Kapitel 1_Gleichstromtechnik

FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
1
Gleichstromtechnik
1.1
Physikalische Definitionen
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.1.1 Elektrische Ladung
Elektrizität beruht auf dem Vorhandensein elektrischer Ladungen. Man
unterscheidet zwischen positiven und negativen Ladungen. Zwischen
elektrischen Ladungen besteht eine Kraftwirkung (Coulombsches
Gesetz). Ladungen gleichen Vorzeichens stoßen sich ab, Ladungen
ungleichen Vorzeichens ziehen sich an.
Jede Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e:
e = ±1,602(17733) ⋅ 10−19 As
1As = 1C (Coulomb)
Q = N ⋅ ( ±e )
Elektron: negative Elementarladung
Proton: positive Elementarladung
Der Raum zwischen elektrischen Ladungen, in dem abstoßende bzw.
anziehende Kräfte wirken, heißt elektrisches Feld (siehe Kapitel 2).
1
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.1.2 Das Coulombsche Gesetz
Für die anziehende oder abstoßende Kraft, die eine Punktladung Q1 auf
eine sich im Abstand r befindende Punktladung Q2 ausübt, gilt das
Coulombsche Gesetz:
r
ur
1 Q1 ⋅ Q2 r 12
F 12 =
⋅
⋅
(1.1)
2
r12
4πε 0
r12
r
r 12
mit:
: Einheitsvektor von Q1 nach Q2
r12
As (elektrische Feldkonstante, Dielekε 0 = 8,854(18782) ⋅ 10−12 Vm
trizitätskonstante des Vakuums)
1
4πε 0
= 8,988 ⋅ 109 Vm
(Proportionalitätsfaktor)
As
Das Coulombsche Gesetz gilt auch noch näherungsweise für Kugeln,
wenn deren Abstand (von Kugelmitte zu Kugelmitte) groß im Vergleich
zu den Kugelradien ist.
2
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.1.3 Stromstärke und Stromdichte
Der elektrische Strom entspricht der zeitlichen Änderung der elektrischen
Ladung. Ist der zeitliche Verlauf der den Querschnitt durchsetzenden
Ladung bekannt, gewinnt man den zugehörigen Strom durch Differentiation dieser Ladungsfunktion:
∆q dq
=
∆t →0 ∆t
dt
i = lim
;
[i ] = A
(1.2)
Die Ladungsfunktion kann durch Integration der Stromfunktion ermittelt
werden:
t2
q(t ) = ∫ i ⋅ dt
;
[q ] = As = C
(1.3)
t1
Bei zeitlich konstanter Stromstärke, d.h. stationärem Ladungstransport,
gilt:
Q = I ⋅t
(1.4)
Die Stromdichte ist wichtig zur Einschätzung von Erwärmungsproblemen und stellt den auf die Querschnittsfläche bezogenen Strom dar.
Bei gleichmäßiger Verteilung des Stroms über die Fläche ist die Stromdichte konstant:
ur I
J = ur
A
;
[J ] =
A
m2
(1.5)
Bei ungleichmäßiger Stromverteilung über der Fläche ist der differentielle
Strom dI auf das Flächenelement dA zu beziehen:
ur dI
J = ur
dA
(1.6)
3
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.1.4 Potential und Spannung
Zwei ungleichnamige, dicht beieinander liegende Ladungen werden um
die Entfernung s verschoben:
• Kraft F entgegen der Coulomb-Kraft muss aufgewendet werden;
• Bei Ladungstrennung wird Arbeit W = F ⋅ s verrichtet;
Q2 wird um s verschoben ⇒ verrichtete Arbeit ist als potentielle Energie
gespeichert:
W1 = ϕ1 ⋅ Q2
Ladung Q2 hat in Bezug auf die Ladung Q1 das elektrische Potential:
ϕ1 =
W1
Q2
;
[ϕ ] = V
(1.8a)
(gespeicherte Energie bezogen auf die verschobene Ladung Q2)
Weitere Verschiebung um ∆s ⇒ Erhöhung der potentiellen Energie:
W2 = ϕ2 ⋅ Q2
ϕ2 =
⇒
W2
Q2
(1.8b)
Potentielle Energiedifferenz beim Verschieben der Ladung Q2 von s
nach s + ∆s :
∆W = W2 − W1 = (ϕ2 − ϕ1) ⋅ Q2
Auf Ladung Q2 bezogene Energiedifferenz ist die elektr. Spannung U:
∆W
= ϕ2 − ϕ1 = U
Q2
;
[U ] = V
(1.9)
4
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.1.5 Energieniveaus der Elektronen und Bändermodell
Energieniveaus:
W
Ionisierungsgrenze
Einzelatom
Zweiatomiges
Molekül
Dreiatomiges
Molekül
N Atome
(Festkörper)
Die Grafik veranschaulicht die Aufspaltung der Energieniveaus in zwei,
drei (bei drei wechselwirkenden Systemen) und N (bei N Atomen im
Festkörper) eng benachbarte Energieniveaus.
N Energiezustände im Festkörper sind so eng beieinander, dass sie
nicht getrennt werden können → verschmelzen zu einem Energieband.
Bändermodell:
Das oberste vollständig gefüllte Band heißt Valenzband (VB), das
darüber liegende, entweder teilweise gefüllte oder auch leere Band wird
als Leitungsband (LB) bezeichnet.
W
Leitungsband
WL
∆W = Wg
WV
untere Kante des Leitungsbandes
obere Kante des Valenzbandes
Valenzband
5
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Die Breite der verbotenen Zone, d.h. der Abstand zwischen dem
Leitungsband WL und dem Valenzband WV, ist ein guter Maßstab für die
Leitfähigkeit von Materialien.
D W1
D W1
a)
b)
c)
d)
In den doppelt schraffierten Bereichen sind die energetischen Niveaus
von Elektronen besetzt, in den einfach schraffierten dagegen nicht. Die
dazwischen liegenden Flächen stellen die für Elektronen verbotenen
Zonen dar. Folgende Fälle sind möglich:
• Das Valenzband ist nicht vollbesetzt (Fall a), oder das Valenzband
ist vollbesetzt, überschneidet sich jedoch mit dem Leitungsband
(Fall b). – Leiter
• Das Valenzband ist vollbesetzt, das Leitungsband befindet sich
jedoch energetisch in der Nähe des Valenzbandes (Fall c). –
Halbleiter
• Das Valenzband ist vollbesetzt, das Leitungsband liegt weit davon
entfernt (Fall d). – Nichtleiter
Die Valenzelektronen bewegen sich reglos im Kristall. Ihre Bewegung ist
nicht ausgerichtet und stellt deswegen keinen Strom dar.
6
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.1.6 Elektrischer Widerstand und elektrischer Leitwert
Der elektrische Widerstand beschreibt das Spannungs-Strom-Verhältnis
als wichtige elektrische Eigenschaft eines Bauelements. Der Kehrwert
des Widerstandes heißt Leitwert und beschreibt dementsprechend das IU-Verhalten.
Lineare Widerstände:
Funktion I = f (U ) ist eine Gerade, d.h. der Widerstand ist konstant.
Bauelement:
I
R2
R1 > R2
Kennlinie:
R1
U
R=
U
= const .
I
;
[R ] = Ω (Ohm)
(1.10)
G=
1
R
;
[G ] = S (Siemens)
(1.11)
Gl. (1.10) beschreibt das Ohmsche Gesetz.
Nichtlineare Widerstände:
I
I
Kennlinie:
U
U
Nichtlineare Widerstände verändern ihren Widerstandswert in Abhängigkeit einer physikalischen Größe. Eine solche Größe kann beispielsweise
die Temperatur oder die Lichtintensität sein.
7
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit für unterschiedliche
Materialien:
[ρ ] =
[κ ] =
Ω⋅mm
m
m
Ω⋅mm 2
2
Kupfer Aluminium
0,01786 0,02857
56
35
Stahl
0,13
Blei
0,208
Konstantan
0,5
7,7
4,8
2
Die Leitfähigkeit κ gibt an, wie viel m eines Werkstoffes benötigt werden,
damit man einen Widerstand von 1Ω erhält (bei A = 1mm 2 und ϑ = 20°C ).
Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes:
• ρ z bei Bezugstemperatur ϑz
• Durch Temperaturänderung ∆ϑ wird ρ z um ∆ρ geändert
Weichen die Temperaturen nur in bestimmten Grenzen von ϑz ab, dann
wird ∆ρ näherungsweise über die Tangente im Punkt (ϑz , ρ z ) bestimmt:
∆ρ d ρ
≈
∆ϑ dϑ
z
(Anstieg der Sekante wird durch Anstieg der Tangente angenähert)
⇒ ∆ρ =
dρ
⋅ ∆ϑ
dϑ z
8
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Für den spezifischen Widerstand bei erhöhter Temperatur gilt:
ρ = ρ z + ∆ρ
ρ = ρz +

dρ
⋅ ∆ϑ
dϑ z
ρ = ρ z ⋅ 1 +


1 dρ
⋅
⋅ ∆ϑ 
ρ z dϑ z

ρ = ρ z ⋅ [1 + α z ⋅ ∆ϑ ]
(1.13)
mit: ∆ϑ = ϑ − ϑz
α z : Temperaturkoeffizient
Üblicherweise wird α z auf 20°C bezogen ( α 20 ):
ρ = ρ20 ⋅ [1 + α 20 ⋅ ∆ϑ ]
;
mit: ∆ϑ = ϑ − 20°C
(1.14)
Für die Temperaturabhängigkeit eines linearen Widerstandes gilt:
R =ρ⋅
l
l
= ρ20 ⋅ [1 + α 20 ⋅ ∆ϑ ] ⋅
A
A
⇒ R = R20 ⋅ [1 + α 20 ⋅ ∆ϑ ]
;
R20 = ρ20 ⋅
l
A
(1.15)
Gl. (1.15) gilt bis ca. 200°C.
9
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.1.7 Elektrische Energie und elektrische Leistung
Zur Erzeugung einer Spannung (Ladungstrennung) muss von außen
Energie zugeführt werden → Überwindung der Coulomb-Kräfte;
Zugeführte Energie ist als potentielle Energie in den Ladungen
gespeichert;
Wel = Q ⋅ U (allgemein)
(1.16)
Weitere Zusammenhänge:
I=
Q
t
bzw. Q = I ⋅ t
⇒ Wel = Q ⋅ U = U ⋅ I ⋅ t
U = R ⋅ I bzw. I =
(1.17)
U
R
U2
⇒ Wel = I ⋅ R ⋅ t =
⋅t
R
2
(1.18)
Sind Strom und Spannung zeitlich veränderlich, dann gilt:
t2
dq
i=
dt
bzw. Q = ∫ i ⋅ dt
(1.19)
t1
[Wel ] = Ws = J = Nm
Die elektrische Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeit:
Wel
= U ⋅I
t
(1.20)
U2
Pel = I ⋅ R =
R
(1.21)
Pel
2
[Pel ] = W = VA
10
FH Giessen-Friedberg
1.2
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Grundstromkreise
Sie bestehen aus einer Quelle (Generator) mit Innenwiderstand und
einem Verbraucher. Als Generator kommt entweder eine Spannungsoder eine Stromquelle zum Einsatz. Man kann versuchen, komplexe
Schaltungen auf Grundstromkreise zu reduzieren.
1.2.1 Kirchhoffsche Regeln:
Sie beschreiben das Verhalten der elektrischen Ströme in einem
verzweigten Stromkreis (Knotenregel) und der Spannungen in einem
geschlossenen Stromkreis (Maschenregel).
1. Kirchhoffsches Gesetz (Knotenregel):
• Die Summe aller in einem Knotenpunkt zusammenlaufenden
Ströme ist Null.
n
∑ Ii = 0
(1.22)
i =1
2. Kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel):
• Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist Null.
n
∑ Ui = 0
(1.23)
i =1
11
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.2.2 Reihenschaltung von Widerständen
In einer Reihenschaltung sind alle Widerstände vom selben Strom
durchflossen.
Anwendung der Maschenregel führt zu:
U = I ⋅ R1 + I ⋅ R2 + K + I ⋅ Rn = I ⋅ ( R1 + R2 + K + Rn ) = I ⋅ Rges
⇒ Rges = R1 + R2 + K + Rn
(1.24)
In einer Reihenschaltung ist der Gesamtwiderstand gleich der Summe
der Einzelwiderstände.
1.2.3 Parallelschaltung von Widerständen
In einer Parallelschaltung liegen alle Widerstände an derselben
Spannung.
Anwendung der Knotenregel führt zu:
I=
⇒
 1
U
U
U
1
1 
1
+
+K+
= U ⋅
+
+K +
 =U⋅
R1 R2
Rn
Rn 
Rges
 R1 R2
1
Rges
=
1
1
1
+
+K+
R1 R2
Rn
(1.26)
k
In einer Parallelschaltung ist der Kehrwert des Gesamtwiderstandes
gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände.
12
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.2.4 Spannungsteiler
1. Fall: Ohne Lastwiderstand
Der Spannungteiler besteht aus 2 in Reihe geschalteten Widerstände R1
und R2, die entweder räumlich getrennt sind oder aus einem Gesamtwiderstand mit einem Abgriff bestehen (Potentiometer).
U = U1 + U2 = I ⋅ R1 + I ⋅ R2 = I ⋅ (R1 + R2 )
U1 I ⋅ R1
=
U2 I ⋅ R2
;
U2
I ⋅ R2
=
U I ⋅ (R1 + R2 )
Hieraus folgt die Spannungsteilerregel:
U1 R1
=
U2 R2
(1.29)
U2
R2
=
U R1 + R2
(1.30)
In Worten: Bei in Reihe geschalteten Widerständen verhält sich die
Teilspannung zur Gesamtspannung wie der Teilwiderstand zum Gesamtwiderstand.
2. Fall: Mit Lastwiderstand
An die Ausgangsklemmen eines Spannungsteilers wird ein Lastwiderstand RL angeschlossen, der dem Spannungsteiler den Laststrom IL
entnimmt. Zwei Rechnerische Lösungswege:
• Direkte Berechnung des Netzwerks
• Ersatzspannungsquelle
13
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Direkte Berechnung des Netzwerks:
Stromstärke I’ des belasteten Spannungsteilers:
I' =
U
R1 + (R2 || RL )
(1.31)
Ausgangsspannung U2L des belasteten Spannungsteilers:
U2L = U − I '⋅ R1
(1.32)
Ersatzspannungsquelle:
Die Quellspannung Uq der Ersatzquelle ist gleich der Leerlauf-Ausgangsspannung U20 des Spannungsteilers:
Uq = U20 = U ⋅
R2
R1 + R2
(1.33)
Der Innenwiderstand Ri der Ersatzquelle ist gleich der Parallelschaltung
der beiden Spannungsteiler-Widerstände:
Ri =
R1 ⋅ R2
R1 + R2
(1.34)
Für die Ausgangsspannung U2L des Spannungsteilers gilt dann:
U2L = U20 − IL ⋅ Ri
(1.35)
14
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Linearität des belasteten Spannungsteilers:
Beim unbelasteten Spannungsteiler besteht eine exakte Linearität
zwischen der Ausgangsspannung U20 und dem Teilwiderstand R2. Diese
Linearität ist beim belasteten Spannungsteiler nicht mehr gegeben:
U 2L = k ⋅ U ⋅
RL
RL + k ⋅ (1 − k ) ⋅ R
U 2L
k
=
U
1 + p ⋅ k ⋅ (1 − k )
(1.36)
(1.37)
mit: k =
R2
R
= 2
R1 + R2 R
Teilerverhältnis
p=
R1 + R2
R
=
RL
RL
Verhältnis von Spannungsteiler- zu Lastwiderstand
15
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Dimensionierung von Spannungsteilern:
Es sind Betriebsanforderungen gegeben, die Spannungsteiler-Widerstände R1,R2 sind gesucht. Berechnungsmethoden:
• Querstromfaktormethode
• Ersatzquellenmethode (wird nicht behandelt)
Querstromfaktormethode:
Ausgangspunkt ist die Erfahrung, dass die Teilspannung sich durch
Belastung nicht wesentlich ändert, wenn der Querstrom I2 viel größer ist
als der Laststrom IL.
m=
I2
IL
1. Schritt: Feststellen, wie groß die Teilspannung U2 sein soll und wie
groß der Laststrom werden kann:
U2 = KV
(1.38a)
IL = K A
2. Schritt: Wahl des Querstromfaktors u. Berechnung des Querstromes:
m = K(m = 2K10)
I 2 = m ⋅ IL
(1.38b)
3. Schritt: Berechnung von R2:
R2 =
U2
I2
(1.38c)
4. Schritt: Berechnung von R1 bei gegebener Spannung U:
I1 = I2 + IL
;
R1 =
U − U2
I1
(1.38d)
16
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.2.5 Ersatzspannungs- und Ersatzstromquelle
Eine elektrische Energiequelle lässt sich entweder durch eine
Spannungsquelle oder durch eine Stromquelle im elektrischen Netzwerk
angeben. Hierbei unterscheidet man zwischen idealen und realen
Quellen. Das Verhalten realer Quellen wird durch Ersatzschaltungen
beschrieben, die sich aus idealen Komponenten zusammensetzen.
Ersatzspannungsquelle:
Die Spannung einer realen Spannungsquelle (z.B. Batterie) ist nicht
unabhängig von dem abgegebenen Strom. Vielmehr sinkt die Spannung
mit zunehmendem Laststrom. Man sagt auch: Die Spannung bricht
etwas zusammen, wenn man sie belastet. Dieses reale Verhalten wird
durch eine ideale Spannungsquelle Uq und einem Innenwiderstand Ri
modelliert.
Berechnung der Strom-Spannungs-Kennlinie (Belastungskennlinie):
−Uq + I ⋅ Ri + U = 0
⇒ U = Uq − I ⋅ Ri
(1.39)
Die Spannung U fällt mit zunehmendem Strom I linear ab.
Ersatzstromquelle:
Der Strom einer realen Stromquelle ist nicht unabhängig von der
anliegenden Spannung. Vielmehr sinkt der Strom ab, wenn man die
Stromquelle hochohmig belastet. Dieses reale Verhalten wird durch eine
Stromquelle Iq und einem parallel dazu liegenden Innenwiderstand Ri
modelliert.
17
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Berechnung der Spannungs-Strom-Kennlinie (Belastungskennlinie):
−Iq +
U
+I = 0
Ri
⇒ I = Iq −
U
Ri
(1.44)
Für eine hochohmige Last geht die Ausgangs-Klemmenspannung gegen
Iq⋅Ri. Je größer U wird, desto größer wird der Strom, der durch Ri abfließt
und somit an den Ausgangsklemmen nicht zur Verfügung steht.
Umrechnung von Spannungs- in Stromquellen und umgekehrt:
Man kann eine reale Stromquelle als Spannungsquelle mit hochohmigem Innenwiderstand auffassen und eine reale Spannungsquelle als
niederohmige Stromquelle.
18
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.2.6 Umwandlung einer Dreieck- in eine Sternschaltung
und umgekehrt
Teile eines Netzwerks, die aus Reihen- und Parallelschaltungen
bestehen und keine Spannungs- oder Stromquellen enthalten, lassen
sich zu einem Ersatzwiderstand zusammenfassen. Besteht ein Netzwerkteil aus einer Brückenschaltung, dann ist eine Zusammenfassung
nur über eine Dreieck-Stern- oder eine Stern-Dreieck-Transformation
möglich.
Dreieck- und Sternschaltung in einer Brückenschaltung:
Durch Transformation umgewandelte Brückenschaltung:
19
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Dreieck-Stern-Transformation:
R1' =
R2 ⋅ R3
R1 + R2 + R3
(1.45)
R2' =
R1 ⋅ R3
R1 + R2 + R3
(1.46)
R3' =
R1 ⋅ R2
R1 + R2 + R3
(1.47)
Merkregel: Sternwiderstand =
Produkt der beiden Dreieckwiderstände
Summe aller Dreieckwiderstände
Stern-Dreieck-Transformation:
R1' ⋅ R2' + R2' ⋅ R3' + R1' ⋅ R3'
R1 =
R1'
(1.48)
R1' ⋅ R2' + R2' ⋅ R3' + R1' ⋅ R3'
R2'
(1.49)
R1' ⋅ R2' + R2' ⋅ R3' + R1' ⋅ R3'
R3 =
R3'
(1.50)
R2 =
20
FH Giessen-Friedberg
1.3
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Berechnungsverfahren für lineare Netzwerke
In der Gleichstromtechnik sind Netzwerke Widerstandsschaltungen mit
mehreren Spannungs- und/oder Stromquellen, die nicht auf Grundstromkreise zurückgeführt werden können. Folgende Berechnungsverfahren
sind üblich
•
•
•
•
•
Superpositionsprinzip (Überlagerungssatz)
Maschenstromanalyse (Kreisstromverfahren)
Zweigstromanalyse
Knotenpotentialverfahren
Zweipolverfahren
Voraussetzung für alle Verfahren sind Widerstände mit linearer U-IKennlinie sowie konstante Quellspannungen und Quellströme:
• R = const.
• Uq = const.
• Iq = const.
Die abgebildete Schaltung stellt ein solches Netzwerk dar. Ziel ist es
nun, sämtliche Zweigströme und Spannungen zu bestimmen.
21
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.3.1 Superpositionsprinzip
Das Superpositionsprinzip ist von allgemeiner physikalischer Bedeutung:
In einem physikalischen System, in dem Wirkungen linear von den
Ursachen abhängen, lässt sich zunächst jeweils die Wirkung von
nur einer Ursache ermitteln. Die resultierende Wirkung aller Ursachen ergibt sich dann als Summe der Einzelwirkungen.
Vorgehensweise bei elektrischen Netzen:
1. Richtung der Zweigströme festlegen
2. Kurzschließen aller Quellspannungen und Unterbrechen aller
Quellströme bis auf eine Quellspannung bzw. einen Quellstrom
(die Innenwiderstände verbleiben hierbei in der Schaltung)
3. Berechnen des von der einen Quellspannung oder von dem einen
Quellstrom verursachten Teilstrom in dem Zweig, in dem der
Zweigstrom ermittelt werden soll
4. Schritte 2 und 3 nacheinander mit allen übrigen Quellspannungen
und Quellströmen durchführen
5. Aufsummieren der Teilströme unter Beachtung ihrer jeweiligen
Vorzeichen
Insgesamt ergeben sich so viele Teilströme, wie Spannungs- und Stromquellen in der Schaltung vorhanden sind. Teilströme, die die gleiche
Richtung haben wie der unter 1 vereinbarte gesuchte Zweigstrom,
werden positiv berücksichtigt. Die Teilströme, die entgegengesetzt
gerichtet sind, gehen negativ in die Berechnung ein.
22
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.3.2 Maschenstromanalyse
Bei der Maschenstromanalyse (auch Kreisstromverfahren genannt)
werden nur Maschengleichungen für Spannungen berücksichtigt. Daher
sind im Gleichstromnetz vorkommende Stromquellen zunächst in
äquivalente Spannungsquellen zu überführen:
Man führt für jede unabhängige Masche einen fiktiven Maschenstrom
(Kreisstrom) ein und stellt mit diesem die Maschengleichungen auf. Dies
ergibt ein Gleichungssystem mit so vielen Gleichungen, wie unabhängige Maschen vorhanden sind. Die tatsächlich fließenden Zweigströme ergeben sich dann aus der vorzeichenrichtigen Addition der
Kreisströme.
Bsp. 1.13:
In der skizzierten Schaltung sollen die drei Zweigströme mit Hilfe der
Maschenstromanalyse bestimmt werden. Die Richtung der Maschenströme ist bereits vorgegeben.
Lösung:
Masche I
: 3Ω ⋅ Ia − 12V + 6Ω ⋅ (Ia + Ib ) + 24V = 0
Masche II : 6Ω ⋅ Ib + 6Ω ⋅ (Ia + Ib ) + 24V − 72V = 0
23
FH Giessen-Friedberg
I
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
: 9Ω ⋅ Ia + 6Ω ⋅ Ib + 12V = 0
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
/⋅ ( −2)
II : 6Ω ⋅ Ia + 12Ω ⋅ Ib − 48V = 0
-------------------------------------------------------I’
: −18Ω ⋅ Ia − 12Ω ⋅ Ib − 24V = 0
-------------------------------------------------------I’+II : −12Ω ⋅ Ia − 72V = 0
⇒ Ia =
72V
= −6 A → bspw. in I’ einsetzen
−12Ω
108V − 12Ω ⋅ Ib − 24V = 0
⇒
Ib =
−84V
= 7A
−12Ω
Das Minuszeichen des Maschenstromes Ia bedeutet, dass seine Richtung falsch angenommen wurde. Es ergeben sich somit folgende Zweigströme nach Betrag und Richtung:
24
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.3.3 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Einfache lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten werden
üblicherweise mittels Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren gelöst. Bei größeren linearen Gleichungssystemen kommen
folgende Verfahren zur Anwendung:
• Cramersche Regel
• Gaußscher Algorithmus
Definition einer reellen Matrix:
Unter einer reellen Matrix A vom Typ (m,n) versteht man ein aus m⋅n
reellen Zahlen bestehendes rechteckiges Schema mit m waagerecht
angeordneten Zeilen und n senkrecht angeordneten Spalten:
 a11 a12 K a1n 
a
a22 K a2n 
21

A=
 M
M
M
M 


am1 am 2 K amn 
(1.51)
mit: aik : Matrixelemente (i = 1,2,…,m; k = 1,2,…,n)
i : Zeilenindex
k : Spaltenindex
m : Anzahl der Zeilen (Zeilenzahl)
n : Anzahl der Spalten (Spaltenzahl)
Diagonalmatrix:
n-reihige, quadratische Matrix A = [aik], bei der alle außerhalb der
Hauptdiagonalen liegenden Elemente verschwinden:
aik = 0
für i ≠ k , (i , k = 1,2,..., n )
(1.55)
Einheitsmatrix:
n-reihige Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen aii = 1 (i = 1,2,…,n)
25
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Definition einer 2-reihigen Determinante:
Unter der (Koeffizienten-)Determinante einer 2-reihigen, quadratischen
Matrix A = [aik] versteht man die Zahl:
D=
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a12a21
(1.57)
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten besitzt genau eine Lösung, wenn die Koeffizientendeterminante
nicht verschwindet.
• Elemente einer Determinante stehen zw. 2 senkrechten Strichen
• Eine Matrix ist ein geordnetes Zahlenschema, eine Determinante
repräsentiert dagegen einen Zahlenwert
Beispiel:
 3 5
A=

 −2 4 
⇒
det A =
3
5
−2 4
= 3 ⋅ 4 − ( −2) ⋅ 5 = 22
Definition einer 3-reihigen Determinante:
Unter der Determinante einer 3-reihigen, quadratischen Matrix A = [aik]
versteht man die Zahl:
a11 a12
a13
D = a21 a22
a23
a31 a32
a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
(1.58)
Beispiel:
 1 −2 7 
A = 0 3 2 
5 −1 4 
⇒
1 −2 7
det A = 0 3 2 =
5 −1 4
= 1⋅ 3 ⋅ 4 + ( −2) ⋅ 2 ⋅ 5 + 7 ⋅ 0 ⋅ ( −1) −
−7 ⋅ 3 ⋅ 5 − 1⋅ 2 ⋅ ( −1) − ( −2) ⋅ 0 ⋅ 4 = −111
26
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Laplacescher Entwicklungssatz:
Die aus einer 3-reihigen Determinante D durch Streichen der i-ten Zeile
und k-ten Spalte entstehende 2-reihige Determinante heißt Unterdeterminante von D und wird durch das Symbol Dik gekennzeichnet (i,k =
1,2,3).
Z.B. geht die Unterdeterminante D12 aus D durch Streichen der 1. Zeile
und 2. Spalte hervor. Zu einer 3-reihigen Determinante gibt es insgesamt
neun 2-reihige Unterdeterminanten:
D11, D12, D13, D21, D22, D23, D31, D32, D33
3
Entwicklung nach i-ter Zeile:
D = ∑ aik ⋅ Aik
(i = 1,2,3)
(1.59a)
(k = 1,2,3)
(1.59b)
k =1
3
Entwicklung nach k-ter Spalte:
D = ∑ aik ⋅ Aik
i =1
Dabei bedeuten:
Aik = ( −1)i + k ⋅ Dik
: Algebraisches Kompliment von aik in D
Dik
: 2-reihige Unterdeterminante von D (in D wird die
i-te Zeile und k-te Spalte gestrichen)
Die algebraischen Komplimente sind die mit alternierenden Vorzeichen
versehenen Unterdeterminanten. Das Vorzeichen kann dabei dem
folgenden Schachbrettmuster entnommen werden:
27
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Definition einer n-reihigen Determinante:
Eine 3-reihige Determinante kann über den Laplaceschen Entwicklungssatz nach den Elementen einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickelt
werden, d.h. die Berechnung erfolgt über 2-reihige Unterdeterminanten.
Allgemein kann eine n-reihige Determinante durch wiederholte Anwendung des Laplaceschen Entwicklungssatzes auf 3-reihige Determinanten
zurückgeführt werden, deren Werte sich nach der Regel von Sarrus
bestimmen lassen.
Für n = 4 und Entwicklung nach der 1. Zeile bedeutet dies:
D=
a11 a12
a13
a14
a21 a22
a23
a24
a31 a32
a33
a34
a41 a42 a43
a44
3
= a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + a13 ⋅ A13 + a14 ⋅ A14 = ∑ a1k ⋅ A1k
k =1
Rechenaufwand für n = 5:
Man erhält zunächst fünf 4-reihige Unterdeterminanten und aus jeder
dieser 4-reihigen Determinanten vier 3-reihige Unterdeterminanten:
5⋅4 = 20 3-reihige Unterdeterminanten
→ Berechnung von Determinanten höherer Ordnung
ist mit erheblichem Rechenaufwand verbunden
28
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Cramersche Regel:
Ein lineares (n,n)-Gleichungssystem A⋅x = b besitzt genau dann eine
Lösung, wenn die Koeffizientendeterminante D ≠ 0 ist. Die Lösung lautet:
xi =
Di
D
(i = 1,2,..., n )
(1.60)
mit: D : Koeffizientendeterminante (D ≠ 0)
Di : Zählerdeterminante, die aus D hervorgeht, indem man die i-te
Spalte durch die Absolutglieder b1,b2,…,bn ersetzt
Hinweis:
Um die Lösung eines (n,n)-Systems nach der Cramerschen Regel zu
bestimmen, müssen insgesamt n+1 n-reihige Determinanten berechnet
werden (D,D1,D2,…,Dn). Für höhere Ordnungen ist dieser Aufwand in der
Praxis nicht mehr vertretbar, so dass – beispielsweise bei der Simulation
elektronischer Schaltungen – ausschließlich der Gaußsche Algorithmus
zur Anwendung kommt.
29
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Gaußscher Algorithmus:
Der Gaußsche Algorithmus ist ein effizient auf Computern umsetzbares
Rechenverfahren, welches ein vorgegebenes lineares Gleichungssystem
schrittweise in ein gestaffeltes System (Dreieckgestalt) überführt. Er
gliedert sich in zwei Phasen.
1. Phase: Erzeugung der Dreiecksgestalt
Es wird angenommen, dass die ersten i Zeilen bearbeitet sind, so dass
das System in folgender Form vorliegt:
a11x1 + a12x2 + a13x3 +
a11x1 + a22x2 + a23x3 +
a11x1 + a12x2 + a33x3 +
+ a1ixi +
... + a2ixi +
... + a3ixi +
…
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + aiixi +
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ..+ai+1,ixi +
…
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + anixi +
...
...
...
...
...
...
...
+
+
+
a1nxn
a2nxn
a3nxn
…
+
ainxn
+ ai+1,nxn
…
+
annxn
= b1
= b2
= b3
= bi
= bi+1
= bn
Ist aii = 0 , so ist die i-te Gleichung mit einer der folgenden Gleichungen
zu tauschen, in der der entsprechende Koeffizient von 0 verschieden ist.
Ist aii ≠ 0 , dann wird das − ai +1,i aii -fache der i-ten Gleichung zur (i+1)ten Gleichung addiert, das − ai + 2,i aii -fache der i-ten Gleichung zur (i+2)ten Gleichung addiert,…, das − ani aii -fache der i-ten Gleichung zur nten Gleichung addiert. In allen neuen Gleichungen ist der Koeffizient von
xi dann gleich 0. In gleicher Weise verfährt man mit den restlichen
Gleichungen, bis schließlich das Dreiecksystem vorliegt.
2. Phase: Rückwärtseinsetzen:
a11x1 + a12x2 + a13x3 +
a11x1 + a22x2 + a23x3 +
a11x1 + a12x2 + a33x3 +
...
...
...
a11x1 + a12x2 + a x3+ +
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...
+ a1,n-1xn-1
+ a2,n-1xn-1
+ a3,n-1xn-1
…
an-1,n-1xn-1
+ a1,n-1xn-1
+
+
+
a1nxn = b1
a2nxn = b2
a3nxn = b3
+ an-1,nxn = bn-1
+ annxn
= bn
30
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Das Dreiecksystem wird nun von unten beginnend nacheinander nach
xn, xn-1,…,x1 aufgelöst:
xn =
1
⋅ bn
ann
xn −1 =
x1 =
1
an −1,n −1
⋅ ( bn −1 − an −1,n xn )
1
⋅ ( b1 − a12 x2 − a13 x3 − K − a1n xn )
a11
31
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.3.4 Zweigstromanalyse (Kirchhoff)
Die Kirchhoffschen Sätze liefern für ein Netzwerk so viele unabhängige
Gleichungen, wie zur Berechnung aller Ströme notwendig sind. Für ein
Netzwerk mit k Knotenpunkten ergeben sich k-1 voneinander unabhängige Knotenpunktgleichungen mit Hilfe der Knotenpunktregel. Die
Gleichungen sind voneinander linear abhängig, wenn sie sich aus einer
oder mehreren Knotenpunktgleichungen ableiten lassen.
Hat das Netzwerk m Zweige, dann ergeben sich daraus m-(k-1) voneinander unabhängige Maschengleichungen für die Spannungen einer
Masche. Die Unabhängigkeit ist dann gewährleistet, wenn jede Masche
eine gedachte Trennstelle aufweist, die von den anderen Maschen nicht
überschritten wird.
Stromquellen werden bei diesem Verfahren als Ein- und Ausströmungen
in jeweils zwei Knotenpunkten angesehen und in den Knotenpunktgleichungen berücksichtigt. Sie sind somit keine Zweige, denn sie haben
einen unendlich hohen Widerstand.
Bsp. 1.21:
k = 3; m = 4
Knotengl.: (k-1) = 2
Maschengl.: m-(k-1) = 2
32
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.3.5 Knotenpotentialverfahren
Beim Knotenpotentialverfahren ordnet man jedem Knoten ein Potential
zu, wobei ein Knoten das Bezugspotential φ = 0V bekommt (Bezugsknoten, Masse). Unter den sog. Knotenspannungen versteht man nun
alle Spannungen zwischen den übrigen Schaltungsknoten und dem
Bezugsknoten.
Das Knotenpotentialverfahren ergibt nur ein Gleichungssystem für die
Knotenspannungen. Die Berechnung der anderen Systemgrößen kann
aber mit Hilfe der Knotenspannungen sehr leicht erfolgen. Die Zweigspannungen ergeben sich durch Differenzbildung von Knotenspannungen. Aus den Zweigspannungen können über das Ohmsche Gesetz sofort
alle Zweigströme berechnet werden.
Vorgehensweise:
• Umwandlung aller vorhandenen Spannungsquellen (mit obligatem
Innenwiderstand Ri) in äquivalente Stromquellen;
• Bestimmung der Richtung der z Quellenströme I1,I2,…,Iz;
• Alle Widerstandswerte in Leitwerte umrechnen;
• Kennzeichnung der Knotenpunkte von 0 bis k-1: k0,k1,k2,…
Der Knotenpunkt k0 erhält das Potential Null. Zwischen den k-1
Knotenpunkten und dem Knotenpunkt k0 bestehen dann die k-1
Spannungen Ui0:
U10 = ϕ1 − ϕ0 = ϕ1
U20 = ϕ2 − ϕ0 = ϕ2
U30 = ϕ3 − ϕ0 = ϕ3
(1.61)
M
Uk −1,0 = ϕk −1 − ϕ0 = ϕk −1
• Bestimmung der Zweigspannungen durch Differenzbildung der
zugehörigen Knotenspannungen;
• Bestimmung aller Zweigströme mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes;
• Anwendung der Knotenpunktregel auf die Knoten 1 bis k-1 (Ermittlung der Gleichungen für die Knotenspannungen)
Es wird vorausgesetzt, dass das Netzwerk nur aus Gleichstrom- und
Gleichspannungsquellen sowie ohmschen (d.h. konstanten) Widerständen besteht.
33
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Beispiel:
Gegeben: Alle Quellenströme I1, I2, alle Leitwerte G1,…,G6
Gesucht: Gleichungssystem für Knotenspannungen U1, U2 und U3
Knoten 1:
0 = I1 − I2 − G6 ⋅ (U1 − U3 ) − G2 ⋅ (U1 − U2 ) − G1 ⋅ U1
Knoten 2:
0 = G2 ⋅ (U1 − U2 ) − G4 ⋅ (U2 − U3 ) − G3 ⋅ U2
Knoten 3:
0 = I2 + G6 ⋅ (U1 − U3 ) + G4 ⋅ (U2 − U3 ) − G5 ⋅ U3
Klammern ausmultiplizieren und Gleichungssystem ordnen:
Knoten 1:
G6 ⋅ U1 − G6 ⋅ U3 + G2 ⋅ U1 − G2 ⋅ U2 + G1 ⋅ U1 = I1 − I2
Knoten 2:
−G2 ⋅ U1 + G2 ⋅ U2 + G4 ⋅ U2 − G4 ⋅ U3 + G3 ⋅ U2 = 0
Knoten 3:
−G6 ⋅ U1 + G6 ⋅ U3 − G4 ⋅ U2 + G4 ⋅ U3 + G5 ⋅ U3 = I2
Knoten 1:
(G1 + G2 + G6 ) ⋅ U1 + ( −G2 ) ⋅ U2 + ( −G6 ) ⋅ U3 = I1 − I2
Knoten 2:
( −G2 ) ⋅ U1 + (G2 + G3 + G4 ) ⋅ U2 + ( −G4 ) ⋅ U3 = 0
Knoten 3:
( −G6 ) ⋅ U1 + ( −G4 ) ⋅ U2 + (G4 + G5 + G6 ) ⋅ U3 = I2
Gleichungssystem in Matrizenschreibweise:
−G2
−G6
G1 + G2 + G6
  U1  I1 − I2 

 ⋅ U  =  0 
−G2
G2 + G3 + G4
−G4

  2 


−G6
−G4
G4 + G5 + G6  U3   I2 
34
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Einsatz in der analogen Schaltungssimulation:
Das Knotenpotentialverfahren ist zunächst nur für Widerstandsnetzwerke
mit gleichförmiger Erregung geeignet. Für die Berücksichtigung von
Spulen, Kondensatoren und abschließend auch Dioden als nichtlineare
Bauelemente bei gleichförmiger, aber auch beliebiger Erregung (PSPICE
erlaubt z.B. durch sog. Polygonquellen die Approximation jeder beliebigen Kurvenform mittels Geradenstücke) müssen zur numerischen
Berechnung auf einem Computer einige Ergänzungen vorgenommen
werden:
• Euler-Verfahren
• Newton-Verfahren
Der Clou hierbei ist, dass infolge der Zeitdiskretisierung und dem
Ersetzen der Energiespeicher durch aus Leitwerten und Stromquellen
bestehende Ersatzschaltungen das Knotenpotentialverfahren und der
Gauß-Algorithmus quasi als Untermenge weiterhin verwendet werden
können. Daher haben diese Verfahren für die analoge Schaltungssimulation eine große Bedeutung.
Bei der Modellierung von R, L und C werden ideale Bauelemente
vorausgesetzt:
35
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Diskretisierung der Zeit durch Euler-Verfahren:
Beim Euler-Verfahren werden die Differentialgleichungen einfach durch
Differenzengleichungen angenähert. Aus dieser Näherung lässt sich für
Spule und Kondensator jeweils ein Ersatzschaltbild angeben.
ESB
Spule:
ESB
Kondensator:
Werden Spulen und Kondensatoren durch derartige Ersatzschaltbilder
modelliert, dann lässt sich das Knotenpotentialverfahren wieder anwenden, allerdings jetzt unter Beachtung der Zeitdiskretisierung.
Beispiel: Reihenschwingkreis
Die Spannung ue(t) kann eine Gleichoder Wechselspannung sein. Vor dem
Startzeitpunkt t = t0 sei ue(t) = 0.
36
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Lösungsschritt 1
(t1 = t0 + 1⋅∆t = ∆t):
Lösungsschritt 2
(t1 = t0 + 2⋅∆t = 2⋅∆t):
…
Lösungsschritt n
(tn = t0 + n⋅∆t = n⋅∆t):
37
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
1.3.6 Zweipoltheorie
Im einfachsten Fall besteht ein Stromkreis aus der Zusammenschaltung
eines aktiven und eines passiven Zweipols:
Man unterscheidet 3 besondere Betriebszustände:
Leerlauf:
I=0
Kurzschluss:
U=0
Leistungsanpassung: Ra = Ri
U = UL
I = Ik
U = UL/2
I = Ik/2
Die Spannung U und der Strom I berechnen sich im Grundstromkreis:
U = Uq
Ra
Ra
= UL
Ri + Ra
Ri + Ra
Ri
1
I = Uq
= Ik
Ri + Ra
Ri + Ra
(1.64)
Die Zweipoltheorie sagt nun folgendes aus:
Jeder lineare Zweipol kann beschrieben werden durch seine Leerlaufspannung und seinen Kurzschlussstrom. Er kann durch eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand (oder auch Stromquelle mit Innenwiderstand)
als Ersatzschaltung dargestellt werden.
Das bedeutet, dass ein komplexes, aktives Netzwerk, das an zwei
Klemmen abgegriffen wird, vereinfacht dargestellt werden kann.
38
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Beispiel: Darstellung eines aktiven Zweipols durch Ersatzschaltung
Ist das Netzwerk bekannt, kann Ri berechnet werden, indem man im
Netzwerk alle Spannungsquellen durch Kurzschlüsse ersetzt und alle
Stromquellen herausnimmt. Ri ist dann der Widerstand zwischen den
Anschlussklemmen.
Die Quellspannung der Ersatzschaltung entspricht der Leerlaufspannung
des ursprünglichen Netzwerkes.
39
FH Giessen-Friedberg
1.4
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Wirkungsgrad und Leistungsanpassung
Wirkungsgrad:
Der Wirkungsgrad ist definiert als Quotient der Nutzleistung zur aufgebrachten Leistung:
η=
PN
PN
=
Pges PN + PV
(1.66)
Wirkungsgrad für eine reale Spannungsquelle mit Lastwiderstand:
η=
Ra
Ri + Ra
(1.67a)
Je geringer der Innenwiderstand, umso höher ist der Wirkungsgrad.
Wenn der Innenwiderstand der Spannungsquelle Null wird, ist der
Wirkungsgrad 1.
Wirkungsgrad für eine reale Stromquelle mit Lastwiderstand:
η=
Ri
Ri + Ra
(1.67b)
Der Wirkungsgrad ist maximal, wenn der Innenwiderstand gegen
Unendlich strebt.
Für beide Grundstromkreise ist der Wirkungsgrad am größten, wenn die
Verluste innerhalb der elektrischen Energiequelle am kleinsten sind
(Ersatzstromquelle: Ri = 0; Ersatzstromquelle: Gi = 0).
40
FH Giessen-Friedberg
StudiumPlus
Grundlagen der Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Wirkungsgrad und abgegebene Leistung einer realen Spannungsquelle:
Leistungsanpassung:
In der Starkstromtechnik kommt es bei der Erzeugung, Übertragung und
Weiterverwendung auf einen guten Wirkungsgrad der Leistungsumwandlung an, denn die Umwandlungen dürfen nicht mit zu großen Verlusten
verbunden sein. In der Schwachstromtechnik (Nachrichtentechnik) ist
nicht der Wirkungsgrad von Bedeutung, sondern die an den Verbraucher
maximal abgegebene Leistung.
Die maximale Leistung wird bei Leistungsanpassung abgegeben:
Ri = Ra
(1.68)
Der Belastungswiderstand Ra des passiven Zweipols muss gleich dem
Innenwiderstand Ri des aktiven Zweipols sein. Der Wirkungsgrad beträgt
in diesem Fall:
η=
Ra
1
= = 50%
Ri + Ra 2
(1.69)
In der Nachrichtentechnik wird somit ein schlechter Wirkungsgrad in
Kauf genommen, um eine maximale Verbraucherleistung zur Verfügung
zu haben.
41