekannten Frequenzen ist
ein Æ Scuti Stern mit auergewohnlich vielen Pulsationsfrequenzen.
Eine zentrale Rolle in der stellaren Astrophysik kommt dem HertzsprungRussel-Diagramm (HRD) zu. Wahrend hier ausschlielich Leuchtkraft gegen
Temperatur dargestellt wird, ist es aber auch durchaus ublich, absolute Helligkeit
und die Farbe (b y ) zu verwenden, was als Farben-Helligkeitsdiagramm bezeichnet wird. Das sehr ahnliche Erscheinungsbild lat den richtigen Schlu zu, da
es sich dabei um mehr oder weniger das Gleiche handelt. Die Umrechnung von
Farben und Helligkeit, gewonnen aus absoluter Photometrie, in Leuchtkraft und
Temperatur ist aber nur mit synthetischer Photometrie, also unter zu Hilfenahme von Modellen, moglich. Aus der Position im HRD lat sich der Spektraltyp
eines Sterns ableiten, womit man die Temperatur, die Leuchtkraft, die eektive Oberachenschwerebeschleunigung, den Entwicklungszustand (das Alter) und
eine grobe Abschatzung der Masse hat.
y=V
(b-y)
m1
c1
11.500.02 mag 0.2140.008 0.1600.013 0.9560.015 2.9160.015
Tabelle 4.1: Strmgren-Indizes fur XX Pyxidis, ein A4 V Stern
Auer der Bestatigung der Spektralklassikationen lassen Spektren auch eine
Ermittlung der projezierten Rotationsgeschwindigkeit und eine Haugkeitsanalyse einzelner Elemente zu, wenn die Auosung ausreichend ist. In Tabelle 4.1 sind
diese grundlegenden Ergebnisse der Photometrie zusammengefat. Abb. 4.1 zeigt
ein HRD, in welchem die Position (Leuchtkraft und Temperatur) XX Pyxidis und
ein paar Entwicklungswege eingetragen sind.
Hier wird nun die Methodik einen einzelnen Stern zu modellieren beleuchtet,
wobei dies am Beispiel XX Pyxidis geschieht.
4.2.
WARUM XX PYX?
45
4.2 Warum XX Pyx?
Aus Kapitel 1 sieht man, da XX Pyxidis ein wohluntersuchter Stern ist, dessen
Lichtkurve mit einer Superposition von 14 sinusformigen Signalen approximiert
werden kann. Leider sind nur die Frequenzen aber keine Modenidentikationen
vorhanden. Die Frequenzen nden sich in Tab.4.2. Die Schwierigkeiten bei der
Suche nach einem Modell nehmen mit der Zahl der zu ttenden Frequenzen zu.
Es ist leichter einen Stern mit nur zwei oder drei Frequenzen zu tten, aber das
ist nicht sehr interessant, weil es nicht eindeutig losbar ist.
XX Pyxidis ist ein heier unentwickelter A4 V Stern, und fur wenig entwickelte
Sterne sind die theoretischen Spektren einfacher. Die "Einfachheit\ beruht darauf, da die Modelle im beobachteten Frequenzbereich weniger Moden zeigen,
da die Angeregten hauptsachlich p-Moden sind und da das avoided crossing
nur fur manche Modelle und dort nur fur manche Moden wie zum Beispiel fur
p3 , ` = 2, relevant ist. Hochauosende Spektroskopie (Handler et al. 1996) ergab
v sin i = 52 kms 1 , was hoen lat, da die in den Programmen verwendeteten
Naherungen fur die Rotation noch gultig sind. Andererseits zeigen Dziembowski und Pamyatnykh (1991), da man bei einem wenig entwickelten Stern, schon
die erste g- beziehungsweise gemischte Mode nach dem avoided-crossing, sehen
kann, ohne da die Frequenzspektren zu dicht sind. g-Moden haben ihre Propagationszone im Sterninneren, und werden durch eine kleine Veranderung der
Parameter, wie zum Beispiel vom Parameter fur das konvektive U berschieen
(dover ), am starksten beeinut. Die p-Moden bleiben davon fast unberuhrt, und
man kann mit dieser g-Mode, falls man zusatzlich einige p-Moden mit Sicherheit
identizieren kann, dover bestimmen.
Instabil werden im Laufe der Hauptreihenentwicklung aber nicht die reinen
g-Moden, sondern gemischte Moden, die auch durch den -Eekt angetrieben
werden. Bei reinen g-Moden liegt die He-II-Ionisationszone nicht im Propagationsgebiet, und es gibt keinen anderen funktionierenden Anregungsmechanismus.
Die reinen g-Moden sind erst bei Riesensternen angeregt.
 berlegungen fuhrten zu dem Schlu, da XX Pyx ein einfach zu moDiese U
dellierender Stern ist (naheres in Kapitel 5), dem noch dazu besondere asteroseismologische Bedeutung zukommt, denn aus einem reinen p-Modenspektrum kann
man nicht viel mehr Information als die Groe der Schallaufzeit oder anders ausgedruckt die mittlere Dichte gewinnen.
27.01 27.24 28.7 29.0 29.6 31.2 31.39 31.9 33.44 33.65 34.67
36.01 38.11
Tabelle 4.2: 13 der 14 signikanten Frequenzen XX Pyxidis in [d 1 ].
46
KAPITEL 4.
METHODISCHES
4.3 Einschrankungen
Wie in Kapitel 2 erlautert, wird ein Sternmodell durch innere und auere Parameter beschrieben. Unter inneren Parametern { oder freien Parametern { versteht
man unter anderem die Parameter fur die Mischungsweglangentheorie () und
das konvektive U berschieen (dover ), die Rotationsbehandlung und Massenverlust.
Die freien Parameter wurden hier nicht verandert, sondern lediglich auf Standardwerte gesetzt. Die A ueren, wie Masse, eektive Temperatur, Rotationsrate und
chemische Zusammensetzung, beschreiben das Modell, und eine genaue Kenntnis dieser ist wunschenswert. Dazu wurden die in Tabelle 4.1 zusammengefaten
Beobachtungsergebnisse als erster Anhaltspunkt genommen.
Wie schon fruher erwahnt, besteht ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen
dem Farben-Helligkeitsdiagramm, und einem HRD in Leuchtkraft und eektiver
Temperatur. Nun sind sowohl die Messungen von Farbe und Helligkeit als auch
die Ergebnisse der synthetischen Photometrie mit Fehlern behaftet, was zu erheblichen Unsicherheiten der Werte fur die eektive Temperatur und die absolute
Helligkeit in den Kalibrationen fuhrt (Villa 1998). Diese, vorher auere genannten, Parameter kann man derart variieren, da die Modelle zwar konsistent mit
den Ergebnissen der Photometrie sind, aber riesige Unterschiede in den Ergebnissen der Pulsationsmodelle auftreten. Dies gilt naturlich auch fur die eektive
Oberachenschwerebeschleunigung (ge ). Die Groe der Unsicherheit der Beobachtungen kann man im HRD (Abb. 4.1 ) an dem Parallelogramm rund um den
Stern sehen.
Um den relevanten Bereich in Leuchtkraft und Temperatur abzudecken, wurde ein Gitter von Modellen gerechnet. Die Masse wurde von 1.75 { 2.1 M in
Abstanden von 0.05 M variiert. Fur jede dieser Massen wurden Entwicklungswege fur acht verschiedene Rotationsraten gerechnet. Auf jedem dieser Entwicklungswege wurden die Sternaufbaudaten bei funf Temperaturen gespeichert, um
dann damit insgesamt mehr als 300 Eigenwertspektren zu berechnen. Diese Frequenzspektren sind die Ausgangsbasis fur die folgenden Analysen und Modellierungsversuche.
4.3.1 Anregendes
Die Modellrechnungen geben fur Hauptreihensterne genau einen Frequenzbereich
in dem alle Moden (fur kleine ` virtuell unabhangig von ` und m) angeregt sind.
Da die Moden mit ` 3 durch die geometrische Ausloschung immer unwahrscheinlicher (bei gleicher intrinsischer Amplitude) zu beobachten sind, erwartet
man fur einen jungen heien Æ Scuti Stern zwischen 15 und 40 angeregte Moden
mit ` 2 | beobachtet wurden aber nur 13. Dziembowski und Krolikowska
(1990) geben Grunde an, warum bei Æ Scuti Sternen alle Moden mit positivem (bzw. ) auch angeregt sind.
Wie schon fruher erwahnt, sind die Frequenzbereiche, wo und positiv sind,
4.3.

EINSCHRANKUNGEN
47
Abbildung 4.1: HRD: Entwicklungswege sind durch volle Linien dargestellt, mit
den entsprechenden Massen bezeichnet, und werden von den roten und blauen
Begrenzungen des Instabilitatsstreifens geschnitten. Das heie Ende des Instabilitatsstreifens ist zweimal eingezeichnet: einmal gewonnen aus den Beobachtungen
(durchgezogen) und aus den Pulsationsmodellen (strichliert). Fur das kuhle Ende
ist die Theorie so stark von der verwendeten Konvektionsbeschreibung abhangig,
da davon abgesehen wird es einzuzeichnen. Das Parallelogramm und das Kreuz
im Zentrum zeigen die kalibrierten Ergebnisse der Strmgren-Photometrie und
deren Fehler. Die horizontalen Fehlerbalken zeigen die Ergebnisse des Vergleichs
der theoretisch, anregbaren, parameterabhangigen Frequenzbereiche mit dem beobachteten Bereich. Die annahernd parallel zur ZAMS verlaufende Linie konstanter Dichte, welche von zwei punktierten Linien ankiert ist, zeigt die Ergebnisse
der Analyse von Regelmaigkeiten im Frequenzspektrum. Die fast strichformigen
Punktwolken zeigen die Positionen der Modelle in den Minima der "2\ -Methode
(Abb. 4.11).
48
KAPITEL 4.
METHODISCHES
ident. Da man allerdings davon ausgeht, da die Sterne in einem mehr oder weniger stabilen Grenzzyklus sind, { was aber bei strenger Auslegung der Theorie
bedeuten wurde, da alle Sterne nur in einer, namlich der Mode mit der groten
Anwachsrate, pulsieren wurden { das heit ausreichend Zeit hatten, damit auch
die Moden mit den kleinsten positiven Anwachsraten ihre durch Nichtlinearitaten
limitierten Amplituden erreichen konnten, spielt es keine groe Rolle ob man die
Anwachsrate oder die Stabilitatsrate betrachtet. Allerdings zeigen die Amplitudenvariationen fur XX Pyx, da dieser Grenzzyklus nicht ganz so stabil ist. Die
Zeitskalen der Wachstumsraten in den Modellen sind von der gleichen Groenordnung wie die Amplitudenvariationen fur die drei Moden mit den groten Amplituden (Handler et al. 1998). Auswahlkriterien werden fur entwickelte Æ Scuti
Sterne, deren theoretisches Frequenzspektrum sehr dicht ist, wichtiger und verwenden die kinetische Energie einer Mode, die aber fur p- oder g-Moden stark
variiert, als Kriterium ob eine Mode angeregt ist (Dziembowski & Krolikowska
1990). Dies wurde dann aber bedeuten, da man die p-Moden bevorzugt sahe,
wobei es aber viel mehr instabile g-Moden gibt.
In Abb. 4.2 ist die Anregungsrate fur Modelle mit verschiedenen Massen
und eektiven Temperaturen jeweils gegen die Frequenz aufgetragen. Der dicke,
schwarze Strich reprasentiert den beobachteten Frequenzbereich. Mit dieser Analyse lassen sich die Modelle, wo berechneter und beobachteter Frequenzbereich
nicht gut ubereinstimmen, ausscheiden. Vorsicht ist jedoch geboten, da man nie
sicher ist, ob man alle angeregten Moden auch beobachtet hat, das heit ob der
beobachtete Frequenzbereich nicht doch noch groer ist. Hingegen sind Moden
mit sehr geringer negativer Anregungsrate durch nichtlineare Eekte durchaus
auf beobachtbare Amplituden zu bringen, das heit ein oder zwei Moden knapp
auerhalb des beobachteten Frequenzbereich sind noch kein Grund, ein Modell
zu verwerfen. Die Parameterbereiche, in welchen der in den Modellen angeregte
Frequenzbereich den beobachteten inkludiert sind in das HRD in Abb. 4.1 als
schwarze waagrechte Balken eingezeichnet.
4.3.2 Regelmaig wiederkehrende Frequenzabstande oder
Quasiasymptotisches
Die asymptotische Theorie, die in Kap. 3.5 naher erlautert wurde, ist leider bei
einem so jungen Æ Scuti Stern nicht anwendbar, da die Moden ungefahr von p3
bis p7 angeregt sind, und daher viel zu geringes n haben.
Wie man allerdings in dem Echellediagramm in Abb. 4.3 sieht, sind die Frequenzdierenzen zwischen benachbarten Moden mit gleichem ` sehr ahnlich, wenn
auch durch die unterschiedlichen Neigungen der durch die Moden mit unterschiedlichem ` gebildeten Geraden deutlich wird, da es sich bei dem dargestellten
Frequenz-spacing nicht um das asymptotische handelt. Die m = 0 Komponenten
der Dipolmoden liegen, wenn nicht gerade avoided crossing auftritt, wie dies in
4.3.

EINSCHRANKUNGEN
49
Abbildung 4.2: Angeregter Bereich im Vergleich: fur verschiedene Parameter wurde gegen die Frequenz aufgetragen. Der Bereich, in dem groer als Null ist,
wird mit dem beobachteten Frequenzbereich, welcher als schwarzer, fetter Balken
eingezeichnet ist, verglichen. (Diese Abbildung wurde freundlicherweise von A.A.
Pamyatnykh zur Verfugung gestellt.)
50
KAPITEL 4.
METHODISCHES
Abb. 4.3 bei etwa 290{300 Hz auftritt, auf einer annahernd parallel zur Abszisse
verlaufenden Linie, die fur hohe Frequenzen einen maximalen Abstand von der
` = 0 Linie, namlich die Halfte des asymptotischen Spacings, erreicht.
In Abb. 4.3 sieht man den Einu der Rotationsaufspaltung, und wie diese
das Modenidentizieren ohne Kenntnis der `-Werte erschwert.
Abbildung 4.3: Echelle-diagramme: Frequenz gegen den Divisionsrest bei Division
durch das Frequenzspacing fur die beobachteten Moden (oben) und fur ein Modell
(unten) mit M = 2 M , log Te = 3:92, log L=L = 1:288 , log ge = 4:074 und
vrot = 70 kms 1. Links sind nur die Moden mit m = 0, rechts alle, dargestellt. Die
Radialen sind durch Rhomben, die Dipol- durch Dreiecke, die Quadrupol- durch
Quadrate und die beobachteten Moden durch Sterne dargestellt. Das asymptotische Spacing ist 58.6 Hz.
Das Spacing kann man auch auf andere Weise gewinnen. Ordnet man jeder
Frequenz im diskreten Spektrum den Wert 1 zu, um anschlieend davon eine
Fouriertransformation zu machen, so bekommt man in etwa ein Spektralfenster
des diskreten Frequenzspektrums. Sieht man in diesem ein schones lokales Maximum, wie in Abb. 4.4, so kann man daraus den bevorzugten Frequenzabstand
4.4.
PARAMETERSURFEN
51
ablesen. Dies kann man sowohl fur das beobachtete Frequenzspektrum als auch
fur das Gerechnete durchfuhren. Die Frequenzdierenz zweier aufeinanderfolgender p-Moden gleichen Grads und gleicher Ordnung ist proportional zur Schallaufzeit vom Sternzentrum zur Oberache und daher umgekehrt proportional zur
mittleren Dichte des Sterns. Vergleicht man das beobachtete spacing von 26.1
Hz mit den Modellen, so sieht man, da das nicht der Frequenzdierenz aufeinanderfolgender Obertone zuzuschreiben ist, da die so abgeleitete Dichte vollig
inkonsistent mit der Photometrie ware, sondern nur der Halfte jener Dierenz.
Eine Erklarung dafur liegt darin, da die Dipolmoden im Frequenzraum zwischen
aufeinenderfolgenden radialen und Quadrupolmoden liegen (siehe Handler et al.
1997).
Abbildung 4.4: Spektralfenster der 13 gefundenen Frequenzen: Das lokale Maximum bei 26Hz ist auf dem 97% Niveau signifkant (aus Handler et al. 1997).
Die Auswertung erfolgte durch den Vergleich verschiedener Modelle mit den
Beobachtungen und ist in Abb. 4.1 als blaue, von punktierten Linien ankierte
Linie dargestellt.
4.4 Die halbautomatisierte Suche nach dem besten Modell mittels linearer Interpolation
Mit uber 300 verfugbaren, theoretischen Frequenzspektren stellt sich die Frage:
"Wie sehen die aus und welches pat am besten? \
52
KAPITEL 4.
METHODISCHES
Abbildung 4.5: Typisches Spektralfenster der theoretischen Frequenzspektren:
Hier wurde das gleiche Modell wie fur das Echelle-Diagramm (Abb. 4.3) verwendet.
4.4.1 Visualisierung
Frequenzspektren sind Listen diskreter Eigenwerte. Mit jedem dieser Eigenwerte
verbunden ist eine Schwingungsmode, deren Eigenschaften meist ebenfalls in den
Frequenzlisten vermerkt sind, aber primar handelt es sich um eindimensionale
Information. Die Frequenzen wurden als senkrechte Striche gezeichnet, da so die
Unterschiede zu einem darunter dargestellten Spektrum am besten gesehen werden konnen. Die Lange der Striche wurde mit ` korreliert, da ein Versuch sie mit zu skalieren, zu unubersichtlich war. Zusatzlich wurden die Striche entsprechend
ihrem `-Wert eingefarbt. Inspiriert von im Praktikum aufgenommenen Sonnenspektren wurden jeweils drei Spektren gleichzeitig angezeigt: Zwei gerechnete und
in der Mitte das beobachtete, was einen guten Vergleich zulat.
4.4.2 Graphische Benutzerschnittstelle
Das kommerzielle Graphikpaket IDL bietet eine einfache Moglichkeit graphische
Benutzerschnittstellen zu verwenden. Ab der Version 4.0 ist es moglich, mittels des widget-editors die Schnittstelle direkt einzurichten, und anschlieend
als Graphikprogrammdatei zu speichern. Leider ist dabei die Verwendung von
common-Blocken fast unumganglich. Die mittels des widget-editors gewonnene
Datei lat sich wie ein normales IDL-Programm kompilieren und ausfuhren, aber
4.4.
PARAMETERSURFEN
53
Abbildung 4.6: Graphische Benutzerschnittstelle und Visualisierung
die Ereignisse erzeugen nur eine Zeile in der Standardausgabe, die Information
uber das Ereignis beinhaltet. Es mu noch speziziert werden, was bei den Ereignissen passieren soll. Abb.4.6 zeigt diese Benutzerschnittstelle und die Schieber
mit denen man die Parameter wahlen kann.
IDL bietet Schieber, die Fliekommazahlen als Ereigniswert liefern, man
erhalt daher den Eindruck, es ware moglich, jeden Wert mit der Maus und dem
Schieber auszuwahlen, aber man kann den Schieber jeweils nur um ein Pixel verschieben, und damit ist auch der Fliekommaschieber gequantelt. Leider war die
Bildschirmauosung (meist etwa 1280 mal 1024 Bildpunkte) nicht ausreichend,
um die Parameter fein genug verschieben zu konnen. Die Parameterwahl ware mit
langeren Schiebern zu verfeinern gewesen, aber die Moglichkeit die Werte durch
Editieren der angezeigten Werte direkt einzugeben, lat jeden gewunschten Wert
zu.
Nach Wahl der Parameter M , vrot , log Te und eventuell auch einer anderen
chemischen Zusammensetzung wird durch Drucken des entsprechenden Knopfes
gewahlt, ob das neue Spektrum oberhalb oder unterhalb des beobachteten Spektrums dargestellt werden soll. In einem Bereich daneben werden die jeweiligen
Parameter notiert. Da fur kleine Massen log Te auf der ZAMS schon kleiner
ist als die grote der funf Temperaturen, bei welchen Eigenfrequenzen berechnet wurden, kann es passieren, da sich keine acht Modelle fur die Interpolation
54
KAPITEL 4.
METHODISCHES
nden lassen. Dies wird in einem weiteren Bereich, mit dem Titel "messages\,
angezeigt.
Nach Wahl der Parameter werden die entsprechenden acht Frequenzlisten
eingelesen und durch lineare Interpolation das gewunschte Spektrum errechnet.
Da aber fur ` = 2 Moden just in dem fur XX Pyx relevanten Frequenzbereich
avoided crossing auftritt, ist es nicht leicht die Moden zu identizieren. Dies
kann durch einen manuellen Eingri erleichtert werden. In den Eingabedaten fur
das Programm rotso, welches die Rotationseekte berechnet, kann man die gModen mit negativen radialen Quantenzahlen versehen, was die Identizierung
erleichtert. Man kann naturlich auch die g-Moden interpolieren, aber da diese
so stark von den Parametern abhangen, ist es fraglich, wie genau die lineare
Interpolation ist.
4.4.3 Zusatzliche Funktionen
Periodenverhaltnisse
Die radialen Periodenverhaltnisse der p-Moden sind zwar fur alle Modelle in dem
betrachteten Parameterraum sehr ahnlich, da die dimensionslosen Frequenzen
der p-Moden wahrend der Hauptreihenentwicklung nur langsam variieren und
fur radiale Moden kein avoided crossing auftritt. In Abb. 4.7 ist jedoch eine
geringe Parameterabhangigkeit zu sehen. Die beobachteten Periodenverhaltnisse
haben die gleiche Prazision wie die Frequenzen. Auf Wunsch werden die Periodenverhaltnisse dargestellt, wobei man die Masse, die Rotationsgeschwindigkeit
und die chemische Zusammensetzung wahlen kann. Die Temperatur kann man
nicht wahlen, weil die Periodenverhaltnisse fur alle verfugbaren Temperaturen
angezeigt werden. Findet man also ein Sternchen zwischen zwei Linien gleicher
Masse, aber unterschiedlicher Rotation, so kann man dann die Temperatur und
die Rotation ablesen und anschlieend im Hauptfenster die Spektren mit diesen Werten begutachten. Naturlich kann man auch den angezeigten Bereich der
Verhaltnisse auswahlen, um genug Details zu sehen.
Berucksichtigt man die Modenkopplung die zwischen Moden deren ` um zwei
unterschiedlich ist, zum Beispiel zwischen radialen und Quadrupol-Moden, die
aber gleiches m und ahnliche Frequenz haben, so werden die Eigenfrequenzen
dieser Moden verschoben. Dieses nichtlineare Phanomen zerstort die glatten Zusammenhange, was in Abb. 5.1 zu sehen ist.
Fitqualitat
Das spater denierte 2 wird auf Wunsch berechnet. Zusatzlich werden das beobachtete und das zuletzt interpolierte Spektrum angezeigt, wobei aus dem Berechneten nur die 13 am besten passenden Frequenzen dargestellt werden, was
ubersichtlicher ist. Darunter werden die Frequenzdierenzen fur jede einzelne
4.4.
PARAMETERSURFEN
55
Abbildung 4.7: Beobachtete und radiale, theoretische Periodenverhaltnisse: Die
Sterne sind die Beobachtungen, die Kreuze die theoretischen Verhaltnisse, wobei
Kreuze gleicher Masse und Rotation verbunden sind, das heit die Linien zeigen die Temperaturabhangigkeit, bzw. die Entwicklung die von rechts nach links
 berverlauft. Links daneben sind die involvierten Moden angegeben. Die fast U
lappenden Linienezuge gleicher Beschriftung, stammen von Modellsequenzen verschiedener Massen, namlich M = 1:95 und 2:05M , wobei massereichere Modelle
bei gleicher Temperatur kleinere Frequenz haben. Die dargestellten Temperaturen decken den gleichen Bereich ab wie in dem berechneten Gitter (von rechts
nach links): log Te = 3:93; 3:925; 3:92; 3:915; 3:91. Die Rotationsrate betragt fur
alle Modelle vrot;ZAMS = 50 kms 1 .
56
KAPITEL 4.
METHODISCHES
Abbildung 4.8: Rotationsabhangigkeit der radialen Periodenverhaltnisse: Je
groer die Rotation, desto groer das Peridoenverhaltnis. Modelle fur vrot;ZAMS =
0; 50; 100; 150 und 200 kms 1 und M = 1:95 M ansonsten wie Abb.4.7 sind dargestellt.
Frequenz aufgelistet und die Summe der Quadrate geteilt durch die Anzahl der
Frequenzen.
Entwicklung und Temperaturabhangigkeit der Eigenfrequenzen
Hierbei wird die Temperaturabhangigkeit der Moden in einem neuen Fenster
dargestellt. Mit den Parametern der letzten Interpolation werden die ahnlichste
Masse und Rotationsgeschwindigkeit gesucht und geplottet. Auf Wunsch kann
man nur radiale oder auch nichtradiale Moden anzeigen lassen, wobei aber nur
m = 0 Moden gezeigt werden, da sonst mehr Moden, als der U bersichtlichkeit
dienlich, eingezeichnet werden wurden. Bei Bedarf werden auch die beobachteten
Frequenzen dazugezeichnet.
4.4.4 Verwendung
Im Falle einer Verwendung, sollte man zuallererst die Frequenzen irgend wohin
schreiben, und dies am besten so , da das IDL-Programm sie ndet. Das Programm ist so geschrieben, da es unter X-Windows und Windows95 funktioniert.
Da IDL teuer ist, und damit die Verbreitung gering ist, aber die Demoversion
sehr oft vorhanden ist, ist das Programm so geschrieben, da es auch bei Verwendung der Demoversion funktioniert. Das Unangenehmste an der Demoversion ist
sicherlich die zeitliche Begrenzung auf sieben bzw. zehn Minuten. Das Schreiben
4.5.
2
57
Abbildung 4.9: Temperaturabhangigkeit der axialsymterischen Moden von links
nach rechts fur ` = 0, 1, 2. Die vollen Kreise stehen fur instabile Moden.
einer Postscript-Datei ist moglich, und wird auch verwendet, um auf Wunsch zu
drucken.
Nach dem Starten des Programms durch das Tippen "IDL>.r filename\,
erscheint das Hauptfenster, auf dem bereits drei Frequenzspektren dargestellt
werden. Nun kann das Surfen beginnen. Anfangs werden wohl die radialen Periodenverhaltnisse interessieren. Man ist versucht, drei radiale Moden zu nden,
also zwei Sterne mit der selben Frequenz, aber einmal im Bereich der unmittelbar
aufeinanderfolgenden radialen Obertone und weiter unten einen zweiten bei den
Verhaltnissen fur die radialen Obertone mit einer radialen Knotenzahldierenz
von zwei. Leider war es bisher nicht moglich solche zu nden.
4.5
2
Da, wie schon in Kapitel 1 erwahnt, fur keine der beobachteten Frequenzen eine
Modenidentikation vorliegt, kann man jede beliebige berechnete Mode mit einer
beobachteten in U bereinstimmung bringen, was wiederum viele Modelle zulat.
Deniert man einen Qualitatsparameter
2 =
nobs
1 X
(
nobs i=1 obs;i
cal;i)2
58
KAPITEL 4.
METHODISCHES
so hat man damit die Moglichkeit, die Modelle objektiv zu bewerten. ist die
Frequenz und nobs die Anzahl der beobachteten Frequenzen. Somit ergibt sich die
Gelegenheit die Qualitat aller Modelle zu evaluieren, und somit das beste automatisch zu nden. In Abb. 4.10 wird 2 fur die Masse und log Te dargestellt. Man
sieht dabei die hochgradige Nichtlinearitat, die eine automatische Minimumsuche
unmoglich macht.
P
Abbildung 4.10: nichtlinearer Parameterraum: 13
cal;i j ist als Funktii=1 jobs;i
on von Masse und Temperatur bei konstanter, anfanglicher Rotationsgeschwindigkeit dargestellt. Aus vier Entwicklungsmodellen (an den Ecken) wurden die
Daten linear interpoliert.
Lineare Interpolation
Da die Schrittweite der Parameter im gewahlten Gitter zu gro ist, als da
man davon ausgehen konnte, nichts zwischen den Maschen des Gitters durchschlupfen zu lassen, wurde die Moglichkeit, Modelle linear in den Parametern
Masse, aquatoriale Rotationsgeschwindigkeit und Eektivtemperatur zu interpolieren, getestet und der Fehler, unter Berucksichtigung der Rechenzeit und der
Plattenresourcen, als vertretbar erachtet. Zwischen zwei gerechneten Modellen
4.5.
2
59
wurden also fur acht Parameterwerte interpoliert, was insgesamt 729 interpolierte Modelle pro acht gerechneten Modellen ergab. Unter Einschrankung des
Parameterraums auf die Intervalle: M=M 2 [1:75; 2:05], vrot =kms 1 2 [50; 110]
und log Te 2 [3:905; 3:925] ergibt sich dann die Anzahl aller Modelle zu etwa
40000. Leider stellte sich im Laufe der Untersuchungen heraus, da die Unterschiede zwichen einem interpolierten und einem gerechneten Modell doch deutlich
groer als der angestrebte Fehler sind. Dies wird durch das erst jungst entwickelte Programm rot3 noch verschlimmert, da in diesem nichtlineare Kopplung auf
Grund von Rotationseekten zwischen Moden ahnlicher Frequenz, gleichem m
aber um zwei verschiedenem ` berucksichtigt wird. Dies zerstorte auch einen
fruheren Versuch, der von der Annahme, da drei radiale Moden angeregt waren,
ausging und sich zum leichteren Aufspuren von moglichen radialen Paaren der
Frequenzverhaltnisse bediente.
Die automatische Modenidentizierung
Dabei wird jeder Frequenz aus dem beobachteten Frequenzspektrum eine beliebige, da keine Anhaltspunkte uber die `-Werte vorhanden sind, theoretische Mode
zugeordnet. Die Frequenzen sollten in beiden Spektren geordnet sein. Bei 20 bis 45
theoretischen Frequenzen und 13 beobachteten kann man nicht alle Moglichkeiten
durchrechnen, man mu daher mit geschickten Schleifen und Abfragen auskommen. Je mehr theoretische Frequenzen vorhanden sind, desto leichter wird das
Identizieren und auch das Fitten.
Die Auswertung
In Abb. 4.11 ist 2 (nach obiger Denition) gegen die mittlere Dichte in solaren
Einheiten aufgetragen. Da man 2 nicht gleichzeitig gegen drei Parameter auftragen kann, wurde die mittlere Dichte als Ordinate gewahlt. Diese wird primar
vom Entwicklungszustand beeinut, der wiederum von Masse und Temperatur abhangt. Die Rotation verkleinert die Dichte wahrend der Entwicklung auf
der Hauptreihe in fast gleichem Mae. Man sieht, da die lokalen Minima mit
der Dichte korrelieren, also mit immer geringerer Dichte sind immer bessere Fits
moglich, was auf die groere Anzahl von Eigenfrequenzen im beobachteten Frequenzbereich zuruckzufuhren ist. Die Dierenz zwischen den Frequenzen von Moden, die sich um genau eine radiale Ordnungszahl unterscheiden, ist proportional
zur Schallaufzeit bzw. zur inversen Schallgeschwindigkeit im Sternmodell, woraus man leicht erkennt, da im Laufe der stellaren Entwicklung die Frequenz der
p-Moden abnimmt. Da sich aber die Frequenzverhaltnisse der druckdominierten
Moden auf groeren Zeitskalen nicht wesentlich andern, auer es tritt avoided
crossing auf, ergibt sich eine Verdichtung des Modenspektrums. Abb. 3.4 illustriert dieses Verhalten fur ein Modell mit zwei Sonnenmassen, solaren Haugkeiten und einer aquatorialen Rotationsgeschwindigkeit von 50 kms 1 . In Erwagung
60
KAPITEL 4.
METHODISCHES
Abbildung 4.11: 2 gegen hi fur folgende Parameterintervalle:
M = 1:75 { 2:05 M , ursprungliche aquatoriale Rotationsgeschwindigkeit
vrot = 50 { 110 kms 1 , log Te = 3:905 { 3:925 und mit solaren Anfangshaugkeiten: X = 0:7 und Z = 0:02
Abbildung 4.12: Fitqualitat
wahrend der Entwicklung
eines 1.9 M Modells, mit
vrot;ZAMS = 75 km/s als verbunde Sterne. Die untere
Einhullende der 2 -Wolke aus
Abb. 4.11 ist die durchgezogene
Linie. Die Entwicklung verlauft
von links nach rechts, und von
log Te = 3:925 bis 3.905.
4.5.
2
61
zu ziehen ware noch, ob man 2 nicht mit der Anzahl der Frequenzen im Intervall
gewichtet, und somit unabhangig vom Entwicklungszustand und der mittleren
Dichte macht, um damit die Bevorzugung der kleineren Dichten vermindert.
In Abb. 4.11 ist die wellige Struktur sehr auallig. Dies wird plausibel, wenn
man bedenkt, da im HRD Linien konstanter Frequenz (fur eine bestimmte radiale p-Mode) fast parallel zu Linien konstanter Dichte sind. Betrachtet man die
Fitqualitat in Abhangigkeit von der Temperatur (die ja auf der Hauptreihe eindeutig mit dem Alter korreliert) fur eine Entwicklungssequenz von Modellen, so
durchlauft man nacheinander Minima in 2 (siehe Abb. 4.12).
Die verwendete Methode ist ahnlich einer Korrelationsfunktion. Gibt es weitere Gemeinsamkeiten der Modelle in den Minima? In Abb. 4.13 ist 2 gegen
vrot;ZAMS fur die unter die Treppenfunktion fallenden Modelle aufgetragen. Fur
entwickelterere Modelle gibt es eine Rotationsabhangigkeit, namlich Modelle mit
65 und 95 kms 1 tten besser, als die Modelle mit etwa 80 kms 1 .
62
KAPITEL 4.
METHODISCHES
Abbildung 4.13: Rotationsabhangigkeit der besten Modelle: 2 gegen vrot;ZAMS
fur die Modelle, deren 2 unter der in der oberen Abb. eingezeichneten Stufenfunktion liegt. Fur die Modelle geringster Dichte scheint es zwei bevorzugte
Geschwindigkeiten zu geben.
Kapitel 5
Diskussion und Ausblick
5.1 Knapp vor dem Ziel?
Die ursprungliche Zielsetzung dieser Arbeit, namlich ein Modell zu nden, da die
beobachteten Frequenzen reproduziert, wobei die Abweichungen gleiche Groenordnung wie die Beobachtungsfehler haben sollten, konnte nicht erreicht werden.
Dies liegt zum einen an der Nichtlinearitat des Parameterraums { die im vorigen Kapitel ausfuhrlich behandelt wurde { zum anderen moglicherweise an der
Linearitat der Modelle. Die in Kapitel 1 erwahnten Amplituden- und Frequenzvariationen sind mit linearen Pulsationsmodellen nicht reproduzierbar, da die
lineare Theorie keine Aussagen uber tatsachliche Amplituden machen kann. Die
Frequenzanderungen haben so kleine Zeitskalen, da sie nicht mit entwicklungsbedingten A nderungen erklarbar sind.
5.2 Die 17. Kampagne des Æ Scuti Network
DSN 17 ist vorbei, die Daten werden reduziert und es ist noch nicht abzusehen,
was die Beobachtungen an U berraschungen bringen werden. Das erklarte Ziel
der Kampagne ist es, mindestens 500 Stunden Beobachtungen zu erhalten, und
auch auszuwerten. Hier werden noch einmal die Motivationen, die zu einer dritten
groen Kampagne fur XX Pyx fuhrten, aufgelistet.
Wie schon aus Abbildung 1.3 ersichtlich, besteht die Vermutung, da noch
nicht alle angeregten Moden entdeckt wurden. Allerdings sind die Maxima im Fourierspektrum der verbleibenden Abweichungen nicht signikant
genug.
Nur fur die Sonne und fur manche Weie Zwerge sind vergleichsweise viele
Moden gefunden worden, da die Sonne gut beobachtbar, und die Weien
Zwerge so kurze Perioden haben. Æ Scuti Sterne haben meist nur geringe
63
64
KAPITEL 5.
DISKUSSION UND AUSBLICK
Amplituden und langere Perioden und sind daher schwieriger zu beobachten.
Die sehr dichten theoretischen Frequenzspektren und die Tatsache, da die
Frequenzauosung proportional zur Gesamtlange der Beobachtungen ist,
machen es notwendig die Beobachtungen uber mindestens sechs Wochen
durchzufuhren.
Die Amplitudenvariationen treten auf Zeitskalen von 250{450 Tagen auf.
Es ist daher dringend notwendig die Amplituden jede Saison zu bestimmen
(Handler et al. 1998).
Wenn mindestens 80% der theoretischen Frequenzen gemeen werden und
die Sterne sich an die Grenzen der linearen Modelle halten, erwartet man,
da die Moden identizieren werden konnen (Handler 1998). Die sichere
Identikation wenigstens einer Mode schrankt die Modellparameter so stark
ein, da man entweder endlich das richtige Modell rechnen kann oder die
Modelle verbessern mu.
XX Pyxidis ist ein sehr heier, unentwickelter Stern, bei dem man moglicherweise die erste g-Mode sieht. Wie Dziembowski und Pamyatnykh (1991)
vermuteten, wird diese { auch mit gc bezeichnete { Moden eine Bestimmung des Parameters fur das konvektive U berschieen zulassen. Kann man
zusatzlich noch die Rotationsaufspaltung fur diese Moden bestimmen, so
lat sich ein Einblick in das Rotationsverhalten in den Propagationszonen,
knapp auerhalb des konvektiven Kerns, bestimmen.
5.3 Verbesserung der Modelle
Modelle konnen nie alle Aspekte berucksichtigen und sind daher nicht perfekt. Es
gibt daher stets Bestrebungen sie weiterzuentwickeln und zu verbessern. Beginnend mit der Sternentstehung und -entwicklung sind, wie man anhand des Sternes
XX Pyx sieht, Verfeinerungen notwendig. Die Schwachstellen in allen Entwicklungscodes sind sicherlich bei der Rotation, der Konvektion und deren Wechselwirkung zu suchen. Die eindimensionale Beschreibung der Sterne lat auch keine
konsistente Beschreibung der Rotation zu. Die Henyeymethode ist ein Eulerverfahren, und daher entsprechend ungenau. Relaxationsmethoden brauchen eine
vergleichsweise hohe raumliche Auosung.
Die lineare Pulsationstheorie, wie sie hier verwendet wurde, kann keine Amplituden voraussagen. Sie liefert nur eine Anzahl instabiler Moden, von denen die
mit der groten Anwachsrate dominieren sollte, gleichzeitig gilt sie nur fur kleine
Amplituden, da die Variationen fur groe nicht mehr sinusformig sind. Tatsachlich
ndet man oft genug mehrere gleichzeitig angeregte Moden in einem Stern und
5.3.
VERBESSERUNG DER MODELLE
65
Abbildung 5.1: Modenkopplung: die Dierenz der Frequenzen aus den Programmen rotso ( ) und rot3 (c ). Die m = 0 Moden sind eingeringelt.
auch die doppelte Frequenz der dominierenden Moden. Bei manchen konnen die
Amplitudenvariationen so gro sein, da in jeder Saison eine andere Mode die
grote Amplitude aufweist (siehe auch Abb. 1.5). Dieses Verhalten ist naturlich
nicht mit einem linearen Ansatz modellierbar. Der Auswahlmechanismus ist unbekannt, und ohne einen solchen ist es muig, sich uber Amplitudenvariationen
den Kopf zu zerbrechen, wen diese nicht durch Kopplung mit anderen Moden
zustande kommen.
Die Rotation wird in den Pulsationscodes als Storung behandelt. Die Eekte
erster Ordnung verursachen aquidistantes Splitting, das durch das Inkludieren
Eekte zweiter Ordnung wieder zerstort wird. Ein neuer Ansatz von Sou et
al. (1998) berucksichtigt die Rotation bis zur dritten Ordnung und die Kopplung
zwischen Moden gerader Multipolindexdierenz und gleichem m. In Abb. 5.1 sind
die Ergebnisse mit dem Programm rotso, das Rotationseekte bis zur zweiten
Ordnung berucksichtigt, und dem Programm rot3, das zusatzlich zur Rotation auch die Kopplung passender Moden berucksichtigt, verglichen. Auallig ist
dabei die mit der Frequenz wachsende Kopplung fur m = 0 Dipolmoden mit
radialen Moden. Die Eekte dritter Ordnung und die Modenkopplung fuhren
zu Frequenzanderungen von etwa 1%. Die mehr oder weniger regelmaigen Frequenzabstande der radialen Moden geringer Ordnung werden durch die Kopplung, die umso starker ist, je kleiner die Frequenzdierenzen sind, stark vom
Entwicklungszustand abhangig, da die radialen nur mit den axialsymmetrischen
Quadrupolmoden koppeln konnen, und diese wiederum durch das avoided crossing vom Entwicklungszustand abhangen. Dies ruckt auch die Ergebnisse der
asymptotischen Theorie in ein anderes Licht, da diese ja ein U bereinstimmen von
(n; `) und (n + 1; ` + 2) voraussagt.
Die lineare Theorie gibt gute Resultate, wenn es darum geht, Instabilitaten fur
ganze Gruppen von Sternen oder die Lage eines Instabilitatsgebiets im HRD zu
66
KAPITEL 5.
DISKUSSION UND AUSBLICK
bestimmen, aber ob man damit einen einzelnen Stern gut tten wird konnen, wird
sich zeigen. Die hydrodynamischen Ansatze, sowohl in der Sternentwicklung als
auch in der Pulsation, sind sehr rechenzeitaufwendig. Fur die Entwicklung gibt
es einige Ansatze fur die Rotation und die Konvektion, allerdings limitiert die
Eindimensionalitat der Modelle die Behandlung der Rotation stark. Mit hydrodynamischen Programmen ist es bereits moglich, radiale nichtlineare Pulsationen
zu modellieren (siehe Feuchtinger & Dor 1997).
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Anhang A
Die Pulsationsgleichungen
Die Pulsationsgleichungen werden aus dem allgemeinen Problem durch Linearisierung abgeleitet. Deniert man folgende Groen:
d = [r=r];
w1 = [
p = [P=P ];
r2 dÆ ]; s = [ TT
GMr dr
w = [Æ r=GMr ];
rad PP ]; f = [(4r2Fr)] L1 ;
(A.1)
(A.2)
wobei Fr der lokale radiative Flu, L die Leuchtkraft des Sterns, das Gravitationspotential, eine Lagrange Storung, Æ eine Eulersche Storung, ist, so
erhalt man durch Einsetzen in das allgemeine Problem nach etwa einer Woche1

Ableiten und anschlieender Uberpr
ufung der Ergebnisse ein complexes Gleichungssystem p
sechster Ordnung. Unter Einfuhrung einer dimensionslosen Frequenz = != 4G h%i ergeben sich sechs complexwertige, gewohnliche Dierentialgleichungen, wobei A1 = ln(r=R) als unabhangige Variable gewahlt wurde
und die Ableitung nach der Unabhangigen mit 0 abgekurzt wird. Die 13 Koezienten (siehe A.11) fur dieses enthalten nur Groen des Hintergrundmodells.
d0
p0
w0
w10
s0
d(3 + ) p(1 + A4 ) w sA7
(A.3)
2
A3 [d(4 A2 A5 + ) + p(1 + 1 ) + w + w1 ]
(A.4)
w(1 A5 ) + w1
(A.5)
A5 [d(A6 + A3 A4 ) + pA4 w1 + sAs 7] + wl(l + 1)
(A.6)
2
A3 A8 fd[A10 (A2 + A5 ) + (4 + )(1 A10 )] +
(A.7)
+p[1 (1 A10 ) A9 ] + w (1 A10 ) + w1 A10 sA11 fA12 g
0
f = d[E + l(l + 1)=A12 ] + p[(p 1 )E l(l 1)A10 =A3 A12 ] (A.8)
wE s[A13 s E + l(l 1)=A3 A8 A12 ]
1
laut A.Gautschy, in VO Stellare Instabilitaten
=
=
=
=
=
71
72
ANHANG A.
DIE PULSATIONSGLEICHUNGEN
mit
l(l + 1)
und
=
1
A2 2
d ln A A3
4r3%
12
=
E =
Lr
d ln r 0
=
(A.9)
(A.10)
Dem Belesenen wird hierbei nicht entgangen sein, da kleine Abweichungen zu
den von W. Dziembowski (1977) veroentlichten Gleichungen bestehen, die aber
gewollt sind, da sich dort drei kleine Fehler eingeschlichen haben.
Hier sind nun die Koezienten fur das komplexe Gleichungssystem sechster
Ordnung, die man aus den Evolutionsrechnungen erhalt:
A1 = ln(r=R)
4r3 h%i
A2 =
Mr d ln P
A3 =
d ln r 0
1
A4 =
1
4r3 %
A5 =
Mr
1 d ln P
d ln %
A6 =
1d lnd%lnr 0 d ln r 0
A7 =
d ln T P
d ln T A8 = r =
d ln P 0
dr @ ln (=T 4 )
ad
+ A10
A9 =
@ ln s ad
d ln T 0
r
A10 =
r@adln (=T 4) A11 =
@ ln s P
L
A12 =
L
pr
4Gh%i 4r3 P ( A7 )
A13 =
L
rad
(A.11)
(A.12)
(A.13)
(A.14)
(A.15)
(A.16)
(A.17)
(A.18)
(A.19)
(A.20)
(A.21)
(A.22)
(A.23)
Anhang B
Modellvergleich Basel{Warschau
Anlalich der Gastprofessur A. Gautschys, welcher ansonsten an der Universitat
Basel forscht, entstand die Idee die Pulsationsmodelle des ebengenannten mit den
hier verwendeten Modellen zu vergleichen.
Abbildung B.1: Integrierte Masse, Druck, relative Leuchtkraft und Temperatur
gegen dimensionslosen Radius. Die strichlierte Linie zeigt, falls sie sichtbar ist,
das Basler Modell, die durchgezogene Linie das Warschau-New Jersey Modell.
Die Modellparameter nden sich in Tab. B.1.
A. Gautschy stellte ein Zwei-Sonnen-Massen-Entwicklungsmodell gemeinsam mit dem dazugehorigen Frequenzspektrum zur Verfugung. Nun wurde eine Sequenz von massengleichen Sternmodellen mit dem Warschau-New JerseySternentwicklungscode berechnet, um herauszunden, welches Modell dem obigen
im Entwicklungszustand am nachsten kommt. Um moglichst ahnliche Modelle zu
vergleichen, wurde bei beiden Modellen die Lokation des Endes der zentralen
Konvektionszone in Einklang gebracht, siehe Abb. B.4. Da N im konvektiven
Kern Null gesetzt wird, markiert der Bereich in dem N erstmals positiv ist, den
Beginn des radiativen Teils des Sternmodells. Dieser erste Anstieg wurde in beiden Modellen verglichen. Dabei elen die Buckel in der -Gradientenzone auf. Die
Schwierigkeiten, die sich beim Modellvergleich ergaben, resultierten zum Teil aus
den verwendeten unterschiedlichen Opazitaten und Zustandsgleichungen. Dies
ergab auch unterschiedliche Positionen im HRD (Abb. B.2).
73
74
ANHANG B.
MODELLVERGLEICH BASEL{WARSCHAU
Abbildung B.2: HRD: Die ZAMS ist durch die strichlierte Linie angedeutet. Der
Entwicklungsweg fur das 2 M WNJ-Modell wurde eingezeichnet. Die Position
des Basler Modells ist mit einem Kreuz notiert.
(a) Dichteverlauf im Stern. AA25 = % %r
( )
h i
(b) Druck-Temperaturverlauf im Stern
Abbildung B.3: Linien wie in Abb. B.1
75
Wie man am Beispiel der Leuchtkraftfunktion (Lr ) in Abb. B.1 sieht, ist die
nukleare Energieerzeugung nicht an der gleichen Stelle im Stern "aus\. Weiters
sind die eektiven Temperaturen und die Leuchtkrafte nicht ident, und die Behandlung der aueren Randbedingungen unterschiedlich. Details beim U bergang
vom konvektiven Kern zur radiativen Hulle sind in Abb. B.4 zu sehen.
Bei gleicher Masse und etwa gleichem Entwicklungszustand, sind die Leuchtkrafte und die eektiv Temperaturen verschieden, wie man in Abb. B.2 sieht. Fur
die verglichenen Modelle wurden die Parameter in Tab. B.1 zusammengestellt.
Da das Hauptaugenmerk bei der Auswahl der Modelle auf moglichst ahnlichen
Entwicklungszustand gefallen war, verwundert es nicht sehr, da die Leuchtkrafte
so ahnlich sind. Die Massenverteilung, die direkt mit der Dichtefunktion zusammenhangt (siehe Abb. B.3(a)), ist fast gleich, das heit , da gleichgroe Kernmassen bei fast gleichen thermodynamischen Bedingungen ahnliche Kernbrennraten
haben. Allerdings sind die verwendeten Opazitaten und Zustandsgleichungen unterschiedlich genug, um eine eektiv Temperaturdierenz von 260 K (etwa 3.3%)
zu erlauben, was wiederum eine Radiusdierenz von 6.2% bedingt.
Modell M/M log Te log L=L log g Re /Re ;
Basel
2.0
3.914
1.3054 4.038
2.24
W.N.-J. 2.0
3.900
1.3095 3.985
2.39
Tabelle B.1: Parameter der verglichenen Modelle
Alles in allem sind die Entwicklungsmodelle, obwohl sie von unterschiedlichen
Codes und vor allem mit unterschiedlichen Methoden berechnet wurden, sehr
ahnlich (siehe Abb. B.1 und B.6).
Die aueren Randbedingungen sind im Falle des WNJC mit %(R) =
10 12 gcm 3 gegeben. Dadurch wird ein Auenrand deniert, oder man konnte
auch sagen eine Oberache. Der Radius der Oberache ist naturlich groer als
der eektive Radius (Re ), der per denitionem dem Radius der Atmospharenschichte mit der eektiven Temperatur entspricht. Der Basler Code hingegen
betrachtet den eektiven Radius als "Ende\ des Sterns, was in Abb.B.5 auch
deutlich wird. Genauer betrachtet, sind die Modelle nicht vollig gleich skaliert,
da im Warschauer Modell R = Rsurf und im Basler R = Re gesetzt wird.
Nun ist der Vergleich der Hintergrundsmodelle nicht das eigentliche Ziel, sondern deren Pulsationseigenschaften. In Abb. B.7(unten) ist eine Serie von dimensionslosen Eigenfrequenzen vom Grad ` = 1 gegen die radiale Knotenzahl
aufgetragen. Hervorzuheben ist hier, da selbst bei n = 40 das berechnete asymptotische spacing nicht erreicht ist. Fur niedrige Obertone (n 5) wird das
spacing durch gemischte Moden gestort. Das spacing fur mittlere Obertone ist
in beiden Modellen ahnlich, wenn man vom Knick bei n = 24 im Warschauer
Modell, der allerdings auf numerische Probleme zuruckzufuhren ist und keinerlei
physikalische Bedetung hat, absieht. Dabei ist noch zu bedenken, da es sich um
76
ANHANG B.
MODELLVERGLEICH BASEL{WARSCHAU
Die r -Zone
(a) Die Druckableitung
(b) r=r , das Verhaltniss des Gradienten
zum adiabatischen Gradienten
(c) Die Brunt-Vaissalafrequenz
(d) Der Gradient (r)
ad
Abbildung B.4: Inversionen am Rande der zentralen Konvektionszone: Linien wie
in Abb.B.1
77
Abbildung B.5: Der auere Rand der Modelle, Linien wie in Abb.B.1
Abbildung B.6: Dichteverlauf, Adiabatenexponent und r=rad in den Modellen,
Linien wie in Abb.B.1
78
ANHANG B.
MODELLVERGLEICH BASEL{WARSCHAU
Abbildung B.7: Asymptotisches Verhalten der Eigenwerte im Vergleich BaselWarschau visualisiert mittels dreier Echelle-Diagramme (oben) und durch den
Vergleich des Frequenzabstands zweier aufeinanderfolgender Moden (k+1 k )
und des asymptotischen spacings (0 ) zur Ordnungsnummer in den Datein (k),
die, bis auf einen konstanten additiven Wert der radialen Quantenzahl (n) entspricht. Quadrate stehen fur das Warschauer, Dreiecke fur das Basler Modell und
die Kreuze fur die Ergebnisse die aus der Symbiose des Warschauer Pulsationscode und des Basler Evolutionscode entstanden.
79
Ergebnisse aus leicht unterschiedlichen Entwicklungsmodellen und unterschiedlichen Pulsationscodes handelt.
Abbildung B.8: Dimensionslose Frequenzen ( ) und Dampfungsraten ( ) fur hohe
Obertone, die durchgezogene Linie reprasentiert das Warschauer, die strichlierte das Basler Modell und die Kreuze stehen fur die Symbiose des Warschauer
Pulsationscode mit dem Basler Evolutionscode.
Der von A. Gautschy und W. Glatzel (1992) entwickelte und verwendete
Pulsationscode verwendet die Ricatti-Methode. Dies ist eine Vorwartsintegration bzw. ein Schieverfahren. Der Vorteil einer solchen Methode liegt in der
variablen Schrittweite, die lokal verandert wird, um die gewunschte Genauigkeit
zu erreichen. Weiters kann uber den gesamten Stern integriert werden, und die
Konvergenzradien der Eigenwerte sind groer, wodurch man erwartet, alle Eigenwerte zu nden. A. Gautschys Code benotigt aber andere Information aus dem
Entwicklungsmodell als der hier verwendete. Aus diesem Grunde wurde beschlossen, aus dem Basler Hintergrundmodell die in A.11{A.23 explizit angefuhrten 13
KoeÆzienten in einer Datei zwischen zu speichern, um anschlieend die Pulsationseigenschaften mit dem nicht-adiabatischen, Warschauer Pulsationsprogramm
zu bestimmen.
Das Basler Entwicklungsmodell ndet mit etwa 900 Gitterpunkten sein auslangen, wahrend beim Warschau-New Jersey-code etwa 1500 Punkte verwendet werden. Der Warschauer Pulsationscode fugt gegebenenfalls { abhangig vom
gewunschten Frequenzbereich und vom Grad der Moden { noch zusatzliche Punkte ein, um die Genauigkeit zu verbessern. Nun wurde mit dem Warschauer Pulsationscode die Stabilitatsanalyse des Basler Entwicklungsmodells durchgefuhrt,
was sich leicht anhort, aber doch einiger Zeit bedurfte. 900 Punkte im Entwicklungsmodell sind doch etwas zu wenig um zuverlassige Ergebnisse zu liefern.
Da aber die Zuverlassigkeit der Ergebnisse aus dieser Symbiose nicht so sehr
80
ANHANG B.
MODELLVERGLEICH BASEL{WARSCHAU
im Vordergrund stand, sind die Resultate mit Vorsicht zu genieen. Sie sollten
nur zeigen, da die Resultate unabhangig vom Losungsverfahren sind. Diese Hybridlosung ist in den Abb. B.7 und B.8 zu sehen. Fur mittlere Obertone ist das
spacing ungewohnlich unregelmaig.
Eine Serie von Eigenwerten fur ` = 1 sind in der komplexen Ebene in Abb. B.8
dargestellt und durch Linien verbunden (auer fur die hybriden Ergebnisse). Fur
die niedrigen Obertone der Hybriden schwanken die Imaginarteile der Eigenwerte
(= ) stark. Ansonsten verandern sich die Iamginarteile langsam { wie man fur
Modelle, die durch den -Mechanismus instabil werden, erwartet { bis auf einen
Sprung bei etwa <( ) = 20. Die lokalen Minima in der Anwachsrate (bei etwa 13
und 24 <( )) sind auallig aber nicht erklarbar.
Curriculum Vitae
19.04.1970 Geburt in Wien
Schulen
1976-1980 Besuch der Volksschule Corneliusgasse 4, Wien, 6
1980-1988 Besuch des B.R.G. VI, Marchettigasse 3, Wien, 6
31.05.1988 Matura
Studium
Okt. 1988 Immatrikulation an der Universitat Wien, Inskription der Studienrichtung
Physik und Inskription der Studienrichtung Technische Mathematik an der
Technischen Universitat Wien
Marz 1989 Inskription der Studienrichtung Astronomie
Jan. 1993 Abschlu des 1.Studienabschnittes Astronomie
April 1995 Beginn der 3-monatigen Gastprofessur W. Dziembowskis in Wien, Beginn
der Diplomarbeit
Sonstiges
Mai 1995 Wahl zum Stellvertretenden Vorsitzenden der Studienrichtungsvertretung
Astronomie, Mitglied der studentischen Kurie der Studienkomission Astronomie
Okt. 1995 zweiwochiger Arbeitsaufenthalt, Astronomisches Centrum Nikolaus Kopernicus, Warschau
Okt. 1995 Teilnahme am IAU Symp. 176 in Wien
81
82
CURRICULUM VITAE
Feb. 1996 zweiwochiger Beobachtungsaufenthalt am Piszkesteto-Observatorium, Ungarn, im Rahmen der kombinierten (Delta Scuti Network und Whole Earth
Telescope) internationalen Beobachtungskampagne DSN 15/XCOV 13
Juni 1996 Teilnahme und Vortrag am "EuroWET-workshop\ in Skibotn, Norwegen
Marz 1997 zweiwochiger Arbeitsaufenthalt, Astronomisches Centrum Nikolaus Kopernicus, Warschau
Mai 1997 einwochiger Arbeitsaufenthalt, Astronomisches Centrum Nikolaus Kopernicus, Warschau
Juni 1997 Teilnahme und Poster am Pulsationstreen, "A Half Century of Stellar
Pulsation Interpretations, A Tribute Arthur N. Cox\ in Los Alamos, USA
Juli 1997 Teilnahme am 4. WET-Workshop in Koninki, Polen
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Danksagung
Da eine Diplomarbeit selten im Alleingang durchgefuhrt wird, sondern meistens
eine recht beachtliche Zahl von Leuten Wissen und Erfahrung einbringen mussen,
sei hier allen gedankt, die in der einen oder anderen Weise mithalfen.
Allen voran danke ich meinen Eltern, die mir ein Studium ermoglichten. Weiters danke ich meinen Betreuern Michel Breger und Wojtek Dziembowski. Alosha
Pamyatnykh stand mir in vielen physikalischen und auch numerischen Dingen zur
Seite. Die hier verwendeten Entwicklungs- und Pulsationsprogramme wurden von
Wojtek Dziembowski und Alosha Pamyatnykh entwickelt.
Alfred Gautschy sei gedankt, fur die mir vermittelte Einsicht in stellare Instabilitaten, so manche Details der Pulsationstheorie, die Modelle die fur den
Vergleich verwendet wurden und vieles mehr.
Gerald Handler durfte die Beobachtungen machen, und mir sehr, sehr viele
astronomische Dinge erklaren. Werner Weiss und seiner Arbeitsgruppe sei gedankt, da sie mir die Benutzung von IDL und die Ausnutzung freier CPU-Zeit
an ihrem Computercluster ermoglichten. Meinen Freunden und Kollegen danke
ich, fur die vielen wissenschaftlichen und auch fur die weniger wissenschaftlichen
Gesprache und Diskussionen. Zuletzt mochte ich mich bei jenen Lehrenden bedanken, die mich dank ihrer auergewohnlich guten Lehre auf die Diplomarbeit
vorbereiteten (in chronologischer Reihenfolge): Michel Breger, Michael Grosser,
Martin Neumann, Herbert Pietschmann, Ernst Dor und Alfred Gautschy.
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