2 Das elektrostatische Feld

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2
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Grundlagen der Elektrotechnik
Elektrostatisches Feld
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Das elektrostatische Feld
Das elektrostatische Feld wird durch ruhende elektrische Ladungen
verursacht, d.h. es fließt kein Strom. Auf die ruhenden Ladungen wirken
Coulomb-Kräfte, die über das Coulombsche Gesetz nach Gl. (1.1)
beschrieben werden:
1 Q1 ⋅ Q2 r 12
F 12 =
⋅
⋅
2
4πε 0
r12
r12
Die Ladungen Q1 und Q2 sind sog. Punktladungen mit einer infinitesimal
kleinen räumlichen Ausdehnung. Elektrische Feldlinien einer positiven
Punktladung zeigen radial von ihr weg, elektrische Feldlinien einer
negativen Punktladung zeigen radial zu ihr hin.
Bsp. 2.1:
Drei Punktladungen liegen auf der x-Achse: Q1 = 25nC liegt im Ursprung,
Q2 = -10nC liegt bei x = 2m und Q0 = 20nC befindet sich bei x = 3,5m.
Berechnen Sie die gesamte auf Q0 einwirkende Kraft.
Q2=-10nC
y/m
1
Q1=+25nC
2
3
4
x/m
Q0=+20nC
Lösung:
Kraft F10, die Q1 auf Q0 ausübt:
1 Q1 ⋅ Q0 r 10
F 10 =
⋅
⋅
=
0,367
µN
⋅
e
x
2
4πε 0
r10
r10
1
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r 10
ex =
ist der Einheitsvektor in x-Richtung
r10
Kraft F20, die Q2 auf Q0 ausübt:
1 Q2 ⋅ Q0 r 20
F 20 =
⋅
⋅
=
−
7,99
µN
⋅
e
x
2
4πε 0
r20
r20
Durch Superposition ergibt sich die resultierende Kraft auf Q0:
F ges = F 10 + F 20 = −0,432 µN ⋅ e x
2
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2.1
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Definition der elektrischen Feldstärke
Der Begriff der elektrischen Feldstärke leitet sich aus dem Coulombschen Gesetz ab. Man definiert:
F 2 = Q2 ⋅
Q1
⋅
e
=
Q
⋅
E
r
2
4πε 0 ⋅ r 2
(2.1)
E
Der Punktladung Q1 am Ort r = 0 wird ein Feld zugeordnet, das radial
von ihr ausgeht und mit 1/r² abnimmt. Dieses elektrische Feld hat eine zu
Q2 proportionale Kraft F2 zur Folge.
Die Kraft auf eine Punktladung im elektrischen Feld beträgt allgemein
(unabhängig davon, wie die Feldstärke E verursacht wurde):
F = Q ⋅E
;
[E ] =
V
m
(2.2)
Felder werden mittels Feldlinien visualisiert. Zur Darstellung eines
Feldes zeichnet man Linien, deren Richtung in jedem Punkt der Kraftrichtung entspricht, die auf eine positive Punktladung ausgeübt würde.
Die Dichte der Feldlinien ist dabei ein Maß für den Betrag der Feldstärke.
• Das elektrostatische Feld ist ein Quellenfeld. Elektrische Feldlinien beginnen und enden immer auf elektrischen Ladungen.
• Die positive Richtung der Feldlinien ist so definiert, dass sie von
positiven Ladungen ausgehen und auf negativen Ladungen
enden.
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Bsp. 2.2:
Gegeben ist ein System von 4 Punktladungen Q1 bis Q4 in einer quadratischen Anordnung mit Q1<Q2<Q3. Gesucht ist die elektrische Feldstärke
Eges im Punkt A sowie die Kraft F auf die Ladung Q4.
a
Q2
Q3
a 2
a
Q4
Q1
E1
ϕ
A
x
E2
E2
E3
y
E ges
E3
Lösung mittels Vektorrechnung, d.h. Aufteilung des Feldstärkevektors in
eine x- und y-Komponente:
 E   E2 x   0   E1x + E2 x 
E ges = E 1 + E 2 + E 3 =  1x  + 
+
=

 0   E 2 y   E3 y   E 2 y + E 3 y 
F = Q4 ⋅ E ges
4
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2.4
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Kondensator und Kapazität
Kondensatoren sind zwei gegeneinander isolierte, entgegengesetzt
geladene Leiteroberflächen beliebiger Geometrie, zwischen denen eine
Spannung U herrscht. Ein Kondensator ist ein wichtiges elektrisches
Bauelement und dient u.a. zur Speicherung elektrischer Ladungen und
Energie.
Der Quotient aus gespeicherter Ladungsmenge Q auf den Kondensatoroberflächen und angelegter Spannung wird als Kapazität C bezeichnet:
C=
Q
U
bzw.
Q = C ⋅U
(2.31)
[C ] = 1F = 1As V
Kapazität eines Plattenkondensators:
Ein Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen Platten im Abstand
d. Liegt zwischen ihnen eine Spannung U, dann herrscht zwischen den
Platten an jeder Stelle dasselbe elektrische Feld (homogene Feldstärke).
Im homogenen Feld gilt:
D=
Q
A
;
E=
U
d
Mit Gl. (2.29) ergibt sich hieraus für die Kapazität:
Q
U
= ε0 ⋅
A
d
⇒
CPl =
Q ε0 ⋅ U ⋅ A ε0 ⋅ A
=
=
U
d ⋅U
d
(2.33)
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Diese Beziehung ist nur gültig, wenn zwischen den Platten Vakuum
(oder näherungsweise Luft) ist. In anderen Fällen ist ε0 durch die
Dielektrizitätszahl ε (ε = ε0⋅εr) zu ersetzen. Weiterhin werden die Randstörungen in Gl. (2.33) vernachlässigt.
Zusammenhänge für die homogene Feldstärke:
U=
Q Ψ
=
C C
⇒
E=
;
C=
ε0 ⋅ A
d
⇒
U=
d
d
⋅Q =
⋅Ψ
ε0 ⋅ A
ε0 ⋅ A
U
1 Ψ 1 Q 1
=
⋅ =
⋅ =
⋅D
d ε0 A ε0 A ε0
(2.34)
Bsp. 2.4: Kapazität eines Koaxkabels
C=
2πε ⋅ h
r 
ln  a 
 ri 
(2.35)
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Bsp. 2.5: Spannung im Plattenkondensator
U12 =
Q ⋅ l12
ε ⋅A
(2.36)
Bsp. 2.6: Kapazität einer Doppelleitung mit vorgegebener Länge
C=
πε 0 ⋅ h
a − R 
ln 
 R 
(2.37)
Bsp. 2.7: Spannung U12 zwischen den Punkten P1 und P2 mit den Abständen r1 und r2 von einer positiven Punktladung
U12 =
1 1
⋅ − 
4πε 0  r1 r2 
Q
(2.38)
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2.5
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Nichtleiter im elektrischen Feld
In Nichtleitern (Isolatoren) sind die Ladungsträger nicht frei beweglich,
wodurch das Innere eines Nichtleiters im elektrischen Feld nicht feldfrei
ist. Das Feld greift durch den Isolator hindurch. Solche Stoffe werden
deshalb auch Dielektrika genannt (nach dem griechischen Wort „dia“ für
„durch“).
Wird bei einem Plattenkondensator mit der elektrischen Feldstärke E0 =
U0/d ein Dielektrikum zwischen die Platten gebracht, dann verschieben
sich die Ladungen auf dem Isolator, so dass ein geringeres Feld E im
Dielektrikum zwischen den Platten herrscht.
Es ist E < E0 und deshalb U < U0, es gilt:
E 0 U0
=
= εr
E
U
(2.39)
An der Plattenladung hat sich durch Einbringen des Dielektrikums nichts
geändert, d.h. mit Q = C⋅U erhält man:
Q = C0 ⋅ U0 = C ⋅ U
⇒
C
= εr
C0
(2.40)
Wird ein Dielektrikum in ein elektrisches Feld gebracht, so nimmt die
elektrische Feldstärke gegenüber der des Vakuums auf den εr-ten Teil
ab, während die Kapazität durch das Einbringen des Dielektrikums auf
das εr-fache ansteigt. Die Größe εr wird relative Dielektrizitätszahl
genannt und ist dimensionslos. Ihr Wert ist stets ≥ 1.
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2.6
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Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren
Parallelschaltung:
Alle Kondensatoren liegen an der gleichen Spannung U. Die Ladung, die
jeder Kondensator speichert, ist proportional zu seiner Kapazität und der
anliegenden Spannung:
Q = C ⋅U
Die gespeicherte Gesamtladung Q setzt sich aus den Einzelladungen
zusammen:
Q = Q1 + Q2 + … + Qn
n
Q = C1 ⋅ U + C2 ⋅ U + … + Cn ⋅ U = U ⋅ (C1 + C2 + … + Cn ) = U ⋅ ∑ Ci
i =1
Die Gesamtkapazität C von n parallel geschalteten Kondensatoren ist
gleich der Summe der Einzelkapazitäten:
n
C = C1 + C2 + … + Cn = ∑ Ci
(2.43)
i =1
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Reihenschaltung:
Jeder Kondensator wird – unabhängig von seiner Kapazität – mit
demselben Ladestrom i geladen. Für alle Kondensatoren ist deshalb die
gespeicherte Ladungsmenge gleich groß:
Q = ∫ i ⋅ dt
⇒
Q = Q1 = Q2 = … = Qn
Dabei lädt sich der Kondensator mit der Kapazität C auf die Spannung U
auf:
U=
Q
C
Alle Ladespannungen U1 bis Un addieren sich zur Gesamtspannung U:
U = U1 + U2 + … + Un
n
 1
Q Q
Q
1
1 
1
U=
+
+…+
= Q ⋅ +
+…+
 =Q⋅∑
C1 C2
Cn
Cn 
 C1 C2
i =1 Ci
Somit ist der Kehrwert der Gesamtkapazität der in Reihe geschalteten
Kondensatoren gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten:
n
1
1
1
1
1
=
+
+… +
=∑
C C1 C2
Cn i =1 Ci
(2.44)
Sonderfall für zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren:
C=
C1 ⋅ C2
C1 + C2
(2.45)
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Bsp. 2.9:
Ein Plattenkondensator mit quadratischen Platten der Seitenlänge a und
Plattenabstand d ist – wie in den Skizzen dargestellt – teilweise mit
einem Dielektrikum der relativen Dielektrizitätskonstanten εr gefüllt.
Drücken Sie seine Kapazität jeweils durch die gegebenen allgemeinen
Größen aus.
ε 0 ⋅ ε r ⋅ a2
=
( d1 + d3 ) ⋅ ε r + d2
a)
Cges
b)
Cges =
c)
Cges
ε0 ⋅ a
d
⋅ ( a1 + ε r ⋅ a2 + a3 )
ε 0 ⋅ a 2 ⋅ ( a1 + ε r ⋅ a2 + a3 )
=
( d1 + d3 ) ⋅ ( a1 + ε r ⋅ a2 + a3 ) + d2 ⋅ a
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2.8
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Ladungsvorgang beim Kondensator
Die einfachste, aber wichtigste Schaltaufgabe ist das Laden oder
Entladen eines Kondensators. Der auf die Spannung U geladene
Kondensator C speichert die elektrische Energie 1/2⋅CU², er wird
deshalb Energiespeicher genannt. Jede Umladung verändert die
Energieverhältnisse.
Der zeitliche Verlauf der Kondensatoraufladung ist abhängig von der
Speisungsart. Hier soll nur die Aufladung über Spannungsquellen mit
einem Vorwiderstand zur Strombegrenzung betrachtet werden.
Aufladung des Kondensators bei konstanter Spannung:
Momentanwert des
Stromes:
i=
dq
dt
Über Zuleitungen zum Kondensator fließende Ladungsmenge:
dq = C ⋅ duc
Momentanwert des Lade- bzw. Entladestromes des Kondensators:
i =C⋅
duc
dt
(2.51)
Zeitkonstante:
τ = R ⋅C
(2.52)
Kondensatorstrom:
U −
i = ⋅e τ
R
Kondensatorspannung:
t

−
uc = U ⋅  1 − e τ


t
(2.53)




(2.54)
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Entladungsvorgang des Kondensators:
Der mit der Elektrizitätsmenge Q geladene Kondensator ist ein aktiver
Zweipol. Er wird mit einem Widerstand belastet und dadurch entladen.
Richtungszuordnung von Spannung und Strom:
a)
b)
beim Laden eines Kondensators
beim Entladen eines Kondensators
t
−
U
Entladestrom des Kondensators: ic = − c 0 ⋅ e τ
R
Kondensatorspannung:
uc = U c 0 ⋅ e
−
(2.55)
t
τ
(2.56)
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