Kapitel_3_Magnetisches Feld

FH Giessen-Friedberg
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Grundlagen der Elektrotechnik
Magnetisches Feld
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Magnetisches Feld
Stationäres magnetisches Feld:
Ein stationäres magnetisches Feld liegt dann vor, wenn eine Ladungsbewegung mit gleicher Intensität vorhanden ist:
I=
dQ
= const .
dt
Das magnetische Feld ist ein Wirbelfeld. Die Feldlinien haben keinen
Anfang- und Endpunkt, sondern sind umlaufend und in sich geschlossen.
Die einfachste Form eines vom Strom erzeugten magnetischen Feldes
bildet sich bei einem geradlinigen Leiter aus, bei dem die Feldlinien in
Form konzentrischer Kreise den Leiter umschlingen.
Rechtsschraubenregel:
Die Zuordnung von Feld- und Stromrichtung ist durch die sog.
Rechtsschraubenregel festgelegt. Dreht man eine Rechtsschraube in
Richtung des Magnetfeldes, dann bewegt sich diese in Richtung des
Stromes (technische Stromrichtung). Dabei bedeutet „x“-Symbolik
Stromrichtung in die Zeichenebene hinein und „.“-Symbolik Stromrichtung aus der Zeichenebene heraus.
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3.1
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Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte
Jeder stromdurchflossene Leiter erzeugt ein Magnetfeld. Es wird analog
zum elektrischen Feld durch magnetische Feldlinien beschrieben, deren
Gesamtheit man als magnetischen Fluss Φ bezeichnet. Die magnetische
Flussdichte B (magnetische Induktion) ist der Quotient aus dem
magnetischen Fluss und der Querschnittsfläche A .
∆Φ d Φ
=
∆A→0 ∆A
dA
B = lim
mit: [ Φ ] = V ⋅ s
3.2
;
(3.1)
[ B] =
V ⋅s
= T (Tesla)
m2
Durchflutung und magnetische Feldstärke
Der elektrische Strom ist die Ursache des Magnetfeldes. Dieses Feld
wird verstärkt, wenn mehrere Ströme oder (wie bei einer Spule) der
gleiche Strom mehrfach die Umgebung beeinflussen. Diese
Stromsumme wird als Durchflutung Θ bezeichnet. Zur Kennzeichnung
der Intensität des Magnetfeldes entlang der Feldlinien wird die
magnetische Feldstärke (Erregung) H eingeführt. Beide Größen werden
über den Durchflutungssatz miteinander verknüpft:
n
Θ = ∫ H ⋅ ds = ∑ I i
(3.4)
i =1
mit: [ Θ ] = A
;
[H ] = A m
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3.3
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Magnetischer Widerstand
In Analogie zum elektrischen Feld wird ein magnetischer Widerstand Rm
definiert, der die Aufstellung des Hopkinsonschen Gesetzes (Ohmsches
Gesetz für magnetische Kreise) erlaubt.
Um magnetische Widerstände zu berechnen, muss der Begriff der
Permeabilität eingeführt werden. Die absolute Permeabilität µ ist eine
Materialgröße, die die magnetische „Durchlässigkeit“ eines Stoffes
charakterisiert (vergleichbar mit κ ). Sie wird als µ r -faches der
Permeabilität µ0 des Vakuums (Induktionskonstante) aufgefasst:
Θ = Rm ⋅ Φ
(3.5)
l
µ⋅A
(3.6)
µ = µr ⋅ µ0
(3.7)
Rm =
Magnetischer Widerstand einer Spule in Luft und mit einem
Eisenkern:
Das Magnetfeld der Luftspule besteht aus einem homogenen Anteil mit
großer Induktion B innerhalb der Spule und einem inhomogenen Anteil
mit sehr kleiner Induktion B außerhalb der Spule (letztere wird bei der
Berechnung vernachlässigt).
Bsp. 3.2: Magnetischer Widerstand
einer Toroidspule
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3.4
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Der magnetische Kreis
Hopkinsonsches Gesetz:
Vergleich zwischen magnetischem und elektrischem Kreis
Stromkreis
magn. Kreis
Spannung U
Widerstand R = U / I
Reihenschaltung:
Parallelschaltung:
Φ
Fluss Φ
Strom I
magn. Spannung V
magn. Widerstand R m = V / Φ
Rm, ges
1
Rm, ges
Θ n
= = ∑ Rm,i
Φ i=1
RmAB
A
B
V
(3.11a)
n
1
i =1 Rm,i
=∑
(3.11b)
Bsp. 3.3:
Der skizzierte magnetische Kreis, der aus Stahlguss aufgebaut ist, soll
im linken Schenkel einen Fluss von 3, 5 mVs besitzen. Ermitteln Sie die
Windungszahl n .
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3.5
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Energie des magnetischen Feldes
Einführung der Induktivität einer Spule:
L=
N ⋅Φ
I
;
[ L] =
V ⋅s
= H (Henry)
A
(3.12)
Jeder elektrische Leiter weist eine Induktivität auf. Durch konstruktive
Maßnahmen (Wicklungen) kann die Induktivität drastisch erhöht werden.
Felder sind Energieräume, so auch das magnetische Feld. Um eine
Spule in den magnetischen Zustand zu versetzen, ist magnetische
Energie erforderlich. Um diese Energieaufnahme bestimmen zu können,
setzt man sie in Bezug zur elektrischen Energie. Die Spule fungiert
hierbei als Energieumformer.
Der Energieinhalt des magnetischen Feldes einer Spule berechnet sich
aus der Induktivität der Spule und dem Quadrat des in die Spule
fließenden Stroms:
Wmagn = 12 ⋅ L ⋅ I 2
(3.14)
Speicherbare Energie in einem bestimmten Kernformat:
Wmagn =
1 B2
⋅
⋅V
2 µ0 ⋅ µ r
(3.15)
Die von einer Spule speicherbare Energie hängt also vom Volumen V
ab, in dem das Magnetfeld gespeichert wird. Bei einer eisengefüllten
Spule wird der überwiegende Energieanteil im Luftspaltvolumen VL und
die kleinere Restenergie im Eisenvolumen VFe gespeichert.
Gespeicherte magnetische Energie im Eisen:
B
Wmagn = VFe ⋅ ∫ H Fe ⋅ dB
(3.17)
0
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Die im Eisenvolumen gespeicherte Energie entspricht der schraffierten
Fläche der nachfolgenden Grafik:
Beispiel 3.5:
Für eine stromdurchflossene Toroidspule mit kreisförmigem Querschnitt
mit den gegebenen Größen A=500cm², D=2m, N=3000 und I=1,46A soll
ein homogener Feldverlauf angenommen werden.
a) Die magnetische Energie der Toroidspule ohne Eisenkern ist zu
berechnen.
b) Es ist die magnetische Energie zu bestimmen, wenn die Toroidspule einen Eisenkern aus Dynamoblech enthält.
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Hystereseverluste:
Fließt durch eine eisengefüllte Spule ein Wechselstrom, dann erzwingt
das veränderliche magnetische Feld im Eisenkern eine fortwährende
Umorientierung der Elementarmagnete. Diese Verluste werden als sog.
Hystereseverluste bezeichnet.
a) schraffierte Fläche entspricht der aufgenommenen Energie Wmagn1
b) schraffierte Fläche entspricht der wieder abgegebenen Energie
Wmagn2 < Wmagn1
c) schraffierte Fläche als Differenz ∆W = Wmagn1 – Wmagn2 stellt die
Hystereseverluste für die positive Wechselstrom-Halbwelle dar
Anziehungskraft von Magneten:
Trennflächen im Magnetfeld sind Grenzflächen zwischen Magnetmaterialien verschiedener Permeabilität, z.B. Luftspalt in einem Eisenkreis.
Der Strom I durch die Spule des Magnetkreises in der Grafik hat zur
Folge, dass auf den beweglichen Anker eine Kraft wirkt.
BL2
F=
⋅ AL
2 µ0
(3.24)
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3.6
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Kraftwirkung auf stromdurchflossene Leiter
Erfahrungsgemäß wird auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld eine
Kraft ausgeübt, deren Entstehung man sich durch Überlagerung des
vorhandenen magnetischen Fremdfeldes mit der Flussdichte B und dem
magnetischen Eigenfeld des Stromes veranschaulichen kann. Diese
Überlagerung hat eine Feldverstärkung auf der einen und eine
Feldschwächung auf der anderen Seite zur Folge. Die Kraft zeigt in
Richtung der Feldschwächung.
N
l
B
I α
F = I⋅ l ×B
( )
F = Q ⋅ (v × B)
(3.25)
(3.26)
S
Rechte-Hand-Regel:
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3.7 Kraft auf bewegte Punktladungen
Bewegte elektrische Ladungen üben Kräfte aufeinander aus, deren
Ursache nicht im Coulombschen Gesetz liegt. Die magnetische Kraft auf
zwei Punktladungen, die sich parallel zueinander mit const. Geschwindigkeit bewegen, soll berechnet werden, wenn sie auf gleicher Höhe
sind. Da hier die Beschreibung durch skalare Größen möglich ist, stellt
dies ein Sonderfall dar.
Die Kraft ist proportional dem Produkt der Ladungen und Geschwindigkeiten sowie umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes:
F∼
(Q1 ⋅ v1 ) ⋅ (Q2 ⋅ v2 )
r2
k=
µ
4π
;
[k ] =
⇒
Vs
Am
F =k⋅
(Q1 ⋅ v1 ) ⋅ (Q2 ⋅ v2 )
r2
(Proportionalitätsfaktor)
r : Abstand zwischen den Bewegungslinien
⇒ F=
µ (Q1 ⋅ v1 ) ⋅ (Q2 ⋅ v2 )
⋅
4π
r2
Fmag
v1
Q1
(3.27)
Fel
Fel
r2
Q2
r
Fel
Fmag
Fall 1
v1
Q1
Fmag
r1
r2
v2
Q2
r
Fmag
r1
v2
Fel
Fall 2
Die Kraftwirkung auf die Ladung Q1 kann nach Gl. (3.27) aus dem
Produkt (Q1⋅v1) und der am Ort von Q1 vorhandenen, von der bewegten
Ladung Q2 hervorgerufenen magnetischen Induktion B(Q2,v2) berechnet
werden. Für die Kraftwirkung auf die Ladung Q2 sind die Verhältnisse
analog, d.h. es gilt:
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µ Q2 ⋅ v2

⋅ 2 = Q1 ⋅ v1 ⋅ B(Q2 , v2 ) 
4π r
 F = Q ⋅ v ⋅ B ⋅ sin ∡ v, B
B (Q2 ,v2 )

 µ Q1 ⋅ v1

F
=
Q
⋅
v
×B
F (Q2 ) = Q2 ⋅ v2 ⋅
⋅ 2 = Q2 ⋅ v2 ⋅ B (Q1, v1 )

4π r

B ( Q1 ,v1 )

F (Q1 ) = Q1 ⋅ v1 ⋅
(
(
)
)
Die magnetische Induktion B lässt sich somit auch aus der Kraft auf
bewegte Ladungen ableiten:
B=
µ Q⋅v
⋅
4π r 2
⇒
µ Q B=
⋅ ⋅ (v × r )
4π r 3
(3.28)
Für die Grafik auf Folie 9 gilt:
 v1x 
 
v1 =  0 
 0 
 
;
 v2 x 
 
v2 =  0 
 
 0 
;
 0 


r1 =  −r1 y 
 0 


;
 0 
 
r2 =  r2 y 
 0 
 
Komponentendarstellung (aus Mathebuch):
 a x   bx   a y ⋅ bz − a z ⋅ by 

    
a × b =  a y  ×  by  =  az ⋅ bx − a x ⋅ bz 
 a   b   a x ⋅ by − a y ⋅ bx 
 z  z 

Für die Fälle 1 und 2 ergeben sich folgende Richtungen der Kräfte:
µ Q1 ⋅ Q2 F (Q1 ) =
⋅
⋅
v
×
v

(
1
2 × r2 ) 


4π
r3
(3.29)
 v2 x   r2 x   v2 y ⋅ r2 z − v2 z ⋅ r2 y   0 
 

   

v2 × r2 =  v2 y  ×  r2 y  =  v2 z ⋅ r2 x − v2 x ⋅ r2 z  =  0  ≙ positiver z-Achse
 v   r   v2 x ⋅ r2 y − v2 y ⋅ r2 x   v2 x ⋅ r2 y 

 2z   2z  
 

0
 v1x   0  

 



⇒ v1 × ( v2 × r2 ) =  0  ×  0  =  −v1x ⋅ v2 x ⋅ r2 y  ≙ negativer y-Achse
 0  v ⋅r  

0
   2x 2 y  

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µ Q1 ⋅ Q2 F (Q2 ) =
⋅
⋅
v
×
v

(
2
1 × r1 ) 


4π
r3
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(3.30)
 v1x   r1x   v1 y ⋅ r1z − v1z ⋅ r1 y  
0 








v1 × r1 =  v1 y  ×  r1 y  =  v1z ⋅ r1x − v1x ⋅ r1z  = 
0  ≙ negativer z-Achse
 
    

 v1z   r1z   v1x ⋅ r1 y − v1 y ⋅ r1x   −v1x ⋅ r1 y 

0  
0
 v2 x  
 

  
⇒ v2 × ( v1 × r1 ) =  0  × 
0  =  v2 x ⋅ v1x ⋅ r1 y  ≙ positiver y-Achse
 

0
 0   −v1x ⋅ r1 y  

Dieses Beispiel soll die Vorgehensweise verdeutlichen, wenn die
Vektoren nicht senkrecht aufeinander stehen und dadurch eine
Beschreibung mittels skalarer Größen nicht möglich ist.
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3.8 Das Gesetz von Biot-Savart
Das Biot-Savartsche Gesetz dient zur Bestimmung der magnetischen
Flussdichte bzw. Feldstärke in der Umgebung eines langen stromdurchflossenen drahtförmigen Leiters beliebiger Geometrie. Die magnetische
Flussdichte in einem Messpunkt P rührt von allen Teilen des Leiters her.
Das Biot-Savartsche Gesetz gibt an, welchen Beitrag ein Stück der
Länge ds des vom Strom I durchflossenen Leiters hierzu liefert.
dH =
I
⋅
ds
×
d
r
4π ⋅ r 3
I ⋅ ds
dH =
⋅ sin(α )
4π ⋅ r 3
(
)
l
(3.31)
P
α
ds
r
Feldstärke in der Umgebung eines geraden stromdurchflossenen
Leiters:
I
α1
α2
H=
I
4π ⋅ R
ϕ1
ϕ2
R
s
⋅ sin (ϕ1 ) + sin (ϕ2 )  =
+ϕ
r
r
I
P
−ϕ
⋅ cos (α1 ) + cos (α 2 ) 
4π ⋅ R 
(3.32)
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Berechnung der magnetischen Feldstärke auf der MittelPunktsachse eines Ringstromes
Beispiel 3.8:
Das Biot-Savartsche Gesetz beschreibt den Anteil der magnetischen
Feldstärke dH im Abstand r eines stromdurchflossenen Kreisleiters. dH
steht dabei senkrecht auf ds und r. Die gesamte magnetische Feldstärke
im Punkt P ergibt sich aus der geometrischen Summe der Teilfeldstärken
der einzelnen Leiterelemente ds.
Bei der Summenbildung heben sich die zur Achse senkrechten Komponenten von je zwei diametral gelegenen Leiterelementen auf. Es bleiben
nur die Komponenten in Achsenrichtung übrig.
z
β
H
dH
P
dH
β
r
r
l
ds
R
y
R
I
ds
2R
=d
x
Für die Feldstärke auf der Mittelpunktsachse gilt:
I ⋅d2
H =
=
8⋅r3
2⋅
(
I ⋅ R2
R +l
2
Für l >> R:
I ⋅ R2
H =
2 ⋅ l3
Für l << R:
H =
I
2⋅R
2
)
3
(3.34)
(siehe Bsp. 3.7)
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Magnetische Feldstärke auf der Mittelpunktachse im
Inneren einer Zylinderspule
Beispiel 3.9:
1. Weg: Herleitung über Winkelbeziehungen
Das Bild zeigt eine Zylinderspule mit der Länge l und dem Durchmesser
d. Über die Länge der Spule sollen w Windungen gleichmäßig
angebracht sein, so dass auf das Längenelement dx gerade w·dx/l
Windungen entfallen. Durch die gleichmäßig angebrachten Windungen
kann der Strom I über die Spule als stetig verteilt angenommen werden.
dx
dx
ε1
d
r2
r
ε
r1
da
ε2
P
a
L
Herleitung siehe Vorlesung
Für die magnetische Feldstärke auf der Achse der Spule gilt:
H =
I ⋅w
⋅ [cos(ε1) + cos(ε 2 )]
2⋅l
(3.35)
In der Mitte der Spule gilt:
HM =
I ⋅w
⋅ cos(ε1) =
l
I ⋅w
d +l
2
2
(3.36)
Am linken Rand der Spule beträgt die magnetische Feldstärke:
HL =
I ⋅w
I ⋅w
⋅ cos(ε 2 ) =
2⋅l
d2 + 4 ⋅ l2
(3.37)
Die magnetische Feldstärke auf der Mittelpunktachse einer langen Zylinderspule (l >> d) ist am Rand nur halb so groß wie in der Mitte.
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2. Weg: Herleitung ohne Winkelbeziehungen
Das Bild zeigt wieder eine Zylinderspule mit stetiger Stromverteilung.
y
dξ
z–ξ
R0
d
0
-L/2
ξ
P
+L/2
z
L
H =
+ L2
∫
−
L
2
+L
I ⋅w 2
dH =
⋅
2 ⋅ L −∫L
2
(
R02
(z − ξ )
2
+ R02
)
3
⋅ dξ
Unter Zuhilfenahme einer Formelsammlung lässt sich dieses Integral
geschlossen lösen:

I ⋅ w 
H=
⋅
2⋅L 


 ⋅e
−
 z
L 2 + R2
L 2 + R2
z
z
+
−
( 2 ) 0 ( 2 ) 0 
z + L2
z − L2
1. Sonderfall: z = 0
HM =
2. Sonderfall: z = -L/2
HL =
I ⋅w
L2 + d 2
⋅ ez
I ⋅w
4⋅L + d
2
2
⋅ ez
(3.38)
(3.39)
(3.40)
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Beispiel 3.9:
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Welches Magnetfeld herrscht im Inneren einer Zylinderspule von 20cm Länge mit Radius 1,4cm und 600
Windungen, die von einem Strom der Stärke 4A
durchflossen wird? Geben Sie den grafischen Verlauf
von H im Intervall [-L/2, L/2] an.
Der Feldverlauf lässt sich beispielsweise analytisch über Gl. (3.38)
berechnen und mit MATLAB plotten.
Mit Gl. (3.38):

I ⋅w 
H =
⋅
2⋅L 



−

2
2
( z + L2 ) + R02 ( z − L2 ) + R02 
z + L2
z − L2
Eine weitere und vor allem praxistauglichere Möglichkeit der Berechnung
stellt die numerische Lösung des Integrals mit Hilfe der Simpson-Formel
dar (siehe auch ET1, Kapitel 2).
h=
b−a
2n
mit: a, b : Integrationsgrenzen
2n : gerade Anzahl von Teilintervallen
h
: Schrittweite
Σ0 = y 0 + y 2 n
Σ1 = y1 + y 3 + … + y 2n −1
Σ2 = y 2 + y 4 + … + y 2n − 2
b
∫ f ( x )dx ≈ ( Σ0 + 4 ⋅ Σ1 + 2 ⋅ Σ2 ) ⋅
a
h
3
Die Simpson-Formel muss dann auf folgendes Integral angewandt
werden, wobei z für jede Simpson-Berechnung ein Parameter darstellt.
+L
I ⋅ w ⋅ R02 2
H =
⋅∫
2⋅L
−L
2
(
1
ξ 2 − 2 ⋅ z ⋅ ξ + z 2 + R02
)
3
⋅ dξ
(3.41)
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Nachfolgendes MATLAB-m-File berechnet die magnetische Feldstärke
sowohl über die geschlossene Lösung nach Gl. (3.38) als auch
numerisch über die Simpson-Formel. Alle Längenangaben erfolgen in
Meter. Die Schrittweite für die z-Achse im Intervall [-L/2, L/2] beträgt
jeweils 0.005 (m).
%--------------------------------------------------------------------------------------------% m-File berechnet den Verlauf der magnetischen Feldstärke auf der
% Mittelpunktsachse einer Zylinderspule analytisch sowie numerisch
% (letztere nach der Simpson-Formel)
%
% letzte Aenderung: 16.09.10
clc
close all
clear all
format
% Spulenwerte
L = 0.2;
R0 = 0.014;
w = 600;
I = 4;
%
%
%
%
Länge der Spule in m
Radius in m
Anzahl der Windungen
Strom
delta_z = 0.005; % Schrittweite fuer z-Achse
n = 20;
% Schrittweite fuer Simpson-Integration
z_achse = -L/2:delta_z:+L/2;
z = -L/2;
k = L/delta_z + 1;
for i = 1:1:k
H_analytisch(i) = I*w/(2*L)*(((z + L/2) / (sqrt((z + L/2)^2 + R0^2))) - ((z - L/2) /
(sqrt((z - L/2)^2 + R0^2))));
[integral_ergebnis] = integration_simpson_zylinderspule(n,-L/2,L/2,z,R0);
H_numerisch(i) = I*w*R0^2/(2*L) * integral_ergebnis;
z = z + delta_z;
end;
plot(z_achse,H_analytisch);
grid;
hold;
plot(z_achse,H_numerisch,'r');
%
%---------------------------------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------------------------------% Funktion zur numerischen Integration der magnetischen Feldstärke einer Zylinderspule
% übergebene Parameter: - n => 2n+1 Stützstellen
%
- a : untere Integralgrenze
%
- b : obere Integralgrenze
%
- z : Wert auf der z-Achse
%
- R0: Radius der Spule
% zurückgegebener Wert: integral_ergebnis
function[integral_ergebnis] = integration_simpson_zylinderspule(n,a,b,z,R0)
h = (b-a)/(2*n);
% Schrittweite
% Bestimmung der Teilsummen
summe_0 = 1/sqrt((a^2 - 2*z*a + z^2 + R0^2)^3) + 1/sqrt((b^2 - 2*z*b + z^2 + R0^2)^3);
summe_1 = 0;
summe_2 = 0;
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i = 1;
while i < 2*n
summe_1 = summe_1 + 1/sqrt(((a+i*h)^2 - 2*z*(a+i*h) + z^2 + R0^2)^3);
i = i + 2;
end;
i = 2;
while i < 2*n-1
summe_2 = summe_2 + 1/sqrt(((a+i*h)^2 - 2*z*(a+i*h) + z^2 + R0^2)^3);
i = i + 2;
end;
integral_ergebnis = [summe_0 + 4*summe_1 + 2*summe_2]*h/3;
%
%---------------------------------------------------------------------------------------------
In den Plots wird die analytische Lösung blau und die numerische
Lösung rot dargestellt. In der ersten Grafik ist n = 12, d.h. für die
Simpson-Integration werden 2n = 24 Teilintervalle für jedes z berechnet.
Man erkennt, dass über einen weiten Feldstärkeverlauf die numerisch
ermittelten Werte um die analytischen (Referenz)-Werte oszillieren.
Offensichtlich ist die gewählte Anzahl an Teilintervallen zu gering.
H [A/m]
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
-L/2
0
-0.1
L/2
-0.05
0
0.05
0.1
z [m]
blau: analytisch
rot: numerisch (Simpson, n = 12)
18
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In der zweiten Grafik ist n auf 20 gesetzt. Hier kann zwischen der
analytischen und der numerischen Lösung praktisch kein Unterschied
mehr festgestellt werden.
H [A/m]
14000,
12000,
10000,
8000,
6000,
4000,
2000,
-L/2
0,
-0,1
L/2
-0,05
0,
0,05
0,1
z [m]
blau: analytisch
rot: numerisch (Simpson, n = 20)
19
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3.9
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Magnetisches Feld
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Ablenkung im elektromagnetischen Feld
Elektrische Ablenkung:
Elektronen treten mit einer Geschwindigkeit v0x in ein homogenes
Querfeld Ey ein und erfahren während ihrer Durchlaufzeit t eine
konstante Auslenkungskraft F und damit eine GeschwindigkeitsKomponente vy in Feldrichtung. Der Elektronenstrahl wird also
ausgelenkt. Das Feld kann durch einen Plattenkondensator der
Plattenlänge l und dem Plattenabstand d erzeugt werden. Die Bahnkurve
des Elektrons innerhalb der Plattenlänge l entspricht der eines
waagrechten Wurfes:
• In x-Richtung erfolgt eine Bewegung mit const. Geschwindigkeit v0x
• In y-Richtung erfolgt eine Bewegung mit const. Beschleunigung
Anode
l
Kathode
Ey
v0x
l'
0
vy = ay ⋅ t
d
y
vx = const.
ϕ
x
s yA
b'
b
p
Ua
sy =
t=
e ⋅ Ey
me
sx2
⋅
2 ⋅ v02x
(3.45b)
l
(3.46)
v0x
v0 x =
2 ⋅ e ⋅Ua
me
tan(ϕ ) =
⇒ b=
vy
v0 x
=
(3.47)
e ⋅ Ey
me
e ⋅ Ey ⋅ l ⋅ p
me ⋅ v02x
⋅t ⋅
=
e ⋅U y ⋅ l
Uy ⋅l
1
=
=
v0 x d ⋅ me ⋅ v02x 2 ⋅ d ⋅ U a
e ⋅U y ⋅ l ⋅ p
me ⋅ d ⋅ v02x
=
l ⋅ p Uy
⋅
2 ⋅ d Ua
(3.48)
(3.49)
20
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Magnetisches Feld
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Magnetische Ablenkung:
a
l
Bz
d
v0x
x
∆y
Fy
Fy
α
vx
b'
b
c
r
r
α
Radius r der Kreisbahn:
r=
me ⋅ vx
e ⋅ Bz
(3.50)
Umlaufzeit in einem Halbkreis:
v
B
F+ q
r
v0
tu ,h =
π ⋅r
v0
=
π me ⋅ v0
⋅
v0 e ⋅ Bz
B
F− q
v1
=
π ⋅ me
e ⋅ Bz
(3.58)
21
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Magnetisches Feld
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Bsp. 3.10:
Die aus der Kathode austretenden Elektronen werden von der positiven
Anode angezogen und erreichen durch die Anodenspannung Ua=2kV
das Ablenksystem der Länge l=3,5cm mit einer Geschwindigkeit v1.
a) Wie groß ist v1?
b) Mit welchem Ablenkwinkel α verlassen die Elektronen das Ablenksystem, wenn die Ablenkung elektrisch mit Ey=-416V/cm bzw.
magnetisch mit Bz=-30,5⋅10-8Vs/cm² erfolgt?
c) Wie groß ist v2 bei der elektrischen bzw. magnetischen Ablenkung?
l
Anode
z
x
y
Kathode
v1
E y bzw. Bz
α
Ua
v2
a)
Mit Gl. (3.16):
2 ⋅ e ⋅U a
2 ⋅ 1,602 ⋅ 10−19 As ⋅ 2000 V
v1 =
=
= 26523,2 km
s
−31
me
9,109 ⋅ 10 kg
b)
Elektrisch:
V = −416 ⋅ 10 2 V
E y = −416 cm
m
bzw.
V
E y = 416 ⋅ 102 m
(E-Feld zeigt in negative
y-Richtung)
tan(α ) =
e ⋅ Ey ⋅ l
me ⋅ v12
=
(
)
V ⋅ 0,035 m
1,602 ⋅ 10−19 As ⋅ 416 ⋅ 102 m
9,109 ⋅ 10
−31
(
kg ⋅ 26523, 2 ⋅ 10 m s
3
)
2
= 0,364
⇒ α = 20° (Ablenkung erfolgt in positive y-Richtung)
22
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Magnetisches Feld
Vs = −30,5 ⋅ 10−4 Vs
Magnetisch: Bz = −30,5 ⋅ 10−8 cm
2
m2
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Vs
Bz = 30,5 ⋅ 10−4 m
2
bzw.
(B-Feld zeigt in
Blattebene hinein)
me ⋅ v1
9,109 ⋅ 10−31 kg ⋅ 26523,2 ⋅ 103 m s
r=
=
= 0,04945 m
e ⋅ Bz 1,602 ⋅ 10−19 As ⋅ 30,5 ⋅ 10−4 Vs m 2
(
)
 0,035 m 
l
 
α = arcsin   = arcsin 
= 45,06°
0,04945 m 
r


(Ablenkung erfolgt in negative y-Richtung)
c)
Elektrisch:
v1
= cos(α )
v2
⇒
v2 =
26523, 2 km
v1
s
=
= 28225,4 km
s
cos(α )
cos(20°)
Magnetisch: v2 = v1 = 26523, 2 km
s
23
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Magnetisches Feld
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3.10 Induktionswirkung des magnetischen Feldes
Wird ein Leiter senkrecht zum Magnetfeld bewegt, dann entsteht im
Leiter eine elektrische Spannung, weil die Lorentzkraft eine Ladungstrennung innerhalb des Leiters bewirkt. Der Lorentzkraft
wirkt
die durch
die Ladungstrennung entstehende elektrische Kraft ( F el = Q ⋅ E ) entgegen.
(2)
E
I
U q 21
v
U i12
Ei
(1)
F mag = Q ⋅ v × B
(
U i12
I
)
Wird die magnetische Lorentzkraft formal wie eine Coulombkraft
aufgefasst, dann muss eine Feldstärke eingeführt
werden, die
entgegengesetzt zu der
elektrischen Feldstärke E gerichtet ist (sog.
Induzierte Feldstärke E i ) :
F mag = Q ⋅ v × B = Q ⋅ E i
(
)
⇒
Ei = v × B
(3.64)
Das System ist im Gleichgewicht, wenn elektrische und magnetische
Kraft gleich groß sind:
Fel + Fmag = 0
⇒
Fel = − Fmag
Q ⋅ E = −Q ⋅ v × B = −Q ⋅ Ei
E = − Ei
(
)
Die mit der Ladungstrennung entstehende Quellspannung U q bzw.
induzierte Spannung U i lassen sich aus der elektrischen Feldstärke E
bzw. der angenommenen induzierten Feldstärke E i berechnen:
siehe Vorlesung
24
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Magnetisches Feld
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Allgemeines Induktionsgesetz:
Das Induktionsgesetz fasst zwei Vorgänge zusammen, die keinen Bezug
zueinander zu haben scheinen:
• Induktion durch Bewegung
• Induktion durch Feldänderung
Mittels partieller Differentiation ergibt sich:
dΦ
d dA(t ) dB(t )
Ui = −
=−
A(t ) ⋅ B(t ) = − B (t ) ⋅
− A(t ) ⋅
dt
dt
dt
dt
(
)
(3.67)
Das 1. Glied beschreibt den Bewegungsanteil, das 2. Glied den
Feldänderungsanteil an der induzierten Spannung.
Ordnet man mehrere benachbarte Leiterschleifen an, so wird in jeder
einzelnen die mit der jeweiligen Flussänderung verbundene Spannung
induziert; jede Schleife ist eine individuelle Spannungsquelle. Daraus
ergibt sich das allgemeine Induktionsgesetz:
Ui = − N ⋅
dΦ
dt
(3.68)
25
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3.10.1 Erzeugung einer sinusförmigen Wechselspannung
Die einfachste Möglichkeit der Erzeugung einer sinusförmigen Wechselspannung ist, eine rechteckige Leiterschleife mit const. Drehzahl n in
einem homogenen und zeitlich const. Magnetfeld der Flussdichte B zu
drehen (Bewegungsinduktion). Je nach Stellung der Leiterschleife
durchsetzt der magnetische Fluss eine bestimmte wirksame Fläche:
22rr = d
α
φ als Funktion der Zeit:
a 2
ˆ ⋅ cos(ωt )
Φ (t ) = Φ
a
Für die induzierte Spannung erhält man:
ui (t ) = − N ⋅
dΦ
d ˆ
ˆ ⋅ sin(ωt )
= −N ⋅
Φ ⋅ cos(ωt ) = N ⋅ ω ⋅ Φ
dt
dt
(
)
(3.71)
ui (t ) = uˆ ⋅ sin(ωt )
(3.72)
ˆ = N ⋅ω ⋅ B ⋅ l ⋅ d
uˆ = N ⋅ ω ⋅ Φ
(3.73)
Zwischen den beiden Zeitverläufen ui(t) und φ(t) tritt eine zeitliche
Verschiebung (Phase) auf. Der Fluss eilt der Spannung um π/2 voraus.
26
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3.10.2 Selbstinduktion der Spule
Wird eine Spule von einem zeitlich sich ändernden Strom durchflossen
( di dt ≠ 0 ), wird die Spule auch von einem zeitlich sich ändernden
Magnetfeld durchsetzt ( d Φ dt ≠ 0 ). Die Spule reagiert auf das eigene
Magnetfeld genauso wie auf ein fremdes Magnetfeld und induziert nach
dem Lenzschen Gesetz einen Strom und eine Spannung. Ist d Φ dt > 0 ,
wird ein Strom induziert, der dem hinein fließenden Strom entgegenwirkt
(Bremswirkung). Für die Berechnung der Selbstinduktionsspannung
verbindet man den Induktionsvorgang mit der Definition der Induktivität.
uL = L ⋅
Selbstinduktionsspannung:
di
dt
(3.74)
Die Spannung u L entspricht einer Quellspannung (aktiver Zweipol).
iL
iL
R
diL
>0
dt
uR
ii
L
uL
R
uR
L
uL
diL
<0
dt
ii
27
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3.11 Schaltvorgänge bei Spulen
S
iL
R
uR
S
U
M
L
uL
t=0
R
uR
L
uL
M
iL
a)
b)
Einschaltvorgang (Bild a):
τ=
L
R
(3.75)
t
−
U 
iL = ⋅ 1 − e τ
R 

uL = U ⋅ e
−




(3.76)
t
τ
(3.77)
iL strebt dem Endwert U R entgegen. Der Quotient L R ist eine Schaltungskonstante und heißt, analog zum Kondensator, Zeitkonstante τ . U
ist die Betriebsspannung. Sie ist gleich der Spannung u L im Einschaltmoment.
Abschaltvorgang (Bild b):
iL = I ⋅ e
−
t
τ
u L = −U max ⋅ e
(3.78)
−
t
τ
(3.79)
Die Richtung des Abschaltstroms iL stimmt mit der Richtung des vorher
geflossenen Gleichstroms I = U R überein, da der Induktionsstrom gemäß der Lenzschen Regel jeder Flussänderung entgegenwirkt. Das
Minuszeichen in Gl. (3.79) besagt, dass Abschaltstrom und Selbstinduktionsspannung entgegengesetzt gerichtet sind (aktiver Zweipol).
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Übergangsverhalten des RL-Gliedes:
29