4 Wechselstromtechnik – Einführung 4.1 Wechselgrößen

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Grundlagen der Elektrotechnik
Wechselstromtechnik – Einführung
4
Wechselstromtechnik – Einführung
4.1
Wechselgrößen
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Nimmt eine Wechselgröße in bestimmten, aufeinander folgenden Zeitabständen wieder denselben Augenblickswert an, nennt man sie
periodische Wechselgröße. Die nachfolgende Abbildung zeigt das
prinzipielle zeitliche Diagramm.
Dabei bedeuten:
: Periodendauer (Periode) des Wechselvorgangs (kürzeste Zeit
zw. zwei Wiederholungen)
f = 1 T : Frequenz (Anzahl der Wiederholungen pro Zeit)
vɵ
: Maximal- oder Scheitelwert (höchster Wert, den die Wechsel-
T
größe annehmen kann)
Allgemeine Darstellung periodischer Wechselgrößen:
v (t ) = v (t + k ⋅ T )
mit: k = 0, ±1, ±2,...
(4.1)
1
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4.2 Sinusförmige Wechselgrößen
Sinusförmige Wechselgrößen ändern sich zeitlich sinusförmig. Sie
werden grundsätzlich wie folgt beschrieben:
v (t ) = vɵ ⋅ sin(ωt + ϕ )
(4.2)
Sinusförmige Wechselgröße in Abhängigkeit von t und ωt:
Verwandt mit der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Sie ergibt sich
aus der Sinusfunktion durch eine Phasenverschiebung von π/2 = 90°. In
der Elektrotechnik verwendet man hauptsächlich Sinus- bzw. Kosinusfunktionen, weil bei diesem Kurvenverlauf die geringsten Verluste und
Verzerrungen auftreten.
Weiterhin lassen sich kompliziertere Funktionen durch Überlagerung
(Linearkombination) von theoretisch unendlich vielen Sinus- und
Kosinusfunktionen konstruieren (Fourier-Reihe).
Erzeugung einer sinusförmigen Wechselspannung:
Die wichtigste Möglichkeit zur Erzeugung von sinusförmigen Spannungen bietet das Prinzip der Induktion der Bewegung, bei der mechanische Arbeit in elektrische Energie gewandelt wird. Um dies zu erreichen,
muss ein Leiter in einem Magnetfeld gedreht werden, siehe Kapitel 3.
Dies gilt sowohl für die hier betrachteten Einphasen-Systeme als auch
für die in ET3 behandelten Dreiphasen-Systeme (Drehstrom).
2
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4.3 Klassifikation von Wechselgrößen
Arithmetischer Mittelwert – Gleichanteil einer Größe:
T
v=
1
T
∫ v (t ) ⋅ dt
(4.4)
0
Gleichrichtwert:
T
v =
1
T
∫ v (t ) ⋅ dt
(4.5)
0
Beispiel 4.1:
Gegeben ist der skizzierte Brückengleichrichter. Ermitteln Sie den
Gleichrichtwert an den Ausgangsklemmen CD.
Beispiel 4.2:
Das Bild zeigt eine gesteuerte Einweg-Gleichrichtung. Welchen Gleichrichtwert erhält man?
20
60
120
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Effektivwert:
Unter dem Effektivwert einer Wechselgröße, auch quadratischer Mittelwert genannt, versteht man den Wert, der die gleiche Leistung am
gleichen Ohmschen Widerstand R erbringt wie eine ebenso große
Gleichgröße.
T
Veff =
1
T
∫ [ v (t ) ]
2
⋅ dt
(4.6)
0
Der Flächeninhalt des Rechtecks I 2 ⋅ T in Bild a stellt die Wärmearbeit
dar, die der Gleichstrom I in der Zeit T im Widerstand R = 1Ω verrichtet
hat. Der Flächeninhalt der Kurve i 2 ⋅ T in Bild b versinnbildlicht die
Wärmearbeit des Wechselstroms i während der Zeit T am gleichen
Widerstand.
Aus der Kurve erkennt man, dass die Arbeit nicht konstant verrichtet
wird, sondern schwankt. Um einen Mittelwert zu erhalten, legt man in
Bild c die Fläche so um, dass ein Rechteck entsteht.
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4.4 Darstellung von sinusförmigen Wechselgrößen durch
Zeiger
Sinusförmige Wechselspannungen und Wechselströme lassen sich als
sog. rotierende Zeiger darstellen, d.h. die Sinusschwingung wird im
Zeigerdiagramm durch einen mit der Kreisfrequenz ω im
Gegenuhrzeigersinn um den Nullpunkt rotierenden Zeiger der Länge vɵ
beschrieben.
Transformation einer sinusförmigen Zeitfunktion in einen rotierenden
Zeiger:
Die Projektion des rotierenden Zeigers v (t ) auf die imaginäre Achse ist
der Augenblickswert v (t ) der sinusförmigen Wechselgröße. Die
sinusförmige Wechselgröße v (t ) wird somit in eine entsprechende
komplexe Zeitfunktion v (t ) eindeutig abgebildet (sog. Transformation ins
Komplexe).
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4.5 Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert
Komplexer Widerstand (Impedanz):
Unter dem komplexen Widerstand versteht man das Verhältnis zwischen
den komplexen Momentanwerten von Spannung und Strom. Er ist gleich
dem Verhältnis der komplexen Amplituden.
Z=
uɵ j (ϕu −ϕi )
⋅e
= Z ⋅ e jϕ
ɵi
(4.11)
Z = Z ⋅ e jϕ = Z ⋅ cos(ϕ ) + j ⋅ Z ⋅ sin(ϕ ) = R + jX
Z = R2 + X 2
;
ϕ = arctan ( X R )
(4.12)
(4.13)
Z nennt man Scheinwiderstand, R den Wirk- und X den Blindwiderstand.
Widerstandsdreieck für die Reihenschaltung eines Wirkwiderstandes mit
einem induktiven (a) bzw. kapazitiven Blindwiderstand (b):
jX c
Z = R + jX c
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Komplexer Leitwert (Admittanz):
Der komplexe Leitwert Y ist der Kehrwert des komplexen Widerstandes.
Y =
1
1
I
= =
= Y ⋅ e − jϕ
jϕ
U Z Z ⋅e
(4.14)
Y = Y ⋅ e − jϕ = Y ⋅ cos(ϕ ) − j ⋅ Y ⋅ sin(ϕ ) = G + jB
Y = G2 + B2
;
(4.15)
ϕ = arctan ( B G )
(4.16)
Y nennt man Scheinleitwert, G den Wirk- und B den Blindleitwert.
Parallelschaltung eines Wirkleitwertes mit einem kapazitiven (a) bzw.
induktiven Blindleitwert (b):
jBL
Y = G + jBL
Beispiel 4.3:
Die Reihenschaltung eines Wirkwiderstandes mit RR=100Ω und eines
induktiven Blindwiderstandes mit XL,R=200Ω soll in eine äquivalente
Parallelschaltung mit RP und XL,P umgerechnet werden.
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4.6 Ohmscher, kapazitiver und induktiver Widerstand im
Wechselstromkreis
Ohmscher Widerstand:
Bei einem Ohmschen Widerstand gibt es zwischen Spannung und Strom
keine Phasenverschiebung. Im Zeigerdiagramm liegen Stromzeiger I und
Spannungszeiger U in gleicher Richtung.
uɵ = R ⋅ ɵi
bzw.
U = R ⋅I
(4.18)
ϕu = ϕi
(4.19)
Linien- und Zeigerdiagramm des Ohmschen Widerstandes:
Kapazitiver Widerstand:
Der kapazitive (Blind-)Widerstand –XC als Quotient der Amplituden von
Spannung und Strom ist gleich dem Kehrwert des Produktes ω·C, also
frequenzabhängig. Der Strom durch die Kapazität C eilt der Spannung
um π/2 voraus.
1
uɵ
− XC =
=
ωC ɵi
ɵi = ωC ⋅ uɵ
(4.20)
bzw.
ϕ = ϕu − ϕi = −
π
2
I = ωC ⋅ U
bzw.
ϕi = ϕu +
(4.21)
π
2
(4.22)
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Linien- und Zeigerdiagramm des kapazitiven Widerstandes:
Induktiver Widerstand:
Der induktive (Blind-)Widerstand XL als Quotient der Amplituden von
Spannung und Strom ist gleich dem Produkt ω·L, also ebenfalls
frequenzabhängig. Die Spannung an der Induktivität L eilt dem Strom um
π/2 voraus.
uɵ
X L = ωL =
ɵi
uɵ = ωL ⋅ ɵi
(4.23)
bzw.
ϕ = ϕu − ϕi =
π
2
U = ωL ⋅ I
bzw.
ϕu = ϕi +
(4.24)
π
2
(4.25)
Linien- und Zeigerdiagramm des induktiven Widerstandes:
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Beispiel 4.4:
Für die skizzierte Schaltung soll der komplexe Gesamtwiderstand in der
Form Z ges = R + jX und Z ges = Zges ⋅ e jϕ ermittelt werden.
R1 = 3Ω
X C 1 = −4 Ω
X L = 4Ω
R2 = 1Ω
X C 2 = −5Ω
Beispiel 4.5:
Welchen Wert muss in der skizzierten Schaltung der Schaltwiderstand
R2 haben, damit der Phasenverschiebungswinkel zwischen der
Generatorspannung U und dem Gesamtstrom I 45° beträgt?
Vorgehensweise: Man ermittle zunächst den Scheinleitwert in der
Normalform der komplexen Zahl und setze dann tan(ϕ ) = Im Re an.
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4.7 Spannungs- und Stromteilerregel
Komplexer Spannungsteiler:
Es gelten für den Spannungsteiler der Wechselstromtechnik die gleichen
Gesetze wie für den Spannungsteiler an Gleichspannung.
Z1
Z2
U1
U2
U
U 1 Z1
=
U2 Z2
(4.26a)
U2
Z2
=
U
Z1 + Z 2
(4.26b)
Beispiel 4.6:
Für die skizzierte RC-Schaltung ist
das Spannungsverhältnis U 2 U 1
in Abhängigkeit von R , C und ω
zu ermitteln. Die Hilfsspannung
U h soll die Lösung erleichtern.
Komplexer Stromteiler:
Für den Stromteiler der Wechselstromtechnik gelten die gleichen
Gesetzmäßigkeiten wie für den Stromteiler der Gleichspannungstechnik.
I
I2
I1
Z2
Z1
I1 Z 2
=
I 2 Z1
(4.27a)
I1
Z2
=
I Z1 + Z 2
(4.27b)
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Beispiel 4.7:
Für die skizzierte Schaltung ist der
Strom I L in Abhängigkeit von U , ω ,
RLp , Lp und R zu ermitteln.
Anwendung der Spannungsteilerregel – Oszilloskop:
In der Oszilloskop-Messtechnik ist man an einer möglichst genauen
Darstellung interessiert.
Oszilloskop an Spannungsquelle mit Innenwiderstand und ESB:
Oszilloskop-Tastkopf und ESB:
RT ⋅ CT = CK ⋅ Re
(4.28)
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4.8 Leistung im Wechselstromkreis
In einem Gleichstromkreis ist die Leistung zeitlich konstant, weil die
Spannung und der Strom zeitlich konstant sind:
P = U ⋅I
In Wechselstromkreisen sind Spannung und Strom sinusförmige
Größen, d.h. auch das Produkt – die Augenblicksleistung – ist zeitlich
veränderlich:
p = u ⋅ i = uɵ ⋅ sin (ωt + ϕu ) ⋅ ɵi ⋅ sin (ωt + ϕi ) = pw + pB
(4.29)
Die Augenblicksleistung setzt sich aus zwei Komponenten zusammen:
• Leistungskomponente, die mit 2ω pulsiert, dabei aber ihr Vorzeichen nicht wechselt. Die durch sie beschriebene Leistung fließt
also in einer Richtung und kann somit als dauernde Energieentnahme bzw. -aufnahme, d.h. als irreversible Leistungsumwandlung, gedeutet werden. Sie wird als Wirkleistung pw bezeichnet.
• Leistungskomponente, die mit 2ω um die Nulllinie pendelt, d.h. ihr
Vorzeichen periodisch wechselt. Das bedeutet, dass sich auch die
Richtung des Leistungsflusses periodisch umkehrt. Es wird in dem
Verbraucher lediglich Energie gespeichert, die dann wieder
abgegeben wird. Im Mittel wird dem Verbraucher von dieser
Leistungskomponente keine Energie zugeführt. Man spricht von
der Blindleistung pB.
pw =
uɵ ⋅ ɵi
⋅ cos (ϕu − ϕi ) ⋅ 1 − cos 2 (ωt + ϕu )  
2
pB = −
uɵ ⋅ ɵi
⋅ sin (ϕu − ϕi ) ⋅ sin 2 (ωt + ϕu ) 
2
(4.30)
(4.31)
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4.8.1
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Leistung im ohmschen Widerstand
Die Wirkleistung PW des rein ohmschen Widerstandes errechnet sich bei
sinusförmigem Wechselstrom aus dem Produkt der Effektivwerte von
Wechselspannung und Wechselstrom. Die Abbildung zeigt den zeitlichen
Verlauf von p(ωt) und PW. Man erkennt, dass p(ωt) mit doppelter Kreisfrequenz um den Mittelwert PW schwingt.
PW =
uɵ ⋅ ɵi
= Ueff ⋅ Ieff
2
p (ωt )
(4.35)
p (ωt ) =
uˆ ⋅ iˆ
⋅ [1 − cos(2ωt )]
2
PW =
4.8.2
uˆ ⋅ iˆ
= U eff ⋅ I eff
2
Leistung im kapazitiven Widerstand
Der Augenblickswert p der Leistung im kapazitiven Widerstand ändert
sich sinusförmig mit der doppelten Kreisfrequenz. Der ideale Energiespeicher nimmt innerhalb einer Periode Energie vom Stromerzeuger auf
und gibt sie wieder ab, die Wirkleistung PW ist daher Null.
p(ωt ) = 0 +
uˆC ⋅ iˆC
⋅ sin(2ωt )
2
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4.8.3
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Leistung im induktiven Widerstand
Auch im induktiven Widerstand ändert sich der Augenblickswert p der
Leistung sinusförmig mit der doppelten Kreisfrequenz. Die Wirkleistung
PW ist ebenfalls Null.
p (ωt ) = 0 −
4.8.4
uˆ L ⋅ iˆL
⋅ sin(2ωt )
2
Scheinleistung
Die Scheinleistung PS ist die Leistung, die scheinbar zur Verfügung
steht, wenn man z.B. mit einem Messgerät getrennt zuerst die Spannung
und dann den Strom misst (Effektivwerte), also die Phasenlage nicht
berücksichtigt.
Die Scheinleistung lässt sich auch über das Leistungsdreieck ermitteln.
PS =
uˆ ⋅ iˆ
= U eff ⋅ I eff = PW2 + PB2
2
PS
PB
α
PW
uˆ ⋅ iˆ
⋅ sin(ϕ )
PB
2
tan(α ) =
=
= tan(ϕ )
PW uˆ ⋅ iˆ
⋅ cos(ϕ )
2
(4.40)
⇒
α =ϕ
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4.8.6 Wirk-, Blind- und Scheinleistung am komplexen
Widerstand
• Die Wirkleistung PW ist ein Maß für die im ohmschen Widerstand
umgesetzte Leistung.
• Die Blindleistung PB ist ein Maß für die gespeicherte Leistung.
• Die Scheinleistung PS ist ein Maß für die gesamte Leistung, d.h.
die im ohmschen Widerstand umgesetzte und die in den induktiven
und kapazitiven Widerständen gespeicherte Leistung.
Erklärung für Nicht-Elektrotechniker:
Sollen für einen beliebigen komplexen Widerstand alle drei Leistungen
berechnet werden, dann ist zu unterscheiden, ob eine Impedanz
(Reihenschaltung) oder Admittanz (Parallelschaltung) gegeben ist.
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Impedanz:
I
Rr
jX r
UR
UX
Z ges = Rr + jX r
U
PW = 12 ⋅ I ⋅ ( U ⋅ cos(ϕ ) ) = 12 ⋅ I ⋅ U R
UR
U R = Rr ⋅ I
⇒ PW = 12 ⋅ I ⋅ Rr = 12 ⋅ I ⋅ Re{Z ges }
2
2
(4.41)
PB = 12 ⋅ I ⋅ ( U ⋅ sin(ϕ ) ) = 12 ⋅ I ⋅ X R = 12 ⋅ I ⋅ Im {Z ges }
2
2
(4.42)
XR⋅ I
induktiver Widerstand:
PB = 12 ⋅ I ⋅ ω Lr
2
kapazitiver Widerstand: PB = − 12 ⋅ I ⋅
2
1
ω Cr
mit: X r = ω Lr
mit: X r = −
1
ω Cr
(4.43a)
(4.43b)
U = Z ges ⋅ I = Rr2 + X r2 ⋅ I
⇒ PS =
U ⋅I 1
2
= 2 ⋅ I ⋅ Rr2 + X r2
2
induktiver Widerstand:
(4.44)
PS = 12 ⋅ I ⋅ Rr2 + ω 2 L2r
(4.45a)
1
ω 2Cr2
(4.45b)
2
kapazitiver Widerstand: PS = 12 ⋅ I ⋅ Rr2 +
2
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Admittanz:
IR
Gp
IB
jB p
I
Yges = G p + jB p
U
PW = 12 ⋅ U ⋅ ( I ⋅ cos(ϕ ) ) = 12 ⋅ U ⋅ I R
IR
IR = G p ⋅ U
⇒ PW = 12 ⋅ U ⋅ G p = 12 ⋅ U ⋅ Re{Yges }
2
2
(4.46)
PB = 12 ⋅ U ⋅ ( I ⋅ sin(−ϕ ) ) = − 12 ⋅ U ⋅ B p = − 12 ⋅ U ⋅ Im {Yges }
2
2
(4.47)
− Bp ⋅ U
(bei der Admittanz wechselt das Vorzeichen des Winkels ϕ )
induktiver Leitwert:
kapazitiver Leitwert:
2
PB = 12 ⋅ U ⋅
1
ω Lp
PB = − 12 ⋅ U ⋅ ωC p
2
mit: B p = −
1
ω Lp
mit: B p = ωC p
(4.48a)
(4.48b)
I = Yges ⋅ U = G 2p + B 2p ⋅ U
⇒ PS =
U ⋅I 1
2
= 2 ⋅ U ⋅ G 2p + B 2p
2
(4.49)
PS = 12 ⋅ U ⋅
1
1
+
R 2p ω 2 L2p
(4.50a)
kapazitiver Leitwert: PS = 12 ⋅ U ⋅
1
+ ω 2C p2
2
Rp
(4.50b)
induktiver Leitwert:
2
2
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4.8.6 Prinzip der durchgehenden Wirkleistung
Bei einer aus verlustlosen Elementen bestehenden Schaltung muss die
am Eingang eintretende Wirkleistung voll dem Abschlussverbraucher
zugeführt werden. Sucht man in einer derartigen, in der Abbildung
beispielhaft skizzierten Schaltung an einer beliebigen Stelle x die
Amplituden von Strom und Spannung, so kann die verbraucherseitig
liegende Restschaltung stets durch eine der angegebenen Ersatzschaltungen beschrieben werden.
Ix
I2
PW
Ux
U2
R2
Z x bzw. Yx
Z x = Rx + jX x
Yx = Gx + jBx
PW wird auf dem Weg zur Last nicht kleiner;
Ix
Ix
Rx
Ersatzschaltungen:
Ux
Ux
Gx
Bx
Xx
a)
2
b)
2
PW = 12 ⋅ I x ⋅ Rx = 12 ⋅ I2 ⋅ R2
R2
⇒ iˆx = I x = I2 ⋅
Rx
2
(4.51)
2
PW = 12 ⋅ U x ⋅ Gx = 12 ⋅ U 2 ⋅ G2
⇒ uˆ x = U x = U 2 ⋅
G2
Gx
(4.52)
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4.8.7 Wirkleistung der Zweipolquelle mit komplexem Innenwiderstand
Gegeben ist die skizzierte Ersatzspannungs- bzw. –stromquelle mit komplexem Innenwiderstand. Ein komplexer Verbraucher Z a bzw. Y a kann
folgende Wirkleistung aufnehmen:
Zi
I0 = U 0 Z i
Ia
Ia
I0
U0
Ua
PW = ⋅ Ra ⋅
1
2
PW = 12 ⋅ Ga ⋅
U0
Za
Ua
Za
2
2
(4.53a)
2
(4.53b)
Zi + Z a
I0
Yi
2
Yi +Ya
4.8.8 Leistungsanpassung bei Zweipolen
Unter Leistungsanpassung versteht man allgemein die Abgabe der max.
Leistung einer Quelle an einen Verbraucher. Die Lastimpedanz Z a bzw.
Lastadmittanz Y a (siehe Abb. oben) nimmt die Wirkleistung PW nach Gl.
(4.53) auf. Ihr Maximalwert lässt sich nach Gl. (4.55) bestimmen:
2
PW max
2
U
I
= 0 = 0
8 Ri
8Gi
(4.55)
An die Lastimpedanz bzw. –admittanz wird die max. Leistung PW max
nach Gl. (4.55) abgegeben, wenn für Z a bzw. Y a folgende Bedingung
erfüllt ist:
Z a = Ra + jX a = Ri − jX i = Z i*
Y a = Ga + jBa = Gi − jBi = Y *i
(4.56)
20