1 Gleichstromtechnik 1.1 Physikalische Definitionen 1.1.1

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Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
1
Gleichstromtechnik
1.1
Physikalische Definitionen
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1.1.1 Elektrische Ladung
Elektrizität beruht auf dem Vorhandensein elektrischer Ladungen. Man
unterscheidet zwischen positiven und negativen Ladungen. Zwischen
elektrischen Ladungen besteht eine Kraftwirkung (Coulombsches
Gesetz). Ladungen gleichen Vorzeichens stoßen sich ab, Ladungen
ungleichen Vorzeichens ziehen sich an.
Jede Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e:
e = ±1,602(17733) ⋅ 10−19 As
1As = 1C (Coulomb)
Q = N ⋅ ( ±e )
Elektron: negative Elementarladung
Proton: positive Elementarladung
Der Raum zwischen elektrischen Ladungen, in dem abstoßende bzw.
anziehende Kräfte wirken, heißt elektrisches Feld (siehe Kapitel 2).
1
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1.1.2 Das Coulombsche Gesetz
Für die anziehende oder abstoßende Kraft, die eine Punktladung Q1 auf
eine sich im Abstand r befindende Punktladung Q2 ausübt, gilt das
Coulombsche Gesetz:
1 Q1 ⋅ Q2 r 12
F 12 =
⋅
⋅
(1.1)
2
r12
4πε 0
r12
r 12
mit:
: Einheitsvektor von Q1 nach Q2
r12
As (elektrische Feldkonstante, Dielekε 0 = 8,854(18782) ⋅ 10−12 Vm
trizitätskonstante des Vakuums)
1
4πε 0
= 8,988 ⋅ 109 Vm
(Proportionalitätsfaktor)
As
Das Coulombsche Gesetz gilt auch noch näherungsweise für Kugeln,
wenn deren Abstand (von Kugelmitte zu Kugelmitte) groß im Vergleich
zu den Kugelradien ist.
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1.1.3 Stromstärke und Stromdichte
Der elektrische Strom entspricht der zeitlichen Änderung der elektrischen
Ladung. Ist der zeitliche Verlauf der den Querschnitt durchsetzenden
Ladung bekannt, gewinnt man den zugehörigen Strom durch Differentiation dieser Ladungsfunktion:
∆q dq
=
∆t →0 ∆t
dt
i = lim
;
[i ] = A
(1.2)
Die Ladungsfunktion kann durch Integration der Stromfunktion ermittelt
werden:
t2
q(t ) = ∫ i ⋅ dt
;
[q ] = As = C
(1.3)
t1
Bei zeitlich konstanter Stromstärke, d.h. stationärem Ladungstransport,
gilt:
(1.4)
Q = I ⋅t
Die Stromdichte ist wichtig zur Einschätzung von Erwärmungsproblemen und stellt den auf die Querschnittsfläche bezogenen Strom dar.
Bei gleichmäßiger Verteilung des Stroms über die Fläche ist die Stromdichte konstant:
I
J = A
;
[J ] =
A
m2
(1.5)
Bei ungleichmäßiger Stromverteilung über der Fläche ist der differentielle
Strom dI auf das Flächenelement dA zu beziehen:
dI
J = dA
(1.6)
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1.1.4 Potential und Spannung
Zwei ungleichnamige, dicht beieinander liegende Ladungen werden um
die Entfernung s verschoben:
• Kraft F entgegen der Coulomb-Kraft muss aufgewendet werden;
• Bei Ladungstrennung wird Arbeit W = F ⋅ s verrichtet;
Q2 wird um s verschoben ⇒ verrichtete Arbeit ist als potentielle Energie
gespeichert:
W1 = ϕ1 ⋅ Q2
Ladung Q2 hat in Bezug auf die Ladung Q1 das elektrische Potential:
ϕ1 =
W1
Q2
;
[ϕ ] = V
(1.8a)
(gespeicherte Energie bezogen auf die verschobene Ladung Q2)
Weitere Verschiebung um ∆s ⇒ Erhöhung der potentiellen Energie:
W2 = ϕ2 ⋅ Q2
⇒
ϕ2 =
W2
Q2
(1.8b)
Potentielle Energiedifferenz beim Verschieben der Ladung Q2 von s
nach s + ∆s :
∆W = W2 − W1 = (ϕ2 − ϕ1) ⋅ Q2
Auf Ladung Q2 bezogene Energiedifferenz ist die elektr. Spannung U:
∆W
= ϕ2 − ϕ1 = U
Q2
;
[U ] = V
(1.9)
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1.1.5 Energieniveaus der Elektronen und Bändermodell
Energieniveaus:
W
Ionisierungsgrenze
Einzelatom
Zweiatomiges
Molekül
Dreiatomiges
Molekül
N Atome
(Festkörper)
Die Grafik veranschaulicht die Aufspaltung der Energieniveaus in zwei,
drei (bei drei wechselwirkenden Systemen) und N (bei N Atomen im
Festkörper) eng benachbarte Energieniveaus.
N Energiezustände im Festkörper sind so eng beieinander, dass sie
nicht getrennt werden können → verschmelzen zu einem Energieband.
Bändermodell:
Das oberste vollständig gefüllte Band heißt Valenzband (VB), das
darüber liegende, entweder teilweise gefüllte oder auch leere Band wird
als Leitungsband (LB) bezeichnet.
W
Leitungsband
WL
untere Kante des Leitungsbandes
∆W = Wg
WV
obere Kante des Valenzbandes
Valenzband
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Die Breite der verbotenen Zone, d.h. der Abstand zwischen dem
Leitungsband WL und dem Valenzband WV, ist ein guter Maßstab für die
Leitfähigkeit von Materialien.
∆W1
∆W1
a)
b)
c)
d)
In den doppelt schraffierten Bereichen sind die energetischen Niveaus
von Elektronen besetzt, in den einfach schraffierten dagegen nicht. Die
dazwischen liegenden Flächen stellen die für Elektronen verbotenen
Zonen dar. Folgende Fälle sind möglich:
• Das Valenzband ist nicht vollbesetzt (Fall a), oder das Valenzband
ist vollbesetzt, überschneidet sich jedoch mit dem Leitungsband
(Fall b). – Leiter
• Das Valenzband ist vollbesetzt, das Leitungsband befindet sich
jedoch energetisch in der Nähe des Valenzbandes (Fall c). –
Halbleiter
• Das Valenzband ist vollbesetzt, das Leitungsband liegt weit davon
entfernt (Fall d). – Nichtleiter
Die Valenzelektronen bewegen sich reglos im Kristall. Ihre Bewegung ist
nicht ausgerichtet und stellt deswegen keinen Strom dar.
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1.1.6 Elektrischer Widerstand und elektrischer Leitwert
Der elektrische Widerstand beschreibt das Spannungs-Strom-Verhältnis
als wichtige elektrische Eigenschaft eines Bauelements. Der Kehrwert
des Widerstandes heißt Leitwert und beschreibt dementsprechend das IU-Verhalten.
Lineare Widerstände:
Funktion I = f (U ) ist eine Gerade, d.h. der Widerstand ist konstant.
Bauelement:
I
R2
Kennlinie:
R1
R1 > R2
U
R=
U
= const .
I
;
[R ] = Ω (Ohm)
(1.10)
G=
1
R
;
[G ] = S (Siemens)
(1.11)
Gl. (1.10) beschreibt das Ohmsche Gesetz.
Nichtlineare Widerstände:
I
I
Kennlinie:
U
U
Nichtlineare Widerstände verändern ihren Widerstandswert in Abhängigkeit einer physikalischen Größe. Eine solche Größe kann beispielsweise
die Temperatur oder die Lichtintensität sein.
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Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit für unterschiedliche
Materialien:
[ρ ] =
[κ ] =
2
Ω⋅mm
m
m
Ω⋅mm 2
Kupfer Aluminium
0,01786 0,02857
56
35
Stahl
0,13
Blei
0,208
Konstantan
0,5
7,7
4,8
2
Die Leitfähigkeit κ gibt an, wie viel m eines Werkstoffes benötigt werden,
damit man einen Widerstand von 1Ω erhält (bei A = 1mm 2 und ϑ = 20°C ).
Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes:
• ρ z bei Bezugstemperatur ϑz
• Durch Temperaturänderung ∆ϑ wird ρ z um ∆ρ geändert
Weichen die Temperaturen nur in bestimmten Grenzen von ϑz ab, dann
wird ∆ρ näherungsweise über die Tangente im Punkt (ϑz , ρ z ) bestimmt:
∆ρ d ρ
≈
∆ϑ dϑ
z
(Anstieg der Sekante wird durch Anstieg der Tangente angenähert)
⇒ ∆ρ =
dρ
⋅ ∆ϑ
dϑ z
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Für den spezifischen Widerstand bei erhöhter Temperatur gilt:
ρ = ρ z + ∆ρ
ρ = ρz +

dρ
⋅ ∆ϑ
dϑ z
ρ = ρ z ⋅ 1 +


1 dρ
⋅
⋅ ∆ϑ 
ρ z dϑ z

ρ = ρ z ⋅ [1 + α z ⋅ ∆ϑ ]
(1.13)
mit: ∆ϑ = ϑ − ϑz
α z : Temperaturkoeffizient
Üblicherweise wird α z auf 20°C bezogen ( α 20 ):
ρ = ρ20 ⋅ [1 + α 20 ⋅ ∆ϑ ]
;
mit: ∆ϑ = ϑ − 20°C
(1.14)
Für die Temperaturabhängigkeit eines linearen Widerstandes gilt:
R =ρ⋅
l
l
= ρ20 ⋅ [1 + α 20 ⋅ ∆ϑ ] ⋅
A
A
⇒ R = R20 ⋅ [1 + α 20 ⋅ ∆ϑ ]
;
R20 = ρ20 ⋅
l
A
(1.15)
Gl. (1.15) gilt bis ca. 200°C.
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1.1.7 Elektrische Energie und elektrische Leistung
Zur Erzeugung einer Spannung (Ladungstrennung) muss von außen
Energie zugeführt werden → Überwindung der Coulomb-Kräfte;
Zugeführte Energie ist als potentielle Energie in den Ladungen
gespeichert;
Wel = Q ⋅ U (allgemein)
(1.16)
Weitere Zusammenhänge:
I=
Q
t
bzw. Q = I ⋅ t
⇒ Wel = Q ⋅ U = U ⋅ I ⋅ t
U = R ⋅ I bzw. I =
(1.17)
U
R
U2
⇒ Wel = I ⋅ R ⋅ t =
⋅t
R
2
(1.18)
Sind Strom und Spannung zeitlich veränderlich, dann gilt:
t2
dq
i=
dt
bzw. Q = ∫ i ⋅ dt
(1.19)
t1
[Wel ] = Ws = J = Nm
Die elektrische Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeit:
Wel
= U ⋅I
t
(1.20)
U2
Pel = I ⋅ R =
R
(1.21)
Pel
2
[Pel ] = W = VA
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Grundstromkreise
Sie bestehen aus einer Quelle (Generator) mit Innenwiderstand und
einem Verbraucher. Als Generator kommt entweder eine Spannungsoder eine Stromquelle zum Einsatz. Man kann versuchen, komplexe
Schaltungen auf Grundstromkreise zu reduzieren.
1.2.1 Kirchhoffsche Regeln:
Sie beschreiben das Verhalten der elektrischen Ströme in einem
verzweigten Stromkreis (Knotenregel) und der Spannungen in einem
geschlossenen Stromkreis (Maschenregel).
1. Kirchhoffsches Gesetz (Knotenregel):
• Die Summe aller in einem Knotenpunkt zusammenlaufenden
Ströme ist Null.
n
∑ Ii = 0
(1.22)
i =1
2. Kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel):
• Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist Null.
n
∑ Ui = 0
(1.23)
i =1
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1.2.2 Reihenschaltung von Widerständen
In einer Reihenschaltung sind alle Widerstände vom selben Strom
durchflossen.
Anwendung der Maschenregel führt zu:
U = I ⋅ R1 + I ⋅ R2 + … + I ⋅ Rn = I ⋅ ( R1 + R2 + … + Rn ) = I ⋅ Rges
⇒ Rges = R1 + R2 + … + Rn
(1.24)
In einer Reihenschaltung ist der Gesamtwiderstand gleich der Summe
der Einzelwiderstände.
1.2.3 Parallelschaltung von Widerständen
In einer Parallelschaltung liegen alle Widerstände an derselben
Spannung.
Anwendung der Knotenregel führt zu:
I=
⇒
 1
U
U
U
1
1 
1
+
+…+
= U ⋅
+
+… +
 =U⋅
R1 R2
Rn
Rn 
Rges
 R1 R2
1
Rges
=
1
1
1
+
+…+
R1 R2
Rn
(1.26)
k
In einer Parallelschaltung ist der Kehrwert des Gesamtwiderstandes
gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände.
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1.2.4 Spannungsteiler
1. Fall: Ohne Lastwiderstand
Der Spannungteiler besteht aus 2 in Reihe geschalteten Widerstände R1
und R2, die entweder räumlich getrennt sind oder aus einem Gesamtwiderstand mit einem Abgriff bestehen (Potentiometer).
U = U1 + U2 = I ⋅ R1 + I ⋅ R2 = I ⋅ (R1 + R2 )
U1 I ⋅ R1
=
U2 I ⋅ R2
;
U2
I ⋅ R2
=
U I ⋅ (R1 + R2 )
Hieraus folgt die Spannungsteilerregel:
U1 R1
=
U2 R2
(1.29)
U2
R2
=
U R1 + R2
(1.30)
In Worten: Bei in Reihe geschalteten Widerständen verhält sich die
Teilspannung zur Gesamtspannung wie der Teilwiderstand zum Gesamtwiderstand.
2. Fall: Mit Lastwiderstand
An die Ausgangsklemmen eines Spannungsteilers wird ein Lastwiderstand RL angeschlossen, der dem Spannungsteiler den Laststrom IL
entnimmt. Zwei Rechnerische Lösungswege:
• Direkte Berechnung des Netzwerks
• Ersatzspannungsquelle
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Direkte Berechnung des Netzwerks:
Stromstärke I’ des belasteten Spannungsteilers:
I' =
U
R1 + (R2 || RL )
(1.31)
Ausgangsspannung U2L des belasteten Spannungsteilers:
U2L = U − I '⋅ R1
(1.32)
Ersatzspannungsquelle:
Die Quellspannung Uq der Ersatzquelle ist gleich der Leerlauf-Ausgangsspannung U20 des Spannungsteilers:
Uq = U20 = U ⋅
R2
R1 + R2
(1.33)
Der Innenwiderstand Ri der Ersatzquelle ist gleich der Parallelschaltung
der beiden Spannungsteiler-Widerstände:
Ri =
R1 ⋅ R2
R1 + R2
(1.34)
Für die Ausgangsspannung U2L des Spannungsteilers gilt dann:
U2L = U20 − IL ⋅ Ri
(1.35)
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Dimensionierung von Spannungsteilern:
Es sind Betriebsanforderungen gegeben, die Spannungsteiler-Widerstände R1,R2 sind gesucht. Berechnungsmethoden:
• Querstromfaktormethode
• Ersatzquellenmethode (wird nicht behandelt)
Querstromfaktormethode:
Ausgangspunkt ist die Erfahrung, dass die Teilspannung sich durch
Belastung nicht wesentlich ändert, wenn der Querstrom I2 viel größer ist
als der Laststrom IL.
m=
I2
IL
1. Schritt: Feststellen, wie groß die Teilspannung U2 sein soll und wie
groß der Laststrom werden kann:
U2 = …V
(1.38a)
IL = … A
2. Schritt: Wahl des Querstromfaktors u. Berechnung des Querstromes:
m = …(m = 2…10)
I 2 = m ⋅ IL
(1.38b)
3. Schritt: Berechnung von R2:
R2 =
U2
I2
(1.38c)
4. Schritt: Berechnung von R1 bei gegebener Spannung U:
I1 = I2 + IL
;
R1 =
U − U2
I1
(1.38d)
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1.2.5 Ersatzspannungs- und Ersatzstromquelle
Eine elektrische Energiequelle lässt sich entweder durch eine
Spannungsquelle oder durch eine Stromquelle im elektrischen Netzwerk
angeben. Hierbei unterscheidet man zwischen idealen und realen
Quellen. Das Verhalten realer Quellen wird durch Ersatzschaltungen
beschrieben, die sich aus idealen Komponenten zusammensetzen.
Ersatzspannungsquelle:
Die Spannung einer realen Spannungsquelle (z.B. Batterie) ist nicht
unabhängig von dem abgegebenen Strom. Vielmehr sinkt die Spannung
mit zunehmendem Laststrom. Man sagt auch: Die Spannung bricht
etwas zusammen, wenn man sie belastet. Dieses reale Verhalten wird
durch eine ideale Spannungsquelle Uq und einem Innenwiderstand Ri
modelliert.
Berechnung der Strom-Spannungs-Kennlinie (Belastungskennlinie):
−Uq + I ⋅ Ri + U = 0
⇒ U = Uq − I ⋅ Ri
(1.39)
Die Spannung U fällt mit zunehmendem Strom I linear ab.
Ersatzstromquelle:
Der Strom einer realen Stromquelle ist nicht unabhängig von der
anliegenden Spannung. Vielmehr sinkt der Strom ab, wenn man die
Stromquelle hochohmig belastet. Dieses reale Verhalten wird durch eine
Stromquelle Iq und einem parallel dazu liegenden Innenwiderstand Ri
modelliert.
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Berechnung der Spannungs-Strom-Kennlinie (Belastungskennlinie):
−Iq +
U
+I = 0
Ri
⇒ I = Iq −
U
Ri
(1.44)
Für eine hochohmige Last geht die Ausgangs-Klemmenspannung gegen
Iq⋅Ri. Je größer U wird, desto größer wird der Strom, der durch Ri abfließt
und somit an den Ausgangsklemmen nicht zur Verfügung steht.
Umrechnung von Spannungs- in Stromquellen und umgekehrt:
Man kann eine reale Stromquelle als Spannungsquelle mit hochohmigem Innenwiderstand auffassen und eine reale Spannungsquelle als
niederohmige Stromquelle.
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Berechnungsverfahren für lineare Netzwerke
In der Gleichstromtechnik sind Netzwerke Widerstandsschaltungen mit
mehreren Spannungs- und/oder Stromquellen, die nicht auf Grundstromkreise zurückgeführt werden können. Folgende Berechnungsverfahren
sind üblich
•
•
•
•
•
Superpositionsprinzip (Überlagerungssatz)
Maschenstromanalyse (Kreisstromverfahren)
Zweigstromanalyse
Knotenpotentialverfahren
Zweipolverfahren
Voraussetzung für alle Verfahren sind Widerstände mit linearer U-IKennlinie sowie konstante Quellspannungen und Quellströme:
• R = const.
• Uq = const.
• Iq = const.
Die abgebildete Schaltung stellt ein solches Netzwerk dar. Ziel ist es
nun, sämtliche Zweigströme und Spannungen zu bestimmen.
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1.3.1 Superpositionsprinzip
Das Superpositionsprinzip ist von allgemeiner physikalischer Bedeutung:
In einem physikalischen System, in dem Wirkungen linear von den
Ursachen abhängen, lässt sich zunächst jeweils die Wirkung von
nur einer Ursache ermitteln. Die resultierende Wirkung aller Ursachen ergibt sich dann als Summe der Einzelwirkungen.
Vorgehensweise bei elektrischen Netzen:
1. Richtung der Zweigströme festlegen
2. Kurzschließen aller Quellspannungen und Unterbrechen aller
Quellströme bis auf eine Quellspannung bzw. einen Quellstrom
(die Innenwiderstände verbleiben hierbei in der Schaltung)
3. Berechnen des von der einen Quellspannung oder von dem einen
Quellstrom verursachten Teilstrom in dem Zweig, in dem der
Zweigstrom ermittelt werden soll
4. Schritte 2 und 3 nacheinander mit allen übrigen Quellspannungen
und Quellströmen durchführen
5. Aufsummieren der Teilströme unter Beachtung ihrer jeweiligen
Vorzeichen
Insgesamt ergeben sich so viele Teilströme, wie Spannungs- und Stromquellen in der Schaltung vorhanden sind. Teilströme, die die gleiche
Richtung haben wie der unter 1 vereinbarte gesuchte Zweigstrom,
werden positiv berücksichtigt. Die Teilströme, die entgegengesetzt
gerichtet sind, gehen negativ in die Berechnung ein.
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1.3.2 Maschenstromanalyse
Bei der Maschenstromanalyse (auch Kreisstromverfahren genannt)
werden nur Maschengleichungen für Spannungen berücksichtigt. Daher
sind im Gleichstromnetz vorkommende Stromquellen zunächst in
äquivalente Spannungsquellen zu überführen:
Man führt für jede unabhängige Masche einen fiktiven Maschenstrom
(Kreisstrom) ein und stellt mit diesem die Maschengleichungen auf. Dies
ergibt ein Gleichungssystem mit so vielen Gleichungen, wie unabhängige Maschen vorhanden sind. Die tatsächlich fließenden Zweigströme ergeben sich dann aus der vorzeichenrichtigen Addition der
Kreisströme.
Bsp. 1.13:
In der skizzierten Schaltung sollen die drei Zweigströme mit Hilfe der
Maschenstromanalyse bestimmt werden. Die Richtung der Maschenströme ist bereits vorgegeben.
Lösung:
Masche I
: 3Ω ⋅ Ia − 12V + 6Ω ⋅ (Ia + Ib ) + 24V = 0
Masche II : 6Ω ⋅ Ib + 6Ω ⋅ (Ia + Ib ) + 24V − 72V = 0
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: 9Ω ⋅ Ia + 6Ω ⋅ Ib + 12V = 0
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/⋅ ( −2)
II : 6Ω ⋅ Ia + 12Ω ⋅ Ib − 48V = 0
-------------------------------------------------------I’
: −18Ω ⋅ Ia − 12Ω ⋅ Ib − 24V = 0
-------------------------------------------------------I’+II : −12Ω ⋅ Ia − 72V = 0
⇒ Ia =
72V
= −6 A → bspw. in I’ einsetzen
−12Ω
108V − 12Ω ⋅ Ib − 24V = 0
⇒
Ib =
−84V
= 7A
−12Ω
Das Minuszeichen des Maschenstromes Ia bedeutet, dass seine Richtung falsch angenommen wurde. Es ergeben sich somit folgende Zweigströme nach Betrag und Richtung:
24